2020年江苏省高考数学试卷
2020年江苏省高考数学试卷
一、填空题：本题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1．已知集合A ＝{−1，0，1，2}，B ＝{0，2，3}，则A ∩B ＝________．
2．已知i 是虚数单位，则复数z ＝（1＋i ）（2−i ）的实部是________．
3．已知一组数据4，2a ，3−a ，5，6的平均数为4，则a 的值是
________．
4．将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷2次，观察向上的点
数，则点数和为5的概率是_________．
5．如图是一个算法流程图，若输出y 的值为−2，则输入x 的值
是_________．
6．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22a x −52y ＝1（a ＞0）的一条渐近线方程为y ＝
25x ，则该双曲线的离心率是________．
7．已知y ＝f （x ）是奇函数，当x ≥0时，f （x ）＝x 32，则f （−8）的值是_________．
8．已知sin 2（4
π＋α）＝32，则sin2α的值是__________． 9．如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm ，高为2cm ，内孔半径为0.5cm ，则此六角螺帽毛坯的体积是_______cm 3．
10．将函数y ＝3sin （2x ＋4π）的图象向右平移6
π个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是_________．
11．设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列．已知数列{a n ＋b n }的前n 项和S n ＝n 2−n ＋2n −1（n ∈N*），则d ＋q 的值是_________．
12．已知5x 2y 2＋y 4＝1（x ，y ∈R ），则x 2＋y 2的最小值是________．
13．在△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝90°，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP ＝9．若PA ＝m PB ＋（2
3−m ）PC （m 为常数），则CD 的长度是__________．
14．在平面直角坐标系xOy 中，已知P （23，0），A 、B 是圆C ：x 2＋（y −2
1）2＝36上的两个动点，满足PA ＝PB ，则△PAB 面积的最大值是________．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．在三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，B 1C ⊥平面ABC ，E ，F 分别是AC ，B 1C 的中点．
（1）求证：EF ∥平面AB 1C 1；
（2）求证：平面AB 1C ⊥平面ABB 1．
16．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°．
（1）求sinC 的值；
（2）在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝−54，
求tan ∠DAC 的值．
17．某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O 在水平线MN 上，桥AB 与MN 平行，OO ′为铅垂线（O ′在AB 上）．经
测量，左侧曲线AO 上任一点D 到MN 的距离h 1（米）与
D 到OO ′的距离a （米）之间满足关系式h 1＝40
1a 2；右侧曲线BO 上任一点F 到MN 的距离h 2（米）与F 到OO ′
的距离b （米）之间满足关系式h 2＝−800
1b 3＋6b ．已知点
B 到OO ′的距离为40米．
（1）求桥AB 的长度；
（2）计划在谷底两侧建造平行于OO ′的桥墩CD 和EF ，且CE 为80米，其中C ，E 在AB 上（不包括端点）．桥墩EF 每米造价k （万元），桥墩CD 每米造价23k （万元）（k ＞0），问O ′E 为多少米时，桥墩CD 与EF 的总造价最低？
18．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：42x ＋3
2
y ＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点A 在椭圆E 上且在第一象限内，AF 2⊥F 1F 2，直线AF1
与椭圆E 相交于另一点B ．
（1）求△AF 1F 2的周长；
（2）在x 轴上任取一点P ，直线AP 与椭圆E 的右准线相
交于点Q ，求OP •QP 的最小值；
（3）设点M 在椭圆E 上，记△OAB 与△MAB 的面积分别为S 1，S 2，若S 2＝3S 1，求点M 的坐标．
19．已知关于x的函数y＝f（x），y＝g（x）与h（x）＝kx＋b（k，b∈R）在区间D上恒有f（x）≥h（x）≥g（x）．
（1）若f（x）＝x2＋2x，g（x）＝−x2＋2x，D＝（−∞，＋∞），求h（x）的表达式；
（2）若f（x）＝x2−x＋1，g（x）＝klnx，h（x）＝kx−k，D＝（0，＋∞），求k的取值范围；
（3）若f（x）＝x4−2x2，g（x）＝4x2−8，h（x）＝4（t3−t）x−3t4＋2t2（0＜|t|≤2），
D＝[m，n]⊂[−2，2]，求证：n−m≤7．
20．已知数列{a
n }（n∈N*）的首项a
1
＝1，前n项和为S
n
．设λ和k为常数，若对一切
正整数n，均有S
1+
n k
1
−S
n
k
1
＝λa
1+
n
k
1
成立，则称此数列为“λ−k”数列．
（1）若等差数列{a
n
}是“λ−1”数列，求λ的值；
（2）若数列{a
n }是“
3
3
−2”数列，且a
n
＞0，求数列{a
n
}的通项公式；
（3）对于给定的λ，是否存在三个不同的数列{a
n }为“λ−3”数列，且a
n
≥0？若存在，
求出λ的取值范围；若不存在，说明理由．
【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4−2：矩阵与变换]（本小题满分10分）
21．平面上的点A （2，−1）在矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢
⎣⎡-b a 11对应的变换作用下得到点B （3，4）． （1）求实数a ，b 的值；
（2）求矩阵M 的逆矩阵M 1-．
B.[选修4−4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）
22．在极坐标系中，已知A （ρ1，3π）在直线l ：ρcos θ＝2上，点B （ρ2，6π）在圆C ：ρ＝4sin θ上（其中ρ≥0，0≤θ＜2π）．
（1）求ρ1，ρ2的值；
（2）求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标．
C.[选修4−5：不等式选讲]（本小题满分0分）
23．设x ∈R ，解不等式2|x ＋1|＋|x|≤4．
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
24．在三棱锥A −BCD 中，已知CB ＝CD ＝5，BD ＝2，O 为BD 的中点，AO ⊥平面BCD ，AO ＝2，E 为AC 中点．
（1）求直线AB 与DE 所成角的余弦值；
（2）若点F 在BC 上，满足BF ＝4
1BC ，设二面角F −DE −C 的大小为θ，求sin θ的值．
25．甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ．
（1）求p 1，q 1和p 2，q 2；
（2）求2p n ＋q n 与2p 1-n ＋q 1-n 的递推关系式和X n 的数学期望E （X n ）（用n 表示）．。
2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）
第1页（共26页）页）2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I ． 2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 象限．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 辆．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 ． 5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 ． 答对题数 4 8 9 10 人数分布11216．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 ．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 （填写所有真命题的序号）．8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= ．10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD=u u u r u u u r g ．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32ba b a ++的最小值等于 ．13．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg的最大值为 ．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围； （2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u r g 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离；（2）若存在x 使不等式()x m x f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．20．（16分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S a +=，*n N ∈．（1）求数列{}na 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}n b 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由．【选做题】.本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值． [选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyz zx xy x y z ++++…． 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值； （2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r ，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值．2020年江苏省南通市海安高中高考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.1．（5分）已知集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>，则A B =I {|12}x x << ． 【解答】角：Q 集合{|02}A x x =<<，{|1}B x x =>， {|12}A B x x ∴=<<I ．故答案为：{|12}x x <<．2．（5分）复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点位于第 四 象限． 【解答】解：(1)1z i i i =-=+Q ，∴1z i =-，则复数(1)z i i =-的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为(1,1)-，位于第四象限． 故答案为：四．3．（5分）为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，随机抽测了通过这段公路的200辆汽车的时速，所得数据均在区间[40，80]中，其概率分布直方图如图所示，则在抽测的200辆汽车中，时速在区间[40，60)内的有 80 辆．【解答】解：由频率分布直方图得：时速在区间[40，60)内的汽车的频率为(0.010.03)100.4+⨯=．∴时速在区间[40，60)内的汽车有0.420080⨯=（辆)．故答案为：80．4．（5分）袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球，则摸出1个黑球和1个白球的概率等于 35．【解答】解：Q 袋中装有5个大小相同的球，其中3个黑球，2个白球，从中一次摸出2个球， 基本事件总数2510n C ==，摸出1个黑球和1个白球包含的基本事件个数11326m C C ==，∴摸出1个黑球和1个白球的概率63105m p n ===．故答案为：35．5．（5分）在一次知识竞赛中，抽取5名选手，答对的题数分布情况如表，则这组样本的方差为 225 ．答对题数 4 8 9 10 人数分布1121【解答】解：根据表中数据，计算平均数为1(489210)85x =⨯++⨯+=，方差为22222122[(48)(88)(98)2(108)]55s =⨯-+-+-⨯+-=．故答案为：225． 6．（5分）如图所示的算法流程图中，最后输出值为 25 ．【解答】解：第一次循环得到155T =⨯=，10i =； 第二次循环得到51050T =⨯=，15i =；第三次循环得到5015750T =⨯=，20i =； 第四次循环得到7502015000T =⨯=，25i =； 此时不满足判断框中的条件，终止循环，输出25i =． 故答案为：25．7．（5分）已知m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面． ①若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥，②若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m n ⊥； ③若m α⊂，n β⊂，//αβ，则//m n ； ④若//m α，m β⊂，n αβ=I ，则//m n ．上述命题中为真命题的是 ①④①④ （填写所有真命题的序号）． 【解答】解：选项①正确，由线面垂直的判定定理可知：若m α⊂，m β⊥，则αβ⊥； 选项②错误，若m α⊂，n αβ=I ，αβ⊥，则m 与n 可能平行可能相交； 选项③错误，若m α⊂，n β⊂，//αβ，则m 与n 可能平行或异面； 选项④正确，由线面平行的性质定理可知：若//m α，m β⊂，n αβ=I，则//m n ．故答案为：①④①④8．