2020年云南省高考数学一模试卷(理科)-普通用卷
第1页，共16页 高考数学一模试卷（理科） 题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 已知集合S={0，1，2}，T={0，3}，P=S∩T，则P的真子集共有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2. 已知i为虚数单位，则=（ ）
A. B. C. D. 3. 设向量=（x-1，x），=（-1，2），若，则x=（ ） A. B. -1 C. D. 4. 在（x-）10的二项展开式中，x6的系数等于（ ）
A. -180 B. C. D. 180
5. 执行如图所示的程序框图，则输出S的值等于（ ）
A. B. C. D. 6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1（单位mm），粗实线画出的是某种零件的三视图，则该零件的体积（单位：mm3）为（ ） 第2页，共16页
A. 108+24π B. 72+16π C. 96+48π D. 96+24π
7. 为得到函数y=sin3x-x的图象，只需要将函数y=2cos3x的图象（ ）
A. 向左平行移动个单位 B. 向右平行移动个单位
C. 向左平行移动个单位 D. 向右平行移动个单位
8. 已知α，β都为锐角，若tanβ=，cos（α+β）=0，则cos2α的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知M是抛物线C：y2=2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x=-1相切且经
过点N（1，0），设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 在△ABC中，内角A，B，C对的边分别为a，b，c，∠ABC=，BD平分∠ABC交AC于点D，BD=2，则△ABC的面积的最小值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
11. 双曲线M的焦点是F1，F2，若双曲线M上存在点P，使△PF1F2是有一个内角为
的等腰三角形，则M的离心率是（ ） A. B. C. D.
12. 已知e是自然对数的底数，不等于1的两正数x，y满足logxy+logyx=，若logxy＞l，
则xlny的最小值为（ ） A. -1 B. C. D. -
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 第3页，共16页
13. 若x，y满足约束条件，则目标函数z=y-x的最大值等于______． 14. 已知随机变量ξ服从正态分布N（1，2），则D（2ξ+3）=______ 15. 已知函数f（x）=，若f（m）=-6，则f（m-61）=______． 16. 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB=DC=AD=2，BC=4，PA⊥PD，平面PAD⊥平面ABCD，则球O的表面积为______ 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分） 17. 数列{an}中，a1=2，（n+1）（an+1-an）=2（an+n+1）．
（1）求a2，a3的值；
（2）已知数列{an}的通项公式是an=n+1，an=n2+1，an=n2+n中的一个，设数列{}
的前n项和为Sn，{an+1-an}的前n项和为Tn，若＞360，求n的取值范围．
18. 为降低汽车尾气排放量，某工厂设计制造了A、B两种不同型号的节排器，规定性能质量评分在[80，100]的为优质品．现从该厂生产的A、B两种型号的节排器中，分别随机抽取500件产品进行性能质量评分，并将评分分别分成以下六个组；[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]，绘制成如图所
示的频率分布直方图：
（1）设500件A型产品性能质量评分的中位数为M，直接写出M所在的分组区间； （2）请完成下面的列联表（单位：件）（把有关结果直接填入下面的表格中）； A型节排器 B型节排器 总计
优质品 非优质品 总计 500 500 1000 第4页，共16页
（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为A、B两种不同型号的节排器性能质量有差异？
附：K2=．其中n=a+b+c+d． P（K2≥k
0） 0.10 0.010 0.001
k0 2.706 6.635 10.828
19. 在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为菱形，且∠ABC=，M，N分别为棱AP，CD的中点． （1）求证：MN∥平面PBC； （2）若PD⊥平面ABCD，PB=2AB，求平面PBC与平面PAD所成二面角的正弦值．
20. 已知椭圆E的中心在原点，左焦点F1、右焦点F2都在x轴上，点M是椭圆E上的
动点，△F1MF2的面积的最大值为，在x轴上方使=2成立的点M只有一个． （1）求椭圆E的方程； （2）过点（-1，0）的两直线l1，l2分别与椭圆E交于点A，B和点C，D，且l1⊥l2，比较12（|AB|+|CD|）与7|AB||CD|的大小． 第5页，共16页
21. 已知e是自然对数的底数，函数f（x）=与F（x）=f（x）-x+的定义域都是（0，+∞）．
（1）求函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）求证：函数F（x）只有一个零点x0，且x0∈（1，2）；
（3）用min{m，n}表示m，n的最小值，设x＞0，g（x）=min{f（x），x-}，若函数h（x）=g（x）-cx2在（0，+∞）上为增函数，求实数c的取值范围．
22. 已知常数a是实数，曲线C1的参数方程为（t为参数），以原点O为
极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为cosθ=asinθ． （1）写出C1的普通方程与C2的直角坐标方程； （2）设曲线C1与C2相交于A，B两点，求|AB|的最小值．
23. 已知函数f（x）=|2x-a|+|x-2a+3|． （1）当a=2时，解关于x的不等式f（x）≤9； （2）当a≠2时，若对任意实数x，f（x）≥4都成立，求实数a的取值范围． 第6页，共16页
答案和解析 1.【答案】B
【解析】解：∵S={0，1，2}，T={0，3}； ∴P=S∩T={0}； ∴P的真子集为：∅，共1个． 故选：B． 根据集合S，T，即可求出P={0}，从而得出集合P的真子集为∅，共1个． 考查列举法的定义，以及交集的运算，真子集的定义． 2.【答案】C
【解析】解：= == = 故选：C． 分子分母同乘以分母的共轭复数1-i，化简即可． 本题考查复数的代数形式的乘除运算，属基础题． 3.【答案】C
【解析】【分析】 本题主要考查向量坐标的概念，以及平行向量的坐标关系，属于基础题．
根据即可得出2（x-1）+x=0，解出x即可． 【解答】 解：∵， ∴2（x-1）+x=0， ∴． 故选C． 4.【答案】D
【解析】解：（x-）10的二项展开式的通项公式为Tr+1=•（-2）r•x10-2r， 令10-2r=6，求得r=2，可得x6的系数为•（-2）2=180， 故选：D． 在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于6，求出r的值，即可求得x6的系数． 本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 5.【答案】C 第7页，共16页
【解析】解：模拟执行程序框图，可得 第1次运行，S=，a=2
第2次运行，S=，a=3 第3次运行，S=，a=4 … 第2019次运行，S=，a=2020
刚好满足条件a＞2019，则退出循环，输出S的值为． 故选：C． 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，a的值，当a=2020时，刚好满足条件
a＞2019，则退出循环，输出S的值为．
本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，a的值是解题的关键，属于基础题． 6.【答案】A
【解析】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体为组合体，左右两边均为圆柱， 上部圆柱的底面半径为2，母线长为6，下部是底面边长为6，高为3的长方体． ∴该零件的体积V=π×22×6+6×6×3=108+24π．
故选：A． 由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上部是圆柱，下部是长方体，利用三视图的数据求解几何体的体积即可． 本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 7.【答案】D
【解析】解：函数y=sin3x-x， 转换为y=2sin（3x-）的图象．
将y=2cos3x的图象转换为y=2sin（3x+），该图象向右平移个单位， 即可得到y=2sin（3x-）的图象． 故选：D． 直接利用三角函数关系式的平移变换和伸缩变换和诱导公式的应用求出结果． 本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题． 8.【答案】B
2020高考一模联考数学试卷原卷及解析卷完整版
南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．7．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________．9．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长；（2）若()sin 10A B -=，求tan B 的值．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．ED B 1A 1C 1CBAB xy OPA M NlCB AD东北如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围．等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式．南京市六校联合体2020届高三年级一模联考试卷数学Ⅰ试题2019.12一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x |x 2－4x ＜0}，则A ∩B ＝__________． 解：{1A =Q ，2，3，4}，{|04}B x x =<<， {1A B ∴=I ，2，3}．故答案为：{1，2，3}． 2．已知复数2i 12++=iz ，则复数z 的共轭复数为__________． 解：22(1)221211(1)(1)i z i i i i i i i i -=+=+=-+=+++-Q ， 故z 的共轭复数是：1i -3．某校有教师300人，男学生1500人，女学生1200人，现用分层抽样的办法从全校师生中抽取200人进行某项调查，则应抽取的女学生人数为__________． 解：女学生人数所占的比例为12002300150012005=++，则应抽取的女学生人数为2200805⨯=， 故答案为：80．4．根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为__________．答案：模拟演示：解：1S =，1I =；3S =，4I =；7S =，7I =；15S =，10I =此时结束循坏输出15S = 故答案为：15．5．甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回），则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为__________．解：甲、乙两人依次从标有数字1，2，3的三张卡片中各抽取一张（不放回）， 基本事件总数326n =⨯=，两人均未抽到标有数字3的卡片包含的基本事件个数212m =⨯=， 则两人均未抽到标有数字3的卡片的概率为2163m p n ===． 故答案为：13．6．若抛物线210y x =的焦点到双曲线222116x y a -=的一条渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为__________．解：抛物线210y x =的焦点为5(,0)2，双曲线222116x y a -=的一条渐近线方程为4y x a=±，542⨯=，解得3a =，则5c =，所以双曲线的离心率53e = 故答案为：537．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时f (x )＝x ＋a ，a 为实数，则f (－4)的值是__________．解：()f x Q 是定义在R 上的奇函数，且0x …时()f x a =， (0)0f a ∴==，0x ∴…时，()f x =，∴(4)(4)2f f -=-==-．故答案为：2-．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 前n 项和为n T ，若918S =-，1352S =-，且55b a =，77b a =，则42T T 的值为__________． 解：918S =-，则5918a =-，所以52a =-，即52b =-1352S =-，则71352a =-，所以74a =-，即74b =-设等比数列{}n b 的公比为22q =4124212(1)1=13(1)1b q T q q b q T q--=+=-- 故答案为：39．已知()sin(2)3f x x π=+，若)20)((πϕϕ<<-=x f y 是偶函数，则=ϕ__________．解：函数()sin(2)3f x x π=+，所以函数()sin(22)3y f x x πϕϕ=-=-+，由于函数为偶函数， 所以2()32k k Z ππϕπ-+=+∈，解得()212k k Z ππϕ=--∈， 由于02πϕ<<，所以当1k =-时，512πϕ=． 故答案为：512π． 10．已知矩形ABCD 中AB ＝4，BC ＝3，若沿对角线AC 折叠，使得平面DAC Ⅰ平面BAC ，则三棱锥D －ABC 的体积是__________．解：过B 作BE AC ⊥于E ，4AB =Q ，3BC =，5AC ∴=，125AB BC BE AC ==g ， Q 平面DAC ⊥平面BAC ，平面DAC ⋂平面BAC AC =，BE AC ⊥，BE ⊂平面ABC ，BE ∴⊥平面DAC ，11112243433255ACD D ABC B ACD V V S BE ∆--∴==⋅=⨯⨯⨯⨯=棱锥棱锥． 故答案为245．11．已知实数x ，y 满足条件xy ＋1＝4x ＋y 且x ＞1，则(x ＋1)(y ＋2)的最小值是__________． 解：14xy x y +=+Q ，且1x >， 114y x y -∴=>-，解得，4y >， (1)(2)2212(3)x y xy x y x y ∴++=+++=++ 33912()12[7(4)]44y y y y y -=++=++-+-- 12(76)27++=…．(1)(2)x y ∴++取最小值为27．故答案为：27．12．