2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线课件理
(全国通用版)高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文-2022年学习资料
考情考向分析]-1.以选择题、填空题形式考查圆推曲线的方程、几何性质（特别-是离心率.-2以解答题形式考查直线与圆锥曲线的位置关系（弦长、中点等）
内容索引-热点分类突破-真题押题精练
热点分类突破(全国通用版)2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲圆锥曲线文
2已知双曲线C:广-芳=1c0,>0的焦距为2c,直线/过点，0l日-与双曲线C的一条渐近线垂直，以双曲线C的右焦点为圆心，半焦距为-4V2-半径 圆与直线1交于M,N两点，若MN=3C,-则双曲线C的渐近-线方程为-A.y=±V2x-B=±V3x-C.y=±2x-D.y=±4x-解析-答案
热点三-直线与圆锥曲线-判断直线与圆锥曲线公共点的个数或求交点问题有两种常用方法-代数法：联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于x,y的方程组，-消 y或x得一元二次方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的-解即为交点坐标，-2几何法：画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数，
利32018衡水金卷调研已知椭圆+点=1a>b>0的左、右焦点分别-为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点-1若直线AB与椭圆的长轴垂直，A =20,求椭圆的离心率；-解由题意可知，直线AB的方程为x=-C,-2b21-∴.AB1=-a=24,直线AB的斜率为1，AB1=a十，-求椭圆的短轴与长轴的比值.-解答
,2-例112018：乌鲁木齐诊断椭圆的离心率为2，F为椭圆的一个焦-点，若椭圆上存在一点与F关于直线y=x+4对称，则椭圆方程为-x2 y2-A 8+=1-B+的=1-+-1号+-1-解析-答案
22018龙岩质检已知以圆C:x-12+y2=4的圆心为焦点的抛物线C1-与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2:x2=8y上任意一点，BM与 直线y=-2垂直，垂足为M,则BMI-AB的最大值为-B.2-C.-1-D.8-解析-答案
2019-2020年高考数学二轮复习第二部分突破热点分层教学专项二专题五2第2讲椭圆双曲线抛物线课件
2．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 C：y2
＝2px(p>0)的焦点为 F，准线为 l.过 F 的直线交 C 于 A，B 两点，
交 l 于点 E，直线 AO 交 l 于点 D.若|BE|＝2|BF|，且|AF|＝3，
则|BD|＝( )
A．1
B．3
C．3 或 9
D．1 或 9
1－ba2.
(2)在双曲线中：c2＝a2＋b2，离心率为 e＝ac＝
1＋ba2.
双曲线xa22－by22＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±bax.注意离
心率 e 与渐近线的斜率的关系．
[典型例题]
(1)(2018·石 家 庄 质 量 检 测 ( 二 )) 倾 斜 角 为 π4 的 直 线 经 过 椭 圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的右焦点 F，与椭圆交于 A、B 两点，且A→F
－ 3(x－2)，
y＝－ 3（x－2）， x＝32，
由y＝ 33x，
得 y＝ 23，
所以 M32， 23，所以|OM|＝ |OM|＝3，故选 B.
322＋
32＝ 2
3，所以|MN|＝
3
【答案】 (1)B (2)B
(1)椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法 求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条 件确定 a，b，c 的等量关系或不等关系，然后把 b 用 a，c 代换， 求ac的值． (2)双曲线的渐近线的求法及用法 ①求法：把双曲线标准方程等号右边的 1 改为零，分解因式可 得． ②用法：(i)可得ba或ab的值． (ii)利用渐近线方程设所求双曲线的方程．
解析：选 D.分别过点 A，B 作 AA1，BB1 垂直于 l， 且垂足分别为 A1，B1， 依题意，易证 BD∥x 轴， 所以 D 与 B1 重合． 由已知条件|BE|＝2|BF|得，|BE|＝2|BB1|， 所以∠BEB1＝30°.又|AA1|＝|AF|＝3， 如图 1，||ABAD1||＝||BAEE||， 所以|B3D|＝3|B2|DB|D＋| 3，
2020版高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质课件理
第二讲 圆锥曲线的方程与性质
C目录 ONTENTS
考点一 考点二 考点三 4 限时规范训练
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
[考情分析·明确方向] 1．圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以 选择、填空题的形式考查，常出现在第 4～11 或 15～16 题的位 置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等． 2．通过对椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质的 考查，着重考查了数学抽象、数学建模与数学运算三大核心素 养．
1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)； (2)双曲线：|PF1|－|PF2|＝2a(2a<|F1F2|)； (3)抛物线：|PF|＝|PM|，点 F 不在直线 l 上，PM⊥l 于 M. 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”． 所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计 算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a2，b2，p 的值．
(1)(2019·铁东区校级三模)已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)
的焦点为 F，点 M(x0,2 2)是抛物线 C 上一点，圆 M 与线段
MF 相交于点 A，且被直线 x＝p2截得的弦长为 3|MA|，若||MAFA||
＝2，则|AF|＝( )
A．32
B．1
C．2
D．3
解析：如图，圆心 M 到直线 x＝p2的距离 d＝x0－p2，① 圆 M 的半径 r＝|MA|，
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知椭圆 C 的焦点为 F1(－1,0)，F2(1,0)，
过 F2 的直线与 C 交于 A，B 两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，
则 C 的方程为( )
2019高考数学二轮复习第二部分专题五解析几何满分示范课理
专题五解析几何满分示范课【典例】 (满分12分)(2017·全国卷Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x22＋y 2＝1上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM →.(1)求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ →＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .[规范解答](1)设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0，0)，NP →＝(x －x 0，y )，NM →＝(0，y 0)，1分 由NP →＝2NM →得x 0＝x ，y 0＝22y ，3分因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x22＋y22＝1， 因此点P 的轨迹方程为x 2＋y 2＝2.5分(2)由题意知F (－1，0)，设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ →＝(－3，t )，PF →＝(－1－m ，－n )， OQ →·PF →＝3＋3m －tn ，7分OP →＝(m ，n )，PQ →＝(－3－m ，t －n )， 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2＝1，9分又由(1)知m 2＋n 2＝2，故3＋3m －tn ＝0.所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，11分又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .12分高考状元满分心得1．写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，N (x 0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m －m 2＋tn －n 2＝1就得分．2．写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x 0＝x ，y 0＝22y ，没有则不得分；第(2)问一定要写出OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分．[解题程序] 第一步：设出点的坐标，表示向量NP →，NM →；第二步：由NP →＝2NM →，确定点P ，N 坐标等量关系；第三步：求点P 的轨迹方程x 2＋y 2＝2；第四步：由条件确定点P ，Q 坐标间的关系；第五步：由OQ →·PF →＝0，证明OQ ⊥PF ；第六步：利用过定点作垂线的唯一性得出结论．[跟踪训练](2018·江南名校联考)设椭圆M ：x2a2＋y2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为A (－1，0)，B (1，0)，C 为椭圆M 上的点，且∠ACB ＝π3，S △ABC ＝33.(1)求椭圆M 的标准方程；(2)设过椭圆M 右焦点且斜率为k 的动直线与椭圆M 相交于E ，F 两点，探究在x 轴上是否存在定点D ，使得DE →·DF →为定值？若存在，试求出定值和点D 的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos ∠ACB ＝(CA ＋CB )2－3CA ·CB ＝4.又S △ABC ＝12CA ·CB ·sin C ＝34CA ·CB ＝33， 所以CA ·CB ＝43，代入上式得CA ＋CB ＝22. 所以椭圆长轴2a ＝22，焦距2c ＝AB ＝2.所以椭圆M 的标准方程为x22＋y 2＝1.(2)设直线方程y ＝k (x －1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x22＋y2＝1，y ＝k （x －1），得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，Δ＝8k 2＋8＞0，所以x 1＋x 2＝4k21＋2k2，x 1x 2＝2k2－21＋2k2.假设x 轴上存在定点D (x 0，0)使得DE →·DF →为定值．所以DE →·DF →＝(x 1－x 0，y 1)·(x 2－x 0，y 2)＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋y 1y 2＝x 1x 2－x 0(x 1＋x 2)＋x 20＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(1＋k 2)x 1x 2－(x 0＋k 2)·(x 1＋x 2)＋x 20＋k2＝（2x20－4x 0＋1）k 2＋（x 20－2）1＋2k2要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关，所以2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，要使DE →·DF →为定值，则DE →·DF →的值与k 无关，所以2x 20－4x 0＋1＝2(x 20－2)，解得x 0＝54，此时DE →·DF →＝－716为定值，定点为⎝⎛⎭⎫54，0.。
2019高考数学二轮复习 专题六 解析几何 2.6.2 圆锥曲线的方程与性质课件 理PPT
∴双曲线C的方程为x42－y62＝1，故选D. [答案] D
3．抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛
物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△MFO的面积为4 3，则抛物线的
方程为( )
A．y2＝6x
B．y2＝8x
C．y2＝16x
D．y2＝125x
[解析]
设M(x，y)，因为|OF|＝
[对点训练]
1．(2018·郑州检测)已知抛物线x2＝4y上有一条长为6的动弦
AB，则AB的中点到x轴的最短距离为( )
3 A.4
3 B.2
C．1
D．2
[解析] 由题意知，抛物线的准线l：y＝－1，过点A作AA1
⊥l交l于点A1，过点B作BB1⊥l交l于点B1，设弦AB的中点为M，
过点M作MM1⊥l交l于点M1，则
p 2
，|MF|＝4|OF|，所以|MF|
＝2p，由抛物线定义知x＋
p 2
＝2p，所以x＝
3 2
p，所以y＝±
3 p，
又△MFO的面积为4
3 ，所以
1 2
×
p 2
×
3 p＝4
3 ，解得p＝4(p＝
－4舍去)．所以抛物线的方程为y2＝8x.
