2020届四川省巴中市高三第一次诊断性数学(理)试题(解析版)
四川省成都市2020届高三数学第一次诊断性检测试题理含解析
四川省成都市2020届高三数学第一次诊断性检测试题 理（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.若复数1z 与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称，则1z =( ) A. 3i -- B. 3i -+ C. 3i + D. 3i -【答案】B 【解析】 【分析】由题意得复数z 1与23z i =--的实部相等，虚部互为相反数，则z 1可求．【详解】∵复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）在复平面内对应的点关于实轴对称， ∴复数z 1与23z i =--（i 为虚数单位）的实部相等，虚部互为相反数，则z 1＝3i -+． 故选：B ．【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，若{}1,0,1,2A B ⋃=-，则实数m 的值为( ) A. 1-或0 B. 0或1 C. 1-或2 D. 1或2【答案】D 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可得到答案. 【详解】集合{}1,0,A m =-，{}1,2B =，且{}1,0,1,2A B ⋃=-，所以1m =或2m =.故选：D【点睛】本题主要考查集合并集的基本运算，属于基础题．3.若sin )θπθ=-，则tan 2θ=( )A. C.【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得tan θ，再利用倍角公式求得tan 2θ的值． 【详解】sin 5cos(2)θπθ=-，∴sin 5cos θθ=，得tan 5θ=，222tan 255tan 21tan 15θθθ∴===---. 故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，倍角公式的应用，属于基础题． 4.某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类"的问卷测试，测试结果发现这100名同学的得分都在[50，100]内，按得分分成5组：[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学的得分的中位数为( )A. 72.5B. 75C. 77.5D. 80【答案】A 【解析】 【分析】根据频率分布直方图求得中位数即可.【详解】在频率分步直方图中，小正方形的面积表示这组数据的频率，∴中位数为：0.50.01100.0310701072.50.0410-⨯-⨯+⨯=⨯.故选：A【点评】本题考查频率分布直方图的相关知识，直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所有各个矩形面积之和为1，也考查了中位数，属于基础题．5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且533a a =，则95S S =( ) A. 95 B.59 C. 53D. 275【答案】D 【解析】 【分析】将S 9，S 5转化为用a 5，a 3表达的算式即可得到结论.【详解】由等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，∴95S S ＝19159252a a a a +⨯+⨯＝5395a a ，且533a a =，∴95S S ＝95×3＝275.故选：D ．【点睛】本题考查了等差数列的前n 项和，等差中项的性质，考查计算能力，属于基础题． 6.已知,αβ是空间中两个不同的平面，,m n 是空间中两条不同的直线，则下列说法正确的是( )A. 若//m α，//n β，且//αβ，则//m nB. 若//m α，//n β，且αβ⊥，则//m nC. 若m α⊥，//n β，且//αβ，则m n ⊥D. 若m α⊥，//n β，且αβ⊥，则m n ⊥ 【答案】C 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系逐一核对四个选项得答案． 【详解】由m ∥α，n ∥β，且α∥β，得m ∥n 或m 与n 异面，故A 错误； 由m ∥α，n ∥β，且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故B 错误； 由m ⊥α，α∥β，得m ⊥β，又n ∥β，则m ⊥n ，故C 正确；由m ⊥α，n ∥β且α⊥β，得m ∥n 或m 与n 相交或m 与n 异面，故D 错误． 故选：C ．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中直线与直线、直线与平面及平面与平面位置关系的判定与应用，考查空间想象能力与思维能力，属于中档题． 7.261(2)()x x x+-的展开式的常数项为( ) A. 25 B. 25-C. 5D. 5-【答案】B 【解析】 【分析】利用二项式定理的通项公式计算即可得出．【详解】61()x x -的展开式的通项公式为：T r +1＝r 6C （x ）6﹣r r1x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=r 6C （x ）6﹣r()-r x -=r 6C ()1r - ()6-2rx ．令6﹣2r ＝﹣2，或6﹣2r ＝0，分别解得r ＝4，或r ＝3．所以261(2)()x x x+-的展开式的常数项为()44611C ⨯-+2×()33611C ⨯-＝154025.-=-故选：B【点睛】本题考查了二项式定理的应用、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.将函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则函数()f x 的解析式为( ) A. ()sin(2)6f x x π=+ B. ()sin(2)3f x x π=-C. ()sin(8)6f x x π=+D. ()sin(8)3f x x π=-【答案】A 【解析】 【分析】利用函数的图象平移变换和伸缩变换的应用求出结果即可.【详解】函数sin(4)6y x π=-图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到sin(2)6y x π=-的图象，再把所得图象向左平移6π个单位长度，得到函数f （x ）＝sin 2()sin(2)666y x x πππ⎡⎤=+-=+⎢⎥⎣⎦的图象.故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象的平移和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．9.已知抛物线24y x =的焦点为F ，,M N 是抛物线上两个不同的点若5MF NF +=，则线段MN 的中点到y 轴的距离为( ) A. 3B.32C. 5D.52【答案】B 【解析】 【分析】抛物线到焦点的距离转化为到准线的距离，可求出横坐标之和，进而求出中点的横坐标，求出结果即可.【详解】由抛物线方程24y x =，得其准线方程为：1x =-，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由抛物线的性质得，1211=5MF NF x x +=+++，MN ∴中点的横坐标为32， 线段MN 的中点到y 轴的距离为：32. 故选：B ．【点睛】本题考查了抛物线定义的应用，属于基础题． 10.已知122a =，133b =，3ln 2c =，则( ) A. a b c >> B. a c b >> C. b a c >> D. b c a >>【答案】C【解析】 【分析】利用根式的运算性质、幂函数的单调性可得a ，b 的大小关系，利用对数函数的单调性即可得出c ＜1．【详解】∵122a ==＝，且133b ==＝，∴1a b <<，3lnln 12e <=．∴b a c >>． 故选：C ．【点睛】本题考查了根式的运算性质、幂函数的单调性、对数函数的单调性，属于基础题．11.已知定义在R 上的数()f x 满足112n n n b b -+-=，当2x ≤时()(1)1xf x x e =--.若关于x的方程()210f x kx k e -+-+=有三个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( ) A. (2,0)(2,)-+∞ B. (2,0)(0,2)-C. (,0)(,)e e -⋃+∞D. (,0)(0,)e e -⋃【答案】D 【解析】 【分析】根据f （2﹣x ）＝f （2+x ）可知函数f （x ）关于x ＝2对称，利用当2x ≤时()(1)1xf x x e =--，画出函数y ＝f （x ）的大致图象．由题意转化为y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1与f （x ）有三个交点，直线恒过定点（2，e ﹣1），再根据数形结合法可得k 的取值范围． 【详解】由题意，当x ≤2时，f （x ）＝（x ﹣1）e x ﹣1．f ′（x ）＝xe x ．①令f ′（x ）＝0，解得x ＝0；②令f ′（x ）＜0，解得x ＜0；③令f ′（x ）＞0，解得0＜x ≤2．∴f （x ）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，2]上单调递增，在x ＝0处取得极小值f （0）＝﹣2．且f （1）＝﹣1；x →﹣∞，f （x ）→0．又∵函数f （x ）在R 上满足f （2﹣x ）＝f （2+x ），∴函数f （x ）的图象关于x ＝2对称． ∴函数y ＝f （x ）的大致图象如图所示：关于x 的方程f （x ）﹣kx +2k ﹣e +1＝0可转化为f （x ）＝k （x ﹣2）+e ﹣1．而一次函数y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1很明显是恒过定点（2，e ﹣1）．结合图象，当k ＝0时，有两个交点，不符合题意，当k ＝e 时，有两个交点，其中一个是（1，﹣1）．此时y ＝f （x ）与y ＝k （x ﹣2）+e ﹣1正好相切．∴当0＜k ＜e 时，有三个交点．同理可得当﹣e ＜k ＜0时，也有三个交点． 实数k 的取值范围为：（﹣e ，0）∪（0，e ）． 故选：D ．【点睛】本题主要考查数形结合法的应用，利用导数分析函数的单调性并画出函数图象，再根据直线过定点而斜率变动分析出斜率的取值范围，属于中档题．12.如图，在边长为2的正方形123APP P 中，线段BC 的端点,B C 分别在边12PP 、23P P 上滑动，且22P B P C x ==，现将1APB ∆，3AP C ∆分别沿AB ，AC 折起使点13,P P 重合，重合后记为点P ，得到三被锥P ABC -.现有以下结论：①AP ⊥平面PBC ；②当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ABC -的外接球的表面积为6π； ③x 的取值范围为(0,42)-；④三棱锥P ABC -体积的最大值为13. 则正确的结论的个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得,折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ，由线面垂直的判断定理得①正确；三棱锥P ﹣ABC 的外接球的直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1，得外接球的半径R＝2P ﹣ABC 的外接球的体积，故②正确；由题意得(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得(0,4-，故③正确；由等体积转化P ABC A PBC V V --=计算即可，故④错误.【详解】由题意得，折叠成的三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱满足PA ⊥PB 、PA ⊥PC ， 在①中，由PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，且PB PC P =，所以AP ⊥平面PBC 成立，故①正确； 在②中，当,B C 分别为12PP 、23P P 的中点时，三棱锥P ﹣ABC 的三条侧棱两两垂直，三棱锥P ﹣ABC 的外接球直径等于以PA 、PB 、PC 为长、宽、高的长方体的对角线长，结合AP ＝2、BP ＝CP ＝1x =，得外接球的半径R ＝22=，所以外接球的表面积为224462S R πππ⎛==⨯= ⎝⎭，故②正确；在③中，正方形123APP P 的边长为2，所以(0,2)x ∈，BC =，312PC PB PB PC x ====-，在CPB ∆中，由边长关系得2x -+2x ->，解得(0,4x ∈-，故③正确； 在④中，正方形123APP P 的边长为2，且22PB PC x ==，则2PB PC x ==-， 所以()()222111sin 223263P ABCA PBCx VV CP BP CPB AP x ---==⨯⨯⨯∠⨯≤⨯-⨯=在(0,422)-上递减，无最大值，故④错误.故选：C【点睛】本题将正方形折叠成三棱锥，求三棱锥的外接球的表面积．着重考查了长方体的对角线长公式、等体积转化求三棱锥的体积最值等知识，属于中档题． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知实数,x y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为_______.【答案】6 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【详解】作出实数x ，y 满足约束条件402200x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩对应的平面区域如图：（阴影部分）由2z x y =+得y ＝﹣12x +12z ，平移直线y ＝﹣12x +12z ， 由图象可知当直线y ＝﹣12x +12z 经过点A 时，直线y ＝﹣12x +12z 的截距最大，此时z 最大．由40220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得A （2，2），代入目标函数z ＝x +2y 得z ＝2×2+2＝6.故答案为：6．【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法，属于基础题．14.设正项等比数列{}n a 满足481a =，2336a a +=，则n a =_______. 【答案】3n 【解析】 【分析】将已知条件转化为基本量a 1，q 的方程组，解方程组得到a 1，q ，进而可以得到a n ． 【详解】在正项等比数列{}n a 中，481a =，2336a a +=，得312118136a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得133a q =⎧⎨=⎩，∴a n ＝11n a q -⋅＝3•3n ﹣1＝3n . 故答案为：3n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，主要考查计算能力，属于基础题．15.已知平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，则向量a 与b 的夹角的大小为_______. 【答案】6π【解析】 【分析】利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，求出向量a 与b 的夹角即可． 【详解】∵平面向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且()b a b ⊥-，∴2()0b a b b a b ⋅-=⋅-=，∴2b a b ⋅=．设向量a 与b 的夹角的大小为θ，则，求得cosθ＝2，∵[]0,θπ∈ ，故θ＝6π. 故答案为：6π． 【点睛】本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积的定义，属于基础题．16.已知直线y kx =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>相交于不同的两点,A B ，F 为双曲线C 的左焦点，且满足||3||AF BF =，||OA b =（O 为坐标原点），则双曲线C 的离心率为_______.【答案】3 【解析】 【分析】取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，运用双曲线的定义和平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，以及离心率公式可得所求值． 【详解】设|BF |＝m ，则|||3||3AF BF m ==，取双曲线的右焦点'F ，连接A 'F ，B 'F ，可得四边形A 'F BF 为平行四边形，可得|A 'F |＝|BF |＝m ，设A 在第一象限，可得3m ﹣m ＝2a ，即m ＝a ，由平行四边形的对角线的平方和等于四条边的平方和，可得（2b ）2+（2c ）2＝2（a 2+9a 2），化为c 2＝3a 2，则e ＝ca＝3． 故答案为：3．【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查平行四边形的性质，以及化简运算能力，属于中档题．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且22223b c a +-=. （1）求sin A 的值；（2）若ABC ∆223sin B C =，求ABC ∆的周长. 【答案】（1）13；（2）2632【解析】【分析】（1）由已知条件结合余弦定理可求cos A 的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin A 的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc b ＝3c ，解得b ，c 的值，根据余弦定理可求a 的值，即可求解三角形的周长．【详解】（1）∵222b c a +-=，∴由余弦定理可得2bc cos A ＝3bc ，∴cos A ＝3，∴在△ABC 中，sin A ＝13．（2）∵△ABC ，即12bc sin A ＝16bc ，∴bc ＝，sin B ＝3sin C ，b ＝3c ，∴b ＝，c ＝2，则a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝6，a ∴=，所以周长为2abc ++=+.