常微分方程练习题及答案复习题

. . . .

w. . .v 常微分方程练习试卷

一、填空题。

1. 方程23210dxxdt是

阶

（线性、非线性）微分方程.

方程()xdyfxyydx经变换_______，可以化为变量分离方程 .

3. 微分方程3230dyyxdx满足条件(0)1,(0)2yy的解有个.

4. 设常系数方程xyyye的一个特解*2()xxxyxeexe，则此方程的系数 ， ， .

5. 朗斯基行列式()0Wt是函数组12(),(),,()nxtxtxt在axb上线性相关的

条件.

6. 方程22(2320)0xydxxydy的只与y有关的积分因子为 .

7. 已知()XAtX的基解矩阵为()t的，则()At .

8. 方程组20'05xx的基解矩阵为．

9.可用变换将伯努利方程化为线性方程.

10 .是满足方程251yyyy 和初始条件的唯一解.

11.方程的待定特解可取的形式:

12. 三阶常系数齐线性方程 20yyy的特征根是

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

2．求解方程13dyxydxxy.

3. 求解方程222()0dxdxxdtdt 。

4．用比较系数法解方程. .

5．求方程 sinyyx的通解. . . . .

w. . .v 6．验证微分方程22(cossin)(1)0xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.

7．设 3124A ， 11 ，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.

8. 求方程 2213dyxydx 通过点(1,0) 的第二次近似解.

9.求的通解

试求方程组xAx的解(),t 12(0), 并求expAt 10.若

三、证明题

1. 若(),()tt是()XAtX的基解矩阵，求证：存在一个非奇异的常数矩阵C，使得()()ttC.

2. 设),()(0xxx是积分方程

],[,,])([)(0200xxdyyxyxx

的皮卡逐步逼近函数序列)}({xn在],[上一致收敛所得的解，而)(x是这积分方程在],[上的连续解，试用逐步逼近法证明：在],[上)()(xx.

3. 设都是区间上的连续函数, 且是二阶线性方程的一个基本解组. 试证明:

(i) 和都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零);

(ii) 和没有共同的零点;

(iii) 和没有共同的零点.

4.试证：如果)(t是AXdtdX满足初始条件)(0t的解，那么)(exp)(0ttAt

答案

一.填空题。

1. 二，非线性 2.uxy， 11(()1)dudxufux 3.无穷多 4.3,2,1 2114A32()480dydyxyydxdx. . . .

w. . .v 5.必要 6.3y 7.1()()tt 8. 25 00tAtteee 9. 10. 11. 12. 1,

二、计算题

1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直.

解: 设曲线方程为 , 切点为(x,y), 切点到点(1,0)的连线的斜率为 , 则由题意

可得如下初值问题:

. 分离变量, 积分并整理后可得 .

代入初始条件可得 , 因此得所求曲线为 .

2.求解方程13dyxydxxy. 解：由10,30xyxy 求得1,2xy 令 1,2,xy

则有 .dd令z，解得2(1)1zdzdz,积分得21arctanln(1)ln||2zzC,

故原方程的解为 222arctanln(1)(2)1yxyCx.

3. 求解方程222()0dxdxxdtdt

解令，直接计算可得，于是原方程化为，故有或，积分后得，即，所以就是原方程的通解，这里为任意常数。

4.用比较系数法解方程. . . . . .

w. . .v 解：特征方程为 , 特征根为 .

对应齐方程的通解为 .

设原方程的特解有形如代如原方程可得

利用对应系数相等可得 , 故 .

原方程的通解可以表示为( 是任意常数) .

5.求方程 sinyyx的通解.

解：先解yy得通解为xyce, 令()xycxe为原方程的解，

代入得()()()sinxxxcxecxecxex, 即有()sinxcxex,

积分得1()(sincos)2xcxexxc , 所以1(sincos)2xycexx 为原方程的通解.

6．验证微分方程22(cossin)(1)0xxxydxyxdy是恰当方程，并求出它的通解.

