2018年协作体数学奥林匹克夏令营O水平考试试题及答案

2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题Word版含答案

- 1 - 北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

2018年6月23日

本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.

1.已知a、b、c为整数，且对任意正整数m、n，存在整数x满足如下关系：

2mod.axbxcmn

求所有满足要求的三元整数组,,abc.

2.已知实数122018,,,aaa两两不同，存在t满足11iiata（1,2,,2018i，并规定20191aa）.求实数t的可能取值的个数.

3.给定正整数n、k.有一个密码锁，它有n个按钮，编号分别为1n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n，2k，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？

4.如图，ABC中ABAC.点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于点D、E、F.点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足ASDSAE.求证：MSBDCDSJJD.

- 2 - 试卷答案

本试卷共4题

1.设2fxaxbxc，注意modfxfxnn，故本题只需对任意正整数n，0,1,,1fffn组成模n的完全剩余系.

下证0a，1b或1.

若0,1ab，取nab，则01modffn，矛盾.

若0ab，则2fxaxaxc，此时01ff，这也不可能.

故1ab或1.

当1ab时，0a，则1641241248abaab.

取164nab，则04modffn，矛盾.故0a.

类似当1ab时，取164nab，可得0a.

故,0,1ab或0,1.

小学数学奥林匹克竞赛试题及答案(四年级)

1 小学数学奥林匹克竞赛试题及答案

（四年级）

(红色为正确答案)

1、下面的△,○,□各代表一个数,在括号里填出得数:

△+△+△=36 □×△=240

○÷□=6 ○=( )

A 120 B 100 C 130 D 124

2、如果一个整数,与1,2,3这三个数,通过加减乘除运算(可以添加括号)组成算式,结果等于24,那么这个整数就称为可用的,那么,在4,5,6,7,8,9,10这七个数中,可用的数有（）个.

A 5 B 6 C 7 D 4

3、有100个足球队,两两进行淘汰赛,最后产生一个冠军,共要赛（）场.

A 97 B98 C 99 D 50

4、七个小队共种树100棵,各小队种的棵数都不同,其中种树最多的小队种了18棵,种树最少的小队至少种了（）棵.

A 10 B 8 C 9 D 7

5、将一盒饼干平均分给三个小朋友,每人吃了八块后,这时三个小朋友共剩的饼干数正好和开始1个人分到的同样多,问每个小朋友分到（）块。

A 24 B 20 C 12 D 16

6、每次考试满分是100分,小明4次考试的平均成绩是89分,为了使用权平均成绩尽快达到94分(或更多),他至少再要考( )次.

A 5 B 6 C 3 D 4

7、甲乙丙丁四个人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜丁，并且甲乙丙胜的场数相同，那么丁胜的场数是（）场。

A 0 B 1 C 2 D 3

8、有一位探险家，用6天时间徒步横穿沙漠。如果一个搬运工人只能运一个人四天的食物和水，那么这个探险家至少要雇用（）名工人。

A 2 B 3 C 4 D 5

9、在右图的中间圆圈内填一个数,计算每一线段两

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营第一天考试答案

中国数学奥林匹克希望联盟夏令营

试卷(第一天)

一、填空题(每题 7分,共70分)

1 .k w N* ,且k至3,假设一元二次方程(k—1)x2 — px +2k = 0的两个根都是正整数

那么 12(p+k)2 +51(p+k)—3 的值等于.

【解析】设方程(k—1)x2—px+2k =0的两个根x1,x2都是正整数,由韦达定理,得

2k 2 由②,x1x2 =上~ =2+—,又由于kw N*,且k23,所以k—1 = 2,即k = 3, k -1 k -1

于是x1x2 =3,所以x1 +x2 =4,代入①得p = 8 ,

故 12(p k)2 51(p k)-3=12 112 51 11 -3 =2021.

2 .假设等腰直角三角形的三个顶点均在边长为 1的正方形的边上,且不与正方形的顶点重合,

那么该等腰直角三角形面积的取值范围为 .