【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G 手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G 手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G 手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.（1）完成下列22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求X 的分布列及数学期望.附22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++【答案】（1）表见解析，没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）分布列见解析，()9 10E X=【解析】【分析】（1）根据题意，列出列联表，计算K2，查表判断即可；（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，分布求出对应概率，列出分布列，求期望即可．【详解】（1）由题意得，2×2列联表如下：22100(20204020)25= 2.778406040609K⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 3.841<，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；（2）由题意得，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3，373107(0)24C P X C ===；123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 333101(3)120C P X C ===.所以X 的分布列为X 0 1 2 3P724 2140 740 112021719()123.404012010E X ∴=⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题考查了独立性检验，考查了超几何分布，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题．19.如图，在四棱锥P ABCD - 中，AP ⊥平面PBC ，底面ABCD 为菱形，且60ABC ︒∠=，E 为BC 的中点.（1）证明：BC ⊥平面PAE ；（2）若2AB =，1PA =，求平面ABP 与平面CDP 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）根据菱形基本性质得BC⊥AE，再由线面垂直得BC⊥AP，故BC⊥平面PAE；（2）以P为坐标原点，,,PE PQ PA的方向分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面BAP与平面CDP的法向量计算即可.【详解】（1）连接AC，因为底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，所以△ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以BC⊥AE，又因为AP⊥平面PBC，BC⊂平面PBC，所以BC⊥AP，因为AP∩AE＝A，AP，AE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE；（2）因为AP⊥平面PBC，PB⊂平面PBC，所以AP⊥PB，又因为AB＝2，PA＝1，所以PB＝3，由（1）得BC⊥PE，又因为E为BC中点，所以PB＝PC＝3，EC＝1，所以PE＝2，如图，过点P作BC的平行线PQ，则PQ，PE，PA两两互相垂直，以P为坐标原点，,,PE PQ PA的方向分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，0），A（0，0，1），B（2，﹣1，0），C（2，1，0），D（0，2，1），设平面BAP的一个法向量m＝（x，y，z），又PA＝（0，0，1），PB＝（2，﹣1，0），由m PAm PB⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2x﹣y＝0，z＝0，令x＝1，则m＝（1，2，0），设平面CDP的一个法向量n＝（a，b，c），又PC＝（2，1，0），PD＝（0，2，1），由n PCn PD⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2a+b＝0，2y+z＝0，令a＝1，则n＝（1，﹣2，22），所以33cos,311m n==-⋅，即平面ABP与平面CDP所成锐二面角的余弦值为3333．【点睛】本题考查空间平面二面角问题，涉及证明线面垂直等知识点，建系是解决该类问题的常用方法，属于中档题． 20.已知函数()(1)ln af x a x x x=-++，.a R ∈ （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a <-时，证明：(1,)x ∀∈+∞，2().f x a a >-- 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）求出导数，讨论a 的取值范围，求出单调区间；（2）由（1）得函数函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，根据题意转化为2(1)ln()10a a a +--->在1a <-恒成立即可.【详解】（1）22221(1)(1)()()1a a x a x a x x a f x x x x x'-+---+=+-==,因为0,x a R >∈， 当0a ≥时，0x a +>，函数()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当10a -<<时，即01a <-<，函数()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当1a =-时，22(1)()0x f x x'-=，函数()f x 在(0,)+∞内单调递增； 当1a <-时，即1a ->，函数()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增；综上：当0a ≥时，()f x 在（0，1）内单调递减，在(1,)+∞内单调递增；当10a -<<时，()f x 在(0,)a -内单调递增，在(,1)a -内单调递减，在(1,)+∞内单调递增； 当1a =-时，()f x 在(0,)+∞内单调递增；当1a <-时，()f x 在（0，1）内单调递增，在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增. （2）当1a <-时，由（1）可得函数()f x 在(1,)a -内单调递减，在(,)a -+∞内单调递增，∴函数()f x 在(1,)+∞内的最小值为()(1)ln()1f a a a a -=----，要证：不等式2().f x a a >--成立， 即证：2(1)ln()1a a a a a --<----，即证：()2(1)ln()(1)1l 01n a a a a a a ⎡⎤+--=-++->⎣⎦-，1a <-，即证：()1ln 0a a ++-<， 令1(1)()ln 1(1),()10x h x x x x h x x x'--=-+≥=-=≤， 则函数()h x 在[1,)+∞内单调递减，()(1)0h x h ≤=，因为1,1a a <-∴->， 则()ln()10h a a a -=-++<，即当1a <-时，ln()1a a -<--成立 则当1a <-时，2(1,),()x f x a a ∀∈+∞>--成立.【点睛】本题考查利用导数求函数单调性，运用分类讨论思想是关键，涉及构造新函数求区间等问题，属于中档题．21.已知椭圆C :2212x y +=的右焦点为F ，过点F 的直线（不与x 轴重合）与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l ：2x =与x 轴相交于点H ，过点A作AD l ⊥，垂足为D.（1）求四边形OAHB （O 为坐标原点）面积的取值范围； （2）证明直线BD 过定点E ，并求出点E 的坐标. 【答案】（1）；（2）证明见解析，3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）由题意设直线AB 的方程，代入椭圆整理得纵坐标之和与之积，将四边形的面积分成2个三角形，根据底相同，列出关于面积的函数式，再结合均值不等式可得面积的取值范围； （2）由（1）得B ，D 的坐标，设直线BD 的方程，令纵坐标为零得横坐标是定值，即直线BD 过定点．【详解】（1）由题F （1,0），设直线AB ：()()11221(),,,,x my m R A x y B x y =+∈，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=，因为()224420m m ∆=++>，12122221,22m y y y y m m +=-=-++， 则1z y y -=== 所以四边形OAHB的面积12121||2S OH y y y y =⋅-=-=，,1,t t S t t t=∴∴==+因为12t t+（当且仅当t =1即m =0时取等号），所以02S <，所以四边形OAHB 的面积取值范围为；（2）()()221,,2,B x y D y ，所以直线BD 的斜率1222y y k x -=-，所以直线BD 的方程为1212(2)2y y y y x x --=--，令y =0，可得212121212122,x y zy my y y y x y y y y -+-==--①由（1）可得121212122221,,222m y y y y y y my y m m +=-=-∴+=++ 化简①可得()()112121212123222z s y y y y y y x y y y y ++--===--则直线BD 过定点3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了直线和椭圆的位置关系，四边形面积的取值范围，求直线的方程，证明直线过定点的等问题，考查运算能力，属于中档题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知P 是曲线1C ：22(2)4x y +-=上的动点，将OP 绕点O 顺时针旋转90︒得到OQ ，设点Q 的轨迹为曲线2C .以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C ，2C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，点(3,)2M π，射线(0)6πθρ=≥与曲线1C ，2C 分别相交于异于极点O的,A B 两点，求MAB ∆的面积.【答案】（1）曲线1C ：4sin ρθ=，曲线2C ：4cos ρθ=；（2【解析】 【分析】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，写出其普通方程，再结合ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，可得曲线C 1，C 2的极坐标方程；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，求得|AB |＝|ρ1﹣ρ2|，再求出M （3，2π）到射线()06πθρ=≥的距离h ＝3sin 3π=，即可求得△MAB 的面积．【详解】（1）由题意，点Q 的轨迹是以（2，0）为圆心，以2为半径的圆，则曲线C 2：22(2)4x y -+=，∵ρ2＝x 2+y 2，x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4cosθ；（2）在极坐标系中，设A ，B 的极径分别为ρ1，ρ2，124sincos1).66AB ππρρ∴=-=-=又点(3,)2M π到射线(0)6πθρ=≥的距离为3sin32h π==MAB ∴∆的面积12S AB h =⋅= 【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查计算能力，属于中档题．23.已知函数() 3.f x x =-（1）解不等式()421f x x ≥-+；（2）若142(0,0)m n m n+=>>，求证：3().2m n x f x +≥+-【答案】（1）2(,][0,)3-∞-⋃+∞；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）原不等式可化为：|x ﹣3|≥4﹣|2x +1|，即|2x +1|+|x ﹣3|≥4，分段讨论求出即可； （2）由基本不等式得m n +的最小值92，转化为|x +32|﹣f （x ）≤92恒成立即可．【详解】（1）原不等式化为3421x x -≥-+，即213 4.x x ++-≥ ①12x ≤-时，不等式化为2134x x ---+≥，解得23x ≤-； ②132x -<<时，不等式化为2134x x +-+≥，解得0x ≥，03x ∴≤<； ③3x ≥时，不等式化2134x x ++-≥，解得2x ≥，3x ∴≥.综上可得：原不等式解集为2(,][0,)3-∞-⋃+∞.（2）() 3.f x x =-3339()3(3)2222x f x x x x x ∴+-=+--≤+--=， 当且仅当3()(3)02x x +-≥且332x x +≥-时取等号.又142(0,0)m n m n+=>>，1141419()()(5)(52222n m m n m n m n m n ∴+=++=++≥+=， 当且仅当4n m m n=时取等号.∴3().2m n x f x +≥+-【点睛】考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，利用分类讨论的思想结合绝对值的性质和基本不等式的应用，属于中档题．。
2020届四川省巴中市2017级高三第一次诊断性考试数学(文)试卷及解析
2020届四川省巴中市2017级高三第一次诊断性考试数学（文）试卷★祝考试顺利★(解析版)一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1.复数z =21i +在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数所对应点的坐标后即可得到答案． 【详解】由题意得22(1)2(1)11(1)(1)2i i z i i i i --====-++-, 所以复数21i z =+在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-,位于第四象限．故选D ．2.已知集合{}2(,)|A x y y x ==,{(,)|}B x y y x ==,则A B =( )A. {(0,0)}B. {(1,1)}C. {(0,0),(1,1)}D. {0,1}【答案】C【解析】集合A ,B 分别表示抛物线,直线上的点构成的集合,其交点构成集合即为交集.【详解】由2y xy x ⎧=⎨=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩或11x y =⎧⎨=⎩,A B ∴={(0,0),(1,1)},故选：C3.设sin 6a π=,2log 3b =,2314c ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则( )A. a c b <<B. c a b <<C. b a c <<D. c b a <<【答案】B【解析】 利用相关知识分析各值的范围,即可比较大小. 【详解】1sin 62a π==, 21log 32b <=<,12343111421202c ⎛⎫=<= ⎛⎫⎛⎫<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭,c a b ∴<<,故选：B4.已知变量x 、y 之间的线性回归方程为0.710.3y x =-+,且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示,则下列说法错误．．的是（ ）A. 可以预测,当20x 时, 3.7y =-B. 4m =C. 变量x 、y 之间呈负相关关系D. 该回归直线必过点()9,4 【答案】B【解析】将20x 的值代入回归直线方程可判断出A 选项的正误；将(),x y 的坐标代入回归直线方程可计算出实数m 的值,可判断出B 选项的正误；根据回归直线方程的斜率的正负可判断出C 选项的正误；根据回归直线过点(),x y 可判断出D 选项的正误.【详解】对于A 选项,当20x时,0.72010.3 3.7y =-⨯+=-,A 选项正确； 对于B 选项,6810+1292x ++==,6321144m m y ++++==,将点(),x y 的坐标代入回归直线方。
2020届四川省雅安市高三第一次诊断性考试数学(文)试题(解析版)
