九年级数学：22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质课件PPT
由①得:m>－1 ∴ m=1
此时,二次函数为: y=2x2.
返回
10、已知二次函数y ax2 的图象经
过点(-2，-3)。 (1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、 开口方向和图象的位置；
11、若抛物线y (n 1)xn2 n 的开口
向下，求n的值。
22.1.2 二次函数y ax2 的图象和性质
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项.
在下列函数中，哪些是二次函数？ (1)y=3x+5;
(2)y=(x+3)2-5x;
;
3、函数y= 3x2的图象的开口
是 ,顶点是
y轴
;
(0,0)
向,对上 称轴
4、函数y= －0.2x2的图象的开口 向下, 对称轴是_y_轴_,顶点是 (0;,0)
5、抛物线y=2x2的顶点坐标是（0，0）, 对称轴是 y轴 ，在 对称轴的右 侧，
y随着x的增大而增大；在 对称轴的左 侧，
y随着x的增大而减小，当x= 0 时，
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最高点 -3 -2 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大y 1 x2 2
y 轴右侧，y随x增大而减小
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
a越小， 抛物线的开口越小．
-5
y 2 x2
对比抛物线， y=x2和y=－x2.它 们关于x轴对称吗？ 一般地，抛物线 y=ax2和y=－ax2呢？
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
耐心填一填
1、函数y=4x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 ,顶点是 (0; ,0) 2、函数y=－3x2的图象的开口向下 ,对称轴 y轴 是 ,顶(0点,0)是 ___
描点时87应以哪y些=数x2 值作为56点的坐标？
4
3 2
连线
1 -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
实际上, 二次函数的图象都是抛物线，
抛物线 y x 2与它的对称轴的交点 （0，0）叫做抛物线 y x 2的顶点
它是抛物线 y x 2 的最低点．
抛物线与对称轴 有交点吗？
例1.在同一直角坐标系中画出函数y= 21x2和y=2x2的图象
解: (1) 列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 …
(2) 描点
y=
1 2
(3)y=(2x-1)2-4x2.
用描点法画二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描用点描
点法画函数图像的
一般步(骤3)? 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
… 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
列表 描点
9
(2，a)，则抛物线上与P点对称的点
P’的坐标为
。
7、观察函数y=x2的图象,则下列判断中正确的
是
()
y
(A) 若a,b互为相反数,则x=a与x=b 的函数值相等;
(B) 对于同一个自变量x,有两个函数 值与它对应.
y x2
o
x
(C) 对任一个实数y,有两个x和它对应.
(D) 对任意实数x,都有y＞0.
4 2 －4 －2
y 1 x2 2
24
探究
画出函数 y x2, y 1 x2, y 2x2 的图象． 2
解: (1) 列表
x
… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5
y=－x2 … -４ -2.25
y=－
1 2
x2
…
-2
-１.１２５
y=－2x2 … -８ -4. 5
-１ -0.25 ０ -0.25 -０.５ -０.１２５ ０ -０.１２５
y x2 y x2
在同一坐标系内,抛物线y ax2 与 抛物线 y ax2 是关于x轴对称的.
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图 象
开口方向
y Ox 向上
y
O
x
向下
顶点坐标 对称轴
(0 ,0) y轴
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
函数y的值最小，最小值是 0 ,抛物
线y=2x2在x轴的 上 方（除顶点外）。
（2）抛物线
y
2 3
x2
在x轴的
下 方（除顶点外），
当 x〈 0 时，y随着x的 增大而增大 ；
当 x 〉0 时，y随着x的 增大而减小 ，
当 x = 0 时，函数y的值最大，最大值是 0 ，
当 x
0 时，y<0.
