2019考研数学一真题及答案解析参考
1 2019年考研数学一
一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.当0x时，若xxtan与kx是同阶无穷小，则k=
A.1. B.2.
C.3.
D.4.
2.设函数,0,ln,0,)(xxxxxxxf则0x是)(xf的
A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点. C.可导点，非极值点. D.不可导点，非极值点.
3.设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
A..1nnnu B.nnnu1)1(1. C.111nnnuu. D.1221nnnuu.
4.设函数Q(x,y)=x/y2，如果对上半平面（y>0）内的任意有向光滑封闭曲线C都有(,)(,)0CPxydxQxydyÑ，那么函数P(x,y)可取为
A.32yxy. B.321yxy. C.yx11. D.yx1.
5.设A是3阶实对称矩阵，E是3阶单位矩阵.若EAA22，且4A，则二次型AxxT的规范形为
A.232221yyy. B.232221yyy. C.232221yyy. D.232221yyy.
6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321idzayaxaiiii
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则
A.r(A)=2,()3.rA B. r(A)=2,()2.rA
C. r(A)=1,()2.rA D. r(A)=1,()1.rA
7.设A,B为随机事件，则P(A)= P(B)的充分必要条件是
A.P(A∪B)=P(A)+P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(AB)=P(BA) D. P(A B)=P(AB)
8.设随机变量X与Y相互独立，且都服从正态分布),(2N，则1YXP
A.与μ无关，而与σ2有关. B.与μ有关，而与σ2无关.
C.与μ, σ2都有关. D.与μ, σ2都无关.
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.
9. 设函数)(uf可导，,)sin(sinxyxyfz则yzcosyxzcosx11= .
10. 微分方程02'22yyy满足条件1)0(y的特解y .
11. 幂级数nnnxn0)!2()1(在)0，（内的和函数)(xS .
12. 设为曲面)0(44222zzyx的上侧，则dxdyzxz2244= .
2 13. 设），，（321为3阶矩阵.若 21，线性无关，且2132，则线性方程组0x的通解为 .
14. 设随机变量X的概率密度为，其他，020,2)(xxxf）（xF 为X的分布函数，EX为X的数学期望，则1XXFP）（ .
三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（本题满分10分）
设函数)(xy是微分方程2'2xexyy满足条件0)0(y的特解.
（1）求y(x)；（2）求曲线y= y(x)的凹凸区间及拐点.
16.（本题满分10分）设a,b为实数，函数z=2+ax2+by2在点(3,4)处的方向导数中，沿方向l=-3i-4j的方向导数最大，最大值为10.
（1）求a,b；（2）求曲面z=2+ax2+by2（Z≥0）的面积.
17.求曲线)0(sinxxeyx与x轴之间图形的面积.
18.设dxxxann1021，n=（0，1，2…）
（1）证明数列{an}单调减少，且221nnanna（n=2，3…）；（2）求1limnnnaa.
19.设是锥面)10()1(2222zzyx与平面0z围成的锥体，求的形心坐标.
20.设向量组TTTa)3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321，为R3的一个基，β=(1,1,1)T在这个基下的坐标为(b,c,1)T.
（1）求a,b,c.（2）证明a2, a3，β为R3的一个基，并求a2, a3β到a1,a2, a3的过度矩阵.
21.已知矩阵20022122xA与yB00010012相似
（1）求yx,. （2）求可可逆矩阵P，使得.1BAPP
22.设随机变量X与Y相互独立，X服从参数为1的指数分布，Y的概率分布为),10(,11,1ppYPpYP令Z=XY
（1）求z的概率密度.（2）p为何值时，X与Z不相关.（3）X与Z是否相互独立?
3 23.（本题满分11分）设总体X的概率密度为,0,2)(),(222xxuxexf
其中是已知参数，σ>0是未知参数，是常数，X1,X2,…,Xn来自总体X的简单随机样本.
（1）求A；求σ2的最大似然估计量
19答案
1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7.C 8.A
9.yxxycoscos
10.23xe
11.xcos
12.332
13. ，T)1,2,1(kk为任意常数.
14. 32
15. 解：（1）)()()(2222cxecdxeeexyxxdxxxdx，又0)0(y，
故0c，因此.)(221xxexy
（2）22221221221)1(xxxexexey，
222221221321221)3()3()1(2xxxxexxexxxexxey，
令0y得3,0x
x )3,( 3 )0,3(
0 )3,0( 3 ),3(
y`` - 0 + 0 - 0 +
y 凸 拐点 凹
拐点 凸 拐点 凹
所以，曲线)(xyy的凹区间为)0,3(和),3(，凸区间为)3,(和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23e，)3,3(23e.
