二次函数与一元二次方程教案
公开示范
《二次函数与一元二次方程
》
贺兰四中 何丽娟
一、学习目标
根据新课标的要求及九年级学生的认知水平特制定本节课的教学目标
如下：
知识与技能：
1、掌握二次函数与一元二次方程的联系。
2、掌握利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根。
过程与方法：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数
之间的联系。
2、经历用二次函数图象求一元二次方程近似解的过程，获得用图象法
求方程近似解的体验。
情感、态度与价值观：
1、经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，提高学生的分析
能力与在探索过程中抽象概括能力。
2、培养学生合作学习的良好意识和积极进取的精神。
3、培养学生用联系的观点看问题。
二、教学重点、难点
根据新课标的要求及九年级学生的认知和发展水平，结合学情，我制
定本节课的学习重、难点如下
教学重点：把握二次函数图象与x轴（或y=h）交点的个数与一元二
次方程的根的关系．掌握此点，关键是理解其实质就是把函数值换成常数
求一元二次方程的解。
教学难点：利用函数的性质，用逐步逼近去试探求出近似解，较难理
解，培养学生的数形结合的意识和学会用数形结合的方法解决问题。
三、教学过程设计
（一）、学习准备
1、解方程：x2 -2x-3=0
2、一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△ = 。
当△﹥0方程根的情况是： ；当△=0时，方
程 ； 当△﹤0时，方程 。
3、 二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，且a≠0)图像是一
条 ，它与x轴的交点有几种可能的情况？
4、回顾一次函数与一元一次方程的关系：一次函数y=－x+5与x轴
的交点坐标是 ，一元一次方程－x+5=0的解是 。你发
现了什么？
5、回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=－x+5与y=
2x－1的图象的交点坐标与方程组
125yx
yx
的解是什么关系？
（利用类比的方法让学生在自学的基础上进行小组合作交流学习）
（二）、创设情境 引入新课
我们已经知道，竖直上抛物体的高度h (m )与运动时间t (s )的关系可
以用公式 h =－5t2+v0t +h0表示，其中h0(m)是抛出时的高度，v0(m/s )
是抛出时的速度.一个小球从地面被以40m/s 速度竖直向上抛起，小球的
高度h(m)与运动时间t(s)的关系如下图所示，那么：
（1）h 与t 的关系式是什么？
（2）小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？
(设计意图：通过借助方程和图像两种方法解题，使学生初步感受二
次函数与一元二次方程的联系)
(教学策略：小组交流发表看法)
（三）合作探究：二次函数图象与x轴交点的个数与△关系
(1)当a＞0时
二次函数表达式 草图 与x轴的交点的个数 一元二次方
程
△= 二次函数与x轴交点个数与
△的关系
y= x2+2x-2 x2+2x-2=0
y=x2+2x+1 x2+2x+1=0
y=x2+2x+2 x2+2x+2=0
（2）当a＜0时
二次函数表达式 草图 与x轴的交点的个数 一元二次方程 △ =
二次函数
与x轴交点
个数与△的
关系
y= －x2－2x+2 －x2－2x+2=0
y=－x2－2x－1 －x2-2x-1=0
y=－x2－2x－2 －x2－2x-2=0
（这一环节将学生分组，每组做一行，这样做的目的是加强组与组的
合作。这个环节给学生充分的时间观察、对比、交流，进而发现规律。在
充分交流、讨论的基础上，小组派代表谈谈他们发现的规律，其他学生评
价或补充。）
（四）、反思小结——二次函数y=ax2＋bx＋c与一元二次方程的ax
2
＋bx＋c=0的联系
知识点：
1二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点有三种情
况 ： ， ， 。
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有0个交点 一元二次方程
ax2＋bx＋c=0无实数根（△<0）
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有1个交点 一元二次方程
ax2＋bx＋c=0有两个相等的实数根（△=0）
二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与x轴有2个交点 一元二次方程
ax2＋bx＋c=0有两个不相等的实数根（△>0）
2交点横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的 。
（及时地把问题和学习内容进行整理和归纳，给学生系统化的认知）
（五） 、即时训练：
（1）抛物线y=x2-(a+2)x+9与x轴只有一个交点，则
a= 。
（2）已知二次函数y=mx2-2x+1的图象与x轴有两个交点，则m的
取值范围为 。