若直线04:=-+a y ax l 上存在相距为2的两个动点A ，B ，圆1:22=+y x O 上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形（C 为直角顶点），则实数a 的取值范围为__________．解：根据题意，若ABC ∆为等腰直角三角形，其中C 为直角顶点且||2AB =， 则C 到AB 的距离为||12AB =， 若圆22:1O x y +=上存在点C ，使得ABC ∆为等腰直角三角形， 则圆心O 到直线l 的距离2d „2，解可得：a ，即a 的取值范围[；故答案为：[．13．如图，在平面直角坐标系x O y 中，已知点(1,0)A -，点P 是圆O ：224x y +=上的任意一点，过点(1,0)B 作直线BT 垂直于AP ，垂足为T ，则2P A +3PT 的最小值是__________．解：由中线长公式可得PO =22=10PA PB + 222cos 2PA PB AB P PA PB +-=⋅，则3cos P PA PB=⋅在Rt PBT ∆中，cos PT PB P =，即3PT PA=所以9232PA PT PA PA+=+≥=（当且仅当2PA =时取等）14．已知函数4)(,)(22-+-=+-=x mx x h bx x x g ，若不等式)(01)(R x b x g ∈≤++恒成立，4)(+x h 为奇函数，函数⎩⎨⎧>≤=tx x h tx x g x f ),(),()(恰有两个零点，则实数t 的取值范围为__________．解：若不等式()10()g x b x R ++∈„恒成立， 即210x bx b ---…恒成立， 则△24(1)0b b =++„，解得：2b =-， 故2()2g x x x =--， 若()4h x +为奇函数，则224444mx x mx x ---+=--+，解得：0m =， 故()4h x x =-，画出函数()g x ，()h x 的图象，如图所示：若函数()()()()()g x x t f x h x x t ⎧=⎨>⎩…恰有两个零点，结合图象：[2t ∈-，0)[4U ，)+∞， 故答案为：[2-，0)[4U ，)+∞．二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本小题满分14分）已知c b a ，，分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且3tan 4A =． （1）若65a =，2b =，求边c 的长； （2）若()sin A B -=，求tan B 的值． 解：（1）在ABC ∆中，由3tan 4A =可知(0,)2A π∈， 由22sin 3cos 4sin cos 1A A A A ⎧=⎪⎨⎪+=⎩解得3sin 54cos 5A A ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，得2226422255c c ⎛⎫=+-⋅⋅⋅ ⎪⎝⎭，即216640525c c -+=，解得85c =． （2）由(0,)2A π∈且(0,)B π∈，得(,)2A B ππ-∈-， 又()10sin 0A B -=>，则(0,)2A B π-∈，则()cos 0A B ->， 所以()2310cos 1sin ()A B A B -=--=， 所以()sin()1tan cos()3A B A B A B --==-，所以()31tan tan()143tan tan 311tan tan()3143A AB B A A B A A B ---=--===⎡⎤⎣⎦+⋅-+⋅ 16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ⅠBC ，A 1B 与AB 1交于点D ，A 1C 与AC 1交于点E ．求证：（1）DE Ⅰ平面B 1BCC 1； （2）平面A 1BC Ⅰ平面A 1ACC 1．证明：（1）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1AA //1BB ， 所以四边形11ABB A 是平行四边形，且11A B AB DE =I ， 所以D 为1A B 中点， 同理E 为1A C 中点， 所以//DE BC ，又因为DE ⊄平面11B BCC ，BC ⊂平面11B BCC ， 所以//DE 11B BCC ．ED B 1A 1C 1CBA（2）直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，1C C ⊥平面ABC ， 因为BC ⊂平面ABC ，所以1C C BC ⊥，因为AC BC ⊥，1AC C C C =I ，1AC C C ⊂、平面11A ACC ， 所以BC ⊥平面11A ACC ， 又因为BC ⊂平面1A BC ， 所以平面1A BC ⊥平面11A ACC ． 17．（本小题满分14分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：2222+10)x y a b a b=>>（的左、右顶点分别为A B ，．已知4AB =，且点3(,5)4e 在椭圆上，其中e 是椭圆的离心率． （1）求椭圆C 的方程；（2）设P 是椭圆C 上异于 A 、B 的点，与x 轴垂直的直线l 分别交直线AP ，BP 于点M ，N ，求证：直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值．解：（1）因为4AB =，所以24a =，即2a =，又点3(,5)4e 在椭圆上，故22245+116e a b =，即2245+11616c b =， 又2224b c a +==， 联立方程组，解得2=3b ，故椭圆方程为22+143x y =．（2）设P 点坐标为（,s t ），M ,N 的横坐标均为2)mm ≠±（， 则直线AP 的方程为(2)2ty x s =++， B xy O PAM NlCB AD东北故(,(2))2tM m m s ++， 故直线BM 的斜率1(2)(2)(2)t m k s m +=+-，同理可得直线AN 的斜率2(-2)(2)(+2)t m k s m =-，故2122(2)(-2)=(2)(2)(2)(+2)4t m t m t k k s m s m s +=+---，又因为P 点在椭圆上，故有22+143s t =，即223(4)4t s =--，因此有21223=44t k k s =--，故直线AN 与直线BM 的斜率之积是定值． 18．（本小题满分16分）如图，甲、乙两观察哨所位于海岸线l （一条南北方向的直线）上的点A 、B 处，两观察哨所相距32 n mile ，在海岸线东侧有一半径为6 n mile 圆形暗礁区，该暗礁区中心点C 位于乙观察哨所北偏东53︒的方向上，与甲观察哨所相距2193，暗礁中心与乙观察哨所的距离大于2193；（1）求暗礁中心点C 到海岸线l 的距离；（2）某时刻，甲观察哨所发现在其正南方向且位于暗礁中心正西方向的点D 处有一走私船正欲逃窜，甲观察哨所立即派缉私艇进行追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的(1)λλ>倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．问：无论走私船沿何方向逃窜，要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功，求λ的取值范围．解：（1）在三角形ABC 中，由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠，即2223322325BC BC =+-⨯⨯⨯，整理得2519212600BC BC -+=，解得30BC =或425BC =（舍去）， 过点C 作CD 垂直于l ，垂足为D ，在直角三角形CDB 中，CD =BC 4sin 30245ABC ∠=⋅=， 故暗礁中心点C 到海岸线l 的距离为24n mile ． （2）由（1）可知14AD =,18BD =，以点C 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则A （24-，14），D （24-，0），暗礁区域边界所在的圆的方程为2236x y +=， 假设缉私艇在点T （x ,y ）处拦截成功，则ATDTλ=，则点T λ=，化简得222221414(24)()()11x y λλλ+++=--要保证缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功， 只需要圆222221414(24)()()11x y λλλ+++=--与圆2236x y +=外离，214()61λλ>+-，整理得1352421840λλ-->，解得43λ>或4645λ<-（舍去）． 答：（1）暗礁中心点C 到海岸线l 的距离是24n mile ； （2）当43λ>时，就能保证无论走私船沿何方向逃窜，缉私艇总能在暗礁区（不包含暗礁区边界）以外的海域内拦截成功． 19．（本小题满分16分）已知函数x x x x f 23)(23+-=，R t tx x g ∈=，)(，xe x x=)(ϕ．（1）求函数)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间；（2）令)()()(x g x f x h -=，且函数)(x h 有三个彼此不相等的零点n m ，，0，其中n m <．Ⅰ若n m 21=，求函数)(x h 在m x =处的切线方程； Ⅰ若对][n m x ，∈∀，t x h -≤16)(恒成立，求实数t 的取值范围． 解：（1）xe x x x xf y )23()()(2+-=⋅=ϕ， 所以xe x x y )1(2'--=，令0'>y 得到251251+>-<x x 或， 所以)()(x x f y ϕ⋅=的单调增区间是),251()251,(+∞+--∞，． （2）由方程()0h x =得,m n 是方程23(2)0x x t -+-=的两实根， 故3,2m n mn t +==-，且由判别式得14t >-， Ⅰ若n m 21=，得1,2m n ==，故22mn t =-=，得0t =， 因此'(1)1h =-，故函数()h x 在1=x 处的切线方程为1y x =-+．②若对任意的[,]x m n ∈，都有()16h x t ≤-成立，所以max ()16h x t ≤-， 因为3,m n m n +=<，所以n m n m <<<<<0230或， 当302m n <<<时，对[,]x m n ∈有max ()0h x =， 所以016t ≤-， 解得16t ≤，又因为20mn t =->，得2t <，则有124t -<<； 当0m n <<时，2'()36(2)h x x x t =-+-，则存在()h x 的极大值点1(,0)x m ∈，且211362t x x =-+， 由题意得321111()3(2)16h x x x t x t =-+-≤-， 将211362t x x =-+代入得321113370x x x -++≥，进而得到31(1)8x -≥-，得110x -≤<， 又因为211362t x x =-+，得211t <≤，综上可知t 的取值范围是124t -<<或211t <≤．20．（本小题满分16分）等差数列{a n }公差大于零，且a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，记{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }各项均为正数，公比为q ，记{b n }的前n 项和为T n ．（1）求S n ；（2）若q 为正整数，且存在正整数k ，使得T k ，T 3k ∈{S 2，S 5，S 6}，求数列{b n }的通项公式；（3）若将S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }，求{c n }的一个通项公式． 解：（1）设{a n }公差为d ，d ＞0， 因为a 2＋a 3＝52，a 22＋a 32＝134，所以a 1＋d ＋a 1＋2d ＝52，(a 1＋d )2＋(a 1＋2d )2＝134，解得a 1＝12，d ＝12，于是S n ＝12n ＋n (n －1)2×12＝n 2＋n 4．（2）{S 2，S 5，S 6}＝{32，152，212}当q ＝1时，T k ＝kb 1，T 3k ＝3kb 1，T 3kT k＝3，舍去；当q ≠1时，T k ＝b 1(1－q k )1－q ，T 3k ＝b 1(1－q 3k )1－q ，所以T 3kT k ＝1＋q k ＋q 2k ，因为q ⅠN *且q ≠1，所以q ≥2， 因此T 3kT k ≥1＋2＋4＝7，于是T k ＝32，T 3k ＝212，因此1＋q k ＋q 2k ＝7，解得q k ＝2或－3（舍去）， 从而q ＝2，k ＝1，代入T k ＝b 1(1－q k )1－q 得b 1＝32所以b n ＝3×2n－2（3）因为S n ＝n 2＋n4为整数项，所以n ＝4k 或者4k －1，k ⅠN *当n ＝4k －1，k ⅠN *时，S n ＝k (4k －1)； 当n ＝4k ，k ⅠN *时，S n ＝k (4k ＋1)；因为S n 中的整数项按从小到大的顺序排列构成数列{c n }， 且k (4k －1)＜k (4k ＋1)＜(k ＋1)[4(k ＋1)－1]＜(k ＋1)[4(k ＋1)＋1]， 所以当n 为奇数时，c n ＝(4×n ＋12－1)×n ＋12＝2n 2＋3n ＋12；当n 为偶数时，c n ＝n2×(2n ＋1)＝2n 2＋n 2；所以c n ＝⎩⎨⎧2n 2＋3n ＋12，n 为奇数，2n 2＋n2，n 为偶数．。
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)-普通用卷