16. 解：（1）)2,2(byaxzgrad，)8,6()4,3(bazgrad，
由题设可得，4836ba，即ba，又108622bazgrad，
所以，.1ba
4 （2）dxdyyzxzSyx22222)()(1=dxdyyxyx22222)2()2(1
=dxdyyxyx22222441 =dd2020241=20232)41(1212=.313
17.
18.
5
19.由对称性，2,0yx，1021021010)1()1(dzzdzzzdxdydzdxdyzdzdvzdvzzzDD=.4131121)1()1(102102dzzdzzz
20.（1）123=bc即11112311231bca，
解得322abc.
（2）23111111=331011231001，，，所以233r，，，则23，，可为3R的一个基.
12323=P，，，，则1231231101=0121002P，，，，.
21.（1）A与B相似，则()()trAtrB，AB，即41482xyxy，解得32xy
（2）A的特征值与对应的特征向量分别为
6 1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.
所以存在1123=P,,，使得111212PAP.
B的特征值与对应的特征向量分别为
1=2，11=00；2=1，21=30；3=2，30=01.
所以存在2123=P,,，使得122212PAP.
所以112211=PAPPAP，即1112112BPPAPPPAP,其中112111212004PPP.
22.解：（I）Z的分布函数,1,11FzPXYzPXYzYPXYzYpPXzpPXz
从而当0z时，zFzpe；当0z时，1111zzFzppepe
则Z的概率密度为,01,0zzpezfzpez.
（II）由条件可得22EXZEXEZEXEYEXEYDXEY，又1,12DXEYp，从而当p=1/2时，,0CovXZ，即,XZ不相关.
（III）由上知当12p时，,XZ相关，从而不独立；当12p时，1211111111111,,,,122222222222PXZPXXYPXXPXXFe而12112PXe，121111112222222PZPXPXe，显然1111,2222PXZPXPZ，即,XZ不独立. 从而,XZ不独立.
23. 解：（I）由2221xAedx，令2xt，则202212tAedtA，从而2A.
（II）构造似然函数22112212,,1,2,,,,,,0,niinxinAexinLxxxLL其他，当时，取,1,2,,ixinL
02.2010-2019考研数学一真题【 40页 】(直接打印)
2010-2019真题汇总
光速考研工作室整理一:
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2019年数学一详解共15页word资料
第 1 页 2019年数学一试题详解
一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.
（1）
【分析】 本题为00未定式极限的求解，利用等价无穷小代换即可.
【详解】 002ln(1)limlim211cos2xxxxxxxx.
（2） 微分方程(1)yxyx的通解是e(0).xyCxx
【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可
【详解】 原方程等价为
d11dyxyx，
两边积分得 1lnlnyxxC，整理得
exyCx.（1eCC）
（3）设是锥面22(01)zxyz的下侧，则
dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy2.
【分析】本题不是封闭曲面，首先想到加一曲面1：2211zxy，取上侧，使1构成封闭曲面，然后利用高斯公式转化为三重积分，再用球面（或柱面）坐标进行计算即可.
【详解】 设1：221(1)zxy，取上侧，则
dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy
11dd2dd3(1)dddd2dd3(1)ddxyzyzxzxyxyzyzxzxy.
而
1dd2dd3(1)ddxyzyzxzxy＝211006d6ddd2rVvrrz，
1dd2dd3(1)dd0xyzyzxzxy.
所以 dd2dd3(1)dd2xyzyzxzxy.
（4）点(2,1,0)到平面3450xyz的距离d2. 第 2 页 【分析】本题直接利用点到平面距离公式
000222AxByCzDdABC
进行计算即可. 其中000(,,)xyz为点的坐标，0AxByCzD为平面方程.
【详解】 2223241502345d..
2019武汉大学数学专业考研真题（回忆版）
2019武汉⼤学数学专业考研真题（回忆版）
数学分析
⼀，1）求极限$\lim\limits _{x\rightarrow 0}\left( 1+\sin x\right) ^{\dfrac {1}{x}}$.
2）$f(x) =\ln \left(x - \sqrt{1+x^2}\right) $ ，求 $f(0)^{(2k+1)}$，$ k$为⾃然数.
3）$f(x,y) = x^yy^x$,求$f(x,y)$的全微分.
