江苏省扬州市2020届高三第一学期期末检测数学试题(含答案)
扬州市2020届高三第一学期期末考试 数 学一、填空题：1.已知集合{}{}1,2,2,4AkB=−=，且{}2,AB∩=则实数k的值为
2.设()213iabi+=+，则a+b=3.用分层抽样方法从某校三个年级学生中抽取一个容量为90的样本。在高一抽40人，高二抽30人，若高三有400人，则该校共有 人4.右图是一个算法流程图，如输入x的值为1，则输出S的值为
5.已知 ,aR∈则“0a=”是“()2(sin)fxxax=+”为偶函数的条件6.若一组样本数据21,19，x,20,18的平均数为20，则该组样本数据的方差为
7.在平面直角坐标系xOy中，顶点在原点且以双曲线2213yx−=的右准线为准线的抛物线方程是8.已知{}{}(,)|4,0,0,(,)|2,0,0xyxyxyAxyxyxyΩ=+<>>=<>−>，若向区域Ω上随机投掷一点P，则点P落在区域A的概率为
9.等差数列{}na的公差不为零，121,aa=是1a和3a的等比中项，则159246
aaaaaa++=
++
10.已知定义在（0,+∞）上的函数()fx的导函数为(),fx′且()()0xfxfx′+<，则(1)(1)(3)3xfxf−−>的解集为
11.已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，圆台的高为23cm，母线与轴的夹角为30°，则这个圆台的轴截面的面积等于 3.cm
12.已知函数13,1(),22ln,1xxfxxx+≤=>若存在实数,()mnmn取值范围为13.在ABC∆中，若sincos2,BB+=则sin2tantanABC+的最大值为
14.在平面直角坐标系xOy中，A和B是圆()22:11Cxy−+=上两点，且2AB=，点P的坐标为（2,1），则2PAPB−的取值范围为
1二、解答题：15.已知2()23sincos2cos1.fxxxx=⋅+−
（1）求函数()fx的单调递增区间；
（2）若(0,)6πθ∈3,(),2fx=求sin2θ的值。
16.如图，ABC∆是以BC为底边的等腰三角形，,DAEB都垂直于平面ABC，且线段DA长
度大于线段EB的长度，M是BC的中点，N是ED的中点。
求证：（1）AM⊥平面EBC；
（2）//MN平面DAC。
217.如图是一个半径为1千米的扇形景点的平面示意图，2.3AOBπ
∠=原有观光道路OC,且
OCOB⊥。为便于游客观赏，景点2部门决定新建两条道路PQ,PA,其中P在原道路OC(不含端点
O,C)上，Q在景点边界OB上，且OP=OQ,同时维修原道路OP段。因地形原因，新建PQ段、PA段的
每千米费用分别是2a万元，6a元，维修OP段的每千米费用是a万元。
（1）设,APCθ∠=求所需总费用()fθ，并给出θ的取值范围；
（2）当P距离O处多远时，总费用最小。
18.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
22
22:1(0)xyCabab+=>>的离心率为12，右准线的
方程为4x=，12,FF分别为椭圆C的左、右焦点，A,B分别为椭圆C的左右顶点。
（1）求椭圆C的标准方程；（2）过T(t,0)(t>a)作斜率为k(k<0)的 直线l交椭圆C与M,N两点（点M在点N的左侧），
且12//.FMFN设直线AM，BN的斜率分别为12,kk，求12kk⋅的值。
319.已知函数()(ln1),()(,).fxxxgxaxbabR=−=+∈ （1）若1a=时，直线()ygx=是曲线()fx的一条切线，求b的值；
（2）若,bea=−且()()fxgx≥在[,)xe∈+∞上恒成立，求a的取值范围；
（3）令()()()xfxgxϕ=−，且()xϕ在区间2[,]ee上有零点，求24ab+的最小值.
20.对于项数为(*,1)mmNm∈>的有穷正项数列
{}
na，记
{}12min,,,(1,2,,)kkbaaakm=，即kb为12,,,kaaa中的最小值，设由12,,,mbbb组成数
列{}nb称为{}na的“新型数列”.
（1）若数列{}na为2019,2020,2019,2018,2017，请写出{}na的“新型数列” {}nb的所有项；
（2）若数列{}na满足101,6,222,7,nnnann−≤=−≥且其对应的“新型数列” {}nb的项数[21,30]m∈，
求{}nb的所有项的和；
（3）若数列{}na的各项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求符合条件的{}na及其对应
的“新型数列” {}nb.
4附加题21.已知矩阵21 01M=
（1）求矩阵M的特征值及特征向量；
（2）21α
=
−
，求3Mα
.
22.在极坐标系中，已知点,MN的极坐标分别为
(2,)
2
π，7(22,)4π，直线的方程为3π
θ=
.
（1）求以线段MN为直径的圆C的极坐标方程；（2）求直线被（1）中的圆C所截得的弦长.
523.甲、乙两人采用五局三胜制的比赛，即一方先胜，则三局比赛结束.甲每场比赛获胜的概率均为23.设比赛局数为X.
（1）求3X=得概率；（2）求X的分布列和数学期望.
24.已知数列{}na满足*112()nnanNa++=∈，且112a=.
（1）求数列{}na的通项公式；
（2）设数列{}na的前n项和为nS，求证：当2n≥时，21145nnSSn−−−>−.
6高三数学参考答案 一、 填空题： 1.42.23.18004.355.充要
6.27. 22yx8.149. 9710.14xx
11. 83 12.25,21e 13.21214.52,52
二、解答题：
15．解：(1) ()3sin2fxxcos22sin(2)6xx， …… …………3分
∵函数sinyx的单调递增区间为2,222kk，kZ. 令22,2622xkk，∴,36xkk. ∴()fx的单调递增区间为,36kk，kZ. …………7分 (2)∵3()2sin(2)62f，∴3sin(2)64.∵(0,)6，∴2,662， ∴2237cos(2)1sin(2)1()6644，…………9分 sin2sin2sin(2)coscos(2)sin666666∴337133742428. …………14分
16.(1) 因为ABC△是以BC为底边的等腰三角形，M是BC的中点， 所以AMBC. 因为EB平面ABC，AM平面ABC，所以EBAM. 又BC、EB平面EBC，EBBCB，所以AM平面EBC. ……6分 (2)证法一：如图16-1，连结BN并延长，交AD的延长线于I，连结IC.因为EB平面ABC，DA平面ABC，
所以EBDA∥，所以ENBNNDNI，……9分 又N为ED的中点，所以BNNI，即N为BI的中点. 又M是BC的中点，所以在BCI△中，MNCI∥.……11分 又MN平面DAC，CI平面DAC，所以MN∥平面DAC. ……14分
7图16-1 图16-2 图16-3 证法二：如图16-2，因为EB平面ABC，DA平面ABC，所以EBDA∥，所以,,,ABED四点共面. 在平面ABED中，分别过,EN作EPBA∥，NQBA∥，分别交AD于,PQ. 取AC的中点O，连结,MOOQ. 因为EPBA∥，EBPA∥，所以四边形ABEP为平行四边形，所以EPBA∥. 上面三行也可以叙述为： 在AD上取一点P，使APBE. 在平面ABED中，过N作NQBA∥，交AD于Q. 取AC的中点O，连结,MOOQ. 因为EBDA∥，APBE，所以四边形ABEP为平行四边形. 所以EPBA∥. 因为EPBA∥，NQBA∥，所以NQEP∥， 又N是ED的中点，所以12NQEP∥，所以12NQBA∥.
因为,MO分别为,BCCA的中点，所以在ABC△中，12MOBA∥. 所以MONQ∥，所以四边形MOQN为平行四边形，所以MNOQ∥，又MN平面DAC，OQ平面DAC，所以MN∥平面DAC. ……14分 法三：如图16-3，取AB的中点H，连结MH、NH. 在ABC△中，因为,MH分别为,BCBA的中点，所以MHBA∥. 又MH平面DAC，BA平面DAC，所以MH∥平面DAC.……9分 因为EB平面ABC，DA平面ABC， 所以EBDA∥，又EBDA，所以四边形ADEB为梯形. 又,NH分别为,EDBA的中点，所以NHDA∥. 又NH平面DAC，DA平面DAC，所以NH∥平面DAC. 因为,NHMH平面NHM，NHMHH，所以平面NHM∥平面DAC，……11分 又MN平面NHM，所以MN∥平面DAC.……14分
17．解：(1) 因为3AOB，OCOB，所以6AOC.
