导数与函数的极值、最值讲义
导数与函数的极值、最值讲义
题型一：用导数求解函数极值问题
命题点1：根据函数图象判断极值
典例 设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)
B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)
C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)
D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 命题点2：求函数的极值
典例 设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2－x )，其中a ∈R .讨论函数f (x )极值点的个数，并说明理由． 命题点3：根据极值求参数
典例 (1)若函数f (x )＝x 3－2cx 2＋x 有极值点，则实数c 的取值范围为________________．
(2)若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间)3,2
1(上有极值点，则实数a 的取值范围是 思维升华 函数极值的两类热点问题
(1)求函数f (x )极值的一般解题步骤
①确定函数的定义域；②求导数f ′(x )；③解方程f ′(x )＝0，求出函数定义域内的所有根；④列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根x 0左右两侧值的符号．
(2)根据函数极值情况求参数的两个要领
①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．
②验证：求解后验证根的合理性．
跟踪训练 (1)函数f (x )＝(x 2－1)2＋2的极值点是( )
A ．x ＝1
B ．x ＝－1
C ．x ＝1或－1或0
D ．x ＝0
(2)若函数f (x )＝ax 22－(1＋2a )x ＋2ln x (a >0)在区间)1,2
1(内有极大值，则a 的取值范围是 题型二：用导数求函数的最值
典例 已知函数f (x )＝1－x x ＋k ln x ，k <1e ，求函数f (x )在],1[e e
上的最大值和最小值．
引申探究：本例中若函数为“f (x )＝ln x －12x 2”，则函数f (x )在],1[e e
上的最大值如何？ 思维升华：求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤
(1)求函数在(a ，b )内的极值．
(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )．
(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．
跟踪训练设函数f (x )＝x 3－x 22
－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1,2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是______． 题型三：函数极值和最值的综合问题
典例已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c e x
(a >0)的导函数y ＝f ′(x )的两个零点为－3和0. (1)求f (x )的单调区间；
(2)若f (x )的极小值为－e 3，求f (x )在区间[－5，＋∞)上的最大值．
思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．
(2)求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值．
跟踪训练 若函数f (x )＝13x 3＋x 2－23
在区间(a ，a ＋5)上存在最小值，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－5,0)
B ．(－5,0)
C ．[－3,0)
D ．(－3,0)
反馈练习
1．下列函数中，既是奇函数又存在极值的是( )
A ．y ＝x 3
B ．y ＝ln(－x )
C ．y ＝x e －x
D ．y ＝x ＋2x
2．函数f (x )＝13
x 3－4x ＋4的极大值为( ) A.283 B ．6 C.263
D ．7 3．已知e 为自然对数的底数，设函数f (x )＝(e x －1)(x －1)k (k ＝1,2)，则( )
A ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极小值
B ．当k ＝1时，f (x )在x ＝1处取得极大值
C ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极小值
D ．当k ＝2时，f (x )在x ＝1处取得极大值
4．记函数f (x )＝x －3＋12－3x 的最大值为M ，最小值为m ，则M －m M ＋m
的值为( ) A.13 B.34
C.35
D.23
5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，则f (2)等于( )
A ．11或18
B ．11
C ．18
D ．17或18
6．若函数f (x )＝13x 3－)2
1(b +x 2＋2bx 在区间[－3,1]上不是单调函数，则函数f (x )在R 上的极小值为( ) A ．2b －43
B.32b －23 C ．0 D ．b 2－16
b 3 7．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，若x ＝－3是函数f (x )的一个极值点，则实数a ＝______.
8．函数f (x )＝x 3－3a 2x ＋a (a >0)的极大值是正数，极小值是负数，则a 的取值范围是________．
9．已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0,2)时，f (x )＝ln x －ax )21(>
a ，当x ∈(－2,0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝________.
10．已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1,1]，则f (m )的最小值为________．
11．已知函数f (x )＝e x cos x －x .
(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程；
(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦
⎤0，π2上的最大值和最小值． 12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
－x 3＋x 2，x <1，a ln x ，x ≥1. (1)求f (x )在区间(－∞，1)上的极小值和极大值点；
(2)求f (x )在[－1，e](e 为自然对数的底数)上的最大值．
13．函数f (x )＝x 3－3x －1，若对于区间[－3,2]上的任意x 1，x 2，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤t ，则实数t 的最小值是( )
A ．20
B ．18
C ．3
D ．0
14．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时，t 的值为________．
15．若函数f (x )＝m ln x ＋(m －1)x 存在最大值M ，且M >0，则实数m 的取值范围是______．。
高考数学一轮总复习第四章一元函数的导数及其应用第三节利用导数研究函数的极值与最值课件
1 3
2+mx+9在R上无极值⇔f'(x)=x2-2mx+m在R上无变
x
-mx
3
号零点⇔Δ=4m2-4m≤0⇔0≤m≤1,故选D.
考向3.与极值有关的综合问题
典例突破
2
例3.已知函数f(x)=ln x+ x ,m∈R.
2
(1)若m>0,函数f(x)图象上所有点处的切线中,切线斜率的最小值为2,求切
+
x1+ 2
2 -4 > 0,
1
> 0,
2
1 -mx1+ln x2+ 2
2
(1- )-m=- -ln
2
2
解得 m>4.又因
22 -mx2
m-1,因此- -ln
2
m-1≥
令
g(m)= +ln
2
m,易知 g(m)在(0,+∞)上单调递增,而 g(ee2源自)= +2,所以2
2
4<m≤e2.
x1,x2,所以
1 + 2 = > 0,
2
1 2 = - > 0,
所以b2+8ac>0,且ab>0,ac<0,bc<0,
所以A不正确,B,C,D正确.故选BCD.
此时在区间(-∞,a)和
+2
, +∞
3
内,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增;在区间
+2
,
3
内,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减.此时 a(a-b)<0,即 a2<ab.综上可得 a2<ab.故选 D.
专题一第3讲利用导数研究函数的单调性、极值与最值课件
1
f(x)在区间(0,)和
1
1 1
(2,+∞)上单调递增,在区间( , 2)上单调递减.
综上所述,当 0<a<2 时,函数
上单调递减;
1
1
1 1
f(x)在区间(0,2)和(,+∞)上单调递增,在区间(2 , )
当 a=2 时,函数 f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,无单调递减区间;
当 a>2 时,函数
(2)设点 P(x0,03 -2x0),∵f'(x)=3x2-2,∴f'(x0)=302 -2.
∵曲线 f(x)在点 P 处的切线平行于直线 l:x-y-2=0,
∴f'(x0)=1,即 302 -2=1,解得 x0=±1.
当x0=1时,点P(1,-1),则所求切线方程为y+1=x-1,即x-y-2=0,与直线l重合,不
(
)
1
A. 0, 2
B.(1,+∞)
1
C.(0, )∪(1,+∞)
2
1
D.(0, )和(1,+∞)
2
答案 D
解析 因为 f'(x)=2(2x-1)·
ln x+2(x
1
-x)·-2x+2=2(2x-1)·
ln
2
x,当
1
x∈(0,2)
时,2x-1<0,ln x<0,f'(x)>0,f(x)单调递增;
f'(x)=0,则f(x)为常数函数.
(2)求单调区间(或证明单调性),只要在函数定义域内解(或证明)不等式
f'(x)>0或f'(x)<0.
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件
导数及其应用讲利用导数求函数的极值与最大小值课件xx年xx月xx日CATALOGUE 目录•导数的概念与运算•利用导数求函数的极值•利用导数求函数的最值•利用导数研究函数的单调性与凸凹性•利用导数求函数的极值与最值的步骤与示例•导数在实际问题中的应用01导数的概念与运算函数在某一点的导数函数在这一点变化率的极限值，记为f'(x)或df/dx(x)。
导数的几何意义函数在某一点处的导数，是该点处曲线切线的斜率。
函数u=g(t)在t=t0处的导数，等于函数y=f(u)在u=g(t0)处的导数乘以g'(t0)。
复合函数的导数复合函数y=f(u)，u=g(x)在x=x0处的导数，等于y=f(u)在u=g(x0)处的导数乘以g'(x0)。
函数y=f(x)在x=x0处的导数，等于曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率。
曲线切线的斜率导数的正负表示曲线在相应点的上升或下降趋势，导数值的大小表示曲线在相应点的变化剧烈程度。
导数与曲线形状导数的几何意义02利用导数求函数的极值极值的定义及计算方法极值点函数在某点处取得极值，则该点称为极值点极值在极值点处取得的函数值称为极值计算方法先求导数，然后求出导数为0的点，再判断这些点是否为极值点常见函数的极值点与极值一次函数：无极值点三角函数：如正弦函数和余弦函数有多个极值点，但不是所有的点都是极值点二次函数：有两个极值点，且在极值点处取得极值幂函数：当指数大于0时，有一个极小值点；当指数小于0时，有一个极大值点最大值和最小值的实际应用利用极值点进行函数的优化利用极值进行函数的插值和拟合极值的应用03利用导数求函数的最值函数在某区间上的最大值和最小值是该区间上函数值的最大和最小值，也是该区间上局部极值。
求导数，找到函数的极值点和区间端点，比较极值点和区间端点的函数值，得到最大和最小值。
最值定义最值计算方法最值的定义及计算方法1函数最值的应用23函数最值的应用广泛，例如在物理、工程、经济等领域中都可以应用。
导数与函数的极值和最值
第十一讲函数的极值和最值与导数一、函数极值：1.定义一般地，设函数)(xfy=在xx=及其附近有定义，如果)(xf的值比x附近所有各点的函数值都大，我们说)(xf是函数)(xfy=的一个极大值；如果)(xf的值比x附近所有各点的函数值都小，我们说)(xf是函数)(xfy=的一个极小值。
极大值与极小值统称极值。
注：（ⅰ）极值是一个局部概念。
由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小。
并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。
（ⅱ）函数的极值不是唯一的。
即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。
（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系。
即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x是极大值点，4x是极小值点，而)(4xf>)(1xf。
（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点。
而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点。
2.判别与求法假设x使0)(='xf，那么x在什么情况下是的极值点呢？如上左图所示，若x是)(xf的极大值点，则x两侧附近点的函数值必须小于)(xf。
因此，x的左侧附近)(xf只能是增函数，即0)(>'xf。
x的右侧附近)(xf只能是减函数，即0)(<'xf，同理，如上右图所示，若0x 是极小值点，则在0x 的左侧附近)(x f 只能是减函数，即0)(<'x f ，在0x 的右侧附近)(x f 只能是增函数，即0)(>'x f ，从而我们得出结论：若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值。
导数与函数的极值、最值 经典课件(最新)
高中数学课件
3．(教材改编)一条长为 2 的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形 的面积之和最小，则两段铁丝的长度分别是________，________．
解析：设两段铁丝的长分别为 x，2－x，0<x<2，则两个正方形的面积之和 S＝1x62 ＋ （2－16x）2＝18x2－41x＋14，故 S′＝4x－14.令 S′＝0，得 x＝1.当 0<x<1 时，S′<0；当 2>x>1 时，S′>0.所以 S 在 x＝1 处取得极小值也是最小值，所以两段铁丝的长都是 1.
