江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题
江苏省无锡市太湖高级中学2019-2020学年高二下学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．复数2(1)i +的虚部是（ ） A ．2i B ．2i - C ．2 D ．2-2．1231313x x C C +-=则x 的值为（ ）A ．4B ．5C ．4或5D ．以上都不是3．若()f x =(1)f '等于（ ）A ．0B ．13-C ．3D ．134．3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有（ ） A ．5种B ．6种C ．8种D ．9种5．函数3()12f x x x =-在区间[]3,1-上的最小值是（ ） A ．16-B ．18-C ．11D ．9-6．已知012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=，则n 的值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．87．设31(3)nx x+展开式的各项系数之和为t ，其二项式系数之和为h ，若272h t +=，则展开式中的常数项为（ ） A ．12B ．22C ．18D ．818．用5种不同的颜色给如图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，则共有（ ）种不同的涂色方法A ．180B ．240C ．300D ．4809．对任意的0a b t <<<，都有ln ln b a a b <，则t 的最大值为（ ）A ．1B ．eC ．2eD ．1e10．若函数32232,01()5,1x x m x f x mx x ⎧-+<≤=⎨->⎩，恰有2个零点，则m 的取值范围是（ ）A ．()5,0-B ．()0,5C ．1[,5)2D ．1(0,]2二、多选题11．如果函数()y f x =的导函数的图像如图所示，则下述结论正确的是（ ）A ．函数()y f x =在区间()3,5内单调递增B ．当12x =-时，函数()y f x =有极大值C ．函数()y f x =在区间()1,2内单调递增D ．当2x =时，函数()y f x =有极大值 12．设6260126(21)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+++++++，下列结论正确的是（ ）A ．6012563a a a a a -+-+=B ．23100a a +=C ．1236,,,,a a a a 中最大的是2aD ．当999x =时，6(21)x +除以2000的余数是1三、填空题13．从3名男生和2名女生中选出3名代表去参加辩论比赛，则所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共___种.(用数字作答)14．函数()(2)x f x x e =-的单调递减区间为_______. 15．25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是________.四、双空题16．已知函数()(0)bf x ax b x=+>的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直，则a 与b 的关系为_______(用b 表示)，若函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，则b 的最大值等于______.五、解答题17．已知复数1212,34z i z i =-=+，i 为虚数单位.（1）若复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，求实数a 的取值范围； （2）若12z z z =，求z 的共轭复数z . 18．已知4名学生和2名教师站在一排照相，求： （1）两名教师必须排中间，有多少种排法？（2）两名教师必须相邻且不能排在两端，有多少种排法？ 19．已知二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，若该二项式的展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列. （1）求正整数n 的值；（2）求展开式中二项式系数最大项，并指出是第几项？20．某风景区在一个以AB 为直径的圆形花园中设计一条观光线路：折线段DAC 及弧线CBD (如图实线所示部分)其中A B D ､､的位置已经确定，100m,AB AD ==.C 点在上半圆弧AB 上.现欲在折线段小路的两侧边缘种植绿化带，在弧线小路的一侧边缘种植绿化带.(注：小路及绿化带的宽度忽略不计)（1）设BAC θ∠=(弧度)，将绿化带总长度表示为θ的函数()s θ； （2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大.21．把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？ （2）这个数列的第71项是多少？ （3）求这个数列的各项和. 22．已知函数()()ln f x ax b x =+.（1）当1,0a b ==时，求函数()y f x =的极值； （2）当1,1a b ==时，求不等式()22f x x ≥-的解集；（3）当1,1a b ==时，若当()1,x ∈+∞，恒有()()1f x x λ>-成立，求实数λ的取值范围.参考答案1．C 【分析】根据复数的运算，求得2(1)2i i +=，再结合复数的概念，即可求解. 【详解】由复数222(1)122i i i i +=++=，所以复数2(1)i +的虚部为2. 故选：C. 2．C 【分析】 利用n rr nn C C -=进行求解即可 【详解】由已知得，123x x +=-或12313x x ++-=，计算可得4x =或5x = 故选：C 3．D 【分析】求出函数的导函数，将1代入即可得结果. 【详解】因为()f x =()2313f x x -'=，所以()113f '=，故选：D. 4．C 【分析】根据题意，可得每位同学都有2种报名方法，结合分步计数原理，即可求解. 【详解】由题意，3位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组， 则每位同学都有2种报名方法，则这3为同学共有2228⨯⨯=种不同的报名方法， 故选：C. 【点睛】利用分步计数原理解决问题的策略：（1）利用分步计数原理解决问题时要注意事件发生的过程来合理分步，即分步是有先有后的顺序，并且分步必须满足：完成一件事的各个步骤时相互依存的，只有各个步骤都完成了，才算完成这件事；（2）分步必须满足两个条件：一是各步骤相互独立，互不干扰；二是步与步之间确保连续，逐步完成. 5．A 【分析】先对函数求导，根据导数的方法判定其在给定区间的单调性，即可得出结果. 【详解】因为3()12f x x x =-，所以2()123f x x '=-，由()0f x '>得22x -<<，由()0f x '<得2x >或2x <-； 又31x -≤≤，所以当32x -≤<-时，()0f x '<，函数3()12f x x x =-单调递减； 当21x -≤≤时，()0f x '>，函数3()12f x x x =-单调递增；因此min ()(2)24816f x f =-=-+=-. 故选：A. 【点睛】 方法点睛：求函数()f x 在区间[],a b 上的最值的方法：（1）若函数在区间[],a b 上单调递增或递减，则()f a 与()f b 一个为最大值，另一个为最小值；（2）若函数在区间[],a b 内有极值，则要先求出函数在[],a b 上的极值，再与()f a ，()f b 比较，最大的为最大值，最小的为最小值；（3）函数()f x 在区间(),a b 上有唯一一个极值点，这个极值点就是最大（或最小）值点，此结论在导数的实际应用中经常用到. 6．B 【分析】根据二项展开式的性质，将原式化为()12479n-=，即可求出结果. 【详解】由012233444(1)4729n n nn n n n n C C C C C -+-++-=得()()()()()0120312312301414141414729nn n n n n nn n n n C C C C C ---⋅⋅-+⋅⋅-⋅⋅-+⋅⋅-⋅-+++=⋅则()12479n -=，即()()672933n =-=-， 解得6n =. 故选：B. 7．A 【分析】分别求出展开式的各项系数之和，及二项式系数之和，从而可得到42272n n h t +=+=，即可求出n 的值. 【详解】由题意，31(3)nx x+的展开式的各项系数之和4=n t ，其二项式系数之和2=n h ， 所以42272n n h t +=+=，即()()2172160nn+-=，解得216n =，则4n =，所以33411(3)(3)n x x x x +=+，它的展开式的通项为()434124144133rr r r r rr T C x C x x ---+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =， 所以展开式中的常数项为3431243434312C x --⨯=⨯=.故选：A. 8．A 【分析】分类为①和④颜色相同和①和④颜色不同，然后，列出公式求解即可 【详解】分类：（1）①和④颜色相同：11154360C C C =； （2）①和④颜色不同：11115432120C C C C =； 则共有60+120=180种不同的涂色方法故选：A 9．B 【分析】 令ln xy x=，问题转化为函数在(0,)t 递增，求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而求出t 的最大值即可． 【详解】0a b t <<<，ln ln b a a b <，∴ln ln a ba b <，()a b <， 令ln x y x=，则函数在(0,)t 递增，故21ln 0xy x -'=>， 解得：0x e <<，所以(0,)t 是(0,)e 的子集， 可得0t e <≤，故t 的最大值是e ， 故选：B ． 【点睛】利用单调性求参数的范围的常见方法：① 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注意若函数在区间,a b 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; ② 利用导数转化为不等式()'0f x ≤或()'0f x ≥恒成立问题求参数范围．10．D 【分析】先求出()g x 的单调性，然后根据题意，得到满足条件时有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出m 的范围，然后再根据m 的范围，求出满足前述条件时，()5h x mx =-有零点的情况，进而可求解 【详解】令32()232g x x x m =-+，'()6(1)g x x x =-，故()g x 在(]0,1处单调递减，所以，()g x 在(]0,1上至多有一个零点，而对于()5h x mx =-，在(1,)+∞上至多有一个零点，由题意得，()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，故有(0)0(1)0g g >⎧⎨≤⎩，求出102m ≥>，此时，()5h x mx =-，在(1,)+∞上单调递增，所以，(1)0h <即可满足题意，解得5m <，根据125m m⎧≥>⎪⎨⎪>⎩，得102m ≥>故选：D 【点睛】关键点睛：解题关键在于先求出32()232g x x x m =-+的单调性，并根据()g x 的单调性得出()g x 在(]0,1上有一个零点，()5h x mx =-，在(1,)+∞上有一个零点，然后进行求解，难度属于中档题 11．CD 【分析】本题首先可结合函数()y f x =的导函数的图像分析出函数的单调递增区间、单调递减区间以及极值点，然后与选项对比，即可得出结果. 【详解】结合函数()y f x =的导函数的图像可知：当2x <-时，导函数值小于0，函数()f x 是减函数； 当2x =-时，导函数值等于0，函数()f x 取极小值； 当22x -<<时，导函数值大于0，函数()f x 是增函数； 当2x =时，导函数值等于0，函数()f x 取极大值； 当24x <<时，导函数值小于0，函数()f x 是减函数； 当4x =时，导函数值等于0，函数()f x 取极小值； 当4x >时，导函数值大于0，函数()f x 是增函数，结合选项易知，A 、B 错误，C 、D 正确， 故选：CD. 【点睛】本题考查根据导函数图像判断函数性质，当导函数值为负数时，函数是减函数，当导函数值是正数时，函数是增函数，考查数形结合思想，考查推理能力，是中档题. 12．ABD 【分析】将原二项展开式转化为()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，再逐项求解. 【详解】由()[]666260126(21)(211)12(1)(1)(1)(1)x x x a a x a x a x +=+-=-+=+++++++，得4123562356666666601234564,2,2,2,2,2,2a a a a a a a C C C C C C C =======，所以6012563a a a a a -+-+=，故A 正确；223323662+2=100a a C C +=，故B 正确；1236,,,,a a a a 中最大的是4a ，故C 错误；当999x =时，11000x +=，1256,,,a a a a 能被2000整除，所以6(21)x +除以2000的余数是1，故D 正确； 故选：ABD 13．9 【分析】分别求出从5名学生中选3名学生的选法总数，及所选出的3名学生中没有女生的选法总数，二者相减，可得到答案. 【详解】从3名男生和2名女生中选出3人，共有3510C =种选法， 若所选出的3名代表中没有女生，则有331C =种选法，所以所选出的3名代表中至少有1名女生的选法共有1019-=种.故答案为：9. 14．(1,)+∞ 【分析】对函数求导，由()0f x '<，即可求出单调递减区间. 【详解】由()(2)xf x x e =-得()(2)(1)xxxf x e x e x e '=-+-=-， 由()(1)0x f x x e '=-<解得1x >，所以函数()(2)xf x x e =-的单调递减区间为(1,)+∞. 故答案为：(1,)+∞. 【点睛】 方法点睛：利用导数研究函数单调性的方法：（1）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，由()0f x '>（或()0f x '<）解出相应的x 的范围，对应的区间为()f x 的增区间（或减区间）；（2）确定函数()f x 的定义域；求导函数()'f x ，解方程()0f x '=，利用()0f x '=的根将函数的定义域分为若干个子区间，在这些子区间上讨论()'f x 的正负，由符号确定()f x 在子区间上的单调性. 15．1560 【分析】把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，再利用二项式的展开式的通项公式，可求出答案.【详解】由题意，()()2555(32)12x x x x =++++，因为()51x +的展开式的通项公式为15r rr T C x +=，()52x +的展开式的通项公式为5152k k k k T C x -+=，所以25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数是305214123032555555552222C C C C C C C C +++320800*********=+++=.故答案为：1560. 【点睛】关键点点睛：本题考查二项式定理的应用，考查三项展开式的系数问题.解决本题的关键是把25(32)x x ++转化为()()5512x x ++，进而分别求出()51x +、()52x +的展开式的通项公式，令3r k +=，可求出25(32)x x ++的展开式中3x 的项的系数.考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. 16．2b + 23【分析】求得函数的导数2()bf x a x '=-，得到(1)f a b '=-，根据题意列出方程，即可求得,a b 的关系；把函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，转化为2()0bf x a x '=-≥在区间1[,)2+∞上恒成立，进而得出22bx b ≤+在区间1[,)2+∞上恒成立，即可求解. 【详解】由题意，函数()(0)b f x ax b x=+>，可得2()bf x a x '=-，所以(1)f a b '=-，即函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线的斜率为k a b =-又由函数()f x 的图象在点()()1,1P f 处的切线与直线210x y +-=垂直， 所以()1()12a b -⨯-=-，可得2a b -=， 即a 与b 的关系为2a b -=；又由函数()y f x =在区间1[,)2+∞上单调递增，可得2()0bf x a x '=-≥在区间1[,)2+∞上恒成立， 即22b b x +≥在区间1[,)2+∞上恒成立，整理得22bx b ≤+在区间1[,)2+∞上恒成立， 又由2min 1()4x =，所以124b b ≤+，解得203b <≤， 所以b 的最大值等于23.故答案为：2a b -=，23.【点睛】对于已知函数的单调性求参数问题：（1）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递增，转化为区间D 上()0f x '≥恒成立； （2）已知可导函数()f x 在区间D 上单调递减，转化为区间D 上()0f x '≤恒成立； （3）已知可导函数()f x 在区间D 上存在增区间，转化为()0f x '>在区间D 上有解； （4）已知可导函数()f x 在区间D 上存在减区间，转化为()0f x '<在区间D 上有解. 17．（1）11(,)32-；（2）1255z i =-+. 【分析】（1）化简复数12(13)(42)z az a a i +=++-，再由复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限，列出不等式组，即可求解； （2）由复数的除法运算法则，化简得1255z i =--，再根据共轭复数的概念，即可求解. 【详解】（1）由题意，复数1212,34z i z i =-=+，则1212(34)(13)(42)z az i a i a a i +=-++=++- 因为复数12z az +在复平面上对应的点在第四象限， 所以130420a a +>⎧⎨-<⎩，解得1132a -<<，即实数a 的取值范围11(,)32-.（2）由()()()()12123412510123434342555i i z i i z i z i i i -----=====--++-，所以1255z i =-+. 【点睛】与复数的几何意义相关问题的一般步骤：（1）先根据复数的运算法则，将复数化为标准的代数形式；（2）把复数问题转化为复平面内的点之间的关系，依据复数(,)a bi a b R +∈与复平面上的点(,)a b 一一对应，列出相应的关系求解. 18．（1）48种；（2）144种. 【分析】（1）先排教师有22A 种方法，再排学生有44A 种方法，再根据分布计数原理求得结果； （2）采用插空法即可求得. 