INE
CBAM
D
OPQNECBAMDHN
E
CBAM
D
8
江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题含解析
江苏省扬州市2020届高三数学下学期5月调研测试试题（含解析）第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上.）1.已知集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>，则A B =______.【答案】{}|02x x << 【解析】 【分析】利用集合的交运算即可求解.【详解】由集合{}|12A x x =-<<，{}|0B x x =>， 所以AB ={}|02x x <<.故答案为：{}|02x x <<【点睛】本题主要考查了集合的交概念以及运算，属于基础题. 2.已知()12i z i -=+，其中i 是虚数单位，则复数z 的模为_______.【答案】2【解析】 【分析】利用复数的乘除运算求出213122i z i i +==+-，再根据复数模的运算z =即可求解.【详解】()()()()()212131312111222i i i i i z i z i i i i ++++-=+⇒====+--+，所以2z ==.故答案为：2【点睛】本题主要考查了复数的四则运算以及复数模的求法，属于基础题.3.已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生. 【答案】30 【解析】 【分析】首先算出高三年级学生人数在总学生人数中占的比例，然后将比例与抽取的学生人数相乘即可求解.【详解】高三年级在总学生人数中占的比例：600110008006004=++，所以高三年级需抽取人数为：1120304⨯=. 故答案为：30【点睛】本题考查了分层抽样的特征，掌握分层抽样的概念以及特征是解题的关键，属于基础题.4.如图伪代码的输出结果为_______.【答案】15 【解析】 【分析】分析程序语言，得出该程序运行后是计算并输出S 的值，写出运行结果即可. 【详解】该程序运行后是计算并输出：1234515S =++++=. 故答案为：15【点睛】本题考查了程序语言的问题，考查了学生的推理能力，难度较小，属于基础题.5.若实数x ，y 满足0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩，则2x y -的最小值为_______.【答案】-1【分析】作出约束条件的可行域，令2z x y =-，平移直线2y x =，转化为2y x z =-截距的最大值即可求解.【详解】作出约束条件0110x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+-≤⎩的可行域，如图（阴影部分）：令2z x y =-，转化为2y x z =-截距的最大值作出直线2y x =，平移该直线，当直线经过点A 时，直线2y x z =-的截距最大，10x x y =⎧⎨+-=⎩， 解得0x =，1y =，即()0,1A ， 所以min 2011z =⨯-=-. 故答案为：-1【点睛】本题考查了简单的线性规划问题，解题的关键是作出可行域、理解目标函数的几何意义，考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，则直线10ax by 不经过第二象限的概率为_______. 【答案】16【分析】(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10axby 不经过第二象限，从而0a ≥，0b ≤，由此利用列举法能求出直线不经过第二象限的概率.【详解】直线：10ax by ，若{}1,1a ∈-，{}3,1,2b ∈-，∴(),a b 包含的基本事件总数236n =⨯=，直线10ax by 不经过第二象限，∴0a ≥，0b ≤，∴满足直线10ax by 不经过第二象限的(),a b 有：()1,3-，共1种情况. ∴直线10ax by 不经过第二象限的概率为16P =. 故答案为：16【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式，列举法求基本事件个数，属于基础题.7.已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为_______.【答案】【解析】 【分析】求出抛物线的焦点()3,0F ，从而求出b ，进而求出虚轴长2b 即可. 【详解】抛物线212y x =的焦点()3,0F ，双曲线22214x y b -=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，2249b c ∴+==，解得b =所以2b =故答案为：【点睛】本题考查了双曲线、抛物线的简单几何性质，需掌握双曲线的虚轴以及双曲线、抛物线的焦点，属于基础题. 8.已知α为锐角，且1cos()63πα+=，则cos α=_______.【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系可得sin()63πα+=，由cos cos 66ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，利用两角差的余弦公式展开即可求解. 【详解】由α为锐角，且1cos()63πα+=，所以sin()63πα+==， 所以cos cos cos cos sin sin 666666ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1132=+【点睛】本题考查了两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，需熟记公式，属于基础题.9.等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，则5S =_______.【答案】121 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式可得25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =，再利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】由题意， 1633a a a =，且4a 与5a 的等差中项为2，设等比数列{}n a 的公比为q ，所以25211341134a q a q a q a q ⎧=⎨+=⎩，解得181a =，13q =， 所以55181********S ⎡⎤⎛⎫⨯-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-. 故答案为：121【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.10.正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，O 为上底面ABCD 的中心，设正四棱柱1111ABCD A B C D -与正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为1S 、2S ，则12S S =_______.【解析】 【分析】由题意画出图形，求出正四棱锥的斜高，再分别求出正四棱柱与正四棱锥的侧面积即可求解. 【详解】如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，则正四棱柱1111ABCD A B C D -的侧面积为：142324S =⨯⨯=， 正四棱锥1111O A B C D -=∴正四棱锥1111O A B C D -的侧面积分别为：21422S =⨯⨯=∴123105410S S ==. 故答案为：3105【点睛】本题考查了多面体侧面积的求法，涉及正四棱柱和正四棱锥的性质特征，是基础的计算题.11.已知曲线C ：()3f x x x =-，直线l ：y ax a =-，则“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】由已知可得，曲线C 与直线l 均过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ，写出过切点的切线方程，利用待定系数法明确a 的取值，再结合充分必要性作出判断【详解】()231f x x '=-，直线l ：y ax a =-过点()1,0，曲线C 也过点()1,0，若直线l 与曲线C 相切，设切点的横坐标为0x ， 则切线为()2300312y x x x =--，则2030312x a x a ⎧-=⎨=⎩，解得012x a =⎧⎨=⎩或01214x a ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以“14a =-”是“直线l 与曲线C 相切”的充分不必要条件， 故答案为：充分不必要【点睛】本题考查了充要条件的判断，涉及直线与三次函数相切问题，考查了计算能力与转化能力，属于中档题. 12.已知0x >，0y >，则16y x x xy++的最小值为_______.【答案】【解析】 【分析】由21616y y x x x xy xy+++=+，两次利用基本不等式即可求解.【详解】由0x >，0y >，21616248y y y y x x x x x xy xy xy xy +⋅⋅++=+≥+=+≥=，当且仅当x =4y =时取等号，故答案为：【点睛】本题考查了基本不等式求最值，注意等号成立的条件，属于中档题.13.已知点D 为圆O ：224x y +=的弦MN 的中点，点A 的坐标为()1,0，且1AM AN →→⋅=，则OA OD →→⋅的最小值为_______. 【答案】-1 【解析】 【分析】设(),D x y ，222222441AM AN AD DN AD OD AD OD →→→→→→→→⎛⎫⋅=-=--=+-= ⎪⎝⎭，利用向量模的坐标运算求出点D 的轨迹方程为221924x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，由OA OD x →→⋅=，根据点D 的轨迹方程即可求解.【详解】设(),D x y ，AM AN AD DM AD DN AD DN AD DN →→→→→→→→→→⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=-⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222222441AD DN AD OD AD OD →→→→→→⎛⎫=-=--=+-= ⎪⎝⎭，()1,AD x y →=-，(),OD x y →= ，()222215x y x y ∴-+++=，即222x x y -+=，221924x y ⎛⎫∴-+= ⎪⎝⎭，13122OA OD x →→⋅=≥-=-.则OA OD →→⋅的最小值为-1. 故答案为：-1【点睛】本题考查了向量的三角形法则、向量的数量积的坐标运算，考查了转化与化归的思想，属于中档题.14.数列{}n a 中，11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，设{}n a 的前n 项和为n S ，若142n n S λ-≤⋅恒成立，则实数λ的取值范围是_______. 【答案】332λ≥ 【解析】 【分析】11a =，*1*1,4,4n n n n a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+，可得43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =，可得()4311332n a n n -=+-⨯=-，()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n-=+++264n n =+， 由142n n S λ-≤⋅恒成立，只需21max642n n n λ-⎧⎫+≥⎨⎬⎩⎭即可，通过作差可得其单调性，即可得出最大值.【详解】由11a =，*1*1,4,4n n nn a N a n a N +⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，可得: 4411n n a a -=+，41421n n a a --=+，42431n n a a --=+， 所以43424144346n n n n n a a a a a ----+++=+，414414313n n n n a a a a +--==+=+，又11a =所以()4311332n a n n -=+-⨯=-， 所以()()412344342414n n n n n S a a a a a a a a ---=+++++++()154346n a a a n -=+++()213246642n n n n n +-=⨯+=+，由142n n S λ-≤⋅恒成立，即21642n n n λ-+≤⋅恒成立21max642n n n λ-⎧⎫+∴≥⎨⎬⎩⎭， 设21642n n n nc -+=， 则()()222116141646810222n n n n nn n n n n n c c +-++++-++-=-=， 当1n =时，26810120n n -++=>，即210c c ->， 当2n =时，2681020n n -++=>，即320c c ->， 当3n =时，26810200n n -++=-<，即430c c -<， 由二次函数的性质可知当4n ≥时，10n n C C +-<可得345n c c c c >>>>，且123c c c <<，所以{}3max 332n c c ==， 332λ∴≥. 故答案为：332λ≥【点睛】本题考查了数列的恒成立问题、等差数列的前n 项和公式，数列的单调性，考查了转化与划归的思想，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在ABC 中，已知2cos S bc A =，其中S 为ABC 的面积，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.（1）求角A 的值；（2）若6tan 5B =，求sin 2C 的值. 【答案】（1）4A π=.（2）1161【解析】 【分析】（1）利用三角形的面积公式化简可得sin cos A A =，从而可得tan 1A =，即可求得A 的值.（2）利用两角和的正切公式可得tan()tan 114A B B π⎛⎫+=+=- ⎪⎝⎭，再有A B C π++=，求出()tan tan 11C A B =-+=，再利用二倍角公式sin 22sin cos C C C =，利用弦化切齐次式即可求解.【详解】解：（1）因为2cos S bc A =，所以12sin cos 2bc A bc A ⨯=， 则sin cos A A =，因为在ABC 中，()0,A π∈，所以sin cos 0A A =>， 所以tan 1A =， 所以4A π=.（2）由（1）知4A π=，又因为6tan 5B =，所以611tan5 tan()tan11641tan15BA B BBπ++⎛⎫+=+===-⎪-⎝⎭-，因为在ABC中，A B Cπ++=，所以()tan tan11C A B=-+=，所以222sin cossin22sin cossin cosC CC C CC C==+222tan21122111tan11112261CC⨯====++.【点睛】本题考查了三角形的面积公式、两角和的正切公式、二倍角公式以及齐次式求三角函数值，属于基础题.16.如图，三棱柱111ABC A B C-中，1BC B C=，O为四边形11ACC A对角线交点，F为棱1BB 的中点，且AF⊥平面11BCC B.（1）证明：//OF平面ABC；（2）证明：四边形11ACC A为矩形.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【分析】（1）取AC中点D，连结,OD BD，由题意111////BB CC AA且11BB AA=，证出//OD BF，且OD BF=，进而可得//OF BD，利用线面平行的判定定理即可证出.