2020年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A，B均为全集2，3，4，5，6，的子集，集合2，3，，则满足的集合B可以是A. 2，3，B. 2，C. 4，5，D. 2，2.复数为虚数单位的虚部为A. B. 2 C. 5 D. 13.若x，y满足约束条件，则的最大值为A. B. 3 C. 5 D. 74.如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，则的大致图象为A.B.C.D.5.将函数的图象向左平移1个单位长度，所得函数在的零点个数是A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个或以上6.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为A. B. C. D.7.在某市2014年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布已知参加本次考试的全市理科学生约9 450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第名？参考数值：；，A. 1 500B. 1 700C. 4 500D. 8 0008.已知，若，，则A. 1B. 3C. 2D. 49.已知双曲线的左右焦点分别为，，A为双曲线的左顶点，以为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.10.设正项数列的前n项和为，且满足，则数列的前n项和的最小值为A. B. C. D.11.已知三棱锥满足，，则该三棱锥外接球的体积为A. B. C. D.12.已知是定义在上的奇函数，，且当时，，则不等式的解集为A. B.C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数，若曲线在点处的切线与直线平行，则______．14.已知数列的前n项和为，，，若数列满足，则______．15.已知，，，若点P满足，则最大值为______．16.已知抛物线C：的焦点为F，直线l过点F且倾斜角为若直线l与抛物线C在第二象限的交点为A，过点A作AM垂直于抛物线C的准线，垂足为M，则外接圆上的点到直线的距离的最小值为______．17.在中，内角A，B，C满足．求内角A的大小；若，，求BC边上的高．18.如图，已知正三棱柱，D是AB的中点，E是的中点，且，．证明：平面；求二面角的余弦值．19.已知椭圆C：，A，B分别为椭圆长轴的左右端点，M为直线上异于点B的任意一点，连接AM交椭圆于P点．求证：为定值；是否存在x轴上的定点Q使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．20.已知函数．当时，求函数的极值；若函数在区间内存在零点，求实数m的取值范围．21.一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为．证明：在各个取值对应的概率中，概率的值最大．在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组2，可派出，若小组能完成特殊任务的概率t；2，，且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为若P为曲线上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足，记动点Q的轨迹为．求的直角坐标方程；若曲线与曲线交于M，N两点，求的面积．23.已知函数．当时，解不等式；若对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A，B均为全集2，3，4，5，6，的子集，集合2，3，，要满足；则1，，故符合条件的选项为C．故选：C．根据题意得出1，，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：，复数的虚部是1，故选：D．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画出x，y满足约束条件，可行域如图阴影部分：由，得，目标函数可看做斜率为的动直线，其纵截距越大，z越大，由图数形结合可得当动直线过点A时，z最大．故选：D．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题4.【答案】B【解析】解：当时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关5.【答案】B【解析】解；设函数的图象向左平移1个单位长度，所得函数为，令，，由，所以，方程只有一个解．故选：B．先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．本题主要考查函数的平移法则的应用和函数零点的求法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，正方体的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为．又正方体的体积为，石凳子的体积为，故选：B．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解．本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：考试的成绩服从正态分布，，，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的．故选：A．将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出的概率．8.【答案】B【解析】解：二项式展开式的通项为：．当，2时，可得，解得，．故选：B．根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m的值．本题考查二项展开式的通项、系数的性质，同时考查学生利用方程思想解决问题的能力和计算能力．属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为，联立，解得，，，且轴，，，则，则，得，即．故选：D．由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P，Q的坐标，得到，则，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：，，，，化简得：，正项数列中，．时，，．数列是以1为首项，2为公差的等差数列．．，，，或时，的最小值为．故选：D．根据求得数列的通项公式，则可以推出，通过分组求和法求得数列的前n项和，通过二次函数的最值求得的最小值．本题主要考查数列通项公式和前n项和的求解，利用求得数列的通项公式和分组求和法是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】解：因为，所以的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为，再由可得面ABC，可得，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取，在中，，即，解得：，所以外接球的体积，故选：A．因为，所以的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令，，当时，根据，可得函数单调递增．又，判断在上的正负情况，根据是定义在上的奇函数，可得是定义在上的偶函数．进而得出不等式的解集．【解答】解：令，，当时，，，即函数单调递增．又，时，，又，所以．时，，又，所以．时，，舍去．是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数．则在上单调递减，且，故时，，又，所以．时，，又，所以．不等式的解集为．故选：D．13.【答案】【解析】解：，又曲线在点处的切线与直线平行，，解得．故答案为：．求出的导数，然后根据切线与直线平行，得，列出关于m的方程，解出m的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】2046【解析】解：数列的前n项和为，，，．若数列满足，．．则．故答案为：2046．数列的前n项和为，，，利用求和公式：由数列满足，可得进而得出，再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】【解析】解：由题，点P满足，说明P点在以为圆心，1为半径的圆上，设，则，，故答案为：．根据，易知P点在以为圆心，1为半径的圆上，设，通过坐标表示出，再根据模长公式求解．本题主要考查平面向量的模长公式，以及辅助角公式的最值问题，考查学生转化的思想，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由抛物线的方程可得焦点，准线方程，因为直线l过点F且倾斜角为，则直线l的方程为：，直线与抛物线联立，整理可得，解得，，可得，，即，由题意可得，可得的外接圆的圆心N在线段AM的中垂线上，也在线段AF的中垂线上，而AF的中点，线段AF的中垂线方程为，即，联立解得：，所以圆心坐标为，半径，圆心到直线的距离，所以外接圆上的点到直线的距离的最小距离为，故答案为：．由抛物线的方程可得焦点F的坐标，由题意求出直线l的方程，代入抛物线的方程求出A，B的坐标，由题意求出M的坐标，求出线段AF的中垂线，及AM的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线的距离d，则可得圆上的点到直线的最小距离为．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及求三角形外接圆的圆心和半径，属于．所以，则：，由于，所以，则：．由于，，，由余弦定理得：，解得舍去．则：．设BC边上的高为h，所以，解得．【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果．利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：证明：取的中点F，连结EF、DF，、F分别是AB，的中点，，，E是的中点，，四边形CDEF是平行四边形，，平面，平面，平面．解：是正三角形，D是AB的中点，，在正三棱柱中，平面ABC，，由知，、BD、DF两两垂直，以D为原点，DB、DC、DF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则0，，0，，，0，，，，，设平面的法向量y，，则，取，得，设平面的法向量b，，则，取，得0，，设二面角的平面角为，则．二面角的余弦值为．【解析】取的中点F，连结EF、DF，推导出四边形CDEF是平行四边形，从而，由此能证明平面．推导出CD、BD、DF两两垂直，以D为原点，DB、DC、DF所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：证明：由椭圆的方程可得：，，设，，，则，得，又，，所以，又，整理可得，所以为定值．假设存在定点满足要求，设，，，则以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点可得，所以，由得，，由可得，因为，解得，所以存在x轴上的定点，使得以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点．【解析】由椭圆的方程可得A，B的坐标，设M，P的坐标，可得AP，AM的斜率相等，求出数量积，由，可得M，P的坐标的关系，进而可得为定值．假设存在Q满足条件，因为以MP为直径的圆恒通过MQ与BP的交点可得，由可得整理得，再由可得，本题考查椭圆的性质，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于中档题．20.【答案】解：当时，，，又是增函数，且，当时，，当时，，在上单调递减，在上单调递增，当时，取得极小值，无极大值；，令，则，当时，，由知在区间上没有零点；当时，则，故在上单调递增，又，，存在，使得，且当时，，是减函数，当时，，是增函数，又，，在上存在零点；当，时，令，则，在上，，是减函数，，即，，在上没有零点；综上，要使在上内存在零点，则m的取值范围为．【解析】将带入，求导得，再求出函数的单调性，进而求得极值；求导得，令，对函数求导后，分，及讨论，时容易得出结论，时运用零点存在性定理可得出结论，时运用放缩思想，先证明，进而可得在上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：由已知，的所有可能取值为0，1，2，3，，，，．，，，，概率的值最大．由可知，当时，有的值最大，且，，应当以，，的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定，，为，，的任意一个排列，即若三个小组2，按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，，，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，2，3，且的分布列为1 2 3P数学期望下面证明成立，，按照完成任务概率从大到小的，，的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【解析】每个勘探小组共有3名人员，故的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较与、、的大小关系即可得证；先根据中的结论比较和的大小，可得到，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组2，按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为，，，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为，则，2，3，然后求出的分布列和数学期望，只需证明数学期望成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用等，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为．若P为曲线上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足，记动点Q 的轨迹为．设，，则：，即，由于，所以，整理得，转换为直角坐标方程为：原点除外．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为：．曲线的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离．所以．由于点O到的距离所以．【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：当时，不等式即为，等价为或或，解得或或，则原不等式的解集为；对于任意的实数x恒成立，即为恒成立．当时，恒成立；当时，恒成立等价为，即恒成立，当时，恒成立；当时，恒成立等价为或恒成立．即或恒成立，则解得，所以k的取值范围是．【解析】由题意可得，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；由题意可得恒成立．讨论恒成立，时，可得恒成立，讨论，时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
云南省昆明市2020届高三“三诊一模”高考模拟考试(三模)数学(理)试题 Word版含解析