【详解】解：（1）先排教师有22A 种方法，再排学生有44A 种方法， 则242422448A A ⋅=⨯=，答：两名教师必须排中间，共有48种排法. （2）24243624144A A ⨯⋅=⨯=，答：两名教师必须相邻且不能排在两端，共有144种排法. 19．（1）8；（2）2358x -，展开式中二项式系数最大项为第五项. 【分析】（1）根据二项展开式的通项，分别求得123,,T T T ，结合等差中项公式，列出方程，即可求解；（2）根据二项式系数的性质，即可求解. 【详解】（1）由二项式*1)(,2)2nn N n x∈≥，可得021212123111,,222nn n nn n T CT C T C x x x --⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 因为展开式中前三项的系数的绝对值成等差数列，可得10211224n n n C C C ⨯⨯=+， 整理得1(1)142n n n -=+，即2980n n -+=，解得1n =或8n =.因为*,2n N n ∈≥，所以8n =.（2）当8n =时，展开式中二项式系数最大项为第五项44425813528T C x x -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.【点睛】对于二项式中的项的求解方法：（1）求二项式的特定项问题，实质是在考查通项rn rr r n T C ab -=的特点，一把需要建立方程求得r 的值，在将r 的值代回通项，主要r 的取值范围(0,1,2,,)k n =；（2）若n 为偶数时，中间一项（第12n+项）的二项式系数最大； （3）若n 为奇数时，中间一项（第12n +项和第112n ++项）的二项式系数最大.20．（1）50()200cos 100,0,32s ππθθθθ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭；（2）当6πθ=时，绿化带总长度最大. 【分析】（1）连结BC ，设圆心为O ，连结CO DO 、，利用弧长公式即可求解. （2）由（1）求出导函数，利用导数判断出函数的单调性，进而求出最值. 【详解】（1）如图，连结BC ，设圆心为O ，连结CO DO 、.在Rt ABC 中，所以100cos AC θ=.由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=.在AOD △中，,,63AD BAD BOD ππ=∠=∠=，弧BD 的长为505033ππ⨯=.所以50s()2(100cos 1003πθθθ⎛⎫=⨯+++⎪⎝⎭，即50()200cos 100,0,32s ππθθθθ⎛⎫=++∈ ⎪⎝⎭. （2）()100(2sin 1)s θθ'=-+ 令()0s θ'=，则6πθ=.列表如下：所以当6θ=时，s()θ取极大值，即为最大值. 答：当6πθ=时，绿化带总长度最大.21．（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960. 【分析】（1）先考虑大于45312的数，分为两类：第一类5开头的五位数，第二类4开头的五位数，求出对应的个数，即可得出不大于45312的数的个数，进而可到结果；（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为72，进而可得出结果；（3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果. 【详解】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A =2开头的五位数有：4424A = 3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=.【点睛】方法点睛：常见排列数的求法为： （1）相邻问题采取“捆绑法”； （2）不相邻问题采取“插空法”； （3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数. 22．（1）()f x 有极小值1e-，无极大值；（2）[1,)+∞；（3）2λ≤. 【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0f x '=，列表判断单调性，即得极值情况； （2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)F x F ≥，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果； 【详解】（1）当1,0,()ln ,()1ln a b f x x x f x x '====+，定义域()0,∞+令()1ln 0f x x '=+=，得1=x e列表如下：∴当1=x e 时，()f x 有极小值1111ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅令()()(22)(1)ln (22)F x f x x x x x =--=+⋅--1()ln 1F x x x'=+-令221111()ln 1,()x u x x u x x x x x'-=+-=-= 列表如下：当1x =时，()u x 有极小值(1)ln1110u =+-=()0u x ∴≥，即()0F x '≥()F x ∴在(0,)+∞单调递增，(1)0F =，故不等式()22f x x ≥-即()0(1)F x F ≥=，故解集为[1,)+∞；（3）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立， 即(1,)x ∈+∞，恒有()(1)0f x x λ-->成立. 令()()(1)(1)ln (1)G x f x x x x x λλ=--=+--1()ln 1G x x xλ'=++-令1()ln 1v x x x λ=++-，21()x v x x'-= (1,),()0,()x v x v x '∈+∞∴>∴在(1,)+∞单调递增，()(1)2v x v λ∴>=-①若20λ-≥，即2λ≤，()0v x >，即()0G x '>，即()G x 在(1,)+∞单调递增.(1,)x ∈+∞()(1)0G x G ∴>=成立.即2λ≤时，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立. ②若20λ-<，即2λ>，取1x e λ=>()11ln 110v e e e eλλλλλ=++-=+> ()v x 在(1,)+∞单调递增，()01,x e λ∴∃∈，使得()00v x =，∵当()01,,()0x x v x ∈<，即()0'<G x ，()G x ∴在()01,x 上单调递减()0(1)0G x G ∴<=，∴当(1,)x ∈+∞时，()0G x >不恒成立，即()(1)f x x λ>-不恒成立. 综上：2λ≤. 【点睛】利用导数研究函数()f x 极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③根据单调性判断函数极值点. 解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法.。
2019-2020学年江苏省无锡市江阴市二中、要塞中学等四校高二下学期期中考试数学试题 解析版
江苏省无锡市江阴市二中、要塞中学等四校2019-2020学年高二下学期期中考试数学命题人：审核人：一、选择题（本大题共10小题，共50.0分）1.复数的实部和虚部之和为A. 1B.C. 3D.【答案】B【解析】【分析】本题考查复数的基本概念，属基础题化简已知复数是解决问题的关键．【解答】解：，复数z的实部与虚部之和为．故选B．2.若，则的值为A. 6B. 7C. 35D. 20【答案】C【解析】【分析】本题考查组合数的公式，属于基础题．根据公式计算出n，再利用阶乘的定义计算出结果．【解答】解：，，解得或舍去，，故选C．3.已知具有线性相关的两个变量x，y之间的一组数据如下：回归方程是，其中，则当时，y的预测值为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查线性回归方程的应用，考查线性回归方程的求法，考查计算能力，属于基础题．线性回归方程，必过样本中心点，首先计算出横标和纵标的平均数，代入回归直线方程求出a 即可得到回归直线的方程，代入，可得y的预测值．【解答】解：由题意可知：，，由，，当，，的预测值为，故选C．4.已知函数，则曲线在处的切线斜率为A. B. C. 1 D. 2【答案】B【解析】【分析】本题考查导数的几何意义及导数的运算，属于基础题．对函数求导，根据导数的几何意义可知曲线在处的切线斜率为，由此可解．【解答】所以，所以，即曲线在处的切线斜率为．故选B．5.将甲、乙、丙、丁四位老师分配到三个班级，每个班级至少一位老师，则共有分配方案A. 81种B. 72种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】本题为排列、组合的综合应用问题，题目基础．将四位老师分成三组，再分到三个班，列式，求解即可．【解答】解：由题意种，所以共有分配方案36种．故选D．6.函数在区间上的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题考查利用导数求最值，属于基础题．由已知函数，对其求导数，令导数等于0求出函数的极值点，将极值点代入原函数，求出函数的极值，与函数的端点值进行比较，即可得到答案．【解答】，由，得，或，，，，，函数在区间上的最小值是：．故选B．7.已知曲线，则过点的切线方程是A. 或B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了导数的几何意义，运用导数求曲线的切线方程，考查了学生的运用能力，属于中档题．先设切点为，再求出曲线的导数，表示出切线方程，再根据切线过点，建立方程，求出进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程即可．【解答】解：设切点为，即有，，易知，则在处切线的斜率为，则切线方程为，又切线过，，整理得：，，由联立得：，解得：或，切线的斜率或，切线方程为或，整理得过点的切线方程为：或，故选A．8.当复数z满足时，则的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查复数的几何意义，两点间距离公式，属于中档题．解题关键在于对复数的几何意义的灵活运用．【解答】解：设，则，则，则点可看作以为圆心，1为半径的圆上的点，则求的最小值等价于求圆上点到点距离的最小值，故的最小值为．故选B．9.若对任意，有，就称A是具有“伙伴关系”的集合，集合0，，，1，2，3，的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为A. 15B. 16C.D.【答案】A【解析】【分析】本题考查利用组合知识求子集个数问题，难度一般．先找出具有伙伴关系的元素组，再根据分类加法计数原理即可求解．【解答】解：具有“伙伴关系”的元素组有；，，3，共四组．它们中任一组、二组、三组、四组均可组成具有“伙伴关系”的集合，所以具有“伙伴关系”的集合的个数为．故选A．10.定义在R上的函数满足：，，是的导函数，则不等式其中e为自然对数的底数的解集为A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查函数单调性的应用，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键，属中档题．令，从而求导，从而利用函数的单调性求解不等式．【解答】解：令，则，故F是R上的单调增函数，而，故不等式其中e为自然对数的底数的解集为．故选：A．二、多项选择题（本大题共2小题，共10.0分.漏选得3分，错选得0分.）11.已知复数，则下列命题中正确的为A. B.C. z的虚部为iD. z在复平面上对应点在第一象限【答案】ABD【解析】【分析】本题考查复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系，属于基础题．利用复数的模、共轭复数、虚部及复数与平面内点的对应关系即可判断出正误．【解答】解：复数，则，故A正确；又，故B正确；因为z的虚部为1，故C错误；因为z在复平面上对应点的坐标为，在第一象限，故D正确．故选ABD．12.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是A. B. C. 15 D. 90【答案】AD【解析】【分析】本题考查分步计数原理与组合问题的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，再从剩下的4本书中取出2本给乙，最后把剩下的2本书给丙，分别求出其情况数目，进而由分步计数原理，可得结论；【解答】解：把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，分3步进行，先从6本书中取出2本给甲，有种取法，再从剩下的4本书中取出2本给乙，有种取法，最后把剩下的2本书给丙，有1种情况，则把6本书平均分给甲、乙、丙3个人，每人2本，有种分法．故选AD．三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设X是一个离散型随机变量，其分布列如下：则a等于______________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查随机变量的分布列，以及概率的性质的应用．根据分布列的性质，有，解之即可．【解答】解：由分布列的性质，有，解得．14.函数的单调减区间为_______ ．【答案】【解析】【分析】本题考查利用导数求解函数的单调区间，属于基础题．求出导函数，由可以求出答案．【解答】解：函数，其定义域为，，由，得，函数的单调递减区间为．故答案为．15.已知甲、乙、丙3名运动员击中目标的概率分别为，，，若他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为______．【答案】【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：，由此能求出结果．【解答】解：设事件A表示“甲命中”，事件B表示“乙命中”，事件C表示“丙命中”，则，，，他们3人分别向目标各发1枪，则三枪中至少命中2次的概率为：．故答案为．16.已知函数，若在区间上是单调递增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】【解析】【分析】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查恒成立的问题，属于简单题．将函数进行求导，在区间上恒成立，之后再构造新函数最小值大于等于0即可．【解答】解：，因为函数在区间上是单调递增函数，在区间上恒成立，即在区间上恒成立，记，，则，，，，故在递增，故，解得：，故实数a的范围是故答案为．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（本题满分10分）已知i是虚数单位，复数z的共轭复数是，且满足．求复数的模；若复数在复平面内对应的点在第一象限，求实数m的取值范围．【答案】解：设复数，则，于是，即，所以，解得，即．…………………………………………3分故．………………………………5分由得，……7分由于复数在复平面内对应的点在第一象限，所以，……………………………………9分解得所以m的取值范围为．………………………………10分18.（本题满分10分）已知的二项展开式中，某一项的系数是它前一项系数的2倍，是它后一项系数的．求n的值；求的展开式中系数．．最大的项．【答案】解：根据题意，设该项为第项，则有……2分即亦即………………………………………4分解得．………………………………………………………5分设第项系数最大，则有…………………6分即亦即………………………………8分解得，…………………………………………………9分，二项式展开式中系数最大的项为．……………10分19.（本题满分10分）一个暗箱中有形状和大小完全相同的3只白球与2只黑球，每次从中取出一只球，取到白球得2分，取到黑球得3分．甲从暗箱中有放回地依次取出3只球．Ⅰ求甲三次都取得白球的概率；Ⅱ求甲总得分的分布列和数学期望．【答案】解：Ⅰ记事件A表示甲一次取球时取得白球，则，所以甲三次都取得白球的概率．……………………………4分Ⅱ甲总得分情况有6分、7分、8分、9分4种可能，记为甲总得分．，，，．的分布列为6789………………………………………………………………8分甲总得分的数学期望．……10分【解析】本题考查古典概型的计算与应用、随机变量的概率分布和数学期望，考查考生应用意识、运算求解的能力及等价转化思想．Ⅰ利用古典概型、相互独立事件的概率公式求解；Ⅱ利用二项分布的概率公式建立分布列，再由数学期望公式求解数学期望．20.（本题满分12分）已知函数在与处取得极值．求实数a，b的值及函数的单调区间．若对，不等式恒成立，求c的取值范围．【答案】解：，由题意解得………………………………………………………2分，，令，解得；令，解得或，的减区间为；增区间为，………………5分由知，在上单调递增；在上单调递减；在上单调递增．时，的最大值即为与中的较大者．；，当时，取得最大值．要使，只需，…………………………8分解得：或，的取值范围为．…………………………12分21.（本题满分14分）某礼品店要制作一批长方体包装盒，材料是边长为60cm的正方形纸板．如图所示，先在其中相邻两个角处各切去一个边长是xcm的正方形，然后在余下两个角处各切去一个长、宽分别为30cm、xcm的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起，做成一个有盖的长方体包装盒．求包装盒的容积关于x的函数表达式，并求函数的定义域；当x为多少时，包装盒的容积最大？最大容积是多少？【答案】解：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，所以铁皮箱的体积，…5分函数的定义域为；………………………………………………6分由得，，令，解得，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以函数在处取得极大值，…………………………………12分这个极大值就是函数的最大值．……………………13分答：切去的正方形边长时，包装盒的容积最大，最大容积是…14分22.（本题满分14分）已知函数时，求函数的极值；时，讨论函数的单调区间：若对任意的，当，时恒有成立，求实数m的取值范围．【答案】解：时，，定义域为，，令得，……………………2分x，，的变化如下表：所以只有极大值，无极小值；……………………4分由，令得，，………………………………5分当时，，所以解得；解得或；此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时．恒成立，此时的单调递增区间是，无单调递减区间；当时，，所以解得，解得或，此时的单调递增区间是和，单调递减区间是；当时，，所以解得；解得，此时的单调递增区间是，单调递减区间是．综上可知：时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，无单调递减区间；时，的单调递增区间是和，单调递减区间是；时，的单调递增区间是，单调递减区间是．……………9分由中的知，对任意的，在上单调递增，所以在区间上，，…………………………………………………………………11分所以，…………………12分所以，由于，所以，又当时，，所以．所以实数m的取值范围为．…………………………………14分。
2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期中数学试题(解析版)
一、单选题
1．复数 （其中i是虚数单位）的实部是（）
A．1B． C． D．0
【答案】D
【解析】化简复数 即可得答案.
