浙江大学城市学院微积分期末试题
浙江大学城市学院2004——2005学年第二学期期末试卷
课程名称：微积分B 考试形式： 闭 卷 考试时间：2小时
题号 一 二 三 四 五 六 总分
得分
评卷人
得分
一． 求解下列各题（每小题6分，共18分）
1． 设kjia2，kjib4，求bba)2(。
2． 求过点)2,0,1(且与平面012yx及平面0324zyx都平行的
直线方程。
3． 求直线33x22y1z与平面0622zyx的交点的坐标。
得分
二． 求解下列各题（每小题6分，共18分）
1． 设),(yxzz由方程333axyzz所确定（a是常数），求xz，yz。
2．设yxxyxfz222,，求xz，yz。
3．设sinyzxy，求dz。
得分
三．求解下列各题（每小题6分，共18分）
1．求二重积分Dxydxdy，其中D是由直线xy2，xy及0x所围成的平面区域。
2． 求二重积分Ddyx22，其中0,4),(22yyxyxD。
3．求三重积分xdv，其中是平面12zyx与三个坐标平面所围的空间区域。
得分
四．求解下列各题（每小题6分，共18分）
1．判定级数12)sin(nnnn的敛散性，并给出理由（若是收敛，要说明是条件收敛还是绝对收
敛）。
2．证明级数11ln)1(nnnn收敛。
3． 求幂级数11nnnx的收敛半径、收敛区间（包括端点）及和函数。
得分
五．求解下列各题（每小题6分，共12分）
1．计算第一类曲线积分ldly2，其中l是上半圆周222ayx，0y。
2．计算第二类曲线积分
OAydyxdxxy22，其中OA是抛物线2xy自点)0,0(至点(3,9)的有向弧。
得分
六． 求解下列各题（第1、2小题每小题5分，第3小题6分，共16分）
1．求解初值问题211,5.4xyyxxy
2．求方程02)1(2yxyx的通解。
3．设有一平面过三点)0,0,(a，)0,,0(b，),0,0(c，其中0,0,0cba。
（1） 写出该平面的方程式。
（2） 试求该平面与三个坐标平面所围成的四面体的体积。
（3） 设该平面过点)2,3,1(M，试求当cba,,为何值时，该平面与三个坐标平面
所围成的四面体的体积最小。
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浙江大学-2014学年秋冬学期-微积分i期末试卷
浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s txe sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：20cos 2lim .x xx→4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x 內可导，且()0.g x '≠（3）0()lim ()x x f x A g x →'='（或∞）。
浙江大学2013-2014学年秋冬学期-微积分I期末试卷
精品文档浙江大学2013 — 2014学年 秋冬 学期《微积分I 》课程期末考试试卷课程号： 061B0170 ，开课院系： 理学院 数学系 考试形式：闭卷，允许带 笔 入场考试日期： 年 月 日，考试时间： 120 分钟.第1~9，14题，每题均为6分；第10~13题，每题均为10分。
解题时写出必要的解答过程。
1. 设()y y x =是由方程2tan()x y x y +=-所确定，且(0)0y =，求(0)(0).y y '''：和2. 设函数()y y x =是由参数方程20202d cos d t s tx e sy s s-⎧=⎪⎨⎪=⎩⎰⎰所确定，求：22d .d t y x3. 求极限：0x →4. 求极限：101lim .xxx e x →⎛⎫-⎪⎝⎭5. 求极限：22011lim .sin x x x →⎛⎫- ⎪⎝⎭6. 求积分：21ln(1)d .x x x+∞+⎰7. 求积分：312221(2)(1)d .x x x -+-⎰8. 证明：当0x ≤<+∞时，arctan3ln(14)x x ≤+，当且仅当0x =时等号成立。
9．求幂级数220(1)4(21)(22)n nn n x n n +∞+=-++∑的收敛半径、收敛域，并计算其和函数。
10．设常数0a >，31()3f x ax x =-，试求()f x 在1[0]a，的最大值和最小值。
11．求曲线22y x =+与直线y x =所围区域绕直线2x =旋转一周的体积。
12．证明如下“”型的洛必达（L ‘Hosptial ）法则： 设（1）0lim ()lim ()0x x x x f x g x →→==；（2）()()f x g x 、在去心邻域0()U x o內可导，且()0.g x '≠ （3）0()lim()x x f x A g x →'='（或∞）。
大学期末数学试卷微积分
考试时间：120分钟满分：100分一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，在区间（0，+∞）上连续且可导的是（）。
A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = |x| \)C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)D. \( f(x) = e^x \)2. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 在点 \( x = 0 \) 处的导数是（）。
