考研数学三解答题专项强化真题试卷56(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷56(题后含答案及解析)
题型有：1.
1．设矩阵A=，β=，且方程组Ax=β无解．(Ⅰ)求a的值；(Ⅱ)求方程组ATAx=ATβ的通解．
正确答案：(I)对矩阵(Aβ)施以初等行变换由方程组无解知，秩（Aβ)＞秩A，即－a2+2a=0，且a－2≠0，解得a=0.(Ⅱ)对矩阵(ATATβ)以初等行变换(ATAT β)=所以，方程组ATAx=ATβ的通解x=(k为任意常数)
2．[2009年] 求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．
正确答案：令fx’(x，y)=2x(2+y2)=0，fy’(x，y)=2x2y+lny+1=0，得其驻点为(0，1／e)．又fxx”=2(2+y2)，fyy”=2x2+1／y，fxy”=4xy，因A=fxx”＞0 而B2－AC=(fxy”)2－fxx”fyy”＜0，故二元函数存在极小值，且f(0，1／e)=－1／e就是它的极小值．涉及知识点：多元函数微积分学3．[2006年] 四维向量组α1=[1+a，1，1，1]T，α2=[2，2+a，2，2]T，α3=[3，3，3+a，3]T，α4=[4，4，4，4+a]T．问a为什么数时，α1，α2，α3，α4线性相关?在α1，α2，α3，α4线性相关时求其一个极大线性无关组，并且把其余向量用该极大线性无关组线性表出．
正确答案：解一若α1，α2，α3，α4线性相关，即|α1，α2，α3，α4|=0，而|α1，α2，α3，α4|=a3(a+10)，于是当a=0或－10时，α1，α2，α3，α4线性相关．当a=0时，α1是α1，α2，α3，α4的极大无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a=－10时，用初等行变换求其极大无关组．显然β1，β2，β3为β1，β2，β3，β4的一个极大线性无关组，且β4=－β1－β2－β3．由于矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的线性关系，故α1，α2，α3是α1，α2，α3，α4的一个极大无关组，且α4=－α1－α2－α3．解二设A=[α1，α2，α3，α4]，对A进行初等行变换，得到当a=0时，A的秩等于1，因而α1，α2，α3，α4线性相关．此时α1为α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组，且α2=2α1，α3=3α1，α4=4α1．当a≠0时，再对B施以初等行变换，得到如果a≠－10，C的秩为4，从而A的秩也为4，故α1，α2，α3，α4线性无关．如果a=－10，C的秩为3，从而A的秩也为3，故α1，α2，α3，α4线性相关．由于v2，v3，v4为v1，v2，v3，v4的一个极大线性无关组，且v1=－v2－v3－v4，因矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量组之间的关系，故α2，α3，α4为α1，α2，α3，α1的一个极大线性无关组，且α1=－α2－α3－α4．涉及知识点：线性代数
4．(15年)(Ⅰ)设函数u(χ)，v(χ)可导，利用导数定义证明[u(χ)v(χ)]′
＝u′(χ)v(χ)＋u(χ)v′(χ)；(Ⅱ)设函数u1(χ)，u2(χ)，…，un(χ)可导，f(χ)＝u1(χ)u2(χ)…un(χ)，写出f(χ)的求导公式．
正确答案：(Ⅰ)令f(χ)＝u(χ)v(χ)，由导数定义得(Ⅱ)若f(χ)＝u1(χ)u2(χ)…un(χ)，则f′(χ)＝u′1(χ)u2(χ)…un(χ)＋u1(χ)u′2(χ)…un(χ)＋…＋u1(χ)u2(χ)…u′n(χ)．涉及知识点：微积分5．(13年)设平面区域D由直线χ＝3y，y＝3y及χ＋y＝8围成，计χ2d χdy．
正确答案：涉及知识点：微积分
6．(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．
正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ上式两端对t求导得f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0．涉及知识点：微积分
7．(12年)已知函数f(χ)满足方程f〞(χ)＋f′(χ)－2f(χ)＝0及f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ．(Ⅰ)求f(χ)的表达式；(Ⅱ)求曲线y＝f(χ2)∫0χf(－t2)dt 的拐点．
正确答案：(Ⅰ)联立得f′(χ)－3f(χ)＝－eχ，因此f(χ)＝e∫3d χ(∫(－2eχ)e－∫3dχdχ＋C)＝eχ＋Ce3χ代入f〞(χ)＋f(χ)＝2eχ，得C＝0，所以f(χ)＝eχ．当χ＜0时，y〞＜0；当χ＞0时，y〞＞0，又y(0)＝0，所以曲线的拐点为(0，0)．涉及知识点：微积分
8．(07年)设3阶实对称矩阵A的特征值λ1＝1，λ2＝2，λ3＝－2，且α1＝(1，－1，1)T是A的属于λ1的一个特征向量．记B＝A5－4A3＋E，其中E为3阶单位矩阵．(Ⅰ)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；(Ⅱ)求矩阵
