新人教B必修2柱锥台球的体积(1)
人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计
人教版高中必修2(B版)1.1.7柱、锥、台和球的体积课程设计一、课程目标1.了解柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.掌握柱、锥、台和球的体积计算公式；3.能够运用已学知识，解决实际问题。
二、教学重点与难点教学重点：1.柱、锥、台和球的定义和形态特征；2.计算柱、锥、台和球的体积公式及应用。
教学难点：1.球的立体图形；2.提高学生运用公式计算的能力；3.引导学生探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用。
三、教学内容与教学过程安排教学内容：1.柱、锥、台和球的定义及形态特征；2.柱、锥、台和球的体积计算公式及应用。
教学过程安排：教学环节具体安排教学时间教学环节具体安排教学时间导入介绍本节课的学习目标 5 min 学习1 讲解柱、锥、台和球的定义及形态特征20 min 练习1 针对柱、锥、台和球的形态，进行练习15 min 学习2 讲解柱、锥、台和球的体积计算公式30 min 练习2 进行柱、锥、台和球的体积计算练习20 min 拓展探究柱、锥、台和球在实际生活中的应用领域20 min 总结对本节课进行小结10 min四、教学方法和教学手段教学方法：1.演示教学法；2.引导式教学法；3.问题解决式教学法。
教学手段：1.黑板、彩笔；2.直观物品模型；3.PPT。
五、考核方式1.课堂练习；2.课后作业。
六、教学资源准备1.课本内容，PPT。
2.模型球、模型锥、模型台、模型柱。
七、教学反思与总结本节课是高中必修2(B版)中柱、锥、台和球的体积计算部分。
从初中到高中，体积是数学中让学生最难逃脱的一个主题。
因此，在本课程设计中，我们着重对柱、锥、台和球的定义及形态特征进行讲解，同时给出相应的计算公式及实例，引导学生练习运用公式解决问题。
在教学环节中引入了模型球、模型锥、模型台、模型柱等示范物体，试图通过直观的方式，提高学生对不同几何体的理解。
通过教学反思，认为本节课教学过程中，学生对于柱、锥、台和球的理解方面需要更进一步的引导和讲解。
柱锥台球的体积与表面积
2 锥体的体积
V = 1/3πr²h
如何计算柱锥台球的体积
1
Step 1
测量柱体的半径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的体积公式计算柱体的体积(Vc)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和高度(h)
Step 4
4
使用锥体的体积公式计算锥体的体积(Vc)
5
Step 5
将柱体的体积和锥体的体积相加得到柱锥台 球的总体积(V)
4
使用锥体的表面积公式计算锥体的表面积
(A c)
5
Step 5
将柱体的表面积和锥体的表面积相加得到柱 锥台球的总表面积(A)
柱锥台球的尺寸影响体积和表 面积吗？
柱锥台球的尺寸，如半径和高度，会直接影响它的体积和表面积。增加柱锥 台球的尺寸会增加其体积和表面积。
柱锥台球的体积和表面积之间 的关系
柱锥台球的体积和表面积之间是相互关联的。当柱锥台球的体积增加时，它 的表面积也会增加。
柱锥台球的表面积公式
1 柱体的表面积
A = 2πrh + 2πr²
2 锥体的表面积
A = πr(l + r)
如何计算柱锥台球的表面积径(r)和高度(h)
Step 2
2
使用柱体的表面积公式计算柱体的表面积
(A c)
3
Step 3
测量锥体的半径(r)和斜高(l)
Step 4
柱锥台球的体积与表面积
柱锥台球是一种特殊形状的台球，它由柱体和锥体两部分组成。在本演示中， 我们将讨论柱锥台球的体积和表面积，以及与数学和物理学的关系。
柱锥台球的形状
柱锥台球由一个底部较大的柱体和一个顶部较小的锥体组成。这种特殊形状 让它成为一个有趣的几何体。
高中数学 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课堂探究 新人教B版必修2