(2)由(1)知，当 x＝ 2时，函数取得极小值，故极小值为 2＋ 22＝2 2. (3)由(1)(2)知，函数的极小值恰好是函数的最小值，故 ymin＝2 2.极值是个“局部” 概念，最值是“整体”概念．
答案：(1)x＝ 2 (2)2 2 (3)2 2
高中数学课件
5．(改编题)设 f(x)＝lnx，g(x)＝f(x)＋f′(x)，则 g(x)的最小值为________． 解析：对 f(x)＝lnx 求导，得 f′(x)＝1x， 则 g(x)＝lnx＋1x，且 x>0. 对 g(x)求导，得 g′(x)＝x－x21， 令 g′(x)＝0，解得 x＝1. 当 x∈(0，1)时，g′(x)<0，函数 g(x)＝lnx＋1x在(0，1)上单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，g′(x)>0，函数 g(x)＝lnx＋1x在(1，＋∞)上单调递增． 所以当 x＝1 时，g(x)min＝g(1)＝1.
极小值
在包含 x0 的一个区间(a，b)内，函数 y
在包含 x0 的一个区间(a，b)内， 函数 y＝f(x)在任何一点的函数值
第22讲 利用导数研究函数的极值和最值(解析版)
第22讲利用导数研究函数的极值和最值【基础知识回顾】1、函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x ＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x ＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．2、函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．3、常用结论1．若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．2．若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．3．若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．1、已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个.2、已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a等于()A.－4B.－2C.4D.2【答案】D【解析】由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，当x ∈(－2，2)时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增，所以a ＝2.3、.函数f (x )＝e xx 2－3在[2，＋∞)上的最小值为( )A.e 36B.e2C.e 34D.2e【答案】 A【解析】 依题意f ′(x )＝e x（x 2－3）2(x 2－2x －3) ＝e x（x 2－3）2(x －3)(x ＋1)，故函数在区间(2，3)上单调递减，在区间(3，＋∞)上单调递增，故函数在x ＝3处取得极小值也即是最小值，且最小值为f (3)＝e 332－3＝e 36.4、函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C【解析】 设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C. 5、设函数f (x )＝2x ＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点 【答案】D【解析】 因为f (x )＝2x ＋ln x ，所以f ′(x )＝－2x 2＋1x ＝x －2x2，x >0.当x >2时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；当0<x <2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数，所以x ＝2为f (x )的极小值点，故选D.考向一 利用导数研究函数的极值例1、已知函数()32331(R,0)f x ax x a a a=-+-∈≠，求函数()f x 的极大值与极小值．【解析】：由题设知a ≠0，f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3ax 2x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭. 令f ′(x )＝0得x ＝0或2a.当a >0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1.当a <0时，随着x 的变化，f ′(x )与f (x )的变化情况如下：↗↗↗↗f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 综上，f (x )极大值＝f (0)＝1－3a，f (x )极小值＝2f a ⎛⎫⎪⎝⎭＝－4a 2－3a ＋1. 变式1、已知函数f (x )＝x －1＋ae x (a ∈R ，e 为自然对数的底数)．(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，求a 的值； (2)求函数f (x )的极值．【解析】(1)因为f (x )＝x －1＋ae x ，所以f ′(x )＝1－aex ，又因为曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(1)＝0， 即1－ae1＝0，所以a ＝e.(2)由(1)知f ′(x )＝1－ae x ，当a ≤0时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增， 因此f (x )无极大值与极小值； 当a >0时，令f ′(x )>0，则x >ln a ， 所以f (x )在(ln a ，＋∞)上单调递增， 令f ′(x )<0，则x <ln a ，所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减， 故f (x )在x ＝ln a 处取得极小值， 且f (ln a )＝ln a ，但是无极大值，综上，当a ≤0时，f (x )无极大值与极小值；当a >0时，f (x )在x ＝ln a 处取得极小值ln a ，但是无极大值．变式2、 (1)若函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x 的极小值点是x ＝1，则f (x )的极大值为( ) A ．－e B ．－2e 2 C ．5e －2 D ．－2【答案】 C【解析】 由题意，函数f (x )＝(x 2－ax －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x [x 2＋(2－a )x －1－a ]， 所以f ′(1)＝(2－2a )e ＝0， 解得a ＝1，故f (x )＝(x 2－x －1)e x ， 可得f ′(x )＝e x (x ＋2)(x －1)，则f (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 所以f (x )的极大值为f (－2)＝5e －2.(2)函数f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)在⎣⎡⎦⎤12，3上有且仅有一个极值点，则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫52，103 B.⎣⎡⎭⎫52，103 C.⎝⎛⎦⎤52，103 D.⎣⎡⎦⎤2，103 【答案】 B【解析】 ∵f (x )＝ln x ＋12x 2－ax (x >0)，∴f ′(x )＝1x＋x －a ，∴y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点．令f ′(x )＝1x ＋x －a ＝0，得a ＝1x ＋x .设g (x )＝1x＋x ，则g (x )在⎣⎡⎦⎤12，1上单调递减，在[1,3]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝2， 又g ⎝⎛⎭⎫12＝52，g (3)＝103， ∴当52≤a <103时，y ＝f ′(x )在⎣⎡⎦⎤12，3上只有一个变号零点． ∴实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫52，103.方法总结：(1)求函数()f x 极值的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数()f x '；③解方程()0f x '=，求出函数定义域内的所有根；④列表检验在()0f x '=的根0x 左右两侧值的符号，如果左正右负，那么()f x 在0x 处取极大值，如果左负右正，那么()f x 在0x 处取极小值．(2)若函数()y f x =在区间内有极值，那么()y f x =在(),a b 内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值．考向二 利用导数研究函数的最值例2、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数处有极小值，求函数在区间上的最大值．【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）当时，，， 所以，又，所以曲线在点处切线方程为，即.（2）因为，因为函数处有极小值，所以，()32112f x x x ax =-++2a =()y f x =()()0,0f ()1f x x =在()f x 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦210x y -+=49272a =321()212f x x x x =-++2()32f x x x '=-+(0)2f '=(0)1f =()y f x =()()0,0f 12y x -=210x y -+=2()3f x x x a '=-+()1f x x =在(1)202f a a '=+=⇒=-所以 由，得或， 当或时，， 当时，， 所以在，上是增函数，在上是减函数， 因为，， 所以的最大值为. 变式1、已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a.(1)若a ＝0，求y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程；(2)若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，求f (x )的单调区间，以及最大值和最小值. 【解析】(1)当a ＝0时，f (x )＝3－2xx 2，则f ′(x )＝x 2·（－2）－（3－2x ）·2xx 4＝2x －6x 3. 当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－4， 故y ＝f (x )在(1，f (1))处的切线方程为 y －1＝－4(x －1)， 整理得4x ＋y －5＝0. (2)已知函数f (x )＝3－2xx 2＋a，则f ′(x )＝（x 2＋a ）·（－2）－（3－2x ）·2x（x 2＋a ）2＝2（x 2－3x －a ）（x 2＋a ）2.若函数f (x )在x ＝－1处取得极值， 则f ′(－1)＝0，即2（4－a ）（a ＋1）2＝0，解得a ＝4.经检验，当a ＝4时，x ＝－1为函数f (x )的极大值，符合题意.2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =23x <-1x >()0f x '>213x -<<()0f x '<()f x 22,3⎛⎫--⎪⎝⎭31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3124f ⎛⎫= ⎪⎝⎭()f x 249327f ⎛⎫-=⎪⎝⎭此时f (x )＝3－2x x 2＋4，其定义域为R ，f ′(x )＝2（x －4）（x ＋1）（x 2＋4）2，令f ′(x )＝0，解得x 1＝－1，x 2＝4. f (x )，f ′(x )随x 的变化趋势如下表：故函数f (x )极大值为f (－1)＝1，极小值为f (4)＝－14.又因为x <32时，f (x )>0；x >32时，f (x )<0，所以函数f (x )的最大值为f (－1)＝1， 最小值为f (4)＝－14.变式2、 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的最大值；(2)若f (x )在区间(0，e]上的最大值为－3，求a 的值. 【解析】 (1)易知f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x ， f ′(x )＝－1＋1x ＝1－xx ，令f ′(x )＝0，得x ＝1. 当0＜x ＜1时，f ′(x )＞0； 当x ＞1时，f ′(x )＜0.∴f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. ∴f (x )max ＝f (1)＝－1.∴当a ＝－1时，函数f (x )在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x∈⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上单调递增，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，不符合题意.②若a ＜－1e ，令f ′(x )＞0得a ＋1x ＞0，结合x ∈(0，e]，解得0＜x ＜－1a ；令f ′(x )＜0得a ＋1x ＜0，结合x ∈(0，e]，解得－1a＜x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上单调递增， 在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上单调递减， ∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2， 即a ＝－e 2.