2.5 随机变量函数的分布
自-西安邮电学院基础课设置意见说明
西安邮电学院基础课设置意见说明(一)理工类数学基础课程安排表注:1.“概率论与数理统计”可安排在第三学期或者第四学期,根据专业需求可选48学时或64学时。
2. “数学建模”可安排在第五学期，根据专业要求可选48学时或３2学时，“数学实验”也可安排在第三学期。
“数学建模A”比“数学建模B”的内容多“数学建赛题8讲”,数学建模A与数学建模B均可作为选修、跨学科、素质拓展内课程.3.“大学数学选讲(Ｉ)”及“大学数学选讲(II)”主要为考研学生提供帮助，因此建议安排在第五或第六学期。
大学数学选讲(I)复习高等数学内容,大学数学选讲(II)复习线性代数及概率论与数理统计内容,主要针对参加研究生考试的学生.４．“数学文化”可安排在第一、第二、第三、第四学期中任一学期。
(二）经管类数学基础课程安排表或64学时。
2. “数学建模”可安排在第五学期，根据专业要求可选48学时或32学时，“数学实验”也可安排在第三学期。
“数学建模A”比“数学建模B”的内容多“数学建赛题8讲”,数学建模A与数学建模B均可作为选修、跨学科、素质拓展内课程.3．“大学数学选讲(I)”及“大学数学选讲(II)”主要为考研学生提供帮助，因此建议安排在第五或第六学期。
大学数学选讲(I)复习高等数学内容,大学数学选讲(IＩ)复习线性代数及概率论与数理统计内容,主要针对参加研究生考试的学生.4.“数学文化”可安排在第一、第二、第三、第四学期中任一学期。
(三)文法类数学基础课程安排表注:1.“概率论与数理统计”可安排在第三学期或者第四学期，根据专业需求可选48学时或64学时。
2. “数学建模”可安排在第五学期,根据专业要求可选48学时或３２学时,“数学实验”也可安排在第三学期。
“数学建模A”比“数学建模B”的内容多“数学建赛题8讲”,数学建模A与数学建模B均可作为选修、跨学科、素质拓展内课程.3.“大学数学选讲(I)”及“大学数学选讲(II)”主要为考研学生提供帮助，因此建议安排在第五或第六学期。
随机变量函数的分布
二 、连续型随机变量函数的分布 2.分布函数法 一般地，若已知X的概率密度为 fX(x),求其函数 Y=g(X)的概率密度 fY(y)分两个步骤： 10 根据分布函数的定义求Y的分布函数FY(y); 20 由 fY(y) = F (y) 求出 fY (y)
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
定理 设X是一连续型随机变量，其密度函数f(x) ， （－∞<x< +∞ ）,又函数y = g(x)处处可导，且严格单 调，其反函数为x = h(y )，则Y = g(X)也是一连续型随 机变量，且密度函数为
h y f[ h ( y )], y f y Y , 其他 0
计算离散型随机变量函数的分布的方法： 首先将xi的取值代入函数关系，求出随机变量Y相应的取值
y g ( x )( i 1 ， 2 ， .) i i
如果yi(i=1,2,…)的值各不相等，则Y的概率分布为 Y P y1 p1 y2 p2 … … yi pi … …
如果 yi=g(xi)(i=1,2,…)中出现m(≥2)个相同的函数值，即存在
0 , y25 /4 F (y) * 25 /4y9 1, y9
F ( y ) P { Y y } P { X / 4 y }
2
P { X 4 y / }
4 y /
f ( x ) dx X
例3 对一圆片直径进行测量, 其值在[5,6]上均匀分
其中， m g ( in{ ), g ( )}, m g ( ax ), g ( )
注意 若f(x)在有限区间[a,b]外等于0,则只需设在[a,b] ( x ) 0 [ 或 g ( x ) 0 ]. 上有 g
概率论与数理统计教案
重点: 随机变量独立性的概念及应用，用图形定限法和分布函数法求两个独立随 机变量和的分布. 难点: 随机变量独立性的理解及应用，两个独立随机变量和的概率分布的确定.
