八年级数学上册勾股定理单元综合测试题(含解析)
第1章 勾股定理单元一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是( )
A．5cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm22．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为( )
A．2B．3C．4D．53．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( )A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形
4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为( )A．3B．6C．8D．5
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6
6．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为( )A．10B．100C．28D．100或28
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是( )A．B．C．9D．68．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是( )A．1OOπ﹣24B．1OOπ﹣48C．25π﹣24D．25π﹣489．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )
A．2B．4C．8D．1610．勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D，E，F，G，H，I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的面积为( )
A．90B．100C．110D．121二、填空题（每小题4分，共20分）11．如图字母B所代表的正方形的面积是：__________．
12．等腰△ABC的腰长AB为10cm，底边BC为16cm，则底边上的高为__________．13．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距__________ km．
14．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是__________．15．如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂蚁爬行的最短路径长为__________cm．
三、解答题（共50分）16．如图所示，∠B=∠OAF=90°，BO=3cm，AB=4cm，AF=12cm，求图中半圆的面积．
17．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，在△ABE中，DE是AB边上的高，DE=12，S△
ABE=60，求BC的长．
18．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．19．如图，一艘货轮在B处向正东方向航行，船速为25n mile/h，此时，一艘快艇在B的正南方向120n mile的A处，以65n mile/h的速度要将一批货物送到货轮上，问快艇最快需要多少时间？
20．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．（1）试判断△BDE的形状，并说明理由；（2）若AB=4，AD=8，求△BDE的面积．
21．如图，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）如图1，试说明BE2+CF2=EF2；（2）如图2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面积．北师大新版八年级数学上册《第1章 勾股定理》2015年单元测试卷（辽宁省沈阳四十五中）
一、选择题（每小题3分，共30分）1．如图，阴影部分是一个矩形，它的面积是( )
A．5cm2B．3cm2C．4cm2D．6cm2【考点】几何体的表面积；勾股定理． 【分析】根据勾股定理先求出斜边的长度，再根据长方形的面积公式求出带阴影的矩形面积．
【解答】解：∵=5厘米，∴带阴影的矩形面积=5×1=5平方厘米．故选A．【点评】本题考查了勾股定理和长方形的面积公式．
2．如图，正方形ABCD的边长为1，则正方形ACEF的面积为( )
A．2B．3C．4D．5【考点】算术平方根． 【分析】根据勾股定理，可得AC的长，再根据乘方运算，可得答案．
【解答】解：由勾股定理，得AC=，乘方，得（）2=2，故选：A．【点评】本题考查了算术平方根，先求出AC的长，再求出正方形的面积．
3．三角形的三边长为a，b，c，且满足（a+b）2=c2+2ab，则这个三角形是( )A．等边三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【考点】勾股定理的逆定理． 【分析】对等式进行整理，再判断其形状．【解答】解：化简（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形，故选：C．【点评】本题考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定．4．已知直角三角形的斜边长为10，两直角边的比为3：4，则较短直角边的长为( )A．3B．6C．8D．5【考点】勾股定理． 【分析】根据两边的比值设出未知数列出方程组解之即可．【解答】解：设两直角边分别为3x，4x．由勾股定理得（3x）2+（4x）2=100．解得x=2．则3x=3×2=6，4x=4×2=8．∴直角三角形的两直角边的长分别为6，8．较短直角边的长为6．故选：B．【点评】本题考查了勾股定理的应用．勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是( )A．∠A+∠B=∠CB．∠A：∠B：∠C=1：2：3C．a2=c2﹣b2D．a：b：c=3：4：6【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理． 【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；C、由a2=c2﹣b2，得a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．故选D．【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．若直角三角形的三边长为6，8，m，则m2的值为( )A．10B．100C．28D．100或28【考点】勾股定理． 【专题】分类讨论．【分析】分情况考虑：当8是直角边时，根据勾股定理求得m2=62+82；当较大的数8是斜边时，根据勾股定理求得m2=82﹣62．【解答】解：①当边长为8的边是直角边时，m2=62+82=100；②当边长为8的边是斜边时，m2=82﹣62=28；综上所述，则m2的值为100或28．故选：D．【点评】本题利用了勾股定理求解，解答本题的关键是注意要分边长为8的边是否为斜边来讨论．
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到斜边AB的距离是( )A．B．C．9D．6【考点】勾股定理． 【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：设点C到斜边AB的距离是h，∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，
∴AB==15，
∴h==．故选A．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
8．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB=8，BC=6，则阴影部分的面积是( )
A．1OOπ﹣24B．1OOπ﹣48C．25π﹣24D．25π﹣48【考点】勾股定理． 【专题】计算题．【分析】先根据勾股定理求出AC的长，进而可得出以AC为直径的圆的面积，再根据S阴影
=S圆﹣S△ABC即可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC中∠B=90°，AB=8，BC=6，
∴AC===10，∴AC为直径的圆的半径为5，
∴S阴影=S圆﹣S△ABC=25π﹣×6×8=25π﹣24．故选C．【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．
9．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为( )
A．2B．4C．8D．16
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、若，，为的三边长，则下列条件中不能判定是直角三角形的是（）A. ，，B.C.D.2、如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠ACB=30°,AB=2，则矩形的面积为（）A. B.2 C.4 D.3、如图，小明将一张长为20cm，宽为15cm的长方形纸（AE＞DE）剪去了一角，量得AB=3cm，CD=4cm，则剪去的直角三角形的斜边长为（）A.5cmB.12cmC.16cmD.20cm4、如图，O是正内一点，，，，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列五个结论中，其中正确的结论是（）可以由绕点B逆时针旋转得到；点O与的距离为4；；；．A. B. C. D.5、如图：图形A的面积是（）A.225B.144C.81D.无法确定6、如图，一个小球沿倾斜角为的斜坡向下滚动，经过5秒时，测得小球的平均速度为米秒.已知，则小球下降的高度是（）A.1米B.1.5米C.2米D.2.5米7、用圆心角为120°，半径为3 cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸冒（如图所示），则这个纸冒的高是（）A.3 cmB.2 cmC.3 cmD.4 cm8、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=15，AC：BC=3：4，则这个直角三角形的面积是（）A.24B.48C.54D.1089、如图，在△ABC中，AB=AC=5，P是BC边上除B、C点外的任意一点，则代数式AP2+PB•PC等于（）A.25B.15C.20D.3010、如图，AB是⊙O的弦，AB=5，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，点M，N分别是AB，AC的中点，则线段MN长的最大值为（）A.5B.C.5D.11、在直角坐标系中，点P(-2，3)到原点的距离是( )A. B. C. D.212、如图所示，点B，D在数轴上，OB=3，OD=BC=1，∠OBC=90°，以D为圆心，DC长为半径画弧，与数轴正半轴交于点A，则点A表示的实数是（）A. B. 1 C. 1 D.不能确定13、如图，将一边长为a的正方形（最中间的小正方形）与四块边长为b的正方形（其中b＞a）拼接在一起，则四边形ABCD的面积为（）A.b 2+（b﹣a）2B.b 2+a 2C.（b+a）2D.a 2+2ab14、如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是( )A.1B.C.2D.15、如图，将等腰直角三角形（）沿折叠，使点落在边的中点处，，那么线段的长度为（）A.5B.4C.4. 25D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，等边的边与轴交于点，点是反比例函数图像上一点，若为边的三等分点时，则等边的边长为________．17、如图，在△ABC中，AB＝BC＝6，AO＝BO，P是射线CO上在AB下方的一个动点，∠AOC ＝45°．则当△PAB为直角三角形时，AP的长为________．18、如图，巳知AB是⊙O的一条直径，延长AB至C点，使得AC=3BC，CD与⊙O相切，切点为D．若CD= ，则线段BC的长度等于________．19、《九章算术》中有一个“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB＋AC＝9尺，BC＝3尺，则AC=________尺.20、已知△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，P为边AB上一点，且△APC为等腰三角形，则CP 的长为________21、如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8 ，E为AB的中点，若P为对角线BD 上一动点，则EP+AP的最小值为________．22、如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要________cm．23、如图，线段AB=2，过点B作BD⊥AB，使BD= AB，连接AD，在AD上截取DE=DB．在AB上截取AC=AE．那么线段AC的长为________．24、在⊙O中，弦AB＝24cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则⊙O的半径为________cm．25、如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1＝90°，OA＝1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA8的长度为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.27、如图，在平面直角坐标系xOy中，点A、B坐标分别为（4，2）、（0，2），线段CD 在于x轴上，CD＝，点C从原点出发沿x轴正方向以每秒1个单位长度向右平移，点D随着点C同时同速同方向运动，过点D作x轴的垂线交线段AB于点E、交OA于点G，连结CE交OA于点F．设运动时间为t，当E点到达A点时，停止所有运动．（1）求线段CE的长；（2）记S为RtΔCDE与ΔABO的重叠部分面积，试写出S关于t的函数关系式及t的取值范围；（3）连结DF，①当t取何值时，有DF=CD?②直接写出ΔCDF的外接圆与OA相切时t的值.28、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB边的中点，点P为BC边上一点，把△PBD沿PD翻折，点B落在点E处，设PE交AC于F，连接CD(1)求证：△PCF的周长=CD；(2)设DE交AC于G，若， CD=6，求FG的长29、将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B （0，1），点0（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN丄AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′，设OM=m，折叠后的△AM′N与四边形OMNB重叠部分的面积为S．（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′，落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S= 时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．30、如图，AB是的直径，弦于点E，若，，求的长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、A3、D4、C5、C6、B7、B8、C9、A10、D11、B12、C13、A14、B15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)28、29、30、。