A. 0B. 1C. -1D. 33. 已知函数 \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，则 \( f'(2) \) 等于（）。
A. 2B. 8C. 12D. 164. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0}\frac{\tan x}{x} \) 等于（）。
A. 1B. 2C. 3D. 无穷大5. 设 \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \)，则 \( f'(x) \) 等于（）。
A. \( 2x + 2 \)B. \( 2x + 1 \)C. \( 2x - 2 \)D. \( 2x - 1 \)二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 _______。
2. 若 \( f'(x) = 2x + 1 \)，则 \( f(x) = \) _______。
3. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \) _______。
4. 函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \) 的二阶导数是 _______。
5. \( \int (x^2 + 2x + 1) \, dx = \) _______。
三、解答题（每题20分，共40分）1. 已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1 \)，求 \( f(x) \) 在区间 [1, 3] 上的最大值和最小值。
浙大微积分2试卷(2012-2013)
y z , ) 0 确定，其中 F 为可微函数, 且 Fz 0, 计算 x x
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《微积分 II》期末试卷(2012-2013 学年春学期)
8. 求
1 1
d x
2 x 2 | x|
( xy 1) sin ( x 2 y 2 )d y.
9. 设 r
x 2 y 2 z 2 0, u f (r ) 存在二阶连续导数, 求
o
0 1 1 2 2 dx y 2 dy 2 1 . 0 1 3 3
D3
D1
y x3
1 x
方法 2：
( y
D
2
( x y ) 2013 ) d xd y dx 3
1 x
1
1
2 ( y 2 ( x y ) 2013 ) dy . 3
4 x 0 0
2 u 2 u 2 u , 请用 x 2 y 2 z2
r , f (r ), f (r ), f (r ) 表示之.
10.设 z f ( x, y ) 在点 (1,2) 处存在连续的一阶偏导数，且 f (1,2) 2, f x(1,2) 3,
f y(1,2) 4, ( x) f ( x, f ( x,2 x)), 求
1D4
12. 解： V
y
D
1 2 x y 2 d xd y d x y 1 2 x y 2 d y
3 3 1 4 1 4 x (1 2 x y 2 ) 2 y [(1 x)3 (1 2 x) 2 ] d x y 0 d x 3 0 3 0 5 1 1 538 1 1 4 [ (1 x) 4 (1 2 x) 2 ] 0 (54 1) (35 1) . 12 15 12 15 15
浙江大学级微积分期终考试试卷
浙江大学级微积分（上）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、选择题：（每小题分，共分）在每题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确那项的代号填入空格中.设()()()()()f x x a x b x c x d=----，其中a，b，c，d互不相等，且'()()()()f k k a k b k c=---，则k的值等于（）.（）.a（）.b（）.c（）.d.曲线y=x→-∞时，它有斜渐进线（）.（）.1y x=+（）.1y x=-+（）.1y x=--（）.1y x=-.下面的四个论述中正确的是（）.（）.“函数()f x在[],a b上有界”是“()f x在[],a b上可积”的必要条件；（）.函数()f x在区间(),a b内可导，(),x a b∈，那末'()0f x=是()f x在x处取到极值的充分条件；（）.“函数()f x在点x处可导”对于“函数()f x在点x处可微”而言既非充分也非必要；（）.“函数()f x在区间E上连续”是“()f x在区间E上原函数存在”的充要条件..下面四个论述中正确的是（）.（）.若0nx≥(1,2,)n=，且{}n x单调递减，设lim nnx a→+∞=，则0a>；（）. 若0nx>(1,2,)n=，且limnnx→+∞极限存在，设limnnx a→+∞=，则0a>；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则0nx≥(1,2,)n=；（）. 若lim0nnx a→+∞=>，则存在正整数N，当n N>时，都有2nax>.二、填空题：（每空格分，共分）只填答案. 2lim (1)tgxx x π→-；2lim (1)tgxx x π→--..函数()f u 可导，(sin )y f x x =，则dy dx.. cos sin x xxe e dx e ⎰. . 50sin tdt π⎰；50cos tdt π⎰.三、求极限：（每小题分，共分）.