北师大版九年级数学上册《第四章图形的相似》单元测试(含答案)
第四章 图形的相似 第Ⅰ卷 (选择题 共30分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．下列各组中的四条线段是成比例线段的是( ) A．1 cm，2 cm，20 cm，40 cm B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm C．6 cm，4 cm，1 cm，3 cm D．5 cm，10 cm，15 cm，20 cm 2．如图1，两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，若AB＝3，BC＝6，DE＝2，则DF的长为( )
图1 A．4 B．5 C．6 D．7
3．若ab＝35，则a＋bb的值是( ) A.58 B.35 C.85 D.32 4．如图2，△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，则∠A的度数是( )
图2 A．22.5° B．30° C．36° D．45° 5．如图3所示，将△ABO的三边分别扩大为原来的2倍得到△A1B1C1(顶点均在格点上)，它们是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是( )
A．(－4，－3) B．(－3，－3) C．(－4，－4) D．(－3，－4) 图3 6．如图4，已知矩形ABCD，AB＝2，在BC上取一点E，沿AE将△ABE向上折叠，使点B落在AD上的点F处，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD的长为( )
图4 A.5 B.5＋1 C．4 D．23 7．在小孔成像问题中，光线穿过小孔，在屏幕上形成倒立的实像，如图5所示，若点O到AB的距离是18 cm，点O到CD的距离是6 cm，则像CD的长是AB长的( )
图5 A．3倍 B.12 C.13 D．不知AB的长度，故无法判断
8．为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如图6所示的测量方案，把一面很小的镜子水平放置在离树底(B)8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝3.2米，观察者目高CD＝1.6米，则树(AB)的高度为( ) 图6 A．4.2米 B．4.8米 C．6.4米 D．16.8米 9．如图7，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD边的中点B′重合，若AB＝2，BC＝3，则△FCB′与△B′DG的面积之比为( )
A．9∶4 B．3∶2 C．4∶3 D．16∶9
图7 10．如图8，在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止．点D的运动速度为1 cm/s，点E的运动速度为2 cm/s.如果两点
同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )
图8 A．3 s或4.8 s B．3 s C．4.5 s D．4.5 s或4.8 s 请将选择题答案填入下表： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 答案 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分) 二、填空题(每小题3分，共18分) 11．如图9，D是等边三角形ABC中边AB上的点，AD＝2，DB＝4.现将△ABC折叠，使得点C与点D重合，折痕为EF，且点E，F分别在边AC和BC上，则CFCE＝________．
图9 12．如图10，△ABC中，AB＝6，DE∥AC，将△BDE绕点B顺时针旋转得到△BD′E′，点D的对应点D′落在边BC上．已知BE′＝5，D′C＝4，则BC的长为________．
图10 13．若ab＝cd＝ef＝12，则3a－2c＋e3b－2d＋f(3b－2d＋f≠0)＝________． 14．如图11所示，Rt△DEF是由Rt△ABC沿BC方向平移得到的，若AB＝8，BE＝4，DH＝3，则△HEC的面积为________．
图11 15．如图12，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC的同侧，且∠ACD＝∠B，CD＝2，E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为________．
图12 16．如图13，直线y＝12x＋1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1∶3，则点B的对应点B′的坐标为________． 图13 三、解答题(共72分)
17．(6分)已知a，b，c是△ABC的三边长，且满足a＋43＝b＋32＝c＋84，a＋b＋c＝12，试求a，b，c的值，并判断△ABC的形状．
18．(6分)如图14，在平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别是O(0，0)，A(6，0)，B(3，6)，C(－3，3)．
(1)以原点O为位似中心，在点O的异侧画出四边形OABC的位似图形四边形OA1B1C1，使它与四边形OABC的相似比是2∶3；
(2)写出点A1，B1，C1的坐标； (3)求四边形OA1B1C1的面积．
图14 19．(8分)已知：在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂线交线段AB(如图15①)或线段AB的延长线(如图15②)于点P.
(1)当点P在线段AB上时，求证：△AQP∽△ABC； (2)当△PQB为等腰三角形时，求AP的长．
图15
20．(8分)如图16①，点D，E分别在AB，AC上，且ADAB＝AEAC. (1)求证：DE∥BC； (2)如图②，在△ABC中，D为边AC上任意一点，连接BD，取BD的中点E，连接CE并延长CE交边AB于点F，求证：BFAF＝CDAC；
(3)在(2)的条件下，若AB＝AC，AF＝CD，求BFAF的值．
图16
21．(10分)如图17是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔，是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品，并作为丝绸之路的一处重要遗址点，被列入《世界遗产名录》．小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度，由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，于是在阳光下，他们首先利用影长进行测量，方法如下：小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD，并测得此时木棒的影长DE＝2.4米；然后，小希在BD的延长线上找出一点F，使得A，C，F三点在同一直线上，并测得DF＝2.5米．已知图中所有点均在同一平面内，木棒高CD＝1.72米，AB⊥BF，CD⊥BF，试根据以上测量数据，求小雁塔的高度AB.
图17 22．(10分)如图18，在平面直角坐标系中，已知OA＝12厘米，OB＝6厘米，点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果点P，Q同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6)．
(1)设△POQ的面积为y，求y关于t的函数表达式； (2)当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
图18
23．(12分)如图19，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，D是BC边上的一个动点(不与点B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.
(1)求证：△ABD∽△DCE； (2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围； (3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
图19 24．(12分)如图20①，点C将线段AB分成两部分，如果ACAB＝BCAC，那么称点C为线段AB的黄金分割点．某数学兴趣小组在进行研究时，由“黄金分割点”联想到“黄金分割线”，类似给出“黄金分割线”的定义：一条直线将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的
面积分别为S1，S2，如果S1S＝S2S1，那么称这条直线为该图形的黄金分割线．
(1)如图②，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，∠ACB的平分线交AB于点D，请问直线CD是不是△ABC的黄金分割线？并证明你的结论；
(2)如图③，在边长为1的正方形ABCD中，E是边BC上一点，若直线AE是正方形ABCD的黄金分割线，求BE的长．
图20 详解详析 1．A 2．C [解析] ∵两条直线分别被三条平行直线l1，l2，l3所截，∴ABBC＝DEEF. ∵AB＝3，BC＝6，DE＝2，∴EF＝4，∴DF＝DE＋EF＝2＋4＝6.故选C. 3．C 4．C [解析] ∵点D是线段AB的一个黄金分割点，∴AD2＝BD·AB. ∵AD＝AC＝BC，∴BC2＝BD·AB， 即BC∶BD＝AB∶BC. 而∠ABC＝∠CBD，∴△BCD∽△BAC， ∴∠A＝∠BCD. 设∠A＝x°，则∠B＝x°，∠BCD＝x°， ∴∠ADC＝∠BCD＋∠B＝2x°. 而AC＝AD， ∴∠ACD＝∠ADC＝2x°， ∴x＋2x＋2x＝180，解得x＝36， 即∠A＝36°.故选C. 5．A 6．B [解析] 由折叠知AF＝AB＝2，设AD＝x，则FD＝x－2，EF＝2， ∵四边形EFDC与矩形ABCD相似，
∴EFFD＝ADAB，即2x－2＝x2，解得x1＝1＋5，x2＝1－5(不合题意，舍去)，即AD的长为5＋1.故选B. 7．C [解析] 过点O作OM⊥AB于点M，交CD于点N，如图，则OM＝18 cm，ON＝6 cm.
∵AB∥CD，∴△ODC∽△OAB，∴CDAB＝ONOM＝618＝13，即CD的长是AB长的13.故选C.