解：由于22(,)cossin,(,)(1)MxyxxxyNxyyx，因为2MNxyyx所以原方程为恰当方程.

把原方程分项组合得22cossin()0xxdxxydxyxdyydy,

或写成2222111(sin)()()0222dxdxydy, 故原方程的通解为2222sinxxyyC.

7．设 3124A ， 11 ，试求方程组XAdtdX的一个基解基解矩阵)(t，求XAdtdX满足初始条件)0(x的解.

解：特征方程为 31det()(2)(5)0,24AE

求得特征值122,5,对应122,5的特征向量分别为1211,,(,0).12VV

可得一个基解矩阵2525().2tttteetee ，又因为1211(0)113 ，

. . . .

w. . .v 于是，所求的解为)0()()(1tt2525211111132tttteeee 25252134tttteeee

8. 求方程 2213dyxydx 通过点(1,0) 的第二次近似解.

解: 令0()0x，于是

221001()[213()],xxyxxdxxx

223452011133()[213()],1025xxyxxdxxxxxx

9.求的通解

解：方程可化为3284dyydxxdyydx ，令dypdx则有3284pyxyp（*），

（*）两边对y求导得322322(4)(8)4dpypypypypdy，

即32(4)(2)0dppyypdy，由20dpypdy得12pcy，即2()pyc.

将y代入（*）得2224cpxc，

即方程的含参数形式的通解为：22224()cpxcpyc，p为参数；

又由3240py得123(4)py代入（*）得 3427yx也是方程的解 .

试求方程组xAx的解(),t 12(0), 并求expAt 10.若

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大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

1 大学专业课考试复习资料--《常微分方程》试题库含答案

一、填空题

1．微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是____________

答：1

2．若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(dyyxNdxyxM有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________

答：)()1)((yMxNyM

3．_________________________________________ 称为齐次方程.

答：形如)(xygdxdy的方程

4．如果),(yxf ___________________________________________ ,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0 上,连续且满足初始条件)(00xy ,其中

h _______________________ .

答：在R上连续且关于y满足利普希兹条件 ),min(mbah

5．对于任意的),(1yx ,),(2yxR (R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使

______________________ ,则称),(yxf在R上关于y满足利普希兹条件.

答： 2121),(),(yyNyxfyxf

6．方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上 ,则经过点 )0,0(的解的存在区间是

___________________

答：4141x

7．若),.....2,1)((nitxi是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程

___________________________________

答：0)(1'wtaw

常微分方程_习题集(含答案)

第 1 页共 17 页《常微分方程》课程习题集

一、单选题

1. 设函数(,),(,)MxyNxy连续可微, 则方程(,)(,)0MxydxNxydy

是全微分方程的充分必要条件是 .

(A) MNyx， (B) ,MNxy (C) ,MNyx (D) .MNxy

2. 下面的方程是全微分方程的是 .

(A) 0ydxxdyxy， (B) 220ydxxdy，

3. 设一阶方程2()()(),(()()0)dypxyqxyrxpxrxdx，则它是。

（A）线性非齐次方程；（B）伯努利方程；

（C）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

4. 设一阶方程()(),(0,1)ndypxyqxyndx，则它是。

（A）线性非齐次方程；（B）伯努利方程；

（C）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

5. 形如'(')yxyy的一阶隐式方程称为。

（A）线性非齐次方程；（B）伯努利方程；

（C）黎卡堤方程； (D) 克莱洛方程。

6. 二阶微分方程2100xxx的通解是。

（A）12[cos3sin3]txeCtCt,

（B）312[cossin]txeCtCt,

（C）12[cossin]txeCtCt, 第 2 页共 17 页 (D) 312[cos3sin3]txeCtCt.