（2）首先证出1CF BB⊥，利用线面垂直的性质定理证出1AF BB⊥，再利用线面垂直的判定定理证出1BB⊥平面AFC，从而可证出1BB AC⊥，根据11//BB CC，即证1AC CC⊥. 【详解】证明：（1）取AC中点D，连结,OD BD.在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形，111////BB CC AA 且11BB AA =.因为O 为平行四边形11ACC A 对角线的交点，所以O 为1A C 中点， 又D 为AC 中点，所以1//OD AA ，且112OD AA =. 又11//BB AA ，11BB AA =，所以1//OD BB ，且112OD BB =.又F 为1BB 中点，所以//OD BF ，且OD BF =， 所以ODBF 为平行四边形， 所以//OF BD ，又因为BD ⊂平面ABC ，OF ⊄平面ABC ， 所以//OF 平面ABC ：（2）因为1BC B C =，F 为1BB 中点，所以1CF BB ⊥，又因为AF ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，所以1AF BB ⊥.因为1CF BB ⊥，1AF BB ⊥，CF ⊂平面AFC ，AF ⊂平面AFC ，CF AF F ⋂=， 所以1BB ⊥平面AFC .又AC ⊂平面AFC ，所以1BB AC ⊥， 又由（1）知11//BB CC ，所以1AC CC ⊥，在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11ACC A 为平行四边形， 所以四边形11ACC A 为矩形.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及性质定理，属于基础题. 17.某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为63ππθθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭；②架面与架底平行，且架面三角形ABC 与架底三角形111A B C 均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点O 分三根细钢管上、下两段之比均为2:3.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形111A B C 的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当3πθ=时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值. 【答案】（1）32米.（2）950立方米.【解析】 【分析】（1）根据题意1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米，从而31sin 3h π=⨯=. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O ，且1111113cos 5O A O C O B θ===，表示出111A B C △S ，进而2273sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令sin t θ=，利用导数即可求解. 【详解】解：（1）因为架面与架底平行，且1AA 与地面所成的角为3π，11AA =米， 所以“支架高度”31sin3h π=⨯=（米）. （2）过O 作1OO ⊥平面111A B C ，垂足为1O .又11O A ⊂平面111A B C ，所以111OO O A ⊥， 又1AA 与地面所成的角为θ，所以113cos 5O A θ=， 同理11113cos 5O C O B θ==， 所以1O 为等边三角形111A B C 外心，也为其重心，所以11113333cos 3cos 2553B C AO θθ=⋅⋅=⨯=， 11122333273cos cos A B C S θθ⎛⎫=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭△， 记“支架需要空间”为V ，则2273cos sin V θθ=⋅，,63ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 令sin t θ=，则13,2t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.所以()()232732731V t t t t =-=-，13,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 又()222738131'131001003V t t ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭8133310033t t ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 则当13,23t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V >，V 单调递增；当33,32t ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，'0V <，V 单调递减. 所以当33t =时，3max 27333273329350V ⎡⎤⎛⎫⎢⎥=-=⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（立方米）.答：（1）当3πθ=时，“支架高度”为3米； （2）“支架需要空间”的最大值为950立方米. 【点睛】本题考查了导数在研究函数最值中的应用，解题的关键是列出函数表达式，考查了分析解题的能力，属于中档题.18.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>过点21,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且椭圆的离心率为22，直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交椭圆E 于C 、D 两点.（1）求椭圆E 的标准方程； （2）求线段CD 长的最大值； （3）求AC AD →→⋅的值.【答案】（1）2212x y +=（2）max 433CD =（3）0 【解析】 【分析】（1）由离心率2222ca b e aa -===，解得222a b =，再将点21,2⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，可得221112a b+=，解出a 、b 即可求解. （2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理求出AB 的中点(),M M M x y ，求出直线CD 的方程为13y x t =--，将其与椭圆方程联立，利用弦长公式即可求解.（3）利用向量数量积的坐标运算，结合（2），利用韦达定理即可求解.【详解】解：（1）设椭圆E 的焦距为()20c c >，则2c e a a ===，可知222a b =. 又因为椭圆E过点1,2⎛ ⎝⎭，所以221112a b +=， 解得22a =，21b =，所以椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由2222y x t x y =+⎧⎨+=⎩得2234220x tx t ++-=， 又直线l ：y x t =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，所以1221243223x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，且()22(4)43220t t ∆=-⨯⨯->，则t <<设AB 的中点(),M M M x y ，则12223M x x x t +==-，13M M y x t t =+=， 所以AB 的中垂线的方程为13y x t =--，即直线CD 的方程为13y x t =--，由221322y x t x y ⎧=--⎪⎨⎪+=⎩得2227122180x tx t ++-=，则342344921827x x t t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 所以CD ====又(t ∈，所以当0t=时，max CD ==（3）由（2）知，()()31314141,,AC AD x x y y x x y y →→⋅=--⋅--()()()()31413141x x x x y y y y =--+--()()314131414433x x x x x x t x x t ⎛⎫⎛⎫=--+------ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22234341134134114816339x x x x x x x x x t x x x tx t ⎛⎫=-+++++++++ ⎪⎝⎭()22343411481622339x x t x x x tx t =+++++，由（2）知342342211492182734220x x t t x x x tx t ⎧+=-⎪⎪-⎪=⎨⎪++-=⎪⎪⎩，所以()()223434114216234339AC AD x x t x x x tx t →→⋅=+++++ ()22221844216222273939t t t t t -⎛⎫=⨯+⨯-+-+ ⎪⎝⎭24163648027272727t ⎛⎫=--+= ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及向量的数量积的坐标表示，考查了学生的计算能力，属于难题. 19.已知函数()()1f x a x a R x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，()ln g x x =. （1）当1a =吋，解不等式()()0f x g x -≤； （2）设()()()u x xf x g x =-.①当0a <时，若存在()(),0,m n m n ∈+∞≠，使得()()0u m u n +=，证明：1mn <； ②当0a >时，讨论()u x 的零点个数. 【答案】（1）(]0,1（2）①见解析②见解析 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，不妨设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--，利用导数判断函数单调递增，由()10h =，即可求解.（2）①由()()0u m u n +=，代入解析式整理可得()222ln ln 0a m n m n +---=，由0a <，利用基本不等式可得()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--，方法一：设mn t =，利用导数即可证出；方法二：利用反证法，假设1mn ≥，找出()()22ln 0a mn mn --≤，与已知矛盾即可. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，求导函数2121'()2ax u x ax x x-=-=，求出函数的单调区间以及最值，且()10u =，讨论1=1<1>即可得出零点个数. 【详解】解：（1）设()()()1ln h x f x g x x x x=-=--， 则()22222131114'210x h x x x x x x x ⎛⎫-+ ⎪-+⎝⎭+-===>， 所以()h x 在()0,∞+上递增，又()10h =，所以01x <≤， 所以()()0f x g x -≤的解集为(]0,1.（2）①证明：由()()0u m u n +=得()()221ln 1ln 0a m m a n n --+--=，即()222ln ln 0a m n m n +---=，又0a <，所以()222ln ln 0(22)ln()a m n m n a mn mn +---=≤--， 因为m n ≠，所以“=”不成立. 思路一：设mn t =，()(22)ln (0)v t a t t t =-->，则1'()20v t a t=-<， 所以()v t 在()0,∞+单调递减， 又()10v =，所以1t <，即1mn <. 思路二：假设1mn ≥，则220mn -≥，()ln 0mn ≥，所以()()22ln 0a mn mn --≤，这与(22)ln()0a mn mn -->矛盾，故1mn <. ②()()()()21ln u x xf x g x a x x =-=--，当0a >时，2121'()2ax u x ax x x-=-=，令()'0u x =得x =（负值舍去）.所以当x ⎛∈ ⎝时，()'0u x <，()u x 为减函数，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()'0u x >，()u x 为增函数.又()10u =.1︒1=，即12a =时，()u x 有一个零点.2︒1<，即12a >时，由()10u =可知(1)0u u <=， 又()0au e->，且1ae-<，所以，()u x 在()0,1有一个零点，故此时()u x 有两个零点；31>，即102a <<时，由()10u =可知(1)0u u <=，令()()ln 1x x x ϕ=--，则()11'1xx x xϕ-=-=， 所以当()0,1x ∈时，()'0x ϕ>，()x ϕ单调递增；当()1,x ∈+∞时，()'0x ϕ<，()x ϕ单调递减，所以()()max 10x ϕϕ==， 故ln 1x x ≤-，则()ln 1x x -≥--. 所以()()()211u x a x x >---，所以110u a ⎛⎫->⎪⎝⎭，且111a ->，所以，()u x 在()1,+∞有一个零点，故此时()u x 有两个零点.综上，当12a =时，()u x 有1个零点； 当0a >且12a ≠时，()u x 有2个零点.【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用、导数在研究函数零点中的应用，考查了分类讨论的思想，属于难题.20.对数列{}n a ，规定{}n a ∆为数列{}n a 的一阶差分数列，其中()*1n n n a a a n N +∆=-∈，规定{}2n a ∆为{}n a 的二阶差分数列，其中()2*1n n n a a a n N+∆=∆-∆∈.（1）数列{}n a 的通项公式()2*n a n n =∈N ，试判断{}n a ∆，{}2na ∆是否为等差数列，请说明理由？（2）数列{}n b 是公比为q正项等比数列，且2q ≥，对于任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，求q 所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列{}n c 的前n 项和为n S ，且20n c ∆=，对满足2m n k +=，m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，都有m n c c ≠，且不等式m n k S S tS +>恒成立，求实数t 的最大值. 【答案】（1）{}n a ∆，{}2n a ∆是等差数列，见解析（2）⎧⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据题干中的定义，结合等差数列的定义即可判断. （2）根据等比数列的通项公式可得11n n b b q -=，结合题干可得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，从而可得2(1)m nq q --=，且0m n -≥；分类讨论0-=m n 、1m n -=或2m n -≥即可求出q .