数列{}n x通项21n x n =++++，求lim n n x →+∞..求300sin lim sin xx t dt t x x→-⎰.四、求导数：（每小题分，共分）. 2sin 1xx y x x =+，求dydx.. 2,sin ,x t y t ⎧=⎨=⎩求dy dx ，22d ydx ..函数()y y x =由sin x y y +=确定，求221,;x y dydxππ=-=22221,.x y d y dx ππ=-=五、求积分：（每小题分，共分） .求21(1)x dx x x ++⎰..求0sin cos x x dx π-⎰..求0⎰(0)a >..计算2cos x e xdx π+∞-⎰.六、（分）下面两题做一题，其中学过常微分方程的专业做第题，未学常微分方程的专业做第题..求解常微分方程：22(),(1) 1.x dy xy x dx y ⎧=-⎨=⎩.有一半径为M 的半球形水池注满了水，现要把水全部抽到距水池水面高M 的水箱内，问至少要做多少功？七、（分）在xoy 平面上将连结原点(0,0)O 与点(1,0)A 的线段OA （即区间[]0,1）作n 等分，分点(,0)k n记作k P ，对1,2,,1k n =-，过k P 作抛物线2y x =的切线，切点为k Q ..设k k P Q A ∆的面积为k S ，求k S ；.求极限111lim n k n k S n -→+∞=∑.八、证明题（分）设()f x 在(),-∞+∞上连续，且()0f x >，0()()xG x tf x t dt =-⎰.证明：对任意,(,)a b ∈-∞+∞，且a b ≠，必有()()'()()0G b G a G a b a --->.浙江大学级微积分（下）期终考试试卷系班级学号姓名考试教室一、填空题：（每小题分，共分）只填答案.设一平面经过原点及点()6,3,2-，且与平面428x y z-+=垂直，则此平面的方程是。
浙江大学城市学院2015-2016学年第一学期期末考试试卷高等数学
浙江大学城市学院2015-2016学年第一学期期末考试试卷《高等数学》一、填空或单项选择题（本题共13小题，每格2分，共30分）1、函数y =[)2,2-。
2、0tan3lim 3x x x→=。
3、函数()()3ln 2f x x x =+在1x =处的导数()513f '=。
4、函数arctan y x x =的微分2arctan 1x dy x dx x ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭。
5、函数12y x =+的n 阶导数为()()()11!2n n n x -+-+。
6、2323x C =+。
7、由定积分的几何意义可知，积分⎰的值为4π。
8、220sin xdx π=⎰4π。
9、121x x dx -=⎰12。
11、方程1111011x x x=的解为1x =及2x =-。
12、设1214A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则AB =810⎛⎫ ⎪⎝⎭。
13、一个口袋中装有5个黑球，3个白球，从中无放回地任取2个球，则取得的2个球恰好颜色不同的概率为1153281528C C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭；取得的第二个球为白球的概率是38。
14、某企业有两个报警系统A 和B ，有效的概率分别为0.8和0.85，A 和B 同时有效的概率为0.7，则该企业报警系统有效的概率为 0.95 ；在A 失效的情况下B 也失效的概率为 0.25 。
二、计算下列各题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）15、计算（1）22lim 1x x x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭22lim 1xx x →+∞⎛⎫- ⎪⎝⎭； 解()()()2424422422lim 1lim 122lim 1lim 1x x x x x x x x x x e x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭→+∞→+∞⋅⎛⎫⎛⎫-⋅-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-→+∞→+∞⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ （直接写出4e -也给3分；能写出e 多少次方的给1分）（2）01lim sin 3xx e x→- 解：0011lim lim sin33cos33x x x x e e x x →→--==-（3分） （错一个符号的扣1分；是用洛必达法则解的，答案不是13或13-的可得1分） 16、讨论函数2xx y e =的单调性和极值。
浙江大学2020-2021学年秋冬学期期末模拟考试《微积分》试卷及答案解析
(
)
lim
x→0
f (x) ex2 sin x
+ x
x2
=1
1
求 f (x) 在 x = 0 处的一阶带皮亚诺型余项的泰勒公式。（8’）
五、已知对任意自然数
n,
有
un
>
0
且
lim
n→∞
1
npun − cos
π n
=
1
判断
∑ ∞ un
n=1
的
敛散性。（8’）
六、设函数 f (x) 在 [0, π] 上连续, 在 (0, π) 内可导, 且
论。（7’）
2
答题卡： 3
答题卡： 4
答题卡： 5
2020-2021 学年秋冬学期微积分期末模拟考试答案