[答案] B
4．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线
x2 4
[解析]
不妨设B(0，b)，由
→ BA
＝2
→ AF
，F(c,0)，可得
A
23c，b3
，代入双曲线C的方程可得
4 9
×
c2 a2
－
1 9
＝1，即
4 9
a2＋b2 · a2
＝
2019高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆双曲线抛物线练习
地地道道的达到 第 2 讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位1. 圆锥曲线的方程与几何性质是高考的要点，多以选择题、 填空题或解答题的一问的形式命题； 2 直线与圆锥曲线的地点关系是命题的热门，特别是相关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转变化归与分类议论思想方法的考察 .真题感悟1.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 双曲线x 222－y2＝ 1( >0， >0) 的离心率为3，则其渐近线方程为 ( )ababA. y ＝± 2xB. y ＝± 3x23C.y ＝± 2 xD. y ＝± 2 xc22b分析 法一 由题意知， e ＝a ＝ 3 ，所以 c ＝ 3 a ，所以 b ＝ c － a ＝ 2a ，即 a ＝ 2，所b以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .cb 2bb法二 由 e ＝ a ＝ 1＋ a ＝ 3，得 a ＝ 2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝± a x ＝± 2x .答案 A222.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设抛物线 C ： y ＝ 4x 的焦点为 F ，过点 ( －2， 0) 且斜率为 3的直线与 C → → )交于 M ， N 两点，则 FM · FN ＝ ( A.5B.6C.7D.8( x ＋2) ，由 y 2x ＋ 2），过点 ( － 2， 0) 且斜率为2 的直线的方程为 y ＝ 2 ＝ （分析 3得 x 2－ 5x33 y2＝4 ，x＋4＝ 0. 设 M ( x ， y ) ， N ( x， y ) ，则 y>0， y >0，依据根与系数的关系，得x ＋x ＝ 5， x x2112212121＝4. 易知 (1 ， 0) ，所以 →＝ (x 1－ 1， 1) ，→＝(x 2－1， 2) ，所以 → · → ＝(x 1－ 1)(2－ 1)F FM y FNyFM FN x＋y 1y 2＝ x 1x 2－ ( x 1＋ x 2 ) ＋ 1＋ 4 x 1x 2＝ 4－ 5＋ 1＋ 8＝ 8.答案Dx 2 y 23.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 已知 F 1，F 2 是椭圆 C ：a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， A 是 C 的左极点，呵呵复生复生复生3点 P 在过 A 且斜率为 6 的直线上， △PF 1F 2 为等腰三角形， ∠ F 1F 2P ＝120°， 则 C 的离心率为()2 1 1 1 A.B.C.D.3234分析由题意可知椭圆的焦点在 x 轴上，以下图，设| F 1F 2| ＝ 2c ，∵△ PF 1F 2 为等腰三角形，且∠ F 1F 2P ＝120°，∴ | PF 2| ＝ | F 1F 2| ＝ 2c .∵| OF 2| ＝ c ，过 P 作 PE 垂直 x 轴，则∠ PF 2E ＝60°，所以 F 2E ＝c ，PE ＝ 3 c ，即点 P (2 c ， 3c ). ∵点 P 在过点 A ，且斜率为 33c3 6的直线上，∴ 2c ＋ a ＝6 ，解得c 1 1＝，∴＝.a 4e 4答案D2x24.(2018 ·全国Ⅰ卷 ) 设椭圆 C ： ＋ y ＝ 1 的右焦点为 F ，过 F 的直线 l 与 C 交于 A ，B 两点，点 M 的坐标为 (2 ， 0).(1) 当 l 与 x 轴垂直时，求直线AM 的方程；(2) 设 O 为坐标原点，证明：∠ OMA ＝∠ OMB .(1) 解 由已知得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 x ＝ 1.把 x ＝ 1 代入椭圆方程x 2y 2A 的坐标为2 2＋＝ 1，可得点1， 或 1，－ .22 222又 M (2 ， 0) ，所以 AM 的方程为 y ＝－ 2 x ＋2或 y ＝ 2 x － 2.(2) 证明 当 l 与 x 轴重合时，∠ OMA ＝∠ OMB ＝0°.当 l 与 x 轴垂直时， OM 为 AB 的垂直均分线，所以∠ OMA ＝∠ OMB .当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y＝ ( － 1)( k ≠0)， (， y ) ， ( ， y ) ，12 2 1则 x < 2，x< 2，直线 MA ， MB 的斜率之和为y 1y 2k ＋ k ＝x －2＋ x － 2.12MAMB由 y 1＝ k ( x 1－ 1) ， y 2＝ k ( x 2－1) 得2kx x － 3k （x ＋ x ）＋ 4kk MA ＋ k MB ＝ 1 21 2.（ x 1－ 2）（ x 2－ 2）将 y＝ ( －1)代入x 2 ＋ y 2＝1 得k x2呵呵复生复生复生(2 k 2＋ 1) x 2－ 4k 2x ＋ 2k 2－ 2＝0.4k 22k 2－ 2所以， x 1 ＋ x 2＝2k 2＋ 1， x 1x 2＝2k 2＋ 1.则 2 1 x 2 －3(1＋ 2) ＋4k 4k 3－ 4k － 12k 3＋ 8k 3＋ 4k kxk x x2k ＋1进而 k MA ＋ k MB ＝ 0，故 MA ， MB 的倾斜角互补 .所以∠ OMA ＝∠ OMB .综上，∠ OMA ＝∠ OMB .考点整合1. 圆锥曲线的定义(1) 椭圆： | MF 1| ＋ | MF 2| ＝2a (2 a ＞| F 1F 2|) ；(2) 双曲线： || MF 1| － | MF 2|| ＝ 2a (2 a ＜ | F 1F 2|) ；(3) 抛物线： | MF | ＝ d ( d 为 M 点到准线的距离 ).温馨提示应用圆锥曲线定义解题时，易忽略定义中隐含条件致使错误 .2. 圆锥曲线的标准方程x 2 y 2 y 2 x 2(1) 椭圆： a 2＋b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2＋ b 2＝ 1( a ＞ b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；x 2 y 2y 2 x 2(2) 双曲线：a 2－ b 2＝ 1( a ＞0，b ＞ 0)( 焦点在 x 轴上 ) 或 a 2－ b 2＝1( a ＞ 0，b ＞ 0)( 焦点在 y 轴上 ) ；(3) 抛物线： y 2＝ 2px ，y 2＝－ 2px ， x 2＝ 2py ，x 2＝－ 2py ( p ＞ 0). 3. 圆锥曲线的重要性质(1) 椭圆、双曲线中 a ， b ， c 之间的关系222cb 2①在椭圆中： a ＝ b ＋ c ；离心率为 e ＝ a ＝ 1－ a 2.②在双曲线中：2 22c ＝b 2c ＝ a ＋ b ；离心率为 e ＝1＋2.aa (2) 双曲线的渐近线方程与焦点坐标x 2 y 2b①双曲线 a－b ＝ 1( a>0，b>0) 的渐近线方程为 y ＝± a x ；焦点坐标 F ( － c ， 0) ， F ( c ， 0).2212y 2 x 2a②双曲线 a 2 －b 2 ＝ 1( a >0，b >0) 的渐近线方程为 y ＝± b x ，焦点坐标 F 1(0 ，－ c ) ， F 2(0 ， c ). (3) 抛物线的焦点坐标与准线方程2pp ①抛物线 y ＝2px ( p >0) 的焦点 F 2， 0 ，准线方程 x ＝－ 2.2pp②抛物线 x ＝2 py ( p >0) 的焦点 F 0， 2 ，准线方程 y ＝－ 2.4. 弦长问题呵呵复生复生复生(1) 直线与圆锥曲线订交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入. 即当斜率为 k ，直线与圆锥曲线交于 A ( x 1，y 1) ，B ( x 2， y 2) 时， | AB | ＝ 1＋ k 2| x 1－x 2| ＝ 1＋ k 2 （x 1＋ x 2） 2－ 4x 1x 2.(2) 过抛物线焦点的弦长2112212 p21 2 2抛物线 y ＝ 2px ( p >0) 过焦点 F 的弦 AB ，若 A ( x ， y ) ， B ( x ， y ) ，则 x x ＝ 4 ， y y ＝－ p ， 弦长 | AB | ＝x 1＋ x 2＋ p .热门一圆锥曲线的定义及标准方程x 2 y 2【例 1】 (1)(2018 ·天津卷 ) 已知双曲线 a 2 －b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，过右焦点且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A ，B 两点 . 设 A ， B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1 和 2 ，且 d 1＋ 2＝ 6，则双曲线的方程为()ddx 2 y 2 x 2 y 2A. 4－ 12＝ 1B. 12－ 4＝1x 2 y 2x 2 y 2C. 3－ 9＝1D. 9－ 3＝1(2)(2018 ·烟台二模 ) 已知抛物线 C ： x 2＝ 4 y 的焦点为 F ，M 是抛物线 C 上一点，若 FM 的延 长线交 x 轴的正半轴于点 N ，交抛物线 C 的准线 l→ →NT | ＝ ________.于点 T ，且 FM ＝ MN ，则 | 分析12x 2(1) 由 d ＋ d ＝ 6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以 b ＝ 3. 因为双曲线 a 2－ y 2 c a 2＋ b 2a 2＋ 9 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以 a ＝2，所以 a 2 ＝ 4，所以a2＝ 4，解得 a ＝ 3，所x 2 y 2以双曲线的方程为3－ 9＝1.(2) 由 x 2＝ 4y ，知 F (0 ，1) ，准线 l ： y ＝－ 1.设点 M ( x 0， y 0) ，且 x 0>0，y 0>0.→ → FN 的中点， N 是 FT 中点， 利用抛物线 由FM ＝ MN ，知点 M 是线段定义，| |＝| ′| ＝ 0 ＋1，且 | ′|＝2| ′| ＝2. 又 2( y 0＋1) ＝|′|＋| ′|＝3，MFMMyFFNNFFNN113知 y 0＝ 2. ∴ | MF | ＝ 2＋ 1＝ 2，进而 | NT | ＝ | FN | ＝ 2| MF | ＝ 3.答案(1)C (2)3研究提升1. 凡波及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转变成到准线的距离办理. 如本例 (2) 中充分运用抛物线定义实行转变，使解答简捷、明快.呵呵复生复生复生2. 求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算” . 