2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题8 第2讲 不等式选讲
第二讲不等式选讲高考考点考点解读不等式的证明与不等式的性质相结合，考查综合法在比较大小中的应用
绝对值不等式的解法1.求解绝对值不等式的解集2．与集合、概率等内容相结合命题3．与不等式的恒成立相结合考查求解参数的取值范围备考策略本部分内容在备考时应注意以下几个方面：不等式选讲也是高考必考内容，重点考查绝对值不等式的解法、不等式的证明及求参数取值范围问题．题型多为解答题，难度为中档．
Z知识整合hishizhenghe
1．绝对值不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c(c>0)⇔－c≤ax＋b≤c.②|ax＋b|≥c(c>0)⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(2)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用绝对值不等式几何意义求解，体现数形结合思想．②利用“零点分段法”求解，体现分类讨论思想．③通过构建函数，利用函数图象求解，体现函数与方程思想．3．证明不等式的基本方法(1)比较法；(2)综合法；(3)分析法；(4)反证法；(5)放缩法．4．二维形式的柯西不等式若a，b，c，d∈R，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
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1．应用绝对值不等式性质求函数的最值时，一定要注意等号成立的条件．特别是多次使用不等式时，必须使等号同时成立．2．利用基本不等式证明要注意“一正、二定、三相等”三个条件同时成立，缺一不可．3．在去掉绝对值符号进行分类时要做到不重不漏.1．(2018·全国卷Ⅰ，23)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．
[解析](1)当a＝1时，f(x)＝|x＋1|－|x－1|，即f(x)＝－2，x≤－1，2x，－1＜x＜1，2，x≥1.
结合函数图象可知，不等式f(x)＞1的解集为x|x＞12.
(2)当x∈(0,1)时|x＋1|－|ax－1|＞x成立等价于当x∈(0,1)时|ax－1|＜1成立．若a≤0，则当x∈(0,1)时|ax－1|≥1；若a＞0，|ax－1|＜1的解集为0＜x＜2a，
所以2a≥1，故0＜a≤2.综上，a的取值范围为(0,2]．2．(2018·全国卷Ⅱ，23)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集．(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．
[解析](1)当a＝1时，f(x)＝2x＋4，x≤－1，2，－1＜x<2，－2x＋6，x≥2.可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.
而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2，所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．3．(2018·全国卷Ⅲ，23)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．[解析](1)f(x)＝－3x，x<－12，x＋2，－12≤x<1，
3x，x≥1.
y＝f(x)的图象如图所示．
(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)成立，因此a＋b的最小值为5.4．(2018·江苏卷，21D)若x，y，z为实数，且x＋2y＋2z＝6，求x2＋y2＋z2
的最小值．
[解析]由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2)(12＋22＋22)≥(x＋2y＋2z)2.
因为x＋2y＋2z＝6，所以x2＋y2＋z2≥4，当且仅当x1＝y2＝z2时，不等式取等号，此时x＝23，y＝43，z＝43，所以x2＋y2＋z2的最小值为4.5．(2017·全国卷Ⅰ，23)已知函数f(x)＝－x2
＋ax＋4，g(x)＝|x＋1|＋|x－1|.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，求a的取值范围．[解析](1)当a＝1时，不等式f(x)≥g(x)等价于x2
－x＋|x＋1|＋|x－1|－4≤0.
当x<－1时，①式化为x2－3x－4≤0，无解；当－1≤x≤1时，①式化为x2－x－2≤0，从而－1≤x≤1；当x>1时，①式化为x2＋x－4≤0，
从而1－1＋172.
所以f(x)≥g(x)的解集为{x|－1≤x≤－1＋172}．
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，所以f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]等价于当x∈[－1,1]时，f(x)≥2.又f(x)在[－1,1]的最小值必为f(－1)与f(1)之一，所以f(－1)≥2且f(1)≥2，得－1≤a≤1.所以a的取值范围为[－1,1]．
命题方向1绝对值不等式的解法例1(2018·昆明一模)已知函数f(x)＝|x＋a|＋|x－2|的定义域为实数集R.(1)当a＝5时，解关于x的不等式f(x)>9.(2)设关于x的不等式f(x)≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}，如果A∪B＝A，求实数a的取值范围．[解析](1)当a＝5时，关于x的不等式f(x)>9，即|x＋5|＋|x－2|>9，
故有x<－5，－x－5＋2－x>9①；
或－5≤x≤2，x＋5＋2－x>9②；或x>2，x＋5＋x－2>9③.解①求得x<－6；解②求得x∈∅，解③求得x>3.综上可得，原不等式的解集为{x|x<－6或x>3}．(2)设关于x的不等式f(x)＝|x＋a|＋|x－2|≤|x－4|的解集为A，B＝{x∈R||2x－1|≤3}＝{x|－1≤x≤2}，如果A∪B＝A，则B⊆A，
所以|－1＋a|＋3≤|－1－4|，|2＋a|＋0≤|2－4|，
即－1≤a≤3，－4≤a≤0，求得－1≤a≤0，故实数a的范围为[－1,0]．『规律总结』1．用零点分段法解绝对值不等式的步骤(1)求零点；(2)划区间，去绝对值符号；(3)分别解去掉绝对值符号的不等式(组)；(4)取每个结果的并集，注意在分段讨论时不要遗漏区间的端点值．2．图象法求解不等式用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
G跟踪训练enzongxunlian
(2016·全国卷Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(Ⅰ)画出y＝f(x)的图像；(Ⅱ)求不等式|f(x)|﹥1的解集．[解析](Ⅰ)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－132，
－x＋4，x>32，y＝f(x)的图像如图所示．
(Ⅱ)由f(x)的表达式及图像知，当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5.故f(x)>1的解集为{x|1f(x)<－1的解集为{x|x<13或x>5}．
所以|f(x)|>1的解集为{x|x<13或15}．命题方向2不等式的证明例2设a>0，b>0，且a＋b＝1a＋
1
b.
证明：(1)a＋b≥2；(2)a2＋a<2与b2
＋b<2不可能同时成立．
[证明]由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a>0，b>0.
得ab＝1.(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2.(2)假设a2＋a<2与b2
＋b<2同时成立，
则由a2＋a<2及a>0，得0同理，0故a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．『规律总结』本题主要考查了不等式的证明与反证法等知识点，属于中档题，第一小问需将条件中的式子作等价变形，再利用基本不等式即可求解；第二小问从问题不可能同时成立，可以考虑采用反证法证明，否定结论，从而推出矛盾，反证法作为一个相对冷门的数学方法，在后续复习时亦应予以关注．
G跟踪训练enzongxunlian
(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－12|＋|x＋12|，M为不等式f(x)<2的解集．(1)求M.(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b|<|1＋ab|.
[解析](1)当x<－12时，f(x)＝12－x－x－12＝－2x<2，解得－12；
当－12≤x≤12时，f(x)＝12－x＋x＋12＝1<2恒成立；当x>12时，f(x)＝2x<2，解得12
综上可得，M＝{x|－1(2)当a，b∈(－1,1)时，有(a2－1)(b2
－1)>0，
即a2b2＋1>a2＋b2，则a2b2＋2ab＋1>a2＋2ab＋b2，则(ab＋1)2>(a＋b)2，即|a＋b|<|ab＋1|.