6、若抛物线 y 6x2上点P的坐标为
x2
…
8 4.5 2 0.5 0
0.5 2
4.5 8
…
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …
y=2x2… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 …
(3) 连线
y 2x2 y
10
y x2
9 8
7
6
5
4
3 2
y 1 x2 2
1
-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x
一般地，二次函数 y = ax2 + bx + c（a≠0）
的图象叫做抛物线y = ax2 + bx + c
这条抛物线是轴对称
二次函数y = x 2 的图象图是形轴吗对？称如图果形是，，
对称轴是y轴
对称轴是什么？
y 10
9 8
y x2
7
6
5
4
3
2
1
-5 -4 -3-2 -1 o1 2 3 4 5 x
8、若m>0，点(m+1，y1)、 (m+2，y2)、
(m+3，y3)在抛物线
y
1 4
x 2 上，则
y1、 y2、y3的大小关系是
。
m2+m
9、已知 y =(m+1)x 是二次函数,且其图象开口 向上,求m的值和函数解析式
解: 依题意有:
m+1>0 ① m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1
函数 y 1 x2 , y 2x2 的图象与函数 y=x2 的图象相比， 有什么共同点2 和不同点？
相同点：开口：向上， 顶点：原点（0,0）——最低点 对称轴： y 轴
增减性：y 轴左侧，y随x增大而减小
y 轴右侧，y随x增大而增大
y x2：a 值越大，抛物线的开 口越小．
-２ -０.５ ０ -０.５ y
1
1 1.5 2 … -１ -2.25 -４ …
-０.５ -１.１２５ -2 … -２ -4. 5 -８ …
-3 -2 -1 0 1 2 3 x
y 1 x2
-1
2
-2
(2) 描点
-3
(3) 连线 y x2
-4
-5
y 2 x2
函数y=－2x1 2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
合集下载
人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
LOGO
《二次函数的图像和性质》PPT课件 人教版九年级数学
2
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
y=20x2+40x+20③
d=
学生以小组形式讨论，并由每组代表总结.
探究新知
【分析】认真观察以上出现的三个函数解析式，
分别说出哪些是常数、自变量和函数．
函数解析式
y=6x2
自变量
函数
x
y
n
d
x
y
这些函数自变量的最高次项都是二次的！
这些函数有什
么共同点？
探究新知
二次函数的定义
一般地，形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的
总结二次
函数概念
二次函数y=ax²+bx+c
（a，b，c为常数，a≠0）
确定二次函数解
析式及自变量的
取值范围
二次函数的判别:
①含未知数的代数式为整式；
②未知数最高次数为2；
③二次项系数不为0.
人教版 数学 九年级 上册
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.2
二次函数y=ax2的
图象和性质
导入新知
探究新知
方法点拨
运用定义法判断一个函数是否为二次函数的
步骤：
（1）将函数解析式右边整理为含自变量的代
数式，左边是函数（因变量）的形式；
（2）判断右边含自变量的代数式是否是整式；
（3）判断自变量的最高次数是否是2；
（4）判断二次项系数是否不等于0.
巩固练习
下列函数中,哪些是二次函数？
(1) y=3(x-1)²+1（是）
（1） 你们喜欢打篮球吗？
（2）你们知道投篮时，篮球运动的路线是什么
曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？
素养目标
二次函数y=ax2的图象和性质ppt课件
例4 如图， 四个二次函数的图象分别对应 ① y=ax2 ；② y=bx2；
③ y=cx2；④ y=dx2，且①与③，②与④分别关于x 轴对称.
(1)比较a，b，c，d 的大小； (2)说明a 与c，b 与d 的数量关系.
解：(1)由抛物线的开口方向，知 a ＞ 0，b ＞ 0，c ＜ 0，d ＜ 0，
由抛物线的开口大小，知 |a| ＞ |b|，|c| ＞ |d|， 因此a ＞ b，c ＜ d. ∴ a ＞ b ＞ d ＞ c. (2)∵①与③，②与④分别关于x 轴对称，
∴①与③，②与④的开口大小相同，方向相反. ∴ a+c=0，b+d=0.
课堂练习
1、下列函数中，y总随x增大而减小的是( B )
归纳总结
位置开 开口向上,在x轴上方 开口向下,在x轴下方
口方向
a的绝对值越大，开口越小
对称性 顶点最值
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0 当x=0时，y最大值=0
增减性
在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
1、如右图，观察函数y=（ k-1）x2的图象, 则k的取值范围是 k>1 .
复习引入
1.二次函数的一般形式是怎样的？ y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)
2.下列函数中,哪些是二次函数？
①
②
③
④
⑤
3.一次函数的图象是一条 直线.
4.通常怎样画一个函数的图象？ 列表、描点、连线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节课我们 来学习最简单的二次函数y=ax2的图像
不同点： a的值越大，开口越小.