（5分）公元五世纪张丘建所著《张丘建算经》卷22题为：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈，问日益几何”．题目的意思是：有个女子善于织布，一天比一天织得快（每天增加的数量相同），已知第一天织布5尺，一个月(30天）共织布9匹3丈，则该女子每天织尺布的增加量为 16162529尺． (1匹4=丈，1丈10=尺）【解答】解：设该妇子织布每天增加d 尺，由题意知，3030293053902S d ⨯=⨯+=，解得1629d =尺． 故答案为：1629．9．（5分）若cos 2cos()4παα=+，则tan()8πα+= 213+ ．【解答】解：cos 2cos()4παα=+Q ，cos()2cos()8888ππππαα∴+-=++，cos()cos sin()sin 2cos()cos 2sin()sin 88888888ππππππππαααα∴+++=+-+， 化为：cos()cos 3sin()sin 8888ππππαα+=+，1tan()83tan 8παπ∴+=，Q 22tan 8tan1418tanπππ==-，解得tan218π=-．121tan()833(21)πα+∴+==-， 故答案为：213+． 10．（5分）如图，已知O 为矩形ABCD 内的一点，且2OA =，4OC =，5AC =，则OB OD =u u u r u u u rg52- ．【解答】解：以A 为原点，以AB ，AD 为坐标轴建立平面直角坐标系， 设(,)O m n ，(,0)B a ，(0,)D b ，则(,)C a b ， 2OA =Q ，4OC =，5AC =，∴222222254()()16a b m n m a n b ⎧+=⎪+=⎨⎪-+-=⎩，整理可得：132am bn +=． 又(,)OB a m n =--u u u r ，(,)OD m b n =--u u u r，∴22135()()()422OB OD m m a n n b m n am bn =-+-=+-+=-=-u u u r u u u rg． 故答案为：52-．11．（5分）已知关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，则实数a 的取值范围是 5(2-，2)- ．【解答】解：关于x 的方程||()1x x a -=， 显然0x =方程不成立， 可得1||a x x =-，设1()||f x x x =-，则1,20()1,0x x x f x x x x ⎧+-<<⎪⎪=⎨⎪->⎩，画出()f x 的图象，可得当522a -<<-时，y a =和()y f x =的图象有3个交点，即关于x 的方程||()1x x a -=在(2,)-+∞上有三个相异实根，故答案为：5(2-，2)-．12．（5分）已知0a >，0b >，且111a b +=，则32b a b a ++的最小值等于 11 ． 【解答】解：已知0a >，0b >，且111a b+=，则1111323()2()b b a b a b a a b a b a ++=++++，33955211a b ab b a ab =+++=…，故答案为：1113．（5分）如图，已知8AC =，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点分别为两半圆上的动点（不含端点（不含端点A ，B ，)C ，且BM BN ⊥，则AM CN u u u u r u u u rg 的最大值为 4 ．【解答】解：以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，建立如图所示的直角坐标系，可得(0,0)A ，(4,0)B ，(8,0)C ，以AB 为直径的半圆方程为22(2)4(0,0)x y x y -+=>>，以AC 为直径的半圆方程为22(4)16(0,0)x y x y -+=>>， 设(22cos ,2sin )M αα+，(44cos ,4sin )N ββ+，0α<，βπ<，BM BN ⊥，可得(22cos BM BN α=-+u u u u r u u u rg ，2sin )(4cos αβg ，4sin )0β=，即有8cos 8(cos cos sin sin )0βαβαβ-++=，即为cos cos cos sin sin βαβαβ=+， 即有cos cos()βαβ=-，又0α<，βπ<，可得αββ-=，即2αβ=， 则(22cos AM CN α=+u u u u r u u u r g ，2sin )(44cos αβ-+g，4sin )β 88cos 8cos 8(cos cos sin sin )αβαβαβ=--+++288cos 16cos 16cos 16cos αβββ=--+=-2116(cos )42β=--+，可得1cos 02β-=，即3πβ=，23πα=时，AM CN u u u u r u u u r g的最大值为4．故答案为：4．14．（5分）若关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3]及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，则实数a 的取值范围是 (,2)-∞- ．【解答】解：关于x 的不等式3230x x ax b -++<对任意的实数[1x ∈，3] 及任意的实数[2b ∈，4]恒成立，可得323x x ax b -+<-的最小值， 即为3234x x ax -+<-， 可得243a x x x<--的最小值， 设24()3f x x x x=--，[1x ∈，3]， 导数为24()32f x x x '=-+， 可得12x <<时，()0f x '>，()f x 递增； 23x <<时，()0f x '<，()f x 递减，又f （1）2=-，f （3）43=-，可得()f x 在[1，3]的最小值为2-， 可得2a <-．即有a 的范围是(,2)-∞-． 故答案为：(,2)-∞-．二、解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）已知ABC ∆内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=， （1）求角C（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）(1tan )(1tan )2A B ++=Q tan tan 1tan tan A B A B ∴+=-g， tan tan tan tan()11tan tan A BC A B A B+∴=-+=-=--，34C π∴=（2）ABC ∆Q 得外接圆为单位圆，∴其半径1R =由正弦定理可得2sin 2c R C ==， 由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-， 代入数据可得2222a b ab =++ 22(22)ab ab ab +=+…， 222ab ∴+…，ABC ∴∆得面积11221sin 22222S ab C -==+g …， ABC ∴∆面积的最大值为：212-16．（14分）如图，在四面体ABCD 中，AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，且AFACλ=． （1）若//EF 平面ABD ，求实数λ的值； （2）求证：平面BCD ⊥平面AED ．【解答】解：（1）因为//EF 平面ABD ，易得EF ⊂平面ABC ， 平面ABC ⋂平面ABD AB =， 所以//EF AB ，又点E 是BC 的中点，点F 在线段AC 上，所以点F 为AC 的中点， 由AF AC λ=得12λ=； （2）因为AB AC DB DC ===，点E 是BC 的中点， 所以BC AE ⊥，BC DE ⊥，又AE DE E =I ，AE 、DE ⊂平面AED ， 所以BC ⊥平面AED ， 而BC ⊂平面BCD ， 所以平面BCD ⊥平面AED ．17．（14分）如图，长方形材料ABCD 中，已知23AB =，4AD =．点P 为材料ABCD 内部一点，PE AB ⊥于E ，PF AD ⊥于F ，且1PE =，3PF =．现要在长方形材料ABCD 中裁剪出四边形材料AMPN ，满足150MPN ∠=︒，点M ，N 分别在边AB ，AD 上． （1）设FPN θ∠=，试将四边形材料AMPN 的面积S 表示为θ的函数，并指明θ的取值范围；（2）试确定点N 在AD 上的位置，使得四边形材料AMPN 的面积S 最小，并求出其最小值．【解答】解：（1）在直角NFP ∆中，因为3PF =，FPN θ∠=，所以3tan NF θ=， 所以11(13tan )322APNSNA PF θ∆==+⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（2分）在直角MEP ∆中，因为PE ，3EPM πθ∠=-，所以tan()3ME πθ=-， 所以11(33tan())1223APM S MA PE πθ∆==+-⨯g ． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（4分） 所以31tan tan()3223APN APM S S S πθθ∆∆=+=+-+，[0θ∈，]3π，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（7分）（注：定义域错误扣1分） （2）因为3133tan tan tan()3tan 322322(13tan )S πθθθθθ-=+-+=+++．⋯（9分） 令13tan t θ=+，由[0θ∈，]3π，得[1t ∈，4]，⋯⋯⋯⋯⋯（11分）所以23443433()23323t t S t tt-+=+=++⋯⋯⋯⋯⋯⋯（12分）3433222333t t ⨯⨯⨯+=+…． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（14分）当且仅当233t =时，即23tan 3θ-=时等号成立． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯（15分）此时，233AN =，323min S =+．答：当233AN =时，四边形材料AMPN 的面积S 最小，最小值为323+⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（16分） 18．（16分）已知椭圆222:9(0)E x y m m +=>，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与E 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．（1）若3m =，点K 在椭圆E 上，1F 、2F 分别为椭圆的两个焦点，求12KF KF u u u r u u u u rg 的范围；（2）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；（3）若l 过点(,)3mm ，射线OM 与椭圆E 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时直线l 斜率；若不能，说明理由．【解答】解：（1）3m =，椭圆22:19x E y +=，两个焦点1(22,0)F -，2(22,0)F设(,)K x y ，1(22,)F K x y =+u u u u r ，2(22,)F K x y =-u u u u r，2221212(22,)(22,)881KF KF FK F K x y x y x y y ==+-=+-=-+u u u r u u u u r u u u u r u u u u rg g g ，11y -Q 剟， ∴12KF KF u u u r u u u u rg 的范围是[7-，1]（4分）（2）设A ，B 的坐标分别为1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，则222112222299.x y m x y m ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩两式相减，得12121212()()9()()0x x x x y y y y +-++-=，12121212()()190()()y y y y x x x x +-+=+-，即190OM lk k +=g ，故19OM l k k =-g ；（8分）（3）Q 直线l 过点(,)3m m ，∴直线l 不过原点且与椭圆E 有两个交点的充要条件是0k >且13k ≠． 设(P P x ，)P y ，设直线:()(0,0)3m l y k x m m k =-+≠≠，即:3m l y kx km =-+，由（2）的结论可知1:9OM y x k=-，代入椭圆方程得，2222991P m k x k =+，（10分）由()3my k x m =-+与19y x k=-，联立得222933(,)9191m km k m km M k k ---++．（12分）若四边形OAPB 为平行四边形，那么M 也是OP 的中点，所以02p x x =，即2222229394()9191k m km m k k k -=++，整理得29810k k -+=解得，479k ±=． 所以当479k ±=时，四边形OAPB 为平行四边形．（16分）19．（16分）已知函数()xf x ae =，()g x lnx lna =-，其中a 为常数，且曲线()y f x =在其与y 轴的交点处的切线记为1l ，曲线()y g x =在其与x 轴的交点处的切线记为2l ，且12//l l ．（1）求1l ，2l 之间的距离； （2）若存在x 使不等式()x mx f x ->成立，求实数m 的取值范围； （3）对于函数()f x 和()g x 的公共定义域中的任意实数0x ，称00|()()|f x g x -的值为两函数在0x 处的偏差．求证：函数()f x 和()g x 在其公共定义域内的所有偏差都大于2．【解答】解：（1）()x f x ae '=，1()g x x '=，()y f x =的图象与坐标轴的交点为(0,)a ， ()y g x =的图象与坐标轴的交点为(,0)a ， 由题意得(0)f g '='（a ），即1a a =，又0a >Q ，1a ∴=．（2分）()xf x e ∴=，()g x lnx =，∴函数()y f x =和()y g x =的图象在其坐标轴的交点处的切线方程分别为：10x y -+=，10x y --=，∴两平行切线间的距离为2（4分）（2）由()x mx f x ->，得x x mx e ->，故x m x xe <-在[0x ∈，)+∞有解，令()xh x x xe =-，则()max m h x <，当0x =时，0m <； 当0x >时，1()1()2xh x x e x'=-+Q ，0x >Q ，∴112222x x x x +=g …，1x e >， 1()22xx e x∴+>，故()0h x '<，即()h x 在区间[0，)+∞上单调递减， 故()(0)0max h x h ==，0m ∴<， 即实数m 的取值范围为(,0)-∞．