第一章 勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第一章勾股定理数学八年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转度（< ≤）得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为（）A. B.0.5 C.1 D.2、勾股定理是几何中的一个重要定理，在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载.如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理.图2是由图1放入矩形内得到的，已知∠BAC=90°，AB=6，AC=8，点D、E、F、G、H、I都在矩形KLMJ的边上，则矩形KLMJ的周长为（）A.40B.44C.84D.883、“用长分别为5cm、12cm、13cm的三条线段可以围成直角三角形”这一事件是( )A.必然事件B.不可能事件C.随机事件D.以上都不是4、菱形的两条对角线的分别为60cm和80cm，那么边长是（）A.100cmB.80cmC.60cmD.50cm5、三角形三边长分别是3，4，5，则它的最短边上的高为（）A.3B.2.4C.4D.4.86、一根竹子高9尺，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，折断处离地面高度是（）A.3尺B.4尺C.5尺D.6尺7、如图，正方形ABCD的对角线交于点O ，以AD为边向外作Rt△ADE ，∠AED＝90°，连接OE ， DE＝6，OE＝，则另一直角边AE的长为（）.A. B.2 C.8 D.108、如图①所示，有一个由传感器A控制的灯，要装在门上方离地高4.5m的墙上，任何东西只要移至该灯5m及5m以内时，灯就会自动发光．请问一个身高1.5m的学生要走到离墙多远的地方灯刚好发光？（）A.4米B.3米C.5米D.7米9、如图，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13.则小正方形的面积为（）A.3B.4C.5D.610、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，已知CD=12，BE=2，则⊙O的半径为（）A.8B.10C.16D.2011、下列命题不成立的是A.三个角的度数之比为1:3:4的三角形是直角三角形B.三个角的度数比为1：：2的三角形是直角三角形C.三边长度比为1：：的三角形是直角三角形D.三边长度之比为：：2的三角形是直角三角形12、三角形的三边为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（）A.a:b:c =13∶5∶12B.a 2-b 2=c 2C.a 2=(b+c)(b-c) D.a:b:c=8∶16∶1713、如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3, AC=4，则sinA的值为（）．.A. B. C. D.14、如图，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，AC=3，BC=4，则CD的长为（）A.1.6B.2.4C.2D.2.115、下列长度的三条线段能组成直角三角形的是( )A.2，3，4B.4，6，8C.6，8，10D.5，11，12二、填空题(共10题，共计30分)16、将等腰直角△ABC按如图方法放置在数轴上，点A和C分别对应的数是﹣2和1．以点A为圆心，AB长为半径画弧，交数轴的正半轴于点D，则点D对应的实数为________．17、一根高9m的旗杆在离地4m高处折断，折断处仍相连，此时在3.9m远处耍的身高为1m的小明________危险.（填有或无）18、如图，正方形ABCD的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE的对角线．若BC=6，BD=5，则点D的坐标是________．19、我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知，则的长度是________.20、菱形的面积为24，其中的一条对角线长为6，则此菱形的周长为________.21、已知菱形的周长为，两条对角线的和为6，则菱形的面积为________22、如图所示的一块地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，这块地的面积为________m223、已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足关系式，则△ABC的形状为________24、如图，在高3米，坡面线段AB长为5米的楼梯表面铺地毯，已知楼梯宽1.5米，地毯售价为40元/平方米，若将楼梯表面铺满地毯，则至少需________元．25、如图，已知以点A(0，1)、C(1，0)为顶点的△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=90°，在坐标系内有一动点P（不与A重合），以P、B、C为顶点的三角形和△ABC全等，则P点坐标为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C 的对边分别为a、b、c．若a∶c＝15∶17，b＝24，求a.27、有一块直角三角形的绿地，量得两直角边长分别为6m和8m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形绿地的周长.28、小锤和豆花要测量校园里的一块四边形场地ABCD(如图所示)的周长，其中边BC上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度。
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1(附答案详解)
北师大版2020八年级数学上册第一章勾股定理自主学习单元综合能力达标测试题1（附答案详解）1．在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则AB等于（）A．2cm B．8cm C．10cm D．100cm2．等腰三角形底长为24，底边上的高为5，则这个三角形的周长为( )A．37 B．60 C．34 D．533．古埃及人曾经用如图所示的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角，这样做的道理是（）A．直角三角形两个锐角互补B．三角形内角和等于180°C．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方D．如果三角形两条边长的平方和等于第三边长的平方，那么这个三角形是直角三角形4．如图，等腰三角形ABC底边上的高AD为4 cm，周长为16 cm，则△ABC的面积是（）A．14 cm2B．13 cm2C．12 cm2D．8 cm25．如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面3尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为6尺，则水是（）尺．A．3.5 B．4 C．4.5 D．56．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处；再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD的延长线上的点B′处，两条折痕与斜边AB分别交于点E、F，则线段B′F的长为（）A．35B．45C．23D．327．如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度(滑轮上方的部分忽略不计)为( )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m8．如图，数轴上点A，B表示的数分别是1，2，过点B作PQ⊥AB，以点B为圆心，AB 长为半径画弧，交PQ于点C，以原点O为圆心，OC长为半径画弧，交数轴于点M，则点M表示的数是( )A．3B．5C．6D．79．以下各组数为边长，不能组成直角三角形的是（）．A．1.5，2，2.5 B．40，50，60 C．7，25，24 D．54，1，3410．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了右图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2018次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．2017 B．2018 C．2019 D．111．在ABC ∆中，90,ACB CD ∠=︒是高，若,,BC a AC b ==,,AB c CD h ==,AD k BD p ==，且3,4a b ==，则____,____,____,____c p k h ====．12．如图，一架云梯长10米，斜靠在一面墙上，梯子顶端离地面6米，要使梯子顶端离地面8米，则梯子的底部在水平面方向要向左滑动______米．13．已知，如图，△OBC 中是直角三角形，OB 与x 轴正半轴重合，∠OBC=90°，且OB=1，BC=3，将△OBC 绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 1=OC ，得到△OB 1C 1，将△OB 1C 1绕原点O 逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB 2=OC 1，得到△OB 2C 2，…，如此继续下去，得到△OB 2015C 2015，则点C 2015的坐标是_____．14．如图ABC 与ADE 都是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，DE 交AC 于点F ，若5AB =，32=AD ，当CEF △是直角三角形时，则BD 的长为__________．15．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，DE BC ⊥，垂足为点E ，连接AC 交DE 于点F ，点G 为AF 的中点，2ACD ACB ∠=∠．若4DG =，1EC =，则DE 的长为__________．16．如图，在ABC 中，AB 32=，BC 1=，ABC 45∠=，以AB 为边作等腰直角ABD ，使ABD 90∠=，连接CD ，则线段CD 的长为________．17．如图，△OPQ 是边长为2的等边三角形，若正比例函数的图象过点P ，则它的表达式是y ＝_____18．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC △是__________三角形．19．三角形中两条较短的边为a ＋b ，a-b(a>b),则当第三条边为_______时，此三角形为直角三角形．20．如图，在直角三角形纸片ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝2，BC ＝4，点D 在边AB 上，以CD 为折痕将△CBD 折叠得到△CPD ，CP 与边AB 交于点E ，若△DEP 为直角三角形，则BD 的长是_____21．如图，在等边△ABC 中，D 为BC 上一点，∠BAD =3∠CAD, BC=2．（1）求△ABC 的面积；（2）求CD 的值．22．（1）在右面的方格纸中，以线段AB为一边，画一个正方形；（2）如果图中小方格的面积为1平方厘米，你知道（1）中画出的正方形的面积是多大吗？解释你的计算方法.23．如图，直角坐标系中的网格由单位正方形构成.△ABC中，A点坐标为（2，3）、B （-2，0）、C（0，-1）.（1）AB的长为_____，∠ACB的度数为______；（2）若以A、B、C及点D为顶点的四边形为平行四边形，请写出D点的坐标___________，并在图中画出平行四边形.24．如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5 cm,3 cm和1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少?25．小明剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作：操作一：如图1，将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合，折痕为DE．（1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，则△ACD的周长为cm；（2）如果∠B0，则∠CAD= 度；35操作二：如图2，小明拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长．26．如图1所示，等边△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD 平分∠BAC ，且AD ⊥BC ，则有∠BAD=30°，BD=CD=12AB ．于是可得出结论“直角三角形中， 30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，垂足为E ，当BD=5cm ，∠B=30°时，△ACD 的周长= ．（2）如图3所示，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，垂足为E ，那么BE ：EA= ．（3）如图4所示，在等边△ABC 中，D 、E 分别是BC 、AC 上的点，且AE=DC ，AD 、BE 交于点P ，作BQ ⊥AD 于Q ，若BP=2，求BQ 的长．27．已知四边形ABCD 中，10AB =，8BC =，26CD =，45DAC ∠=︒，15DCA =︒∠．（1）求ADC 的面积．（2）若E 为AB 中点，求线段CE 的长．28．在Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4．现在要将交ABC 扩充成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后等腰三角形的周长．赵佳同学是这样操作的：如图 1 所示，延长BC 到点 D，使CD=BC，连接AD．所以，△ADB 为符合条件的三角形．则此时△ADB的周长为____________．请你在图2、图3中再设计两种扩充方案，并直接写出扩充后等腰三角形的周长．图2的周长：______________；图3的周长：______________.29．如图（1），Rt△AOB中，∠A=90°，∠AOB=60°，OB=23，∠AOB的平分线OC交AB于C，过O点做与OB垂直的直线ON．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO 以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣ON以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动．（1）求OC、BC的长；（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）当P在OC上Q在ON上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．30．如图,长方体的长BE=15cm,宽AB=10cm,高AD=20cm,点M在CH上,且CM=5cm,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M,需要爬行的最短距离是多少?参考答案1．C【解析】【分析】已知直角三角形两直角边，可以直接利用勾股定理来求斜边.【详解】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，∴斜边22AB=+=.6810故选C.【点睛】运用勾股定理：a，b，c是直角三角形的三条边，c为斜边，则满足c2=a2+b2是解题的关键. 2．B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理可求得等腰三角形的腰，据此即可得解．【详解】解：如图：BC=24cm，AD=5cm，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC；则BD=DC=BC=6cm；Rt△ABD中，AD=5cm，BD=12cm；由勾股定理，得：AB===13cm,∴△ABC的周长是13+13+24=60cm，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．3．D【解析】分析：根据勾股定理的逆定理即可判断．详解：设相邻两个结点的距离为m，则此三角形三边的长分别为3m、4m、5m，∵（3m）2+（4m）2=（5m）2，∴以3m、4m、5m为边长的三角形是直角三角形．（如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）故选D．点睛：此题考查了勾股定理的证明，属于基础题，注意仔细阅读题目所给内容，得到解题需要的信息，比较简单．4．C【解析】【分析】设BD=xcm，由题意表示出AB的长度，根据勾股定理列方程求出x，进而求出△ABC的面积．【详解】设BD=xcm，∵等腰△ABC，∴AB=AC，∵AD⊥BC，∴BD=CD=xcm，∴AB=12（16﹣2x），由勾股定理可得：[12（16﹣2x）]2=x2+42，解得x=3，∴BC=2BD=6cm，∴S△ABC=12×6×4=12cm2．故选C．【点睛】本题关键在于设未知数，根据勾股定理列方程求解．5．C【解析】试题分析：如图，设水深h尺，在Rt△ABC中，AB＝h，AC＝h＋3，BC＝6，由勾股定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2，即（h+3）2＝h 2＋62，∴h 2＋6h ＋9=h 2＋36，6h ＝27，解得h=4．5．故答案选C ．考点：勾股定理．6．B 【解析】【分析】首先根据折叠可得CD=AC=3，BC=4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，然后求得△BCF 是等腰直角三角形，进而求得∠B /GD=90°，CE-EF=125，ED=AE=95，从而求得B /D=1，DF=35，在Rt △B /DF 中，由勾股定理即可求得B /F 的长． 【详解】解：根据首先根据折叠可得CD=AC=3，B /C=B4，∠ACE=∠DCE ，∠BCF=∠B /CF ，CE ⊥AB ，∴BD=4-3=1，∠DCE+∠B /CF=∠ACE+∠BCF ，∴∠ACB=90°，∴∠ECF=45°，∴△ECF 是等腰直角三角形，∴EF=CE ，∠EFC=45°，∴∠BFC=∠B /FC=135°，∴∠B /FD=90°，∵S △ABC =12AC×BC=12AB×CE ， ∴AC×BC=AB×CE ，∵根据勾股定理求得AB=5，∴CE=125，∴EF=125，22AC CE -=95∴DE=EF-ED=35， ∴B /22B D DF '-=45 故选：B ．