∵－e 2＜－1e ，∴a ＝－e 2为所求.故实数a 的值为－e 2.方法总结：1.利用导数求函数f(x)在[a ，b]上的最值的一般步骤： (1)求函数在(a ，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值. 2.求函数在无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，然后借助图象观察得到函数的最值.考向三 极值（最值）的综合性问题例3、已知函数()323(,)f x ax bx x a b R =+-∈在1x =-处取得极大值为2. (1) 求函数()f x 的解析式；(2) 若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值． 【解析】 ：(1)f′(x)＝3ax 2＋2bx －3.由题意得()12(1)0f f ⎧-=⎪⎨'-=⎪⎩，即⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＋3＝23a －2b －3＝0)， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0)，经检验成立，所以f(x)＝x 3－3x.(2) 令f′(x)＝0，即3x 2－3＝0.得x ＝±1. 列表如下：因为max min 间[－2,2]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f(x)max －f(x)min |＝4，所以c≥4.所以c 的最小值为4.变式1、设函数f (x )＝x cos x 的一个极值点为m ，则tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4等于( ) A.m －1m ＋1 B.m ＋1m －1 C.1－m m ＋1 D.m ＋11－m【答案】 B 【解析】由f ′(x )＝cos x －x sin x ＝0， 得tan x ＝1x ，所以tan m ＝1m，故tan ⎝⎛⎭⎫m ＋π4＝1＋tan m 1－tan m ＝m ＋1m －1. 变式2、已知a ，b ∈R ，若x ＝a 不是函数f (x )＝(x －a )2(x －b )·(e x －1－1)的极小值点，则下列选项符合的是( ) A ．1≤b <a B ．b <a ≤1 C ．a <1≤b D ．a <b ≤1【答案】 B 【解析】令f (x )＝(x －a )2(x －b )(e x －1－1)＝0， 得x 1＝a ，x 2＝b ，x 3＝1.下面利用数轴标根法画出f (x )的草图，借助图象对选项A ，B ，C ，D 逐一分析． 对选项A ，若1≤b <a ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项B ，若b <a ≤1，由图可知x ＝a 不是f (x )的极小值点，符合题意； 对选项C ，若a <1≤b ，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意； 对选项D ，若a <b ≤1，由图可知x ＝a 是f (x )的极小值点，不符合题意．方法总结： 1. 当面对不等式恒成立(有解)问题时，往往是转化成函数利用导数求最值；2. 当面对多次求导时，一定要清楚每次求导的目的是什么．1、若2x =-是函数21()(1)ex f x x ax -=+-的极值点，则()f x 的极小值为A ．1-B ．32e -- C ．35e - D ．1【答案】A【解析】由题可得12121()(2)e (1)e [(2)1]e x x x f x x a x ax x a x a ---'=+++-=+++-，因为(2)0f '-=，所以1a =-，21()(1)e x f x x x -=--，故21()(2)ex f x x x -'=+-，令()0f x '>，解得2x <-或1x >，所以()f x 在(,2),(1,)-∞-+∞上单调递增，在(2,1)-上单调递减， 所以()f x 的极小值为11()(111)e 11f -=--=-.故选A ．2、已知函数()2sin sin2f x x x =+，则()f x 的最小值是_____________． 【答案】−3√32【解析】f′(x)=2cosx +2cos2x =4cos 2x +2cosx −2=4(cosx +1)(cosx −12)，所以当cosx <12时函数单调递减，当cosx >12时函数单调递增，从而得到函数的递减区间为()5ππ2π,2π33k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z ， 函数的递增区间为()ππ2π,2π33k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ， 所以当π2π,3x k k =-∈Z 时，函数f (x )取得最小值， 此时sinx =−√32,sin2x =−√32， 所以f (x )min =2×(−√32)−√32=−3√32， 故答案是−3√32. 3、（2021·广东高三月考）已知函数()322f x x ax b =-+，若()f x 区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1，则a 的值可以是（ ）A ．0B ．4C ．D ．【答案】AB【解析】()26263a f x x ax x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭，令()603a f x x x '⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，解得0x =或3a .①当0a ≤时，可知()f x 在[]0,1上单调递增，所以()f x 在区间[]0,1的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+. 此时a ，b 满足题设条件当且仅当1x =-，21a b -+=， 即0a =，1b =-.故A 正确.②当3a ≥时，可知()f x 在[]0,1上单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+.此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =.故B 正确.③当0<<3a 时，可知()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 最大值为b 或2a b -+或3127a b -+=-，1b =，则a =，与0<<3a 矛盾. 若3127a b -+=-，21a b -+=，则a =a =-0a =，与0<<3a 矛盾.故C ､D 错误.故选：AB4、（2021·广东宝安·高三月考）（多选题）已知函数()e e x x f x -=-，()e e x x g x -=+，则以下结论错误的是（ ）A ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x ∈R 且12x x ≠，都有()()12120g x g x x x -<- C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值【答案】ABC【解析】对A, ()e e x x f x -=-中e x y =为增函数,e x y -=为减函数.故()e e x x f x -=-为增函数.故任意的1x ,2x ∈R 且12x x ≠,都有()()12120f x f x x x ->-.故A 错误.对B,易得反例11(1)e e g -=+,11(1)(1)e e g g --=+=.故()()12120g x g x x x -<-不成立.故B 错误. 对C, 当因为()e e x x f x -=-为增函数,且当x →-∞时()f x →-∞,当x →+∞时()f x →+∞.故()f x 无最小值,无最大值.故C 错误.对D, ()e e 2x x g x -=+≥=,当且仅当e e =x x -即0x =时等号成立. 当x →+∞时()g x →+∞.故()g x 有最小值,无最大值.故选：ABC5、（2020全国Ⅰ理21）已知函数()2e xf x ax x =+-． （1）当1a =时，讨论()f x 的单调性；（2）当0x ≥时，()3112f x x ≥+，求a 的取值范围．【解析】(1)当1a =时，()2x x x e f x =+-，()'21x f x e x =+-，由于()''20x f x e =+>，故()'f x 单调递增，注意到()'00f =，故：当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减；当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增．(2)由()3112f x x ≥+得，23112x e ax x x +-+，其中0x ≥， ①．当x=0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；②．当0x >时，分离参数a 得，32112x e x x a x ----， 记()32112xe x x g x x ---=-，()()231212'x x e x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭=-， 令()()21102x e x x h x x ---≥=，则()'1x h x e x =--，()''10x h x e =-≥， 故()'h x 单调递增，()()''00h x h ≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21102x e x x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()'0g x >，()g x 单调递增； 当()2,x ∈+∞时，()'0g x <，()g x 单调递减；因此，()()2max 724e g x g -⎡⎤==⎣⎦．综上可得，实数a 的取值范围是27,4e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭． 6、（2020全国Ⅱ文21）已知函数()2ln 1f x x =+．（1）若()2f x x c ≤+，求c 的取值范围；（2）设0a >，讨论函数()()()f x f ag x x a -=-的单调性．【解析】（1）函数()f x 的定义域为：(0,)+∞，()2()202ln 120()f x x c f x x c x x c ≤+⇒--≤⇒+--≤*，设()2ln 12(0)h x x x c x =+-->，则有22(1)()2x h x x x -'=-=， 当1x >时，()0,()h x h x '<单调递减；当01x <<时，()0,()h x h x '>单调递增，∴当1x =时，函数()h x 有最大值，即max ()(1)2ln11211h x h c c ==+-⨯-=--，要想不等式()*在(0,)+∞上恒成立，只需max ()0101h x c c ≤⇒--≤⇒≥-．（2）2ln 1(2ln 1)2(ln ln )()(0x a x a g x x x a x a+---==>--且)x a ≠，因此22(ln ln )()()x a x x x a g x x x a --+'=-，设()2(ln ln )m x x a x x x a =--+，则有()2(ln ln )m x a x '=-，当x a >时，ln ln x a >，∴()0m x '<，()m x 单调递减，因此有()()0m x m a <=，即 ()0g x '<，∴()g x 单调递减；当0x a <<时，ln ln x a <，∴()0m x '>，()m x 单调递增，因此有()()0m x m a <=，即()0g x '<，∴()g x 单调递减，∴函数()g x 在区间(0,)a 和(,)a +∞上单调递减，没有递增区间．。
人教版高中数学选择性必修2《函数的极值与最大(小)值》PPT课件
根据以上信息，我们画出f（x）的大致图象如图所示.
（3）方程（）＝（ ∈ ）的解的个数为函数＝（）的图象与直线＝的
交点个数.
1
由（1）及图可得，当＝ − 2时，（）有最小值（ − 2）＝− e2.
所以，关于方程（）＝（ ∈ ）的解的个数有如下结论：
1
当 < − e2时，解为0个；
结合上面两图以及函数极值中的例子，不难看出，只要把函数＝（）的所有极值连同
端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值.
在开区间（，）上函数的最值常见的有以下几种情况：
图（1）中的函数＝（）在（，）上有最大值而无最小值；
图（2）中的函数＝（）在（，）上有最小值而无最大值；
（2），（4），（6）是函数＝（）的极大值.
探究：进一步地，你能找出函数＝（）在区间［，］上的最小值、最大值吗？
从图中可以看出，函数＝（）在区间［，］上的最小值是（3 ），最大值是（）.
在下面两图中，观察［，］上的函数＝（）和＝（）的图象，它们在［，］上
当半径 < 2时， ′（） < 0，（）单调递减，即半径越大，利润越低.
（1）半径为6 cm时，利润最大.
（2）半径为2 cm时，利润最小，这时（2） < 0，表示此种瓶内饮料的利润还不
够瓶子的成本，此时利润是负值.
换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数（）的图象上观察，你
＝（）＝0.2 ×
4
3
π
3
−
3
2
0.8π ＝0.8π
3
− 2 ，0 < ≤ 6.
所以 ′（）＝0.8π（2 − 2）.
令 ′（）＝0，解得＝2.
当 ∈ （0，2）时， ′（） < 0；当 ∈ （2，6）时， ′（） > 0.
