怎样用微分方程建模

参考资料1 ，2
一起来看个例子： 胡斌的论文
令 x ( I , R)
系统改写为： x f ( x) F ( x) V ( x) F ( x)是新的感染者在每一个仓室的输入率 V ( x)是新的感染者在每一个仓室的输出率 则 F ( x) ( SI , 0)T ( c d ) I V ( x) dR I
0 1 d
S0 N DF ( P0 ) DV ( P0 ) 1 c d 0 R0 max{ N }
0 0

S (I E)
S
E
E
I
I
R
Exercise: dS dt S ( I E ) R S dE S ( I E ) E E dt dI E I I dt dR I R R dt
F ( x)与V ( x)在无病平衡点P 0处的Jacobian矩阵为 S0 0 DF ( P0 ) 0 0 c d 0 DV ( P0 ) d 1 cd DV ( P0 ) 1 d ( c d )
怎样用微分方程建模？
主讲人：李勇 长江大学信息与数学学院
常用微分方程：
1）ODE 2）DDE 3）PDE 4）SDE
常微分方程 时滞微分方程 偏微分方程 随机微分方程
常微分方程定性理论
常微分方程
常微分方程稳定性理论
平面动力系统定性理论主要研究：
线性系统解的类型、有无极限环、是否具有分 支现象（跨临界分支、Hopf分支、BT分支， 余维分支等等）、同宿环
绝大多数微分方程、微分方程组没有办法给出 解析解，只能得到数值解，那么定性，稳定性 分析就显得格外重要
首先，建立模型！
以自治常微分系统为例：
P ( x, y ) x Q ( x, y ) y
P,Q 不含有t,称为自治 系统，否则称为非自治 系统
I
注：
S
SI
S S 0C ( N ) N
• 平衡点的局部渐近稳定性 • 平衡点的全局渐近稳定性 • 系统的全局性态
微分方程模型的应用领域：
• • • • • • • • 生物学 1）种群动力学 2）传染病动力学 医学：药物注射 细胞学：细胞，基因 物理学 化学 天文学 …
我们要研究传染病的传播
• 除了从数学的角度来研究，我们要做一定 的定性，稳定性分析之外？ • 还要做些什么？怎么做呢?
R
求平衡点及R0
P0 ( , 0, 0, 0)


1 R0 ( ) ( )( )
R0敏感度分析
地方病平衡点敏感度分析
参考资料3
如何拟合真实数据？
1，最小二乘法
2，借助DEDiscover
英国传染病监测中心 1978年 有 关流感病人的统计数据
用 DEDiscover 拟合，代码 命名为 SEIQR
非自治微分方程R0的数值 解
I
I
R
平衡点分析：
dS (t ) 0 dt
lim S (t ) S
t
R0 ：一个染病者在一个染病
周期内平均感染的ຫໍສະໝຸດ Baidu数
Question 1: 平衡点怎么求？
平衡点的定义：
令：
dS dE dI 0, 0, 0... dt dt dt
P 0 ( N ,0,0)
基本再生数怎么求？ 通过正平 衡点的存在的条件可以反推出来 Jacobian 矩阵方法，生存概率 方法，下一代再生矩阵方法
三维动力系统目前所得到的理论并不完善，可以 参见：Leonid P.Shilnikov, Andrey L.Shinikov [M] Methods of qualitative theory in nonlinear dynamics. 1998
高维动力系统更加难以分析……
• 参考书目：
平面动力系统稳定性理论主要研究：