高三理科数学选择题填空题专项训练
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综合小测 1一、选择题1.函数 y=2x+1 的图象是2.△ ABC 中， cosA= 5 ， sinB=3,则 cosC 的值为135A.5656 16 16B. －C.－D.656565653.过点（ 1， 3）作直线 l ，若 l 经过点（ a,0）和 (0,b)，且 a,b ∈N* ，则可作出的l 的条数为A.1B.2C.3D. 多于 34.函数 f( x)=log x(a ＞ 0 且 a ≠ 1)对任意正实数 x,y 都有aA. f(x · y)=f(x) · f(y)B. f(x · y)=f( x)+f(y)C.f(x+y)=f(x)· f(y)D. f(x+y)=f(x)+f(y)5.已知二面角 α— l — β的大小为 60°， b 和 c 是两条异面直线，则在下列四个条件中，能使 b 和 c 所成的角为 60°的是A. b ∥ α,c ∥ βB.b ∥ α,c ⊥ βC.b ⊥ α,c ⊥ βD. b ⊥ α,c ∥ β6.一个等差数列共 n 项，其和为 90，这个数列的前 10 项的和为 25，后 10 项的和为 75，则项数 n 为 （ ）A.14B.16C.18D.207.某城市的街道如图，某人要从A 地前往B 地，则路程最短的走法有 A.8 种B.10 种C.12 种D.32 种8.若 a,b 是异面直线， a α,b β ,α∩ β=l ，则下列命题中是真命题的为A. lC.l 与 a 、 b 分别相交至多与 a 、 b 中的一条相交B. l 与 a 、 b 都不相交D. l 至少与 a 、 b 中的一条相交9.设 F1， F2是双曲线x2－ y2=1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF1· PF2=0，则4| PF1 |· | PF2 |的值等于A.2B.22C.4D.810.f(x)=(1+2 x)m+(1+3x) n(m,n∈ N*) 的展开式中x 的系数为13，则 x2的系数为A.31B.40C.31 或 40D.71 或 8011.从装有 4 粒大小、形状相同，颜色不同的玻璃球的瓶中，随意一次倒出若干粒玻璃球（至少一粒），则倒出奇数粒玻璃球的概率比倒出偶数粒玻璃球的概率A. 小B. 大C.相等D. 大小不能确定12.如右图， A、B、C、D 是某煤矿的四个采煤点， l 是公路，图中所标线段为道路， ABQP、BCRQ 、CDSR 近似于正方形 .已知 A、B、 C、 D 四个采煤点每天的采煤量之比约为 5∶1∶ 2∶3，运煤的费用与运煤的路程、所运煤的重量都成正比 .现要从 P、Q、R、S 中选出一处设立一个运煤中转站，使四个采煤点的煤运到中转站的费用最少，则地点应选在A. P 点B. Q 点C.R 点D. S点题号1234567891011答案二、填空题13.抛物线 y2=2x 上到直线x－ y+3=0 距离最短的点的坐标为_________.14.一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 2 ， 3 ， 6 ，这个长方体对角线的长是 _________.15.设定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x+1)+ f(x)=1, 且当x∈［ 1,2］时， f(x)=2 － x,则f(8.5)=_________.综合小测 2一、选择题：A F1．如图，点 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，则以图中点 A 、B 、C、OD、 E、F、O 中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所B E 有向量中，除向量OA 外，与向量 OA 共线的向量共有A ．3 个B． 5 个C． 7 个 D ． 9 个C D2．已知曲线C：y2=2px 上一点 P 的横坐标为4，P 到焦点的距离为5,则曲线 C 的焦点到准线的距离为1A ．2B． 1C． 2 D ． 413．若 (3a2－ 2a 3) n展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值是A ．4B ． 5C． 6 D ． 84．从 5 名演员中选 3 人参加表演，其中甲在乙前表演的概率为3311A ．20B．10C．20D．105．抛物线y2=a(x+1) 的准线方程是x= － 3，则这条抛物线的焦点坐标是A. （3， 0）B.（ 2， 0）C.（ 1， 0）D.（ -1， 0）6．已知向量m a, b，向量m n ，且 m n ，则 n 的坐标可以为A. （a，－b）B. （－a，b）C. （b，－a）D. （－b，－a）7. 如果S=｛x｜x=2n+1, n∈ Z｝, T=｛x｜x=4n± 1, n∈ Z｝ , 那么A.S TB.T SC.S=TD.S ≠T8．有 6 个座位连成一排，现有 3 人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有A ．36 种B． 48 种C． 72 种D． 96 种9．已知直线l 、 m，平面α、β，且 l⊥α ,mβ.给出四个命题：（1）若α∥β,则l⊥m;(2)若 l ⊥ m,则α∥β ;(3)若α⊥β,则 l∥ m;(4) 若 l∥ m,则α⊥β,其中正确的命题个数是A.4B.1C.3D.210．已知函数 f(x) ＝ log 2(x2－ ax＋ 3a)在区间 [2，＋∞)上递增，则实数 a 的取值范围是（）A.( －∞， 4)B.( － 4， 4]C.(－∞，－ 4)∪ [2，＋∞)D.[ －4， 2)11．4 只笔与 5 本书的价格之和小于22 元，而 6 只笔与 3 本书的价格之和大于24 元，则2 只笔与3 本书的价格比较（）A ．2 只笔贵B． 3 本书贵C．二者相同D．无法确定12．若是锐角， sin1，则 cos的值等于63261B.261231231A.66C.4D.3题号123456789101112答案二、填空题：13．在等差数列｛ a n｝中，a1 = 1，第 10 项开始比 1 大，则公差 d 的取值范围是__________ .2514．已知正三棱柱ABC — A1B 1C1，底面边长与侧棱长的比为 2 : 1，则直线AB1与CA1所成的角为．15．若sin 20, sincos1sin1cos，化简 cossinsin= _________ ．11cos16．已知函数f( x)满足： f(p+q)= f(p)f(q) ， f(1)=3 ，则f 2 (1) f (2) f 2 ( 2) f (4) f 2 (3) f (6) f 2 (4) f (8)．f (1) f (3) f ( 5) f (7)=综合小测 3一、选择题：1．设集合 P={3 ， 4，5} ， Q={4 ，5，6， 7} ，定义 P★ Q={ （a, b) | a P, b Q} 则P★Q中元素的个数为（）A ．3B． 7C． 10 D ． 121x2e 3的部分图象大致是（）2．函数y2A B C D3．在(1x)5(1 x)6(1 x) 7的展开式中，含x4项的系数是首项为－ 2 ，公差为3的等差数列的（）A ．第 13 项B．第 18 项C．第 11 项 D ．第 20 项4．有一块直角三角板ABC ，∠ A=30 °，∠ C=90°， BC 边在桌面上，当三角板所在平面与桌面成45°角时， AB 边与桌面所成的角等于（）A ．arcsin 6B．C． D ．arccos10 46445．若将函数y f ( x) 的图象按向量 a 平移，使图象上点P 的坐标由（ 1， 0）变为（ 2，2），则平移后图象的解析式为A ．y f ( x1)2B．C．y f ( x1)2D．（）y f (x1)2y f (x1)26．直线x cos140y sin 40 10 的倾斜角为（）A ．40°B． 50°C． 130° D ． 140°7．一个容量为 20 的样本，数据的分组及各组的频数如下：（ 10，20 ]，2；（20， 30 ]，3；（ 30， 40 ]，4；（ 40， 50 ]，5；（ 50， 60 ]， 4；（ 60，70 ]， 2. 则样本在区间（10， 50 ]上的频率为（）A ．0.5B ． 0.7C ． 0.25D ． 0.058．在抛物线 y 2 4x 上有点 M ，它到直线 y x 的距离为4 2 ，如果点 M 的坐标为（ m, n ），且 m, nR , 则 m（）的值为1nB ． 1C ． 2D ． 2A ．2x2y21(a, bR )的离心率 e [ 2,2] ，在两条渐近线所构成的角9．已知双曲线b 2a 2中，设以实轴为角平分线的角为，则 的取值范围是（）A ． [, ] B ． [, ] C ． [ , 2]D ． [ 2, )6 23 22 3310．按 ABO 血型系统学说， 每个人的血型为 A ，B ，O ，AB 型四种之一， 依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是 AB 型时，子女的血型一定不是O 型，若某人的血型为 O 型，则父母血型的所有可能情况有（）A ．12 种B ． 6 种C ． 10 种D ． 9 种11．正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为 4，则球的表面积为 （）A ．16（ 12－6 3)B ． 18C ．36D ． 64（6－ 4 2)12．一机器狗每秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器狗以前进 3 步，然后再后退 2步的规律移动 .如果将此机器狗放在数轴的原点，面向正方向，以1 步的距离为 1 单位长移动，令 P （ n ）表示第 n 秒时机器狗所在位置的坐标，且P （ 0） =0，则下列结论中错 ． 误的是（ ） ．A ．P （ 3）=3B ． P （ 5）=5C ． P （ 101） =21D ． P （ 101） <P(104) 二、填空题：13．在等比数列 { a n }中,a 3 a 8 124, a 4 a 7512 ，且公比 q 是整数，则 a 10 等于.x214．若 y2，则目标函数 z x3y 的取值范围是.xy 62 cot 21, 那么 (1 sin )( 2 cos ).15．已知sin116．取棱长为 a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体 .则此多面体： ①有 12 个顶点；②有 24 条棱；③有 12 个面；④表面积为3a 2 ；⑤体积为5a3.以上结论正确的是.（要求填上的有正确结论的序号）6综合小测 4一、选择题1.满足 |x－1|+|y－ 1|≤ 1 的图形面积为A.1B. 2C.2D.42.不等式 |x+log3x|<|x|+|log x|的解集为3A.(0 ，1)B.(1， +∞ )C.(0,+ ∞ )D.(－∞ ,+∞ )3.已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于右焦点到右顶点的距离的 2 倍，则双曲线的离心率 e 的值为A. 25C.3D.2 B.34.一个等差数列n1项的平均值是5，若从中抽取一项，余下项{ a } 中，a =－ 5,它的前 11的平均值是 4，则抽取的是A. a11B.a10C.a9D.a8－1等于5.设函数 f(x)=log a x(a>0,且 a≠ 1)满足 f(9)=2,则 f (log 92)A.2B. 21D. ±2 C.26.将边长为 a 的正方形ABCD 沿对角线 AC 折起，使得 BD=a,则三棱锥 D —ABC 的体积为A. a3B. a3C. 3 a3D. 2 a361212127.设 O、A、B、C 为平面上四个点，OA =a，OB =b，OC =c，且 a+b+c=0 ，a·b=b·c=c·a=－1,则 |a|+|b|+|c|等于A.22B.23C.32D.338.将函数 y= f( x)sinx 的图象向右平移个单位，再作关于 x 轴的对称曲线，得到函数4y=1－ 2sin2 x 的图象，则f(x)是A.cosxB.2cosxC.sinxD.2sin x9.椭圆 x2y 2 =1 上一点 P 到两焦点的距离之积为 m ，当 m 取最大值时， P 点坐标259为A. （ 5， 0），（－ 5，0）B.（ 2 ,32 ）（ 5, 3 2 ）52 2 2C.（ 5 2 , 3 ）（－5 2, 3） D.（ 0，－ 3）（ 0，3）22 22P 箱中有红球 1 个，白球 9 个， Q 箱中有白球 7 个，（P 、 Q 箱中所有的球除.现随意从 P 箱中取出 3 个球放入 Q 箱，将 Q 箱中的球充分搅匀后， 再 3个球放入 P 箱，则红球从 P 箱移到 Q 箱，再从 Q 箱返回 P 箱中的A.19 C.1 35B.100D.100511.如图，正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1 中，点 P 在侧面1 1及其边界上运动， 并且总是保持1BCC B AP ⊥BD ，则动点 P的轨迹是A . 线段B 1CB. 线段 BC 1C . BB 1 中点与 CC 1 中点连成的线段D. BC 中点与 11中点连成的线段B C题号 1答案二、填空题2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112.已知 (2 x x 2 p)6 的展开式中，不含 x 的项是 20 , 则 p 的值是 ______.2713.点 P 在曲线 y=x 3－ x+ 2上移动，设过点 P 的切线的倾斜角为, 则 的取值范围3是 _____.14.在如图的 1× 6 矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格， 且相邻两格不同色， 则不同的涂色方案有 ______种 .颜色外完全相同）从 Q 箱中随意取出概率等于10.已知能是①矩形；②直角梯形；③菱形；④正方形中的______（写出所有可能图形的序号）.综合小测 5一、选择题1．在数列 { a n }中, a 11, a n 1a n 2 1则此数列的前 4 项之和为 （）A ．0B ． 