概率统计练习题第 3 章习题
南通大学理学院教案
周 次 第 周， 第 9 次课 4.2 方差 板书结合多媒体 年 月 日
章节名称 授课方式 课堂讲授
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
1． 切比雪夫(Chebyshev)不等式， 切比雪夫(Chebyshev)大数定律和伯努利(Bernoulli) 大数定律； 2．独立同分布的中心极限定理和棣莫佛—拉普拉斯(De Moivre-Laplace)中心极限 定理； 3．棣莫佛—拉普拉斯中心极限定理在实际问题中的应用.
章节名称 授课方式 课堂讲授
1.4 条件概率 教学时数 3
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
1． 了解条件概率的概念， 掌握概率的乘法公式、 全概率公式， 会应用贝叶斯(Bayes) 公式解决比较简单的问题； 2.理解事件的独立性概念，熟练掌握独立事件的乘法公式.
1.条件概率； 2.计算概率的五大公式之: 乘法公式，全概率公式，Bayes 公式； 3.事件独立性的概念.
重点: 事件的表示；概率的性质. 难点: 复杂事件的表示与分解.
概率统计练习题第 1 章习题
南通大学理学院教案
周 次 第 周， 第 2 次课 1.3 古典概型与几何概型 课堂讲授 教学时数 3 教学手段 板书结合多媒体 年 月 日
章节名称 授课方式
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
章节名称 授课方式
教学手段
教学目的及要求 主要教学内容 重点与难点 练习与作业 参考资料
概率论 高等院校概率论课件JXHD2-1
第二章随机变量及其分布§2.1随机变量及其分布函数§2.2 离散型随机变量及概率分布§2.3 连续型随机变量及概率分布§2.4 多维随机变(向)量及其分布§2.5 随机变量的独立性§2.6随机变量函数的分布基本要求重点与难点JXHD2-7概率篇CH2LX基本要求1．理解随机变量、随机变量的分布函数概念及性质。
2．理解概率分布的概念及其性质。
3．会利用概率分布及分布函数计算有关事件的概率。
4．掌握六种常用分布，会查泊松分布、正态分布表。
5．了解多维随机变量的概念。
了解二维随机变量的联合分布函数及其性质,了解二维随机变量的联合概率分布及其性质,并会用它们计算有关事件的概率。
6．知道二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系，了解条件分布。
7．理解随机变量独立性的概念及应用独立性进行有关计算。
8．会求简单随机变量函数的概率分布及两个独立随机变量的函数（和、最大值、最小值）的分布。
重点与难点1．随机变量的分布函数概念及性质。
2．概率分布（离散型随机变量的分布律,连续型随机变量的概率密度）的概念及性质。
3．概率分布与分布函数的关系及正态分布的有关计算。
4．二维随机变量的边缘分布以及与联合分布的关系。
5．随机变量独立性及应用。
6．简单随机变量函数的分布。
1．随机变量的分布函数、概率分布及其关系。
2．二维随机变量的边缘分布及计算。
3．随机变量函数的分布及两个独立随机变量的函数的分布。
§2.1 随机变量及其分布函数掷骰子试验}654321{，，，，，=Ω； 掷硬币试验}{T H ，=Ω 一．随机变量 [引例1] 掷骰子试验，}654321{，，，，，=Ω，令 ），，，，，（654321)(==i i i X 则X 是定义在Ω上的单值实函数，称X 为随机变量。
[引例2] 掷硬币试验，样本空间}{T H ，=Ω，令⎩⎨⎧===Te H e e Y ，，01)(则Y 是定义在Ω上的单值实函数，称 Y 为随机变量。
随机变量函数的分布
此时，称Y服从自由度为1的χ2-分布。
变限函数求导公式:
b(x)
f
(t)dt
f b(x)b(x)
f a(x) a(x).
a(x)
例3：设r.v.X~U(0,1),求Y=eX的概率密度.