命题、组织：丹青学业指导中心
一、 (1) 注意到 因此 利用 立即得到
(2) 利用
1 ≤ 1 · 3 · 5 · · · (2n − 1) ≤ 1 2n 2 · 4 · 6 · · · (2n)
∫π
∫π
f (x) cos x dx = f (x) sin x dx = 0
0
0
证明: 存在两个不同的 ξ1, ξ2 ∈ 0, π) , 使得 f (ξ1) = f (ξ2) = 0（8’）
七、求幂级数
∑ ∞ (−1)n
n
+
2 xn
的收敛域及和函数。（8’）
n+1
n=0
八、设 f (x) 在 [0,1] 上有二阶导数. 且 f (1) = 0. 方程 f (x) = 0 在 (0,1) 内
·
·
·
cos
1 2n
近十份大学微积分下期末试题汇总(含答案)
浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷一 、填空题（每小题5分.共25分.把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a =,3b =,3a b ⋅=,则a b += . 3.设(,)f u v 可微.(,)yxz f x y =,则dz = .4.设()f x 在[0.1]上连续.且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y =≤≤≤≤,则()()()()Daf x bf y d f x f y σ++⎰⎰= .5.设(,)f x y 为连续函数.交换二次积分次序2220(,)x x dx f x y dy -=⎰⎰.二 、选择题（每小题5分.共20分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的.把所选字母填入题后的括号内）6.直线l 1:155121x y z --+==-与直线l 2:623x y y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为 （A ）2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6π. [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数.极坐标系中的二次积分cos 2d (cos ,sin )d f r r r r πθθθθ⎰⎰可以写成直角坐标中的二次积分为（A）100(,)dy f x y dx ⎰⎰ （B）100(,)dy f x y dx ⎰⎰（C）10(,)dx f x y dy ⎰⎰（D）10(,)dx f x y dy ⎰⎰[ ]8.设1, 02()122, 12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-≤⎪⎩ ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数.则5()2S -=（A ）12. （B ）12-. （C ）34. （D ）34-. [ ] ＜9.设,)(0,0),(,)0, (,)(0,0),x y f x y x y ≠==⎩则(,)f x y 在点O (0,0)处（A ）偏导数存在.函数不连续 （B ）偏导数不存在.函数连续（C ）偏导数存在.函数连续 （D ）偏导数不存在.函数不连续 [ ] 三、解答题10.（本题满分10分）求曲线L ：2222222393x y z z x y⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在其上点M （1.－1.2）处的切线方程与法平面方程.11.（本题满分10分）设F 可微.z 是由F (x y -,,)0y z z x --=确定的可微函数.并设23F F ''≠.求z zx y∂∂+∂∂. 12.（本题满分10分）设D 是由曲线3y x =与直线y x =围成的两块有界闭区域的并集.求2[e sin()]d xDx y σ++⎰⎰. 13.（本题满分10分）求空间曲线L ：222920335x y z x y z ⎧+-=⎨++=⎩上的点到xOy 平面的距离最大值与最小值.14.（本题满分10分）设平面区域D ={}(,)01,01x y x y ≤≤≤≤.计算二重积分22 1 d Dx y σ+-⎰⎰.15.（本题满分5分）设当y ＞0时(,)u x y 可微.且已知222222(,)()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y=++-++++. 求(,)u x y .浙江大学2007－2008学年春季学期《微积分II 》课程期末考试试卷答案一、填空题（每小题5分.共25分） 1．231421=-++=d .2．22()()2496a b a b a b a b a b +=+⋅+=++⋅=++=3．()()dy xy f x x f dx y y f yx f dz x y x y 121211ln ln --'+⋅'+'+⋅'=4．()()()()()()()()⎰⎰⎰⎰++=++=D Dd x f y f x bf y af d y f x f y bf x af I σσ. ()()⎰⎰+=+=+=∴Db a I b a d b a I 21,2σ.5．()()2220111,,x x dx f x y dy dy f x y dx --=⎰⎰⎰⎰或 ()0111,dy f x y dx -⎰⎰或 ()1101,dy f x y dx -⎰⎰.二、选择题（每小题5分.