北师大版九年级数学上册--第一单元 1.2矩形的性质与判定练习题(无答案)
1.2矩形的性质与判定练习题
一、选择题
1．如图，矩形ABCD中，BC＝4，AB＝3，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于
点E，FA⊥AE，交CB延长线于点F，则EF的长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．
2．下列图形是用矩形纸片来折出阴影部分为等腰三角形，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，矩形ABCD面积为40，点P在边CD上，PE上AC，PF⊥BD，垂足分别为E，
F．若AC＝10，则PE+PF
＝（ ）
A．4 B．5 C．8 D．10
4．如图所示，在长方形ABCD的对称轴l上找点P，使得△PAB，△PBC，△PDC，△
PAD
均为等腰三角形，则满足条件的点P有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．1个
5．如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连结AE，如果∠ADB＝30°，则∠
E
的度数是（ ）
A．45° B．30° C．20° D．15°
6．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，O为对角线AC的中点，点P，Q分别从A和
B两点同时出发，在边AB和BC上匀速运动，并且同时到达终点B，C，连接PO，QO
并延长分别与CD，DA交于点M，N，在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变
化情况是（ ）
A．一直增大 B．一直减小
C．先减小后增大 D．先增大后减小
二、填空题
7．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，
PF
⊥AC于F，M为EF中点，则AM的最小值为 ．
8．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为E，ED＝3BE，
则∠AOB的度数为 ．
9．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、CD上的点，S△ABE＝5，S△ADF＝4，S△CEF＝3，
那么矩形ABCD的面积是 ．
三、解答题
10．如图，已知矩形OABC的一个顶点B的坐标是（4，2），反比例函数y＝（x＞0）
的图象经过矩形的对称中心E，且与边BC交于点D．
（1）求反比例函数的解析式和点D的坐标；
（2）若过点D的直线y＝mx+n将矩形OABC的面积分成3：5的两部分，求此直线的
解析式．
11．若从矩形一边上的点到对边的视角是直角，则称该点为直角点．例如，如图的矩形
ABCD
中，点M在CD边上，连AM，BM，∠AMB＝90°，则点M为直角点．
（1）若矩形ABCD一边CD上的直角点M为中点，问该矩形的邻边具有何种数量关系？
并说明理由；
（2）若点M，N分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，且AB＝4，BC＝，求
MN
的长．
12．如图，四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，
点Q在矩形内．求证：
（1）∠PBA＝∠PCQ＝30°；
（2）PA＝PQ．
13．如图，矩形ABCD中，点E、F分别在AB、BC上，△DEF为等腰直角三角形，∠
DEF
＝90°，AD+CD＝10，AE＝2，求AD的长．
14．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点
F
．
（1）求证：AB＝CF；
（2）当BC与AF满足什么数量关系时，四边形ABFC是矩形，并说明理由．
北师大版九年级数学上册1.2.1矩形的性质与判定课件(共23张PPT)
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角 是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
生活中的实例
分组讨论 探究新知
问题1： 既然矩形是平行四边形,那么它具有平行四 边形的哪些性质？
性质
边
角
对角线 对称性
矩形
对边平行 且相等
对角相等
对角线互相 中心对称 平分 图形
问题2
例1：如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O， ∠AOD=120°，AB=2.5cm，求矩形对角线的长。
A
D
O
B
C
你还有其他解法吗？
反馈练习二
1. 下面性质中，矩形不一定具有的是 [ D ]
A．对角线相等 C．是轴对称图形
B．四个角都相等 D．对角线垂直
2. 如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC与 BD相交于点O，AB=6,OA=4.求BD与AD的长.
矩形是特殊的平行四边形
公平,因为OA=OC=OB=OD
当矩形的大小不断变化时，发现的结论是否仍然成立？
（2）AC = BD
公平,因为OA=OC=OB=OD （2）在运动过程中四边形不变的是什么？
这是矩形所
矩形的四个角都是直角.
O
特有的性质
生活链接---投圈游戏
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一
B
C
O
B
C
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这个结 论对于所有直角三角形都成立。
反馈练习一
已知△ABC是Rt△,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线. (1)若BD=3㎝,则AC＝_6____㎝; (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝__1_0__㎝,BD＝__5___ ㎝.
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1-3正方形的性质与判定形》同步练习题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册《1.3正方形的性质与判定形》同步练习题（附答案）一．选择题1．下列说法不正确的是（）A．对角线互相垂直的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（）A．当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°B．当平行四边形ABCD是菱形时，AB⊥BCC．当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BDD．当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝AC3．如图，在正方形ABCD中，点E在对角线BD上，连接AE，EF⊥AE于点E，交DC于点F，连接AF，已知BC＝4，DE＝3，则△AEF的面积为（）A．4B．5C．10D．54．如图，正方形ABCD中，点F为AB上一点，CF与BD交于点E，连接AE，若∠BCF ＝20°，则∠AEF的度数（）A．35°B．40°C．45°D．50°5．如图，正方形ABCD的边长为7，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝4，则四边形EFGH的面积为（）A．20B．25C．30D．356．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（）A．B．C．D．7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（）A．2.4B．3.4C．D．8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（）A．B．C．2D．310．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在F A上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为．12．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD 边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为．13．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为．14．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是．15．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为．三．解答题16．如图，正方形ABCD中，AB＝6，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF ⊥ED交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFM，连接CM．（1）求证：矩形DEFM是正方形；（2）求CE+CM的值．17．如图，在Rt△ABC中，两锐角的平分线AD，BE相交于O，OF⊥AC于F，OG⊥BC 于G．（1）求证：四边形OGCF是正方形．（2）若∠BAC＝60°，AC＝4，求正方形OGCF的边长．18．如图，已知点E是正方形ABCD的边CD上一点，点F是CB的延长线上一点，连接AF，且EA⊥AF．（1）求证：DE＝BF；（2）若AH平分∠F AE交线段BC上一点H，连接EH，请判断线段DE、BH、HE三者存在怎样的数量关系？并加以证明．19．如图，点G在正方形ABCD的边CD上，且四边形CEFG也是正方形，连接BG，DE，AF，取AF的中点M，连接CM．求证：（1）BG＝DE；（2）CM＝AF．20．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于E，连接CD，BE．（1）求证：CE＝AD；（2）当D为AB中点时，四边形BECD是什么特殊四边形？说明你的理由；（3）在满足（2）的条件下，当△ABC满足什么条件时，四边形BECD是正方形？（不必说明理由）21．如图，四边形ABCD是菱形，DE∥AC，CE∥BD．（1）求证：四边形OCED是矩形．（2）若∠ABC＝60°，AB＝2，求矩形OCED周长．（3）当∠ABC＝°时，四边形OCED是正方形．参考答案一．选择题1．解：A、对角线互相垂直的矩形是正方形，故选项A不符合题意；B、对角线相等的菱形是正方形，故选项B不符合题意；C、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项C不符合题意；D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故选项D符合题意．故选：D．2．解：A、当平行四边形ABCD是矩形时，∠BAC＝90°，不符合题意；B、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；C、当平行四边形ABCD是正方形时，AC＝BD，符合题意；D、当平行四边形ABCD是菱形时，AB＝BC，不符合题意；故选：C．3．解：过E作GH∥AD交AB于G，交DC于H，如图：，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABD＝∠BDC＝45°，AB＝CD＝BC＝4，∴△BGE、△DHE是等腰直角三角形，BD＝BC＝4，∴EH＝DE＝×3＝3，BE＝BD﹣DE＝4﹣3＝，∴BG＝GE＝BE＝1，∴AG＝AB﹣BG＝3＝EH，∴AE＝＝＝，∵AE⊥EF，∴∠AEG＝90°﹣∠FEH＝∠EFH，∴△AGE≌△EHF（AAS），∴AE＝EF＝，∴△AEF的面积为AE•EF＝××＝5，故选：B．