命题方向3绝对值不等式恒成立存在问题例3(2018·汉中二模)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|，(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3.(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．[解析](1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3有|x－1|＋|x＋1|≥3，据绝对值几何意义求解．|x－1|＋|x＋1|≥3几何意义是数轴上表示实数x的点距离实数1，－1表示的点距离之和不小3，
由于数轴上数－32左侧的点与数32右侧的点与数－1与1的距离之和不小于3，
所以所求不等式解集为(－∞，－32]∪[32，＋∞)．(2)由绝对值的几何意义知，数轴上到1的距离与到a的距离之和大于等于2恒成立，则1与a之间的距离必大于等于2，从而有a∈(－∞，－1]∪[3，＋∞)．『规律总结』
高三资料专题08 解析几何-2020年高考数学(理)二轮专项复习
专题08 解析几何平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．§8－1 直角坐标系【知识要点】1．数轴上的基本公式设数轴的原点为O ，A ，B 为数轴上任意两点，OB ＝x 2，OA ＝x 1，称x 2－x 1叫做向量的坐标或数量，即数量AB ＝x 2－x 1；数轴上两点A ，B 的距离公式是d (A ，B )＝|AB ｜＝|x 2－x 1|．2．平面直角坐标系中的基本公式设A ，B 为直角坐标平面上任意两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点之间的距离公式是.)()(||),.(212212y y x x AB B A d -+-==A ，B 两点的中点M (x ，y )的坐标公式是⋅+=+=2,22121y y y x x x 3．空间直角坐标系 在空间直角坐标系O －xyz 中，若A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，A ，B 两点之间的距离公式是.)()()(||),(212212212z z y y x x AB B A d -+-+-==【复习要求】1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．【例题分析】例1 解下列方程或不等式：(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，图8－1－1所以，原方程的解为x＝4或x＝2．(2)与(1)类似，如图8－1－2，图8－1－2则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：P A2＋PC2＝PB2＋PD2．解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．图8－1－3设AB ＝a ，AD ＝b ，则 A (0，0)，B (a ，0)，C (a ，b )，D (0，b )，设P (x ，y )， 则22222222))()(()(b y a x y x PC PA -+-++=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2， 22222222))(())((b y x y a x PD PB -+++-=+＝x 2＋y 2＋(x －a )2＋(y －b )2，所以P A 2＋PC 2＝PB 2＋PD 2．【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．例3 已知空间直角坐标系中有两点A (1，2，－1)，B (2，0，2)．(1)求A ，B 两点的距离；(2)在x 轴上求一点P ，使｜P A |＝｜PB |；(3)设M 为xOy 平面内的一点，若|MA ｜＝｜MB ｜，求M 点的轨迹方程．解：(1)由两点间的距离公式，得.14)21()02()21(||222=--+-+-=AB(2)设P (a ，0，0)为x 轴上任一点，由题意得222)10()20()1(++-+-a，即a 2－2a ＋6＝a 2－4a ＋8，解得a ＝1，所以P (1，0，0)．40)2(2++-=a(3)设M (x ，y ，0)，则有整理可得x －2y －1＝0．所以，M 点的轨迹方程为x －2y －1＝0． 【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．练习8－1一、选择题1．数轴上三点A ，B ，C 的坐标分别为3，－1，－5，则AC ＋CB 等于( )A ．－4B ．4C ．－12D ．122．若数轴上有两点A (x )，B (x 2)(其中x ∈R )，则向量的数量的最小值为( )A ．B ．0C ．D ． 3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz 平面的对称点是( )A ．(1，－2，－3)B ．(1，2，3)C ．(－1，－2，3)D ．(－1，2，3)4．已知平面直角坐标内有三点A (－2，5)，B (1，－4)，P (x ，y )，且｜AP |＝｜BP |，则实数x ，y 满足的方程为( )A ．x ＋3y －2＝0B ．x －3y ＋2＝0C ．x ＋3y ＋2＝0D ．x －3y －2＝0二、填空题5．方程｜x ＋2｜＝3的解是______；不等式｜x ＋3｜≥2的解为______．6．点A (2，3)关于点B (－4，1)的对称点为______．7．方程｜x ＋2｜－｜x －3｜＝4的解为______．8．如图8－1－4，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，|DA |＝3，|DC ｜＝4，|DD 1|＝2，A 1C 的中点为M ，则点B 1的坐标是______，点M 的坐标是______，M 关于点B 1的对称点为______． ,4)0()2()10()2()1(22222+-+-=++-+-y x y x AB 214141-图8－1－4三、解答题9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|P A|＋｜PB｜的最小值．§8－2 直线的方程【知识要点】1．直线方程的概念如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程．．．．．．．．．．．，这条直线叫做这个方程的直线2．直线的倾斜角和斜率x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．．．．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角α 的取值范围是0°≤α ＜180°．我们把直线y ＝kx ＋b 中的系数k 叫做这条直线的斜率．．．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直线y ＝kx ＋b 上任意两点，其中x 1≠x 2，则斜率 倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为α 的直线的斜率k ＝tan α (α ≠90°)．3．直线方程的几种形式点斜式：y －y 1＝k (x －x 1)；斜截式：y ＝kx ＋b ；两点式：一般式：Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)．4．两条直线相交、平行与重合的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则(1)l 1与l 2相交A 1B 2－A 2B 1≠0或 (2)l 1与l 2平行(3)l 1与l 2重合 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，截距分别为b 1，b 2，则l 1与l 2相交k 1≠k 2；l 1∥l 2k 1＝k 2，b 1≠b 2；l 1与l 2重合k 1＝k 2，b 1＝b 2．5．两条直线垂直的条件设直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1⊥l 2A 1A 2＋B 1 B 2＝0． 当直线l 1与l 2的斜率存在时，设斜率分别为k 1，k 2，则l 1⊥l 2k 1k 2＝－1．⋅--=1212x x yy k );,(2121121121y y x x x x x x y y y y =/=/--=--⇔)0(222121=/=/B A B B A A ⇔⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=/=/=≠-≠-=-).0(;00,0222212121211221211221C B A C C B B A A C A C A B C C B B A B A 或或而⇔⎪⎩⎪⎨⎧=/==≠===).0();0(,,222212*********C B A C C B B A A C C B B A A 或λλλλ⇔⇔⇔⇔⇔6．点到直线的距离点P (x 1，y 1)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d 的计算公式【复习要求】1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．