洛阳市2019-2020上学期期中考试高二数学试卷及答案
（１）求 数 列 ｛犪狀｝的 通 项 公 式 ；
（２）设犫狀
＝
１ 犪狀犪狀＋１
，求
数
列
｛犫狀｝的
前狀
项
和
犜狀
．
１８．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
在 △犃犅犆 中，角 犃，犅，犆 的对边分别为犪，犫，犮，已知 犆 ＝ π４，犪 ＝ ２ 槡５１０犮．
（１）求ｓｉｎ犃 的值；
（２）若犮＝ 槡５，求 △犃犅犆 的面积．
条件
下
取到
最小
值
４时
，１ 犪
＋
２ 犫
的最小值为
Ａ．６
Ｂ．４
Ｃ．３
Ｄ．２
１１．设
等
差
数
列
｛犪狀｝，｛犫狀｝的
前狀
项
和
分
别
为犛狀
，犜狀
，若犛狀 犜狀
＝
３狀＋３３，则 狀＋３
使犪狀 犫狀
∈犣的
狀的个数为
Ａ．３
Ｂ．４
Ｃ．５
Ｄ．６
１２．在 △犃犅犆 中，角 犃，犅，犆 的对边分别为犪，犫，犮，已知犮＝２槡２，点 犘 是犃犅 的中点，
高 二 数 学 第４ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９．１１）
洛阳市２０１９———２０２０学年第一学期期中考试
高二数学试卷参考答案
一 、选 择 题
１－５ＣＢＡＣＡ ６－１０ＤＡＢＤＤ １１－１２ＣＡ 二 、填 空 题
１３．２犪犫 １４．［９ ４ ，７］ １５．－２ １６．１２ 三 、解 答 题
Ｄ．２ ３
９．如图，在 △犃犅犆 中，犅 ＝４５°，犃犆 ＝８，犇 是犅犆 边上一点，
犇犆 ＝５，犇犃 ＝７，则 犃犅 的长为
Ａ．４槡２
Ｂ．４槡３
Ｃ．８
Ｄ．４槡６
烄狓 －狔－１ ≤ ０，
１０．实 数狓，狔 满 足 条 件烅
当 目 标 函 数狕 ＝犪狓 ＋犫狔（犪，犫＞０）在 该 约 束
烆２狓 －狔－３ ≥ ０．
Ｂ．（７，１３）
Ｃ．（７，槡１１９）
７．若ｌｇ（３犪）＋ｌｇ犫＝ｌｇ（犪＋犫＋１），则犪犫 的最小值为
Ｄ．（槡１１９，１３）
Ａ．１
Ｂ．槡２
Ｃ．槡３
Ｄ．２
８．已
知
数
列 ｛犪狀｝的
前狀项
积
为
犜狀，且
满
足 犪狀＋１
＝
１＋犪狀 １－犪狀
（狀
∈
犖
），若 犪１
＝
１， ３
则 犜２０１９ 为
Ａ．－３
Ｂ．－２
Ｃ．１ ３
当且
仅
当１００ 狓
＝狓
即狓
＝
１０
时
取等
号．
… …１０ 分
所 以 公 司 购 买 １０ 张 健 身 卡 最 合 算 ，共 需 花 费 ７２００ 元 ．
… …１２ 分
２０．（１）由狘狓－１狘≤１得０≤狓 ≤２． 令犳（狓）＝犪狓２ －２狓－２犪＋１．（０≤狓 ≤２），因为犪 ＞０
｛ 只需 犳（０）＝－２犪＋１＜０， 犳（２）＝ ４犪－４－２犪＋１ ＜ ０．
… …１２ 分
高 二 数 学 答 案 第１ 页 （共 ３ 页 ） （２０１９．１１）
１９．设购买狓 张健身卡，这项健身活动的总支出为狔， 则狔 ＝ ９０狓×１０×４０＋３６０狓，
… …１ 分 … …４ 分
槡 即狔 ＝３６０（１狓００＋狓）≥３６０×２ １狓００·狓 ＝７２００．
… …８ 分
在 △犃犅犆 中，犪，犫，犮分别为角犃，犅，犆 的对边，且槡３（犫ｓｉｎ犆－犮·ｔａｃｎｏ犆ｓ犅）＝犪
（１）求角 犃； （２）若 △犃犅犆 的内切圆面积为４π，求 △犃犅犆 面积犛 的最小值． ２２（本 小 题 满 分 １２ 分 ） 设 犛狀 为 正 项 数 列 ｛犪狀｝的 前狀 项 和 ，且 ２犛狀 ＝犪狀２ ＋犪狀（狀 ∈ 犖 ）．数 列 ｛犫狀｝满 足 ： 犫１ ＝ ２，犫狀＋１ ＝ ３犫狀 ＋２（狀 ∈ 犖 ）． （１）求 数 列 ｛犪狀｝，｛犫狀｝的 通 项 公 式 ； （２）设犮狀 ＝犪狀（犫狀 ＋１），求数列｛犮狀｝的前狀 项和犜狀； （３）设犱狀 ＝犫狀 ＋ （－１）狀＋１·２犪狀 ·狋＋１，问是否存在整数狋（狋≠０），使数列｛犱狀｝为递增 数 列 ？若 存 在 求狋的 值 ，若 不 存 在 说 明 理 由 ．
… …８ 分
（３）犱狀 ＝３狀 ＋ （－１）狀＋１·狋·２狀，若存在狋≠０，满足｛犱狀｝为递增数列，
即犱狀＋１ ＞犱狀 对任意狀 ∈ 犖 恒成立，
由３ｎ＋１ ＋ （－１）ｎ＋２·ｔ·２ｎ＋１ ＞３ｎ ＋ （－１）ｎ＋１·ｔ·２ｎ
得 （３ ）ｎ－１ ２
＞
（－１）ｎ＋１·ｔ．
… …１０ 分
当 ｎ为奇数时，由（３）ｎ－１ ２
＝犪狀２
＋犪狀 ，及 ２犛狀－１
＝
犪２ 狀－１
＋犪狀－１，
相减得２犪狀 ＝犪狀２ －犪狀２－１ ＋犪狀 －犪狀－１，解得犪狀 －犪狀－１ ＝１．故犪狀 ＝狀．
由犫狀＋１ ＝３犫狀 ＋２得犫狀＋１ ＝３（犫狀 ＋１），又犫１ ＋１＝３，
故犫狀 ＋１＝３·３狀－１ ＝３狀，所以犫狀 ＝３狀 －１．
（２）由（１）得犮狀 ＝犪狀（犫狀 ＋１）＝狀·３狀．
１９（本 小 题 满 分 １２ 分 ） 为促进全民健身运动，公司为员工购买 某 健 身 俱 乐 部 的 健 身 卡，每 张 ３６０ 元，使 用 规 定 ：不 记 名 ，每 卡 每 次 仅 限 １ 人 ，每 天 仅 限 １ 次 ．公 司 共 ９０ 名 员 工 ，公 司 领 导 打 算 组 织 员 工 分批去健身，除需购买若干张健身卡外，每次去俱乐部还 要包租一 辆汽车，费用是 每次 ４０
＝
２
槡１０
５
×
槡２
２
＝
２５槡５．
（２）因为犮＝ 槡５，所以犪 ＝２槡２．
… …４ 分 … …５ 分
由余弦定理犮２ ＝犪２ ＋犫２ －２犫犮ｃｏｓ犆 得５＝８＋犫２ －２·２槡２·犫·槡２２ ……７分
整理得犫２ －４犫＋３＝０．
… …８ 分
解 得犫 ＝ ３ 或犫 ＝ １．
… …１０ 分
所以 △犃犅犆 的面积犛 ＝ １２犪犫ｓｉｎ犆 ＝３或１．
１７．（１）设 等 差 数 列 ｛犪狀｝的 公 差 为 犱，
烄犪１ ＋２犱 ＝５，
由
题
意
可
得烅 烆７犪１
＋７２×６犱
＝
４９．
｛ 解得 犪１ ＝１， 犱 ＝２．
所以｛犪狀｝的通项公式为犪狀 ＝２狀－１．
（２）由（１）得犫狀 ＝ （２狀－１）１（２狀＋１）＝ １ ２（２狀１－１－２狀１＋１）
从而 犜狀
＝
狓
＜
π） ２
５．已知等比数列｛犪狀｝满足：犪１ ＋犪７ ＝９，犪２犪６ ＝８，且犪狀 ＜犪狀＋１，则犪１０ 等于
Ａ．１６槡２
Ｂ．１６
Ｃ．８槡２
６．已知锐角三角形的三边分别为５，１２，狓，则狓 的取值范围是
Ｄ．８
高 二 数 学 第１ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９．１１）
Ａ．（７，１７）
２
＜狓
＜
１＋ 槡７，即 实
２
数狓
的
取值
范围
是（－１＋ ２
槡１１，１＋２槡７）．
… …１２ 分