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元测试题(有答案)
北师大版九年级数学上册第四章图形的相似单元测试题一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1．如果2x＝3y，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝9，DB＝3，CE＝2，则AC的长为（）A．6B．7C．8D．93．自然界中存在很多自相似现象，如树木的生长，雪花的形成，土地干旱形成的地面裂纹．分形几何就是专门研究像雪花形状这样的自相似图形（即图形的局部与它的整体具有一定程度的相似关系）的一个数学分支．下列自相似图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，在△ABC中，点P为AB上一点连接CP．若再添加一个条件使△APC与△ACB相似，则下列选项中不能作为添加条件的是（）A．∠ACP＝∠B B．∠APC＝∠ACBC．AP：AC＝AC：AB D．AP：AB＝PC：BC5．如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的中点，则△ADE与△ABC的面积之比是（）A．1：4B．1：3C．1：2D．2：16．在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处，能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（）A．①处B．②处C．③处D．④处7．如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P，Q，S 在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，则河的宽度PQ为（）A．40m B．60m C．120m D．180m8．若△ABC∽△DEF且面积比为9：25，则△ABC与△DEF的周长之比为（）A．9：25B．3：25C．3：5D．2：59．如图，△OA1B1与△OAB的形状相同，大小不同，△OA1B1是由△OAB的各顶点变化得到的，则各顶点变化情况是（）A．横坐标和纵坐标都乘以2B．横坐标和纵坐标都加2C．横坐标和纵坐标都除以2D．横坐标和纵坐标都减210．在一张复印出来的纸上，一个三角形的一条边由原图中的2cm 变成了6cm ，则复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的（ ）A ．3倍B ．6倍C ．9倍D ．12倍二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）11．已知，＝，则＝ ．12．如图，已知l 1∥l 2∥l 3，直线l 4、l 5被这组平行线所截，且直线l 4、l 5相交于点E ，已知AE ＝EF＝1，FB ＝3，则＝ ．13．如图，四边形ABCD ∽四边形EFGH ，∠A ＝∠D ＝100°，∠G ＝65°，则∠F ＝ ．14．如图，已知∠BAC ＝∠DAE ，请你再补充一个条件 ，使得△ABC ∽△ADE ．15．如图，在平行四边形ABCD 中，P 是AD 边上的一个点，连接PB ，PC ，M ，N 分别是PB ，PC 的中点；已知S ▱ABCD ＝16，则S △PMN ＝ ．16．如图是小孔成像原理的示意图，点O 与物体AB 的距离为45厘米，与像CD 的距离是30厘米，AB ∥CD ．若物体AB 的高度为27厘米，那么像CD 的高度是 厘米．17．已知两个相似三角形的相似比为4：3，则这两个三角形的对应高的比为．18．如图，在直角坐标系中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，△ABO的顶点坐标分别为A （﹣2，﹣1），B（﹣2，﹣3），O（0，0），△A1B1O1的顶点坐标分别为A1（1，﹣1），B1（1，﹣5），O1（5，1），△ABO与△A1B1O1是以点P为位似中心的位似图形，则P点的坐标为．三．解答题（共7小题，共66分）19．已知4：x＝1：75%，求x的值．20．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，点D在直线AB上，过点D作DE∥BC交直线AC与点E．如果BD＝4，求AE的长．21．如图，矩形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在AD，BC边上，且EF⊥BC，若矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，求AD的长．22．（1）解方程x2﹣3x﹣18＝0；（2）如图，BD、AC相交于点P，连接BC、AD，且∠1＝∠2，求证：△ADP∽△BCP．23．如图，BD、AC相交于点P，连接AB、BC、CD、DA，∠1＝∠2（1）求证：△ADP∽△BCP；（2）若AB＝8，CD＝4，DP＝3，求AP的长．24．如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝280cm，AB＝140cm，球目前在E点位置，AE＝35cm，如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．（1）求证：△BEF∽△CDF；（2）求CF的长．25．先阅读下列材料，然后解答问题．材料：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线例如：如图①，AD把△ABC分成△ABD与△ADC，若△ABD是等腰三角形，且△ADC∽△BAC，那么AD就是△ABC的完美分割线．解答下列问题：（1）如图②，在△ABC中，∠B＝40°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是以AD为底边的等腰三角形，则∠CAD＝度．（2）在△ABC中，∠B＝42°，AD是△ABC的完美分割线，且△ABD是等腰三角形，求∠BAC 的度数．参考答案一．选择题1．解：∵2x＝3y，∴＝或＝或＝．故选：C．2．解：∵DE∥BC，∴＝，即＝，∴AE＝6，∴AC＝AE+EC＝6+2＝8．故选：C．3．解：A、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；B、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；C、既是中心对称图形，也是轴对称图形，不合题意；D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，符合题意．故选：D．4．解：A、当∠ACP＝∠B，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；B、当∠APC＝∠ACB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；C、当AP：AC＝AC：AB，∠A＝∠A，可得△APC∽△ACB，故该选项不符合题意；D、当AP：AB＝PC：BC，∠A＝∠A，无法证明△APC∽△ACB，故该选项符合题意；故选：D．5．解：由题意可知：DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，故选：A．6．解：帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为2、2、4；“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2，∵＝＝，∴马应该落在②的位置，故选：B．7．解：∵RQ⊥PS，TS⊥PS，∴RQ∥TS，∴△PQR∽△PST，∴＝，即＝，∴PQ＝120（m）．故选：C．8．解：∵相似三角形△ABC与△DEF面积的比为9：25，∴它们的相似比为3：5，∴△ABC与△DEF的周长比为3：5．故选：C．9．解：由直角平面坐标系得出A（2，1），A1（4，2），B（1，3），B1（2，6），故对应点的横坐标和纵坐标都乘以2．故选：A．10．解：由题意可知，相似多边形的边长之比＝相似比＝2：6＝1：3，所以面积之比＝（1：3）2＝1：9．所以复印出的三角形的面积是原图中三角形面积的9倍．故选：C．二．填空题11．解：∵＝，∴＝＝﹣5．故答案是：﹣5．12．解：∵l1∥l2，AE＝EF＝1，∴＝＝1，∴FG＝AC；∵l 2∥l 3，∴＝＝，∴＝＝，故答案为．13．解：∵四边形ABCD ∽四边形EFGH ， ∴∠A ＝∠D ＝∠E ＝∠H ＝100°，∴∠F ＝360°﹣∠E ﹣∠H ﹣∠G ＝360°﹣100°﹣100°﹣65°＝95°．故答案为95°．14．解：∵∠BAC ＝∠DAE ，∠B ＝∠D ，∴△ABC ∽△ADE ，故答案为：∠B ＝∠D 等15．解：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴S △PBC ＝S ▱ABCD ＝×16＝8，∵M ，N 分别是PB ，PC 的中点，∴MN ∥BC ，MN ＝BC ，∴△PMN ∽△PBC ，∴＝（）2＝，∴S △PMN ＝×8＝2．故答案为2．16．解：∵AB ∥CD∴△ABO ∽△CDO∴＝又∵AB ＝27∴CD ＝18．故答案为：18．17．解：因为两个相似三角形的相似比为4：3，所以则这两个三角形的对应高的比为4：3．故答案为4：3．18．解：如图，P点坐标为（﹣5，﹣1）．故答案为（﹣5，﹣1）．三．解答题19．解：4：x＝1：75%，x＝4×75%，解得：x＝2．20．解：∵DE∥BC，∴＝，∵AB＝10，AC＝8，BD＝4，∴＝，∴AE＝．21．解：∵矩形ABFE∽矩形DEFC，且相似比为1：2，∴＝＝，∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝4∴＝＝，∴DE ＝8，AE ＝2，∴AD ＝AE +DE ＝2+8＝10．22．解：（1）（x ﹣6）（x +3）＝0， ∴x ＝6或x ＝﹣3；（2）∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB ，∴△ADP ∽△BCP ；23．解：（1）证明：∵∠1＝∠2，∠DPA ＝∠CPB∴△ADP ∽△BCP（2）∵△ADP ∽△BCP ，∴＝，∵∠APB ＝∠DPC∴△APB ∽△DPC∴＝＝，∴AP ＝624．（1）证明：∵∠EFG ＝∠DFG ， ∴∠EFB ＝∠DFC ，又∵∠B ＝∠C ，∴△BEF ∽△CDF ；（2）解：∵△BEF ∽△CDF ，∴＝，设FC ＝xcm ，则＝， 解得：x ＝160，答：CF 的长为160cm ．25．解：（1）∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝40°故答案为：40（2）若BD＝AD，∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵AD＝BD，∴∠ABD＝∠BAD＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝84°若AB＝BD，∴∠BAD＝69°＝∠BDA∵∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝42°+69°＝111°若AB＝AD，∴∠B＝∠ADB＝42°∵AD是△ABC的完美分割线，∴△DAC∽△ABC∴∠CAD＝∠B＝42°∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝42°+∠C≠42°∴不存在AB＝AD，综上所述：∠BAC的度数为84°或111°。
北师大版九年级数学上册第四章《图形的相似》单元测试题(含答案) (5)