（3）抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交点的个数为（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
（4）与x轴不相交的抛物线是（ ）
A．y=3x2-4 B．y=-2x2-6 C．y=-x2-6
D．y=-(x+2)2-1
(5)抛物线y=mx2＋(3－2m)x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交
点。
（1）求m的取值范围； （2）判断点P(1，1)是否在此抛物线
上？
（在学生独立思考完成后，再请每个小组代表展示和讲解，其他学生
补充或评价我适时点评。）
（六）、知识升华：回到一开始的小球上抛问题中，提问何时小球离地
面的高度是60 m？
这一问题实际上涉及二次函数y=ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋
bx＋c=h的联系，教学时鼓励学生借助方程和图像解决问题，从而沟通“数”
与“形”的联系，进一步感受二次函数与一元二次方程的联系，理解其实
质就是把函数值换成常数求一元二次方程的解。
（七）课堂小结：
课程结束时，让学生谈谈自己的收获以及还有哪些问题没能搞明白。
初三数学教案二次函数与一元二次方程
初三数学教案二次函数与一元二次方程初三数学教案：二次函数与一元二次方程一、教学目标1. 理解二次函数的基本概念和性质。
2. 掌握二次函数的图像、顶点、对称轴等相关知识。
3. 熟练运用一元二次方程解题方法，包括配方法、求根公式等。
4. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二、教学准备1. 教学工具：投影仪、黑板、白板、教学PPT等。
2. 教学素材：相关教材、试题、例题、习题。
三、教学过程1. 引入（可以在黑板上绘制二次函数的图像）本节课我们将学习二次函数与一元二次方程的知识。
二次函数在数学中有着重要的作用，它的图像形状是一条抛物线。
我们先来看一看二次函数的图像。
（通过PPT展示二次函数的图像，引导学生观察顶点、对称轴等）在图像中，我们可以观察到二次函数的图像是关于一条垂直线对称的，这条垂直线被称为对称轴。
图像的最高点或最低点叫做顶点。
2. 二次函数的基本概念和性质（在黑板上记录二次函数的基本定义和性质，并通过PPT进行讲解和说明）二次函数的基本定义：二次函数是一种具有公式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
性质1：当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
性质2：对称轴的方程为x = -b/(2a)，顶点坐标为(-b/(2a)，f(-b/(2a)))。
性质3：二次函数的图像关于对称轴对称。
通过讲解和示例，让学生掌握二次函数的基本概念和性质。
3. 二次函数的图像及其应用（以一些具体的图像和问题为例，让学生分析和讨论）请观察下列二次函数的图像，请描述它们的开口方向、顶点等特点，并讨论它们在实际中的应用。
例：f(x) = x^2例：f(x) = -2x^2 + 4x - 1通过分析和讨论，引导学生深入理解二次函数图像的特点和应用。
4. 一元二次方程的解法（通过例题和习题，让学生熟练掌握一元二次方程的解题方法）一元二次方程是指只有一个未知数的二次方程。
二次函数与一元二次方程,不等式教案
二次函数与一元二次方程,不等式教案
一、教学内容：
二次函数与一元二次方程及不等式的概念、特征及应用
二、教学目标：
1、掌握二次函数的定义及一般式形式；
2、掌握一元二次方程的定义及解法；
3、掌握不等式的定义及解法；
4、能够应用一元二次方程和不等式解决实际问题；
三、教学重点：
1、引出二次函数的概念，掌握一般式形式；
2、了解一元二次方程的定义，熟练掌握解题步骤；
3、理解不等式的定义和解题步骤；
4、熟练运用一元二次方程和不等式解决实际问题；
四、教学过程：
Step1. 问题引入
1. 用图像说明二次函数的特点
2. 提出求抛物线顶点坐标的问题，引出一元二次方程 Step2. 探究解题思路
1. 引入一元二次方程的概念，介绍其一般式形式和解法
2. 通过案例让学生掌握解一元二次方程的步骤
Step3. 深入学习
1. 引入不等式的概念，介绍其定义及解答
2. 通过案例让学生熟练掌握不等式的解法
Step4. 应用与练习
1. 通过实际问题让学生熟练掌握二次函数与一元二次方程、不等式的概念，特征及应用
2. 通过实际问题让学生熟练掌握求解一元二次方程、不等式的步骤
Step5. 总结
1. 总结一元二次方程及不等式的定义、特征及求解步骤
2. 总结二次函数的定义及特征。
《二次函数与一元二次方程的关系》教案