1.1.7 柱、锥、台和球的体积课堂探究探究一柱体的体积1．柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝πr2h．2．平行六面体的体积求解是比较常见的，因为平行六面体的六个面都是平行四边形，故可以用任意一组平行的面作为底面，其余面作为侧面．解题时，我们以解直棱柱的体积居多，故在平行六面体中选底面时，以构成直棱柱为首选因素．【典型例题1】 (1)如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A． B．．．解析：由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h．底面积：S＝3×3＝9，所以其体积V＝答案：B(2)用一块长4 m，宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，如何制作可使铁筒的体积最大？解：①若以矩形的长为圆柱的母线l，则l＝4 m，此时圆柱底面周长为2 m，即圆柱底面半径为R＝1πm，所以圆柱的体积为V＝πR2·l＝21()ππ·4＝4π(m3)．②若以矩形的宽为圆柱的母线，同理可得V ＝8(m 3)， 所以第二种方法可使铁筒体积最大． 探究二 锥体的体积求锥体的体积常见的方法： (1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．【典型例题2】 圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为( ) A ．36π B ．18π C ．45π D ．12π 解析：V 圆锥＝13πr 2·h ， 由于r ＝3，h ＝4(其轴截面如图)，得V ＝13×π×9×4＝12π． 答案：D 探究三 台体的体积1．台体体积公式适用于棱台和圆台． 2．圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离． 3．柱体、锥体、台体的体积关系如图所示．【典型例题3】 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．3523cm 3 B ．3203cm 3 C ． 2243cm 3D ． 1603cm 3 解析：由三视图可知该几何体上部分为一长方体，下部分为正四棱台．V ＝4×4×2＋13(42＋4×8＋82)×2＝3203(cm 3)． 答案：B 探究四 球的体积球的体积的计算常与其他几何体结合，将球的性质、简单几何体的性质融合在一起考查． 常见的有内切和外接问题，求解与球有关的切接问题时要认真分析题中已知条件，明确切点或接点的位置，正确作出截面图，再分析相关量间的数量关系．【典型例题4】 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为( )A B ． C ． D ． 解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图所示，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO O ′M ＝1，所以OM所以V ＝343π＝．答案：B 探究五 易错辨析易错点：将几何体误认为锥体而致误【典型例题5】 如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成了AEF A 1B 1C 1和BB 1E CC 1F 两部分，它们的体积分别为V 1，V 2，那么V 1∶V 2＝__________．错解：由已知可知几何体AEF A 1B 1C 1是三棱台，几何体BB 1E CC 1F 是四棱锥． 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则由锥、台的体积公式可得，V 1＝11(34h S S +＝712Sh ，V 2＝1334h S ⋅＝14Sh ． 所以V 1∶V 2＝712Sh ∶14Sh ＝7∶3． 错因分析：几何体BB 1E CC 1F 不是一个规则的几何体，而错解中将其看成了锥体． 正解：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh ． 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝11(34h S S +＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ， 故V 1∶V 2＝7∶5． 答案：7∶5。
人教版数学1.1.7柱、锥、台和球的体积效果分析 新人教B版必修2
柱、锥、台、球的体积的效果分析新课程背景下，要求课堂教学的评价，要遵循以质性评价为主，以量化评价为辅，坚持评教评学相结合，侧重评学的原则。
基于新课程标准的理念，本节课的评价从两点出发。
一是对教师的教学过程的评价，二是对学生学习过程的评价一、对教师课堂教学的评价：1、本节课教师对教学内容的把握，非常精准的，内容的选择和拓展都非常的到位。
比如：增添了球的体积的公式的推导，台体体积公式的推导以及对课本例题1的变式，都反映了教师的知识的水平以及业务能力。
2、教师对教材理解的广度和深度也非常的到位，对教材的内容，做了必要的补充，使得整个内容更加全面，深入，辅助学生更好的理解和运用祖暅原理解决问题。