昆明市2020届“三诊一模”高考模拟考试理科数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡交回．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在复平面内，复数21iz i=+所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案． 【详解】解：22(1)11(1)(1)i i i z i i i i -===+++-， ∴复数z 所对应的点的坐标为()1,1，位于第一象限．故选：A ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．2.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}2|B b b A =+∈，则A B =（ ）．A. {}2,1,0--B. {}1,0,1-C.2,0,2D.{}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】先由集合A ，求出集合B ，再根据交集的概念，即可求出结果.【详解】因为集合{}2,1,0,1,2A =--，所以{}{}2|0,1,2,3,4B b b A =+∈=， 因此{}0,1,2AB =.故选：D.【点睛】本题主要考查求集合的交集，熟记交集的概念即可，属于基础题型. 3.已知一家便利店从1月份至5月份的营业收入与成本支出的折线图如下：关于该便利店1月份至5月份的下列描述中，正确的是（ ）． A. 各月的利润保持不变B. 各月的利润随营业收入的增加而增加C. 各月的利润随成本支出的增加而增加D. 各月的营业收入与成本支出呈正相关关系 【答案】D 【解析】 【分析】利用收入与支出（单位：万元）情况的折线统计图直接求解．【详解】对于A ，通过计算可得1至5月的利润分别为0.5，0.8，0.7，0.5，0.9，故A 错误； 对于B ，由A 所得利润，可知利润并不随收入增加而增加，故B 错误； 对于C ，同理可得C 错误；对于D ，由折线图可得支出越多，收入也越多，故而收入与支出呈正相关，故D 正确， 故选：D ．【点睛】本题考查学生合情推理的能力，考查折线统计图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．4.已知点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上，该双曲线的离心率为（ ） A.333 C. 2 D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据点3)P 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线上可得,a b 的关系，再根据21c b a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求解即可. 【详解】由题，点3)P 在直线b y x a =3b a =，故离心率212c b a a ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率求解，需要根据题意确定,a b 的关系，进而求得离心率.属于基础题.5.已知点()cos10,sin10A ︒︒，()cos100,sin100B ︒︒，则AB =（ ） A. 1 23D. 2【答案】B 【解析】 【分析】利用两点间距离公式结合三角函数公式求解． 【详解】点(cos10,sin10)A ︒︒，(cos100,sin100)B ︒︒，22||(cos10cos100)(sin10sin100)AB ∴︒-︒+︒-︒2222=︒-︒︒+︒+︒-︒︒+︒102cos10cos100100102sin10sin100100 cos cos sin sin=-︒⋅︒+︒⋅︒22(cos10cos100sin10sin100)=-︒-︒22cos(10100)=-︒22cos90=，2故选：B．【点睛】本题主要考查了两点间距离公式，以及三角函数公式，是基础题．6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体的体积为（）A. 216B. 108C. 543D. 36 【答案】B【解析】【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出三棱柱体的体积．【详解】根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为等腰三角形，高为6的三棱柱体，如图所示：所以：16661082V =⨯⨯⨯=．故选：B ．【点睛】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．7.材料一：已知三角形三边长分别为a ，b ，c ，则三角形的面积为()()()S p p a p b p c =---，其中2a b cp ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式 材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点1F ，2F 的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则ABC 面积的最大值为（ ） 5 B. 3C. 5D. 6【答案】C 【解析】 【分析】根据材料二可得点A 的轨迹为椭圆，当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值.【详解】由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴25,b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 145252S =⋅= 故选：C.【点睛】本题考查椭圆的定义及三角形面积的最值，考查数形结合思想，考查运算求解能力. 8.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合，则ω的最小值为（ ） A. 8 B. 4 C. 2D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到2π为函数()f x 周期的整数倍，进而可得出结果. 【详解】因为函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>的图象向左平移2π个单位后与()f x 的图象重合， 所以*,2nT n N π=∈（其中T 为函数()f x 的最小正周期），即22n ππω⋅=，所以4n ω=，因为*n N ∈，所以min 4ω=.故选：B.【点睛】本题主要考查由三角函数的周期求参数的问题，属于基础题型.9.如图1，已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，D 在线段PC 上，AD PC ⊥．将PAD △沿AD 折起，使平面PAD ⊥平面ABCD ，连接PB ，PC ，设PB 的中点为N ，如图2．对于图2，下列选项错误的是（ ）A. 平面PAB ⊥平面PBCB. BC ⊥平面PDC C PD AC ⊥ D. 2PB AN =【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直判定与性质进行证明BC ⊥平面PDC ,PD AC ⊥，证明PAB △是直角三角形可得2PB AN =.【详解】由已知PABC 是直角梯形，AB ∥PC ，AB BC ⊥，AD PC ⊥ 得四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ,AD DC ⊥,AD PC ⊥，PD DC D ⋂= 所以AD ⊥平面PCD ,又AD ∥BC ,BC ∴⊥平面PDC ,所以B 正确 平面PAD ⊥平面ABCD ,平面PAD平面ABCD AD =,PD AD ⊥PD ∴⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD PD AC ∴⊥,所以C 正确PD ⊥平面ABCD ,PD AB ⊥又AB AD ⊥,PD DA D ⋂=AB ∴⊥平面PAD ,AB PA ∴⊥,PAB ∴是直角三角形，又PB 的中点为N所以2PB AN =，所以D 正确. 故选：A【点睛】求解翻折问题的关键及注意事项：求解平面图形翻折问题的关键是弄清原有的性质变化与否，即翻折(转)后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质发生变化．应注意： (1)点的变化，点与点的重合及点的位置变化；(2)线的变化，翻折(转)前后，若线始终在同一平面内，则它们的位置关系不发生变化，若线与线由在一个平面内转变为不在同一个平面内，应注意其位置关系的变化； (3)长度、角度等几何度量的变化．10.已知F 为抛物线()220x py p =>的焦点，点P 为抛物线上一点，以线段PF 为直径的圆与x 轴相切于点M ，且满足MF PM =，2PF =，则p 的值为（ ） A. 4 B. 3C. 2D. 1【答案】C 【解析】 【分析】作出图形，根据题意推导出//PF x 轴，结合2PF =，可得出点P 的坐标，再将点P 的坐标代入抛物线的方程，可求得正数p 的值.【详解】如下图所示，设线段PF 的中点为点N ，由题意可知，圆N 与x 轴相切于点M ，则MN x ⊥轴， 又MF PM =，N 为PF 的中点，MN PF ∴⊥，//PF x ∴轴，由于2PF =，则点2,2p P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入抛物线方程得242pp ⋅=，即24p =， 0p >，解得2p =.故选：C.【点睛】本题考查抛物线方程中参数的求解，根据题意求出点P 的坐标是解题的关键，考查计算能力，属于中等题. 11.已知函数()()221()4442xf x exx k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为（ ）A. )2,e ⎡-+∞⎣B. )3,e ⎡-+∞⎣ C. )2,e ⎡+∞⎣D. )3,e ⎡+∞⎣【答案】D 【解析】 【分析】求导可得()()()42xf x ex k x ⎡⎤=-++⎣⎦'，再根据2x =-是()f x 的唯一极小值点可得()()40x g x e x k =-+≥恒成立，再根据恒成立问题求解最小值分析即可.【详解】求导有()()()()()228242xxf x e xx k x e x k x ⎡⎤=--++=-++⎣⎦'.设()()4xg x ex k =-+，则()()3x g x e x '=-，故当(),3x ∈-∞时()0g x '<，()g x 单调递减；()3,x ∈+∞时()0g x '>，()g x 单调递增. 故若()()4xg x ex k =-+有两个零点，则必有一根03x >，则此时有()03,x x ∈时()0f x '<；()0,x x ∈+∞时()0f x '>，故0x x =为()f x 的极小值点，与题意不符.故()()40xg x ex k =-+≥恒成立，故()()min 30g x g =≥，即()3340e k -+≥，解得)3,k e ⎡∈+∞⎣.故选：D【点睛】本题主要考查了根据导数求解极值点的问题，需要根据极值点满足的关系分析得导函数零点的个数，再求最值求解参数的范围，属于中档题. 12.ABC 中，2A π=，2AB AC ==，有下述四个结论：①若G 为ABC 的重心，则1331AG AB AC =+ ②若P 为BC 边上的一个动点，则()AP AB AC ⋅+为定值2 ③若M ，N 为BC 边上的两个动点，且2MN =AM AN ⋅的最小值为32④已知P 为ABC 内一点，若1BP =，且AP AB AC λμ=+，则3λμ+的最大值为2 其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④【答案】A 【解析】 【分析】 根据题意，先得ABC 为等腰直角三角形；①取BC 中点为D ，连接AD ，得到23AG AD =，根据平面向量基本定理，即可得出结果；②先由①得到AD BC ⊥，由题意得到AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，进而可求出向量数量积；③以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，由题意，设()11,2M x x -，()22,2N x x -且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <，根据向量数量积的坐标表示，即可求出结果；④同③建立平面直角坐标系，设(),P x y ，根据题意，得到22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，再设PBA θ∠=，由题意，得到2cos x θ=-，sin y θ=，用θ表示出3λμ+，即可求出结果；【详解】因为在ABC 中，2A π=，2AB AC ==； 所以ABC 为等腰直角三角形；①如图1，取BC 中点为D ，连接AD ，因为G 为ABC 的重心，所以G 在AD 上，且23AG AD =， 所以()2211133233AG AD AB AC AB AC ==⨯+=+，故①正确； ②如图1，同①，因为D 为BC 中点，ABC 为等腰直角三角形，所以AD BC ⊥， 若P 为BC 边上的一个动点，则AP 在AD 上的投影为cos AP PAD AD ∠=，因此221()22242AP AB AC AP AD AD BC ⎛⎫⋅+=⋅==⨯= ⎪⎝⎭，故②错；③如图2，以A 点为坐标原点，分别以AB 、AC 所在直线为x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，易得，BC 所在直线方程为：2x y +=； 因为M ，N 为BC 边上的两个动点，所以设()11,2M x x -，()22,2N x x -，且[]12,0,2x x ∈，不妨令12x x <， 因为2MN =，所以()()2212212x x x x -+-=，即()2121x x -=，则211x x -=，所以()()()()()12121111221221AM AN x x x x x x x x ⋅=+--=++---221111332222222x x x ⎛⎫=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，当且仅当112x =时，等号成立；故③正确；④同③建立如图3所示的平面直角坐标系，则(2,0)AB =，(0,2)AC =， 设(),P x y ，则(,)=AP x y ，又AP AB AC λμ=+，所以22x yλμ=⎧⎨=⎩，即22x y λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为P 为ABC 内一点，且1BP =，设PBA θ∠=， 则0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且cos 2cos B x x BP θθ=-=-，sin sin y BP θθ==， 因此31331cos sin sin 122226x y πλμθθθ⎛⎫+=+=-+=-+ ⎪⎝⎭， 因为0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以,6612πππθ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以sin 6πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭无最值，即3λμ+无最值，故④错.故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量基本定理的应用，以及求平面向量的数量积等问题，熟记平面向量基本定理，灵活运用建系的方法求解即可，属于常考题型.二、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分．13.若5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则1a =__________．【答案】10 【解析】 【分析】首先写出5(21)x -展开式的通项，即可求出含x 的项的系数；【详解】解：因为5250125(21)x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，5(21)x -的展开式的通项为()()51521rrrr T C x -+=-，令51r -=，得4r =，则()()44552110T C x x =-=故110a = 故答案为：10【点睛】本题考查二项式定理的应用，属于基础题.14.