【例题分析】例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；(2)设A (2，3)，B (－3，2)，C (－1，－1)，过点C 且斜率为k 的直线l 与线段AB 相交，则斜率k 的取值范围为______．略解：(1)直线可以化简为 所以此直线的斜率为，倾斜角 (2)如图8－2－1，设直线AC 的倾斜角为α ，图8－2－1因为此直线的斜率为，所以 设直线BC 的倾斜角为β ，因为此直线的斜率为 ⋅+++=2211||B A C By Ax d 082=-+y x 082=-+y x ，22822+-=x y 22-;22tan arc π-=α341213=++=AC k ;34tan =α,231312-=+-+=BC k所以 因为直线l 与线段AB 相交，所以直线l 的倾斜角θ 满足α ≤θ ≤β ，由正切函数图象，得tan θ ≥tan α 或tan θ≤tan β，故l 斜率k 的取值范围为．【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：①已知直线的倾斜角α，当α≠90°时，k ＝tan α； ②已知直线上两点的坐标(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，当x 1≠x 2时，k ＝； ③已知直线的方程Ax ＋By ＋C ＝0，当B ≠0时，k ＝． (2)已知直线的斜率k 求倾斜角α 时，要注意当k >0时，α ＝arctan k ；当k <0时，α ＝π－arctan |k |．例2 根据下列条件求直线方程：(1)过点A (2，3)，且在两坐标轴上截距相等；(2)过点P (－2，1)，且点Q (－1，－2)到直线的距离为1．解：(1)设所求直线方程为y －3＝k (x －2)，或x ＝2(舍)，令y ＝0，得x ＝2－(k ≠0)；令x ＝0，得y ＝3－2k ， 由题意，得2－＝3－2k ，解得k ＝或k ＝－1， 所以，所求直线方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0；(2)设所求直线方程为y －1＝k (x ＋2)或x ＝－2，当直线为y －1＝k (x ＋2)，即kx —y ＋(2k ＋1)＝0时，由点Q (－1，－2)到直线的距离为1，得＝1，解得， ⋅-=23tan β]23,[],34[-∞+∞∈ k 1212x x y y --BA -k3k 3231|122|2++++-k k k 34-=k所以，直线，即4x ＋3y ＋5＝0符合题意； 当直线为x ＝－2时，检验知其符合题意．所以，所求直线方程为4x ＋3y ＋5＝0或x ＝－2．【评析】求直线方程，应从条件出发，合理选择直线方程的形式，并注意每种形式的适应条件．特别地，在解题过程中要注意“无斜率”，“零截距”的情况．例3 已知直线l 1：(m －2)x ＋(m ＋2)y ＋1＝0，l 2：(m 2－4)x —my －3＝0，(1)若l 1∥l 2，求实数m 的值；(2)若l 1⊥l 2，求实数m 的值．解法一：(1)因为l 1∥l 2，所以(m －2)(－m )＝(m ＋2)(m 2－4)，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，验证知两直线不重合，所以m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)因为l 1⊥l 2，所以(m －2)(m 2－4)＋(－m )(m ＋2)＝0，解得m ＝－2或m ＝1或m ＝4．解法二：当l 1斜率不存在，即m ＝－2时，代入直线方程，知l 1⊥l 2；当l 2斜率不存在，即m ＝0时，代入直线方程，知l 1与l 2既不平行又不垂直； 当l 1，l 2斜率存在，即m ≠0，m ≠－2时，可求l 1，l 2，如的斜率分别为k 1＝－，k 2＝，截距b 1＝－，b 2＝， 若l 1∥l 2，由k 1＝k 2，b 1≠b 2，解得m ＝2或m ＝－1或m ＝－4，若l 1⊥l 2，由k 1k 2＝－1，解得m ＝1或m ＝4综上，(1)当m ＝2或m ＝－1或m ＝－4时，l 1∥l 2；(2)当m ＝－2或m ＝1或m ＝4时，l 1⊥l 2．【评析】两条直线平行与垂直的充要条件有几个，但各有利弊．简洁的(如解法一)相互之间易混淆，好记的要注意使用条件(如解法二，易丢“无斜率”的情况)，解题过程中要注03534=---y x 22－+m m m m 42-21+m m3-意正确使用．例4 已知直线l 过两直线l 1：3x －y －1＝0与l 2：x ＋y －3＝0的交点，且点A (3，3)和B (5，2)到l 的距离相等，求直线l 的方程．【分析】所求直线l 有两种情况：一是l 与AB 平行；二是点A ，B 在l 的两侧，此时l 过线段AB 的中点．解：解方程组得交点(1，2)，由题意，当①l 与AB 平行；或②l 过A ，B 的中点时．可以使得点A ，B 到l 的距离相等． ①当l ∥AB 时，因为，此时，即x ＋2y －5＝0； ②当l 过AB 的中点时，因为AB 的中点坐标为所以 即l ：x －6y ＋11＝0．综上，所求的直线l 的方程为x ＋2y －5＝0或l ：x －6y ＋11＝0．例5 已知直线l 1：y ＝kx ＋2k 与l 2：x ＋y ＝5的交点在第一象限，求实数k 的取值范围． 解法一：解方程组，得交点 由题意，得，解得 解法二：如图8－2－2，由l 1：y ＝k (x ＋2)，知l 1过定点P (－2，0)，⎩⎨⎧=-+=--03013y x y x 215323-=--=AB k )1(212:--=-x y l ),25,4(M ,1412252:--=--x y l ⎩⎨⎧=++=52y x k kx y ),1255,125(+--+-k k k k ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+-->+-012550125k k k k ⋅<<250k图8－2－2由l 2：x ＋y ＝5，知l 2坐标轴相交于点A (0，5)，B (5，0)，因为 由题意，得 【评析】在例4，例5中，要充分利用平面几何知识解决问题，体会数形结合的思想与方法；要会联立两个曲线(直线)的方程，解方程得到曲线的交点，体会方程思想．例6 如图8－2－3，过点P (4，4)的直线l 与直线l 1：y ＝4x 相交于点A (在第一象限)，与x 轴正半轴相交于点B ，求△ABO 面积的最小值．图8－2－3解：设B (a ，0)，则 将y ＝4x 代入直线l 的方程，得点A 的坐标为 则△ABO 的面积 所以当a ＝6时，△ABO 的面积S 取到最小值24．练习8－2一、选择题1．若直线l 的倾斜角的正弦为，则l 的斜率k 是( ) ,0,252005==+-=BP AP k k ⋅<<250k ),4(4044:---=-x a y l ),3)(34,3(>--a a a a a ,121)611(3234212+--=-⨯⨯=a a a a S 53A ．B ．C ．或D ．或 2．点P (a ＋b ，ab )在第二象限内，则bx ＋ay －ab ＝0直线不经过的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“”是“直线(m ＋2)x ＋3my ＋1＝0与直线(m －2)x ＋(m ＋2)y －3＝0相互垂直”的( )A ．充分必要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件 4．若直线与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则l 的倾角的取值范围( )A ．B ．C ．D ． 二、填空题5．已知两条直线l 1：ax ＋3y －3＝0，l 2：4x ＋6y －1＝0，若l 1∥l 2，则a ＝_______．6．已知点A (3，0)，B (0，4)，则过点B 且与A 的距离为3的直线方程为_______．7．若点P (3，4)，Q (a ，b )关于直线x －y －1＝0对称，则a ＋2b ＝_______．8．若三点A (2，2)，B (a ，0)，C (0，b )，(ab ≠0)共线，则的值等于_______． 三、解答题9．已知点P 在直线2x ＋3y －2＝0上，点A (1，3)，B (－1，－5)．(1)求｜P A ｜的最小值；(2)若|P A |＝|PB |，求点P 坐标．10．若直线l 夹在两条直线l 1：x －3y ＋10＝0与l 2：2x ＋y －8＝0之间的线段恰好被点P (0，1)平分，求直线l 的方程． 43-4343-433434-21=m 3:-=kx y l )3π,6π[)2π,3π()2π,6π(]2π,6π[ba 11+211．已知点P到两个定点M(－1，0)、N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．§8－3 简单的线性规划问题【知识要点】1．二元一次不等式(组)所表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面区域中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(开半平面)，且不含边界线．不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域包括边界线(闭半平面)．(2)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是指各个不等式组所表示的平面区域的公共部分．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧任取一点，一般地取特殊点(x0，y0)，从Ax0＋By0＋C的正(或负)来判断Ax＋By＋C＞0(或Ax＋By＋C＜0)所表示的区域．