B．
正确答案：(Ⅰ)记矩阵A的属于特征值λi的特征向量为αi(i＝1，2，3)，由特征值的定义与性质，有Akαi＝λikαi(i＝1，2，3，k＝1，2，…)，于是有Bα1＝(A5－4A3＋E)α1＝(λ15－4λ13＋)α1＝－2α1 因α1＝≠0，故由定义知－2为B的一个特征值且α1为对应的一个特征向量．类似可得Bα2＝(λ25－4λ23＋1)α2＝α2 Bα3＝(λ35－4λ33＋1)α3＝α3 因为A
的全部特征值为λ1，λ2，λ3，所以B的全部特征值为λi5－4λi3＋(i＝1，2，3)，即B的全部特征值为－2，1，1．因－2为B的单特征值，故B的属于特征值－2的全部特征向量为k1α1，其中k1是不为零的任意常数．设χ＝(χ1，χ2，χ3)T为B的属于特征值1的任一特征向量．因为A是实对称矩阵，所以B也是实对称矩阵．因为实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以有(χ1，χ2，χ3)α1＝0，即χ1－χ2＋χ3＝0 解得该方程组的基础解系为ξ2＝(1，1，0)T，ξ3＝(－1，0，1)T 故B的属于特征值1的全部特征向量为忌k2ξ2＋k3ξ3，其中k2，k3为不全为零的任意常数．(Ⅱ)由(Ⅰ)知α1，ξ2，ξ3为B的3个线性无关的特征向量，令矩阵涉及知识点：线性代数
设二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，记
9．证明二次型f对应的矩阵为2ααT+ββT．
正确答案：记x=，由于f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2=2xT(ααT)x+xT(ββT)x=xT (2ααT+ββT)xT，2ααT+ββT为对称矩阵，所以二次型f的矩阵为2ααT+ββT．涉及知识点：线性代数
10．若α，β正交且均为单位向量，证明f在正交变换下的标准形为2y12+y22．
正确答案：记矩阵A=2ααT+ββT．由于α，β正交且为单位向量，即αTα=1，βTβ=1，αTβ=βTα=0，所以Aα=(2ααT+ββT)α=2α，αβ=(2ααT+ββT)β=β，于是λ1=2，λ2=1是矩阵A的特征值．又r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)≤2，所以λ3=0是矩阵A的特征值．由于f在正交变换下的标准形中各变量平方项的系数为A的特征值，故f在正交变换下的标准形为2y12+y22．涉及知识点：线性代数。
考研数学三填空题专项强化真题试卷3(题后含答案及解析)
考研数学三填空题专项强化真题试卷3(题后含答案及解析)题型有：1.1．[2016年] 行列式正确答案：λ4+λ3+2λ2+3λ+4解析：知识模块：线性代数2．设函数f(x)连续，φ(x)＝xf(t)dt．若φ(1)＝1，(1)＝5，则f(1)＝_________．正确答案：23．(93年)已知y＝，f′(χ)＝arctanχ2，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分4．(09年)设某产品的需求函数为Q＝Q(p)，其对价格P的弹性εp＝0．2，则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加_______．正确答案：8000解析：由于收益R＝pQ(p) ＝pQ′(p)＋Q(p) 而0．2＝ξp＝则pQ′(p)＝(－0．2)×Q(p) 故＝(－(－0．2)×Q(p)＋Q(p) ＝0．8Q(p)＝0．8×10000＝8000 知识模块：微积分5．(00年)设z＝，其中f，g均可微，则＝_______．正确答案：解析：知识模块：微积分6．(2005年)极限=______。
正确答案：2解析：知识模块：微积分7．(2007年)(sinx+cosx)=_______。
正确答案：0解析：因为知识模块：微积分8．设，A*是A的伴随矩阵，则(A*)-1=_______．正确答案：解析：由A*A=∣A∣E，当∣A∣≠0时，得，故有(或者由A-1=)，而∣A ∣=10，所以本题主要考查逆矩阵、伴随矩阵的概念及它们之间的关系．必须理解并牢记公式AA*=A*A=∣A∣E，因为它是处理A的逆矩阵及伴随矩阵有关问题的一个基本公式．从解答中可见，只要弄清楚A、A-1及A*之间的关系，本题并不需要求出A*．知识模块：线性代数9．(2004年)函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=______．正确答案：应填解析：令xg(y)=u，y=v，则10．已知矩阵，若线性方程组Ax=b有无穷多解，则a= ________．正确答案：1解析：当a=1时，r(A)==2＜3，方程组Ax=b有无穷多解，故a=1．。