⼆，计算下⾯积分1）$\int_{-1}^{1} {\dfrac{1+x^2}{1+x^4}}dx$.
2）$\iiint _{V} {\dfrac{dxdydz}{(1+x+y+z)^{3}}}$，V={${x+y+z\leq{1}}, x,y,z\geq0$}.
3）$\oint_L{\dfrac{xdy-ydx}{x^2+y^2}}$,$L$是不过原点的简单封闭曲线.
三，1）判断$\sum_{n=1}^{\infty}\left({\sqrt[n]{n}-1}\right)^2$的敛散.
2）若$\sum_1^{\infty}a_n\sin^nx$在[0,$2\pi$]收敛，请问它是否⼀致收敛.
四，1）$f(x)$连续可微，$f(0)$不为$0$，其Maclaurin级数（Cauchy余项）：$f(x) = f(0)+f^{'}(0)x+\dfrac{f^{(2)}(0)}{2!}x^2+...+\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\dfrac{f^{(n+1)}(\theta x)}{n!}\left(1-\theta\right)^nx^{n+1}$,
证明:$$\lim_{x\rightarrow0}\theta = 1-\sqrt [n]{\dfrac{1}{n+1}}.$$
2）$\{a_n\}$单调递减，$a_n\rightarrow0\left(当n\rightarrow0\right)$，证明：$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n收敛
考研数学一分类模拟题2019年(23)_真题(含答案与解析)-交互
考研数学一分类模拟题2019年(23)
(总分77.5, 做题时间90分钟)
一、填空题
1.
设y=y(x)由yexy+xcosx-1=0确定，求dy|x=0=______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2.5
答案:-2dx
当x=0时，y=1，将yexy+xcosx-1=0两边对x求导得
将x=0，y=1代入上式得，故dy|x=0=-2dx．
2.
设函数y=f(x)由方程xy+2lnx=y4所确定，则曲线y=f(x)在(1，1)处的法线方程为______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2.5
答案:y=-x+2
xy+2lnx=y4两边对x求导得，
将x=1，y=1代入得，
故曲线y=f(x)在点(1，1)处的法线为y-1=-(x-1)，即y=-x+2．
3.
微分方程满足初始条件y|x=2=1的特解是______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2.5
答案:x=y2+y
将x看成未知函数，写成，即此为x对y的一阶线性微分方程，
又因y|x=2=1＞0，由公式得
将x=2，y=1代入，得C=1．故得解x=y2+y．
4.
设n阶矩阵A的元素全为1，则A的n个特征值是______．
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2.5
答案:λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0．
由
=(λ-n)λn-1=0
即得A的特征值为λ1=n，λ2=λ3= … =λn=0．
本题考查特征值的概念及简单”阶行列式的计算．做本题时，可以只计算n=2(或n=3)的情形，并由此类推出n阶的情形．
5.
设A为n阶矩阵，其伴随矩阵的元素全为1，则齐次方程组Ax=O的通解为______。
SSS_FILL
该题您未回答:х 该问题分值: 2.5
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
考研数学分析真题集
目录
南开大学
北京大学
清华大学
浙江大学
华中科技大学
浙江大学数学分析试题答案
一、,,0N当Nn时，mnaaNnNm,,
证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列}{kna，aaknklim，
所以，2aaaaaakknnnn
二 、,,0N当Nx时，)()(xgxf，,0,01当1'''xx时，)''()'(xfxf
对上述,0当Nxx'','时，且1'''xx
3)''()'()''()''()'()'()''()'(xfxfxfxgxgxfxgxg
当Nxx'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,022'''xx时)''()'(xgxg，当'''xNx时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在
],['','22NNxx时，)''()'(xgxg，取},min{21即可。
三、由,0)('',0)('xfaf得,0)('xf所以)(xf递减， 2019年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
又2))((''21))((')()(axfaxafafxf，所以)(limxfx，且0)(af，所以)(xf必有零点，又)(xf递减，所以有且仅有一个零点。
四、100,)(1)()(xdttfxdtxtfx20)()()('xdttfxxfxx，
22)(lim)(lim)(lim)0('02000Axxfxdttfxxxxxx，
2)(lim)(lim)()(lim)('lim20002000Axdttfxxfxdttfxxfxxxxxxx，)('x在0x连续。
2010-2019年(近10年)考研数学一真题