3、教师驾驭课堂的能力很强、选择合理的教学方法。
教师合理地运用启发式教学法，熟练的运用flash动画辅助教学，有效地突破难点，多次有效的调动学生的积极性，（比如：在讲解三棱锥的体积公式时，学生自己演示并证明。
）参与到课堂教学中，课堂教学轻松自如，学生学习的主动性得到很好的展现。
教师创造教学情景的能力也很强，比如：合理的利用“一摞书”的多次变形，自然引入祖暅原理。
对于例题1的处理和展开的讨论。
有效的调动学生与教师的良性互动。
二、对学生学习的评价1、学生在教学过程的参与程度：在本次教学中，前期准备中，学生已经对教具能熟练的拆装，兴趣盎然，对本节课的学习充满了期望。
在教学过程中，有三个环节设计了学生活动第一部分导入：设计了四个问题，尤其是第四个问题：问题四：为什么上述几何体的体积相等？你有何发现？这个问题，开放性较强，中间可以通过对上述三个问题的比较，发现祖暅原理的两个条件，学生参与度很高，回答问题非常踊跃，通过问题回答，得到祖暅原理的内容。
在讨论三棱锥的体积环节设计学生活动：为了推导锥体的体积，首先由祖暅原理，底面积相等，高相等的棱锥和圆锥体积相等。
问题一：为了推导锥体的体积公式，从圆锥入手，还是棱锥入手呢？问题二：从圆锥入手如何解决？从棱锥入手有如何解决呢？问题三：从棱锥入手，又是从几棱锥入手呢？学生回答问题积极，想象力丰富。
人教B版高中数学必修二课件第一章1.1.7柱、锥、台和球的体积.pptx
（鼎尚图文*****整理制作）
第
一 章
1.1
立 体 几 何 初
空 间 几 何 体
步
1.1.7
柱、 锥、 台和 球的 体积
课前预习·巧设计 名师课堂·一点通 创新演练·大冲关
读教材·填要点
小问题·大思维 考点一 考点二 考点三 考点四 解题高手 NO.1课堂强化
No.2课下检测
[读教材·填要点]
[悟一法] 求柱体的体积，关键是确定底面积和高，而求圆柱的体积 则需要确定底面半径和高．
[通一类] 1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且 侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．
解：设正方体棱长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 r，
则有a22π＝rhπ＝r24a2
①
②
，
由①得 r＝ ππa； 由②得 πrh＝2a2，
1．长方体的体积
(1)若长方体的长、宽、高分别为a，b，c，那么它的体积为
V长方体＝.
abc
(2)若长方体的底面积和高分别为S、h，那么它的体积V长方体
＝. Sh
2．祖暅原理：幂势既同，则积不容异 这就是说：夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这 两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相 等，那么这两个几何体的体积相等．应用祖暅原理可说明： 的两个等柱底体面或积锥、体等的高体积相等．
3．由 V 锥体＝13S·h，可知三棱锥的任何一个面都可以作为 底面吗？
提示：可以． 4．如果一个球的表面积变为原来的2倍，那么它的半 径变为原来的______倍，体积变为原来的________ 倍．
提示：根据表面积和体积公式容易知道，当表面积变为原 来的 2 倍时，球的半径变为原来的 2倍，体积变为原来的 2 2倍．
推荐-高一数学人教B版必修2课件1.1.7柱、锥、台和球的体积
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知识梳理
题型一 题型二 题型三 题型四 题型五
重难聚 焦
解设圆柱的底面半径为 r,高为 h,如图,
典例透析 随堂练习
则由题意可知:
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典例透析 随堂练习
有关柱体体积的问题
【例1】 已知一个圆柱去掉两个底面,沿任一条母线割开,然后放 在平面上展开后得到的平面图形(我们叫圆柱的侧面展开图)是一 个矩形,它的对角线长为m,对角线与底边成α角(0°<α<90°),求圆柱 的体积.
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反思 对于几何体的侧面展开图问题,要注意展开前后的“变”与“不 变”.对此题而言,为了求体积要抓住关键元素,即圆柱的底面半径、 高.
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解首先,圆台的上底的半径为4 cm,于是S圆台侧 =π(r+r')l=100π(cm2).
