平面向量数量积练习题
平 面 向 量 数 量 积 练 习 题
一.选择题
1.下列各式中正确的是 （ ）
（1）(λ·a) ·b=λ·(a b)=a· (λb), （2）|a·b|= | a |·| b |,
（3）(a ·b)· c= a · (b ·c), （4）(a+b) · c = a·c+b·c
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（1）（4） D．以上都不对.
2.在ΔABC中,若(CACB)(CACB)0•,则ΔABC为 （ ）
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定
3． 已知|a|＝6，|b|＝3，a·b＝－12，则向量a在向量b方向上的投影是( )
A．－4 B．4 C．－2 D．2
>
4.已知|a|=1,|b|=2，且(a－b)与a垂直，则a与b的夹角为 （ ）
A．60° B．30° C．135° D．45°
5.设|a|= 4，|b|= 3，夹角为60°，则|a+b|等于 （ ）
A．37 B．13 C．37 D．13
6．设x，y∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，y)，c＝(2，－4)，且a⊥c，b∥c，则|a＋b|等于( )
C．25 D．10
7． 已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于( )
二.填空题
8.已知e是单位向量，a∥e且18ea，则向量a=__________.
—
9．已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝10，则|b|＝________.
10． 已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是__________．
三.解答题
11． (10分)已知a＝(1,2)，b＝(－2，n) (n>1)，a与b的夹角是45°.
(1)求b；
(2)若c与b同向，且a与c－a垂直，求c.
两角和与差的正弦余弦正切公式
?
一、选择题：
1．Sin165º等于 （ ）
A．21 B．23 C．426 D． 426
2．Sin14ºcos16º+sin76ºcos74º的值是（ ）
A．23 B．21 C．23 D．-21
3．若sin（α+β）cosβ－cos（α+β）sinβ=0，则sin（α+2β）+sin（α－2β）等于( )
A．1 B．－1 C．0 D．±1
4．sin12-3cos12的值是． （ ）
A．0 B． —2 C． 2 D． 2 sin125
5.△ABC中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC的形状一定是（ ）
&
A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形
6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）
A．2-2 B．2+ 2 C．0 D．1
二、填空题．
7．15tan115tan1=__________________________．
8．如果cos= -1312 )23,(，那么 cos)4(=________．
9．已知,为锐角，且cos=71 cos )(= -1411, 则cos=_________．
10．tan20º+tan40º+3tan20ºtan40º的值是____________．
11.求15cos15sin15cos15sin的值. 12．化简8sin15sin7cos8sin15cos7sin
'
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
平面向量数量积的性质
(4) cos a b | a || b |
(5 )|a b | |a ||b |
例1.已 知 a与 b都 为 单 位 向 量 ， 它 们 的
2夹 .利角 用为 性质60， 则a3b
()
求A 向.量的7模：B.（041全0 国） C. 13 D.4
(1) abba
(2) (a)b(ab)a(b)
3.平面向量
数量(积3的) 运(ab平)面向c量的数量a积不c满足结b合律c
算律：
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,e 是 与 b 方 向 相 同
二的 、新单 课位 讲向 量 , 是 a 与 e 的 夹 角 ,则
( 授1 )e a 数量a 积 的e 重要 性|质a：|cos
设 a 、 b 都 是 非 零 向 量 ,e 是 与 b 方 向 相 同
数的 量单 积位 的向 重量 , 是 a 与 e 的 夹 角 ,则
要性质：
数量积定义
(4) cos
a
b
| a || b |
(5 )|a b | |a ||b |
3.求向量的夹 角:
cosa b | a || b |
例 2.设 m 、 n是 两 个 单 位 向 量 , 其 夹 角 为60,试 求 向 量a2mn与 b 2n 3m 的 夹 角 .
#2022
§2.4平面向量 数量积的性质
一、复习巩固
ab 02 ab 数 量 积co 定s义
2 . 向 量 数 量 积 01 a b 的 向 是 量 什几 的 么 ?数何 量 积意 的 义 定 义是 什 么 ?