常微分方程试题及答案

一、单项选择题（每题5分，共20分）

1. 下列哪一项不是常微分方程的特点？

A. 未知函数是连续的

B. 未知函数是可微的

C. 未知函数的导数是未知的

D. 方程中包含未知函数的导数

答案：A

2. 常微分方程的解是指满足方程的函数，下列哪一项不是解的性质？

A. 唯一性

B. 存在性

C. 可微性

D. 可积性

答案：D

3. 一阶线性微分方程的一般形式是：

A. \( y' + p(x)y = q(x) \)

B. \( y' = p(x)y + q(x) \)

C. \( y' - p(x)y = q(x) \)

D. \( y' + p(x)y = q(x) \) 或 \( y' - p(x)y = q(x) \)

答案：A

4. 已知微分方程 \( y'' - y = 0 \) 的一个特解是 \( y = e^x \)，那么它的通解是： A. \( y = C_1e^x + C_2e^{-x} \)

B. \( y = C_1e^x + C_2 \)

C. \( y = C_1e^x + C_2e^x \)

D. \( y = C_1 + C_2e^{-x} \)

答案：A

二、填空题（每题5分，共20分）

1. 微分方程 \( y'' + y' + y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1e^{-x}

+ C_2e^{-\frac{1}{2}x} \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

2. 微分方程 \( y'' - 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +

C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

3. 微分方程 \( y'' + 4y = 0 \) 的通解是 \( y = C_1\cos(2x) +

C_2\sin(2x) \)，其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是常数。

常微分方程练习题及答案复习题

當微分方程练习试卷

3 U A

1.方程 X —1 = U 址 R _________ I Mett. ir«rt > 微分方仪.

dt-

：.方w —^- = f (xy) ________ •可以化为tn分Khfi ______________ .

y dx

d'y

s.做分方《■ ——z- — _______________________________ — x = 0 購足条d y(0) = 1, y'(0) = 2

的解“ 个.

& »««»/,•» y" + ay' + fly = yex 的卄解 y (x) = e~x + ex + xex.妙此方n的系型 a = ______________________________________________ . p = ______________ . y =

5.朗躲晰列式W(f)三 0Wffittffl召(f),x2(t),^-,xn(t) A a

____________________ 条件.

& 方程 xydx+(2x2 4- 3y2 一 2Q)dy = 0 的只号y有关的机分因子为 __________________________________

T.已知X' = A(t)X的啊时为0(0的.期A(t) = _____________________________

~2 0_

8. 方KfflX* = X的星轄第辞为

0 5_

空*+尸

9. _________ 可用变殃紗们为利方程化；MS性方程.

10. _____________________________________ 丁 — 1 足朋方程 ym + 2y" 4- 5yr + y = 1 辦“苗条 ” g *

v<4)-v=z2

H.方程』丿的ftJiiWW-Jm ____ 的心式：

is.三附常不n齐仪件方丹y"—2y" + y = 0的椅征根乞 ________________________

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答

一、问答题：

1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义?

答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。

2．举例阐述常数变易法的基本思想。

答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。

例：求()()dyPxyQxdx的通解。

首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()Pxdxycl，然后将常数c变易为x的待定函数()cx，令()()Pxdxycxl，微分之，得到

()()()()()PxdxPxdxdydcxcxPxdxdxll ，将上述两式代入方程中，得到

()()()()()()()()()PxdxPxdxPxdxdcxcxPxdxcxPxQxlll

即 ()()()PxdxdcxQxdxl

积分后得到()()()PxdxcxQxdxc%l进而得到方程的通解

()()(())PxdxPxdxyQxdxc%ll

3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？

答：n阶线性微分方程的初值问题

()(1)11(1)01020()...()()()(),(),....()nnnnnnxatxatxatxftxtxtxt

其中12()(),...(),()natatatft，是区间atb上的已知连续函数，0,tab，12,,...,n是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题 1210010000010000010()()()()()()nnnxxatatatatftxtLLMMMMMMLL

常微分方程练习题及答案(复习题)