第十讲导数与函数的极值、最值解析版
第十讲：导数与函数的极值、最值【考点梳理】 1．极值点与极值 (1)极小值点与极小值若函数()y f x =在点x a =的函数值()f a 比它在点x a =附近其他点的函数值都小，()0f a '=，而且在点x a =附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，就把a 叫做函数()y f x =的极小值点，()f a 叫做函数()y f x =的极小值．(2)极大值点与极大值若函数()y f x =在点x b =的函数值()f b 比它在点x b =附近其他点的函数值都大，()0f b '=，而且在点x b =附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，就把b 叫做函数()y f x =的极大值点，()f b 叫做函数()y f x =的极大值．(3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值 ． 特别提醒： （1）0()0f x '=，x 不一定是极值点（2）只有0()0f x '=且x 两侧单调性不同 ，x 才是极值点.(3)求极值点，可以先求0()0f x '=的点，再列表判断单调性.2.求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求方程0()0f x '=的根（3）用方程0()0f x '=的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格（4）由()f x '在方程()0f x '=的根左右的符号，来判断()y f x =在这个根处取极值的情况若0()f x '左正右负，则0()f x 为极大值； 若 0()f x '左负右正，则0()f x 为极小值； 若 0()f x '左右同号，则0()f x 无极值。
3.最大值:一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤; （2）存在0x I∈，使得0()f x M=那么，称M 是函数()y f x =的最大值 4.最小值:一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足： （1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥; （2）存在0x I∈，使得0()f x m=那么，称m 是函数()y f x =的最小值 【典型题型讲解】考点一：求函数的极值与极值点【典例例题】例1.（2021·广东汕头·高三期末）已知函数()ln f x x =，2()1g x x x =-+. （1）求函数()()()h x f x g x =-的极值；（2）证明：有且只有两条直线与函数()f x ，()g x 的图象都相切. 【详解】（1）2()()()ln 1h x f x g x x x x =-=-+-的定义域为(0,)+∞，且2121(1)(21)()21x x x x h x x x x x -++-+'=-+==-， 当01x <<时，()0h x '>；当1x >时，()0h x '<， 所以()h x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以1x =是()h x 的极大值点，故()h x 的极大值为(1)1h =-，没有极小值.（2）设直线l 分别切()f x ，()g x 的图象于点()11,ln x x ，()2222,1x x x -+，由()ln f x x =可得1()f x x'=，得l 的方程为()1111ln y x x x x -=-， 即l ：111ln 1y x x x =⋅+-； 由2()1g x x x =-+可得()21g x x '=-，得l 的方程()()()22222121y x x x x x --+=--，即l ：()222211y x x x =--+.比较l 的方程，得21212121ln 11x x x x ⎧=-⎪⎨⎪-=-+⎩，消去2x ，得()211211ln 204x x x++-=.令22(1)()ln 24x F x x x +=+-（0x >），则3311(21)(1)()22x x x F x x x x ++-'=-=. 当01x <<时，()0F x '<；当1x >时，()0F x '>， 所以()F x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 所以min ()(1)10F x F ==-<. 因为()()()222222441e 1e e ln e 204e4eF ++=+-=>，所以()F x 在(1,)+∞上有一个零点；由2117()ln 244F x x x x =++-，得()24242e e 7e 4e 7e 2024424F ---=-++-=+>， 所以()F x 在(0,1)上有一个零点，所以()F x 在(0,)+∞上有两个零点， 故有且只有两条直线与函数()f x ，()g x 的图象都相切.例2.已知函数ln()()eln (e 2.71828ax f x x x=-=……自然对数底数）. (1)当e a =时，求函数f （x ）的单调区间； (2)当e a >时，（i ）证明：()f x 存在唯一的极值点： （ii ）证明：()(1)e f x a <- 【答案】 (1)21ln()e ()ax xf x x --'=，构建()1ln()e x ax x ϕ=--当e a =时，则()1ln(e )e x x x ϕ=--在()0,∞+上单调递减，且1()0eϕ=当10,e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭x 时，()0x ϕ>，当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0x ϕ<则函数()f x 的单调递增区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭(2)（i ）由（1）可知：当e a >时，()ϕx 在()0,∞+上单调递减11e ()1ln 0,()10e a a aϕϕ=-<=-> ∴()ϕx 在()0,∞+内存在唯一的零点011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭当()00,x x ∈时，()0x ϕ>，当()0,x x ∈+∞时，()0x ϕ< 则函数()f x 的单调递增区间为()00,x ，单调递减区间为()0,x +∞ ∴()f x 存在唯一的极值点0x （ii ）由（i ）可知：0000ln(())el (n )x f x f x x x a -≤=∴001ln()e 0ax x --=，即001e ln()x ax -=000000ln()e 1)e (ln eln x f x x x x x a ==---，且011,e x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ∴()el e 1n g x x x --=在11,e a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 则()1eln e g x g a a a ⎛⎫<=+- ⎪⎝⎭构建()()()e 1eln e x h x x x =-->，则()()e 1e 0x xh x -'-=>当e x >时恒成立则()h x 在()e,+∞上单调递增，则()()()e e 20e h x h ≥=-> 则()()e 1eln e e x x x x ->+->，即()1e eln e a a a ->+- ∴()(1)e f x a <-【方法技巧与总结】1．在求函数极值问题中，一定要检验方程()0f x '=根左右的符号，更要注意变号后极大值与极小值是否与已知有矛盾．2．原函数出现极值时，导函数正处于零点，归纳起来一句话：原极导零．这个零点必须穿越x 轴，否则不是极值点．判断口诀：从左往右找穿越（导函数与x 轴的交点）；上坡低头找极小，下坡抬头找极大． 【变式训练】1．（2022·广东汕头·一模）已知函数()()1e x f x x ax =--（R a ∈且a 为常数）.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若()ln e 1xf x x ≥-+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】 (1)解：函数()f x 的定义域为R ，则()e xf x x a '=-.令()e xg x x a =-，则()()1e x g x x +'=，由()0g x '=，可得=1x -，列表如下：所以，()()min 11eg x g a =-=--.∴当10e a --≥时，即当1a e≤-时，对任意的R x ∈，()0f x '≥且()f x '不恒为零，此时函数()f x 在R 上单调递增，则函数()f x 无极值点；∴当1a >-时，令()e xh x x =，则()()1e x h x x '=+，由()0h x '=，可得=1x -，列表如下：且当0x <时，()e 0x h x x =<；当0x >时，()e 0xh x x =>.作出函数()h x 与函数y a =的图象如下图所示：（i ）当10ea -<<时，直线y a =与函数()h x 的图象有两个交点，设这两个交点的横坐标分别为1x 、2x ，且12x x <，由图可知，当1x x <或2x x >时，()e 0x f x x a '=->；当12x x x <<时，()e 0xf x x a ='-<.此时，函数()f x 有2个极值点；（ii ）当0a ≥时，由图可知，直线y a =与函数()h x 的图象有一个交点，设其横坐标为0x ，且00x ≥，当0x x <时，()e 0x f x x a ='-<；当0x x >时，()e 0xf x x a '=->.此时函数()f x 只有1个极值点.综上所述，当1a e ≤-时，函数()f x 无极值点；当10ea -<<时，函数()f x 有2个极值点；当0a ≥时，函数()f x 只有1个极值点. (2)解：不等式()ln e 1xf x x ≥-+对任意的()0,x ∈+∞恒成立，等价于e ln 1x x x ax --≥对任意的()0,x ∈+∞恒成立，所以，ln 1e xx a x+≤-对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 令()ln 1e xx F x x +=-，其中()0,x ∈+∞，则()222ln e ln e x xx x x F x x x +'=+=，令()2e ln x x x x ϕ=+，其中()0,x ∈+∞，则()()212e 0xx x x xϕ'=++>对任意的()0,x ∈+∞恒成立， 所以，函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，因为12e 1e 10e ϕ-⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，()1e 0ϕ=>，故存在1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()2e ln 0tt t t ϕ=+=，当0x t <<时，()0F x '<，此时函数()F x 单调递减，当x t >时，()0F x '>，此时函数()F x 单调递增，所以，()()min ln 1e tt F x F t t+==-， 因为2e ln t t t =-，则ln ln e ln e tt t t t t -=-=-⋅，因为1,1e t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()ln 0,1t -∈， 因为函数()e xh x x =在()0,∞+上单调递增，由ln e ln e t t t t -=-⋅可得()()ln h t h t =-，故ln t t =-，可得1e tt=，所以，()()min ln 111e 1tt t F x F t t t t+-+==-=-=，故1a ≤. 2.函数()sin cos f x x x x =--．(1)求函数()f x 在(),2ππ-上的极值；(2)证明：()()ln F x f x x =-有两个零点． 【答案】(1)极大值，12π-；极小值，1-；(1)∴()sin cos f x x x x =--，∴()1cos sin 14f x x x x π⎛⎫=-+=+' ⎪⎝⎭，,2x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由()0f x '=，可得2x π=-，或0x =， ∴,2x ππ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，,02x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '<单调递减，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()()0,f x f x '>单调递增，∴2x π=-时，函数()f x 有极大值()122f ππ-=-，0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =-； (2)∴()()ln sin cos ln ,0F x f x x x x x x x =-=--->， ∴()1()1cos sin ,0h x F x x x x x'==-+->，∴()2211sin cos 4h x x x x x x π⎛⎫'=++=++ ⎪⎝⎭， 当30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,h x h x '>单调递增，即()F x '单调递增， 又42()10,()2042F F ππππ''=-<=->，故存在0,42x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，0()0F x '=，所以()()()00,,0,x x F x F x '∈<单调递减，()()()03,,0,4x x F x F xπ'∈<单调递增，∴30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()()()0min 11sin1cos10F x F x F =<=--<，2222(e )e sin e cos e 20F ----=--+>，333()ln 0444F πππ=->， 故30,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()ln F x f x x =-有两个零点，当37[,)44x ππ∈0,()sin cos ln ln ln 44x F x x x x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫+≤=---=+-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于函数()ln x x x ϕ=-，则()1110x x x xϕ-'=-=>，又()10ϕ=， ∴37[,)44x ππ∈，()()10x ϕϕ>=，即()0F x >，此时函数()()ln F x f x x =-没有零点，当7[,)4x π∈+∞时，()sin cos ln ln ln 4F x x x x x x x x x x π⎛⎫=---=+-≥ ⎪⎝⎭，由上可知77()ln 044F x ππ≥>，故当7[,)4x π∈+∞时，函数()()ln F x f x x =-没有零点，综上，函数()()ln F x f x x =-有两个零点．