数 量 积 a b等 于 a的 长 度 a与 b在
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案在数学学科中，平面向量是一个非常重要的概念。
它不仅在几何学中有广泛的应用，还在物理学、工程学等领域中发挥着重要的作用。
掌握平面向量的基本概念和运算法则对于解决各种实际问题具有重要意义。
本文将为大家提供一些平面向量练习题及答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这一概念。
1. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a + b的结果。
解答：向量a + b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相加得到。
所以，向量a + b = (3 + (-1), -2 + 4) = (2, 2)。
2. 题目：已知向量a = (2, -5)和向量b = (4, 3)，求向量a - b的结果。
解答：向量a - b的结果可以通过将向量a和向量b的对应分量相减得到。
所以，向量a - b = (2 - 4, -5 - 3) = (-2, -8)。
3. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积可以通过将向量a和向量b的对应分量相乘，并将结果相加得到。
所以，向量a与向量b的数量积为3*(-1) + (-2)*4 = -3 - 8 = -11。
4. 题目：已知向量a = (2, -5)，求向量a的模长。
解答：向量a的模长可以通过计算向量a的坐标分量的平方和的平方根得到。
所以，向量a的模长为√(2^2 + (-5)^2) = √(4 + 25) = √29。
5. 题目：已知向量a = (3, -2)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角的余弦值。
解答：向量a与向量b的夹角的余弦值可以通过计算向量a与向量b的数量积与向量a和向量b的模长的乘积的商得到。
所以，向量a与向量b的夹角的余弦值为(-11) / (√(3^2 + (-2)^2) * √((-1)^2 + 4^2)) = -11 / (√13 * √17)。
平面向量练习题及答案
平面向量练习题及答案1. 向量初步概念和运算(1) 已知向量a=3i+4j，求向量a的模长。
答案：|a| = √(3^2 + 4^2) = 5(2) 已知向量b=-2i+5j，求向量b的模长。
答案：|b| = √((-2)^2 + 5^2) = √29(3) 已知向量c=2i+3j，求向量c的模长和方向角（与x轴正方向的夹角）。
答案：|c| = √(2^2 + 3^2) = √13方向角θ = arctan(3/2)2. 向量的线性运算(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a+b。
答案：a+b = (3-2)i + (4+5)j = i + 9j(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=2i-7j，求向量a-b。
答案：a-b = (3-2)i + (4-(-7))j = i + 11j(3) 已知向量a=3i+4j，求向量-2a的模长。
答案：|-2a| = |-2(3i+4j)| = |-6i-8j| = √((-6)^2 + (-8)^2) = 103. 向量的数量积与投影(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a·b的值。
答案：a·b = (3*-2) + (4*5) = -6 + 20 = 14(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-2i+5j，求向量a在b方向上的投影。
答案：a在b方向上的投影= (a·b)/|b| = 14/√294. 向量的夹角和垂直判定(1) 判断向量a=3i+4j和向量b=-2i+5j是否相互垂直。
答案：两个向量相互垂直的条件是a·b = 0。
计算得到a·b = 14，因此向量a和向量b不相互垂直。
(2) 已知向量a=3i+4j，向量b=-8i+6j，求向量a和向量b的夹角。
答案：向量a和向量b的夹角θ = arccos((a·b)/(∣a∣*∣b∣)) = arccos((-66)/(√25*√100))5. 向量共线和平面向量的应用(1) 已知向量a=3i+4j，向量b=-6i-8j，判断向量a和向量b是否共线。
高中数学6.2.4《向量的数量积》基础过关练习题
第六章 6.2 6.2.4A 级——基础过关练1．(2020年北京期末)已知平面向量满足a ＋b ＋c ＝0，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32【答案】A 【解析】∵a ＋b ＋c ＝0，∴a ＋b ＝－c.又|a|＝|b|＝|c|＝1，∴(a ＋b )2＝c 2，即1＋2a·b ＋1＝1.∴a·b ＝－12.故选A ．2．(2020年张家口月考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，点E 满足AE →＝34AD→＋14AB →，则AE →·AC →＝( ) A ．83B ．43C ．6D ．4＋2 3【答案】C 【解析】如图，∵AB ＝AD ＝2，∠BAD ＝60°，AE →＝34AD →＋14AB →，∴AE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫34AD →＋14AB →·(AD →＋AB →)＝34AD →2＋14AB →2＋AD →·AB →＝34×4＋14×4＋2×2×12＝6.