常微分方程练习题及答案(复习题) 常微分方程练习试卷

一、

23210dxxdt

()xdyfxyydx_______

3230dyyxdx(0)1,(0)2yy

xyyye*2()xxxyxeexe

()0Wt12(),(),,()nxtxtxtLaxb

22(2320)0xydxxydyy

()XAtX()t()At

20'05xx

251yyyy

20yyy

二、

13dyxydxxy

222()0dxdxxdtdt

sinyyx 22(cossin)(1)0xxxydxyxdy

3124A11XAdtdX)(tXAdtdX)0(x

2213dyxydx(1,0)

xAx(),t12(0),

(),()tt()XAtXC()()ttC

),()(0xxx

],[,,])([)(0200xxdyyxyxx

)}({xn],[)(x],[],[)()(xx

)(tAXdtdX)(0t)(exp)(0ttAt

uxy11(()1)dudxufux3,2,1 2114A32()480dydyxyydxdx3y1()()tt25 00tAtteee

13dyxydxxy

10,30xyxy1,2xy1,2,xy

.ddz2(1)1zdzdz21arctanln(1)ln||2zzC

222arctanln(1)(2)1yxyCx

常微分方程练习题及答案

常微分方程练习试卷

一、

填空题。

1、方程23

10d x

x dt +=就是阶 (线性、非线性)微分方程、 2、方程

()x dy

f xy y dx

=经变换_______,可以化为变量分离方程、

3、微分方程

3230d y

y x dx

--=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个、 4、设常系数方程

x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x

y x e e xe =++,则此方程的系数α= ,β= ,γ= 、

5、朗斯基行列式

()0W t ≡就是函数组12(),(),,()n x t x t x t L 在a x b ≤≤上线性相关的

条件、

6、方程

22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为、

7、已知

()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的,则()A t = 、

8、方程组

20'05??=

x x 的基解矩阵为 .

9、可用变换将伯努利方程化为线性方程、 10 、就是满足方程

251y y y y ''''''+++= 与初始条件的唯一解、

11、方程

的待定特解可取的形式:

12、三阶常系数齐线性方程

20y y y '''''-+=的特征根就是

二、计算题

1、求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点与点(1,0)的连线相互垂直、

2.求解方程

dy x y dx x y +-=-+、

3、求解方程

222()0d x dx

x dt dt

+= 。

4.用比较系数法解方程、、

5.求方程

sin y y x

'=+的通解、

6.验证微分方程

22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=就是恰当方程,并求出它的通解、

7.设

3124A -??=??-?? , ??

-=11η ,试求方程组X A dt dX =的一个基解基解矩阵

常微分方程练习试卷及答案

常微分方程练试卷

一、填空题。

1.方程d2x/dt2+1=是二阶非线性微分方程。

2.方程xdy/ydx=f(xy)经变换ln|x|=g(xy)可以化为变量分离方程。

3.微分方程d3y/dx3-y2-x=0满足条件y(0)=1,y'(0)=2的解有一个。

4.设常系数方程y''+αy'+βy=γex的一个特解y(x)=e-x+e2x，则此方程的系数α=-1，β=2，γ=1.

5.朗斯基行列式W(t)≠0是函数组x1(t),x2(t)。xn(t)在[a,b]上线性无关的条件。

6.方程xydx+(2x2+3y2-20)dy=0的只与y有关的积分因子为1/y3.

7.已知X'=A(t)X的基解矩阵为Φ(t)，则A(t)=Φ(t)-1dΦ(t)/dt。

8.方程组x'=[2,5;1,0]x的基解矩阵为[2e^(5t),-5e^(5t);e^(5t),1]。

9.可用变换将伯努利方程y'+p(x)y=q(x)化为线性方程。

10.方程y''-y'+2y=2e^x的通解为y(x)=C1e^x+C2e^2x+e^x。

11.方程y'''+2y''+5y'+y=1和初始条件y(0)=y'(0)=y''(0)=0的唯一解为y(x)=e^-x/2[sin(5^(1/2)x/2)-cos(5^(1/2)x/2)]。

12.三阶常系数齐线性方程y'''-2y''+y=0的特征根是1，1，-1.