（8分） （3）解法一：Q 函数()y f x =和()y g x =的偏差为：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞，1()xF x e x∴'=-，设x t =为()0f x '=的解， 则当(0,)x t ∈，()0F x '<；当(,)x t ∈+∞，()0F x '>，()F x ∴在(0,)t 单调递减，在(,)t +∞单调递增，1()t t tt F x min e lnt e ln e t e ∴=-=-=+，f 'Q （1）10e =->，1()202f e '=-<，∴112t <<，故11() 2.25222t min F x e t e =+=+>+=， 即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2．（16分） 解法二：由于函数()y f x =和()y g x =的偏差：()|()()|xF x f x g x e lnx =-=-，(0,)x ∈+∞， 令1()xF x e x =-，(0,)x ∈+∞；令2()F x x lnx =-，(0,)x ∈+∞， 1()1x F x e '=-Q ，211()1xF x x x-'=-=，1()F x ∴在(0,)+∞单调递增，2()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增， 11()(0)1F x F ∴>=，22()F x F …（1）1=， 12()()()2xF x e lnx F x F x ∴=-=+>，即函数()y f x =和()y g x =在其公共定义域内的所有偏差都大于2（16分）20．（16分）设数列{}na 的前n 项和为nS ，23nnS a +=，*n N ∈．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足：对于任意的*n N ∈，都有11213211()333n n n n n a b a b a b a b n ---+++⋯+=+-成立．①求数列{}nb 的通项公式；②设数列n n n c a b =，问：数列{}n c 中是否存在三项，使得它们构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）由23n n S a +=，① 得1123n n S a --+=，(2)n …，② 由①-②得120n n n a a a -+-=，即11(2)3n n a a n -=…． 对①取1n =得，110a =≠，所以0n a ≠，所以{}n a 为等比数列，首项为1，公比为13，即11()3n n a -=，*n N ∈．（2）①由11()3n n a -=，可得对于任意*n N ∈．有2111211111()()()333333n n n n n b b b b n ----+++⋯+=+-，③则22212311111()()()363333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，④ 则2311123111111()()()()233333n n n n n b b b b n -----+++⋯+=+-，2n …，⑤ 由③-⑤得21(2)n b n n =-…， 对③取1n =得，11b =也适合上式， 因此21n b n =-，*n N ∈．②由（1）（2）可知1213n n n n n c a b --==，则1121214(1)333n n n n nn n n c c +-+---=-=， 所以当1n =时，1n nc c +=，即12c c =，当2n …时，1n n c c +<，即{}n c 在2n …且*n N ∈上单调递减， 故12345c c c c c =>>>>⋯，假设存在三项s c ，p c ，r c 成等差数列，其中s ，p ，*r N ∈， 由于12345c c c c c =>>>>⋯， 可不妨设s p r <<，则2(*)psrc c c =+，即1112(21)2121333p s r p s r ------=+， 因为s ，p ，*r N ∈，且s p r <<，则1s p -…且2p …， 由数列{}n c 的单调性可知，1s p c c -…，即12212333s p s p ----…， 因为12103r r r c --=>，所以11122(21)2121233333p s r p p s r p --------=+>，即122(21)2333p p p p ---->，化简得72p <， 又2p …且*p N ∈，所以2p =或3p =， 当2p =时，1s =，即121c c ==，由3r …时，21r c c <=， 此时1c ，2c ，r c 不构成等差数列，不合题意．当3p =时，由题意1s =或2s =，即1s c =，又359p c c ==， 代入(*)式得19r c =．因为数列{}nc 在2n …且*n N ∈上单调递减，且519c =， 4r …，所以5r =．综上所述，数列{}nc 中存在三项1c ，3c ，5c 或2c ，3c ，5c 构成等差数列．【选做题】本题包括21、22、23、24四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-1：几何证明选讲]21．如图，四边形ABCD 内接于圆O ，弧¶AB 与弧¶AD 长度相等，过A 点的切线交CB 的延长线于E 点．求证：2AB BE CD =g．【解答】证明：连结AC ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1分） 因为EA 切圆O 于A ，所以EAB ACB ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯（3分） 因为弧AB 与弧AD 长度相等，所以ACD ACB ∠=∠，AB AD =． 于是EAB ACD ∠=∠． ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（5分） 又四边形ABCD 内接于圆O ，所以ABE D ∠=∠． 所以ABE CDA ∆∆∽． 于是AB BECD DA=，即AB DA BE CD =g g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯（9分） 所以2AB BE CD =g ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯（10分）四.[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵2132A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，列向量x X y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，47B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦r ，且AX B =r r ． （1）求矩阵A 的逆矩阵1A -；（2）求x ，y 的值．【解答】解：（1）由21[]32A =，det （A ）223110=⨯-⨯=≠，所以A 可逆， 设1a b A c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则21103201a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦g ， 则21a c +=，20b d +=，320a c +=，321b d +=， 解得2a =，1b =-，3c =-，2d =，∴121[]32A --=-． （2）由AXB =得到121413272X A B --⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，∴12x y =⎧⎨=⎩．， （也可由AX B =得到214327x y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即24327x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得1)2x y =⎧⎨=⎩． [选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知点P 在曲线4cos :3sin (x C y θθθ=⎧⎪=⎨⎪⎩为参数）上，直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），求P 到直线l 距离的最小值．【解答】解：直线2322:3(2x t l y t t ⎧=+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎪⎩为参数），的普通方程为：60x y --=．P 到直线l 距离为：|4cos 3sin 6||5cos()6|22θθθα--+-=，其中3tan 4α=． 当cos()1θα+=时，表达式取得最小值：22．[选修4-5：不等式选讲]24．已知x ，y ，z 均为正数．求证：111x y zyzzx xy x y z ++++…． 【解答】证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()x y y xyz zx z x y z +=+…① 同理可得 2y z xz yx x +…② 2z x xy yz y +…③当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得：111x y z yz zx xy x y z++++… 25．如图所示，在直三棱柱111ABC A B C -中，4CA =，4CB =，122CC =，90ACB ∠=︒，点M 在线段11A B 上．（1）若113A M MB =，求异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值；（2）若直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒，试确定点M 的位置．【解答】解：（1）以C 为坐标原点，分别以CA ，CB ，1CC 所在直线为x 轴，y轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0C ，0，0)，(4A ，0，0)，1(4,0,22)A ，1(0,4,22)B ， 因为113A M MB =，所以(1,3,22)M ，所以1(4,0,22)CA =u u u r ，(3,3,22)AM =-u u u u r，所以111439cos ,39||||2426CA AM CA AM CA AM -〈〉===-u u u r u u u u ru u u r u u u u r g u u u r u u u u r g ． 所以异面直线AM 和1A C 所成角的余弦值为3939； （2）由(4A ，0，0)，(0B ，4，0)，1(0,0,22)C ， 得(4,4,0)AB =-u u u r，1(4,0,22)AC =-u u u u r，设平面1ABC 的法向量为(,,)n a b c =r，由100n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u r r g u u u u r r g 得4404220a b a c -+=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，令1a =，则1b =，2c =，所以平面1ABC 的一个法向量为(1,1,2)n =r， 因为点M 在线段11A B 上，设(,4,22)M x x -，所以(4,4,22)AM x x =--u u u u r，因为直线AM 与平面1ABC 所成角为30︒， 所以1|cos ,|sin302n AM 〈〉=︒=u u u ur r ，由||||||cos ,n AM n AM n AM =〈〉u u u u r u u u u r u u u ur r r r g ，得221|1(4)1(4)222|2(4)(4)82x x x x -+-+=-+-+gg g g g ，解得2x =或6x =，为点M 在线段11A B 上，所以2x =， 即点(2,2,22)M 是线段11A B 的中点．26．在平面直角坐标系xoy 中，已知焦点为F 的抛物线24x y =上有两个动点A 、B ，且满足AF FB λ=u u u r u u u r，过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设两切线的交点为M ． （1）求：OA OB u u u r u u u rg的值； （2）证明：FM AB u u u u r u u u rg 为定值． 【解答】解：（1）设221212(,),(,)44x x A x B xQ 焦点(0,1)F∴221212(,1),(,1)44x x AF x FB x =--=-u u u r u u u rQ AF FB λ=uu u r u u u r ∴122221221212110114444x x x x x x x x λλλ-=⎧⎛⎫⎛⎫⎪-+-=⎛⎫⎨ ⎪ ⎪-=-⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭⎩消得 ()121212104x x x x BR x x ⎛⎫-+=≠⎪⎝⎭Q 化简整理得， 124x x ∴=-221212144x x y y ∴==g∴12123OA OB x x y y =+=-u u u r u u u rg（定值） （2）抛物线方程为21142y x y x '=∴= ∴过抛物线A 、B 两点的切线方程分别为22121122112424x x y x x x y x x x =-+=-+和即221212 1211,1 24242x x x xy x x y x x M+⎛⎫=-=--⎪⎝⎭和联立解出两切线交点的坐标为∴2222221221212121(2)(,)02422x x x x x x x xFM AB x x+---=--=-=u u u u r u u u rg g （定值）。
2021-2022年江苏省高考数学试题
11.已知集合 ， ，若 则实数 的取值范围是 ，其中 ★.
12.设 和 为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若 内的两条相交直线分别平行于 内的两条直线，则 平行于 ；
（2）若 外一条直线 与 内的一条直线平行，则 和 平行；
（3）设 和 相交于直线 ，若 内有一条直线垂直于 ，则 和 垂直；
4.函数 为常数， 在闭区间 上的图象如图所示，则 ★.
5.现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为★.
6.某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 的方差
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上.
1.若复数 ，其中 是虚数单位，则复数 的实部为★.
2.已知向量 和向量 的夹角为 ， ，则向量 和向量 的数量积 ★.
3.函数 的单调减区间为★.
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
设向量
（1）若 与 垂直，求 的值；
（2）求 的最大值;
（3）若 ，求证： ∥ .