所谓“定型”， 就是指确定种类，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的 a 2， b 2， p 的值，最后辈入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程 .x 2 y 2【训练 1】 (1)(2017 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ： a 2－ b 2＝ 1( a >0， b >0) 的一条渐近线方程为5 x 2 y 2y ＝ 2 x ，且与椭圆 12＋ 3 ＝ 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ()A. x 2 y 2 x 2y 2－ ＝ 1B. － ＝18 10 45 C. x 2 y 2x 2y 2－ ＝ 1D. － ＝15 443(2)(2018 ·衡水中学调研x 2212) P 为椭圆 C ： 2 ＋y＝ 1 上一动点， F ，F 分别为左、右焦点，延伸1 至点 ，使得 || ＝| 2| ，记动点 Q 的轨迹为 Ω ，设点 B 为椭圆 C 短轴上一极点，直线F P Q PQ PFBF 2 与 Ω 交于 M ， N 两点，则 | MN |＝ ________.b5分析 (1) 由题设知 a ＝ 2 ，①x 2 y 2又由椭圆 12＋ 3 ＝ 1 与双曲线有公共焦点，易知 a 2＋ b 2＝ c 2＝ 9，②由①②解得 a ＝ 2， b ＝ 5，则双曲线 C 的方程为x 2 y 24－ 5＝ 1. (2) ∵ | PF | ＋| PF | ＝ 2a ＝2 2，且 | PQ | ＝| PF | ，122∴| F 1Q | ＝ | F 1P | ＋ | PF 2| ＝ 2 2.∴Ω 为以 F 1( － 1， 0) 为圆心， 2 2为半径的圆 .∵ | BF 1| ＝ | BF 2| ＝ 2， | F 1F 2| ＝ 2，∴ BF 1⊥ BF 2，故| MN |＝ 2 | F 1M | 2－ | BF 1| 2＝ 2 （2 2）2－（ 2） 2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热门二圆锥曲线的几何性质x 2 y 2【例 2】 (1)(2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知双曲线 C ：a 2－b 2＝ 1( a >0，b >0) 的离心率为 2，则点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为 ()A. 2B.23 2 D.22C.2x 2 y 2x 2y 2若双曲线 N(2)(2018 ·北京卷改编 ) 已知椭圆 M ： 2＋2＝ 1( a >b >0) ，双曲线 N ： 2－ 2＝1.a bm n的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的极点， 则椭圆 M呵呵复生复生复生地地道道的达到的离心率为 ________.分析 (1) 法一由离心率 e ＝ c＝ 2，得 c ＝ 2a ，又 b 2＝ c 2－ a 2，得 b ＝a ，所以双曲线 Ca的渐近线方程为4＝y ＝± x . 由点到直线的距离公式， 得点 (4 ，0) 到 C 的渐近线的距离为1＋ 12 2.法二 离心率 e ＝ 2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是 y ＝± x ，∴点 (4 ， 0) 到 C 的渐近线的距离为4＝2 2.1＋ 1(2) 设椭圆的右焦点为 F ( c ， 0) ，双曲线 N 的渐近线与椭圆 M 在第一象限内的交点为 A ，由题意可知A c ， 3c，22c 23c 2 2 22222由点 A 在椭圆 M 上得， 4a2＋4b 2＝ 1，∴ b c ＋ 3a c ＝ 4a b ，∵b 2＝ a 2－c 2，∴ ( a 2－ c 2) c 2＋ 3a 2c 2＝ 4a 2( a 2－ c 2) ，则 4a 4－ 8a 2c 2＋ c 4＝ 0，e 4－8 2 ＋ 4＝ 0，∴ e 2＝4＋2 3( 舍)，2＝ 4－2 3. 由 0< <1，得 ＝ 3－1.eeee答案 (1)D (2) 3－ 1研究提升 1. 剖析圆锥曲线中 a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性责问题的要点.2. 确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其要点就是确定一个对于a ，b ，c 的方程 ( 组 )或不等式 ( 组 ) ，再依据 a ，b ，c 的关系消掉 b 获得 a ，c 的关系式 . 成立对于 a ，b ，c 的方程 ( 组 ) 或不等式 ( 组 ) ，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3. 求双曲线渐近线方程要点在于求 b a1”变成“ 0”， 然a 或b 的值，也可将双曲线等号右侧的“后因式分解获得 .x 2 y 2【训练 2】 (1)(2018 ·成都质检 ) 设椭圆 C ： a 2＋b 2＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点分别为 F 1， F 2， 点 E (0 ， t )(0< t <b ). 已知动点 P 在椭圆上，且点 P ，E ，F 2 不共线，若△ PEF 2 的周长的最小值 为 4 ，则椭圆C 的离心率为 ()b3213 A. 2B. 2C. 2D. 32 2(2) 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线 x2－ y2＝ 1( a＞ 0， ＞ 0) 的右支与焦点为F 的抛物线x 2a bb＝2py ( p ＞ 0) 交于 A ，B 两点，若 | AF | ＋ | BF | ＝ 4| OF | ，则该双曲线的渐近线方程为 ________.分析(1) 由椭圆的定义及对称性，△ PEF 的周长的最小值为 2a . ∴ 2a ＝ 4b ， a ＝ 2b ，则 c ＝2呵呵复生复生复生22c 3a －b ＝ 3b ，则椭圆 C 的离心率 e ＝ a ＝ 2 . (2) 设 A ( x 1， y 1 ) ， B ( x 2， y 2) ，x 2 y 2＝ 1，消去 x 得 a 2y 2－ 2pb 2y ＋ a 2b 2 ＝0，联立方程：a 2－b2x 2 ＝2py ，2b 2由根与系数的关系得y 1＋ y 2＝ a 2 p ，又∵ | AF | ＋| BF | ＝ 4| OF | ，∴ y1＋ p ＋ 2＋p ＝4× p，即 y 1 ＋ 2 ＝ ，y22y p22b 2 b 21 b 2∴ a 2 p ＝ p ，即 a 2＝ 2 a ＝2.2∴双曲线渐近线方程为y ＝± 2 x .2答案(1)A(2) y ＝± 2 x热门三直线与圆锥曲线考法 1直线与圆锥曲线的地点关系【例 3－1】 (2016 ·全国Ⅰ卷 ) 在直角坐标系 xOy 中，直线 l ： y ＝ t ( t ≠0) 交 y 轴于点 M ，交抛物线 C ： y 2＝ 2px ( p >0) 于点 P ， M 对于点 P 的对称点为 N ，连结 ON 并延伸交 C 于点 H .| OH |(1) 求| ON |；(2) 除 H 之外，直线 MH 与 C 能否有其余公共点？说明原因 .t 2解 (1) 如图，由已知得 M (0 ，t ) ， P 2p ， t ，t 2又 N 为 M 对于点 P 的对称点，故 N p ， t ，p故直线 ON 的方程为 y ＝ t x ，将其代入 y 2＝2px 整理得 px 2－ 2t 2x ＝ 0，2t 22t 2解得 x 1＝ 0， x 2 ＝ p ，所以 Hp ， 2t .| OH |所以 N 为 OH 的中点，即 | ON |＝ 2.(2) 直线 MH 与 C 除 H 之外没有其余公共点，原因以下：直线的方程为y － ＝ p ，即x ＝ 2t ( y － ).MH t 2t xp t代入 y 2＝ 2px 得 y 2－ 4ty ＋4t 2＝ 0，呵呵复生复生复生解得 y 1＝ y 2＝ 2t ，即直线 MH 与 C 只有一个公共点，所以除 H 之外，直线 MH 与 C 没有其余公共点 .研究提升1. 此题第 (1) 问求解的要点是求点， H 的坐标 . 而第 (2) 问的要点是将直线 的NMH方程与曲线 C 联立，依据方程组的解的个数进行判断 .2. 判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组获得交点坐标， 也可利用消元后的一元二次方程的鉴别式来确定，需注意利用鉴别式的前提是二次项系数不为 0. 而且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧.【训练 3】 (2018 ·潍坊三模 ) 已知 M 为圆 O ： x 2＋ y 2＝1 上一动点， 过点 M 作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为 A ，B ，连结 BA 延伸至点 P ， 使得 | PA | ＝2，记点 P 的轨迹为曲线 C . (1) 求曲线 C 的方程；(2) 直线 l： ＝ kx ＋ 与圆 O 相切，且与曲线 C交于 ，两点，直线 l 1 平行于 l 且与曲线Cy mD ES2相切于点 Q ( O ， Q 位于 l 双侧 ) ， △ ODE＝ ，求 k 的值 .S △ QDE 322解 (1) 设 P ( x ， y ) ， A ( x 0， 0) ，B (0 ， y 0) ，则 M ( x 0， y 0) 且 x 0＋ y 0＝ 1，由题意知 OAMB 为矩形，∴ | AB | ＝ | OM |＝ 1，→ →y ) ＝ 2( x 0，－ y 0) ，∴AP ＝ 2BA ，即 ( x － x 0， x－ yx 2y 2∴x 0＝ 3， y 0＝ 2 ，则 9 ＋ 4 ＝ 1，x 2 y 2故曲线 C 的方程为＋ ＝ 1.94(2) 设 l 1： y ＝kx ＋ n ，∵ l 与圆 O 相切，||∴圆心 O 到 l1m22＋ 1，①的距离 d ＝＝ 1，得 m ＝ kk 2＋ 1∵ l 1 与 l 距离d | m － n |，②2＝k 2＋ 11| · 1|△ ODE 2 DE d 1 | m| ＝2，∵S ＝＝d ＝ S △ QDE 1d 2 | m － n | 32| DE | · d 22∴m ＝－ 2n 或 m ＝ 5n ，又 ， 位于 l 双侧，∴ ＝2 ，③O Qm 5n呵呵复生复生复生x 2 y 2联立 9 ＋ 4＝1，消去 y 整理得 y ＝kx ＋ n ，(9 k 2＋ 4) x 2＋ 18knx ＋ 9n 2－36＝ 0， 由＝ 0，得 n 2＝ 9k 2＋ 4，④3 11 由①③④得k ＝±.11考法 2相关弦的中点、弦长问题x 2 y 2【例 3－ 2】 (2018 ·全国Ⅲ卷 ) 已知斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C ： 4 ＋ 3 ＝ 1 交于 A ，B 两点，线段 AB 的中点为 M (1 ， m )( m >0).1(1) 证明： k <－ 2；→ → → → → →(2) 设 F 为 C 的右焦点， P 为 C 上一点，且 FP ＋FA ＋ FB ＝ 0. 证明： | FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列，并求该数列的公差.(1) 证明设 A ( x 1， y 1) ，B ( x 2， y 2) ，2222x 1y 1 x 2y 2则 4＋ 3＝1， 4＋3＝1.两式相减，并由 y 1－ y 2得x 1＋ x 2 y 1＋y 2＝ 0.＝ ＋·12k43kx － xx 1 ＋x 2＝ 1， y 1＋ y 23 . ①由题设知 22 ＝m ，于是 k ＝－4mx 2 y 2因为点 M (1 ， m )( m >0) 在椭圆 4 ＋ 3 ＝ 1 内，123 1m∴ 4＋ 3 <1，解得 0<m <2，故 k <－2. (2) 解 由题意得 F (1 ， 0). 设 P ( x 3， y 3) ，则( x 3－ 1， y 3) ＋( x 1－ 1， y 1) ＋ ( x 2－ 1， y 2) ＝ (0 ，0).