… 1 1

【解析】［1,1)

4 2

3.2021年全国高中数学联赛一试试卷由 8道填空题和3道解做题组成,其中填空题每题 7

分；解做题分步给分,第一道解做题 14分,分三步各自分数为 4,4,6分；第二和第三道解答

题均为15分,分三步每步5分,解做题中假设第n步不得分那么第 m步(m>n)也不得分；那么共有

种得分方式恰好能够得到 80分.(用数字作答)

【解析】由于填空题每题7分,解做题第二题和解做题第三题均为每步 5分,所以我们优先

考虑解做题第一题的得分

(1)解做题第一题得14分时由于总分被扣掉20分,因此只能是被扣掉 4个5分,填空题

总分值,这4个5分的扣分情况有 3种(第二题扣15第三题扣5,第二题扣10第三题扣10,

第二题扣5第三题扣15)

综上知共有 3+28+3+0=34种情况

2

4 .假设关于x的方程lg(x +20x) — lg(8x—6a—3) =0有唯一解,那么实数 a的取值范围是

【解析】-163 ::: a ::: _1 6 2

2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

2018年6月23日

本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.

1.已知、、为整数，且对任意正整数、，存在整数满足如下关系：abcmnx

2mod.axbxcmn

求所有满足要求的三元整数组.,,abc

2.已知实数两两不同，存在满足（，并规定）.求

122018,,,aaat

11

i

iat

a

1,2,,2018i

20191aa

实数的可能取值的个数.t

3.给定正整数、.有一个密码锁，它有个按钮，编号分别为.打开该锁的密码是长度为的按钮nkn1nk

序列.当且仅当连续正确的按动这个按钮时，密码锁会被打开.（例如，，密码为时，依k3n2k13

次按动后可以打开该锁，按动后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至1,2,3,2,1,1,32,2,3,1,3

少需要按动多少次按钮？

4.如图，中.点所对应的旁切圆圆分别与直线、、相切于点、、ABCABACAJBCCAABDE

.点是线段的中点.点在线段上，且满足.求证：.FMBCSJMASDSAEMSBDCD

SJJD



试卷答案

本试卷共4题

1.设，注意，故本题只需对任意正整数，2fxaxbxcmodfxfxnnn

组成模的完全剩余系.0,1,,1fffnn

下证，或.0a1b1

若，取，则，矛盾.0,1abnab01modffn

若，则，此时，这也不可能.0ab2fxaxaxc01ff

故或.1ab1

当时，，则.1ab0a1641241248abaab

取，则，矛盾.故.164nab04modffn0a

类似当时，取，可得.1ab164nab0a

故或.,0,1ab0,1

注意对任意正整数、，同余方程和mnmodxcmnmodxcmn

2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题含答案

2018年6月23日

本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.

1. 已知a、b、c为整数，且对任意正整数 m、n，存在整数x满足如下关系：

2

ax bx c 三 m mod n .

求所有满足要求的三元整数组 a,b,c .

、， 1

2. 已知头数a1,a2,11 （, a2018两两不同，存在t满足ai t （ i = 1,2,11丨,2018，并规定 ai

a2019 =印）.求实数t的可能取值的个数.

3. 给定正整数n、k.有一个密码锁，它有 n个按钮，编号分别为1L n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这 k个按钮时，密码锁会被打开 .（例如n=3 ,

k =2，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动 2,2,3,1,3后也可以打开

该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？

4.如图，AABC中AB = AC .点A所对应的旁切圆圆 J分别与直线BC、CA、AB相切于

点D、E、F .点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足 AS D^ AE.求证:

MS BD CD

SJ 一 JD 北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

本试卷共4题

1.设f x = ax2 bx c，注意f x三f x • n mod n，故本题只需对任意正整数 n ,

f 0 ,f 1 n -1组成模n的完全剩余系.

下证 a =0, b 二「1 或 1.