1, 0 x 1, 解：因r.v.X~U(0,1),故X的概率密度为：fX (x) 0, 其它.
如图, fX (x)的非零段将整个 x轴分为三部分:
(-∞,0),[0,1),[1,+ ∞); 从而,整个y轴相应地也被分为三 部分: (-∞,1),[1,e),[e,+ ∞).
因此,应就y分为上述三个区 间来求Y的分布函数.
(1) 当y<1时,再分为两种情形:
a) 当y≤0时,
FY (y) PY y P eX y
P() 0;
b) 当0< y<1时,
fY
(
y)
1 y
,
1 y e,
0, 其它.
注意:本题是重要题型,必须熟练掌握。
方法2 公式法(y=g(x)为单调可导函数)
定理：设连续型随机变量X的概率密度为
f X (x)( x )
函数g(x)处处可导且有恒有 g(x) 0(g(x) 0)
则Y=g(X)是连续型随机变量，且其概率密度为
◆如果Y各可能取值中存在多个值相等,则Y取该值的概 率为这些相等值对应的X取值的概率之和.
例如,当 yk g(xi ) g(x j ) g(xm ),
则由基本事件互斥性与概率可加性得：
PY yk P X xi P X xj P X xm
例1:设r.v.X的分布列为:
X
-1
012
P 0.2 0.3 0.1 0.4
随机变量的函数及其分布函数
※统计三大分布
(1) 2 − 分布
设1,2, ,n相互独立同服从N(0,1),
则称 2 = 12 + + n2
所服从的分布为自由度是n的2分布，记为 2 ~ 2(n).
2分布具有可加性：若
12
~
2
(n1
),
2 2
~
2
(n2
),
且12与
2独立，则有
2
2 1
+
2 2
~
2 (n1
+ n2 )
x+ yz
令
s
= x
x =
+ x
y
,
则
y
x= =s
x −
x
故 ( x, y) ( x, s)
=
1 −1
0 1
=1
故
ห้องสมุดไป่ตู้
F + (z) =
z −
+
f (x, s − x)dxds
−
即得 =ξ+η的概率密度为:
f + (z) =
f (x, z − x)dx
−
由ξ和η的对称性, f +(z)又可写成
ξ
～
x1
p1
x2 p2
xn
pn
则 η=g(ξ) ～
如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当 并项即可.
例1 已知 的概率分布为
-1 0 1 2
pk
1111
8842
求 1= 2 – 1 与2= 2 的分布列.
解 1 pi
-3 -1 1 3
1111 8842
2
1014
随机变量的分布函数及其计算
随机变量的分布函数及其计算
随机变量的分布函数是描述随机变量取值情况的函数，它指的是把随机变量的取值对应到概率的函数，即通过概率分布函数可以计算某一个特定值出现的概率。
当随机变量的可能取值为有限个或有数量规律的无限个数时，可以定义分布函数来描述其取值的概率情况。
记随机变量的可能取值为 { x1, x2, x3 ,…… ,xn } ，概率质量函数为 f ( x ) ，则可以定义分布函数为：
F ( x ) = P ( X ≤ x ) = ∑ f ( xi ) ; xi ≤ x 。
其中，P ( X ≤ x ) 为随机变量 X 小于或等于 x 的概率，而∑ f (xi ) 则表示随机变量小于或等于 x 的概率。
可以看到，分布函数可以作为概率计算的理论基础，它可以用来衡量各种随机变量取值与概率之间的关系，从而更快捷高效地计算概率。
第六章 随机变量函数及其分布
（4）在实数区间内，表示出Y的密度函数。
12
例3 设X服从区间(0,1)上的均匀分布,求Y=X2的分布
解：Y X 2的可能取值范围是：0 y 1.