考研数学三解答题专项强化真题试卷39(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷39(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：2．(11年)已知函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，f(1，1)＝2是f(u，v)的极值，z＝f(χ＋y，f(χ，y))．求．正确答案：＝f′(χ＋y，f(χ，y))＋f′(χ＋y，f(χ，y)).f′(χ，y)．＝f〞11(χ＋y，f(χ，y))＋f〞12(χ＋y，f(χ，y)).f′2(χ，y)＋f〞12(χ，y).f′2(χ＋y，f(χ，y))＋f′1(χ，y)[f〞21(χ＋y，f(χ，y))＋f〞22(χ＋y)，f(χ，y)).f′2(χ，y)]．由题意知f′1(1，1)＝0，f′2(1，1)＝0，从而＝f〞11(2，2)＋f′2(2，2)f〞12(1，1)．涉及知识点：微积分3．(97年)设函数f(t)在[0，＋∞)上连续，且满足方程求f(t)．正确答案：显然，f(0)＝1，由于从而有f(t)＝上式两边对t求导得f′(t)＝8πt＋8πtf(t) 解上述关于f(t)的一阶线性微分方程得代入f(0)＝1，得C＝1，因此f(t)＝(4πt2＋1) 涉及知识点：微积分4．(97年)设随机变量X的绝对值不大于1，P(X＝－1)＝，P(X＝1)＝．在事件{－1＜X＜1}出现的条件下，X在区间(－1，1)内的任一子区间上取值的条件概率与该子区间的长度成正比．试求X的分布函数F(χ)＝P(X≤χ)．正确答案：由F(χ)＝P(X≤χ)，以及P(｜X｜≤1)＝1 所以，当χ＜－1时，F(χ)＝0；而F(－1)＝P(X≤－1)＝P(X＝－1)＝；当χ≥1时，F(χ)＝1．当－1＜χ＜1时，由题意知：P{－1＜X≤χ｜－1＜X＜1}＝K(χ＋1) 其中K为比例系数，为一常数．由已知可得p(－1＜χ＜1)＝1－P(X＝－1)－P(X＝1)＝1－∴P(－1＜X≤χ｜－1＜X＜1)＝得P(－1＜X≤χ)＝K(χ＋1)＝K′(χ＋1)，其中K′＝K为常数．故F(χ)＝P(X≤χ)＝P(－1＜χ≤χ)＋P(X＝－1)＝K′(χ＋1)＋而＝P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝1－(2K′＋)，得K′＝故最终得：涉及知识点：概率论与数理统计5．将长为2m的铁丝分成三段，依次围成圆、正方形与正三角形．三个图形的面积之和是否存在最小值?若存在，求出最小值．正确答案：设铁丝分成的三段绳长分别为x，y，z，则x+y+z=2．从而所求最值问题转化为求解多元函数的条件极值问题．从而得唯一驻点(一2πλ，一8λ，)．由问题的实际背景可知，在该驻点处，S取得最小值．因此6．设三阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α1=(1一，2，一1)T，α2=(0，一1，1)T是线性方程组Ax=0的两个解。
考研数学三选择题专项强化真题试卷6(题后含答案及解析)
考研数学三选择题专项强化真题试卷6(题后含答案及解析)题型有：1.1．函数的可去间断点的个数为A．0B．1C．2D．3正确答案：B解析：2．(05年)设f(χ)＝χsinχ＋cosχ，下列命题中正确的是【】A．f(0)是极大值，f()是极小值．B．f(0)是极小值，f()是极大值．C．f(0)是极大值，f()也是极大值．D．f(0)是极小值，f()也是极小值．正确答案：B解析：f′(χ)＝sinχ＋χcosχ－sinχ＝χcosχ，f〞(χ)＝cosχ－χsinχf′(0)＝0，f〞(0)＝1＞0，则f(0)是极小值．，则是极大值．故应选B．知识模块：微积分3．(07年)设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是【】A．α1－α2，α2－α3，α3－α1．B．α1＋α2，α2＋α3，α3＋α1．C．α1－2α2，α2－2α3，α3—2α1．D．α1＋2α2，α2＋2α3，α3＋2α1．正确答案：A解析：观察易知(α1－α2)＋(α2－α3)＋(α3－α1)＝0 即选项A 中3个向量之和为零向量，故为线性相关组，从而知选项A正确．知识模块：线性代数4．(96年)设f(χ)处处可导，则A．当f′(χ)＝＋∞时，必有f(χ)＝＋∞．B．当f(χ)＝＋∞时，必有f′(χ)＝＋∞．C．当f′(χ)＝－∞时，必有f(χ)＝－∞．D．当f(χ)＝－∞时，必有f′(χ)＝－∞．正确答案：A解析：令f(χ)＝χ，则f′(χ)≡1 f(χ)＝＋∞，但f′(χ)＝1≠＋∞f(χ)＝－∞，但f′(χ)＝1≠－∞则选项B和D均不正确若令f(χ)＝χ2，则f′(χ)＝2χ＝－∞，但f(χ)＝＋∞≠－∞所以C也不正确，故应选A．5．设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs 线性表示．下列命题正确的是【】A．若向量组Ⅰ线性无关，则r≤s．B．若向量组Ⅰ线性无关，则r＞s．C．若向量组Ⅱ线性无关，则r≤s．D．若向量组Ⅱ线性无关，则r＞s．正确答案：A解析：解1 由于(Ⅰ)可由(Ⅱ)线性表示，所以有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)，而r(Ⅱ)≤S，当(Ⅰ)线性无关时，就有r=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤S，所以选项(A)正确．解2 设V 是由向量组(Ⅱ)生成的向量空间，则V的维数≤S，由条件知，当(Ⅰ)线性无关时，V的维数≥r，故有r≤S，从而知选项(A)正确．本题考查向量组的线性相关性与向量组的秩的关系、线性表示问题与向量组的秩的关系及有关性质．本题结论在不少教材中都是作为一个定理给出的(例如：魏战线编《线性代数与解析几何》，高等教育出版社，2004年7月第1版，第147页，定理4．