1
2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题(1-8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)极限=
(A)1 (B)
(C) (D)
(2)设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=
(A) (B)
(C) (D)
(3)设为正整数,则反常积分的收敛性
(A)仅与取值有关 (B)仅与取值有关
(C)与取值都有关 (D)与取值都无关
(4)=
(A) (B)
(C) (D)
(5)设为型矩阵为型矩阵,若则 2lim()()xxxxaxbeeabeba(,)zzxy(,)0yzFxxF20,Fzzxyxyxzxz,mn210ln(1)mnxdxxmn,mn,mn2211lim()()nnxijnninj12001(1)(1)xdxdyxy1001(1)(1)xdxdyxy11001(1)(1)dxdyxy112001(1)(1)dxdyxyAmn,Bnm,ABE2
(A)秩秩 (B)秩秩
(C)秩秩 (D)秩秩
(6)设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于
(A) (B)
(C) (D)
(7)设随机变量的分布函数 则=
(A)0 (B)1
(C) (D)
(8)设为标准正态分布的概率密度为上均匀分布的概率密度,
()fx
为概率密度,则应满足
(A) (B)
(C) (D)
(),mA()mB(),mA()nB(),nA()mB(),nA()nBA20,AAAA1110111011101110X()Fx00101,21e2
2019年硕士研究生入学试题—数学一
2019年硕士研究生入学考试
数学一 试题
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当0x时，若tanxx与kx是同阶无穷小，则k（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．设函数,0()ln,0xxxfxxxx，则0x是()fx的（ ）
（A）可导点，极值点 （B）不可导的点，极值点
（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
3．设{}nu是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
（A）1nnun （B）11(1)nnnu (C）111nnnuu （D）2211()nnnuu
4．设函数2(,)xQxyy，如果对于上半平面(0)y内任意有向光滑封闭曲线C都有
(,)(,)0CPxydxQxydy
那么函数(,)Pxy可取为（ ）
（A）22xyy （B）221xyy （C）11xy （D）1xy
5．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若22AAE，且4A，则二次型TxAx的规范形是
（ ）
（A）222123yyy （B）222123yyy （C）222123yyy （D）222123yyy
6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程123(1,2,3)iiiiaxayazdi组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,AA，则（ ）
（A）()2,()3rArA （B）()2,()2rArA
（C）()1,()2rArA （D）()1,()1rArA 7． 设,AB为随机事件，则()()PAPB的充分必要条件是
2019考研数一真题答案
2019考研数一真题答案
2019年考研数学一真题是考研数学中的一道重要题目，对于考生来说，正确理解和解答这道题目至关重要。本文将对2019年考研数学一真题进行解析，帮助考生更好地理解和掌握数学一的考点。
首先，我们来看2019年考研数学一真题的具体内容。该题目是一道概率论题，涉及到离散型随机变量的概率分布以及条件概率的计算。题目要求计算某随机变量的期望和方差，并根据条件概率计算出满足一定条件的概率。
在解答这道题目之前，我们首先需要了解离散型随机变量的概率分布。离散型随机变量是指在一组有限或可数无限个数值中取值的随机变量。在本题中，随机变量X的取值范围是1到n，其中n是一个正整数。我们可以通过列出随机变量X的取值和对应的概率来构建概率分布。
根据题目给出的条件，我们可以得到随机变量X的概率分布如下：
P(X=1) = 1/2
P(X=2) = 1/4
P(X=3) = 1/8
...
P(X=n) = 1/(2^n)
接下来，我们需要计算随机变量X的期望和方差。期望是随机变量的平均值，可以通过将随机变量的每个取值乘以对应的概率，然后将结果相加得到。在本题中，随机变量X的期望计算如下：
E(X) = 1*(1/2) + 2*(1/4) + 3*(1/8) + ... + n*(1/(2^n))
方差是随机变量离其期望值的平均偏离程度，可以通过将随机变量的每个取值与期望的差值的平方乘以对应的概率，然后将结果相加得到。在本题中，随机变量X的方差计算如下：
Var(X) = [1-E(X)]^2*(1/2) + [2-E(X)]^2*(1/4) + [3-E(X)]^2*(1/8) + ... + [n-E(X)]^2*(1/(2^n))
通过上述计算，我们可以得到随机变量X的期望和方差的具体数值。这些数值可以帮助我们更好地理解随机变量X的分布特征和变异程度。
除了计算期望和方差，题目还要求根据条件概率计算出满足一定条件的概率。在本题中，条件是随机变量X的取值大于等于2。我们可以利用条件概率的定义来计算满足条件的概率。