4．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°，BC＝BA，∠ABE＝∠CBE＝45°，在△ABE和△CBE中，，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE＝∠BCE＝20°，∵∠ABC＝90°，∠BCF＝20°，∴∠BFC＝180°﹣∠ABC﹣∠BCF，＝180°﹣90°﹣20°＝70°，∵∠BFC＝∠BAE+∠AEF，∴∠AEF＝∠BFC﹣∠BAE＝70°﹣20°＝50°，故选：D．5．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG．在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG（SAS），∴EH＝FE＝GF＝GH，∠AEH＝∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∴∠BEF+∠AEH＝90°，∴∠HEF＝90°，∴四边形EFGH是正方形，∵AB＝BC＝CD＝DA＝7，AE＝BF＝CG＝DH＝4，∴AH＝BE＝DG＝CF＝3，∴EH＝FE＝GF＝GH＝＝5，∴四边形EFGH的面积是：5×5＝25，故选：B．6．解：如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A．7．解：如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．∴EF的长为3.4．故选：B．8．解：延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠P AQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠P AQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝，∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A．9．解：如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A．10．解：将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C．二．填空题11．解：延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3，作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：912．解：延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC，∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝，∴MH＝3﹣＝，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故答案为：．13．解：如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+BF＝AF+BF，作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，∴AF＝FH＝AE，∴AE+BF＝FH+BF，∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，∴BH＝＝＝5，故答案为：5．14．解：如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2，∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．15．解：连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD，在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD，∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝，∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1．三．解答题16．解：（1）如图，作EG⊥CD于G，EH⊥BC于H，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ACB＝∠ACD．∵EG⊥CD，EH⊥BC，∴EG＝EH，∵∠EGC＝∠EHC＝∠BCD＝90°，∴四边形EGCH是矩形，∴∠GEH＝90°．∵四边形DEFM是矩形，∴∠DEF＝90°．∴∠DEG＝∠FEH．∵∠EGD＝∠EHF＝90°，∴△EGD≌△EHF（ASA），∴ED＝EF．∴矩形DEFM是正方形；（2）∵四边形DEFM是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DE＝DM，AD＝CD，∠ADC＝∠EDM＝90°．∴∠ADE＝∠CDM．∴△ADE≌△CDM（SAS），∴AE＝CM．∴CE+CM＝CE+AE＝AC＝＝＝6．17．（1）证明：过O作OH⊥AB于H点，∵OF⊥AC于点F，OG⊥BC于点G，∴∠OGC＝∠OFC＝90°．∵∠C＝90°，∴四边形OGCF是矩形．∵AD，BE分别是∠BAC，∠ABC的角平分线，OF⊥AC，OG⊥BC，∴OG＝OH＝OF，又四边形OGCF是矩形，∴四边形OGCF是正方形；（2）解：在Rt△ABC中，∵∠BAC＝60°，∴∠ABC＝90°﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∴AC＝AB，∵AC＝4，∴AB＝2AC＝2×4＝8，∵AC2+BC2＝AB2，∴BC＝＝4，在Rt△AOH和Rt△AOF中，，∴Rt△AOH≌Rt△AOF（HL），∴AH＝AF，设正方形OGCF的边长为x，则AH＝AF＝4﹣x，BH＝BG＝4﹣x，∴4﹣x+4﹣x＝8，∴x＝2﹣2，即正方形OGCF的边长为2﹣2．18．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，∵EA⊥AF，∴∠EAF＝90°，∴∠F AB+∠BAE＝90°，∠DAE+∠BAE＝90°，∴∠F AB＝∠DAE，在△BAF和△DAE中，，∴△BAF≌△DAE（ASA），∴DE＝BF；（2）解：DE+BH＝HE，理由如下：由（1）知△BAF≌△DAE，∴AF＝AE，∵AH平分∠F AE，∴∠F AH＝∠EAH，在△F AH与△EAH中，，∴△F AH≌△EAH（SAS），∴FH＝EH，∴DE+BH＝HE．19．（1）证明∵四边形ABCD，四边形CEFG都是正方形，∴BC＝CD，CG＝CE，在Rt△BGC和Rt△DEC中，∴Rt△BGC≌Rt△DEC（HL），∴BG＝DE，（2）连接AC，FC，∴∠ACD＝∠FCD＝45°，∠ACF＝90°，∴△ACF为直角三角形，又∵M是AF的中点，∴CM＝AF．20．（1）证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB，∴AC∥DE，∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形，∴CE＝AD；（2）解：四边形BECD是菱形，理由是：∵D为AB中点，∴AD＝BD，∵CE＝AD，∴BD＝CE，∵BD∥CE，∴四边形BECD是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB中点，∴CD＝BD，∴四边形BECD是菱形；（3）解：当∠A＝45°时，四边形BECD是正方形，理由：∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，由（2）可知，四边形BECD是菱形，∴∠ABC＝∠CBE＝45°，∴∠DBE＝90°，∴四边形BECD是正方形．21．（1）证明：∵DE∥AC，CE∥BD，即DE∥OC，CE∥OD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠DOC＝90°，∴四边形OCED是矩形；（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOB＝90°，∠ABO＝ABC，∵∠ABC＝60°，∴∠ABO＝30°，∵AB＝2，∴AO＝AB＝1，OB＝AB＝，∵OD＝OB＝，OC＝OA＝1，∴矩形OCED周长＝2（OD+OC）＝2+2；（3）当∠ABC＝90°时，四边形OCED是正方形，∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是正方形，∴AC＝BD，∴OD＝OC，∵四边形OCED是矩形，∴四边形OCED是正方形，故答案为：90．。
九年级上册数学(北师大版)第一章1.2矩形的性质与判定公开课PPT课件
知识小结
两组对边 四边形 分别平行
平行
一个角
四边形 是直角
矩形
四边形集合
平行四边形集合
矩形集合
深入探究
如果四边形ABCD的对角线AC=BD,
这样的四边形是不是矩形?
A
D
B
AC=BD C
都 不
A
D
是 矩
AC=BD
形
B
C
7
知识探究
如果一个平行四边形的对角线变成相等呢？
A
D
A
D
O
O
B
C
B
C
将AC同时向两边拉长，使AC=BD
∴AD∥BC,AB∥CD.
B
C
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
矩形的判定方法：
有三个角是直角的四边形是矩形 。
A
几何语言：
∵ ∠A=∠B=∠C=90° ∴四边形ABCD是矩形
B
D C
16
知识小结
四边形
三个角 是直角
四边形集合 平行四边形集合
矩形集合
矩形
归纳小结 矩形的三种判定方法
有两个角是直角 的 四边形是矩形吗？
有三个角是直角
C
C
D
C
D
D
A
B
A
B
A
B
(有一个角是直角) (有二个角是直角) (有三个角是直角)
13
情境一：李芳同学用“边—
—直角、边——直角、边—— 直角、边”这样四步，画出了 一个四边形，她说这就是一个 矩形，她的判断对吗？为什么？
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形 。
随堂练习
九年级上册-初中数学北师大【新课标】1.2.3矩形的性质与判定 课件(共19张PPT)
∵AE⊥BD ，
A
D
∴∠BAE ＝90°－∠EAD ＝∠ADE．
∴∠ADE ＝∠DAO ＝ 22.5°,
则∠EAO ＝ 67.5°－22.5°＝ 45°．
O
B
E
C
新知讲解
例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为∠BAC 的平分线，AN 为△ABC 外
角∠CAM 的平分线，CE⊥AN，垂足为 E. 求证：四边形 ADCE 是矩形.
C．
D．8
）
课堂练习
3.如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若
75
∠CAE＝15°，则∠BOE＝____度．
4．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点A，B分别在
y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那
么点C的坐标为 (1+ ，2)．
1.2.3矩形的性质与判定
北师版 九年级上册
教学目标
1.掌握矩形的性质及判定方法；
2.会运用矩形的性质及判定方法进行计算和证明；
3.矩形的性质和判定方法与其他有关知识的综合运用.
复习回顾
1.矩形有什么性质？
2.怎样判定一个四边形是不是矩形？
两组对边分别平行且相等
有一个角是直角的平行四边形
四个角都是直角
∴∠ADB = 90°-∠ABO = 90°- 60°= 30°.