《二次函数与一元二次方程的关系》教案教学目标知识与技能1．抛物线与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标的求法．2．运用二次函数的图像求一元二次方程的解，理解二次函数与一元二次方程的联系．3．会用二次函数的图像求一元二次方程的近似根，并进一步发展估算能力．数学思考与问题解决经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数的联系，尝试自主探索并解决问题．情感与态度在经历和体验数学发现的过程中，提高思维品质，在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心．重点难点重点理解二次函数与一元二次方程之间的联系，能够运用二次函数及其图像、性质解决实际问题．难点进一步培养学生综合解题能力，渗透数形结合的思想是教学的难点．教学设计一、导入新课1．展示学生收集的用照片或图画形式描绘的生活中的抛物线．2．选出较好的几幅作品．创设问题情境，例如，求拱门的最大高度怎么办？二、自主探究1．出示题目：(1)解方程x2-x-2=0．(2)画出二次函数y=x2-x-2的图像．2．出示如下问题：(1)二次函数y=x2-x-2的图像与x轴交点的横坐标是什么？它与方程x2-x-2=0的根有什么关系？(2)如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根，那么它的根和二次函数y=ax2+bx+c的图像与x 轴交点的横坐标有什么关系？教师参与学生活动，本次活动教师应重点关注学生：(1)能否发现二次函数与对应一元二次方程的关系，并类比到一般形式；(2)是否积极参与到数学活动中．3．教师总结板书：抛物线y=ax2+bx+c和x轴位置有2个公共点有1个公共点没有公共点ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况有两个不等实根有两个相等实根无实根三、合作交流例：求方程x2-2x-6=0的较小根的近似值(精确到0．1)．教师应关注：(1)学生是否有意识地反思探索的过程，获得分析问题的经验；⑵学生是否积极地参与到数学活动中来；(3)学生是否理解了求方程近似解的方法．四、达标拓展1．二次函数y=x2+x-6的图像与x轴交点的横坐标是()A．2和-3B．-2．和3C．2和3D．-2和-32．二次函数y=x2+x-6，当y<0时，自变量x取值范围是_________．3．若抛物线y=-x2-7x+c与x轴无交点，则c的取值范围是_________．4．教材第52页练习．参考答案：1．A2．-3<x<23．c<-4944．x≈3．7五、课堂小结二次函数与一元二次方程的关系，一元二次方程近似值的求法．六、课后作业教材第5253页A组第1、2题．。
九年级数学下册二次函数与一元二次方程利用二次函数求方程的近似根教案新版北师大版
2.5 二次函数与一元二次方程第2课时利用二次函数求方程的近似根1．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根；(重点)2．进一步体会二次函数与一元二次方程的关系．(难点)一、情境导入你能根据函数y＝x2＋2x－5的图象(如图)，求出方程x2＋ 2x－5＝0的近似根吗(精确到0.1)?由图象知，抛物线与x轴有两个公共点，它们分别位于x轴上1和2、－4和－3之间，所以一元二次方程x2＋ 2x－5＝0有两个根，它们分别介于1和2、－4和－3之间．这两个根分别是1.5和－3.5吗？二、合作探究探究点：利用二次函数求方程的近似根【类型一】利用二次函数估算一元二次方程的近似根利用二次函数的图象估计一元二次方程x2－2x－1＝0的近似根(精确到0.1)．解析：根据函数与方程的关系，可得函数图象与x轴的交点的横坐标就是相应的方程的解．解：方程x2－2x－1＝0根是函数y＝x2－2x－1与x轴交点的横坐标．作出二次函数y＝x2－2x－1的图象，如图所示，由图象可知方程有两个根，一个在－1和0之间，另一个在2和3之间．先求－1和0之间的根，当x＝－0.4时，y＝－0.04；当x ＝－0.5时，y ＝0.25.因此，x ＝－0.4(或x ＝－0.5)是方程的一个近似根．同理，x ＝2.4(或x ＝2.5)是方程的另一个近似根．方法总结：解答此题的关键是求出对称轴，然后由图象解答，锻炼了学生数形结合的思想方法． 【类型二】 列表求一元二次方程的近似根下面表格列出了函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)部分x 与y 的对应值，那么方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围是( )x 6.17 6.18 6.19 6．20y －0.03 －0.01 0.02 0.04A.6＜x ＜C ．6.18＜x ＜6.19 D ．6.19＜x ＜6.20解析：由表格中的数据得，在6.17＜x ＜6.20范围内，y 随x 的增大而增大，当x ＝6.18时，y ＝－0.01，当x ＝6.19时，y ＝0.02，方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围是6.18＜x ＜6.19，故选C.方法总结：利用抛物线的增减来确定抛物线与x 轴交点的坐标的可能位置．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第1题【类型三】 利用图象求一元二次方程的近似根已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的近似根为( )A ．x 1≈－2.1，x 2≈0.1B ．x 1≈－2.5，x 2≈0.5C ．x 1≈－2.9，x 2≈0.9D ．