【典型题型讲解】考点二：根据极值、极值点求参数【典例例题】例1．（2022·广东广东·一模）已知函数()()2e x f x mx x =+，()2e ln 1x g x x ax a x =+++．（1）若函数()f x 在1x =处取得极大值，求实数m 的值；（2）当1m =时，若对0x ∀>，不等式()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的值．【详解】（1）因为()()2e x f x mx x =+，所以2(21)()x f x e mx x mx +++'=，因为()f x 在1x =处取极大值，所以()10f '=，所以()11210e m m +++=，所以23m =-当2m =-时，()()2311()xf x e x x '+--=，所以()f x 在1x =处取极大值，符合题意；（2）当1m =时， ()()2e x f x x x =+，()2e ln 1x g x x ax a x =+++．又因为对0x ∀>，不等式()()f x g x ≥，所以0x >时，()2e xx x +2ln 1x e x ax a x ≥+++，所以0x >时，()ln ln 1x xea x x +≥++，令ln t x x =+，因为()ln h x x x =+为()0,∞+上的增函数，且()h x 的值域为R ，所以t R ∈，故问题转化为“,10t t R e at ∀∈--≥恒成立”，不妨设()1t F t e at =--，所以()tF t e a '=-，当0a ≤时，()0t F t e a '=->，所以()F t 在R 上单调递增，且()0010F e =-=，所以当(),0t ∈-∞时，()()00F t F <=，这与题意不符； 当0a >时，令()0F t '=，解得ln x a =，当(),ln t a ∈-∞时，()0F t '<，()F t 单调递减，当()ln ,t a ∈+∞时，()0F t '>，()F t 单调递增，所以()()ln min ln ln 1ln 10aF t F a e a a a a a ==--=--≥，所以11ln 0a a --≥，所以1ln 10a a+-≤， 记()()211ln 1,a a a a a aϕϕ-'=+-=， 当()0,1a ∈时，()0a ϕ'<，()a ϕ单调递减，当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'>，()a ϕ单调递增， 所以()()min 10a ϕϕ==，又因为1ln 10a a+-≤，即()0a ϕ≤，所以1a =. 【方法技巧与总结】极值点是一个函数导数的零点问题，转化零点问题。
专题05 导数与函数的最值(讲义)
专题5 导数与函数的最值【重难点知识点网络】： 1．函数的最值与导数一般地，如果在区间[,]a b 上函数()y f x =的图象是一条________的曲线，那么它必有最大值与最小值． 2．求函数最值的步骤求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数()y f x =在(,)a b 内的________；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 【重难点题型突破】： 一、求函数的最值 求函数最值的步骤是：（1）求函数()y f x =在()a b ，内的极值；（2）将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．其中准确求出函数的极值是解题的关键．需注意：（1）要在定义域（给定区间）内列表；（2）极值不一定是最值，一定要将极值与区间端点值比较，必要时需进行分类讨论．例1．（1）（2021·江苏高三专题练习）（多选题）对于函数()2ln xf x x=，下列说法正确的是（ ）A ．()f x 在x =12eB ．()f x 有两个不同的零点C ．2f f f ⎛⎫<< ⎪⎪⎝⎭D ．若()21f x k x<-在(0,)+∞上恒成立，则2e k > 【答案】ACD 【分析】对()f x 求导，利用导函数的符号判断()f x 的单调性即可得极值，可判断选项A ；由()f x 的单调性以及函数值的符号可判断选项B ；利用()f x 得单调性以及函数值与0的关系可判断选项C ；分离k 可得()()222ln 11k f x g x x xx x ++>==，计算()g x 的最大值可判断选项D ，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：函数定义域为(0,)+∞，()312ln xf x x-'=，令()0f x '>可得0x <<，令()0f x '<可得x >()f x 在(单调递增，在)+∞单调递减，所以()f x 在x =12f e =，故选项A 正确对于选项B ：令()2ln 0xf x x ==，可得1x =，因此()f x 只有一个零点，故选项B 不正确；对于选项C ，()f x 在)+∞单调递减，可得0f f =>>，因为2ln 022f ⎛=<⎝⎭，即ff f <<，故选项C 正确；对于选项D ：由题意知：()222ln 11x k f x xx x +=+>在(0,)+∞上恒成立， 令()()22ln 10x g x x x x =+>则()max k g x > ，因为()312ln x g x x --'= 易知当x⎛∈ ⎝时.()0g x '>，当x ⎫∈+∞⎪⎭时，()'0g x <，所以()g x 在x =时取得极大值也是最大值2eg =，所以2e k >， 所以()21f x k x +<在(0,)x ∈+∞上恒成立，则2e k >，故选项D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：利用导数研究函数()f x 的极值的步骤： ①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<得到单调性； ③利用单调性判断极值点，代入解析式即可得极值.（2）（2021·江苏高二单元测试）函数xxy e =在[0，2]上的最大值是（ ） A ．1eB ．22eC ．0D【答案】A 【分析】先利用导数求出函数的单调区间，从而可求出函数的最大值 【详解】 解：由()x x f x e =，得'1()x x f x e-=， 当01x ≤<时，'()0f x >，当12x <≤时，'()0f x <， 所以()f x 在[0,1)上递增，在(1,2]上递减， 所以1()(1)max f x f e==， 故选：A（3）（2021·广东湛江市·高三一模）（多选题）已知函数f (x )=x 3-3ln x -1，则（ ） A ．f (x )的极大值为0 B ．曲线y =f (x )在（1，f (1))处的切线为x 轴 C ．f (x )的最小值为0 D ．f (x )在定义域内单调【答案】BC 【分析】直接对f (x )=x 3-3ln x -1，求出导函数，利用列表法可以验证A 、C 、D;对于B:直接求出切线方程进行验证即可. 【详解】f (x )=x 3-3ln x -1的定义域为()0+∞，，()()23333=1f x x x x x'=-- 令()()23333=1=0f x x x x x'=--，得1x =，列表得：所以f (x )的极小值，也是最小值为f (1)=0，无极大值，在定义域内不单调；故C 正确，A 、D 错误；对于B:由f (1)=0及()10f '=，所以y =f (x )在（1，f (1))处的切线方程()001y x -=-，即0y =.故B 正确. 故选：BC 【点睛】导数的应用主要有：（1）利用导函数几何意义求切线方程；（2）利用导数研究原函数的单调性，求极值（最值）； （3）利用导数求参数的取值范围.【变式训练1-1】、（2021·全国高二月考（理））函数3()6f x x =-+在[0,4]上的最大值与最小值之和为（ ） A ．-46 B ．-35 C ．6 D ．5【答案】B 【分析】由3()6f x x =+，求导31()x f x -'=()f x 的极大值，再由端点值(0)f ，(4)f 得到最值求解. 【详解】由3()6f x x =+得231()3x f x x -'=-=，由()0f x '=可得1x =，当(0,1)x ∈时，()0f x '>， 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<， 所以()f x 的极大值为(1)11f =， 又(0)6f =，(4)46f =-，所以()f x 的最大值为11，最小值为-46， 所以最大值与最小值之和为-35. 故选：B 【点睛】方法点睛：(1)求解函数的最值时，要先求函数y ＝f (x )在[a ，b ]内所有使f ′(x )＝0的点，再计算函数y ＝f (x )在区间内所有使f ′(x )＝0的点和区间端点处的函数值，最后比较即得．(2)已知函数的最值求参数，一般先用参数表示最值，列方程求解参数．【变式训练1-2】、（2021·河南驻马店市·高三期末（文））已知函数1ln ()e +=-x xf x x，则()f x 的最大值是（ ） A ．1- B ．2-C ．0D ．1e -【答案】A 【分析】构造函数()e 1=--xg x x 利用导数求出最小值，然后ln e (ln )1()1x x x x f x x+-+-=--可得答案.【详解】ln 1ln e e (ln )1()1(0)x x x x x x x f x x x x++--+-==-->，设()e 1=--x g x x ，()e 1x g x '=-，当0x >时，()0g x '>，()g x 是单调递增函数，当0x <时，()0g x '<，()g x 是单调递减函数，所以min ()(0)0g x g ==，因为ln 0x x +=时有解， 所以()()ln max e ln 11101x x x x f x x+-+-=--=--=-．故选：A. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的最值问题，关键点是构造函数()e 1=--x g x x 利用导数求出最小值，考查了学生分析问题、解决问题的能力.【变式训练1-3】、（2021·天津静海区·静海一中高二月考）函数()xxf x e =在区间[]0,3上的最大值为（ ） A ．0 B ．1eC ．22eD ．33e【答案】B 【分析】求出导数，求出函数的单调区间，根据单调性判定最值. 【详解】解：由题意可得()1x xf x e-'=当()0,1x ∈时，()0f x '>；当()1,3x ∈时，()0f x '< 所以函数在()0,1上单调递增，在()1,3上单调递减， 所以()max 1(1)f x f e== 故选：B. 【点睛】求函数区间上的最值的步骤：（1）求导数()'f x ，不要忘记函数()f x 的定义域； （2）求方程()0f x '=的根；（3）检查在方程的根的左右两侧()'f x 的符号，确定函数的极值.（4）求函数区间端点函数值，将区间端点函数值与极值比较，取最大的为最大值，最小的为最小值. 例2．（2021·全国高三其他模拟）已知函数()e xf x =，()lng x x =．（1）求函数()()()h x f x g x '=⋅的最小值（()g x '为函数()g x 的导函数）； （2）试判断曲线()y f x =与()y g x =公切线的条数． 【答案】（1）e ；（2）2条公切线． 【分析】（1）先求出函数()h x 及其定义域，再对函数()h x 求导，得到函数()h x 的单调区间，从而得最小值； （2）先分别设出两曲线与切线的切点坐标，用横坐标1x ，2x 表示切线斜率，且等于两切点连线的斜率，然后进行消元得到关于其中一个量（1x 或2x ）的函数，利用导数讨论该函数零点的个数即可得公切线的条数．．【详解】解：（1）()1g x x '=，函数()e xh x x=，定义域为()0,∞+，且()()2e 1x x h x x-'=，令()0h x '=得1x =． 当()0,1x ∈时，()0h x '<， 当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即函数()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 1e h x h ==．（2）设曲线e x y =与切线的切点横坐标为1x ，曲线ln y x =与切线的切点横坐标为()2122,0x x x x ≠>．因为()e e x x '=，()1ln x x'=，所以112212e ln 1e x x x x x x -==-． 由11221e ln xx x x =⇒=-， 将其代入12212e ln 1x x x x x -=-得222221ln 1ln x x x x x -=--， 整理得2222ln ln 10x x x x ---=．记20x x =>，令()ln ln 1r x x x x x =---， 则()1ln r x x x'=-，()r x '在()0,∞+上单调递增， 且()110r '=-<，()12ln 202r '=->， 所以()0r x '=在()1,2上有唯一的解，设为0x ，则函数()r x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()r x 有极小值． 又001ln x x =， 所以()00000ln ln 1r x x x x x =---0000111x x x x =⋅---0010x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭． 因为221310e e r ⎛⎫=->⎪⎝⎭，()22e e 30r =->， 所以()ln ln 10r x x x x x =---=有两个正数根，再由121e xx =，可得两个对应的1x 的值． 故曲线()y f x =与()y g x =有2条公切线．【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于把公切线的条数问题，转化为方程的零点的个数问题，对于零点个数的判定，利用了图象法，充分体现了数形结合的数学思想.【变式训练2-1】、（2021·全国高二课时练习）已知函数3()395f x x x =-+. （1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值. 【答案】（1）()1,1-；（2）最大值为59，最小值为49- 【分析】（1）求出()f x '，令()0f x '<，得到函数()f x 的单调递减区间； （2）求出函数在[]3,3-的单调性，根据极值和端点值，求得最值. 