【详解】
，
的实部是0.
故选：D
【点睛】
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题.
2．如果一质点的运动方程为 （位移单位：米；时间单位：秒），则该质点在 秒时的瞬时速度为（）
【详解】
将甲乙两人中间安排一人，则有 种排法；将三人绑定，看成一个元素，再与剩余的两人组成三个元素进行全排列，共有 种排法.
故选：B
【点睛】
本题主要考查排列组合的应用，考查了用捆绑法解决实际问题.
7．已知 ，则 的值为（）
A．6B．8C．12D．8或12
【答案】D
【解析】由 ，可得 或 ，即可求得答案.
三、填空题
13．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 的最小值是________.
【详解】
或 ，
解得： 或
故选：D
【点睛】
本题主要考查了求解组合数方程，解题关键是掌握组合数基本性质，属于基础题.
8．若 ， ， ，则 ， ， 的大小关系为（）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 知，只需比较 的大小就可得 ， ， 的大小关系.
【详解】
由 知，只需比较 的大小，
又 ，所以 ，
而 ，所以 ，
当 时，由 知，函数 在 上是单调增函数，因为 时， ， ，所以 ，所以 不正确；
当 时，由 知，函数 在 时取得最小值 ，要使得函数 有两个零点，必须且只需函数 的最小值小于0即可，即 ，
2019-2020学年高二数学下学期期中试卷 文(含解析)(21).doc
2019-2020学年高二数学下学期期中试卷文（含解析）(21)一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）=3+i，则z=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i3．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45° C．﹣45°D．135°4．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．26．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的单调区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）7．在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B． C． D．8．下列求导正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx9．函数f（x）=x3﹣3x2+2x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．310．极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆D．直线、直线11．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）12．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）=0，则不等式＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知复数z满足z•（i﹣i2）=1+i3，其中i为虚数单位，则z= ．14．函数f（x）=x3﹣3x2+5在区间上的最小值是．15．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，则a= ．16．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．三、解答题（5道大题，共70分．第17题10分，其余每题12分．）17．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．18．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求f（﹣1）和f′（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的解析式．20．已知直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．21．已知函数f（x）=e x+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（2）若b＞0，f（x）≥（b﹣1）x+c，求b2c的最大值．22．已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．2016-2017学年青海省海东地区平安一中高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．已知复数z满足z（1﹣i）=3+i，则z=（）A．1+2i B．﹣1+2i C．1﹣2i D．﹣1﹣2i【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：z（1﹣i）=3+i，∴z（1﹣i）（1+i）=（3+i）（1+i），∴2z=2+4i，则z=1+2i，故选：A．2．复数的共轭复数是（）A．B．C．﹣i D．i【考点】A7：复数代数形式的混合运算．【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，复数化简为a+bi（a，b∈R）的形式，然后求出共轭复数，即可．【解答】解：复数===i，它的共轭复数为：﹣i．故选C3．曲线y=﹣2x在点（1，﹣）处切线的倾斜角为（）A．1 B．45° C．﹣45°D．135°【考点】I2：直线的倾斜角．【分析】本题考查的知识点为导数的几何意义及斜率与倾斜角的转化，要求曲线在点（1，）处切线的倾斜角，我们可以先求出曲线方程的导函数，并计算出点（1，）的斜率即该点的导数值，然后再计算倾斜角．【解答】解：∵∴y'=x﹣2∴y'|x=1=1﹣2=﹣1即曲线在点（1，）处切线的斜率为：﹣1故曲线在点（1，）处切线的倾斜角为：135°故选D4．在复平面内，复数i（2﹣i）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】首先进行复数的乘法运算，得到复数的代数形式的标准形式，根据复数的实部和虚部写出对应的点的坐标，看出所在的象限．【解答】解：∵复数z=i（2﹣i）=﹣i2+2i=1+2i∴复数对应的点的坐标是（1，2）这个点在第一象限，故选A．5．如果复数（a∈R）为纯虚数，则a=（）A．﹣2 B．0 C．1 D．2【考点】A2：复数的基本概念．【分析】对所给的复数分子和分母同乘以1﹣i，再进行化简并整理出实部和虚部，再令虚部为零求出a的值．【解答】解：由题意知， ==，∵（a∈R）为纯虚数，∴2﹣a=0，解得a=2．故选D．6．函数f（x）=x3﹣3x2+1是减函数的单调区间为（）A．（2，+∞）B．（﹣∞，2）C．（﹣∞，0）D．（0，2）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】利用f′（x）＜0，求出x的取值范围即为函数的递减区间．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣3x2+1，∴f′（x）=3x2﹣6x，由f′（x）＜0即3x2﹣6x＜0，解得0＜x＜2，所以函数的减区间为（0，2），故选：D．7．在极坐标系中，点（2，﹣）到圆ρ=﹣2cosθ的圆心的距离为（）A．2 B． C． D．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】利用，把极坐标化为直角坐标，利用两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，﹣）可得：x P==1，y P==﹣，∴P．圆ρ=﹣2cosθ化为ρ2=﹣2ρcosθ，∴x2+y2=﹣2x，化为（x+1）2+y2=1，可得圆心C（﹣1，0）．∴|PC|==．故选：D．8．下列求导正确的是（）A．（x+）′=1+B．（log2x）′=C．（3x）′=3x log3x D．（x2cosx）′=﹣2xsinx【考点】63：导数的运算；66：简单复合函数的导数．【分析】根据求导公式，对四个选项中的函数进行判断以确定其正确与否，A中用和的求导公式验证；B用对数的求导公式验证；C用指数的求导公式验证；D用乘积的求导公式进行验证．【解答】解：A选项不正确，因为（x+）′=1﹣；B选项正确，由对数的求导公式知（log2x）′=；C选项不正确，因为（3x）′=3x ln3，故不正确．D选项不正确，因为（x2cosx）′=2xcosx﹣x2sinx故选B9．函数f（x）=x3﹣3x2+2x的极值点的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】对函数求导，结合导数的符号判断函数的单调性，进而可求函数的极值的个数．【解答】解：由题知f（x）的导函数f'（x）=3x2﹣6x+2，当x∈时，f'（x）＜0，当x∈或（1，+∞）时，f'（x）＞0，则函数f（x）在上单调递减，函数f（x）在，（1，+∞）上单调递增，∴函数 f（x）=x3﹣3x2+2x有2个极值点．故答案为：C．10．极坐标方程ρ=cosθ和参数方程（t为参数）所表示的图形分别是（）A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆D．直线、直线【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】极坐标方程ρ=cosθ化为直角坐标方程为，表示一个圆，参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，由此得出结论．【解答】解：极坐标方程ρ=cosθ即ρ2=ρcosθ，化为直角坐标方程为 x2+y2=x，即，表示一个圆．参数方程（t为参数），消去参数t 可得3x+y+1=0，表示一条直线，故选A．11．若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞）B．（﹣3，+∞）C．[0，+∞）D．（0，+∞）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．12．设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，g（x）≠0，当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，且f（﹣3）=0，则不等式＜0的解集是（）A．（﹣3，0）∪（3，+∞）B．（﹣3，0）∪（0，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由条件利用导数求得当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数，的图象关于原点对称．再结合f（﹣3）=﹣f（3）=0，求得不等式的解集．【解答】解：∵当x＜0时，f′（x）g（x）﹣f（x）g′（x）＞0，∴[]′=＞0，∴当x＜0时，是增函数，故当x＞0时，也是增函数．∵f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，∴为奇函数，的图象关于原点对称，函数的单调性的示意图，如图所示：∵f（﹣3）=0，∴f（3）=0，∴由不等式＜0，可得x＜﹣3 或0＜x＜3，故原不等式的解集为{x|x＜﹣3 或0＜x＜3 }，故选：D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知复数z满足z•（i﹣i2）=1+i3，其中i为虚数单位，则z= ﹣i ．【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】由z•（i﹣i2）=1+i3，得，然后利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【解答】解：由z•（i﹣i2）=1+i3，得=，故答案为：﹣i．14．函数f（x）=x3﹣3x2+5在区间上的最小值是 1 ．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的方程，从而求出函数的单调区间，求出函数的最小值即可．【解答】解：∵f（x）=x3﹣3x2+5，∴f′（x）=3x2﹣6x，令f′（x）=0，结合x∈[1，]得x=2，当x∈[1，2）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，当x∈（2，]时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，∴f（x）min=f（2）=1，故答案为：1．15．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，则a= 6 ．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】令f′（x）=0，可得x=0或x=1，根据导数在x=0和x=1两侧的符号，判断故f（0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，∴导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得x=0或x=1，导数在x=0的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值，∴f（0）=a=6．导数在x=1的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故答案为：6．16．在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为 1 ．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．【解答】解：点P（2，）化为P．直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．∴点P到直线的距离d==1．故答案为：1．三、解答题（5道大题，共70分．第17题10分，其余每题12分．）17．已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【考点】QH：参数方程化成普通方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x ﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．18．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为（2，1），求|PA|+|PB|．【考点】QJ：直线的参数方程；Q4：简单曲线的极坐标方程．【分析】（I）将ρ=4cosθ两边同乘ρ，根据直角坐标与极坐标的对应关系得出直角坐标方程；（II）将直线的参数方程代入圆的普通方程，根据参数的几何意义与根与系数的关系得出|PA|+|PB|．【解答】解：（I）∵ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=4x，即（x﹣2）2+y2=4．（II）设点A、B对应的参数分别为t1，t2，将代入（x﹣2）2+y2=4整理得，∴，即t1，t2异号．∴|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．19．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．（1）求f（﹣1）和f′（﹣1）的值；（2）求函数f（x）的解析式．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可．（2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．【解答】解：（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．（2）∵f（x）过点P（0，2）∴d=2∵f（x）=x3+bx2+cx+d∴f′（x）=3x2+2bx+c由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1联立方程得故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+220．已知直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+）．（Ⅰ）写出直线l的极坐标方程；（Ⅱ）求直线l与曲线C交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，得到直线l的普通方程，利用互化公式可得极坐标方程．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+），展开可得：ρ=（cosθ﹣sinθ）．利用互化公式可得直角坐标方程，与直线方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数），∴消去参数t，得到直线l的普通方程x+y+1=0，利用互化公式可得极坐标方程：ρcosθ+ρsinθ+1=0．（Ⅱ）曲线C的极坐标方程为ρ=cos（θ+），展开可得：ρ=（cosθ﹣sinθ）．即ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ，∴x2+y2=x﹣y．联立方程∴解得l与C交点的直角坐标为：（0，﹣1），极坐标为（1，）．21．已知函数f（x）=e x+ax，曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1．（1）求实数a的值及函数f（x）的单调区间；（2）若b＞0，f（x）≥（b﹣1）x+c，求b2c的最大值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，计算f′（0）=0，求出a的值，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为e x﹣bx≥c，令g（x）=e x﹣bx，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，得到b2c≤b3﹣b3lnb，令h（b）=b3﹣b3lnb，根据函数的单调性求出其最大值即可．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为（﹣∞，+∞），因为f'（x）=e x+a，由已知得f'（0）=0，∴a=﹣1，当x＞0时，f'（x）=e x﹣1＞0，当x＜0时，f'（x）＜0，所以函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞），单调递减区间为（﹣∞，0）．（2）不等式f（x）≥（b﹣1）x+c转化为e x﹣bx≥c，令g（x）=e x﹣bx，g'（x）=e x﹣b，由g'（x）＞0得，x＞lnb，g'（x）＜0得x＜lnb，所以函数g（x）在（﹣∞，lnb）上为减函数，在（lnb，+∞）上为增函数，所以g（x）min=g（lnb）=b﹣blnb，∴c≤b﹣blnb，∴b2c≤b3﹣b3lnb，令h（b）=b3﹣b3lnb，则h'（b）=b2（2﹣3lnb），由h'（b）＞0得得，所以函数h（b）在上为增函数，在（，+∞）上为减函数，所以h（b）的最大值为h（）=e2，此时b=，所以b2c的最大值为．22．已知函数f（x）=（λx+1）lnx﹣x+1．（Ⅰ）若λ=0，求f（x）的最大值；（Ⅱ）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，证明：．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）求得函数的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，令f′（x）=0，根据函数的单调性可知，当x=1时，f（x）取最大值；（Ⅱ）求导，f′（1）=1，即λ=1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0，分类当0＜x＜1时，f （x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，可知．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）的定义域为（0，+∞），当λ=0，f（x）=lnx﹣x+1，求导，f′（x）=﹣1，令f′（x）=0，解得：x=1，∴当0＜x＜1时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上是增函数；当x＞1，f′（x）＜0，∴f（x）在（1，+∞）上是减函数；故f（x）在x=1处取最大值，f（1）=0，（Ⅱ）证明：求导，f′（x）=λlnx+﹣1，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线x+y+1=0垂直，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率k=f′（1）=1，即λ=1，∴f（x）=（x+1）lnx﹣x+1，由（Ⅰ）可知，lnx﹣x﹣1＜0（x≠1），当0＜x＜1时，f（x）=（x+1）lnx﹣x﹣1=xlnx+（lnx﹣x+1）＜0，∴＞0，当x＞1时，f（x）=lnx+（xlnx﹣x+1）=lnx﹣x（ln﹣+1）＞0，∴＞0，综上可知：＞0．。