其次,如图,圆台的高
h=BC= ������������2-(������������-������������)2
= 102-(6-4)2
=4 6(cm), 所以 V 圆台=13h(S+ ������������'+S') =13×4 6×(16π+ 16π × 36π+36π) =3043 6π(cm3).
高中数学 1.1 空间几何体 1.1.7 柱、锥、台和球的体积课堂探究 新人教B版必修2
1.1.7 柱、锥、台和球的体积课堂探究探究一柱体的体积1．柱体(棱柱、圆柱)的体积等于它的底面积S和高h的积，即V柱体＝Sh．底面半径是r，高是h的圆柱体的体积的计算公式是V圆柱＝πr2h．2．平行六面体的体积求解是比较常见的，因为平行六面体的六个面都是平行四边形，故可以用任意一组平行的面作为底面，其余面作为侧面．解题时，我们以解直棱柱的体积居多，故在平行六面体中选底面时，以构成直棱柱为首选因素．【典型例题1】 (1)如图，某几何体的主视图是平行四边形，左视图和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为( )A．．．．解析：由三视图知，该几何体为平行六面体，由图知高h．底面积：S＝3×3＝9，所以其体积V＝答案：B(2)用一块长4 m，宽2 m的矩形铁皮卷成一个圆柱形铁筒，如何制作可使铁筒的体积最大？解：①若以矩形的长为圆柱的母线l，则l＝4 m，此时圆柱底面周长为2 m，即圆柱底面半径为R＝1πm，所以圆柱的体积为V＝πR2·l＝21()ππ·4＝4π(m3)．②若以矩形的宽为圆柱的母线，同理可得V ＝8(m 3)， 所以第二种方法可使铁筒体积最大． 探究二 锥体的体积求锥体的体积常见的方法： (1)公式法：直接代入公式求解．(2)等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可．(3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱、三棱柱补成四棱柱等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．【典型例题2】 圆锥底面半径为3，母线长为5，则这个圆锥的体积为( ) A ．36π B ．18π C ．45π D ．12π 解析：V 圆锥＝13πr 2·h ， 由于r ＝3，h ＝4(其轴截面如图)，得V ＝13×π×9×4＝12π． 答案：D 探究三 台体的体积1．台体体积公式适用于棱台和圆台． 2．圆台(棱台)的高是指两个底面之间的距离． 3．柱体、锥体、台体的体积关系如图所示．【典型例题3】 若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积是( )A ．3523cm 3 B ．3203cm 3 C ． 2243cm 3D ． 1603cm 3 解析：由三视图可知该几何体上部分为一长方体，下部分为正四棱台．V ＝4×4×2＋13(42＋4×8＋82)×2＝3203(cm 3)． 答案：B 探究四 球的体积球的体积的计算常与其他几何体结合，将球的性质、简单几何体的性质融合在一起考查． 常见的有内切和外接问题，求解与球有关的切接问题时要认真分析题中已知条件，明确切点或接点的位置，正确作出截面图，再分析相关量间的数量关系．【典型例题4】 平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α，则此球的体积为( )A B ． C ． D ． 解析：利用截面圆的性质先求得球的半径长．如图所示，设截面圆的圆心为O ′，M 为截面圆上任一点，则OO O ′M ＝1，所以OM所以V ＝343π＝．答案：B 探究五 易错辨析易错点：将几何体误认为锥体而致误【典型例题5】 如图所示，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成了AEF A 1B 1C 1和BB 1E CC 1F 两部分，它们的体积分别为V 1，V 2，那么V 1∶V 2＝__________．错解：由已知可知几何体AEF A 1B 1C 1是三棱台，几何体BB 1E CC 1F 是四棱锥． 设三棱柱的底面积为S ，高为h ，则由锥、台的体积公式可得，V 1＝11(34h S S +＝712Sh ，V 2＝1334h S ⋅＝14Sh ． 所以V 1∶V 2＝712Sh ∶14Sh ＝7∶3． 错因分析：几何体BB 1E CC 1F 不是一个规则的几何体，而错解中将其看成了锥体． 正解：设三棱柱的高为h ，底面的面积为S ，体积为V ，则V ＝V 1＋V 2＝Sh ． 因为E ，F 分别为AB ，AC 的中点，所以S △AEF ＝14S ，V 1＝11(34h S S +＝712Sh ，V 2＝Sh －V 1＝512Sh ， 故V 1∶V 2＝7∶5． 答案：7∶5。