２１．（１）因 为槡３（犫ｓｉｎ犆 －犮ｔｃａｏｎｓ犆犅）＝ 犪，
所 以槡３（ｓｉｎ犅ｓｉｎ犆 －ｃｏｓ犅ｃｏｓ犆）＝ ｓｉｎ犃，
… …２ 分
即 －槡３ｃｏｓ（犅 ＋犆）＝ｓｉｎ犃，所以槡３ｃｏｓ犃 ＝ｓｉｎ犃，即ｔａｎ犃 ＝ 槡３．
１ ２［（１－
１ ３）＋
（１ ３
－
１ ５）＋
…
＋
（２狀１－１－２狀１＋１）］
＝ １ ２（１－２狀１＋１）＝ ２狀狀＋１．
… …２ 分 … …４ 分 … …６ 分 … …８ 分
… …１０ 分
１８．（１）在
△犃犅犆
中，因为 犆
＝
π ４
，犪
＝ ２槡５１０犮
所以由正弦定理得ｓｉｎ犃 ＝ ２槡５１０ｓｉｎ犆
… …２ 分
高 二 数 学 第３ 页 （共 ４ 页 ） （２０１９．１１）
元，如果要使 每 位 员 工 健 身 １０ 次，那 么 公 司 购 买 多 少 张 健 身 卡 最 合 算，共 需 花 பைடு நூலகம் 多 少 元 钱？
２０．（本 小 题 满 分 １２ 分 ） （１）设不等式犪狓２ －２狓－２犪＋１＜０对于满足狘狓－１狘≤１的实数狓 都成立，求正实 数犪 的取值范围； （２）设不等式犪狓２ －２狓－２犪＋１＜０对于满足狘犪狘≤２的实数犪都成立，求实数狓 的 取值范围． ２１．（本 小 题 满 分 １２ 分 ）
．
烄狓 ≥０，
１４．若实数狓，狔 满足烅狔 ≥０，
则狕
＝
２狓＋狔＋３ 狓＋１
的
取
值范
围是
．
烆４狓＋３狔 ≤１２．
１５．已知数列｛犪狀｝的前狀项和犛狀 ＝２２狀＋１ ＋犪，若此数列为等比数列，则犪＝
．
１６．在 锐 角 △犃犅犆 中 ，内 角 犃，犅，犆 的 对 边 分 别 为 犪，犫，犮，若 犫 ＝ ３犮ｓｉｎ犃，
１．若犪 ＜犫＜０，那么下列不等式中不正确的是
Ａ．犪犫
＞犫２
Ｂ．犪犫
＜ 犪２
Ｃ．犪１
＜
１ 犫
Ｄ．犪犫
＜
犪 犫
２．在
△犃犅犆
中，内角 犃，犅，犆
的 对 边 分 别 为犪，犫，犮，若犮犫
＝
ｃｏｓ犅，则 ｃｏｓ犆
△犃犅犆
一定是
Ａ．等 边 三 角 形
Ｂ．等 腰 三 角 形
河南省洛阳市高二数学上学期期中试题
洛阳市2016——2017学年第一学期期中考试高二数学试卷第Ⅰ卷（选择题，60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.数列1,3,5,7,9,11,---的一个通项公式为A ．()()1121n n a n +=-+ B ．()()1121n n a n +=--C ．()()121n n a n =-+D ．()()121nn a n =--2.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若2,45,75a A C ===，则b 等于A．2 BC．2 D3.已知公比为正数的等比数列{}n a 中，26428,2a a a a ==，则1a =A ．8B ． 4C ．1D ．124. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c,若cos a b A <，则ABC ∆为A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5.数列中，()1112,1n n naa a n N a *+-==∈+,则2014a =A ．2B ．13 C ．12- D ．3-6.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22,18k k S S ==，则4k S =A ．24B ． 28C ． 32D ．547. 在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，满足下列条件的有两个的是A．1,30a b A === B．2,45b c B ===C ．1,2,3a b c ===D ．3,2,60a b A ===8.给出下列结论：①在ABC ∆中，sin sin ;A B a b >⇔> ②常数数列既是等差数列又是等比数列；③数列{}n a 的通项公式为21n a n kn =-+，若{}n a 为递增数列，则(],2k ∈-∞；④ABC ∆的内角A,B,C 满足sin :sin :sin 3:5:7A B C =,则ABC ∆为锐角三角形.其中正确结论的个数为A ．0B ．1C ． 2D ．39.定义12n np p p +++为n 个正数12,,,n p p p 的“均倒数”.若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为1n ，则12231011111a a a a a a +++= A ．910 B ．920 C ．2021 D ．102110.若关于x 的不等式20ax bx c ++<的解集为()1,1,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭，则不等式20cx bx a -+< 的解集为A ．()1,2-B ．()(),12,-∞-+∞ C ．()2,1- D ．()(),21,-∞-+∞11.设实数,x y 满足约束条件220,840,0,0,x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为A ．2B ． 4C ． 6D ．812.已知函数()121x f x x +=-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2017n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则2017S = A ．1008 B ． 1010 C ．20192D ．2019第Ⅱ卷（非选择题，满分90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上。
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学上学期期中试题
邸
八．等边三角形
B.等腰三角形
C.直角三角形
D等腰直角三角形
3.若数列｛a.，｝的通项公式ι ＝ 1� 1 十1 ，则此数列是
A.递增数列
B.递减数列
C.摆动数列
D.以上都不是
草草
4.下列函数中，y的最小值为2的是
4小
A. y = 1·+ l_
B. V ＝ 工2 十3 .,/ d芒t=z
+ C. y = e,. e-.,
17.（本小题满分10分〉
设S，， 为等差数列｛a，，｝的前 J1 项和．已知a3 = 5.S; = 49.