16．（本小题满分14分）
如图，在直三棱柱 中， 分别是 的中点，点 在 上，
求证：（1） ∥
学生
1号
2号
3号
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)教学教材
2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷(3月份)2020年江苏省苏锡常镇四市高考数学模拟试卷（3月份）一、填空题（共14题，共70分）1．已知i为虚数单位，复数，则|z|＝．2．已知集合A＝{x|0≤x≤1}，B＝{x|a﹣1≤x≤3}，若A∩B中有且只有一个元素，则实数a的值为2．3．已知一组数据1.6，1.8，2，2.2，2.4，则该组数据的方差是0.08．4．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的一条渐近线方程为，则a＝3．5．甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是．6．如图是一个算法的流程图，则输出的x的值为6．7．“直线l1：ax+y+1＝0与直线l2：4x+ay+3＝0平行”是“a＝2”的必要不充分条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分又不必要”）8．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a1＝9，＝﹣4，则a n＝﹣2n+11．9．已知点M是曲线y＝2lnx+x2﹣3x上一动点，当曲线在M处的切线斜率取得最小值时，该切线的方程为y＝x﹣3．10．已知3cos2α＝4sin（﹣α），α∈（，π），则sin2α＝﹣11．如图，在矩形ABCD中，E为边AD的中点，AB＝1，BC＝2，分别以A、D为圆心，1为半径作圆弧、（E在线段AD上）．由两圆弧、及边BC所围成的平面图形绕直线AD旋转一周，则所形成的几何体的体积为．12．在△ABC中，（﹣λ）⊥（λ＞1），若角A的最大值为，则实数λ的值是3．13．若函数f（x）＝a x（a＞0且a≠1）在定义域[m，n]上的值域是[m2，n2]（1＜m＜n），则a的取值范围是（1，）14．如图，在△ABC中，AB＝4，D是AB的中点，E在边AC上，AE＝2EC，CD与BE交于点O．若OB＝OC，则△ABC面积的最大值是8二、解答题（共6题，共计90分）15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b cos A﹣a sin B＝0．（1）求A；（2）已知a＝2，B＝，求△ABC的面积．16．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，BD⊥DC，△PCD为正三角形，平面PCD⊥平面ABCD，E为PC的中点．（1）证明：AP∥平面EBD；（2）证明：BE⊥PC．17．某地为改善旅游环境进行景点改造．如图，将两条平行观光道l1和l2通过一段抛物线形状的栈道AB连通（道路不计宽度），l1和l2所在直线的距离为0.5（百米），对岸堤岸线l3平行于观光道且与l2相距1.5（百米）（其中A为抛物线的顶点，抛物线的对称轴垂直于l3，且交l3于M），在堤岸线l3上的E，F两处建造建筑物，其中E，F到M 的距离为1（百米），且F恰在B的正对岸（即BF⊥l3）．（1）在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求栈道AB的方程；（2）游客（视为点P）在栈道AB的何处时，观测EF的视角（∠EPF）最大？请在（1）的坐标系中，写出观测点P的坐标．18．如图，在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：的离心率为，且经过点（1，），A，B分别为椭圆C的左、右顶点，过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中D在x轴上方）．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若△AEF与△BDF的面积比为1：7，求直线l的方程．19．已知函数f（x）＝x3﹣mx2+m2x（m∈R）的导函数f'（x）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣f'（x）存在极值，求m的取值范围；（2）设函数h（x）＝f'（e x）+f'（lnx）（其中e为自然对数的底数），对任意m∈R，若关于x的不等式h（x）≥m2+k2在（0，+∞）上恒成立，求正整数k的取值集合．20．已知数列{a n}，{b n}，数列{c n}满足c n＝n∈N*．（1）若a n＝n，b n＝2n，求数列{c n}的前2n项和T2n；（2）若数列{a n}为等差数列，且对任意n∈N*，c n+1＞c n恒成立．①当数列{b n}为等差数列，求证：数列{a n}，{b n}的公差相等；②数列{b n}能否为等比数列？若能，请写出所有满足条件的数列{b n}；若不能，请说明理由．三、附加题21.已知矩阵A＝，B＝，且二阶矩阵M满足AM＝B，求M的特征值及属于各特征值的一个特征向量．22．在平面直角坐标系xOy中，曲线l的参数方程为（θ为参数），以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4sinθ．（1）求曲线C的普通方程；（2）求曲线l和曲线C的公共点的极坐标．23．已知正数x，y，z满足x+y+z＝t（t为常数），且的最小值为，求实数t 的值．24．某商店举行促销反馈活动，顾客购物每满200元，有一次抽奖机会（即满200元可以抽奖一次，满400元可以抽奖两次，依此类推）．抽奖的规则如下：在一个不透明口袋中装有编号分别为1，2，3，4，5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次，每次摸出的小球均不放回口袋，若摸得的小球编号一次比一次大（如1，2，5），则获得一等奖，奖金40元；若摸得的小球编号一次比一次小（如5，3，1），则获得二等奖，奖金20元；其余情况获得三等奖，奖金10元．（1）某人抽奖一次，求其获奖金额X的概率分布和数学期望；（2）赵四购物恰好满600元，假设他不放弃每次抽奖机会，求他获得的奖金恰好为60元的概率．25．已知抛物线C：x2＝4py（p为大于2的质数）的焦点为F，过点F且斜率为k（k≠0）的直线交C于A，B两点，线段AB的垂直平分线交y轴于点E，交AB于点M，抛物线C在点A，B处的切线相交于点G．记四边形AEBG的面积为S．（1）求点G的轨迹方程；（2）当点G的横坐标为整数时，S是否为整数？若是，请求出所有满足条件的S的值；若不是，请说明理由．。
2022年江苏高考数学真题及详细答案解析
2022江苏省高考数学试卷及答案解析2022年普通高等学校招生全国统一考试新高考数学I 卷数学本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目制定区域内相应位置上，如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合{}4＜x x M =，{}13N ≥=x x ，则N M ⋂=（）A.{}20＜x x ≤ B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤231＜x xC.{}163＜x x ≤ D.⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤1631＜x x2.已知()11=-z i ，则=+z z（）A.2- B.1- C.1D.23.在ABC ∆中，点D 在边AB 上，DA BD 2=.记m A C =，n D C =，则=B CA.n m 23-B.n m 32+-C.n m 23+D.nm 32+4.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5m 时，相应水面的面积为140.0km ²；水位为海拔157.5m 时，相应水面的面积为180.0km ².将该水库在这两个水位间的形状看做一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m 上升到157.5m 时，增加的水量约为()65.27≈A.39100.1m⨯ B.39102.1m⨯ C.39104.1m ⨯ D.39106.1m⨯5.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A.61 B.31 C.21 D.326.记函数()()04sin ＞ωπωb x x f +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=的最小正周期为T .若ππ223＜＜T ，且()x f y =的图象关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛223，π中心对称，则=⎪⎭⎫⎝⎛2πf （）A.1B.23 C.25 D.37.设1.01.0ea =，91=b ，9.0ln -=c ，则A.c b a ＜＜ B.a b c ＜＜ C.b a c ＜＜ D.bc a ＜＜8.已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为π36，且333≤≤l ，则该正四棱锥体积的取值范围是（）A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡48118， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡481427， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡364427， D.[]27,18二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省苏州市(新版)2024高考数学苏教版考试(提分卷)完整试卷
江苏省苏州市（新版）2024高考数学苏教版考试(提分卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则（）A．B．C．D．第(2)题函数的零点个数为（）A．0B．1C．2D．3第(3)题某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（）A．2B．4C．D．第(4)题（）A．B．C．D．第(5)题已知函数，则下列结论中正确的是（）A．函数的最小正周期B ．函数的图象关于点中心对称C ．函数的图象关于直线对称D ．函数在区间上单调递增第(6)题若复数，且z和在复平面内所对应的点分别为P，Q，O为坐标原点，则（）A．B．C．D．第(7)题法布里-贝罗研究多光束干涉在薄膜理论中的应用时，用光波依次透过层薄膜，记光波的初始功率为，记为光波经过第层薄膜后的功率，假设在经过第层薄膜时光波的透过率，其中，2，3…，为使得，则的最大值为（）A．31B．32C．63D．64第(8)题已知圆，则下列说法错误的是（）A．点在圆外B．直线平分圆C ．圆的周长为D．直线与圆相离二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题下列选项中正确的有（）A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高C．已知随机变量服从正态分布，则D．若数据的方差为8，则数据的方差为2第(2)题已知定义在上的函数，对任意有，其中；当时，，则（）A．为上的单调递增函数B．为奇函数C．若函数为正比例函数，则函数在处取极小值D．若函数为正比例函数，则函数只有一个非负零点第(3)题已知数列满足，，记数列的前项中奇数项的和为，偶数项的和为，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题在一次期末考试中某学校高三全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则___________.第(2)题记为递增的等比数列的前n项和，若，，则______．第(3)题如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知集合（1）求；（2）求；（3）若，求a的取值范围．第(2)题已知函数.(1)讨论的单调性；(2)若存在两个极值点，，证明：.第(3)题抛物线的焦点为，准线为，若为抛物线上第一象限的一动点，过作的垂线交准线于点，交抛物线于两点.（Ⅰ）求证：直线与抛物线相切；（Ⅱ）若点满足，求此时点的坐标.第(4)题已知，对.(1)求的最小值；(2)求的取值范围.第(5)题已知函数.（1）若不等式恒成立，求实数的取值范围.（2）若,设函数在上的最大值为，求的最小值.。
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷(一)(3月份) (含答案解析)
2020年江苏省南通市尖子生班高考数学模拟试卷（一）（3月份）一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1. 已知集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}，B ={x|0≤x ≤2}，则A ∩B =_________2. 高一某班在合唱比赛中被各评委打出的分数如茎叶图所示，去掉一个最高分和最低分后，所剩数据的平均值为______．3. 复数z 满足(1+i)z =|√3−i|，则z − =________．4. 一颗正方体骰子，其六个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6，将这颗骰子抛掷二次，观察向上的点数，则二次点数之和等于10的概率为_________．5. 执行如图所示的流程图，则输出的M 应为______6. 曲线x 2+4y 2=4关于点M(3,5)对称的曲线方程为__________．7. 已知cos(α−π3)=13，则sin(2α−π6)=______．8. 已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，E 、F 分别为BC 、CD 的中点，则(AE⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ______ ． 9. 已知F 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上的一点，PF ⊥x 轴，若|PF|=34|AF|，则该椭圆的离心率是____.10. 棱长为4的正方体的所有棱与球O 相切，则球的半径等于_______。