（3）根据题中对数列的定义可得2n c ∆2120n n n c c c ++=-+=，从而可得211n n n n c c c c +++-=-，即{}n c 是等差数列，根据数列为正项等差数列可得0d >，代入等差数列前n 项和公式，由222()24m n m n ++>，可得m n k S S tS +>，当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立；当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥，代入等差数列的前n 项和公式，作差()()21(2)2k m n d tS S S t d k k t c k d ⎛⎫-+=--+-- ⎪⎝⎭，由02d t d ->，20k k -≥，即可求解.【详解】解：（1）因为2n a n =，所以221(1)21n n n a a a n n n +∆=-=+-=+，则12n n a a +∆-∆=，又13a ∆=，所以{}n a ∆是首项为3，公差为2的等差数列.因为212n n n a a a +∆=∆-∆=，则{}2n a ∆是首项为2，公差为0的等差数列.（2）因为数列{}n b 是公比为q 的正项等比数列，所以11n nb b q -=.又()21211212n n n n n n n n n n b b b b b b b b b b ++++++∆=∆-∆=---=-+，且对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=，所以对任意的*n N ∈，都存在*m N ∈，使得11111112n n n m b q b q b q b q +---+=，即2(1)m nq q--=，因为2q ≥，所以0m n -≥.1︒ 若0-=m n ，则2211q q -+=，解得0q =（舍）或2q，即当2q时，对任意的*n N ∈，都有2n n b b ∆=.2︒ 若1m n -=，则2310q q -+=，解得32q =（舍）或32q +=，即当32q +=时，对任意的*n N ∈，都有21n n b b +∆=. 3若2m n -≥，则22(1)m nqq q -≥>-， 故对任意的*n N ∈，不存在*m N ∈，使得2n m b b ∆=.综上所述，q 所有可能的取值构成的集合为32,2⎧+⎪⎨⎪⎪⎩⎭；（3）因为20n c ∆=，所以()21211n n n n n n n c c c c c c c ++++∆=∆-∆=---2120n n n c c c ++=-+=，则211n n n n c c c c +++-=-，所以{}n c 是等差数列. 设{}n c 的公差为d ，则()11n c c n d =+-. 若0d =，则m n c c =；若0d <，则当11c n d>-时，0n c <， 与数列{}n c 的各项均为正数矛盾，故0d >. 由等差数列前n 项和公式可得2122n d d S n c n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 所以22112222n m d d d d S S n c n m c m ⎛⎫⎛⎫+=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()221()22d d n m c m n ⎛⎫=++-+ ⎪⎝⎭， 212222k d m n d m n S c ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又m n ≠，222()24m n m n ++>， 所以()221()22n m d d S S n m c m n ⎛⎫+=++-+ ⎪⎝⎭21()()2222k d m n d c m n S +⎛⎫>⋅+-+= ⎪⎝⎭， 则当2t ≤时，不等式m n k S S tS +>都成立.另一方面，当2t >时，令1m k =+，()*1,2n k k N k =-∈≥， 则()()22111222m n d d S S k k c k ⎛⎫⎡⎤+=++-+-⨯ ⎪⎣⎦⎝⎭()2122222d d k k c ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 2122k d d S k c k ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 则()()22112222222k m n d d d d tS S S tk c tk k k c ⎛⎫⎛⎫-+=+--+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()21(2)2d t d k k t c k d ⎛⎫=--+-- ⎪⎝⎭， 因为02dt d ->，20k k -≥， 所以当1(2)dk t c >-时，()0k n m tS S S -+>，即m n k S S tS +<.不满足任意性.所以2t ≤ .综上，t 的最大值为2.【点睛】本题考查了数列的新定义、等差数列的定义以及等差数列的前n 项和公式，属于难题.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.已知矩阵22a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1223N ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，且1001MN ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦. （1）求矩阵M ；（2）直线l 在矩阵M 对应的变换作用下变为直线30x y +=，求直线l 的方程.【答案】（1）3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦（2）30x y -=.【解析】 【分析】（1）利用待定系数或公式即可求解.（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，代入直线即可求解. 【详解】解：（1）用待定系数或公式42622212102014323a a a MN b b b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢+++⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦+⎣⎦， 解得3a =-，1b =-，可求得3221M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦；（2）设直线l 上任一点(),x y 在矩阵M 对应的变换作用下变为()','x y ，即3232'212'x x y x y x y y --+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦在30x y +=上，则32630x y x y -++-=，即30x y -=，所以直线l 的方程为30x y -=. 【点睛】本题考查了矩阵的变换，需掌握矩阵的运算公式，属于基础题.22.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为313x t y t=⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C ：)4πρθ=-，求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】 【分析】将直线的参数方程消去参数t 化为普通方程，将圆的极坐标方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，然后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：把直线方程l ：313x ty t=⎧⎨=-⎩化为普通方程为1x y +=.圆2sin 2cos 4πρθρθθ⎛⎫=-⇒=- ⎪⎝⎭， 即22sin 2cos ρρθρθ=-，化为普通方程为22220x x y y ++-=， 即()()22112x y ++-=，圆心C 到直线l 的距离d ==所以直线l 被圆C 截得的弦长为=.【点睛】本题考查了直线参数方程化为普通方程、曲线的极坐标方程化为普通方程，直线与圆相交几何法求弦长，属于基础题.23.某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励100m 元（m 为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励1002200⨯=元）. （1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率； （2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额X 概率分布与期望()E X .【答案】（1）35（2）见解析，期望是150元. 【解析】 【分析】（1）首先利用排列求出摸三次的总的基本事件个数：31560n A ==；然后利用分步计数原理求出个位的排法、十位百位的排法求出三位数是奇数的基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，求出各个随机变量的分布列，利用均值公式即可求解.【详解】解：（1）因为总的基本事件个数31560n A ==，摸到三位数是奇数的事件数1223436n A A ==，所以1363605P ==； 所以摸到三位数是奇数的概率35.（2）获奖金额X 的可能取值为50、100、200、300、400、500，3(50)5P X ==，1321(100)6010P X ⨯⨯===，1311(200)6020P X ⨯⨯===，1321(300)6010P X ⨯⨯===，1311(400)6020P X ⨯⨯===，1321(500)6010P X ⨯⨯===，获奖金额X 的概率分布为均值311111()5010020030040050015051020102010E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=元. 所以期望是150元.【点睛】本题考查了古典概型的概率计算公式、离散型随机变量的分布列以及数学期望，属于中档题.24.（1）证明：()1*111,11k k n n C C n N k N k n ++=∈∈++； （2）计算：001122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++-；（3）计算：2020202002(1)2k kk C k =-+∑. 【答案】（1）见解析（2）12021（3）12043231【解析】 【分析】（1）利用组合数的运算即可求证.（2）利用组合数的运算与性质即可证出. （3）方法一：设02(1)2nk kn n k a C k ==-+∑，可得()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑，再利用组合数的运算性质即可求解；方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)kkk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑，根据组合数的运算即可求解.【详解】解：（1）1111!1(1)!111!()!1(1)!()!1k k n n n n C C k k k n k n k n k n +++=⋅=⋅=++-++-+； （2）01122202020202020202020202020111(1)(1)(1)(1)232021C C C C -+-+-++- 2020202012020202100111(1)(1)120212021kk k k k k C C k +===-=-=+∑∑. （3）设02(1)2nkkn nk a Ck ==-+∑， 则()11111221(1)(1)22n k k k n n n n k a C C k n ----==+-++-++∑ 11111122(1)(1)22nn kk k kn n n n k k k a Ca C k n k ----===+-=+-++∑∑ ()1100222(1)(1)02n nk k k kn n n n n k k a C C a a n k n --==⎧⎫=+---=+-⎨⎬+⎩⎭∑∑. 所以121221n n n n n n n a a a a n n n ---=⇒=⋅+++1(1)32(2)(1)54n n a n n -⋅⋅⋅-⋅=⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅⋅， 又113a =，所以2!2!1(2)!n nn n a n C +==+. 所以20202020202020202020222022211(1)2kkk Ca k C C =-===+∑ 11101120212043231==⨯.（结果没化简，不扣分）方法二：202020202020022020!2(1)(1)(1)2!(2020)!(2)(1)k kk k k k Ck k k k k ==+-=-⋅⋅+-++∑∑ 20202022!2(1)(1)(2)!(2020)!20222021k k k k k =+=-⋅⋅+-⨯∑20202202202(1)(1)20222021k k k k C +==⋅-⋅+⋅⨯∑ 20202202202(1)(21)20222021k k k k C +==⋅-⋅+-⋅⨯∑ 202020202220222022002(1)(2)(1)20222021k k k k k k k C C ++==⎡⎤=⋅-⋅+⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ 2020202012220212022002(1)2022(1)20222021k k k k k k C C +++==⎡⎤=⋅-⋅⋅--⋅⎢⎥⨯⎣⎦∑∑ ()20201120221120212022022022(1)(11)1(1)20222021k k k C C ++=⎡⎤=⋅--⋅-----⎢⎥⨯⎣⎦∑ ()202122022(11)11202220222021⎡⎤=⋅-⋅--+-⎣⎦⨯ 21120222021101120212043231===⨯⨯. 【点睛】本题考查了组合数的运算与性质，掌握组合数的运算性质是解题的关键，属于难题.。
2020届江苏省扬州市高三第四次模拟考试：数学模拟试卷(有答案)