共20分） 6．选（B ）.l 1的方向向量{}1,2,1-.l 2的方向向量{}2,1,1--.{}{}3,2163662,1,11,2,1cos πθθ===--⋅-=.7．选（D ）. 积分区域(){}0,,22≥≤+=y x y x y x D .化成直角坐标后故知选（D ）.8．选（C ）. 511111113()()()((0)(0))(1)222222224S S S f f -=-==-++=+=.9．选（A ）. ()()0000,0lim0,0,00x y x f f x→-''===.偏导数存在. 取kx y =.()4411lim,lim kk kk kx x f x x +=+=→→随k 而异.所以不连续．三、解答题（10～14每题10分.15题5分.共55分） 10．由L .视x 为自变量.有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=++.0226,0264dx dz z dx dy y x dx dz z dx dy y x 以()()2,1,1,,-=z y x 代入并解出dxdzdx dy ,.得 87,45==dx dz dx dy . 所以切线方程为87245111-=+=-z y x .法平面方程为()()()57112048x y z -+++-=.即0127108=-++z y x .11．133212232332,,1y x z z F F F F F F F F z z z z x F F F y F F F x y F F ''''''''--+∂∂∂∂=-=-=-=-+==''''''''∂-+∂-+∂∂-.12．D 在第一象限中的一块记为D 1.D 在第三象限中的一块记为D 2.()()()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++++=++2122122sin sin sin D D DD x D x x d y x d y x d e d e d y x eσσσσσ.32222312101xx x x x xxxD D e d e d dx e dy dx e dy σσ-+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ()()()()222210103333011x x x x x x e dx xx e dx x x e dx xx e dx -=-+-=-+-⎰⎰⎰⎰()2111130021()112x u u u u x x e dx e du ue du e ue e e e =-=-=---=--=-⎰⎰⎰()()()()3312101sin sin sin sin x x xxD D x y d x y d dx x y dy dx x y dy σσ-+++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()()()103301cos cos cos cos x x x x dx x x x x dx -⎡⎤⎡⎤=-+-+-+-+⎣⎦⎣⎦⎰⎰ ()()()()13301cos cos cos cos 0x x x x dx x x x x dx ⎡⎤⎡⎤=-+-+++-+=⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 所以.原式2-=e .13．L 上的点到平面xoy 的距离为z .它的最大值点.最小值点与2z 的一致.用拉格朗日乘数法.设()()()53329,,,,2222-+++-++=z y x zy x z z y x F μλμλ.求偏导数.并令其为零有：20F x x λμ∂=+=∂.1830F y x λμ∂=+=∂. 2430F z z z λμ∂=-+=∂.22920Fx y z x∂=+-=∂ . 3350Fx y z μ∂=++-=∂ ． 解之得两组解()()1215,,(1,,1);,,(5,,5)33x y z x y z ==--. 所以当31,1==y x 时.1=z 最小；当35,5-=-=y x 时.5=z 最大.14．将分成如图的两块.41的圆记为D 1.另一块记为D 2()⎰⎰⎰⎰--=-+DD d y x d y x 1222211σσ+()⎰⎰-+2122D d y x σ ()()()σσσd y x d y x d y xD DD ⎰⎰⎰⎰⎰⎰-+--++--=11111222222()()()()1222211122220211211211()43343D Dx y d x y d d r rdr dy xy dx πσσθππ=--++-=-++-=+-+=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰15．由()222222,()(2)y x du x y xy dx x y y dy x y x y =++-++++.有222xy y x y x u ++=∂∂.从而知()()y y x y x y x u ϕ++=2221arctan,.又由y y x yx x y u 2222+++-=∂∂.推知 ()22222221()xx y x y y x y y x x y y ϕ-'++=-++++. ()()22,y y y y C ϕϕ'==+所以.()2221,arctan2x u x y x y y C y =+++. 