江苏省无锡市第一中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题 Word版含解析
江苏省无锡第一中学2019—2020学年高二下学期期中考试数学试题一、选择题.（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）1.已知i 为虚数单位，复数21i z =-，则复数z 的模为（ ） 2B. 1C. 2D. 12【答案】A【解析】【分析】利用复数的乘除运算求得1z i =+，即可求得其模．【详解】解：22(1)11(1)(1)i z i i i i +===+--+， ∴1z i =+，22112z ∴=+=故选：A ．【点睛】本题考查复数的乘除运算及复数求模，属于基础题．2.一辆汽车做直线运动，位移s 与时间t 的关系为21=+s at ，若汽车在2t =时的瞬时速度为12，则a =（ ）A. 12B. 13C. 2D. 3【答案】D【解析】【分析】首先求出函数的导函数，依题意可得2|12t s ='=，即可解得；【详解】解：因为21=+s at ，所以2s at '=又汽车在2t =时的瞬时速度为12，即2|12t s ='=即2212a ⨯=，解得3a =故选：D【点睛】本题考查导数在物理中的应用，属于基础题.3.已知复数z 满足：21z -=，则1i z -+的最大值为（ ）A. 221 21 D. 3 【答案】B【解析】【分析】 复数方程|2|1z -=转化成实数方程()2221x y -+=，再由复数模定义|1|z i -+表示(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．【详解】解：设z x yi =+，由|2|1z -=得圆的方程()2221x y -+=，又22|1|(1)(1)z i x y -+-++表示定点(1,1)-与圆上任一点(,)x y 间距离．则由几何意义得()()x 22ma |1|2110121z i -+=-+--=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数模的计算和几何意义，属于中档题．4.3只猫把4只老鼠捉光，不同的捉法种数有（ ）A. 34B. 43C. 34CD. 34A 【答案】B【解析】【分析】每只老鼠都有3中不同的被捉方式，按照分步计数原理可得结果.【详解】3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都有3中不同的被捉方式，则不同的捉法有43333=3⨯⨯⨯种，故选：B.【点睛】本题主要考查分步计数原理的运用，属于基础题.5.函数()sin cos 1f x x x =⋅+在点(0，(0)f )处的切线方程为（ ）A. 10x y +-=B. 10x y -+=C. 220x yD.220x y +-=【答案】B【解析】【分析】求出函数()f x 的导数，利用导函数求出在点(0，(0)f )处的切线的斜率，写出切线点斜式方程，最后化为一般方程选出答案即可.【详解】'11()sin cos 1sin 21()(cos 2)2cos 222f x x x x f x x x =⋅+=+⇒=⋅=, 所以在点(0，(0)f )处的切线的斜率为'(0)cos 01,(0)1f f ===，所以切线方程为：110y x x y -=⇒-+=.故选：B【点睛】本题考查了求曲线上一点的切线问题，考查了导数的几何意义，考查了导数的运算，考查了数学运算能力.6.若函数()32f x x ax bx =++在2x =-和4x =处取得极值，则常数-a b 的值为（ ） A. 21B. －21C. 27D. －27【答案】A【解析】【分析】 求出()f x '，由()0f x '=的两根是2-和4可求得,a b 得-a b ．【详解】2()32f x x ax b '=++，由题意2320x ax b ++=的两根是2-和4， ∴2243243a b ⎧-+=-⎪⎪⎨⎪-⨯=⎪⎩，解得324a b =-⎧⎨=-⎩，∴21a b -=． 故选：A ．【点睛】本题考查导数和极值的关系，对多项式函数来讲，函数的极值点是方程()0f x '=的解．7.100件产品中有6件次品，现从中不放回的任取3件产品，在前两次抽到正品的条件下第三次抽到次品的概率为（ ）A. 349B. 198C. 197D. 350【答案】A 【解析】 【分析】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ，求出()P A 和()P AB ，即可求得答案.【详解】由已知可知100件产品中有6件次品，94件正品，设“前两次抽到正品”为事件A ，“第三次抽到次品”为事件B ； 则949394936(),()100991009998P A P AB =⨯=⨯⨯ ∴()63(|)()9849P AB P B A P A === 故选：A.【点睛】本题是一道关于条件概率计算的题目，关键是掌握条件概率的计算公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.8.设随机变量Y 满足14,2Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则函数()244f x x x Y =-+无零点的概率是（ ） A. 1116 B. 516 C. 3132 D. 12【答案】A【解析】【分析】因为函数()244f x x x Y =-+无零点，所以1Y >,(1)1(1)(0)P Y P Y P Y >=-=-=,利用二项分布概率公式即可算出答案.【详解】∵函数()244f x x x Y =-+无零点. ∴161601Y Y ∆=-<⇒>.∵Y 满足14,2YB ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ∴1130044411111111(1)1(1)(0)1()(1)()(1)1222241616P Y P Y P Y C C >=-=-==----=--=. 故选:A.【点睛】本题主要考查独立重复试验的概率求法以及二项分布，属于基础题.熟记二项分布概率公式是解本题的关键.9.从不同品牌的4部手机和不同品牌的5台电脑中任意选取3部，其中手机和电脑都有的不同选法共有（ ）A. 140种B. 84种C. 35种D. 70种 【答案】D【解析】【分析】将满足题意的选法分为两种情况进行讨论，计算出每种情况的取法数，再利用分类加法计数原理即可得解.【详解】从中任意选取3部，其中手机和电脑都有，有两种选法：手机2部，电脑1台；手机1部，电脑2台.手机2部，电脑1台，取法有214530C C =种；手机1部，电脑2台，取法有124540C C =种，根据分类计数原理知，共有40+30=70种.故选：D.【点睛】本题主要考查组合的应用，其中涉及到分类加法计数原理，属于基础题.10.设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）A .B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据()f x 的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A 选项符合，故本题选A.【点睛】本小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.11.设()()()5450145111x a x a x a x a =+++++++，则024a a a ++=（ ） A. －32B. 0C. 16D. －16 【答案】C【解析】【分析】分别令0x =，2x =-，可得两个式子，把这两个式子相减除以2，即可得解.【详解】()()()5450145111x a x a x a x a =+++++++，令0x =，得0123450a a a a a a +++++=，令2x =-，得01234532a a a a a a -+-+-+=-，两式相减，得02422232a a a ++=，所以02416a a a ++=.故选：C.【点睛】本题主要考查二项展开式的部分项的系数和，考查运算求解能力，属于中档题.赋值法是求二项展开式系数问题的常用方法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定所赋的值.一般地，二项展开式()f x 的各项系数和为()1f ，奇次项系数和为()()112f f --，偶次项系数和为()()112f f +-.12.对于定义在()1,+∞上的可导函数()f x ，当()1,x ∈+∞时，()()()10x f x f x '-->恒成立，已知()2a f =，()132b f =，)212c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A. a b c << B. b c a <<C. c b a <<D. c a b <<【答案】D【解析】【分析】构造函数()()1f xg x x =-223<<，即可得出结论. 【详解】设()()1f xg x x =-()1x >，则2()(1)()()0(1)f x x f x g x x '--'=>-，所以()g x 在(1,)+∞单调递增， ()()22a f g ==，()()1332b f g ==，)(2122c f g ==， 因223<<，所以2)(2)(3)g g g <<，即c a b <<.故选：D.【点睛】本题主要考查函数值的大小比较及利用导数研究函数的单调性，构造函数是本题的解题关键，属于中档题.二、填空题（请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.613x x ⎫⎪⎭的展开式中常数项是______. 【答案】53【解析】【分析】先得到613x x ⎫⎪⎭的展开式的通项公式，然后令x 的次数为零求解. 【详解】613x x ⎫⎪⎭的展开式通项为：166********--+⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==r r r r r r r x x C x T C ， 令630r -=，解得2r ，所以展开式中常数项是2261533⎛⎫-= ⎪⎝⎭C . 故答案为：53【点睛】本题主要考查二项展开式的通项，还考查了运算求解的能力，属于基础题.14.若随机变量()2~,X N μσ，且()()620.3P X P X >=<-=，则()26P X <≤=______.【答案】0.2【解析】【分析】依题意可得2μ=，再根据正态曲线的性质计算可得；【详解】解：因为随机变量()2~,X Nμσ，且()()620.3P X P X >=<-= 所以2μ=故()20.5P X >=所以()()()26260.50.30.2P X P X P X <≤=>->=-=故答案为：0.2【点睛】本题考查正态曲线的性质的应用，属于基础题.15.有5本不同的书，全部借给3人，每人至少1本，共有______种不同的借法.【答案】150【解析】 【分析】将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分别计算可得分成1、1、3与分成2、2、1时的分组情况种数，相加可得答案．【详解】解：将5本不同的书分成满足题意的3组有1，1，3与2，2，1两种，分成1、1、3时，有3353C A 种分法， 分成2、2、1时，有22353322C C A A 种分法，所以共有223335353322150C CC A AA+=种分法，故答案为：150．【点睛】本题考查组合、排列的综合运用，解题时，注意加法原理与乘法原理的使用．16.函数1,0()ln,0x xf xx x+≤⎧=⎨>⎩，若函数()()g x f x tx=-恰有两个零点，则实数t的取值范围是______．【答案】{}1(,1)0e【解析】【分析】首先将题意转化为函数()y f x=与y tx=恰有两个交点，当0t<和0t=时，利用函数的图象易得交点个数.当0t>，利用t表示直线的斜率，结合图象即可求出t的范围.【详解】由题知：函数()()g x f x tx=-恰有两个零点.等价于函数()y f x=与y tx=恰有两个交点.当0t<时，函数()y f x=与y tx=恰有一个交点，舍去.当0t=时，函数()y f x=与y tx=恰有两个交点.当0t>时，如图设()lnf x x=与y tx=的切点为00(l,n)m m，1x>，()lnf x x=，1()f xx'=，1km=则切线方程为0001ln ()y m x m m -=-， 原点代入，解得00ln 1m m e =⇒=，1k e=. 因为函数()y f x =与y tx =恰有两个交点，由图知11t e<<. 综上所述：11t e<<或0t =. 故答案为：{}1(,1)0e . 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，分类讨论和数形结合为解决本题的关键，属于中档题.三、解答题（请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知复数()()2243i z m m m m =-++-，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值；（2）复数z 在复平面内对应的点在第一象限，求实数m 的取值范围.【答案】（1）3m =（2）()(),03,-∞+∞【解析】【分析】（1）由实部等于0且虚部不为0联立不等式组求解；（2）由实部大于0且虚部大于0联立不等式组得答案．【详解】解：（1）∵复数z 是纯虚数， ∴224300m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得130,1m m m =⎧⎨≠≠⎩或，故3m =， （2）∵复数z 在复平面内对应的点在第一象限∴224300m m m m ⎧-+>⎨->⎩，解得3m >或0m <， ∴实数m 的取值范围为()(),03,-∞+∞.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查了复数的基本概念，训练了不等式组的解法，属于基础题．18.已知函数()()ln f x x ax a =-∈R（1）当2a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性；（3）若对()0,x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）极大值ln21--，无极小值（2）答案不唯一，具体见解析（3）1a e> 【解析】 【分析】（1）对函数()f x 进行求导、列表、判断函数()f x 的单调性，最后根据函数极值的定义进行求解即可；（2）对函数()f x 进行求导，根据实数a 的正负性，分类讨论判断导函数的正负性，进行判断单调性即可；（3）对()0f x <进行常变量分离，然后构造新函数，对新函数进行求导，判断其单调性，进而求出新函数的最值，最后根据题意求出a 的取值范围即可. 【详解】解：（1）()()'11220x fx x x x-=-=>.令'0f x ，得12x =. x10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭121,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '正负()f x单调增大 极大值 单调减少所以()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减， 所以函数()f x 的极大值为：1ln 212f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，无极小值； （2）()1(0)axf x x x-'=>，当0a ≤时，()0f x '>，∴()f x 在()0,∞+单调递增， 当0a >时，若10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x '>，∴()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增； 若1,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭，()0f x '<，∴()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减；综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+单调递增；当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减. （3）对()0,x ∀∈+∞，()0f x <恒成立，⇔对()0,x ∀∈+∞，ln xa x<恒成立⇔()()maxln 0,x a x x ⎛⎫<∈+∞ ⎪⎝⎭，令()ln x h x x =，()'21ln x h x x -=. 当()0,x e ∈时，()'0h x >，()h x 单调递增；当(),x e ∈+∞时，()'0h x <，()h x 单调递减，所以()()max 1h x h e e ==，因此1a e>. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值、最值，考查了构造函数法、常变量分离法，考查了数学运算能力和分类讨论思想.19.在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中男性的人数，求X 的概率分布和数学期望. 【答案】（1）3（2）详见解析 【解析】 【分析】（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可.【详解】解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法.所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种， （2）X 的取值可能为0,1,2,3()222322541020C C P X C C ===，()11221132323122547120C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===，列表如下：X0 1 2 3P120 720 920 320∴()17931701232020202010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题.20.物联网兴起、发展、完善极大的方便了市民生活需求.某市统计局随机地调查了该市某社区的100名市民网上购菜状况，其数据如下： 每周网上买菜次数 1次 2次 3次 4次 5次 6次及以上 总计 男1087321545女 5 4 6 4 6 30 55总计15 12 13 7 8 45 100（1）把每周网上买菜次数超过3次的用户称为“网上买菜热爱者”，能否在犯错误概率不超过0.005的前提下，认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关？（2）把每周使用移动支付6次及6次以上的用户称为“网上买菜达人”，视频率为概率，在我市所有“网上买菜达人”中，随机抽取4名用户求既有男“网上买菜达人”又有女“网上买菜达人”的概率.