当0 y 1时，
PY ( y) P(Y y) P( X 2 y) fX ( x) 1,(0 x 1)
X 1 2 1 0 1 1.5
2X 2 0 2 4 5
X2 1
0 1 4 6.25
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
5
整理，得
X 1 2 1 0 1 1.5 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
2X 2
0 2 4 5
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
X 2 0 1 4 6.25 P 0.1 0.3 0.3 0.3
6
二、连续随机变量函数的分布
1、公式法 ——g(x)严格单调
定理：设连续型随机变量X的密度函数为pX ( x), y g( x)严格单调，且其反函数h( y)有连续导数. 则Y g( X )的密度函数为：
pY
(
y)
pX
[h(
y)] 0
h(
y)
, ,
a yb 其他
其中,a ming(), g(),b maxg(), g()
当y b时， FY ( y) P{Y y} 1.
h( y)
当a y b时，FY ( y) P{Y y} P{X h( y)} pX ( x)dx
pY ( y) FY( y)
pX 0,
[h(
y
)]h(
y), a 其他
y
b
8
例2. (1) X～N (10,22 ), 求Y 3X 5的密度函数；
随机变量的分布函数
x < −1 , −1 ≤ x < 2, 2 ≤ x < 3, x ≥ 3.
-1 0 1 2 3
4
1
x
§3
随机变量的分布函数
1 1 1 P{X ≤ } = F( ) = , 2 2 4 3 5 5 3 3 1 1 P{ < X ≤ } = F( ) − F( ) = − = , 2 2 2 2 4 4 2
9
§3
随机变量的分布函数
用分布函数计算某些事件的概率
P{a ≤ X ≤ b} = P{X ≤ b}− P{X < a}
= F (b) − F (a − 0)
P{a < X < b} = P{X < b}− P{X ≤ a} P{a ≤ X < b} = P{X < b}− P{X < a}
= F (b − 0 ) − F (a − 0 )
设 F ( x) = P{ X ≤ x} 是随机变量 X 的分布函数，则 P{ X = a} = P{ X ≤ a} − P{ X < a} P{a < X ≤ b} = P{ X ≤ b} − P{ X ≤ a} P{ X < a} = F ( a − 0)
= F ( a ) − F ( a − 0) = F ( b) − F ( a )
随机变量的分布函数
1. 概 念
定义 设 X 是一个随机变量，x 是任意实数，函数
F(x) = P{X ≤ x}
称为 X 的分布函数．
X x 0 F(x) = P{X ≤ x} x2) ，有： ： X
o
P{x1 < X ≤ x2} = P{X ≤ x2}− P{X ≤ x1} = F(x2 ) − F(x1).
概率论与数理统计教程华东师大茆诗松版第二章PPT课件
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
分布列的基本性质
(1) pi 0， (非负性)
(2) pi 1. (正则性)
i
第10页
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
注 意 点 (1)
第11页
求离散随机变量的分布列应注意： (1) 确定随机变量的所有可能取值; (2) 计算每个取值点的概率.
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第5页
注 意 点 (1)
(1) 随机变量X()是样本点的函数， 其定义域为 ，其值域为R=(，) 若 X 表示掷一颗骰子出现的点数， 则 {X=1.5} 是不可能事件.
(2) 若 X 为随机变量，则 {X = k} 、 {a < X b} 、……
均为随机事件.
0,
F
(
x)
0 .4 ,
0
.8
,
1 ,
x0 0 x1 1 x2 2 x
解：
X0 1 2 P 0.4 0.4 0.2
7/28/2020
华东师范大学
第二章 随机变量及其分布
第15页
2.1.4 连续随机变量的密度函数
➢ 连续随机变量X的可能取值充满某个区间 (a, b).
➢ 因为对连续随机变量X，有P(X=x)=0， 所以无法仿离散随机变量用 P(X=x) 来描述连续 随机变量X的分布.
例2.1.1 已知 X 的分布列如下：
第13页
X0 1 2 P 1/3 1/6 1/2
求 X 的分布函数.
解：
0,
F
(
x)
1 / 1 /
3, 2,