故选C ．3．(多选)对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中错误的是( ) A ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0 C ．若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b D ．若a·b ＝a·c ，则b ＝c【答案】ACD 【解析】A 中，若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0或a ⊥b ，故A 错；C 中，若a 2＝b 2，则|a|＝|b |，C 错；D 中，若a·b ＝a·c ，则可能有a ⊥b ，a ⊥c ，但b ≠c ，D 错．故只有选项B 正确．故选ACD ．4．(2020年沈阳月考)已知a ，b 均为单位向量，若a ，b 夹角为2π3，则|a －b|＝( )A ．7B ．6C ．5D ． 3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|＝1，〈a ，b 〉＝2π3，∴(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×1×⎝⎛⎭⎫－12＋1＝3.∴|a －b |＝ 3.故选D ． 5．(2020年岳阳月考)已知平面向量a ，b 满足|a|＝2，|b|＝1且(2a －b )·(a ＋2b )＝9，则向量a ，b 的夹角θ为( )A ．2π3B ．π2C ．π3D ．π6【答案】C 【解析】∵|a|＝2，|b|＝1，∴(2a －b )·(a ＋2b )＝2a 2－2b 2＋3a·b ＝8－2＋3a·b ＝9.∴a·b ＝1.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝π3.故选C ．6．P 是△ABC 所在平面上一点，若P A →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·P A →，则P 是△ABC 的( ) A ．外心 B ．内心 C ．重心D ．垂心【答案】D 【解析】由P A →·PB →＝PB →·PC →得PB →·(P A →－PC →)＝0，即PB →·CA →＝0，∴PB ⊥CA ．同理P A ⊥BC ，PC ⊥AB ，∴P 为△ABC 的垂心．7．已知e 1，e 2是夹角为2π3的两个单位向量，a ＝e 1－2e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a·b ＝0，则实数k 的值为________．【答案】54 【解析】由a·b ＝0得(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0.整理，得k －2＋(1－2k )cos 2π3＝0，解得k ＝54.8．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a|＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.【答案】32 【解析】|2a －b |＝10⇔(2a －b )2＝10⇔4＋|b|2－4|b |cos 45°＝10⇔|b |＝3 2. 9．已知非零向量a ，b ，满足|a|＝1，(a －b )·(a ＋b )＝12，且a·b ＝12.(1)求向量a ，b 的夹角； (2)求|a －b |.解：(1)因为(a －b )·(a ＋b )＝12，所以a 2－b 2＝12，即|a|2－|b|2＝12.又|a|＝1，所以|b|＝22.设向量a ，b 的夹角为θ，因为a·b ＝12，所以|a|·|b|cos θ＝12，得cos θ＝22.因为0°≤θ≤180°，即θ＝45°，所以向量a ，b 的夹角为45°. (2)因为|a －b|2＝(a －b )2＝|a|2－2a·b ＋|b|2＝12，所以|a －b|＝22. 10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61. (1)求|a ＋b|；(2)求向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值．解：(1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，∴4|a|2－4a·b －3|b|2＝61.∵|a|＝4，|b|＝3，∴a·b ＝－6.∴|a ＋b|＝|a|2＋|b|2＋2a·b ＝42＋32＋2×(－6)＝13.(2)∵a·(a ＋b )＝|a|2＋a·b ＝42－6＝10，∴向量a 与向量a ＋b 的夹角的余弦值为a·(a ＋b )|a||a ＋b|＝10413＝51326.B 级——能力提升练11．下列命题中错误的是( )A ．对于任意向量a ，b ，有|a ＋b|≤|a|＋|b|B ．若a·b ＝0，则a ＝0或b ＝0C ．对于任意向量a·b ，有|a·b|≤|a||b|D ．若a ，b 共线，则a·b ＝±|a||b|【答案】B 【解析】当a ⊥b 时，a·b ＝0也成立，故B 错误．12．(2020年黄山月考)已知非零向量a ，b 满足(a ＋2b )·a ＝0且|a|＝|b|，则向量a ，b 的夹角为( )A ．π6B ．π3C ．5π6D ．