【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是解本题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x，可得AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【详解】设旗杆高度为x，则AC=AD=x，AB=（x﹣2）m，BC=8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，即（x﹣2）2+82=x2，解得：x=17，即旗杆的高度为17米．故选D．【点睛】考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．8．B【解析】【分析】先依据勾股定理可求得OC的长，从而得到OM的长，于是可得到点M对应的数．【详解】解：由题意得可知：OB=2，BC=1，依据勾股定理可知：∴故选：B．【点睛】本题考查勾股定理、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．9．B【解析】分析：判断是否可以作为直角三角形的三边长，则判断两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．详解：A. ()()2221.52 2.5+=，是直角三角形，故此选项错误；B. 222405060，+≠不是直角三角形，故此选项正确；C. 22272425，+=是直角三角形，故此选项错误；D. 22235144⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是直角三角形，故此选项错误. 故选B.点睛：考查勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形.10．C【解析】【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1=2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1=3，推而广之即可求解． 【详解】设直角三角形的是三条边分别是a ，b ，c ．根据勾股定理，得a 2+b 2=c 2，即正方形A 的面积+正方形B 的面积=正方形C 的面积=1．推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2019×1=2019． 故选：C ．【点睛】此题主要是能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系．11．5，91612,,555【解析】【分析】运用勾股定理可求解c，由三角形面积公式可求解h，再利用勾股定理可分别求解出k和p. 【详解】由勾股定理得：c2=a2+b2=9+16=25，则c=5；由三角形面积公式可得：ab=ch，则3×4=5×h，则h=125；由勾股定理得：b2=k2+h2，则16= k2+(125)2，则k=165，a2=p2+h2，则9= p2+(125)2，则p=95.【点睛】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用.12．2【解析】【分析】如图，先利用勾股定理求出BC的长，再利用勾股定理求出CE的长，根据BE=BC-CE即可得答案.【详解】如图，AB=DE=10，AC=6，DC=8，∠C =90°，∴BC=2222106AB AC-=-=8，CE=2222108DE DC-=-=6，∴BE=BC-CE=2（米），故答案为2.【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.13．（22016，0）【解析】∵∠OBC=90°，OB=1，BC=，∵将△OBC绕原点O逆时针旋转60°再将其各边扩大为原来的2倍，使OB1=OC，∴OC1=2OC=2×2=4=22，OC2=2OC1=2×4=8=23，OC3=2OC2=2×8=16=24，…，OC n=2n+1，∴OC2015=22016，∵2015÷6=335…5，∴点C2015与点C5在同一射线上，在x轴正半轴，坐标为（22016，0）．点睛：根据直角三角形得出∠BOC=60°，然后求出OC1、OC2、OC3、…、OC n的长度，再根据周角等于360°，每6个为一个循环组，求出点C2015是第几个循环组的第几个点，再根据变化规律写出点的坐标即可．14．113【解析】∵△ABC、△ADE都是以A为直角顶点的等腰直角三角形，∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，即∠BAD=∠CAE，∴在△ABD和△ACE中：AB ACBAD CAEAD AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE.①如图1，当∠CFE=90°时，AF⊥DE，∴AF=EF=22AE=23232=，∴CF=AC-AF=5-3=2，∴在Rt△CEF中，223213+=∴13②如图2：当∠CEF=90°时，∠AEC=90°+45°=135°，∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ADB=∠AEC=135°，∴∠ADB+∠ADE=135°+45°=180°，∴点B 、D 、F 三点共线，过点A 作AG ⊥DE 于点G ，则AG=DG=22AD=2323⨯=， ∴在Rt △ABG 中，BG=22534-=，∴BD=BG-DG=4-3=1.综上所述，131.1515【解析】∵AD BC ∥，DE BC ⊥．∴DAC ACB ∠=∠，90ADE DEC ∠=∠=︒．∵G 为AF 的中点．∴AG GD GF ==．∴ADG DAG ACB ∠=∠=∠．∴2DGC ADG DAG ACB ∠=∠+∠=∠．∵DG DC =．∵4DG =，1EC =．∴4DC =，∵90DEC ∠=︒． ∴222241DE DC EC =-=-15=．点睛：本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，解此题的关键是求出DG=DC 后利用勾股定理求DE 的长．16．13【解析】【分析】延长BC 交AD 于点E ，根据等腰直角三角形的性质求出AD ，再求出BE=DE=12AD 并得到BE ⊥AD ，然后求出CE ，在Rt △CDE 中，利用勾股定理列式计算即可得CD 的长．【详解】延长BC 交AD 于点E ，∵∠ABD=90°,∠ABC=45°，∴∠DBC=45°，∵AB=BD ，∴BE=DE=12AD ，BE ⊥AD ， ∵2，∴AD=6，∴DE=BE=3，∵BC=1，∴CE=2，∴CD2=DE2+CE2∴【点睛】本题考查的是等腰三角形和勾股定理，熟练掌握这两点是解题的关键.17．【解析】分析：过点P作PD⊥x轴于点D，由等边三角形的性质可知OD=12OQ=1，再根据勾股定理求出PD的长，故可得出P点坐标，再利用待定系数法求出直线OP的解析式即可．详解：解：过点P作PD⊥x轴于点D，∵△OPQ是边长为2的等边三角形，∴OD=12OQ=12×2=1，在Rt△OPD中，∵OP=2，OD=1，∴PD=∴P（1，设直线OP的解析式为y=kx（k≠0），k，∴直线OP的解析式为y．．点睛：本题考查的是用待定系数法求正比例函数的解析式，先根据题意得出点P 的坐标是解答此题的关键．18．直角三角形【解析】∵2223213AB =+=，2224652BC =+=，2221865AC =+=，∴222AB BC AC +=,∴ABC △为直角三角形．点睛：本题考查了勾股定理逆定理的应用，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.192222a b +【解析】 22a b a b ++-（）（）2222a b +. 2222a b +204552． 【解析】【分析】分两种情形：①如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．只要证明CH =DH ，即可解决问题；②如图2中，当∠DEF =90°时，设DE =x ，则EF =2x ，DF =BD 5，构建方程即可解决问题．【详解】解：如图1中，当∠EDF =90°时，作CH ⊥AB 于H ．在Rt△ACB中，∵AC=2，BC=4，∴AB=2224+=25，∴CH=AC BCAB⋅=455．∵∠ACB=∠AHC=90°，∴∠ACH+∠BCH=90°，∠BCH+∠B=90°，∴∠ACH=∠B=∠F．∵CH∥DF，∴∠F=∠HCE，∴∠ACH=∠HCE，∠DCE=∠DCB，∴∠HCD=45°，∴HC=HD=45．∵AH=22AC CH-=255，∴BD=AB﹣AH﹣DH=25﹣655=455．如图2中，当∠DEF=90°时，设DE=x，则EF=2x，DF=BD=5x．∵AE+DE+BD=25，∴255+x+5x=25，∴x=2﹣255，∴BD=5x=25﹣2．综上所述：BD的长为455或25﹣2．故答案为455或52．【点睛】本题考查了翻折变换、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用分类讨论的首先思考问题，属于中考填空题中的压轴题．21．（1）S△ABC32）3【解析】【分析】（1）过点A作AM⊥BC于M，根据已知可得BM=CM=12BC=1，然后根据勾股定理求得AM的长，再利用三角形的面积公式进行求解即可；（2）过点D作DN⊥AC于N，根据已知则可得到△ADM≌△AND，从而得DM=DN，AN=AM=3，继而得CN=AC-AB=2-3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，利用勾股定理求得x即可得.【详解】(1) 过点A作AM⊥BC于M，∵△ABC是等边三角形，∴BM=CM=12BC=1，∠BAM=∠CAM=30°，在Rt△CAM中，AM2+CM2=AC2，∴AM 2+12=22 ，∴AM=3，∴S△ABC=12BC·AM =12×2×3=3；（2）∵∠BAD=3∠CAD，∠BAD+∠CAD=∠BAC=60°，∴∠CAD=14∠BAC=15°，∠MAD=∠MAC-∠DAC=15°，∴AD平分∠MAC ，过点D作DN⊥AC于N，则△ADM≌△AND，∴DM=DN，3∴3，设DM=DN=x，则CD=CM-DM=1-x，在Rt△CDN中，DN2+CN2=CD2，x232=(1-x)2 ，解得：3-3，∴3【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理、全等三角形的判定与性质等，添加辅助构造直角三角形进行解题是关键.22．（1）作图见解析；（2）正方形的面积是53，解释见解析.【解析】试题分析：（1）在网格中分别过点A作AD⊥AB于点A，过点B作BC⊥AB于点B，并使AD=AB=BC，再连接CD即可得到所求正方形；（2）如图，由勾股定理易得AB=22+=，再由正方形的面积公式即可计算出正2753方形ABCD的面积了.试题解析：（1）如图，过A、B分别作AD⊥AB，BC⊥AB，并且使得AD=BC=AB，连接CD，则图中所得四边形ABCD为所求正方形；（2）如图，∵图中小方格为的面积为1cm2，∴小方格的边长为1cm，∴AB=222753+=,=AB2=53.∴S正方形ABCD23．（1）5 90°（2）（0，4）或（4，2）或（-4，-4），平行四边形如图.【解析】分析：（1）由勾股定理即可求得AB，BC，AC的值，然后由勾股定理逆定理，可判定△ABC是直角三角形； （2）首先根据题意画出图形，然后根据图可求得平行四边形中D 点的坐标．详解：（1）根据点A 和点B 的坐标可知：AB =()22223++=5；同理可得BC =()22111++=5，AC =2224+=5， 所以有(5)2+(25)2=52，即222BC AC AB +=，故△ABC 是直角三角形，且∠ACB =90°. （2）点D 的坐标为（0，4）或（4，2）或（-4，-4），所作平行四边形如图所示.点睛：考查平行四边形的性质, 坐标与图形性质，注意数形结合思想在解题中的应用. 24．蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .【解析】试题分析：根据题意，先将图形平面展开（如图所示），根据“两点之间，线段最短”可得蚂蚁爬行的最短距离为线段AB 的长，再用勾股定理求得AB 的长即可.试题解析：如图所示,将台阶展开.∵AC=3×3+1×3=12,BC=5,∴AB 2=AC 2+BC 2=132,∴AB=13(cm).∴蚂蚁爬行的最短线路为13 cm .点睛：本题考查了平面展开-最短路径问题，解决这类问题的基本思路是化曲面问题为平面问题，再用所学的知识解决．25．操作一：（1）14 cm ；（2）∠CAD =20度；操作二：CD=4.5cm【解析】【分析】操作一：（1）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，依据△ACD 的周长=AD+CD+AC=BD+CD+AC=BC+AC 进行计算即可；（2）依据DE 垂直平分AB ，可得AD=BD ，即可得出∠B=∠BAD=35°，再根据Rt △ABC中，∠BAC=90°-35°=55°，即可得到∠CAD=55°-35°=20°；操作二：设CD=DE=x ，则BD=12-x ，Rt △ABC 中，15AB ==,BE=15-9=6，依据Rt △BDE 中，DE 2+BE 2=BD 2，可得方程x 2+62=（12-x ）2，即可得CD=4.5cm ．【详解】操作一：(1)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴△ACD 的周长为AD +CD +AC =BD +CD +AC =BC +AC =8+6=14(cm )故答案为14；(2)由折叠可得，DE 垂直平分AB ，∴AD =BD ，∴35B BAD ∠=∠=，又∵Rt △ABC 中,903555BAC ∠=-=，∴553520CAD ∠=-=，故答案为20；操作二：∵AC=9cm ，BC=12cm ，∴15AB ==（cm ），根据折叠性质可得AC=AE=9cm ，∴BE=AB ﹣AE=6cm ，设CD=x ，则BD=12﹣x ，DE=x ，在Rt △BDE 中，由题意可得方程x 2+62=（12﹣x ）2，解之得x=4.5，∴CD=4.5cm ．【点睛】考查线段的垂直平分线的性质，三角形的内角和以及勾股定理，掌握勾股定理是解题的关键.26．（1）15cm ；（2）3：1；（3）【解析】整体分析：(1)由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”求AC 的长；(2)连接AD ，由“三线合一”得∠BAD=60°，利用直角三角形中的30°角所对的直角边的性质，分别把BE ，EA 用BD 表示；(3)证明△BAE≌△ACD，得∠BPQ=60°，结合勾股定理求解.解：(1)∵DE 是线段BC 的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD ．又∵在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°， ∴AC=12AB ， ∴△ACD 的周长=AC+AB=3BD=15cm ．故答案为15cm ；(2)连接AD ，如图所示．∵在△ABC 中，AB=AC ，∠A=120°，D 是BC 的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，，EA=12AD ，AD ，∴EA=1212AD ， ∴BE:AE=3:1．故答案为3:1．(3)∵△ABC 为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE 和△ACD 中，AE=CD ，∠BAC=∠ACB，AB=AC ，∴△BAE≌△ACD(SAS)，∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ 为△ABP 外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，2BP PQ -2221-3．27．（1）933-（2）5【解析】试题分析：（1）如图，过点C 作CF ⊥AD 于点F ，由此可得∠CFA=90°，由已知条件可得∠CDF=60°，从而可得∠DCF=30°，即可由CD 的长度求得DF 、CF 及AF 的长度，从而可得AD 的长度，就可计算出△ADC 的面积了；（2）在Rt △ACF 中由CF 32CAF=45°可求得AC 的长，结合已知的AB=10、BC=8可的AC 2+BC 2=AB 2，从而可证得∠ACB=90°，结合点E 是AB 的中点，即可得到CE=12AB=5. 试题解析：（1）过点C 作CF AD ⊥，交AD 延长线于点F ，∵45DAC ∠=︒，15DCA ∠=︒，∴CDF DAC DCA ∠=∠+∠ 451560=︒+︒=︒，在Rt CFD 中，26CD =，∴ 162DF CD ==， ()()222226632CF CD DF =-=-=，∴ 326AD AF DF =-=-，∴ 12ADC S AD CF =⨯ ()1236322=⨯-⨯ 933=-．（2）在Rt AFC 中，∵ 45DAC ∠=︒，32CF =∴ 22326AC CF ===，在ABC 中，∵ 2222268AC BC AB +=+=∴ △ABC 是直角三角形，又∵ E 为AB 中点，∴ 1110522CE AB ==⨯=． 28．16 5 403 【解析】试题分析：利用勾股定理可求出AB 的长进而得出△ADB 的周长；再根据题目要求扩充成AC 为直角边的直角三角形，利用AB=BD ，AD=BD ，分别得出答案．试题解析：∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，CD=BC ，∴5=，则AD=AB=5，故此时△ADB 的周长为：5+5+6=16；如图2所示：AD=BD 时，设DC=x ，则AD=x+3，在Rt △ADC 中，（x+3）2=x 2+42，解得：x=76， 故AD=3+76=256 ， 则此时△ADB 的周长为：256+256+5=403 ； 如图3所示：AB=BD 时，在Rt △ADC 中，=则此时△ADB的周长为：故答案为（1）16；（2）403． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，能通过分类求出等腰三角形的所有情况是解此题的关键．29．（1）OC=2，BC=2；（2）S 与t 的函数关系式是：S=22(02)4)t t ⎧<≤⎪⎪-+<≤；（3）当t 为83时，△OPM 是等腰三角形． 【解析】整体分析：（1）先求出OA ，判断OC=CB ，再在Rt △AOC 中用勾股定理列方程求解；（2）分点P 在BC 上，与点C 重合，在CO 上，与点O 重合四种情况分类讨论，注意画出相应的图形，利用三角形的面积公式和三角形面积的和差关系求解；（3）因为等腰三角形的腰不确定，所以需要分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质列方程求解.（1）解：∵∠A=90°，∠AOB=60°，∴∠B=30°，∴OA=12由勾股定理得：AB=3，∵OC平分∠AOB，∴∠AOC=∠BOC=30°=∠B，∴OC=BC，在△AOC中，AO2+AC2=CO2，∴(3)²+（3﹣OC）2=OC2，∴OC=2=BC，答：OC=2，BC=2．（2）解：①当P在BC上，Q在OC上时，0＜t＜2，则CP=2﹣t，CQ=t，过P作PH⊥OC于H，∴∠HCP=60°，∠HPC=30°，∴CH=12CP=12（2﹣t），HP=32（2﹣t），∴S△CPQ=12CQ×PH=12×t×3（2﹣t），即S=﹣3t2+3t；②当t=2时，P在C点，Q在O点，此时，△CPQ不存在，∴S=0，③当P在OC上，Q在ON上时2＜t＜4，过P作PG⊥ON于G，过C作CZ⊥ON于Z，∵CO=2，∠NOC=60°，∴3CP=t﹣2，OQ=t﹣2，∠NOC=60°，∴∠GPO=30°，∴OG=12OP=12（4﹣t），34﹣t），∴S△CPQ=S△COQ﹣S△OPQ=12×（t﹣2）×3﹣12×（t﹣2）×34﹣t），即3233．④当t=4时，P 在O 点，Q 在ON 上，如图（3）过C 作CM ⊥OB 于M ，CK ⊥ON 于K ，∵∠B=30°，由（1）知BC=2，∴CM=12BC=1， 有勾股定理得：3∵3，∴333，∴S=12PQ×CK=12×2×33 综合上述：S 与t 的函数关系式是：S=2233(02)333(24)t t t ⎧+<≤⎪⎪⎨⎪+<≤⎪； （3）解：如图（2），∵ON ⊥OB ，∴∠NOB=90°，∵∠B=30°，∠A=90°，∴∠AOB=60°， ∵OC 平分∠AOB ，∴∠AOC=∠BOC=30°，∴∠NOC=90°﹣30°=60°， ①OM=PM 时，∠MOP=∠MPO=30°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠MPO=90°， ∴OP=2OQ ，∴2（t ﹣2）=4﹣t ，解得：t=83， ②PM=OP 时，∠PMO=∠MOP=30°， ∴∠MPO=120°，∵∠QOP=60°，∴此时不存在； ③OM=OP 时，过P 作PG ⊥ON 于G ，OP=4﹣t ，∠QOP=60°， ∴∠OPG=30°，∴GO=12（4﹣t ），34﹣t ）， ∵∠AOC=30°，OM=OP ，∴∠OPM=∠OMP=75°， ∴∠PQO=180°﹣∠QOP ﹣∠QPO=45°，∴34﹣t ），∵OG+QG=OQ，∴12（4﹣t）+3（4﹣t）=t﹣2，解得：t=623+综合上述：当t为83或6233+时，△OPM是等腰三角形．30．25cm【解析】分析: 将立体图形展开成平面图形,然后根据两点之间线段距离最短,利用根据勾股定理进行求解,根据立体展开成平面图形情况分类讨论进行进行比较.详解:将长方体沿CH,HE,BE剪开翻折,使面ABCD和面BEHC在同一个平面内,连接AM,如图1,由题意可得:MD=MC+CD=5+10=15cm,AD=20cm,在Rt△ADM中,根据勾股定理得:AM=25cm,将长方体沿CH、GD、GH剪开翻折,使面ABCD和面D CH G在同一个平面内,连接AM，如图2,由题意得:BM=BC+MC=20+5=25（cm）,AB=10cm,在Rt△ABM中,根据勾股定理得:AM29cm,将长方体沿CD、CH、GH剪开翻折,连接AM,如图3,由题意得:AC=AB+BC=10+20=30（cm）,MC=5cm,在Rt△ACM中,根据勾股定理得:AM37cm,∵25＜29＜37则需要爬行的最短距离是25cm.点睛:本题考查了勾股定理的拓展应用,“化曲面为平面”是解决“怎样爬行最近”这类问题的关键.。
第1章勾股定理 单元综合测试题 2022—2023学年北师大版数学八年级上册(含答案)
2022-2023学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．我国汉代的赵爽在注释《周髀算经》时给出了勾股定理的无字证明，人们称它为“赵爽弦图”，“赵爽弦图”指的是（）A．B．C．D．2．下列各组数中，属于勾股数的是（）A．1，1.7，2B．1.5，2，2.5C．6，8，10D．5，6，73．如图，以Rt△ABC的三边为直径分别向外作半圆，若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．9πB．C．D．3π4．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，则AD等于（）A．6B．7C．8D．95．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5B．6C．4D．4.86．如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于（）A．1.2米B．1.5米C．2.0米D．2.5米7．如图，一根长25m的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距离底端7m．如果梯子的顶端下滑4m，那么梯足将滑动（）A．7m B．8m C．9m D．10m8．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm9．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．1，2，3D．32，42，52 10．现有四块正方形纸片，面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按如图的方式组成图案，若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是（）A．4，6，8B．4，6，10C．4，8，10D．6，8，10二．填空题（共7小题，满分28分）11．直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边中线的长是．12．直角三角形中，两边长为3，4，则第三边长的平方为．13．一个三角形的三边长分别为15cm、20cm、25cm，则这个三角形最长边上的高是cm．14．如图，每个小正方形的边长都相等，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为．15．观察右面几组勾股数，①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；并寻找规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：，第n组勾股数是．16．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，大正方形的面积为25，则小正方形的边长为．17．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB﹣AC＝2，BC＝8，则AB的长是．三．解答题（共6小题，满分52分）18．如图是单位长度为1的正方形网格．（1）在图1中画出一条长度的平方为10的线段AB；（2）在图2中画出一个以格点为顶点，面积为5的正方形．。
新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案(1)
D C B A FE D C B A 新版北师大版八年级数学上册第1章《勾股定理》单元测试试卷及答案（1）一、填空题（1. 如图，在长方形ABCD 中，已知BC=10cm ，AB=5cm ，则对角线BD= cm 。
2. 如图，在正方形ABCD 中，对角线为22，则正方形边长为 。
3. 把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的2倍，则其斜边扩大到原来的 。
4. 三角形中两边的平方差恰好等于第三边的平方，则这个三角形是 三角形。
5. 飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行 千米。
6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若a:b=3:4，c=20，则a= ，b= 。
7. 已知一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长为 。
8. 如图所示，在矩形ABCD 中，AB=16，BC=8，将矩形沿AC 折叠，点D 落在点E 处，且CE 与AB 交于点F ，那么AF= 。
9. 如图，将一根长24cm 的筷子，置于底面直径为5cm ，高为12cm 的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm （茶杯装满水），则a 的取值范围是 。
10. 如图，数轴上有两个Rt △ABC 、Rt △ABC ，OA 、OC 是斜边，且OB=1，AB=1，CD=1，OD=2，分别以O 为圆心，OA 、OC 为半径画弧交x 轴于E 、F ，则E 、F 分别对应的数是 。
11. 一艘轮船以16海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以12海里/时的速度向西南方向航行，则一个半小时后两船相距 海里。
12. 所谓的勾股数就是指使等式a 2+b 2=c 2成立的任何三个自然数。
我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法，即对于任意正整数m 、n （m ＞n ），取a=m 2-n 2，b=2mn ，c=m 2+n 2，则a 、b 、c 就是一组勾股数。
(北师大版)济南市八年级数学上册第一单元《勾股定理》测试卷(答案解析)
一、选择题1．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（）A．3 B．4 C．9 D．122．如图，动点P从点A出发，沿着圆柱的侧面移动到BC的中点S，若8BC=，点P移动的最短距离为5，则圆柱的底面周长为（）A．6 B．4πC．8 D．103．一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为（）A．2m B．2.5cm C．2.25m D．3m4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各边为斜边分别向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四边形GKJE＝1，S四边形KHCJ＝8，则AC的长为（）A．2 B．52C．4 D．65．如图，已知正方体纸盒的高为1，已知一只蚂蚁从其中一个顶点A，沿着纸盒的外部表面爬行至另一个顶点B，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．3B．2 C．5D．21+6．下列数组是勾股数的是（）A．2，3，4 B．0.3，0.4，0.5 C．5，12，13 D．8，12，157．一个长方体盒子长24cm，宽10cm，在这个盒子中水平放置一根木棒，那么这根木棒最长（不计木棒粗细）可以是（）A．10cm B．24cm C．26cm D．28cm8．如图所示的是2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，这个图案是由“弦图”演变而来．“弦图”最早是由三国时期数学家赵爽在注解一部数学著作时给出的，它标志着中国古代的数学成就．这部中国古代数学著作是（）A．《周髀算经》B．《几何原本》C．《九章算术》D．《孙子算经》9．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离AB长度为1尺．将它往前水平推送10尺时，即A C'＝10尺，则此时秋千的踏板离地距离A D'就和身高5尺的人一样高．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索OA长为（）A ．13.5尺B ．14尺C ．14.5尺D ．15尺 10．如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =．以AB 为一条边向三角形外部作正方形，则正方形的面积是（ ）A ．8B ．12C ．18D ．2011．如图，在矩形OABC 中，点B 的坐标是(2,5)，则,A C 两点间的距离是（ ）A ．26B ．33C ．29D ．5 12．下列各组数是勾股数的是（ ） A ．4，5，6 B ．5，7，9C ．6，8，10D ．10，11，12 二、填空题13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以点A （﹣5，0）为圆心，13为半径作弧，交y 轴的正半轴于点B ，则点B 的坐标为_____．14．如图，在四边形ABCD 中，B D 90∠∠==︒，AD=CD ，AB+BC=8，则四边形ABCD 的面积是_________．15．已知：如图在△ABC ，△ADE 中，∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，点C ，D ，E 三点在同一条直线上，连接BD ，BE ，以下四个结论：①BD=CE ；②BD ⊥CE ；③∠ACE+∠DBC=45°；④BE 2=2（AD 2+AB 2），其中结论正确的是________________．16．已知一个直角三角形三边长的平方和是50，则斜边长为________．17．如图，一个蚂蚁要在一个长、宽、高分别为2、3、1分米的长方体的表面从A 点爬到B 点，那么最短的路径是_______________分米．（结果保留根号）18．如图，为修通铁路凿通隧道AC ，量出40A ∠=︒，50B ∠=︒，5AB =公里，4BC =公里，若每天凿通隧道0.3公里，问_________天才能把隧道AC 凿通．19．如图，AD 是ABC 的中线，45,ADC ∠=︒把ADC 沿AD 折叠，使点C 落在点'C 处，'BC 与BC 的长度比是_______________________．20．若一个直角三角形的两条直角边长分别是4和6，则斜边长为__________．三、解答题21．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40mπ的半圆，其边缘20m==AB CD，点E在CD上，5mCE=，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为多少米？（边缘部分的厚度忽略不计）22．《九章算术》中有“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根七尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处距竹子底端7尺远，问折断处离地面的高度是多少尺？23．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且AC+AD＝32，BD＝5，CD＝16，试确定AB的长．24．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点E是∠ACB内部一点，连接CE，作AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为点D，E．（1）求证：△BCE≌△CAD；（2）若BE＝5，DE＝7，则△ACD的周长是．25．《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题：“今有池一丈，葭生其中夹，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其底面是边长是10尺的正方形，一根芦苇AB生长在它的中央，高出水面部分BC为1尺．如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的B'（如图）．水深和芦苇长各多少尺？26．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，求小巷的宽度．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】由题可知，已知正方形的面积，利用面积公式，即可求解边长；三个正方形的边长恰好构成直角三角形，由勾股定理可求解．【详解】由题可知三个正方形，利用正方形面积公式可得：面积为16的正方形的边长为：4；面积为25的正方形的边长为：5；如图：又三个正方形边长恰好构成直角三角形，∴第三个正方形的边长为：22543-=；∴第三个正方形面积为：9；故选C．【点睛】本题主要考查正方形及直角三角形的性质；重点在于面积和边长之间的转换和对图形的分析．2．A解析：A【分析】根据圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求出AB即可求解．【详解】解：圆柱的侧面展开图如图，点P移动的最短距离为AS=5，根据题意，BS=12BC=4，∠ABS=90°，∴AB=22AS BS-=2254-=3，∴圆柱的底面周长为2AB=6，故选：A．【点睛】本题考查圆柱的侧面展开图、最短路径问题、勾股定理，熟练掌握圆柱的侧面展开图，得出点P移动的最短距离是AS是解答的关键．