Read x If x≤5 Then y←10x Else y←+5End If扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅰ（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方．2．试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应位置）1．已知集合{|12}A x x =-<<，Z 是整数集，则A Z =I ▲ ． 2．若复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = ▲ ． 3．命题“2,10x R x x ∃∈++=”的否定 ▲ ． 4．已知ABC ∆中，21,2,3a b C π===，则边c 的长度为 ▲ ． 5．下面是一个算法的伪代码．如果输出的y 值是20， 则输入的x 值是 ▲ ．6．在区间]2,1[-内随机选取一个实数，则该数为正数的概率是 ▲ ．7．在三棱锥P ABC -中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且3,2,1PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为 ▲ ．8．已知tan 2α=且α为锐角，则cos2α= ▲ ．9．在平面直角坐标系xOy 中，如果直线l 将圆22420x y x y +--=平分，且不经过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是 ▲ ．10．已知等边ABC ∆中，若1()3AP AB AC =+u u u r u u u r u u u r ，AQ AP t AB =+u u ur u u u r u u u r ，且AP AQ ⊥u u u r u u u r ，则实数t 的值为 ▲ ．11．设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF∆是等边三角形，则双曲线的离心率是 ▲ ．（第5题图）12．设函数2log ()(0)()2(0)x x x f x x -<⎧=⎨≥⎩，若关于x 的方程2()()0f x af x -=恰有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围为 ▲ ．13．已知数列{}n a 是各项均不为零的等差数列，n S 为其前n项和，且n a =n *∈Ν）．若不等式2016n n S a λ≥-对任意n *∈Ν恒成立，则实数λ的最小值为 ▲ ．14．已知函数32()f x ax bx cx d =+++在O 、A 两点处取得极值，其中O 是坐标原点，A 在曲线2sin ([,])33y x x x ππ=∈上，则曲线()y f x =的切线斜率的最大值为 ▲ ．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知向量(sin(),1)2a x ωϕ=+r ，(1,cos())2b x ωϕ=+r (0,0)4πωϕ><<，记函数()()()f x a b a b =+⋅-r r r r ．若函数()y f x =的周期为4，且经过点1(1,)2M ．（1）求ω的值；（2）当11x -≤≤时，求函数()f x 的最值． 16．（本小题满分14分）在三棱锥P －S BC 中，A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且3,8, 5.AB BC CD ===PA ⊥BC ． （1）求证：平面PSB ⊥平面ABCD ；（2）若平面PAD I 平面PBC l =，求证：//l BC ．PSDCBA（第16题图）17．（本小题满分14分）某工厂生产某种黑色水笔，每百支水笔的成本为30元，并且每百支水笔的加工费为m 元（其中m 为常数，且36m ≤≤）．设该工厂黑色水笔的出厂价为x 元/百支（3540x ≤≤），根据市场调查，日销售量与x e 成反比例，当每百支水笔的出厂价为40元时，日销售量为10万支．（1）当每百支水笔的日售价为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求y 的最大值．（2）已知工厂日利润达到1000元才能保证工厂的盈利．若该工厂在出厂价规定的范围内，总能盈利，则每百支水笔的加工费m 最多为多少元（精确到0.1元） 18．（本小题满分16分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴长为4，椭圆的离心率为32．设点M 是椭圆上不在坐标轴上的任意一点，过点M 的直线分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点上，且满足13AM AB =u u u u r u u u r．（1）求证：线段AB 的长是一定值；（2）若点N 是点M 关于原点的对称点，一过原点O 且与直线AB 平行的直线与椭圆交于P 、Q 两点（如图），求四边形MPNQ 面积的最大值，并求出此时直线MN 的斜率．yQPNMB A Ox （第18题图）19．（本小题满分16分）数列{}n a 是公差为d (0)d ≠的等差数列，它的前n 项和记为n A ，数列{}n b 是公比为q (1)q ≠的等比数列，它的前n 项和记为n B ．若110a b =≠，且存在不小于3的正整数,k m ，使k m a b =． （1）若11a =，2d =，3q =，4m =，求k A ．（2）若11a =，2d =，试比较2k A 与2m B 的大小，并说明理由；（3）若2q =，是否存在整数,m k ，使86k m A B =，若存在，求出,m k 的值；若不存在，说明理由．20．（本小题满分16分）已知函数()f x =1ln ,a x a x+∈R ． （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）当[]1,2x ∈时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值；（3）试问过点(02)P ，可作多少条直线与曲线()y f x =相切并说明理由．扬州市高三第四次模拟测试数 学 试 题Ⅱ（全卷满分40分，考试时间30分钟）21（B ）．（本小题满分10分）已知矩阵21a A b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若矩阵A 属于特征值3的一个特征向量为11α⎡⎤=⎢⎥⎣⎦u r ，求该矩阵的另一个特征值．21（C ）．（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，极轴与x 轴的非负半轴重合）中，圆C 的方程为4cos ρθ=．若直线l 被圆C 截得的弦长为11，求实数a 的值．22．（本小题满分10分）长时间上网严重影响着学生的健康，某校为了解甲、乙两班学生上网的时长，分别从这两个班中随机抽取6名同学进行调查，将他们平均每周上网时长作为样本，统计数据如下： 甲班 10 12 15 18 24 36 乙班121622262838如果学生平均每周上网的时长超过19小时，则称为“过度上网”．（1）从甲班的样本中有放回地抽取3个数据，求恰有1个数据为“过度上网”的概率；（2）从甲班、乙班的样本中各随机抽取2名学生的数据，记“过度上网”的学生人数为X ，写出X 的分布列和数学期望()E X ． 23．（本小题满分10分） 已知*0()()nkk n nk f x Cx n N ==∈∑．（1）若456()()2()3()g x f x f x f x =++，求)(x g 中含4x 项的系数；（2）证明：012121231(2)123[]3n m m m m m n m n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L ．高三第四次模拟测试 数 学 试 题Ⅰ参 考 答 案一、填空题1．{0,1} 2．1i - 3．“2,10x R x x ∀∈++≠” 4．7 5．2或6 6．23 7．1 8．35- 9．1[0,]2 10．23- 11．2 12．[1,)+∞ 13．12017 14．32二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．解：（1）2222()()()sin ()cos ()cos(2)22f x a b a b a b x x x ωωϕϕωϕ=+⋅-=-=+-+=-+r r r r r r………………………4分由题意得：周期24T πω==，故2πω=……………………6分（2）∵图象过点1(1,)2M ，1cos(2)22πϕ∴-+=即1sin 22ϕ=，而04πϕ<<，故26πϕ=，则()cos()26f x x ππ=-+． ……………………10分 当11x -≤≤时，23263x ππππ-≤+≤1cos()1226x ππ∴-≤+≤ ∴当13x =-时，min ()1f x =-，当1x =时，max 1()2f x =． ……………………14分16．证：（1）Q A ，D 分别为边SB ，SC 的中点，且8BC = //AD BC ∴且4AD =3,AB SA ==Q 5CD SD ==222SA AD SD ∴+=90SAD ∴∠=︒即SA AD ⊥BC SB ∴⊥ ……………………3分PA BC ⊥Q ，PA SB A =I ，PA 、SB ⊂平面PSB BC ∴⊥平面PSBBC ⊂Q 平面ABCD ∴平面PSB ⊥平面ABCD ……………………7分（2）//AD BC Q ，AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD//BC ∴平面PAD ……………………10分BC ⊂Q 平面PBC ，平面PAD I 平面PBC l =//l BC ∴ ……………………14分17．解：（1）设日销量为x k e ，则401000ke=401000k e ∴=．则日售量为401000x e e ∴日利润401000(30)xe y x m e =--⋅．即 401000(30)xe x m y e --=，其中3540x ≤≤． ………………3分 令'0y =得31x m =+．① 当34m ≤<时，343135m ≤+< ∴当3540x ≤≤时，'0y ≤．∴当35x =时，y 取最大值，最大值为51000(5)m e -． ………………5分② 当46m ≤≤时，353137m ≤+≤，函数y 在[35,31]m +上单调递增，在[31,40]m +上单调递减． ∴当31x m =+时，y 取最大值91000m e -． ………………7分 ∴当34m ≤<时，35x =时，日利润最大值为51000(5)m e -元当46m ≤≤时，31x m =+时，日利润最大值为91000m e -元． ………………8分（2）由题意得：401000(30)1000xe x m e --≥对[35,40]x ∀∈恒成立 ………………10分则4030xe m x e≤--对[35,40]x ∀∈恒成立设40()30x e h x x e =--，[35,40]x ∈ 404040'()1x xe e e h x e e -∴=-= 则()h x 在[35,40]上单调增，则min 51()(35)5h x h e ==-，即515m e≤- 5.0≈ ∴每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元答：每百支水笔的加工费m 最多约为4.9元． ………………14分18．解：（1）由题意得：24a c e a =⎧⎪⎨==⎪⎩2a c =⎧⎪⎨=⎪⎩1b ∴= ∴椭圆方程为：2214x y += ……………………3分设00(,)M x y ，则220014x y +=13AM AB =u u u u r u u u r Q 且A 、B 分别在x 轴、y 轴上 003(,0),(0,3)2A xB y ∴222220000999()944x AB x y y ∴=+=+= 3AB ∴=为定值 ……………………7分（2）方法（一）设11(,)P x y //AB PQ Q 02PQ AB y k k x ∴==-，220044x y += 则直线PQ 的方程为：02y y x x =-…………………9分∵0022214y y x x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 22012200220122004161616x x x y y y x y ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=⎪+⎩2222002222000041664441616x y PQ OP x y x y +∴==⋅=++ 点M 到直线00:20PQ y x x y +=的距离：0000002200|3|24x y d y x ==+ ………12分 22220000002222220000003||(44)12212122216441616四边形MPQMPNQ x y x y y y S S PQ d x y y y x y ∆-∴==⨯⋅=⋅==+-++4200201231y y y -+=+，令231,1t y t =+≥，则242002011()14133(5)3199t t y y t y t t ---+-+==-+-≤+ 当且仅当2t =时，取等号；即20312y +=时，max ()4四边形MPNQ S =，此时220018,33y x ==2MN k ∴=±………16分 方法（二）设直线MN 的斜率为k ，则003232PQ AB y k k k x -===-，则直线MN 方程为y kx =， 直线PQ 方程为2y kx =-， …………………9分解方程组22,1,4y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩ 214M x k =±+，用2k -代k 得，2116P x k =±+，由椭圆的对称性知222002221||M MN OM x y k x ==+=+， 点P 到直线MN 的距离222|||(2)|3||111kx y kx kx kx d kkk---===+++， ………12分由椭圆的对称性知，四边形MPNQ 的面积1226||||2PMN M P S S MN d x kx ∆==⋅⋅=⋅＝ 2222222224,114116(14)(116)1642026420k kk k k k kk k==≤=+⋅+++++⨯+当且仅当22164k k=，即2k =±时取等号， 所以，四边形MPNQ 的面积的最大值为4，此时直线MN 的斜率24k =±． ………16分 19．解：（1）34327k a b ===，即2127k -=，14k =，14196A =． ………3分（2）依题意，224k A k =，且121m q k -=-，显然1q >． 又222211[(21)1]11m mq B k q q q -==----， 所以222221[(21)1]41m k B A k q k q -=---- 22221[(21)4(41)]1k q k q k q =--+--， ………6分 设2222()(21)4(41)f x k x k x k =--+-，2(1)(21)10f k =--> 它是关于x 的二次函数，它的图象的开口向上，它的对称轴方程22412(21)k x k =<-，故()f x 是(1,)+∞上的增函数，所以当1x >时()(1)0f x f >>，即220m k B A ->，所以22k m A B <． ………9分 （3）依题意：112m k m a b a -==⋅， 由86k m A B =得：118621k ma a a qa k q+-⨯=⨯-， 即111112286212m m a a a a k --+⋅⨯=⨯-， 4862128622486486m k k k⨯+⨯==-⨯-⨯-， ………12分所以151634421m k --=+，因为92512=，故19m -≤，且51641294343=⨯=⨯⨯，且121m -+为奇数 则其中121129m -+=时，151621m -+是整数，故17m -=，8m =且340k =． ………16分 20．解：（1）2211'()a ax f x x x x-=-+=， 0a ≤时，'()0f x <在(0,)+∞上恒成立，则()f x 的单调递减区间(0,)+∞，0a >时，令10ax -<则1x a <，即10x a<<时，'()0f x <，则()f x 的单调递减区间1(0,)a ． ………3分 （2）①12a ≤，()f x 在[1,2]上单调递减，min 1()(2)ln 202f x f a ∴==+=，解得：112ln 22a =-≤，适合题意；②1a ≥，()f x 在[1,2]上单调递增，min ()(1)10f x f ∴==≠，无解；③112a <<，()f x 在1[1,]a 上单调递减，1[,2]a 上单调递增，min 11()()ln 0f x f a a a a∴==+=，解得：a e =，舍去；综上可得：12ln 2a =-． ………8分 （3）0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线．