3．1)，这是关于向量组之阀线性关系的一个基本性质．知识模块：线性代数6．设A为3阶矩阵，将A的第2列加到第1列得矩阵B，再交换B的第2行与第3行得单位矩阵．记P1=，则A=( )A．P1P2．B．P1－1P2．C．P2P1．D．P2P1－1．正确答案：D解析：由题设条件有P2AP1=I，两端左乘P2－1，两端右乘P1－1，得A=P2－1P1－1，因P2－1=P2，而P1－1≠P1，故只有D正确．知识模块：线性代数7．(2005年)设其中D={(x，y)}x2+y2≤1}，则( )A．I3＞I2＞I1B．I1＞I2＞I3C．I2＞I1＞I3D．I3＞I1＞I2正确答案：A解析：由于当cosx是减函数，而当0≤x2+y2≤1时，≥x2+y2≥(x2+y2)，即I1≤I2≤I38．设A是m×n矩阵，B是n×m矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )A．当n＞m时仅有零解．B．当n＞m时必有非零解．C．当m＞n时仅有零解．D．当m＞n时必有非零解．正确答案：D解析：1 注意AB为m阶方阵，方程组(AB)x=0有非零解(只有零解)(AB)＜m(r(AB)=m)．当m＞n时，有r(AB)≤r(A)≤n＜m故当m＞n时，方程组(AB)x=0必有非零解．可以举例说明备选项A、B都不对．故只有D正确．2 B为n×m 矩阵，当n＜m时，齐次线性方程组Bx=0必有非零解，从而知当n＜m时，齐次线性方程组ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解．知识模块：线性代数9．设A是n阶实对称矩阵，P是n阶可逆矩阵．已知n维列向量α是A 的属于特征值λ的特征向量，则矩阵(P－1AP)T属于特征值λ的特征向量是( )A．P－1αB．PTαC．PαD．(P－1)Tα正确答案：B解析：由条件有AT=A，Aα=λα，故有(P－1AP)T(PTα)=PTA(PT)－1PT α=PTAα=PTλα=λ(PTα)因为PTα≠0(否则PTα=0，两端左乘(PT)－1，得α=0，这与特征向量必为非零向量矛盾)，故由特征值与特征向量的定义，即知非零向量PTα是方阵(PTAP)T的属于特征值λ的特征向量．因此，B正确．知识模块：线性代数10．(1998年)设F1(x)与F2(x)分别为随机变量X1与X2的分布函数。
考研数学三(微积分)模拟试卷57(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷57(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．积分=( )A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：微积分2．设N=∫-aax2sin3xdx，P=∫-aa(x3ex2-1)dx，Q=∫-aacos2dx，a≥0，则( )A．N≤P≤QB．N≤Q≤PC．Q≤P≤ND．P≤N≤Q正确答案：D解析：x2sin3x是奇函数，故N=0，x3ex2是奇函数，故P=∫-aa(-1)dx=-2a ≤0，Q=2 ∫0acos2x3dx≥0，所以P≤N≤Q．知识模块：微积分3．设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数y=∫abf(t)dt|x-t|φ(t)dt的图形在(a，b)内( )A．为凸B．为凹C．有拐点D．有间断点正确答案：B解析：先将Ф(x)利用|x—t|的分段性分解变形，有Ф(x)=∫ax(x一t)φ(t)dt+∫xb(t一x)φ(t)dt=x∫axφ(t)dt—∫axtφ(t)dt+∫xb tφ(t)dt一x∫xb φ(t)dt．因为φ(t)在[a，b]上连续，所以Ф(x)可导，因而答案不可能是(D)．为讨论其余三个选项，只需求出Ф”(x)，讨论Ф”(x)在(a，b)内的符号即可．因Ф’(x)=∫axφ(t)dt一∫xbφ(x)dt，Ф”(x)=2φ(x)＞0，x∈[a，b]，故y=Ф(x)的图形为凹，应选(B)．知识模块：微积分4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项(A)中，知识模块：微积分填空题5．xx(1+ln x)的全体原函数为________．正确答案：x2+C，其中C为任意常数解析：因为(x2)’=(exlnx)’=x2(1+ln x)，所以∫x2(1+ln x)dx=x2+C。
知识模块：微积分6．积分=________．正确答案：+C，其中C为任意常数解析：知识模块：微积分7．=________．正确答案：其中C为任意常数解析：知识模块：微积分8．已知∫01 f(1)=0，则∫01xf’(x)dx=________．正确答案：一1解析：此积分的计算要用分部积分法，原积分=∫01xf’(x)dx=∫01 xdf(x)=[xf(x)]|01一∫01f(x)dx=-1．知识模块：微积分9．设f(x)为连续函数，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=________．正确答案：解析：由变限积分求导公式即知。
考研数学(数学三)模拟试卷360(题后含答案及解析)