当C≠0时，常把原点(0，0)作为特殊点．(4)也可以利用如下结论判断区域在直线哪一侧：①y＞kx＋b表示直线上方的半平面区域；y＜kx＋b表示直线下方的半平面区域．②当B＞0时，Ax＋By＋C＞0表示直线上方区域，Ax＋By＋C＜0表示直线下方区域．2．简单线性规划(1)基本概念目标函数：关于x，y的要求最大值或最小值的函数，如z＝x＋y，z＝x2＋y2等．约束条件：目标函数中的变量所满足的不等式组．线性目标函数：目标函数是关于变量的一次函数．线性约束条件：约束条件是关于变量的一次不等式(或等式)．线性规划问题：在线性约束条件下，求线性目标函数的最大值或最小值问题．最优解：使目标函数达到最大值或最小值的点的坐标，称为问题的最优解．可行解：满足线性约束条件的解(x ，y )叫可行解．可行域：由所有可行解组成的集合叫可行域．(2)用图解法解决线性规划问题的一般步骤：①分析并将已知数据列出表格；②确定线性约束条件；③确定线性目标函数；④画出可行域；⑤利用线性目标函数，求出最优解；⑥实际问题需要整数解时，应适当调整确定最优解．【复习要求】1．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．2．能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．【例题分析】例1 (1)若点(3，1)在直线3x －2y ＋a ＝0的上方，则实数a 的取值范围是______；(2)若点(3，1)和(－4，6)在直线3x －2y ＋a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围是______． 解：(1)将直线化为 由题意，得，解得a ＜－7． (2)由题意，将两点代入直线方程的左侧所得符号相反，则(3×3－2＋a )[3×(－4)－12＋a ]＜0，即(a ＋7)(a －24)＜0，所以，实数a 的取值范围是(－7，24)．例2 (1)如图8－3－1，写出能表示图中阴影部分的不等式组；,223a x y +=23231a +⨯>图8－3－1(2)如果函数y ＝ax 2＋bx ＋a 的图象与x 轴有两个交点，试在aOb 坐标平面内画出点(a ，b )表示的平面区域．略解：(1) (2)由题意，得b 2－4a 2＞0，即(2a ＋b )(2a －b )＜0，所以或，点(a ，b )表示的平面区域如图8－3－2．图8－3－2【评析】除了掌握二元一次不等式表示平面区域外，还应关注给定平面区域如何用不等式表示这个逆问题．例3 已知x ，y 满足求：(1)z 1＝x ＋y 的最大值；(2)z 2＝x －y 的最大值；(3)z 3＝x 2＋y 2的最小值；，02210⎪⎩⎪⎨⎧≥+-->≤y x y x ⎩⎨⎧<->+0202b a b a ⎩⎨⎧>-<+0202b a ba ⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+.033,042,022y x y x y x(4)的取值范围(x ≠1)． 略解：如图8－3－3，作出已知不等式组表示的平面区域．图8－3－3易求得M (2，3)，A (1，0)，B (0，2)．(1)作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z 1有最大值5；(2)作直线x －y ＝0，通过平移，知在A 点，z 2有最大值1；(3)作圆x 2＋y 2＝r 2，显然当圆与直线2x ＋y －2＝0相切时，r 2有最小值，即z 3有最小值 (4)可看作(1，0)与(x ，y )两点连线的斜率，所以z 4的取值范围是(－∞，－2]∪[3，＋∞)．【评析】对于非线性目标函数在线性约束条件下的最值问题，要充分挖掘其目标函数z 的几何意义．z 的几何意义常见的有：直线的截距、斜率、圆的半径等．例4 某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件则z ＝10x ＋10y 的最大值是( )(A)80 (B)85 (C)90 (D)95略解：由题意，根据已知不等式组及可得到点(x ，y )的可行域．14-=x yz 2)52(;541-x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x ⎩⎨⎧≥≥00y x如图8－3－4．图8－3－4作直线x ＋y ＝0，通过平移，知在M 点，z ＝10x ＋10y 有最大值，易得 又由题意，知x ，y ∈N ，作适当调整，知可行域内点(5，4)可使z 取最大值，所以，z max ＝10×5＋10×4＝90，选C ．【评析】实际问题中，要关注是否需要整数解．例5 某工厂用两种不同原料生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本1500元，运费400元，可得产品100千克．今预算每日原料总成本不得超过6000元，运费不得超过2000元，问此工厂每日采用甲、乙两种原料各多少千克，才能使产品的日产量最大?解：设此工厂每日需甲种原料x 吨，乙种原料y 吨，则可得产品z ＝90x ＋100y (千克)．由题意，得上述不等式组表示的平面区域如图8－3－5所示，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－5作直线l ：90x ＋100y ＝0，并作平行于直线l的一组直线与可行域相交，其中有一条直),29,211(M ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≤+.0,0,2045,1232.0,0，2000400500，600015001000y x y x y x y x y x yx线经过可行域上的M 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里M 点是直线2x ＋3y ＝12和5x ＋4y ＝20的交点，容易解得M ，此时z 取到最大值 答：当每天提供甲原料吨，乙原料吨时，每日最多可生产440千克产品． 例6 设函数f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域；(2)试利用(1)所得的区域，求f (－2)的取值范围．解：(1)∵f (－1)＝a －b ，f (1)＝a ＋b ，∴即如图8－3－6，在平面直角坐标系aOb 中，作出满足上述不等式组的区域，阴影部分(含边界)即为可行域．图8－3－6(2)目标函数f (－2)＝4a －2b ．在平面直角坐标系aOb 中，作直线l ：4a －2b ＝0，并作平行于直线l 的一组直线与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的B 点，且与直线l 的距离最大，此时目标函数达到最大值．这里B 点是直线a －b ＝2和a ＋b ＝4的交点，容易解得B (3，1)，此时f (－2)取到最大值4×3－2×1＝10．)720,712(71290⨯.440720100=⨯+712720⎩⎨⎧≤+≤≤-≤.42,21b a b a ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+≤-≥-.4,2,2,1b a b a b a ba同理，其中有一条直线经过可行域上的C 点，此时目标函数达到最小值．这里C 点是直线a －b ＝1和a ＋b ＝2的交点，容易解得 此时f (－2)取到最小值 所以5≤f (－2)≤10． 【评析】线性规划知识是解决“与二元一次不等式组有关的最值(或范围)问题”的常见方法之一．练习8－3一、选择题1．原点(0，0)和点(1，1)在直线x ＋y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围是 ( )A ．a ＜0或a ＞2B ．a ＝0或a ＝2C ．0＜a ＜2D ．0≤a ≤22．若x ≥0，y ≥0，且x ＋y ≤1，则z ＝x －y 的最大值是( )A ．－1B ．1C ．2D ．－23．已知x 和y 是正整数，且满足约束条件则z ＝2x ＋3y 的最小值是( )A ．24B ．14C ．13D ．11.54．根据程序设定，机器人在平面上能完成下列动作：先从原点O 沿正东偏北α 方向行走－段时间后，再向正北方向行走一段时间，但α 的大小以及何时改变方向不定．如图8－3－7．假定机器人行走速度为10米/分钟，设机器人行走2分钟时的可能落点区域为S ，则S 可以用不等式组表示为( )图8－3－7),21,23(C .5212234=⨯-⨯⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-≤+.72,2,10x y x y x )2π0(≤≤αA ．B ．C ．D ．二、填空题 5．在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域的面积是______．6．若实数x 、y 满足，则的取值范围是______． 7．点P (x ，y )在直线4x ＋3y ＝0上，且满足－14≤x －y ≤7，则点P 到坐标原点距离的取值范围是______．8．若当实数x ，y 满足时，z ＝x ＋3y 的最小值为－6，则实数a 等于______．三、解答题9．如果点P 在平面区域内，点Q (2，2)，求|PQ |的最小值．10．