图形的相似单元同步练习（典型题汇总）检测时间：90分钟满分：120分一、选择题（每小题3分，共21分）1.如果x：y=3：4，则下列各式中不正确的式子是（）A．74x yy+= B．41yy x=-C．14x yy-= D．328xy=2．某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某一同学的身高是1.5米，影长是1米，旗杆的影长是8米，则旗杆的高度是（）A．12米 B．11米 C．10米 D．9米3．如图1所示，在△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中点，AE⊥AD交CB的延长线于点E，则下列结论正确的是（）A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACD; C．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC(1) (2) (3)4．如图2所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，∠1=∠B，AE=EC=4，BC=•10，AB=12，则△ADE和△ACB的周长之比为（）A．12B．13C．14D．165．如图3所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC；②△BCD；③△BDE；•④△BFG；⑤△FGH；⑥△EFK．其中②～⑥中与三角形①相似的是（）A．②③④ B．③④⑤ C．④⑤⑥ D．②③⑥6．下列命题正确的是（）A．对应边成比例的多边形都相似 B．两个等腰梯形一定相似C．有一个内角相等的两个菱形相似 D．两个角对应相等的梯形都相似7．如图4所示，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，DE∥BC，ADBD=2，则△ADE与四边形DBCE的面积比是（）A．13B．23C．49D．45二、填空题（每小题3分，共30分）1．如图5所示，CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=9，CD=6，则BD=_______．(4) (5) (6)2．若△ABC与△A′B′C′相似，△ABC的周长为15，△A′B′C′的周长为45，•则△ABC 与△A′B′C′的面积比为_________．3．如图6所示，在△ABC中，点D在线段BC上，∠BAC=∠ADC，AC=8，BC=16，•那么，CD=_______．4．如图7所示，E是Y ABCD的边AD的延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，•即AD=512AE，BE交DC于点F，已知AB=5+1，则DF的长是________．(7) (8) (9) (10)5．如图8所示，△ABC中，P是边AB上的一点，连接CP，要使△ACP∽△ABC，•还需要补充的一个条件是_________或_________．6．如图9所示，在△ABC中，BC=a，B1，B2，B3，B4是AB边的五等分点，C1，C2，C3，C4是AC•边的五等分点，则B1C1+B2C2+B3C3+B4C4=________．7．在比例尺为1：n的某市地图上，规划出一块长5cm，宽2cm的矩形工业园区，则该园区的实际面积是___________平方米．8．如图10所示，M是平行四边形ABCD的AB边的中点，CM交BD于E，•则图中阴影部分的面积与平行四边形ABCD的面积的比是_______．9．若两个相似三角形的相似比为1，则这两个三角形_________．10．如图所示，测量小玻璃管口径的量具ABC上，AB的长为10毫米，AC•被分为60等分．如果小管口DE正好对着量具上30份处（DE•∥AB）•，•那么小管口径DE•的长是_______毫米．三、竞技平台（每小题7分，共28分）1．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子，•假设图形中的所有点线都在同一平面内，请问图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有请把它们一一写出来．2．如图所示，DE是△ABC的中位线，∠B=90°，AF∥BC，在射线AF•上是否存在点M，使△MEC∽△ADE？若存在，请先确定M，再说明这两个三角形相似；若不存在，请说明理由．3．如图所示，小聪为测量一高楼EF的高，在距F点20m的A处放了一个平面镜，小聪沿FA后退到了B点，正好在镜中看到楼顶E点的像，若AB=1.5m，•小聪的眼睛离地面的高度为1.6m，请你帮助小聪算一算楼房的高度．（精确到0.1m）4．如图所示，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，设CD=a，AD=b，AB=c．（1）a，b，c之间有什么关系？写出你的结论，并说明理由．（2）请你根据问题（1）提出一个问题，并说明理由．四、能力提高（每小题8．5分，共17分）1．要使两个形状相同的三角形框架中一个三角形框架的三边的长分别是4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？这个问题还有其他答案吗？2．如图所示，旗杆顶端Q，标杆顶端D，观测者的眼睛B在同一条直线上，•测得观测者的脚到旗杆底部的距离AP=75m，观测者的脚到标标底部的距离AC=2.5m，若AB=1.5m，观测者的脚到标杆底部的距离AC=2.5m，若AB=1.5m，标标CD的高为2m，•那么旗杆有多高？五、拓展创新（每小题12，共24分）1．在如图所示的直角坐标系中，四边形ABCD各个顶点的坐标分别是A（0，0），B（3，6），C（14，8），D（16，0），确定这个四边形的面积，你是怎么做的？2．如图所示，在矩形ABCD中，AB=12厘米，BC=6厘米，点P沿AB边从点A•开始向点B 以2厘米/秒的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动，如果P，Q同时出发，用t（秒）表示移动时间（0≤t≤6），那么（1）t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？（2）请计算四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论；（3）t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？答案:一、1．C 2．A 3．C 4．B 5．B 6．C 7．D二、1．4 2．1：9 3．4 45．答案不惟一，如：∠ACP=∠B，∠APC=∠ACB，•AC=AP·AB等等6．2a 7．21000n8．139．全等 10．5三、1．△ADE∽△BAE∽△CDA，或△ADE∽△BAE，△BAE∽△CDA，△ADE∽△CDA．2．存在，过点E作AC的垂线与AF交于一点即为M，说明略．3．提示：EF：1.6=20：1.5，∴EF≈21.3（m）．4．（1）b2=ac，理由：△BCD∽△ABC→b c a b =（2）点D是AC的黄金分割点，理由略．四、1．解：设另两边为x，y，则（1）4562x y==，x=2.5，y=3（2）4562x y==，x=85，y=125．（3）4562x y==，x=43，y=53．2．提示：过点B作BE⊥PQ于E，交CD于F，先求得QE=15m，于是得PQ=16.5m．五、1．略2．解：（1）对于任何时刻，AP=2t，DQ=t，AQ=6-t，当AQ=AP时，△QAP为等腰直角三角形，△QAP为等腰直角三角形．（2）在△QAC中，AQ=6-t，AQ边上的高DC=12，•∴S△QAC=12QA·DC=12（6-t）×12=36-6t．在△APC中，AP=2t，BC=6，∴S△APC=12AP·BC=12·2t·6=6t．∴S四边形QAPC=S△QAC+S△APC=（36-6t）+6t=36（cm2）．在P，Q两点移动的过程中，四边形QAPC的面积始终保持不变．（3）•由题意分两种情况：①当QA APAB BC=时，△QAP∽△ABC，∴62126t t-=．∴t=1.2（秒）．②当QA APBC AB=时，△PAQ•∽△ABC，∴62612t t-=，∴t=3（秒），∴当t=1.2s或t=3s时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似．。
九年级上册数学单元测试卷-第四章 图形的相似-北师大版(含答案)
九年级上册数学单元测试卷-第四章图形的相似-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，若A,B,C,P,Q，甲，乙，丙，丁都是方格纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲，乙，丙，丁四点中的（）．A.丁B.丙C.乙D.甲2、如果点D、E，F分别在△ABC的边AB、BC，AC上，联结DE、EF，且DE∥AC，那么下列说法错误的是（）A.如果EF∥AB，那么AF：AC＝BD：ABB.如果AD：AB＝CF：AC，那么EF∥ABC.如果△EFC∽△ABC，那么EF∥ABD.如果EF∥AB，那么△EFC∽△BDE3、如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽ADE的是（）A.∠B＝∠DB.∠C＝∠EC.D.4、如图，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为( )A.6B.8C.10D.125、如图，路灯距地面8米，身高1.6米的小李从点A处沿AO所在的直线行走14米到点B 时，人影长度（）A.变长3.5米B.变长2.5米C.变短3.5米D.变短2.5米6、如图，菱形ABCD的边长为10，面积为80，∠BAD＜90°，⊙O与边AB，AD都相切菱形的顶点A到圆心O的距离为5，则⊙O的半径长等于（）A.2.5B.C.D.37、如图，与交于点，则（）A.2B.3C.3.5D.48、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC= ，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）.A. B. C. D.9、如果点D、E分别在△ABC的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A.AD：DB=AE：ECB.BD：AB=CE：ACC.DE：BC=AD：ABD.AB：AC=AD：AE10、下列几个命题中正确的有（）(1）四条边相等的四边形都相似；(2）四个角都相等的四边形都相似；(3）三条边相等的三角形都相似；(4）所有的正六边形都相似。
第四章 图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，若DE//BC，则下列式子不成立的是（）A. B. C. D.2、图，D是△ABC一边BC上一点，连接AD，使△ABC∽△DBA的条件是（）A.AC：BC=AD：BDB.AC：BC=AB：ADC.AB 2=CD•BC D.AB 2=BD•BC3、如图，AB∥CD，AC、BD交于点O，若DO=3，BO=5，DC=4，则AB长为（）A.6B.8C.D.4、如图，AC是矩形ABCD的对角线，E是边BC延长线上一点，AE与CD相交于F，则图中的相似三角形共有（）A.2对B.3对C.4对D. 5对5、中午1点，身高为165cm的小冰的影长为55cm，同学小雪此时在同一地点的影长为60cm，那么小雪的身高为（）A.180cmB.175cmC.170cmD.160cm6、下列叙述正确的是（）A.任意两个正方形一定是相似的B.任意两个矩形一定是相似的C.任意两个菱形一定是相似的D.任意两个等腰梯形一定是相似的7、如图，中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍.设点B的对应点的横坐标是a，则点B的横坐标是( )A. B. C. D.8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，若AD=1，BC=3，则的值为（）A. B. C. D.9、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，则图中相似三角形有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10、如图，在直角三角形ABC中（∠C=90°），放置边长分别为3，4，x的三个正方形，则x的值为（）A.5B.6C.7D.1211、如图，矩形ABCD中，AD=2，AB=3，过点A，C作相距为2的平行线段AE，CF，分别交CD，AB于点E，F，则DE的长是（）A. B. C.1 D.12、如图，在中，分别是边上的中点，则（）A.1B.C.D.13、若△ABC∽△DEF，AB：DE=2：1且△ABC的周长为16，则△DEF的周长为（）A.4B.6C.8D.3214、如图，E、F分别在矩形ABCD的边CD、AB上，EF⊥AB，G、H分别是BC、EF的中点，EH＞HG，除矩形EFBC外，图中4个矩形都彼此相似，若BC=1，则AB等于（）A. B. C. D.15、如图，已知点A，点C在反比例函数y= 上（k>0，x>0）的图象上，AB⊥x轴于点B，连结OC交AB于点D，若CD=2OD,则△BDC与△ADO的面积比为（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，，点分别在上，如果，那么的长为________．17、如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m，n 与直线 a，b，c 分别交于点 A，C，E，B，D，F，若 AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 DF 的值是________.18、若线段a，b，c，d成比例，其中a=3cm，b=6cm，c=2cm，则d=________ cm ．19、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为35，正方形CDEF内接于△ABC，且其边长为12，则△ABC的周长为________.20、已知线段是线段、的比例中项，且，，那么________.21、如图，已知点A，点C在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，AB⊥x轴于点B，OC交AB于点D，若CD＝OD，则△AOD与△BCD的面积比为________.22、下列说法：①位似图形都相似；②两个等腰三角形一定相似；③任意两个菱形一定相似；④任意两个含30°角的直角三角形一定相似；⑤两个相似多边形的面积比为4：9，则周长比为16：81；⑥若一个三角形的三边分别比另一个三角形的三边长2cm，则这两个三角形一定相似．其中正确的说法有________（填写序号）．23、过△ABC（AB＞AC）的边AC边上一定点M作直线与AB相交，使得到的新三角形与△ABC相似，这样的直线共有________条．24、如图，EF为△ABC的中位线，△AEF的周长为6cm，则△ABC的周长为________cm．25、如图，在△ABC中，点D、点E分别在AB、BC边上，且DE∥AC，DE=2，AC=3，BE=4，则BC长度为________ ．三、解答题(共5题，共计25分)26、已知≠0，求代数式·(a+2b)的值。