2020届四川省雅安市高三第一次诊断性考试数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}2|3100A x x x =--≤，{}1,2,4,8B =，则AB =（ ）A ．{}1,1,2-B ．{}1,2C ．{}1,2,4D ．{}0,1,2,4【答案】C【解析】求出集合A ，再根据交集的定义运算可得. 【详解】解：因为{}{}2|3100|25A x x x x x =--=-，{}1,2,4,8B =所以{}1,2,4A B =.故选：C【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，交集的运算，属于基础题.2．已知i 为虚数单位，复数()23z i i =+，则其共扼复数z =（ ） A ．23i - B ．23i --C ．32i -D ．32i --【答案】D【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数z ,再根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】因为()23z i i =+32i =-+, 所以32i z =--. 故选:D 【点睛】本题考查了复数的乘法运算,考查了共轭复数的概念,属于基础题.3．已知圆柱的底面半径为2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）A ．1033π+B ．10πC ．1033πD ．233π-【答案】A【解析】本题利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案. 【详解】设截面ABCD 将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为1V ，圆柱的体积为V ，DC 将圆柱的底面分成的两部分中，较大部分的面积为1S ，圆柱的底面积为S , 则215131022236223S ππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+ 22312V ππ=⨯⨯=，224S ππ=⨯=，所以依题意可得11V S V S =，则111033=1210334S V V S ππππ==+故选：A. 【点睛】本题考查利用圆柱的体积公式计算体积,利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比建立方程是解题关键,属于基础题.4．在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点4π4πsin,cos 33P ⎛⎫⎪⎝⎭，则cos α=（ ） A ．32B ．12C ．12-D ．3 【答案】D【解析】根据三角函数的定义计算可得答案. 【详解】 因为43sinsin 33ππ=-=,41cos cos 332ππ=-=-,所以2231()()122r =-+-=,所以332cos 1α-==-. 故选:D 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值,考查了利用三角函数的定义求角的三角函数值,属于基础题.5．函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数值恒大于0,排除A ,根据函数不是偶函数,排除C ,根据x 趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除D ,故选:B . 【详解】因为()21xx f x e =-0>,所以A 不正确; 函数()21x x f x e =-不是偶函数,图象不关于y 轴对称,所以C 不正确;当0x >时,2()01x x f x e =>-, 当x 趋近于正无穷时,2x 和e 1x -都趋近于正无穷,但是e 1x-增大的速度大于2x 增大的速度,所以()21xx f x e =-趋近于0,故D 不正确. 故选:B 【点睛】本题考查了利用函数性质识别函数的图象,考查了偶函数图象的对称性,考查了极限思想,根据函数的性质排除选项是解题关键.6．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为2-，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a b +=（ ）A ．4-B ．2-C ．74-D ．14【答案】C【解析】根据程序框图得到14a =,2b =-,再相加即可得到答案. 【详解】由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值 当2x =-时,2124y -==,所以14a =,当19x =时,31log 29y ==-,所以2b =-, 所以17244a b +=-=-. 故选:C 【点睛】本题考查了利用程序框图计算分段函数的函数值,搞清楚程序框图的功能是解题关键,属于基础题.7．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且3OA =（O为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ） A ．233B ．63C ．22D ．33【答案】B【解析】根据题意得3ab 以及222a b c =+,消去b ,结合离心率的定义可得答案.【详解】依题意可知3ab ,即3b =,又c ===,所以该椭圆的离心率c e a ==. 故选:B 【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,关键是由OA =得到3a b ,属于基础题.8．关于函数()()π3sin 213f x x x R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度后得到()y g x =图象，则函数()g x （ ）A ．最大值为3B ．最小正周期为2πC ．为奇函数D ．图象关于y 轴对称【答案】D【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得()3cos 21g x x =-+,再根据()g x 的解析式可得答案. 【详解】依题意可得()3sin[2()]1123g x x ππ=--+3sin(2)12x π=-+3cos21x =-+, 所以()g x 的最大值为4,最小正周期为π,()g x 为偶函数,图象关于y 轴对称. 故选:D 【点睛】本题考查了函数图像的平移变换,考查了诱导公式,考查了函数的最值,周期性和奇偶性,属于基础题.9．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ） A ．928B ．1928C ．2764D ．3764【答案】C【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案. 【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积, 图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764. 故选:C 【点睛】本题考查了归纳推理,考查了几何概型的概率公式,属于基础题.10．圆222220x y x y ++--=上到直线:20l x y +=的距离为1的点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】通过计算可知：圆心到直线的距离等于圆的半径的一半，由此可得结论. 【详解】圆222220x y x y ++--=可化为22(1)(1)4x y ++-=， 所以圆心为(1,1)-，半径r 为2，圆心(1,1)-到直线:20l x y ++=的距离为：2111d ==+，所以12d r=，所以圆222220x y x y++--=上到直线:20l x y++=的距离为1的点共有3个. 故选：C.【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径，考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 11．某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为（）A．2400元B．2560元C．2816元D．4576元【答案】B【解析】设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,依题意列出,x y所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线3205040x y+=,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】设甲型车x辆,乙型车y辆,运送这批水果的费用为z元,则08042430180,xyx yx N y N≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≥⎪⎪∈∈⎩,目标函数320504z x y=+,作出不等式组08042430180xyx y≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:作直线3205040x y+=,并平移,分析可得当直线过点(8,0)时,z取得最小值,即min832005042560z=⨯+⨯=元.故选:B【点睛】本题考查了利用线性规划求最小值,解题关键是找到最优解,属于基础题.12．已知直线()1y a x =+与曲线()xf x e b =+相切，则ab 的最小值为（ ）A ．14e-B ．12e-C ．1e-D ．2e-【答案】B【解析】设切点为00(,)x x e b +,利用导数的几何意义可得0ln x a =,将切点00(,)xx e b +坐标代入直线(1)y a x =+,可得2ln ab a a =,再构造函数利用导数可得最小值. 【详解】设切点为00(,)xx e b +,因为()xf x e b =+,所以()xf x e '=,所以00()x f x ea '==,所以0ln x a =,又切点00(,)xx e b +在直线(1)y a x =+上, 所以00(1)xe b a x +=+, 所以0a b ax a +=+, 所以0ln b ax a a ==, 所以2ln ab a a =, 令2()ln (0)g a a a a =>, 则21()2ln 2ln (2ln 1)g a a a a a a a a a a'=+⋅=+=+, 令()0g a '<,得120a e -<<, 令()0g a '>,得12a e ->, 所以()g a 在12(0,)e -上递减,在12(,)e -+∞上递增,所以12a e-=时,()g a 取得最小值11122221()()ln 2g e e ee---==-. 即ab 的最小值为12e-. 故选:B 【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线的斜率,考查了利用导数研究函数的单调性,根据单调性求函数的最值,属于中档题.二、填空题13．若非零向量a ，b 满足||||a b a b +=-，则a 与b 所成角的大小为________． 【答案】2π 【解析】根据||||a b a b +=-，两边平方化简求解. 【详解】因为||||a b a b +=-， 所以22||||a b a b +=-，所以222222a a b b a a b b +⋅+=-⋅+， 所以40a b ⋅=，所以a 与b 所成角的大小为2π. 故答案为：2π 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为______．【答案】15【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数. 【详解】根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为0.6500300⨯=,喜欢徒步的女生人数为0.4400160⨯=,所以喜欢徒步的总人数为300160460+=, 按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为3002315460⨯=人. 故答案为:15 【点睛】本题考查了等高条形图,考查了利用分层抽样计算抽取的样本中,各层的人数,属于基础题.15．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1A B 上移动，有下列判断：①平面//BDP 平面11B D C ；②平面1PAC ⊥平面11B D C ；③三棱锥11P B D C -的体积不变；④1PC ⊥平面11B D C ．其中，正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）【答案】①②③【解析】①在正方体中可证平面//BDP 平面11B D C ，又点P 在线段1A B 上移动,所以平面//BDP 平面11B D C ,所以①正确;②先证1AC ⊥平面11B D C ，再根据面面垂直的判定定理可证平面1PAC ⊥平面11B D C ，所以②正确；③根据1//A B 平面11B D C ,可得三棱锥11P B D C -的体积不变，所以③正确； ④由1AC ⊥平面11B D C ，而1PC 与1AC 交于1C ，可得④不正确. 【详解】①因为在正方体中有11//A B D C , ,且1A B ⊄平面11B D C ,1D C ⊂平面11B D C ,所以1//A B 平面11B D C ,同理得//BD 平面11B D C ,又1A B BD B ⋂=,所以平面1//A BD 平面11B D C ,又点P 在线段1A B 上移动,所以平面//BDP 平面11B D C ,所以①正确; ②因为AB ⊥平面11BB C C ，所以1AC 在平面11BB C C 内的射影为1BC ， 因为11B C BC ⊥，根据三垂线定理可得11AC B C ⊥， 同理可得111AC B D ，因为1111B C B D B ⋂=， 所以1AC ⊥平面11B D C ，因为1AC ⊂平面1PAC ，所以平面1PAC ⊥平面11B D C ，所以②正确； ③由①知1//A B 平面11B D C ，所以点P 到平面11B D C 的距离为定值,所以三棱锥11P B D C -的体积不变，所以③正确；④由②知1AC ⊥平面11B D C ，而1PC 与1AC 交于1C ，所以1PC 与平面11B D C 不垂直，所以④不正确。
四川省雅安市2020届高三第一次诊断性考试数学(理)试卷及答案解析.
四川省雅安市2020届高三第一次诊断性考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知集合}23100A x x x =--≤，{}2,nB x x n N ==∈，则A B =（ ）A.{}1,1,2-B.{}1,2C.{}1,2,4D.{}0,1,2,42.已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（ ） A.13i +B.13i -C.13i -+D.13i --3.在平面直角坐标系中，若角α的终边经过点44sin ,cos 33P ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()cos πα+=（ ）B.12C.12-D.4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，且OA =（O 为坐标原点），则该椭圆的离心率为（ ）C.25.函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.6.执行如图所示的程序框图，若输入x 的值分别为2-，19，输出y 的值分别为a ，b ，则a b +=（ ）A.4-B.2-C.74-D.147.如图，已知ABC ∆中，D 为AB 的中点，13AE AC =，若DE AB BC λμ=+，则λμ+=（ ）A.56-B.16-C.16D.568.圆222220x y x y ++--=上到直线:0l x y +=的距离为1的点共有（ ） A.1个B.2个C.3个D.4个9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义．如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.928B.1928 C.2764D.376410.关于函数()()3sin 213f x x x R π⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭有下述四个结论：①若()()121f x f x ==，则()12x x k k Z π-=∈；②()y f x =的图象关于点2,13π⎛⎫⎪⎝⎭对称；③函数()y f x =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④()y f x =的图象向右平移12π个单位长度后所得图象关于y 轴对称.其中所有正确结论的编号是（ ） A.①②④B.①②C.③④D.②④11.四面体P ABC -的四个顶点坐标为()002P ,,，()0,0,0A ，()0,B ，()C ，则该四面体外接球的体积为（ ）A.323πB.3C.20π12.已知直线2y x =与曲线()()ln f x ax b =+相切，则ab 的最大值为（ ） A.4e B.2e C.eD.2e第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）2，高为3，垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）.若底面圆的弦AB 所对的圆心角为3π，则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为______.14.某项羽毛球单打比赛规则是3局2胜制，运动员甲和乙进人了男子羽毛球单打决赛，假设甲每局获胜的概率为23，则由此估计甲获得冠军的概率为______.15.已知函数()2xf x e x e =+-，则满足不等式()21f m -≤的m 取值范围是______．16.某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为______元.三、解答题（题型注释）17.已知数列n a 的前项和为n S ，首项为1a ，且4，n a ，n S 成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若22n bn a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.在ABC 中，角A ，B ，C所对的边分别是a ，b ，c ，且1cos 2a C cb +=. （1）求角A 的大小； （2）若a =b c +的最大值.19.已知某地区某种昆虫产卵数和温度有关.现收集了一只该品种昆虫的产卵数y （个）和温度x （C ）的7组观测数据，其散点图如所示：根据散点图，结合函数知识，可以发现产卵数y 和温度x 可用方程bx ay e+=来拟合，令ln z y =，结合样本数据可知z 与温度x 可用线性回归方程来拟合．根据收集到的数据，计算得到如下值：表中ln i i z y =，7117i i z z ==∑．（1）求z 和温度x 的回归方程（回归系数结果精确到0.001）；（2）求产卵数y 关于温度x 的回归方程；若该地区一段时间内的气温在26~36C C 之间（包括26C 与36C ），估计该品种一只昆虫的产卵数的范围.（参考数据： 3.28227e ≈，3.79244e ≈， 5.832341e ≈， 6.087440e ≈， 6.342568e ≈．）附：对于一组数据()11,v ω，()22,v ω，…，(),n n v ω，其回归直线ˆˆˆvαβω=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆniii nii v v ωωβωω==--=-∑∑．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，E 为线段PB 的中点，若F 为线段BC 上的动点（不含B ）.（1）平面AEF 与平面PBC 是否互相垂直？如果是，请证明；如果不是，请说明理由； （2）求二面角B AF E --的余弦值的取值范围. 21.已知函数()ln xf x xe a x ax a e =--+-．