(1 ）求数列（矶，｝的通项公式；
(2）设 b,, =. G_”Jα_，，一J. ( ·求数列｛ b.，｝的前 11 项和丁，.，
18. C 本小题满分12分）
γ 。／ 在 6ABC ti•，角八.B.C 的对边分别为。，b C •已知C＝ π
当且
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15.已知数列｛ a.,, ｝的前 11 项和S,, = 22什 I +a ，若此数列为等比数列，则α ＝
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2 (含答案解析)
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中数学试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}，则A∩B=()A. (−3,3]B. [−3,1)C. (−1,3)D. [−1,1)2.若复数(a+i)(2+i)(i为虚数单位)为纯虚数，则实数a=()A. −2B. 2C. −12D. 123.已知直线l:3x+4y+m=0(m>0)被圆C:x2+y2+2x−2y−6=0截得的弦长是圆心C到直线l的距离的2倍，则m=()A. 6B. 8C. 9D. 114.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD//BC，AB=BC=2，PA=3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上异于P，D的动点，设PEED=m，则“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.双曲线C：x24−y22=1的离心率为()A. √22B. √62C. √24D. √646.若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是()A. 2cm 3B. √3cm 3C. 3√3cm 3D. 3cm 37. 已知sin (α+π3)+sinα=−4√35，则cos (α−π3)=( )A. −45B. −35C. 45D. 358. 设实数x ，y 满足{x −y ≥0x +y ≤1x +2y ≥1则z =2x −3y 的最大值为( )A. −13B. −12C. 2D. 39. 设a =log 36,b =log 510,c =log 714,则( )A. a >b >cB. a >c >bC. c >a >bD. c >b >a10. 若函数f (x )=sinωx (ω>0)在区间[0,π3]上单调递增，在区间[π3,π2]上单调递减，则ω=( )A. 3B. 2C. 23D. 3211. 已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1，点F 1，F 2是椭圆的左右焦点，点A 是椭圆上的点，▵AF 1F 2的内切圆的圆心为M ，若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则椭圆的离心率为( )A. 12B. √22 C. √32D. √2−112. 已知函数，若关于x 的方程f(x)−t =0有3个不同的实数根，则实数t 的取值范围是( )A. [0,1]B. (0,1)C.D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a ⃗ =(3,−4)，b ⃗ =(2,3)，则2|a ⃗ |−3a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．14. 已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 6+a 5=4，a 4+a 3−a 2−a 1=1，则a 1的值为______．15.正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，P是面对角线BC1的中点，Q是底面ABCD上一动点，则D1P+PQ的最小值为．16.若函数在在[1,2]上单调递增，则实数a的取值范围是__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知S n为等差数列{a n}的前n项和，且a1=1，S7=28.记b n=[lg a n]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]=0，[lg99]=1．(1)求b1，b11，b101；(2)求数列{b n}的前1000项的和．18.已知a,b,c分别是△ABC三个内角A，B，C的对边，且2asin(C+π)=√3b．3(1)求角A的值．(2)若b=3,c=4，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=2，AD=4，DC=3，PA=5，E∈PC，AC∩BD=F．(1)若CEEP =32，求证：EF//平面PAB；(2)若FE⊥PC，求二面角E−DB−C的平面角的余弦值．20.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，M(−2,y0)是C上一点，且|MF|=2．(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)过点F的直线与抛物线C相交于A，B两点，分别过点A，B两点作抛物线C的切线l1，l2，两条切线相交于点P，点P关于直线AB的对称点Q，判断四边形PAQB是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx，其中a∈R．(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若对于任意x2>x1>0，f(x1)+2x1<f(x2)+2x2恒成立，求a的取值范围22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=sinθ+cosθ，点P的曲线C上运动．(I)若点Q在射线OP上，且|OP|⋅|OQ|=4，求点Q的轨迹的直角坐标方程；)，求△MOP面积的最大值．(Ⅱ)设M(4,3π423.已知函数f(x)=|x−a|+m|x+a|．(Ⅰ)当m=a=−1时，求不等式f(x)≥x的解集；(Ⅱ)不等式f(x)≥2(0<m<1)恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤−3或a≥3}，求实数m 的集合．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：解：∵集合A={x|−3<x<1}，B={x|(x+1)(x−3)≤0}={x|−1≤x≤3}，∴A∩B={x|−1≤x<1}=[−1,1)．故选：D．先求出集合A和B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.答案：D解析：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解：由题意可知：(a+i)(2+i)=(2a−1)+(2+a)i，∵复数为纯虚数，∴2+a≠0，2a−1=0，∴a=12.故选D．3.答案：C解析：本题考查直线与圆的位置关系，圆心到直线的距离，求出圆心为(−1,1)，半径为2√2，利用圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22，即可求出结论．解：圆C:x2+y2+2x−2y−6=0，可化为(x+1)2+(y−1)2=8，圆心为(−1,1)，半径为2√2．由题意得，圆心到直线的距离d=|−3+4+m|5=2√2×√22．∵m>0，∴m=9．故选C．4.答案：B解析：本题考查充要条件的判断及棱锥体积的求解，过E作EH⊥AD得到V C−ABE=V E−ABC=23EH即可求解．解析：解：过E作EH⊥AD，H为垂足，则EH⊥面ABCD∴V C−ABE=V E−ABC，所以三棱锥C−ABE的体积为23EH，若三棱锥C−ABE的体积不小于1，则EH≥32，又PA=3，∴PEED=m≤1．即“0<m<2”是“三棱锥C−ABE的体积不小于1”的必要不充分条件．故选B．5.答案：B解析：解：双曲线C：x24−y22=1，可得a=2，b=√2，则c=√6．双曲线的离心率为：√62．故选：B．利用双曲线方程求出a，b，c，然后求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基础题．。
洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学试卷及其答案
#'答题前#考生务必将自己的姓名%考号%考试科目涂写在答题卷上$!'考试结束#将答题卷交回$一 选择题 本大题共#!小题 每小题%分 共&"分!在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的!#!若复数"满足#&"$#%##则"的共轭复数的虚部是(!#!!!!!!!)!&#!!!!!!!*!#!!!!!!!+!&#!!用反证法证明命题'(三角形的内角中至少有一个不大于&"度)时#假设正确的是(!假设三内角都不大于&"度*!假设三内角至多有两个大于&"度*!假设三内角至多有一个大于&"度+!假设三内角都大于&"度,!对下列三种图形#正确的表述为(!它们都是流程图)!它们都是结构图*!!#"%!!"是流程图#!,"是结构图+!!#"是流程图#!!"%!,"是结构图-!设'#(是具有线性相关关系的两个变量#现有观测数据!'##(#"!#$##!#*##%"#已知它们之间的线性回归方程是)($%'%###若"#%#$#'#$#.#则"#%#$#(#$(!#/)!.&*!#"#+!!%%%!分析法是从要证的不等式出发#寻求使它成立的(!充分条件)!必要条件*!充要条件*!既不充分又不必要条件&!有一段演绎推理'(直线平行于平面#则这条直线平行于平面内所有直线+直线+#平面 #直线,$平面 #则直线,$直线+)的结论是错误的#这是因为(!大前提错误)!小前提错误*!推理形式错误+!非以上错误/!如图'图-内切于正三角形%./0#则1%./0$1%-./%1%-.0%1%-/0$,&1%-/0#洛阳市!"#$ !"!"学年第二学期期中考试高二数学试卷 文第 卷 选择题 共&"分注意事项高二数学!文"!第#页!!共-页"!初高中数学学习资料的店初高中数学学习资料的店。
河南省洛阳市2022-2023学年高二上学期期中考试理科数学试卷(含答案)
(3) 已知点的坐标为（5,3)，点在曲线 ′ 上运动，求线段的中点的轨迹方程.