3．A解析：A【分析】设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC＝1.5m．AB﹣BC＝0.5m．设水池的深度BC＝xm，则AB＝（0.5+x）m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2，∴1.52+x2＝（x+0.5）2，解得：x＝2．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．4．D解析：D【分析】设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，可求b＝2，即可求解．【详解】解：设AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴AB2=，BC2=，=，AC2∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵将等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如图方式叠放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四边形GHCE＝S四边形GKJE+S四边形KHCJ＝9，∴1（a+c）（c﹣a）＝9，2∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝2∴AC2=＝6，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，折叠的性质，利用整体思想解决问题是本题的关键．5．C解析：C【分析】从正方体外部可分三类走法直接走AB对角线，先走折线AD-DB，或走三条棱，求出其长度，比较大小即可【详解】方法一：走两个正方形两接的面展开成日字形的对角线在三角形ABC 中，由勾股定理AB=2222AC +BC =2+1=5；方法二：走一面折线AD-BD ，由勾股定理221+1=22+1；方法三折线AE-ED-DB 即AE+ED+DB=3；在正方体外部表面走有这三类走法，∵5<9， ∴53， ∵2>1， ∴21>， ∴222>， ∴22+32+3>， ∴)22+15>， ∴2+15>5故选择：C ．【点睛】本题考查蚂蚁爬行最短路径问题是考查勾股定理的应用，掌握勾股定理的应用方法，会利用图形分析行走路径是解题关键．6．C解析：C【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，再利用勾股定理的逆定理逐一判断各选项即可得到答案．【详解】解：22223134,+=≠ 故A 不符合题意；0.3，0.4，0.5首先不是正整数，故B 不符合题意；22251216913,+== 故C 符合题意； 2228126414420815,+=+=≠ 故D 不符合题意；故选：.C【点睛】本题考查的是勾股数的含义，勾股定理的逆定理的应用，掌握以上知识是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据题意可知木棒最长是底面长方形的对角线的长，利用勾股定理求解即可．【详解】解：长方体的底面是长方形，水平放置木棒，当木棒为该正方形的对角线时木棒最长，=，26则最长木棒长为26cm，故选：C．【点睛】本题考查立体图形、勾股定理，由题意得出木棒最长是底面长方形的对角线的长是解答的关键．8．A解析：A【分析】根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”即可解答．【详解】解：根据在《周髀算经》中赵爽提过“赵爽弦图”，故选：A．【点睛】本题考查勾股定理，知道“赵爽弦图”是赵爽在《周髀算经》提到过是解答的关键．9．C解析：C【分析】设绳索有x尺长，此时绳索长，向前推出的10尺，和秋千的上端为端点，垂直地面的线可构成直角三角形，根据勾股定理可求解．【详解】解：设绳索有x尺长，则102+（x+1-5）2=x2，解得：x=14.5．故绳索长14.5尺．故选：C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．10．D解析：D【分析】根据勾股定理解得2AB 的值，再结合正方形的面积公式解题即可．【详解】在ABC ∆中，90C ∠=︒，4AC =，2BC =，222224220AB AC BC ∴=+=+=∴以AB 为一条边向三角形外部作的正方形的面积为220AB =，故选：D ．【点睛】本题考查勾股定理的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 11．C解析：C【分析】根据矩形的性质可得OB ＝AC ，根据勾股定理即可求出答案．【详解】在矩形OABC 中，OB ＝AC ，∵B （2，5）， ∴OB ==AC OB ==故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及勾股定理．12．C解析：C【分析】根据勾股数的定义：满足222+=a b c 的三个正整数a 、b 、c 叫做勾股数，逐一进行判断即可．【详解】解：A. 222456+≠，故此选项错误；B. 222579+≠，故此选项错误；C. 2226810+=，故此选项正确；D. 222101112+≠，故此选项错误．故选：C ．【点睛】本题考查了勾股数的概念，熟记勾股数的概念是解题的关键．二、填空题13．【分析】连接AB 由题意知：OA=5AB=13利用勾股即可求得OB 的长本题即可求解【详解】解：如图连接AB 由题意知：OA=5AB=13∴OB=∴B 故答案为：【点睛】本题考查的圆的半径以及勾股定理添加辅解析：()0,12．【分析】连接AB ，由题意知：OA=5，AB=13，利用勾股即可求得OB 的长，本题即可求解．【详解】解：如图，连接AB ，由题意知：OA=5，AB=13，∴2213512， ∴B ()0,12．故答案为：()0,12．【点睛】本题考查的圆的半径以及勾股定理，添加辅助线AB 以及正确利用勾股定理进行计算是解题的关键．14．16【分析】求不规则四边形的面积可以转化为两个三角形的面积由题意可知：求出与的面积即为四边形ABCD 的面积【详解】连接AC ∵∴∴∵AB+BC=8∴∴∴故答案为：16【点睛】本题主要考查的是四边形面积解析：16【分析】求不规则四边形的面积，可以转化为两个三角形的面积，由题意B D 90∠∠==︒，可知：求出Rt ABC 与Rt ADC 的面积，即为四边形ABCD 的面积．【详解】连接AC ，∵B D 90∠∠==︒，∴222AB BC AC +=，222AD DC AC +=，∴11=22ABC ADC ABCD S S S BC AB CD AD +=⋅+⋅四边形21122BC AB AD =⋅+ ()2221111=2224BC AB CD AB BC AB BC ⋅+=⋅++， ∵AB+BC=8， ∴222=64AB BC BC AB ++⨯，∴4464ABC ADCS S +=， ∴=16ABC ADC ABCD S SS +=四边形故答案为：16．【点睛】本题主要考查的是四边形面积的求解，三角形面积以及勾股定理，熟练运用三角形面积公式以及勾股定理是解答本题的关键．15．①②③【分析】①由条件证明△ABD ≌△ACE 就可以得到结论；②由△ABD ≌△ACE 就可以得出∠ABD=∠ACE 就可以得出∠BDC=90°而得出结论；③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°由∠解析：①②③【分析】①由条件证明△ABD ≌△ACE ，就可以得到结论；②由△ABD ≌△ACE 就可以得出∠ABD=∠ACE ，就可以得出∠BDC=90°而得出结论； ③由条件知∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°，由∠DBC+∠ACE=90°，就可以得出结论； ④△BDE 为直角三角形就可以得出BE 2=BD 2+DE 2，由△DAE 和△BAC 是等腰直角三角形就有DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2，就有BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2就可以得出结论．【详解】解：①∵∠BAC=∠DAE ，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC ，即∠BAD=∠CAE ．在△ABD 和△ACE 中，AD AE BAD CAE AB AC ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ABD ≌△ACE （SAS ），∴BD=CE ．故①正确；∵△ABD ≌△ACE ，∴∠ABD=∠ACE ．∵∠CAB=90°，∴∠ABD+∠DBC+∠ACB=90°，∴∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，∴∠BDC=180°-90°=90°．∴BD ⊥CE ；故②正确；③∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠ABC=45°，∴∠ABD+∠DBC=45°．∴∠ACE+∠DBC=45°，故③正确；④∵BD ⊥CE ，∴BE 2=BD 2+DE 2．∵∠BAC=∠DAE=90°，AB=AC ，AD=AE ，∴DE 2=2AD 2，BC 2=2AB 2．∵BC 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴2AB 2=BD 2+CD 2≠BD 2，∴BE 2≠2（AD 2+AB 2）．故④错误．故答案为：①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，垂直的性质和判定的应用，等腰直角三角形的性质的应用，勾股定理的应用，能利用全等三角形的性质和判定求解是解此题的关键． 16．5【分析】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则根据题意列得即可求出答案【详解】设两直角边长分别为ab 斜边长为c 则∵三边长的平方和是∴∴解得c=5（负值舍去）故答案为：5【点睛】此题考查勾股定理正确掌握解析：5【分析】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，根据题意列得2250c =即可求出答案.【详解】设两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，则222+=a b c ，∵三边长的平方和是50，∴22250a b c ++=，∴2250c =，解得c=5（负值舍去），故答案为：5.【点睛】此题考查勾股定理，正确掌握勾股定理的计算公式是解题的关键.17．【分析】有三种展开方式一种是正面和右侧面展开如图（1）一种是正面和上面展开如图（2）另外一种是底面和右侧面展开如图（3）分别根据勾股定理求AB 的长度即可判断【详解】正面和右侧面展开如图（1）根据勾股 解析：32 【分析】 有三种展开方式，一种是正面和右侧面展开如图（1），一种是正面和上面展开如图（2），另外一种是底面和右侧面展开如图（3），分别根据勾股定理求AB 的长度即可判断．【详解】正面和右侧面展开如图（1）根据勾股定理()2223126AB =++=；正面和上面展开如图（2）根据勾股定理()2213225AB =++=；底面和右侧面展开如图（3）根据勾股定理AB ==∵<<∴最短的路径是故答案为【点睛】本题考察了几何图形的展开图形，勾股定理的实际应用，容易漏掉正面和上面的展开图是本题的易错点，在做题的过程中要注意考虑全面．18．10【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度然后除以每天凿隧道的长度可求出需要的天数【详解】解：∵∠A=40°∠B=50°∴∠C=90°即△ABC 为直角三角形∵AB=5kmAC=4km ∴故：所需天数==解析：10【分析】根据勾股定理可求出BC 的长度，然后除以每天凿隧道的长度，可求出需要的天数．【详解】解：∵∠A=40°，∠B=50°，∴∠C=90°，即△ABC 为直角三角形∵AB=5km ，AC=4km∴3BC km ==，故：所需天数=30.3=10天． 故答案为：10．【点睛】 本题主要是运用勾股定理求出所需凿隧道的长度．19．【分析】设BD=CD=x 由题意可知∠ADC=45°且将ADC 沿AD 折叠故则可运用勾股定理将用x 进行表示即可得出的值【详解】解：∵点D 是BC 的中点设BD=CD=x 则BC=2x 又∵∠ADC=45°将AD2【分析】 设BD=CD=x ，由题意可知∠ADC=45°，且将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，则Rt C'DB △可运用勾股定理，将BC'用x 进行表示，即可得出BC':BC 的值．【详解】解：∵点D 是BC 的中点，设BD=CD=x ，则BC=2x ，又∵∠ADC=45°，将ADC 沿AD 折叠，故ADC'=45∠︒，C'D =x ，∴C'DC=C'DB=90∠∠︒，C'DB △是直角三角形，根据勾股定理可得：， ∴2:，故答案为：2:2． 【点睛】本题主要考察了折叠问题与勾股定理，解题的关键在于通过折叠的性质，得出直角三角形，并运用勾股定理．20．【分析】直接根据勾股定理求解可得【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6∴斜边长为故答案为：【点睛】本题考查勾股定理在任何一个直角三角形中两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方即如果直 解析：213【分析】直接根据勾股定理求解可得．【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别是4和6，∴斜边长为224+6=213，故答案为：213．【点睛】本题考查勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．即如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．三、解答题21．25米【分析】要求滑行的最短距离，需将该U 型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：如图是其侧面展开图：A D=π•20π=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt △ADE 中，22AD DE +222015+．故他滑行的最短距离约为25米．【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，U 型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为20π的半圆的弧长，矩形的长等于AB=CD=20．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．22．55尺．【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可.【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+72＝（10﹣x）2,解得：x＝2.55，∴折断处离地面的高度为2.55尺.【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意构建直角三角形利用勾股定理求解是解题的关键.23．13【分析】设AD＝x，则AC＝32﹣x，根据勾股定理可求出x的值，在直角三角形ABD中，再利用勾股定理即可求出AB的长．【详解】解：设AD＝x，则AC＝32﹣x，∵AD⊥BC于点D，∴△ADC和△ADB是直角三角形，∵CD＝16，∴x2+162＝（32﹣x）2，解得：x＝12，∴AD＝12，在直角三角形ABD中，AB＝13．【点睛】本题考查了勾股定理解直角三角形，解题的关键是设出未知数，利用勾股定理列出方程求解．24．（1）见解析；（2）30．【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC；（2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题；【详解】（1）证明：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD ＝90°，∴∠EBC ＝∠DCA ．在△BCE 和△CAD 中，E ADC EBC DCA BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAD （AAS ）；（2）解：∵△BCE ≌△CAD ，BE ＝5，DE ＝7，∴BE ＝DC ＝5，CE ＝AD ＝CD+DE ＝5+7＝12．∴由勾股定理得：AC ＝13，∴△ACD 的周长为：5+12+13＝30，故答案为：30．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS 、SAS 、ASA 、AAS 和HL ）和全等三角形的性质（即全等三角形的对应边相等、对应角相等）是解题的关键．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．也考查了余角的性质和勾股定理．25．水深12尺，芦苇长13尺【分析】依题意画出图形，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，利用勾股定理求出x 的值即可得到答案．【详解】解：依题意画出图形，如下图，设芦苇长AB =AB '=x 尺，则水深AC =（x -1）尺，因为B 'E =10尺，所以B 'C =5尺，在Rt △ACB '中，52+（x -1）2=x 2，解得：x =13，即水深12尺，芦苇长13尺．【点睛】此题考查勾股定理的实际应用，正确理解题意，构建直角三角形利用勾股定理解决问题是解题的关键．26．2米【分析】先根据勾股定理求出AB 的长，同理可得出BD 的长，进而可得出结论．【详解】解：在Rt ACB ∆中，90ACB ∠=︒，0.7BC =米， 2.4AC =米，2220.7 2.4 6.25AB ∴=+=．在Rt △A BD '中，90A DB ∠'=︒，2A D '=米，222BD A D A B +'='，222 6.25BD ∴+=，2 2.25BD ∴=，0BD >，1.5BD ∴=米，0.7 1.5 2.2CD BC BD ∴=+=+=米，答：小巷的宽度为2.2米．【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．。