1C ． 2D ．－ 22．函数 ylog 2 x log x (2x) 的值域是（）A ． (, 1]B ． [3,)C ． [ 1,3]D ． (, 1] [3, )3．对总数为 N 的一批零件抽取一个容量为30 的样本，若每个零件被抽取的概率为1 ，4则 N 的值（ ）A ．120B ． 200C ． 150D ． 1004．若函数 yf (x)的图象和 ysin( x)的图象关于点 P( ,0)对称 ,则 f ( x) 的表达4 4式是（ ）A ． cos(x) B ． cos(x4) C ．cos(x)D ． cos(x)4445．设 (ab)n 的展开式中，二项式系数的和为256，则此二项展开式中系数最小的项是（）A ．第 5 项B ．第 4、 5 两项C ．第 5、6 两项D ．第 4、 6 两项6．已知 ab0,全集 UR,集合 M{ x | bxa b}, N { x | abx a} ，2P { x | bx ab }, 则 P, M , N 满足的关系是（ ）A ． P MNB ．C ． PM(C U N )D ．P MNP (C U M )N7． 从湖中打一网鱼，共M 条，做上记号再放回湖中，数天后再打一网鱼共有n 条，其中有 k 条有记号，则能估计湖中有鱼（）n k条M kA ．M条B．M C．n条 D ．n条k n k M8．函数f (x) | x |,如果方程f ( x) a 有且只有一个实根，那么实数 a 应满足（）A ．a<0B． 0<a<1C． a=0 D ． a>19．设M (cos xcosx,sin x sinx)( x R) 为坐标平面内一点，O 为坐标原点，3535记 f(x)=|OM| ，当 x 变化时，函数f(x)的最小正周期是（）A ．30πB． 15πC． 30 D ． 1510．若函数 f (x)x3ax2bx 7 在 R 上单调递增，则实数 a, b 一定满足的条件是（）A ．a23b 0B．a23b 0C．a23b 0 D ．a23b 1题号12345678910答案二、填空题：11．“面积相等的三角形全等”的否命题是命题（填“真”或者“假”）12 ．已知tan3(1 m)且3(tan tan m) tan0, ,为锐角,则的值为13．某乡镇现有人口 1 万，经长期贯彻国家计划生育政策，目前每年出生人数与死亡人数分别为年初人口的 0.8%和 1.2%，则经过 2 年后，该镇人口数应为万 . （结果精确到 0.01）14．(理 )“渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的正整数（如34689） .则五位“渐升数”共有个，若把这些数按从小到大的顺序排列，则第100个数为.10 / 21综合小测 6一、选择题1. 给出两个命题： p ：|x|=x 的充要条件是 x 为正实数； q ：存在反函数的函数一定是单调函数，则下列哪个复合命题是真命题（）A ．p 且 qB ． p 或 q┐┐C ． p 且 qD ． p 或 q2.给出下列命题：其中正确的判断是（ ）A. ①④B. ①②C.②③D. ①②④3.抛物线 y=ax 2(a<0) 的焦点坐标是 （）A. （0， a）B.(0,1 ) C.(0,－1 ) D.( － 1 ,0)44a4a4a4.计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2 进 1”如（ 1101） 2 表示二进制数，将它转换成十进制形式是1× 23+1× 22+0 ×21 +1× 20=13 ，那么将二进制数转换成十进制形式是 （ ）A.2 17－ 2B.216－ 2C.216－ 1D.2 15－ 15.已知 f(cosx)=cos3x,则 f(sin30 °)的值是 （ ）A.1B.3C.0D. － 124,当 x ∈［－ 3,－1］时，记 f(x)的最大值6.已知 y=f(x)是偶函数，当 x>0 时， f(x)=x+x为 m ，最小值为 n ，则 m － n 等于（）A.2B.1C.3D.32(x3)2 y 2 =1 上的动点，则△7.已知两点 A （－ 1，0）， B （ 0， 2），点 P 是椭圆42PAB 面积的最大值为（）A.4+ 2 3B.4+ 32C.2+ 2 3D.2+ 3232328.设向量 a=(x 1 ，y 1),b=(x 2,y 2),则下列为 a 与 b 共线的充要条件的有 （）①存在一个实数λ ,使得 a=λb 或 b=λa ;② |a· b|=|a|· |b|；③x1y1;④ (a+b)∥ (a－ b). x2y2A.1 个B.2 个C.3 个D.4个9. 如图，点 P 是球 O 的直径 AB 上的动点， PA=x，过点 P 且与 AB 垂直的截面面积记为 y，则 y=1）f(x)的大致图象是（210.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过 5 次传球后，球仍回到甲手中，则不同的传球方式共有（）A.6 种B.10 种C.8 种D.16 种11.已知点 F 1、 F2分别是双曲线x2y2=1 的左、右焦点，过F1且垂直于 x 轴的直a2b2线与双曲线交于A、B 两点，若△ ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A.(1,+ ∞)B.(1, 3 )C.( 2 －1,1+ 2 )D.(1,1+ 2 )题号1234567891011答案二、填空题12.方程 log 2|x|=x2－ 2 的实根的个数为 ______.13.1996 年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡献的三位科学家.C60是由 60 个 C 原子组成的分子，它结构为简单多面体形状.这个多面体有 60 个顶点，从每个顶点都引出3 条棱，各面的形状分为五边形或六边形两种,则 C60分子中形状为五边形的面有______个，形状为六边形的面有 ______个 .14.在底面半径为 6 的圆柱内，有两个半径也为 6 的球面，两球的球心距为13，若作一个平面与两个球都相切，且与圆柱面相交成一椭圆，则椭圆的长轴长为______.15.定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)= － f( x)，且在［－ 1，0］上是增函数，给出下列关于 f(x)的判断：① f(x)是周期函数；② f(x)关于直线 x=1 对称；③ f(x)在［ 0， 1］上是增函数；④ f(x)在［ 1， 2］上是减函数；⑤出所有正确判断的序号).f(2)= f(0),其中正确判断的序号为____________( 写综合小测 7一、选择题1．准线方程为x 3的抛物线的标准方程为（）A ．y26x B．y212 x C．y26x D ．y212x2．函数y sin 2x 是（）A ．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为2π的奇函数D．最小正周期为2π的偶函数3．函数y x21( x0) 的反函数是（）A ．y x1(x 1)B ．y x 1(x1)C．y x1(x1) D．y x1(x 1) 4．已知向量 a(2,1), b(x, 2)且a b与2a b 平行，则 x 等于（）A ．－ 6B． 6C．－ 4 D ． 45．a1是直线ax( 2a1) y 1 0和直线 3x ay 3 0 垂直的（）A ．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分又不必要的条件6．已知直线 a、 b 与平面α，给出下列四个命题①若 a∥ b， b α，则 a∥α ;②若 a∥α， bα，则 a∥ b ;③若 a∥α， b∥α，则 a∥ b;④a⊥α， b∥α，则 a⊥ b.其中正确的命题是（）A ．1 个B． 2 个C． 3 个 D ． 4 个7．函数y sin x cos x, x R 的单调递增区间是（）A．[ 2k,2k3]( k Z )B．[2k3,2k]( k Z )4444C．[2k,2k]( k Z )D．[k3, k]( k Z )82288．设集合 M= { y | y 2 x , x R}, N { y | y x21, x R}, 则 M N 是（）A ．B．有限集C． M D ． N9．已知函数f ( x)满足2 f (x) f (11,则 f ( x) 的最小值是（）)| x |x2B． 2C．22D ．2 2A ．3310．若双曲线x2y21的左支上一点P（ a， b）到直线y x 的距离为2, 则 a +b的值为（）A ．1B．1C．－ 2 D ． 22211．若一个四面体由长度为1， 2，3 的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（）A ．2B． 4C． 6 D ． 812．某债券市场常年发行三种债券， A 种面值为 1000 元，一年到期本息和为 1040 元； B 种贴水债券面值为1000 元，但买入价为960 元，一年到期本息和为1000 元； C 种面值为1000 元，半年到期本息和为1020元. 设这三种债券的年收益率分别为a, b, c，则 a, b, c 的大小关系是（）A ．a c且a b B．a b cC．a c b D．c a b题号123456789101112答案二、填空题13．某校有初中学生 1200 人，高中学生900 人，老师120 人，现用分层抽样方法从所有师生中抽取一个容量为N 的样本进行调查，如果应从高中学生中抽取60 人，那么N=.14．在经济学中，定义Mf ( x) f ( x1) f ( x), 称Mf ( x)为函数 f (x) 的边际函数，某企业的一种产品的利润函数P(x)x330x 21000( x[10,25]且 x N *)，则它的边际函数 MP（ x）=.（注：用多项式表示）15．已知a,b,c分别为△ ABC 的三边，且3a23b 23c 22ab0,则 tanC.16 ．已知下列四个函数：①y log 1 ( x2); ②y3 2 x1; ③ y 1x2 ; ④2y3( x2) 2 .其中 象不 第一象限的函数有.（注：把你 符合条件的函数的序号都填上）综合小测8一、1. 直x cosy 1 0 的 斜角的取 范 是()A.0,B. 0,C., 3D.0,3,24 4442. 方程xlg x3的根 α，[ α ]表示不超 α的最大整数，[ α ]是()A ． 1B ． 2C ． 3D ． 43. 若“ p 且 q ”与“ p 或 q ”均 假命 , ( )A. 命 “非 p ”与“非 q ”的真 不同B. 命 “非 p ”与“非 q ”至少有一个是假命C. 命 “非 p ”与“ q ”的真 相同D. 命 “非 p ”与“非 q ”都是真命4. 1！， 2！， 3！，⋯⋯， n ！的和 S nn()，S 的个位数是A ． 1B ． 3C ． 5D ． 75. 有下列命 ①AB BCAC ＝ 0 ；② a b c ＝ a c b c ；③若 a ＝ ( m ,4),| a | ＝ 23 的充要条件是 m ＝ 7 ；④若 AB 的起点 A(2,1) , 点 B( 2,4) ,BA 与 x 正向所 角的余弦 是4, 其中正确命 有 ( )个5A.0B.1C.2D.36. 左下 中 , 阴影部分的面 是 ( )A.16B.18C.20D.22yx 4D 1C1B 14A 1·N·R－ 2P ·D·My2Q ·C2 xBA7. 如右上 ， 正四棱柱 ABCD – A 1B 1C 1D 1 中，AB=3，BB 1=4.1 的 段 PQ 在棱 AA 1 上移 ， 3 的 段 MN 在棱 CC 上移 ，点 R 在棱 BB 上移 ， 四棱 R – PQMN 的体 是（）118. 用 1， 2， 3， 4 这四个数字可排成必须含有重复数字的四位数有()．．A.265 个B.232 个C.128 个D.24个9.已知定点A(1,1) ， B(3,3) ，动点P在 x 轴正半轴上，若APB取得最大值，则 P 点的坐标（）A．( 2 ,0) B.( 3,0) C.( 6,0) D. 这样的点P不存在10.设 a 、b 、 x 、y均为正数,且 a 、b 为常数,x 、y为变量.若 x y 1 ,则 axby的最大值为 ()a b a b1a b D.( a b) 2A. B.2C.2211.如图所示，在一个盛水的圆柱形容器内的水面以下，有一个用细线吊着的下端开了一个很小的孔的充满水的薄壁小球，当慢慢地匀速地将小球从水下向水面以上拉动时，圆柱形容器内水面的高度h 与时间 t 的函数图像大致是（）h h h hO t1 23t O t1 t2t3t O t1t2 3tO t1 t2t3tt t tA B C D12.4 个茶杯和 5 包茶叶的价格之和小于22 元 , 而 6 个茶杯和 3 包茶叶的价格之和大于 24,则 2 个茶杯和 3 包茶叶的价格比较()A.2 个茶杯贵B.2 包茶叶贵C. 二者相同D.无法确定二、填空题13.对于在区间 [ a ,b ]上有意义的两个函数 f ( x) 和 g (x) ，如果对任意 x[ a, b] ，均有f ( x)g( x)1, 那么我们称f (x)和 g( x)在 [ a, b ] 上是接近的．若函数y x 23x 2 与y 2x3在[a , b ]上是接近的，则该区间可以是.14.在等差数列 a n中 , 已知前20 项之和S20170 , 则a6a9a11a16.15.如图，一广告气球被一束入射角为的平行光线照射，其投影是长半轴长为 5 的椭，制作个广告气球至少需要的面料.16. 由y 2 及 x y x 1 成几何形的面是.综合小测 9一、1.集合 A={ x|x=2 k,k∈ Z}, B={ x|x=2k+1,k∈ Z}, C={ x|x=4k+1,k∈ Z}, 又 a∈ A,b∈ B,有A. a+b∈ AB. a+b∈BC.a+b∈ CD.a+b 不属于 A， B，C 中的任意一个2.已知 f(x)=sin( x+),g(x)=cos( x－), f(x) 的象22A. 与 g(x)的象相同B. 与 g(x)的象关于 y 称C.向左平移个位，得到g(x)的象D. 向右平移个位，得到 g(x)的象223.原点的直与x2+y2+4x+3=0 相切，若切点在第三象限，直的方程是A. y= 3 xB. y=－ 3 xC.y=3D. y=－3 x x 334.