2015年秋高一人教A版数学必修4课件： 第3章 三角恒等变换 3.2.2
π f4＝1.
＝Asin(ωx＋φ)的形式后求出最小值；(2)利用(1)求出函数 f(x)在 R
π 上的单调增区间，再与0，2取交集．
第三章 3.2 3.2.2
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[解析]
2π
π (1)∵f4＝1，
π 2 2 ＝ 2sinx－4. sin x － cos x 2 2
第三章
3.2
3.2.2
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2．函数y＝sin2xcos2x的最小值等于________． 1 [答案] －2 1 1 [解析] y＝2sin4x，则最小值为－2. 3．(2015· 浙江文)函数 f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋1 的最小正周期
)
[答案]
C
第三章
3.2
3.2.2
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2cos2α－1 3．化简： . π π 2tan4－αcos24＋α
2cos2α－1 [解析] 原式＝ π sin4－α 2 π 2 cos 4－α π cos4－α 2cos2α－1 2cos2α－1 cos2α ＝ ＝ ＝cos2α＝1. π π π 2sin4－αcos4－α sin2－2α
π 1．函数 y＝cos (x＋4)，x∈R(
2
●知识衔接
)
A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数 [答案] D
第三章
3.2
3.2.2
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2．化简 2＋cos2－sin21的结果是( A．－cos1 C． 3cos1 B．cos1 D．－ 3cos1
1 1 － cos2 x 1 ＋ cos2 x sin2x 2 2 2 (2)sin x＝ ，cos x＝ ，sinxcosx＝_________. 2 2
(3)讨论三角函数的性质时，通常经过三角恒等变换，将三角 Asin(ωx＋φ) 的形式来解决． 函数的解析式化为 f(x)＝____________
值为－ 2.
第三章 3.2 3.2.2
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π π π (2)令 2kπ－2≤2x－4≤2kπ＋2(k∈Z)， π 3π 整理得 kπ－8≤x≤kπ＋ 8 (k∈Z)； 又
π x∈0，2，则
3π 0≤x≤ 8 .
3π ∴f(x)的单调增区间是0， 8 .
π π 2π ∴sin 4＋asin4cos4－cos 4＝1，解得 a＝2. ∴f(x)＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x＝sin2x－cos2x ＝
π 2sin2x－4.
π π 当 2x－4＝2kπ－2(k∈Z)，
π π 即 x＝kπ－8(k∈Z)时，sin2x－4有最小值－1，则 f(x)的最小
是________，最小值是________．
3－ 2 [答案] π 2 2 π 3 [解析] 由题可得 f(x)＝ 2 sin(2x－4)＋2，所以最小正周期 T
3－ 2 ＝π，最小值为 2 .
第三章 3.2 3.2.2
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高效课堂
第三章
3.2
3.2.2
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●互动探究
讨论三角函数的性质
已知函数 f(x)＝sin x＋asinxcosx－cos x， 且 (1)求常数 a 的值及 f(x)的最小值；
π (2)当 x∈0，2时，求 f(x)的单调增区间． π [探究] (1)利用 f4＝1 求得 a， 再将函数 f(x)的解析式化为 f(x)
第三章
3.2
3.2.2
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●自主预习
三角恒等变换
2 2 b a ＋ b (1)asinα＋bcosα＝__________sin(α＋θ)(ab≠0)， 其中 tanθ＝a，
3 b a 和 b 的符号确定 θ 所在的象限．仅仅讨论a＝± 1、± 3、± 3 的情 况．
3.2.2
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1
优 效 预 习
3
当 堂 检 测
2
高 效 课 堂
4
课 时 作 业
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ第三章
3.2
3.2.2
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优效预习
第三章
3.2
3.2.2
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第三章
3.2
3.2.2
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[ 规律总结 ]
解答此类综合题的关键是利用三角函数的
和、差、倍角、半角公式化成 f(x) ＝ Asin(ωx ＋ φ) 的形式，然后 借助于三角函数的图象及性质去研究 f(x) 的相应性质，解答过 程中一定要注意公式的合理应用，以免错用公式，导致化简失
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第三章
三角恒等变换
第三章
三角恒等变换
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第三章
3.2 简单的三角恒等变换
3.2.2 三角恒等式的应用
第三章
3.2
误．
第三章
3.2
3.2.2
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已知函数 f(x)＝cos4x－2sinxcosx－sin4x. (1)求 f(x)的最小正周期； π (2)若 x∈[0，2]，求 f(x)的最大、最小值．
第三章 3.2 3.2.2
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●预习自测
1．sinx－cosx 等于( A．sin2x C．
π 2sinx－4
) B．
π 2sinx＋4
π D．sinx－4
[答案]
C
[解析] 原式＝
2
人教版高中数学A版高中数学必修一《三角恒等变换》三角函数(第3课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式)
(1)1 [∵tan 67°－tan 22° ＝tan(67°－22°)(1＋tan 67°tan 22°) ＝tan 45°(1＋tan 67°tan 22°) ＝1＋tan 67°tan 22°， ∴tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22° ＝1＋tan 67°tan 22°－tan 67°tan 22°＝1.]