∴AE
= AD
= ×6
= 3.
变式训练
如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O， 过点 A 作
BD 的垂线，垂足为 E. 已知∠EAD=3∠BAE， 求∠EAO 的度数.
1.2矩形的性质与判定-九年级上册初三数学(北师大版)
1.讨论主题：学生将围绕“矩形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与矩形相关的问题，如矩形的性质在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用直尺和量角器测量矩形物品的边长和角度，验证矩形的性质。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
-空间观念的培养：对于一些空间想象力较弱的学生，理解矩形的空间结构可能会是一个难点。
举例解释：
-在证明矩形的性质时，如对角线互相平分，需要引导学生运用之前的平行四边形性质和全等三角形的判定，这对于学生的逻辑推理能力是一个挑战。
-在判定矩形时，学生可能会对“两组对边分别平行且相等”的条件理解不深，需要通过具体例题和变式练习来帮助学生突破这个难点。
3.提升数学建模素养：结合实际生活中的矩形实例，让学生运用所学知识构建数学模型，解决实际问题，提高数学建模素养。
4.增强空间观念：通过对矩形性质和判定的学习，培养学生的空间想象力和空间观念，为后续几何学习打下基础。
5.培养学生的团队协作和交流能力：在小组讨论和分享环节，鼓励学生积极参与，学会倾听他人意见，提高团队协作和交流表达能力。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是四边形中有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，如建筑、设计等领域。
北师大版九年级数学上1.2 矩形的性质与判定 (共39张PPT)
2.明确定理： 直角三角形性质定理：直角三角形斜边上的
中线等于斜边的一半.
推理格式：在△ABC中， ∵∠ABC=90°，AO=CO， BO 1 AC.
2
3.定理证明
D
思路：（1）造全等：
延长BO至点D，使OD=OB，连接AD.
先证△BOC≌△DOA（SAS），
解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA=OB=AB=4. ∴OA=OC=OB=OD=4. ∴AC=BD=2OA=2×4=8.
∴□ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
∴∠ABC=90°（矩形的四个角都是直角）. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AB2 + BC 2 = AC 2 ,
• 9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.9.821.9.8Wednesday, September 08, 2021 • 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。10:15:0210:15:0210:159/8/2021 10:15:02 AM • 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.9.810:15:0210:15Sep-218-Sep-21 • 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。10:15:0210:15:0210:15Wednesday, September 08, 2021
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∟
CAD = 1 BAC，CAN = 1 ∠CAM.
北师大课标版初中数学九年级上册1.2矩形的性质与判定(共15张PPT)
∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°
对角线的性质：
AO=CO,BO=DO AC=BD
▪9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021 ▪10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 2:07:36 AM ▪11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/52021/9/52021/9/5Sep-215-Sep-21 ▪12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/52021/9/52021/9/5Sunday, September 05, 2021
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 ▪14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 ▪15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 ▪16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 ▪17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5
新北师大版九年级数学上册《矩形的性质与判定(三)》课件
第2节 矩形的性质与判 定（三）
复习导入
1.如图1，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已
知∠AOD= 120°，AB=2.5cm，则∠DAO=
，
AC=
cm，S矩形ABCD=
.
2. 如图2，四边形ABCD是平行四边形，添加一
个条件
，可使它成为矩形。
例题
例3 如图1-14，在矩形ABCD中，AD=6，对角 线AC与BD交于点O，AE⊥BD，垂足为E， ED=3BE.求AE的长.zx xk
的长.
1
即 △ABO是等边三角形.
2
∴∠ABO=60°. zx xk
Байду номын сангаас
∴∠ADB=90°-∠ABO=30°.
在Rt△AED中，
∵∠ADB=30°，
你还∴有AE其= 他12 的AD解= 法12 吗×？6=和3.同学交流
例题
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC， AD为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E. 求证：四边形ADCE是矩形.
证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，
∴∠CAD= 1 ∠BAC，∠CAN= 1 ∠CAM.
2
2
∴∠DAE=∠CAD+∠CAN
=
1 2
（∠BAC+∠CAM）
= 1 ×180°
2
=90°.
例题
例4 如图1-15，在△ABC中，AB=AC，AD 为∠BAC的平分线，AN为△ABC外角 ∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.
（1）求证：四边形EFGH是平行四边形；
（2）当四边形ABCD满足一个什么条件时， 四边形EFGH是矩形？并证明你的结论。
专题02矩形的性质与判定(4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法)(原卷版)-初中数学9年级上册
专题02矩形的性质与判定（4个知识点9种题型1个易错点中考4种考法）【目录】倍速学习五种方法【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义知识点2：矩形的性质（重难点）知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质（重点）知识点4：矩形的判定（重难点）【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数题型2：利用矩形的性质求边的长度题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用题型4：利用矩形的性质证明题型5：矩形的判定题型6：矩形的实际应用题型7：矩形中的折叠问题题型8：计算矩形中阴影部分面积题型9：矩形中的动态问题【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用考法2矩形的判定考点3直角三角形斜边上的中线考法4矩形的性质与判定【方法五】成果评定法【知识导图】【倍速学习五种方法】【方法一】脉络梳理法知识点1：矩形的定义1.定义：有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形．注意：矩形的定义既是矩形的基本性质，也是判定矩形的基本方法．知识点2：矩形的性质矩形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质．(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的两条对角线相等．注意：(1)矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形．过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分．(2)矩形也是轴对称图形，有两条对称轴(分别是通过对边中点的直线)．对称轴的交点就是对角线的交点(即对称中心)．知识点3：直角三角形斜边上的中线的性质在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半．知识点4：矩形的判定矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形．矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形．【方法二】实例探索法题型1：利用矩形的性质求角的度数例1.如图．矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3．则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6题型2：利用矩形的性质求边的长度例2．已知矩形ABCD的周长为16，AB＝5，则BC等于（）A．3B．5C．6D．11题型3：直角三角形斜边上的中线的性质应用例3.如图，BD、CE是△ABC不同边上的高，点G、F分别是BC、DE的中点，试证明GF⊥DE．