高中数学新人教版B版精品教案《人教版B高中数学必修2 1.1.7 柱、锥、台和球的体积》
柱锥台和球的体积教学设计根据本节课的特点，新课程标准对本节课的教学要求和学生身心发展的合理需要我从三个不同方面确定了以下教学目标。
知识与技能：1理解组更原理。
2利用组更原理推导出柱体锥体和台体的体积公式，并掌握公式。
推导中涉及到的数学思想。
3正确运用体积公式解决简单的体积问题。
过程与方法：在长方体体积公式和祖暅原理的基础上推出柱、锥的体积公式，进而推出台体体积公式。
最后合作探究，通过观察实验视频，让学生猜想球的体积公式，并根据所学的祖暅原理推导球的体积公式。
情感态度与价值观：1通过对组更原理的学习，使学生了解我国古代数学家的突出成就让学生受到爱国主义教育，激发学生热爱科学提高学习数学的兴趣。
2二通过柱锥台球体体积公式的推导过程培养学生理论联系实际的良好思维，习惯渗透辩证的唯物主义观点。
教学重点：1棱柱、棱锥和台的体积公式的推导方法2柱、锥、台和球的体积公式的应用教学难点：（1）对祖暅原理的理解（2）球体积公式的推导学情分析：省实验的学生数学基础好，能力强，口表能力非常好，故加大了学生在思维难度上的训练学生在本节课前通过导学案对本节内容进行了自主学习。
环节一问题引入：大屏幕展示数学家祖冲之的画像，提出问题祖冲之最大的贡献是什么？学生回答：提出了圆周率π。
老师总结：其实祖冲之还有另外一个更大的贡献就是：他培养了一位同样杰出儿子——数学家祖暅。
大屏幕展示祖暅，让同学站起来介绍组更的生平。
问题一：组更原理的内容？问题二：如何理解组更原理？问题三：你认为这段文字中有哪些词是关键词？环节二：教师点题这节课我们就在组更原理的基础上再认识柱锥台和球的体积公式。
问题四：长方体的体积公式？问题五：柱体、椎体、台体的体积公式？问题六：你能解释一下，为什么柱体体积公式与长方体体积公式相同呢？大屏幕展示上图，学生回答后，用几何画板演示动画，便于学生更好地理解祖暅原理问题七：锥体体积公式，又是如何获得的？实物展示，几何画板动画展示，以便于学生理解问题八：你能试着推导一下台体的体积公式吗？展示学生学案，讲评台体体积的推导过程问题九：观察柱锥台体的体积公式，你能发现这些公式之间有什么样的内在联系吗？通过观察动画，让学生更好地理解柱锥台的体积公式之间的联系。
高二数学(人教B版)必修2课件：1.1.7柱、锥、台和球的体积(共21张PPT)教学课件
二、提出问题
普
思考：如何求其它几何体的体积？
通
高 祖暅原理：幂势既同，则积不容异
中
课
程
标
准
Liangxiangzhongxue
问题：两个底面积相等、高也相等的棱柱（圆柱）的 体积如何？
三、概念形成
普 概念1.柱体（棱柱和圆柱）的体积
通 高 中 课 程
棱柱（圆柱）可由多边形（圆）沿某一方向得到，因此，
程 标 准
V锥体
1 3
Sh
h
h
Liangxiangzhongxue
S
S
S
三、概念形成
普 概念3.台体（棱台、圆台）的体积
通
棱台和圆台分别是棱锥和圆锥用平行于底面的平面截去
高 中 课
一个锥体得到的。因此台体的体积可以用两个锥体体积的 差来计算。体积公式如下：
程 标 准
V台 体1 3hS SS'S'
四、应用举例
普 通
例2．如图，长方体 A B C D A ' 中B ' ，C 用' D 截' 面截下一个棱
锥
C ， 求A 棱'锥D D ' 的体积C 与 剩A 余'D 部D 分'的体积之比。
高
中
课
程
D'
C'
标 准
A'
B'
Liangxiangzhongxue
D
A
C B
四、应用举例
普 通 高
例3．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8g/c)m六3角螺帽 共重5.8kg，已知底面是正六边形，边长为12mm,内孔直 径为10mm，高为10mm，问这堆螺帽大约有多少个 （ 取
[推荐学习]高中数学1.1空间几何体1.1.7柱锥台和球的体积教案新人教B版必修2
1.1.7 柱、锥、台和球的体积示范教案 整体设计教学分析本节教材介绍了祖暅原理，并利用长方体体积推导出了柱体的体积公式．利用柱体体积推导出了锥体和台体的体积．直接给出了球的体积公式．值得注意的是教学重点放在体积的计算和应用，尽量在体积公式的推导上少“纠缠”． 三维目标1．掌握柱、锥、台和球的体积公式，培养学生的探究能力．2．能够利用体积公式解决有关应用问题，提高学生解决实际问题的能力． 重点难点教学重点：体积的计算和应用． 教学难点：体积公式的推导． 课时安排 1课时教学过程 导入新课设计 1.我们在初中的学习中已经会根据长方体的长、宽、高来计算长方体的体积了，那么，棱柱、棱锥、棱台以及圆柱、圆锥、圆台的体积如何计算呢？设计2.被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物．