(北师大版)重庆市九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(含答案解析)
一、选择题1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 是DC 上的点，:3:2DE EC =，连接AE 交BD 于点F ，则DEF 与DAF △的面积之比为（ ）A ．2:5B ．3:5C ．4:25D ．9:252．如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，DE ，AC 相交于点F ，S △CEF ＝1，则S △ADC ＝（ ）A ．3B ．4C ．5D ．63．若:3:2x y =，则x yy-的值为（ ） A ．23B ．12C ．13D ．24．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）． A ．3.8米B ．5.4米C ．5.6米D ．6米5．如图，在△ABC 中，EF //BC ，EG //AB ，则下列式子一定正确的是（ ）A ．AE EFEC CD= B ．EF EGCD AB= C ．CG AFBC AD = D ．AF BGDF GC= 6．若34,x y =则xy=（ ） A ．34B ．74C ．43D ．737．如图，ABC 中，3AB AC ==，将ABC 绕点B 顺时针方向旋转得到DEB ，当点D 落在BC 边上时，ED 的延长线恰好B 经过点A ，则AD 的长为（ ）A ．353-B ．3532- C ．92D ．9528．如图，点A 在线段BD 上，在BD 的同侧作等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE （ABC ∠和AED ∠是直角），连接,BE CD 交于点,P CD 与AE 边交于点M ，对于下列结论：①BAECAD △△，②45BPC ∠=︒，③MP MD MA ME ⋅=⋅，④22CB CP CM =⋅，其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．如图，已知ABC ，DCE ，FEG ，HGI 是四个全等的等腰三角形，底边BC ，CE ，EG ，GI 在同一直线上，且4AB =，2BC =，连接AI 交FG 于点Q ，则QI 的值为（ ）A ．4B ．103C ．3D ．8310．若ad=bc ，则下列不成立的是( ) A ．a cb d= B ．a c ab d b-=- C ．a b c db d++= D ．1 111a cb d ++=++ 11．如图，线段1AB =，点1P 是线段AB 的黄金分割点(且11AP BP <)，点2P 是线段1AP 的黄金分割点（212AP PP <），点3P 是线段3AP 的黄金分割点()323,,AP P P <依此类推，则线段2020AP 的长度是（ ）A ．2020512⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭B ．2021512⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭C ．2020352⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭D ．2021352⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭12．若ABC 的每条边长增加各自的20%得A B C '''，则B '∠的度数与其对应角B 的度数相比（ ） A ．增加了20%B ．减少了20%C ．增加了()120%+D ．没有改变二、填空题13．如图，正方形ABCD 中，BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD ，BG 分别交AE ，AF 于M ，N ．下列结论：①AF ⊥BG ；②BN ＝32NF ；③38BM MG =；④S 四边形CGNF ＝12S 四边形ANGD ，其中正确的结论的序号是_____．14．如图是一张矩形纸片，E 是AB 的中点，把BCE ∆沿直线CE 对折，使点B 落在BD 上的点F 处，2AB =，则CB =__________．15．如图，直线122y x =-+与坐标轴分别交于点,A B ，与直线12y x =交于点,C Q是线段OA 上的动点，连接CQ ，若OQ CQ =，则点Q 的坐标为___________．16．如图，在矩形ABCD 中，E 是边AB 的中点，连接DE 交对角线AC 于点F ，若AB ＝4，AD ＝3，则CF 的长为_____．17．如图所示，D为AB边上一点，AD：DB=3：4，DE//AC交BC于点E，则S△BDE：S△AEC 为_____．18．△ABC，△DEF的条件如图所示，则n的值是_____．19．小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为__________米．20．如图所示，在矩形ABCD中，3AB=，6BC=，点E在对角线BD上，且1.8BE=，连结AE并延长交DC于点F，则CFCD=________．三、解答题21．如图，在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，O是AB的中点，连结OC，点F，E分别在边AB和BC上，过E点作EM⊥AB，垂足为M，满足∠FCO=∠EFM．（1）求证：CF=EF；（2）求证：BC EF CE NE=．22．已知ABC ∆中，90C =∠．你能画一条直线把它分割成两个相似三角形吗？如果可以，请用尺规作出这条分割线，保留作图痕迹，并说明两个三角形相似的理由．23．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，ABC 的顶点A ，B ，C 均在格点上，AB 与网格交于点D ．（1）线段AD 的长为_______________；（2）在如图所示的网格中，P 是AC 边上任意一点，当A APD BC ∽△△时，请用无刻度的直尺，画出点P ，并简要说明点P 的位置是如何找到的（不要求证明）____________________________________．24．如图，已知二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ．（1）求该二次函数的解析式；（2）过点A 作y 轴的平行线，点D 在这条直线上且纵坐标为3，求∠CBD 的正切值； （3）在（2）的条件下，点E 在直线x ＝1上，如果∠CBE ＝45°，求点E 的坐标．25．如图，正方形ABCD 的边长为2，E 、F 为线段AC 上两动点（不与A 、C 点重合），且45EBF ∠=︒．（1）求证：ABF BEF △△．（2）试说明无论点E 、F 在线段AC 上怎样运动，总有2BE CE BF AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （3）如图2，过点E 、F 分别作AB 、BC 的垂线相交于点O ，垂足分别为M 、N ，求OM ON ⋅的值．26．（1）如图1，矩形ABCD 中，点M 在BC 上，连接AM ，作AMN AMB ∠=∠，点N 在直线AD 上，MN 交CD 于点E ．请找出图1中的一个等腰三角形，并证明结论．（2）如图2，矩形ABCD 中，3AB =，2BC =，点M 为BC 中点，连接AM ，作AME AMB ∠=∠，ME 交于点E ，求CE 的长．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】由平行四边形的性质得出CD ∥AB ，进而得出△DEF ∽△BAF ，再利用相似三角形的性质可得35EF DE AF BA ==，然后利用高相同的三角形面积比等于底的比得出结果． 【详解】解：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴CD ∥AB ，∴∠EDF=∠ABF ，∠DEF=∠BAF ， ∴△DEF ∽△BAF ． ∵DE ：EC=3：2， ∴33325DE BA ==+， ∴35EF DE AF BA ==， 设点D 到AE 的距离为h ，∴D 132152DEF AF EF hS S AF AF E h F ⋅===⋅． 故选择：B ． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定及平行四边形的性质，解题的关键是掌握同高三角形的面积比等于底的比．2．D解析：D 【分析】根据已知可得△CEF ∽△ADF ，及EF 和DF 的关系，从而根据相似三角形的性质和三角形的面积得到答案． 【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AD=BC ，△CEF ∽△ADF ， ∴EC EFAD DF= ∵E 是BC 的中点， ∴EC=1122BC AD =∴12EC EF AD DF == ∴2211()()24CEF ADF S EF S DF ∆∆=== ∵S △CEF ＝1， ∴S △ADF ＝4，∵12EF DF = ∴DF=2EF∴S △D CF ＝2 S △CEF ＝2， ∴S △ADC ＝S △ADF + S △D CF =4+2=6 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答此题的关键．3．B解析：B 【分析】根据比例的性值计算即可； 【详解】 ∵:3:2x y =，∴32122x y y --==； 故答案选B ． 【点睛】本题主要考查了比例的性质，准确计算是解题的关键．4．B解析：B 【分析】设旗杆的高度约为hm ，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h 的值即可． 【详解】解：设旗杆的高度约为hm ， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴1.826h=， 解得：h ＝5.4（米）． 故选：B ． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．5．D解析：D 【分析】根据平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】∵EG //AB ，EF //BC ，∴AE AFAC FD =， ∵AC≠EC ∴AE EFEC CD =不成立， ∴选项A 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴EF AE CD AC =，EG ECAB AC =， ∵AE≠EC ，∴EF EGCD AB =不成立， ∴选项B 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴CG CE CB CA =DFDA =， ∵DF≠AF ∴CG AFBC AD =不成立， ∴选项C 错误； ∵EG //AB ，EF //BC ，∴AF AE DF EC =，AE BGEC GC=， ∴AF BGDF GC =， ∴选项D 正确； 故选D ． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理，特别是比例中对应线段的属性保持一致是解题的关键．6．C解析：C 【分析】根据比例的性质，两内项之积等于两外项之积进行计算即可求解．【详解】由比例的性质，由34,x y =得43x y =． 故选C ． 【点睛】本题考查了比例的性质，利用比例的性质是解题关键．7．B解析：B 【分析】利用旋转的性质得AB=BD=3，∠C=∠E ，再证明∠C=∠CAD 得到AD=CD ，接着证明△CAD ∽△CBA ，然后利用相似比可计算出CD 的长，从而得到AD 的长． 【详解】解：∵ABC 绕点B 顺时针方向旋转得到DEB ，∴AB=BD=3，∠C=∠E ，∠ABC=∠EBD ∵∠ADC=∠BDE ， ∴∠CAD=∠EBD ， ∴∠CAD=∠ABC ， ∵AB=AC ， ∴∠C=∠ABC ， ∴∠C=∠CAD ， ∴CD=AD ，∵∠CAD=∠ABC ，∠C=∠C ， ∴△CAD ∽△CBA ，∴AC CDBC AC =，即333CD CD =+，整理得CD 2+3CD-9=0，解得CD=32-±（其中负值舍去）∴故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．8．D解析：D 【分析】①由等腰Rt ABC 和等腰Rt ADE △三边份数关系可证；②根据相似三角形的性质即可得到结论；③通过等积式倒推可知，证明PME AMD △△∽即可；④22CB 转化为2AC ，证明ACP ∽△MCA,问题可证；【详解】 由已知得：2,2AC AB AD AE ==AC AD AB AE∴= BAC EAD ∠=∠BAE CAD ∴∠=∠BAE CAD ∴∽ 所以①正确；如图：设BE 与AC 相交于点O则AOB POC ∠=∠BAE CAD ∽45ABE ACD BPC BAC ∴∠=∠∴∠=∠=︒所以②正确；BAE CAD ∽BEA CDA ∴∠=∠PME AMD ∠=∠PME AMD ∴∽MP ME MA MD∴= MP MD MA ME ⋅=⋅∴所以③正确；由③MP MD MA ME ⋅=⋅，PMA DME ∠=∠PMA EMD ∴△∽90APD AED ∴∠=∠=︒18090CAE BAC EAD ∠=︒-∠-∠=︒CAP CMA ∴∽2AC CP CM ∴=⋅2AC =22CB CP CM ∴=⋅所以④正确故选：D.【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判断，在等积式和比例式的证明中应注意应用倒推的方法寻找相似三角形进行证明,进而得到答案．9．D解析：D【分析】先求出BP ，进而利用勾股定理求出AP 的平方，即可求AI=8，最后判断出QG ∥AC ，即可通过全等得出结论．【详解】解：如图，过点A 作AP ⊥BC 垂足为P ，∵AB=AC ，BC=2，∴BP=12BC ＝1，BC=CE=EG=GI=2， 在Rt △ABP 中，根据勾股定理得，AP 2=AB 2-BP 2= 42-12=15 ，在Rt △API 中，PI=772BC =，根据勾股定理得222=1578AI AP PI ++= ， ∵△ABC ，△DCE ，△FEG ，△HGI 是4个全等的等腰三角形，∴∠ACB=∠QGC ，∴QG ∥AC ，∴△IGQ ∽△ICA ， ∴QI IG AI IC ＝ ， ∴268QI ＝， ∴QI=83， 故选：D ．【点睛】 此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的性质，平行线的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，求出AI 是解本题的关键．10．D解析：D【分析】根据比例和分式的基本性质，进行各种演变即可得到结论．【详解】A 由a c b d=可以得到ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； B 、由a c ab d b -=-可得：（a-c ）b=（b-d ）a ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； C 、由a b c d b d ++=可得（a+b ）d=（c+d ）b ，即ad=bc ，故本选项正确，不符合题意； D 、由1?111a cb d ++=++，可得（a+1）（d+1）=（b+1）（c+1），即ad+a+d=bc+c ，不能得到ad=bc ，故本选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了比例线段，根据比例的性质能够灵活对一个比例式进行变形．11．C解析：C【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的叫做黄金比进行解答即可． 【详解】解：根据黄金比的比值，112BP =，则11AP == 2323,,AP AP ==⎝⎭⎝⎭…依此类推，则线段2020202032AP ⎛-= ⎝⎭，故选C ．【点睛】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键． 12．D解析：D【分析】根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．【详解】解：∵△ABC 的每条边长增加各自的20%得△A′B′C′，∴△ABC 与△A′B′C′的三边对应成比例，∴△ABC ∽△A′B′C′，∴∠B ′=∠B ．故选：D ．【点睛】本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．二、填空题13．①②③【分析】由BE ＝EF ＝FCCG ＝2GD 可得BF=CG 易证△ABF ≌△BCG 即可解题；②易证△BNF ∽△BCG 即可求得的值即可解题；③作EH ⊥AF 令AB=3即可求得MNBM 的值即可解题；④连接A解析：①②③【分析】由BE ＝EF ＝FC ，CG ＝2GD 可得BF =CG ，易证△ABF ≌△BCG ，即可解题；②易证△BNF ∽△BCG ，即可求得BN NF的值，即可解题； ③作EH ⊥AF ，令AB =3，即可求得MN ，BM 的值，即可解题；④连接AG ，FG ，根据③中结论即可求得S 四边形CGNF 和S 四边形ANGD ，即可解题．【详解】解：①∵四边形ABCD 为正方形，∴AB =BC =CD ，∵BE=EF=FC ，CG=2GD ，∴BF=CG ，∵在△ABF 和△BCG 中，90AB BC ABF BCG BF CG ⎧⎪∠∠︒⎨⎪⎩＝＝＝＝，∴△ABF ≌△BCG ，∴∠BAF =∠CBG ，∵∠BAF +∠BFA =90°，∴∠CBG +∠BFA =90°，即AF ⊥BG ；①正确；②∵在△BNF 和△BCG 中，90CBG NBF BCG BNF ∠∠⎧⎨∠∠︒⎩＝＝＝， ∴△BNF ∽△BCG ，∴32BN BC NF CG ==， ∴BN =32NF ；②正确； 作EH ⊥AF ，令AB =3，则BF=2，BE=EF=CF =1，22AF AB BF =+=13， ∵S △ABF =12AF•BN =12AB•BF ， ∴BN =613，NF =23BN =413， ∴AN =AF -NF =913， ∵E 是BF 中点，∴EH 是△BFN 的中位线，∴EH =313，NH =213，BN ∥EH ， ∴AH =111313，AN MN AH EH =，解得：MN =2713143， ∴BM=BN-MN =31311，MG=BG-BM =81311， ∴38BM MG =；③正确； ④连接AG ，FG ，根据③中结论，则NG=BG-BN 713 ∵S 四边形CGNF =S △CFG +S △GNF =12CG•CF +12NF•NG =1+1413=2713，S四边形ANGD=S△ANG+S△ADG=12AN•GN+12AD•DG=6335126213+=，∴S四边形CGNF≠12S四边形ANGD，④错误；故答案为①②③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，考查了相似三角形的判定和对应边成比例的性质，本题中令AB=3求得AN，BN，NG，NF的值是解题的关键．14．【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1CE⊥BD设EG=x可得CG=2x再根据∆BEG~∆CBG∆BEG~∆CEB即可求解【详解】解：∵E为AB中点∴AE=EB=1∵把沿直线CE对折使点B落在B解析：2【分析】由折叠的性质得EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设EG=x，可得CG=2x，再根据∆BEG~∆CBG，∆BEG~∆CEB，即可求解．【详解】解：∵E为AB中点，2AB=，∴AE=EB=1，∵把BCE∆沿直线CE对折，使点B落在BD上的点F处，∴EF=BE=AE=1，CE⊥BD，设CE与BD交于点G，EG=x，∵CD∥AB，∴CG：EG=CD：EB，∴CG=2x，∵BG⊥EC，EB⊥BC，∴∆BEG~∆CBG，∴BG2=CG∙EG∴BG=2x，同理：∆BEG~∆CEB，∴BG：CB=EG：EB，∴BC=AD=2．故答案是：2．【点睛】本题主要考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握“母子相似三角形”模型，是解题的关键．15．【分析】与联立组成方程组求出点C 的坐标为（21）从而可判断点C 是AB 的中点所以OC=AC 从而得到∠AOC=∠OAC 又因为所以∠AOC=∠OCQ 从而可判断△OCQ ∽△OAC 再根据相似三角形的性质可得最 解析：5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】122y x =-+与12y x =联立组成方程组求出点C 的坐标为（2，1）从而可判断点C 是AB 的中点，所以OC=AC ，从而得到∠AOC=∠OAC ，又因为OQ CQ =，所以∠AOC=∠OCQ ，从而可判断△OCQ ∽△OAC ，再根据相似三角形的性质可得OQ OC OC OA =，最后把数值代入求出OQ 的长，从而得到Q 点的坐标．【详解】解：如图所示，依题意得：12212y x y x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得：21x y =⎧⎨=⎩ ∴点C 的坐标为（2，1） 对于直线122y x =-+，令x=0，解得y=2， 令y=0，解得x=4．∴点A ，B 的坐标分别为（4，0），（0，2）．∴点C 是AB 的中点．∵△OAB 为直角三角形，∴OC=AC ，∴∠AOC=∠OAC ， ∵OQ CQ =，∴∠AOC=∠OCQ ，∴∠AOC=∠OCQ=∠OAC ，∴△OCQ ∽△OAC ， ∴OQ OC OC OA= 又∵△OAB 为直角三角形，OA=4，OB=2，∴AB ===∴OC=AC=12AB =5 ∴545OQ =， 解得：OQ=54， ∴点Q 的坐标为（54，0）．故答案为：（54，0）． 【点睛】 本题考查了一次函数与二元一次方程，等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，掌握相关知识是解题的关键．16．【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD 进而可得出∠FAE ＝∠FCD 结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD 利用相似三角形的性质可得出＝＝2利用勾股定理可求出AC 的长度再结合CF ＝解析：103【分析】根据矩形的性质可得出AB ∥CD ，进而可得出∠FAE ＝∠FCD ，结合∠AFE ＝∠CFD （对顶角相等）可得出△AFE ∽△CFD ，利用相似三角形的性质可得出CF AF ＝CD AE ＝2，利用勾股定理可求出AC 的长度，再结合CF ＝CF CF AF +•AC ，即可求出CF 的长． 【详解】解：∵四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，AB ∥CD， ∴∠FAE ＝∠FCD ，又∵∠AFE ＝∠CFD ，∴△AFE ∽△CFD ，∴CF AF ＝CD AE＝2．∵AC5，∴CF＝CFCF AF+•AC＝221+×5＝103．故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质以及勾股定理，利用相似三角形的性质找出CF=2AF是解题的关键．17．