考研数学（数学三）模拟试卷360(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．=A．1．B．．C．．D．一1．正确答案：B解析：2．函数f(x)=cosx+xsinx在(一2π，2π)内的零点个数为A．1个．B．2个．C．3个．D．4个．正确答案：D解析：3．设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)+f(1一x)≠0，则=A．0．B．．C．．D．1．正确答案：B解析：该积分不可能直接计算，需作变量替换得出一个类似的积分，二者合并后消去f(x)．令1一x=t，x=1一t则4．设函数f(r)当r＞0时具有二阶连续导数，令，则当x，y，z与t不全为零时=A．B．C．D．正确答案：C解析：5．已知，则代数余子式A21+A22=A．3．B．6．C．9．D．12．正确答案：B解析：6．已知α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列命题中错误的是A．如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．B．如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，那么α1，α2，α4也线性相关．C．如果α3不能由α1，α2线性表出，α4不能由α2，α3线性表出，则α1可以由α2，α3，α4线性表出．D．如果秩r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．正确答案：B解析：例如α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，α3=(0，2，0)T，α4=(0，0，1)T，可知(B)不正确．应选(B)．关于(A)：如果α1，α2，α3线性无关，又因α1，α2，α3，α4是4个3维向量，它们必线性相关，而知α4必可由α1，α2，α3线性表出．关于(C)：由已知条件，有(I)r(α1，α2)≠r(α1，α2，α3)，(Ⅱ)r(α2，α3)≠r(α2，α3，α4)．若r(α2，α3)=1，则必有r(α1，α2)=r(α1，α2，α3)，与条件(I)矛盾．故必有r(α2，α3)=2．那么由(Ⅱ)知r(α2，α3，α4)=3，从而r(α1，α2，α3，α4)=3．因此α1可以由α2，α3，α4线性表出．关于(D)：经初等变换有(α1，α1+α2，α2+α3)→(α1，α2，α2+α3)→(α1，α2，α3)，(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)→(α4，α1，α2，α3)→(α1，α2，α3，α4)，从而r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)．因而α4可以由α1，α2，α3线性表出．7．在区间(一1，1)上任意投一质点，以X表示该质点的坐标．设该质点落在(一1，1)中任意小区间内的概率与这个小区间的长度成正比，则A．X与｜X｜相关，且相关系数｜ρ｜=1．B．X与｜X｜相关，但｜ρ｜＜1．C．X与｜X｜不相关，且也不独立．D．X与｜X｜相互独立．正确答案：C解析：8．设随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立，，则当n→∞时Yn以正态分布为极限分布，只要X1，…，Xn，…A．服从同一离散型分布．B．服从同一连续型分布．C．服从同参数的超几何分布．D．满足切比雪夫大数定律．正确答案：C解析：根据林德伯格一列维中心极限定理，如果X1，X2，…Xn，…相互独立同分布且期望、方差都存在，只有(C)满足该定理条件，因此应选(C)．填空题9．与曲线(y一2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)处的切线垂直，则此直线方程为__________．正确答案：解析：10．设，g(x)在x=0连续且满足g(x)=1+2x+o(x)(x→0)．又F(x)=f[g(x)]，则F’(0)=____________．正确答案：4e解析：11．累次积分=____________．正确答案：解析：12．设，其中f(u，v)是连续函数，则dz=___________·正确答案：解析：13．已知矩阵只有一个线性无关的特征向量，那么矩阵A的特征向量是__________.正确答案：k(一1，1，1)T，k≠0为任意常数解析：“特征值不同特征向量线性无关”，已知矩阵A只有一个线性无关的特征向量，故特征值λ0必是3重根，且秩r(λ0E—A)=2．由∑λi=∑aii 知3λ0=4+(一2)+1，得特征值λ=1(3重).又因为秩r(E一A)=2，因此有a=-2．此时(E一A)x=0的基础解系是(一1，1，1)T．故A的特征向量为k(一1，1，1)T，k≠0为任意常数．14．一学徒工用同一台机床连续独立生产3个同种机器零件，且第i个零件是不合格品的概率Pi=(i=1，2，3)．则三个零件中合格品零件的期望值为__________·正确答案：解析：解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三解答题专项强化真题试卷21(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷21(题后含答案及解析)题型有：1.1．(91年)计算二重积分I＝ydχdy．其中D是由χ轴，y轴与曲线＝1所围成的区域；a＞0，b＞0．