2004数学建模试题及答案

数学建模试题及答案

1．设某产品的供给函数)(p ϕ与需求函数)(p f 皆为线性函数： 9)(,43)(+-=+=kp p f p p ϕ

其中p 为商品单价，试推导k 满足什么条件使市场稳定。

解：设Pn 表示t=n 时的市场价格，由供求平衡可知：

)()(1n n p f p =-ϕ 2分

9431+-=+-n n kp p

即： k

p k p n n 531+-

=- 经递推有： k k p k k

k k p k p n n n n n n 5)3()3(5)53(31102⋅-+⋅-=++-⋅-=-=-∑ 6分

0p 表示初始时的市场价格

:∞→时当n 若即市场稳定收敛则时,,30,13n p k 即k

<<<-。 10分 2．某植物园的植物基因型为AA 、Aa 、aa ，人们计划用AA 型植物与每种基 因型植物相结合的方案培育后代（遗传方式为常染色体遗传），经过若干代后，这种植物后代的三种基因型分布将出现什么情形？总体趋势如何？ 依题意设未杂交时aa 、Aa 、AA 的分布分别为000,,a c b ，杂交n 代后分别为an bn cn (向为白分手)

由遗传学原理有：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧++⋅=⋅++=⋅+⋅+⋅=---------111111111210021000n n n n n n n n n n n n c b a c c b a b c b a a 4分 设向量T n n n n c b a x )..(=

1-⋅=n n X M x

式中 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=12100211000M 递推可得：0X M X n n ⋅=

对M 矩阵进行相似对角化后可得：

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡=Λ1000210000 其相似对角阵

1111012001-=⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=p p 从而

⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⋅Λ=-111012001)21(111012001101

n n n p p M ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=----1)21(1)21(10)21()21(0001111n n n n n M

010101010))21(1())21(1(0)2

1()21(0

b a

c c b a b a n n n n n n n ⋅-+⋅-+=++==---- 8分 当∞→n 时，1,0,0→→→n n n c b a 。 10分

3．试建立人口Logistic(逻辑)模型，并说明模型中何参数为自然增长率，为

什么？

解：人口净增长率与人口极限以及目前人口均相关。人口量的极限为M ，当前人口数量为N （t ），r 为比例系数。建立模型：

)())(1()(t N M

t N r dt t dN ⋅-⋅= 00|N N t == 4分

求解得到

rt

m m

e N N N t N --+=)1(1)(0 6分

注意到当M t N →)(时，r M

t N r →-⋅))(1(并说明r 即为自然增长率。 10分 4．1968年，介壳虫偶然从澳大利亚传入美国，威胁着美国的柠檬生产。随后，美国又从澳大利亚引入了介壳虫的天然捕食者——澳洲瓢虫。后来，DDT 被普通使用来消灭害虫，柠檬园主想利用DDT 进一步杀死介壳虫。谁料，DDT 同样杀死澳洲瓢虫。结果，介壳虫增加起来，澳洲瓢虫反倒减少了。试建立数学模型解释这个现象。

解：依据题意，设介壳虫的数量为x(t)，澳洲瓢虫的数量为y(t),则有数模方程组：

（1）⎪⎩⎪⎨⎧⨯+-=-=y f cy dt

dy bxy

ax dt dx 式中a b c f 均大于零。 4分 解方程组（1） y

f cy bxy ax dy dx ⨯+--= 得： dx x

c fx y dy by a -=-)( k by fx x c y a ++=+ln ln

k e x y by fx c a '⨯=⋅+

（3） k e

e x y by fc c

a '=⋅⋅ 式（3）给出一族封闭曲线，显然x(t)、y(t)即为以下为周期（T>0）的周期函数，由于调查的虫子的数量为一个周期内的均值

则有 dt c y y f T x T )(110+'=

⎰ dt x

x a b T y T ⎰'-⋅=0)(11 6分 b a T b a y f c y T y f c x =××+==+=

(0)])([(0)])([ln ln ln ln

当使用杀虫剂DDT 后，设杀死介壳虫，)(t x ⋅ε，澳洲瓢虫)(t y ⋅ε