16：21【分析】根据平行线分线段成比例得出DE：AC=BD：AB=4：7再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得S△BDE：S四边形ADEC=16：33然后根据平行线间的距离相等得到S△AD解析：16：21【分析】根据平行线分线段成比例得出DE：AC=BD：AB=4：7，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可求得S△BDE：S四边形ADEC=16：33，然后根据平行线间的距离相等得到S△ADE：S△AEC=DE：AC=4：7，进而可求得S△BDE：S△AEC．【详解】解：∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，又AD：DB=3：4，∴DE：AC=BD：AB=4：7，∴S△BDE：S△BAC=16：49，∴S△BDE：S四边形ADEC=16：33，∵DE∥AC，∴△ADE与△AEC的高相等，∴S△ADE：S△AEC=DE：AC=4：7=12：21，∴S△BDE：S△AEC=16：21，故答案为：16：21．【点睛】本题考查平行线分线段成比例、相似三角形的判定与性质、平行线的性质、比例性质，熟练掌握平行线分线段成比例和相似三角形的面积比等于相似比的平方是解答的关键．18．6【分析】通过证明△ABC∽△EFD可得即可求解【详解】解：∵∠A＝50°∠B＝60°∴∠C＝70°∵∠B＝∠F＝60°∠C＝∠D∴△ABC∽△EFD∴∴∴n＝6故答案为6【点睛】本题考查了相似三角解析：6【分析】通过证明△ABC∽△EFD，可得AB BCEF DF=，即可求解．【详解】解：∵∠A ＝50°，∠B ＝60°，∴∠C ＝70°，∵∠B ＝∠F ＝60°，∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△EFD ， ∴AB BC EF DF =， ∴392m m n=， ∴n ＝6，故答案为6．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是本题的关键． 19．【分析】在同一时刻物高和影长成比例列比例式求解即可【详解】解：设他的同学的影长为xm ∵同一时刻物高与影长成比例∴解得x=2经检验x=2是原方程的解∴他的同学的影长为2m 故答案为：2【点睛】此题主要考解析：【分析】在同一时刻物高和影长成比例，列比例式求解即可．【详解】解：设他的同学的影长为xm ，∵同一时刻物高与影长成比例， ∴1.4 1.61.75x=， 解得，x=2, 经检验，x=2是原方程的解，∴他的同学的影长为2m ，故答案为：2．【点睛】此题主要考查了同一时刻物高与影长成比例，利用同一时刻物高与影长成比例列出方程，通过解方程求出的影长，体现了方程的思想．20．【分析】根据勾股定理求出BD 的长度得到DE 的长根据相似三角形的性质得到对应线段成比例计算可求出DF 的长求出CF 计算得出CF 与CD 的比值即可【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形∴∵∴∵∴∵∴∴解得：则∴ 解析：13【分析】根据勾股定理求出BD 的长度，得到DE 的长，根据相似三角形的性质得到对应线段成比例，计算可求出DF 的长，求出CF ，计算得出CF 与CD 的比值即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴90BAD ∠=︒， ∵AB ==BC ∴3BD ==．∵ 1.8BE =，∴3 1.8 1.2DE =-=．∵//AB CD ，∴ABE FDE ∽△△ ∴ 1.21.8DF DE AB BE ==，解得：DF =，则3CF CD DF =-=，∴13CF CD ==． 故答案为：13． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握矩形的性质定理和相似三角形的判定定理、性质定理是解题的关键． 三、解答题21．（1）证明见解析，（2）证明见解析．【分析】（1）证∠FCE=∠FEC 即可；（2）证△EMF ≌△FOC ，再通过平行列比例式，通过线段相等进行代换即可．【详解】（1）证明：∵∠ACB =90°，AC=BC ，∴∠A=∠B=45°，∵O 是AB 的中点，∴CO ⊥AB ，∠BOC=90°，∴∠BCO=45°，∠FCE=∠BCO+∠FCO =45°+∠FCO ，∠FEC=∠B+∠EFM =45°+∠EFM ，∵∠FCO =∠EFM ，∴∠FCE=∠FEC ，∴CF=EF ；（2）∵EM ⊥AB ，∴∠EMF=∠COF=90°，∵EF=CF ，∠FCO =∠EFM ，∴△EMF ≌△FOC ，∴FM=OC=OB ，∵EM ∥CO ， ∴=BC BO FM CE OM OM=， ∵EM ∥NO ， ∴=EF FM NE OM ， ∴BC EF CE NE= 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，解题关键是熟练运用相关知识，整合已知条件，进行推理证明．22．图见解析；理由见解析【分析】作AB 的垂线即可；利用两个角对应相等的两个三角形相似即可判定．【详解】解：如图，作AB 的垂线，垂足为P ，直线CP 就是所求直线；证明：∵CP ⊥AB ，∴∠CPA=∠BPC=90°，∵90C =∠，∴∠A+∠B=90°，∠A+∠ACP=90°，∴∠ACP =∠B ，∴△CPA ∽△BPC ．【点睛】本题考查了尺规作图和相似三角形的判定，解题关键是熟悉尺规作图的方法，根据相似确定如何作图．23．（135；（2）图见解析，取格点M ，N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则点P 即为所求【分析】（1）根据勾股定理求出AB 的长，在利用平行线分线段成比例进行计算即可． （2）如图，取格点M ，N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则点P 即为所求．【详解】（1）如图：根据勾股定理得AB 22222425AE BE =+=+=//DF AEBF BD BE AB∴= 1425∴= 5BD ∴= AD AB BD =-535522AD ∴== （2）ABC △APD ∽△，A A ∠=∠AD AP AC AB∴= 223535,25AC AD AB ==== 352525∴= 3AP ∴=点P 在AC 上，5AC =35AP AC ∴=32AP PC ∴= 如图，取格点M 、N ，连接MN ，与AC 相交于点P ，则//,3,2AM CN AM CN ==32AM AP CN PC ∴== 故点P 即为所求．【点睛】本题考查作图-应用与设计，涉及勾股定理、相似三角形的性质，平行线分线段成比例等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．24．（1）215222y x x =-+；（2）13；（3）点E 坐标为（1，9）或（1，﹣1） 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）先求出点C ，点B ，点D 坐标，由两点距离公式可求CD ，BD ，BC 的长，由勾股定理的逆定理可求∠CDB ＝90°，即可求解；（3）分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求解．【详解】解：（1）∵二次函数y ＝ax 2﹣5ax +2的图象交x 轴于点A （1，0），∴0＝a ﹣5a +2，∴a ＝12， ∴二次函数的解析式y ＝12x 2﹣52x +2； （2）∵二次函数y ＝12x 2﹣52x +2的图象交x 轴于点A （1，0）和点B ，交y 轴于点C ． ∴点C （0，2），点B （4，0），∵点D （1，3），∴CD 22(10)(32)-+-2，DB 22(41)(30)-+-2BC 164+5∵CD 2+DB 2＝20，BC 2＝20，∴CD 2+DB 2＝BC 2，∴∠CDB＝90°，∴tan∠CBD＝CDDB＝232＝13；（3）如图，当点E在x轴上方时，在AB上截取AH=AF，连接HF∵点C（0，2），点B（4，0），∴直线BC解析式为y=-12x+2，当x=1时，y=32，∴点H（1，32），∴AH=32，∴AH=AF=32，32，∴∠AFH=45°，BF=32，∴∠BFH=135°，∵点A（1，0），点B（4，0），点D（1，3），∴AD=3=AB，2∴∠ADB=∠ABD=45°=∠CBE，∴∠ABC=∠EBD，∠BDE=∠HFB=135°，∴△BFH∽△BDE，∴BD DEBF HF=，∴3232 22DE=，∴DE=6，∴点E （1，9）；当点E'在x 轴下方时，∵∠E'BC=45°=∠EBC ，∴∠EBE'=90°，∴∠BEE'+∠EE'B=90°=∠BEE'+∠ABE=∠BE'E+∠ABE'，∴∠BEE'=∠ABE'，∠EBA=∠AE'B ，∴△ABE ∽△AE'B ， ∴AB AE AE AB'=， ∴9=9×AE'，∴AE'=1，∴点E'（1，-1），综上所述：点E （1，9）或（1，-1）．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法可求解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25．（1）见解析；（2）见解析；（3）2【分析】（1）根据相似三角形的判定方法：有两角相等的三角形形似，即可证明．（2）利用ABF BEF △∽△，BCE FBE △∽△完成边转换即可．（3）先证明 ABF CEB ∽，可得4AF CE AB CB ⋅=⋅=，在利用平行线分线段成比例可得AF BN AC BC =，CE BM AC AB=，在结合线段的等量关系，即可求解． 【详解】 （1）证明：在正方形ABCD 中，∵45BAC ∠=︒，又45EBF ∠=︒，∴BAC EBF ∠=∠，∵BFE AFB ∠=∠，∴ABF BEF △△．（2）∵ABF BEF △△， ∴AF BF BF EF =， ∴2BF AF EF =⋅，同理可证BCE FBE △△， ∴BE CE EF BE=， ∴2BE CE EF =⋅，∴2BE CE EF CE BF AF EF AF ⋅⎛⎫== ⎪⋅⎝⎭． （3）∵45BAC BCA ∠=∠=︒，又45EBF ∠=︒，∴BAC EBF ∠=∠，又BEC ABE BAC ABE EBF ABF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴ABF CEB △△， ∴AB AF CE CB=， ∴4AF CE AB CB ⋅=⋅=，∵90ABC BMO BNO ∠=∠=∠=︒，∴四边形BNOM 是矩形，∴//ON AB ，ON MB =，//OM BC ，OM NB =， ∴AF BN AC BC =，CE BM AC AB=，2BN =2BM =，∴2BN =，2BM =，∴422222AF CE OM ON BN BM ⋅⋅=⋅=⋅===． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，和性质定理是解题关键．26．（1）AMN ，证明见解析；（2）34 【分析】（1）根据矩形的性质和平行线的性质证明即可；（2）作NH AM ⊥于H ，证明NAH AMB ∆∆∽，根据相似三角形的性质得到212AN BM AM =，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】 解：（1）AMN ∆是等腰三角形，证明：四边形ABCD 是矩形，//AD BC ∴，NAM BMA ∴∠=∠，又AMN AMB ∠=∠，AMN NAM ∴∠=∠，AN MN ∴=，即AMN ∆是等腰三角形；（2）如图，延长AD 和ME ，交于点N ，作NH AM ⊥于H ，AN MN =，NH AM ⊥， 12AH AM ∴=， 90NHA ABM ∠=∠=︒，AMN AMB ∠=∠，NAH AMB ∴∆∆∽，∴AN AH AM BM=， 212AN BM AH AM AM ∴==， M 为BC 中点，112BM CM BC ∴===， 2223110AM =+=，5AN ，523DN ∴=-=，设DE x =，则3CE x =-，//AN BC ，∴DN DE CM CE =，即313x x=-， 解得，94x =，即94DE =， 34CE ∴=．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、勾股定理的应用以及等腰三角形的性质和矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，注意方程思想的正确运用．。
义务教育北师大版九年级数学上《第4章图形的相似》单元测试含答案初三数学试题.doc