若“0x ∃∈R ，()20ln 10x a +-=”是真命题，则实数a 的取值范围是__________． 【答案】[0,)+∞ 【解析】 【分析】根据对数函数的性质得到关于a 的不等式，解出即可． 【详解】解：“200,(1)0x R ln x a ∃∈+-=”是真命题， 20(1)10a ln x ln ∴=+=；故答案为：[0,)+∞．【点睛】本题考查了特称命题的真假，考查对数函数的性质，属于基础题． 15.在ABC 中，4AB =，3BC =，6B π=，D 在线段AB 上，若ADC 与BDC 的面积之比为3:1，则CD =__________． 【答案】1 【解析】 【分析】由ADC 与BDC 的面积之比为3:1，可得:3:1AD DB =，进而求得1BD =，在BDC 用余弦定理即可求得CD . 【详解】解：如图，因为ADC 与BDC 的面积之比为3:1，所以:3:1AD DB =，又因为4AB =，所以1BD =，在BDC 中，由余弦定理得，222222cos 13213cos16CD BD BC BD BC DBC π=+-⋅⋅∠=+-⨯=所以1CD =. 故答案为：1.【点睛】本题主要考查用余弦定理来解三角形，考查学生的计算能力和公式得掌握程度，属于基础题.16.某校同时提供A 、B 两类线上选修课程，A 类选修课每次观看线上直播40分钟，并完成课后作业20分钟，可获得积分5分；B 类选修课每次观看线上直播30分钟，并完成课后作业30分钟，可获得积分4分．每周开设2次，共开设20周，每次均为独立内容，每次只能选择A 类、B 类课程中的一类学习．当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分共_______分．如果规定学生观看直播总时间不得少于1200分钟，课后作业总时间不得少于900分钟，则通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共________分． 【答案】 (1). 180 (2). 190 【解析】 【分析】根据题意可计算出当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得的总积分；设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，根据题意列出有关x 、y 的约束条件，可得出目标函数为54z x y =+，利用线性规划思想可求得z 的最大值，进而得解. 【详解】根据题意，当选择A 类课程20次，B 类课程20次时，可获得总积分520420180⨯+⨯=分.设学生选择A 类选修课()x x N ∈次，B 类选修课()y y N ∈次，则x 、y 所满足的约束条件为40301200203090040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，即43120239040,x y x y x y x N y N +≥⎧⎪+≥⎪⎨+≤⎪⎪∈∈⎩，目标函数为54z x y =+，如下图所示：则可行域为图中阴影部分中的整数点（横坐标和纵坐标均为整数的点）， 联立402390x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得3010x y =⎧⎨=⎩，可得点()30,10A ，平移直线54z x y =+，当直线54z x y =+经过可行域的顶点A 时，直线54z x y =+在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 530410190z =⨯+⨯=. 因此，通过线上选修课的学习，最多可以获得总积分共190分. 故答案为：180；190.【点睛】本题考查线性规划的实际应用，将问题转化为线性规划问题是解答的关键，考查数形结合思想的应用，属于中等题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知数列{}n a 为正项等比数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若321S =，2316a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）从三个条件：①3nn n a b =；②2n n b a n =+；③2log 3n n a b =中任选一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）132n n a -=⨯（2）见解析【解析】 【分析】(1)设数列{}n a 的公比为q ，再根据题意利用基本量法求解即可.(2) 选择①可得123n n b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，即可利用等比数列求和公式求解即可.选择②可得1322n n b n -=⨯+，再根据等比与等差数列求和的公式求解即可.选择③可得1n b n =-，再用等差数列求和公式求解即可. 【详解】解：（1）设数列{}n a 的公比为q ，因为：2316a a a +=，所以21116a q a q a +=，故：260q q +-=，解得：2q或3q =-（舍去），故2q ．由：321S =，得：()21121a q q++=，将2q代入得：13a =，所以数列{}n a 的通项公式为：132n n a -=⨯；（2）选择①3nn n a b =： 11322333n n n n n na b --⨯⎛⎫=== ⎪⎝⎭，数列{}n b 是首项为11b =，公比为23的等比数列， 所以2123312313nnn T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，选择②2n n b a n =+：12322n n n b a n n -=+=⨯+，所以()()2312(22)321122n n nn n T n n -+=+=⨯-++- 选择③2log 3nn a b =： 1122232log log log 2133n n n n a b n --⨯====-，数列{}n b 是首项为0，公差为1的等差数列． 所以(1)2n n n T -=． 【点睛】本题主要考查了等比数列的基本量求解，同时也考查了等差等比数列求和的公式，属于基础题.18.已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，PAD △为正三角形，M 是PC 的中点，过M 的平面α平行于平面PAB ，且平面α与平面PAD 的交线为ON ，与平面ABCD 的交线为OE ．（1）在图中作出四边形MNOE （不必说出作法和理由）； （2）若2PC =，求平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析（27【解析】 【分析】（1）四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点； （2）连结OP ，推导出DC PD ⊥，DC AD ⊥，DC ⊥平面P AD ，DC PO ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥，以O 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量能求出平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值.【详解】（1）如图，四边形MNOE 即为所求，其中N 为PD 中点，O 为AD 中点，E 为BC 中点；（2）连接OP ，依题意：22PC DC PD ==，所以222PC DC PD =+，则DC PD ⊥， 又因为DC AD ⊥且PD AD D ⋂=， 所以DC ⊥平面PAD ，则DC PO ⊥， 因为PAD △为正三角形且O 为AD 中点， 所以PO ⊥平面ABCD ，则PO OA ⊥，PO OE ⊥，OA OE ⊥， 以O 为原点建立如图坐标系O xyz -，因为4AB =，所以(2,4,0)B ，(0,4,0)E ，(3)N -，(1,3)M -， 则(0,2,0)NM =，(1,2,3)ME =，(2,0,0)EB =， 设平面α的一个法向量为()111,,m x y z =，则111120230y x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(3,0,1)m =， 设平面NME 的一个法向量为()222,,n x y z =，则222220230x x y z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得(0,3,2)n =． 则7cos ,7||||27m n m n m n ⋅〈〉===，所以平面α与平面PBC 形成的锐二面角的余弦值为7. 【点睛】本题考查平面的作法，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间思维能力，属于中档题.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>左焦点为1(1,0)F -，经过点1F 的直线l 与圆222:(1)8F x y -+=相交于P ，Q 两点，M 是线段2PF 与C 的公共点，且1||MF MP =．（1）求椭圆C 的方程；（2）l 与C 的交点为A ，B ，且A 恰为线段PQ 的中点，求2ABF 的面积．【答案】（1）2212x y +=（2）43【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义可求得2a =，又1c =，故1b =，由此可得C 的方程；（2）根据A 为线段PQ 的中点，得12AF AF ⊥，由120AF AF ⋅=以及221112x y +=可得,A B 的坐标，从而可得三角形2ABF 的面积. 【详解】（1）如图：由圆222:(1)8F x y -+=可得222PF =，因为1||MF MP =，所以12222||22a MF MF MP MF PF =+=+==， 即2a =1c =，故1b =，所以椭圆的方程为2212x y +=．（2）设()11,A x y ，()22,B x y ，易知2(1,0)F ， 因为A 为线段PQ 的中点，则12AF AF ⊥，所以22212111111111(1,)(1,)(1)(1)10AF AF x y x y x x y x y ⋅=---⋅--=---+=+-=，又221112x y +=，解得10x =，11y =±， 若11y =，则(0,1)A ，直线l 的方程为1y x =+，由22112y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得2340x x +=，所以1243x x +=-，所以243x =-，213y =-，即41,33B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 所以2ABF 的面积1212114422233S F F y y =⋅-=⨯⨯=． 若1y =-，同理可求得2ABF 的面积43S =． 综上，2ABF 的面积为43. 【点睛】本题考查了根据椭圆的定义求椭圆方程，考查了圆的性质，考查了两个垂直向量的坐标表示，考查了直线与椭圆的交点，考查了三角形的面积公式，属于中档题.20.近年来，国家为了鼓励高校毕业生自主创业，出台了许多优惠政策，以创业带动就业．某高校毕业生小张自主创业从事苹果的种植，并开设网店进行销售．为了做好苹果的品控，小张从自己果园的苹果树上，随机摘取150个苹果测重（单位：克），其重量分布在区间[]100,400内，根据统计的数据得到如图1所示的频率分布直方图．（1）以上述样本数据中频率作为概率，现一顾客从该果园购买了30个苹果，求这30个苹果中重量在(300,400]内的个数X 的数学期望；（2）小张的网店为了进行苹果的促销，推出了“买苹果，送福袋”的活动，买家在线参加按图行进赢取福袋的游戏．该游戏的规则如下：买家点击抛掷一枚特殊的骰子，每次抛掷的结果为1或2，且这两种结果的概率相同；从出发格（第0格）开始，每掷一次，按照抛掷的结果，按如图2所示的路径向前行进一次，若掷出1点，即从当前位置向前行进一格（从第k 格到第1k +格，k ∈N ），若掷出2点，即从当前位置向前行进两格（从第k 格到第2k +格，k ∈N ），行进至第3l 格（获得福袋）或第32格（谢谢惠顾），游戏结束．设买家行进至第i 格的概率为(0,1,2,,32)i p i =⋅⋅⋅，01p =．（ⅰ）求1p 、2p ，并写出用2i p -、1i p -表示(2,3,,31)i p i =⋅⋅⋅的递推式；（ⅱ）求32p ，并说明该大学生网店推出的此款游戏活动，是更有利于卖家，还是更有利于买家．【答案】（1）8.4个；（2）（ⅰ）112p =,234p =，121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅．（ⅱ）313211132p ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，更有利于买家． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图可求出苹果的重量在(]300,400内的频率，再根据二项分布的期望公式可得结果；（2）（ⅰ）由当前格在第0格，且第一次抛掷骰子，结果为1，可求得112p =；由当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，和当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，这两个互斥事件的和事件的概率公式可求得234p =；分两种情况可求得i p ：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，（ii ）根据（ⅰ）的递推关系121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅可求得121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，由此可得31p ，根据323012p p =可求得32p ，再比较大小可得答案.【详解】（1）由图可知，苹果的重量在(]300,400内的频率为：(0.00360.0020)500.28+⨯=．一顾客从该果园购买的30个苹果中重量在300,(400]内的个数为X ，则~(30,0.28)X B ，所以()300.288.4E X =⨯=（个）．（2）（i ）买家要行进至第1格的情况只有一种：买家第一次抛掷骰子，结果为1，行进至第一格，其概率为12，则112p =； 买家要行进至第2格的情况有以下两种：①当前格在第0格，第一次抛掷骰子，结果为2，行进至第2格，其概率为12； ②当前格在第1格，第二次抛掷骰子，结果为1，行进至第2格，其概率为111224⨯=； 所以2113244p =+=． 买家要行进至第i 格(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅的情况有以下两种：①当前格在第2i -格，抛掷一次骰子，结果为2，行进至第i 格，其概率为212i p -； ②当前格在第1i -格，抛掷一次骰子，结果为1，行进至第i 格，其概率为112i p -；所以121122i i i p p p --=+(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． （ii ）由（i ）得，()()11212i i i i p p p p ----=--，即11212i i i i p p p p ----=--(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅， 又10111022p p -=-=-≠， 所以数列{}1i i p p --(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅是首项为1012p p -=-，公比为12-的等比数列．