（1）若()f x 为单调函数，求a 的取值范围； （2）若函数()f x 仅一个零点，求a 的取值范围． 22.已知曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）P ，Q 是曲线C 上两点，若OP OQ ⊥，求2222OP OQ OP OQ⋅+的值．23.已知正实数a ，b 满足3a b +=． （1（2）若不等式1421x m x a b+--≤+对任意x ∈R 恒成立，求m 的取值范围．参考答案1.C【解析】1.解一元二次不等式化简集合A ,集合B 中的元素都是正整数,再根据集合的交集的概念进行运算即可,因为{}23100A x x x =--≤{|25}x x =-≤≤,所以{1,2,4}A B ⋂=. 故选:C 2.B【解析】2.先根据复数的乘法计算出z ，然后再根据共轭复数的概念直接写出z 即可. 由()()1213z i i i =++=+，所以其共轭复数13z i =-. 故选：B . 3.A【解析】3.先计算出P 点坐标，然后即可知cos α的值，利用诱导公式即可求解出()cos απ+的值.因为角α的终边经过点12P ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos α=，所以()cos cos παα+=-=. 故选：A. 4.B【解析】4. 根据题意得3a b 以及222a b c =+,消去b ,结合离心率的定义可得答案.依题意可知3ab ,即b =,又3c ===,所以该椭圆的离心率3c e a ==. 故选:B 5.B【解析】5.根据函数值恒大于0,排除A ,根据函数不是偶函数,排除C ,根据x 趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除D ,故选:B .因为()21xx f x e =-0>,所以A 不正确; 函数()21x x f x e =-不是偶函数,图象不关于y 轴对称,所以C 不正确;当0x >时,2()01x x f x e =>-, 当x 趋近于正无穷时,2x 和e 1x -都趋近于正无穷,但是e 1x -增大的速度大于2x 增大的速度,所以()21x x f x e =-趋近于0,故D 不正确.故选:B 6.C【解析】6.根据程序框图得到14a =,2b =-,再相加即可得到答案. 由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值 当2x =-时,2124y -==,所以14a =,当19x =时,31log 29y ==-,所以2b =-, 所以17244a b +=-=-. 故选:C 7.C【解析】7.利用向量的线性运算将DE 用,AB AC 表示，由此即可得到,λμ的值，从而可求λμ+的值.因为1123DE DA AE BA AC =+=+()111111236363BA BC BA BA BC AB BC =+-=+=-+， 所以16λ=-，13μ=.故16λμ+=. 故选：C. 8.C【解析】8.通过计算可知：圆心到直线的距离等于圆的半径的一半，由此可得结论. 圆222220x y x y ++--=可化为22(1)(1)4x y ++-=， 所以圆心为(1,1)-，半径r 为2，圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=的距离为：1d ==，所以12d r =，所以圆222220x y x y ++--=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有3个. 故选：C. 9.C【解析】9.根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积, 图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34, 图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点，则此点取自阴影部分的概率为2764.故选:C 10.D【解析】10.①根据对称中心进行分析；②根据对称中心对应的函数值特征进行分析；③根据sin y x =的单调性进行分析；④利用函数图象的平移进行分析，注意诱导公式的运用.①由()()121f x f x ==知()1,1x ，()2,1x 是()3sin 213f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭图象的两个对称中心， 则12x x -是22T π=的整数倍（T 是函数()f x 的最小正周期），即()122k x x k Z π-=∈，所以结论①错误；②因为23sin 113f ππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以2,13π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的对称中心，所以结论②正确； ③由()222232k x k k πππππ--+∈Z 解得()51212k x k k ππππ-+∈Z ， 当0k =时，()f x 在5,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()f x 在50,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以结论③错误； ④()y f x =的图象向右平移12π个单位长度后所得图象对应的函数为3sin 213cos 21123y x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，所以图象关于y 轴对称，所以结论④正确. 故选：D . 11.B【解析】11.计算出线段长度，分析出四面体的形状，从而可确定出外接球的球心，根据球心求解出球的半径即可求解出外接球的体积.由题意知2,4,4,PA PB PC AB AC BC ======所以222222,PA AB PB PA AC PC +=+=，所以,PA AB PA AC ⊥⊥，所以该四面体侧棱PA ⊥底面ABC ，且底面是边长为2PA =，2=，球心必在过PA 中点且平行于底面的平面上，所以球半径R =343π=.故选：B. 12.C【解析】12.根据切点处切线斜率等于导数值、切点处直线对应的函数值等于曲线对应的函数值，得到b 关于a 等式，由此将ab 表示成关于a 的函数形式，构造新函数分析ab 的最大值.设切点()()00,ln x ax b +，则由()002af x ax b '==+得()0102ax b a a +=>，又由()00ln 2ax b x +=，得()0011ln ln 222a x ax b =+=，则0ln 2222a a a ab ax =-=-， 有()2211ln 0222a ab a a a =->，令()2211ln 222a g a a a =-，则()1ln 22a g a a ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故当0a <<()0g a '>；当a >()0g a '<，故当a =()g a 取得极大值也即最大值(g e =. 故选：C.13.10π+【解析】13.据题意：较大部分的底面积可以看成是一个三角形加上圆的53，且两部分柱体同高，因此可求解出较大部分的底面积，然后直接柱体体积公式求解即可. 因为弦AB 所对的圆心角为3π，所以圆柱截掉后剩余部分的底面面积为2215122s 103in 2323πππ⋅⋅+⋅⋅=，所以剩余部分的体积为103103V ππ⎛=⨯=+ ⎝.故答案为：10π+14.2027【解析】14.分析甲获胜的方式：(1)前两局甲都获胜；(2)前两局甲获胜一局，第三局甲获胜，由此计算出甲获得冠军的概率.因为甲获胜的方式有2:0 和2:1两种，所以甲获得冠军的概率212221220333327P C ⎛⎫=+⨯⨯⨯=⎪⎝⎭. 故答案为：2027. 15.13m ≤≤【解析】15.先用偶函数的定义得函数为偶函数,可得()(||)f x f x =,再利用.0x >时,函数为增函数,可将不等式化为|2|1m -≤,从而可解得结果.因为()2x f x e x e =+-,所以||2||2()()()x x f x e x e e x e f x --=+--=+-=,所以()f x 为偶函数,所以()(||)f x f x =, 当0x >时,2()xf x e x e =+-为增函数, 所以()21f m -≤等价于(|2|)1(1)f m f -≤=, 所以|2|1m -≤, 所以13m ≤≤, 故答案为: 13m ≤≤ 16.2560【解析】16.根据题意设出关于车辆数的未知数，得到对应的不等式组，由此作出可行域，利用平移直线法分析运送费用的最小值.设安排甲型车x 辆，乙型车y 辆，由题意有46310180,08,04,,,x y x y x y ⨯+⨯⎧⎪⎪⎨⎪⎪∈⎩N 即4530,08,04,,,x y x y x y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪∈⎩N ，目标函数320504z x y =+，作出不等式组4530,08,04,,,x y x y x y +⎧⎪⎪⎨⎪⎪∈⎩N 所表示的平面区域为四点()2.5,4，()8,4，()8,0，()7.5,0围成的梯形及其内部，如下图所示：包含的整点有()8,0，()7,1，()8,1，()5,2，()6,2，()7,2，()8,2，()4,3，()5,3，()6,3，()7,3，()8,3，()3,4，()4,4，()5,4，()6,4，()7,4，()8,4.作直线3205040x y +=并平移，分析可得当直线过点()8,0时z 最小，即min 83202560z =⨯=（元）.故答案为：2560. 17.（1）()12n n a n N +*=∈；（2）23nTn n =+.【解析】17.(1)根据4，n a ，n S 成等差数列,可得24n n a S =+,再利用1n n n a S S -=-可得12nn a a -=,从而可得数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列,由此可得数列{}n a 的通项公式;(2)由22n b n a =可得22=+n b n ,再根据等差数列的前n 项和公式可得结果.（1）由题意有24n n a S =+,当1n =时，1124a a =+，所以14a =, 当2n ≥时，24n n S a =-，1124n n S a --=-，两式相减得1122n n n n n a S S a a --=-=-，整理得12nn a a -=， 所以数列{}n a 是以4为首项，2为公比的等比数列, 所以数列{}n a 的通项公式()11422n n n a n N -+*=⨯=∈．（2）由22222nb n n a +==，所以22=+n b n ，所以数列{}n b 是以4为首项，2为公差的等差数列, 所以()214232n n n T n n n -=+⨯=+． 18.（1）3A π=；（2）【解析】18.（1）由正弦定理化边为角，再用三角形内角和为180°降为两个角的等式； （2）用正弦定理把边的代数式表达为一个角的函数关系式，再求值域. （1）由1cos 2a C cb +=，根据正弦定理有：1sin cos sin sin 2A C C B +=.所以()1sin cos sin sin sin cos cos sin 2A C C A C A C A C +=+=+，所以1sin cos sin 2C A C =. 因为C 为三角形内角，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =，因为A 为三角形内角，所以3A π=.（2）由a =3A π=，根据正弦定理有：2sin sin sin b c aB C A===，所以2sin b B =，2sin c C =.所以22sin 2sin 2sin 2sin 3b c B C C C π⎛⎫+=+=-+⎪⎝⎭3sin C C =+236C π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.当3C π=时，等号成立.所以b c +的最大值为另解：（2）由a =3A π=，根据余弦定理有：2222cos3b c bc π=+-，即223b c bc =+-.因为()2223b c bc b c bc+-=+-()()222324b c b c b c ++⎛⎫+-=⎪⎝⎭，所以()234b c +.即23b c +，当且仅当b c ==.所以b c +的最大值为19.（1）ˆ0.255 3.348z x =-；（2）0.255 3.348x y e -=，[]27.341.【解析】19.(1)根据公式计算出ˆb 和ˆa ,可得ˆ0.255 3.348z x =-;(2)根据ln z y =可得ln 0.255 3.348y x =-,再根据函数0.255 3.348x y e -=为增函数可得答案.（1）因为z 与温度x 可以用线性回归方程来拟合，设ˆˆˆz a bx =+． ()()()7172146.418ˆ0.255182iii ii x x zz bx x ==--===-∑∑， 所以ˆˆ 3.5370.25527 3.348a z bx=-=-⨯=-， 故z 关于x 的线性回归方程为ˆ0.255 3.348zx =-． （2）由（1）可得ln 0.255 3.348y x =-， 于是产卵数y 关于温度x 的回归方程为0.255 3.348x y e -=,当26x =时，0.25526 3.3483.28227y ee ⨯-==≈； 当36x =时，0.25536 3.3485.832341y e e ⨯-==≈；因为函数0.255 3.348x y e-=为增函数，所以，气温在26~36C C 之间时，一只该品种昆虫的产卵数的估计范围是[]27.341内的正整数．20.（1）平面AEF ⊥平面PBC ，理由见解析；（2）0,3⎛ ⎝⎦【解析】20.(1)利用线面垂直的判定定理证明AE ⊥平面PBC ，根据线面关系即可证明平面AEF 与平面PBC 垂直；(2)建立空间直角坐标系，根据平面BAF 与平面AEF 法向量的夹角的余弦的取值范围，计算出二面角B AF E --的余弦值的取值范围.（1）因为PA AB =，E 为线段PB 的中点.所以AE PB ⊥. 因为PA ⊥底面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥， 又因为底面ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥，PAAB A =，所以BC ⊥平面PAB ，因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥.因为PB BC B ⋂=，所以AE ⊥平面PBC ， 因为AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PBC .（2）由题意，以AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立空间直角坐标系如图所示，令2PA =，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()1,0,1E ，()2,,0F t （其中02t <）.易知平面BAF 的一个法向量()0,0,1m =.设平面AEF 的法向量(),,n x y z =，由0,0.n AF n AE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即20,0.x ty x z +=⎧⎨+=⎩令1z =，则21,,1n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是平面AEF 的一个法向量.(1cos ,1m n m n m n⋅===⋅-， 由02t <)+∞0,3⎛⎝⎦. 故若F 为线段BC 上的动点（不含B ），二面角B AF E --的余弦值的取值范围是⎛ ⎝⎦. 21.（1）0a ≤（2）0a ≤或a e =【解析】21.（1）对()f x 求导得()f x '，因为()f x 为单调函数，故()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，利用导数研究()0f x '≥或()0f x '≤哪个能成立即可；（2）因为()10f =，所以1x =是()f x 的一个零点，由（1）可知，当0a ≤时，()f x 为()0,∞+上的增函数，所以()f x 仅有一个零点，满足题意，当0a >时，()10f '=得a e =，分a e =，a e >，0a e <<讨论验证即可．解析：（1）由()ln xf x xe a x ax a e =--+-（0x >），得()()()()()111x x xe a a x f x e x x x x-+'=+-=+， 因为()f x 为单调函数，所以当0x >时，()0f x '≥或()0f x '≤恒成立，由于11x +>，于是只需x a xe ≤或x a xe ≥对于0x >恒成立， 令()xu x xe =，则()()1xu x x e '=+，当0x >时，()0u x '>，所以()xu x xe =为增函数，则()()00u x u >=．又当x ∈+∞时，()u x ∈+∞， 则x a xe ≥不可能恒成立，即()f x 不可能为单调减函数． 当()0a u ≤，即0a ≤时，x a xe ≤恒成立， 此时函数为单调递增函数．（2）因为()10f =，所以1x =是()f x 的一个零点． 由（1）知，当0a ≤时，()f x 为()0,∞+的增函数，此时关于x 的方程()0f x =仅一解1x =，即函数()f x 仅一个零点，满足条件． 当0a >时，由()10f '=得a e =，（ⅰ）当a e =时，()ln xf x xe e x ex =--，则()xf x xe e '=-，令()xv x xe e =-，易知()v x 为()0,∞+的增函数，且()10v =，所以当01x <<时，()0v x <，即()0f x '<，()f x 为减函数，当1x >时，()0v x >，即()0f x '>，()f x 为增函数， 所以()0f x ≥，在()0,∞+上恒成立，且仅当()10f =，于是函数()f x 仅一个零点． 所以a e =满足条件．（ⅱ）当a e >时，由于()xv x xe a =-在()1,+∞为增函数，则()10v e a =-<，当x =+∞时，()v x =+∞． 则存在01x >，使得()00v x =，即使得()00f x '=， 当()01,x 时，()00f x '<， 当()0,x +∞时，()00fx '>，所以()()010f x f <=，且当x =+∞时，()f x =+∞． 