x 1≈－3，x 2≈1解析：由图象可得二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的对称轴为x ＝－1，而对称轴右侧图象与x 轴交点到原点的距离约为0.5，∴x 2≈0.5；又∵对称轴为x ＝－1，则x 1＋x 22＝－1，∴x 1＝2×(－1)－0.5＝－2.5.故x 1≈－2.5，x 2≈0.5.故选B.方法总结：解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题【类型四】 利用二次函数和一次函数的图象求方程的根已知二次函数y ＝2x 2－2和函数y ＝5x ＋1.(1)你能用图象法求出方程2x 2－2＝5x ＋1的解吗？(2)请通过解方程的方法验证(1)问的解．解析：(1)根据函数图象的交点坐标是相应方程的解，可得答案；(2)根据因式分解，可得方程的解．解：(1)如图在平面直角坐标系内画出y ＝2x 2－2和函数y ＝5x ＋1的图象，如图所示：图象交点的横坐标是－12，3，故2x 2－2＝5x ＋1的解是x 1＝－12，x 2＝3； (2)由(1)可知交点横坐标即为方程2x 2－2＝5x ＋1的解，化简得2x 2－5x －3＝0，因式分解，得(2x ＋1)(x －3)＝0.解得x 1＝－12，x 2＝3，可知(1)中求得的解正确． 方法总结：利用图象法求一元二次方程的近似根，图象交点的横坐标是方程的解． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型五】 二次函数与其他函数的综合利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0时，我们采用的一种方法是：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝x 2和直线y ＝－x ＋3，两图象交点的横坐标就是该方程的解．(1)填空：利用图象解一元二次方程x 2＋x －3＝0，也可以这样求解：在平面直角坐标系中画出抛物线y ＝________和直线y ＝－x ，其交点的横坐标就是该方程的解；(2)已知函数y ＝－6x 的图象(如图所示)，利用图象求方程6x－x ＋3＝0的近似根(结果保留两个有效数字)．解析：(1)一元二次方程x 2＋x －3＝0可以转化为x 2－3＝－x ，所以一元二次方程x 2＋x－3＝0的解可以看成抛物线y ＝x 2－3与直线y ＝－x 交点的横坐标；(2)函数y ＝－6x的图象与直线y ＝－x ＋3的交点的横坐标就是方程6x－x ＋3＝0的近似根． 解：(1)x 2－3(2)图象如图所示：由图象可得，方程6x－x ＋3＝0的近似根为x 1＝－1.4，x 2＝4.4. 方法总结：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是：(1)作出函数的图象，由图象确定方程的解的个数；(2)由图象与y ＝h 的交点位置确定交点横坐标的范围；(3)观察图象求得方程的近似根．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第8题三、板书设计利用二次函数求方程的近似根1．利用二次函数估算一元二次方程的近似根2．列表或利用图象求一元二次方程的近似根3．利用二次函数和一次函数的图象求方程的根在教学过程中，教师作为引导者，为学生创设问题情境、提供问题，给学生提供广阔的思考空间、活动空间，为学生搭建自主学习的平台；学生则在老师的指导下经历操作、实践、思考、交流、合作的过程，其知识的形成和能力的培养相伴而行，创造“海阔凭鱼跃，天高任鸟飞”的课堂境界.。
2.5二次函数与一元二次方程的关系教案
初中部数学科备课格式第周年级组别：组长：♦(1).每个图象与x 轴有几个交点？♦(2).一元二次方程? x 2+2x =0,x 2-2x +1=0有几个根?解方程验证一下一元二次方程x 2-2x +2=0有根吗?♦(3).二次函数y=ax 2+bx+c 的图象和x 轴交点的坐标与一元二次方程ax 2+bx+c =0的根有什么关系?♦二次函数y=x 2+2x,y=x 2-2x+1,y=x 2-2x+2的图象如图所示.y=x 2+2xy=x 2-2x+1y=x 2-2x+2活动探究2预习并导入 本节的内容三、课程讲授 （10-12分钟） 一、二次函数与一元二次方程的关系二、当堂检测1、若方程ax 2+bx+c=0的根为x 1=-2和x 2=3，则二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与x 轴交点坐标是____2、抛物线y=x 2-2x+1与x 轴的交点情况是（ ） A. 两个交点 B. 一个交点 C. 没有交点 D. 无法判断3、已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则一元二次方程ax 2+bx+c=0的解是_____________ .讲授法，讲授二次函数与一元二次方程的关系。
训练法，及时巩固二次函数与一元二次方程关系的应用。