所以112ii i p p -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅，所以()()()112100i i i i i p p p p p p p p ---=-+-+⋅⋅⋅+-+11111222i i -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11111221113212i i ++⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦-- ⎪⎝⎭，即121132i i p +⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦(0,1,2,,31)i =⋅⋅⋅． 所以买家行进至第31格（获得福袋）的概率为3232312121113232p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦； 又买家行进至第32格（谢谢惠顾）的概率为3131323011************p p ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，由于32313031322111111110323232p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以买家行进至第31格的概率大于行进至第32格的概率，即小张网店推岀的此款游戏活动是更有利于买家．【点睛】本题考查了由频率分布直方图求频率，考查了二项分布的期望公式，考查了由递推关系求数列的通项，属于中档题.21.已知()sin f x x =，()ln g x x =，2()1h x x ax =--． （1）若[0,1]x ∈，证明：()(1)f x g x ≥+；（2）对任意(]0,1x ∈，都有()e()()0f x h x g x +->，求整数a 的最大值． 【答案】（1）见解析（2）2 【解析】 【分析】（1）构造函数()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，利用二次求导可证明结论成立； （2）利用1x =时，不等式成立以及（1）的结论，可得2a ≤，从而只需证明sin 2()21ln 0x H x e x x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．再根据（1）的结论，转化为证明2()ln G x x x x =--0≥在(]0,1x ∈上恒成立.利用导数即可证明，由此可得结果.【详解】（1）设()sin ln(1)(01)F x x x x =-+≤≤，则1()cos 1F x x x '=-+， 因为21()sin (1)F x x x ''=-+，且[0,1]x ∈，则()F x ''在[0,1]单调递减，因为1(1)sin104F ''=-<，(0)10F ''=>， 所以存在唯一零点0(0,1)x ∈，使得()00F x ''=，所以x ∈()00,x 时，()0F x ''>，x ∈()0,1x 时，()0F x ''<， 则()F x '在()00,x 时单调递增，在()0,1x 上单调递减， 又11(1)cos1cos 0223F π'=-+>-+=，(0)0F '=， 所以()0F x '>在()0,1上恒成立，所以()F x 在[]0,1上单调递增， 则()(0)0F x F ≥=，即()0F x ≥． 所以()(1)f x g x ≥+．（2）因为对任意的(]0,1x ∈，不等式()()()0f x eh x g x +->， 即sin 21ln 0x e x ax x +--->恒成立，令1x =，则sin1e a >，由（1）知sin1ln 2>，所以ln 2sin1123e e e =<<<， 由于a 为满足sin 21ln 0x e x ax x +--->的整数，则2a ≤， 因此sin 2sin 21ln 21ln x x e x ax x e x x x +---≥+---． 下面证明sin 2()21ln 0xH x ex x x =+--->在区间(0,1]恒成立即可．由（1）知sin ln(1)x x >+，则sin 1x e x >+， 故22()121ln ln H x x x x x x x x >++---=--， 设2()ln G x x x x =--，(0,1]x ∈，则1(21)(1)()210x x G x x x x+-'=--=≤， 所以()G x 在(0,1]上单调递减，所以()(1)0G x G ≥=，所以()0H x >在(0,1]上恒成立． 综上所述，a 的最大值为2．【点睛】本题考查了构造函数并利用导数证明不等式成立，考查了利用导数处理不等式恒成立问题，考查了零点存在性定理，多次构造函数求导，利用放缩法进行转化是本题的难点，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑．如果多做，则按所做的第一题计分． [选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,0P ，倾斜角为α．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=． （1）写出直线l 的参数方程及曲线C 的直角坐标方程；（2）若l 与C 相交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，且2||3PM =，求sin α． 【答案】（1）直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数）， 曲线C 的直角坐标方程为22y x =．（2）3sin α= 【解析】 【分析】（1）根据点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程，两边同时乘以ρ后，根据互化公式可得曲线C 的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程代入抛物线方程，利用参数的几何意义可解得结果. 【详解】（1）根据直线过点()1,0P ，倾斜角为a 可得直线l 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t为参数），由2sin 2cos ρθθ=得22sin 2cos ρθρθ=，将sin y ρθ=，cos x ρθ=代入可得曲线C 的直角坐标方程：22y x =.（2）将1cos x t α=+，sin y t α=代入到22y x =，得22sin 2cos 20t t αα--=，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则M 对应的参数为122t t +， 由韦达定理得1222cos sin t t αα+=，所以122cos 2||||||2sin 3t t PM αα+===， 所以24cos 4sin 9αα=，所以241sin 4sin 9αα-=， 所以4299sinsin 044αα+-=，解得23sin 4α=， 由[0,)απ∈，所以3sin α=. 【点睛】本题考查了直线的参数方程及其几何意义，考查了极坐标方程化普通方程，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.设函数()()lg 12f x x x a =-+++．（1）当5a =-时，求函数()f x 的定义域； （2）设()12g x x x a =-+++，当[]2,1x ∈-时，()2g x x a ≥-成立，求a 的取值范围．【答案】（1）()(),32,-∞-+∞；（2）2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）利用零点分段法解不等式1250x x -++->可得出函数()y f x =的定义域； （2）由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+可得出3a ≥-，然后解不等式23x a a -≤+可得出333a x a -≤≤+，根据题意得出[][]2,13,33a a -⊆-+，进而可得出关于实数a 的不等式组，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当5a =-时，要使函数()y f x =有意义，需满足1250x x -++->. 当2x -≤时，则有1250x x ---->，即260x -->，解得3x <-，此时3x <-； 当21x -<<时，则有1250x x -++->，即20->，不合乎题意； 当1x ≥时，则有1250x x -++->，即240x ，解得2x >，此时2x >. 综上所述，不等式1250x x -++->的解集为()(),32,-∞-+∞. 因此，当5a =-时，函数()y f x =的定义域为()(),32,-∞-+∞；（2）当[]2,1x ∈-时，由()2g x x a ≥-可得23x a a -≤+，则30a +≥，可得3a ≥-，由23x a a -≤+可得323a x a a --≤-≤+，解得333a x a -≤≤+，[][]2,13,33a a ∴-⊆-+，323313a a a -≤-⎧⎪∴+≥⎨⎪≥-⎩，解得213a -≤≤.因此，实数a 的取值范围是2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了含绝对值不等式中参数的求解，第（2）问中将问题转化两区间的包含关系是解答的关键，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.。
2020年高考一模数学试题及答案(数学)
(Ⅰ)试估计在这 50 万青年学生志愿者中,英语测试成绩在 80 分以上的女生人数;
(Ⅱ)从选出的 8 名男生中随机抽取 2 人,记其中测试成绩在 70 分以上的人数为 X,求 的分布列和数学期望;
(Ⅲ)为便于联络,现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组(每组人数不少于 5000),并在每组中随机选取 个人 作为联络员,要求每组的联络员中至少有 1 人的英语测试成绩在 70 分以上的概率大于 90%.根据图表中数据,以频率 作为概率,给出 的最小值.(结论不要求证明)
.
2/5
14.函数 吠h ⸶ .
h吠 h的最小正周期为
;若函数 吠h在区间 ㄱㄠ h上单调递增,则 的最大值为
15.在一次体育水平测试中,甲、乙两校均有 100 名学生参加,其中:甲校男生成绩的优秀率为 70%,女生成绩的优秀 率为 50%;乙校男生成绩的优秀率为 60%,女生成绩的优秀率为 40%.对于此次测试,给出下列三个结论:
第Ⅱ卷(非选择题共 110 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.
11.在 吠 吠 h 的展开式中,常数项为
.(用数字作答)
12.若向量 ⸶ 吠hㄠhhㄠ ⸶ ㄠ吠h满足 㸴,则实数 吠 的取值范围是
.
13.设双曲线吠h t
h
h⸶
t ㄱh的一条渐近线方程为
⸶
h h
吠,则该双曲线的离心率为
h,设 ㄠ hㄠ ㄠ h是 的一个“正整数分拆”,
且 ⸶ h,求 的最大值;
(Ⅲ)对所有的正整数 ,证明: 쳌 ;并求出使得等号成立的 的值.
(注:对于 的两个“正整数分拆” ㄠ hㄠ ㄠ h与 ㄠ hㄠ ㄠ h,当且仅当 ⸶ 且 ⸶ ㄠ h ⸶ hㄠ ㄠ ⸶ 时, 称这两个“正整数分拆”是相同的.)
云南省2020版高考数学三模试卷(理科)(I)卷
云南省2020版高考数学三模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·电白期末) （）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二上·黑龙江开学考) 设全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣2＞0}，B={x|1＜2x＜8}，则（∁UA）∩B等于（）A . [﹣1，3）B . （0，2]C . （1，2]D . （2，3）3. （2分） (2016高三上·吉林期中) 已知：命题p：若函数f（x）=x2+|x﹣a|是偶函数，则a=0．命题q：∀m∈（0，+∞），关于x的方程mx2﹣2x+1=0有解．在①p∨q；②p∧q；③（￢p）∧q；④（￢p）∨（￢q）中为真命题的是（）A . ②③B . ②④C . ③④D . ①④4. （2分）已知函数在时有极大值，且为奇函数，则的一组可能值依次为（）A .B .C .D .5. （2分）阅读程序框图，若输入m=4，n=6，则输出 a，i 分别是（）A . a=12，i=3B . a=12，i=4C . a=8，i=3D . a=8，i=46. （2分）在6盒酸奶中，有2盒已经过了保质期，从中任取2盒，取到的酸奶中有已过保质期的概率为（）A .B .C .D .7. （2分）已知F1,F2分别为双曲线（a＞0,b＞0）的左、右焦点，O为原点，A为右顶点，P为双曲线左支上的任意一点，若存在最小值为12a，则双曲线离心率e的取值范围是（）A .B . (2,5]C . (1,5]D . (1,2)8. （2分）数列{an}的前n项和为Sn ，且满足log2an+1=1+log2an ，若S10=10，则a11+a12+…+a20的值等于（）A . 10×211B . 10×210C . 11×211D . 11×2109. （2分） (2018高二下·遂溪月考) 已知变量，满足约束条件，则的最小值是（）A .B . 3C . 4D . 510. （2分）(2016·温岭模拟) 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A . （24+2π）cm3B . （24+ π）cm3C . （8+6π）cm3D . （（3+ ）+2π）cm311. （2分）已知F1 ， F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是（）A . (1,1+)B . (1+,+)C . (1,1+)D . (1+,+)12. （2分）已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如下图的曲线，其中则的值为（）X123F(x)230A . 3B . 2C . 1D . 0二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高三上·蓟县期末) 在平面直角坐标系xOy中，由曲线与直线y=x和y=3所围成的封闭图形的面积为________．14. （1分） (2017高一上·扬州期中) 已知函数f（x）=ax3+bx+1，且f（﹣2）=3，则f（2）=________．15. （1分）(2017·南通模拟) 现有一个底面半径为3 cm，母线长为5 cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球（不计损耗），则该铁球的半径是________cm．16. （1分）(2017·九江模拟) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1=1，an•an+1=2Sn ，设bn= ，若存在正整数p，q（p＜q），使得b1 ， bp ， bq成等差数列，则p+q=________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2017高一上·无锡期末) 已知函数（1）求函数f（x）的单调增区间；（2）若，求cos2α的值．18. （10分） (2019高一下·海珠期末) 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查。