函数 y=1－1下列法正确的是,x 1A. y 在 (－ 1,+∞ )内增B. y 在 (－1,+ ∞ )内减C.y 在 (1,+ ∞ )内增D. y 在 (1,+ ∞ )内减5.已知直 m,n 和平面，那么 m∥ n 的一个必要但非充分条件是A. m∥ ,n∥B.m⊥,n⊥C.m∥且 nD.m,n 与成等角6.在 100 个零件中，有一品20 个，二品30 个，三品 50 个，从中抽取 20 个作本：①采用随机抽法，将零件号00，01，02，⋯， 99，抽出 20 个；②采用系抽法，将所有零件分成20 ，每 5 个，然后每中随机抽取 1 个；③采用分抽法，随机从一品中抽取 4 个，二品中抽取 6 个，三品中抽取10 个；A. 不采取哪种抽方法，1 100 个零件中每个被抽到的概率都是5B. ①②两种抽方法，100 个零件中每个被抽到的概率都是1，③并非如此C.①③两种抽样方法，这 100 个零件中每个被抽到的概率都是1，②并非如此5D.采用不同的抽样方法，这100 个零件中每个被抽到的概率各不相同7.曲线 y=x 3 在点 P 处的切线斜率为 k ，当 k=3 时的 P 点坐标为A.( － 2,－ 8)B.( － 1,－ 1),(1,1)C.(2,8)1 1D.(－ ,－)288.已知 y=log a (2－ ax)在［ 0， 1］上是 x 的减函数，则 a 的取值范围是A.(0 ， 1)B.(1 ，2)C.(0， 2)D.［ 2，+∞ )19.已知 lg3,lg(sin x － ),lg(1 －y)顺次成等差数列，则2A. y 有最小值11，无最大值B. y 有最大值1，无最小值12C.y 有最小值11，最大值 1D. y 有最小值－ 1，最大值 11210.若 OA =a ， OB =b ，则∠ AOB 平分线上的向量 OM 为a bB.a bA.| b |()， 由 OM 决定| a || a || b |a bD.| b | a | a | bC.b || a | | b || a 11.一对共轭双曲线的离心率分别是 e 1 和 e 2,则 e 1+e 2 的最小值为 A. 2B.2C.2 2D.412.式子 1 22 32n 2的值为lim222nC 2C 3C nA.0B.1C.2D.3二、填空题13.从 A={ a ,a ,a ,a } 到 B={ b ,b ,b ,b } 的一一映射中，限定a 的象不能是b ，且 b12 34123411 4的原象不能是 a 4 的映射有 ___________个 .14.椭圆 5x 2－ ky 2=5 的一个焦点是 (0， 2)，那么 k=___________.15.已知无穷等比数列首项为 2，公比为负数， 各项和为 S ，则 S 的取值范围是 _______.16.已知 a n 是 (1+ x)n 的展开式中 x 2的系数，则 lim (111) =___________.na 2 a 3a n综合小测 10一、选择题1．（理）全集设为 U ，P 、S 、T 均为 U 的子集，若P （U T ）＝（ U T ）S 则（ ）A ． PT S SB ． P ＝T ＝ SC ． T ＝ UD ． P U S ＝ T（ 文 ） 设 集 合 M { x | x m0} ， N{ x | x 22x 8 0} ， 若 U ＝ R ， 且UMN，则实数 m 的取值范围是（）A ．m ＜2B ． m ≥2C ． m ≤ 2D ． m ≤ 2 或 m ≤ - 42．（理）复数( 55i) 3 (3 4i ) （ ）4 3iA ．10 5i 10 5B ． 10 5 10 5iC ． 10 5 10 5iD ． 10 5 10 5i（文）点 M （ 8， - 10），按 a 平移后的对应点M 的坐标是（ - 7， 4），则 a ＝（ ）A ．（ 1， - 6）B ．（ - 15， 14）C ．（- 15， - 14）D ．（15， - 14）3．已知数列 { a n } 前 n 项和为 S n1 59 13 1721( 1) n 1( 4n 3) ，则S 15S22S 31 的值是（）A ．13B ． - 76C ． 46D ．764．若函数 f ( )(x 3 )33 x a x的递减区间为 （，33），则 a 的取值范围是 （ ）A ．a ＞ 0B ． - 1＜ a ＜0C ． a ＞1D ．0＜ a ＜ 15．与命题“若 a M 则 b M ”的等价的命题是（ ）A ．若 a M ，则 b MB ．若 b M ，则 a MC ．若 a M ，则 b MD ．若 b M ，则 a M6．（理）在正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1 中， M ，N 分别为棱 AA 1 和 BB 1 之中点，则 sin（ CM ， D 1N ）的值为（）A ．1B ． 45C ．25D ．295 93（文）已知三棱锥S- ABC 中， SA ， SB ，SC 两两互相垂直，底面 ABC 上一点 P 到三个面 SAB ， SAC ， SBC 的距离分别为2 ，1，6 ，则 PS 的长度为（ ）A ．9B ．5C ．7D ． 37．在含有 30 个个体的总体中，抽取一个容量为5 的样本，则个体 a 被抽到的概率为（）A ．1B．1C．1D ．5 306x2568．（理）已知抛物线C：y mx2与经过 A（ 0， 1）， B（ 2， 3）两点的线段AB 有公共点，则m 的取值范围是（）A ．(， 1][3 ，)B． [3，)C．(， 1]D． [- 1， 3]（文）设 x R ，则函数 f (x)(1| x |)(1x) 的图像在x轴上方的充要条件是（）A ．- 1＜ x＜ 1B． x＜ - 1 或 x＞ 1C．x＜ 1D． - 1＜ x＜1 或 x＜ - 19．若直线 y＝ kx＋ 2与双曲线 x2y 2 6 的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是（）A ．(15 ， 15 )B．(0，15)C．(15， 0) D ．(15， 1)33333 10． a， b， c （0，＋∞）且表示线段长度，则a， b，c 能构成锐角三角形的充要条件是（）A ．a2b2c2B ．| a2b2 | c2C．| a b | c | a b | D ．| a2b2 | c 2a2b211．今有命题 p、q，若命题 S 为“ p 且 q”则“或”是“”的（）A ．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件12．（理）函数y x 4153x 的值域是（）A ．[1， 2]B． [0， 2]C．（ 0，3] D ．[1，3]（文）函数 f (x) 与g(x) (76)x2图像关于直线x- y 0对称，则 f ( 4 x)的＝单调增区间是（）A ．（ 0， 2）B ．（ - 2， 0）C．（ 0，＋∞）D．（ - ∞， 0）二、填空题13．等比数列{ a n}的前 n 项和为S n，且某连续三项正好为等差数列{ b n } 中的第1，5， 6 项，则lim Sn 2________．n na114．若lim ( x2x 1 x k ) 1，则k＝________．x15．有 30 个顶点的凸多面体，它的各面多边形内角总和是________．16．长为 l ( 0＜ l＜ 1 )的线段 AB 的两个端点在抛物线y x2上滑动，则线段AB 中点 M 到 x 轴距离的最小值是________．21 / 21。
高三理科数学试卷含答案
卜人入州八九几市潮王学校高三理科数学下学期试卷含答案
一、选择题〔本大题一一共10小题，每一小题5分，一共50分，在每一小题给出的四个选顶中，只有一个符合题目要求的〕 1、复数1zabi、2zbai〔abR、〕，假设复数12zz、在复平面内对应的点分别为12ZZ、，那么12OZOZ的值等于
A、22abB、22ab
C、0D、一个与a、b的值有关的数 2、设,2|3|xxBxxA、那么""BxAx或是""BAx的 A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件 3、以下函数中值域是),0(的函数是
A、xy215 B、xy1)21(
C、xy21D、121xy 4、在等差数列na中，假设1594aaa，那么46
tan()aa
A、33 B、3 C、1 D、1 5、314sin，那么4cos的值等于
A、322 B、322 C、31 D、3
1
6、向量5(1,2)(2,4)||5(),2abcabcac、、，若则与的夹角为 A、300 B、600 C、1200 D、1500 7、假设双曲线18222xay的一条准线与抛物线yx82的准线重合，那么双曲线的离心率为 A、2 B、22 C、4 D、24
8、过△ABC的重心G作一直线分别交AB、AC于D、E，假设0,,xyACyAEABxAD，那么yx11的值是 A、1 B、2 C、3 D、4 9、04)(21]1,(2xxaa，x不等式时恒成立，那么a的取值范围是 A、)41,1( B、)23,21( C、]41,( D、]6,( 10、)1ln()(;2)(;cos)(;sin)(4321xxfxxfxxfxxf是定义在[,0]上的四个函数，其中满足性质：“对任意1],1,0[],,0[21且、任意、xx，有 )()()(2121xfxfxxf恒成立〞的只有
高三理科数学函数选择填空题精选精练
高三数学复习函数选择填空题一、选择题1．下列四个函数中,既是奇函数又在定义域上单调递增的是（ ）A ．()ln f x x =B ．()2sin f x x x =+C ．1()f x x x=+ D ．()x x e f e x -=+2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩.若()()2(1)f a f a f -+≤，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,0)-B ．[]0,1C ．[]1,1-D ．[]2,2-3．若0.52a =，πlog 3b =，22πlog sin5c =，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．a b c >> D ．c a b >>4．已知函数3()),f x x x =-则对于任意实数,(0)a b a b +≠,则()()f a f b a b++的值为（ ）A ．恒正B ．恒等于0C ．恒负D ．不确定5．已知24()2,()f x x px q g x x x =++=+是定义在集合5{|1}2M x x =≤≤上的两个函数．对任意的x M ∈,存在常数0x M ∈，使得0()()f x f x ≥，0()()g x g x ≥，且00()()f x g x =．则函数()f x 在集合M 上的最大值为( ) A ．92 B ．4 C ．6 D ．8926．已知函数)(x f y =)(R x ∈满足(2)2()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()1f x x =-+，则当[10,10]x ∈-时，)(x f y =与4()log g x x =的图象的交点个数为( )A ．13B ．12C ．11D ．107．对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线11:m kx y l +=和22:m kx y l +=，使得当D x ∈时，21)(m kx x f m kx +≤≤+恒成立，则称函数)(x f 在（x ∈D ）有一个宽度为d 的通道。
【高三数学试题】高三数学试题1(理科)及参考答案
高三数学试题1(理科)一、选择题1、设集合{1,2}A =,则满足{1,2,3}A B ⋃=的集合B 的个数是（ ）A ．1B ．3C ．4D ．82、若集合{|3},{|33}xM y y P x y x ====-，则M P I =（ ） A {|1}x x > B {|1}y y ≥ C {|0}y y > D {|0}x x ≥3、已知命题p ：若,022=+y x 则x 、y 全为0；命题q ：若a b >，则11a b <．给出下列四个命题：①p 且q ，②p 或q ，③p 的逆否命题，④ q ⌝，其中真命题的个数为（ ）()A 1()B 2 ()C 3 ()D 44．集合{}22M x x =-≤≤，{}02N y y =≤≤，给出下列四个图形，其中能表示以M 为定义域，N 为值域的函数关系的是（ ）.5、已知集合A ＝{(x ，y)|32y x --=1，x ，y ∈R}，B={(x ，y)|y=ax+2，x ，y ∈R}，若A ⋂B ＝∅，则a 的值为（ ）A ．a ＝1或a ＝32B ．ａ＝１或a ＝12 C ．a ＝2或a ＝3 D ．以上都不对 6、若函数)(212)(为常数a k k x f xx⋅+-=在定义域上为奇函数，则的值为k （ ）A ． 1 B. 1- C. 1± D. 07、若函数()(2)()[1,1]()||,()f x f x f x x f x x y f x +=∈-==满足且时则函数的图象与 函数||log 3x y =的图像的交点个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．多于4x y 0-2 2x y 0 -2 22 xy 0 -2 22 xy 0 -2 2 2A. B. C . D.8、已知函数2()24(03),f x ax ax a =++<<若1212,1,x x x x a <+=-则（ ）A ．12()()f x f x >B ．12()()f x f x <C ．12()()f x f x = D ．1()f x 与2()f x 的大小不能确定二、填空题9、设,0.(),0.x e x g x lnx x ⎧≤=⎨>⎩则1[()]2g g =__________．10．已知函数22(),1x f x x R x =∈+，则1()()f x f x += ；11、设0)1)((:;1|34:|≤---≤-a x a x q x p ，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是 .12、若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。
高考数学(人教a版,理科)题库：二项分布与正态分布(含答案).