例4.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为E．求证：∠EBC＝∠A．题型4：利用矩形的性质证明例5.如图所示，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE AC⊥⊥于点E，CF BD 于点F，求证：BE=CF．A B CDEF O 例6.已知：若从矩形ABCD 的顶点C 作BD 的垂线交BD 于E ，交∠BAD 的平分线于F ．求证：△CAF 是等腰三角形．G例7.已知：矩形ABCD 中，延长BC 至E ，使BE =BD ，F 为DE 中点，连接AF 、CF ．求证：AF ⊥CF ．A B CDE F题型5：矩形的判定例8.已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥AN ，垂足为点E ．求证：四边形ADCE为矩形；例9.如图，在△ABC中，O是AC上的任意一点（不与点A、C重合），过点O平行于BC的直线l分别与∠BCA、∠DCA的平分线交于点E、F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论．（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．题型6：矩形的实际应用例10.如图是一个矩形桌子，一小球从P撞击到Q，反射到R，又从R反射到S，从S反射回原处P，入射角与反射角相等（例如∠PQA＝∠RQB等），已知AB＝8，BC＝15，DP＝3．则小球所走的路径的长为．题型7：矩形中的折叠问题例11.如图所示，在矩形ABCD中，BC=8，AB=6，把矩形折叠使点C与点A重合，求折叠EF的长．例12.如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，使点D落在点D'处，CD'交AB于点F，则重叠部分△AFC的面积为________．题型8：计算矩形中阴影部分面积例13.矩形ABCD中，横向阴影部分是长方形，另一部分是平行四边形，依照图中标注的数据，图中空白部分的面积为．题型9：矩形中的动态问题例14如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，，点P是AD边上的一个动点，连接BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是．例15．如图，在△ABC中，AB＝AC．将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF，其中点E在边BC上，DE 与AC相交于点O．（1）求证：△OEC为等腰三角形；（2）连接AE、DC、AD，当点E在什么位置时，四边形AECD为矩形，并说明理由．【方法三】差异对比法易错点1判断矩形的条件不足1.下列命题中真命题是（）A．对角线互相垂直的四边形是矩形B．对角线相等的四边形是矩形；C．四条边都相等的四边形是矩形；D．四个内角都相等的四边形是矩形；2.已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，那么下列结论中正确的是（）A．当AB=BC时，四边形ABCD是矩形⊥时，四边形ABCD是矩形B．当AC BDC．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当ABD CBD∠=∠时，四边形ABCD是矩形【方法四】仿真实战法考法1矩形性质的应用1．（2022•无锡）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．对边平行B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角互补2．（2022•西宁）矩形ABCD中，AB＝8，AD＝7，点E在AB边上，AE＝5．若点P是矩形ABCD边上一点，且与点A，E构成以AE为腰的等腰三角形，则等腰三角形AEP的底边长是．3．（2022•吉林）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD的中点，点F在对角线AC上，且AF＝AC，连接EF．若AC＝10，则EF＝．4．（2022•邵阳）已知矩形的一边长为6cm，一条对角线的长为10cm，则矩形的面积为cm2．5．（2022•鄂州）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF＝∠BDC、∠DCF＝∠ACD．（1）求证：DF＝CF；（2）若∠CDF＝60°，DF＝6，求矩形ABCD的面积．6．（2022•哈尔滨）已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AD上一点，连接BE，CE，OE，且BE＝CE．（1）如图1，求证：△BEO≌△CEO；（2）如图2，设BE与AC相交于点F，CE与BD相交于点H，过点D作AC的平行线交BE的延长线于点G，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中的四个三角形（△AEF除外），使写出的每个三角形的面积都与△AEF的面积相等．考法2矩形的判定7．（2022•聊城）要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是（）A．测量两条对角线是否相等B．度量两个角是否是90°C．测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等D．测量两组对边是否分别相等8．（2022•恩施州）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（）A．当t＝4s时，四边形ABMP为矩形B．当t＝5s时，四边形CDPM为平行四边形C．当CD＝PM时，t＝4sD．当CD＝PM时，t＝4s或6s9．（2022•陕西）在下列条件中，能够判定▱ABCD为矩形的是（）A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AB＝AC D．AC＝BD10．（2022•甘肃）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD∥BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是．11．（2022•巴中）如图，▱ABCD中，E为BC边的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，延长EC 至点G，使CG＝CE，连接DG、DE、FG．（1）求证：△ABE≌△FCE；（2）若AD＝2AB，求证：四边形DEFG是矩形．12．（2022•六盘水）如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAC，CF平分∠ACD．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是矩形？请写出证明过程．13．（2022•十堰）如图，▱ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点．（1）求证：BE＝DF；（2）设＝k，当k为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由．考点3直角三角形斜边上的中线14．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．415．（2022•杭州）如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A＝50°，∠ACE＝30°．（1）求证：CE＝CM．（2）若AB＝4，求线段FC的长．考法4矩形的性质与判定16．（2022•云南）如图，在平行四边形ABCD中，连接BD，E为线段AD的中点，延长BE与CD的延长线交于点F，连接AF，∠BDF＝90°．（1）求证：四边形ABDF是矩形；（2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积S．17．（2022•德阳）如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝2cm，过点D作BC的垂线，交BC的延长线于点H．点F从点B出发沿BD方向以2cm/s向点D匀速运动，同时，点E从点H出发沿HD方向以1cm/s向点D匀速运动．设点E，F的运动时间为t（单位：s），且0＜t＜3，过F作FG⊥BC于点G，连结EF．（1）求证：四边形EFGH是矩形；（2）连结FC，EC，点F，E在运动过程中，△BFC与△DCE是否能够全等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【方法五】成果评定法一、单选题1．（2023·河南平顶山·统考一模）下列叙述错误的是（）A．平行四边形的对角线互相平分B．矩形的对角线相等C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是矩形A．三角形B．矩形C．菱形D．梯形3．（2023·四川泸州·统考一模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点O 连接OE，若菱形ABCD的面积为16，4OA=，则OE的长为（）A．3B．2.54．（2023·安徽·校联考一模）如图，菱形连接OH，点M是边AD的中点，连接A．53B．855．（2023·安徽合肥·统考一模）如图，在矩形A ．BECS 二、填空题7．（2023·山东临沂·统考一模）如图，在长为半径画弧交AB 于点8．（2023·黑龙江哈尔滨·统考一模）如图，矩形连接BF ，过F 作CE 的垂线交CD 的长是___________．9．（2023·天津·校联考一模）如图，矩形为CE 的中点，90EOF ∠=11．（2023·山东泰安·统考一模）如图，一点，且P不与B、C重合．过P12．（2023·河南周口·统考二模）如图，在部，3PC=，D是AB的中点，连接13．（2023·四川成都·统考模拟预测）三、解答题Y中，点E是AD的中点，延长BE交CD的延长14．（2023春·江苏无锡·九年级统考期中）如图，在ABCD线于F．(1)求证：AEB DEF△≌△；(2)连接CE，当CE BF⊥时，若3AB=，求BC的长．15．（2023·浙江温州·模拟预测）规定：每个顶点都在格点的四边形叫做格点四边形．在106⨯的正方形网格中画出符合要求的格点四边形（设每个小正方形的边长为1）．(1)在图甲中画出一个以AB为边的平行四边形，且它的面积等于8；(2)在图乙中画出一个以AB为对角线的矩形，且它的周长为无理数．16．（2023·江苏扬州·统考一模）如图，已知点E是矩形ABCD中BC边的中点，连接AE．