制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100％和50％()，可能的最大亏损率分别为30％和10％( ⎩⎨⎧≤≤≤≤200200y x ⎩⎨⎧≥+≤+2040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+0040022y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+202020y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-+20202x y x y x ⎪⎩⎪⎨⎧≤>≤+-2001x x y x x y ⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-a x y x y x 005⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-+≥+-0102022y x y x y x %100⨯=投资额盈利额盈利率投资额亏损额亏损率=)，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投多少万元，才能使可能的盈利最大?11．设a ，b ∈R ，且b (a ＋b ＋1)＜0，b (a ＋b －1)＜0．(1)在平面直角坐标系aOb 中，画出点(a ，b )所表示的区域； (2)试利用(1)所得的区域，指出a 的取值范围．§8－4 圆的方程【知识要点】1．圆的方程(1)标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，其中点(a ，b )为圆心，r 为半径． (2)一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)，其中圆心为，半径为2．点和圆的位置关系设圆的半径为r ，点到圆的圆心距离为d ，则 d ＞r 点在圆外； d ＝r 点在圆上； d ＜r 点在圆内． 3．直线与圆的位置关系(1)代数法：联立直线与圆的方程，解方程组，消去字母y ，得关于x 的一元二次方程，则%100⨯)2,2(ED --21.422F E D -+⇔⇔⇔＞0方程组有两解直线和圆相交； ＝0方程组有一解直线和圆相切；＜0方程组无解直线和圆相离．(2)几何法(重点)：计算圆心到直线的距离d ，设圆的半径为r ，则 d ＜r 直线和圆相交； d ＝r 直线和圆相切； d ＞r 直线和圆相离． 4．圆与圆的位置关系设两圆的半径分别为R ，r (R ≥r )，两圆的圆心距为d (d ＞0)，则 d ＞R ＋r 两圆相离； d ＝R ＋r 两圆外切； R －r ＜d ＜R ＋r 两圆相交； d ＝R －r 两圆内切； d ＜R －r 两圆内含． 【复习要求】1．掌握圆的标准方程与一般方程，能根据条件，求出圆的方程．2．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系，解决一些简单问题． 【例题分析】例1根据下列条件，求圆的方程： (1)一条直径的端点是A (3，2)，B (－4，1)；(2)经过两点A (1，－1)和B (－1，1)，且圆心在直线x ＋y －2＝0上； (3)经过两点A (4，2)和B (－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2．【分析】求圆的方程，可以用待定系数法．若已知条件与圆心、半径有关，则设圆的标准方程，如第(2)问．若已知条件与圆心、半径关系不大，则设圆的一般方程，如第(3)问．∆⇔⇔∆⇔⇔∆⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔解：(1)由题意圆心为AB 的中点M ，即， 因为所以圆的半径所以，所求圆的方程为 (2)方法一：设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r ＞0)，则，解得所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4．方法二：由圆的几何性质可知，圆心一定在弦AB 的垂直平分线上．易得AB 的垂直平分线为y ＝x ．由题意，解方程组，得圆心C 为(1，1)，于是，半径r ＝｜AC |＝2，所以，所求圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4． (3)设所求圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 因为圆过点A ，B ，所以 4D ＋2E ＋F ＋20＝0，① －D ＋3E ＋F ＋10＝0，②在圆的方程中，令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0， 设圆在x 轴上的截距为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－D ． 在圆的方程中，令x ＝0，得y 2＋Ey ＋F ＝0， 设圆在y 轴上的截距为y 1，y 2，则y 1＋y 2＝－E ．)212,243(+-)23,21(-M ,50)12()43(||22=-++=AB ⋅==250||21AB r ⋅=-++225)23()21(22y x ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+--=--+-=-+222222)1()1()1()1(02r b a r b a b a ⎪⎩⎪⎨⎧===2,11r b a ⎩⎨⎧=-+=02y x xy由题意，得－D ＋(－E )＝2，③解①②③，得D ＝－2，E ＝0，F ＝－12， 所以，所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －12＝0．【评析】①以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为一直径端点的圆的方程是(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0．②求圆的方程时，要注意挖掘题中圆的几何意义(如第(2)问)；③待定系数法求圆的方程时，要恰当选择的圆的方程(如第(3)问)，这样有时能大大减少运算量．例2 (1)点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)上，求过点P 的圆的切线方程；(2)若点P (a ，b )在圆C ：x 2＋y 2＝r 2(r ＞0)内，判断直线ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系． 解：(1)方法一：因为切线l 与半径OP 垂直，又可求出直线OP 的斜率，所以可得切线l 的斜率，再由点斜式得到切线方程．但要注意斜率是否存在(详细过程略)．方法二：设Q (x ，y )为所求切线上任一点，则，即(x －a ，y －b )·(a ，b )＝0． 整理得ax ＋by ＝a 2＋b 2，又因为P 在圆上，所以a 2＋b 2＝r 2， 故所求的切线方程为ax ＋by ＝r 2． (2)由已知，得a 2＋b 2＜r 2，则圆心O (0，0)到直线ax ＋by ＝r 2的距离所以此直线与圆C 相离．【评析】随着点P (a ，b )与圆C ：x 2＋y 2＝r 2的位置关系的变化，直线l ：ax ＋by ＝r 2与圆C 的位置关系也在变化．①当点P 在圆C 上时，直线l 与圆C 相切；②当点P 在圆C 内时，直线l 与圆C 相离；③当点P 在圆外时，直线l 与圆C 相交．例3 已知点A (a ，3)，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝4． (1)设a ＝3，求过点A 且与圆C 相切的直线方程；(2)设a ＝4，直线l 过点A 且被圆C 截得的弦长为2，求直线l 的方程；(3)设a ＝2，直线l 1过点A ，求l 1被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时l 1的方程． 解：(1)如图8－4－1，此时A (3，3)，0=⋅.||22222r rr ba r d =>+=3图8－4－1设切线为y －3＝k (x －3)或x ＝3， 验证知x ＝3符合题意；当切线为y －3＝k (x －3)，即kx －y －3k ＋3＝0时，圆心(1，2)到切线的距离解得所以，切线方程为3x ＋4y －21＝0或x ＝3． (2)如图8－4－2，此时A (4，3)，图8－4－2设直线l 为y －3＝k (x －4)或x ＝4(舍)， 设弦PQ 的中点为M ，则｜CP |＝r ＝2，所以，即圆心到直线l 的距离为1，,21|332|2=++--=k k k d ,43-=k ,3||=PM ,1||||||22=-=PM CP CM于是，解得k ＝0或， 所以，直线l 的方程为或y ＝3． (3)如图8－4－3，此时A (2，3)，设所截得的线段为DE ，圆心到直线l 1的距离为d ，图8－4－3则，即 因为直线l 1过点A ，所以圆心到直线l 1的距离为d ≤|CA｜＝故当d ＝时，， 此时AC ⊥l 1，因为 所以＝－1，故直线l 1方程为y －3＝－(x －2)，即x ＋y －5＝0．【评析】(1)用点斜式设直线方程时，要注意斜率是否存在；(2)涉及直线与圆的位置关系问题时，用与圆有关的几何意义解题较为方便，常见的有：①比较圆心到直线的距离与半径的大小；②如图8－4－2，在由弦心距、半径及弦组成的Rt △CMP 中，有｜CM |2＋｜MP |2＝｜CP ｜2，CM ⊥MP 等；③如图8－4－1，由切线段、半径组成的Rt △AB C ．例4 已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求证：不论m 取何值，直线l 与圆C 恒交于两点．