于是当()0,x +∞时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去． （ⅲ）当0a e <<时，则()xv x xe a =-在()1,+∞为增函数，又()00v a =-<，()10v e a =->，所以存在001x <<，使得()00v x =，也就使得()00f x '=， 当()00,x 时，()00f x '<， 当()0,1x 时，()00fx '>，所以()()010f x f <=，且当0x =时，()f x →+∞． 于是在()00,x 时存在()0f x =的另一解，不符合题意，舍去． 综上，a 的取值范围为0a ≤或a e =．22.（1）2214x y +=；（2）45.【解析】22.(1)先消去参数将参数方程化成普通方程,再利用cos x ρθ=，sin y ρθ=将普通方程化成极坐标方程即可得到;(2) 设点P 的极坐标为()1,ρθ，则点Q 的极坐标为2π,2ρθ⎛⎫± ⎪⎝⎭．将2222OP OQ OP OQ ⋅+化成2212111ρρ+,利用2243sin 1ρθ=+即可得到答案. （1）由2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），得曲线的普通方程为2214xy +=,将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入，得22224sin cos 4ρθρθ+=,即2243sin 1ρθ=+,所以曲线C 的极坐标方程为2243sin 1ρθ=+.（2）由（1）知22131sin 44θρ=+, 设点P 的极坐标为()1,ρθ，因为OP OQ ⊥，则点Q 的极坐标为2π,2ρθ⎛⎫±⎪⎝⎭, 所以2222222212111111OP OQ OP OQ OP OQ ρρ⋅==+++ 221143131315sin cos 444442θθ===++++．23.（1）4；（2）[]2,1-.【解析】23.(1)平方后用基本不等式即可得到答案; (2)利用基本不等式求得14a b+的最小值为3,利用绝对值三角不等式求得21x m x +--的最大值为|21|m +,然后将恒成立转化为|21|3m +≤,解绝对值不等式即可得到答案. （1）因为2()()2121a b =++++()()()()()212121214116a b a b a b ≤+++++++=++=，当且仅当32a b ==时取等号．4．（2）因为()14114141553333b a a b a b a b a b ⎛⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝， 当且仅当43b a a b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即1a =，2b =取等号，所以14a b+的最小值为3, 又|21||21||21|x m x x m x m +--≤+-+=+, 所以21|21|x m x m +--≤+, 所以不等式1421x m x a b+--≤+对任意x ∈R 恒成立，只需|21|3m +≤, 所以3213m -≤+≤,解得21m -≤≤, 即实数m 的取值范围是[]2,1-.。
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理)
2020届四川省成都市高三第一次诊断考试数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I卷(选择题)1至2页，第II卷(非选择题)3至4页，共4页,满分150分，考试时间120分钟。
注意事项1. 答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2. 答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。
3. 答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4. 所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5. 考试结束后，只将答题卡交回。
第I卷(选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若复数Z1与Z2=—3-i(i为虚数单位)在复平面内对应的点关于实轴对称，则乙=(A) —3—i (B) —3+ i (C)3 + i (D)3 —i2. 已知集合A= { —I , 0, m}, B= {I , 2}。
若A U B= { —l , 0, 1 , 2}，则实数m的值为(A) —l 或0(B)0 或1(C)—l 或2 (D)l或23.若sin.5 cos(2)，则tan2 0 =(A)3(B)3(C).5(D)224. 某校随机抽取100名同学进行“垃圾分类”的问卷测试，测试结果发现这I00名同学的得分都在[50,100]内，按得分分成5组：[50 , 60) , [60 , 70) , [70 , 80) , [80 , 90) , [90 , 100]，得到如图所示的频率分布直方图。
则这100名同学的得分的中位数为(A)72.5 (B)75 (C)77.5 (D)805. 设等差数列｛a n ｝的前n 项和为S ，且a n M 0,若a 5= 3a 3,则—9S59 5 5 27 (A)(B)(C)(D)59358•将函数y = sin(4x ——)图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再把所得图象向左平移6—个单位长度，得到函数f(x)的图象，则函数f(x)的解析式为6(A)f(x) = sin (2x + —)(B)f(x)= si n(2x ——)63(C)f(x) = sin(8x T ------)(D)f(x)= sin(8x ------)639. 已知抛物线y 2= 4x 的焦点为F , M N 是抛物线上两个不同的点。
四川省资阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题理(含解析)
四川省资阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题 理（含解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知集合{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，则M N =IA ．{1012}-，，，B ．{101}-，，C ．{012}，，D ．{01}， 【答案】C【解析】据题意得：{10123}M =-，，，，，{|02}N x x =≤≤，M N =I {012}，，. 【点睛】先解不等式，化简集合M ，N ，从而可判定集合的包含关系．本题以集合为载体，考查集合之间的关系，解题的关键是解不等式化简集合．2． 复数2i12i+=-A ．iB ．i -C ．4i 5+D ． 4i 5-【答案】C【解析】据已知得：2i12i +=-()()()()i i i i i i i =++=+-++525221212122【点睛】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3． 已知向量(1,2)=-a ，(1)m =-，b ，若λ=a b （λ∈R ），则m = A ．2- B ．12- C ．12D ．2【答案】C【解析】据已知得：(1,2)=-a ，(1)m =-，b ，λ=a b ，所以有，2m=1,m=12.【点睛】本题考查了向量的坐标运算和向量的平行的运算，属于基础题4． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若2466a a a ++=，则7S =A ．7B ．14C ．21D ．42 【答案】B【解析】据已知得：2466a a a ++=，所以24=a ，7S =()14727471==+a a a【点睛】本题考查等差数列的性质，考查了等差数列的前n 项和和等差中项，是基础的计算题．5． 已知a b ∈R ，，则“0a b <<”是“11a b>”的A．充分不必要条件B．必要比充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】A【解析】由题意可得：后面化简：11a b>⇒0>-abab⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<⇒;;;0bababa三种情况，相对于前面来说，是大范围。
四川省绵阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题理(含解析)
四川省绵阳市2020届高三数学上学期第一次诊断性考试试题 理（含解析）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
答卷前，考生务必先将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。
2．回答第I 卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3．回答第II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知}3|{≤∈=*x N x A ，0}4x -x |{x 2≤=B ，则=⋂B A （ ）}3,2,1.{A }2,1.{B (]3,0.C (]4,3.D【答案】A【解析】由题意得：{1,2,3}}3|{=≤∈=*x N x A ，[]4,10}4x -x |{x 2=≤=B ，所以=⋂B A }3,2,1{.【方法总结】集合是数学中比较基础的题目，但是仍然有许多同学出现考试失分。
特此总结下与集合中的元素有关问题的求解策略。
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集、点集还是其他类型的集合．(2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要注意检验集合是否满足元素的互异性． 2．若0<<a b ,则下列结论不正确的是（ ） A.ba 11< B.2a ab > C.||||||b a b a +>+ D.33b a < 【答案】C【解析】由题意得：此题可以用特殊值加排除法，设1,2-=-=b a 时，||||||b a b a +=+与C 矛盾.【方法总结】此题考查不等式的性质，基础题。
||||||||||b a b a b a -≥+≥+ 3．下列函数中的定义域为R ，且在R 上单调递增的是（ ）A.2)(x x f = B.x x f =)( C.||ln )(x x f = D.x e x f 2)(=【答案】D【解析】B.的定义域为[)∞+，0，C 的定义域0≠x ，排除。
2020年高考模拟试卷四川省巴中市高考(文科)数学一诊测试试卷 含解析
2020年高考数学一诊试卷（文科）一、选择题1．复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{（x，y）|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{（0，0），（1，1）}C．{1} D．{（1，1）}3．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a4．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）5．已知点A，B，C不共线，则“与的夹角为”是“||＞||”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．下列关于函数f（x）＝sin|x|和函数g（x）＝|sin x|的结论，正确的是（）A．g（x）值域是[﹣1，1] B．f（x）≥0C．f（x+2π）＝f（x）D．g（x+π）＝g（x）7．已知函数f（x）＝x2+cos x，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若n∥α，n∥β，则α∥β②若m∥α，m∥n，则n∥α③若m⊥α，m⊥β，则α∥β④若m⊥α，α∥β，则m⊥β其中所有正确命题序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为140°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．10．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若关于x的方程f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．811．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，则四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的体积是（）A．4πB．12πC．D．412．已知函数f（x）＝（a∈R），若方程f（x）﹣2＝0恰有3个不同的根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．lg0.25+2lg2＝．14．已知，则tanα＝．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q 两点，交l于点A，若＝3，则＝16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝．若a2sin C＝4sin（B+C），（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）求证：PN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由．18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝（a n+1）2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n＝a n+2，求数列{b n}的前n项和T n．19．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．（1）求图中a的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗20非优质树苗60合计将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）通过用分层抽样方法从B试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率．参考公式与参考数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.82820．已知函数f（x）＝ax﹣e x（e为自然对数的底数）．（I）当a＝时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）当2≤a≤e+2时，求证f（x）≤2x．21．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足直线AP 与BP的斜率之积为﹣．记点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若M，N是曲线C上的动点，且直线MN过点D（0，），问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C：ρ＝4cosθ．（1）当α＝时，求C与l的交点的极坐标；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，且两点对应的参数t1，t2互为相反数，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．复数z＝在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标得答案．解：由z＝＝，得复数z＝在复平面内对应的点的坐标为（1，﹣1），位于第四象限．故选：D．2．已知集合A＝{（x，y）|y＝x2}，B＝{（x，y）|y＝x}，则A∩B＝（）A．{0，1} B．{（0，0），（1，1）}C．{1} D．{（1，1）}【分析】联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的交集．解：联立A与B中的方程得：，消去y得：x2＝x，即x（x﹣1）＝0，解得：x＝0或x＝1，把x＝0代入得：y＝0；把x＝1代入得：y＝1，∴方程组的解为，，则A∩B＝{（0，0），（1，1）}，故选：B．3．设a＝sin，b＝log23，c＝（），则（）A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a【分析】利用指数函数对数函数的单调性即可得出解：∵a＝，b＞1，c＝＜，∴c＜a＜b．故选：B．4．已知变量x，y之间的线性回归方程为，且变量x，y之间的一组相关数据如表所示，则下列说法错误的是（）x 6 8 10 12y 6 m 3 2A．变量x，y之间呈现负相关关系B．可以预测，当x＝20时，y＝﹣3.7C．m＝4D．该回归直线必过点（9，4）【分析】根据线性回归方程的性质依次判断各选项即可．解：对于A：根据b的正负即可判断正负相关关系．线性回归方程为，b ＝﹣0.7＜0，负相关．对于B，当x＝20时，代入可得y＝﹣3.7．对于C：根据表中数据：＝＝9．可得＝4．即，解得：m＝5．对于D：由线性回归方程一定过（），即（9，4）．故选：C．5．已知点A，B，C不共线，则“与的夹角为”是“||＞||”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】点A，B，C不共线，则“与的夹角为”⇒“||＞||”，反之不成立．即可判断出结论．解：点A，B，C不共线，则“与的夹角为”⇒“||＞||”，反之不成立，夹角可能为等．∴点A，B，C不共线，则“与的夹角为”是“||＞||”的充分不必要条件．故选：A．6．下列关于函数f（x）＝sin|x|和函数g（x）＝|sin x|的结论，正确的是（）A．g（x）值域是[﹣1，1] B．f（x）≥0C．f（x+2π）＝f（x）D．g（x+π）＝g（x）【分析】结合f（x）和g（x）的解析式，分别进行判断即可．解：f（x）＝sin|x|＝，函数f（x）∈[﹣1，1]，f（x）是偶函数，不具备周期性，故C，B错误，g（x）＝|sin x|≥0，即函数g（x）的值域是[0，1]，故A错误，g（x+π）＝|sin（x+π）|＝|﹣sin x|＝|sin x|＝g（x），故D正确，故选：D．7．已知函数f（x）＝x2+cos x，则f′（x）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由函数f（x）的解析式对其求导可得f′（x）＝x﹣sin x，分析可得f′（x）为奇函数，且在区间（0，）为减函数，分析选项即可得答案．