22. (12 分）
如图，长方体 — 1 1 1 1 中， = 2 = 21 ，
点在棱上且1 丄平面1 1
(1)求 的值
21. ( 12 分）
已知两定点 (-4,0)， (-1，0)，动点 满足 | | = 2 ||，直线 :(2 + 1) + ( + 1) −
5 − 3 = 0.
(1) 求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；
(2) 记动点的轨迹为曲线，把曲线向右平移 1 个单位长度，向上平移 1 个单位长度后得到曲线 ′ ，
反射光线所在直线的方程.
20. (12 分)
在直角梯形 中， //， = 2 = 2 =2 2，∠ = 900 如图（1). 把△沿
翻折，使得平面 ⊥平面，如图（2).
(1) 求证: ⊥ ;
(2) 若为线段的中点，求点到平面的距离.
所成角的余弦值为
A.
6
B.
3
3
C.
3
15
D.
5
10
5
12. 若圆 2 + 2 − 4 − 4 − 10 = 0至少有三个不同的点到直线: = 的距离为 2 2，则直线的倾斜角
的取值范围是
A.[ 12 , 4 ]
5
B. [ 12 , 12 ]
C. [ 6 , 3 ]
B. - 5
C. 10
D. -10
2.已知（4,1,9)，(2,4,3)，则线段的长为
A. 39
B.7
河南省洛阳市2019_2020学年高二数学下学期期中试题理含解析.doc
河南省洛阳市2019-2020学年高二数学下学期期中试题 理（含解析）一､选择题1.若复数z 满足1i z i ⋅=+，则z 的共轭复数的虚部是（ ） A. i B. i -C. 1D. 1-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合复数的除法法则可得1z i =-，再根据共轭复数、复数虚部的概念即可得解. 【详解】由题意()()21111i ii z i i i i+⋅+===--=-， 所以z 的共轭复数1z i =+，则z 的共轭复数的虚部为1. 故选：C.【点睛】本题考查了复数的运算，考查了共轭复数及复数虚部的概念，属于基础题. 2.用反证法证明命题：“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 至少有一个是无理数”时，假设正确的是（ ） A. 假设a ，b ，c 都是有理数 B. 假设a ，b ，c 至少有一个是有理数 C. 假设a ，b ，c 不都是无理数 D. 假设a ，b ，c 至少有一个不是无理数【答案】A 【解析】 【分析】由题意结合反证法的概念直接写出原命题的否定，即可得解. 【详解】用反证法证明命题时，需要假设命题的否定是正确的，原命题的否定是“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都不是无理数”即“设a ，b ，c 为实数，满足a b c ++是无理数，则a ，b ，c 都是有理数”. 所以需要假设a ，b ，c 都是有理数. 故选：A.【点睛】本题考查了反证法的概念辨析，关键是对于反证法概念的掌握，属于基础题. 3.函数()f x 的图象如下图，则函数()f x 在下列区间上平均变化率最大的是（ ）A. []1,2B. []2,3C. []3,4D. []4,7【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合平均变化率的概念即可得解. 【详解】函数()f x 在区间上的平均变化率为yx∆∆， 由函数图象可得，在区间[]4,7上，0yx∆<∆即函数()f x 在区间[]4,7上的平均变化率小于0； 在区间[]1,2、[]2,3、[]3,4上时，0y x ∆>∆且x ∆相同，由图象可知函数在区间[]3,4上的y x∆∆最大.所以函数()f x 在区间[]3,4上的平均变化率最大. 故选：C.【点睛】本题考查了平均变化率的概念，关键是对知识点的准确掌握，属于基础题. 4.有一段演绎推理：“若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-.已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-”.对该演绎推理描述正确的是（ ）A. 大前提错误，导致结论错误B. 小前提错误，导致结论错误C. 推理形式错误，导致结论错误D. 以上演绎推理是正确的【答案】A 【解析】 【分析】根据演绎推理：三段论的推理过程即可判断.【详解】若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则通项公式-1n n n a S S =-， 需2n ≥，所以21n S n =+，则通项公式–121n n n a S S n =-=-，2n ≥，当1n =时，12a =，不满足通项公式， 即大前提错误，导致结论错误. 故选：A【点睛】本题考查了演绎推理的三段论的推理过程，属于基础题. 5.函数()()cos sin 0f x x x x x =->的单调递增区间为（ ） A. *3(,)()22n N n n ππππ∈++B. *(1)(,)()22N n n n ππ+∈ C. *(())(,1)n n N n ππ+∈ D. ()*())21,2(n n N n ππ-∈【答案】D 【解析】 【分析】先求导，进而利用导数与函数的单调性的关系即可求解. 【详解】函数()()cos sin 0f x x x x x =->，()cos sin cos sin y x x x x x x '∴=+--=-，由sin 0x x ->，0x >，可得sin 0x <， 解得()22n x n k Z πππ-<<∈，所以函数的单调递增区间为()*())21,2(n n N n ππ-∈.故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、解三角不等式，解题的关键是利用导数的运算法则求出导函数，属于基础题.6.已知过原点的直线l 与曲线xy e =相切，则由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积是（ ） A.e12- B. 1e - C.2e D. 1e +【答案】A【分析】根据导数的几何意义求出直线l 的方程，再确定出积分区间和被积函数，利用导数和积分的关系完成本题的求解.【详解】解：由已知xy e =的导函数为'e xy =，设过原点的直线l 与曲线xy e =相切于点(),aa e，则'|ax a y e ==，直线l 的方程为()aa y ex a e =-+，即a a a y e x ae e =-+，又直线l 过原点，则0a a ae e -+=，解得1a =， 所以直线l 的方程为y ex =，由曲线xy e =，y 轴和直线l 所围成的平面图形的面积为()1201111110222xx e ex dx e ex e e e ⎛⎫⎛⎫-=-=--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰. 故选：A.【点睛】本题考查曲边图形面积的计算问题，考查学生分析问题解决问题的能力和意识，考查学生的转化与化归能力和运算能力，考查学生对定积分与导数的联系的认识，求定积分关键要找准被积函数的原函数，属于定积分的简单应用问题. 7.如图：图O 内切于正三角形ABC ，则3ABCOABOACOBCOBCSSSSS=++=⋅，即11||3||22BC h r BC ⋅⋅=⋅⋅⋅，3h r =，从而得到结论：“正三角形的高等于它的内切圆的半径的3倍”；类比该结论到正四面体，可得到结论：“正四面体的高等于它的内切球的半径的a 倍”，则实数a =（ ）A. 5B. 4C. 3D. 2【解析】 【分析】利用等体积，即可得出结论.【详解】解：设正四面体的高为h ，底面积为S ，内切球的半径为r ， 则11433V Sh Sr ==⋅， 4h r ∴=，则4a =. 故选：B.【点睛】本题考查类比推理，考查等体积方法的运用，考查学生的计算能力，比较基础. 8.若函数()22ln 2x a f x x x =-+存在极值，则实数a 的取值范围是（ ） A. (),1-∞ B. (],1-∞C. ()0,1D. (]0,1【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点，令()0f x '=可得221a x x =-，换元10t x=>，可得220t t a -+=，则实数a 的取值范围为函数22y t t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()22ln 2x a f x x x =-+的定义域为()0,∞+，且()12f x ax x'=-+. 