2π3【答案】D 【解析】∵|a|＝|b|≠0，∴(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a·b ＝a 2＋2|a||b |cos 〈a ，b 〉＝a 2＋2a 2·cos 〈a ，b 〉＝0.∴1＋2cos 〈a ，b 〉＝0，则cos 〈a ，b 〉＝－12.又0≤〈a ，b 〉≤π，∴〈a ，b 〉＝2π3.故选D ．13．在△ABC 中，若AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．直角三角形【答案】D 【解析】因为AB →2＝AB →·AC →＋BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →2－AB →·AC →＝BA →·BC →＋CA →·CB →，所以AB →·(AB →－AC →)＝BC →·(BA →－CA →)，所以AB →·CB →＝BC →2，所以BC →·(BC →＋AB →)＝0，所以BC →·AC →＝0，所以AC ⊥BC ，所以△ABC 是直角三角形．14．(2020年岳阳月考)在△ABC 中，AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，AD →＝2DC →，则BD →·CA →＝( )A ．4B ．－6C ．6D ．－3 3【答案】B 【解析】如图，由AD →＝2DC →得BD →＝AD →－AB →＝23AC →＋BA →＝23(BC →－BA →)＋BA→＝23BC →＋13BA →，CA →＝BA →－BC →.又∵AB →·BC →＝0，|AB →|＝|BC →|＝32，∴BD →·CA →＝⎝⎛⎭⎫23BC →＋13BA →·(BA →－BC →)＝－23BC →2＋13BA →2＝－23×18＋13×18＝－6.故选B ．15．若非零向量a ，b 满足|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，则a 与b 夹角的余弦值为________． 【答案】－13 【解析】∵|a|＝3|b|＝|a ＋2b|，∴|a|2＝9|b|2＝(a ＋2b )2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b.∴a·b＝－|b|2.∴cos 〈a ，b 〉＝a·b|a||b|＝－|b|23|b|·|b|＝－13.16．已知向量a ，b 满足：|a|＝1，|b|＝6，a·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为________；|2a －b |＝________.【答案】π3 27 【解析】由于a·(b －a )＝a·b －a 2＝a·b －1＝2，则a·b ＝3.设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b |a||b |＝12.又θ∈[0，π]，所以θ＝π3.因为|2a －b|2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝28，所以|2a －b|＝27.17．已知|a|＝5，|b|＝4，a 与b 的夹角为60°，试问：当k 为何值时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直？解：∵(k a －b )⊥(a ＋2b )，∴(k a －b )·(a ＋2b )＝0，即k a 2＋(2k －1)a·b －2b 2＝0，即k ×52＋(2k －1)×5×4×cos 60°－2×42＝0.∴k ＝1415.∴当k ＝1415时，向量k a －b 与a ＋2b 垂直．18．设两个向量e 1，e 2满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1，e 2的夹角为60°，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．解：由向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角θ为钝角，得cos θ＝(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)|2t e 1＋7e 2||e 1＋t e 2|<0，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，化简得2t 2＋15t ＋7<0，解得－7<t <－12.当夹角为π时，也有(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)<0，但此时夹角不是钝角． 设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)，λ<0， 则⎩⎪⎨⎪⎧2t ＝λ，7＝λt ，λ<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－14，t ＝－142.∴所求实数t 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－7，－142∪⎝⎛⎭⎫－142，－12. C 级——探索创新练19．(多选)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论正确的是( ) A ．e 1在e 2方向上的投影向量为cos θe 2B ．e 21＝e 22C ．(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)D ．