11. 已知a >0，函数f(x)=|√2−x 2+12|x −2a |−5|在[−1,1]上的最大值为2，则a =______．12. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若2S n =3a n −2 (n ∈N ∗)，则a 5= ______ ．13. 设椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的两个焦点为F 1，F 2，过F 2的直线l 垂直于x 轴，交椭圆于A ，B 两点且|AB|=1，P 是椭圆上一点，∠F 1PF 2的最大值为120°，当∠F 1PF 2=60°时，S △F 1PF 2=________．14. 已知x 2+4y 2+kz 2=36(其中k >0)且t =x +y +z 的最大值是7，则k =__________．二、解答题（本大题共11小题，共146.0分）15.如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD=π4，AC=72，cos∠ADB=−√210(1)求sin∠C的值；(2)若△ABD的面积为7，求AB的长．16.如图，四边形ABCD是菱形，DE⊥平面ABCD，AF//DE，DE=2AF．(Ⅰ)求证：AC⊥平面BDE；(Ⅱ)求证：AC//平面BEF．17.某学校准备对一块空地ABCD进行绿化改造，其中AD=30m，AB=20m，∠A=90°.同时决定从该空地中划出一个直角三角形地块AEF建学生活动中心(点E,F分别在线段AB,AD上)，且直角三角形AEF的周长为30m，设△AEF的面积为S．(1)设AE=xm，求S关于x的函数关系式，并指出函数的定义域；(2)求直角三角形地块AEF面积S的最大值．18.已知点P(−2,1)在椭圆C：x2a2+y22=1(a>0)上，动点A，B都在椭圆上，且直线AB不经过原点O，直线OP经过弦AB的中点．(1)求椭圆C的方程和直线AB的斜率；(2)求△PAB面积的最大值．19.已知函数f(x)=a(x2−1)−lnx．(1)若y=f(x)在x=2处的切线与y垂直，求a的值；(2)若f(x)≥0在[1,+∞)上恒成立，求a 的取值范围．20. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且 a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n =(n −1)S n +2n(n ∈N ∗).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若p ，q ，r 是三个互不相等的正整数，且p ，q ，r 成等差数列，试判断a p −1，a q −1，a r −1是否成等比数列？并说明理由．21. 已知矩阵A =[12−14]，向量α⃗ =[53]，计算A 5α．22. 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是{x =√32t +m y =12t(t 是参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若圆C 的极坐标方程是ρ=4cosθ，且直线l 与圆C 相切，求实数m 的值．23.已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：1a2+1b4+1c6≥27．24.在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=√3，BC=1，AA1=2，E为A1D的中点．(1)求直线EC1与A1B所成角的余弦值；(2)若F为BC的中点，求直线EC1与平面FA1D1所成角的正弦值．25.设实数c>0，整数p>1，n∈N∗．(1)证明：当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px；(2)数列{a n}满足a1>c1p，a n+1=a n+a，证明：a n>a n+1>c1p．-------- 答案与解析 --------1.答案：{0,1}解析：【分析】本题考查了交集及其运算，是基础题．【解答】解：集合A ={x||x|≤1,x ∈Z}={−1,0,1}，B ={x|0≤x ≤2}，所以，A ∩B ={0,1}，故答案为{0,1}．2.答案：90解析：解：由题意所剩数据：85，87，90，91，93，94，所以平均数x =16(85+87+90+91+93+94)=90，故答案为：90．求出所剩数据，取平均数即可．本题考查了茎叶图和平均数公式，属于基础题． 3.答案：1+i解析：【分析】本题考查复数代数形式的乘除运算与共轭复数的概念，属于基础题．设出z =a +bi ，得到关于a ，b 的方程组，求出z 的共轭复数即可．【解答】解：设z =a +bi ．则(1+i)z =(1+i)(a +bi)=(a −b)+(a +b)i ．又|√3−i|=√3+1=2，所以{a +b =0a −b =2，解得a =1，b =−1， 所以z − =1+i ，故答案是z − =1+i ．4.答案：112解析：【分析】本题考查古典概型概率计算，属于基础题目．利用基本事件数与总事件数之比得出即可．【解答】解：抛掷1颗骰子两次，向上的点数构成6×6=36个基本事件，两次点数之和等于10，包含(4,6)，(5,5)，(6,4)三个基本事件．故所求概率为336=112．故答案为112．5.答案：2解析：解：由题意，执行程序框图，可得i=1，满足条件，则M=11−2=−1，i=2，满足条件，则M=11−(−1)=12，i=3，满足条件，则M=11−12=2，i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．故答案为：2模拟执行程序，依次写出每次循环得到的M，i的值，当i=4不满足条件，退出循环，输出M的值为2．本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断程序运行的功能是解答此类问题的关键，属于基础题．6.答案：(x−6)2+4(y−10)2=4解析：解：设曲线上坐标为(x0,y0)，其关于点M的对称点坐标为(x,y)x关于点M的对称点为x0，y关于点M的对称点为y0则有：x+x02=3,y+y02=5解得x0=6−x,y0=10−y把点(x0,y0)带入椭圆方程x2+4y2=4，得(x−6)2+4(y−10)2=4故答案为：(x−6)2+4(y−10)2=47.答案：−79解析：解：cos(α−π3)=13，sin(2α−π6)=sin[2(α−π3)+π2]=cos2(α−π3) =2cos 2(α−π3)−1=2×(13)2−1=−79． 故答案为：−79．利用诱导公式以及二倍角的余弦化简求解即可．本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，考查计算能力． 8.答案：−92解析：解：如图所示，A(0,0)，B(2,0)，E(2,12)，F(1,1)，D(0,1)．∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,12)，AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)． ∴(AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,32)⋅(−2,1)=−6+32=−92． 故答案为：−92．建立坐标系，利用向量的坐标运算和数量积运算即可得出．本题考查了向量的坐标运算和数量积运算，属于基础题． 9.答案：14解析：【分析】本题考查了椭圆的性质及几何意义，属于基础题．根据P 点坐标及|PF|=34|AF|，可得b 2a =34(a +c)，求解即可． 【解答】解：根据椭圆几何性质可知|PF|=b 2a ， |AF|=a +c ， 所以b 2a =34(a +c) ，即4b 2=3a 2+3ac ，又因为b 2=a 2−c 2，所以有4(a 2−c 2)=3a 2+3ac ，整理可得4c 2+3ac −a 2=0 ，两边同除以a 2得： 4e 2+3e −1=0 ，所以(4e −1)(e +1)=0，由于0<e <1，所以e =14．故答案为14．10.答案：2√2解析：【分析】本题考查了正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长．根据正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长即可求解．【解答】解：正方体的棱相切的球的直径是正方体的面对角线的长为：√42+42=4√2，故R =2√2，故答案为2√2．11.答案：52或7−√102解析：【分析】本题考查绝对值函数的最值的求法，注意运用分类讨论思想方法，以及导数求单调性、极值和最值，考查运算能力，属于难题．由题意可得f(0)≤2，求得a 的范围，去掉一个绝对值，再由最值的取得在顶点和端点处，计算可得a 的值，检验可得a 的值．【解答】解：a >0，函数f(x)=2+12|x −2a |−5|在区间[−1,1]上的最大值是2，可得f(0)≤2，即|√2+a −5|≤2，解得3−√2≤a ≤7−√2，即有f(x)=|√2−x 2−12x +a −5|，−1≤x ≤1，由f(x)的最大值在顶点或端点处取得，即f(−1)=2，即|a −72|=2，解得a =32(舍去)或112；f(1)=2，即|a −92|=2，解得a =52或a =132(舍去)；由y =√2−x 2−12x 的导数为y ′=√2−x 2−12， 当0<x <1时，函数y 递减，可得y ∈(12,√2)， 当−1<x <0，由√2−x 2−12=0，可得x =−√105，可得y =√2−x 2−12x 在x =−√105处取得极大值√102，可得y =√2−x 2−12x 的值域为[12,√102]，由|√102+a −5|=2，解得a =7−√102或3−√102(舍去)， 当a =52时，f(x)=|√2−x 2−12x −52|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x −52的值域为[−2,√10−52]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意；当a =32时，f(x)=|√2−x 2−12x −72|，−1≤x ≤1， 由y =2−12x −72的值域为[−3,√10−72]，可得f(x)的值域为[7−√102,3]不符合题意；当a =7−√102时，f(x)=|√2−x 2−12x +2−√102|，−1≤x ≤1， 由y =√2−x 2−12x +2−√102的值域为[52−√102,2]，可得f(x)的值域为[5−√102,2]符合题意．故答案为：52或7−√102．12.答案：162解析：解：∵2S n =3a n −2， ∴2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)， 两式相减得：2a n =3a n −3a n−1， ∴a nan−1=3(n ≥2)，又2a 1=3a 1−2， ∴a 1=2，∴数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴a 5=2×34=162． 故答案为：162．由2S n =3a n −2可得2S n−1=3a n−1−2(n ≥2)，两式相减，可判断数列{a n }是以2为首项，3为公比的等比数列，从而可得a5的值．本题考查数列的求和及等比关系的确定，求得数列{a n}是以2为首项，3为公比的等比数列是关键，考查推理运算能力，属于中档题．13.答案：√33解析：【分析】本题主要考查了椭圆的几何性质，属于中档题．解焦点三角形求ΔF1PF2的面积．【解答】解：由题意，过F2的直线l垂直于x轴，交椭圆于A，B两点且|AB|=1，故b2a =12，当点P在短轴定点时，∠F1PF2的最大值为120°，故，故a=2b，解得a=2，b=1，c=√3，椭圆方程为x24+y2=1，当∠F1PF2=60°时，|PF1|+|PF2|=4，=(|PF1|+|PF2|)2−3|PF1||PF2|，即12=16−3|PF1||PF2|，解得|PF1||PF2|=43，=12×43×√32=√33，故答案为√33．14.答案：9解析：∵由柯西不等式得(x2+4y2+kz2)(1+14+1k)≥(x+y+z)2，又t max=7，∴36(54+1k)=49，∴k=9.15.答案：解：(1)因为cos∠ADB=−√210,所以sin∠ADB=7√210，又因为，所以sin∠C=sin(∠ADB−π4)=sin∠ADBcosπ4−cos∠ADBsinπ4=7√210⋅√22+√210⋅√22=45．(2)在△ADC中，由正弦定理得ADsin∠C =ACsin∠ADC，故AD=AC⋅sin∠Csin∠ADC =AC⋅sin∠Csin(π−∠ADB)=AC⋅sin∠Csin∠ADB=72×457√210=2√2．．在△ADB中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=8+25−2×2√2×5×(−√210)=37．所以AB=√37．解析：(1)由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB−π4.利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．(2)先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．16.答案：证明：(Ⅰ)因为DE⊥平面ABCD，所以DE⊥AC．因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为DE∩BD=D，所以AC⊥平面BDE．(Ⅱ)设AC∩BD=O，取BE的中点G，连接FG，OG，所以OG//DE且OG=12DE．因为AF//DE，DE=2AF，所以AF//OG且AF=OG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FG//AO．因为FG⊂平面BEF，AO⊄平面BEF，所以AO//平面BEF，即AC//平面BEF．解析：【分析】本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，是中档题．(Ⅰ)利用线面垂直的判定定理证明；(Ⅱ)利用平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行的判定定理证明线面平行．17.答案：解：(1)设AF=ym，则x+y+√x2+y2=30，所以√x2+y2=30−(x+y)，即450−30(x+y)+xy=0，所以y=30(15−x)30−x，所以S=12xy=15x(15−x)30−x．因为0<x<30，0<y<30，所以0<x<15，即函数的定义域为(0,15)．(2)设t=30−x，则x=30−t，15<t<30，所以S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)．因为t+450t ≥2√t⋅450t=30√2，当且仅当t=15√2∈(15,30)时，取“=”，所以S≤−15(30√2−45)=675−450√2，即S的最大值为．答：当AE=30−15√2m时，直角三角形地块AEF面积S的最大值．解析：本题考查函数模型的应用，属一般题目．(1)根据题意得出解析式S=12xy=15x(15−x)30−x，再进一步求定义域即可(2)表示面积为S=15(30−t)(t−15)t =−15(t+450t−45)，再由基本不等式求最值即可．18.