11|342|2=++--=k k k d 43x y 43=222|)|21(r d DE =+,42||2d DE -=,2222||min =DE ,11223=--=AC k 1l k【分析】要证明直线l 与圆C 恒交于两点，可以用圆心到直线的距离小于半径，也可以联立直线和圆的方程，消去y 后用判别式大于零去证明，但此题这两种方法计算量都很大．如果能说明直线l 恒过圆内一定点，那么直线l 与圆C 显然有两个交点．解：因为直线l ：mx ＋y ＋m ＝0可化为y ＝－m (x ＋1)， 所以直线l 恒过点A (－1，0)，又圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25的圆心为(1，2)，半径为5， 且点A 到圆C 的圆心的距离等于 所以点A 为圆C 内一点，则直线l 恒过圆内一点A ， 所以直线l 与圆C 恒交于两点．例5 四边形ABCD 的顶点A (4，3)，B (0，5)，C (－3，－4)，D O 为坐标原点． (1)此四边形是否有外接圆，若有，求出外接圆的方程，若没有，请说明理由； (2)记△ABC 的外接圆为W ，过W 上的点E (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)作圆W 的切线l ，设l 与x 轴、y 轴的正半轴分别交于点P 、Q ，求△OPQ 面积的最小值．【分析】判断四点是否共圆，初中的方法是证明一组对角之和为180°，此题此法不易做．如何用所学知识解决问题是此题的关键，如果想到三点共圆，那么可以求出过三点的圆的方程，然后再判断第四点是否在圆上，问题就迎刃而解．解：(1)设△ABC 的外接圆为W ，圆心M (a ，b )，半径为r (r ＞0)． 则W 为：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2．由题意，得，解得，所以W ：x 2＋y 2＝25． 将点D 的坐标代入W 的方程，适合． 所以点D 在△ABC 的外接圆W 上，故四边形ABCD 有外接圆，且外接圆的方程为x 2＋y 2＝25． (2)设切线l 的斜率为k ，直线ME (即OE )的斜率为k 1，,522)2()11(22<=-+--).1,62(⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=--+--=-+-=-+-222222222)4()3()5()0()3()4(r b a r b a r b a ⎪⎩⎪⎨⎧===500r b a∵圆的切线l 垂直于过切点的半径，∴∴切线，整理得而，∵点E (x 0，y 0)在圆W 上，即，∴切线l ：x 0x ＋y 0y ＝25．在l 的方程中，令x ＝0，得，同理 ∴△OPQ 的面积 ∵，(其中x 0＞0，y 0＞0)∴当且仅当时，等号成立． 即当时，△OPQ 的面积有最小值25． 练习8－4一、选择题1．以点(2，－1)为圆心且与直线3x －4y ＋5＝0相切的圆的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝3 B ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝92．圆x 2＋y 2－4x ＋4y ＋6＝0截直线x －y －5＝0所得的弦长等于( ) A ．B ．C ．1D ．53．若直线与圆x 2＋y 2＝1有公共点，则( ) ,11k k -= ,,00001y xk x y k -=∴=)(:0000x x y xy y l --=-202000y x y y x x +=+252020=+y x )25,0(,2500y Q y y ∴=).0,25(0x P ,26252525210000y x y x S OPQ ==⋅⋅∆002020225y x y x ≥=+.2525625262500=≥=∆y x S OPQ 22500==y x )225225(，E 62251=+bya xA ．a 2＋b 2≤1B ．a 2＋b 2≥1C ．D ．4．圆(x ＋2)2＋y 2＝5关于点(1，2)对称的圆的方程为( ) A ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝5 B ．(x －4)2＋(y －4)2＝5 C ．(x ＋4)2＋(y ＋4)2＝5 D ．(x ＋4)2＋(y ＋2)2＝5二、填空题5．由点P (－1，4)向圆x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0所引的切线长是______． 6．若半径为1的圆分别与y 轴的正半轴和射线相切，则这个圆的方程为______．7．圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为的点共有______个． 8．若不等式x 2＋2x ＋a ≥－y 2－2y 对任意的实数x 、y 都成立，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题9．已知直线l ：x －y ＋2＝0与圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4相交于A 、B 两点． (1)当a ＝－2时，求弦AB 的垂直平分线方程； (2)当l 被圆C 截得弦长为时，求a 的值．10．已知圆满足以下三个条件：①截y 轴所得的弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l ：x －2y ＝0的距离为．求该圆的方程．11．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：mx ＋y ＋m ＝0．求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，以及此时l 的方程．11122≤+b a 11122≥+b a )0(33≥=x x y 23255§8－5 曲线与方程【知识要点】1．轨迹方程一般地，一条曲线可以看成动点运动的轨迹，曲线的方程又常称为满足某种条件的点的轨迹方程．2．曲线与方程在平面直角坐标系中，如果曲线C 与方程F (x ，y )＝0之间有如下关系： (1)曲线C 上点的坐标都是方程F (x ，y )＝0的解； (2)以方程F (x ，y )＝0的解为坐标的点都在曲线C 上．那么，曲线C 叫做方程F (x ，y )＝0的曲线，方程F (x ，y )＝0叫做曲线C 的方程． 3．曲线的交点已知两条曲线C 1和C 2的方程分别是F (x ，y )＝0，G (x ，y )＝0，那么求两条曲线C 1和C 2的交点坐标，只要求方程组的实数解就可以得到．【复习要求】1．了解曲线与方程的对应关系，体会数形结合的思想、方程思想． 2．会求简单的轨迹方程；能根据方程研究曲线的简单性质． 【例题分析】例1 已知点A (－1，0)，B (2，0)，动点P 到点A 的距离与它到点B 的距离之比为2，求动点P 的轨迹方程．解：设P (x ，y )，则，即 化简得x 2＋y 2－6x ＋5＝0，所以动点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－6x ＋5＝0．⎩⎨⎧==0),(0),(y x G y x F 2||||=PB PA ,2)2()1(2222=+-++yx y x。
2020高考数学理二轮课标通用专题能力训练：不等式、线性规划含解析
8.已知变量x,y满足约束条件 若x+2y≥-5恒成立,则实数a的取值范围为()
A.(-∞,-1]B.[-1,+∞)
C.[-1,1]D.[-1,1)
答案:C
解析:设z=x+2y,要使x+2y≥-5恒成立,即z≥-5.作出不等式组对应的平面区域如图阴影部分所示,要使不等式组成立,则a≤1,由z=x+2y,得y=- x+ ,
18.已知存在实数x,y满足约束条件 则R的最小值是.
答案:2
解析:根据前三个约束条件 作出可行域如图中阴影部分所示.由存在实数x,y满足四个约束条件,得图中阴影部分与以(0,1)为圆心、半径为R的圆有公共部分,因此当圆与图中阴影部分相切时,R最小.由图可知R的最小值为2.
16.已知x,y∈(0,+∞),2x-3= ,则 的最小值为.
答案:3
解析:由2x-3= ,得x+y=3,故 (x+y) (5+4)=3,当且仅当 (x,y∈(0,+∞))时等号成立.
17.若函数f(x)= lgx的值域为(0,+∞),则实数a的最小值为.
答案:-2
解析:函数f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞),由 >0及函数f(x)的值域为(0,+∞)知x2+ax+1>0对∀x∈{x|x>0,且x≠1}恒成立,即a>-x- 在定义域内恒成立,而-x- <-2(当x≠1时等号不成立),因此a≥-2.
A.{x|x>2,或x<-2}B.{x|-2<x<2}
高考数学(文)二轮专题复习课件：第1部分 专题八 选考系列4-4、4-5 1-8-2
[ 自我挑战] 2.(2017· 高考全国卷Ⅱ)已知 a＞0，b＞0，a3＋b3＝2，证明： (1)(a＋b)(a5＋b5)≥4； (2)a＋b≤2.
证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6 ＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a2－b2)2≥4. (2)证明：因为(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝2＋3ab(a＋b)≤2 3a＋b2 3a＋b3 ＋ 4 (a＋b)＝2＋ 4 ， 所以(a＋b)3≤8，因此 a＋b≤2.
于是 a＝3.