在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔的，真是一个十分难解的谜．胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230.4米，塔高146.6米，假如知道每块石块的体积，你能计算出建此金字塔用了多少石块吗？推进新课 新知探究 提出问题1回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？,2比较柱体、锥体、台体的体积公式：,V 柱体＝为底面积，h 为柱体的高；,V锥体＝13Sh S 为底面积，h 为锥体的高；,V台体＝13S ＋\r(SS ′)＋S ′h S ′、S 分别为上、下底面积，h 为台体的高.,你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？讨论结果：(1)棱长为a 的正方体的体积V ＝a 3＝a 2a ＝Sh ；长方体的长、宽和高分别为a 、b 、c ，其体积为V ＝abc ＝(ab)c ＝Sh ；底面半径为r 高为h 的圆柱的体积是V ＝πr 2h ＝Sh ，可以类比，一般的柱体的体积也是V ＝Sh ，其中S 是底面面积，h 为柱体的高．圆锥的体积公式是V ＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)，它是同底等高的圆柱的体积的13.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的13，即棱锥的体积V ＝13Sh(S 为底面面积，h 为高)．由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的13.由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥)截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台(棱台)的体积公式V ＝13(S′＋S′S＋S)h ，其中S′、S 分别为上、下底面面积，h 为圆台(棱台)高．注意：不要求推导公式，也不要求记忆．(2)柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体．因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体．当S′＝0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式；当S′＝S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式．柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系，如下图：应用示例思路1例1如下图所示，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，用截面截下一个棱锥C —A′DD′，求棱锥C —A′DD′的体积与剩余部分的体积之比．解：已知长方体可以看成直四棱柱ADD′A′—BCC′B′，设它的底面ADD′A′面积为S ，高为h ，则它的体积为V ＝Sh.因为棱锥C —A′DD′的底面面积为12S ，高是h ，所以棱锥C —A′DD′的体积V C —A′DD′＝13×12Sh ＝16Sh. 余下的体积是Sh －16Sh ＝56Sh.所以棱锥C —A′DD′的体积与剩余部分的体积之比为1∶5.变式训练已知一正四棱台的上底边长为4 cm ，下底边长为8 cm ，高为3 cm.求其体积． 解：V ＝13(S 上＋S 下＋S 上·S 下)h ＝13(42＋82＋42×82)×3＝112(cm 3)．即正四棱台的体积为112 cm 3.例2有一堆相同规格的六角螺帽毛坯(下图)，共重5.8 kg.已知螺帽的底面六边形边长是12 mm ，高是10 mm ，内孔直径是10 mm ，这一堆螺帽约有多少个(铁的密度是7.8 g/cm 3，π≈3.14)?解：六角螺帽毛坯的体积是一个正六棱柱的体积和一个圆柱的体积的差．因为V 正六棱柱＝6×12×12×(12×sin60°)×10＝3×122×32×10≈3.74×103(mm 3)，V 圆柱＝3.14×(10÷2)2×10≈0.785×103(mm 3)，所以一个螺帽的体积V ＝3.74×103－0.785×103≈2.96×103(mm 3)＝2.96(cm 3)．因此约有5.8×103÷(7.8×2.96)≈2.5×102(个)． 答：这堆螺帽约有250个． 变式训练埃及胡夫金字塔大约建于公元前2580年，其形状为正四棱锥．金字塔高146.6 m ，底面边长230.4 m ．