由(1) 及题设得x ＝3－ ( x ＋ x) ＝ 1， y ＝－ ( y ＋ y ) ＝－ 2m <0.3123123又点 P 在 C 上，所以 m ＝ 4，1，－ 3→3进而 P 2 ，| FP | ＝2.→2x 1于是 | | ＝ （ 2 y 2（2x 1 1－1） ＋ 1＝1－1） ＋3 1－＝2－ .FAxx42同理 | →| ＝ 2－ x 2.FB2所以 |→| ＋| →| ＝ 4－1(x1＋ 2) ＝3.FAFB 2 x故 2|→| ＝|→| ＋| →|，FP FA FB→ → →即| FA | ， | FP | ， | FB | 成等差数列 .设该数列的公差为d ，则→ →12| d | ＝ || FB | － | FA || ＝2| x 1－ x 2|11221 2② ＝ 2 （ x ＋x ） － 4x x . 3将 m ＝ 4代入①得 k ＝－ 1.所以 l 的方程为 y ＝－ x ＋ 7，代入 C 的方程，并整理得 7 2－14 x ＋ 1＝0.4x 41 3 21故 x 1＋ x 2＝ 2， x 1x 2＝ 28，代入②解得 | d | ＝ 28 .3 21 3 21 所以该数列的公差为 28或－28.研究提升1. 在波及弦长的问题中，应娴熟地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝ 1＋ k 2| x 2 －x 1| ，设而不求计算弦长；波及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算 .2. 对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件>0，在用“点差法”时，要查验直线与圆锥曲线能否订交 .22【训练 4】 (2018 ·天津卷 ) 设椭圆x2＋ y2＝ 1(> >0) 的左焦点为，上极点为，已知椭圆a ba bF B5的离心率为 3 ，点 A 的坐标为 ( b ， 0) ，且 | FB | ·|AB | ＝ 6 2.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线 l ：y ＝ kx ( k >0) 与椭圆在第一象限的交点为| AQ | P ，且 l 与直线 AB 交于点 Q . 若||＝PQ5 2 k 的值 .sin ∠( 为原点 ) ，求4 AOQOc 2 5解 (1) 设椭圆的焦距为 2c ，由已知有 a 2＝ 9，又由 a 2＝ b 2＋ c 2，可得 2a ＝ 3b .由已知可得， | FB | ＝a ， | AB | ＝ 2b ，由| FB | ·|AB | ＝ 6 2，可得 ab ＝ 6，进而 a ＝ 3， b ＝2.x2y2所以，椭圆的方程为＋＝1.9 4(2)设点 P的坐标为( x1， y1)，点 Q的坐标为( x2， y2). 由已知有 y1>y2>0，故| PQ|sin ∠AOQ＝y1－y2.又因为 | AQ| ＝y2 π，而∠ OAB＝4，sin ∠OAB故| AQ| ＝ 2y .2| AQ| 5 2sin 1 2由| |＝ 4 ∠ AOQ，可得5y ＝ 9y .PQy＝ kx，6k由方程组 2 y 2 1x 消去 x，可得 y ＝ 2 .9＋4＝ 1，9k ＋ 4 易知直线 AB的方程为 x＋ y－2＝0，y＝ kx， 2k由方程组x＋y－2＝0，消去x，可得y2＝k＋1.代入 5y1＝ 9y2，可得 5( k＋ 1) ＝ 3 9k2＋ 4，将等式两边平方，整理得56k2－50k＋ 11＝ 0，111解得 k＝2或 k＝28.111所以， k 的值为2或28.1.椭圆、双曲线的方程形式上可一致为Ax2＋ By2＝1，此中 A，B 是不等的常数， A＞ B＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆； B＞ A＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆； AB＜0时表示双曲线.2. 对波及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰入采用定义解题，会成效显然，定义中的定值是标准方程的基础.c3. 求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a， c，计算 e＝a；法二：依据已知条c件确定 a，b， c 的等量关系，而后把 b 用 a， c 代换，求a.4.弦长公式对于直线与椭圆的订交、直线与双曲线的订交、直线与抛物线的订交都是通用的，此公式能够记忆，也能够在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1) 点差法，设弦的两头点坐标分别为( x1，y1) ， ( x2，y2) ，分别代入圆锥曲线方程，两式作y 1－ y 2差，式中含有x 1＋ x 2，y 1＋y 2， 三个量，则成立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直x 1－ x 2线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2) 根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题2 21.(2018 ·合肥调研 ) 已知双曲线： y2－ x 2＝ 1( >0， b >0) 的一条渐近线与直线2 x － ＋1＝0C ab ay垂直，则双曲线 C 的离心率为 ()A.2B. 2C.3D. 5ab 22分析 依题意， 2· － b ＝－ 1，∴ b ＝ 2a . 则 e ＝ 1＋ a ＝ 5，∴ e ＝ 5. 答案 D2.(2018 ·南昌质检 ) 已知抛物线： 2＝ 4 y ，过抛物线C 上两点 ， B 分别作抛物线的两条切C xA线 PA ， PB ， P 为两切线的交点，→ →O 为坐标原点，若 PA · PB ＝0，则直线 OA 与 OB 的斜率之积 为()11A.－ 4B. －3C. －8D.－ 422分析 设x A，x B ， x B，由 2＝，得 ′＝ x 所以 AP ＝ A B→·→＝ ，A x A ，B 4 x 4y y k x ， BP ＝ x，由4 2. 2 k2PAPB 0得 ⊥ . ∴x·x＝－ 1，则 A · B ＝－ 4，又 OA · OB ＝ x22＝－1.·x＝x xPA PBABx xkk A BA B2 24x A 4x B16 4答案A22y3.(2017 ·全国Ⅰ卷 ) 已知 F 是双曲线 C ： x － ＝ 1 的右焦点， P 是 C 上一点，且PF 与 x 轴垂直，点 A 的坐标是 (1 ， 3) ，则△ APF 的面积为 ()1 123 A.B.C.D.3232分析 由 c 2＝a 2＋ b 2＝ 4 得 c ＝ 2，所以 F (2 ，0) ，2y 2将 x ＝ 2 代入 x － 3 ＝ 1，得 y ＝± 3，所以 | PF | ＝ 3.又 A 的坐标是 (1 ，3)， 故△ APF 的面积为1×3×(2 － 1) ＝ 3 . 2 2答案D地地道道的达到：x224. 已知椭圆 2＋y2＝ 1( > >0) 的左、右焦点分别为 1， 2， O 为坐标原点， A 为椭圆上一C aba bF F点，∠ F AF ＝ ，连结 AF 交 y 轴于 点，若 3| |＝ | | ，则该椭圆的离心率为()12π 2221 3510 A. 3B. 3C. 8D. 4分析设 | AF 1| ＝ m ， | AF 2| ＝ n .以下图，由题意可得∵ R t △ F 1AF 2∽ Rt △ MOF 2.∴ |AF 1|＝ | OM |＝ 1，则 n ＝ 3m . 又 | AF 1| ＋ | AF 2| ＝m ＋n ＝ 2a ， AF 2| | OF 2| 3|a 3 ∴m ＝ 2， n ＝ 2a .22 210 22在 Rt △ F 1AF 2 中， m ＋ n ＝ 4c ，即 4 a ＝ 4c ，2 c 2 10 10 ∴e ＝ a 2＝ 16，故 e ＝ 4 . 答案 D1， 2 分别为双曲线x225.(2018 ·石家庄调研 ) 已知 2－y2＝ 1( a >0， >0) 的左、右焦点，P 为双FFabb曲线上一点， PF 与 x 轴垂直，∠PFF ＝30°，且虚轴长为 2 2，则双曲线的标准方程为()21 2A. x 2－ y 2＝ 1B. x 2－ y 2 ＝14232222C.x－ y＝ 1D. x 2－ y＝14 8 2 分析 如图，不如设点 P ( x ， y ) 在第一象限，则 PF ⊥ x 轴，2在 Rt △ PF 1F 2 中，∠ PF 1F 2＝30°， | F 1F 2| ＝ 2c ，2 34 3c2c13 ，则| PF | ＝3 ，| PF | ＝2 3又因为 | PF 1| －| PF 2| ＝ c ＝ 2a ，即 c ＝ 3a .3又 2b ＝ 2 2，知 b ＝ 2，且 c 2－ a 2＝ 2，进而得 a 2＝1， c 2＝ 3.x 2y 2故双曲线的标准方程为 － 2＝1.答案 D 二、填空题6.(2018 ·北京卷 ) 已知直线 l 过点 (1 ， 0) 且垂直于 x 轴 . 若 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为 ________.分析 由题意知， a >0，对于 y 2 ＝4ax ，当 x ＝ 1 时， y ＝±2 a ，因为 l 被抛物线 y 2＝ 4ax 截 得的线段长为 4，所以 4 a ＝4，所以 a ＝ 1，所以抛物线的焦点坐标为(1 ，0).答案 (1 ，0)x 2 y 27.(2018 ·江苏卷 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，若双曲线 a 2 － b 2＝ 1( a >0， b >0) 的右焦点 F ( c ，0) 到一条渐近线的距离为 3 ，则其离心率的值是 ________.2 cb分析 不如设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ a x ，| bc |32223 2所以 a 2＋ b 2 ＝ b ＝ 2 c ，所以 b ＝ c － a ＝ 4c ，得 c ＝ 2a ，c所以双曲线的离心率e ＝ a ＝ 2.答案 28. 设抛物线 x 2＝ 4y 的焦点为 F ， A 为抛物线上第一象限内一点，知足| AF | ＝ 2；已知 P 为抛物线准线上任一点，当 | PA | ＋| PF | 获得最小值时，△ PAF 的外接圆半径为 ________. 分析 由 x 2＝4 y ，知 ＝ 2，∴焦点 (0 ，1) ，准线 y ＝－ 1.pF依题意，设 A ( x 0， y 0)( x 0>0) ，p由定义，得 | AF | ＝ y 0＋2，则 y 0＝ 2－ 1＝ 1，∴ AF ⊥ y 轴 .易知当 P (1 ，－ 1) 时， | PA | ＋| PF | 最小，∴ | PF | ＝ 12＋（－ 1－ 1） 2＝ 5. 由正弦定理， 2 ＝ |PF |＝ 5 ＝ 5， R sin A 2 255所以△ PAF 的外接圆半径R ＝4.答案54三、解答题9.(2018 ·全国Ⅱ卷 ) 设抛物线 C ：y 2＝ 4x 的焦点为 F ，过 F 且斜率为 k ( k >0) 的直线 l 与 C 交 于 A ，B 两点， | AB | ＝8.(1) 求 l 的方程；(2) 求过点 A ， B 且与 C 的准线相切的圆的方程 .解(1) 由题意得 F (1 ， 0) ， l 的方程为 y ＝ k ( x －1)( k >0).设 A ( x 1， y 1) ， B ( x 2， y 2).y ＝ k （x － ）， 由y 2＝ 4x1得 k 2x 2－ (2 k 2＋4) x ＋ k 2＝ 0.2 2＋4＝ 16k 2＋ 16>0，故 x 1＋x 2＝k2.k所以 | AB | ＝| AF | ＋ | BF | ＝ ( x ＋ 1) ＋ ( x ＋ 1) ＝4k 2＋ 4 .212k由题设知 4k 2＋4k 2 ＝ 8，解得 k ＝－ 1( 舍去 ) ， k ＝ 1.所以 l 的方程为 y ＝x － 1.