由题意可知，函数()y f x =在定义域()0,∞+上存在极值点， 由()0f x '=可得221a x x=-，令10t x =>，则22a t t =-，则实数a 的取值范围为函数22yt t 在()0,∞+上的值域且满足>0∆，对于二次函数()22211y t t t =-=--+，当0t >时，()222111y t t t =-=--+≤，对于二次方程22a t t =-，即220t t a -+=，440a ∆=->，解得1a <. 因此，实数a 的取值范围是(),1-∞. 故选：A.【点睛】本题考查利用函数的极值点求参数，一般转化为导函数的零点，但要注意导函数的图象与x 轴不能相切，考查化归与转化思想的应用，属于中等题. 9.若1a b >>，b P ae =，aQ be =，则P ，Q 的大小关系是（ ） A. P Q > B. P Q =C. P Q <D. 不能确定【答案】C 【解析】 【分析】对P ，Q 作商并化简，构造函数()xe f x x=，根据函数的单调性判断P Q 与1的大小关系，即可得出P ，Q 的大小关系.【详解】P ，Q 作商可得==a a bb e P ae b e Q be a，令·()x e f x x =，则()()21x e x f x x-'=，当1x >时，()0f x '>，所以()x e f x x =在()1,+∞上单调递增，因为1a b >>，所以<b a e e b a ，又0>b e b ，0>aea，所以1<a be b e a，所以P Q <. 故选：C【点睛】本题主要考查作商法比较大小，解题的关键是会构造函数并判断单调性.10.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺术的融合，数学与艺术审美的统一，而且还有其深刻的科学方法论意义，如图，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于一种分形，具体作法是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线.将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，若记图①三角形的面积为3，则第n 个图中阴影部分的面积为（ ）133n + 33()2n⋅ 33()4n D.33()4n 【答案】D 【解析】 【分析】每一个图形的面积是前一个图形面积的34，根据等比数列公式得到答案. 【详解】根据题意：每一个图形的面积是前一个图形面积的343，公比为34的等比数列， 故第n 13333()44n n -⎛⎫=⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 11.已知b 为正实数，直线y x a =+与曲线x by e +=相切，则2a b的取值范围是（ ）A. [),e +∞B. 2[,)e +∞C. [2,)+∞D. [4,)+∞【答案】D 【解析】【分析】取导数为1计算得到切点为(),1b -，将切点代入直线，得到1b a =-+，换元利用均值不等式得到答案. 【详解】x by e+=，则'1x by e+==，则x b =-，当x b =-，1y =，故切点为(),1b -，将切点代入直线得到1b a =-+，()2211224b a b bbb +==++≥=，当1b =时等号成立. 故选：D.【点睛】本题考查了根据切线求参数，均值不等式，意在考查学生的计算能力和应用能力，确定1b a =-+是解题的关键. 12.关于x 的方程ln ln 0xm x x x x++=-有三个不等的实数解1x ，2x ，3x ，且1231x x x <<<，则2123123ln ln l (1)(1)(1n )x x x x x x ---的值为（ ） A. e B. 1C. 1m +D. 1m -【答案】B 【解析】 【分析】 设()ln xf x x =，求导计算单调区间，画出函数图像，设ln x t x=，代入化简得到二次方程，计算根与系数关系，代入式子计算得到答案. 【详解】设()ln x f x x =，则()'21ln x f x x -=， 故函数在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，()1f e e=，画出函数图像，如图所示： 设ln x t x=，ln ln 0x m x x x x ++=-，则ln n 011l x x x m x ++=-，即101t m t ++=-， 化简整理得到：()2110t m t m +-+-=，故121t t m +=-，121t t m =-，且10t <，210t e<<，()()()()2222312121212123(1)(1)(1ln ln ln )1111t t t t t x x x t x x x ---=--=-++=. 故选：B.【点睛】本题考查了求利用导数研究方程的解，意在考查学生的计算能力和应用能力，换元是解题的关键. 二､填空题13.设复数1z i =+，则22||z z -=___________. 5【解析】 【分析】利用复数运算化简得到2212z i z-=--，再计算复数模得到答案. 【详解】1z i =+，则()()()222211111222i i z i i i i i z -=-+=-+=---=--+， 则2222215z z-=+=5【点睛】本题考查了复数的计算，复数的模，意在考查学生的计算能力和转化能力. 14.2322(4)x x dx -+-=⎰___________【答案】2π 【解析】【分析】3y x =为奇函数，2320x dx -=⎰，再利用定积分的几何意义计算得到答案.【详解】3y x =为奇函数，故22223322(x dx x dx ----=+=⎰⎰⎰⎰，设y =224x y +=，0y ≥，对应半圆的面积为21222ππ⋅=，故232(2x dx π-+=⎰.故答案为：2π.【点睛】本题考查了定积分的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为对应半圆的面积是解题的关键.15.已知函数sin 1()xxf x x x e e =-+-，其中e 是自然对数的底数.若2()(23)0f a f a +-≤，则实数a 的取值范围是_______.【答案】[]3,1- 【解析】 【分析】确定函数为奇函数，增函数，将不等式转化为()2()32f a f a ≤-，根据函数单调性计算得到答案.【详解】sin 1()xx f x x x e e =-+-，则()1sin ()xxf x x e x e f x -=++--=-，故函数为奇函数.'cos co 1()111cos 0s x xf x e x x x e =-+≥-=++≥+，函数单调递增， 2()(23)0f a f a +-≤，故()2()(23)32f a f a f a ≤--=-，故232a a ≤-，解得31a -≤≤. 故答案为：[]3,1-.【点睛】本题考查了利用导数确定单调性，利用单调性和奇偶性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16.已知函数()23f x x =+，()ln g x x x =+，若()()12f x g x =，则21x x -的最小值为______.【答案】2【解析】【分析】求导得到()'11g x x =+，取()'112g x x=+=得到1x =，计算切线得到答案. 【详解】()ln g x x x =+，则()'11g x x =+，取()'112g x x =+=，故1x =，()11g =， 故切线方程为21y x =-，取231y x =+=，解得1x =-，故21x x -的最小值()112--=.故答案为：2.【点睛】本题考查了利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力，转化为切线方程是解题的关键.三､解答题17.已知m 为实数，设复数22(56)(253)z m m m m i =++++-.（1）当复数z 为纯虚数时，求m 的值；（2）当复数z 对应的点在直线70x y -+=的上方，求m 的取值范围.【答案】（1）2-.（2）(,4)(4,)-∞-⋃+∞【解析】【分析】（1）直接根据复数的类型得到方程，解得答案.（2）直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，代入数据解不等式得到答案.【详解】（1）由题意得：225602530,m m m m ⎧++=⎨+-≠⎩，解得2m =-. （2）复数z 对应的点的坐标为()2256,253m m m m +++-，直线70x y -+=的上方的点的坐标(),x y 应满足70x y -+<，即：22(56)(253)70m m m m +-+-+<+，解得4m >或4m <-，∴m 的取值范围为(,4)(4,)-∞-⋃+∞.【点睛】本题考查了根据复数的类型和复数的对应点的位置求参数，意在考查学生的计算能力和转化能力.18.（1）已知0a b ≥>，求证：332222a b ab a b -≥-；（2）若x ，y 都是正实数，且2x y +>，用反证法证明：12x y +<与12y x +<中至少有一个成立.