2020年全国高考一模考试模拟试卷含解析
2020年全国高考一模考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2310a a +=，530S =，则数列{}n a 的公差为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知集合}{1A x x =<,}{3log 0B x x =<,则A B =（ ）A ．AB ．BC ．RD ．∅ 3．5(3)(2)x y x y +-的展开式中, 24x y 的系数为（ ）A ．-110B ．-30C ．50D ．1304．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都是由长方形及其一条对角线组成，长方形的宽为3,俯视图为等腰直三角形，直角边长为4,则该多面体的体积是（ ）A ．8B ．12C ．16D ．24 5．将函数()cos(2)3f x x π=+图象上所有的点向右平移512π个单位长度后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有的性质是（ ）A ．图象的对称轴为4x π=B ．在5(,)84ππ--上单调递减,且为偶函数C ．在97(,)88ππ--上单调递增,且为奇函数 D ．图象的中心对称点是(,0)2π6．已知定点(2,0)P 及抛物线C ：22y x =,过点P 作直线l 与C 交于A ，B 两点,设抛物线C 的焦点为F ,则ABF ∆面积的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 7．已知数列{}n a 满足11a =11n n n a a n --=,且2cos 3n n n a b π=,则数列{}n b 的前59项和为（ ） A ．-1840 B ．-1760 C ．1760 D ．18408．设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A ．1 B ．0 C ．D ．4 9．在ABC 中，点,M N 满足2AM MC =，BN NC =，若MN x AB y AC =+，则x y +的值为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．3410．已知12,F F 为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左，右焦点，点P 为双曲线C 右支上一点，直线1PF 与圆222x y a +=相切，且212PF F F =，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．103B ．43 C ．53 D ．211．已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A ．[2,1]-B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞12．设i 为虚数单位，如果复数(1)3iai -的实部和虚部互为相反数，那么实数a 等于（ ）.A ．13-B ．-1C ．13D ．1二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
云南省2020年高考数学一模试卷(文科)(II)卷
云南省2020年高考数学一模试卷（文科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题： (共12题；共24分)1. （2分） (2017高一上·保定期末) 已知集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={2＜x≤5}，则A∩B=（）A . （2，3）B . [2，3]C . （﹣1，5）D . [﹣1，5]2. （2分） (2016高二下·孝感期末) （文）设a∈R，则a＞1是＜1的（）A . 必要但不充分条件B . 充分但不必要条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分） (2016高一下·宜春期中) 已知复数，则的共轭复数是（）A .B .C .D .4. （2分）若定义在R上的函数f(x)满足：对任意，有，则下列说法一定正确的是（）A . f(x)为奇函数B . f(x)为偶函数C . f(x)+1为奇函数D . f(x)+1为偶函数5. （2分）(2017·湖南模拟) 执行如图所示的程序框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是（）A . s≤B . s≤C . s≤D . s≤6. （2分） (2016高一下·甘谷期中) 函数f（x）=2sin|x﹣ |的部分图象是（）A .B .C .D .7. （2分）设函数f（x）=，则满足不等式f（a）＜的实数a的取值范围为（）A . （﹣∞，﹣1）B . （﹣1，）∪（，+∞）C . （﹣1，+∞）D . （﹣∞，﹣1）∪（，）8. （2分） (2019高三上·深州月考) 已知，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2016高二上·岳阳期中) 若x＞0，则的最大值为（）A .B .C . ﹣1D . 310. （2分） (2017高二上·景德镇期末) 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P （x0 ， y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A .B .C .D .11. （2分） (2019高二上·鸡泽月考) 函数的部分图象大致为（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·南靖月考) 设，，，则的大小关系是（）A .B .C .D .二、填空题： (共4题；共4分)13. （1分）(2017·闵行模拟) 如图，已知半径为1的扇形AOB，∠AOB=60°，P为弧上的一个动点，则取值范围是________14. （1分）(2019·武汉模拟) 函数在点处的切线方程为，则实数的值为________．15. （1分）计算： =________．16. （1分）已知：f（x）=x2+2f′（1）x，若f（x）＞0，则x的取值范围________．三、解答题： (共8题；共90分)17. （15分） (2016高一下·扬州期末) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，B是钝角，且 a=2bsinA．（1）求B的大小；（2）若△ABC的面积为，且b=7，求a+c的值；（3）若b=6，求△ABC面积的最大值．18. （10分） (2018高一下·黑龙江期末) 在数列中，，．（1）求证：数列是等差数列；（2）求数列的前n项和．19. （10分） (2017高一下·新余期末) 大学生赵敏利用寒假参加社会实践，对机械销售公司7月份至11月份销售某种机械配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x元和销售量y件之间的一组数据如表所示：月份7891011销售单价x元99.51010.511销售量y件1110865（1）根据7至11月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；（2）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？参考公式：回归直线方程 =b +a，其中b= ．参考数据： =392， =502.5．20. （10分） (2019高二下·六安月考) 设函数，其中 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.21. （15分） (2019高二下·舟山期末) 已知函数 .（1）当时，求的极值；（2）是否存在实数，使得与的单调区间相同，若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由；（3）若，求证：在上恒成立.22. （10分）如图，已知直线MA切圆O于点A，割线MCB交圆O于点C，B两点，∠BMA的角平分线分别与AC，AB交于E，D两点．（1）证明：AE=AD；（2）若AB=5，AE=2，求的值．23. （10分）(2019·南昌模拟) 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求的极坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于点，求的值.24. （10分） (2020高一上·梅河口月考) 判断并证明．（1）判断并证明函数在上的单调性：（2）当时，函数的最大值与最小值之差为；求的值．参考答案一、选择题： (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题： (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题： (共8题；共90分) 17-1、17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、24-1、24-2、。
云南省2021年高考数学一模试卷(理科)B卷
第 1 页 共 17 页 云南省2021年高考数学一模试卷（理科）B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、 选择题： (共12题；共24分) 1. （2分） 已知集合A={x|y=），B={y|y﹣l＜0），则A∩B=（ ） A . （一∞，1） B . （一∞，1] C . [0，1） D . [0，1] 2. （2分） (2017高二下·仙桃期末) 复数z满足z（2﹣i）=|1+2i|，则z的虚部为（ ）
A . B . C . 1 D . i
3. （2分） (2018高二下·赤峰期末) 过点 且斜率为 的直线与抛物线 ： 交于 ， 两点，若 的焦点为 ，则 （ ）
A . B . C . D . 4. （2分） (2017高三上·商丘开学考) 如图是一个程序框图，则输出的n的值是（ ） 第 2 页 共 17 页
A . 4 B . 5 C . 6 D . 7 5. （2分） (2017高二下·伊春期末) 已知函数 的导函数 的图象如下图所示，那么函数 的图象最有可能的是 （ ）
A . B . C . 第 3 页 共 17 页
D . 6. （2分） (2019高二上·上杭期中) 若实数x，y满足 ，则 的最小值为 A . 2 B . 1 C . 0 D . 7. （2分） (2017高一上·咸阳期末) 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A . 60 B . 54 C . 48 D . 24
8. （2分） 要得到y=sin（2x﹣）的图象，需要将函数y=sin（2x+）的图象（ ） A . 向左平移个单位 B . 向右平移个单位 第 4 页 共 17 页
C . 向左平移个单位 D . 向右平移个单位 9. （2分） (2020高二下·东莞期末) 组合恒等式 ，可以利用“算两次”的方法证明：分别求 和 的展开式中 的系数.前者 的展开式中 的系数为 ；后者 的展开式 中 的系数为 .因为 ，所以两个展开式中 的系数相等，即 .请用“算两次”的方法化简式子 （ ）
2020年全国高考一模考试模拟试卷含解析
2020年全国高考一模考试试卷理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．甲乙等4人参加4100⨯米接力赛，在甲不跑第一棒的条件下，乙不跑第二棒的概率是（ ）A ．29 B ．49 C ．23 D ．792．已知i 是虚数单位，()()()432z i i i =++-，则复数z 的共轭复数为( )A ．105i +B ．510i +C ．105i -D ．510i -3．执行如图所示的程序框图，则输出的T 值为（ ）A ．19B ．110C ．111D ．1124．已知集合{}2|280A x N x x =∈--≤， {}|28x B x =≥，则集合A B ⋂的子集个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．45．某山区希望小学为丰富学生的伙食，教师们在校园附近开辟了如图所示的四块菜地，分别种植西红柿、黄瓜、茄子三种产量大的蔬菜，若这三种蔬菜种植齐全，同一块地只能种植一种蔬菜，且相邻的两块地不能种植相同的蔬菜，则不同的种植方式共有（ ）A ．9种B ．18种C ．12种D ．36种6．已知O 为坐标原点，等轴双曲线()222:0C x y a a -=>的左，右顶点分别为1A ，2A ，若双曲线C 的一条渐近线上存在一点P ，使得()220OP OA PA +⋅=u u u v u u u u v u u u u v ，且12PA A V 的面积为22C 的方程为（ ）A ．228x y -=B ．224x y -=C ．222x y -=D ．221x y -=7．如图：AB 是圆锥底面圆的直径，PA ，PB 是圆锥的两种母线，'P 为底面圆的中心，过PB 的中点D 作平行于PA 的平面α，使得平面α与底面圆的交线长为4，沿圆锥侧面连接A 点和D 点，当曲线段AD 32时，则该圆锥的外接球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上）的半径为（ ）A ．42B ．32C ．922D ．9248．已知函数()f x ax =，()ln g x x =，存在(]0,t e ∈，使得()()f t g t -的最小值为3，则函数()ln g x x =图象上一点P 到函数()f x ax =图象上一点Q 的最短距离为（ ）A ．1eB ．44211e e ++C ．44311e e ++D ．19．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为：“有个人分个橘子，他们分得的橘子个数成公差为的等差数列，问人各得多少橘子．”根据这个问题，有下列个说法：①得到橘子最多的人所得的橘子个数是；②得到橘子最少的人所得的橘子个数是；③得到橘子第三多的人所得的橘子个数是．其中说法正确的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．10．执行如图所示的程序框图，则输出的,x y 的值满足（ ）A ．3y x =B ．13x y +=C ．()31y x =+D ．33x y =+11．过点()3,0P -作直线()220ax a b y b +++=（,a b 不同时为零）的垂线，垂足为M ，点()2,3N ，则MN 的取值范围是（ ）A．0,5⎡⎣ B．5⎡⎤-⎣⎦ C．5,5⎡+⎣ D．5⎡-⎣12．M 在不等式组2034430x x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域上，点N 在曲线22430x y x +++=上，那么MN 的最小值是（ ）A ．12 BC．13- D ．1二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年云南省丽江市高考数学一模试卷+答案解析(附后)