(2) 由 (1) 得 AB 的中点坐标为 (3 ， 2) ，所以 AB 的垂直均分线方程为 y － 2＝－ ( x － 3) ，即 y ＝－ x ＋ 5.设所求圆的圆心坐标为( x 0， y 0) ，则0 ＝－ x 0y ＋ 5，2（ x 0＋ 1） 2＝（y － x ＋1）＋16.2x 0＝ 3， x 0＝11，解得或y 0＝ 2y 0＝－ 6.所以所求圆的方程为 ( x － 3) 2＋ ( y － 2) 2＝ 16 或 ( x － 11) 2＋ ( y ＋ 6) 2＝144.10.(2017 ·北京卷) 已知椭圆 C 的两个极点分别为 A ( － 2， 0) ， B (2 ，0) ，焦点在 x 轴上，离3心率为2.(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 点 D 为 x 轴上一点，过 D 作 x 轴的垂线交椭圆 C 于不一样的两点 M ， N ，过 D 作 AM 的垂线交 BN 于点 E . 求证：△ BDE 与△ BDN 的面积之比为 4∶ 5.(1) 解 设椭圆C 的方程为 x2y 2＝ 1( > >0).2＋ 2a b a ba ＝ 2，由题意得 c3 解得 c ＝ 3. 所以 b 2＝ a 2－ c 2＝ 1. a＝2，x 22所以椭圆 C 的方程为 4＋ y ＝ 1.(2) 证明 设 ( ，)，则 ( ，0)， ( ，－ ).M m nD m N mn由题设知 ≠± 2，且n ≠0.m地地道道的达到n直线 AM 的斜率 k AM ＝，m ＋ 2故直线 DE 的斜率 k DE ＝－n .m ＋ 2所以直线 DE 的方程为 y ＝－ n( x － m ).直线 BN 的方程为 y ＝n( x －2).2－ mm ＋ 2 y ＝－n（ x － m ），联立ny ＝（ x － 2），2－ m2n （ 4－m ）解得点 E 的纵坐标 y E ＝－2 2.4－ m ＋ n22由点 M 在椭圆 C 上，得 4－ m ＝ 4n ，4En .所以 y ＝－5 12又 S △ BDE ＝2| BD | ·|y E | ＝ 5| BD | ·|n | ，1S △ BDN ＝ 2| BD | ·|n |.所以△与△ 的面积之比为 4∶ 5.BDE BDN11. 设 F ，F 分别是椭圆 C ：a22＋ b＝ 1( a >b >0) 的左、右焦点， M 是椭圆 C 上一点，且 MF 与 x12x 2y223 3轴垂直，直线 MF 1 在 y 轴上的截距为 4 ，且 | MF 2| ＝ 5| MF 1|. (1) 求椭圆 C 的方程；22→ →(2) 已知直线 l ：y ＝ kx ＋t 与椭圆 C 交于 E 、F 两点，且直线 l 与圆 7x ＋ 7y ＝12 相切，求OE · OF 的值 ( O 为坐标原点 ). 解 (1) 设直线1与 y 轴的交点为，则 || ＝ 3 .MFNON 4∵MF 2⊥ x 轴，∴在△ F 1F 2M 中， ON 綉1MF 2，23则| MF 2| ＝ 2.3又| MF 2| ＋ | MF 1| ＝ 2a ， | MF 2| ＝ 5| MF 1| ，33∴ | MF 2| ＝ 4a ＝2，∴ a ＝2.2又| MF 2| ＝ b，∴ b 2＝ 3.a地地道道的达到∴椭圆 C 的标准方程为x 2＋ y 2＝ 1.4 3(2) 设 E ( x 1， y 1 ) ， F ( x 2， y 2) ，y ＝ kx ＋ t ，联立 x 2 y 2 消 y 得(3 ＋ 4k 2) x 2＋ 8ktx ＋ 4t 2 －12＝ 0.＋ ＝ 1，438kt4t 2－ 12∴x 1＋ x 2＝－ 3＋ 4k 2， x 1x 2＝ 3＋ 4k 2 ，＝ (8 kt ) 2－4(3＋ k2t 2－12)>0 ，得 t2＋ k 2，(*)4 )(4<34→ →x ＋ y y ＝ xx ＋ ( kx ＋t )( kx ＋ t )则OE · OF ＝ x1 1 21 21 22＝ (1 ＋ k 2) x 1x 2＋ kt ( x 1＋ x 2) ＋ t 2（ 1＋ k 2）（ 4t 2－ 12） 8k 2t 2 t 2（ 3＋ 4k 2）＝3＋4k 2 － 3＋ 4k 2＋ 3＋ 4k 2 7t 2－ 12（ 1＋ k 2） ＝ 3＋ 4k 2. 又直线 l 与圆 7x 2＋ 7y 2＝12 相切，| t |1227 2∴ 1＋ k2＝7 ，则 1＋ k ＝12t 知足 (*) 式，7t 2 －12× 7 t 2→ → 12 故OE · OF ＝ 3＋4 2 ＝ 0.k呵呵复生复生复生。
2019版高考数学二轮复习课件+训练：重点增分专题十一圆锥曲线的方程与性质讲义理(普通生,含解析)
重点增分专题十一 圆锥曲线的方程与性质[全国卷3年考情分析](1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年高考必考的内容．以选择题、填空题的形式考查，常出现在第4～12或15～16题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程，难度中等．(2)圆锥曲线的综合问题多以解答题的形式考查，常作为压轴题出现在第19～20题的位置，一般难度较大．考点一 圆锥曲线的定义 保分考点·练后讲评1.[椭圆的定义]设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 25＝1的两个焦点，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点在y 轴上，则|PF 2||PF 1|的值为( )A.514B.59C.49D.513解析：选D 如图，设线段PF 1的中点为M ，因为O 是F 1F 2的中点，所以OM ∥PF 2，可得PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝b 2a ＝53，|PF 1|＝2a －|PF 2|＝133，所以|PF 2||PF 1|＝513.2.[双曲线的定义]已知双曲线的虚轴长为4，离心率e ＝62，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A ，B 两点，且|AB |是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB |等于( )A ．8 2B ．4 2C ．2 2D ．8解析：选A 由题意可知2b ＝4，e ＝c a ＝62，于是a ＝2 2.∵2|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|， ∴|AB |＋|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，得|AB |＝|AF 2|－|AF 1|＋|BF 2|－|BF 1|＝4a ＝8 2.3.[抛物线的定义]过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2，4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：4[解题方略] 圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离)．[注意] 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误.考点二 圆锥曲线的标准方程 保分考点·练后讲评[大稳定——常规角度考双基]1.[双曲线的标准方程]已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1解析：选A 易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y ＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝2 5.结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1.2.[椭圆的标准方程]若椭圆的中心为坐标原点，短轴的一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的距离的最小值为3，则椭圆的标准方程为________．解析：设长半轴长为a ，短半轴长为b ，半焦距为c ，由已知得⎩⎨⎧b ＝3c ，a －c ＝3，又a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎨⎧a ＝23，b ＝3，c ＝ 3.∴椭圆的标准方程为x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝1.答案：x 212＋y 29＝1或x 29＋y 212＝13.[抛物线的标准方程]若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的标准方程为____________________．解析：因为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点到抛物线对称轴的距离为6， 若设该点为P ，则P (x 0，±6)．因为P 到抛物线焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0的距离为10，根据抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.② 由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1， 所以抛物线的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝36x . 答案：y 2＝4x 或y 2＝36x[解题方略] 求解圆锥曲线标准方程的思路[小创新——变换角度考迁移]1.[双曲线与向量交汇]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ，点B 是虚轴的一个端点，线段BF 与双曲线C 的右支交于点A ，若BA ―→＝2AF ―→，且|BF ―→|＝4，则双曲线C 的方程为( )A.x 26－y 25＝1B.x 28－y 212＝1C.x 28－y 24＝1 D.x 24－y 26＝1解析：选D 不妨设B (0，b )，由BA ―→＝2AF ―→，F (c,0)，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2c 3，b 3，代入双曲线C的方程可得49×c 2a 2－19＝1，∴b 2a 2＝32.① 又|BF ―→|＝b 2＋c 2＝4，c 2＝a 2＋b 2， ∴a 2＋2b 2＝16.②由①②可得，a 2＝4，b 2＝6， ∴双曲线C 的方程为x 24－y 26＝1.2.[抛物线在物理知识中的创新]抛物线有如下光学性质：由焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必经过抛物线的焦点．若抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，一平行于x 轴的光线从点M (3，1)射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为( )A.43 B ．－43C ．±43D ．－169解析：选B 将y ＝1代入y 2＝4x ，可得x ＝14，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，1.由抛物线的光学性质可知，直线AB 过焦点F (1,0)，所以直线AB 的斜率k ＝1－014－1＝－43.3.[椭圆中的创新]如图，记椭圆x 225＋y 29＝1，y 225＋x 29＝1内部重叠区域的边界为曲线C ，P 是曲线C 上的任意一点，给出下列四个命题：①P 到F 1(－4,0)，F 2(4,0)，E 1(0，－4)，E 2(0,4)四点的距离之和为定值；②曲线C 关于直线y ＝x ，y ＝－x 均对称；③曲线C 所围区域的面积必小于36； ④曲线C 的总长度不大于6π. 