第8讲二项分布与正态分布一、选择题1．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为( )A．0.6 B．0.7C．0.8 D．0.66解析甲市为雨天记为事件A，乙市为雨天记为事件B，则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12，∴P(B|A)＝P ABP A＝0.120.2＝0.6.答案 A2．投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A，“骰子向上的点数是3”为事件B，则事件A，B中至少有一件发生的概率是( )A.512B.12C.712D.34解析本题涉及古典概型概率的计算．本知识点在考纲中为B级要求．由题意得P(A)＝12，P(B)＝16，则事件A，B至少有一件发生的概率是1－P(A)·P(B)＝1－12×56＝712.答案 C3．在4次独立重复试验中，随机事件A恰好发生1次的概率不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中发生的概率p的取值范围是()．A．[0.4,1] B．(0,0.4]C．(0,0.6] D．[0.6,1]解析设事件A发生的概率为p，则C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，解得p≥0.4，故选A.答案 A4．设随机变量X 服从正态分布N (2,9)，若P (X >c ＋1)＝P (X <c －1)，则c 等于( )． A ．1B ．2C ．3D ．4解析 ∵μ＝2，由正态分布的定义，知其函数图象关于x ＝2对称，于是c ＋1＋c －12＝2，∴c ＝2. 答案 B5．在正态分布N ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，19中，数值前在(－∞，－1)∪(1，＋∞)内的概率为( )．A ．0.097B ．0.046C ．0.03D ．0.0026 解析 ∵μ＝0，σ＝13∴P (X ＜1或x ＞1)＝1－P (－1≤x ≤1)＝1－P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案 D6．已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi·e －(x －μi )22σ2i (x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，则 ( )．A ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3B ．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3C ．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3D ．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3解析 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1＜μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案 D 二、填空题7．三支球队中，甲队胜乙队的概率为0.4，乙队胜丙队的概率为0.5，丙队胜甲队的概率为0.6，比赛顺序是：第一局是甲队对乙队，第二局是第一局的胜者对丙队，第三局是第二局胜者对第一局的败者，第四局是第三局胜者对第二局败者，则乙队连胜四局的概率为________．解析设乙队连胜四局为事件A，有下列情况：第一局中乙胜甲(A1)，其概率为1－0.4＝0.6；第二局中乙胜丙(A2)，其概率为0.5；第三局中乙胜甲(A3)，其概率为0.6；第四局中乙胜丙(A4)，其概率为0.50，因各局比赛中的事件相互独立，故乙队连胜四局的概率为：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09.答案 0.098．设随机变量X服从正态分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，则P(－1<X<0)＝________.解析∵P(X≤1)＝0.841 3，∴P(X>1)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7.∵X～N(0,1)，∴μ＝0.∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7，∴P(－1<X<1)＝1－P(X<－1)－P(X>1)＝0.682 6.∴P(－1<X<0)＝12P(－1<X<1)＝0.341 3.答案0.341 39．设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，记Ф(x)＝P(ξ＜x)，给出下列结论：①Φ(0)＝0.5；②Φ(x)＝1－Φ(－x)；③P(|ξ|＜2)＝2Φ(2)－1.则正确结论的序号是________．答案①②③10．商场经营的某种包装大米的质量(单位：kg)服从正态分布X～N(10,0.12)，任选一袋这种大米，质量在9.8～10.2 kg的概率是________．解析P(9.8<X<10.2)＝P(10－0.2<X<10＋0.2)＝0.954 4.答案0.954 4三、解答题11．设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数．解由题意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1，∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7，∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ)＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1，∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．12．在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上的学生有13人．(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？解设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．则μ＝60，σ＝10.(1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4.∴P(X＞90)＝12[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3∴学生总数为：130.001 3＝10 000(人)．(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8. 设分数线为x.则P(X≥x0)＝0.022 8.∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.∴x0＝60＋2×10＝80(分)．13．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.(1)确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；(2)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率．(注：将频率视为概率)解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，将频率视为概率得P(X＝1)＝15100＝320，P(X＝1.5)＝30100＝310，P(X＝2)＝25100＝14，P(X＝2.5)＝20100＝15，P(X＝3)＝10100＝110.X的分布列为X的数学期望为E(X)＝1×320＋1.5×310＋2×14＋2.5×15＋3×110＝1.9.(2)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，X i(i＝1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)．由于各顾客的结算相互独立，且X1，X2的分布列都与X的分布列相同，所以P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1)＝320×320＋320×310＋310×320＝980.故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.14．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．(1)求该射手恰好命中一次的概率；(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望E (X )．解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A ，“该射手射击甲靶命中”为事件B ，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C ，“该射手第二次射击乙靶命中”为事件D .由题意，知P (B )＝34，P (C )＝P (D )＝23， 由于A ＝B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ， 根据事件的独立性和互斥性，得 P (A )＝P (B C － D －＋B －C D －＋B － C －D ) ＝P (B C － D －)＋P (B －C D －)＋P (B － C －D )＝P (B )P (C －)P (D －)＋P (B －)P (C )P (D －)＋P (B －)P (C －)P (D )＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝736.(2)根据题意，知X 的所有可能取值为0,1,2,3,4,5.根据事件的独立性和互斥性，得P (X ＝0)＝P (B － C － D －) ＝[1－P (B )][1－P (C )][1－P (D )] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝136； P (X ＝1)＝P (B C － D －)＝P (B )P (C －)P (D －)＝34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＝112；P (X ＝2)＝P (B － C D －＋B － C － D )＝P (B － C D －)＋P (B － C －D ) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝19； P (X ＝3)＝P (BC D －＋B C －D )＝P (BC D －)＋P (B C －D ) ＝34×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23＋34×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23＝13；P (X ＝4)＝P (B －CD )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－34×23×23＝19，P (X ＝5)＝P (BCD )＝34×23×23＝13. 故X 的分布列为所以E (X )＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×13＝4112.。
高三数学选择题、填空题专项训练
高三数学专项训练（1）1．sin600︒ = ( )(A) –23 (B)–21. (C)23. (D) 21. 2．设A = { x| x ≥ 2}, B = { x | |x – 1|< 3}, 则A ∩B= ( )(A)[2，4] (B)（–∞，–2] (C)[–2，4] (D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为 ( )(A)23. (B)3. (C)32. (D)21.4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为 ( )(A)b. (B)2cb +. (C)2cosB. (D)2sinB. 5．当x ∈ R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤ f ( x ) ≤ b, 则a + b 等于 ( ) (A)0 (B) 1 + 22. (C)1–22. (D)22–1. 6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（ ） （A ）单调递增的函数. （B ）单调递减的函数. （C ）先减后增的函数 . （D ）先增后减的函数.7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b > 0是使ax + b > 0恒成立的（ ）(A)充要条件 (B)充分不必要条件(C)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，··· ，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（ ）(A)90个 . (B)120个. (C)180个. (D)200个.9．已知函数y = f ( x )（x ∈R ）满足f (x +1) = f ( x – 1)，且x ∈[–1，1]时，f (x) = x 2，则y = f ( x ) 与y = log 5x 的图象的交点个数为 ( )(A)1. (B)2 . (C)3 . (D)4. 10．给出下列命题 (1) 若0< x <2π, 则sinx < x < tanx . (2) 若–2π< x< 0, 则sin x < x < tanx.(3) 设A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，若A > B > C, 则sinA > sinB > sinC. (4) 设A ，B 是钝角△ABC 的两个锐角，若sinA > sinB > sinC 则A > B > C.. 其中，正确命题的个数是（ ）(A) 4. （B ）3. （C ）2. （D ）1.11. 某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km ，票价是0.5元/km ， 如果超过100km ， 超过100km 部分按0.4元/km 定价，则客运票价y 元与行程公里数x km 之间的函数关系式是 .12. 设P 是曲线y = x 2– 1上的动点，O 为坐标原点，当|→--OP |2取得最小值时，点P 的坐标为 .13、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对应的边为c b a ,, （1）若,cos 2)6sin(A A =+π求A 的值；（2）若c b A 3,31cos ==，求C sin 的值.14、某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1．2．3．4．5．现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：（I ）若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有4件，等级系数为5的恰有2件，求a 、b 、c 的值；（11）在（1）的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1,x 2,x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1,y 2，现从x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,这5件日用品中任取两件（假定每件日用品被取出的可能性相同），写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率。
03.高三数学选择题填空题专项训练十套-人教版[1]
高三数学选择题+填空题专项训练（一）1．sin600︒=()(A)–23(B)–21.(C)23.(D)21.2．设A ={x|x ≥2},B ={x ||x –1|<3},则A ∩B=()(A)[2，4）(B)（–∞，–2](C)[–2，4）(D)[–2，+∞）3．若|a |=2sin150，|b |=4cos150，a 与b 的夹角为300，则a ·b 的值为()(A)23.(B)3.(C)32.(D)21.4．△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则a cos C+c cos A 的值为()(A)b.(B)2cb +.(C)2cosB.(D)2sinB.5．当x ∈R 时，令f (x )为sinx 与cosx 中的较大或相等者，设a ≤f (x )≤b,则a +b 等于()(A)0(B)1+22.(C)1–22.(D)22–1.6、函数1232)(3+-=x x x f 在区间[0,1]上是（）（A ）单调递增的函数.（B ）单调递减的函数.（C ）先减后增的函数.（D ）先增后减的函数.7．对于x ∈[0，1]的一切值，a +2b >0是使ax +b >0恒成立的（）(A)充要条件(B)充分不必要条件(C)必要不充分条件(D)既不充分也不必要条件8．设{a n }是等差数列，从{a 1，a 2，a 3，···，a 20}中任取3个不同的数，使这三个数仍成等差数列，则这样不同的等差数列最多有（）(A)90个.(B)120个.(C)180个.(D)200个.9．已知函数y=f(x)（x∈R）满足f(x+1)=f(x–1)，且x∈[–1，1]时，f(x)=x2，则y=f(x)与y=log5x的图象的交点个数为()(A)1.(B)2.(C)3.(D)4.10．给出下列命题：π,则sinx<x<tanx.(1)若0<x<2π<x<0,则sin x<x<tanx.(2)若–2(3)设A，B，C是△ABC的三个内角，若A>B>C,则sinA>sinB>sinC.(4)设A，B是钝角△ABC的两个锐角，若sinA>sinB>sinC则A>B>C..其中，正确命题的个数是（）(A)4.（B）3.（C）2.（D）1.11.某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km部分按0.4元/km定价，则客运票价y元与行程公里数x km之间的函数关系式是.12.设P是曲线y=x2–1上的动点，O为坐标原点，当|→--OP|2取得最小值时，点P 的坐标为.高三数学选择题+填空题专项训练（二）1．函数12x y -=(x >1)的反函数是（）（A ）y =1+log 2x (x >1)（B ）y =1+log 2x (x >0)（C ）y =－1+log 2x (x >1)（D ）y =log 2(x －1)(x >1)2．设集合A ={(x ,y )|y =2si n 2x }，集合B ={(x ,y )|y =x }，则（）（A ）A ∩B 中有3个元素（B ）A ∩B 中有1个元素（C ）A ∩B 中有2个元素（D ）A ∪B =R3．焦点在直线3x －4y －12=0上的抛物线的标准方程为（）（A ）x 2=－12y （B ）y 2=8x 或x 2=－6y （C ）y 2=16x（D ）x 2=－12y 或y 2=16y4．在△ABC 中“A >B ”是“cos A <cos B ”的（）（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件5．已知mn ≠0，则方程mx 2+ny 2=1与mx +ny 2=0在同一坐标系下的图象可能是（）6．在数列{a n }中，已知1n n ca n +=+(c ∈R )，则对于任意正整数n 有（）（A ）a n <a n +1（B ）a n 与a n +1的大小关系和c 有关（C ）a n >a n +1（D ）a n 与a n +1的大小关系和n 有关二．填空题：7．函数f (x )=12log (1)x -+的定义域为。
高考理科数学一轮复习专题训练：数列(含详细答案解析)
