计算方法复习题大全
计算方法总复习 第一章 绪论
例1． 已知数 x=2.718281828...,取近似值 x*=2.7182,那麽x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。
解；
**314
2.718281828 2.71820.00008182
11
0.0005101022
e x x --=-=-=≤=?=?
故有四位有效数字。
例2．近似数*0.01999x =关于真值*0.02000x =有几位有效数字
解：
**413
0.019990.020000.0000111
0.00005101022
e x x ---=-=-=≤=?=?
故有三位有效数字。
例3．数值x *的近似值x =0.1215×10－2，若满足≤-*x x ( )，则称x 有4位有效数字
点评；已知有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。 解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.n a a a a 的数
则绝对误差限一定为41
102
-?，由于题目中的数2120.10n x a a a -=? ,故最终的
绝对误差为 42611
10101022
---??=?
例4．有效数***1233.105,0.001,0.100x x x =-==，试确定***
123
x x x ++的相对误差限。
点评；此题考查相对误差的传播。
*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
?=??
???
∑
故有**********
**1122331231
2
3
******
123123
()()()()()()
()r r r r e x x e x x e x x e x e x e x e x x x x x x x x x ++++++==++++ 解：333
******1
23
123***
12
3111101010()()()222() 3.1050.0010.100
r e x e x e x e x x x x x x ---?+?+?++++===++-++=0.0004993 例5．sin1有2位有效数字的近似值0.84的相对误差限是 . 解法1 ：
00625.01016
1
10821112=?=??-+-（有效数字与相对误差限的关系）
解法2；21
100.840.00595242
-?÷=（相对误差限的概念）
例6
*x 的相对误差的----倍。
解：根据误差传播公式*
****
1()()()n r r i i i i f e y e x x y x =??
?=??
???
∑
则有
'**1()r r e e x x n ==
第二章
例1．设()f x 可微，求()x f x =根的牛顿迭代公式----。
解；化简得到 ()0x f x -=
根据牛顿迭代格式 ),2,1,0()(')
(1 =-
=+k x f x f x x k k k k
则相应的得到 1()(0,1,2,)1'()
k k k k k x f x x x k f x +-=-=-
例2： 求方程
01)(3=--=x x x f
在区间[1, 1.5]内的实根。要求准确到小数点后第2位。
思路；用二分法，这里a = 1, b = 1.5， 且f (a) < 0，f (b) > 0。取区间[a, b]的中点x 0 = 1.25将区间二等分，由于f (x 0)< 0，即f (x 0)与f (a)同号，故所求的根必在x 0的右侧，这里应令a 1 = x 0 = 1.25，b 1 = b = 1.5，而得到新的有根区间（a 1, b 1）。 对区间（a 1, b 1）再用中点x 1 = 1.375二分，并进行根的隔离，重复步骤2、3； 解：预先估计一下二分的次数：按误差估计式
)(211
11*a b a b x x k k k k -=
-≤-+++
解得k = 6，即只要二分6次，即达所求精度。计算结果如下表：
例3：求方程0210)(=+-=x x x f 的一个根
解：因为f (0) = 1>0 f (1) = -7 <0，知方程在[0, 1]中必有一实根，现将原方
程改为同解方程
210+=x x )2l g (+=x x
由此得迭代格式
)2lg(1+=+k k x x
收敛性判断；当(0,1)x ∈时，()lg(2)(0,1)x x φ=+∈，且由于
11
'()0.21711(2)ln102ln10
x x φ=
≤=<+， 故迭代格式收敛
取初始值x 0 = 1，可逐次算得 x 1 = 0.4771 x 2 = 0.3939 … x 6 = 0.3758
x 7 =0.3758
例4：求方程0133=+-x x 在[0, 0.5]内的根，精确到10-5。 解：将方程变形
)()1(31
3x x x ?=+= 因为0)('2>=x x ?，在[0, 0.5]内为增函数，所以
125.05.0)('max 2<===x L ?
满足收敛条件，取x 0 = 0.25，用公式（2.3）算得 x 1 = ? (0.25) = 0.3385416 x 2 = ? (x 1) = 0.3462668
x 3 = ? (x 2) =0.3471725
x 4 = ? (x 3) =0.3472814 x 5 = ? (x 4) =0.3472945 x 6 = ? (x 5) =0.3472961
x 7 = ? (x 6) =0.3472963
取近似根为x * = 0.347296
例5： 用牛顿迭代法建立求平方根c （c >0）的迭代公式，并用以上公式求
78265.0
解：设c x x f -=2)(，（x >0）则c 就是f (x ) =0的正根。由为f’ (x ) = 2x ，所以得迭代公式
k
k k k x c
x x x 22
1
--
=+ 或
???