22
【例3】 (1)tan 67°－tan 22°－tan 67°tan 22°＝________. (2)已知△ABC中，tan B＋tan C＋ 3tan Btan C＝ 3，且 3tan A＋ 3 tan B＝tan Atan B－1，试判断△ABC的形状． [思路点拨] (1)看到tan 67°－tan 22°与tan 67°tan 22°想到将tan(67°－ 22°)展开变形，寻找解题思路． (2)先由关于角A，B的等式求出tan(A＋B)得角A＋B，然后求角C并代 入关于角B，C的等式求角B，最后求角A，判断△ABC的形状．
6
3．已知 tan α＝2，则 tatanα＋π4＝1t－antαan＋αttaannπ4π4＝
1－2＋2×1 1＝－3.]
7
4.1t＋ant7a5n°7－5°ttaann1155°°＝________.
3 [原式＝tan(75°－15°)＝tan
60°＝ 3.]
27
1．整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑tan(α±β)的变形公式．
28
2．熟知变形：两角和的正切公式的常见四种变形： (1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)1－tan αtan β＝tatnanα＋α＋taβnβ； (3)tan α＋tan β＋tan α·tan β·tan(α＋β)＝tan(α＋β)； (4)tan α·tan β＝1－tatnanα＋α＋taβnβ. 提醒：当一个式子中出现两角正切的和或差时，常考虑使用两角和 或差的正切公式．
高中数学必修4课件3-1-2-1
高考调研
新课标A版 ·数学 ·必修四
题型三 变角求值
例 5 已知 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35，且 0<α<π4<β<34π， 求 cos(α＋β)
第29页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
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【解析】 ∵0<α<4π<β<34π， ∴34π<34π＋α<π，－π2<π4－β<0. 又 sin(34π＋α)＝153，cos(π4－β)＝35， ∴cos(34π＋α)＝－1123，sin(π4－β)＝－45.
高考调研
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求角的三角函数值时，应先分析所求角和已知角之间的关 系，将所求角用已知角的和与差表示．
第32页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
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思考题 4 (1)若 sin(α－30°)＝153，30°<α<90°，则 sinα＝ ________.
第23页
第三章 3.1 3.1.2 第一课时
高考调研
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【解析】 f(x)＝sin(x＋3π)－ 3cos(x＋3π) ＝2·[12sin(x＋π3)－ 23cos(x＋π3)] ＝2sin(x＋3π－π3)＝2sinx 故 f(x)的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．
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【解析】 原式＝sin(α＋β)cosα－12{sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋ β)－α]}
＝sin(α＋β)cosα－12·2cos(α＋β)sinα ＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα ＝sin[(α＋β)－α] ＝sinβ.