问这座金字塔的侧面积和体积各是多少？解：如下图，AC 为高，BC 为底面的边心距，则AC ＝146.6，BC ＝115.2，底面周长c ＝4×230.4.S 侧面积＝12c·AB＝12×4×230.4×115.22＋146.62≈85 916.2(m 2)，V ＝13S·AC＝13×230.42×146.6≈2 594 046.0(m 3)． 答：金字塔的侧面积约是85 916.2 m 2，体积约是2 594 046.0 m 3.思路2例3如下图所示，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为( )A ．1 B.12 C.13 D.16活动：让学生将三视图还原为实物图，讨论和交流该几何体的结构特征．解析：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，下图所示为该三棱锥的直观图，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA ，底面三角形是直角三角形，所以这个几何体的体积为V ＝13S △ABC PA ＝13×12×1＝16.答案：D点评：本题主要考查几何体的三视图和体积．给出几何体的三视图，求该几何体的体积或面积时，首先根据三视图确定该几何体的结构特征，再利用公式求得．此类题目成为新课标高考的热点，应引起重视．变式训练1．如果一个空间几何体的主视图与左视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，那么这个几何体的体积为( )A.3π3 B.23π3 C.3π D.π3解析：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V ＝13×π×12×3＝3π3. 答案：A2.已知某几何体的俯视图是如下图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V ； (2)求该几何体的侧面积S.解：由三视图可知该几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥．设底面矩形为ABCD.如下图所示，AB ＝8，BC ＝6，高VO ＝4.(1)V ＝13×(8×6)×4＝64.(2)设四棱锥侧面VAD 、VBC 是全等的等腰三角形，侧面VAB 、VCD 也是全等的等腰三角形，在△VBC 中，BC 边上的高为h 1＝VO 2＋AB 22＝42＋822＝42， 在△VAB 中，AB 边上的高为h 2＝VO 2＋BC 22＝42＋622＝5.所以此几何体的侧面积S ＝2(12×6×42＋12×8×5)＝40＋24 2.点评：高考试题中对面积和体积的考查有三种方式：一是给出三视图，求其面积或体积；二是与组合体有关的面积和体积的计算；三是在解答题中，作为最后一问，求出几何体的面积或体积．3．（2008 山东省烟台市高三期末统考，文6）已知一个全面积为24的正方体，内有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为 ( )A.4π3B ．43π C.246π3 D.82π3解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2，又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的截面对角线长22等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：D 点评：球与其他几何体的简单组合体问题，通常借助于球的截面来明确构成组合体的几何体的结构特征及其联系，本题利用正方体的面的对角线长等于球的直径这一隐含条件使得问题顺利获解．知能训练1．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( )A ．1倍B ．2倍C.95倍D.74倍 解析：根据球的表面积等于其大圆面积的4倍，可设最小的一个半径为r ，则另两个为2r 、3r ，所以各球的表面积分别为4πr 2、16πr 2、36πr 2，36πr 24πr 2＋16πr 2＝95(倍)．答案：C 2．（2008天津高考，理12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为__________．解析：长方体的对角线为12＋22＋32＝14，则球的半径为142，则球的表面积为4π(142)2＝14π. 答案：14π3．一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为43π，则该正方体的表面积为__________．解析：43π＝4π3R 3，∴R＝3(R 为球的半径)．