2023年云南省丽江市高考数学一模试卷1. 集合，，则等于( )A. B.C. D.2. 设a，b为两条直线，以下选项中能推出的个数是( )①a，b与同一个平面所成角相等；②a，b垂直于同一条直线；③a，b平行于同一个平面；④a，b垂直于同一个平面.A. 1B. 2C. 3D. 43. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.4. ( )A. B. C. D.5. 已知函数图象上相邻两条对称轴的距离为，把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则( )A. B. C. D.6. 设函数，若，则实数a的值为( )A. B. C. D.7. 已知，若函数有三个不同的零点，，，则的取值范围是( )A. B. C. D.8. 如图，已知四边形ABCD是底角为的等腰梯形，且，沿直线AC将翻折成，所成二面角的平面角为，则( )A. B. C. D.9. 与终边相同的角有( )A. B. C. D.10. 已知直角中有一个内角为，如果双曲线E以A，B为焦点，并经过点C，则该双曲线的离心率可能是( )A. B. 2 C. D.11. 如图所示，圆柱内有一个棱长为2的正方体，正方体的顶点都在圆柱上下底面的圆周上，E为BD上的动点，则下面选项正确的是( )A. 面积的最小值为B. 圆柱的侧面积为C.异面直线与所成的角为D. 四面体的外接球的表面积为12. 设是定义在R上的函数，若是奇函数，是偶函数，函数，则下列说法正确的是( )A. 当时，B.C. 若，则实数m的最小值为D. 若有三个零点，则实数13. 敲击一次音叉A所发出的声波可用函数描述，敲击一次音叉B 所发出的声波可用函数描述，则两个音叉所发出的音量较大的是______ 填入A或14. 据报道，我国目前已成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之一，如下表示我国土地沙化总面积在上个世纪五六十年代、七八十年代、九十年代的变化情况，由图中的相关信息，可将上述有关年代中，我国年平均土地沙化面积在图中图示为：______ .15. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件A，记该同学的成绩为事件B，则在A事件发生的条件下B事件发生的概率______结果用分数表示附参考数据：；；16. 三棱锥对棱相等，且，，，点P，Q分别是线段AD，BC的中点，直线平面，且与平面ABC、平面ACD、平面ABD、平面BCD均有交线，若这些交线围成一个平面区域，则的面积的最大值为______ .17. 已知顶点的直角坐标分别为，，若，求的值；若是钝角，求c 的取值范围．18. 已知数列中，，求；若，求数列的前5项的和19. 甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为，乙、丙做对该题的概率分别为m ，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：X 0123Pa b求m ，n 的值；求X 的数学期望．20. 已知，求的值；若，，求的值．21. 如图，四棱锥中，四边形ABCD 是边长为4的菱形，，，E 是BC 上一点，且，设证明：平面ABCD ；若，，求二面角的余弦值.22. 如图，已知椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点作两直线与椭圆相交于相异的两点A ，B ，直线PA ，PB 的倾斜角互补．直线AB 与x ，y 轴正半轴相交，分别记交点为M ，若的面积为，求直线AB的方程；若AB与双曲线的左、右两支分别交于Q，R，求的范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合，，则故选：根据并集定义求解．本题考查集合的运算，考查并集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【解析】解：对于①，a，b与同一个平面所成角相等，可得a、b可能平行，可能异面，也可能相交；对于②，a，b垂直于同一条直线，可得a、b可能平行，可能异面，也可能相交；对于③，a，b平行于同一个平面，可得a、b可能平行，可能异面，也可能相交；对于④，a，b垂直于同一个平面，由直线与平面垂直的性质，可得故能推出的个数是1个．故选：空间中直线与直线、直线与平面位置关系判定①②③；由线面垂直的性质判断④．本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：根据题意，函数，则，排除BC，，排除A，故选：根据题意，由函数的解析式分析与的符号，利用排除法分析可得答案．本题考查函数的图象分析，注意利用函数的特殊值，用排除法分析，属于基础题．4.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识，属于简单题.利用三角函数的诱导公式，将角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：故选：5.【答案】D【解析】解：函数图象上相邻两条对称轴的距离为，，，把图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可得的图象，再把得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，故选：由题意利用函数的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数的图象变换规律，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：令，则，得，当时，，则，此方程无解；当时，，则，解得，或舍去，，可得，且，解得故选：令，问题转化为，然后对t分类分析，可得，进一步转化为关于a的方程求解．本题考查分段函数的应用，考查数学转化与分类讨论思想，是中档题．7.【答案】A【解析】解：函数的图象如图所示，函数有三个不同的零点，，，即方程有三个不同的实数根，，，由图知，当时，，，，当且仅当时取得最大值，当时，，，此时，由，可得，，，，，，的取值范围是故选：首先画出函数的图象，根据图象得时有三个零点，求出当时的最大值，判断零点的范围，然后推导得出结果．本题考查函数零点与方程根的关系，考查数形结合思想，属于中档题．一般函数零点的求解与判断方法有如下三种：①直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；②零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质如单调性、奇偶性才能确定函数有多少个零点；③利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．8.【答案】B【解析】解：如图，不妨设，，，，，取AC中点O，AB中点E，连接，OE，，则，，即为二面角的平面角为，由已知可得，，，，，，则，在上余弦函数为减函数，；而与的大小不确定，与的大小不确定．故选：由题意画出图形，不妨设，由已知求出对应边长，再求出二面角的平面角，由余弦定理求出，，的余弦值，结合余弦函数的单调性比较角的大小．本题考查了空间位置关系、空间角，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于难题．9.【答案】BCD【解析】解：与终边相同的角可表示为，，当时，为；时，为；时，为；故选：根据终边相同的角，相差的整数倍判断即可．本题主要考查终边相同的角，属于基础题．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想及计算能力，属于基础题．设出直角三角形斜边长，求解直角边长，通过双曲线的定义，求解离心率即可．【解答】解：如果斜边为AB，设，不妨设，则，，所以，所以离心率为：如果AB是直角边，不妨设，设斜边BC为2c，则或，时，，此时离心率为：；时，，此时离心率为：故选：11.【答案】ACD【解析】解：对于选项A，因为与BD垂直，则当点E为点O时，面积取最小值，且最小值为，即选项A正确；对于选项B，由题意有圆柱的底面半径为，高为2，则圆柱的侧面积为，即选项B错误；对于选项C，因为，则异面直线与所成的角的平面角为，又为正三角形，即异面直线与所成的角为，即选项C正确；对于选项D，正方体的体对角线长为，则四面体的外接球的直径为，则四面体的外接球的表面积为，即选项D正确，故选：由异面直线所成角的求法及空间几何体的表面积公式求解即可．本题考查了异面直线所成角，重点考查了空间几何体的表面积，属基础题．12.【答案】BC【解析】解：因为是奇函数，是偶函数，所以，解得，由，当时，，则，所以，同理：当时，，以此类推，我们可以得到如下的图象；对于A：根据上述规律，当时，，故A错误；对于B：根据图象，刚好是相邻两个自然数中间的数，则刚好是每一段图象中的极大值，代入函数解析式得，故B正确；对于C：根据图象，当时，，，由图象可得C正确；对于D：有三个零点，等价于函数与函数有三个不同的交点，设，，则函数恒过点A的直线，如图所示：当函数与，相切的时候，有三个交点，相切时斜率k小于直线AB的斜率，直线AB的斜率为，故有三个零点，故D错误．故选：由是奇函数，是偶函数，得，再依据，作出函数的图象，再逐项判断即可．本题考查命题真假的判断，在判断过程中充分运用分类讨论与数形结合的方法，属中档题．13.【答案】B【解析】解：所发出的音量较大的，即声波振幅较高的，由于，故选所发出的音量较大的，即声波振幅较大的，由于B所发出的声波的振幅较大，从而得到答案．本题考查三角函数的最值，得到B所发出的声波的振幅较大，是解题的关键．14.【答案】【解析】解：由图1可知：：土地沙化面积增加了万平方公里，平均沙化面积为：万平方千米百平方公里：平均沙化面积为：万平方千米百平方公里：平均沙化面积为：万平方千米百平方公里：平均沙化面积为：万平方千米百平方公里如图：由图1可得，：土地沙化面积增加了万平方公里，平均沙化面积为：万平方公里百平方公里，同理可求各个时间的平均沙化面积，画出图象即可．本题主要考查了函数的图象与图想的变化，考查了变量的变化与平均变化的基本概念，考查了识图、作图的能力．15.【答案】【解析】解：由题意，，，，故答案为利用条件概率公式，即可得出结论．本题考查条件概率，考查正态分布，考查想的计算能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：三棱锥拓展为以三棱锥的边为面的对角线的长方体，如下图所示，，，，设，，，则有，解得，，，因为点P，Q分别是线段AD，BC的中点，所以底面，又直线平面，所以平面，设平面与平面ABC，平面ACD、平面ABD、平面BCD的交线分别为GH，HM，FG，MF，平面，平面BCD分别与平面，底面交于GH，BC，所以，同理，所以，同理，所以四边形FGHM为平行四边形，且，在中，，，，所以，设，则，由，所以，，所以，设平行四边形FGHM围成的一个区域为面积为S，，当且仅当时，取等号，故答案为：将三棱锥拓展为以三棱锥的边为面的对角线的长方体，根据三棱锥的棱长求出长方体的边长，根据已知可得平面平行于长方体的底面，再由线面平行的性质定理，可得平面与平面ABC，平面ACD、平面ABD、平面BCD的交线构成四边形FGHM为平行四边形，且平行四边形两相邻的边所成的角与底面两对角先所成的角相等或互补，再由线面平行和线线平行的线段的比例关系，可得平行四边形FGHM相邻两边的和，最后由平行四边形的面积计算公式结合基本不等式，即可得出答案．本题考查三棱锥的截面积，等价转化为长方体的截面积是解题关键，属于中档题．17.【答案】解解法一：时，，，，解法二：若，则，，设D是AC边的中点，则，，，，若A为钝角，则且，不共线，且解得所以c的取值范围为【解析】通过向量的数量积求出角A的余弦，利用平方关系求出A角的正弦．据向量数量积的公式知向量的夹角为钝角等价于数量积小于0，列出不等式解．本题考查向量数量积在解三角形中的应用及向量的夹角为钝角转化为数量积小于18.【答案】解：由数列中，，则数列是首项为2，公比为2的等比数列，数列的前5项的和……【解析】利用等比数列的通项公式即可得出．利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：由题意，得，又，解得，由题意，，，【解析】根据相互独立事件的概率公式列方程组求出m，n；求出a，b的值，再计算本题考查了相互独立事件的概率公式，离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题．20.【答案】解：，所以，故，所以，；因为，，则，又，所以，所以，，则，所以【解析】先确定的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用求解；先确定的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用并结合第问的数据求解．本题主要考查了同角平方关系，和差角公式在三角化简求值中的应用，属于中档题．21.【答案】解：证明：四边形ABCD 是菱形，是AC 的中点，，，，PA ，平面PAC ，平面PAC ，平面PAC ，，，O 是AC 的中点，，平面ABCD ，平面ABCD ，，平面由知平面ABCD ，，，OB，OP两两互相垂直，以O为原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示：设，四边形ABCD是菱形，，和都是等边三角形，，，，，，，，即，，，设平面PAE的法向量为，则，取，得；设平面PEC的法向量为，则，取，得设二面角的平面角为，结合图象可知，，二面角的余弦值为【解析】根据线面垂直的判定定理，结合题中条件，即可证明线面垂直；由题意，先得到OA，OB，OP两两互相垂直，以O为原点，以OA，OB，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面的法向量，根据向量夹角公式，即可得出结果．本题主要考查证明线面垂直，考查向量的方法求二面角，考查空间想象能力与思维能力，属于常考题型．22.【答案】解：椭圆与等轴双曲线共顶点，过椭圆上一点，所以，，所以，所以椭圆方程为：，由题，消去y得：，，因为，所以，并求出，将k换成，得：，则可得，设，，消去y得：，，所以得：，则AB：，，，，的面积为，，解得，即；，消去y得：，，，，，则，，，则的取值范围为【解析】求出椭圆方程，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理，求解A、B坐标，求出AB方程，然后转化求解三角形的面积，推出AB的方程．联立直线与双曲线方程，利用韦达定理转化求解的表达式，求解的取值范围即可．本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，是难题．。