高一数学必修4课件：3-1-2-1两角和与差的正弦、余弦
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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3．化简cos65° cos35° ＋sin65° sin35° 的结果( A．cos100° 3 C. 2 B．sin100° 1 D. 2
解答(1)可先用诱导公式再用两角和的正弦公式．(2)可提出2后 逆用两角和与差的正弦或余弦公式．
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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[解析]
(1)sin14° cos16° ＋sin76° cos74°
＝sin14° cos16° ＋cos14° sin16° 1 ＝sin(14° ＋16° )＝sin30° 2 ＝
第三章
三角恒等变换
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第三章
第1课时 两角和与差的正弦、余弦
第三章
三角恒等变换
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课前自主预习 随堂应用练习 思路方法技巧 课后强化作业 名师辨误做答
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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自主预习 阅读教材P128－131回答下列问题． 和角、差角公式如下表：
第三章
3.1 3.1.2 第1课时
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名称
公式
简记 S(α－β) C(α－β) S(a＋β) C(α＋β)
差的正弦 sin(α－β)＝ sinαcosβ－cosαsinβ 差的余弦 cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ 和的正弦 sin(α＋β)＝ sinαcosβ＋cosαsinβ 和的余弦 cos(α＋β)＝ cosαcosβ－sinαsinβ
高中数学 第三章 三角恒等变换 3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修4
π 2
(k∈Z)，且
α≠kπ＋4π(k≠Z)．当α＝kπ＋π2时，求tan2α应使用诱导公式．请
读者自己寻求tan2α＝2tanα的条件．
3．使用二倍角公式应注意的问题
(1)对“二倍角”应该有广义上的理解，不仅局限于2α是α
的2倍．只要公式中等号左边的角是右边角的2倍，就可以使用
二倍角公式，如3α与
自 (1)2sinαcosα S2α 我 (2)cos2α－sin2α 2cos2α－1 1－2sin2α C2α
校
2tanα
对 (3)1－tan2α T2α
思考探究 上述公式如何推导得到？ 提示 在两角和的正弦、余弦、正切公式中，令β＝α即可 得到．
名师点拨 1.对“倍角”的理解 (1)本节所说的“倍角”专指“二倍角”，遇到“三倍 角”等名词时，“三”字不能省略． (2)“倍”是描述两个数量关系的，2α是α的二倍，4α是2α 的二倍，α2是α4的二倍，这里蕴含着换元思想．
变式训练2 求下列各式的值：(1)cos215°－sin215°； (2)cos1π2cos152π；(3)sin150°＋cos530°.
解
(1)原式＝cos(2×15°)＝cos30°＝
3 2.
(2)原式＝cos1π2sin1π2＝12sin6π＝14.
(3)原式＝coss5in05°＋0°co3ss5i0n°50°
第三章 三角恒等变换
§3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
3．1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式． 2．正确运用二倍角的正弦、余弦、正切公式进行化简、 求值、证明.
最新人教版高中数学必修4第三章《第三章三角恒等变换》本章概览
第3章三角恒等变换
本章概览
内容提要
本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式以及运用这些公式进行简单的三角恒等变换.
三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习,要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中,发展推理能力和运算能力,使学生体会三角恒等变换的工具性作用,学会它们在数学中的一些应用.
学法指导
1.重视公式的推导:本章公式比较多,要重视公式的推导过程,体会数学知识形成过程,并据此发现公式间的内在联系,有益于形成完整的公式体系结构.
2.重视公式的记忆:对课本中出现的公式要做到真正理解、记准、记熟、用活,解决问题时究竟使用哪一个公式或哪几个公式,要抓住问题的实质，善于联想,需用公式时信手拈来.
3.重视化归思想的运用:转化与化归思想是本章应用的最重要、最基本的思想方法,它贯穿于本章内容的始终,要认真体会、理解,解题中注意灵活运用.。
高中数学必修四第三章三角恒等变换
必修四 第三章：三角恒等变换【知识点梳理】：考点一：两角和、差的正、余弦、正切公式两角差的余弦：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+ 两角和的余弦：()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 两角和的正弦：()sin αβ+sin cos cos sin αβαβ=+ 两角差的正弦：()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=- 两角和的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=-两角差的正切：()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+注意：对于正切,,()222k k k k z πππαβπαπβπ+≠+≠+≠+∈．【典型例题讲解】：例题1.已知3sin ,5αα=-是第四象限角，求sin ,cos ,tan 444πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.例题2.利用和、差角余弦公式求cos 75、cos15的值。
例题3.已知()sin αβ+=32，)sin(βα-=51，求βαtan tan 的值。