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用作差法即可证明.（2）假设12x y +≥，12y x+≥，从而可得12x y +≥，12y x +≥，两不等式相加即可找出矛盾点，即证.【详解】（1）33222222222()()a b ab a b a a b b a b --+=-+- ()()(2)a b a b a b =-++，∵0a b ≥>，∴0a b -≥，0a b +>，20a b +>，从而：()()()20a b a b a b -++≥，∴332222a b ab a b -≥-.（2）假设12x y +≥，12y x+≥， 则12x y +≥，12y x +≥，所以1122x y y x +++≥+，所以2x y ≥+，与条件2x y +>矛盾， 所以假设不成立，即12x y +<与12y x+<中至少有一个成立. 【点睛】本题考查了作差法证明不等式、反证法，反证法关键找出矛盾，属于基础题.19.不期而至的新冠肺炎疫情，牵动了亿万国人的心，全国各地纷纷捐赠物资驰援武汉.有一批捐赠物资需要通过轮船沿长江运送至武汉，已知该运送物资的轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比，已知当速度为10海里/时时，燃料费是6元/时，而其他与速度无关的费用是96元/时，问当轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？【答案】当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【解析】【分析】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，由数据可得30.006p v =，列出航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>，再利用导数求出最值即可.【详解】设速度为v 海里/时的燃料费是p 元/时，由题设的比例关系得3p k v =⋅，其中k 为比例系数.由10v =，6p ，得360.00610k ==， 于是30.006p v =.设船的速度为v 海里/时，航行1海里所需的总费用为y 元，而每小时所需的总费用是()30.00696v +元，航行1海里所需时间为1v， 所以航行1海里的总费用为32196(0.00696)0.006(0)y v v v v v=+=+>. 所以322960.0120.012(8000)y v v v v'=-=-. 令0y '=，解得20v =.因为当020v <<时，0y '<；当20v >时，0y '>，所以当20v =时，y 取得最小值.故当轮船的速度为20海里/时时，航行1海里所需费用总和最小.【点睛】本题考查了分式函数模型、利用导数求最值，考查了考生的分析问题、解决问题的能力，属于基础题.20.在各项为正的数列{a n }中，数列的前n 项和S n 满足11()2n n na S a +=. (1)求123,,a a a (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【解析】试题分析：（I ）由112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，n 分别取1，2，3，代入计算，即可求得结论，猜想n a =（II ）用数学归纳法证明的关键是n=k+1时，变形利用归纳假设．试题解析：(1)当1n =时，111112a a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴11a =或11a =-(舍,0n a >). 当2n =时，1222112a a a a ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，∴21a =． 当3n =时，12333112a a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，∴2a =猜想：n a = (2)证明：①当1n =时，显然成立．②假设n k =时，k a =成立，则当1n k =+时，1111111122k k k k k k k a S S a a a a ++++⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即1111k k k k a a a a ++⎛⎫-=-+=-=- ⎪⎝⎭∴1k a += 由①、②可知，*n N ∀∈，n a =点睛：数学归纳法两个步骤的关系：第一步是递推的基础，第二步是递推的根据，两个步骤缺一不可，有第一步无第二表，属于不完全归纳法，论断的普遍性是不可靠的；有第二步无第一步中，则第二步中的假设就失去了基础．只有把第一步结论与第二步结论联系在一起，才可以断定命题对所有的自然数n 都成立．21.已知函数()2(1)x f x x e ax =--，（a R ∈）． （1）若12a =，求()f x 的极值； （2）若0x ≥时，()0f x ≥，求实数a 的取值范围．【答案】（1）极大值是112e -，()f x 的极小值是0（2）1a ≤ 【解析】【分析】（1）()()2112x x f x e x =-- ，求导()()()110x f x x e '=+-=，判断()f x '，()f x 变化求得极值；（2）解法一:分离a,求最值得a 的范围，解法二: ()x f x e a '=-，讨论a 的范围得解 【详解】（1）当12a =时，()()2112x x f x e x =-- ()()()110x f x x e '=+-=时，则1x =-，0x =.当x 变化时，()f x '，()f x 变化状态如下表：所以()f x 的极大值是()1112f e-=-，()f x 的极小值是()00f = （2））等价于当0x ≥时，()()10xf x x e ax =--≥恒成立 解法一: 当0x =，等号成立，当x>0，()10x e f x a x -≥⇔≤，设()1x eg x x-= ()min a g x ≤，由经典不等式1x e x >+ ∴1a ≤或者()21x x xe e g x x-+'=，()1x x x xe e ϕ=-+，()0x x x x x e xe e xe ϕ='+-=> ()x ϕ↑，()()00ϕϕ>=x ∴()0g x '>，()g x ↑，又()0,1x g x →→ ∴1a ≤ 解法二: ()xf x e a '=-，0x ≥，1x e ≥ 若1a ≤，则()0xf x e a ='-≥，()f x ↑，∴()()00f x f ≥=，即不等式恒成立.（充分性）若1a >，()0x f x e a '=-= ∴0ln 0x a =>()00,x x ∈，()0f x '<，()f x ↓，()()00f x f ≤=，这与当0x ≥时，()10x f x e ax =--≥恒成立相矛盾（必要性）【点睛】本题考查函数与导数的极值，考查不等式恒成立，考查转化化归能力，考查计算能力，是中档题22.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且14()(2)(13ln )2x f x f x f '=++. （1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数21()()2h x xf x x ax b =---区间(1,)+∞上存在非负的极值，求1b a +的最大值.【答案】（1）1()ln 22f x x x =+-；（2）e - 【解析】【分析】 （1）令1x =可求得(1)f ，求导后再令2x =即可求得()2f '，即可得解；（2）对函数()h x 求导后，根据10a +≤、10a +>分类讨论，求出函数的极值，进而可得111a b e a a +≤-++，令()(0)xe x x xϕ=->，求导后，得出()x ϕ的最大值，即可得解. 【详解】（1）令1x =，41(1)(1)32f f =+，∴3(1)2f =-， ∴1()(2)l 22n x f x f x '=+-， ∴(2)1()2f f x x ''=+，代入2x =可得(2)1(2)22f f ''=+，∴21f ， ∴1()ln 22f x x x =+-. （2）由题意21()()l 2n 2h x xf x x ax b x x ax b x =---=---， ∴()()ln 12ln 1x a h x x a =+-=--'+，当10a +≤即1a ≤-时，()0h x '>在(1,)+∞上恒成立，∴()h x 在区间(1,)+∞上单调递增，()h x 无极值，不合题意；当10a +>即1a >-时，令()0h x '=，则1a x e +=，∴当()11,a x e +∈，()0h x '<，函数()h x 单调递减；()1,a x e +∈+∞，()0h x '>，函数()h x 单调递增；∴()h x 在(1,)+∞存在唯一极值()1a h e +， 又函数()h x 区间(1,)+∞上存在非负的极值，∴存在()111111ln 20a a a a a a h e ee e ae b e b ++++++=---=--≥， ∴存在1a b e +≤-即111a b e a a +≤-++，令()(0)x e x x x ϕ=->，∴2(1)()xx e x x ϕ-'=-， ∴当()0,1x ∈时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减；∴max ()(1)x e ϕϕ==-，∴当11a +=即0a =时，11a e a +-+取最大值e -， ∴1b a +的最大值为e -. 【点睛】本题考查了导数的综合应用及有解问题的解决，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，解题的关键是条件的转化及新函数的构造，属于中档题.。