【详解】（1）()2999(1)(1)f x x x x =-+-'=，x ∈R令()0f x '<，得11x -<<，所以()f x 的减区间为()1,1-.（2）由（1），令()0f x '>，得1x <-或1x >知：[]3,1x ∈--，()f x 为增函数，[]1,1x ∈-，()f x 为减函数，[]1,3x ∈，()f x 为增函数.()349f -=-，()111f -=，()11f =-，()539f =.所以()f x 在区间[]3,3-上的最大值为59，最小值为49-. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和求函数的最值，属于基础题. 二、函数最值的应用由函数的最值确定参数的问题一般采用待定系数法，由已知条件列出含参数的方程或者方程组，从而求得参数的值．例3、（2021·辽宁高三二模（理））已知函数3()x f x e -=，1()ln 22xg x =+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ） A ．1ln2+ B ．ln 2 C ．2ln 2D ．ln21-【答案】D 【分析】令()()t f m g n ==，得到,m n 关于t 的函数式，进而可得n m -关于t 的函数式，构造函数利用导数研究单调性并确定最值，即可求n m -的最小值.【详解】令()()t f m g n ==，则3m e t -=，1ln 22nt +=， ∴3ln m t =+，122t n e-=，即1223ln t n m et --=--，若12()23ln t h t et -=--，则121()2(0)t h t et t-'=->， ∴()0h t '=，有12t =， 当102t <<时，()0h t '<，()h t 单调递减；当12t >时，()0h t '>，()h t 单调递增； ∴min 1()()ln 212h t h ==-，即n m -的最小值为ln21-. 故选：D.【点睛】关键点点睛：令()()t f m g n ==确定n m -关于t 的函数式，构造函数并利用导数求函数的最小值. 【变式训练3-1】、（2020·江苏省滨海中学高三月考）对任意的1(,)x m ∈-+∞，不等式21mx n e x m+-≥恒成立，则nm的最小值为______. 【答案】22e-【分析】根据不等式恒成立，构造2()(0)mx n f x e x m +=-≠，有2()21mx n f x me +'=-，利用二阶导数研究()'f x 单调性，再讨论0m <、0m >时()f x 的单调性，进而确定()f x 在1(,)x m∈-+∞上的最小值及对应m 、n 的关系式，将n m 与所得关系式转化为直线与曲线相切的问题，求nm的最小值即可. 【详解】令2()(0)mx n f x e x m +=-≠，则2()21mx n f x me +'=-，即22()40mx n f x m e +''=>， ∴()'f x 单调递增，∴当0m <时，()0f x '<，即()f x 在1(,)x m∈-+∞上递减，而当x →+∞时，()f x →-∞，故不满足1()f x m≥； 当0m >时，若()0f x '=得212mx n e m +=，即ln(2)2n m x m+=-， ∴ln(2)2n m x m +<-时，()0f x '<，即()f x 递减；当ln(2)2n m x m+>-时，()0f x '>，即()f x 递增；若令n k m =，即n m k=，则：①当1ln(2)2n m m m +->-，即ln(2)2n m +>，2min 111()()n f x f e m m m-=-=+>恒成立； ∴22ne m ->情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线2()2n e g n -=相切，而2()2n e g n -'=-，∴01()g n k '=时，0022022n n n e e ---=，有01n =-，302e m =，则0302n m e =-； 当1ln(2)2n m m m +-≤-，即ln(2)2n m +≤，min ln(2)1ln(2)1()()22n m n m f x f m m m+++=-=≥，得ln(2)1n m +≥，∴1222n n e e m --≤≤情况下n m 最小，即直线n m k =与曲线1()2n e g n -=相切，而1()2ne g n -'=-， ∴01()g n k '=时，0011022n n n e e ---=，有01n =-，202e m =，则0202n m e =-； ∴综上：2322e e-<-，即nm 的最小值为22e -. 故答案为：22e-. 【点睛】关键点点睛：根据不等式恒成立，利用导数、分类讨论的方法判断()f x 单调性，并构造函数结合导数确定目标代数式中参数的关系，由所得条件中代数式的几何含义求最小值 例4．（2021·全国高三月考（文））已知函数()()331xf x x e x =-+．（1）求函数()f x 在[]0,2上的最值； （2）求证：当0k ≥时，关于x 的方程()2332f x kx +=仅有1个实数解． 【答案】（1）最小值为3-，最大值为238e +；（2）证明见解析． 【分析】（1）求出()()3x f x x e x '=+，再令()x m x e x =+利用()m x 的单调性得可得()0f x '≥，判断出()f x 在[]0,2上单调性，可得答案；（2）转化为()()3211132x g x x e x kx =-+-+，分12k >、102k ≤<两种情况，再利用导数可得函数()g x 的单调性可得答案. 【详解】（1）依题意，()()2333xxf x xe x x e x '=+=+，令()xm x e x =+，则()10xm x e '=+>，故()m x 在[]0,2上单调递增，故()()01m x m ≥=； 故()0f x '≥，即函数()f x 在[]0,2上单调递增，故函数()f x 在[]0,2上的最小值为()03f =-，最大值为()2238f e =+；（2）依题意，()3233132x x e x kx -++=，则()32111032x x e x kx -+-+=， 令()()3211132x g x x e x kx =-+-+，则()()222x xg x xe x kx x e x k '=+-=+-；当12k =时，()()21x xg x xe x x x e x '=+-=+-，当0x ≥时，1110x e x x +-≥+-≥ ，所以()()10xg x x e x '=+-≥，当0x <时，所以01x e <<，10x e -<，10x e x +-<，即()()10xg x x e x '=+->，综上()()10x g x x e x '=+-≥，故函数()g x 在R 上单调递增； 因为()10102g =-+<，()1103g =>，故12k =时，()f x 恰有1个零点；当12k >时，令()2xh x e x k =+-，则()h x 在R 上单调递增， 因为()0120h k =-<，()kh k e k =-，令()10kh k e '=->，得0k >，()h k 单调递增，令()10kh k e '=-<，得0k <，单调递减，所以()()min 01h k h ≥=，所以()0k h k e k =->，故存在唯一实数()10,x k ∈，使得()10h x =，即()10g x '=，故()g x 在(),0-∞上单调递增，在()10,x 上单调递减，在()1,x +∞上单调递增， 因为()()110102g x g <=-+<，()()()()()323311133133310322k k g k k e k k k k e =-+⋅-⋅+=-+>，故当12k >时，函数()g x 恰有1个零点；当102k ≤<时，()2xh x e x k =+-在R 上单调递增；因为()0120h k =->，()11120h k e-=--<， 所以存在唯一实数()21,0x ∈-，使得()20h x =，即()20g x '=，所以()g x 在()2,x -∞上单调递增，在()2,0x 上单调递减，在()0,∞+上单调递增； 因为()10102g =-+<，()111032g k =-+>， 所以当()0,x ∈+∞时，函数()g x 只有1个零点， 当(),0x ∈-∞时，()()()2322222max11132x g x g x x e x kx ⎡⎤⎣==⎦-+-+，由()20g x '=得222x e x k +=，故()()()22232322222222211111132322x x x e x g x x e x kx x e x x +=-+-+=-+-⋅+()2222321221132x x x e x ⎡⎤=--+⎢⎥⎣+⎦-；令()()2312213x t x x x e x =-++-，()1,0x ∈-； 因为()()210xt x xe'=+>，故()t x 在()1,0-上单调递增； 因为()()515411033t e e x t >-=--=->，故()20g x <， 故当(),0x ∈-∞时，函数()f x 无零点；故当102k ≤<时，函数()g x 恰有1个零点． 综上所述，当0k ≥时，关于x 的方程()2332f x kx +=仅有1个实数解．【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质，解决零点问题的关键一方面是利用零点存在性定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用导数研究函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可，考查了分析问题、解决问题的能力．【变式训练4-1】、（2020·咸阳市高新一中高三月考（理））已知函数()e cos x f x x x =-． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)1y =；（Ⅱ）最大值1；最小值2π-. 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切线方程公式000yf f x 中即可；（Ⅱ）设()()h x f x ='，求()h x '，根据()0h x '<确定函数()h x 的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h =，从而可以知道()()0h x f x '=<恒成立，所以函数()f x 是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()e cos x f x x x =-，所以()()()e cos sin 1,00xf x x x f -''=-=.又因为()01f =，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. （Ⅱ）设()()e cos sin 1xh x x x =--，则()()e cos sin sin cos 2e sin x x h x x x x x x =--=-'-.当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.所以对任意π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦有()()00h x h <=，即()0f x '<. 所以函数()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减.因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()01f =，最小值为22f ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比较有特点的是需要两次求导数，因为通过()f x '不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()h x f x ='，再求()h x '，一般这时就可求得函数()h x '的零点，或是()0h x '>(()0h x '<)恒成立，这样就能知道函数()h x 的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()y f x =的单调性，最后求得结果. 三、恒成立问题利用函数的最值解决不等式恒成立问题是函数最值的重要应用．要使不等式()f x a <在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最大值max ()f x ，只要max ()x a f >，则上面的不等式恒成立．同理，要使不等式()f x a >在区间[]m n ，上恒成立，可先在区间[]m n ，上求出函数的最小值min ()f x ，只要min ()x f a >，则不等式()f x a >恒成立．例5（2021·湖北高三月考）已知不等式2(2ln )(1)10ax x x a x ⎡⎤--++≥⎣⎦对任意0x >恒成立，则实数a 的取值范围是___________. 【答案】1,12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】设()2ln f x ax x =-，()()211g x x a x =-++，对实数a 的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()f x 的单调性与最值，根据已知条件列出关于实数a 的不等式（组），综合可求得实数a 的取值范围. 【详解】设()2ln f x ax x =-，()()211g x x a x =-++，其中0x >，则()1212ax f x a x x-=-='， ①当0a ≤时，()0f x '<对任意的0x >恒成立，此时，函数()f x 在()0,∞+上单调递减， 当1≥x 时，()()120f x f a ≤=≤，对于函数()()211g x x a x =-++，该函数的对称轴为直线1122a x +=≤， 函数()g x 在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，当1≥x 时，()()110g x g a ≥=->， 所以，当1≥x 时，()()0f x g x ≤，不符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，可得1x =，列表如下：所以，()min 111ln 1ln 222f x f a a a ⎛⎫==-=+⎪⎝⎭. （i ）当11ln 20f a a ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭时，即当102a e <<时，2110a g a a -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，则110f g a a ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，不符合题意；（ii ）当11ln 20f a a ⎛⎫=+≥⎪⎝⎭时，即当12a e ≥时，则2110a g a a-⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，此时1a ≤，即112a e ≤≤.