(1)分别在CD、AE边上求作点P、点D¢，使得点D关于AP的对称点D¢恰好落在线段AE上；（请保留作图痕迹，不需要写作法）(2)在（1）的条件下，若36AB=，30BC=，求CP．17．（2022秋·广东佛山·九年级校考阶段练习）如图，在ABCD⊥于点E，延长BC至点F，Y中，AE BC=，连接DF，AF与DE交于点O．使CF E(1)求证：四边形AEFD 为矩形；(2)若3AB =，2OE =，5BF =，求DF 的长．18．（2023春·江苏南京·九年级统考期中）如图，O 为矩形ABCD 的对角线AC 的中点，过O 作EF AC ⊥分别交AD ，BC 于点E ，F ．(1)求证：四边形AFCE 是菱形．(2)若6AB =，12BC =，求菱形AFCE 的面积．19．（2023·河南南阳·统考一模）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．(1)如图1，若F 为AD 边的中点，6AB BC ==，点G 与点H 重合，则ECF ∠＝(2)如图2，若F 为AD 的中点，CG 平分ECF ∠，21AB =+，2BC =，求ECF ∠的度数及秒的速度运动，P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒．问：(1)求t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？(2)四边形ABQP 可能是矩形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由；(3)四边形PQCD 可能是菱形吗？如果可能，求出t 的值；如果不可能，说明理由．21．（2023·全国·九年级专题练习）【问题发现】（1）如图①，在边长为5的等边ABC 中，点D ，E 分别是BC ，AB 边上一点，且22BD BE ==，点P(1)直接写出B、C、D各点的坐标：B、C、D；P，10)，点E，M在四边形ABCD的边上，且E在第二象限．若(2)如图1，(3等腰直角三角形，请直接写出点E的坐标，并对其中一种情况计算说明；(3)如图2，F为y轴正半轴上一动点，过F的直线FH∥x轴，BH∠=∠，F在运动中FG的长度是否发生变化？若变化，求出变化范围；若不变，求出定的点，且HGF FAB值．。
第2讲 矩形的性质与判定-九年级数学上册同步精品讲义(北师大版)
第2讲 矩形的性质与判定 1. 理解矩形、概念和判定定理；2．灵活运用矩形、性质进行证明和计算． 知识点01 矩形的性质（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）由矩形的性质，可以得到直角三角形的一个重要性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 【知识拓展】例1.如图，已知矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，F 是AB 上的一点，EF EC ⊥，且EF EC =．（1）求证：AEF DCE △≌△．（2）若5cm DE =，矩形ABCD 的周长为38cm ，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）7cm【详解】解：（1）证明：∵EF ⊥CE ，∴∠FEC =90°，∴∠AEF +∠DEC =90°，而∠ECD +∠DEC =90°，∴∠AEF =∠EC D ．知识精讲目标导航在Rt△AEF和Rt△DEC中，∠FAE=∠EDC=90°，∠AEF=∠ECD，EF=E C．∴△AEF≌△DCE（AAS）．（2）∵由（1）可得△AEF≌△DCE．∴AE=C D．∴AD=AE+5．又∵矩形ABCD的周长为38cm，∴2（AE+AE+5）=38cm．∴AE=7cm．答：AE的长为7cm．知识点02 矩形的判定（1）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（2）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【知识拓展】例2．已如，如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B 作AD的平行线，两线交于点E，连接DE交AB于点O．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）若BC=8，AO=52，求四边形AEBC的面积．【答案】（1）见解析；（2）18 【详解】（1）∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是平行四边形．∵AB =AC ，AD 是BC 边的中线，∴AD ⊥BC ．即∠ADB =90°．∴四边形ADBE 为矩形．（2）∵在矩形ADBE 中， AO =52， ∴DE =AB = 5．∵D 是BC 的中点，∴AE=DB=4， ∴根据勾股定理223AD AB DB =-= ，∴1(84)3182AEBC S =+⨯=四边形． 知识点03 矩形折叠问题【知识拓展】例3．如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，FC 交AD 于E ．（1）求证：AFE CDE ≌；（2）若6AB =，8BC =，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）见解析；（2）754【详解】解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，∴AB =CD ，∠B =∠D =90°，∵将矩形ABCD 沿对角线AC 翻折，点B 落在点F 处，∴∠F =∠B ，AB =AF ，∴AF =CD ，∠F =∠D ，在△AEF 与△CDE 中，F D AEF CED AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE CDE ≌（AAS ）；（2）∵6AB =，8BC =，∴CF =BC =8，AF =CD =AB =6，∵AFE CDE ≌，∴AE =CE =8-DE ，∴在Rt △CDE 中，DE 2+CD 2=CE 2，即DE 2+62=（8-DE ）2， ∴DE =74， ∴AE =254， ∴图中阴影部分的面积=11257562244AE CD ⋅=⨯⨯=． 知识点04与矩形有关的面积问题【知识拓展】例4.[关注数学文化]数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．（以上材料来源于《古证复原的原理》、《吴文俊与中国数学》和《古代世界数学泰斗刘徽》）（1）请根据如图1完成这个推论的证明过程，证明：S 矩形NFGD ＝()ADC ANF FGC S S S +△△△﹣，S 矩形EBMF ＝ABC S ﹣（ + ）．易知，ADC ABC S S △△＝， ＝ ， ＝ ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF（2）如图2，点P 是矩形ABCD 的对角线BD 上一点，过点P 作EF ∥BC 分别交AB ，CD 于点E 、F ，连接PA ，PC ．若PE ＝5，DF ＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）AEF FMC ANF AEF FMC FGC SS S S S S ,,,,,；（2）20 【详解】 （1）解：S 矩形NFGD ＝S △ADC ﹣（S △ANF +S △FGC ），S 矩形EBMF ＝S △ABC ﹣（S △AEF +S △FMC ）．易知，S △ADC ＝S △ABC ，S △ANF ＝S △AEF ，S △FMC ＝S △FGC ．可得S 矩形NFGD ＝S 矩形EBMF ；故答案为：S △AEF ，S △FMC ；S △ANF ，S △AEF ，S △FMC ，S △FGC ；（2）解：作PM ⊥AD 于M ，交BC 于N ，如图2：则四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，∴PM ＝DF ＝4，同（1）得：S 矩形AEPM ＝S 矩形CFPN ，∴S △AEP ＝S △AMP ，S △CFP ＝S △CNP ，∴S △AEP ＝S △CFP ＝12×PE ×PM ＝12×5×4＝10， ∴图中阴影部分的面积S 阴＝10+10＝20．知识点05直角三角形斜边上中线【知识拓展】例5.如图，在四边形ACBD 中，90ACB ∠=︒，AB AD =，E 是BD 中点，过点E 作//EF AD 交AB 于点F ，连接CF ．请写出关于边、角的两条正确结论（不包括已知条件）：①_________；②_________．【答案】答案不唯一，如：BEF BDA ∠=∠ EF CF =【详解】解：∵E 是BD 中点，//EF AD∴F 是AB 的中点，EF 为△ABD 的中位线，BEF BDA ∠=∠ ∴12EF AD = ∵AB AD = ∴12EF AB =在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，∴AB 是Rt △ABC 的斜边∴12CF AB = ∴EF CF =故答案为：BEF BDA ∠=∠；EF CF =1.如图所示，菱形PQRS 内接于矩形ABCD ，使得点P 、Q 、R 、S 分别为边AB 、BC 、CD 、DA 上的点．已知PB =15，BQ =20，PR =30，QS =40．求矩形ABCD 的周长．能力拓展【难度】★★ 【答案】5672． 【解析】∵CD AB ∥，∴CRP APR ∠=∠∵RQ SP ∥，∴QRP SPR ∠=∠∴QRP CRP SPR APR ∠-∠=∠-∠，即QRC APS ∠=∠∵QRC APS ∠=∠，C A ∠=∠，RQ SP =∴CQR ASP ≌△△∴CR AP CQ AS ==，也可证得：DRS BPQ ≌△△，∴PB DR BQ SD ==，设y AP x AS ==，∵PR 与SQ 互相垂直平分，这样得到8个直角三角形，且其中6个三角形的边长分别为15、20、25，而x AS CQ ==，y AP CR ==，则直角△ASP 和直角△CQR 的三边分别为25、、y x ，矩形面积等于8个直角三角形面积之和．所以()()xy y x 21215202161520⨯+⨯⨯⨯=++， 则有12043=+y x 而62522=+y x ，解得：20=x ，15=y 或544=x ，5117=y 当20=x 时，40=+=BQ x BC 与30=PR 不合，所以舍去；∴矩形的周长为()567220152=+++y x ． 【总结】考察特殊的平行四边形的性质及面积法的综合应用． 2.将矩形ABCD 的四个角向内折起，恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH ，若EH =3，EF =4，求ADAB 的值．