? ??+=
+k k k x c x x 211 （2.6）
由于x >0时，f’ (x ) >0，且f " (x ) > 0，根据定理3知：取任意初值c x >0，所确定的迭代序列{x k }必收敛于c 。 取初值x = 0.88，计算结果见表
k x k
0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3
0.88468
故可取88468.078265.0≈
第三章
例1．.用列主元消去法解线性方程组
???
??=++-=-+-=+-6
15318153312321
321321x x x x x x x x x 计算过程保留4位小数.
解. [A b ]=??
??
?
?????----6111151318153312 (选1821-=a 为主元)
????
??????----??→?6111153312151318),(21r r (换行，消元)
??
??
??????----???→?++
7166.54944.07166.105333.210151318
1
3121811812
r r r r (选1667.132=a 为主元，并换行消元)
??
??
??????---????→?+5428.98142.3001667.54944.01667.10151318
2
3321667
.11)
,(r r r r 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解
000.1)18/(]0000.230000.315[0000.27166.1/]0000.34944.07166.5[0
000.38
142.35
428.9123=-?-+-==?-===
x x x 方程组的解为X ≈(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例2：用列主元高斯消去法求解方程
???
??=+=++=+-7
2452413221
321321x x x x x x x x 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的
“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：
???
?
? ??-702145241312*
第一步将4选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到
??
??
?
??--???→?????? ??--???→???
??
? ??---???→?????? ??-61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524
*
第三步消元
第二步消元第一步消元
消元过程的结果归结到下列三角形方程组：
???
?
?-==-=++65.025.0125.15.0332321x x x x x x 回代，得
???
??-=-==-6193
21x x x 例3：用直接三角分解法解
????
? ??=????? ??????? ??201814513252321321x x x 解：（1）对于r = 1，利用计算公式
111=u 212=u 313=u
l 21 = 2 l 31 = 3 （2）对于r = 2， 12212222u l a u -== 5 – 2 ? 2 = 1
13212323u l a u -== 2 – 2 ?3 = -4
51
)
231()(2212313232-=?-=-=
u u l a l
（3）r = 3
24))4()5(33(5)(233213313333-=-?-+?-=+-=u l u l a u
于是
LU A =????
? ??--????? ??-=2441321153121
（4）求解：
Ly = b 得到
y 1 = 14 y 2 = b 2 – l 21y 1 = 18 – 2 ? 14 = -10 y 3 = b 3 – (l 31y 1 + l 32y 2) = 20 – (3? 14 + (-5)(-10)) = - 72 从而 y = (14, -10, -72)T 由Ux = y 得到
324
723333=--==
u y x
21)
34(10)(2232322=?---=-=
u x u y x
11
)
3322(14)(1131321211=?+?-=+-=
u x u x u y x
T x )3,2,1(=
例5：用雅克比迭代法和高斯――赛得尔迭代法解线性方程组
???
?
?
??=????? ??????? ??----87790108
1119321x x x 解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高
斯――赛得尔迭代法都收敛。
D = diag (9, 8, 9) D -1 = diag (1/9, 1/8, 1/9)
????
? ??=--009/1008/19/19/10
1
A D I
????
?
??=-9/78/79/71
b D
雅克比迭代法的迭代公式为：
????
?
??+????? ??=+9/78/79/7009/1008/19/19/10)()
1(k k X X 取X (0) = (0, 0, 0)T ，由上述公式得逐次近似值如下：
k 0 1 2
3
4
X (i )
?????
??000 ????? ??8889.08750.07778.0 ????
?
??9753.09723.09738.0 ????
?
??9993.09993.09942.0 ????
?
??9993.09993.09993.0
高斯――赛得尔迭代法：
()()()???
?
??
???+?+=++=++=++++++809178179
1)
1(2)1(1)1(3)
(3)1(1)1(2
)
(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x 迭代结果为：
k
0 1 2 3 4
x (i )
????? ??000 ????? ??9753.09722.07778.0 ?????
??9993.09993.09942.0 ?????
??0000.10000.19998.0 ????
?
??000.1000.1000.1
例6．考察用高斯赛德尔迭代法解方程组12312312
3926
8888
x x x x x x x x x -+=??
-+-=??-++=-?
收敛性，并取(0)(1,0,0)T x =，求近似解(1)k x +，使得(1)()310k k i i x x +--≤（i=1，2，3） 解法同上（1，1，-1）
例7. 设矩阵A ＝????
?
?????------52111021210，那么以A 为系数矩阵的线性方程组A X ＝b 的雅
可比迭代矩阵为( A )
(A)??
??
?
?????04.02.01.002.01.02.00 (B) ?????
?????14.02.01.012.01.02.01 (C) ??
??
??????------04.02.01.002.01.02.00
(D) ????