附公式及表如下：()()()()()22=n ad bcKa b c d a c b d-++++()2P kχ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.076 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828【答案】（1）在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关（2）64 81【解析】【分析】（1）根据题意列出22⨯列联表，由公式计算2K,再由给出的对照表进行比较，得出结论.（2）由题意可得随机抽取1名用户，该用户为男“移动支付达人”的概率为13，女移动支付达人“的概率为23，然后求出抽取的4名用户中,全为男“移动支付达人”的概率和抽取的4名用户中,全为女“移动支付达人”的概率，再由对立事件的概率可求出答案. 【详解】（1）由表格数据可得22⨯列联表如下：非移动支付活跃用户移动支付活跃用户合计男 25 20 45 女 15 40 55 合计 4060100将列联表中的数据代入公式计算得：()()()()()()2221002540152024508.249 3.84140605545297n ad bc a b c d a c b K d -⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯，所以在犯错误概率不超过0.005的前提下，能认为是否为“网上买菜热爱者”与性别有关. （2）每周使用移动支付6次及6次以上的用户有45户.其中男性15户，女性30户. 视频率为概率，在我市“移动支付达人”中，随机抽取1名用户， 该用户为男“移动支付达人”的概率为13，女移动支付达人“的概率为23.抽取的4名用户中,全为男“移动支付达人”的概率为：413⎛⎫ ⎪⎝⎭抽取的4名用户中,全为女“移动支付达人”的概率为：423⎛⎫ ⎪⎝⎭抽取的4名用户中，既有男“移动支付达人”，又有女“移动支付达人”的概率为44126413381P ⎛⎫⎛⎫=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】本题考查独立性检验和用频率为概率计算概率，属于中档题. 21.已知数列{}n a 的首项为1，记()()()()120122123, 111nn n n nn F x n a C x a C x x a C x x --=-+-+-()11111n n n nn n n n a C x x a C x --+++-+.（1）若数列{}n a 是公比为3的等比数列，求()1, 2020F -的值；（2）若数列{}n a 是公差为2的等差数列，求证：(), 2020F x 是关于x 的一次多项式. 【答案】（1）1（2）证明见解析； 【解析】【分析】 （1）根据13-=n n a ，得到()()()()()1220012,313131nn n n n n F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+求解.（2）易得21n a n =-，则(),F x n ()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，再转化为(),F x n ()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x ()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，利用二项式定理及组合数公式求解.【详解】（1）由题意得：13-=n n a ，∴()()()()()1220012,313131nn n n nn F x n C x C x x C x x --=-+-+-()()()()()1113131312n n nnn nn n C x x C x x x x --++-+=-+=+，∴()()20201,2020121F -=-=；（2）证明：若数列{}n a 是公差为2的等差数列，则21n a n =-.()()()()10111121,111---+=-+-++-+nn n n n nn n n n n n F x n a C x a C x x a C x x a C x ，()()()()()101222112114(1)12--=-++-++-+++nn n n n nn nn C x C x x C x n C x x ，()()10122211(1)--⎡⎤=-+-+-+++⎣⎦n n n n n n n n n C x C x x C x x C x()11222212(1)n n n n n n n C x x C x x nC x --⎡⎤-+-++⎣⎦，由二项式定理知，()()()10122211(1)11---+-+-=-+=⎡⎤⎣++⎦nn n n n nn n nnC x C x x C x x x x C x ， 因为()()()()111!!!!1!!kk n n n n kC k n C k n k k n n k --⋅-=⋅=⋅=---，所以()1122212(1)---+-++n n n n n nn C x x C x nC x x ()112211111(1)------=-+-++n n n n n n n nC x x n x x nC x C ()1012111111(1)n n n n n n n nx C x C x x C x -------=⎦-+-++⎡⎤⎣()11-=-+=⎡⎤⎣⎦n nx x x nx ，所以(),12F x n nx =+.(),202014040F x x =+.【点睛】本题主要考查二项式定理及其展开式以及组合数公式，等差数列，等比数列的通项公式，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 22.已知函数()22xa f x e x ax =--，其中0a >. （1）当1a =时，求不等式()24f x e >-在()0,∞+上的解；（2）设()()g x f x '=，()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，求证：当ln x a <时，()()g x h x <；（3）若函数()y f x =恰好在1x x =和2x x =两处取得极值，求证：12ln 2x x a +<. 【答案】（1）()2,+∞（2）证明见解析；（3）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）当1a =时，对()212xf x e x x =--求导，判断导函数在()0,∞+上的正负号,说明函数()f x 在()0,∞+上的单调性，再利用()224f e =-，即可解出不等式.（2）根据题意求出()h x ,令()()()p x g x h x =-,求出()p x '说明其大于0.则()p x 在(),ln a -∞上单调递增，再结合()ln 0p a =，即可得证.（3）根据题意可知1x ，2x 是函数()0g x =的两个不同实根.不妨设1x <2x ,分别根据函数零点存在性定理可得()()120g x g x ==,可得12120x x e ax a e ax a --=--=，则1212x x e e a x x -=-，要证12ln 2x x a +<即证1212212x xx x e e e a x x +-<=-.化简得()12122121x x x x x x e e --->-,令()12 0x x t t -=<再根据函数()21t tt te e φ=-+，求导说明函数在(),0-∞上是减函数,结合()00φ=，即可得证.【详解】（1）当1a =时，()212xf x e x x =--， ()1x f x e x '=--，()10x f x e '⎡⎤'=->⎣⎦，∴()1xf x e x '=--在()0,∞+上单调递增，∴()()00f x f ''>=，∴()f x 在()0,∞+上单调递增，又()224f e =-，∴()24f x e >-的解集为()2,+∞；（2）()()x g x f x e ax a '==--，∵()y g x =关于直线ln x a =对称的函数为()y h x =，∴()()22ln 2ln x a h x g a x ax a a a e =-=+--∴()()222ln xx a g x h x e ax a a e-=--+令()222ln xx a p x e ax a a e=--+，()22220xx a p x e a a a e'=+-≥-=，当且仅当ln x a =时取“＝”，∵ln x a <，故上式取不到“＝”，即()0p x '>，∴()p x 在(),ln a -∞上单调递增，故()()ln 2ln 2ln 0p x p a a a a a a a <=--+=，即()()0g x h x -<， ∴当ln x a <时，()()g x h x <，（3）证明：由已知()()x g x f x e ax a '==--，()x g x e a '=-由1x ，2x 是函数()f x 的两个不同极值点（不妨设12x x <）.即1x ，2x 是函数()0g x =的两个不同实根. 即()10g x =，()20g x =∴110x e ax a --=，220x e ax a --=，两式相减得：1212x x e e a x x -=-，于是要证明12ln 2x x a +<，即证明1212212x xx xe e e x x +-<-， 两边同除以2x e ，即证12122121x x x x e e x x ---<-，即证()12122121x x x x x x e e --->-，即证()121221210x x x x x x ee ----+>令()12 0x x t t -=<即证不等式210tt te e -+>当0t <时恒成立. 设()21t t t te e φ=-+，∴()222221'11222tt t t tt t t t t e t e e e e e e φ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅-=+-=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦而212t t e >+，即2102tt e ⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，∴()0t φ'<，∴()t φ在(),0-∞上是减函数,又()00φ=∴()0t φ>恒成立. 则12ln 2x x a +<. 【点睛】本题考查利用导数证明不等式恒成立.属于难题.常见的恒成立问题：1)()0f x <恒成立max ()0f x ⇔<;2)()0f x >恒成立min ()0f x ⇔>;3)12()()f x g x <恒成立1max 2min ()()f x g x ⇔<.高考资源网（）您身边的高考专家版权所有@高考资源网- 21 -。
2019-2020学年无锡市江阴市两校高二下学期期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年无锡市江阴市两校高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 命题“∀x ∈R ，x 2−2ax −1≥0”的否定是______．2. 17、已知集合，，那么集合N ， ， ．3. 已知复数z =a +bi(a,b ∈R)，且(3+z)i =1−i ，则|z|=______．4. 若函数f(x)的定义域是[−2,2)，则函数y =f(2x +1)的定义域是______ ．5. 有四个幂函数：(1)f(x)=x 2 (2)f(x)=x −1 (3)f(x)=x 3(4)f(x)=x ，某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质：①奇函数；②值域是{y|y ∈R ，且y ≠0}；③在(−∞,0]上是减函数．如果他给出的三个性质中，三个全部正确，则他研究的函数是______.(填序号)6. 已知函数f(x)=2|x−m|和函数g(x)=x|x −m|+2m −8，其中m 为参数，且满足m ≤5.若对任意x 1∈[4,+∞)，存在x 2∈(−∞,4]，使得g(x 1)=f(x 2)成立，则实数m 的取值范围为______．7. 函数f(x)={x 2+4x +3,−3⩽x <0−3x +3,0⩽x <1−x 2+6x −5,1⩽x ⩽6的单调递增区间是______ ．8. 设表示不重合的两条直线，是内任意一条直线，则“”是“”的 条件. (填“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要”)9. 已知函数f(x)={x4x 2+16,x ≥2(12)|x−a|,x <2，若对任意的x 1∈[2,+∞)，都存在唯一的x 2∈(−∞,2)，满足f(x 1)=f(x 2)，则实数a 的取值范围为______．10. 奇函数f(x)在(−∞,0)内单调递增，且f(2)=0，则不等式xf(x)>0的解集为______．11. 已知函数f(x)=e x −e −x (x ∈R)(e 为自然对数的底数)，且对任意的实数t 均有不等式f(t −x)+f(t 2−x 2)≥0恒成立，则实数x 的取值集合是______．12. 设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，则满足不等式f(1)<f(lg x10)的x 的取值范围是______ ．13.定义下图中的(1)是A∗B的运算，(2)是B∗C的运算，(3)是C∗D的运算，(4)是D∗A的运算，那么图中(P)是______ 的运算；(Q)是______ 的运算．=0有解，则m的取值范围为______ ．14.若方程x2−2ex+m−lnxx二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.计算：(1)1；11−5i(2)7−9i；1+i(3)1−2i；3−4i(4)1+2i．2−4i16.解关于x的不等式：mx2−(m+3)x−1≥0(m≤0)．17.设a，b，c是△ABC的三边长，求证：ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)18.已知函数f(x)=x2+ax+b满足f(−1)=4且f(1)=0．(1)求实数a，b的值；(2)解不等式f(x)<x+5．19.近来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(以30天计)，每件的销售价格P(x)(单位：元)与时间x(单位：(k为常数，且k>0)，日销售量Q(x)(单位：件)与时间x(天)的函数关系近似满足P(x)=10+kx单位：天)的部分数据如表所示：已知第10天的日销售收入为505元．(1)求k的值；(2)给出以下四个函数模型：①Q(x)=ax+b；②Q(x)=a|x−m|+b；③Q(x)=a⋅b x；④Q(x)=a⋅log b x.请你根据表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述日销售量Q(x)与时间x的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)设该工艺品的日销售收入为f(x)(单位：元)，求f(x)的最小值．20.设a>0，函数f(x)=x−a√x2+1+a．(I)若f(x)在区间(0,1]上是增函数，求a的取值范围；(II)求f(x)在区间(0,1]上的最大值．【答案与解析】1.答案：∃x0∈R，x02−2ax0−1<0解析：解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x2−2ax−1≥0”的否定是∃x0∈R，x02−2ax0−1< 0，故答案为：∃x0∈R，x02−2ax0−1<0．根据含有量词的命题的否定即可得到结论．本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2.答案：N=｛x｜−3≤x≤0或2≤x≤3｝，｛x｜0<x<1｝，｛x︱−3≤x<1，或2≤x≤3｝解析：解：∵，，则N=｛x｜−3≤x≤0或2≤x≤3｝，｛x｜0<x<1｝，M∪N=｛x︱−3≤x<1，或2≤x≤3｝．3.答案：√17解析：解：∵(3+z)i=1−i，∴3+z=1−ii=−1−i，∴z=−4−i，∴|z|=√(−4)2+(−1)2=√17，故答案为：√17．根据复数的基本运算法则进行化简求出复数z，再利用模长公式即可复数z的模长．本题主要考查复数模长的计算，比较基础．4.答案：[−32,1 2 )解析：本题考查了函数的定义域，是基础题．结合题意得−2≤2x+1<2，求出x的范围并用区间表示，即为所求函数的定义域．解：∵函数f(x)的定义域为[−2,2)，由−2≤2x+1<2，解得−32≤x<12，∴函数y =f(2x +1)的定义域是[−32,12),故答案为：[−32,12)． 5.答案：(2)解析：解：(1)f(x)=x 2，是偶函数，值域是[0,+∞)，在(−∞,0]上是减函数，2错1对，(2)f(x)=x −1，是奇函数，值域是{y|y ∈R ，且y ≠0}；在(−∞,0]上是减函数，3对，(3)f(x)=x 3，是奇函数，值域是{y|y ∈R}；在(−∞,0]上是增函数，1对2错，(4)f(x)=x ，是奇函数，值域是{y|y ∈R}；在(−∞,0]上是增函数，1对2错，故答案为：(2)．根据常见函数的性质判断即可．本题考查了常见函数的性质，考查函数的单调性，值域问题，是一道常规题．6.答案：(−∞,72]∪{5}解析：解：f(x)={2x−m ,x ≥m 2m−x ,x <m， 由题意可得g(x)的值域应是f(x)的值域的子集．①当m ≤4时，f(x)在R 上单调递减，在[m,4]上单调递增，故f(x)≥f(m)=1，．g(x)在[4,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(4)=8−2m ．所以8−2m ≥1，即m ≤72．②当4<m ≤5时，f(x)在(−∞,4]上单调递减，故f(x)≥f(4)=2m−4，g(x)在[4,m)上单调递减，[m,+∞)上单调递增，故g(x)≥g(m)=2m −8.所以2m−4≤2m −8，解得6≤m ≤6，又4<m ≤5，所以m =5．综上，m 的取值范围是(−∞,72]∪{5}．将f(x)写成分段函数，由题意可得g(x)的值域应是f(x)的值域的子集，对m 讨论，结合g(x)的单调性，解不等式可得所求范围．本题考查函数的单调性和值域的求法，函数恒成立问题解法，注意运用分类讨论思想和转化思想，考查运算能力，属于中档题．7.答案：(−2,0)和(1,3)解析：解：做出函数的图象如图：故函数的增区间为(−2,0)和(1,3)．故答案为(−2,0)和(1,3)．作图函数的图象观察图象可得．本题主要考查函数的单调性，求单调区间，可以用定义求解也可以作图观察．8.答案：充要解析：解：∵l，m表示两条不同的直线，其中是内任意一条直线，若“l⊥m”，可以推出l⊥α；若“l⊥α”则l垂直于平面α内的每一条直线，所以l⊥m，∴“l⊥α”⇒“l⊥m”所以“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件，故答案为：充要．9.答案：[−2,6)解析：本题考查分段函数的运用，函数的定义域与值域，指数函数的性质，属于中档题．当x 1∈[2,+∞)时，x 116+4x 12∈(0,116]，当x 2∈(−∞,2)时，分a ≥2，a <2讨论，结合题意可得实数a 的取值范围．解：当x 1∈[2,+∞)时，x 116+4x 12=14x 1+16x 1∈(0,116]. 当x 2∈(−∞,2)时，若a ≥2，则f(x)=(12)|x−a|=(12)a−x 在(−∞,2)上是单调递增函数，所以f(x 2)∈(0,(12)a−2).若满足题目要求，则(0,116]⊆(0,(12)a−2),所以(12)a−2>116=(12)4，∴a −2<4，a <6．又a ≥2，所以a ∈[2,6)．若a <2，则f(x)=(12)|x−a|={(12)a−x ,x <a (12)x−a ,a ≤x <2.， f(x)在(−∞,a)上是单调递增函数，此时f(x)∈(0,1)；f(x)在[a,2)上是单调递减函数，此时f(x)∈((12)2−a ,1]．若满足题目要求，则116≤(12)2−a ，∴a ≥−2，又a <2，所以a ∈[−2,2)．综上，a ∈[−2,6)．故答案为[−2,6)． 10.答案：(−∞,−2)∪(2,+∞)解析：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，注意分析函数f(x)的取值情况，属于基础题．