e 1·e 2＝1【答案】ABC 【解析】因为两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则|e 1|＝|e 2|＝1，则e 1在e 2方向上的投影向量为|e 1|cos θe 2＝cos θe 2，故A 正确；e 21＝e 22＝1，故B 正确；(e 1＋e 2)·(e 1－e 2)＝e 21－e 22＝0，故(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)，故C 正确；e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos θ＝cos θ，故D 错误． 20．如图所示，等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB＝λ，当AE →·DF →＝0时，则λ的值为________．【答案】7－334 【解析】由AB ＝4，BC ＝CD ＝2，得AD →与BC →的夹角为60°，则AB →·AD→＝4×2×12＝4，AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2.∵BE BC ＝AF AB ＝λ，∴BE →＝λBC →，AF →＝λAB →，则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →，DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →.∴AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →)＝λ|AB →|2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，即16λ－4－4λ2－2λ＝0，∴2λ2－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334.。
平面向量的数量积
平面向量的数量积一，填空题1设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则2a b -＝_______2.已知A (－1, －1), B (1,3)，则与AB →共线的单位向量为3.已知点A (2,3)，B (－1,5)，且AC →＝13AB →，则点C 的坐标是________4.已知()()a 3,4,b=5,12=-，则a b 与夹角的余弦值为5.已知()()2,4,,3,a b λ=-=且//a b ，则λ＝______6.已知()()3,2,1,0a b =-=-，向量a b λ+与2a b -平行，则实数λ的值为7.设、为不共线向量，如果k +与+k 共线，那么k=8.已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是9.已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°若b a λ-与a 垂直，则λ＝10.设i ，j 是互相垂直的单位向量，向量a ＝(m ＋1)i －3j ，b ＝i ＋(m －1)j ，(a ＋b )⊥(a －b )，则实数m 的值为11.已知(4,3),(5,6)a b =-=则23a 4a b=-⋅12.已知1,6,()2==⋅-=a b a b a ，则向量a 与向量b 的夹角是13.若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ⋅+⋅=______；14.平面向量a 与b 的夹角为060，(2,0)a =，1b = 则2a b +=15.已知向量()2,1,10,||a a b a b =⋅=+=||b =16.若|a |=|b |=|a b -|,则b 与a b +的夹角为17.若平面向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2，a ⊥()2a b -，则|2a b +|的值是______， 18.在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，若 →BC =3, →DC =2, 则→AO 等于19.在平行四边形ABCD 中，(1,2),(3,2)AC BD ==-，则AD AC ⋅=20.若ABCD 的中心为O ，P 为该平面上一点，=，则PA PB PC PD +++=21.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，则AB AC ⋅等于22.在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线OB 的两端点分别为(00)O ，，(11)B ，，则AB AC ⋅=23.已知向量(1,2)=a ，(2,3)=-b ,若向量c 满足()//+c a b ，()⊥+c a b ，则c =24.已知向量a ，b 满足|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则b 在a 上的投影是_____25.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2,3)，c ＝(3,4)，则用a ，b 表示c 为______26.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是27.若O 为△ABC 所在平面内一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为28.