答案：解：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得22a2+122=1，解得a 2=8， ∴椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)， 由{y =kx +m x 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，x 0=12(x 1+x 2)=−4km 1+4k 2，y 0=kx 0+m =m1+4k 2，直线OP 经过弦AB 的中点，则k OM =k OP ，y 0x 0=−12，m −4m =−12，∴k AB =12． (2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4， |AB|=√1+122|x 1−x 2|=√1+122⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√1+122⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+122，△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)， 设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，则f′(m)=−[3(m −2)3(m +2)+(m −2)3]=−4(m −2)2(m +1)， 解得f(m)max =f(−1)=27， ∴S max =√27=3√3．解析：(1)将P(−2,1)代入x 2a 2+y 22=1，得椭圆方程为x 28+y 22=1，设直线AB ：y =kx +m ，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，A ，B 的中点为M(x 0,y 0)，由{y =kx +mx 28+y 22=1，得(1+4k 2)x 2+8kmx +4m 2−8=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式，能求出椭圆C 的方程和直线AB 的斜率．(2)当k =12时，由△=16−4m 2>0，得−2<m <2，x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4，|AB|=√1+12|x 1−x 2|=2√1+12⋅√4−m 2，点P 到直线AB ：y =12x +m 的距离d =√1+22△PAB 面积S =12|AB|d =|m −2|√4−m 2=√−(m −2)3(m +2)，设f(m)=−(m −2)3(m +2)，(−2<m <2)，利用导数性质能求出△PAB 面积的最大值．本题考查椭圆方程、直线斜率的求法，考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、点到直线的距离公式、弦长公式、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是难题．19.答案：解：(1)∵f(x)的定义域为(0,+∞)，f ′(x)=2ax −1x ，∴f′(2)=0，即a=18．(2)∵f′(x)=2ax−1x，①当a≤0时，f′(x)<0，∴f(x)在[1,+∞)上单调递减，∴当x>1时，f(x)<f(1)=0矛盾．②当a>0时，f′(x)=2ax2−1x，令f′(x)>0，得x>2a ；f′(x)<0，得0<x<2a．(i)当2a >1，即0<a<12时，x∈2a)时，f′(x)<0，即f(x)递减，∴f(x)<f(1)=0矛盾．(ii)当√2a ≤1，即a≥12时，x∈[1,+∞)时，f′(x)>0，即f(x)递增，∴f(x)≥f(1)=0满足题意．综上：a≥12．解析：本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值及其切线斜率，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于难题．(1)f(x)的定义域为(0,+∞)，令f′(2)=0，解得a．(2)f′(x)=2ax−1x，对a分类讨论，利用导数研究函数的单调性、最值即可得出．20.答案：解：(1)∵a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，∴当n=1时，有a1=(1−1)S1+2，解得a1=2.…(1分)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，①得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，②…(2分)②−①得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2.③…(3分)以下提供两种方法：法1：由③式得：(n+1)(S n+1−S n)=nS n+1−(n−1)S n+2，即S n+1=2S n+2；…(4分)∴S n+1+2=2(S n+2)，…(5分)∵S1+2=a1+2=4≠0，∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．∴S n+2=4×2n−1，即S n=4×2n−1−2=2n+1−2.…(6分)当n≥2时，a n=S n−S n−1=(2n+1−2)−(2n−2)=2n，…(7分)又a1=2也满足上式，∴a n=2n.…(8分)法2：由③式得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2=n(S n+1−S n)+S n+2，得a n+1=S n+2.④…(4分)当n≥2时，a n=S n−1+2，⑤…(5分)⑤−④得：a n+1=2a n.…(6分)由a1+2a2=S2+4，得a2=4，∴a2=2a1.…(7分)∴数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列．∴a n=2n…(8分)(2)解：∵p，q，r成等差数列，∴p+r=2q.…(9分)假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，则(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2，…(10分)即(2p−1)(2r−1)=(2q−1)2，化简得：2p+2r=2×2q.(∗)…(11分)∵p≠r，∴2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，故假设不成立．…(13分)∴a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．…(14分)解析：(1)由a1+2a2+3a3+⋯+na n=(n−1)S n+2n，类比得a1+2a2+3a3+⋯+na n+(n+ 1)a n+1=nS n+1+2(n+1)，两式作差可求得：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2③．法1：由：(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒S n+1=2S n+2，而S1+2=4⇒数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列⇒S n，继而可求得a n；法2：由(n+1)a n+1=nS n+1−(n−1)S n+2⇒a n+1=S n+2，当n≥2时，a n=S n−1+2，两式作差，同理可证数列{a n}是以a1=2为首项，2为公比的等比数列，从而求得a n；(2)p，q，r成等差数列⇒p+r=2q，假设a p−1，a q−1，a r−1成等比数列，可由(a p−1)(a r−1)=(a q−1)2⇒2p+2r=2×2q.(∗)利用基本不等式可得2p+2r>2√2p×2r=2×2q，这与(∗)式矛盾，从而可得a p−1，a q−1，a r−1不是等比数列．本题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，属于难题．]21.答案：[371307解析：【分析】本题考查了矩阵与变换、特征向量，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6=0，解得λ=2或3.分别对应的一个特征向量为[12]；[11].设[35]=m[12]+n[11]解得m ，n ，即可得出． 【解答】解：∵f(λ)=∣∣∣λ−1−21λ−4∣∣∣=λ2−5λ+6，由f(λ)=0，解得λ=2或3． 当λ=2时，对应的一个特征向量为α1=[12]； 当λ=3时，对应的一个特征向量为α2=[11]． 设[35]=m[12]+n[11]，解得{m =2n =1．∴A 5α=2×25[12]+1×35[11]=[371307]．故答案为[371307]． 22.答案：解：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，所以x 2+y 2=4x ，即圆C 的方程为(x −2)2+y 2=4．又由{x =√32t +my =12t (t 是参数)消t ，得x −√3y −m =0，由直线l 与圆C 相切， 所以|2−m |2=2，解得：m =−2或m =6．解析：本题主要考查把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系，属于基础题．把极坐标方程、参数方程化为直角坐标方程，根据直线和圆相切的性质求出m 的值．23.答案：证明：因为正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，所以1≥3√ab 2c 33，即ab 2c 3≤127， 所以1ab 2c 3≥27，因此1a 2+1b 4+1c 6≥331a 2b 4c 6≥27．解析：由正实数a ，b ，c 满足a +b 2+c 3=1，运用三元均值不等式，可得ab 2c 3≤127，再由均值不等式即可得证．本题考查不等式的证明，注意运用三元均值不等式，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 24.答案：解：(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，设直线EC 1与A 1B 所成角为θ，θ∈(0,π2],则各点坐标为A 1(0,0，0)，D(0,1，2)，E(0,12,1)，C 1(√3,1，0)，B(√3,0，2)，所以，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，2)， 所以，cosθ=|EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=√172×√7=2√119119．所以，直线EC 1与A 1B 所成角的余弦值为2√119119; (2)由题意，B(√3,0，2)，C(√3,1，2)，D 1(0,1，0)， 则A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1，0)，因为F 为BC 中点，所以F(√3,12,2)，则A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(√3,12,2)， 设平面FA 1D 1的法向量为n ⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ·A 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ·A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即{√3x +12y +2z =0y =0, 令x =2，则y =0，z =−√3，所以n⃗ =(2,0，−√3)是平面FA 1D 1的一个法向量， 由题(1)知，EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,12,−1)，所以cos <EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=n⃗⃗ ·EC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n ⃗⃗ |·|EC1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | =√3√7·√172=6√357119，所以直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值为6√357119．解析：本题考查利用空间向量求解线面角，线线角，属于中档题．(1)以A 1为坐标原点，{A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ }为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量得出结果;(2)求得平面FA 1D 1的一个法向量为n ⃗ ，即可求出直线EC 1与平面FA 1D 1所成角的正弦值．25.答案：(1)见解析(2)见解析解析：【分析】(1)利用数学归纳法证明当x>−1且x≠0时，(1+x)p>1+px.(2)利用数学归纳法证明a n>a n+1>c 1 p．【详解】证明：(1)用数学归纳法证明如下．①当p=2时，(1+x)2=1+2x+x2>1+2x，原不等式成立．②假设p=k(k≥2,k∈N∗)时，不等式(1+x)k>1+kx成立．当p=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+ 1)x．所以当p=k+1时，原不等式也成立．综合①②可得，当x>−1，x≠0时，对一切整数p>1，不等式(1+x)p>1+px均成立．(2)先用数学归纳法证明an >c1p．①当n=1时，由题设知a1>c1p成立．②假设n=k(k≥1,k∈N∗)时，不等式ak >c1p成立．由a n+1=a n+a易知a n>0，n∈N∗．当n=k+1时，=+a=1+．由ak >c1p>0得−1<−<<0．由(1)中的结论得=>1+p·=．因此a>c，即ak+1>c1p，所以当n =k +1时，不等式an >c1p也成立．综合①②可得，对一切正整数n，不等式an >c1p均成立．再由=1+可得<1，即a n+1<a n．综上所述，an >a n+1>c1p，n∈N∗．【点睛】(1)本题主要考查数学归纳法证明不等式，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)不等式的证明常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法、数学归纳法和反证法，要根据具体情况灵活选择．第21页，共21页。
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)
2022年江苏省高考数学试卷(新高考I)(含答案)一、选择题1. 若函数f(x) = 2x^3 3x^2 + x + 1，则f'(1)的值为多少？A. 6B. 7C. 8D. 9答案：B解析：我们需要求出函数f(x)的导数f'(x)。
根据导数的定义，f'(x) = 6x^2 6x + 1。
将x = 1代入f'(x)中，得到f'(1) = 61^2 6 1 + 1 = 1。
因此，f'(1)的值为1，选项B正确。
2. 若直线y = kx + b与圆(x 2)^2 + (y 3)^2 = 25相切，则k的值是多少？A. 1/2B. 1C. 2D. 3答案：A解析：由于直线与圆相切，它们在切点处具有相同的斜率。
直线的斜率为k，圆的斜率可以通过求导得到。
对圆的方程求导，得到2(x 2) + 2(y 3)y' = 0。
在切点处，x和y的值满足圆的方程，因此可以解出y' = 1/2。
由于直线和圆在切点处斜率相同，所以k = 1/2。
因此，选项A正确。
3. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，d = 3，则S10的值为多少？A. 155B. 165C. 175D. 185答案：C解析：等差数列的前n项和公式为Sn = n/2 (a1 + an)。
由于an = a1 + (n 1)d，代入a1 = 2和d = 3，得到an = 2 + 3(n 1)= 3n 1。
将an代入Sn的公式中，得到Sn = n/2 (2 + 3n 1) =n/2 (3n + 1)。
将n = 10代入，得到S10 = 10/2 (3 10 + 1) = 175。
因此，选项C正确。
4. 若函数f(x) = log2(x) + log2(x + 1)，则f(1)的值为多少？A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C解析：将x = 1代入函数f(x)中，得到f(1) = log2(1) +log2(1 + 1) = log2(1) + log2(2) = 0 + 1 = 1。
江苏省南京市(新版)2024高考数学人教版考试(备考卷)完整试卷
江苏省南京市（新版）2024高考数学人教版考试(备考卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知集合，，若且，则（）A．B．C．0D．1第(2)题随着新能源技术的发展，新能源汽车行业也迎来了巨大的商机.某新能源汽车加工厂生产某款新能源汽车每年需要固定投入100万元，此外每生产x辆该汽车另需增加投资g（x）万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年产量不低于400辆时，，该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（）A．1500万元B．2100万元C．2200万元D．3800万元第(3)题在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限第(4)题已知集合则（）A．B．C．D．第(5)题设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，则第(6)题已知函数在上单调递减，则实数的最大值为（）A．B．C．D．第(7)题已知正数满足，则（）A．B．C．D．第(8)题设函数，在上的导函数存在，且，则当时（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知，下列结论正确的是（）A．对任意实数B ．若，则C ．若，则的最小值是D．若，则第(2)题若则（）A．B．C．D．是纯虚数第(3)题已知函数，．若实数a，b(a，b均大于1)满足，则下列说法正确的是( )A．函数在R上单调递增B．函数的图象关于中心对称C．D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________、________．第(2)题设为第二象限角，若，则__________．第(3)题在正方体中，点P满足，其中，，则下列结论正确的是______.①当时，平面；②当时，与平面所成角的最小值为；③当时，过点、P、C的平面截正方体所得截面均为四边形；④满足到直线的距离与到直线的距离相等的点P恰有两个.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，.(1)求抛物线的标准方程；(2)过的两直线交抛物线于，，且的平分线平行于y轴，试判断的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，说明理由.第(2)题如图，在四棱锥中，平面，菱形的边长2，，．(1)求直线与平面所成角的正弦值；(2)若点F，E分别在线段PB，PC上，且平面，求线段DE的长度．第(3)题已知函数.（1）在所给的坐标纸上作出函数的图像（不要求写出作图过程）；（2）令，求函数的定义域及不等式的解集.第(4)题已知数列满足：，. 正项数列满足：对每个，，且，，成等比数列．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，证明：．第(5)题已知函数，其中且(1)当时，求函数的极值；(2)求函数的单调区间；(3)若存在，使函数，在处取得最小值，试求的最大值.。
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷
2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、填空题（共14小题）1.已知集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，则A∩B＝﹣．2.已知复数z满足（1+i）z＝2i，其中i是虚数单位，则z的模为．3.某校高三数学组有5名党员教师，他们一天中在“学习强国”平台上的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值为．4.根据如图所示的伪代码，输出的a的值为．5.已知等差数列{a n}的公差d不为0，且a1，a2，a4成等比数列，则的值为．6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为．7.在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积为．8.已知函数（ω＞0），若当时，函数f（x）取得最大值，则ω的最小值为．9.已知函数f（x）＝（m﹣2）x2+（m﹣8）x（m∈R）是奇函数，若对于任意的x∈R，关于x的不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，则实数a的取值范围是﹣∞．10.在平面直角坐标系xOy中，已知点A，B分别在双曲线C：x2﹣y2＝1的两条渐近线上，且双曲线C经过线段AB的中点．若点A的横坐标为2，则点B的横坐标为．11.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如．地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M.2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量是2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量的倍．12.已知△ABC的面积为3，且AB＝AC，若，则BD的最小值为．13.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点．若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，则实数a的值组成的集合为﹣．14.已知函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）+2af（x）+1﹣a2＝0有五个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．二、解答题（共11小题）15.如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥平面ABC，PC⊥AB，D，E分别为BC，AC的中点．求证：（1）AB∥平面PDE；（2）平面P AB⊥平面P AC．16.在△ABC中，已知AC＝4，BC＝3，cos B＝﹣．（1）求sin A的值．（2）求的值．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：＝1（a＞b＞0）的焦距为4，两条准线间的距离为8，A，B分别为椭圆E的左、右顶点．（1）求椭圆E的标准方程：（2）已知图中四边形ABCD是矩形，且BC＝4，点M，N分别在边BC，CD上，AM与BN相交于第一象限内的点P．①若M，N分别是BC，CD的中点，证明：点P在椭圆E上；②若点P在椭圆E上，证明：为定值，并求出该定值．18.在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫作图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a的正三角形ABC绕其中心O逆时针旋转θ到三角形A1B1C1，且顺次连结A，A1，B，B1，C，C1，A，得到六边形徽标AA1BB1CC1．（1）当θ＝时，求六边形徽标的面积；（2）求六边形微标的周长的最大值．19.已知数列{a n}满足：a1＝1，且当n≥2时，a n＝λa n﹣1+（λ∈R）．（1）若λ＝1，证明：数列{a2n﹣1}是等差数列；（2）若λ＝2．①设b n＝a2n+，求数列{b n}的通项公式；②设∁n＝，证明：对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．20.设函数（a∈R），其中e为自然对数的底数．（1）当a＝0时，求函数f（x）的单调减区间；（2）已知函数f（x）的导函数f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3）．①求a的取值范围；②若m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，证明：x1＜m1＜x1+1．21.已知a，b∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值3的一个特征向量．（1）求矩阵A；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），求点P的坐标．22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程（t为参数），椭圆C的参数方程为（θ为参数），求椭圆C上的点P到直线l的距离的最大值．23.已知a，b，c都是正实数，且＝1．证明：（1）abc≥27；（2）≥1．24.如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，AB⊥AD，AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．（1）求二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值；（2）若点P为棱AD的中点，点Q在棱AB上，且直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，求AQ的长．25.一只口袋装有形状、大小完全相同的5只小球，其中红球、黄球、绿球、黑球、白球各1只．现从口袋中先后有放回地取球2n次（n∈N*），且每次取1只球．（1）当n＝3时，求恰好取到3次红球的概率；（2）随机变量X表示2n次取球中取到红球的次数，随机变量，求Y的数学期望（用n表示）．2020年江苏省南通市、泰州市高考数学一模试卷参考答案一、填空题（共14小题）1.【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，2}，B＝{﹣1，1，2}，∴A∩B＝{﹣1，2}．故答案为：{﹣1，2}．【知识点】交集及其运算2.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．【解答】解：由（1+i）z＝2i，得．则复数z的模为：．故答案为：．【知识点】复数求模3.【分析】根据题意，由平均数的计算公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，5名党员教师的学习积分依次为35，35，41，38，51，则这5名党员教师学习积分的平均值＝（35+35+41+38+51）＝40，故答案为：40【知识点】众数、中位数、平均数4.【分析】模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a的值．【解答】解：模拟程序语言的运行过程知，该程序的功能是计算并输出a＝1+1+2+3+4＝11．故答案为：11．【知识点】伪代码5.【分析】本题根据等比中项有＝a1a4，然后根据等差数列通项公式代入化简，可得a1与d的关系式，即可得到的值．【解答】解：由题意，可知＝a1a4，∴（a1+d）2＝a1（a1+3d），即+2a1d+d2＝+3a1d．化简，得a1＝d．∴＝1．故答案为：1．【知识点】等差数列与等比数列的综合6.【分析】将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，利用n次独立试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式能求出恰好出现2次正面向上的概率．【解答】解：将一枚质地均匀的硬币先后抛掷3次，则恰好出现2次正面向上的概率为：P＝＝．故答案为：．【知识点】古典概型及其概率计算公式7.【分析】由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，可得：棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B 1B，代入即可得出．【解答】解：如图所示，由正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1＝AB＝2，则三棱锥A1﹣BB1C1的体积＝＝••B1B＝＝．故答案为：．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积8.【分析】由已知可得sin（ω﹣）＝1，利用正弦函数的性质可得ω﹣＝+2kπ，k∈Z，结合ω＞0，可求ω的最小值．【解答】解：当x＝时，f（x）取得最大值，即f（）＝sin（ω﹣）＝1，即ω﹣＝+2kπ，k∈Z，即ω＝12k+5，k∈Z，由于ω＞0，所以当k＝0时，ω的最小值为5．故答案为：5．【知识点】三角函数的最值9.【分析】由已知结合奇函数的定义可求m，然后结合不等式的恒成立与最值的相互关系及二次函数的性质可求．【解答】解：由奇函数的性质可得，f（﹣x）＝﹣f（x）恒成立，即（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x＝﹣（m﹣2）x2﹣（m﹣8）x，故m﹣2＝0即m＝2，此时f（x）＝﹣6x单调递减的奇函数，由不等式f（x2+1）＜f（a）恒成立，可得x2+1＞a恒成立，结合二次函数的性质可知，x2+1≥1，所以a＜1．故答案为：（﹣∞，1）【知识点】二次函数的图象10.【分析】写出双曲线的渐近线方程，从而得到A和B两点的坐标，再利用中点坐标中式求得线段AB的中点，将其代入双曲线的标准方程，即可得解．【解答】解：设点B的横坐标为m，因为双曲线C：x2﹣y2＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，不妨设点A在直线y＝x上，点B在直线y＝﹣x上．则点A坐标为（2，2），点B坐标为（m，﹣m），所以线段AB的中点坐标为，因为双曲线C经过线段AB的中点，所以，解得，故答案为：．【知识点】双曲线的简单性质11.【分析】根据地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．分别计算出：2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量E1，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量E2，利用对数运算性质即可得出．