1．用零点区分法解绝对值不等式的步骤： (1)求零点；(2)划区间、去绝对值号；(3)分别解去掉绝对值的 不等式；(4)取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端 点值． 2．用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得 代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
a＋b＋c 3 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则 3 ≥ abc，当且仅当 a＝b＝c 时，等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1、a2、…、 a1＋a2＋…＋an n an 为 n 个正数， 则 ≥ a1a2…an， 当且仅当 a1＝a2＝… n ＝an 时，等号成立．
2．|ax＋b|≤c(c＞0)和|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法： (1)|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； (2)|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c 或 ax＋b≤－c. 3．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab.当且仅当 a＝b 时，等号 成立． a＋b 定理 2：如果 a，b 为正数，则 2 ≥ ab，当且仅当 a＝b 时， 等号成立．
1．不等式的证明常利用综合法、分析法、反证法、放缩法、 基本不等式和柯西不等式等，要根据题目特点灵活选用方法． 2．证明含绝对值的不等式主要有以下三种方法： (1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号，转化为普通不等式再 证明； (2)利用三角不等式||a|－|b||≤|a± b|≤|a|＋|b|进行证明； (3)转化为函数问题，利用数形结合进行证明．
部编版2020年高考数学二轮复习 专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围 理
专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a 的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>2.解 (1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-3.解 (1)∵f(x)=ax+x ln x,∴f'(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+x ln x,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n,∴ln n mn+ln m m>ln m mn+ln n n.整理,得ln(mn n)m>ln(nm m)n.∴(mn n)m>(nm m)n,4.解 (1)f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.则s'(x)=e x-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a5.解 (1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即a ln x+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x∈[1,e]知x-ln x>0,因而a设y=,则y'=∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥y min=-,即实数a的取值范围是(2)当a=1时,f(x)=ln x.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立, 设t(x)=x2-x ln x(x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.因此,记h(x)=,得h'(x)=∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-当0<a<时,g(x)在区间内单调递增,在区间内单调递减;当a时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2=0,解得a=令φ(x)=-2ln x+x2-2x-2则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解 (1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).(2)f(x0)-f+ax0+1--a-1=+a=+a+x0+(4+14x0+7 +12a).若存在x0,使得f(x0)=f,则4+14x0+7+12a=0在内有解.由a<0,得Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,故方程4+14x0+7+12a=0的两根为x1'=,x'2=由x0>0,得x0=x'2=,依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-, 又由得a=-,故要使满足题意的x0存在,则a≠-综上,当a时,存在唯一的x0满足f(x0)=f,当a时,不存在x0满足f(x0)=f。
高考数学(理)二轮配套训练【专题8】(3)不等式选讲(含答案)
第3讲 不等式选讲考情解读 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不等式中参数的取值范围，不等式的证明等，结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用成为命题的热点，从能力上主要考查基本运算能力与推理论证能力及数形结合思想、分类讨论思想．1．含有绝对值的不等式的解法 (1)|f (x )|>a (a >0)⇔f (x )>a 或f (x )<－a ； (2)|f (x )|<a (a >0)⇔－a <f (x )<a ；(3)对形如|x －a |＋|x －b |≤c ，|x －a |＋|x －b |≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解． 2．含有绝对值的不等式的性质 |a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |. 3．算术—几何平均不等式定理1：设a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab .当且仅当a ＝b 时，等号成立． 定理2：如果a 、b 为正数，则a ＋b 2≥ab ，当且仅当a ＝b时，等号成立．定理3：如果a 、b 、c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a nn ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．热点一 含绝对值不等式的解法例1 不等式|x ＋3|－|2x －1|<x2＋1的解集为________________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2解析 ①当x <－3时，原不等式化为－(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <10，∴x <－3.②当－3≤x <12时，原不等式化为(x ＋3)－(1－2x )<x2＋1，解得x <－25，∴－3≤x <－25.③当x ≥12时，原不等式化为(x ＋3)－(2x －1)<x2＋1，解得x >2，∴x >2.综上可知，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－25或x >2.思维升华 (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．(2)用图象法、数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．(1)若不等式|x ＋1|＋|x －2|<a 无实数解，则a 的取值范围是________．答案 (－∞，3]解析 由绝对值的几何意义知|x ＋1|＋|x －2|的最小值为3，而|x ＋1|＋|x －2|<a 无解，∴a ≤3. (2)(2012·陕西)若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－2,4]解析 利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|， 要使|x －a |＋|x －1|≤3有解，可使|a －1|≤3，∴－3≤a －1≤3，∴－2≤a ≤4. 热点二 不等式的证明 例2 求证下列不等式：(1)设a ≥b >0，求证：3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2； (2)a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2；(3)a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .证明 (1)3a 3＋2b 3－(3a 2b ＋2ab 2)＝3a 2(a －b )－2b 2·(a －b )＝(a －b )(3a 2－2b 2)． ∵a ≥b >0，∴a －b ≥0,3a 2－2b 2>0. ∴(a －b )(3a 2－2b 2)≥0. ∴3a 3＋2b 3≥3a 2b ＋2ab 2. (2)a 6＋8b 6＋127c 6≥33827a 6b 6c 6＝3×23a 2b 2c 2＝2a 2b 2c 2，∴a 6＋8b 6＋127c 6≥2a 2b 2c 2.(3)∵a 2＋4b 2≥2a 2·4b 2＝4ab ， a 2＋9c 2≥2a 2·9c 2＝6ac ， 4b 2＋9c 2≥24b 2·9c 2＝12bc ， ∴2a 2＋8b 2＋18c 2≥4ab ＋6ac ＋12bc ， ∴a 2＋4b 2＋9c 2≥2ab ＋3ac ＋6bc .思维升华 (1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力． (2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．(2013·课标全国Ⅱ)设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明：(1)ab ＋bc ＋ca ≤13；(2)a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1.证明 (1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得 a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1， 即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1，即ab ＋bc ＋ca ≤13.(2)因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，故a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .所以a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥1. 热点三 不等式的综合应用例3 (2013·陕西)已知a ，b ，m ，n 均为正数，且a ＋b ＝1，mn ＝2，则(am ＋bn )(bm ＋an )的最小值为________． 答案 2解析 先化简式子，再利用基本不等式求解最值，注意等号取得的条件． ∵a ，b ，m ，n ∈R ＋，且a ＋b ＝1，mn ＝2， ∴(am ＋bn )(bm ＋an ) ＝abm 2＋a 2mn ＋b 2mn ＋abn 2 ＝ab (m 2＋n 2)＋2(a 2＋b 2) ≥2ab ·mn ＋2(a 2＋b 2)＝4ab ＋2(a 2＋b 2) ＝2(a 2＋b 2＋2ab ) ＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”． ∴所求最小值为2.思维升华 利用基本不等式求解最值时，有时需化简代数式，切记等号成立的条件．(2012·湖北改编)设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z ＝________.答案 12解析 通过等式找出a ＋b ＋c 与x ＋y ＋z 的关系． 由题意可得x 2＋y 2＋z 2＝2ax ＋2by ＋2cz ，① ①与a 2＋b 2＋c 2＝10相加可得 (x －a )2＋(y －b )2＋(z －c )2＝10， 所以不妨令⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝a ，y －b ＝b ，z －c ＝c⎝ ⎛⎭⎪⎫或⎩⎪⎨⎪⎧x －a ＝b ，y －b ＝c ，z －c ＝a ，则x ＋y ＋z ＝2(a ＋b ＋c )，即a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.1．对于带有绝对值的不等式的求解，要掌握好三个方法：一个是根据绝对值的几何意义，借助于数轴的直观解法；二是根据绝对值的意义，采用零点分区去绝对值后转化为不等式组的方法；三是构造函数，通过函数图象的方法．