强化训练-北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专项测评练习题(含答案详解)
北师大版八年级数学上册第一章勾股定理专项测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和2、如图，△ABC中，90∠=，以其三边分别向外侧作正方形，然后将整个图形放置于如图所示ACB的长方形中，若要求图中两个阴影部分面积之和，则只需知道（）A．以BC为边的正方形面积B．以AC为边的正方形面积C．以AB为边的正方形面积D．△ABC的面积3、在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A－∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2=b2－c2，那么△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果∠A︰∠B︰∠C=1︰3︰2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2︰b2︰c2=9︰16︰25，那么△ABC是直角三角形4、下列各组数：①3、4、5 ②4、5、6 ③2.5、6、6.5 ④8、15、17，其中是勾股数的有( )A．4组B．3组C．2组D．1组5、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A．1 B．2021 C．2020 D．20196、如图，桌上有一个圆柱形玻璃杯（无盖）高6厘米，底面周长16厘米，在杯口内壁离杯口1.5厘米的A处有一滴蜜糖，在玻璃杯的外壁，A的相对方向有一小虫P，小虫离杯底的垂直距离为1.5厘米，小虫爬到蜜糖A处的最短距离是（）A B．10厘米C．D．8厘米7、如图，在2×2的正方形网格中有9个格点，已经取定点A和B，在余下的点中任取一点C，使△ABC为直角三角形的概率是（）A．12B．25C．47D．378、一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（）A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．59、如图，长方形纸片ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．6cm2B．8cm2C．10cm2D．12cm210、如图，已知点E在正方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=6，BE=8，则阴影部分的面积是()A．48 B．60C．76 D．80第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、《九章算术》中有“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：有一根竹子原来高1丈（1丈=10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面多高？如图，设折断处距离地面x尺，根据题意，可列方程为______．2、如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东60︒方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东45︒方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为___________海里（结果保留根号）．3、如图，矩形ABCD中，AD＝6，AB＝8．点E为边DC上的一个动点，△AD'E与△ADE关于直线AE对称，当△CD'E为直角三角形时，DE的长为__．4、如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑________米．5、无盖圆柱形杯子的展开图如图所示．将一根长为20cm的细木筷斜放在该杯子内，木筷露在杯子外面的部分至少有__________cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，AB＝AC．(1)求证：△ABD≌△ACE．(2)连接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面积．2、如图，在△ABC和△DEB中，AC∥BE，∠C＝90°，AB＝DE，点D为BC的中点，12AC BC=．（1）求证：△ABC≌△DEB．（2）连结AE，若BC＝4，直接写出AE的长．3、如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：222AD AC BD=+.4、在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．5、做4个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理．-参考答案-一、单选题1、C【解析】【分析】根据勾股定理得到c2=a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．【详解】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c 2=a 2+b 2，阴影部分的面积=c 2-b 2-a （c-b ）=a 2-ac+ab=a （a+b-c ），较小两个正方形重叠部分的长=a-（c-b ），宽=a ，则较小两个正方形重叠部分底面积=a （a+b-c ），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选C ．【考点】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．2、D【解析】【分析】如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，证明△ADE ≌△CAN 得到=ADE CAN S S △△，AE =CN 同理可证△BGH ≌△CBN ，得到=BGH CBN S S △△，BH =CN ，则==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，即可推出=5ABC S S △阴影由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点C 作CN ⊥AB 于N ，延长AB 、BA 分别交正方形两边于H 、E ，∴∠CNA =∠DEA =∠DAC =90°，∴∠DAE +∠EDA =∠DAE +∠CAN =90°，∴∠ADE =∠CAN ，又∵AD =CA ，∴△ADE ≌△CAN （AAS ），∴=ADE CAN S S △△，AE =CN同理可证△BGH ≌△CBN ，∴=BGH CBN S S △△，BH =CN∴==ADE BGH CAN CBN ABC S S S S S ++△△△△△，∴=ABC S AB AE AB BH S ⋅+⋅+△阴影=2ABC AB CN S ⋅+△=5ABC S △，∴只需要知道△ABC 的面积的面积即可求出阴影部分的面积，故选D【考点】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够正确作出辅助线，构造全等三角形．3、B【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、直角三角形定义即可．【详解】解：A 、∵∠A -∠B =∠C ，∴∠A＝∠B＋∠C，∵∠A＋∠B＋∠C=180°，∴∠A=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；B、如果a2=b2-c2，∴a2+c2=b2，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，此选项不正确；C、如果∠A：∠B：∠C=1：3：2，设∠A=x，则∠B=3x，∠C=2x，则x+3x+2x=180°，解得：x=30°，则3x=90°，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；D、如果a2：b2：c2=9：16：25，则a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形，此选项正确；故选：B．【考点】本题考查了三角形内角和，勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4、C【解析】【详解】解：∵32+42=52，①符合勾股数的定义；∵42+52≠62，②不符合勾股数的定义；∵2.5和6.5不是正整数，③不符合勾股数的定义；∵82+152=172，④符合勾股数的定义，是勾股数的有：①④，共2组，故选：C．5、B【解析】【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可．【详解】解：由题意得，正方形A的面积为1，由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=1，∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2，同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3，∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4，……∴“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2021，故选：B．【考点】本题考查了勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．6、B【解析】【分析】把圆柱沿着点A所在母线展开，把圆柱上最短距离转化为将军饮马河型最短问题求解即可.【详解】把圆柱沿着点A所在母线展开，如图所示，作点A的对称点B，连接PB，则PB为所求，根据题意，得PC=8，BC=6，根据勾股定理，得PB=10，故选B.【考点】本题考查了圆柱上的最短问题，利用圆柱展开，把问题转化为将军饮马河问题，灵活使用勾股定理是解题的关键.7、C【解析】【分析】找到可以组成直角三角形的点，根据概率公式解答即可．【详解】解：如图，1C，2C，C，4C均可与点A和B组成直角三角形．34P ，7故选：C．【考点】本题考查了概率公式，解题的关键是掌握如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）mn =．8、C【解析】【分析】根据勾股定理求出斜边的长，再根据面积法求出斜边的高．【详解】解：设斜边长为c，高为h．由勾股定理可得：c2=62+82，则 c=10 ，直角三角形面积S=12×6×8=12×c×h，可得h=4.8 ，故选：C．【考点】本题考查了勾股定理，利用勾股定理求直角三角形的边长和利用面积法求直角三角形的高是解决此类题的关键．9、A【解析】【分析】根据折叠的条件可得：BE DE=，在Rt BAE中，利用勾股定理就可以求解．【详解】将此长方形折叠，使点B与点D重合，9cmAD=，9BE AE ∴=-，根据勾股定理得：229(9)AE AE +=-，解得：4(cm)AE =．21436(cm )2ABES ∴=⨯⨯=． 故选：A ．【考点】本题考查了利用勾股定理解直角三角形，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键．10、C【解析】【详解】解：∵∠AEB =90°，AE =6，BE =8，∴AB 10∴S 阴影部分=S 正方形ABCD -SRt △ABE =102-1682⨯⨯=100-24=76.故选：C.二、填空题1、2223(10)x x +=-【解析】【分析】根据勾股定理即可得出结论．【详解】解：设未折断的竹干长为x 尺，根据题意可列方程为：2223(10)x x +=-．故答案为：2223(10)x x +=-．【考点】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．2、．【解析】【分析】先作PC ⊥AB 于点C ，然后利用勾股定理进行求解即可．【详解】解：如图，作PC ⊥AB 于点C ，在Rt △APC 中，AP =50海里，∠APC =90°-60°=30°，∴1252AC AP ==海里，PC =在Rt △PCB 中，PC=BPC =90°-45°=45°，∴PC =BC =∴PB ==故答案为：【考点】此题主要考查了勾股定理的应用-方向角问题，求三角形的边或高的问题一般可以转化为用勾股定理解决问题，解决的方法就是作高线．3、3或6【解析】【分析】分两种情况分别求解，（1）当∠CED′＝90°时，如图（1），根据轴对称的性质得∠AED ＝∠AED′＝45′，得DE ＝AD ＝6；（2）当∠ED′A ＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E ＝∠D ，AD′＝AD ，DE ＝D′E ，得A 、D′、C 在同一直线上，根据勾股定理得AC ＝10，设DE ＝D′E ＝x ，则EC ＝CD −DE ＝8−x ，根据勾股定理得，D′E 2＋D′C 2＝EC 2，代入相关的值，计算即可．【详解】解：当∠CED′＝90°时，如图（1），∵∠CED′＝90°，×90°＝45°，根据轴对称的性质得∠AED＝∠AED′＝12∵∠D＝90°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴DE＝AD＝6；（2）当∠ED′A＝90°时，如图（2），根据轴对称的性质得∠AD′E＝∠D＝90°，AD′＝AD，DE＝D′E，△CD′E为直角三角形，即∠CD′E＝90°，∴∠AD′E＋∠CD′E＝180°，∴A、D′、C在同一直线上，根据勾股定理得10AC=，∴CD′＝10−6＝4，设DE＝D′E＝x，则EC＝CD−DE＝8−x，在Rt△D′EC中，D′E2＋D′C2＝EC2，即x2＋16＝(8−x)2，解得x＝3，即DE＝3；综上所述：DE的长为3或6；故答案为：3或6．【考点】本题考查了矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质，熟练掌握矩形的性质、勾股定理、轴对称的性质的综合应用，分情况讨论，作出图形是解题关键．4、0.5【解析】【详解】结合题意可知AB=DE=2.5米，BC=1.5米，BD=0.5米，∠C=90°，（米）.∵BD=0.5米，∴CD=2米，（米），∴AE=AC-EC=0.5（米）．故答案为0.5.点睛：本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．5、5【解析】【分析】根据题意直接利用勾股定理得出杯子内的筷子长度，进而得出答案．【详解】解：由题意可得：15，则木筷露在杯子外面的部分至少有：20−15＝5（cm ）．故答案为5．【考点】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出杯子内筷子的长是解决问题的关键．三、解答题1、 (1)见解析(2)40【解析】【分析】（1）根据题目所给条件证()ABD ACE AAS ≌即可；（2）由ABD ACE △≌△可得10AB AC AD CD ==+=，由勾股定理可求BD ，即可求解；(1)证明：∵,CE AB BD AC ⊥⊥，∴90ADB AEC ∠=∠=︒，∵,AB AC A A =∠=∠，∴()ABD ACE AAS ≌．(2)解：∵ABD ACE △≌△，∴10AB AC AD CD ==+=，在Rt ABD △中，8BD ，∴111084022ABC S AC BD =⋅=⨯⨯=△．【考点】本题主要考查三角形的全等证明、勾股定理，掌握三角形的全等证明及性质是解题的关键．2、（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据平行可得∠DBE ＝90°，再由HL 定理证明直角三角形全等即可；（2）构造Rt AHE ，利用矩形性质和勾股定理即可求出AE 长．【详解】（1）∵AC ∥BE ，∴∠C ＋∠DBE ＝180°．∴∠DBE ＝180°－∠C ＝180°－90°＝90°．∴△ABC 和△DEB 都是直角三角形．∵点D 为BC 的中点，12AC BC =，∴AC ＝DB ． ∵AB ＝DE ，∴Rt △ABC ≌Rt △DEB （HL ）．（2）AE =过程如下：连接AE 、过A 点作AH ⊥BE ，∵∠C ＝90°，∠DBE ＝90°．∴AC BH ∥，AH BC ∥，∴AH =BC =4， 122BH AC BC ===，∴2EH EB EH =-=，在Rt AHE 中，AE =【考点】本题主要考查了直角三角形全等的判定和勾股定理解三角形，解题关键是构造直角三角形，利用用平行线间的距离处处相等得线段AH =BC ，从而利用勾股定理求AE ．3、见解析【解析】【分析】连接AM得到三个直角三角形，运用勾股定理分别表示出AD²、AM²、BM²进行代换就可以最后得到所要证明的结果．【详解】证明：连接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2-MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M为BC中点，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【考点】本题考查了勾股定理，三次运用勾股定理进行代换计算即可求出结果，另外准确作出辅助线也是正确解出的重要因素．4、84.【解析】【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：设BD = x ，则14CD x =-．在Rt △ABD 中，由勾股定理得：2222215AD AB BD x =-=-，在Rt △ACD 中，由勾股定理得：()222221314AD AC CD x =-=--，∴2215x -=()221314x --，解之得：9x =．∴12AD =． ∴1·2ABC S BC AD ∆= 11412842=⨯⨯=． 5、见详解．【解析】【分析】利用4个直角三角形全等，根据=4+AEH ABCD EFGH S S S ∆正方形正方形列式，整理即可．【详解】证明：如图，AE BF CG DH a ====，AH DG CF BE b ====，HE EF FG GH c ====，∵=4+AEH ABCD EFGH S S S ∆正方形正方形，即()22142a b ab c +=⋅⋅+ ∴22222a ab b ab c ++=+，∴222+=a b c ．【考点】本题考查了勾股定理的验证，运用拼图的方式，即利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解决本题的关键．。