正确答案：因此令t＝1－，有χ＝a(1－t)2，dχ＝－2a(1－t)dt．则I＝ab2∫01(t4－t5)dt＝涉及知识点：微积分2．(04年)设有向量α1＝(1，2，0)T，α2＝(1，a＋2，－3a)T，α3＝(－1，－b－2，a＋2b)T，β＝(1，3，－3)T．试讨论当a、b为何值时，(1)β不能由α1，α2，α3线性表示；(2)β可由α1，α2，α3惟一地线性表示，并求出表示式；(3)β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式．正确答案：设有一组数χ1，χ2，χ3使得χ1α1＋χ2α2＋χ3α3＝β(*) 对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当a＝0，b为任意常数时，有可知r(A)≠r()，故方程组(*)无解，β不能由α1，α2，α3线性表示．(2)当a≠0，且a≠b时，r(A)＝r()＝3，方程组(*)有唯一解：χ1＝1－，χ2＝，χ3＝0．故此时β可由α1，α2，α3唯一地线性表示为：β＝(3)当a＝b≠0时，对施行初等行变换：可知r(A)＝r()＝2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：χ1＝1－，χ2＝＋C，χ3＝C其中C为任意常数．故此时β可由α1，α2，α3线性表示，但表示式不唯一，其表示式为β＝＋Cα3，其中C 为任意常数．涉及知识点：线性代数3．(07年)设线性方程组与方程(Ⅱ)：χ1＋2χ2＋χ3＝a－1有公共解，求a的值及所有公共解．正确答案：方程组(Ⅰ)的系数矩阵A的行列式为(1)当｜A｜≠0，即a ≠1且a≠2时，方程组(Ⅰ)只有零解，而零解χ＝(0，0，0)T不满足方程(Ⅱ)，故当a≠1且a≠2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)无公共解；(2)当a＝1时，由A的初等行变换得方程组(Ⅰ)的通解为χ＝c(1，0，－1)T，其中c为任意常数．显然当a ＝1时，(Ⅱ)是(Ⅰ)的一个方程，(Ⅰ)的解都满足(Ⅱ)．所以，当a＝1时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的所有公共解是χ＝c(1，0，－1)T，其中c为任意常数；(3)当a＝2时，由A的初等行变换得(Ⅰ)的通解为χ＝k(0，1，－1)T，要使它是(Ⅱ)的解，将其代入方程(Ⅱ)，得k＝1，故当a＝2时，(Ⅰ)与(Ⅱ)的公共解为χ＝(0，1，－1)T．涉及知识点：线性代数4．(91年)设总体X的概率密度为其中λ＞0是未知参数，α＞0是已知常数．试根据来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，求λ的最大似然估计量．正确答案：似然函数为当χ1，…，χn＞0时，lnL＝nlnα＋nlnα＋(α－1)ln(χ1…χn)－λχiα∴，解得λ＝由于＜0，可见lnL在λ＝处取得唯一的极值且为极大值，故知lnL(或L)在该点处取得最大值．故知：涉及知识点：概率论与数理统计5．正确答案：=∫01lnx(1+x)dx=∫01ln(1+x)dx2=(ln(1+x)．x2|01-∫01dx)=1／4．6．(2005年)求．正确答案：7．(2005年)设f(x)，g(x)在[0，1]上的导数连续，且f(0)=0，f’(x)≥0，g’(x)≥0。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三(微积分)模拟试卷54(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷54(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设Ik=∫0kπsin cdx(k=1，2，3)，则有( )A．I1＜I2＜I3B．I3＜I2＜I1C．I2＜I3＜I1D．I2＜I1＜I3正确答案：D解析：首先，由I2=I1+∫π2πex2sin xdx及∫π2πex2sin xdx＜0可得I2＜I1．其次，I3=I1+∫π3πex2sin xdx，其中∫π3πex2sin xdx=∫π2πex2sin xdx+∫2π3πex2sin xdx =∫π2πex2sin xdx+∫π2πe(y+π)2sin(y+π)dy =∫π2π[ex2-(e(x+π)2]sin xdx＞0，故I3＞I1，从而I2＜I1＜I3，故选(D)．知识模块：微积分2．设f(x)在[a，b]上非负，在(a，b)内f”(x)＞0，f’(x)＜0．I1=，I2=∫abf(x)dx，I3=(b-a)f(b)，则I1、I2、I3 的大小关系为( )A．I1≤I2≤I3B．I2≤I3≤I1C．I1≤I3≤I2D．I3≤I2≤I1正确答案：D解析：如图1．3—1所示，I1是梯形AabB的面积，I2是曲边梯形AabB 的面积，I3是长方形A1abB的面积。
由于f’(x)＜0，f”(x)＞0，y=f(x)单调减少且图形为凹。
由图1．3—1可知I3≤I2≤I1．知识模块：微积分3．设f(x)连续，则在下列变上限积分中，必为偶函数的是( )A．∫0xt[f(t)+f(一t)]dtB．∫0xf(t)一f(一t)]dtC．∫0xf(t2)dtD．∫0xf2(t)dt正确答案：A解析：奇函数的原函数是偶函数(请读者自己证之，但要注意，偶函数f(x)的原函数只有∫x0f(t)dt为奇函数，因为其它原函数与此原函数只差一个常数，而奇函数加上一个非零常数后就不再是奇函数了)，选项(A)中被积函数为奇函数，选项(B)，(C)中被积函数都是偶函数，选项(D)中虽不能确定为偶函数，但为非负函数，故变上限积分必不是偶函数，应选(A)。