注：若用凑的办法亦可：222222()(2)y x xy dx x y y dy x y x y++-++++()()22222211221()ydx xdy ydx xdy xy ydx xdy ydy d xy dy x x y y y--=+++=++++ ()221(arctan)2x d xy y y =++ 所以.()C y y x y x y x u +++=22221arctan,． ()()u f u F ='．浙江大学2006–2007学年春季学期 《 微积分Ⅱ 》课程期末考试试卷开课学院： 理学院 考试形式：闭卷 考试时间： 年 月 日 所需时间：120 分钟 考生姓名： _____学号： 专业： ________一、 填空题（每小题5分.满分30分） 1． 直线63321-==+z y x 在平面0522=--+z y x 上的投影直线方程为.2． 数量场2),,(zye z y x g x +=在)0,3,1(P 点的梯度为 .=u函数)ln(),,(22z y x z y x f ++=在P 点沿u的方向导数为 .3． 设ϕϕ,),2,3(),,(f y x x u u x f z+== 具有二阶连续偏导数.则=∂∂∂yx z 2.4． 设}1,11|),{(3≤≤≤≤-=y x x y x D.则=+⎰⎰+Dy xy x e y x x d d )(222.5． 已知曲面1=z y x 与椭球面193222=++z y x 在第一卦限内相切.则切点坐标为 .公共切平面方程为.6． 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤<≤=121,210,)(2x x x x x f .∑∞=+=10cos 2)(n n x n a a x S π.其中,2,1,0,d cos )(210==⎰n x x n x f a n π.则.)27(=S二、 （满分10分）求直线 ⎩⎨⎧=-++=-+-022012z y x z y x 绕x 轴旋转一周所得的旋转曲面方程.1002 22dd x yex y.三、（满分10分）计算⎰⎰-四、 (满分15分)已知),(y x z z =由方程013=++zxe z y 确定.试求1022==∂∂y x x z.五、 （满分15分）设平面),,(,1:z y x d y x =+π为曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=++014222z y x z y x 上的点),,(z y x 到平面π的距离.求),,(z y x d 的最大.最小值 .六、 (满分15分)如图是一块密度为ρ（常数）的薄板的平面图形（在一个半径为R 的半圆直 径上拼上一个矩形.矩形的另一边为h ）,已知平面图形的形心位于原点(0, 0). 试求：1. 长度 h ；2.薄板绕x 轴旋转的转动惯量.七、 (满分5分) 求证:当0,1≥≥s t 时.成立不等式 s e t t t ts +-≤ln .参考解答：一．1．⎩⎨⎧=--+=+-0522043z y x z y x ； 2. 21},0,,3{e e ；3. )3(2))(3(2222122222122212ϕϕϕϕϕϕ''+''⋅'+'+'⋅'⋅''+'''f f f ； 4.;32 5. ;03313,3,1,31=-++⎪⎭⎫⎝⎛z y x 6. 83.二．直线：t z t y t x -=-==1,1,曲面上点→),,(z y x P 直线上点00000001,1),,,(x z x y z y x -=-=22222020220)1()1(,,x x z y z y z y x x -+-=+⇒+=+=则旋转曲面方程：222)1(2x z y -=+三．⎰⎰10222d d xy ex y -⎰⎰⎰-==--212212220142)d 41(d d y y e x e y 2y yy2120202020221d d d d 212212212212212------=-+=+=⎰⎰⎰⎰e y e ey y e e y y e yy y y y四．,1)1,0(-=z ,032=∂∂++∂∂⋅x z xe e x z z y z z ex z y x 3110-=∂∂∴== ,02632222222=∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+∂∂⋅x z xe x z xe x z e x z z y x z z y z z z 2102294ex zy x =∂∂∴== 五．|1|21),,(-+=y x z y x d )14()()1(2222-++++++-+=z y x z y x y x L μλ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-++='=±===++='==+='-==⇒≠=++-+='=⇒==++-+='014,01302,002)1(20,002)1(22223231221z y x L z y x z y x L x z L xz x y y y x L x y x L z y xμλμλμμλλμμλ，无解最小距离：2236),,(323131-=-d .最大距离：2236),,(323131+=--d六．形心：01,0=⇒==⎰⎰⎰⎰DDxdxdy xdxdyx y σ即0d cos d d d 220=⋅+⎰⎰⎰⎰---ππθθRhRRr r r y x xR h R h R 320312)21(232=⇒=⋅+-⋅ ⎰⎰=Dxdxdy y I 2302202)832(d θsin d d d 22R R h r r r y y x RhRR πθππ+=⋅+=⎰⎰⎰⎰--- 七．