解：根据题意，函数f（x）＝x2+cos x，其导数f′（x）＝x﹣sin x，分析可得：f′（﹣x）＝（﹣x）﹣sin（﹣x）＝﹣（x﹣sin x）＝﹣f′（x），即函数f′（x）为奇函数，可以排除B、D，且f′′（x）＝﹣cos x，分析可得当x∈（0，）时，f′′（x）＜0，则函数f′（x）在区间（0，）为减函数，可以排除C，故选：A．8．设m，n为空间两条不同的直线，α，β为空间两个不同的平面，给出下列命题：①若n∥α，n∥β，则α∥β②若m∥α，m∥n，则n∥α③若m⊥α，m⊥β，则α∥β④若m⊥α，α∥β，则m⊥β其中所有正确命题序号是（）A．③④B．②④C．①②D．①③【分析】利用空间线面平行、线面垂直的性质定理和判定定理分别分析四个命题，得到正确答案．解：对于①，若n∥α，n∥β，则α与β可能相交；故①错误；对于②，若m∥α，m∥n则n可能在α内；故②错误；对于③，若m⊥α，m⊥β，根据线面垂直的性质定理得到α∥β；故③正确；对于④，若m⊥α，α∥β，则根据线面垂直的性质定理以及面面平行的性质定理得到m ⊥β；故④正确；故选：A．9．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线的倾斜角为140°，则C的离心率为（）A．2sin40°B．2cos40°C．D．【分析】由双曲线C的一条渐近线的倾斜角为140°，得，所以，C的离心率e＝＝＝．解：∵双曲线C的一条渐近线的倾斜角为140°，∴，∴，∴C的离心率e＝＝＝，故选：C．10．函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，且f（x）+2g（x）＝e x，若关于x的方程f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，则实数m的最小值为（）A．4 B．4C．8 D．8【分析】由函数的奇偶性，构造方程可解得，原方程有解可转化为在（0，2]有解，换元t＝e x﹣e﹣x∈（0，e2﹣e﹣2]，求函数的最小值即可．解：∵f（x）+2g（x）＝e x，∴f（﹣x）+2g（﹣x）＝e﹣x，又函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的偶函数、奇函数，∴f（x）﹣2g（x）＝e﹣x，∴，∵f（2x）﹣mg（x）＝0在区间（0，2]内有解，∴在区间（0，2]内有解，令t＝e x﹣e﹣x∈（0，e2﹣e﹣2]，则在（0，e2﹣e﹣2]内有解，又，当且仅当时取等号，∴m的最小值为．故选：B．11．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，则四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的体积是（）A．4πB．12πC．D．4【分析】把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正方体，所以四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球即是正方体的外接球，由题意可知正方体的棱长为2，所以四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的半径R＝，从而求出四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的体积．解：把直三棱柱ABC﹣A1B1C1补成正方体，如图所示：，∴四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球即是正方体的外接球，∵AB＝AC＝AA1＝2，AB⊥AC，∴正方体的棱长为2，∴四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的半径R＝，∴四棱锥A1﹣BCC1B1的外接球的体积为：，故选：A．12．已知函数f（x）＝（a∈R），若方程f（x）﹣2＝0恰有3个不同的根，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（﹣∞，1）C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1] 【分析】由题意可知，当x≤0时显然方程有一个根，问题转化为当x＞0 时，e x﹣1＝（2﹣a）x有2个根，即y＝e x﹣1与y＝（2﹣a）x的图象有2个交点，求出特殊位置相切时斜率即可求解．解：当x≤0时，f（x）﹣2＝0即x+3﹣2＝0，解得x＝﹣1，所以此时方程有1个根；依题意，当x＞0时，f（x）﹣2＝0有2个根，即e x﹣1＝（2﹣a）x有2个根，所以函数y＝e x﹣1与函数y＝（2﹣a）x的图象在（0，+∞）上有2个交点，设过原点与y＝e x﹣1相切的直线切点为，则切线斜率为，解得x0＝1，所以k＝1，所以函数y＝e x﹣1与函数y＝（2﹣a）x的图象有2个交点，则需2﹣a＞1，即a＜1．故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．lg0.25+2lg2＝0 ．【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解．解：原式＝﹣lg4+2lg2＝﹣2lg2+2lg2＝0，故答案为：0．14．已知，则tanα＝﹣3 ．【分析】由已知利用两角差的正切函数公式即可求解．解：∵＝，∴2+2tanα＝tanα﹣1，∴解得tanα＝﹣3．故答案为：﹣3．15．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线交抛物线C于P，Q 两点，交l于点A，若＝3，则＝ 2【分析】如图所示，分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，通过三角形的相似，化简求解即可．解：如图所示，分别过点P，Q做PB⊥l，QE⊥l，垂足分别为B，E，设QF＝m，由＝3，则QF＝QE＝m，PB＝PF＝3m，∴＝＝，即＝，解得AQ＝2m，则＝2，故答案为：2．16．我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，则“三斜求积”公式为S＝．若a2sin C＝4sin（B+C），（a+c）2＝12+b2，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为．【分析】由已知结合正弦定理进行整理，然后代入三角形的面积公式即可求解．解：由a2sin C＝4sin（B+C）＝4sin A，由正弦定理可得，a2c＝4a即ac＝4，又（a+c）2＝12+b2，故a2+c2﹣b2＝12﹣2ac＝4，则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积S＝＝故答案为：三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA＝AD，PA⊥AB，N是棱AD的中点．（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）求证：PN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱BC上是否存在动点E，使得BN∥平面DEP？并说明理由．【分析】（Ⅰ）证明AB⊥平面PAD，再证明：平面PAB⊥平面PAD；（Ⅱ）证明PN⊥AD，AB⊥PN，利用线面垂直的判定定理证明：PN⊥平面ABCD；（Ⅲ）在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点，证明BN∥DE即可．【解答】（Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，AB⊥AD．…（1分）又∵AB⊥PA且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD．…又∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．…（Ⅱ）证明：在△PAD中，PA＝PD，N是棱AD的中点，∴PN⊥AD．…由（Ⅰ）知AB⊥平面PAD，∴AB⊥PN．…又∵AB∩AD＝A，∴PN⊥平面ABCD．…（Ⅲ）解：在棱BC上存在点E，使得BN∥平面DEP，此时E为BC的中点．…证明如下：取BC中点E，连接PE，DE．…在矩形ABCD中，ND∥BE，ND＝BE，所以四边形BNDE为平行四边形，∴BN∥DE．…又∵BN⊄平面DEP，DE⊂平面DEP，所以BN∥平面DEP．…18．已知各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝（a n+1）2（n∈N*）．（1）证明：数列{a n}是等差数列，并求其通项公式；（2）设b n＝a n+2，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用分组法的应用求出数列的和．解：（1）各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝（a n+1）2（n∈N*）．当n＝1时，解得a1＝1．由4S n＝（a n+1）2．和4S n+1＝（a n+1+1）2．两式相减，得：，整理得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣2）＝0．所以a n+1﹣a n＝2，故数列{a n}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以：a n＝2n﹣1．（2）由于b n＝a n+2＝2n﹣1+22n﹣1，所以，＝，＝．19．“绿水青山就是金山银山”，“建设美丽中国”已成为新时代中国特色社会主义生态文明建设的重要内容，某班在一次研学旅行活动中，为了解某苗圃基地的柏树幼苗生长情况，在这些树苗中随机抽取了120株测量高度（单位：cm），经统计，树苗的高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21），[21，23），[23，25），[25，27），[27，29），[29，31]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．据当地柏树苗生长规律，高度不低于27cm的为优质树苗．（1）求图中a的值；（2）已知所抽取的这120株树苗来自于A，B两个试验区，部分数据如下列联表：试验区试验区合计优质树苗10 20 30非优质树苗60 30 90合计70 50 120 将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系，并说明理由；（3）通过用分层抽样方法从B试验区被选中的树苗中抽取5株，若从这5株树苗中随机抽取2株，求优质树苗和非优质树苗各有1株的概率．参考公式与参考数据：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.010 0.005 0.001k0 6.635 7.879 10.828【分析】（1）根据频率和为1列方程求出a的值；（2）根据频率直方图计算并填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；（3）由分层抽样法求出对应数据，用列举法求出基本事件，计算所求的概率值．解：（1）根据频率直方图数据，有2×（a×2+2a+0.10×2+0.20）＝1，解得：a＝0.025；（2）根据频率直方图可知，样本中优质树苗棵树有120×（0.10×2+0.025×2）＝30；填写列联表如下：试验区试验区合计优质树苗10 20 30非优质树苗60 30 90合计70 50 120可得；K2＝＝≈10.286＜10.828；所以，没有99.9%的把握认为优质树苗与A、B两个试验区有关系；（3）由（2）知：B试验区选中的树苗中优质树苗有20株，非优质树苗有30；故用分层抽样在这50株抽出的5株树苗中优质树苗和非优质树苗分别为2株和3株，记2株优质树苗为M、N，记3株非优质树苗为s、p、r；则从这5株树苗中随机抽取2株的共有以下10种不同结果：MN，Ms，Mp，Mr，Ns，Np，Nr，sp，sr，pr，其中，优质树苗和非优质树苗各有1株的共有以下共6种不同结果：Ms，Mp，Mr，Ns，Np，Nr；所以优质树苗和非优质树苗各有1株的概率为P＝＝．20．已知函数f（x）＝ax﹣e x（e为自然对数的底数）．（I）当a＝时，求函数f（x）的单调区间及极值；（Ⅱ）当2≤a≤e+2时，求证f（x）≤2x．【分析】（Ⅰ）当时，，求导并令，从而确定函数的单调性，从而求极值．（Ⅱ）令F（x）＝2x﹣f（x）＝e x﹣（a﹣2）x；分a＝2与2＜a≤2+e讨论从而确定函数的最值，从而证明．解：（Ⅰ）当时，令，得x＝﹣1；当x＜﹣1时，f'（x）＞0；当x＞﹣1时，f'（x）＜0；∴，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣1）；单调递减区间为（﹣1，+∞）；当x＝﹣1时，函数f（x）有极大值；没有极小值．（Ⅱ）证明：令F（x）＝2x﹣f（x）＝e x﹣（a﹣2）x；①当a＝2时，F（x）＝e x＞0；∴，f（x）≤2x；②当2＜a≤2+e时，F'（x）＝e x﹣（a﹣2）＝e x﹣e ln（a﹣2）当x＜ln（a﹣2）时，F'（x）＜0；当x＞ln（a﹣2）时，F'（x）＞0；∴F（x）在（﹣∞，ln（a﹣2））单调递减，在（ln（a﹣2），+∞）上单调递增．∴F（x）≥F（ln（a﹣2））＝e ln（a﹣2）﹣（a﹣2）ln（a﹣2）＝（a﹣2）[1﹣ln（a﹣2）]，∵2＜a≤2+e，∴a﹣2＞0，1﹣ln（a﹣2）≥1﹣ln[（2+e）﹣2]＝0，∴F（x）≥0，即f（x）≤2x；综上，当2≤a≤e+2时，f（x）≤2x．21．在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，0），B（2，0），动点P（x，y）满足直线AP 与BP的斜率之积为﹣．记点P的轨迹为曲线C（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；（2）若M，N是曲线C上的动点，且直线MN过点D（0，），问在y轴上是否存在定点Q，使得∠MQO＝∠NQO？若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设P（x，y），则k AP•k BP＝•＝﹣，y≠0，整理化简即可（2）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为y＝kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）．利用韦达定理以及∠MQO＝∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．求解m即可．解：（1）设P（x，y），则k AP•k BP＝•＝﹣，y≠0，整理可得+＝1，y≠0，故C的方程+＝1，y≠0，说明C不包含（y＝0）的椭圆；（2）假设存在满足题意的定点Q，设Q（0，m），设直线l的方程为y＝kx+，M（x1，y1），N（x2，y2）．由消去y，得（3+4k2）x2+4kx﹣11＝0．由直线l过椭圆内一点（0，）作直线故△＞0，由求根公式得：x1+x2＝，x1x2＝，由得∠MQO＝∠NQO，得直线得MQ与NQ斜率和为零．故+＝+＝2k+（﹣m）•＝2k+（﹣m）•＝所以m＝6，存在定点（0，6），当斜率不存在时定点（0，6）也符合题意．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中．直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π）．在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中．曲线C：ρ＝4cosθ．（1）当α＝时，求C与l的交点的极坐标；（2）直线l与曲线C交于A，B两点，且两点对应的参数t1，t2互为相反数，求|AB|的值．【分析】（1）依题意可知，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），对ρ分类讨论与ρ＝4cosθ联立解出交点．（2）把直线l的参数方程代入曲线C，得t2+2（sinα﹣cosα）t﹣2＝0，利用根与系数的关系代入|AB|＝|t1﹣t2|＝即可得出．解：（1）依题意可知，直线l的极坐标方程为θ＝（ρ∈R），当ρ＞0时，联立，解得交点，当ρ＝0时，经检验（0，0）满足两方程，当ρ＜0时，无交点；综上，曲线C与直线l的点极坐标为（0，0），．（2）把直线l的参数方程代入曲线C，得t2+2（sinα﹣cosα）t﹣2＝0，可知t1+t2＝0，t1t2＝﹣2，所以|AB|＝|t1﹣t2|＝＝2．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．【分析】（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集即得所求．（2）原命题等价于﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立，由此求得求a的取值范围．解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，即①，或②，或③；解①可得x≤1，解②可得x∈∅，解③可得x≥4．把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立．故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0，故a的取值范围为[﹣3，0]．。
四川省成都市2020届高中毕业班高三数学第一次诊断性检测试卷理科 人教版
四川省成都市2020届高中毕业班高三数学第一次诊断性检测试卷理科全卷满分为150分，完成时间为120分钟。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P(A+B)=P(A)+P(B) S=4πR 2如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 334R V π=P n (k)=C kn P k(1-P)n-k其中R 表示球的半径 第I 卷 (选择题，共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共6O 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在机读卡的相应位置上。