对于函数()()211g x x a x =-++，()()()214130a a a ∆=+-=-+≤， 所以，当0x >时，()0f x ≥，()0g x ≥，则()()0f x g x ≥对任意的0x >恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是1,12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：1,12e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1）x D ∀∈，()()min m f x m f x ≤⇔≤； （2）x D ∀∈，()()max m f x m f x ≥⇔≥； （3）x D ∃∈，()()max m f x m f x ≤⇔≤； （4）x D ∃∈，()()min m f x m f x ≥⇔≥.【变式训练5-1】、（2021·浙江高三其他模拟）已知a ∈R ，()2ln 10x x ax x a --+≤在1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，则实数a 的取值范围为______． 【答案】1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【分析】题中告诉了1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，并且出现lnx ，故需要对x 的范围加以考虑.本题解法一是根据当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥，当(]1,2x ∈时()0f x ≤，并利用二次函数的图象和性质得到()10,220,ff ⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩.解法二也可以是对21ax x a --+分解因式，采用分离参数的办法来解决．【详解】解法一：当1x =时，ln 0x =，对任意的实数a ，原不等式恒成立，当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，ln 0x <，当(]1,2x ∈时，ln 0x >，令()21f x ax x a =--+，则()10f =，且当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()0f x ≥，当(]1,2x ∈时，()0f x ≤，所以()10,220,f f⎧⎛⎫≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤⎩即1110,424210,a a a a ⎧--+≥⎪⎨⎪--+≤⎩解得13a ≤．综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．解法二易知()()2111ax x a x ax a --+=-+-，所以不等式()2ln 10x x ax x a --+≤，即()()11ln 0x x ax a x -+-≤．当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，0x >，10x -<，ln 0x <，所以10ax a +-≤，即11a x ≤+，又112,123x ⎛⎤∈ ⎥+⎝⎦，所以12a ≤；当1x =时，ln 0x =，对任意的实数a ，原不等式恒成立；当(]1,2x ∈时，0x >，10x ->，ln 0x >，所以10ax a +-≤，即11a x ≤+，又111,132x ⎡⎫∈⎪⎢+⎣⎭，所以13a ≤．综上，实数a 的取值范围为1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故答案为：1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【点睛】本题考查了定义域的分类讨论、二次函数在给定区间上的最值问题，以及分解因式，分离参数等数学方法，着重强调逻辑思维能力、综合应用能力．例6．（2020·哈尔滨市·黑龙江实验中学高三开学考试（文））已知函数()x x b e f x a =++的图像在点(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=. （1）求()f x 的表达式；（2）当0x >时，2()1f x x mx ≥++恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）()x f x e x =+；（2）(,e 1]m ∈-∞-. 【解析】 【分析】(1)根据题干和导数的几何意义得到()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，从而得到解析式；（2）原式等价于e 11x m x x x ≤--+，令()e 11x h x x x x=--+，对函数求导得到函数的单调性，进而得到最值. 【详解】（1）()e xf x a '=+，()012f a ='+=，解得1a =，()011f b =+=，解得0b =，所以()xf x e x =+.（2）当0x >时，21x e x x mx +≥++，即e 11x m x x x≤--+.令()e 11(0)x h x x x x x=--+>，则()()22e 11x x x h x x'--+=()()21e 1x x x x ---=.令()e 1(0)xx x x ϕ=-->，()e 10xx ϕ='->， 当()0,x ∈+∞时，()x ϕ单调递增，()()00x ϕϕ>=， 则当()0,1x ∈时，即()0h x '<，所以()h x 单调递减； 当()1,x ∈+∞时，即()0h x '>，所以()h x 单调递增， 综上，()()min 11h x h e ==-，所以(],e 1m ∈-∞-. 【点睛】对于函数恒成立或者有解求参的问题，常用方法有：变量分离，参变分离，转化为函数最值问题；或者直接求函数最值，使得函数最值大于或者小于0；或者分离成两个函数，使得一个函数恒大于或小于另一个函数。
导数与函数的极值和最值考点及题型
第三节导数与函数的极值、最值❖基础知识1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值.①函数f(x)在x0处有极值的必要不充分条件是f′(x0)＝0，极值点是f′(x)＝0的根，但f′(x)＝0的根不都是极值点(例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点).②极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质.极值点是函数在区间内部的点，不会是端点.2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．❖常用结论(1)若函数f(x)的图象连续不断，则f(x)在[a，b]上一定有最值．(2)若函数f(x)在[a，b]上是单调函数，则f(x)一定在区间端点处取得最值．(3)若函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点．考点一利用导数解决函数的极值问题考法(一)利用导数求函数的极值或极值点[典例](2018·天津高考改编)设函数f(x)＝(x－t1)·(x－t2)(x－t3)，其中t1，t2，t3∈R，且t1，t2，t3是公差为d的等差数列．(1)若t2＝0，d＝1，求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若d ＝3，求f (x )的极小值点及极大值．[解] (1)由已知，可得f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＝x 3－x ，故f ′(x )＝3x 2－1.因此f (0)＝0，f ′(0)＝－1.因此曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)(x －0)，故所求切线方程为x ＋y ＝0. (2)由已知可得f (x )＝(x －t 2＋3)(x －t 2)(x －t 2－3) ＝(x －t 2)3－9(x －t 2)＝x 3－3t 2x 2＋(3t 22－9)x －t 32＋9t 2.故f ′(x )＝3x 2－6t 2x ＋3t 22－9.令f ′(x )＝0，解得x ＝t 2－3或x ＝t 2＋ 3. 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：[解题技法] 求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f ′(x )，不要忘记函数f (x )的定义域； (2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f ′(x )的符号，确定极值点或函数的极值． 考法(二) 已知函数极值点或极值求参数的值或范围[典例] (2018·北京高考节选)设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．[解] 由f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，得f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ＝(ax －1)(x －1)e x . 若a >1，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，1时，f ′(x )<0； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0,1)时，ax －1≤x －1<0， 所以f ′(x )>0.所以1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．[解题技法]已知函数极值点或极值求参数的2个要领[题组训练]1．设函数f (x )＝2x＋ln x ，则( )A ．x ＝12为f (x )的极大值点B ．x ＝12为f (x )的极小值点C ．x ＝2为f (x )的极大值点D ．x ＝2为f (x )的极小值点解析：选D ∵f (x )＝2x＋ln x (x >0)，∴f ′(x )＝－2x 2＋1x ，令f ′(x )＝0，则x ＝2.当0<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 所以x ＝2为f (x )的极小值点．2．(2019·广州高中综合测试)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处的极值为10，则数对(a ，b )为( )A ．(－3,3)B ．(－11,4)C ．(4，－11)D ．(－3,3)或(4，－11)解析：选Cf ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝0，f (1)＝10，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝0，1＋a ＋b ＋a 2＝10，消去b 可得a 2－a －12＝0，解得a ＝－3或a ＝4，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝－11.当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2－6x ＋3＝3(x－1)2≥0，这时f (x )无极值，不合题意，舍去，故选C.3．设函数f (x )＝ax 3－2x 2＋x ＋c (a >0)．(1)当a ＝1，且函数f (x )的图象过点(0,1)时，求函数f (x )的极小值； (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1.(1)函数f (x )的图象过点(0,1)时，有f (0)＝c ＝1.当a ＝1时，f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋1，f ′(x )＝3x 2－4x ＋1， 由f ′(x )>0，解得x <13或x >1；由f ′(x )<0，解得13<x <1.所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，13和(1，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫13，1上单调递减， 所以函数f (x )的极小值是f (1)＝13－2×12＋1＋1＝1. (2)若f (x )在(－∞，＋∞)上无极值点， 则f (x )在(－∞，＋∞)上是单调函数，即f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0或f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≤0恒成立． 因为a >0，所以f ′(x )＝3ax 2－4x ＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 则有Δ＝(－4)2－4×3a ×1≤0，即16－12a ≤0，解得a ≥43.故a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫43，＋∞. 考点二 利用导数解决函数的最值问题[典例] (2017·北京高考)已知函数f (x )＝e x cos x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程； (2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． [解] (1)因为f (x )＝e x cos x －x ，所以f ′(x )＝e x (cos x －sin x )－1，f ′(0)＝0. 又因为f (0)＝1，所以曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. (2)设h (x )＝e x (cos x －sin x )－1，则h ′(x )＝e x (cos x －sin x －sin x －cos x )＝－2e x sin x . 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，h ′(x )＜0， 所以h (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 所以对任意x ∈⎝⎛⎦⎤0，π2，有h (x )＜h (0)＝0， 即f ′(x )＜0.所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递减． 