B ． 3 2．在正项等比数列{a }中，已知 a 4 = 2 ， a = ，则 a 5 的值为（ 8= 2 ， a = ，可得 8 q 4 = 8 = ，又因为 q > 0 ，所以 q = 1 2 2127B ．35063C ．28051D ． 3502第 7 单元 数列（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若 a 1=12，S 5=90，则等差数列{a n }公差 d =（）A ．2【答案】C2 C ．3D ．4【解析】∵a =12，S =90，∴ 5 ⨯12 + 1 5 5 ⨯ 4 2d = 90 ，解得 d=3，故选 C ．n 8 1 ）1 1 A ． B ． - C ． -1 D ．14 4【答案】D【解析】由题意，正项等比数列{a }中，且 a n 48 1 a 1 a 16 41，则 a = a ⋅ q = 2 ⨯ = 1 ，故选 D ．5 43．在等差数列{a n}中， a 5+ a = 40 ，则 a + a + a = （ ） 13 8 9 10A ．72B ．60C ．48D ．36【答案】B【解析】根据等差数列的性质可知： a 5 + a 13 = 40 ⇒ 2a 9 = 40 ⇒ a 9 = 20 ，a + a + a = 2a + a = 3a = 60 ，故本题选 B ．8 9109994．中国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里”．其大意：现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，连续走了7 天，共走了 700 里，则这匹马第 7 天所走的路程等于（）A ．700里里 里【答案】A127里【解析】设马每天所走的路程是 a 1, a 2 ,.....a 7 ，是公比为1的等比数列，a 1 - ( )7 ⎪a = a q 6= 7005．已知等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，且 a=10(a +a )2= 5(a + a ) = 5(a + a ) > 0 ， S =2 = 11a < 0 ， (a + 2d - 1)2 = (a + d - 1)(a + 4d - 1) ⎩ d = 2这些项的和为 700， S = 7 ⎛ 1 ⎫ 1 ⎝ 2 ⎭1 - 12 = 700 ⇒ a =1 64 ⨯ 700 127 ，7 1 127 ，故答案为 A ．a 5< -1 ，则满足 S 6n> 0 的最大正整数 n 的值为（）A ．6B ．7C ．10D ．12【答案】C【解析】设等差数列{a n } 的公差为 d ，因为等差数列{a n } 的前 n 项和 S n 有最大值，所以 d < 0 ，a又 a 5 < -1 ，所以 a 5 > 0 ， a 6 < 0 ，且 a 5 + a 6 > 0 ，6 所以 S1 101 10 5 6 11 所以满足 S n > 0 的最大正整数 n 的值为 10．11(a + a )1 1166．已知等差数列{a n}的公差不为零， Sn为其前 n 项和， S 3 = 9 ，且 a 2 - 1 ， a 3 - 1， a 5 - 1构成等比数列，则 S 5 = （ ）A ．15B ． -15C ．30D ．25【答案】D【解析】设等差数列{a n}的公差为 d (d ≠ 0)，⎧⎪3a + 3d = 9⎧a = 1 由题意 ⎨ 1 ，解得 ⎨ 1 ⎪⎩ 1 1 1．∴ S = 5 ⨯1 +5 5 ⨯ 4 ⨯ 22 = 25 ．故选 D ．7．在等差数列{a n } 中， a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，则数列{a n } 的前 11 项和等于（A ．66B ．132C ． -66D ． -132【答案】D）S = 11⨯ (a + a ) 2 2 2 = 15 ，解得 n = 5 ，( )nC ． a = 3n -1D ． a =3n【解析】因为 a 3 ， a 9 是方程 x 2 + 24 x + 12 = 0 的两根，所以 a 3 + a 9 = -24 ，又 a 3 + a 9 = -24 = 2a 6 ，所以 a 6 = -12 ，11⨯ 2a1 11 = 6 = -132 ，故选 D ． 118．我国南宋数学家杨辉 1261 年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为 2n -1 ，若去除所有为 1 的项，依次构成数列 2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前 15 项和为（）A ．110B ．114C ．124D ．125【答案】B【解析】由题意， n 次二项式系数对应的杨辉三角形的第 n +1行， 令 x = 1 ，可得二项展开式的二项式系数的和 2n ，其中第 1 行为 2 0 ，第 2 行为 21 ，第 3 行为 22 ，L L 以此类推，即每一行的数字之和构成首项为 1，公比为 2 的对边数列，则杨辉三角形中前 n 行的数字之和为 S = n 1- 2n1- 2 = 2n - 1，若除去所有为 1 的项，则剩下的每一行的数字的个数为1,2,3, 4,L ，可以看成构成一个首项为 1，公差为 2 的等差数列，则T =n n (n + 1)2 ，令 n (n + 1)所以前 15 项的和表示前 7 行的数列之和，减去所有的 1，即 27 - 1 - 13 = 114 ，即前 15 项的数字之和为 114，故选 B ．9．已知数列{a }的前 n 项和为 S nn，满足 2S n =3a n -1 ，则通项公式 a n 等于（）A ． a = 2n- 1n【答案】CB ． a= 2nn n： ， + ， + + ， + + + ， ，那么数列 {b }= ⎧⎨ 1 ⎩ a an n +1 ⎭n + 1 ⎭C ． 4 ⨯ ⎝ 2 n + 1 ⎭D ．⎝ 1 + 2 + ⋅⋅⋅ + n n2 a an (n + 1) ⎝ n n + 1 ⎭ = = = 4 ⨯ - ⎪ ， ∴ S = 4 ⨯ 1 - + - + - + ⋅⋅⋅ + - = 4 ⨯ 1 - ⎪ 2 2 3 3 4 n n + 1 ⎭ ⎝ ⎝⎪ ， 1 1 ⎫【解析】当 n = 1 时， 2S 1 = 3a 1 -1 ，∴ a 1 = 1 ，当 n ≥ 2 且 n ∈ N * 时， 2S n -1 = 3a n -1 - 1 ，则 2S n - 2Sn -1 = 2a n = 3a n - 1 - 3a n -1 + 1 = 3a n - 3a n -1 ，即 a n = 3an -1，∴ 数列 {a }是以1 为首项， 3 为公比的等比数列∴ a nn= 3n -1 ，本题正确选项 C ． 10．已知数列 满足，且 ，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】利用排除法，因为，当当当当时，时，时，时， ，排除 A ；，B 符合题意；，排除 C ；，排除 D ，故选 B ．11．已知数列为（）1 12 1 23 1 2 34 2 3 3 4 4 45 5 5 5⋯ n ⎫ ⎬ 前 项和A ．1 - 1 ⎛ n + 1B ． 4 ⨯ 1 - 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ - 1 ⎫⎪1 1-2 n + 1【答案】B【解析】由题意可知： a =nn (n + 1)= = ， n + 1 n + 1 2∴ b = 1n n n +11 4 ⎛ 1 1 ⎫ n n + 1 ⋅2 2⎛ 1 1 1 1 1 ⎛ n本题正确选项 B ．1 ⎫n + 1 ⎭12．已知数列{a }满足递推关系： a ， a = ，则 a 2017= （12016B ． 12018D ． 1=a 2 -= 1 ． ⎩ a∴ 1=1}满足 a 2 q ，可设三数为 ， a ， aq ，可得 ⎪⎨ a⎪ q 求出 ⎨ ，公比 q 的值为 1．=3an n +1 = a 1 n a + 12 n）A ．12017C ．12019【答案】C【解析】∵ ana + 1 n1， a = ，∴ 1 1 1 a a n +1 n⎧ 1 ⎫∴数列 ⎨ ⎬ 是等差数列，首项为 2，公差为 1．n ⎭a2017= 2 + 2016 = 2018 ，则 a2018 ．故选 C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知等比数列{a n 1 = 12 ，且 a 2a 4 = 4(a3 - 1) ，则 a 5 = _______．【答案】8【解析】∵ a 2a 4 = 4(a 3 - 1) ，∴ a 3 = 4(a 3 -1) ，则 a 3 = 2 ，∴ a = 5 a 2 3 = a122 1 2= 8 ，故答案为 8．14．若三数成等比数列，其积为 8，首末两数之和为 4，则公比 q 的值为_______．【答案】1【解析】三数成等比数列，设公比为⎧a = 2⎩ q = 1⎧ a3 = 8 a q + aq =4 ⎩，15．在数列 {an}中，a 1= 1 ， an 3 + a n(n ∈ N *)猜想数列的通项公式为________．=3a4 3 + a 53 + a 6 3a 3a 32 数列的通项公式为 a = 3n + 2 n + 2+ = (m + n) + ⎪ = 10 + + ⎪ ≥ 10 + 2 ⋅ ⎪⎪ = 2 ， n m ⎭ 8 ⎝ n m ⎭【答案】3n + 2【解析】由 an 3 + a n， a = 1 ，可得 a = 1 2 3a 1 3 + a 13 3 3= ， a = = ， a == ，……，∴ 猜想 3 4 2 33，本题正确结果 ．n16．已知正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，若存在两项 a m ， a n ，使得 8 a m a n = a 1 ，则9 1+ 的最小值 mn为__________．【答案】2【解析】Q 正项等比数列{a n } 满足 2a 5 + a 4 = a 3 ，∴ 2a 1q 4 +a 1q 3 =a 1q 2 ，整理得 2q 2 +q - 1 = 0 ，又 q > 0 ，解得 q = 12，Q 存在两项 a ， a 使得 8 a ⋅ a = a ，∴ 64a 2 q m +n -2 = a 2 ，整理得 m + n = 8 ，m nmn111∴则 9 1 1 ⎛ 9 1 ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ 1 ⎛ m 9n ⎫ m n 8 ⎝ m n ⎭ 8 ⎝9 1 m 9n+ 的最小值为 2，当且仅当 = 取等号，但此时 m ， n ∉ N * ．m n n m又 m + n = 8 ，所以只有当 m = 6 ， n = 2 时，取得最小值是 2．故答案为 2．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10 分）已知等差数列{a n（1）求 {a}的通项公式；n}的公差不为 0， a 1= 3 ，且 a , a , a 成等比数列．2 4 7（2）求 a 2 + a 4 + a 6 + L + a 2n ．【答案】（1） a n = n + 2 ；（2） n 2 + 3n ．【解析】（1）Q a 2 , a 4 , a 7成等比数列，∴a42= a a ，2 7即 (a 1 + 3d )2 = (a 1 + d )(a 1 + 6d ) ，化简得 (a 1 - 3d )d = 0 ，∵公差 d ≠ 0 ，∴ a 1 = 3d ，6=n (a +a ) （2）若b= 4 { ⎪ 12 由题意得 ⎨，则 ⎨ ， ⎩ 7 ⎪(a + 6d )2 = (a + d )(a + 21d )⎩ 1化简得 ⎨⎧a + 2d = 7（2）证明： b = 42n (2n + 4) n (n + 2) 2 ⎝ n n + 2 ⎭ - + - + - + L +⎪1 + - - = - ⎪ < ． ⎪Q a = 3 ，∴ d = 1，∴ a = a + (n - 1)d = n + 2 ．1 n1（2）由（1）知 a 2n = 2n + 2 ，故{a 2n } 是首项为 4、公差为 2 的等差数列，所以 a + a + a + L + a2 4 6 n (4 + 2n + 2)2 2n = = n 2 + 3n ． 2 218．（12 分）已知公差不为零的等差数列{a n } 满足 S 5 = 35 ，且 a 2 ， a 7 ， a 22 成等比数列．（1）求数列{a n } 的通项公式；n nn(a - 1)(a + 3) ，且数列 b n }的前 n 项和为 T n ，求证： T < 3n 4．【答案】（1） a n = 2n + 1；（2）见详解．【解析】（1）设等差数列{a n } 的公差为 d ( d ≠ 0 )，⎧ 5 ⨯ 4⎧S = 355a + d = 35 5a 2 = a a2 221 11 ⎩2a 1 = 3d ⎧a = 3 ，解得 ⎨ 1⎩d = 2，所以 a = 3 + 2 (n -1) = 2n +1． nn nn(a -1)(a + 3) =4 11⎛1 1 ⎫ = = - ⎪ ，所以 T = n 1 ⎛ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ⎫- + - 2 ⎝ 1 3 2 4 3 5 n - 1 n + 1 n n + 2 ⎭= 1 ⎛ 1 1 1 ⎫ 3 1 ⎛ 1 1 ⎫ 3 + 2 ⎝ 2 n + 1 n + 2 ⎭ 4 2 ⎝ n + 1 n + 2 ⎭ 419．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn且 S = 2a - 1 (n ∈ N * ) ．n n（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{na n}的前 n 项和 T n．【答案】（1） a = 2n- 1 ；（2） T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．nn【解析】（1）因为 S = 2a - 1 ，当 n ≥ 2 时， S = 2a - 1 ，7= 2a + 1 ， n ∈ N * ．+1)，数列 ⎨ 15 ≤ T n < ； 即 a ∴ 数列 {a }的通项公式为 a = 2n - 1 n ∈ N * ．(2n + 1)(2n + 3) 2⎝ 2n + 1 2n + 3⎪⎭ ， - ⎪ + - ⎪ +⋅⋅⋅+⎪⎥ 2 ⎢⎣⎝ 3 5 ⎭ ⎝ 5 7 ⎭ ⎝ 2n + 2n + 3 ⎭⎦ 6 4n + 6整理可得 a n = 2a n -1 ，Q a = S = 2a - 1 ，解得 a = 1 ，1 111所以数列 {a n}为首项为1 ，公比为 2 的等比数列，∴a = 2n -1 ．n（2）由题意可得：T = 1⨯ 20 + 2 ⨯ 21 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n ，n所以 2T = 1⨯ 21 + 2 ⨯ 22 + ⋅⋅⋅ + (n - 1)2n -1 + n ⋅ 2n ，n两式相减可得 -T = 1 + 21 + 22 + ⋅⋅⋅+ 2n -1 - n ⋅ 2n = n∴ T = n ⋅ 2n - 2n + 1 ．n1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n = 2n - 1 - n ⋅ 2n ，20．（12 分）已知数列{a n}满足 a 1= 1 ， an +1n（1）求证数列{a n +1}是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2）设 b = log (a n 2 2n +1 ⎧ 1 ⎫ 1 1b b ⎬ 的前 n 项和 T n ，求证：6 ⎩ n n +1 ⎭．【答案】（1）证明见解析， a = 2n - 1(n ∈ N * )（2）见解析． n【解析】（1）由 an +1 = 2a n + 1 ，得 a n +1 + 1 = 2 (a + 1)，n+ 1n +1 a + 1n= 2 ，且 a + 1 = 2 ，1∴ 数列 {a +1}是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，n∴ a + 1 = 2 ⨯ 2n -1 = 2n ，n( )nn（2）由（1）得： b = logn2(a2n +1+ 1) = log (22n +1- 1 + 1)= 2n + 1 ，2∴1b bn n +11 1 ⎛ 1 1 ⎫ = = -∴T = n1 ⎡⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫⎤ 1 1 - = - (n ∈ N * )，8又 0 < 1即 1n （2）设数列满足 b = a sin a π2的前 项和 ．⎪⎩n,2 3 L 2 3 L 2 (a + 4) = S + S 2a = d + 4 d = 2 ⎪ ⎩= asin n π + ⎪ = a cos (n π ) ， 2 ⎭ ⎝n +1，2n -1，⎪⎩n, 2 3 L 2 3 L a ⋅ a1 1 1 1 1 1 1≤ ，∴- ≤- < 0 ，∴ ≤ - < ，4n + 6 10 10 4n + 6 15 6 4n + 6 61≤ T < ．15 621．（12 分）已知等差数列的前 项和为 ，且 是 与 的等差中项．（1）求的通项公式；n ，求n n【答案】（1）⎧⎪- (n + 2), ；（2） T = ⎨n n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．⎧a = 7⎧a + 2d = 7 ⎧a = 3 【解析】（1）由条件，得 ⎨ 3 ，即 ⎨ 1 ， ⎨ 1⎪715⎩1⎩，所以{a n }的通项公式是（2）由（1）知， b = a sinnn．(2n + 1)π 2n n⎛ π ⎫（1）当 n = 2k -1 （k =1，2，3，…）即 n 为奇数时， b = -a ， b nnn +1= aT = -a + a - a + L + a n 1 2 3 n -1 - a = -a + (-2) n - 1= -n - 2 ；n 1（2）当 n = 2k （k =1，2，3，…）：即 n 为偶数时， b = a ， bnnn -1= -aT = -a + a - a +⋯- a n 1 2 3 n -1+ a = 2 ⋅ n n 2= n ，⎧⎪- (n + 2), 综上所述， T = ⎨n22．（12 分）设正项数列n = 2k - 1(k = 1，，， ) n = 2k (k = 1，，， ) ．的前 n 项和为 ，已知 ．（1）求证：数列 是等差数列，并求其通项公式；（2）设数列的前 n 项和为 ，且 b = 4n nn +1，若对任意 都成立，求实数 的取值范围．9（2）由（1）可得 b = 1 n (n + 1) n n + 1∴ T = 1 - ⎪ + - ⎪ + L + - ⎛ 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 ⎫1 n = 1 -= ， ⎪ 2 ⎭ ⎝ 2 3 ⎭⎝ n n + 1 ⎭n + 1 n + 1⎝，即 nλ < n + (-1)n ⋅ 2 对任意⎢⎣ ⎥⎦n 恒成立，令 f (n ) = (n + 2)(n + 1)Q f (n + 1)- f (n ) = n (n + 1)- 2②当 为奇数时， λ < (n - 2)(n + 1)又 (n - 2)(n + 1)= n - - 1 ，易知：f (n ) = n - 在【答案】（1）见证明，【解析】（1）证明：∵；（2），且．，当当即时，时，有，解得 ．，即．，于是，即．∵ ，∴为常数，∴数列是 为首项， 为公差的等差数列，∴．1 1= - ，nnn + 1都成立⎡ n (n + 1)+ (-1)n ⋅ 2 (n + 1)⎤⇔ λ <⎢⎥ nmin(n ∈ N *)，①当 为偶数时， λ < (n + 2)(n + 1) = n + 2+ 3 ，n nn (n + 1) > 0 ，在 上为增函数，；n 恒成立，2 2 n n n为增函数，，102⨯ 4 ⨯ 3 = 0 ⎧a = -3 ⎪S 4 = 4a 1 + ⎪⎩a = a + 4d = 516 4⎩q3 (a + a + a ) = 120 ∴由①②可知：，综上所述 的取值范围为．第 7 单元 数列（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．记 S 为等差数列{a } 的前 n 项和．