已知非零向量AB 与AC 满足0A B A C BC AB AC ⎛⎫ ⎪+⋅= ⎪⎝⎭且12AB AC AB AC ⋅=, 则ABC △为29．a=(2,1) ,b=(1,),a b λ若与的夹角为锐角，则λ的取值范围为________30.在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足PA →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC 与△ABC 的面积之比是31.边长为2的正∆ABC 中，设,,AB c CA b BC a ===,则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=32.设 a ,b ,c 是平面内任意的非零向量,则下列真命题的序号是①(a b )c －(ca )b =0 ②|a | －|b |< |a －b |③(bc )a －(ca )b 不与c 垂直 ④(3a +2b )(3a －2b )= 9|a |2－4|b |233.过△ABC 的重心任作一直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，若AD =x AB ,AE =y AC ,xy ≠0，则11x y+的值为34.如果向量a ＝(3，1)，向量b 是不平行于x 轴的单位向量，且a ·b ＝3，那么向量b =35.设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b .若|a |＝1，则|a |2＋|b |2＋|c |2的值是________36.向量a ＝(－1,1)，且a 与2a b +方向相同，则a b ⋅的取值范围是37.在△ABC 中，O 为中线AM 上的一个动点，若AM ＝2，则(OA OB OC ⋅+)的最小值是______38.设,,a b c 是单位向量，且a b ⋅＝0，则()()a cbc -⋅-的最小值为39.直角坐标系xOy 中，i ，j 分别是与x 轴，y 轴同向的单位向量．在Rt △ABC 中，若AB →＝2i ＋j ，AC →＝3i ＋k j ，则k 的可能值个数是______40.已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →⊥OB →，点C 在∠AOB 内，∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →，则m n ＝二．解答题41．已知点A (2,3)，B (5,4)，C (7,10)，若AP →＝AB →＋λ·AC → (λ∈R )，试问：(1)λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上；(2)λ为何值时，点P 在第三象限．42.已知==-(1,2),(3,2)a b ,当k 为何值时，（1）3ka b a b +-与垂直？（2）3ka b a b +-与平行吗？平行时它们是同向还是反向？43.如图，在△OAB 中，已知P 为线段AB 上的一点，且|AP |＝2|PB |.(1)试用OA ，OB 表示OP ；(2)若| OA |＝3，| OB |＝2，且∠AOB ＝60°，求OP ·AB 的值．44.如果向量AB =i -2j ,BC =i +m j ,其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线。
平面向量的数量积
题型三 平面向量与三角函数 例 3 (2020·陕西部分学校摸底)在△ABC 中，设 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， 向量 m＝(cosA，sinA)，n＝( 2－sinA，cosA)，且|m＋n|＝2. (1)求角 A 的大小； (2)若 b＝4 2，c＝ 2a，求△ABC 的面积．
解：(1)∵m＋n＝( 2＋cosA－sinA，cosA＋sinA)， ∴|m＋n|＝ 2＋cosA－sinA2＋cosA＋sinA2 ＝ 4－4sinA－π4. ∵|m＋n|＝2，∴sinA－π4＝0， 又 0＜A＜π，∴－π4＜A－π4＜34π，∴A－π4＝0， 即 A＝π4.
(2)∵c＝ 2a，A＝π4，∴ac＝ssiinnCA＝ 2， ∴sinC＝1，又 0＜C＜π，∴C＝π2. ∴△ABC 为等腰直角三角形，S△ABC＝12×(4 2)2＝16.
【思维升华】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式 成立等，得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形 式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域 等．
【思维升华】 平面向量数量积的三种运算方法 (1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋y1y2. (3)利用数量积的几何意义求解．
题型二 平面向量数量积的应用 命题点 1 求向量的模 例 1 (1)(2020·永州模拟)在△ABC 中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D 是 AB 上一点，且A→B·C→D＝－5，则|B→D|等于( )
4.3 平面向量的数量积