二、例题讲解例：已知抛物线y=x2＋3x和直线y=x－m（1）当m为何值时，抛物线与直线有两个公共点？（2）当m为何值时，抛物线与直线有一个公共点？（3）当m为何值时，抛物线与直线没有公共点？变式一．已知抛物线y=x2＋3x＋m和直线y=x－1 （1）当m为何值时，抛物线与直线有两个公共点？（2）当m为何值时，抛物线与直线有一个公共点？（3）当m为何值时，抛物线与直线没有公共点？变式二．已知抛物线y=x2＋3x＋m和直线y=x－m （1）当m为何值时，抛物线与直线有两个公共点？（2）当m为何值时，抛物线与直线有一个公共点？（3）当m为何值时，抛物线与直线没有公共点？讲授法，利用例题，总结解相关题型的解题思路。
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案
Being with positive people can make us feel good.（页眉可删）
二次函数与一元二次方程(第一课时)教案【教学目标】
1、知识与技能：
（1）体会函数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法；
（2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解方程有两个不等的`实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征；（3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h（h是实数）图象交点的横坐标。
2、过程与方法：
（1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系；（2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的数学思想。
3、情感、态度与价值观：
培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物之间的联系与转化、体验探究的乐趣和学会用辨证的观点看问题的思维品质。
【重点与难点】
重点：经历“类比--观察--发现--归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。
难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。
【教法与学法】
教法(=)：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重“最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情境，引导学生经历“类比—猜想—观察—发现—归纳—应用”的探究过程。
学法：探究式学习。
【课前准备】
多媒体、PPT课件。
【教学过程】
附：板书设计：。
二次函数与一元二次方程教案
二次函数与一元二次方程教案二次函数与一元二次方程教学目标(一)教学知识点1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.2.进一步发展估算能力.(二)能力训练要求1.经历用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得用图象法求方程近似根的体验.2.利用图象法求一元二次方程的近似根,重要的是让学生懂得这种求解方程的思路,体验数形结合思想.(三)情感与价值观要求通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根,进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系,提高估算能力.教学重点1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会方程与函数之间的联系.2.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学难点利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.教学方法学生合作交流学习法.教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课[师]上节课我们学习了二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标和一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系,懂得了二次函数图象与x轴交点的横坐标,就是y=0时的一元二次方程的根,于是,我们在不解方程的情况下,只要知道二次函数与x轴交点的横坐标即可.但是在图象上我们很难准确地求出方程的解,所以要进行估算.本节课我们将学习利用二次函数的图象估计一元二次方程的根.Ⅱ.讲授新课一、利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10=0的根.下图是函数y=x2+2x-10的图象.[师]从图象上来看,二次函数y=x2+2x-10的图象与x轴交点的横坐标一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间,所以方程x2+2x-10=0的两个根一个在-5与-4之间,另一个在2与3之间.这只是大概范围,究竟更接近于哪一个数呢?请大家讨论解决.[生]有关估算问题我们在前面已学习过了,即是用试一试的方法进行的.