已知 S = 0 ， a = 5 ，则（）n n45A ． a n = 2n - 5B ． a n = 3n - 10C ． S = 2n 2 - 8nD ． S = 1n nn 2 - 2n【答案】A2．已知等比数列{a }中， a n 3 ⋅ a = 20 ， a = 4 ，则 a 的值是（ ）13 6 10A ．16B ．14C ．6D ．5【答案】D【解析】由等比数列性质可知 a ⋅ a = a 2 = 20 ，3138由 a 6 = 4 ，得 q 4= a 2 8 = a 2620 5= ，∴ a = a q 4 = 5 ，本题正确选项 D ．10 63．等比数列{a } 中， a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，则 a + a + a = （ ）n123456789A ．240B ．±240C ．480D ．±480【答案】C【解析】设等比数列{a } 中的公比为 q ，由 a + a + a = 30 ， a + a + a = 120 ，n 1 2 3 4 5 6⎧ 得 ⎨a + a + a = 301 2 31 2 3，解得 q 3 = 4 ，∴ a + a + a = q 3 (a + a + a ) = 480．7 8 9 4 5 6112 ， N = 4．我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：如图，将1，2，…，9 填入3 ⨯ 3 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于 15．一般地，将连续的正整数1,2,3,L , n 2 填入 n ⨯ n 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正方形叫做n 阶幻方．记 n 阶幻方的对角线上的数字之和为 N n ，如图三阶幻方的 N 3 = 15 ，那么 N 9 的值为（）A ．369B ．321C ．45D ．41【答案】A【解析】根据题意可知，幻方对角线上的数成等差数列，根据等差数列的性质可知对角线的两个数相加正好等于1 + n 2，根据等差数列的求和公式 S = n (1+ n 2 ) 9 9 ⨯ (1+ 92 ) 2 = 369 ，故选 A ．5．已知 1， a 1 ， a 2 ，9 四个实数成等差数列，1， b 1 ， b 2 ， b 3 ，9 五个数成等比数列，则b 2 (a 2 - a 1 ) = （ A ．8 B ．-8 C ．±8 D ．98【答案】A）【解析】由 1， a 1 ， a 2 ，9 成等差数列，得公差 d = a 2 - a 1 = 9 - 1 84 - 1 = 3 ，由 1， b ， b ， b ，9 成等比数列，得 b 2 = 1⨯ 9 ，∴ b = ±3 ，12322当 b = -3 时，1， b ， -3 成等比数列，此时 b 2 = 1⨯ (-3) 无解，2 11所以 b = 3 ，∴ b (a - a 2 2 2 1 ) = 3 ⨯ 8= 8 ．故选 A ．36．已知数列{a n }是公比不为 1 的等比数列， S n为其前 n 项和，满足 a = 2 ，且16a ， 9a ， 2a2 1 4 7成等差数列，则 S = （）3A ． 5B ．6C ．7D ．9【答案】C【解析】数列{a n } 是公比 q 不为 l 的等比数列，满足 a 2 = 2 ，即 a 1q = 2 ，122 ⨯ 2 + 3)⨯ 2 ； 2 ⨯ 2 + 4 )⨯3 ；22- 5 =，且 A n =7n + 45a7= （10B ．172C ． 143A ． 93【解析】因为 7 = 7 = a + a a 2a A = 13 = 7 ⨯13 + 45 = 17 1 13 2 且16a ， 9a ， 2a 成等差数列，得18a = 16a + 2a ，即 9a q 3 = 8a + a q 6 ，1 47417111解得 q = 2，a = 1 ，则 S = 1 3 1 - 23 1 - 2= 7 ．故选 C ．7．将石子摆成如图的梯形形状，称数列 5，9，14，20，L ，为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第 2016 项与 5 的差，即 a 2016- 5 = （）A ． 2018⨯ 2014B ． 2018⨯ 201C ．1011⨯ 2015D ．1010⨯ 2012【答案】C【解析】由已知的图形我们可以得出图形的编号与图中石子的个数之间的关系为：n =1 时， a = 2 + 3 = 11(n =2 时， a = 2 + 3 + 4 = 2…，由此我们可以推断：1 (a = 2 + 3 + L + (n + 2 ) = 1n⎡⎣2 + (n + 2)⎤⎦ ⨯ (n + 1)，∴ a 1⨯ ⎡⎣2 + (2016 + 2)⎤⎦ ⨯ (2016 + 1)- 5 = 1011⨯ 2015 ．故选 C ．20168．已知两个等差数列{a }和 {b }的前 n 项和分别为 A 和 BnnnnB n + 3 b n 7）17D ．15【答案】B771131313(a + a )1 131 13= 2 b 2b b + b 13(b + b ) B 13 + 3 2，故答案选 B ．9．已知数列{ }的前 n 项和为 ， ， （ ），则 （ ）A．32B．64C．128D．25613，∴ S B ．C ． 1a - 1 a - 1，n⎧B ． 2019 ) =+ = + = + =2 ，1 1 + 1 + a 2a 2【答案】B【解析】由，得，又，∴- 1 n +1 S - 1n= 2 ，即数列{则∴10．数列1}是以 1 为首项，以 2 为公比的等比数列，，则 ．．故选 B ．满足： ，若数列 是等比数列，则 的值是（）A ．1 【答案】B2 D ．【解析】数列为等比数列 ⇒ a- 1λa - 2上式恒成立，可知 ⎨λ =q⎩-2 = -q⇒ λ = 2 ，本题正确选项 B ．11．已知函数 f (x ) =2( 1 + x 2x ∈ R )，若等比数列满足 a a1 2019= 1 ，则A ．2019【答案】A （ ）2 C ．2D ． 1 2【解析】∴ f (a )+ f (a12019，1 + a2 1 + a 2 1 + a 2 1 + a 21 2019 1 1 1为等比数列，则，14b b3B ． 16 C ． 115D ． 2b b= = - ⎭ 数列 的前 项和 T = - + - ⎪ ⎪ ， 2 ⎝ 3 5 5 72n + 1 2n + 3 ⎭ 2 ⎝ 3 2n + 3 ⎭可得 λ ≤ 12，即12．已知是公比不为 1 的等比数列，数列．满足： ， ， 成等比数列，c =1n2n 2n +2，若数列的前 项和对任意的恒成立，则 的最大值为（ ）A ．115【答案】C【解析】由 ， ，成等比数列得 a 2 =a a ，2 2nb n又是公比不为 1 的等比数列，设公比为 q ，则 a 2 q2b n-2 = a 2 q 2n ，整理得 b = n + 1，c =111n n2n 2n +21 1 ⎛ 1 1 ⎫ (2n + 1)(2n + 3)2 ⎝ 2n + 1 2n +3 ⎪ ，1 ⎛ 1 1 1 11 1 ⎫ 1 ⎛ 1 1 ⎫+ ⋅⋅⋅ +- = - n数列 是单调递增数列，则当 n =1 时取到最小值为1151 ，即 的最大值为，故选 C ．1515，第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分．13．已知{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ，则 S 9 = _________．【答案】36【解析】{a n } 是等差数列， a 2 + a 4 + a 6 + a 8 = 16 ， a 2 + a 8 = a 4 + a 6 = 2a 5 ，得出 a 5 = 4 ，又由 S = 9 ⋅ (a 1 + a 9 )9 = 9a = 36 ．514．在数列 {a }中， a n 1= 1,an +1- a = 2n + 1 ，则数列的通项 a = ________．n n15x【答案】 n 2【解析】当 n ≥ 2 时，a = (a - a ) + (ann n -1n -1- a n -2) + (an -2- a n -3) + L + (a - a ) + (a - a ) + a ，3 2 2 1 1⇒ a = (2n - 1) + (2n - 3) + (2 n - 5) + L + 5 + 3 + 1 = n当 n = 1 ， a 也适用，所以 a = n 2 ．1nn (2n - 1 + 1) 2= n 2 ，15．设数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且 ∀n ∈ N *, a n +1a = ________．n【答案】 n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）> a , S ≥ S ．请写出一个满足条件的数列{a } 的通项公式n n 6 n【解析】 ∀n ∈ N * , a n +1> a ，则数列{a } 是递增的， ∀n ∈ N * , S ≥ S ，即 S 最小，n n n 6 6只要前 6 项均为负数，或前 5 项为负数，第 6 项为 0，即可，所以，满足条件的数列{a n } 的一个通项公式 a n = n - 6(n ∈ N * ) （答案不唯一）．16．已知函数 f ( x ) = x 2 cosπx2，数列 {a }中， a = f (n )+ f (n + 1)(n ∈ N * ) ，则数列{a }的n n n前 40 项之和 S 40 = __________．【答案】1680【解析】函数 f (x ) = x 2 cos π 2且数列 {a }中， a = f (n )+ f (n +1)，n n可得 a = f (1)+ f (2) = 0 - 4 = -4 ； a = f (2)+ f (3) = -4 + 0 = -4 ；12a = f (3)+ f (4) = 0 +16 = 16 ； a = f (4)+ f (5) = 16 ；3 4a = f (5)+ f (6) = 0 - 36 = -36 ； a = f (6)+ f (7) = -36 ；…，5 6可得数列 {a n 即有数列 {a n}为 -4 ， -4 ， 16 ，16 ， -36 ， -36 ， 64 ， 64 ， -100 ， -100 ，…， }的前 40 项之和：S = (-4 - 4 +16 +16)+ (-36 - 36 + 64 + 64)+ (-100 -100 +144 +144)+ 40⋅⋅⋅+ (-1444 -1444 +1600 +1600) = 24 + 56 + 88 +⋅⋅⋅+ 31216= ⨯10 ⨯ (24 + 312 ) = 1680 ， （ a b a 1 - 22n 2 + n (n ∈ N * )．2 2 222212本题正确结果1680 ．三、解答题：本大题共6 个大题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．10 分）已知数列{a n}是等比数列，数列 {b }是等差数列，且满足： n 1= b = 1 ， + b = 4a ， - 3b = -5 ．1 2 3 2 3 2（1）求数列{a n }和 {b }的通项公式；n（2）设 c n = a n + b n ，求数列 {c n}的前 n 项和 S n ．【答案】（1） a = 2n -1 , n ∈ N * ， b = 2n - 1,n ∈ N * ；（2） S = 2n + n 2 - 1 ．nn n【解析】（1）设 {an}的公比为 q ， {b }的公差为 d ，由题意 q > 0 ，n⎧(1+ d ) + (1+ 2d ) = 4q ⎧-4q + 3d = -2由已知，有 ⎨ ，即 ⎨⎩q 2 - 3(1+ d ) = -5 ⎩ q 2 - 3d = -2⇒ q 2 - 4q + 4 = 0 ⇒ d = q = 2 ，所以 {a n }的通项公式为 an= 2n -1 , n ∈ N * ， {b }的通项公式为 b = 2n - 1,n ∈ N * ．n n（2） c = a + b = 2n -1 + 2n - 1 ，分组求和，分别根据等比数列求和公式与等差数列求和公式得到nnn1 - 2nn (1+ 2n - 1)S =+= 2n + n 2 - 1 ．n18．（12 分）己知数列{a }的前 n 项和为 S n（1）求 {a}的通项公式；nn且 S = n 1 12 2（2）设 b n =1a an n +1，求数列 {b n}的前 100 项和．【答案】（1） a n = n ；（2） T100 =100 101．【解析】（1）当 n ≥ 2 时， S =n两式相减得 a n = S n - S n -1 = n ， n 2 + n ， S = (n - 1)2 + (n - 1)= n 2 + n- n ，17当 n =1时， a = S = + = 1，满足 a = n ，\ a = n ． 2 2骣 1 骣 1 骣1 1 1 1 1001 - + - +L + - +2 = - ， n +1 =2 n∈ N * )． ⎧⎬（2）若数列{b }满足： ba + 1 3n4 4 == 3 +n⎩ a n +1⎭a + 1 = 3n ，所以 a =1 - 1 ． 3n ( )⇒ S = 2n - 144（2）令 b = 2n + 1，求数列 {b }的前 n 项和 T 及 T 的最小值．a + 2 nn1 11 1 n n（2）由（1）可知 b n =1 1 1= - ，n (n + 1) n n + 1所以数列 {b n}的前 100 项和 T100= b +b +?1 2b100= 琪 琪 琪 琪 - = 1 - = ．桫 2桫 3 ? 99 100100 101 101 10119．（12 分）已知数列{a }满足： a n 1 3a -2a n - 3 ( 3a + 4 n（1）证明数列 ⎨ 1 ⎫ 为等差数列，并求数列{a n }的通项公式；⎩ a n + 1⎭nn =3n (n ∈ N * )，求 {b }的前 n 项和 S ． nn n【答案】（1）证明见解析， a = n1 2n - 1 9- 1；（2） S = ⨯ 3n +2 + ．n【解析】（1）因为 an +1+ 1 = -2a - 3 a + 1 1 3a + 4 1 n + 1 = n ，所以 ， 3a + 4 3a + 4 a + 1 a a + 1 n n n +1 n +1 n⎧ 1 ⎫所以 ⎨ ⎬ 是首项为 3，公差为 3 的等差数列，所以n1 n（2）由（1）可知： a =n 1 3n- 1，所以由 b = n 3n a + 1 nn ∈ N * ⇒ b = n ⋅ 3n +1 ， nS = 1 ⨯ 32 + 2 ⨯ 33 + L + (n - 1) ⨯ 3n + n ⨯ 3n +1 ①；n3S = 1 ⨯ 33 + 2 ⨯ 34 + L + (n - 1) ⨯ 3n +1 + n ⨯ 3n +2 ②，n①-②得 -2S = 32 + 33 + L + 3n +1 - n ⨯ 3n +2 = n 32 (3n - 1)3 - 1 - n ⨯ 3n +2n9⨯ 3n +2+ ．20．（12 分）已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn，且 S n = 2a n - 2n -1 ．（1）求数列{a n}的通项公式；n nn185 ⨯ 2n -1 （2）Q b = 2n + 1 1 1 1 ⎛ 3 5 7 2n + 1 ⎫ ，则 T n = ⎪ ， a + 2 52n -1 5 ⎝ 20 21 22 2n -1 ⎭ T = ⎪ 两式作差得 1 - T = ⨯ ⎢3 + ⎛ 1 ⎫ 1 ⎡ ⎛ 2 2 2 ⎫ 2n + 1⎤ 2n + 5 + +⋅⋅⋅+ - = 1 -2n ⎥⎦ ⎝ 2 ⎭ n 5 ⎣21 22 2n -1 ⎭ 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⨯ 2n -1 5 ⨯ 2n 5 ⎧( ⎧ n - 1)2n + , n 是奇数 3 - 3n ⎪b n = 2 2 , n 是奇数2 ， b = ⎨ ；（2） T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数 n -2 ⎪b = 2 2 , n 是偶数n n【答案】（1）a = 5 ⨯ 2n -1- 2 (n ∈ N *)；（2） T = 2 - 2n +5 3，最小值 ． 5【解析】（1）当 n =1 时， a 1 = S 1 = 2a 1 - 2 - 1 ，解得 a 1 = 3 ，当 n ≥ 2 时， a n = S n - S n -1 = 2a n - 2a n -1 - 2 ，解得 a n = 2 a n -1 + 2 ．则 a + 2 = 2 (an n -1+ 2)，故 {a n + 2}是首项为 a 1 + 2 = 5 ，公比为 2 的等比数列，∴ a = 5 ⨯ 2n -1 - 2 (n ∈ N * )． n = ⨯ (2n + 1)⨯ + + + ⋅⋅⋅ +nn1 1 ⎛2 n 5 ⎝3 5 7 2n - 1 2n + 1 ⎫+ + + ⋅⋅⋅ + +21 22 23 2n -1 2n ⎭⎪ ⎪⎝，所以 T = 2 - n 2n + 5 5 ⨯ 2n -1，2n + 5 2n + 7 2n + 5 -2n - 3令 c = ，有 c - c =- = < 0 ，对 n ∈ N * 恒成立， n n +1 n则数列{c n }是递减数列，故{T n } 为递增数列，则 (T n )min 3= T = ． 121．（12 分）已知正项数列且．的前 项和为 ，且 ， ，数列 满足 ，（1）求数列（2）令【答案】（1）， 的通项公式；，求数列 的前 项和 ．n +1 ⎪⎪ n n⎩ n ⎪⎩ 2【解析】（1）当时， ，即 ，，19⎧⎪S + S = a 2 由 ⎨ ，可得= a 2 (n ≥ 2) ，⎪⎩ n由 ⎨ 两式相除，得 n +1 = 2 (n ≥ 2 )，⎧b b = 2n b⎪⎩b n -1b n = 2n -1 (n ≥ 2)综上：b = ⎨ n ⎪b = 2 n -22 , n 是偶数 ⎩ ⎧ 3n ⎪⎪ 2 , 的前 项和为 B ，∴ B = ⎨ ， -3n + 1 ⎪ , n 是奇数 ⎧(n - 1)2n + , n 是奇数 ⎪⎪ 2综上： T = ⎨ ．3n ⎪(n - 1)2n + 1 + , n 是偶数n +1 n n +1 S + S n -1 n即，又是公差为 ，首项为 的等差数列，，由题意得：，n n +1 b n -1是奇数时，是公比是 ，首项 的等比数列，∴ b = 2nn +1 2 ，同理 是偶数时是公比是 ，首项的等比数列，∴ b = 2nn -2 2 ，n ⎧ n +1⎪b = 2 2 , n 是奇数n．（2）令，即 ，⎧⎪ A = 1⋅ 20 + 2 ⋅ 21 + 3 ⋅ 22 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n -1的前 项和为 ，则 ⎨ n⎪⎩2 A n = 1⋅ 21 + 2 ⋅ 22 + 3 ⋅ 23 + ⋅⋅⋅ + n ⋅ 2n，两式相减得 - A = 20 + 21 + 22 + 2n -1 - n ⋅ 2n = n，1 - 2n 1 - 2- n ⋅ 2n ，令n n⎪⎩ 2n 是偶数3 - 3nn⎪⎩ 220ln 22 ln 32 ln n 2 (n - 1)(2n + 1) (当 x ≥ a 时， f '( x ) = 1 - = ，此时要考虑 a 与 1 的大小．（2）由（1）可知当 a = 1 ， x > 1 时， x -1 - ln x > 0 ，即 ln x > 1 - x ，所以 ln x = n - 1 - = n - 1 - - ⎪ < n - 1 - + + L + ⎝ 2 n 2 ⎭ ⎝ 2 ⨯ 3 3 ⨯ 4 n(n + 1) ⎭ 1 ⎫ n - 1 = (n - 1) - n + 1 ⎭ 2(n + 1) ⎛ 122．（12 分）已知函数 f ( x ) =| x - a | - ln x(a > 0) ．（1）讨论 f ( x ) 的单调性；（2）比较 + +⋯+ 与 的大小 n ∈ N * 且 n > 2) ，并证明你的结论．22 32 n 2 2(n + 1)【答案】（1）见解析；（2）见解析．⎧ x - ln x - a, 【解析】（1）函数 f ( x ) 可化为 f ( x ) = ⎨⎩a - x - ln x,x ≥ a0 < x < a ，当 0 < x < a 时， f '( x ) = -1 - 1 x< 0 ，从而 f ( x ) 在 (0, a) 上总是递减的，1 x - 1x x①若 a ≥ 1 ，则 f '( x ) ≥ 0 ，故 f ( x ) 在 [a, +∞ ) 上递增；②若 0 < a < 1 ，则当 a ≤ x < 1 时， f '( x ) < 0 ；当 x > 1 时， f '( x ) > 0 ，故 f ( x ) 在 [a,1) 上递减，在 (1, +∞) 上递增，而 f ( x ) 在 x = a 处连续，所以当 a ≥ 1 时， f ( x ) 在 (0, a) 上递减，在[a, +∞ ) 上递增；当 0 < a < 1 时， f ( x ) 在 (0,1) 上递减，在[1, +∞ ) 上递增．1< 1 - ．x x所以 ln 22 ln 32 ln n 2 1 1 1+ + L + < 1 - + 1 - + L 1 -22 32 n 2 22 32 n 2⎛ 1 1 + ⎝ 22 32 + L + 1 ⎫ 1 1 ⎫ ⎛ 1 ⎪ ⎪2n 2 - 2 - n + 1 (n - 1)(2n + 1) = = ．2(n + 1) 2(n + 1)21。