??????021102120 例8、 高斯--塞尔德迭代法解线性方程组
的迭代格式中求
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿
例9、 若
则矩阵A 的谱半径
(A)= ＿＿＿
第五章
第六章
1． 矛盾方程组11 2.8
3.2
x x =??=?的最小二乘解为----。
2． 给出拟合三点(0,1),(1,0)A B ==和(1,1)C =的直线方程。 第七章
1．插值型求积公式的求积系数之和为＿1＿＿
已知1)(2-=x x f ，则差商=]3,2,1[f 。
3． 求积公式3
1
()2(2)f x dx f =?有几次的代数精确度？（1）
4． 插值型求积公式
()()n
b
i i a
i f x dx A f x =≈∑?
的代数精确度至少是----次。N
5． 已知n =4时牛顿－科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4(1)
4(0===
C C C 那么)
4(3C ＝( ) 90
3915245169071)D (15
2)
C (45
16)
B (90
7)
A (=---
6． 设求积公式∑?=≈n
k k k b
a
x f A x x f 0
)(d )(，若对 的多项式积分
公式精确成立，而至少有一个m +1次多项式不成立。则称该求积公式具有m 次代数精度.
7． 取m =4,即n =8，用复化抛物线求积公式计算积分 ?
+2
.10
2d )1l n (x x
计算过程保留4位小数. 解 n =8, h =15.08
02.1=-,f (x )=ln(1+x 2
)
计算列表
)](2)(4[3
d )1ln(6427531802
.102f f f f f f f f f h
x x ++++++++=+?
＝4225.0]987.023961.148920.0[3
15
.0=?+?+
第八章
例1用欧拉法求初值问题
000.9'12()10
y y x y x x ?
=-?+?
?==?
当h = 0.02时在区间[0, 0.10]上的数值解。
解 把y x y x f 219
.0),(+-
=代入欧拉法计算公式。就得
5
,,1,021018.01219
.01 =???
? ?
?+-=+-=+n y x
y x h
y y n n n
n
n n
具体计算结果如下表：
n x n y n y (x n ) εn = y (x n ) - y n 0 0 1.0000 1.0000 0 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021
例2．.取h =0.1, 用改进欧拉法预报－校正公式求初值问题
??
?=++='1
)0(12
y y x y 在x =0.1, 0.2处的近似值. 计算过程保留3位小数.
预报－校正公式为 ??
???+++++=++=+++=+=++++++)
2(2)],(),([2)
1(),(211211121k k k k k k k k k k k k k k k x k k y x y x h y y x f y x f h y y y x h y y x hf y y h =0.1,x 0=0，y 0=1，x 1=0.1，于是有
??
?
??=+++++==+++=227.1)2.11.0102(21.012
.1)101(1.012
2121y y h =0.1,x 1=0.1，y 1=1.227，x 2=0.2，于是有
??
?
??=+++++==+++=528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488
.1)227.11.01(1.0227.12
2222y y
所求为y (0.1)≈y 1=1.227 y (0.2)≈y 2=1.528
例3 导出用三阶泰勒级数法解方程
22'y x y +=
的计算公式 解: 因 22),('y x y x f y +==
)(22'22'22y x y x yy x f y ++=+==''
)3()(242)'(22222222y x y x xy y y y f y +?+++==''+=''=''' )
32)((8)53(44'62'4'22222222)4(y x y x y y x x y y y y y y y y y y y f y +++++='
'+''='
'+''+'''='''=
故
n n n n n f h f h hf y y ''+'+
+=+3216
1
21 而
1)
4(43)
(!
4+<<=n n n x x f h R ξξ
其中)(k n f 表示f (x, y )对x 的k 阶偏导数在x = x n 点上的值。 例4 用龙格――库塔法解初值问题 y’ = x 2 – y (0≤x ≤1) y (0) = 1
解 ： 取 h = 0.1， 由下面公式
()
??
???
???
??
???++=?
?? ??
++=?
?? ??
++==++++=+342312143211,2,212,21),()22(6hk y h x f k k h y h x f k k h y h x f k y x f k k k k k h y y n n n n n n n n n
n
???????+-+=+-+=+-+=-=)
1.0()1.0()05.0()05.0()
05.0()05.0(324
22
312
221k y x k k y x k k y x k y x k n n n n n n n n 把初始条件x 0 = 0，y 0 = 1，代入,得k 1 = -1，k 2 = -0.9475，k 3 = -0.9501，k 4 = 0.8950，
将这些k 值代，得
[]90516
.08950.0)9501.09475.0(2161
.011=---+-+
=y 重复上述步骤可算出y 2，y 3，…，y 10等。
例5．设有求解初值问题'00
(,)
()y f x y y x y ?=?=?的如下格式
11(,)n n n n n y ay by chf x y +-=++
如假设11(),()n n n n y y x y y x --==问常数,,a b c 为多少时使得该格式为二阶格式？