设切点坐标是00(,())x f x ，依题意：00200()210f x ax x x --=- 即00011ln 2a x a x x +-=-，化简得：002ln 20a x a x +--= 设2()ln 2F x a x a x=+--，0x > 故函数()F x 在(0,)+∞上零点个数，即是曲线切线的条数． ………10分2222'()a ax F x x x x -=-+=①当0a =时，2()2F x x=-，在(0,)+∞上恰有一个零点1； ………11分③ 当0a <时，22'()0ax F x x -=<在(0,)+∞上恒成立， ()F x 在(0,)+∞上单调递减，且(1)0F a =->，2()20F e e=-< 故()F x 在(1,)e 上有且只有一个零点，当0a <时，()F x 在(0,)+∞上恰有一个零点； ………12分③0a >时，()F x 在2(0,)a 上递减，在2(,)a+∞上递增， 故()F x 在(0,)+∞上至多有两个零点，且(1)220F a a =--=-< 又函数ln y x =在(1,)+∞单调递增，且值域是(0,)+∞， 故对任意实数a ，必存在0(1,)x ∈+∞，使02ln a x a+>，此时 00000222()ln 2(ln )0a F x a x a a x x x a+=+--=+-> 由于21a a+>， 即函数()F x 在0(1,)x 上必有一零点； ………14分111(1)1121()2(1)22(23)a a a aaa F eea a a e a a a-++++++=-++--=-++先证明当0a >时，112(2)a aea ++≥+，即证112ln(2)a a a++≥+ 若(0,2)a ∈，113a a++≥，而2ln(2)2ln 4a +≤，由于2ln 4ln163=< 若[2,)a ∈+∞，构建函数1()12ln(2)x x x xϕ=++-+，32222122(1)2'()102(2)(2)x x x x x x x x x x x ϕ----=--==>+++ ()x ϕ在[2,)+∞为增函数，1()(2)32ln 402a ϕϕ≥=+->综上0a >时，112(2)a aea ++≥+，所以11222222(2)23(25)23a aea a a a a a a ++≥+=+++++>++，故1(1)()0a aF e-++>又1(1)(1)0,1a aF e -++<<，所以在1(1)(,1)a ae-++必有一零点．∴当0a >时，()F x 在(0,)+∞上有两个零点∴综上：0a ≤时，有1条切线；0a >时，有2条切线． ………16分数 学 试 题Ⅱ参考答案21（B ）．解：因为2113111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则2313a b +=⎧⎨+=⎩ ，解得12a b =⎧⎨=⎩所以1221A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ …5分 由212()(1)4021f λλλλ--==--=--，所以(1)(3)0λλ+-= 211,3λλ=-= 1λ=-所以另一个特征值是． ………………………………10分 21（C ）．解：直线l 的参数方程为12x ty a t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）所以直线的直角坐标系方程是：220x y a +--= ………………………………2分圆的直角坐标系方程是：2224x y -+=（），圆心（2，0），半径2r =……………………4分设圆心到直线的距离为d ，221142d ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，所以52d = ……………………………7分 又4225255a a d ---===所以9122a =-或 ………………………………10分 22．解：（1）设“恰有一个数据为过度上网”为事件A ，则213124()()339P A C ⎛⎫== ⎪⎝⎭ ……3分（2）甲组六人中有两人过度上网，乙组六人中有四人过度上网，则224222666(0)225C C P X C C === 112112422244226656(1)225C C C C C C P X C C +===11112222424244222266101(2)225C C C C C C C C P X C C ++===211211242442226656(3)225C C C C C C P X C C +=== 222422666(4)225C C P X C C === ……………8分()2342225225225225E X ∴=+⨯+⨯+⨯= 答：数学期望为2 …………………………10分 23．解：（1）00110()(1)nk k n nn n n n n n k f x C x C x C x C x x ===+++=+∑L …………………………1分456456()()2()3()(1)2(1)3(1)g x f x f x f x x x x =++=+++++()g x 中4x 项的系数为4444562356C C C ++=； …………………………3分（2） 012111111231232323n m m m m m m m m n m m m m nC C C nC C C C nC -++++++++++++++++=++++L L设12()(1)2(1)(1)m m m nh x x x n x +++=++++++L ①则函数()h x 中含1m x +项的系数为111112323m m m m m m m m n C C C nC ++++++++++++L ……5分由错位相减法得：1231()(1)(1)(1)(1)(1)m m m m n m n xh x x x x x n x ++++++-=++++++++-+L ② 11(1)1(1)()(1)1(1)m nm n x x xh x n x x +++⎡⎤+-+⎣⎦-=-+-+2111()(1)(1)(1)m m n m n x h x x x n x +++++=+-+++，()h x 中含1m x +项的系数，即是等式左边含3m x +项的系数，等式右边含3m x +项的系数为3211m m m n m n C nC ++++++-+ …………………………7分3211m m m n m n C nC ++++++-+21(1)!(3)!(2)!m m n m n nC m n +++++=-++-221113m m m n m n n C nC m ++++++-=-++21(3)(1)3m m n m n n C m ++++--=+21(2)13m m n m n C m +++++=+所以012121231(2)123[]3n m m m m m nm n m n C C C nC C m -+++++++++++++=+L………………10分。
2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题(word无答案)
2020届江苏省扬州市高三下学期5月调研测试数学试题一、填空题(★) 1 . 已知集合，，则______.(★) 2 . 已知，其中是虚数单位，则复数的模为_______.(★) 3 . 已知某校高一、高二、高三年级分别有1000、800、600名学生，现计划用分层抽样的方法抽取120名学生去参加社会实践，则在高三年级需抽取_______名学生.(★) 4 . 如图伪代码的输出结果为_______.(★) 5 . 若实数，满足，则的最小值为_______.(★) 6 . 已知，，则直线不经过第二象限的概率为_______. (★) 7 . 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的虚轴长为_______.(★) 8 . 已知为锐角，且，则_______.(★) 9 . 等比数列的前项和为，已知，且与的等差中项为2，则_______.(★) 10 . 正四棱柱中，，，为上底面的中心，设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为、，则_______.(★) 11 . 已知曲线：，直线：，则“ ”是“直线与曲线相切”的_______条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分又不必要”之一）. (★★) 12 . 已知，，则的最小值为_______.(★★) 13 . 已知点为圆：的弦的中点，点的坐标为，且，则的最小值为_______.(★★★★) 14 . 数列中，，，设的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围是_______.二、解答题(★) 15 . 在中，已知，其中为的面积，，，分别为角，，的对边.（1）求角的值；（2）若，求的值.(★) 16 . 如图，三棱柱中，，为四边形对角线交点，为棱的中点，且平面.（1）证明：平面；（2）证明：四边形为矩形.(★★) 17 . 某厂根据市场需求开发三角花篮支架（如图），上面为花篮，支架由三根细钢管组成，考虑到钢管的受力和花篮质量等因素，设计支架应满足：①三根细钢管长均为1米（粗细忽略不计），且与地面所成的角均为；②架面与架底平行，且架面三角形与架底三角形均为等边三角形；③三根细钢管相交处的节点分三根细钢管上、下两段之比均为.定义：架面与架底的距离为“支架高度”，架底三角形的面积与“支架高度”的乘积为“支架需要空间”.（1）当时，求“支架高度”；（2）求“支架需要空间”的最大值.(★★★★)18 . 如图，在平面直角坐标系中，椭圆：过点，且椭圆的离心率为，直线：与椭圆相交于、两点，线段的中垂线交椭圆于、两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）求线段长的最大值；（3）求的值.(★★★★★) 19 . 已知函数，.（1）当吋，解不等式；（2）设.①当时，若存在，使得，证明：；②当时，讨论的零点个数.(★★★★★) 20 . 对数列，规定为数列的一阶差分数列，其中，规定为的二阶差分数列，其中. （1）数列的通项公式，试判断，是否为等差数列，请说明理由？（2）数列是公比为的正项等比数列，且，对于任意的，都存在，使得，求所有可能的取值构成的集合；（3）各项均为正数的数列的前项和为，且，对满足，的任意正整数、、，都有，且不等式恒成立，求实数的最大值.(★) 21 . 已知矩阵，，且.（1）求矩阵；（2）直线在矩阵对应的变换作用下变为直线，求直线的方程.(★) 22 . 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线：，求直线被曲线截得的弦长.(★★) 23 . 某商场举行元旦促销回馈活动，凡购物满1000元，即可参与抽奖活动，抽奖规则如下：在一个不透明的口袋中装有编号为1、2、3、4、5的5个完全相同的小球，顾客每次从口袋中摸出一个小球，共摸三次（每次摸出的小球均不放回口袋），编号依次作为一个三位数的个位、十位、百位，若三位数是奇数，则奖励50元，若三位数是偶数，则奖励元（为三位数的百位上的数字，如三位数为234，则奖励元）.（1）求抽奖者在一次抽奖中所得三位数是奇数的概率；（2）求抽奖者在一次抽奖中获奖金额的概率分布与期望.(★★★★) 24 . （1）证明：；（2）计算：；（3）计算：.。
江苏省常州市2020届高三上学期期末学业水平监测数学答案
常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ参考答案2020年1月一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1.1,12.13.104.0，5.26.71017.8.5129.6410.2211.212.1413.1 217,011714.1,25 1326二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）在ABC中，0B ，则sinB 0，因为B3，所以sin1cos21(3)2 6cos B B．…………………………3分33 3在ABC中，A B C ，所以sinC sin((A B))sin(A B)，…………5分33163 6所以sinC sin(B)sin cosB cos sin B ．3332323 6……………………………8分3（2）由余弦定理得b2a22accosB c2，则(2)212c c2，…………10分3所以223103c c ，(c 3)(c )0，……………………………12分3 3因为3c 0，所以c 30，即c 3． (14)分316．（本小题满分14分）证明：（1）取PC，BC的中点E,F，连结ME，EF，FN，三角形PCD中，M，E为PD，PC的中点，所以EM∥CD，1EM CD；三角形ABC中，F，N为BC,AC的中点，2所以FN∥AB，1FN AB，2因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，AB CD，高三数学Ⅰ答案第1页（共7页）从而EM∥FN，EM=FN，所以四边形EMNF是平行四边形.……………………4分所以MN∥EF，又EF 平面PBC，MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC.……………………………6分（2）因为PA平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA CD.因为四边形ABCD是矩形，所以AD CD.……………………………8分又因为PA AD A，PA 平面PAD，AD 平面PAD，所以CD 平面PAD.又AM 平面PAD，所以CD AM.……………………………10分因为AP AD，M为PD的中点，所以AM PD，又因为PD CD D，PD平面PCD，CD平面PCD，所以AM 平面PCD．……………………………12分又PC 平面PCD，所以PC AM．……………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）圆A:(x 2)y 1的圆心A(2,0)，半径r 1，与x轴交点坐标为(1,0),(3,0)2 2点F2在圆A:(x 2)2y21上，所以F2(1,0)，从而a 2，c 1，2 2x y所以b a2c222123，所以椭圆C的标准方程为 1.……4分4 3（2）由题，设点M(x1,y1)，0x12,y10；点N(x2,y2)，x20,y20.则AM (x 2,y)，1 1AN (x 2,y)，由2 213AM AN知点A，M，N共线.……5分2直线AM的斜率存在，可设为k（k>0），则直线AM的方程为y k(x 2)，由y k(x 2)，，得(x 2)y 12 21k2x 21k2k 1ky221k，，或1k2x 2，1k2，k 1ky221k所以1k k 1k2 2N(2，)，……………………………7分1k 1k2 2高三数学Ⅰ答案第2页（共7页）8k 2 6 y k(x2)，x，x 2，3 4k2由22，得 (3 4k 2 )x 2 16k 2 x 16k 2 12 0，解得，或，x y1y 012ky 4 323 4k所以 8k6 12k 2M( ， ) ， ……………………………10 分3 4k 34k22代入13AMAN 得28k6 12k 13 1k k 1k222( 2 )( )， ，，3 4k3 4k 21k 1k22223 (4k9)(52k51) 0 ，又 k>0，得 k， ……………………………13 分2223 2 3所以 M ) ，又 F 1(1,0) ，可得直线 F 1M 的斜率为(1,21(1)3 4．…………………14 分 18．（本小题满分 16 分）（图1）（图2）解：（1）在图1中连结AC,BD交于点O，设BD与FG交于点M，在图2中连结OP，因为ABCD是边长为102cm的正方形，所以OB=10（cm)，x x由FG=x，得OM，PM BM10，……………………………2分2 2x x因为PM OM,即10,所以0x10．……………………………4分2 21x因为S4FG PM2x(10)20x x2，……………………………6分2 2由20x x275，得5≤x15，所以5x10．答：x的取值范围是5x10．……………………………8分高三数学Ⅰ答案第3页（共7页）（2）因为在 RT OMP 中，OM 2 OP PM ，22x x 所以 OP OM)( ) 100 10x ， PM 22(102 22 2 11 1 VFG 2 OP x 100 10x100x10x ，0 x10 ，…………10 分245333 设 f (x) 100x 410x 5 ， 0 x10 ，所以 f (x) 400x 3 50x 450x 3 (8 x) ，令 f(x) 0，得 x 8或x 0 （舍去）．……………………………12 分列表得，x (0，8) 8 (8，10) f'(x) ＋ 0 － f(x)↗极大值↘所以当 x ＝8 时，函数 f (x) 取得极大值，也是最大值， ……………………………14 分128 所以当 x ＝8 时，V 的最大值为35 ．128 答：当 x ＝8 cm 时，包装盒容积 V 最大为35 （cm 3 ）． ………………………16 分19．