九年级数学二次函数y=ax2图像与性质ppt
（5）抛物线y=7x2-3的开口 上 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,-3) ，在对称轴的左侧，y随x的增大 而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 -3 。
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5点) D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=o）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在增对大称轴的右侧，y随x的增大而 ， 减小 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
归纳二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
k>0
24
(1)一次函数的图象是一条_直___ 线
6.二次函数y=ax2+k (a≠0)的图象经过点A（1，-1），B （2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 y=2x2-3。若 点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐 标为 (-2, 5点) D的坐标为 ( 5,7)或 ( 5.,7)
k<0
开口向上
k>0
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
k<0
关于y轴 （x=o）对称
(0,k)
顶点是最低点
顶点是最高点
增减性 在对称轴左侧，y随x的增大而减小 在对称轴左侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而增大 在对称轴右侧，y随x的增大而减小
（4）抛物线y=-3x2+5的开口 下 ，对称轴是y轴 ， 顶点坐标是 (0,5)，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在增对大称轴的右侧，y随x的增大而 ， 减小 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 5 。
当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小，
当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。
归纳二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图象
开口 对称性 顶点
k>0
24
(1)一次函数的图象是一条_直___ 线
22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质 初中初三九年级数学教学课件PPT 人教版
顶线点的顶是点图。 象的最_低___点.
增减性
y 9
6
当x<0 (在对称轴
3
的左侧)时，y随 着x的增大而减小.
-3 O
当x>0 (在对称轴 3 x 的右侧)时，y随着
x的增大而增大.
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2
3x
抛物线y=ax2的开口向下， -3
对称轴是y轴，顶点是原
-6
点，顶点是抛物线的最
高点，a越小，抛物线的 开口越小.
-9 y=-x2
y=-2x2
y 1 x2 2
小结
y
1.二次函数的图象都是抛物线.
8
2.抛物线y=ax2的图象性质:
6
（1）抛物线y=ax2的对称轴是
4
y轴，顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口 -4
22.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质
新课导入
问题：1、回忆如何研究一次函数的性质? 2、如何画一个函数的图象? 3、用描点法画一个函数的图象的步骤.
推进新课
知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法
画函数y=x2的图象
解: (1) 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9…
2 O -2
向上，顶点是抛物线的最低点;
-2
当a<0时，抛物线的开口向
-4
下，顶点是抛物线的最高点;
-6
|a|越大，抛物线的开口越小.
-8 y=-x2
y=2x2
y 1 x2 2
2 4x
y 1 x2 2
增减性
y 9
6
当x<0 (在对称轴
3
的左侧)时，y随 着x的增大而减小.
-3 O
当x>0 (在对称轴 3 x 的右侧)时，y随着
x的增大而增大.
思考：在同一坐标系内，抛物线y=x2与抛物线 y= -x2的位置有什么关系？
答：抛物线抛物线y=x2与抛物线 y= -x2
3x
抛物线y=ax2的开口向下， -3
对称轴是y轴，顶点是原
-6
点，顶点是抛物线的最
高点，a越小，抛物线的 开口越小.
-9 y=-x2
y=-2x2
y 1 x2 2
小结
y
1.二次函数的图象都是抛物线.
8
2.抛物线y=ax2的图象性质:
6
（1）抛物线y=ax2的对称轴是
4
y轴，顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口 -4
22.1.2 二次函数y=ax2 的图象和性质
新课导入
问题：1、回忆如何研究一次函数的性质? 2、如何画一个函数的图象? 3、用描点法画一个函数的图象的步骤.
推进新课
知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法
画函数y=x2的图象
解: (1) 列表
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y …9 4 1 0 1 4 9…
2 O -2
向上，顶点是抛物线的最低点;
-2
当a<0时，抛物线的开口向
-4
下，顶点是抛物线的最高点;
-6
|a|越大，抛物线的开口越小.