考研数学三(微积分)模拟试卷60(题后含答案及解析)
考研数学三（微积分）模拟试卷60(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．二元函数其中m，n为正整数，函数在(0，0)处不连续，但偏导数存在，则m，n需满足( )A．m≥2，72＜2B．m≥2，n≥2C．m＜2，n≥2D．m＜2，n＜2正确答案：B解析：当(x，y)沿y=kx(k≠0)趋向点(0，0)时，当m≥2，n≥2时，k取不同值，上式结果不唯一，所以函数在(0，0)处极限不存在，故函数不连续．又因为同理可得f’y(0，0)=0，故偏导数存在．当n＜2时，有n=1，因而，函数f(x，y)在(0，0)处连续．同理，当m＜2时，函数f(c，y)在(0，0)处连续．综上，应选(B)．知识模块：微积分2．函数z=f(x，y)=在(0，0)点( )A．连续，但偏导数不存在B．偏导数存在，但不可微C．可微D．偏导数存在且连续正确答案：B解析：从讨论函数是否有偏导数和是否可微入手．知识模块：微积分3．函数z=x3+y3一3x2一3y2的极小值点是( )A．(0，0)B．(2，2)C．(0，2)D．(2，0)正确答案：B解析：由=3y2一6y=0，可得到4个驻点(0，0)，(2，2)，(0，2)和(2，0)．在(0，2)点和(2，0)点，均有AC—B2＜0，因而这两个点不是极值点．在(0，0)点，AC—B2=36＞0，且A=一6＜0，所以(0，0)点是极大值点．在(2，2)点，AC—B2=36＞0，且A=12＞0，所以(2，2)点是极小值点，故选(B)．知识模块：微积分4．函数y=f(x，y)在点(x0，y0)处连续是它在该点偏导数存在的( )A．必要而非充分条件B．充分而非必要条件C．充分必要条件D．既非充分又非必要条件正确答案：D解析：在多元函数中，一点连续与一点可偏导无必然联系．知识模块：微积分5．函数( )A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：C解析：当xy≠0时，≤|x|+|y|，当(x，y)→(0，0)时，由夹逼准则，可得极限值为0．知识模块：微积分6．设函数，则点(0，0)是函数z的( )A．极小值点且是最小值点B．极大值点且是最大值点C．极小值点但非最小值点D．极大值点但非最大值点正确答案：B解析：由极值点的判别条件可知．知识模块：微积分填空题7．设=________．正确答案：一sin θ解析：由x=rcosθ，y=rsinθ，得u=cosθ，知识模块：微积分8．设=________．正确答案：1解析：f’x(0，1)= 知识模块：微积分9．设f可微，则由方程f(cx一ax，cy—bz)=0确定的函数z=z(x，y)满足az’x+bz’y=________．正确答案：c解析：本题考查多元微分法，是一道基础计算题．方程两边求全微分，得f’1.(cdx—adz)+f’2.(cdy—bdz)=0，即知识模块：微积分10．设函数z=z(x，y)由方程sin x+2y—z=ez所确定，则=________．正确答案：解析：方程两端对x求偏导数知识模块：微积分11．函数f(x，y，z)=-2x2在x2一y2一2z2=2条件下的极大值是________．正确答案：一4解析：由拉格朗日乘数法即得．知识模块：微积分12．函数的定义域为________ ．正确答案：解析：知识模块：微积分13．设z=esin xy，则dz= ________ ．正确答案：esinxycos xy(ydx+xdy)解析：z’x=esinxycos xy.y，z’y=esinxycos xy.x，则dz=eesinxycos xy(ydx+xdy)．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)
考研数学三解答题专项强化真题试卷38(题后含答案及解析)题型有：1.1．正确答案：2．设矩阵A＝且A3＝0．(I)求a的值；(Ⅱ)若矩阵X满足X—XA2一AX＋AXA2＝E，其中E为3阶单位矩阵，求X．正确答案：解(I)由于A3＝0，所以于是a＝0 (Ⅱ)由于X－XA2－AX＋AXA2＝E 所以(E－A)X(E－A2)＝E由(I)知因为E －A，E－A2均可逆，所以X＝(E－A)－1(E－A2)－13．(13年)设D是由曲线y＝，直线χ＝a(a＞0)及χ轴所围成的平面图形，Vχ，Uy分别是D绕χ轴，y轴旋转一周所得旋转体的体积．若Vy＝10Vχ，求a的值．正确答案：由Vy＝10Vχ，即，解得a＝7 涉及知识点：微积分4．(09年)设曲线y＝f(χ)，其中f(χ)是可导函数，且f(χ)＞0．已知曲线y＝f(χ)与直线y＝0，χ＝1及χ＝t(t＞1)所围成的曲边梯形绕χ轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的πt倍，求该曲线的方程．