1．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生3O0人，学校学生会用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数应为(A)1O (B)9 (C)8 (D)7 2．已知集合R U =，集合{||2|x y y M ==，}Rx ∈，集合}{)3lg(|x y x N -==，则=(A)}{3|≥t t (B)}{1|t ＜t (C)}{31|t ＜t ≤ (D)3．已知向量)1(-=x ，a 与向量)11(x，b =，则不等式a · 0≤b 的解集为 (A)}{11|≥-≤x x x 或 (B)}{101|≥≤-x x ＜x 或(C)}{101|≤≤-≤x x x 或 (D)}{101|≤-≤＜x x x 或 4．在△ABC 中，“0·＞AC”是“△ABC 为锐角三角形”的(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既非充分又非必要条件5．已知l 、m 、n 是两两不重合的直线，α、β、γ是两两不重合的平面，给出下列命题： ①若l m //且α⊥m ，则α⊥l ； ②若l m //且α//m ，则α//l ； ③若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，则n m l ////；○4若α//l ，β⊂l ，β//m ，α⊂m ，且直线l 、m 为异面直线，则βα//其中真命题的序号为(A)○1○2 (B)○1○3 (C)○1○4 (D)○2○46．已知函数)(x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的解析式可能为(A))62sin(2)(π-=x x f (B))44cos(2)(π+=x x f (C))32cos(2)(π-=x x f (D))64sin(2)(π+=x x f7．已知无穷等比数列{}na 的公比为)1||(R ，q＜q q ∈，n S 为其前n 项和)(*N n ∈，又87321=++a a a ，641··321=a a a ，则的值为 (A)21 (B)21- (C)81 (D)1序号 12 3 4 5 6 节目如果、两个节目要相邻，且都不排在第3号位置，那么节目单上不同的排序方式有 (A)192种 (B)144种 (C)96种 (D)72种9．如图，设地球半径为R ，点A 、B 在赤道上，O 为地心，点C 在北纬030的纬线（'O 为其圆心）上，且点A 、C 、D 、'O 、O 共面，点D 、'O 、O 共线。
2020届四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学(理)试题(解析版)
2020届四川省泸州市高三上学期第一次教学质量诊断性考试数学（理）试题一、单选题1．已知集合{0,1,2,3}A =，集合{|2}B xx =≤‖，则A B =（ ）A ．{3}B ．{0,1,2}C ．{1,2}D ．{0,1,2,3}【答案】B【解析】可以求出集合B ，然后进行交集的运算即可． 【详解】解：{0,1,2,3},{|22}A B x x ==-≤≤，{0,1,2}A B ∴⋂=．故选：B ． 【点睛】本题考查集合交集的运算，属于基础题．2．下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”的是（ ）A ．()f x =B ．()2x f x -=C ．()ln f x x =D ．3()f x x =【答案】B【解析】对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”，可知函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项即可判断．【详解】解：“对任意12,(0,)x x ∈+∞，且12x x <都有()()12f x f x >”， ∴函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，结合选项可知，()f x =(0,)+∞单调递增，不符合题意，1()22xxf x -⎛⎫== ⎪⎝⎭在(0,)+∞单调递减，符合题意， ()ln f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，3()f x x =在(0,)+∞单调递增，不符合题意，故选：B ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．“sin 0α=”是“sin 20α=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由sin 0α=可得α，由sin20α=也可得α，观察两个α的范围之间的关系即可得结果. 【详解】 解：由sin 0α=可得,k k Z απ=∈，由sin 20α=可得,2kk Z απ=∈， 所以“sin 0α=”是“sin 20α=”的充分不必要条件，故选：A. 【点睛】本题考查条件的充分性和必要性，关键是求出α的取值，本题是基础题. 4．已知函数y =f （x ）+x 是偶函数，且f （2）=1，则f （-2）=（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】∵()y f x x =+是偶函数 ∴()()f x x f x x +=--当2x =时，()()2222f f +=--，又()21f = ∴()25f -= 故选：D5．一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．不确定 【答案】B【解析】如图所示，直线a ∥α，a ∥β，α∩β=b ，求证a ∥b ．只需考虑线面平行的性质定理及平行公理即可．解：由a ∥α得，经过a 的平面与α相交于直线c ，则a ∥c ，同理，设经过a 的平面与β相交于直线d ， 则a ∥d ，由平行公理得：c ∥d ， 则c ∥β，又c ⊂α，α∩β=b ，所以c ∥b ， 又a ∥c ，所以a ∥b ． 故答案为B ．6．如图所示的图象对应的函数解析式可能是A ．221x y x =-- B ．2sin 41x xy x ⋅=+ C ．ln x y x=D ．()22e xy x x =-【答案】D【解析】对于A ，∵221x y x =--，当x 趋向于-∞时，函数2xy =趋向于0，21y x =+趋向于+∞∴函数221x y x =--的值小于0，故排除A 对于B ，∵sin y x =是周期函数∴函数2sin 41x xy x ⋅=+的图像是以x 轴为中心的波浪线，故排除B对于C ， ∵ln xy x=的定义域是()()0,11,⋃+∞，且在()0,1x ∈时，ln 0x <∴0ln xy x=<，故排除C 对于D ，∵函数()22211y x x x =-=--，当0,1x x <>时，0y >；当01x <<时，0y <；且0x y e =>恒成立∴2()2x y x x e =-的图像在x 趋向于-∞时，0y >；01x <<时，0y <；x 趋向于+∞时，y 趋向于+∞ 故选D点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.7．已知:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<，0:q x ∃∈N ，200210x x --=，则下列选项中是假命题的为（ ） A ．p q ∨ B ．()p q ∧-C ．p q ∧D ．()p q ∨-【答案】C【解析】命题p ：由三角函数定义，即可判断出真假；命题q ：由求根公式，即可判断出真假，根据复合命题真值表判断结果即可． 【详解】解：命题p ：由三角函数的定义，角α终边与单位圆交于点P ， 过P 作PM x ⊥轴，垂足是M ，单位圆交x 轴于点A ，则sin MP α=，弧长PA 即为角α；显然MP <弧长PA ； ∴:0,2p πα⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，sin αα<是真命题；命题q ：解方程200210x x --=，则1x =±因此0:q x ∃∈N ，200210x x --=，是假命题．则下列选项中是假命题的为p q ∧．而A ，B ，D 都是真命题． 故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的定义，方程的求根公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过x =确定x ）A ．3B ．12C ．6D ．【答案】A【解析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】(0)m m =>，则两边平方得，则23m +=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．9．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，下列关于()f x 的描述中，正确的是（ ）A ．tan ϕ=B ．最小正周期为2πC ．对任意x ∈R 都有()3f x f x π⎛⎫-=⎪⎝⎭D ．函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后图象关于坐标原点对称 【答案】D【解析】由三角函数图象得,,A ωϕ的值，得到()f x 的解析式，进而再判断每个命题的真假． 【详解】解：由图知：71,,4123T A T πππ==-∴=， 而2,2,3T x ππωω=∴==时，03f π⎛⎫=⎪⎝⎭又在递减区域， 22,Z 3k k πϕππ∴⋅+=+∈，而0,3πϕπϕ<<∴=，所以()sin 2,tan tan 33f x x ππϕ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭，所以A 不正确， 最小正周期222T πππω===，所以B 不正确， sin 2sin(2)sin 2()333f x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-≠ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以C 不正确； 函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后得sin 2sin 263x x ππ⎡⎛⎫⎤-+=⎢⎪ ⎥⎭⎦⎝⎣，关于原点对称，所以④正确． 故选：D ． 【点睛】考查三角函数的图象得函数解析式，及三角函数的性质，属于简单题．10．若将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，则x min 后甲桶中剩余的水量符合衰减函数()nxf x ae =（其中e 是自然对数的底数）.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min 后，甲桶中的水只有L 4a，则m 的值为（ ） A ．9 B ．7C ．5D ．3【答案】C【解析】由题意，函数()nx y f x ae ==满足1(5)2f a =，解出11ln 52n =．再根据1()4f k a =，建立关于k 的指数方程，由对数恒成立化简整理，即可解出k 的值，由5m k =-即可得到．【详解】解：∵5min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数()nt y f t ae ==，满足51(5)2nf ae a ==可得11ln 52n =， 因此，当k min 后甲桶中的水只有4a升， 即1()4f k a =， 即111ln k ln 524⋅=， 即为111ln 2ln 522k ⋅=，解之得10k =，经过了55k -=分钟，即5m =． 故选：C ． 【点睛】本题给出实际应用问题，求经过几分钟后桶内的水量剩余四分之一．着重考查了指数函数的性质、指数恒等式化简，指数方程和对数的运算性质等知识，属于中档题．11．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为矩形，2DPA π∠=，AD =2AB =，PA PD =，则四棱锥P ABCD -的外接球的体积为（ ）A ．163π B ．323π C ．643π D ．16π【答案】B【解析】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，利用勾股定理求出球的半径，即可求四棱锥P −ABCD 的外接球的体积． 【详解】连接AC 交BD 于F ，球心O 在底面的射影必为点F ，取AD 的中点E,在截面PEF 中，连结PO在PAD ∆中，2DPA π∠=，PA PD =，AD =PE ∴=又由已知得1EF =， 设OF x =，在Rt OAF ∆中，224OA x =+，在截面PEF 中，221)x OP =+OP OA =2241)x x ∴+=+得0x =， ∴球的半径为2，∴四棱锥P−ABCD 的外接球的体积为3432233ππ⋅=． 故选：B. 【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质，考查线面垂直的判定与性质，考查四棱锥P−ABCD 的外接球的体积，属于中档题．12．已知函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，且当[0,1]x ∈时，()()1h x g x =-，若函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．()71,2log 3B ．()52,2log 3--C ．()52log 3,1--D ．71log 3,2⎛⎫--⎪⎝⎭【答案】B【解析】把函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，转化为3log ()k x h x =-有3个不同根，画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象，转化为关于k 的不等式组求解． 【详解】解：由函数3()log f x x =的图象与函数()g x 的图象关于直线y x =对称，得()3xg x =，函数()h x 是最小正周期为2的偶函数，当[0,1]x ∈时，()()131xh x g x =-=-，函数()()y k f x h x =⋅+有3个零点，即3log ()k x h x =-有3个不同根， 画出函数3log y k x =与()y h x =-的图象如图：要使函数3log y k x =与()y h x =-的图象有3个交点，则k 0<，且33log 32log 52k k >-⎧⎨<-⎩，即522log 3k -<<-． ∴实数k 的取值范围是()52,2log 3--． 故选：B ． 【点睛】本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．二、填空题 13．函数y =的定义域是 ．【答案】]4,0( 分析:由得40≤<x . 【解析】试题【考点】函数的定义域.⎩⎨⎧≥->0log 202x x14．设函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，那么(18)f 的值为________.【答案】9【解析】推导出(18)(353)(3)f f f =⨯+=，由此能求出结果． 【详解】解：∵函数2,05()(5),5x x f x f x x ⎧≤<=⎨-≥⎩，∴2(18)(353)(3)39f f f =⨯+===． 故答案为：9． 【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15．当0x x =时，函数()cos 22sin 2f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭有最小值，则0sin x 的值为________.【答案】 【解析】利用诱导公式对已知函数进行化简，然后结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：函数2()cos 22sin cos 22cos 2cos 2cos 12f x x x x x x x π⎛⎫=++=+=+-⎪⎝⎭， 根据二次函数的性质可知，当01cos 2x =-时，函数取得最小值，则0sin x =故答案为：． 【点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系及二次函数的性质的简单应用，属于基础试题． 16．已知正方体有8个不同顶点，现任意选择其中4个不同顶点，然后将它们两两相连，可组成平面图形成空间几何体.在组成的空间几何体中，可以是下列空间几何体中的________.（写出所有正确结论的编号） ①每个面都是直角三角形的四面体；②每个面都是等边三角形的四面体； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体. 【答案】①②④【解析】画出正方体的图形，在几何体中找出满足结论的图形即可． 【详解】 解：①每个面都是直角三角形的四面体；如：E −ABC ，所以①正确； ②每个面都是等边三角形的四面体；如E −BGD ，所以②正确； ③每个面都是全等的直角三角形的四面体：这是不可能的，③错误；④有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体．如：A −BDE ，所以④正确；故答案为：①②④． 【点睛】本题考查命题的真假的判断，空间几何体的与三棱锥的关系，是基本知识的考查，易错题．三、解答题17．已知函数321()3f x x x ax =-+（其中a 为实数）. （1）若1x =-是()f x 的极值点，求函数()f x 的减区间； （2）若()f x 在(2,)-+∞上是增函数，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,3)- （2）[1,)+∞【解析】（1）对()f x 求导，代入1x =-使导函数为零，求出a 的值，进而利用导数可求出()f x 的减区间.（2）()f x 在(2,)-+∞上是增函数转化为'()f x 在(2,)-+∞上大于等于零恒成立，进而转化为最值问题，即可求得a 的取值范围.【详解】解：（1）因为321()3f x x x ax =-+，所以2()2f x x x a '=-+， 因1x =-是()f x 的极值点，所以(1)0f '-=，即120a ++=，所以3a =-， 故2()23f x x x '=--，当1x <-或3x >时，()0f x '>，当13x -<<时，()0f x '<， 所以3a =-符合题意， 且()f x 的减区间为(1,3)-；（2）因为()f x 在(2,)-+∞上为增函数，所以2()20f x x x a '=-+≥在(2,)-+∞上恒成立， 所以22a x x ≥-+在(2,)-+∞上恒成立，因为2()2g x x x =-+在(2,1)-上是增函数，在(1,)+∞上是减函数， 所以()(1)1g x g ≤=，所以1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞， 【点睛】本题考查函数的极值及单调性，其中关键是将单调性问题转化为最值问题，是中档题. 18．