【难度】★★★【答案】2425． 【解析】由翻折的性质可得：MEH AEH ∠=∠，BEF MEF ∠=∠．∵︒=∠+∠+∠+∠180BEF MEF MEH AEH ，∴︒=∠90HEF ．同理可证得：︒=∠90HGF ，︒=∠90EHG ．∴四边形EFGH 是矩形，∴FG EH =．∵︒=∠+∠90BEF AEH ，︒=∠+∠90AHE AEH ，∴BEF AHE ∠=∠．∵︒=∠+∠90BFE BEF ，︒=∠+∠90CFG BFE ，∴CFG BEF ∠=∠，∴CFG AHE ∠=∠．∵C A ∠=∠，FG EH =，CFG AHE ∠=∠，∴CFG AHE ≌△△， ∴FN CF AH ==．又∵HN HD =，∴HF AD =在直角△HEF 中，43==EF EH ，，由勾股定理可得：5=HF ．∵EM HF EF HE ⋅=⋅，∴512=EM 又∵EB EM AE ==， ∴5242==EM AB ， ∴24525245AD AB ==：：：． 【总结】考察折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的运用，综合性较强，注意分析．题组A 基础过关练一、单选题1．（2021·广东肇庆市·九年级一模）如图，在矩形ABCD 中，点E 在CD 上，连接,45,1,AE BE DAE CBE AD ∠=∠=︒=、则ABE △的周长等于( )A ．6．B ．42C ．222D ．322【答案】C 【分析】由矩形的性质和45DAE CBE ∠=∠=︒可证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形，进而求得DE 、CE 、CD 的长，由矩形的性质和勾股定理分别求得AB 、AE 、BE 的长，即可求得ABE △的周长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，1AD =，∴90ADE ∠=︒，1BC AD ==，CD AB =，∵45DAE ∠=︒，∴45AED ∠=︒，即45DAE AED ∠=∠=︒，∴ADE 为等腰直角三角形，1DE AD ==，分层提分∴2222112AE AD DE =+=+=，同理得BCE 为等腰直角三角形，1CE BC ==，2BE =，∴2AB CD DE CE ==+=，∴ABE △的周长222222AE BE AB =++=++=+，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定与性质和勾股定理，解题的关键是证得ADE 和BCE 为等腰直角三角形．2．（2021·河北保定市·九年级一模）如图，证明矩形的对角线相等，已知：四边形ABCD 是矩形．求证：AC BD =．以下是排乱了的证明过程：①∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠．②∵BC CB =③∵四边形ABCD 是矩形④∴AC DB =⑤∴ABC DCB ∆∆≌．证明步骤正确的顺序是（ ）A ．③①②⑤④B ．②①③⑤④C ．③⑤②①④D ．②⑤①③④【答案】A 【分析】根据SAS 定理证明三角形全等，进而得出对应边相等.【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴AB CD =、ABC DCB ∠=∠∵BC CB =∴ABC DCB ∆∆≌∴AC DB =所以正确顺序为③①②⑤④故答案为A【点睛】本题考查了全等三角形的证明，理清证明过程是排序的关键.3．（2021·陕西西安市第三中学九年级期末）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）A ．中心对称图形B ．对边分别相等C ．对角线互相平分D ．对角线相等【答案】D【分析】根据矩形和菱形的性质进行判断即可得出答案．【详解】解：矩形具有而菱形不一定具有的性质是对角线相等，故选：D．【点睛】本题考查了矩形的性质和菱形的性质，能熟记矩形的性质和菱形的性质的内容是解此题的关键．4．（2021·重庆市育才中学九年级期末）下列命题是真命题的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形C．一组对边平行且相等的四边形是矩形D．对角线互相垂直平分的四边形是矩形【答案】B【分析】本题考查矩形的判定定理，牢记相关的内容即可选择出正确答案．【详解】A：有一个角是直角的四边形，有可能是直角梯形，选项不符合题意．B：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，选项符合题意．C：一组对边平行且相等的四边行是平行四边形，故选项不符合题意，D：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．故选项不符合题意，故选：B【点睛】本题考查矩形四边形的判定定理，要牢记相关的条件是解题的关键，学会去区别平行四边形，菱形，正方形以及其他非规则图形，是解题的关键．5．（2021·广东广州市·九年级二模）直角三角形的斜边长为10，则斜边上的中线长为（）．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得．【详解】解：直角三角形的斜边长为10，∴斜边上的中线长为1105 2⨯=，故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题关键．二、填空题6．（2021·河南九年级专题练习）如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．【答案】13 【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∵OM=2，∴DC=4，∵AD=BC=6，∴AC=22AD CD +=213，∴BO=12AC=13， 故答案为：13【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用，直角三角形斜边上中线的性质以及三角形的中位线的应用，解此题的关键是求出AC 的长．7．（2021·江苏南京市·九年级二模）如图，矩形ABCD 中，6AB =，8AD =，顺次连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点得到四边形EFGH ，那么四边形EFGH 的面积为____．【答案】24【分析】根据矩形的性质推出BF =AH ，BF ∥AH 得到平行四边形BFHA ，推出AB ∥HF ，AB =HF ，同理得到BC =EG ，BC ∥EG ，推出HF ⊥EG ，据此利用面积公式求解即可．【详解】解：连接HF、EG，∵矩形ABCD，∴BC∥AD，BC=AD，∵H、F分别为边DA、BC的中点，∴BF=AH，∴四边形BFHA是平行四边形，∴AB=HF=6，AB∥HF，同理BC=EG=8，BC∥EG，∵AB⊥BC，∴HF⊥EG，∴四边形EFGH的面积是12EG×HF=12×6×8=24．故答案为：24．【点睛】本题主要考查对矩形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和掌握，能求出HF、EG的长和HF⊥EG是解此题的关键．三、解答题8．（2021·新兴县环城中学九年级期中）如图,在□ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别为E,F.(1)求证:AE=CF.(2)求证:四边形BFDE为矩形.【分析】（1）由DE与AB垂直，BF与CD垂直，得到一对直角相等，再由四边形ABCD为平行四边形得到AD=BC，对角相等，利用AAS可得△ADE≌△CBF，由全等三角形的对应边相等即可得AE=CF；（2）由平行四边形的对边平行得到DC 与AB 平行，得到∠CDE 为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形即可．【详解】(1)∵DE ⊥AB,BF ⊥CD,∴∠AED=∠CFB=90°∵四边形ABCD 为平行四边形,∴AD=BC, ∠A=∠C,再在△ADE 和△CBF 中,AED CFB A CAD CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ADE ≌△CBF(AAS)，∴AE=CF.(2)∵四边形ABCD 为平行四边形,∴CD ∥AB,∴∠CDE+∠DEB=180°,∵∠DEB=90°,∴∠CDE=90°,∴∠CDE=∠DEB=∠BFD=90°,则四边形BFDE 为矩形.【点睛】本题考查矩形的判定, 全等三角形的判定与性质, 平行四边形的性质.9．（2021·河北唐山市·九年级期末）已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，CE ∥BD 交AD 的延长线于点E ，CE=AC ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）若AB=4，AD=3，求四边形BCED 的周长．【答案】（1）详见解析；（2）16.【分析】（1）根据已知条件推知四边形BCED是平行四边形，则对边相等：CE=BD，依据等量代换得到对角线AC=BD，则平行四边形ABCD是矩形；（2）通过勾股定理求得BD的长度，再利用四边形BCED是平行四边形列式计算即可得解．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AE∥BC．∵CE∥BD，∴四边形BCED是平行四边形．∴CE=BD．∵CE=AC，∴AC=BD．∴□ABCD是矩形．（2）解：∵□ABCD是矩形，AB=4，AD=3，∴∠DAB=90°，BC=AD=3，∴2222BD AB AD=+=+=．435∵四边形BCED是平行四边形，∴四边形BCED的周长为2（BC+BD）=2×(3+5)=16．故答案为（1）详见解析；（2）16.【点睛】本题考查矩形的判定，平行四边形的判定与性质，勾股定理，熟记性质是解题的关键．10．（2021·全国九年级专题练习）如图，四边形ABCD是矩形，过点D作DE∥AC，交BA的延长线于点E．求证：∠BDA =∠EDA．【分析】根据矩形的性质和平行线的性质即可得到结论．【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴ AC=BD，OA=12AC，OD=12BD，∴ OA=OD，∴∠CAD=∠BDA．∵DE∥AC，∴∠CAD=∠EDA，∴∠BDA =∠EDA【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，正确的识别图形是解题的关键．11．（2021·福建福州市·福州十八中九年级二模）如图，菱形ABCD的对角线,AC BD相交于点,O且//,//DE AC AE BD．求证：四边形AODE是矩形．