因此f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值为f (0)＝1， 最小值为f ⎝⎛⎭⎫π2＝－π2.[解题技法]导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f (x )的导数f ′(x )；(2)求f (x )在给定区间上的单调性和极值； (3)求f (x )在给定区间上的端点值；(4)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进行比较，确定f (x )的最大值与最小值； (5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范． [题组训练]1.(2018·珠海摸底)如图，将一张16 cm ×10 cm 的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则这个纸盒的最大容积是________ cm 3.解析：设剪下的四个小正方形的边长为x cm ，则经过折叠以后，糊成的长方体纸盒是一个底面是长为(16－2x ) cm ，宽为(10－2x ) cm 的长方形，其面积为(16－2x )(10－2x )cm 2，长方体纸盒的高为x cm ，则体积V ＝(16－2x )(10－2x )×x ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)cm 3，所以V ′＝12(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －203，由V ′>0，得0<x <2，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(0,2)上单调递增；由V ′<0，得2<x <5，则函数V ＝4x 3－52x 2＋160x (0<x <5)在(2,5)上单调递减，所以当x ＝2时，V max ＝144(cm 3)． 答案：1442．已知函数f (x )＝ln x －a x.(1)若a >0，试判断f (x )在定义域内的单调性； (2)若f (x )在[1，e]上的最小值为32，求实数a 的值．解：(1)由题意得f (x )的定义域是(0，＋∞)，且f ′(x )＝x ＋ax 2， 因为a >0，所以f ′(x )>0， 故f (x )在(0，＋∞)上单调递增． (2)由(1)可得f ′(x )＝x ＋ax 2，因为x ∈[1，e]，①若a ≥－1，则x ＋a ≥0，即f ′(x )≥0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递增， 所以f (x )min ＝f (1)＝－a ＝32，所以a ＝－32(舍去)．②若a ≤－e ，则x ＋a ≤0，即f ′(x )≤0在[1，e]上恒成立， 此时f (x )在[1，e]上单调递减， 所以f (x )min ＝f (e)＝1－a e ＝32，所以a ＝－e2(舍去)．③若－e<a <－1，令f ′(x )＝0，得x ＝－a ， 当1<x <－a 时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(1，－a )上单调递减； 当－a <x <e 时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(－a ，e)上单调递增，所以f (x )min ＝f (－a )＝ln(－a )＋1＝32，所以a ＝－ e.综上，a ＝－ e.[课时跟踪检测]A 级1．(2019·辽宁鞍山一中模拟)已知函数f (x )＝x 3－3x －1，在区间[－3,2]上的最大值为M ，最小值为N ，则M －N ＝( )A ．20B ．18C ．3D ．0解析：选A ∵f ′(x )＝3x 2－3＝3(x －1)(x ＋1)，∴f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上单调递增，在(－1,1)上单调递减，又∵f (－3)＝－19，f (－1)＝1，f (1)＝－3，f (2)＝1，∴M ＝1，N ＝－19，M －N ＝1－(－19)＝20.2．(2018·梅州期末)函数y ＝f (x )的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是( )A ．(－1,3)为函数y ＝f (x )的单调递增区间B ．(3,5)为函数y ＝f (x )的单调递减区间C ．函数y ＝f (x )在x ＝0处取得极大值D ．函数y ＝f (x )在x ＝5处取得极小值解析：选C 由函数y ＝f (x )的导函数的图象可知，当x <－1或3<x <5时，f ′(x )<0，y ＝f (x )单调递减；当x >5或－1<x <3时，f ′(x )>0，y ＝f (x )单调递增．所以函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3,5)，单调递增区间为(－1,3)，(5，＋∞)．函数y ＝f (x )在x ＝－1,5处取得极小值，在x ＝3处取得极大值，故选项C 错误．3．(2019·湖北襄阳四校联考)函数f (x )＝12x 2＋x ln x －3x 的极值点一定在区间( )A ．(0,1)内B ．(1,2)内C ．(2,3)内D ．(3,4)内解析：选B 函数的极值点即导函数的零点，f ′(x )＝x ＋ln x ＋1－3＝x ＋ln x －2，则f ′(1)＝－1<0，f ′(2)＝ln 2>0，由零点存在性定理得f ′(x )的零点在(1,2)内，故选B.4．已知函数f (x )＝x 3＋3x 2－9x ＋1，若f (x )在区间[k,2]上的最大值为28，则实数k 的取值范围为( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－3，＋∞) C ．(－∞，－3)D ．(－∞，－3]解析：选D 由题意知f ′(x )＝3x 2＋6x －9，令f ′(x )＝0，解得x ＝1或x ＝－3，所以f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：5．(2019·皖南八校联考)已知函数f (x )＝－13x 3＋bx 2＋cx ＋bc 在x ＝1处有极值－43，则b ＝( )A ．－1B ．1C ．1或－1D ．－1或3解析：选A f ′(x )＝－x 2＋2bx ＋c ，因为f (x )在x ＝1处有极值－43，所以⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝－1＋2b ＋c ＝0，f (1)＝－13＋b ＋c ＋bc ＝－43，Δ＝4b 2＋4c >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，c ＝3，故选A.6．设直线x ＝t 与函数h (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D 由已知条件可得|MN |＝t 2－ln t ，设f (t )＝t 2－ln t (t >0)，则f ′(t )＝2t －1t ，令f ′(t )＝0，得t ＝22， 当0<t <22时，f ′(t )<0；当t ＞22时，f ′(t )＞0. ∴当t ＝22时，f (t )取得最小值，即|MN |取得最小值时t ＝22. 7．(2019·江西阶段性检测)已知函数y ＝ax －1x2在x ＝－1处取得极值，则a ＝________.解析：因为y ′＝a ＋2x 3，所以当x ＝－1时，a －2＝0，所以a ＝2，经验证，可得函数y ＝2x －1x 2在x ＝－1处取得极值，因此a ＝2. 答案：28．f (x )＝2x ＋1x 2＋2的极小值为________．解析：f ′(x )＝2(x 2＋2)－2x (2x ＋1)(x 2＋2)2＝－2(x ＋2)(x －1)(x 2＋2)2.令f ′(x )<0，得x <－2或x >1； 令f ′(x )>0，得－2<x <1.∴f (x )在(－∞，－2)，(1，＋∞)上是减函数，在(－2,1)上是增函数， ∴f (x )极小值＝f (－2)＝－12.答案：－129．若商品的年利润y (万元)与年产量x (百万件)的函数关系式为y ＝－x 3＋27x ＋123(x >0)，则获得最大利润时的年产量为________百万件． 解析：y ′＝－3x 2＋27＝－3(x ＋3)(x －3)，当0<x <3时，y ′>0；当x >3时，y ′<0. 故当x ＝3时，该商品的年利润最大． 答案：310．已知函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3bx ＋c 在x ＝2处有极值，其图象在x ＝1处的切线平行于直线6x ＋2y ＋5＝0，则f (x )的极大值与极小值之差为________． 解析：因为f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(2)＝3×22＋6a ×2＋3b ＝0，f ′(1)＝3×12＋6a ＋3b ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0.所以y ′＝3x 2－6x ，令3x 2－6x ＝0，得x ＝0或x ＝2. 当x <0或x >2时，y ′>0；当0<x <2时，y ′<0.故当x ＝0时，f (x )取得极大值，当x ＝2时，f (x )取得极小值， 所以f (x )极大值－f (x )极小值＝f (0)－f (2)＝4. 答案：411．设函数f (x )＝a ln xx＋b (a ，b ∈R )，已知曲线y ＝f (x )在点(1,0)处的切线方程为y ＝x －1.(1)求实数a ，b 的值； (2)求f (x )的最大值．解：(1)因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a (1－ln x )x 2.所以f ′(1)＝a ，又因为切线斜率为1，所以a ＝1. 由曲线y ＝f (x )过点(1,0)，得f (1)＝b ＝0. 故a ＝1，b ＝0.(2)由(1)知f (x )＝ln xx ，f ′(x )＝1－ln x x 2.令f ′(x )＝0，得x ＝e.当0<x <e 时，有f ′(x )>0，得f (x )在(0，e)上是增函数； 当x >e 时，有f ′(x )<0，得f (x )在(e ，＋∞)上是减函数． 故f (x )在x ＝e 处取得最大值f (e)＝1e .12．已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )．(1)当a ＝12时，求f (x )的极值；(2)讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝ln x －12x ，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －12＝2－x2x.令f ′(x )＝0，得x ＝2，于是当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：故f (x )(2)由(1)知，函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x(x >0)．当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，此时函数f (x )在定义域上无极值点； 当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝1a .当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数f (x )在x ＝1a处有极大值．综上所述，当a ≤0时，函数f (x )无极值点； 当a >0时，函数f (x )有一个极大值点．B 级1．已知函数f (x )＝x 3－3ax ＋b 的单调递减区间为(－1,1)，其极小值为2，则f (x )的极大值是________． 解析：因为f (x )的单调递减区间为(－1,1)，所以a >0.由f ′(x )＝3x 2－3a ＝3(x －a )(x ＋a )，可得a ＝1， 由f (x )＝x 3－3x ＋b 在x ＝1处取得极小值2， 可得1－3＋b ＝2，故b ＝4.所以f (x )＝x 3－3x ＋4的极大值为f (－1)＝(－1)3－3×(－1)＋4＝6. 答案：62．(2019·“超级全能生”高考全国卷26省联考)已知函数f (x )＝t 3x 3－32x 2＋2x ＋t 在区间(0，＋∞)上既有极大值又有极小值，则t 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝tx 2－3x ＋2，由题意可得f ′(x )＝0在(0，＋∞)上有两个不等实根，即tx 2－3x ＋2＝0在(0，＋∞)有两个不等实根，所以⎩⎪⎨⎪⎧t ≠0，3t >0，2t >0，Δ＝9－8t >0，解得0<t <98.答案：⎝⎛⎭⎫0，98 3．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)．(1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．贾老师数学解：由题意，知函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x －1x 2＝ax －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0，解得x >1a， 所以函数f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞； 由f ′(x )<0，解得0<x <1a， 所以函数f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ，无极大值． (2)不存在实数a 满足条件．由(1)可知，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减； 当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①若0<1a≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件a ≥1.②若1<1a <e ，即1e<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎭⎫1，1a 上为减函数，在⎝⎛⎦⎤1a ，e 上为增函数， 故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝⎛⎭⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，故不满足条件1e<a <1. ③若1a ≥e ，即0<a ≤1e 时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e＝a ＋1e＝0， 即a ＝－1e ，故不满足条件0<a ≤1e. 综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。