根据题意，结合函数的奇偶性与单调性，作出函数的草图，又由xf(x)>0⇔{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，分析可得答案．解：根据题意，f(x)为奇函数，则f(2)=−f(−2)=0，又由f(x)在(−∞,0)内单调递增，在其在(0,+∞)上单调递增，函数f(x)的草图如图所示：xf(x)>0⇔{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0， 解可得：x <−2或x >2，故不等式xf(x)>0的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)，故答案为：(−∞,−2)∪(2,+∞)11.答案：{−12}解析：解：f(x)=e x −e −x ，则f′(x)=e x +e −x >0，故f(x)在R 递增，而f(−x)=e −x −e x =−(e x −e −x )=−f(x)，故f(x)是奇函数，若对任意t ∈R ，不等式f(t −x)+f(t 2−x 2)≥0恒成立，即f(t 2−x 2)≥f(x −t)恒故t 2−x 2≥x −t ，故t 2+t −x 2−x ≥0对∀t ∈R 恒成立，∴△=1+4(x 2+x)≤0，解得(2x +1)2≤0解得：x =−12，综上，x ∈{−12}，故答案为：{−12}.根据函数的单调性和奇偶性得到t 2+t −x 2−x ≥0对∀t ∈R 恒成立，结合二次函数的性质求出x 的取值集合即可．本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查函数恒成立以及二次函数的性质，属于中档题． 12.答案：(0,1)∪(100,+∞)解析：解：∵函数f(x)是定义在R 上的偶函数，∴f(1)<f(lg x 10)=f(|lg x 10|)∵函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增，∴|lg x 10|>1，即lg x 10>1或lg x 10<−1解得：x >100或0<x <1所以满足不等式f(1)<f(lg x 10)的x 的取值范围是(0,1)∪(100,+∞)．故答案为：(0,1)∪(100,+∞)．根据函数是偶函数，把不等式转化成f(1)<f(|lg x 10|)，就可以利用函数在区间[0,+∞)上单调递增转化成一般的不等式进行求解．本题考查了利用函数的奇偶性和单调性解抽象不等式，解题的关键是利用函数的奇偶性把自变量转化到同一个单调区间上，还要注意函数的定义域． 13.答案：B ∗D ；A ∗C解析：解：通过观察可知：A 表示“|”，B 表示“□”，C 表示“−”，D 表示“○”，图中的(P)、(Q)所对应的运算结果可能是B ∗D ，A ∗C故答案为：B ∗D ，A ∗C本题考查的是归纳推理的应用，方法是根据已知图象与运算的关系，进行必要的分析归纳，找出规律，猜想未知的图象与运算的关系．归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)．14.答案：(−∞,e2+1e]解析：解：∵x2−2ex+m−lnxx =0，∴m=lnxx+2ex−x2，令f(x)=lnxx +2ex−x2，则f′(x)=1−lnxx2+2e−2x=1−lnx+2x2(e−x)x2．∴当0<x<e时，f′(x)>0，当x>e时，f′(x)<0，∴f(x)在(0,e)上单调递增，在[e,+∞)上单调递减，∴当x=e时，f(x)取得最大值f(e)=e2+1e．∴f(x)的值域为(−∞,e2+1e]，∵方程x2−2ex+m−lnxx=0有解，∴m的取值范围是(−∞,e2+1e].故答案为：(−∞,e2+1e]．移项得m=lnxx+2ex−x2，利用导数判断右侧函数的单调性，求出其值域即为m的范围．本题考查了导数与函数单调性，函数值域，属于中档题．15.答案：解：(1)111−5i =11+5i(11−5i)(11+5i)=11+5i121−25i2=11+5i146=11146+5146i；(2)7−9i1+i =(7−9i)(1−i)(1+i)(1−i)=7−16i+9i21−i2=−2−16i2=−1−8i；(3)1−2i3−4i =(1−2i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3−10i+8i29−16i2=−5−10i25=−15−25i；(4)1+2i2−4i =(1+2i)(2+4i)(2−4i)(2+4i)=2+8i+8i24−16i2=−6+8i20=−310+25i．解析：同时乘以分母的共轭复数，再展开化简即可，注意运用i2=−1．本题考查复数的四则运算，计算时应细心，避免因计算失误而丢分，属于基础题．16.答案：解：若m=0，则有3x+1≤0，解得x≤−13；若m<0，∵△=(m+3)2+4m=m2+10m+9；(ⅰ)△<0，即−9<m<−1，解集为空集；(ⅰ)△=0，即m=−9，解集为{x|x=13}；m=−1，解集为{x|x=−1}；(ⅰ)△>0，即−1<m<0或m<−9，不等式的解为m+3+√m2+10m+92m ≤x≤m+3−√m2+10m+92m综上，有m=0，解集为(−∞,−13]；−1<m<0或m<−9，解集为[m+3+√m2+10m+92m ,m+3−√m2+10m+92m]；m=−1，解集为{x|x=−1}m=−9，解集为{x|x=13}；−9<m<−1，解集为空集．解析：对二次项系数m与0的关系讨论，以及判别式与0的关系讨论，解不等式．本题考查了不等式的解法，关键是讨论m，做到不重不漏；考查了分类讨论的思想．17.答案：证明：∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，∴2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca)，∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca在△ABC中，b+c>a，c+a>b，a+b>c，∴a−(b+c)<0，b−(c+a)<0，c−(a+b)<0，∴a2+b2+c2−2ab−2bc−2ca=a2+b2+c2−a(b+c)−b(a+c)−c(a+b)=a[a−(b+c)]+b[b−(a+c)]+c[c−(a+b)]<0故ab+bc+ca≤a2+b2+c2<2(ab+bc+ca)成立解析：利用基本不等式，分别证明左右不等式，即可证明结论．本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，属于中档题．18.答案：解：(1)∵f(−1)=4且f(1)=0，∴{1−a+b=41+a+b=0，解得a=−2，b=1．即f(x)=x2+ax+b=x2−2x+1．(2)由f(x)<x+5.得x2−2x+1<x+5，即x 2−3x −4<0， 解得−1<x <4， 即不等式的解集为(−1,4)．解析：(1)根据条件f(−1)=4且f(1)=0建立方程关系，即可求实数a ，b 的值； (2)根据一元二次不等式的解法解不等式f(x)<x +5．本题主要考查一元二次方程和一元二次不等式的解法，要求熟练掌握三个二次之间的关系．19.答案：解：(1)由题意，Q(10)⋅P(10)=50(10+k10)=505，即k =1；(2)由表中数据可知，当时间变化时，日销售量有增有减，函数不单调， 而①③④均为单调函数，故Q(x)=a|x −m|+b ， 则{a|10−m|+b =50a|15−m|+b =55a|20−m|+b =60，解得a =1，m =10，b =50． 故函数解析式为Q(x)=|x −10|+50；(3)由(2)可知，Q(x)=|x −10|+50={60−x,1≤x ≤10x +40,10<x ≤30，则f(x)=P(x)⋅Q(x)={(10+1x )(60−x),1≤x ≤10(10+1x )(x +40),10<x ≤30． 当1≤x ≤10时，f(x)=600−1+60x −10x ，该函数为单调减函数，f(x)min =f(10)=505；当10<x ≤30时，f(x)=400+1+10x +40x，在(10,30]上为增函数，则f(x)>505．综上，该工艺品的日销售收入f(x)的最小值为505元．解析：本题考查函数模型的选择及应用，训练了利用函数的单调性求最值，考查运算求解能力，是中档题．(1)直接由Q(10)⋅P(10)=505求得k 值；(2)由表中数据结合函数单调性可知Q(x)=a|x −m|+b ，代入点的坐标列方程组求解a ，b ，m 的值，则函数解析式可求；(3)由(2)可知，Q(x)=|x −10|+50={60−x,1≤x ≤10x +40,10<x ≤30，写出分段函数f(x)=P(x)⋅Q(x)，利用单调性求f(x)的最小值．20.答案：解：(I)对函数f(x)求导数，得f′(x)=1−√x 2+1．要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，只要f′(x)=1√x2+1≥0在(0,1]上恒成立，即a≤√x2+1x =√1+1x2在(0,1]上恒成立，因为√1+1x2在(0,1]上单调递减，所以√1+1x2在(0,1]上的最小值是√2，注意到a>0，所以a的取值范围是(0,√2]．(II)解：①当0<a≤√2时，由(I)知，f(x)在区间(0,1]上是增函数，此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(1)=1+(1−√2)a．②当a>√2时,令f′(x)=1√x2+1=0，解得x=√a2−1∈(0,1)．因为0<x<√a2−1,f′(x)>0√a2−1<x<1时,f′(x)<0，所以f(x)在√a2−1上单调递增,在(√a2−11)上单调递减，此时f(x)在区间(0,1]上的最大值是f(2)=a−√a2−1．综上，当0<a≤√2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是1+(1−√2)a；当a>√2时，f(x)在区间(0,1]上的最大值是a−√a2−1．解析：本小题主要考查函数的导数，单调性，极值，最值等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力，属于中档题．(I)要使f(x)在区间(0,1]上是增函数，只要f′(x)=1−2≥0在(0,1]上恒成立，将a参数分离即可求出a的范围；(II)欲求f(x)在区间(0,1]上的最大值，即研究函数f(x)在区间(0,1]上单调性，对a进行讨论，求出函数的最值．。
江苏省无锡辅仁高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试数学试题
江苏省无锡辅仁高级中学2019—2020学年高二下学期期中考试数学试题2020．5一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．已知集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{}124xx <<，则A I B ＝A ．{﹣1，0，1}B ．{1}C ．{﹣1，1}D ．{0，1} 2．已知x ，y ∈R ，则“x ＝y ”是“33x y +=+”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)A ．2y x =± B．y = C．y x =±D ．12y x =± 4．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边，若a ＝2b cosC ，则此三角形一定是A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形5．已知39log 2a =，131()4b =，131log 6c =，则a ，b ，c 的大小关系为A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b6．已知9290129(13)x a a x a x a x -=++++L ，则0129a a a a ++++L 等于A ．29B ．49C ．39D ．17．若0x 是方程131()2xx =的解，则0x 属于区间A ．(23，1) B ．(12，23) C ．(13，12) D ．(0，13) 8．已知函数()sin 22f x x x =+的图象向左平移ϕ(0＜ϕ＜2π)个单位后，其图象关于y 轴对称，则ϕ的值为 A ．12π B ．6π C ．3πD ．512π9．已知双曲线的中心在原点，，若它的一条准线与抛物线24y x =的准线重合，则该双曲线与抛物线24y x =的交点到原点的距离是A． BC．18+ D ．2110．已知函数()e ex x mh x =+在区间[0，1]上不单调，则实数m 的取值范围为 A ．[1，e] B ．(1，e) C ．[1，e 2] D ．(1，e 2)11．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任（每班1位班主任），要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有 A ．210种 B ．420种 C ．630种 D ．840种12．在△ABC 中，AB ＝2，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，CD 与BE 交于点O ，若OC ＝，则△ABC 面积的最大值为A B ． C ． D ．二、填空题（本大题共4小题， 每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13．已知()f x 是奇函数，且当x ＞0时，3()e xf x =，则(ln 2)f -＝ ．14．若对于任意的实数x ，有3230123(3)(3)(3)x a a x a x a x =+-+-+-，则123a a a ++的值为 ．15．已知正实数x ，y 满足39x y +=的最大值是 ．16．规定：若函数()f x 在定义域[m ，n ](1＜m ＜n )上的值域是[m 3，n 3]，则称该函数为“绅士风度”函数．已知函数()xf x a =(a ＞0且a ≠1)为“绅士风度”函数，则a 的取值范围是 ．三、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）如图，设点A 是单位圆O 和x 轴正半轴的交点，O 是坐标原点，P ，Q 是单位圆上的两点，∠AOP ＝6π，∠AOQ ＝α，α∈[0，π)． （1）若Q(35，45)，求cos()6πα-的值；（2）设函数()OP OQ f α=⋅u u u r u u u r，求()f α的值域．如图，在四棱锥P—ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝AD ＝1，AB ⊥AD ，AD ∥BC ．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为3，求BC 的长； （2）求二面角B —PD —A 的余弦值．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝b cosC ＋c sinB ． （1）求B 的值；（2）已知b ，c a ．20．（本小题满分12分）将名为《高等代数》、《数学分析》、《概率论》和《复变函数》的4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中．（1）求4本书恰好放在4个不同书包中的概率；（2）随机变量X 表示放在丙书包中书的本数，求X 的概率分布和数学期望E(X)．已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，A(a ，0)，B(0，b )，O(0，0)，若△OAB 的面积为1，且过右焦点F 垂直于x 轴的直线被椭圆C 截得的线段长为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，试问AN ·BM 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 22．（本小题满分14分）已知函数1()ln f x mx x n -=+．（1）若m ＝1，n ＝0，求函数()f x 的单调区间；（2）若m ＝1，n ＝1，求函数()f x 在区间[2a ，4a ]上的最小值；（3）某高二学习研究小组通过研究发现：总存在正实数a ，b (a ＜b )，使等式baa b =成立．试问：他们的研究成果是否确？若正确，请写出a ，b 的取值范围；若不正确，请说明理由．参考答案1．B 2．A 3．C 4．C 5．D 6．B 7．C 8．A 9．B 10．D 11．B 12．C13．﹣8 14．37 15．16．(1，3 e e)17．18．19．解：（1）∵a＝b cosC＋c sinB，∴sinA ＝sinBcosC ＋sinCsinB ，又∵sinA ＝sin[π﹣(B ＋C)]＝sin(B ＋C)＝sinBcosC ＋cosBsinC ，∴sinBcosC ＋sinCsinB ＝sinBcosC ＋cosBsinC ，即sinCsinB ＝cosBsinC ， ∵cosBsinC ≠0，等是两边同时除以cosBsinC 得 ∴tanB ＝1，0＜B ＜π，∴B ＝4π， （2）由余弦定理2222cos B b a c ac =+-，得2232a =+-，即210a -+=，解得2a =． 20．21．22．。
江苏省无锡市大桥实验学校2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