概率与统计(选择、填空题)(理科专用)(解析版)-五年(18-22)高考数学真题分项汇编(全国通用)
专题15概率与统计（选择题、填空题）（理科专用）1．【2022年全国乙卷】某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为1,2,3，且3>2>1>0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大【答案】D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘甲的概率丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，且连胜两盘的概率为甲则甲=2(1−2)13+221(1−3)=21(2+3)−4123记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为乙则乙=2(1−1)23+212(1−3)=22(1+3)−4123记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘的概率为丙则丙=2(1−1)32+213(1−2)=23(1+2)−4123则甲−乙=21(2+3)−4123−22(1+3)−4123=21−23<0乙−丙=22(1+3)−4123−23(1+2)−4123=22−31<0即甲<乙，乙<丙，则该棋手在第二盘与丙比赛，最大.选项D判断正确；选项BC判断错误；与该棋手与甲、乙、丙的比赛次序有关.选项A判断错误.故选：D2．【2022年新高考1卷】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）A．16B．13C．12D．23【答案】D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C 72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率=21−721=23.故选：D.3．【2021年甲卷理科】已知12,F F 是双曲线C 的两个焦点，P 为C 上一点，且121260,3F PF PF PF ∠=︒=，则C 的离心率为（）A 72B ．132C D 【答案】A 【解析】【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出12,PF PF ，结合余弦定理可得答案.【详解】因为213PF PF =，由双曲线的定义可得12222PF PF PF a -==，所以2PF a =，13PF a =；因为1260F PF ∠=︒,由余弦定理可得2224923cos60c a a a a =+-⨯⋅⋅︒，整理可得2247c a =，所以22274a c e ==，即2e =.故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立,a c 间的等量关系是求解的关键.4．【2021年甲卷理科】将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）A ．13B ．25C ．23D ．45【答案】C 【解析】【分析】采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.【详解】将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，若2个0相邻，则有155C =种排法，若2个0不相邻，则有2510C =种排法，所以2个0不相邻的概率为1025103=+.故选：C.5．【2021年乙卷理科】在区间(0,1)与(1,2)中各随机取1个数，则两数之和大于74的概率为（）A ．79B ．2332C ．932D ．29【答案】B 【解析】【分析】设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，分别求出,A Ω对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间()()0,1,1,2中随机取出的数分别为,x y ，则实验的所有结果构成区域为(){},01,12x y x y Ω=<<<<，其面积为111SΩ=⨯=．设事件A 表示两数之和大于74，则构成的区域为()7,01,12,4A x y x y x y ⎧⎫=<<<+⎨⎬⎩⎭，即图中的阴影部分，其面积为13323124432A S =-⨯⨯=，所以()2332A S P A S Ω==．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件,A Ω对应的区域面积，即可顺利解出．6．【2021年新高考1卷】有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A ．甲与丙相互独立B ．甲与丁相互独立C ．乙与丙相互独立D ．丙与丁相互独立【答案】B 【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】11561()()()()6636366P P P P =====甲，乙，丙丁，1()0()()()()()36P P P P P P =≠==甲丙甲丙，甲丁甲丁，1()()()()0()()36P P P P P P =≠=≠乙丙乙丙，丙丁丁丙，故选：B 【点睛】判断事件,A B 是否独立，先计算对应概率，再判断()()()P A P B P AB =是否成立7．【2021年新高考2卷】某物理量的测量结果服从正态分布()210,N σ，下列结论中不正确的是（）A ．σ越小，该物理量在一次测量中在(9.9,10.1)的概率越大B ．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5C ．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等D ．该物理量在一次测量中落在(9.9,10.2)与落在(10,10.3)的概率相等【答案】D 【解析】【分析】由正态分布密度曲线的特征逐项判断即可得解.【详解】对于A ，2σ为数据的方差，所以σ越小，数据在10μ=附近越集中，所以测量结果落在()9.9,10.1内的概率越大，故A 正确；对于B ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确；对于C ，由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C 正确；对于D ，因为该物理量一次测量结果落在()9.9,10.0的概率与落在()10.2,10.3的概率不同，所以一次测量结果落在()9.9,10.2的概率与落在()10,10.3的概率不同，故D 错误.故选：D.8．【2020年新课标1卷理科】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i = 得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是（）A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x=+【答案】D 【解析】【分析】根据散点图的分布可选择合适的函数模型.【详解】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是ln y a b x =+.故选：D.【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题.9．【2020年新课标2卷理科】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B 【解析】【分析】算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.【详解】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，9001850=，故至少需要志愿者18名.故选：B 【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.10．【2020年新课标3卷理科】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（）A ．14230.1,0.4p p p p ====B ．14230.4,0.1p p p p ====C ．14230.2,0.3p p p p ====D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B 【解析】【分析】计算出四个选项中对应数据的平均数和方差，由此可得出标准差最大的一组.【详解】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65As =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85Bs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05Cs =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45Ds =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组的标准差最大.故选：B.【点睛】本题考查标准差的大小比较，考查方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题.11．【2020年新高考1卷（山东卷）】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%【答案】C 【解析】【分析】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，然后根据积事件的概率公式()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+可得结果.【详解】记“该中学学生喜欢足球”为事件A ，“该中学学生喜欢游泳”为事件B ，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A B +，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A B ⋅，则()0.6P A =，()0.82P B =，()0.96P A B +=，所以()P A B ⋅=()()()P A P B P A B +-+0.60.820.960.46=+-=所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.【点睛】本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.12．【2019年新课标1卷理科】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．1116【答案】A【分析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算．【详解】由题知，每一爻有2种情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题．13．【2019年新课标2卷理科】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数B ．平均数C ．方差D ．极差【答案】A 【解析】【分析】可不用动笔，直接得到答案，亦可采用特殊数据，特值法筛选答案．【详解】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x ≤≤≤≤≤ ．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x ，后剩余2348x x x x ≤≤≤ ，中位数仍为5x ，∴A 正确．②原始平均数1234891()9x x x x x x x =+++++ ，后来平均数234817x x x x x '=+++ （）平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确③()()()222219119S x x x x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ()()()222223817s x x x x x x ⎡⎤'=-'+-'++-'⎢⎥⎣⎦ 由②易知，C 不正确．④原极差91=x -x ，后来极差82=x -x 可能相等可能变小，D 不正确．本题旨在考查学生对中位数、平均数、方差、极差本质的理解.14．【2019年新课标3卷理科】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8【答案】C【解析】根据题先求出阅读过西游记的人数，进而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C．【点睛】本题考查容斥原理，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．15．【2018年新课标1卷理科】某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：则下面结论中不正确的是A．新农村建设后，种植收入减少B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】A【解析】【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为M ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2M ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前的收入为M ，而新农村建设后的收入为2M ，则新农村建设前种植收入为0.6M ，而新农村建设后的种植收入为0.74M ，所以种植收入增加了，所以A 项不正确；新农村建设前其他收入我0.04M ，新农村建设后其他收入为0.1M ，故增加了一倍以上，所以B 项正确；新农村建设前，养殖收入为0.3M ，新农村建设后为0.6M ，所以增加了一倍，所以C 项正确；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的综合占经济收入的30%28%58%50%+=>，所以超过了经济收入的一半，所以D 正确；故选A.点睛：该题考查的是有关新农村建设前后的经济收入的构成比例的饼形图，要会从图中读出相应的信息即可得结果.16．【2018年新课标1卷理科】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 3【答案】A 【解析】【分析】首先设出直角三角形三条边的长度，根据其为直角三角形，从而得到三边的关系，然后应用相应的面积公式求得各个区域的面积，根据其数值大小，确定其关系，再利用面积型几何概型的概率公式确定出p 1，p 2，p 3的关系，从而求得结果.【详解】设,,AC b AB c BC a ===，则有222b c a +=，从而可以求得ABC ∆的面积为112=S bc ，黑色部分的面积为22221()()[()]2222c b a S bc πππ=⋅+⋅-⋅-2221(4442c b a bc π=+-+22211422c b a bc bc π+-=⋅+=，其余部分的面积为22311122282a a S bc bc ππ⎛⎫=⋅-=- ⎪⎝⎭，所以有12S S =，根据面积型几何概型的概率公式，可以得到12p p =，故选A.点睛：该题考查的是面积型几何概型的有关问题，题中需要解决的是概率的大小，根据面积型几何概型的概率公式，将比较概率的大小问题转化为比较区域的面积的大小，利用相关图形的面积公式求得结果.17．【2018年新课标2卷理科】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是A ．112B ．114C ．115D ．118【答案】C【解析】【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典概型概率公式求概率.详解：不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有21045C =种方法，因为7+23=11+19=13+17=30，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为31=4515，选C.点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.18．【2018年新课标3卷理科】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p =A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B【解析】【详解】分析：判断出为二项分布，利用公式()()D X np 1p =-进行计算即可．()()D X np 1p =- p 0.4∴=或p 0.6=()()()()6444661010P X 41P X 61C p p C p p ==-<==-，()221p p ∴-<,可知p 0.5>故答案选B.点睛：本题主要考查二项分布相关知识，属于中档题．19．【2021年新高考1卷】有一组样本数据1x ，2x ，…，n x ，由这组数据得到新样本数据1y ，2y ，…，n y ，其中i i y x c =+(1,2,,),i n c =⋅⋅⋅为非零常数，则（）A ．两组样本数据的样本平均数相同B ．两组样本数据的样本中位数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同D ．两组样本数据的样本极差相同【答案】CD【解析】【分析】A 、C 利用两组数据的线性关系有()()E y E x c =+、()()D y D x =，即可判断正误；根据中位数、极差的定义，结合已知线性关系可判断B 、D 的正误.【详解】A ：()()()E y E x c E x c =+=+且0c ≠，故平均数不相同，错误；B ：若第一组中位数为i x ，则第二组的中位数为i i y x c =+，显然不相同，错误；C ：()()()()D y D x D c D x =+=，故方差相同，正确；D ：由极差的定义知：若第一组的极差为max min x x -，则第二组的极差为max min max min max min ()()y y x c x c x x -=+-+=-，故极差相同，正确；故选：CD20．【2021年新高考2卷】下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【解析】【分析】考查所给的选项哪些是考查数据的离散程度，哪些是考查数据的集中趋势即可确定正确选项.【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度；由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势；由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；由平均数的定义可知，平均数考查的是数据的集中趋势；故选：AC.21．