既然一个根在-5与-4之间,那这个根一定是负4点几,所以个位数就确定下来了,接着确定十分位上的数,这时可以用试一试的方法,即分别把x=-4.1,-4.2,…,-4.9代入方程进行计算,哪一个值能使等式成立(或哪一个值能使等式近似成立),则这个值就是方程的根(或近似根).[师]由于计算比较烦琐,所以大家可以用计算器进行计算.[生]从图象上看,x的取值应大于-4.5,所以可以只代入-4.1,-4.2,-4.3,-4.4这四个数进行计算,利用计算器进行探索.x -4.1 -4.2 -4.3 -4.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56从上表可知,当x取-4.1,-4.2,-4.3,-4.4时,y的值都不等于0,所以x的取值还不准确,应继续估计百分位上的数,十分位上的数字应取y的值和零最接近的数字.所以x应取负的4点3几.再按同样的方法求百分位上的数字.依次类推,即可求出比较准确的x的值.[师]大家的分析非常到位、确实应按这样的步骤进行,但我们的重点是求解方程的思路,而不是求解的结果.因此本书规定用图象法求一元二次方程的近似根时,结果只取到十分位.[生]因此,x=-4.3是方程的一个近似根.[师]有了上面的分析和结果,求另一个近似根就不困难了,请大家继续.[生]另一个根在2与3之间,应是2点几,再用计算器进行探索.x 2.1 2.2 2.3 2.4y -1.39 -0.76 -0.11 0.56由于当x=2.3时,y的值最接近0,所以另一个根的近似值为x=2.3.[师]还有其他的方法吗?[生]有,可以把-5与-4之间的线段十等分再判断交点更接近于哪一个分点.如上题中的两个根可以这样求:二、做一做利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根.[师]我们可以根据上面的方法来求方程的近似根.但是还与上面的题型不太一样.上面的题是利用二次函数y=x2+2x-10的图象估计方程x2+2x-10=0的根,现在我们应该利用哪一个函数图象求方程x2+2x-10=3的根呢?[生甲]利用函数y=x2+2x-13的图象求方程x2+2x-10=3的近似根.[生乙]也可以在上题的基础上进行,利用函数y=x2+2x-10的图象与直线y=3的交点的横坐标求方程x2+2x-10=3的解.[师]究竟哪一种方法正确呢?我们下面就来验证一下.[生甲]函数y=x2+2x-13的图象如下图由图可知,图象与x轴的两个交点的横坐标中,一个在-5与-4之间,一个在2与3之间,因此两个根分别为负4点几和2点几,下面用计算器进行探索.x -4.5 -4.6 -4.7 -4.8 -4.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=-4.7是方程的一个近似根.另一个根可以类似地求出:x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9y -1.75 -1.04 -0.31 0.44 1.21因此x=2.7是方程的另一个近似根.[生乙]分别画出函数y=x2+2x-10的图象和直线y=3,找它们交点的横坐标即可.由图可知两根分别为x=-4.7和x=2.7.Ⅲ.课堂练习P71随堂练习Ⅳ.课时小结本节课学习的内容:1.经历了探索二次函数与一元二次方程的关系的过程,体会了方程与函数之间的联系;2.经历了用图象法求一元二次方程的近似根的过程,获得了用图象法求方程近似根的体验.3.理解一元二次方程的根就是二次函数与y=h(h是实数)交点的横坐标,发展估算能力.Ⅴ.课后作业习题2.10Ⅵ.活动与探究一元二次方程x2-4x+2=-1的根与二次函数y=x2-4x+2的图象有何关系?请你把方程的根在图象上表示出来.解:一元二次方程x2-4x+2=-1的根可以看成函数y=x2-4x+2的图象与直线y=-1的交点的横坐标.图象略.板书设计§2.8.2二次函数与一元二次方程(二)一、1.利用二次函数的图象估计一元二次方程x2+2x-10的根2.做一做(利用二次函数的图象求一元二次方程x2+2x-10=3的近似根)二、课堂练习三、课时小结四、课后作业。
二次函数与一元二次方程,不等式 教案
必修 2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
教学设计
活动四：完成教材52页例1，例2，例3，（利用函数图像） 例１ 求不等式0652
>+-x x 的解集
例2 求不等式01692
>+-x x 的解集
例3 求不等式03-2-2
>+x x 的解集
活动五：总结一元二次不等式的解题步骤。
（三）及时反馈，数学应用 活动六、巩固训练 1. 教材53页练习1， 2，教材53页练习2 能力提升： 1.教材55页综合运用3，5
教师组织，学生完成
学生分组讨论交流，教师启发引导
最后学生复述总结
画出函数图像 学生独立完成 小组讨论，教师巡回指导，学生口述
体会过程，抽象数学
抽象数学，表达数学
锻炼学生作图能力，培养学生数形结合的思想
合作学习，学习方法指导，抽象数学
三、课堂小结
四、课下作业
1.整理笔记
2.完成质量检测A 学生版演，教师
巡回指导，
学生总结
数学运算，计算
能力培养
深化理解
体会数学的整体性
板书设计2.3 二次函数，一元二次方程与不等式
02
2<
+
+
>
+
+c
bx
ax
c
bx
ax或
课后
反思