∴3a ＝2R ＝2 3.∴a＝2(a 为正方体棱长)．∴S 表＝6a 2＝24. 答案：244.如下图所示，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，求证：(1)球的体积等于圆柱体积的23；(2)球的表面积等于圆柱的侧面积．活动：学生思考圆柱和球的结构特征，并展开空间想象．教师可以使用信息技术帮助学生读懂图形．证明：(1)设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R.则有V 球＝43πR 3，V 圆柱＝πR 2·2R＝2πR 3，所以V 球＝23V 圆柱．(2)因为S 球＝4πR 2，S 圆柱侧＝2πR·2R＝4πR 2，所以S 球＝S 圆柱侧．5．养路处建造圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m ，高4 m ．养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4 m(高不变)；二是高度增加4 m(底面直径不变)．(1)分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； (2)分别计算按这两种方案所建的仓库的侧面积； (3)哪个方案更经济些？解：(1)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，则仓库的体积V 1＝13Sh ＝13×π×(162)2×4＝2563π(m 3)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，则仓库的体积V 2＝13Sh ＝13×π×(122)2×8＝2883π(m 3)．(2)如果按方案一，仓库的底面直径变成16 m ，半径为8 m ．棱锥的母线长为l ＝82＋42＝4 5.则仓库的表面积S 1＝π×8×45＝325π(m 2)．如果按方案二，仓库的高变成8 m ，棱锥的母线长为l ＝82＋62＝10，则仓库的侧面积S 2＝π×6×10＝60π(m 2)． (3)∵V 2>V 1，S 2<S 1，∴方案二比方案一更加经济． 拓展提升1．如左下图，一个正三棱柱形容器，底面边长为a ，高为2a ，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如右下图，这时水面恰好为中截面，则左下图中容器内水面的高度是__________．分析：右上图中容器内水面的高度为h ，水的体积为V ， 则V ＝S △ABC h.又右上图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为34S △ABC ，高度为2a ，则V ＝34S △ABC ·2a，∴h＝34S △ABC ·2a S △ABC ＝32a.答案：32a2．圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，则这个圆台的体积是__________．解析：设这个圆台的高为h ，画出圆台的轴截面，可得24＝6－h6，解得h ＝3，所以这个圆台的体积是π3(22＋2×4＋42)×3＝28π.答案：28π 课堂小结 本节学习了：1．简单几何体的体积公式． 2．解决有关计算问题．设计感想新课标对本节内容的要求是了解柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式)，也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可．因此本节教学设计中就体现了这一点，把重点放在了对公式的简单应用上．由于本节图形较多，建议在使用时，尽量结合信息技术．备课资料从洗澡的故事说起关于阿基米德，流传着这样一段有趣的故事．相传叙拉古赫国王让工匠替他做了一顶纯金的王冠，做好后，国王疑心工匠在金冠中掺了假，但这顶金冠的确与当初交给金匠的纯金一样重，到底工匠有没有捣鬼呢？既想检验真假，又不能破坏王冠，这个问题不仅难倒了国王，也使诸大臣们面面相觑．后来，国王请阿基米德来检验．最初，阿基米德也是冥思苦想而不得要领．一天，他去澡堂洗澡，当他坐进澡盆里时，看到水往外溢，同时感到身体被轻轻托起．他突然悟到可以用测定固体在水中排水量的办法，来确定金冠的比重．他兴奋地跳出澡盆，连衣服都顾不得穿就跑了出去，大声喊着：“尤里卡！尤里卡！”(Fureka，意思是“我知道了”)他经过了进一步的实验以后来到王宫，他把王冠和同等重量的纯金放在盛满水的两个盆里，比较两盆溢出来的水，发现放王冠的盆里溢出来的水比另一盆多．这就说明王冠的体积比相同重量的纯金的体积大，所以证明了王冠里掺进了其他金属．他的这一发现在物理学课本上被称作“阿基米德原理”，是流体静力学中的第一个基本原理．。