4.3 平面向量的数量积一、填空题(本大题共9小题，每小题6分，共54分)1．(2010·常州模拟)向量a ＝(cos 15°，sin 15°)，b ＝(－sin 15°，－cos 15°)，则|a －b |的值是__________．解析 由题设，|a |＝1，|b |＝1，a·b ＝－sin(15°＋15°)＝－12. ∴|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝1＋1－2×⎝⎛⎭⎫－12＝3. ∴|a －b |＝ 3.答案 32.（2009·浙江温州十校联考）在边长为1的正三角形ABC 中，设BC →＝a ，AB →＝c ，AC →＝b ，则a·b ＋b·c ＋c·a ＝______________________.解析 如图所示，a +c =b ，a ·b +b ·c +c ·a=b ·(a +c )+a ·c =b 2+a ·c=1+|a |·|c |cos 〈a ，c 〉 =1+cos 120°=.21答案 21 3．(2010·广东韶关一中模拟)若向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则a·b ＋b·b 的值为________．解析 a·b ＋b·b ＝|a|·|b |·cos 60°＋|b |2＝1×2×12＋4＝5. 答案 54．(2009·重庆改编)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是________．解析 ∵a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝2，∴a ·b ＝2＋a 2＝3∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝31×6＝12，∴a 与b 的夹角为π3. 答案 π35．(2009·福建福州期末)若a 与b －c 都是非零向量，则“a·b ＝a·c ”是“a ⊥(b －c )”的__________________条件．解析 若a ⊥(b －c )，则a·(b －c )＝0⇔a·b －a·c ＝0⇔a·b ＝a·c .答案 充要6.（2010·天津六校联考）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的________心．解析 OA →·OB →＝OB →·OC →，得OB →·OA →－OB →·OC →＝0，即OB →·(OA →－OC →)＝0，∴OB →·CA →＝0，∴OB →⊥CA →.同理可得OA →⊥BC →，OC →⊥AB →.∴O 是三角形三条高线的交点．答案 垂7.（2008·江西理，13）直角坐标平面内三点A （1，2）、B （3，-2）、C （9，7），若E 、F为线段BC 的三等分点，则=⋅ .解析 ),9,6(=).6,4(32),3,2(31====∴ 又),4,2(-=.22)1(64),2,6(),1,4(=⨯-+⨯=⋅∴=+=-=+=∴BF AB AF BE AB AE答案 228．(2009·辽宁改编)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.解析 a ＝(2,0)，故|a |＝2，|a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a ·b ＋4b 2.∵a ·b ＝|a |·|b |·cos 60°＝1，∴|a ＋2b |＝4＋4＋4＝2 3.答案 2 39.（2009·陕西改编）在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM =1，点P 在AM 上且满足 =2PM →＝2PM →，则·(PB →·(PB →＋PC →)＝________.解析 M 是BC 的中点，则.94)32()(2)(22-=-=-=⋅=⋅=+⋅答案 －49二、解答题(本大题共3小题，共46分)10．(14分)(2010·山东临沂一模)向量a ＝(cos 23°，cos 67°)，向量b ＝(cos 68°，cos 22°)．(1)求a·b ；(2)若向量b 与向量m 共线，u ＝a ＋m ，求u 的模的最小值．解 (1)a·b ＝cos 23°·cos 68°＋cos 67°·cos 22°＝cos 23°·sin 22°＋sin 23°·cos 22°＝sin 45°＝22.(2)由向量b 与向量m 共线，得m ＝λb (λ∈R )，u ＝a ＋m ＝a ＋λb＝(cos 23°＋λcos 68°，cos 67°＋λcos 22°)＝(cos 23°＋λsin 22°，sin 23°＋λcos 22°)，|u |2＝(cos 23°＋λsin 22°)2＋(sin 23°＋λcos 22°)2＝λ2＋2λ＋1＝⎝⎛⎭⎫λ＋222＋12，∴当λ＝－22时，|u |有最小值为22.11．(16分)(2010·浙江台州月考)已知平面上三个向量a 、b 、c 的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a －b )⊥c ；(2)若|k a ＋b ＋c |>1 (k ∈R )，求k 的取值范围．(1)证明 ∵(a －b )·c ＝a·c －b·c＝|a|·|c |·cos 120°－|b|·|c |·cos 120°＝0，∴(a －b )⊥c .(2)解 |k a ＋b ＋c |>1⇔|k a ＋b ＋c |2>1，⇔k 2a 2＋b 2＋c 2＋2k a ·b ＋2k a ·c ＋2b·c >1.∵|a |＝|b |＝|c |＝1，且a 、b 、c 相互之间的夹角均为120°，∴a 2＝b 2＝c 2＝1，a·b ＝b·c ＝a·c ＝－12， ∴k 2＋1－2k >1，即k 2－2k >0，∴k >2或k <0.12．