其中正确命题的序号为________．解析：对于①，若点P 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则P 到F 1(－4，0)，F 2(4,0)两点的距离之和为定值，到E 1(0，－4)，E 2(0,4)两点的距离之和不为定值，故①错；对于②，联立两个椭圆的方程⎩⎪⎨⎪⎧x 225＋y 29＝1，y 225＋x29＝1，得y 2＝x 2，结合椭圆的对称性知，曲线C 关于直线y ＝x ，y＝－x 均对称，故②正确；对于③，曲线C 所围区域在边长为6的正方形内部，所以其面积必小于36，故③正确；对于④，曲线C 所围区域的内切圆为半径为3的圆，所以曲线C 的总长度必大于圆的周长6π，故④错．所以正确命题的序号为②③.答案：②③考点三 圆锥曲线的几何性质 增分考点·深度精研[析母题——高考年年“神”相似][典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( )A.23 B.12C.13D.14(2)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为5，△AOB 的面积为2，则p ＝( )A ．2B ．1C ．2 3D ．3(3)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2(e 为双曲线离心率)的值为________．[解析] (1)如图，作PB ⊥x 轴于点B .由题意可设|F1F 2|＝|PF 2|＝2，则c ＝1.由∠F 1F 2P ＝120°，可得|PB |＝3，|BF 2|＝1，故|AB |＝a ＋1＋1＝a ＋2，tan ∠PAB ＝|PB ||AB |＝3a ＋2＝36，解得a ＝4，所以e ＝c a ＝14.(2)不妨设A 点在B 点上方，由双曲线的离心率为5，得1＋b 2a 2＝e 2＝5，解得ba＝2，所以双曲线的两条渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .又抛物线的准线方程为x ＝－p2，则交点的坐标为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，－p ，所以|AB |＝2p .由△AOB 的面积为2，得12|AB |·p 2＝2，即12×2p ×p2＝2，解得p ＝2，故选A.(3)如图所示，因为|AF1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|AF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝4a . 所以|AF 1|＝22a ， |AF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.[答案] (1)D (2)A (3)5－2 2[练子题——高考年年“形”不同]1．本例(3)若变为：已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝________.解析：设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，因为△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形， 所以|AB |＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m . 由椭圆的定义可知△F 1AB 的周长为4a ， 所以4a ＝2m ＋2m ，即m ＝2(2－2)a . 所以|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a . 因为|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，所以4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2＝4c 2， 所以e 2＝9－6 2. 答案：9－6 22．本例(3)若变为：F 1，F 2为双曲线的两个焦点，点A 在双曲线上，且△AF 2F 1为等腰直角三角形，则双曲线的离心率为______．解析：注意到|F 2A |≠|F 1A |， 不妨设|F 2A |＞|F 1A |.因为△AF 2F 1为等腰直角三角形， 则|F 2A |∶|F 1F 2|∶|F 1A |＝2∶1∶1.所以e ＝c a ＝|F 1F 2||F 2A |－|F 1A |＝12－1＝2＋1.答案：2＋13．本例(3)中，若双曲线上存在一点P ，使得sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝ac，求双曲线离心率的取值范围．解：如图所示，由⎩⎪⎨⎪⎧sin ∠PF 1F 2sin ∠PF 2F 1＝|PF 2||PF 1|＝a c ，|PF 1|－|PF 2|＝2a ，得|PF 1|＝2acc －a， 且|PF 2|＝2a2c －a .又由|PF 1|≥a ＋c ，可得2ac c －a≥a ＋c ，即e 2－2e －1≤0， 解得1－2≤e ≤2＋1，又因为e >1，所以双曲线离心率的取值范围为(1，2＋1]． [解题方略]1．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．[多练强化]1．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±3xC ．y ＝±22x D ．y ＝±32x 解析：选A ∵e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝3，∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝2a . ∴渐近线方程为y ＝±2x .2．(2018·阜阳模拟)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P 使得PF 1⊥PF 2，则该椭圆的离心率的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1 C.⎝⎛⎦⎥⎤0，55 D.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 解析：选B ∵F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右两个焦点，∴F 1(－c,0)，F 2(c,0)，c 2＝a 2－b 2.设点P (x ，y )，由PF 1⊥PF 2，得(x ＋c ，y )·(x －c ，y )＝0，化简得x 2＋y 2＝c 2.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝c 2，x 2a 2＋y2b2＝1，整理得，x 2＝(2c 2－a 2)·a 2c 2≥0，解得e ≥22.又0＜e ＜1，∴22≤e ＜1. 3．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)，圆的方程为x 2＋y 2＝r 2. ∵|AB |＝42，|DE |＝25， 抛物线的准线方程为x ＝－p2，∴不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5. ∵点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5在圆x 2＋y 2＝r 2上，∴⎩⎪⎨⎪⎧16p 2＋8＝r 2，p 24＋5＝r 2，∴16p 2＋8＝p24＋5，∴p ＝4(负值舍去)． ∴C 的焦点到准线的距离为4.4．(2018·惠州调研)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是________．解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c )，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－ab x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a ，c2.因为点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－bc 2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22<c 2，化简得b 2<3a 2，即c 2－a 2<3a 2，解得ca <2，又双曲线的离心率e ＝ca ＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．答案：(1,2)考点四 直线与圆锥曲线 增分考点·广度拓展[分点研究]题型一 直线与圆锥曲线的位置关系[例1] (2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．[解] (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝p tx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下： 直线MH 的方程为y －t ＝p2t x ，即x ＝2tp(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0， 解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点． [解题方略]1．直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其Δ>0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到．2．直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切．题型二 直线与圆锥曲线的弦长[例2] 已知椭圆C ：x 2a2＋y 2＝1(a ＞1)，F 1，F 2分别是其左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P ，点P 横坐标的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，求线段AB 长度的取值范围．[解] (1)因为以F 1F 2为直径的圆与椭圆C 有且仅有两个交点， 所以b ＝c ＝1，即a ＝b 2＋c 2＝2， 所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)过点F 1且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于A ，B 两点，即直线AB 的斜率存在且不为0.设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)，与x 22＋y 2＝1联立，得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M ，则x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋1)＋k (x 2＋1)＝2k1＋2k 2，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 21＋2k 2，k 1＋2k 2.所以线段AB 的垂直平分线的方程为 y －k1＋2k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2k 21＋2k 2， 设点P (x P ，y P )，令y ＝0，得x P ＝－k 21＋2k 2.