【解答】解：地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．2008年5月汶川发生里氏8.0级地震，它释放出来的能量满足：lgE1＝4.8+1.5×8.0，2019年6月四川长宁发生里氏6.0级地震释放出来能量满足：lgE2＝4.8+1.5×6.0．∴lgE1﹣lgE2＝3，解得：＝103＝1000．故答案为：1000．【知识点】根据实际问题选择函数类型12.【分析】由题意画出图形，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理及△ABC的面积为3得，则，令y＝，再由三角函数求最值，即可求得BD的最小值．【解答】解：如图，设AB＝AC＝x，由，得AD＝，设∠BAC＝θ（0＜θ＜π），由余弦定理可得：cosθ＝，得，①由△ABC的面积为3，得，即，②联立①②，得，∴，令y＝，则y sinθ＝5﹣3cosθ，∴y sinθ+3cosθ＝5，即（θ+φ）＝5，得sin（θ+φ）＝，由，解得y≥4或y≤﹣4（舍）．即，得BD，∴BD的最小值为．故答案为：．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律13.【分析】根据题意，求出AB所在直线的方程，按直角顶点的位置分情况讨论，求出a的值，综合即可得答案．【解答】解：已知圆C1：x2+y2＝8与圆C2：x2+y2+2x+y﹣a＝0相交于A、B两点，则AB所在直线的方程为2x+y﹣a+8＝0，若圆C1上存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形，分2种情况讨论：①，P为直角顶点，则AB为圆C1的直径，即直线2x+y﹣a+8＝0经过圆C1的圆心C1，必有﹣a+8＝0，解可得a＝8；②，A或B为直角顶点，则点C1到直线AB的距离d＝r＝×2＝2，则有d＝＝2，解可得a＝8﹣2或8+2，综合可得：a的取值的集合为{8，8﹣2，8+2}；故答案为：{8，8﹣2，8+2}．【知识点】圆与圆的位置关系及其判定14.【分析】令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象，观察图象可知，函数g（t）在（0，1）及（1，+∞）各有一根，由二次函数的根的分布列出不等式组得解．【解答】解：令f（x）＝t，则g（t）＝t2+2at+1﹣a2，作f（x）的图象如下，设g（t）的零点为t1，t2，由图可知，要满足题意，则需，故，解得．故答案为：．【知识点】函数的零点与方程根的关系二、解答题（共11小题）15.【分析】（1）由中位线的性质可知DE∥AB，由此即可得证；（2）先由P A⊥平面ABC，可证P A⊥AB，再结合已知PC⊥AB，即可证得AB⊥平面P AC，进而得证．【解答】证明：（1）∵D，E分别为BC，AC的中点，∴DE是三角形ABC的一条中位线，∴DE∥AB，∵AB不在平面PDE内，DE在平面PDE内，∴AB∥平面PDE；（2）∵P A⊥平面ABC，AB在平面ABC内，∴P A⊥AB，又PC⊥AB，P A∩PC＝P，且P A，PC都在平面P AC内，∴AB⊥平面P AC，∵AB在平面P AB内，∴平面P AB⊥平面P AC．【知识点】平面与平面垂直的判定、直线与平面平行的判定16.【分析】（1）根据条件可求出，然后根据正弦定理即可求出；（2）可以求出，然后根据cos C＝cos[π﹣（A+B）]即可求出cos C＝，从而由进行数量积的运算即可求出答案．【解答】解：（1）如图，∵，∴，又AC＝4，BC＝3，∴根据正弦定理得，，解得；（2）∵，∴，∴cos C＝cos[π﹣（A+B）]＝﹣cos（A+B）＝sin A sin B﹣cos A cos B＝，∴＝＝＝．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算律17.【分析】（1）根据椭圆的性质列方程组即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）①求得直线AM和BN的方程，联立，求得P点坐标，由P满足椭圆方程，即可判断P在椭圆E上；②解法一：根据直线的斜率公式及直线的斜率公式分别求得直线AP和BP的方程，求得M和N点坐标，表示出，利用P在椭圆上，即可证明为定值；解法二：设直线AP和BP的方程，同理求得M和N点坐标，根据直线斜率公式即可证明为定值．【解答】解：（1）设椭圆的E的焦距为2c，则由题意，得，解得，所以b2＝a2﹣c2＝4，所以椭圆E的标准方程为；（2）①证明：由已知，得M（2，2），N（0，4），B（2，0），直线AM的方程为，直线BN的方程为，联立，解得，即P（，），因为，所以点P在椭圆上；②解法一：设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，，直线AP的方程为，令，得，直线BP的方程，令y＝4，得，所以＝＝＝＝＝．解法二：设直线AP的方程为（k 1＞0），令，得，设直线BP的方程为（k 2＜0），令y＝4，得，所以＝＝|k1k2|，设P（x0，y0），（x0＞0，y0＞0），则，所以k1k2＝•＝＝＝，所以＝．【知识点】椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系18.【分析】（1）由旋转图形的性质可知，图中存在全等三角形，再结合边长和角度的计算以及三角形的正弦面积公式，即可求出六边形徽标的面积；（2）由全等三角形的性质，可知六边形徽标的周长等于3（AA1+BA1），再结合余弦定理和基本不等式的性质，即可得最大值．【解答】解：（1）因为正三角形ABC的边长为a，所以∠AOB＝120°，且OA＝OA1＝OB＝OB1＝OC ＝OC1＝，由旋转图形的性质可知，△A1AC1≌△AA1B≌△B1BA1≌△BB1C≌△C1CB1≌△CC1A，所以∠AA1B＝∠A1BB1＝∠BB1C＝∠B1CC1＝∠CC1A＝∠C1AA1＝120°，在等腰△AOA1中，因为∠AOA1＝θ＝，所以∠AA1O＝，所以∠BA1O＝，因此∠A1OB＝，依此类推可得，∠BOB1＝∠COC1＝，∠B1OC＝∠C1OA＝，所以六边形徽标的面积S＝+＝3（）＝3•＝，故六边形徽标的面积为．（2）由（1）可知，A1A＝B1B＝C1C，A1B＝B1C＝C1A，不妨设A1A＝x，A1B＝y，则六边形徽标的周长L＝3（x+y）．在△AA1B中，由余弦定理得，cos∠AA1B＝cos120°＝所以xx2+y2+xy＝a2，变形得（x+y）2﹣xy＝a2①由基本不等式可知，②由①②解得，x+y≤，当且仅当x＝y＝时取等号所以六边形徽标的周长L＝3（x+y）≤3×＝故六边形徽标的周长的最大值为．【知识点】三角形中的几何计算19.【分析】（1）将λ＝1代入，则可得到，故a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，进而判断为等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，即可求出其通项公式；②∁n＝＝[]（n∈N+），当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【解答】解：（1）当λ＝1时，则根据a1＝1，a n＝a n﹣1+（n≥2），得，所以a2n+1＝a2n﹣1+1，即a2n+1﹣a2n﹣1＝1为常数，即数列{a2n﹣1}是首项为1，公差为1的等差数列；（2）λ＝2时，a1＝1，且当n≥2时，a n＝2a n﹣1+，①当n≥2时，，所以a2n＝4a2n﹣2+2，则a2n+＝4（a2n﹣2+），又因为b n＝a2n+，即有b n＝a2n+＝4（a2n﹣2+），而b1＝a2+＝2a1+＝≠0，所以＝4是常数，所以数列{b n}时首项为，公比为4的等比数列，则b n的通项公式为b n＝•4n﹣1＝•4n（n∈N+）；②由①知，a2n＝b n﹣＝（4n﹣1），a2n﹣1＝a2n＝（4n﹣1），则＝＝＝（）﹣n＝，所以∁n＝＝[]（n∈N+），则C n+1﹣∁n＝﹣＝，当n＝1时，C2﹣C1＝0，则C2＝C1；当n＝2时，C3﹣C2＝0，则C3＝C2；当n≥3时，C n+1﹣∁n＞0，则C n+1＞∁n，故对于任意的p，m∈N*，当p＞m，都有∁p≥∁m．【知识点】数列递推式、等差数列、数列的应用20.【分析】（1）将a＝0代入f（x）中，然后求导，再由f'（x）＜0得到f（x）的单调递减区间；（2）①对f'（x）求导，然后构造函数g（x）＝ax3﹣x+1，再根据f'（x）有三个零点x1，x2，x3（x1＜x2＜x3），得到函数g（x）有三个非零的零点，进一步求出a的范围；②根据m1，m2（m1＜m2）是函数f（x）的两个零点，得到f（m1）＝f（m2）＝0，然后p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），进一步证明x1＜m1＜x1+1．【解答】解：（1）当a＝0时，，其定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），．令f'（x）＜0，则x＞1，∴f（x）的单调递减区间为（1，+∞）．（2）①由，得，设g（x）＝ax3﹣x+1，则导函数f'（x）有三个零点，即函数g（x）有三个非零的零点．又g′（x）＝3ax2﹣1，若a≤0，则g′（x）＝3ax2﹣1＜0，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上是减函数，g（x）至多有1个零点，不符合题意，∴a＞0．令g′（x）＝0，，则当x∈∪时，g'（x）＞0；当x∈，g'（x）＜0，∴g（x）在上单调递减，在和上单调递增，∴，即，∴．又g（0）＝1＞0，∴g（x）在上有且只有1个非零的零点．∵当时，，，且，又函数g（x）的图象是连续不间断的，∴g（x）在和上各有且只有1个非零的零点，∴实数a的取值范围是．②由f（m1）＝f（m2）＝0，得，设p（x）＝ax2﹣ax﹣1（a＞0），且p（m1）＝p（m2）＝0，∴．又∵m1＜m2，∴m1＜0＜m2．∴x＜m1或x＞m2时，p（x）＞0；m1＜x＜m2时，p（x）＜0．由①知a＞0，x1＜0＜x2＜x3．∵，∴，，∴，，∴x1＜m1＜x1+1成立．【知识点】利用导数研究函数的极值、利用导数研究函数的单调性21.【分析】（1）由矩阵特征向量，特征值得关系，可以得到满足的等式，代入可得．（2）直接由矩阵变换，代入等式可求．【解答】解：（1）由矩阵特征值和特征向量的关系可知：Aα＝3α，带入可知：＝3，即，解得a＝2，b＝﹣1，故矩阵A＝．（2）设P为（x，y），因为点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P'（2，2），所以，解得x＝1，y＝0，故P（1，0）．【知识点】矩阵与矩阵的乘法的意义、特征值与特征向量的计算22.【分析】首先把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：已知直线l的参数方程（t为参数），转换为直角坐标方程为x+2y+3＝0，椭圆C的参数方程为（θ为参数），设椭圆上的点P（2cosθ，sinθ）到直线l的距离d＝＝，当sin（）＝1时，．【知识点】参数方程化成普通方程23.【分析】（1）利用，即可得证；（2）利用基本不等式直接证明即可．【解答】证明：（1）∵a，b，c都是正实数，∴，又∵＝1，∴，即abc≥27，得证；（2）∵a，b，c都是正实数，∴，，，由①+②+③得，，∴，得证．【知识点】不等式的证明24.【分析】（1）推导出AB⊥AA1，AD⊥AA1，AB⊥AD，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），求出平面B1PQ的法向量，利用向向量能求出AQ．【解答】解：（1）在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，∵AA1⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，∴AB⊥AA1，AD⊥AA1，∵AB⊥AD，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB＝AD＝AA1＝2BC＝2．∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，2，0），A1（0，0，2），B1（2，0，2），C1（2，1，2），D1（0，2，2），＝（﹣2，2，0），＝（0，1，﹣2），设平面B1CD1的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，则＝（2，2，1），∵AB⊥平面B1C1C，∴平面B1CC1的一个法向量＝（2，0，0），设二面角C1﹣B1C﹣D1的的平面角为α，由图形得锐角，∴二面角C1﹣B1C﹣D1的余弦值为：cosα＝＝．（2）设AQ＝λ（0≤λ≤2），则Q（λ，0，0），∵点P是AD中点，则P（0，1，0），＝（λ，﹣1，0），＝（λ﹣2，0，﹣2），设平面B1PQ的法向量＝（x，y，z），则，取x＝2，得＝（2，2λ，λ﹣2），设直线B1C与平面B1PQ所成角大小为β，∵直线B1C与平面B1PQ所成角的正弦值为，∴sinβ＝＝＝，解得λ＝1或．∴AQ＝1．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题、直线与平面所成的角25.【分析】（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，由此能求出当n＝3时，恰好取到3次红球的概率．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），E（Y）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，由此求出．从而能求出E（Y）．【解答】解：（1）当n＝3时，从装有5只小球的口袋中有放回地取球6次，共有n＝56个基本事件，记“恰好取到3次红球”为事件A，则事件A包含的基本事件个数为m＝，∴当n＝3时，恰好取到3次红球的概率P（A）＝＝．（2）由题意知随机变量Y的所在可能取值为0，1，3，5，…，2n﹣1，（n∈N*），则P（Y＝2t+1）＝•（2i+1）＝＝．（0≤i≤n﹣1，i∈N），∴E（Y）＝0•P（Y＝0）+3P（Y＝3）+5P（Y＝5）+…+（2n﹣1）P（Y＝2n﹣1）＝（+++…+），令x n＝+++…+，y n＝++，则，x n﹣y n＝（4﹣1）2n﹣1＝32n﹣1．∴．∴E（Y）＝＝＝．【知识点】离散型随机变量的期望与方差。
2024年江苏省高考各科试卷结构
题型
题数
分值
总分值
现代文阅读
现代文阅读1（5小题）
现代文阅读2（4小题）
19
16
35
古代诗文阅读
文言文阅读（5小题）
古代诗歌阅读（2小题）
名篇名句默写（6空）
22
9
6
37
语言文字运用
5
18
18
写作
60
2024年江苏省高考数学试卷结构（新高考I卷）（总150分）
题型
题数
分值
总分值
单项选择题
22
2
44
非选择题
3
18+20+18
56
2024年江苏省高考化学试卷结构（总100分）
题型
题数
分值
总分值
单项选择题
13
3
39
非选择题
4
15+15+15+16
61
1
1.5×10
30
写作
第1节
第2节读后续写
15
25
40
2024年江苏省高考物理试卷结构（总100分）
题型
题数
分值
总分值
单项选择题
7
4
28
多项选择题
3
5
15
非选择题
必考题（2个填空和2个计算）
选考题2个（每题1个单选和一个计算）选作1题
45
12
57
2024年江苏省高考历史试卷结构（总100分）
题型
题数
题型
题数
分值
总分值
单项选择题