江苏省无锡市大桥实验学校2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1.若复数z 满足()142z i i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A. 13i + B. 13i -C. 13i --D. 13i -+【答案】B 【解析】 【分析】根据复数代数形式的除法运算计算可得； 【详解】解：因为()142z i i +=-∴()()42(42)(1)13111i i i z i i i i ---===-++-， 故选：B ．【点睛】本题考查了复数代数形式的运算，属于基础题．2.由下表确定结论“X 与Y 有关系”的可信度为95%时，则随机变量2k 的观测值k 必须（ ）A. 大于10.828B. 大于3.841C. 小于6.635D. 大于2.706 【答案】B 【解析】 【分析】由独立性检验的意义即可判定.【详解】查表可知犯错误的概率不超过0.05时的对应观测值为3.841，所以确定结论“X 与Y有关系”的可信度为95%时，随机变量2k 需大于3.841. 故选：B【点睛】本题考查独立性检验的理解，属于基础题.3.函数()12f x x =的单调递增区间是（ ） A. ()0,4 B. (),1-∞C. ()0,1D. (),4-∞【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，然后求导，求出导函数大于零时不等式的解集即可. 【详解】函数()f x 的定义域为；[0,)+∞，()'11()22f x x f x =⇒=，当'1()02f x =>时，函数单调递增，解得01x <<，所以函数()12f x x =的单调递增区间是()0,1. 故选：C【点睛】本题考查了利用导数与函数的单调区间，考查了数学运算能力.4.设a R ∈，则复数22121a aiz a -+=+所对应点组成的图形为（ ）A. 单位圆B. 单位圆除去点()1,0±C. 单位圆除去点()1,0D. 单位圆除去点()1,0- 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数222221212111a ai a az i a a a -+-==++++，得到复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，然后由22212,11a ax y a a -==++，利用复数的模求解. 【详解】因为复数222221212111a ai a az i a a a-+-==++++， 所以复数z 对应点的坐标为：22212,11a a a a ⎛⎫- ⎪++⎝⎭， 即22212,11a ax y a a-==++， 所以222222212111a a x y a a ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为22212111a x a a-==-+++， 又因为a R ∈， 所以211a +≥，所以22021a<≤+， 所以221111a-<-+≤+， 即11x -<≤，所以复数z 对应点组成的图形为单位圆除去点()1,0-. 故选：D【点睛】本题主要考查复数的几何意义以及复数模的轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.影片《红海行动》里的“蛟龙突击队”在奉命执行撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成6项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，则这6项任务的不同安排方案共有（ ） A. 18种 B. 36种C. 144种D. 216种【答案】B 【解析】 【分析】根据A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起，先得到任务E 、F 相邻的位置的种数，再考虑E 、F 的顺序，然后将剩下的3个任务全排列，最后用分步计数原理求解. 【详解】因为A 必须排在第2位，且任务E 、F 必须排在一起， 则任务E 、F 相邻的位置有3种， 考虑E 、F 的顺序，有2种情况，将剩下的3个任务全排列，安排在其他3个位置，有336A =种，所以这6项任务的不同安排方案共有32636⨯⨯=种， 故选：B【点睛】本题主要考查计数原理中的排列问题，还考查了分析求解的能力，属于中档题. 6.已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A. 10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，分别求出()()()123P X P X P X ===，，，再根据离散型随机变量期望公式进行求解即可 【详解】由题可知()1P X p==，()()21P X p p==-，()()()()2323111P X p p p p ==-+-=-，则()()()()()()21232131 1.75E X P X P X P X p p p p =====+-+->+2+3解得5122p p ><或，由()0,1p ∈可得10,2p ⎛∈⎫ ⎪⎝⎭， 答案选A【点睛】本题考查离散型随机变量期望的求解，易错点为第三次发球分为两种情况：三次都不成功、第三次成功7.已知函数()21, 1ln , 1x x f x x x x⎧-<⎪=⎨≥⎪⎩，若关于x 的方程()()()22120f x m f x m +--=⎡⎤⎣⎦有5个不同的实数解，则实数m 的取值范围是（ ） A. 10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 10,e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 11,e ⎛⎫- ⎪⎝⎭D. 11,e ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【答案】A 【解析】 【分析】利用导数研究函数lnx y x=的单调性并求得最值，求解方程22[()](12)()0f x m f x m +--=得到()f x m =或1()2f x =-．画出函数图象，数形结合得答案． 【详解】解：设lnx y x=，则21lnxy x -'=，由0y '=，解得x e =，当(0,)x e ∈时，0y '>，函数为增函数，当(,)x e ∈+∞时，0y '<，函数为减函数．∴当x e =时，函数取得极大值也是最大值为f （e ）1e=． 方程22[()](12)()0f x m f x m +--=化[()][2()1]0f x m f x -+=．解得()f x m =或1()2f x =-． 如图画出函数图象：可得m 的取值范围是10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 故选：A ．【点睛】本题考查根的存在性与根的个数判断，考查利用导数求函数的最值，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题． 8.设函数()mf x xπ=，若()f x 存在的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则实数m 的取值范围是（ ） A. ()(),66,-∞-+∞B. ((),3,-∞+∞C. ()(),22,-∞-+∞D. ()(),11,-∞-+∞【答案】C 【解析】 【分析】对函数进行求导，根据极值的定义得到等式，结合特殊角的正弦值、余弦值、二次函数的性质、解一元二次不等式的方法进行求解即可. 【详解】()()'cosxxf x f x mm mππ=⇒=， 因为()f x 存在极值点0x ，所以()'00cos 0x f x m mπ==， 可得：01()()()22x k k Z x k m k Z mπππ=+∈⇒=+∈， 于是有22201()()2x k m k Z =+∈，因为k Z ∈，所以2222011()24x k m m =+≥， ()001()2)k m x f x k Z m mππ+===∈， 所以由()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦， 可得：()222222001133244m x f x m m m m >+≥+⇒>+⇒>⎡⎤⎣⎦或2m <-.故选：C【点睛】本题考查了极值的定义，考查了不等式成立时求参数取值范围，考查了导数的运算、解一元二次不等式，考查了数学运算能力.二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 9.下列说法中，正确的命题是（ ）A. 已知随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=B. 由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀C. 以模型kxy ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3D. 在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差 【答案】CD 【解析】 【分析】根据正态分布，独立性检验、回归分析的概念判断．【详解】量ξ服从正态分布()22,N σ，()40.84P ξ<=，则()40.16P ξ>=，(24)0.50.160.34P ζ<<=-=，A 错；独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，并不能说明他物理一定可能优秀，B 错；把线性方程0.34z x =+代入，得0.3440.3zx x y e ee e +===⋅，所以4c e =，0.3k =，C 正确；残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越差，D 正确． 故选：CD ．【点睛】本题考查统计的常用知识，掌握正态分布，独立性检验、回归分析的概念是解题基础，本题属于基础题．10.已知()2na b +的展开式中第5项的二项式系数最大，则n 的值可以为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10【答案】ABC 【解析】 【分析】按照哪几项的二项式系数最大分三种情况讨论，结合二项式系数的性质可得答案. 【详解】当()2n a b +的展开式中第4项和第5项的二项式系数相等且最大时，7n =；当当()2na b +的展开式中第5项和第6项的二项式系数相等且最大时，9n =； 当()2na b +的展开式中只有第5项的二项式系数最大时，8n =. 故选：ABC.【点睛】本题考查了分类讨论思想，考查了二项式系数的性质，属于基础题.11.对于三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”.探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，设函数()3211133212x x f x =-+，则以下说法正确的是（ ）A. 函数()f x 对称中心1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是99C. 函数()f x 对称中心1,12⎛⎫⎪⎝⎭D. 129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是1【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意求出函数()f x 对称中心，然后根据函数对称中心的性质进行求解即可. 【详解】()32'2''1113()()213212f x x x f x x x f x x =-+⇒=-⇒=-, 令''()210f x x =-=，解得12x =，32111111312322212f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯-⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由题意可知：函数()3211133212x x f x =-+的对称中心为1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭；因为函数()3211133212x x f x =-+的对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以有()(1)2f x f x +-=，设129899(1)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以有999821(2)100100100100S f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1)(2)+得，2222229999S S =++++=⨯⇒=，即129899100100100100f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是99.故选：BC【点睛】本题考查了利用导数求函数的对称中心，考查了利用函数的对称性求函数值之和问题，考查了数学阅读能力和数学运算能力.12.如图所示，已知直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，则对于函数()()F x f x kx =-，以下结论成立的是（ ）A. 有3个极大值点，2个极小值点B. 有2个零点C. 有2个极大值点，没有极小值点D. 没有零点【答案】AD 【解析】 【分析】根据图象可以判断出,k m 的正负性、得出()0F x <恒成立，判定B 错误，D 正确；作出与直线y kx m =+平行的所有的切线，即可观察得到()’f x 与k 的大小关系的不同区间，进而得出()()’’F x f x k =-的正负区间，得出()F x 的单调性，进而得到()F x 的极值情况，从而判定A,C 的正确与否.【详解】由题意可知：直线y kx m =+与曲线()y f x =相切于两点，所以方程()f x kx m =+有两个不相等的实数根，由图象可知；(),0,0f x kx m k m ≤+><，因此有()f x kx <，所以()()0F x f x kx =-<，因此函数()F x 没有零点，故选项B 错误，选项D 正确；()()()()''F x f x kx F x f x k =-⇒=-，作出与直线y kx m =+平行的所有切线，各切线与函数()f x 的切点的横坐标依次为(),,,,,?a b c d e f x 在,,,,,a b c d e 处的导数都等于k ,在()()(),,,,,a b c d e -∞上，()’f x k >,()()’0,F x F x >单调递增， 在()()(),,,,,a b c d e +∞上，()()()’0,?0,f x F x F x <<单调递减，因此函数()()F x f x kx =-有三个极大值点，有两个极小值点，所以选项A 正确，选项C 错误. 故选：AD【点睛】本题考查了利用导数判断函数的极值，考查了函数零点的判断，考查了数形结合思想.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分.请把答案填写在答题卡相应位置上） 13.某企业从2013年开始每年向敬老院捐赠物资和现金，如表记录了该企业第x 年（2013年是第一年）捐赠的现金数y (万元)：x 3 4 5 6 y2.5344.5由表中数据得到y 关于x 的线性回归方程是0.35y mx =+，则可预测2020年捐赠的现金大约为________万元. 【答案】5.95 【解析】 【分析】根据回归直线过样本点的中心求出m ，再计算出2020年从2013年算起是第几年，最后代入求值即可. 【详解】因为3456 2.534 4.54.5, 3.544x y ++++++====，所以有3.5 4.50.35m =+，解得0.7m =，因此0.70.35y x =+， 因为2020年从2013年算起是第8年，所以预测2020年捐赠的现金大约为：0.780.35 5.95y =⨯+=. 故答案为：5.95【点睛】本题考查了线性回归方程的应用，考查了数学运算能力 .14.已知函数()2xe f x ax x=-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，则实数a 的取值范围为________.【答案】2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】 【分析】由当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，变形得到当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立，即()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数，然后由()0g x '≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立求解. 【详解】因为当21x x >时，不等式()()12210f x f x x x -<恒成立，即当21x x >时，不等式()()1122x f x x f x <恒成立， 所以()()g x xf x =，在()0,x ∈+∞上是增函数， 所以()230xg x e ax '=-≥，在()0,x ∈+∞上是恒成立，即23xe a x ≤，在()0,x ∈+∞上是恒成立，令2()3xe h x x =，所以()32()3x e x h x x-'=， 当02x <<时，()0h x '<，当2x >时，()0h x '>，所以当2x =时，()h x 取得最小值，最小值为212e ，所以实数a 的取值范围为2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故答案为：2,12e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15.设集合{}12345(|{1,0,1},1,2,3,4,5,,,,)i A x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素有________个. 【答案】130 【解析】 【分析】 由{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=且1234513x x x x x ≤++++≤，得到i x 中至少两个为0，至多四个为0，再分三种情况讨论. 【详解】因为{1,0,1},1,2,3,4,5i x i ∈-=且1234513x x x x x ≤++++≤，所以i x 中至少两个为0，至多四个为0.①i x 中4个0，1个为－1或1，A 有512C 10=个元素；②i x 中3个0，2个为－1或1，A 有25C 2240⨯⨯=个元素； ③i x 中2个0，3个－1或1，A 有35C 22280⨯⨯⨯=个元素；从而，集合A 中共有104080130++=个元素. 故答案：130【点睛】本题考查组合数的计算，考查分类讨论思想的应用，考查逻辑推理能力和运算求解能力.16.设函数()()ln 1f x x k =++，()xg x e =. 若()()12f x g x =，且12x x -的最小值为1-，则实数k 的值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设()()12f x g x a ==，用a 表示12x x -，再利用导数求函数最小值，最后根据12x x -的最小值为1-得实数k 的值.【详解】因为()()12f x g x =，设()()12f x g x a ==，则112,ln a x e k x a -=-=，所以()112ln a x x e k a h a --=--=，因为()11a h a ea-='-，所以当1a >时，()0h a '>；当01a <<时，()0h a '<. 所以，函数()y h a =的单调递减区间为()0,1，单调递增区间为()1,+∞.()min 11h a k ∴=-=-，因此，2k =.故答案为：2.【点睛】两函数关系问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式或方程，从而求出参数的取值范围或值.四、解答题（本大题共6小题，共计70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设复数z 的实部为正数，满足z =()12i z +在复平面上对应的点在第一、三象限的角平分线上.（1）求复数z ；（2）若有21z x =+，()()223z x a z =+-，对任意x ∈R 均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围.【答案】（1）3z i =-（2）112a -<≤ 【解析】 【分析】（1）设(Z a bi a =+，b R ∈且0)a >，由条件可得2210a b +=①，3a b =-②．由①②联立的方程组得a 、b 的值，即可得到z 的值．（2）首先可得()22z x a i =+，因为x ∈R 均有12z z >2x a >+，即22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立，对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）设()0,z a bi a b R =+>∈10z ==()()()()1222i a bi a b a b i ++=-++，且在一、三象限角平分线上，22a b a b ∴-=+②由①、②得31a b =⎧⎨=-⎩或31a b =-⎧⎨=⎩0a >，3a ∴=，1b =-，3z i ∴=-；（2）21z x =，()()223z x a z =+-，3z i =+，()22z x a i ∴=+，x R ∈均有12z z >成立，2x a >+，即22(12)(1)0a x a -+->对x ∈R 恒成立，①12a =时，304>恒成立，②12a ≠，212010a a ->⎧⎨->⎩，解得112a -<<，综上所述，112a -<≤. 【点睛】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，不等式恒成立问题，属于中档题．18.已知3()n x x -的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512. (1)求展开式的所有有理项（指数为整数）； (2)求34(1)(1)(1)n x x x -+-++-展开式中项的系数．【答案】（1）5417,210T x T x == （2）164【解析】【试题分析】（1）依据题设运用二项式展开式的公式及待定系数法进行求解；（2）依据题设先求出展开式中项的系数，再组合数公式的性质求解：解 :（1）∴，（ r =0, 1, …，10 ）∵Z ，∴，6 有理项为， （2）∵，∴项的系数为19.已知a 是实数，函数()()2f x xx a =-.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线l 与直线30x y -=平行，求切线l 的方程； （2）求()f x 在区间[]0,2上的最大值.