因为x P ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0，所以0＜k 2＜12.|AB |＝ ＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 21＋2k 22－4×2k 2－21＋2k 2 ＝22＋k21＋2k2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋2k 2. 因为0＜k 2＜12，所以32＜1＋11＋2k 2＜2，即322＜|AB |＜2 2. 故线段AB 长度的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫322，22.[解题方略] 直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y 或x 后得到一元二次方程，当Δ＞0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系求出x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2，则弦长|AB |＝1＋k 2·x 1－x 22＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1k2·|y 1－y 2|＝1＋1k2·y 1＋y 22－4y 1y 2(k为直线的斜率且k ≠0)，当A ，B 两点坐标易求时也可以直接用|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22求之．[多练强化]已知点M ⎝⎛⎭⎪⎫22，233在椭圆G ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上，且点M 到两焦点的距离之和为4 3. (1)求椭圆G 的方程；(2)若斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底作等腰三角形，顶点为P (－3,2)，求△PAB 的面积．解：(1)∵2a ＝43，∴a ＝2 3. 又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，233在椭圆上，∴23＋43b2＝1，解得b 2＝4， ∴椭圆G 的方程为x 212＋y 24＝1.(2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 212＋y24＝1，得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0. ①设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1<x 2)，AB 的中点为E (x 0，y 0)， 则x 0＝x 1＋x 22＝－3m 4，y 0＝x 0＋m ＝m4. ∵AB 是等腰△PAB 的底边，∴PE ⊥AB . ∴PE 的斜率k ＝2－m4－3＋3m 4＝－1，解得m ＝2.此时方程①为4x 2＋12x ＝0，解得x 1＝－3，x 2＝0， ∴y 1＝－1，y 2＝2，∴|AB |＝3 2.此时，点P (－3,2)到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝322，∴△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝92.数学运算——直线与圆锥曲线综合问题的求解[典例] 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为(3，0)，且经过点⎝⎛⎭⎪⎫－1，32，点M 是x 轴上的一点，过点M 的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 在x 轴的上方)．(1)求椭圆C 的方程；(2)若AM ―→＝2MB ―→，且直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切于点N ，求|MN |.[解] (1)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝c 2＝3，－2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得(a 2－4)(4a 2－3)＝0，又a 2＝3＋b 2＞3，故a 2＝4，则b 2＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (m,0)，直线l ：x ＝ty ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由AM ―→＝2MB ―→，得y 1＝－2y 2.由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，x ＝ty ＋m得(t 2＋4)y 2＋2tmy ＋m 2－4＝0，则y 1＋y 2＝－2tm t 2＋4，y 1y 2＝m 2－4t 2＋4.由y 1y 2＝－2y 22，y 1＋y 2＝－2y 2＋y 2＝－y 2， 得y 1y 2＝－2[－(y 1＋y 2)]2＝－2(y 1＋y 2)2，所以m 2－4t 2＋4＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2tm t 2＋42，化简得(m 2－4)(t 2＋4)＝－8t 2m 2. 易知原点O 到直线l 的距离d ＝|m |1＋t2，又直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝47相切，所以|m |1＋t2＝47，即t 2＝74m 2－1. 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2－t 2＋＝－8t 2m 2，t 2＝74m 2－1，得21m 4－16m 2－16＝0， 即(3m 2－4)(7m 2＋4)＝0，解得m 2＝43，此时t 2＝43，满足Δ＞0，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫±233，0.在Rt △OMN 中，|MN |＝43－47＝42121. [素养通路]本题是直线与椭圆、圆的综合问题：(1)由题意，列关于a ，b 的方程组，解方程组可得a ，b 的值进而求得椭圆的方程；(2)设出M ，A ，B 的坐标及直线l 的方程x ＝ty ＋m ，与椭圆方程联立，再结合根与系数的关系，得m 与t 的关系，由直线与圆相切，得另一关系式，联立可得M 的坐标进而得|MN |.考查了数学运算这一核心素养．[专题过关检测]A 组——“6＋3＋3”考点落实练一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )A.13 B.12C.22D.223解析：选C ∵a 2＝4＋22＝8，∴a ＝22，∴e ＝c a ＝222＝22.2．一个焦点为(26，0)且与双曲线y 24－x 29＝1有相同渐近线的双曲线方程是( )A.y 218－x 28＝1 B.x 218－y 28＝1C.x 216－y 210＝1 D.y 216－x 210＝1解析：选B 设所求双曲线方程为y 24－x 29＝t (t ≠0)，因为一个焦点为(26，0)，所以|13t |＝26.又焦点在x 轴上，所以t ＝－2，即双曲线方程为x 218－y 28＝1.3．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选B 设P (x 0，y 0)，依题意可得|PF |＝x 0＋1＝2，解得x 0＝1，故y 20＝4×1，解得y 0＝±2，不妨取P (1,2)，则△OFP 的面积为12×1×2＝1.4．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：选D ∵e ＝ca ＝1＋b 2a 2＝2，∴ba＝1. ∴双曲线的渐近线方程为x ±y ＝0. ∴点(4,0)到C 的渐近线的距离d ＝42＝2 2.5．已知双曲线x 2－y 28＝1 的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，则|AB |＝( )A ．2 2B ．3C ．4D ．22＋1解析：选C 设双曲线的实半轴长为a ，依题意可得a ＝1，由双曲线的定义可得|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝2，|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝2，又|AF 1|＝|BF 1|，故|AF 2|－|BF 2|＝4，又|AB |＝|AF 2|－|BF 2|，故|AB |＝4.6．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )A ．1－32B ．2－ 3C.3－12D.3－1解析：选D 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 2F 1＝60°， 不妨设椭圆焦点在x 轴上，且焦距|F 1F 2|＝2， 则|PF 2|＝1，|PF 1|＝3，由椭圆的定义可知，方程x 2a 2＋y 2b2＝1中，2a ＝1＋3，2c ＝2，得a ＝1＋32，c ＝1，所以离心率e ＝c a ＝21＋3＝3－1.二、填空题7．已知双曲线x 2a 2－y 2＝1(a >0)的渐近线方程为y ＝±33x ，则其焦距为________．解析：由渐近线方程y ＝±33x ，可得1a ＝33，解得a ＝3， 故c ＝32＋1＝2，故焦距为4.答案：48．设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，|AB |为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为________．解析：设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意可知，直线l 过焦点，且垂直于x 轴，将x ＝c 代入双曲线方程，解得y ＝±b 2a，则|AB |＝2b2a，由|AB |＝2×2a ，则b 2＝2a 2，所以双曲线的离心率e ＝ca＝1＋b 2a2＝ 3.答案： 39．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，准线为x ＝－1，直线l 与抛物线C 交于M ，N 两点，若线段MN 的中点为(1,1)，则直线l 的方程为________．解析：依题意易得抛物线的方程为y 2＝4x ，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，因为线段MN 的中点为(1,1)，故x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，则x 1≠x 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝2，故直线l 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 答案：2x －y －1＝0 三、解答题10．(2018·石家庄模拟)设A ，B 为曲线C ：y ＝x 22上两点，A 与B 的横坐标之和为2.(1)求直线AB 的斜率；(2)设M 为曲线C 上一点，曲线C 在点M 处的切线与直线AB 平行，且AM ⊥BM ，求直线AB 的方程．解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝x 212，y 2＝x 222，x 1＋x 2＝2，故直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 22＝1. (2)由y ＝x 22，得y ′＝x .