《第4章图形的相似》一、选择题1.已矢口xy=mn..则把它改写成比例式后，错误的是（A.xB. 7 =nC. X =yD. X =nn y ID X ID n m y2.已知乎二2,b那么¥的值是（）bA.3B. 4C. 5D. 63. 下列两个图形一定相似的是（）A.两个矩形B.两个等腰三角形C.两个五边形D.两个正方形4. 如果两个相似多边形面积的比是4： 9,那么这两个相似多边形对应边的比是（）A. 4： 9B. 2： 3C. 16： 81 D・ 9： 45. 如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的延长线上一点，AE与CD相交于F,与ACEF 相似的三角形有（）个.A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，D为Z\ABC边BC上一点，要使△ ABD-ACBA,应该具备下列条件中的（）AC = AB AB = BC AB = BD AC = CB* CD _CD * CD _AD * CB _AB * CD "ACAD 17.如图，在Z\ABC中，若DE/7BC,詈二£ DE二3cm,则BC的长为（）A D o9.如图，线段CD 两个端点的坐标分别为C （3, 3） , D （4, 1）,以原点0为位似中心，在第一象限内将线段CD 放大为原来的2倍后得到线段AB,则端点B 的坐标为（）① 相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形;② 位似图形一定有位似中心；且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图 形是位似图形；④位似图形上任意一组对应点P, P'与位似中心0的距离满足0P 二k ・OP ，・A.①②③④B.②③④C.②③D.②④nn点D 的坐标是（1, 3）,则CE 的长是（D. (8, 2)下列命题正确的有（③如果两个图形是相似图形, C. (8, 6) 12cmVTo D. 410.关于对位似图形的表述11.如图，在直角梯形ABCD中，DC/7AB, ZDAB二90° , AC丄BC, AC二BC, ZABC的平分线分别A. V2 - 1 B・ 2+V2 C・A/2+1 D. V212.如图，AOAC和ABAD都是等腰直角三角形，反比例函数在第四象限经过点B,若0八-二、填空题13. 已知线段AB", C是线段AB的黄金分割点，且AC<CB,则AC的长度为__________ ・14. 如图，在AABC中，D、E分别是AB、BC上的点，且DE〃AC,若S AC0E=1: 4,则BDE:S MCD二---- •15. —块矩形绸布的长AB二a m,宽AD二伽，按照图中所示的方式将它裁成相同的n面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是16. __________________ 如图，小亮在晚上由路灯A 走向路灯B,当他走到点C 时，发现身后他影子的顶部刚好接 触到路灯A 的底部，当他向前再步行12m 到达点D 时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯 B 的底部.已知小亮的身高是1.5m,两个路灯的高度都是9m ・当小亮走到路灯B 时，他在路 灯A 下的影长是 m ・18.如图，AD 是AABC 的高，点E, F 在边BC 上，点H 在边AB 上，点G 在边AC 上,AD 二80cm, BC=120cm.最大面积是ZABC 二90。
北师大版九年级数学上册 第4章 图形的相似 综合测试卷(包含答案)
北师版九年级数学上册 第四章 图形的相似综合测试卷题号 一 二 三 总分 得分第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（共10小题，3*10=30） 1．下列四组线段中，成比例线段的是( ) A ．3，4，5，6 B ．4，8，3，5 C ．5，15，2，6 D ．8，4，1，32．已知x y ＝32，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A.x ＋2y ＋2＝32 B ．2x ＝3y C.x ＋y y ＝52 D.x x ＋y ＝353．等边三角形的一边与这条边上的高的比是( ) A.3∶2 B.3∶1 C ．2∶ 3 D ．1∶34．在△ABC 和△A 1B 1C 1中，下列命题：①若AB ＝ A 1B 1，AC ＝ A 1C 1，∠B ＝∠B 1，则△ABC ≌△A 1B 1C 1； ②若∠A ＝∠A 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1；③若AC ∶A 1C 1＝CB ∶B 1C 1，∠C ＝∠C 1，则△ABC ∽△A 1B 1C 1. 其中真命题的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AC ，BC 边上的点，AB ∥DE ，CF 为AB 边上的中线．若AD ＝5，CD ＝3，DE ＝4，则BF 的长为( ) A.323 B.163 C.103 D.836．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的是( )7. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，连接DE.下列结论：①OE OB ＝OD OC ；②DE BC ＝12；③S △DOE S △BOC ＝12；④S △DOE S △DBE ＝13.其中正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个8．宽与长的比是5－12(约0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线于点G ；作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H ，则图中下列矩形是黄金矩形的是( ) A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH9．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是(1，7)，(1，1)，(4，1)，(6，1)，以点C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是( )A ．(6，0)B ．(6，3)C ．(6，5)D ．(4，2)10．如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线OD 交AB 于点O ，交AC 于点D ，连接BD.下列结论错误的是( ) A ．∠C ＝2∠A B ．BD 平分∠ABC C ．S △BCD ＝S △BODD ．点D 为线段AC 的黄金分割点第Ⅰ卷（非选择题）二．填空题（共8小题，3*8=24）11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE AC ＝13，DE ＝2 cm ，则BC 的长是_______.12. 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ；直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝_______.13．若a 5＝b 7＝c8，且3a －2b ＋c ＝3，则2a ＋4b －3c ＝_______.14. 如图，正方形ABCD 中，M 为BC 上一点，ME 交AD 的延长线于点E ，且ME ⊥AM.若AB ＝12，BM ＝5，则DE 的长为_______.15. 如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC ＝4，则EF＝________.16．给出下列几何图形：①两个圆；②两个正方形；③两个矩形；④两个正六边形；⑤两个等边三角形；⑥两个直角三角形；⑦两个菱形．其中一定相似的有__________(填序号)．17. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P，Q分别为边BC，AB上的两个动点．若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，则AQ＝_____________________.18. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8.点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE ∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为________.三．解答题（共7小题，46分）19．(6分)如图，点D是△ABC的边AC上的一点，连接BD，已知∠ABD＝∠C，AB＝6，AD＝4，求线段CD的长．20. (6分) 如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(－1，2)，B(－3，4)，C(－2，6)．(1)画出△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1；(2)在网格内以原点O为位似中心，画出将△A1B1C1三条边放大为原来的2倍后的△A2B2C2.21. (6分) 如图，在△ABC中，AD是中线，且CD2＝BE·BA.求证：ED·AB＝AD·BD.22．(6分) 如图，矩形ABCD为台球桌面．AD＝260 cm，AB＝130 cm.球目前在E点位置，AE＝60 cm.如果小丁瞄准了BC边上的点F将球打进去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．(1)求证：△BEF∽△CDF；(2)求CF的长．23．(6分)如图，在矩形ABCD中，CD＝23，CF⊥BD分别交BD，AD于点E，F，连接BF.(1)求证：△DEC∽△FDC；(2)当F为AD的中点时，求BC的长度．24．(8分) 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，连接BD，AB＝8，BD＝12，CD＝18.(1)求证：△ABD∽△BDC；(2)若△ABD的面积为40，求四边形ABCD的面积．25．(8分)如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，连接DE，点F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB＝8，AD＝63，AF＝43，求AE的长．参考答案 1-5 CACBB 6-10BBDBC 11．6 cm 12. 2 13. 143 14.109515. 2316. ①②④⑤ 17.154或30718. 65或319. 解：在△ABD 和△ACB 中，∠ABD ＝∠C ，∠A ＝∠A ， ∴△ABD ∽△ACB ，∴AB AC ＝ADAB ，∵AB ＝6，AD ＝4，∴AC ＝AB 2AD ＝364＝9，则CD ＝AC －AD ＝9－4＝5 20. 解：如图所示：21. 证明：∵AD 是中线，∴BD ＝CD ， 又CD 2＝BE·BA ，∴BD 2＝BE·BA ， 即BE BD ＝BD AB， 又∠B ＝∠B ，∴△BED ∽△BDA ， ∴ED AD ＝BD AB， ∴ED·AB ＝AD·BD22. (1)证明：∵FG ⊥BC ，∠EFG ＝∠DFG ，∴∠BFE ＝∠CFD ， 又∵∠B ＝∠C ＝90°，∴△BEF ∽△CDF (2)解：设CF ＝x ，则BF ＝260－x ，∵AB ＝130，AE ＝60，BE ＝70， 由(1)得，△BEF ∽△CDF ，∴BE CD ＝BFCF， 即70130＝260－x x， ∴x ＝169，即CF ＝169 cm23. 解：(1)∵∠DEC ＝∠FDC ＝90°，∠DCE ＝∠FCD ，∴△DEC ∽△FDC (2)∵F 为AD 的中点，AD ∥BC ，∴FE ∶EC ＝FD ∶BC ＝1∶2， ∴FE ∶FC ＝1∶3，设EF ＝x ，则FC ＝3x ， ∵△DEC ∽△FDC ，∴CE CD ＝CDCF ，可得6x 2＝12，解得x ＝2，则CF ＝32，在Rt △CFD 中， DF ＝FC 2－CD 2＝6，∴BC ＝2DF ＝26 24. 解：(1)证明：∵AB ∥CD ，∴∠ABD ＝∠BDC.∵AB ＝8，BD ＝12，CD ＝18，∴AB BD ＝BD DC ＝23，∴△ABD ∽△BDC(2)∵△ABD ∽△BDC ，AB BD ＝23，∴S △ABD S △BDC ＝(23)2＝49.又∵△ABD 的面积为40，∴S △BDC ＝90，∴四边形ABCD 的面积为40＋90＝130 25. 解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC ， ∴∠C ＋∠B ＝180°，∠ADF ＝∠DEC. ∵∠AFD ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠B ， ∴∠AFD ＝∠C ，∴△ADF ∽△DEC(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD ＝AB ＝8. 由(1)知△ADF ∽△DEC ，∴AD DE ＝AFCD， ∴DE ＝AD·CD AF ＝63×843＝12.在Rt △ADE 中，由勾股定理得AE ＝DE 2－AD 2＝122－（63）2＝6。