正确答案：由题设可知旋转体体积为V＝∫1tf2(χ)dχ曲边梯形的面积为S＝∫1tf(χ)dχ由题设可知，π∫1tf2(χ)dχ＝πt∫1tf(χ)dχ即∫1tf2(χ)dχ＝t∫1tf(χ)dχ上式两端对t求导得f2(t)＝∫1tf(χ)dχ＋tf(t) (*) 继续求导得2f(t)f′(t)＝f(t)＋f(t)＋tf′(t) 即(2y－t)＝2y (其中y＝f(t)) 在(*)式中令t＝1得f2(1)＝f(1)，即f(1)＝1或f(1)＝0．而由题设知f(t)＞1，则f(1)＝1，代入t＝知，C＝，即t＝．则所求曲线方程为2y＋－3χ＝0．涉及知识点：微积分5．(88年)设随机变量X在区间(1，2)上服从均匀分布，试求随机变量Y＝e2X的概率密度f(y)．正确答案：X的概率密度为：fX(χ)＝而Y的分布函数FY(y)＝P{Y≤y}＝P{e2X≤y}．由X的取值范围，可见当y≤0时，FY(y)＝0，∴f(y)＝F′Y(y)＝0；当y＞0时，FY(y)＝P{2X≤lny}＝P{X≤lny}＝fx(χ)dχ，故得f(y)＝涉及知识点：概率论与数理统计6．(2017年)求极限正确答案：先对变上限积分作变量代换u=x—t，得则由洛必达法则可知涉及知识点：微积分7．求曲线y=e—xsinx(x≥0)与x轴之间图形的面积．正确答案：要计算S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx，首先要计算∫e—xsinxdx=e—x(cosx+sinx)+C，当k=0，2，4，6，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，当k=1，3，5，7，…，∫kπ(k+1)πe—x｜sinx｜dx=，S=∫0+∞e—x｜sinx｜dx==．[2009年] 袋中有一个红球、两个黑球、三个自球．现在有放回地从袋中取两次，每次取一个，以X，Y，Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球个数．8．求P(X=1|Z=0)；正确答案：解一P(Z=0)=P(两次取球都没有取到白球)，该事件包括下述几种情况(考虑取球的次序)：{X=1，Y=1}={第一次取到一红球，第二次取到一黑球}+{第一次取到一黑球，第二次取到一红球}，共有C11C21+C21C11=4种取法；{X=2，Y=0}={第一次取到一红球，第二次取到一红球}，共有C11C11=1种取法；{X=0，Y=2}={第一次取到一黑球，第二次取到一黑球}，共有C11C21=4种取法．由命题3．3．1．2知，两次取球有放回，每次取一个，取两次的样本空间Ω共含有nm=62个样本点，故P(Z=0)=(C11C21+C21C11+C11C121+C21C21)／62=9／36=1／4，又P(X=1，Z=0)=P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9．故P(X=1|Z=0)=P(X=1，Z=0)／P(Z=0)=(1／9)／(1／4)=4／9．解二P(X=1|Z=0)=P(在没有取到白球的情况下，取到一次红球)，也可利用缩减样本空间法求得P(X=1|Z=0)=(C11C21+C21C11)／32=4／9．注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计9．求二维随机变量(X，Y)的概率分布．正确答案：X，Y的可能取值为0，1，2，利用命题3．3．1．2得到P(X=0，Y=0)=P(Z=2)=C31C31／62=9／36=1／4，P(X=0，Y=1)=P(Y=1，Z=1)=(C21C31+C31C21)／62=1／3，P(X=0，Y=2)=(C10C21+C21C10)／62=1／9，P(X=1，Y=0)=P(X=1，Z=1)=(C11C31+C31C11)／62=1／6，P(X=1，Y=1)=(C11C21+C21C11)／62=1／9，P(X=1，Y=2)=P(X=2，Y=1)=P(X=2，Y=2)=0．P(X=2，Y=0)=(C11C11)／62=1／36，故二维随机变量(X，Y)的概率分布如下：注：命题3．3．1．2 从n个不同元素中按照有放回且计序的要求从中取出m(m≤n)个，这时得到的样本空间设为Ω，则此样本空间Ω共含有nm个样本点，即从n个不同元素中取m个的允许重复的排列的种数为nm．涉及知识点：概率论与数理统计10．[2006年] 设三阶实对称矩阵A的各行元素之和为3．向量α1=[－1，2，－1]T，α2=[0，－1，1]T都是齐次线性方程组AX=0的解．求A的特征值和特征向量．正确答案：由命题2．5．1．3知，三阶矩阵A有一个特征值3，且α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量．或由知，3是A的一个特征值，α3=[1，1，1]T为A的属于特征值3的特征向量，则A的属于特征值3的所有特征向量为c1α2，c1为不等于0的任意常数．又由命题2．5．1．10知，α1，α2是A的属于特征值0的特征向量，或由Aα1=0α1，Aα2=0α2也可看出这一点，所以A的特征值为3，0，0，且属于λ=0的特征向量为k1α1+k2α2=k1[－1，2，－1]T+k2[0，－1，1]T (k1，k2为不全为0的常数)．注：命题2．5．1．1 λ0是矩阵A的特征值当且仅当|λ0E－A|=0．对于数字型矩阵，常用特征方程|λE-A|=0求其特征值λ．为求特征值λi所对应的所有特征向量，只需解方程组(λiE－A)X=0．命题2．5．1．10 设α≠0为An×n=0的解，则α为A的属于特征值0的特征向量．涉及知识点：矩阵的特征值和特征向量。