【答案】（1）320x y --=；（2）()[)()max 0,2,84,,2a f x a a ⎧∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义表示斜率求参数，进而表示切点与斜率，最后由点斜式方式表示直线即可；（2）利用分类讨论导函数两根大小，正根与区间边界大小，从而分析单调性并表示此时最值，最后综合在一起即可.【详解】（1）因为函数()()2f x xx a =-，则()232f x x ax '=-，即()132f a '=-，由题可知()13230f a a '=-=⇒=，所以()()3,11f x x f ==， 故在1x =处的切点为()1,1,3k =，切线方程为()131y x -=-， 即320x y --=.（2）因为()223233a f x x ax x x ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭， 当0a ≤时，在区间[]0,2上()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增，所以()()max 284f x f a ==-，当0a >时，若22033a a <⇒<<时，在区间20,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()0f x '<，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上()0f x '≥，所以函数()f x 在区间20,3a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在区间2,23a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，因为()()00,284f f a ==-，若8402a a ->⇒<时，()()max 284f x f a ==- 若23a ≤<时，()()max 00f x f ==， 当223a≥，即3a ≥时，在区间[]0,2上()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减，所以()()max 00f x f ==，综上所述，在区间[]0,2上函数()[)()max0,2,84,,2a f x a a ⎧∈+∞⎪=⎨-∈-∞⎪⎩【点睛】本题考查由导数的几何意义求切线方程，还考查了分类讨论含参函数的在指定区间的最值，属于中档题.20.已知圆的方程222()()(0)x a y b r r -+-=>，从0，3，4，5，6，7，8，9，10这九个数中选出3个不同的数，分别作圆心的横坐标、纵坐标和圆的半径．问： （1）可以作多少个不同的圆？ （2）经过原点的圆有多少个？（3）圆心在直线上100x y +-=的圆有多少个？ 【答案】(1)448；(2)4；(3)38. 【解析】 【分析】(1)由题意利用乘法原理结合排列数公式可得满足题意的圆的个数；(2)由题意首先确定满足该条件的a ，b ，r ，然后求解满足题意的圆的个数即可；(3)首先确定圆心满足的条件，然后结合排列数公式和分步加法计数原理可得满足题意的圆的个数.【详解】(1)可分两步完成：第一步，先选r ，因r >0，则r 有18A 种选法，第二步再选a ，b ，在剩余8个数中任取2个，有28A 种选法，所以由分步计数原理可得有1288448A A ⋅=个不同的圆.(2)圆()()222x a y b r -+-=经过原点，a 、b 、r 满足222a b r +=，满足该条件的a ，b ，r 共有3，4，5与6，8，10两组，考虑a 、b 的顺序，有22A 种情况， 所以符合题意的圆有2224A =.(3)圆心在直线x +y −10=0上，即满足a +b =10，则满足条件的a 、b 有三组：0，10；3，7；4，6.当a 、b 取10、0时，r 有7种情况，当a 、b 取3、7；4、6时，r 不可取0，有6种情况， 考虑a 、b 的顺序，有22A 种情况，所以满足题意的圆共有21212726238A A A A ⋅+=个.【点睛】本题主要考查圆的方程及其应用，分类加法计数原理与分步乘法计数原理，排列数公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)20,25，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【答案】（1）分布列见解析；（2）520. 【解析】分析：（1）根据题意X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2000.2P X ==，()3000.4P X ==，()5000.4P X ==；（2）分两种情况：当300500n ≤≤时，当200300n ≤<时，分别得到利润表达式.详解：（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为X200300500P0.20.40.4（2）由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200500n ≤≤ 当300500n ≤≤时，若最高气温不低于25，则642Y n n n =-=；若最高气温位于区间[)20,25，则()63002300412002Y n n n =⨯+--=-； 若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-因此()()()20.4120020.480020.26400.4E Y n n n n =⨯+-⨯+-⨯=- 当200300n ≤<时，若最高气温不低于20，则642Y n n n =-=，若最高气温低于20，则()6200220048002Y n n n =⨯+--=-， 因此()()()20.40.480020.2160 1.2E Y n n n =⨯++-⨯=+ 所以300n =时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元.方法点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式，求出随机变量取每个值时的概率；第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式求得. 22.已知函数()214ln 22x a x f x x =---，其中a 为正实数. （1）求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，求证：()()126ln f x f x a +<-. 【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）根据函数()214ln 22x a x f x x =---，求导得到()244a x x a f x x x x-+'=--=-，然后根据24t x x a =-+，分0,0∆≤∆>讨论求解.（2）由（1）得到若函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，则04a <<，且124x x +=，12x x a =，代入()()12f x f x +，得到()()12f x f x +4ln a a a =+-，要证()()126ln f x f x a +<-，只需证ln ln 20a a a a --+>，构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+，用导数法结合零点存在定理证明()0g x >即可.【详解】（1）因为函数()214ln 22x a x f x x =---， 所以()244a x x af x x x x-+'=--=-，函数()y f x =的定义域为()0,∞+，令24t x x a =-+，①若1640a -≤，即4a ≥时，则()0f x '≤，此时()f x 的单调减区间为()0,∞+； ②若1640a ->，即04a <<时， 令()0f x '=，得2x =，当02x <<-或2x >+时，()0f x '<，当22x <<+时，()0f x '>，此时()f x的单调减区间为(0,2，()2+∞，单调增区间为(2.（2）由（1）知，当04a <<时，函数()y f x =有两个极值点1x ，2x ，且124x x +=，12x x a =. 因为()()2212111222114ln 24ln 222f x f x x a x x x a x x +=---+---， ()()()2212121214ln 42x x a x x x x =+--+-， ()21164ln l 2n 442a a a a a a =----=+-， 要证()()126ln f x f x a +<-，只需证ln ln 20a a a a --+>. 构造函数()ln ln 2x x g x x x =--+， 则()1111ln ln g x x xx x '=+--=-， ()g x '在()0,4上单调递增，又()110g '=-<，()12ln 202g '=->，且()g x '在定义域上不间断，由零点存在定理，可知()0g x '=在()1,2上唯一实根0x ，且001ln x x =. 则()g x 在()00,x 上递减，()0,4x 上递增，所以()g x 的最小值为()0g x- 21 - 因为()0000011123g x x x x x ⎛⎫=--+=-+ ⎪⎝⎭， 当()01,2x ∈时，00152,2x x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，则()00g x >， 所以()()00g x g x ≥>恒成立.所以ln ln 20a a a a --+>，所以()()126ln f x f x a +<-，得证.【点睛】本题主要考查导数与函数的单调性，导数与不等式证明问题，还考查了转化化归，分类讨论的思想和运算求解的能力，属于难题.。
2019-2020学年江苏省无锡市天一中学高二下学期期中数学试题(解析版)
【答案】AD
【解析】结合图象分析当PQ⊥x轴时，求出△PQF2的周长，通过证明四边形 为平行四边形，得PQ//NF2，结合双曲线图像性质判定BC.
【详解】
根据上图，若PQ⊥x轴， ，则△PQF2的周长为 ，所以A选项正确；
连PA交l于D，则必有QD//x轴，由上图可得选项 说法错误；
此题考查正态分布密度曲线的性质，关键在于熟练掌握图象性质，根据对称轴和曲线关系判断得解.
5．对于不等式 <n+1(n∈N),某同学应用数学归纳法的证明过程如下:
(1)当n=1时, <1+1,不等式成立.
(2)假设当n=k(k∈N)时,不等式成立,即 <k+1.
那么当n=k+1时, =(k+1)+1,
6．为支援湖北抗击新冠疫情，无锡市某医院欲从6名医生和4名护士中抽选3人（医生பைடு நூலகம்护士均至少有一人）分配到A，B，C三个地区参加医疗救援（每个地区一人），方案要求医生不能去A地区，则分配方案共有( )
A．264种B．224种C．250种D．236种
【答案】A
【解析】分类计数，考虑选取1名医生2名护士和选取2名医生1名护士两类情况求解.
【答案】
【解析】根据展开式求出系数和得 ，求出 ，将 转化为点 到 的距离的平方，结合几何意义即可得解.
【详解】
an为(x＋4)n－(x＋1)n的展开式的各项系数之和，即 ，
，考虑 ，
，所以 递减，
所以 ，
所以 ， ，
，
可以看成点 到 的距离的平方，
即求点 到直线 的距离最小值的平方，
由图可得即求点 或 到直线 的距离的平方，即
江苏省2020年高二下学期期中数学试卷+(理科)(I)卷
江苏省 2020 年高二下学期期中数学试卷+（理科）（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2018 高一上·台州月考) 已知集合 （），，则A.B.C. D. 2. （2 分） (2016 高三上·西安期中) 复数 z 满足（3﹣2i）•z=4+3i，则复平面内表示复数 z 的点在（ ） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 3. （2 分） (2017·顺义模拟) 已知直线 a，b 分别在两个不同的平面 α，β 内．则“直线 a 和直线 b 垂直” 是“平面 α 和平面 β 垂直”的（ ） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 4. （2 分） (2016 高二下·玉溪期中) 在直角△ABC 中，∠BCA=90°，CA=CB=1，P 为 AB 边上的点且 =λ ，若 • ≥ • ，则 λ 的取值范围是（ ）第 1 页 共 11 页A . [ ，1]B.[，1]C.[ ，]D.[，]5. （2 分） 若 a，b 是函数 f（x）=x2﹣px+q（p＞0，q＞0）的两个不同的零点，且 a，b，﹣2 这三个数可适 当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p+q 的值等于（ ）A.6B.7C.8D.96. （2 分） (2019 高一上·淮南月考) 若函数 （）A.为偶函数，则下列结论正确的是B.C.D.7. （2 分） (2018·榆林模拟) 曲线 （）上一动点A. B.第 2 页 共 11 页处的切线斜率的最小值为C.D.8. （2 分） (2019·浙江模拟) 已知是第一象限角，则“”是“A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分与不必要条件9. （2 分） (2017 高一上·西城期中) 下列各式为函数解析式的是（ ）．”（ ）A.B. C.D.10. （ 2 分 ） 对 非 零 实 数,定义运算满 足 :(1); (2).若,则下列判断正确的是（ ）A.是增函数又是奇函数B.是减函数又是奇函数C.是增函数又是偶函数D.是减函数又是偶函数11. （2 分） (2019 高一上·成都月考) 设函数，则（）满足A . 2020第 3 页 共 11 页，且对任意 、都有B . -2018 C . 2019 D . 2018 12. （2 分） (2020 高一上·绍兴期末) 下列说法正确的是（ ）A.若 B.若，则 ，则C.，则D.若，则二、 填空题 (共 2 题；共 2 分)13. （1 分） (2020·南通模拟) 设 则数列 的前 8 项和为________．是 R 上的奇函数，当时，，记，14. （1 分） (2014·安徽理) 已知两个不相等的非零向量 ， ，两组向量 ， ， ， ， 和 ， ， ， ， 均由 2 个 和 3 个 排列而成，记 S= • + • + • + •+ • ，Smin 表示 S 所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是________（写出所有正确命题的编号）．①S 有 5 个不同的值； ②若 ⊥ ，则 Smin 与| |无关； ③若 ∥ ，则 Smin 与| |无关； ④若| |＞4| |，则 Smin＞0；⑤若| |=2| |，Smin=8| |2 ， 则 与 的夹角为 ．三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)15. （10 分） (2019 高一下·长春期末) 在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知，第 4 页 共 11 页，角 为锐角，的面积为.（1） 求角 A 的大小；（2） 求 a 的值.16.（10 分）(2017 高一下·安庆期末) 如图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，EC∥PD， 且 PD=AD=2EC=2．（1） 求证：BE∥平面 PDA； （2） 求四棱锥 B﹣CEPD 的体积．17. （10 分） (2016 高二上·绵阳期中) 椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，该椭圆经过点且离心率为 ．（1） 求椭圆 C 的标准方程；（2） 若直线 l：y=kx+m 与椭圆 C 相交 A，B 两点（A，B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的圆过椭圆 C 的右顶 点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标．18. （5 分） (2020·哈尔滨模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识 测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记 分，“不合 格”记 分.现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：等级 得分 频数不合格 6合格 24第 5 页 共 11 页（Ⅰ）若测试的同学中，分数段，完成列联表，并判断：是否有内女生的人数分别为 以上的把握认为性别与安全意识有关？性别 男生 女生 总计是否合格不合格合格总计（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取 10 人进行座谈，现再从这10 人中任选 4 人，记所选 4 人的量化总分为 X，求 X 的分布列及数学期望；（Ⅲ）某评估机构以指标 （，其中表示 X 的方差）来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案.在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？附表及公式：，其中.19. （10 分） (2019 高二下·长春期中) 设函数．（1） 若函数在处的切线与垂直，求 的值；（2） 证明：当时，.第 6 页 共 11 页20. （10 分） (2020 高三上·长春月考) 已知直线 的参数方程为 极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为（1） 求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程;（2） 若直线 与圆 相交于两点，求( 为参数)，以坐标原点为第 7 页 共 11 页一、 选择题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 2 题；共 2 分)13-1、 14-1、三、 解答题： (共 6 题；共 55 分)参考答案第 8 页 共 11 页15-1、 15-2、 16-1、16-2、 17-1、第 9 页 共 11 页17-2、18-1、19-1、第 10 页 共 11 页19-2、20-1、20-2、第11 页共11 页。
江苏省无锡市辅仁高级中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C。 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是充要条件的定义,我们可先假设“ ”成立,然后判断“ ”是否一定成立；然后假设“ ”成立,再判断“ ”是否一定成立，然后结合充要条件的定义，即可得到结论．
6。 已知 ，则 等于（ )
A. B。 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
求出二项式 展开式的通项为 ，可知当 为奇数时， ，当 为偶数时， ,然后代入 即可得出 的值。
【详解】二项式 展开式的通项 ，当 为奇数时， ,当 为偶数时， ，
因此, .
故选：B。
【点睛】本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和,要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题.
A。 B。 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
设 ,由三角形中的中位线的性质和比例的性质可得出 ,再设 ，根据余弦定理得 ，再得出 ，由三角形的面积公式表示 的面积，根据二次函数的最值可得选项.
【详解】因为 分别是边 ， 的中点，所以 ，所以 ，
又 ，设 ，则 ，
又因为 ,所以 ，设 ，
所以在 中， ，
即有 取得最大值 ,且 , ， ，所以 ，
所以有 .解得 。
故答案为： 。
【点睛】本题考查新定义的理解和运用,考查函数的单调性的运用，以及导数的运用:求单调区间和极值、最值,属于较难题.
三、解答题
17。
如图，设A是单位圆和x轴正半轴的交点，P，Q是单
位圆上的两点,D是坐标原点，∠AOP＝ .∠AOQ＝α，α∈［0,π)。