北师大版八年级数学上册第一章《勾股定理》章末复习题含答案解析 (21)
一、选择题1. 如图，AB ，BC ，CD ，DE 是四根长度均为 5 cm 的火柴棒，点 A 、 C 、 E 共线．若 AC =6 cm ，CD ⊥BC ，则线段 CE 的长度是 ( )A ． 6 cmB ． 7 cmC ． 6√2 cmD ． 8 cm2. 在下列长度的各组线段中，不能组成直角三角形的是 ( )A ． 1，√3，√5B ． √3，√6，3C ． 10，8，6D ． 7，24，253. 如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面 3 尺．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为 6 尺，则水深 ( )A ． 3.5 尺B ． 4 尺C ． 4.5 尺D ． 5 尺4. 正方形 ABCD 的边长为 1，其面积记为 S 1，以 CD 为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积记为 S 2，⋯ 按此规律继续下去，则 S 2019 的值为 ( )A ． (12)2019B ． (12)2018C ．(√22)2019 D ．(√22)20185. 如图，将长方形 ABCD 沿 EF 折叠，使顶点 C 恰好落在 AB 边的中点 C ´ 上，若 AB =6，BC =9，则 BF 的长为 ( )A．4B．3√2C．4.5D．56.如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则阴影部分的面积为( )A．6B．12C．6πD．12π7.如图，反比例函数y=kx(k>0)的图象与矩形AOBC的边AC，BC分别相交于点E，F，点C的坐标为(8,6)，将△CEF沿EF翻折，C点恰好落在OB上的点D处，则k的值为( )A．214B．6C．12D．2128.如图，将一根长为8cm(AB=8cm)的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端A和B，然后把中点C竖直地向上拉升3cm至D点，则拉长后橡皮筋的长度为( )A．8cm B．10cm C．12cm D．15cm9.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( )A．20B．25C．30D．3210.如图，圆锥的底面半径为5，母线长为20，一只蜘蛛从底面圆周上一点出发沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是( )A．8B．10√2C．15√2D．20√2二、填空题11.若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．12.定义：两边平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做奇异三角形．在Rt△ABC中，∠C=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，且b>a，如果Rt△ABC是奇异三角形，那么a:b:c=．13.如图所示的网格是正方形网格，则∠CBD+∠ABC=∘（点A，B，C，D是网格线交点）．14.在△ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则△ABC的周长为．15.如图，圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径r=2．若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线的长是．（结果保留根式）16.如图，在Rt△ACB中，∠C=90∘，BC=4，AB=5，BD平分∠ABC交AC于点D，则AD=．17.已知正方形ABCD边长为4，点P为其所在平面内一点，PD=√5，∠BPD=90∘，则点A到BP的距离等于．三、解答题18.阅读理解：【问题情境】教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？(1) 【探索新知】从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积=小正方形的面积+4个直角三角形的面积，从而得数学等式：（用含字母a，b，c的式子表示）；化简证得勾股定理：a2+b2=c2．(2) 【初步运用】（1）如图1，若b=2a，则小正方形面积∶大正方形面积=；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a=4，b=6，此时空白部分的面积为．(3) 【迁移运用】如果用三张含60∘的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60∘的三角形三边a，b，c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程．知识补充：如图4，含60∘的直角三角形，对边y∶斜边x=定值k．19.在如图所示的4×4方格中，每个小方格的边长都为1．(1) 在图（1）中画出长度为√17的线段，要求线段的端点在格点上．(2) 在图（2）中画出一个三条边长分别为3，2√2，√5的三角形，使它的端点都在格点上．20.如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，BC=5，DE是BC的垂直平分线，DE分别交BC，AB于点D，E．(1) 求证：△ABC为直角三角形；(2) 求AE的长．21.在如图所示的4×4的方格中，每个小正方格的边长都为1．(1) 在图中画△ABC，使AB=2√2，BC=3，AC=√5；(2) 作出AC边上的高线BH，并求BH的长．22.在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=a，AC=b，AB=c．将Rt△ABC绕点O依次旋转90∘，180∘和270∘，构成的图形如图所示．该图是我国古代数学家赵爽制作的“勾股圆方图”，也被称作“赵爽弦图”，它是我国最早对勾股定理证明的记载，也成为了2002年在北京召开的国际数学家大会的会标设计的主要依据．(1) 请利用这个图形证明勾股定理；(2) 请利用这个图形说明a2+b2≥2ab，并说明等号成立的条件；(3) 请根据（2）的结论解决下面的问题：长为x，宽为y的长方形，其周长为8，求当x，y取何值时，该长方形的面积最大？最大面积是多少？23.“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70km/h．一辆小汽车在一条城市街道上直道行驶，某一时刻刚好行驶到点C处，有一车速检测仪在路对面的30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间的距离变为50m．这辆小汽车超速了吗？24.如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，BC=10cm，AB=8cm，求：(1) FC的长；(2) EF的长.25.阅读材料，回答问题：(1) 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边长分别为3和4，那么斜边的长为5．”上述记载表明了：在Rt△ABC中，如果∠C=90∘，BC=a，AC=b，AB=c，那么a，b，c三者之间的数量关系是．(2) 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整：证明：∵S△ABC=12ab，S正方形ABDE=c2，S正方形MNPQ=，且=，∴(a+b)2=4×12ab+c2，整理得a2+2ab+b2=2ab+c2，∴．(3) 如图3，把矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，如果AB=4，BC=8，求BE的长．答案一、选择题1. 【答案】D【解析】由题意知，AB=BC=CD=DE=5cm，AC=6cm，过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥CE于N，则∠BMC=∠CND=90∘，AM=CM=12AC=12×6=3，CN=EN，∵CD⊥BC，∴∠BCD=90∘，∴∠BCM+∠CBM=∠BCM+∠DCN=90∘，∴∠CBM=∠DCN，在△BCM和△CDN中，{∠CBM=∠DCN,∠BMC=∠CND, BC=DC,∴△BCM=△CDN(AAS)，∴BM=CN，在Rt△BCM中，∵BC=5，CM=3，∴BM=√BC2−CM2=√52−32=4，∴CN=4，∴CE=2CN=2×4=8．【知识点】等腰三角形“三线合一”、勾股定理2. 【答案】A【知识点】勾股逆定理3. 【答案】C【解析】如答图，红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面，即AC为红莲的长．设水深 ℎ 尺，由题意得在 Rt △ABC 中，AB =ℎ，AC =ℎ+3，BC =6， 由勾股定理得 AC 2=AB 2+BC 2， 即 (ℎ+3)2=ℎ2+62，解得 ℎ=4.5．【知识点】勾股定理的实际应用4. 【答案】B【解析】在图中标上字母 E ，如图所示．∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，△CDE 为等腰直角三角形， ∴DE 2+CE 2=CD 2，DE =CE ， ∴S 2+S 2=S 1．观察，发现规律：S 1=12=1，S 2=12S 1=12，S 3=12S 2=14，S 4=12S 3=18，⋯， ∴S n =(12)n−1，当 n =2019 时，S 2019=(12)2019−1=(12)2018，故选：B ．【知识点】勾股定理、用代数式表示规律5. 【答案】A【知识点】勾股定理之折叠问题6. 【答案】A【解析】 ∵△ABC 是直角三角形，AC =3，BC =4， ∴AB 2=AC 2+BC 2， ∴AB =5．∵S 阴影=S 半圆BC +S 半圆AC +S △ABC −S 半圆AB=12π×(BC 2)2+12π×(AC 2)2+12AC ⋅BC −12π×(AB 2)2=6.【知识点】勾股定理7. 【答案】D【解析】∵将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上的M点处，∴∠EMF=∠C=90∘，EC=EM，CF=MF，∴∠DME+∠FMB=90∘，而ED⊥OB，∴∠DME+∠DEM=90∘，∴∠DEM=∠FMB，∴Rt△DEM∼Rt△BMF，又∵EC=AC−AE=8−k6，CF=BC−BF=6−k8，∴EM=8−k6，MF=6−k8，∴EMMF =8−k66−k8=43；∴ED:MB=EM:MF=4:3，而ED=6，∴MB=92，在Rt△MBF中，MF2=MB2+BF2，即(6−k8)2=(92)2+(k8)2，解得k=212．【知识点】反比例函数与四边形综合、勾股定理之折叠问题8. 【答案】B【解析】Rt△ACD中，AC=12AB=4cm，CD=3cm，根据勾股定理，得：AD=√AC2+CD2=5cm，同理可得BD=5cm，∴AD+BD=10cm，故拉长后橡皮筋的长度为10cm，故选B．【知识点】勾股定理的实际应用9. 【答案】B【解析】只要把长方体的右侧表面剪开与前面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第1个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=10+5=15，AD=20，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√152+202=25；只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第2个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD=CD+BC=20+5=25，AD=10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB=√BD2+AD2=√102+252=5√29；只要把长方体的上表面剪开与后面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如第3个图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴AC=CD+AD=20+10=30，在直角三角形ABC中，根据勾股定理得：∴AB=√AC2+BC2=√302+52=5√37；∵25<5√29<5√37，∴蚂蚁爬行的最短距离是25．【知识点】勾股定理的实际应用10. 【答案】D【知识点】圆锥的展开图、勾股定理、平面展开-最短路径问题二、填空题11. 【答案】√2【知识点】勾股定理12. 【答案】1:√2:√3【解析】∵Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AB=c，AC=b，BC=a，∴根据勾股定理得：c2=a2+b2，记作①，又Rt△ABC是奇异三角形，∴2a2=b2+c2, ⋯⋯②将①代入②得：a2=2b2，即a=√2b（不合题意，舍去），∴2b2=a2+c2, ⋯⋯③将①代入③得：b2=2a2，即b=√2a，将b=√2a代入①得：c2=3a2，即c=√3a，则a:b:c=1:√2:√3．【知识点】勾股定理13. 【答案】45【解析】取格点F，连接FB=FD，设网格正方形边长为1，所以BF=√22+32=√13，DF=√22+32=√13，BD=√12+52=√26，所以BF2+DF2=13+13=26，BD2=(√26)2=26所以BF2+DF2=BD2，且BF=DF，所以△BDF是等腰直角三角形，所以∠FBD=45∘，由图可知，∠ABC=∠FBC，所以∠ABC+∠CBD=∠FBC+∠CBD=∠FBD=45∘．【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、勾股逆定理14. 【答案】42或32【解析】此题应分两种情况说明：（1）当△ABC为锐角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5．∴BC=5+9=14，∴△ABC的周长为：15+13+14=42．（2）当△ABC为钝角三角形时，在Rt△ABD中，BD=√AB2−AD2=√152−122=9，在Rt△ACD中，CD=√AC2−AD2=√132−122=5，∴BC=9−5=4，∴△ABC的周长为：15+13+4=32，∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32．【知识点】勾股定理15. 【答案】8√2【解析】该圆锥的侧面展开图是一个半径为8，弧长为4π的扇形，如答图所示，所以圆心角∠AOAʹ=90∘，从展开图上可以看出小虫爬行的最短距离应为弦AAʹ的长，由勾股定理可得为8√2．【知识点】平面展开-最短路径问题、勾股定理16. 【答案】53【解析】过D作DE⊥AB，垂足为E，如图所示，∵BD平分∠ABC，∠C=90∘，∴DE=DC，∵BC=4，AB=5，∴AC=√AB2−BC2=√52−42=3，∵S△ABD+S△BCD=S△ABC，∴12AB⋅DE+12BC⋅DC=12BC⋅AC，∴ 12×5⋅DC +12×4⋅DC =12×3×4， 解得，DC =43，∴ AD =AC −CD =3−43=53，故答案为：53．【知识点】勾股定理17. 【答案】3√3+√52或3√3−√52【解析】 ∵ 点 P 满足 PD =√5，∴ 点 P 在以 D 为圆心，√5 为半径的圆上， ∵∠BPD =90∘，∴ 点 P 在以 BD 为直径的圆上， ∴ 如图，点 P 是两圆的交点，若点 P 在 AD 上方，连接 AP ，过点 A 作 AH ⊥BP ， ∵CD =4=BC ，∠BCD =90∘， ∴BD =4√2， ∵∠BPD =90∘，∴BP =√BD 2−PD 2=3√3， ∵∠BPD =90∘=∠BAD ，∴ 点 A ，点 B ，点 D ，点 P 四点共圆， ∴∠APB =∠ADB =45∘，且 AH ⊥BP ， ∴∠HAP =∠APH =45∘， ∴AH =HP ，在 Rt △AHB 中，AB 2=AH 2+BH 2， ∴16=AH 2+(3√3−AH)2， ∴AH =3√3+√52（不合题意），或 AH =3√3−√52， 若点 P 在 CD 的右侧，同理可得 AH =3√3+√52．