按照学生认知程度层层递进，在原有知识基础上建立新知。
《二次函数与一元二次方程》教案 (同课异构)2022年苏科版 (2)
二次函数和一元二次方程课型：新授一、学习目标：1.经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系；函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。
3. 结合二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象感受二次函数与不等式的关系。
二、学习重点与难点：学习重点是：体会方程、不等式与函数之间的联系；理解二次函数的图像与x轴公共点的个数与一元二次方程的根的个数之间的对应关系。
学习难点是：1、理解一元二次方程的根就是二次函数与x轴交点的横坐标。
2、二次函数与不等式的关系三、〔一〕思考与探索：二次函数y=x2-2x-3与一元二次方程x2-2x-3=0有怎样的关系？1、从关系式看二次函数y=x2-2x-3成为一元二次方程x2-2x-3=0的条件是什么？2、反响在图象上：观察二次函数y=x2-2x-3的图象，你能确定一元二次方程x2-2x-3=0的根吗？3、结论：一般地，如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点〔x1,0〕、(x2,0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x=x1、x=x2。
反过来也成立。
4、观察与思考：观察以以下图象：〔1〕观察函数y=x2-6x+9与y=x2-2x+3的图象与x轴的公共点的个数；〔2〕判断一元二次方程x2-6x+9=0和x2-2x+3=0的根的情况；〔3〕你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？〔二〕归纳提高：一般地，二次函数y=ax 2+bx+c 图象与一元二次方程ax 2+bx+c=0的根有如下关系：1、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有两个交点〔m,0〕、(n,0),那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有 实数根x 1= ,x 2= .2、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴有一个交点〔m,0〕,那么一元二次方程ax 2+bx+c=0有 实数根x 1=x 2= .3、如果二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴没有交点,那么一元二次方程ax 2+bx+c=0 实数根.反过来，由一元二次方程ax 2+bx+c=0的根的情况可以判断二次函数y=ax 2+bx+c 图象与x 轴的交点个数。
人教版初二一元二次方程和二次函数教案
一元二次方程⎪⎩⎪⎨⎧*⇒韦达定理根的判别解与解法，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．就是一元二次方程。
)0(02≠=++a c bx“未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”；③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。
例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ()()12132+=+x x B02112=-+x xC 02=++c bx axD 1222+=+x x x变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。
例2、方程()0132=+++mx x m m是关于x 的一元二次方程，则m 的值为 。
★1、方程782=x 的一次项系数是 ，常数项是 。
★2、若方程()021=--m xm 是关于x 的一元一次方程，⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。
★★3、若方程()112=•+-x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是 。
★★★4、若方程nx m +x n -2x 2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ）C.n=2,m=1D.m=n=1 例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为 。
例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为 。
例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为 。
例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为 ，另一根是 。
★★2、已知a 是0132=+-x x 的根，则=-a a 622。
★★★3、若=•=-+yx 则y x 324,0352 。