第四章 图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)
第四章图形的相似数学九年级上册-单元测试卷-北师大版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，△ABC∽△ADE，则下列比例式正确的是（）A. B. C. D.2、如图，点A，B，C，D，E，F，G，H，K都是7×8方格纸中的格点，为使△DEM∽△ABC，则点M应是F、G、H、K四点中的（）A.FB.GC.HD.K3、如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对4、如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF．若FC＝1，AE＝2，则BG的长是( )A.2.6B.2.5C.2.4D.2.35、如图，在△ABC 中，点 D 在线段 BC 上，∠B=∠DAC，AC=8，BC=16，那么 CD=（）A.4B.6C.8D.106、如图，在中，若DE∥BC，，DE=6cm，则BC的长为（）A.4.5cmB.8cmC.10.5cmD.14cm7、满足下列条件的各对三角形中相似的两个三角形有（）．A.∠A=60°，AB=5cm，AC=10cm；∠A′=60°，A′B′=3cm，A′C′=10cm B.∠A=45°，AB=4cm，BC=6cm；∠D=45°，DE=2cm，DF=3cm C.∠C=∠E=30°，AB=8cm，BC=4cm；DF=6cm，FE=3cm D.∠A=∠A′，且AB·A′C′=AC·A′B′8、如图，已知△ABC中，BC=8，BC边上的高h=4，D为BC边上一个动点，EF∥BC，交AB 于点E，交AC于点F，设E到BC的距离为x，△DEF的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A. B. C. D.9、设，且，则（）A.673B.C.D.67410、在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2），以原点O为位似中心，相似比为0.5，把△EFO缩小，则点E的对应点E′的坐标是（）A.（﹣2，1）B.（﹣8，4）C.（﹣2，1）或（2，﹣1）D.（﹣8，4）或（8，﹣4）11、已知：在△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6，下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是( )A. B. C. D.12、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于A，B，与反比例函数（k＞0）在第一象限的图象交于点E，F，过点E作EM⊥y轴于M，过点F作FN⊥x 轴于N，直线EM与FN交于点C，若，则△OEF与△CEF的面积之比是（）A.2：1B.3：1C.2：3D.3：213、用作位似形的方法，可以将一个图形放大或缩小，位似中心（）A.只能选在原图形的外部B.只能选在原图形的内部C.只能选在原图形的边上D.可以选择任意位置14、如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，A（1，0），B（0，4），反比例函数y═的图象过点C，边AC与y轴交于点D，若S△BAD：S△BCD＝1：2，则k＝（）.A.﹣4B.﹣6C.﹣7D.﹣815、如图，在矩形OABC中，，，把矩形OABC绕点A旋转，得到矩形ADEF 且点D恰好落在BC上，连接OF交AD于点G．则点G的坐标是（）A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，E、P、F分别是AB、AC、AD的中点，则四边形AEPF与四边形ABCD________ （填“是”或“不是”）位似图形．17、如图，在中，，，点D为AC上一点，作交BC于点E，点C关于DE的对称点为点O，以OA为半径作⊙O恰好经过点C，并交直线DE于点M，N则MN的值为________．18、如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，点P、Q在DC边上，且PQ= DC．若AB=16，BC=20，则图中阴影部分的面积是________．19、如图把一张3×4的方格纸放在平面直角坐标系内，每个方格的边长为1个单位，△ABC的顶点都在方格的格点位置，即点A的坐标是（1，0）．若点D也在格点位置（与点A 不重合），且使△DBC与△ABC相似，则符合条件的点D的坐标是________．20、高6m的旗杆在水平地面上的影子长4m，同一时刻附近有一建筑物的影子长20米，则该建筑物的高为________21、如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。
(北师大版)厦门市九年级数学上册第四单元《图形相似》检测卷(含答案解析)
解析：C
【分析】
根据矩形的判定定理、一元二次方程的解法、
【详解】
解：①对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故①错误；
②一元二次方程x2-3x-4=0
（x-4）（x+，故②正确；
③两个相似三角形的周长的比为 ，则它们的面积的比为 ，故③正确；
④对角线相等且互相垂直的平行四边形为正方形，故④错误；
19．如图，在 与 中， ， ， ， 交 于点D，给出下列结论．① ；② ；③ ；④ ．其中正确的结论是__________（填写正确结论的序号）．
20．如图，矩形 中， ， ， 为 的三等分点，连接 、 交于点 ，过点 作 于点 ，则 ____．
三、解答题
21．如图，在矩形 中， ，点 为边 上一点，过点 作 ，且 ， 交 于点 ，连接 ．
∴EF=6-2x，
∵∠E=∠A，∠FBE=∠ABC，
∴△EBF∽△ABC，
∴ ，
∵AC=6，BE= AB，
∴ ，
∴EF=6-2x=2，
∴x=2，
∴CD=2，
故选B．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相应的判定方法，利用性质定理求出结果．
7．B
解析：B
【分析】
⑤对角线垂直的四边形各边中点得到的四边形是矩形，说法正确．
故选：C
【点睛】
本题考查的是命题的真假判断，掌握矩形的判定定理、一元二次方程的解法、中点四边形的性质、矩形、菱形和正方形的判断是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
利用相似三角形面积之比等于相似比的平方求解即可．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题含答案
北师大版九年级数学上册 第四章 图形的相似 单元检测试题学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题 ，每小题 3 分 ，共 30 分 ）1.在同一时刻，身高 米的小强在阳光下的影长为 米，一棵大树的影长为 米，则树的高度为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米2.已知 ，且相似比为 ， ，则A. B. C. D.3.如图， 与 是位似图形，其中 ，那么 的长 与 的长 之间函数关系的图象大致是（ ）A.B. C.D.4.在 中， 、 分别是 、 上的点，下列命题中不正确的是（ ）A.若 ，则B.若 ，则C.若 ，则D.若 ，则5.某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形（如图所示）．则小鱼上的点 对应大鱼上的点（ ）A. B. C.D.6.下面四个命题，其中假命题是（ ）A.全等三角形是相似三角形B.所有的正方形都相似C.所有的等边三角形都相似D.所有的直角三角形都相似7.如图所示，、分别是、边上的点，在下列条件中：① ；②；③能独立判断与相似的有（）A ①B ①③C ①②D ①②③8.一根米长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影长为米；此时一棵水杉树的影长为米，这棵水杉树高为（）A.米B.米C.米D.米9.如图，，分别为，的中点，则四边形A. B. C. D.10.如图，边长为的正方形中有一个小正方形，其中、、分别在、、上，若，则小正方形的边长为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.已知，若与的相似比为，则与的面积比为________．12.如图，小明站在处看甲、乙两楼楼顶的点和，、、三点在同一直线上，甲乙两楼的底部、与也在同一直线上，测得相距米，相距米，乙楼高为米，则甲楼高（小明身高忽略不计）为________米．13.如图，若________（请补充一个条件），则．14.如图，和是以点为位似中心的位似三角形，若为的中点，，则的长为________．15.如图，，，的周长为，则的周长是________．16.如图，方格纸中的每一个小方格都是边长为的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的是格点三角形，在建立平面直角坐标系后，点的坐标为，在方格纸中把以点为位似中心放大，使放大前后对应边的比为，则点的对应点的坐标为________．17.如图，用两根等长的钢条和交叉于点构成一个卡钳，可以用来测量工作内槽的宽度、设，且量得，则内槽的宽等于________．18.线段，，则的值为________．19.在中，点、分别在边和上，，，，要使，那么必须等于________．20.如图，中，交于点，，，，，则的长等于________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.如图，在中，与交于点，点，，，分别是，，，的中点，这样形成一个，你能证明吗？22.如图所示，在矩形中，对角线，相交于点．过点作于点，连接交于点，过点作于点，则与是位似图形吗？若是，请说出位似中心，并求出相似比；若不是，请说明理由．23.如图，中，、分别平分、．是的外角的平分线，交延长线于，连接．变化时，设．若用表示和；若，且与相似，求相应长．24.如图，是等边三角形，是延长线上一点，是延长线上一点，且满足．求证：．25.一块直角三角形木板的一条直角边长为，面积为，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲设计方案如图，乙设计方案如图．你认为哪位同学设计的方案较好？试说明理由．（加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数）26.如图，矩形中，，，动点以每秒个单位的速度从点出发沿着向移动，同时动点以每秒个单位的速度从点出发沿向移动．几秒时，的面积为？几秒时，由、、三点组成的三角形与相似？答案1.C2.A3.C4.D5.B6.D7.B8.A9.A10.C11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.证明：∵点，，，分别是，，，的中点，∴ ，，∴，，∴ ，，∴ ．22.解：与是位似图形，∵ ，，∴ ，又、的连线相交于点，∴ 与是位似图形，位似中心是点，∵四边形是矩形，∴ ，，又，∴ ，∴ 是的中位线，∴，∵ ，∴，则，∴ 与的相似比是．23.解：，解：∵ 是的平分线，是的外角平分线，∴，分情况讨论：①当时，，，所以，②当时，，，所以，．③当时，，，所以，．24.证明：∵ 是等边三角形，，∴ ，∵ ，∴ ，∵ ，∴ ，∴ ，∴ ，∵ ，∴ ．25.解：由，，可得，由图，若设甲设计的正方形桌面边长为，由，得，∴，即，∴ ，，由图，过点作斜边上的高，交于，交于．由，，得，由可得，，设乙设计的桌面的边长为，∵ ，∴ ，∴，即，解得，∵，∵ ，∴甲同学设计的方案较好．26.秒或秒后，的面积为；要使两个三角形相似，由∴只要或者∵ ，∴只要或者设时间为则，∴或者，∴当或者时，由、、三点组成的三角形与相似；。