（本小题满分 16 分） （1）函数 f (x) 的定义域为 (0,) ， 21 f (x) (2ax 2) l n x (ax2x)ax 2(ax 1) l n x 2ax 2 2(ax 1)(l n x 1)，……2 分x 则 f (1) 2(a 1) 2 ，所以 a 0 ， ……………………………3 分此时 f (x) 2xln x1，定义域为 (0,) , f (x) 2(ln x 1)，令f (x)0，解得1x ；令f (x)0，解得e1x ；e高三数学Ⅰ答案第4页（共7页）所以函数f(x)的单调增区间为1(,)，单调减区间为e1(0,)e．…………………6分（2）函数af(x)(ax22x)ln x x21在区间[1,e]上的图象是一条不间断的曲线．2由（1）知f (x)2(ax 1)(l n x 1)，1）当a≥0时，对任意x(1,e)，ax 10,l n x 10，则f (x)0，所以函数f(x)在区a间[1,e]上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)2在区间(1,e)上无零点；……………………………8分2）当a 0时，令f (x)0，得1x 或e1a，其中1e1，1 ①若a ≤，即a ≤1，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]上1a af，且(e)e22e e210 单调递减，由题意得(1)10f a ，解得2 22(2e 1)2a ，其中23e 2(2e 1)3e 4e 22(2e 1)2(1)0，即1，2 23e23e3e所以a的取值范围是2a≤1；……………………………10分1 1②若≥e，即≤a 0，则对任意x(1,e)，f (x)0，所以函数f(x)在区间[1,e]a ea上单调递增，此时对任意x(1,e)，都有f(x)f(1)10成立，从而函数f(x)在2区间(1,e)上无零点；……………………………12分1 ③若1ea ，即11a ，则对任意e1x (1,)a，f (x)0；所以函数f(x)在区1 间[1,]a 上单调递增，对任意1x (1,]aa，都有f(x)f(1)10成立；2对任意1 1x ，f (x)0，函数f(x)在区间(,e)[,e]上单调递减，由题意得x ，f (x)0，函数f(x)在区间a aa2 2f(e)ae 2e e 10，解得22(2e 1) a，23e其中2(2e 1)13e 4e 2e 22(2e 1) 1 ()0，即()，3e e3e3e3e e 222 22(2e 1)所以a的取值范围是1a ．……………………………15分23e综上可得，实数a的取值范围是2(2e 1)2a ． (16)分23e高三数学Ⅰ答案第5页（共7页）20．（本小题满分16分）解：（1）设等比数列{a}公比为q，由8a=4a=1得8a q2=4a q=1，n321 1解得1a=q=，故121a=.……………………………3分n n22111123112 3（2）|a (a 1)||(1)||()+|=()+.…………5分n n n n n n2422422 411 1n N*，且n≤m时，有≤≤，对任意正整数m，当02m2n 2则(11)2+31+3=1，即|a (a21)|≤1成立，2n244 4n n故对任意正整数m，数列{a}，{a21}是“(m,1)接近的”.…………………8分n nS(b b) 1 （3）由1=n n nb b 2n n 1 ，得到1S(b b)=b b ，且b n，b n10，n n1n n n 12从而b bb b ，于是 110S=n nn n n2()b bn1n.……………………………9分b b当n 1时，S=1 212(b b)2 1 ，b，解得2 21=1b ，当n≥2时，b b b bb S Sn n1n1nn n n 12(b b)2(b b)n1n n n 1，又b 0，n整理得b 1b 12b，所以b n1b n b n b n1，因此数列{b n}为等差数列.n n n又因为b1=1，2=2b，则数列{b}的公差为1，故b n.……………………11分n n根据条件，对于给定正整数m（m≥5），当n N且n≤m时，都有*1(2)|2n(2)|≤成立，|b k|n k Lnan即L2n n2≤k≤L2n n2①对n1,2,3,m都成立.…………12分考察函数f(x)2x x2，f(x)2x ln22x，令g(x)2x ln22x，高三数学Ⅰ答案第6页（共7页）则g(x)2x(ln2)22，当x>5时，g(x)0，所以g(x)在[5,)上是增函数.又因为g(5)25ln2100，所以当x 5时，g(x)0，即f (x)0，所以f(x)在[5,)上是增函数.注意到f(1)=1，f(2)f(4)0，f(3)1，f(5)7，故当n 1,2,3,m时，L 2n n2的最大值为L 2m m2，L 2n n的最小值为L 1.……………………………14分2欲使满足①的实数k存在，必有L 2m m2≤L 1，即2m m 12L≥，2因此L的最小值2 1m m22，此时k2 1m m2.……………………………16分2高三数学Ⅰ答案第7页（共7页）常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题）参考答案2020 年 1 月21．【选做题】在 A 、B 、C 三 小 题 中 只．能．选．做．两．题．， 每 小 题 10 分，共计 20 分．A ．解：（1） A 13221 1 2． ……………………………4 分 （2）点 (a,b) 在矩阵 1 3 A 2 4 对应的变换作用下得到点 (4,6) ，所以 a 4A b 6， …6 分 所以3 2 a4 2 4 1A1b 6 1 6 112， ……………………………8 分 所以 a 1,b 1，得 a b 2 ．……………………………10 分B ．解：因为所求圆的圆心在极轴上，且过极点，故可设此圆的极坐标方程是 ρ 2r cos θ ． ππ又因为点 P(2 3, ) 在圆上，所以 2 32rcos ，解得 r2 .66因此所求圆的极坐标方程是 ρ 4cos θ . ……………………………10分C ．解：函数 yx 2 x 6x 1的定义域为[0,)， x 1 0. (2)分x 2x 6(x 1)4(x 1)9992(x 1)4≥2(x 1)4 2，x 1x 1x 1x 1当且仅当x 19，即x 4时取到“=”.……………………………8分x 1所以当x 4时，函数yx 2x6x 1的最小值为2.……………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）记“取出的3个样品中有优等品”为事件A，则A表示“取出的3个样品3343343657中没有优等品”，P A，所以(10.3)P A 1P A 1，……3分100010001000答：取出的3个样品中有优等品的概率是6571000.……………………………4分（2）X B(3,0.3)，P(X k)C k0.3k (10.3)3k，k 0，1，2，3，…………………………6分3随机变量X的分布如下表：高三数学Ⅱ答案第1页（共2页）X012 3P343100044110001891000271000……………………………8分343441189279E(X)0123．1000100010001000109答：随机变量X的数学期望是10.……………………………10分23．解（1）A1t|t a13a0,其中a i A,i 0,14,5,7,8，所以A中所有元素的和为24；集合1 A中元素的个数为2n1.…………………………2分n（2）取s l 2n，下面用数学归纳法进行证明.①当n 2时，A213,14,16,17，22,23,25,26，……………………………3分取b113,b217,b323,b425,c114,c216,c322,c426，有b1b2b3b4c1c2c3c478，且12223242122232421612b b b bc c c c成立.…4分222 2k k k k22 ②假设当n k，k N*且k≥2时，结论成立，有b c，且b c成立.i i i ii1i1i1i 1当n k 1时，取B b b b c c c，231,31,,231,231,231,,2231k k k1121 2k k k k k kC c c c b b b，23,3,,23,23,23,,22 3k1k1k1k1k1k 1 k112k12k此时B，C无公共元素，且2k2k1 1 B2C2A (6)分k1k1k 1有222 2k k k kk1k1k1k 1 (b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，且i i i ii1i1i1i 122222 2k k k k k k(b 3k1)2(c 23k1)2b2c223k1b 43k1c 2k[(3k1)2(23k1)2]，i i i i i ii1i1i1i1i1i 122222 2k k k k k k(c 3)(b 23)c b 23c 43b 2[(3)(23)]，k12k1222k1k1k k12k1 2 ii i i i ii1i1i1i1i1i 1由归纳假设知2 2k kb c，且i ii1i 12 2k k2 2b c，所以i ii1i 1222 2k k k k(b 3)(c 23)(c 3)(b 23)，k12k12k12k1 2 ii i ii1i1i1i 1即当n k 1时也成立；……………………………9分综上可得：能将集合A，n≥2分成两个没有公共元素的子集B b1,b2,b3,,b 和n s sC c1,c2,c3,,c，s,l N*，使得b2b2b2c2c2c2成立.………10分1212l ls l高三数学Ⅱ答案第2页（共2页）。
江苏省苏州市2020届高三第一学期期初调研考试试题数学【含解析】
江苏省苏州市2020届高三第一学期期初调研考试试题数学【含解析】一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．） 1．已知集合A ＝{1，3}，B ＝{3，9}，则A B ＝ ．答案：{1，3，9} 考点：集合的运算解析：∵A ＝{1，3}，B ＝{3，9}， ∴A B ＝{1，3，9}2．如果复数23bii-+(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于 ． 答案：1 考点：复数 解析：263231010bi b b i i --+=-+，由实部与虚部互为相反数得：6321010b b -+=，解得b ＝1． 3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为 ．次数 1 2 3 4 5 得分3330272931答案：4考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x ++++==∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S =-+-+-+-+-=．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ． 答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a ，b 分别为2，3时，最后输出的b 的值为 ．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a ＝5，b ＝2，所以最后输出的b 的值为2．6．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的离心率为 ． 答案：5考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2b a=，所以b 2＝4a 2，即c 2﹣a 2＝4a 2，所以225c a =，e ＝5（负值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若四边形AA 1C 1C 是边长为4的正方形，且AB ＝3，BC ＝5，M 是AA 1的中点，则三棱锥A 1—MBC 1的体积为 ．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A 1C 1＝4，A 1B 1＝AB ＝3，B 1C 1＝BC ＝5，可得∠C 1A 1B 1＝90°，又∠C 1A 1A ＝90°，可得C 1A 1⊥平面ABB 1A 1，所以111111234432A MBC C MBA V V ==⨯⨯⨯⨯=——． 8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1530S =，71a =，则10S 的值为 ． 答案：﹣5考点：等差数列前n 项和解析：由1530S =可得82a =，又71a =，可得60a =，51a =-，所以110105610()5()52a a S a a +==+=-．9．若()y f x =是定义在R 上的偶函数，当x ∈[0，+∞)时，sin [0, 1)()(1)[1, )x x f x f x x ∈⎧=⎨-∈+∞⎩，，，则(5)6f π--＝ ． 答案：12考点：函数的奇偶性、周期性 解析：1(5)(5)()sin 66662f f f ππππ--=+===． 10．已知在△ABC 中，AC ＝1，BC ＝3，若O 是该三角形内的一点，满足(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，则CO AB ⋅＝ ．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB 的中点为D ，由(OA OB)(CA +⋅-CB)＝0，得DO AB 0⋅= 所以1CO AB (CD DO)AB CD AB (CA CB)(CA CB)2⋅=+⋅=⋅=+⋅- 221(CA CB )42=-=． 11．已知sin 222cos2αα-=，则2sin sin 2αα+＝ ．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式 解析：∵sin 222cos2αα-= ∴2sin 222(2cos 1)αα-=- 化简得cos (sin 2cos )0ααα-= 所以cos 0α=或tan 2α= 当cos 0α=，求得2sinsin 2αα+＝1当tan 2α=，222222sin 2sin cos tan 2tan 8sin sin 2sin cos tan 15αααααααααα+++===++． 12．已知点A 、B 是圆O ：224x y +=上任意两点，且满足AB ＝23P 是圆C ：(x ＋4)2＋(y ＋3)2＝4上任意一点，则PA PB +的取值范围是 ． 答案：[4，16] 考点：圆的方程解析：取AB 中点C ，可得OC ＝1，所以动点C 在以O 为圆心，1为半径的圆上 PA PB 2PC 2PC +==，而PC max ＝5＋1＋2＝8，PC min ＝5﹣1﹣2＝2， PA PB +的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PA PB +≤16．13．设实数a ≥1，若不等式2x x a a -+≥，对任意的实数x ∈[1，3]恒成立，则满足条件的实数a 的取值范围是 ． 答案：[1，2][72，+∞) 考点：函数性质综合解析：①当1≤a ≤2时，显然符合题意 ②当a ＞2时，2x x a a -+≥，2a x a x--≥ ∴2a x a x--≥或2a x a x --≤-化简得221x a x +≤+或221x a x -≥-恒成立求得221x y x +=+在[1，3]的最小值为32，即a ≤32与a ＞2矛盾，舍求得221x y x -=-在[1，3]的最大值为72，即a ≥72符合题意综上所述，a 的取值范围为1≤a ≤2或a ≥72． 14．在△ABC 中，若tan A tan Atan B tan C+＝3，则sinA 的最大值为 ．答案：215考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tan A tan A sin A cos B sin A cos C 22tan B tan C sin Bcos A sin cos A 22a c b a b c a aac ab b c a b c a C b cbc bc+-+-+=+=++-+- ＝222223a b c a=+- 所以2223()5a b c =+ cosA ＝222222()2522555b c b c a b c bc bc c b ++-==+≥当且仅当b ＝c 时取“＝”所以A 是锐角，且cosA 的最小值为25，此时sinA 有最大值为21．