洛阳市2019-2020高二下学期期中考试文科数学
线性相关系数4越大#两个变量的线性相关性越强+反之#线性相关性越弱+ 用 <! 来刻画回归效果#<! 越大#说明模型的拟合效果越好+ 根据!=!列联表中的数据计算得出的 >! 的值越大#两类变量相关的可能性就越 大+
在回归分析模型中#残差平方和越小#说明模型的拟合效果越好+
从匀速传递的产品生产流水线上#质检员每#"分钟从中抽取一件产品进行某项指
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洛阳市2019-2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
【答案】A
【解析】
【分析】
根据对数运算，得到 ，推出 ，再由基本不等式得到 ,求解，即可得出结果。
【详解】因为 ，所以 ，且 ，
即 ，所以 ，即 ,
解得 或 （舍），所以 ，当且仅当 时，取等号.
故选:A
【点睛】本题主要考查对数的运用，以及由基本不等式求积的最小值,熟记对数运算法则,以及基本不等式即可，属于常考题型.
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先由题意，根据等差数列前 项和的性质，得到 ，再由 ,得到 ，从而即可求出结果.
【详解】因为等差数列 的前 项和分别为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
为使 ，只需 ，又 ,所以 可能取的值为： ，
因此 可能取的值为： .
故选：C
【点睛】本题主要考查等差数列前 项和的应用，熟记等差数列前 项和的公式与性质即可，属于常考题型。
对于D选项，因为 ，所以 ，又 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，但 ，故D错误；
故选：C
【点睛】本题主要考查基本不等式的应用,熟记基本不等式,并注意取等号的条件即可，属于常考题型。
5.已知等比数列 满足: ，且 ，则 等于（ ）
A。 B. C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等比数列的性质得到 ,根据题意解得 ，且 ,根据等比数列的通项公式，即可求出结果.
3。若数列 的通项公式 ，则此数列是( ）
A. 递增数列B. 递减数列C. 摆动数列D. 以上都不
【答案】A
【解析】
【分析】
由 ，计算 ，得出 ，即可判断出结果。
【详解】因为 ,
所以 ，
因此数列 是递增数列.
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期期中考试数学(文)试卷word版
洛阳市2019—2020学年高中三年级上学期期中考试数学试卷（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i 为虚数单位，复数z 满足iz ＝1＋2i ，则z 等于A ．2＋iB ．2－iC ．1＋2iD ．1－2i2．已知集合A ＝{x ｜log 3（x －2）≤2}，B ＝{x ｜x 2＞9}，则A ∪B ＝A ．（－∞，3）∪（2，＋∞）B ．（3，11]C ．（2，＋∞）D ．（－∞，－3）∪（2，3）3．已知实数x ，y 满足1341y x x y y －≤，＋≤，≥则x ＋3y 的最大值为A ．7 B ．4 C ．3D ．04．执行右边的程序框图，则输出的结果是A ．1132B ．833C ．1112D ．145．已知单位向量a ，b 满足｜a －b ｜＝｜a ＋2b ｜，则a ，b 夹角为A ．6B ．3C ．23D ．566．已知35a ＝，02log 01b ．＝．，3log 2c ＝，则a ，b ，c 的大小关系是A ．c ＜b ＜aB ．c ＜a ＜bC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a7．已知点P 是圆C ：（x －3－cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1上任意一点，则点P 到直线x ＋y ＝1距离的最大值为A ．2B ．22C ．21＋D ．22＋8．在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点P ，Q ，R 分别为棱AA 1，BC ，C 1D 1的中点，经过P ，Q ，R 三点的平面为，平面被此正方体所截得截面图形的周长为A ．2B ．62C ．32D ．339．已知p ：函数y ＝ln （x 2－ax ＋1）的定义域为R ，q ：e x＞ax 对任意实数x 恒成立，若p ∧q 真，则实数a 的取值范围是A ．[0，2）B ．[2，e ）C ．（－2，e ）D ．[0，e ）10．双曲线C 的对称轴与坐标轴重合，两个焦点分别为F 1，F 2，虚轴的一个端点为A ，若△AF 1F 2是顶角为120°的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为A ．62B ．2C ．3D ．211．已知数列{n a }为等差数列，其前n 项和为n S ，若9n n S S －＝（nN ∈且n ＜9），有以下结论：①9S ＝0；②5a ＝0；③{n a }为递增数列；④9a ＝0．则正确的结论的个数为A ．1 B ．2C ．3D ．412．已知三棱锥P －ABC 的侧棱长相等，底面正三角形ABC 的边长为2，PA ⊥平面PBC 时，三棱锥P－ABC 外接球的表面积为A ．32B ．32C ．D ．3第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．已知tan （x ＋4）＝2，则tan （x －4）＝__________．14．已知函数f （x ）的导函数为f x，222f x x xf ＝＋，则不等式f （x ）＜0的解集为__________．15．已知函数f （x ）＝sinx ＋2cosx 在x 0处取得最小值，则f （x ）的最小值为__________，此时cosx 0＝__________．16．若命题“0x ∈[0，e]，使得0121ax x e－＞成立．”为假命题，则实数a 的最大值为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）如图，在三棱锥P －ABC 中，△PAC 为正三角形，M 为棱PA 的中点，AB ⊥AC ，AC ＝12BC ，平面PAB ⊥平面PAC ．（1）求证：AB ⊥平面PAC ；（2）若AC ＝2，求三棱锥P －BMC 的体积．18．（本小题满分12分）设数列{n a }的前n 项和为n S ，且n S ＝21n－，数列{n b }满足1b ＝2，1n b ＋－2n b ＝8n a ．（1）求数列{n a }的通项公式；（2）求数列{n b }的前n 项和n T ．19．（本小题满分12分）在△ABC 中，D 是BC 中点，AB ＝3，AC ＝13，AD ＝7．（1）求边BC 的长；（2）求△ABC 的面积．20．（本小题满分12分）已知椭圆C ：22221x y ab＋＝（a ＞b ＞0）的右焦点为F （1，0），点P （1，32）在椭圆C 上．（1）求椭圆C 的方程；（2）圆x 2＋y 2＝1的切线l 与椭圆C 相较于M ，N 两点，证明：∠MON 为钝角．21．（本小题满分12分）已知函数f （x ）＝e x－cosx ．（1）求f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）求证：f （x ）在（－2，＋∞）上仅有2个零点．请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为113x t y t＝＋，＝－（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos30－－＝．（1）求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，设M（1，1），求11MA MB＋的值．23．[选修4－5：不等式选讲]（10分）已知函数f（x）＝｜x－3｜－2｜x｜．（1）求不等式f（x）≥2的解集；（2）若f（x）的最大值为m，a，b，c为正数且a＋b＋c＝m，求证：a2＋b2＋c2≥3．。