二、计算题

1.设曲线方程为y(x)=kx/(1-k^2)，则曲线上任一点处的斜率为y'(x)=k/(1-k^2)，切点为(0,0)，切线方程为y=kx，点(1,0)的连线斜率为-1/k，因此k=-1，曲线方程为y=-x/(1+x)。

2.方程d(y/x)/dx=2/(x-y+3)可以化为变量分离方程dx/(x-y+3)=2dy/y，两边同时取对数得ln|x-y+3|=2ln|y|+C，即(x-y+3)=Cy^2.

常微分方程练习题及答案(复习题) 2

常微分方程练习试卷

一、填空题。

1. 方程 x3 d 2 x 1 0 是阶（线性、非线性）微分方程 .

dt 2

2. x dy f ( xy) 经变换 _______ ，可以化为变量分离方程 .

方程

y dx

3. 微分方程 d 3 y y2 x 0 满足条件 y(0) 1, y (0) 2 的解有个 .

dx3

4. 设常系数方程

5. 朗斯基行列式

y y y ex 的一个特解 y* (x) e2 x ex xex ，则此方程的系数，， .

W (t ) 0 是函数组 x1(t ), x2 (t ), , xn (t ) 在 a x b 上线性相关的

条件 .

6. 方程 xydx (2x2 3y2 20)dy 0 的只与 y 有关的积分因子为 .

7. 已知 X A(t) X 的基解矩阵为 (t ) 的，则 A(t) .

8. 方程组 x ' 2 0 x 的基解矩阵为．

0 5

9. 可用变换将伯努利方程化为线性方程 .

10 . 是满足方程 y 2 y 5 y y 1 和初始条件的唯一解 .

11. 方程的待定特解可取的形式 :

12. 三阶常系数齐线性方程 y 2 y y 0的特征根是

二、计算题

1. 求平面上过原点的曲线方程 , 该曲线上任一点处的切线与切点和点 (1,0) 的连线相互垂直 .

dy x y 1

2．求解方程

x y .

dx 3

3. 求解方程 x d 2 x ( dx )2 0 。

dt 2 dt

4 ．用比较系数法解方程 . .

5 ．求方程 y y sin x 的通解 .

6 ．验证微分方程 (cos xsin x xy2 )dx y(1 x2 )dy 0 是恰当方程，并求出它的通解 .

第七章常微分方程练习题(含答案)

第7章常微分方程

一、单项选择题

1．微分方程3245(''')3('')(')0yyyx阶数是（ b ）

A.4阶 B．3阶 C．2阶 D．1阶

2．微分方程222yxdxdyx是（ b ）

A.一阶可分离变量方程 B.一阶齐次方程 C.一阶非齐次线性方程 D.一阶齐次线性方程

3．下列方程中，是一阶线性微分方程的是（ c ）

A.0'2)'(2xyyyx B.0'2xyyxy C.0'2yxxy D.0)()67(dyyxdxyx

4．方程xyxy'满足初始条件11xy的特解是（ a ）

A.xxxyln B.Cxxxyln C.xxxyln2 D.Cxxxyln2

5．微分方程yyx2的通解为（ c ）

A．2xy B． cxy2 C． 2cxy D．0y

6．微分方程yyx满足1)1(y的特解为（ a ）

A.xy B. cxy C.cxy D.0y

8．微分方程05))(sin(2''xyyxyy是（ a ）

A一阶微分方程 B二阶微分方程 C可分离变量的微分方程 D一阶线性微分方程

9．微分方程2yxy的通解为（ c ）

A．2xyeC B． xyCe C． 2xyCe D．22xyCe

二、填空题

1．微分方程34()"30yyyy的阶数为__2____；

2．微分方程0ydxdy的通解是xyce；

3．微分方程02xyy的通解是2xyce；

4．微分方程xyye的通解是()10,0xyeCeC；

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