设0)0,1(,ln ),(=-+-=F ts e t t t s t F s.ln ,0),(t s e t t e s t F s s s ==⇒=-=' 且对固定的1>t . 当,0),(,ln 0<'<<s t F t s s 当,0),(,ln >'>s t F t ss所以.t s ln =取得最小值且为0.则 0),(≤s t F .即s e t tt ts +-≤ln1、已知22(,)yf x y x y x +=-,则=),(y x f _____________.2、已知,则=⎰∞+--dx e x x21___________.π=⎰∞+∞--dx e x 23、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________.5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________. 6 知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( c ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( b ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义(D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若2211x y I +≤=⎰⎰,22212x y I ≤+≤=⎰⎰,22324x y I ≤+≤=⎰⎰,则下列关系式成立的是( a).(A)123I I I >> (B)213I I I >> (C)123I I I << (D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( d ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛.则∑∞=-1)1(n nna ( d ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 一、填空题(每小题3分,共15分)1、2(1)1x y y -+. 2、、)32,31(-. 4、1. 5、"6'0y y y -+=. 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x =的函数为23,0x y y =>。
大学微积分期末考核题
大学微积分期末考核题在大学的数学学习中，微积分无疑是一门极其重要的课程。
而期末考试中的微积分试题，则是对我们整个学期学习成果的一次全面检验。
首先，让我们来看看常见的题型。
导数与微分的计算通常是必考的内容。
比如，给定一个复杂的函数，要求我们求出其导数或者微分。
这就需要我们熟练掌握各种求导法则，包括基本函数的求导公式、四则运算的求导法则、复合函数的求导法则等等。
例如，对于函数$f(x) ＝＼sin(2x^2 ＋ 3x)＄，我们需要运用复合函数的求导法则，先将其看作是由$u ＝ 2x^2 ＋ 3x$和$y ＝＼sin u$复合而成，然后分别求出$u$对$x$的导数和$y$对$u$的导数，最后根据复合函数求导公式得到$f'（x)＄。
积分的计算也是重点之一。
定积分和不定积分的求解，既考查了我们对基本积分公式的记忆，又考验了我们的积分技巧。
像换元积分法、分部积分法等，都需要我们能够灵活运用。
比如说，计算$＼int x\cos x dx$，这时候就可以使用分部积分法，令$u ＝ x$，＄dv ＝＼cos x dx$，然后根据分部积分公式进行计算。
在考题中，还常常会有关于中值定理的问题。
罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这些定理的应用往往需要我们对函数的性质有深入的理解。
以拉格朗日中值定理为例，给定一个函数$f(x)＄在区间$a,b$上连续，在$（a,b)＄内可导，那么就存在一点$＼xi ＼in （a,b)＄，使得$f(b) f(a) ＝ f'（＼xi)（b a)＄。
在实际的题目中，可能会给出函数的一些条件，让我们证明存在某个点满足中值定理，或者通过中值定理来求解某个未知数。
另外，函数的极值和最值问题也是常见的考点。
我们需要通过求导数来找到函数的驻点和不可导点，然后判断这些点是否为极值点，再结合函数的定义域求出最值。
比如，对于函数$f(x) ＝ x^3 3x^2 ＋ 2$，我们先求出$f'（x) ＝ 3x^2 6x$，令其等于零，得到驻点$x ＝ 0$和$x ＝ 2$。
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003至2004学年第二学期微积分期末考试试题
浙江大学2003－2004学年第二学期期末考试《微积分》课程试卷开课学院：理学院任课教师：__________姓名：__________专业：__________学号：__________考试时间：120分钟题序一二三四五六总分评卷人
得分
一、填空题（每个空格5分，满分30分）
（1）点到直线的距离＝____________.
（2）设，则＝____________.
（3）幂级数的收敛范围是____________.
（4）设一矢量场，它在某点的矢量大小与该点到原点的距离平方成正
比（比例常数为），方向指向原点，则=____________.
（5）设，且是的傅里叶级数，则系数＝____________，＝____________.
二、（10分）求通过直线且与抛物面在的切平面垂直的平面方程。