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin sin 2A Cb Cc +=. （1）求B ；（2）已知2c =，AC 边上的高BD =a 的值. 【答案】（1）3B π=（2）3a =或6a =【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦定理的应用求出结果． （2）利用（1）的结论和余弦定理及三角形的面积的应用求出结果． 【详解】解:（1）由sin sin 2A Cb Cc +=， 所以sin sin 22B b C c π⎛⎫=-⎪⎝⎭，即sin cos 2B b C c =，由正弦定理得sin sin sin cos2B BC C =， 由于C 为ABC ∆的内角，所以sin 0C ≠， 所以sin cos2B B =，即2sin cos cos 222B B B = 由于B 为ABC ∆的内角，∴cos02B≠， 所以1sin22B =， 又因为(0,)B π∈，所以3B π=；（2）因为11sin 22S ac B BD b ==⋅，代入2c =，7BD =，sin B =，得b =，由余弦定理得22222cos 42b a c ac B a a =+-=+-，代入b ，得29180a a -+=， 所以3a =或6a =.【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．19．如图，已知BD 为圆锥AO 底面的直径，若4AB BD ==，C 是圆锥底面所在平面内一点，CD =，且AC 与圆锥底面所成角的正弦值为7.（1）求证：平面AOC ⊥平面ACD ； （2）求二面角B AD C --的平面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）cos 7OFH ∠=【解析】（1）首先找到AC 与圆锥底面所成角ACO ∠，求出,AC OC ，可得CD OC ⊥，结合圆锥的性质，可证明CD ⊥平面AOC ，进而可得平面AOC ⊥平面ACD ； （2）解法一：建立空间直角坐标系，求出平面ACD 的一个法向量和平面ABD 的一个法向量，通过夹角公式，可求得两法向量的夹角，进而得到二面角B AD C --的平面角的余弦值；解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，得OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，通过三角形的边角关系求出OFH ∠的余弦. 【详解】（1）证明：由4AB BD ==及圆锥的性质， 所以ABD ∆为等边三角形，AO ⊥圆O 所在平面，所以AO =ACO ∠是AC 与底面所成角，又AC与底面所成的角的正弦值为7， 在Rt AOC ∆中，7AC ==OC =由CD =，2OD =，在OCD ∆中，222OC CD OD +=， 所以CD OC ⊥，圆锥的性质可知：AO ⊥圆O 所在平面，因为CD ⊂圆O 所在平面，所以AO CD ⊥， 又AO ，OC ⊂平面AOC ，所以CD ⊥平面AOC ， 又DC ⊂平面ACD ， 故平面AOC ⊥平面ACD ；（2）解法一：在圆O 所在平面过点O 作BD 的垂线交圆O 于点E ，以O 为坐标原点，OE 为x 轴，OD 为y 轴，OA 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，由题可知，(0,2,0)B -，(0,2,0)D，A ，由OC =4DOC π∠=，所以(1,1,0)C ，设平面ACD 的一个法向量为(,,)m x y z =，因为(1,1,AC =-，(0,2,AD =-，所以020x y y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 取1z =，则(3,=m ，平面ABD 的一个法向量为(1,0,0)n =， 所以21cos ,7||||m n m n m n ⋅〈〉==，二面角B AD C --. 解法二：过点O 作OF AD ⊥交于F .过F 作FH AD ⊥交DC 于H ，连接HO ，所以OFH ∠为二面角B AD C --的平面角，在Rt OFD ∆中，因为4=AD ，6FOD π∠=，所以1FD =，OF =，因为Rt Rt HFD ACD ∆∆，所以HF ACDF CD=，即HF =则HD = 故C 是HD 的中点， 所以2OH =，在OFH ∆中，2222cos OH OF FH OF FH OFH =+-⨯∠，即224OFH =+-∠，所以cos 7OFH ∠=【点睛】本题考查面面垂直的证明以及向量法求面面角，考查学生的计算能力，是中档题. 20．已知函数()2cos (sin cos )()f x x x x x R =+∈. （1）求函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合；（2）若将函数()f x 的图象上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，且3()3g α+=，3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，求2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）()f x 的最小值是1x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z（2【解析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数()f x 得解析式，再根据正弦函数的最值求得函数()f x 的最小值及取最小值时x 取值的集合．（2）由题意利用函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用两角和的正弦公式求得2g πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值．【详解】解：（1）2()2cos sin 2cos f x x x x =+，sin2cos21x x =++214x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当2242x k πππ+=-+，即3()8x k k ππ=-∈Z 时， sin 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭取得最小值是-1，所以函数()f x 的最小值是1 此时x 的集合为3|,8x x k k ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ； （2）()f x 的图像上所有点的横坐标扩大为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()g x 所以()g x 的最小正周期为4π，故1()124g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为1()11243g παα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，所以11sin 243πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭又3,22ππα⎛⎫∈⎪⎝⎭，所以1,242ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243πα⎛⎫+=-⎪⎝⎭， 111122244g πππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+=+⋅+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦11sin cos cos sin 1244244ππππαα⎤⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦113232⎛=⨯--⨯+ ⎥⎝⎭⎣⎦43+=.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的最值，函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，两角和的正弦公式，属于中档题． 21．已知函数()ln f x x =，1()g x a x=+（其中a 是常数）. （1）求过点(0,1)P -与曲线()f x 相切的直线方程；（2）是否存在1k ≠的实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，若这样的实数k 存在，试求k ，a 的值；若不存在.请说明理由.【答案】（1）1y x =-（2）存在,2k e =, a =【解析】（1）根据导数的几何意义先求出切线斜率，进而可求切线方程， （2）假设存在1k ≠的正实数，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，转化为1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，分类讨论求1ln kx x a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的最小值，令其大于等于零，利用导数求出k ，a 的值即可． 【详解】解：（1）设过点(0,1)P -的直线与曲线()f x 相切于点()00,ln x x ， 因()ln f x x =，则1()f x x'=， 所以在()00,ln x x 处切线斜率为()001f x x '=， 则在()00,ln x x 处切线方程为()0001ln y x x x x -=-， 将(0,1)P -代入切线方程得0ln 0x =，所以01x =， 所以切线方程为1y x =-；（2）假设存在实数1k ≠，使得只有唯一的正数a ，当0x >时不等式11()f x g x k x a a ⎛⎫⎛⎫+≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即111ln a x k x x a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++≤+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭恒成立，取1x =，可知0k >， 因为0x >，0a >，所以1ln 0kx x a a ⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，令1()ln (0)kx m x x x a a ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， 则2()1(1)k a akx a k m x a ax a ax '-+=-=++，由()00m x '=得20a kx ak-=. （1）当20k a <<时，()00,x x ∈时，()00m x '<，则()m x 在01,x a ⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数，()0,x x ∈+∞时，()00m x '>，则()m x 在()0,x +∞上为增函数，则()min 02()1ln 0k am x m x a k==--≥，即2ln 1k a a k +≤，令2()ln (k ah a a a k=+>，则233122()k a k h a a a a'-=-=，由()00h a '=，得0a a =>， )0a a ∈时，()0h a '<，则()h a 在区间)0a 上为减函数，()0,a a ∈+∞时，()0'>h a ，则()h a 在区间()0,a +∞上为增函数，因此存在唯一的正数a >，使得()1h a ≤，故只能min ()1h a =.所以()min 01()12h a h a ==+=，所以2k e =，此时a 只有唯一值e. （2）当2k a ≥时，()00m x '>，所以()m x 在(0,)+∞上为增函数，所以0lim ()ln 0x m x a →=≥，则1a ≥， 故1k >.所以满足1a ≤≤a 不唯一综上，存在实数2k e =，a ，当0x >时，恒有原式成立. 【点睛】本题考查函数的导数应用，函数的单调性以及分类讨论思想的应用，考查计算能力． 22．如图，在极坐标系Ox 中，过极点的直线l 与以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆的一个交点为2,3B π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线1M 是劣弧OB ，曲线2M 是优弧OB .（1）求曲线1M 的极坐标方程；（2）设点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，若||||6OP OQ +=，求θ的值.【答案】（1）4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭（2）3πθ=【解析】（1）利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，求出结果． （2）利用极径和三角函数关系式的变换的应用求出结果． 【详解】解：（1）设以点(2,0)A 为圆心、半径为2的圆上任意一点(,)ρθ， 所以该圆的极坐标方程为4cos ρθ=， 则1M 的方程为4cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭；（2）由点()1,P ρθ为曲线1M 上任意一点，则114cos 32ππρθθ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，点2,3Q πρθ⎛⎫-⎪⎝⎭在曲线2M 上，则24cos 3233ππππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤-≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 即224cos 363πππρθθ⎛⎫⎛⎫=--≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为12||,||OP OQ ρρ==，所以12||||OP OQ ρρ+=+， 即||||4cos 4cos 3OP OQ πθθ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭3πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 因为32ππθ≤≤，且263ππθ-≤≤，所以32ππθ≤≤，因为||||6OP OQ +=，所以63πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即sin 32πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 所以3πθ=.【点睛】本题考查参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题．23．设()|-3||4|f x x x =+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）已知x ，y 实数满足2223(0)x y a a +=>，且x y +的最大值为1，求a 的值. 【答案】（1）[2.5,4.5]（2）65a = 【解析】（1）讨论x 的取值范围，去掉绝对值求出不等式()2f x ≤的解集；（2）结合题意，利用柯西不等式求得2()x y +的最大值，列方程求出a 的值．【详解】解：（1）当3x <时，不等式化为342x x -+-+≤，此时2.53x ≤<， 当34x ≤≤时，不等式化为342x x --+≤，成立，当4x >时，不等式化为342x x -+-≤，此时4 4.5x <≤，综上所述，原不等式的解集为[2.5,4.5]；（2）柯西不等式得22222))()x y ⎡⎤⎡⎤++≥+⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，因为2223(0)x y a a +=>，所以25()6x y a +≤，（当23x y =时，取等号）， 又因为x y +的最大值为1，所以65a =. 【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了柯西不等式的应用问题，是中档题．。
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巴中市普通高中2017级“一诊”考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1.复数z=2
1i 在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数所对应点的坐标后即可得到答案．
【详解】由题意得22(1)2(1)
11(1)(1)2i i z i i i i ，
所以复数2
1i z 在复平面内对应的点的坐标为(1,1)，位于第四象限．
故选D ．
【点睛】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的几何意义，属于基础题．
2.已知集合2(,)|A x y y x ，{(,)|}B x y y x ，则A B I ( )
A {(0,0)} B. {(1,1)} C. {(0,0),(1,1)}
D. {0,1}【答案】C
【解析】
【分析】
集合A ,B 分别表示抛物线，直线上的点构成的集合，其交点构成集合即为交集
.
【详解】由2y x y x 解得00x
y 或1
1x y ，
A B I {(0,0),(1,1)}，
故选：C
【点睛】本题主要考查了集合的交集，求直线与抛物线交点，属于容易题. .
3.设sin 6a ，2log 3b ，2314c
，则( ) A. a c b B. c a b C. b a c D. c b a
【答案】B
【解析】
【分析】
利用相关知识分析各值的范围，即可比较大小
. 【详解】1sin
62a Q , 21log 3
2b , 1234
31
11421202
c ,
c a b ,
故选：B
【点睛】本题主要考查了指数函数的单调性，对数函数的单调性，属于中档题. 4.已知变量x 、y 之间的线性回归方程为
0.710.3y x ，且变量x 、y 之间的一-组相关数据如下表所示，则下列说法错误．．的是（
）x 6
81012y 6m 32
A. 可以预测，当
20x =时， 3.7y B. 4m C. 变量x 、
y 之间呈负相关关系 D. 该回归直线必过点9,4【答案】B
【解析】
【分析】。