-8 y=-x2
y=2x2
y 1 x2 2
2 4x
y 1 x2 2
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
函数图象画法
描点法
列表
注意：列表时自变量 取值要y均 匀 2和对称。
x
y x2
y1 x
描点 连线
y x2
用用用用自 用自用 自用 自用自自光 光光自光自左光左光左光左光左左滑滑滑左滑左向滑向滑向滑向滑向向曲曲曲向曲向右曲右曲右曲右曲右右线线线右线右顺线顺线顺线顺线顺顺连连连顺连顺次连次连次连次连次次结结结次结次连结连结连结连结连连时时时连时连结时结时结时结时结结要要要结要结要要要要
当x=1时,y= -1 当x= 2时,y= -4
想一想
1.在同一坐标系中,抛物线y=x2和 抛物线y=-x2的位置有什么关系?
2.画二次函数y=ax2与二次函数y=-ax2的图象 怎样画才简单
答:抛物线y=x2和抛物线y=-x2的 既关于轴对称,又关于原点对称
只要画二次函数y=ax2与y=-ax2 中的一条抛物线,另一条可利用关于x轴对 称或关于原点对称来画
(2)抛物线 y 2 x2 在x轴的下 方(除顶点外),在对称
3
轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x的
增大而减小,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 0
,
当x ≠ 0时,y<0.
3、已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上。 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标。
下面两幅图象,你认为他们的作图 正确吗?为什么?
y x2
y 1 x2 2
y x2
y 2x2
y 2 x2 3
二次函数y=ax2的图象形如物体抛射时 所经过的路线，我们把它叫做抛物线。
对称这对轴对这对对这对条称对称与条称称条称抛，称轴抛抛，轴抛，y物轴。物物轴y。物轴y线。线轴线就线就关的就关是关是于交是于它于它y点它轴的y轴的y轴的 叫做抛物线的顶点。
【九年级数学课件】22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质 (2)
举例讲解
问：你能画出二次函数y=x²的图象吗？ (1) 列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
举例讲解
（2）描点：
（3）连线：
探索新知
哪有象图的 数函次二说说能你一题问
y=x ²
探索新知
y 1 x2 2
. y=2x²
们并下一问
与
的通列坐题 特过函标二
征图数系
及象的中请 其谈图，在
列表如下：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x² … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
典题精讲
根据图象可知，当x＞0或x＜-1时，y1＞y2， 当-1＜x＜0时，y2＞y1 .
典题精讲
4. 1
y
多大（
少 ？
（ 或 最
） 当
答：当x=0时，y有最小值，其值为0.
课后思考
1. y=ax²
2. y=ax²
3. ?
哪本 的 并你 的方时 画
些节 ？ 熟是 ？是， 二
疑课 问你
存 在
的 性 质
记 抛 物 线
如 何 理 解
你 需 关 注
有 哪 些 地
的 图 象
次 函 数
同
口 形 状
值 相 同 ，
口 越 大
越 小 ，
口 越 小 ；
越 大 ，
关 系 ：
大 小 与
的 开
次 函 数
典题精讲
1.
y=a x² y=4 x²
向方口开及状形的 4 与
线物抛若
典题精讲
2. y=ax² a≠0
A.
B. a 0 x=0 y C.a
初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数的图象和性质》课件
22.1.2
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组 对应值：
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接 各点，就得到y = -x2 的图象 图象开口向下，有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= 1 x2， 2
③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.（填序号）
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( C )
二次函数y=ax2的 图象和性质
人教版 九年级数学上
知识要点
1.二次函数y=ax2的图象 2.二次函数y=ax2的性质
看一看：观察下列运动，试着发现它们的规律。
二次函数y=ax2的图象
问题1.1：根据所学知识，试着画出二次函数y=x2的图像。
在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列表表示几组 对应值：
x … -3 -2 -1
0
1
2
3…
y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
二次函数y=ax2的性质 y
顶点
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
-3
对称轴
-6
根据表中x,y的数值在坐 标平面中描点（x,y）
用平滑曲线顺次连接 各点，就得到y = -x2 的图象 图象开口向下，有最高点
A.-9<y≤-1 B.-9≤y<-1 C.-9≤y≤0 D.-9<y≤0
4.如图，在同一坐标系中，作出①y=3x2，②y= 1 x2， 2
③y=x2的图象，则图象中从里到外的三条抛物线对应的
函数依次是___①__③_②______.（填序号）
5.二次函数y=ax2的图象如图所示. (1)求这个二次函数解析式； (2)若另一函数图象与该函数图象关于x轴对称，试求另一个 函数的解析式.