【2020年新高考1卷（山东卷）】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑ ，定义X 的信息熵21()log n i i i H X p p ==-∑.（）A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n == ，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+= ，则H (X )≤H (Y )【答案】AC【解析】【分析】对于A 选项，求得()H X ，由此判断出A 选项；对于B 选项，利用特殊值法进行排除；对于C 选项，计算出()H X ，利用对数函数的性质可判断出C 选项；对于D 选项，计算出()(),H X H Y ，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D 选项.【详解】对于A 选项，若1n =，则11,1i p ==，所以()()21log 10H X =-⨯=，所以A 选项正确.对于B 选项，若2n =，则1,2i =，211p p =-，所以()()()121121X log 1log 1H p p p p =-⋅+-⋅-⎡⎤⎣⎦，当114p =时，()221133log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，当13p 4=时，()223311log log 4444H X ⎛⎫=-⋅+⋅ ⎪⎝⎭，两者相等，所以B 选项错误.对于C 选项，若()11,2,,i p i n n== ，则()222111log log log H X n n nn n ⎛⎫=-⋅⨯=-= ⎪⎝⎭，则()H X 随着n 的增大而增大，所以C 选项正确.对于D 选项，若2n m =，随机变量Y 的所有可能的取值为1,2,,m ，且()21j m j P Y j p p +-==+（1,2,,j m = ）.()2222111log log m m i i i i i iH X p p p p ===-⋅=⋅∑∑122221222122121111log log log log m m m mp p p p p p p p --=⋅+⋅++⋅+⋅ .()H Y =()()()122221212122211111log log log m m m m m m m m p p p p p p p p p p p p -+-++⋅+⋅+++⋅+++ 12222122212221221121111log log log log m m m m m mp p p p p p p p p p p p ---=⋅+⋅++⋅+⋅++++ 由于()01,2,,2i p i m >= ，所以2111i i m i p p p +->+，所以222111log log i i m i p p p +->+，所以222111log log i i i i m ip p p p p +-⋅>⋅+，所以()()H X H Y >，所以D 选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.22．【2020年新高考2卷（海南卷）】我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是A ．这11天复工指数和复产指数均逐日增加;B ．这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量;C．第3天至第11天复工复产指数均超过80%;D．第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量;【答案】CD【解析】【分析】注意到折线图中有递减部分，可判定A错误；注意考查第1天和第11天的复工复产指数的差的大小，可判定B错误；根据图象，结合复工复产指数的意义和增量的意义可以判定CD 正确.【详解】由图可知，第1天到第2天复工指数减少，第7天到第8天复工指数减少，第10天到第11复工指数减少，第8天到第9天复产指数减少，故A错误；由图可知，第一天的复产指标与复工指标的差大于第11天的复产指标与复工指标的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故B错误;由图可知，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故C正确;由图可知，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量，故D正确;【点睛】本题考查折线图表示的函数的认知与理解，考查理解能力，识图能力，推理能力，难点在于指数增量的理解与观测，属中档题.23．【2022年全国甲卷】从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．【答案】635.【解析】【分析】根据古典概型的概率公式即可求出．【详解】从正方体的8个顶点中任取4个，有=C84=70个结果，这4个点在同一个平面的有= 6+6=12个，故所求概率==1270=635．故答案为：635．24．【2022年新高考2卷】已知随机变量X服从正态分布2,2，且o2<≤2.5)=0.36，则o>2.5)=____________．【答案】0.14##750．【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出．【详解】因为∼2,2，所以<2=>2=0.5，因此>2.5=>2−2<≤2.5=0.5−0.36=0.14．故答案为：0.14．25．【2019年新课标1卷理科】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．【答案】0.18【解析】【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算．26．【2019年新课标2卷理科】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________.【答案】0．98.【解析】【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=．【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．。
高三数学理科三角函数选择题填空题
高三数学三角函数选择题填空题一、选择题1．在ABC ∆中,若sin()12cos()sin()A B B C A C -=+++,则ABC ∆的形状一定是（ ） A ．等边三角形B ． 直角三角形C ．钝角三角形D ．不含60︒角的等腰三角形2．已知向量(sin(),1),(4,4cos 3)6παα=+=-a b ，若⊥a b ，则4sin()3πα+等于( ) A ．34-B ．14-C ．34D ．143．如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“同簇函数”． 给出下列函数： ①()sin cos f x x x =； ②()2sin 4f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ③()sin 3cos f x x x =+； ④()2sin 21f x x =+．其中“同簇函数”的是 （ ） A ．①② B ．①④ C ．②③ D ．③④ 4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合终边在直线02=-y x 上，则=----++)sin()2sin()cos()23sin(θπθπθπθπ( ) A ．2-B ．2C ．0D ．325．25242sin =a ，20πα<<，则2cos()4πα-的值为( ）A ．51B ．51-C ．51±D ．576．已知函数x x x f cos sin )(-=，且)(2)(x f x f ='，则x 2tan 的值是（ ） A ．34-B ．34C ．43-D ．437．已知函数,sin )(x x x f -= R x ∈，则)4(π-f 、)1(f 、)3(πf 的大小关系（ ）A ． )3(πf >)4(π-f >)1(f B ． )4(π-f >)1(f >)3(πfC ．)1(f >)3(πf >)4(π-f D ．)3(πf >)1(f >)4(π-f8．定义域为R 的连续函数)(x f ，对任意x 都有)2()2(x f x f -=+，且其导函数)(x f '满足0)()2(>'-x f x ，则当42<<a 时，有（ ）A ．)(log )2()2(2aa f f f << B ．2(2)(2)(log )a f f f a <<C ．)2()2()(log 2f f f a a <<D ．)2()(log )2(2aa f f f <<9．已知函数()2()cos 1f x x m =-+在cos 1x =-时取得最大值，在cos x m =时取得最小值，则实数m 的取值范围是（ ）A ．1m ≤-B ．1m ≥C ．0m 1≤≤D ．10m -≤≤ 10．函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )．11．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象( )A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度12．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R(其中A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，其部分图象如图所示，将f (x )的图象纵坐标不变，横坐标变成原来的2倍，再向左平移1个单位得到g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )．A ．g (x )＝sin π2(x ＋1)B ．g (x )＝sin π8(x ＋1) C ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋1 D ．g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋1 13．已知函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωϕπ=+>><<，其导函数()f x '的部分图像如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．1()2sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．1()4sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()4sin 4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．13()4sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭14．函数tan()(04)42x y x ππ=-<<的图像如图所示，A 为图像与x 轴的交点,过点A 的直线l 与函数的图像交于B C 、两点.则()OB OC OA +⋅=（ ）A ．8-B ．4-C ．4D ．815．若()2cos()f x x m ωϕ=++ 对任意实数t 都有()()4f t f t π+=- ，且()18f π=-，则实数m 的值等于（ ） A ．1± B ．－1或3C ．3±D ．－3或116．将函数x x y sin cos 3+=的图像向左平移()0m m >个长度单位后，所得到的图像关于y 轴对称，则m的最小值是（ ）A ．12πB ．6πC ．3πD ．65π17．△ABC 的三内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ，设向量),(sin c a B p +=, ),sin (sin a b A C q --= .若,R ∈∃λ使,q pλ=则角C 的大小为（ ）A ．6π B ．32π C ．3π D ．2π18．已知函数()sin()(0)3f x x πωω=+>，若()()63f f ππ=且()f x 在区间(,)63ππ上有最小值，无最大值，则ω的值为（ ） A ．23 B ．53 C ．143 D ． 38319．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ∠，B ∠，C ∠的对边，已知a ，b ，c 成等比数列，且22a c ac bc -=-，则sin cb B的值为( )A ．12B ．32C ．233D 320．若()2cos()f x x m ωϕ=++ 对任意实数t 都有()()4f t f t π+=- ，且()18f π=-，则实数m 的值等于（ ） A ．1±B ．－1或3C ．3±D ．－3或121．已知函数x a x x f cos sin )(+=的图像关于直线35π=x 对称，则实数a 的值为( ) A ．3-B ．33-C ．2D ．22 22．已知函数()32cos 2[0,]2f x x x m π=+-在上有两个零点12,x x ,则12tan2x x +的值为（ ） A 3 B ．22 C 3 D 323．已知向量(cos ,sin ),[0,],(3,1)a b θθθπ=∈=-.若|2|a b m -<恒成立则实数m 的取值范围是 （ ）A ．[4,)+∞B ．(4,)+∞C ．(2,)+∞D ．(4,10)24．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（ ）A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(sin )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ<D ．(cos )(cos )f f αβ> 25．已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重 合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为( )A ．)2cos()(x x g π=B ．)2cos()(x x g π-=C ．)212sin()(+=x x gD ．)212sin()(-=x x g26．已知锐角βα,满足： 51cos sin =-ββ，3tan tan 3tan tan =⋅++βαβα，则cos α=（ ）A ．33410- B ． 33410+ C ．34310+ D ．43310- 27．设1211m x dx -=-⎰，若将函数()sin()f x x ωϕ=+的图像向左平移m 个单位后所得图像与原图像重合，则ω的值不可能为．．．．（ ） A ．4 B ．6 C ．8 D ．1228．如图所示，在ABC ∆中， 60=∠B ， 45=∠C ,高3=AD ，在BAC ∠内作射线AM 交BC 于点M ，则1<BM 的概率为（ ）A ．31B ．52C ．33D ．213-二、填空题1．已知0y x π<<<，且tan tan 2x y =，1sin sin 3x y =，则x y -=___ ___． 2．直线210x y -+=的倾斜角为θ，则221sin cos θθ-的值为______53___。
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高三理科数学限时训练
一、选择题(本大题共10小题,每题5分,共50分.每题都给出四个结论，其中有且只有一个
结论是正确的.)
1. 复数z满足(2)zzi，则z（ ）
A．1i B．1i C．1i D．1i
2. 已知实数a≠0，函数2,1()2,1xaxfxxax，若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为（ ）
A. 23 B. 23 C. 34 D.34
3. 曲线y＝sinxsinx＋cosx－12在点Mπ4，0处的切线的斜率为 ( )
A．－12 B. 12 C．－22 D. 22
4
.若,ab为实数，则“01ab”是“1ba”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D.
不充分不必要条件
5. 一个空间几何体的三视图如右上图所示，则该几何体的表面积为( )
A．48 B．32＋817
C．48＋817 D．80
6. 设F1，F2分别为椭圆x23＋y2＝1的左，右焦点，点A，B在椭圆上．若
F1A→＝5F2B→，则点A的坐标是（ ）
A. (0,1) B. (0,1) C. (0,1) D. (1,0)
7. 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数，给出
下列三个函数：1()3xfx，2()43xfx，385()log53log2xfx，则（ ）
A. 123(),(),()fxfxfx为“同形”函数
B. 12(),()fxfx为“同形”函数，且它们与3()fx不为“同形”函数
C. 13(),()fxfx为“同形”函数，且它们与2()fx不为“同形”函数
D. 23(),()fxfx为“同形”函数，且它们与1()fx不为“同形”函数
8. 函数bxAxf)sin()(的图象如图，则)(xf的解析式和
)1()0(ffS
)2006()2(ff
的值分别为（ ）
A．12sin21)(xxf ， 2006S
B．12sin21)(xxf ， 212007S
C．12sin21)(xxf ， 212006S
D．12sin21)(xxf ， 2007S
9. 在区间[—1,1]上任取两数a、b，则二次方程02baxx的两根都是正数的概率是
（ ）
A.128 B.148 C.132 D.18
10. 已知函数32()(fxxbxcxdb、c、d为常数），当(,0)(4,)k时，
()0fxk只有一个实根，当(0,4)k时，()0fxk
有3个相异实根，现给出下列4
个命题：①函数()fx有2个极值点；②函数()fx有3个极值点；③()4fx和()0fx有
一个相同的实根；④()0fx和()0fx有一个相同的实根.
其中正确命题的个数是 （ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题(本大题共有4小题，每题5分，共20分.只要求直接填写结果.)
（一）必做题（11—14题）
11. 设函数cbxaxxf2)()0(a，对任意实数t都有)2()2(tftf成立，在函
数值、)1(f、)1(f、)2(f)5(f中最小的一个不可能是_____________
12. 若5255(1)110axxbxax，则b ．
13. 若平面向量ia满足 1(1,2,3,4)iai且10(1,2,3)iiaai,则
1234
aaaa
可能的值有____________个.
14. 定义：函数)(xfy，Dx。若存在常数c，对任意Dx1，存在唯一的Dx2，
使cxfxf2)()(21，则称函数)(xf在D上的均值为c。已知xxflg)(，]100,10[x，
求函数xxflg)(在]100,10[上的均值为
（二）选做题，从15、16题中选做一题
15. 在平行四边形ABCD中,E为CD上一点,DE:EC=2:3,连结AE、BE、BD,且AE、BD交于
点F，则ABFEBFDEFSSS::= .
16. 以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单
位.已知直线的极坐标方程为()4R，它与曲线12cos22sinxy（为参数）相交
于两点A和B，则|AB|=_______.
三、解答题
17. 如果存在常数a使得数列}{na满足：若x是数列}{na中的一项，则xa也是数列
}{na中的一项，称数列}{na
为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”.
（1）若数列：)4(,4,2,1mm是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列}{nb是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求}{nb的前n项和nS；
（3）已知有穷等差数列}{nc的项数是)3(00nn，所有项之和是B，试判断}{nc是否
是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用0n和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说
明理由.