【分析】根据菱形的性质得出AC BD⊥，再根据平行四边形的判定定理得四边形AODE为平行四边形，由矩形的定义得出四边形AODE是矩形．【详解】证明：四边形ABCD为菱形,AC BD∴⊥90,AOD∴∠=//,//,DE AC AE BD∴四边形AODE为平行四边形，∴平行四边形AODE是矩形．【点睛】本题考查了矩形的判定以及菱形的性质，还考查了平行四边形的判定，掌握菱形的判定方法是解题的关键．题组B 能力提升练一、单选题1．（2021·黑龙江齐齐哈尔市·九年级三模）下列条件中能判断一个四边形是菱形的是（）A．对角线互相平分且相等B．对角线互相垂直且相等C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角【答案】C【分析】根据菱形的判定定理逐项判断即可．【详解】解：A、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，不符合题意；B、对角线互相垂直且相等的四边形不一定是菱形，不符合题意；C、对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，符合题意；D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角的四边形不一定是菱形，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解答本题的关键．2．（2021·辽宁大连市·九年级二模）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，∠AOD＝60°，AD＝2，则矩形ABCD的面积是（）A．2 B．23C．43D．8【答案】C【分析】由矩形的性质得出∠ABC=90°，OA=OD，再证明△AOD是等边三角形，得出OA=AD，求出AC，然后根据勾股定理即可求出CD，进而得出矩形面积即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC =90°，OA =12AC ，OD =12BD ，AC =BD ， ∴OA =OD ，∵∠AOD =60°，∴△AOD 是等边三角形，∴OA =AD =2，∴AC =2OA =4，∴CD =22224223AC AD -=-=，∴矩形的面积=AD •CD =43；故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．3．（2021·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知，矩形ABCD 中，E 为AB 上一定点，F 为BC 上一动点，以EF 为一边作平行四边形EFGH ，点G ，H 分别在CD 和AD 上，若平行四边形EFGH 的面积不会随点F 的位置改变而改变，则应满足（ ）A ．4AD AE =B ．2=AD ABC ．2AB AE =D ．3AB AE = 【答案】C【分析】设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =，由于四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，所以AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，根据()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ，化简后得()2a c x bc -+，F 为BC 上一动点，x 是变量，()2a c -是x 的系数，根据平EFGH S不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，x 的系数为0，bc 为固定值，20a c -=，进而可得点E 是AB 的中点，即可进行判断．【详解】解：∵四边形EFGH 为平行四边形且四边形ABCD 是矩形，∴AEH CGF ≅△△，BEF DGH ≅△△，设AB a ，BC b =，BE c =，BF x =， ∴()2EFGH ABCD AEH EBF S S S S =-+△△ ()()11222ab a c b x cx ⎡⎤=---+⎢⎥⎣⎦ ()ab ab ax bc cx cx =---++ab ab ax bc cx cx =-++--()2a c x bc =-+∵F 为BC 上一动点，∴x 是变量，()2a c -是x 的系数，∵EFGH S 不会随点F 的位置改变而改变，为固定值，∴x 的系数为0，bc 为固定值，∴20a c -=，∴2a c =，∴E 是AB 的中点，∴2AB AE =，故选：C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，掌握矩形的性质是解决本题的关键．4．（2021·江苏南通市·九年级二模）如图1，四边形ABCD 中，//AB CD ，90B ∠=︒，AC AD =．动点Р从点B 出发，沿折线B A D C ---方向以a 单位/秒的速度匀速运动，在整个运动过程中，BCP 的面积S 与运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，则四边形ABCD 的面积是（ ）A ．75B ．80C ．85D ．90【答案】D【分析】先结合函数图象求出3,5AB a AD a ==，从而可得5AC a =，根据等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质可得26CD AB a ==，再利用勾股定理可得4BC a =，然后根据点P 运动到点D 时，利用三角形的面积公式可得a 2的值，最后根据直角梯形的面积公式即可得． 【详解】解：由函数图象可知，当3t =时，点P 运动到点A ；当8t =时，点P 运动到点D ， 3,(83)5AB a AD a a ∴==-=，AC AD =，5AC a ∴=，90B ∠=︒， 224BC AC AB a ∴=-=，//,90AB CD B ∠=︒，90BCD ∴∠=︒，即CD BC ⊥，如图，过点A 作AE CD ⊥于点E ，则四边形ABCE 是矩形，3CE AB a ∴==，,AC AD AE CD =⊥，26CD CE a ∴==（等腰三角形的三线合一），由函数图象可知，当点P 运动到点D 时，BCP 的面积为60，则1602BC CD ⋅=，即146602a a ⨯⋅=， 解得25a =， 则四边形ABCD 的面积是2364189022AB CD a a BC a a ++⋅=⋅==， 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的三线合一、矩形的判定与性质、从函数图象获取信息等知识点，读懂函数图象是解题关键．二、填空题5．（2021·江苏镇江市·炎黄外国语学校九年级月考）如图，矩形纸片ABCD 中，已知16AD =，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且6EF =，则AB 的长为__________．【答案】12【分析】先根据矩形的性质求出BC 的长，再由翻折变换的性质得出△CEF 是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF 的长，再在△ABC 中利用勾股定理即可求出AB 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，AD =16，∴BC =16，∵△AEF 是△AEB 翻折而成，∴BE =EF =6，AB =AF ，△CEF 是直角三角形，∴CE =16-6=10，在Rt △CEF 中，CF =2222106CE EF -=-=8，设AB =x ，在Rt △ABC 中，AC 2=AB 2+BC 2，即（x +8）2=x 2+162，解得x =12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．6．（2021·黑龙江佳木斯市·九年级三模）如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4BC =，E 为BC 中点，F 为CD 上一动点，则AF EF +的最小值为______．【答案】35【分析】作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，根据矩形的性质和勾股定理得出AM的值即可【详解】解：作点E关于点C的对称点M，连接AM交CD于点F，连接EF，则此时AF EF+的值最小，EF=MF；EC=MC，∴EF+AF=AM∵4BC=，E为BC中点，∴BE=CE=2，∴BM=6；在矩形ABCD中，3AB=，∴∠B=90°，∴22223536+===+A B BMM A；故答案为：35【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、两点之间线段最短等知识；正确的作出辅助线是解题的关键．7．（2021·宁夏银川市·九年级一模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0），C（0，4），M是OA的中点，点P在BC边上运动．当PO=PM时，点P的坐标为______．【答案】（2.5，4）【分析】过P点作PD⊥OA，垂足为D，根据M是OA的中点，求出OM＝5，又知PO＝PM，PD⊥OA，于是求出OD＝12OM＝2.5，P点的坐标即可求出．【详解】如图，过P点作PD⊥OA，垂足为D，∵M是OA的中点，故OM＝5，∵PO ＝PM ，PD ⊥OA ，∴OD ＝12OM ＝2.5， 故P 点坐标为（2.5，4），故答案为：（2.5，4）．【点睛】本题主要考查矩形的性质和等腰三角形的性质的知识点，解题的关键是根据题意作图，利用等腰三角形的性质求解．8．（2021·哈尔滨市第六十九中学校九年级三模）已知矩形ABCD ，点E 在AD 边上，DE AE >，连接BE ，将ABE △沿着BE 翻折得到BFE △，射线EF 交BC 于G ，若点G 为BC 的中点，1FG =，6DE =，则AE 的长______．【答案】1【分析】先设AE EF x ==，根据6DE =，1FG =，可得6AD x BC =+=，1EG x =+，再根据GEB GBE ∠=∠，可得EG BG =，进而得出方程612x x ++=，即可得到AE 的长． 【详解】解：设AE EF x ==， 6DE =，1FG =，6AD x BC ∴=+=，1EG x =+，又G 为BC 的中点，1622x BG BC +∴==， 由折叠可得，AEB GEB ∠=∠，由//AD BC ，可得AEB GBE ∠=∠，GEB GBE ∴∠=∠，EG BG ∴=，612x x +∴+=， 解得4x =，即4AE =，故答案为：4．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．