-9
y
y
9
-5 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 5 x
6
y = x2
-3 y =- x2
-6 3
-9 -3 -2 -1 O1 2 3 x
二次函数y=ax2的图象
练一练：如图,函数y=2x2的图象大致为( C )
22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质(2)PPT课件(数学人教版九年级上册)
有什么共同点和不同点？
2. 当a 0时，二次函数 y ax2的图象有什么特点？
初中数学
初中数学
在同一直角坐标系中画二次函数 y 1 x2，y 2x2的图象. 2
第一步：列表.
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 … 8
9 2
1
0
1
2
98…
2
2
2
2
2
x … 2 3 1 1 0 1 1 3 2 …
国家中小学课程资源
22.1.2 二次函数y ax2的图象和性质（2）
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
一、回顾
你能画出二次函数 y x2的图象吗？
第一步：列表.
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
初中数学
初中数学
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2
对称轴 y轴（直线 x 0） 顶点坐标 (0, 0) 是最低点 2 4 x 开口大小 a越大，开口越小
初中数学
y 2x2
y 8 6 4 2
4 2 O
y x2
y 1 x2 最值
2
增减性
24 x
当 x 0时，y有最小值0
当 x 0时，y随x的增大 而减小； 当 x 0时，y随x的增大 而增大
第二步：描点.
y 9
6
3
3 O
3x
初中数学
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
第三步：连线.
y
y x2
9
6
3
2. 当a 0时，二次函数 y ax2的图象有什么特点？
初中数学
初中数学
在同一直角坐标系中画二次函数 y 1 x2，y 2x2的图象. 2
第一步：列表.
x … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 …
y 1 x2 … 8
9 2
1
0
1
2
98…
2
2
2
2
2
x … 2 3 1 1 0 1 1 3 2 …
国家中小学课程资源
22.1.2 二次函数y ax2的图象和性质（2）
授课教师：XX 日期：XX年XX月XX日
一、回顾
你能画出二次函数 y x2的图象吗？
第一步：列表.
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
初中数学
初中数学
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
2
对称轴 y轴（直线 x 0） 顶点坐标 (0, 0) 是最低点 2 4 x 开口大小 a越大，开口越小
初中数学
y 2x2
y 8 6 4 2
4 2 O
y x2
y 1 x2 最值
2
增减性
24 x
当 x 0时，y有最小值0
当 x 0时，y随x的增大 而减小； 当 x 0时，y随x的增大 而增大
第二步：描点.
y 9
6
3
3 O
3x
初中数学
x … 3 2 1 0 1 2 3 … y x2 … 9 4 1 0 1 4 9 …
第三步：连线.
y
y x2
9
6
3
二次函数y=ax2 的图像和性质 课件
y 3x 4
解：由题意得
y
x2
解得
x
y
4 ,
16
x
y
1 1
B
所以两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.
∴S△ACO＝
1 2
·CO·4＝8，S△BOC＝
∴S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝10.
1 ×4×1＝2，
2
22.1.2二次函数 y=ax2 的图像和性质
人教版 九年级上
教学目标
1.正确理解抛物线的有关概念.（重点） 2.会用描点法画出二次函数y=ax²的图象，概括图象的特点. （难点） 3.掌握二次函数y=ax²的图象和性质，并会应用.（难点）
回顾旧知
1、什么是二次函数？ 一般地，形如y=ax²+bx+c(a，b，c是常数，a≠ 0)的函数叫做
抛物线开口向上，对称轴是y轴，顶点是原点，顶点是抛物线的 最低点，a越大，抛物线的开口越小;当x＜0时，y随x的增大而减小 ；当x＞0时，y随x的增大而增大．
合作探究
探究二：二次函数y=ax2(a ＜ 0)的图象和性质
在同一直角坐标系中，画出函数 y
1 x2, y 2
解：列表如下.
x2, y
2x2的图象．
这是一条 抛物线
这是抛物 线的顶点
合作探究
议一议： 1、请同学们观察y=x2的图象的性质，然后分组探讨。
1.y＝x2是一条抛物线；
y
2.图象开口向上； 3.图象关于y轴对称；
4.顶点（ 0 ，0 ）； 5.图象有最低点．
O
y=x2 x
合作探究
议一议： 2、观察二次函数y=x2的图象，y随x的如何变化？