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，点P 是棱AC 的中点． （1）求证：AB 1∥平面PBC 1； （2）求证：平面PBC 1⊥平面AA 1C 1C ．16．（本小题满分14分）已知函数7()sin()sin()412f x x x ππ=+++． （1）求函数()y f x =的最小正周期和单调递增区间；（2）当x ∈[0，π]时，试求函数()y f x =的最大值，并写出取得最大值时自变量x 的值．17．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．18．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2 km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．19．（本小题满分16分）已知函数()xf x e =，()lng x x =．（1）设2()()h x g x x =-，求函数()h x 的单调增区间；（2）设01x >，求证：存在唯一的0x ，使得函数()y g x =的图像在点A(0x ，0()g x )处的切线l 与函数()y f x =的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式()11f xax--<成立．20．（本小题满分16分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 满足：1155b a ==，529a b ==，当n ≥3时，1n S +＞n b ，且n S ，1n n S b +-，2n S -成等比数列，n N *∈．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）求证：数列{}n b 中的项都在数列{}n a 中；（3）将数列{}n a 、11n n b b+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的项按照：当n 为奇数时，n a 放在前面；当n 为偶数时，11n n b b +放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a ，121b b ，231b b ，2a ，3a ，341b b ，451b b ，…这个新数列的前n 和为n T ，试求n T 的表达式．第II 卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A ，B ，C 三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换设变换T 是按逆时针旋转2π的旋转变换，对应的变换矩阵是M ． （1）求点P(1，1)在T 作用下的点P ′的坐标；（2）求曲线C ：y ＝x 2在变换T 的作用下所得到的曲线C′的方程．B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数），圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩（a＞0，θ为参数），点P是圆C上的任意点，若点P21，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11x ty t=+⎧⎨=-⎩（t为参数）可得2y x=-+由圆C的参数方程为cossinx ay aθθ=⎧⎨=⎩可得圆的标准方程为222x y a+=求得圆心O2，所以a221，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111x y zyz zx xy x y z ++≥++．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X 表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X 的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M ＝{﹣1，0，1}，集合A n ＝{}123(,,,,),1,2,,n i x x x x x M i n ∈=，集合A n 中满足条件“1≤12n x x x +++≤m ”的元素个数记为n m S ． （1）求22S 和42S 的值；（2）当m ＜n 时，求证：11322n n m n m S ++<+-．。
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题含解析
2025届江苏省常州市常州中学高三数学第一学期期末复习检测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{|A x y ==，{}2|log 1B x x =>则全集U =R 则下列结论正确的是( ) A ．AB A =B ．A B B ⋃=C ．()UA B =∅ D ．UB A ⊆2．在平面直角坐标系中，若不等式组44021005220x y x y x y -+≤⎧⎪+-≤⎨⎪-+≥⎩所表示的平面区域内存在点()00,x y ，使不等式0010x my ++≤成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．5(,]2-∞-B ．1(,]2-∞-C ．[4,)+∞D ．(,4]-∞-3．已知复数z 满足(1)2z i -=，其中i 为虚数单位，则1z -=（ ）． A ．iB ．i -C ．1i +D ．1i -4．若复数z 满足1(120)z i -=,则复数z 在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．设x ，y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，若32z x y =-+的最大值为n ，则2nx ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( )A ．60B ．80C ．90D ．1206．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 7．在ABC ∆中，60BAC ∠=︒，3AB =，4AC =，点M 满足2B M M C =，则AB AM ⋅等于（ ） A ．10B ．9C ．8D ．78．1x <是12x x+<-的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要9．函数的定义域为（ ）A ．[，3）∪（3，+∞）B ．（-∞，3）∪（3，+∞）C ．[，+∞）D ．（3，+∞）10．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解，则t的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+D ．(],112ln 2-∞-+11．正项等比数列{}n a 中的1a 、4039a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则20206log a =（ ） A ．1-B ．1C ．2D ．212．某空间几何体的三视图如图所示（图中小正方形的边长为1），则这个几何体的体积是（ ）A ．323B ．643C ．16D ．32二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)3
【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人 得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于 （ ）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3
2020届江苏省苏州市高三数学上学期期末考试数学试题含解析
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上.
1.已知集合 ， ，则 ________.
〖答 案〗
〖解 析〗
〖分析〗
进行交集的运算即可．
〖详 解〗 ， ，0，1， ，
， ．
故答案为： ， ．
10.在平面直角坐标系xOy中，若直线 上存在点P，使得过点P向圆 作切线PA（切点为A），满足 ，则实数m的取值范围为________.
〖答 案〗 或
〖解 析〗
〖分析〗
根据题意，由切线的性质分析可得 ，进而结合点到直线的距离公式可得 ，解可得 的取值范围，即可得答案．
〖详 解〗根据题意，圆 ，其圆心为 ，半径 ，
若点 向圆 作切线 ，满足 ，又由 ，
则有 ，变形可得 ，
若直线 上存在点 ，满足题意，必有 ，
变形可得： ，
解可得： 或 ，即 的取值范围为 或 ；
故答案为： 或 ．
〖点 睛〗本题主要考查直线与圆的位置关系，涉及圆的切线方程，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
11.在平面直角坐标系xOy中，己知直线 与函数 图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为 ， ，…，若点 的横坐标为1，则点 的横坐标为________.
〖详 解〗作出不等式组 对应的平面区域如图：
设 得 ，
平移直线 ，由图象可知当直线 经过点 时，
直线 的纵截距最大，此时 最大，
此时 ，
故答案为：3．
〖点 睛〗本题主要考查线性规划的应用，利用 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键.
9.如图，某品牌冰淇淋由圆锥形蛋筒和半个冰淇淋小球组成，其中冰淇淋小球的半径与圆锥底面半径相同.已知圆锥形蛋筒的侧面展开图是圆心角为 ，弧长为 的扇形，则该冰淇淋的体积是________ .
江苏省扬州市2020届高三年级上学期期末考试 生物(Word版,含答案)
扬州市2020届第一学期期末检测试题高三生物2020.01 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1—6页，第Ⅱ卷7—12页。
共120分。
考试时间100分钟。
注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考号填涂在机读答题卡上。
2．将答案填涂、填写在机读答题卡上。
第Ⅰ卷（选择题共55分）一、单项选择题：本题包括20小题，每小题2分，共40分。
每小题只有一个选项最符合题意。
1．下列关于细胞中化合物的叙述，正确的是A．淀粉和糖原有相同的基本组成单位B．胆固醇是动植物细胞膜的重要成分C．可用斐林试剂水浴加热检测蛋白质D．DNA和R NA都是细胞内的遗传物质2．下列相关实验中涉及“分离”的叙述正确的是A．植物细胞质壁分离实验中，滴加蔗糖溶液的目的是使细胞质与细胞壁分离B．绿叶中色素的提取和分离实验中，色素分离是因其在层析液中溶解度不同C．植物根尖细胞有丝分裂实验中，可以观察到姐妹染色单体彼此分离的过程D．T2噬菌体侵染细菌实验中，离心的目的是使噬菌体的DNA与蛋白质分离3．有关细胞分裂、分化、癌变、衰老和凋亡的叙述错误．．的是A．在细胞培养液中添加DNA合成抑制剂，处于分裂期的细胞可不受影响而继续分裂B．衰老细胞的核膜内折、细胞核的体积增大，细胞膜的通透性改变C．细胞分裂、分化、癌变、衰老和凋亡都会受到遗传物质的控制D．细胞凋亡是在不利因素的影响下，细胞结束生命的过程4．下图表示某二倍体动物（2n=4）处于细胞分裂过程中不同时期染色体数目变化曲线，有关叙述错误．．的是A．⑥阶段细胞中核DNA分子数为8，姐妹染色单体数为8B．细胞中染色体数目暂时加倍处在图中③⑥C．正常情况下，发生同源染色体联会在图中①阶段的细胞D．在不考虑变异的情况下，图中可能含有等位基因的是①⑤⑥⑦阶段的细胞5．某动物细胞中位于常染色体上的基因A、B、C分别对a、b、c为显性。
现用基因型为AABBCC的个体与aabbcc的个体杂交得到F1，对F1进行测交，结果为aabbcc∶AaBbCc∶aaBbCc∶Aabbcc＝1∶1∶1∶1，则F1体细胞中三对基因在染色体上的位置是6．一个家庭中，一对夫妇都表现正常，但是生了一个白化病兼红绿色盲的孩子。
人教版数学高三期末测试精选(含答案)4
人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（ ）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题 【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题 【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题 【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题 【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷 【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（ ） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题 【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（ ）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（ ） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（ ） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题 【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（ ） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题 【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（ ）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题 【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________． 【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为 ． 【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列 【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题 【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题 【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题 【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长： （2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}． （1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题 【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =． （1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页 【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。