设M (x 3，y 3)，由题设知x 3＝1，于是M ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12. 设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，故线段AB 的中点为N (1,1＋m )，|MN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 22，得x 2－2x －2m ＝0.由Δ＝4＋8m >0，得m >－12，x 1,2＝1±1＋2m .从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝2＋2m .由题设知|AB |＝2|MN |，即＋2m ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪m ＋12，解得m ＝72，所以直线AB 的方程为y ＝x ＋72.11．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1,0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －，y 2＝4x得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝1或k ＝－1(舍去)．因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)， 即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，x 0＋2＝y 0－x 0＋22＋16.解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.12．已知直线x ＋ky －3＝0所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点，且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8.(1)求椭圆C 的标准方程．(2)已知圆O ：x 2＋y 2＝1，直线l ：mx ＋ny ＝1，试证：当点P (m ，n )在椭圆C 上运动时，直线l 与圆O 恒相交，并求直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，直线x ＋ky －3＝0所经过的定点是(3,0)， 即点F (3,0)．因为椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8， 所以a ＋3＝8，a ＝5，所以b 2＝52－32＝16， 所以椭圆C 的方程为x 225＋y 216＝1.(2)因为点P (m ，n )在椭圆C 上， 所以m 225＋n 216＝1，即n 2＝16－16m225.又原点到直线l ：mx ＋ny ＝1的距离d ＝1m 2＋n2＝1925m 2＋16<1，所以直线l ：mx ＋ny ＝1与圆O ：x 2＋y 2＝1恒相交．则l 2＝4(12－d 2)＝4⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－1925m 2＋16， 因为－5≤m ≤5，所以152≤l ≤465. 故直线l 被圆O 所截得的弦长l 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤152，465.B 组——大题专攻补短练1．已知抛物线C ：x 2＝2py (p >0)，过焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，D 是抛物线的准线l 与y 轴的交点．(1)若AB ∥l ，且△ABD 的面积为1，求抛物线的方程； (2)设M 为AB 的中点，过M 作l 的垂线，垂足为N . 证明：直线AN 与抛物线相切． 解：(1)∵AB ∥l ，∴|AB |＝2p . 又|FD |＝p ，∴S △ABD ＝p 2＝1.∴p ＝1，故抛物线C 的方程为x 2＝2y . (2)证明：设直线AB 的方程为y ＝kx ＋p2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋p 2，x 2＝2py消去y 得，x 2－2kpx －p 2＝0.∴x 1＋x 2＝2kp ，x 1x 2＝－p 2.其中A ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，x 212p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，x 222p .∴M ⎝⎛⎭⎪⎫kp ，k 2p ＋p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫kp ，－p 2. ∴k AN ＝x 212p ＋p 2x 1－kp ＝x 212p ＋p 2x 1－x 1＋x 22＝x 21＋p 22p x 1－x 22＝x 21－x 1x 22p x 1－x 22＝x 1p.又x 2＝2py ，即y ＝x 22p ，∴y ′＝xp.∴抛物线x 2＝2py 在点A 处的切线斜率k ＝x 1p. ∴直线AN 与抛物线相切．2．(2018·贵阳适应性考试)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点M 为短轴的上端点，MF 1―→·MF 2―→＝0，过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝ 2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点(2，－1)且不经过点M 的直线l 与C 相交于G ，H 两点．若k 1，k 2分别为直线MH ，MG 的斜率，求k 1＋k 2的值．解：(1)由MF 1―→·MF 2―→＝0，得b ＝c .①因为过F 2垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，B 两点，且|AB |＝2，所以b 2a ＝22.②又a 2＝b 2＋c 2，③联立①②③，解得a 2＝2，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)设直线l 的方程为y ＋1＝k (x －2)， 即y ＝kx －2k －1，将y ＝kx －2k －1代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (2k ＋1)x ＋8k 2＋8k ＝0， 由题设可知Δ＝－16k (k ＋2)>0， 设G (x 1，y 1)，H (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4kk ＋1＋2k 2，x 1x 2＝8k 2＋8k1＋2k2，k 1＋k 2＝y 1－1x 1＋y 2－1x 2＝kx 1－2k －2x 1＋kx 2－2k －2x 2＝2k －k ＋4kk ＋1＋2k 28k 2＋8k1＋2k2＝2k －(2k ＋1)＝－1，所以k 1＋k 2＝－1.3．(2019届高三·唐山五校联考)在直角坐标系xOy 中，长为2＋1的线段的两端点C ，D 分别在x 轴，y 轴上滑动，CP ―→＝ 2 PD ―→.记点P 的轨迹为曲线E .(1)求曲线E 的方程；(2)经过点(0,1)作直线l 与曲线E 相交于A ，B 两点，OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，当点M 在曲线E 上时，求直线l 的方程．解：(1)设 C (m,0)，D (0，n )，P (x ，y )．由CP ―→＝ 2 PD ―→，得(x －m ，y )＝2(－x ，n －y )，所以⎩⎨⎧x －m ＝－2x ，y ＝2n －y ，得⎩⎨⎧m ＝2＋x ，n ＝2＋12y ，由|CD ―→|＝2＋1，得m 2＋n 2＝(2＋1)2， 所以(2＋1)2x 2＋2＋22y 2＝(2＋1)2， 整理，得曲线E 的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由OM ―→＝OA ―→＋OB ―→，知点M 的坐标为(x 1＋x 2，y 1＋y 2)．易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，代入曲线E 的方程，得(k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2， 所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2＝4k 2＋2. 由点M 在曲线E 上，知(x 1＋x 2)2＋y 1＋y 222＝1， 即4k 2k 2＋2＋8k 2＋2＝1，解得k 2＝2.此时直线l 的方程为y ＝±2x ＋1.4.如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点、上顶点分别为点A ，B ，且|AB |＝52|BF |. (1)求椭圆C 的离心率；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617，217在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，M 为线段P Q 的中点，且OP ⊥O Q ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程．解：(1)由已知|AB |＝52|BF |， 得 a 2＋b 2＝52a ， 即4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2，所以e ＝ca ＝32. (2)由(1)知a 2＝4b 2，所以椭圆C 的方程可化为x 24b 2＋y 2b2＝1. 设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，由x 214b 2＋y 21b 2＝1，x 224b 2＋y 22b2＝1， 可得x 21－x 224b 2＋y 21－y 22b 2＝0，即x 1＋x 2x 1－x 24b 2＋y 1＋y 2y 1－y 2b 2＝0，即－3217x 1－x 24＋417(y 1－y 2)＝0，从而k P Q ＝y 1－y 2x 1－x 2＝2， 所以直线l 的方程为y －217＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1617， 即2x －y ＋2＝0.联立⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0. 则Δ＝322＋16×17×(b 2－4)>0⇔b >21717， x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217. 因为OP ⊥O Q ，OP ―→·O Q ―→＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0， x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0，5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0， 从而－4b 217－12817＋4＝0，解得b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1. 综上，直线l 的方程为2x －y ＋2＝0， 椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.。