综上所述：AH=3√3+√52或3√3−√52．【知识点】判断四点共圆的方法、勾股定理三、解答题18. 【答案】(1) (a+b)2=c2+4×12ab(2) 5∶9；28(3) 结论：a2+b2−ab=c2．理由：大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，即12(a+b)×k(a+b)=3×12×b×ka+12×c×ck，∴(a+b)2=3ab+c2，∴a2+b2−ab=c2．【知识点】勾股定理之折叠问题、勾股定理、等边三角形面积公式19. 【答案】(1) 如图（1）所示，线段AB即为所求：(2) 如图（2）所示，△CDE即为三边长分别为3，2√2，√5的三角形．【知识点】勾股定理20. 【答案】(1) 由已知可得AC=3，AB=4，BC=5，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC为直角三角形．(2) 连接CE，如图，设AE=x，则BE=4−x，∵DE是BC的垂直平分线，∴CE=BE，在Rt△AEC中，x2+32=(4−x)2，x=78，∴AE长为78．【知识点】垂直平分线的性质、勾股定理、勾股逆定理21. 【答案】(1) 如图所示：△ABC即为所求．(2) S△ABC=12BC⋅AD=12AC⋅BH，∴12×3×2=12×√5×BH∴BH=6√55．【知识点】一般三角形面积公式、勾股定理22. 【答案】(1) ∵边长为c的正方形面积为c2，它也可以看成是由4个直角三角形与1个边长为(a−b)的小正方形组成的，它的面积为4×12ab+(a–b)2=a2+b2，∴c2=a2+b2．(2) ∵(a−b)2≥0，∴a2+b2−2ab≥0，∴a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立．(3) 依题意得2(x+y)=8，∴x+y=4，长方形的面积为xy，由（2）的结论知2xy≤x2+y2=(x+y)2−2xy，∴4xy≤(x+y)2，∴xy≤4，当且仅当x=y=2时，长方形的面积最大，最大面积是4．【知识点】勾股定理、完全平方公式23. 【答案】在Rt△ABC中，BC2=AB2−AC2=502−302=402，所以BC=40m，所以小汽车的速度是40÷2=20(m/s)．即小汽车的速度是72km/h，故小汽车超速了．【知识点】勾股定理的实际应用24. 【答案】(1) 由题意，得AF=AD=10(cm)，在Rt△ABF中，∵AB=8，∴BF=√AF2−AB2=6(cm)，∴FC=BC−BF=10−6=4(cm)．(2) 由题意，得EF=DE，设DE的长为x，则EC=8−x，在Rt△EFC中，由勾股定理，得(8−x)2+42=x2，解得x=5，即EF的长为5cm．【知识点】勾股定理之折叠问题25. 【答案】(1) a2+b2=c2(2) (a+b)2；S；4S△ABC+S正方形ABDE；a2+b2=c2正方形MNPQ(3) ∵矩形ABCD折叠后点C与点A重合，∴AE=CE．设AE=x，则BE=8−x．在Rt△ABE中，由勾股定理得AB2+BE2=AE2，即42+(8−x)2=x2，解得x=5，∴BE=8−5=3．【知识点】勾股定理、勾股定理之折叠问题。
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版
八年级数学上册《第十四章勾股定理》单元测试卷及答案-华东师大版（考试时间：60分钟 总分：100分）一、选择题1．以下四组数中，是勾股数的是（ ）A ．1，2，3B ．12，13，4C ．8，15，17D ．4，5，62．在下列以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ）A ． 1.5a = 2b = 3c =B ．7a = 24b = 25c =C ．345a b c =：：：：D ．9a = 12b = 15c =3．如图，一根长为5m 的竹竿AB 斜靠在竖直的墙壁上，竹竿底端B 离墙壁距离3m ，则该竹竿的顶端A 离地竖直高度为（ ）A ．2mB ．3mC ．4mD 3m4．如图，在△ABC 中，△B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC 是正方形，则正方形ADEC 的面积是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．如图，在ABC 中5AB AC ==，按以下步骤作图：①以C 为圆心，CB 的长为半径作弧，交AB 于点D ；②分别以点D ，B 为圆心，大于12BD 的长为半径作弧，两弧交于点E ；③作射线CE ，交边AB 于点F ．若4CF =，则线段AD 的长为（ ）A 3B ．1C ．22D ．126．由下列各组线段围成的三角形中，是直角三角形的是（）A ．1，2，2B ．2，3，4C ．12 3 D ．22 37．用反证法证明“a b <”时应假设（ ）A ．a b >B ．a b ≥C ．a b =D ．a b ≤8．我国明代有一位杰出的数学家提出一道“荡秋千”的数学问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”其意思为：如图所示，当秋千静止在地面上时，秋千的踏板离地的距离为一尺（1CE =尺），将秋千的踏板往前推两步（每一步合五尺，即10EF =尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺（5DF =尺），求这个秋千的绳索AC 有多长？（ ）A ．12尺B ．13.5尺C ．14.5尺D ．15.5尺二、填空题9．在Rt ABC 中1390BC AC B ==∠=︒，，，则AB 的长是 ．10．在△ABC 中，AB=5，BC=a ，AC=b ，如果a ，b 满足（a+5）(a-5)-b 2=0，那么△ABC 的形状是 ．11．用反证法证明：一个三角形中至少有一个角不小于60°，应先假设 ．12．如图，长方体木箱的长、宽、高分别为12cm ，4cm ，3cm ，则能放进木箱中的直木棒最长为cm ．三、解答题13．如图，在ABC 中，CD 是高，BC=7，BD=6．若DE BC ，DEC DCB ∠=∠求CE 的长．14．已知ABC 的三边长为a 、b 、c ，且a-b=8，ab=2，17c =ABC 的形状，并说明理由．15．已知：如图，直线a ，b 被c 所截，△1，△2是同位角，且△1≠△2.求证：a 不平行于b.16．在Rt ABC 中90C ∠=︒，若34a b =：：，10c =求a ，b 的长．四、综合题17．如图，在四边形ABCD 中=60A ∠︒，=90B D ∠=∠︒和BC=6，CD=4，求：（1）AB 的长；（2）四边形ABCD 的面积．18．如图，在ABC 中，AB 长比AC 长大1，15BC =，D 是AB 上一点9BD =和12CD =．（1）求证：CD AB ⊥； （2）求AC 长．19．如图，点A 是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B 或C 处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．20．阅读材料，解答下面问题：我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方2倍的三角形叫做奇异三角形．（1）理解并填空：①根据奇异三角形的定义，请你判断：等边三角形一定（填“是”或“不是”）奇异三角形；②若某三角形的三边长分别为17，2，则该三角形（填“是”或“不是”）奇异三角形；（2）探究：在Rt ABC中，两边长分别是a，c，且250c=则这个三角形是否是奇异a=，2100三角形？请说明理由．参考答案与解析1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、12+22=5，32=9，5≠9，故不是勾股数；B 、42+122=160，132=169，160≠169，故不是勾股数；C 、82+152=189=172，故是勾股数；D 、42+52=41，62=36，41≠36，故不是勾股数. 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】A【解析】【解答】解：A 、∵a=1.5，b=2，c=3∴a 2+b 2=1.52+22=6.25≠c 2=9∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形不是直角三角形，故此选项符合题意； B 、∵a=7，b=24，c=25 ∴a 2+b 2=72+242=625=c 2=252=625∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； C 、∵a△b△c=3△4△5，设a=3x ，b=4x ，c=5x ∴a 2+b 2=（3x ）2+（4x ）22=25x 2=c 2=（5x ）2=25x 2∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意； B 、∵a=9，b=12，c=15 ∴a 2+b 2=92+122=225=c 2=152=225∴以线段a 、b 、c 的长为三边的三角形是直角三角形，故此选项不符合题意. 故答案为：A.【分析】根据勾股定理的逆定理，如果三条线段的长度满足较小两条长的平方和等于最大一条长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此一一判断得出答案.3．【答案】C【解析】【解答】解：由题意得：5m AB = 3m BC = AC BC ⊥则224m AC AB BC =-=即该竹竿的顶端A 离地竖直高度为4m 故答案为：C ．【分析】直角利用勾股定理计算即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：在△ABC 中，△B=90°由勾股定理得：AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5 ∵四边形ADEC 是正方形 ∴S 正方形ADEC =AC 2=5 故答案为：C ．【分析】利用勾股定理求出AC 2=AB 2+BC 2=12+22=5，再利用正方形的面积公式可得S 正方形ADEC =AC 2=5。
八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案(华东师大版)
八年级数学上册《第十四章 勾股定理》单元测试卷及答案（华东师大版）一、选择题1．下列各组数据中是勾股数的是（ ）2．有一直角三角形纸片，∠C ＝90°BC ＝6，AC ＝8，现将∠ABC 按如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为DE ，则CE 的长为( )A ．7B ．74C ．72D ．43．在∠ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，下列条件中，能判断∠ABC 是直角三角形的是（ ）A ．a ＝32，b ＝42，c ＝52B ．a ＝b ，∠C ＝45° C ．∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10D ．a 3b 7，c ＝24．在∠ABC 中，已知4AB =，5BC =和41AC =）A ．∠ABC 是锐角三角形B ．∠ABC 是直角三角形且90C ∠= C ．∠ABC 是钝角三角形D ．∠ABC 是直角三角形且90B ∠=5．要说明命题“若a 2＞b 2，则a ＞b”是假命题，能举的一个反例是（ ）A ．a ＝3，b ＝2B ．a ﹣3，b ＝2C ．a ﹣＝3，b ＝﹣1D ．a ＝﹣1，b ＝36．如图，在∠ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD 平分∠BAC ，则AD 等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是9cm ，则图中所有正方形的面积的和是（ ）A ．264cmB ．281cmC ．2162cmD ．2243cm8．将直角三角形的三条边长做如下变化，得到的新三角形仍是直角三角形的是（ ）A ．同加一个相同的数B ．同减一个相同的数C ．同乘以一个相同的正整数D ．同时平方9．如图，在ABC 中AB AC =，点P 为ABC 内一点，连接PA 、PB 、PC 且APB APC ∠≠∠求证：PB PC ≠用反证法证明时，第一步应假设（ ）A ．AB AC ≠ B ．PB PC = C ．APB APC ∠=∠D ．PBC PCB ∠≠∠10．如图，圆柱的底面周长是24，高是5，—只在A 点的蚂蚁沿侧面爬行，想吃到B 点的食物，需要爬行的最短路径是（ ）A ．9B ．13C ．14D ．245π+ 二、填空题11．6，一条直角边长为1，则另一条直角边长为 . 12．如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC 的度数为 度．13．反证法证明命题“同旁内角不互补的两条直线不平行”时，应先假设 .14．如图是某滑雪场U 型池的示意图，该U 型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为3的半圆，其边缘16AB CD ==，点E 在CD 上，4CE =一名滑雪爱好者从A 点滑到E 点时，他滑行的最短路程约为 （π取3）．三、解答题15．如图，在ABC 中，AB=AC ，AD 平分BAC ∠，已知BC 10=，AD=12，求AC 的长.16．如图，在ABC 中，D 为AB 边上一点，已知AC=13，CD=12，AD=5，AB=BC ．请判断ACD 的形状，并求出BC 的长．17．求证：对顶角相等(请画出图形，写出已知、求证、证明.)18．一个零件的形状如图所示，按规定BAC ∠应为直角，工人师傅测得90ADC ∠=︒，AD=3，CD=4，AB=12，BC=13请你帮他看一下，这个零件符合要求吗？为什么．四、综合题19．如图，在ABC 中60BAC ∠=︒，45B ∠=︒且AD 是BAC ∠的平分线，且3AC =CH AB ⊥于点H ，交AD 于点O .（1）求证：ACD 是等腰三角形； （2）求线段BD 的长.20．如图，ABC 的三边分别为5AC =，12BC =和13AB =，如果将ABC 沿AD 折叠，使AC恰好落在AB 边上．（1）试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）求线段CD 的长．21．综合与实践美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形．（1）如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a ，较短的直角边为b ，斜边长为c ，结合图1，试验证勾股定理；（2）如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为243OC = 求该飞镖状图案的面积；（3）如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为123S S S ，，，若12342S S S ++=，求2S 的值．答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：A 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；B 、（32）2+（42）2≠（52）2，故不是勾股数，不符合题意；C 、92+122=152，三边是整数，同时能构成直角三角形，故正确，符合题意；D 、不是正整数，故不是勾股数，不符合题； 故答案为：C.【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，据此判断.2．【答案】B【解析】【解答】解：在Rt∠ACB 中，AC=8，BC=6∴2222=68AC BC ++． 根据翻折不变性得∠EDA∠∠EDB ∴EA=EB∴在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ∴BE 2=BC 2+CE 2 ∴（8-x ）2=62+x 2 解得x=74． 故答案为：B ．【分析】在Rt∠ACB 中，利用勾股定理算出AB ，根据折叠性质得EA=EB ，在Rt∠BCE 中，设CE=x ，则BE=AE=8-x ，利用勾股定理建立方程，求解可得x 的值，从而得出答案.3．【答案】D【解析】【解答】解：A 、∵22337a b +=，2625c = ∴222+a b c ≠，不是直角三角形，故A 不符合题意；B 、 a ＝b ，∠C ＝45°∴∠A=∠B=180=67.5452︒︒-︒，不是直角三角形，故B 不符合题意；C 、∠A ：∠B ：∠C ＝6：8：10，解得∠C=180°×10=7524︒，不是直角三角形，故C 不符合题意； D 、 ∵2223277+==，∴是直角三角形，∠B 是直角，故D 符合题意故答案为：D ．【分析】A 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解；B 、由等边对等角可得∠A=∠B ，然后用三角形内角和定理可判断求解；C 、由三角形内角和定理并结合∠A 、∠B 、∠C 的比值计算即可判断求解；D 、分别计算a 2+b 2和c 2的值，是否满足a 2+b 2=c 2，根据勾股定理的逆定理即可判断求解.4．【答案】D【解析】【解答】解：由题意知216AB =，225BC =和241AC =∵222AB BC AC +=∴ABC 是直角三角形，且90B ∠=︒ 故答案为：D ．【分析】利用勾股定理的逆定理逐项判断即可。