若 a +b 式0, ±1，取 n = |a +b，则 f（0）三 f（1modn ），矛盾•

若a • b = 0，则f x二ax2 - ax • c，此时f 0二f 1，这也不可能•

故 a • b = -1 或 1.

当 a+b=1 时，a^0，贝U 16a+4b|z12a—4a + bK12 — 4= 8.

取 n = 16a 4b，则 f 0 三 f 4 mod n，矛盾.故 a = 0.

2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题 2

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

2018年6月23日

本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.

1.已知、、为整数，且对任意正整数、，存在整数满足如下关系：abcmnx

2mod.axbxcmn

求所有满足要求的三元整数组.,,abc

2.已知实数两两不同，存在满足（，并规定）.求

122018,,,aaat

11

i

iat

a

1,2,,2018i

20191aa

实数的可能取值的个数.t

3.给定正整数、.有一个密码锁，它有个按钮，编号分别为.打开该锁的密码是长度为的按钮nkn1nk

序列.当且仅当连续正确的按动这个按钮时，密码锁会被打开.（例如，，密码为时，依k3n2k13

次按动后可以打开该锁，按动后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至1,2,3,2,1,1,32,2,3,1,3

少需要按动多少次按钮？

4.如图，中.点所对应的旁切圆圆分别与直线、、相切于点、、ABCABACAJBCCAABDE

.点是线段的中点.点在线段上，且满足.求证：.FMBCSJMASDSAEMSBDCD

SJJD



试卷答案

本试卷共4题

1.设，注意，故本题只需对任意正整数，2fxaxbxcmodfxfxnnn

组成模的完全剩余系.0,1,,1fffnn

下证，或.0a1b1

若，取，则，矛盾.0,1abnab01modffn

若，则，此时，这也不可能.0ab2fxaxaxc01ff

故或.1ab1

当时，，则.1ab0a1641241248abaab

取，则，矛盾.故.164nab04modffn0a

类似当时，取，可得.1ab164nab0a

故或.,0,1ab0,1

注意对任意正整数、，同余方程和mnmodxcmnmodxcmn

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第五十九届国际數芋奥林匹克(2018年)

罗马尼亚丸户日第氷卡

第一天

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【数学】2018北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

北京大学“中学生数学奖”夏令营初赛试题

2018年6月23日

本试卷共4题，每题30分，满分120分.考试时间180分钟.

1.已知a、b、c为整数，且对任意正整数m、n，存在整数x满足如下关系：

2mod.axbxcmn

求所有满足要求的三元整数组,,abc.

2.已知实数122018,,,aaa两两不同，存在t满足11iiata（1,2,,2018i，并规定20191aa）.求实数t的可能取值的个数.

3.给定正整数n、k.有一个密码锁，它有n个按钮，编号分别为1n.打开该锁的密码是长度为k的按钮序列.当且仅当连续正确的按动这k个按钮时，密码锁会被打开.（例如3n，2k，密码为13时，依次按动1,2,3,2,1,1,3后可以打开该锁，按动2,2,3,1,3后也可以打开该锁.）要保证把这个密码锁打开，至少需要按动多少次按钮？

4.如图，ABC中ABAC.点A所对应的旁切圆圆J分别与直线BC、CA、AB相切于点D、E、F.点M是线段BC的中点.点S在线段JM上，且满足ASDSAE.求证：MSBDCDSJJD.

试卷答案

本试卷共4题

1.设2fxaxbxc，注意modfxfxnn，故本题只需对任意正整数n，0,1,,1fffn组成模n的完全剩余系.

下证0a，1b或1.

若0,1ab，取nab，则01modffn，矛盾.

若0ab，则2fxaxaxc，此时01ff，这也不可能.

故1ab或1.

当1ab时，0a，则1641241248abaab.

取164nab，则04modffn，矛盾.故0a.

类似当1ab时，取164nab，可得0a.

故,0,1ab或0,1.

注意对任意正整数m、n，同余方程modxcmn和modxcmn

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