例题4.cos13计算sin43cos 43-sin13的值等于（ ）A ．12B ．33C ．22D ．32例题5.已知sin sin sin 0,cos cos cos 0,αβγαβγ++=++=求cos()βγ-的值.例题6.已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+的值是_____例题7.如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角,αβ，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 225（1） 求tan()αβ+的值； （2） 求2αβ+的值。
例题8.设ABC ∆中，tan A tan B Atan B +=，sin Acos A =，则此三角形是____三角形【巩固练习】练习1. 求值（1）sin 72cos 42cos72sin 42-； （2）cos 20cos70sin 20sin 70-；练习2.0sin 45cos15cos 225sin15⋅+⋅的值为（A ） -2 1（B ） -2 1（C ）2 （D ）2练习3.若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-等于（ ） Ａ．3-Ｂ．13-Ｃ．3Ｄ．13练习4. 已知α，β为锐角，1tan 7α=，sin 10β=，求2αβ+.考点二：二倍角公式及其推论：在两角和的三角函数公式βαβαβαβα=+++中，当T C S ,,时，就可得到二倍角的三角函数公式222,,S C T ααα：()sin 2sin sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=；()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-；22222cos 2cos sin 1sin sin 12sin αααααα=-=--=-；22222cos2cos sin cos (1cos )2cos 1αααααα=-=--=-．()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==--．注意：2,22k k ππαπαπ≠+≠+ ()k z ∈二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其它如4α是2α的二倍，24αα是的二倍，332αα是的二倍等等，要熟悉这多种形 式的两个角相对二倍关系，才能熟练地应用二倍角公式，这是灵活运用这些公式的关键．二倍角公式的推论升幂公式：21cos 22cos αα+=， 21cos 22sin αα-=降幂公式：ααα2sin 21cos sin =； 22cos 1sin 2αα-=； 22cos 1cos 2αα+=.【典型例题讲解】例题l. ） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151-D ．22sin 15cos 15+例题2.．已知1sin cos 5θθ+=，且432πθπ≤≤，则cos 2θ的值是 ．例题3.化简0000cos10cos 20cos30cos 40••• 例题4.23sin 702cos 10-=-（ ）A ．12B ．2C ．2D例题5.已知02x π<<，化简：2lg(cos tan 12sin ))]lg(1sin 2)24x x x x x π⋅+-+--+.例题6.若42x ππ<<，则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 。
高一数学必修4课件：章末归纳总结3
第三章
章末归纳总结
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故cosβ＝cos[(α＋β)－α] ＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα 11 1 5 3 4 3 1 ＝(－ )× ＋ × ＝ . 14 7 14 7 2
第三章
章末归纳总结
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专题三
由已知方程 3sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同的实 数解．
π 即函数f(x)＝2sin x＋6 ，x∈[0,2π]的图象与直线y＝a有两
个不同的交点，结合图象易得a的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．
第三章
章末归纳总结
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规律总结：本题将方程有两个不同的实数解转化为两 个函数的图象有两个不同的交点是一种很好的方法，今后遇 到此类问题时，可先观察方程两边是否为基本初等函数，能 否比较方便地画出两边函数的图象，如果能，借助数形结合 可大大加快解题速度．
第三章
章末归纳总结
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[例5]
若方程
3 sinx＋cosx＝a在[0,2π]上恰有两个不同
的实数解，求a的取值范围． [分析] 求出函数y＝ 3 sinx＋cosx(x∈[0,2π])的值域，利
用函数y＝a与y＝ 3sinx＋cosx(x∈[0,2π])的图象有两个不同交 点求解． 辅助角 π x∈[0，2π] ――→ fx＝ 3sinx＋cosx ――→ fx＝2sinx＋6 公式 五点法 有两个不 fx的图象 直线y＝a的图象 ――→ 结果 同的交点
(1)当a∥b时，求2cos2x－sin2x的值；
π (2)求f(x)＝(a＋b)· －2，0上的最大值． b在
高中数学第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换知识巧解学案新人教A版必修04
，π＜2α＜ ，求 tanα.
13
2
3
3
解： ∵π＜2α＜ ，∴ ＜α＜ .
2
2
4
由 cos 2
1 sin 2
5
1 ( 12 ) 2
5 ，得 tan
1 cos2
1 13
3
13
13
sin 2
12 2
13
马鸣风萧萧整理
》》》》》》》》》积一时之跬步 臻千里之遥程《 《《《《《《《《《《《
或 tan 或 tan
或 tan
2 1 cos
2 sin
可避开符号的讨论 .
③若角α的倍角 2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把
的函数值连在一起 .
知识点二 积化和差公式的应用
例 4 求下列各式的值：
5 (1) cos sin ； (2)2cos50° cos70° -cos20° .
12 12
5
15
1
3
.
2
24
(2)原式 =cos(50° +70° )+cos(50°-70° )-cos20°
1
=cos120°+cos20° -cos20° =cos120°=-cos60° = .
2
31
例 5 求证： (1)sin80°cos40° =
sin 40 ；
42
11
(2)sin37.5° sin22.5° = + cos15° .
( 2 3) .
例 2 求 cos , tan 的值 . 8 12
2
解： 由于 cos2
1 cos 1
4
2
1