(16分)(2009·广东广州二模)已知向量a ＝⎝⎛⎭⎫cos 3x 2，－sin 3x2，b ＝⎝⎛⎭⎫cos x2，sin x2，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2.若函数f (x )＝a·b －12λ|a ＋b |的最小值为－32，求实数λ的值．解 ∵|a |＝1，|b |＝1，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，cos x ∈[0,1]．∴a·b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ，|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝2＋2cos 2x ＝2|cos x |＝2cos x .∴f (x )＝cos 2x －λcos x ＝2cos 2x －λcos x －1 ＝2⎝⎛⎭⎫cos x －λ42－λ28－1，①当λ<0时，取cos x ＝0，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝－1≠－32，不合题意．②当0≤λ≤4时，取cos x ＝λ4，此时f (x )取得最小值，并且f (x )min ＝－λ28－1＝－32，解得λ＝2.③当λ>4时，取cos x ＝1，此时f (x )取得最小值， 并且f (x )min ＝1－λ＝－32，解得λ＝52，不符合λ>4舍去，∴λ＝2.。
数学课程平面向量练习题及答案
数学课程平面向量练习题及答案平面向量练习题及答案1. 题目：给定向量a = (1, 2)和向量b = (3, -1)，求向量a与向量b的和。
解答：要求向量a与向量b的和，只需要将它们对应位置的分量相加即可。
所以向量a + 向量b = (1 + 3, 2 + (-1)) = (4, 1)。
2. 题目：已知向量a = (2, -3)和向量b = (-4, 5)，求向量a与向量b 的数量积。
解答：向量a与向量b的数量积（也称为点积或内积），可以通过将对应位置的分量相乘，并将乘积相加得到。
所以向量a·向量b = (2 * (-4)) + (-3 * 5) = (-8) + (-15) = -23。
3. 题目：已知向量a = (1, 2, -1)和向量b = (3, -2, 4)，求向量a与向量b的叉积。
解答：向量a与向量b的叉积（也称为矢量积或外积），可以通过计算以下行列式得到：| i j k || 1 2 -1 || 3 -2 4 |其中i、j和k分别代表x、y和z轴的单位向量。
按照行列式的计算规则，得到向量a×向量b = (2 * 4 - (-1) * (-2), (-1) * 3 - 1 * 4, 1 * (-2) - 2 * 3) = (10, -7, -8)。
4. 题目：已知向量a = (2, 3)和向量b = (-1, 4)，求向量a与向量b的夹角。
解答：要求向量a与向量b的夹角，可以通过计算它们的数量积和各自的模长来得到。
首先计算数量积：向量a·向量b = (2 * (-1)) + (3 * 4) = (-2) + 12 = 10。
接下来计算各自的模长：|向量a| = √(2^2 + 3^2) = √13，|向量b| = √((-1)^2 + 4^2) = √17。
最后，根据余弦定理，夹角θ的余弦值为：cosθ = 向量a·向量b / (|向量a| * |向量b|) = 10 / (√13 * √17) = 10 / √221。
练习向量数量积的运算
第1页（共12页） 练习向量数量积的运算 一．解答题（共15小题） 1．设△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，点O为△ABC的外接圆的圆心，若满足a+b≥2c． （1）求角C的最大值； （2）当角C取最大值时，己知a=b=，点P为△ABC外接圆圆弧上﹣点，若，求x•y的最大值． 2．已知平面内三个向量：=（3，2），=（﹣1，2），=（4，1） （Ⅰ）若（+k）∥（2﹣），求实数k的值； （Ⅱ）设=（x，y），且满足（+）⊥（﹣），|﹣|=，求． 3．已知向量=（1，2），=（x，1）． （1）若，求x的值； （2）若＜，＞为锐角，求λ的范围； （3）当（）⊥（2）时，求x的值． 4．已知||=，||=1． （1）若，的夹角θ为45°，求|﹣|； （2）若（﹣）⊥，求与的夹角θ． 5．△ABC中，AB=1，BC=2，∠B=，记=，= （Ⅰ）求（2﹣3）•（4+）的值； （Ⅱ）求|2﹣|的值． 6．已知平面向量=（3，4），=（9，x），=（4，y），且∥，⊥ （1）求与 （2）若=2﹣，=+，求向量、的夹角的大小． 第2页（共12页）
7．已知向量，满足，||=2，||=4，且（﹣）•=﹣20． （1）求向量与的夹角； （2）求|3+|． 8．已知向量与的夹角为θ为120°，且||=4，||=2，求： （1）•； （2）（+）•（﹣2）； （3）|+|． 9．已知=（1，1），=（3，4）， （1）若k+与k﹣垂直，求k的值； （2）若|k+2|=10，求k的值． 10．已知向量与满足||=10，||=3，且向量与的夹角为120°．求： （1）（2+）•（﹣）； （2）|+3|． 11．已知O、A、B是平面上的三点，直线AB上有一点C，满足：2+=． （1）用向量，表示向量； （2）若||=1，||=2且向量，的夹角为，求||． 12．平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知⊥，且||=2，=，=．设=，=． （Ⅰ）用，表示； （Ⅱ）求的值． 第3页（共12页）