河南省洛阳市2019-2020学年高三上学期第一次统一考试(1月)数学(理)试题(学生版)
洛阳市2019--2020学年高中三年级第一次统一考试数学试卷(理)第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合(){}20|M x x x =-<，{}2,1,0,1,2N =--，则M N =（ ）A. {}0,1B. {}2,1--C. {}1D. {}0,1,22.已知复数z 在复平面中对应的点(),x y 满足()2211x y -+=，则1z -=（ ）A. 0B. 1D. 23.为了节能减排，发展低碳经济，我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:根据上述图表信息，下列结论错误的是（ ） A. 2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过3.4万辆 B. 2017年我国新能源汽车总销量超过70万辆 C. 2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量D. 2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于2万辆4.已知正项等比数列{}n a 中，354a a =，且467,1,a a a +成等差数列，则该数列公比q 为（ ）A.14B.12C. 2D. 45.我国数学家陈最润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界瞩目的成就.哥德巴赫猜想简述为“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”(注:如果一个大于1的整数除了1和自身外无其他正因数，则称这个整数为素数)，如40337=+.在不超过40的素数，随机选取2个不同的数，这两个数的和等于40的概率是（ ）A.126 B.122 C.117D.115 6.圆22 2410x y x y +-++=关于直线()300,0ax by a b --=>>对称，则12a b+的最小值是（ ）A. 1B. 3C. 5D. 97.函数()()23xx e e cos x f x x-⋅-=（e 为自然对数的底数）的大致图象为（ ）A. B.C. D.8.正三棱锥的三视图如下图所示，则该正三棱锥的表面积为（ ）A. B. 9C. 929.已知点12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>的左，右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C的右支上，且满足1221 2,4F F OP tan PF F =∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 5D.17910.设()f x 是定义在R 上的函数，满足条件()()11f x f x +=-+，且当1x ≤时，()3xf x e-=-，则()27a f log =，()2 1.533,3b f c f --⎛⎫⎪⎝⎭==的大小关系是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. c b a >>11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 为棱1CC 的中点.下列结论:①线段BD 上存在点F ，使得//CF 平面1AD E ；②线段BD 上存在点F ，使CF ⊥得平面1AD E ；③平面1AD E 把正方体分成两部分，较小部分的体积为724，其中所有正确的序号是（ ） A. ①B. ③C. ①③D. ①②③12.已知正项数列{}n a 的前n 项和为1,1n S a >，且2632n n n S a a =++.若对于任意实数[]2,2a ∈-.不等式2*1()211n a t at n N n +<+-∈+恒成立，则实数t 的取值范围为（ ） A. ][(),22,⋃∞-+∞- B. ,21,(][)∞⋃+∞--C. ,12[),(]-∞⋃+∞-D. []22-,第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60，且()3,0a =，1b =，则2a b += __________．14.若实数,x y 满足约束条件,4, 3,y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+最小值是__________．15.已知椭圆()2222:10,x y C a b A a b+=>>为右顶点.过坐标原点O 的直线交椭圆C 于,P Q 两点，线段AP的中点为M ，直线QM 交x 轴于()2,0N ，椭圆C 的离心率为23，则椭圆C 的标准方程为__________． 16.已知函数()()12,f lnx ax a x g x x=+=-，且()()0f x g x ≤在定义域内恒成立，则实数a 的取值范围为__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中，角,,A B C 对应边分别为,,a b c . (1)若ABC 的面积S满足222,4c a b c a +=+==且b c >，求b 的值；(2)若3a A π==且ABC 为锐角三角形.求ABC 周长的范围.18.如图，已知四边形ABCD等腰梯形，BDEF 为正方形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，//,1AD BC AD AB ==，60ABC ∠=︒.(1)求证:平面CDE ⊥平面BDEF ；(2)点M 为线段EF 上一动点，求BD 与平面BCM 所成角正弦值的取值范围. 19.过点()0,2P 的直线与抛物线2:4C x y =相交于,A B 两点.(1)若2AP PB =，且点A 在第一象限，求直线AB的方程；(2)若,A B 在直线2y =-上的射影分别为11,A B ，线段11A B 的中点为Q ， 求证1//BQ PA . 20.设函数()()3211232xf x ex kx kx =--+. (1)若1k =，求()f x 的单调区间；(2)若()f x 存在三个极值点123,,x x x ，且123x x x <<，求k 的取值范围，并证明:1 3 22x x x >+.21.“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.每次考试过后，考生最关心的问题是:自己的考试名次是多少?自已能否被录取?能获得什么样的职位? 某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名，其中275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.(一般地，对于一次成功的考试来说，考试成绩应服从正态分布. )考试后考试成绩的部分统计结果如下: 考试平均成绩是180分，360分及其以上的高分考生30名. (1)最低录取分数是多少?(结果保留为整数)(2)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位?若不能被录取，请说明理由.参考资料:(1)当2~(,)X N μσ时，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N .(2)当()~0,1Y N 时， 2.17()0.985P Y ≤≈， 1.280.900, 1.()09()0.863P Y P Y ≤≈≤≈，1.04()0.85P Y ≤≈.请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡.上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.22.在极坐标系中，已知圆的圆心6,3C π⎛⎫⎪⎝⎭，半径3r =，Q 点在圆C 上运动.以极点为直角坐标系原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系. （1）求圆C 的参数方程；（2）若P 点在线段OQ 上，且:2:3OP PQ =，求动点P 轨迹的极坐标方程. 23.设函数()211f x x x =-++.(1)画出()y f x =的图象；(2)若不等式()1f x a x >-+对x ∈R 成立，求实数a 取值范围.。