9．（2021·浙江杭州市·九年级二模）如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝1，点E 、F 分别是AB 和CD 的中点，H 为BC 上的一点，现将△ABH 沿AH 折叠，使点B 落在直线EF 上的点G ．当△ADG 为等腰三角形时，AD ＝_______．【答案】133 【分析】分类考虑△ADG 为等腰三角形当DG=AG 时，利用矩形性质可得IG ＝AE ＝12AB ＝12，根据折叠性质可得AG ＝AB ＝1，结合勾股定理可求AI 3 当AG=DG 时利用折叠性质AD ＝AG ＝AB ＝1；当AD=AG 时； 由勾股定理EG 3AD ＝DG ＝x ，可得FG ＝x 3DG 2＝DF 2+GF 2，构造方程x 2＝14+（x ﹣322，可求AD 3 【详解】解：①AG ＝DG ，作GI ⊥AD ，∴I为AD中点，AD＝2AI，∵点E、F分别是AB和CD的中点，AB＝1，∴在矩形ABCD中，EF∥AD∥BC，即∠DAE＝∠AEF＝∠EFD＝∠ADF＝90°，四边形AEFD为矩形，∴IG＝AE＝12AB＝12，∵△ADG由△ABH沿AH折叠而成，∴AG＝AB＝1，∴AI2213 142AG AE-=-=，∴AD＝2AI3②AD＝AG，∴AD＝AG＝AB＝1，③AD＝DG，EG2213 14AG AE-=-=，设AD＝DG＝x，∴FG＝x3连接DG，∵DG2＝DF2+GF2，∴x2＝14+（x﹣32）2，化简得1﹣3x＝0，解得x＝33，∴AD＝33，故答案为：1或3或33．【点睛】本题考查等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理，掌握等腰三角形的分类思想，矩形性质，折叠性质，勾股定理是解题关键．10．（2021·湖北孝感市·九年级二模）如图，将矩形纸片ABCD（AD AB>）折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F．若3AB=，9BC=，则线段CE的最大值与最小值的和是_____．【答案】8【分析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF＝EC，又由GF//EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形；当F 与D重合时，CE取最小值，可得CE＝CD＝AB＝3；当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD//BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC，∴GF＝GE，∴GE ＝EC ，∴四边形CEGF 为平行四边形，∴四边形CEGF 为菱形；如图1，当F 与D 重合时，CE 取最小值，∴CE ＝CD ＝AB ＝3；如图2，当G 与A 重合时，CE 取最大值，由折叠的性质得AE ＝CE ，∵∠B ＝90°，∴AE 2＝AB 2＋BE 2，即C E 2＝32＋（9−CE ）2，∴CE ＝5，∴线段CE 的最小值为3，最大值为5，和为8故答案为：8．【点睛】本题考查了翻折变换−折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．11．（2021·安徽合肥市·九年级三模）如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，O 为AB 的中点，点E 在BC 上，且CE AC =，15BAE ∠=︒，则COE ∠的大小为______．【答案】75°【分析】根据等腰直角三角形的性质得到45CAE AEC ∠=∠=︒，根据直角三角形的性质得到12CO BO AO AB ===，得到AOC △为等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，进一步计算即可得出结论． 【详解】解：∵90ACB ∠=︒，CE AC =，∴45CAE AEC ∠=∠=︒，∵15BAE ∠=︒，∴60CAB ∠=︒，∴=30B ∠︒，∵90ACB O ∠=︒，为AB 的中点，∴12CO BO AO AB ===， ∴AOC △是等边三角形，30OCB B ∠=∠=︒，∴AC OC CE ==，∴1(18030)752COE CEO ∠=∠=︒-︒=︒， 故答案为：75︒．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．三、解答题12．（2021·贵州中考真题）如图，在矩形ABCD 中，点M 在DC 上，AM AB =，且BN AM ⊥，垂足为N ．（1）求证：ABN MAD ≌；（2）若2,4AD AN ==，求四边形BCMN 的面积．【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由矩形的性质可得∠D =90°，AB ∥CD ，从而得∠D =∠ANB ，∠BAN =∠AMD ，进而即可得到结论；（2）由ABN MAD ≌以及勾股定理得AN =DM =4，AB =【详解】（1）证明：∵在矩形ABCD 中，∴∠D =90°，AB ∥CD ，∴∠BAN =∠AMD ，∵BN AM ⊥，∴∠ANB =90°，即：∠D =∠ANB ，又∵AM AB =，∴ABN MAD ≌（AAS ），（2）∵ABN MAD ≌，∴AN =DM =4，∵2AD =，∴AM ==∴AB =∴矩形ABCD 的面积= 又∵12442ABN MAD S S ==⨯⨯=，∴四边形BCMN 的面积．【点睛】本题主要考查矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，熟练掌握AAS 证明三角形全等，是解题的关键．13．（2021·湖南长沙市·中考真题）如图，ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OAB 是等边三角形，4AB =．（1）求证：ABCD 是矩形；（2）求AD 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）43【分析】（1）先根据平行四边形的性质可得11,22====OA OC AC OB OD BD ，再根据等边三角形的性质可得OA OB =，从而可得AC BD =，然后根据矩形的判定即可得证；（2）先根据等边三角形的性质可得4OB AB ==，从而可得8BD =，再根据矩形的性质可得90BAD ∠=︒，然后在Rt ABD △中，利用勾股定理即可得．【详解】（1）证明：四边形ABCD 是平行四边形，11,22OA OC AC OB OD BD ∴====， OAB 是等边三角形，OA OB ∴=，AC BD ∴=，ABCD ∴是矩形；（2）OAB 是等边三角形，4AB =，4OB AB ∴==，28BD OB ∴==，由（1）已证：ABCD 是矩形，90BAD ∴∠=︒，则在Rt ABD △中，22228443AD BD AB =--=【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．14．（2021·山东滨州市·九年级其他模拟）如图，菱形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是AD 的中点，点F ，G 在AB 上，EF AB ⊥，//OG EF ．（1）求证：四边形OEFG 是矩形；（2）若13AD =，5EF =，求OE 和BG 的长．【答案】（1）见解析；（2）6.51369- 【分析】（1）根据条件先判断四边形OEFG 为平行四边形，由EF AB ⊥即可证明四边形OEFG 是矩形；（2）由菱形的性质和三角形的中位线定理可直接得OE 的长，解Rt AEF 求得AF ，又FG OE =，根据BG AB AF FG =--即可求得．【详解】解:（1）∵四边形ABCD 为菱形，∴点O 为BD 的中点，∵点E 为AD 中点，∴OE 为ABD △的中位线，∴//OE FG ，∵//OG EF ，∴四边形OEFG 为平行四边形∵EF AB ⊥，∴平行四边形OEFG 为矩形（2）∵点E 为AD 的中点，13AD =，∴ 6.5AE =∵90EFA ∠=︒，5EF =，∴在Rt AEF 中，2222696.552AF AE EF =-=-=∵四边形ABCD 为菱形，∴13AB AD ==，∴1 6.52OE AB == ∵四边形OEFG 为矩形，∴ 6.5FG OE ==， ∴13692BG AB AF FG =-=--． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，熟悉以上定理是解题的关键． 题组C 培优拔尖练一、单选题1．（2021·安徽中考真题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，120A ∠=︒，过菱形ABCD 的对称中心O 分别作边AB ，BC 的垂线，交各边于点E ，F ，G ，H ，则四边形EFGH 的周长为（ ）A ．33B ．223+C ．23+D ．123+【答案】A 【分析】依次求出OE =OF =OG =OH ，利用勾股定理得出EF 和OE 的长，即可求出该四边形的周长．【详解】∵HF ⊥BC ,EG ⊥AB ,∴∠BEO =∠BFO =90°，∵∠A =120°，∴∠B =60°，∴∠EOF =120°，∠EOH =60°，由菱形的对边平行，得HF ⊥AD ,EG ⊥CD ，因为O 点是菱形ABCD 的对称中心，∴O 点到各边的距离相等，即OE =OF =OG =OH ，∴∠OEF =∠OFE =30°，∠OEH =∠OHE =60°，∴∠HEF =∠EFG =∠FGH =∠EHG =90°，所以四边形EFGH 是矩形；设OE =OF =OG =OH =x ，∴EG =HF =2x ，()2223EF HG x x x ==-=，如图，连接AC ，则AC 经过点O ，可得三角形ABC 是等边三角形，∴∠BAC =60°，AC =AB =2,∴OA =1,∠AOE =30°，∴AE =12， ∴x =OE =2213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭∴四边形EFGH 的周长为EF +FG +GH +HE =332322323322x x +=⨯+⨯=+, 故选A ．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等内容，要求学生在理解相关概念的基础上学会应用，能分析并综合运用相关条件完成线段关系的转换，考查了学生的综合分析与应用的能力．2．（2021·山东济宁市·九年级二模）如图，在矩形ABCD 中，AD 2，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④AB ＝HF ，其中正确的有（ ）。