要在解题过程中根据不同的问题情境灵活选用这些方法． 2．使用绝对值三角不等式求最值很方便，如|x ＋2|＋|x －4|≥|(x ＋2)－(x －4)|＝6.3．易错点：解绝对值不等式时忽视去掉绝对值的分界点；在使用算术—几何平均不等式求最值时忽视讨论等号成立的条件.真题感悟1．(2014·江西改编)对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为________． 答案 3解析 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.2．(2014·湖南)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为{x |－53<x <13}，则a ＝________.答案 －3解析 ∵|ax －2|<3，∴－1<ax <5. 当a >0时，－1a <x <5a ，与已知条件不符；当a ＝0时，x ∈R ，与已知条件不符； 当a <0时，5a <x <－1a ，又不等式的解集为{x |－53<x <13}，故a ＝－3.押题精练1．已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，则实数a 的值为______．(2)若a ＝2，且f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 (1)2 (2)(－∞，5]解 方法一 (1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3. 又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|， 设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5； 当－3≤x ≤2时，g (x )＝5； 当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 方法二 (1)同方法一．(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|.设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)．由|x －2|＋|x ＋3|≥|(x －2)－(x ＋3)|＝5(当且仅当－3≤x ≤2时等号成立)，得g (x )的最小值为5.从而，若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 2．设a ，b ，c 均为正实数，试证明不等式12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，并说明等号成立的条件．解 因为a ，b ，c 均为正实数， 所以12⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ≥12ab ≥1a ＋b ， 当且仅当a ＝b 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ≥12bc ≥1b ＋c ， 当且仅当b ＝c 时等号成立； 12⎝⎛⎭⎫12c ＋12a ≥12ca ≥1c ＋a ， 当且仅当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加，得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b ，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立．(推荐时间：40分钟)1．如果关于x 的不等式|x －a |＋|x ＋4|≥1的解集是R ，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－∞，－5]∪[－3，＋∞)解析 在数轴上，结合绝对值的几何意义可知a ≤－5或a ≥－3.2．(2014·重庆)若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1，12]解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x <－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12.当x <－2时，y ＝－3x －1>5；当－2≤x <12时，y ＝－x ＋3>52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故a 的取值范围为[－1，12]．3．若不等式|ax ＋2|<4的解集为(－1,3)，则实数a ＝________. 答案 －2解析 由－4<ax ＋2<4，得－6<ax <2. 当a >0时，－6a <x <2a ，与解集(－1,3)不符；当a <0时，2a <x <－6a，∴a ＝－2.4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 [－1,4]解析 由绝对值的几何意义知，|x ＋3|＋|x －1|的几何意义为数轴上点x 到点－3,1的距离的和， 则|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，∴不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立， 只需a 2－3a ≤4，解得－1≤a ≤4. ∴a 的取值范围为[－1,4]．5．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B＝________. 答案 {x |－2≤x ≤5} 解析 由|x ＋3|＋|x －4|≤9，当x <－3时，－x －3－(x －4)≤9，即－4≤x <－3； 当－3≤x ≤4时，x ＋3－(x －4)＝7≤9恒成立； 当x >4时，x ＋3＋x －4≤9，即4<x ≤5. 综上所述，A ＝{x |－4≤x ≤5}． 又∵x ＝4t ＋1t －6，t ∈(0，＋∞)，∴x ≥24t ·1t －6＝－2，当且仅当t ＝12时取等号． ∴B ＝{x |x ≥－2}，∴A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．6．已知关于x 的不等式|x －1|＋|x －a |≤8的解集不是空集，则a 的最小值是________． 答案 －7解析 |x －1|＋|x －a |＝|x －1|＋|a －x |≥|a －1|，要使关于x 的不等式不是空集，则|a －1|≤8，∴－7≤a ≤9，即a 的最小值为－7.7．设f (x )＝1a x 2－bx ＋c ，不等式f (x )<0的解集是(－1,3)，若f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，则实数t 的取值范围是________．答案 (－3,3)解析 ∵1a x 2－bx ＋c <0的解集是(－1,3)，∴1a >0且－1,3是1ax 2－bx ＋c ＝0的两根． 则函数f (x )＝1a x 2－bx ＋c 图象的对称轴方程为x ＝ab2＝1，且f (x )在[1，＋∞)上是增函数， 又∵7＋|t |≥7>1,1＋t 2≥1，则由f (7＋|t |)>f (1＋t 2)，得7＋|t |>1＋t 2， 即|t |2－|t |－6<0，亦即(|t |＋2)(|t |－3)<0， ∴|t |<3，即－3<t <3.8．(2013·天津)设a ＋b ＝2，b >0，则当a ＝________时，12|a |＋|a |b 取得最小值．答案 －2解析 由于a ＋b ＝2，所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ，由于b >0，|a |>0，所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1，因此当a >0时，12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时，12|a |＋|a |b的最小值是－14＋1＝34.故12|a |＋|a |b 的最小值为34，此时⎩⎪⎨⎪⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.9．若T 1＝2sm ＋n ，T 2＝s (m ＋n )2mn ，则当s ，m ，n ∈R ＋时，T 1与T 2的大小为________．答案 T 1≤T 2解析 因为2sm ＋n －s (m ＋n )2mn ＝s ·4nm －(m ＋n )22mn (m ＋n )＝－s (m －n )22mn (m ＋n )≤0. 所以T 1≤T 2.10．设0<x <1，则a ＝2x ，b ＝1＋x ，c ＝11－x 中最大的一个是________．答案 c解析 由a 2＝2x ，b 2＝1＋x 2＋2x >a 2，a >0，b >0得b >a .又c －b ＝11－x －(1＋x )＝1－(1－x 2)1－x ＝x 21－x>0得c >b ，知c 最大．11．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y2＋y ，则M 、N 的大小关系为__________．答案 M <N解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y2＋x ＋y ＝x ＋y 2＋x ＋y ＝M .12．若a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，M ＝a b ＋ba，N ＝a ＋b ，则M 、N 的大小关系为________． 答案 M >N 解析 ∵a ≠b ，∴a b ＋b >2a ，ba＋a >2b ， ∴a b ＋b ＋ba ＋a >2a ＋2b ， ∴a b ＋ba>a ＋b .即M >N . 13．对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，则|x －2y ＋1|的最大值为________． 答案 5解析 ∵|x －1|≤1， ∴－1≤x －1≤1，∴0≤x ≤2.又∵|y －2|≤1，∴－1≤y －2≤1，∴1≤y ≤3， 从而－6≤－2y ≤－2. 由同向不等式的可加性可得 －6≤x －2y ≤0， ∴－5≤x －2y ＋1≤1， ∴|x －2y ＋1|的最大值为5.14．不等式⎪⎪⎪⎪x ＋1x >|a －5|＋1对于任一非零实数x 均成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (4,6)解析 ⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＝|x |＋1|x |≥2， 所以|a －5|＋1<2，即|a －5|<1，∴4<a <6.15．不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (－∞，2)解析 由绝对值的几何意义知 |x －4|＋|x ＋5|≥9， 则log 3(|x －4|＋|x ＋5|)≥2，所以要使不等式log 3(|x －4|＋|x ＋5|)>a 对于一切x ∈R 恒成立，则需a <2.。
(全国通用)2020版高考数学二轮复习 提升专 不等式选考系列 坐标系与参数方程讲义教案
第1讲 坐标系与参数方程[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t 消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t(t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)， 则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值.解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40， 故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t (t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4. 故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.第2讲 不等式选讲[例1] (2019·福建省质量检查)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|ax －3|(a >0). (1)当a ＝2时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形，求a 的值. [解] (1)当a ＝2时，不等式f (x )>1即|x ＋1|－|2x －3|>1.当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1＋2x －3>1，解得x >5，因为x ≤－1，所以此时原不等式无解；当－1<x ≤32时，原不等式可化为x ＋1＋2x －3>1，解得x >1，所以1<x ≤32；当x >32时，原不等式可化为x ＋1－2x ＋3>1，解得x <3，所以32<x <3.综上，原不等式的解集为{x |1<x <3}. (2)因为a >0，所以3a>0，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －1）x －4，x ≤－1，（a ＋1）x －2，－1<x ≤3a ，（1－a ）x ＋4，x >3a. 若y ＝f (x )的图象与x 轴围成直角三角形， 则(a －1)(a ＋1)＝－1或(a ＋1)(1－a )＝－1， 解得a ＝0(舍去)或a ＝2或a ＝－2(舍去). 经检验，a ＝2符合题意， 所以所求a 的值为 2.[解题方略] 绝对值不等式的常用解法(1)基本性质法：对a ＞0，|x |<a ⇔－a <x <a ，|x |>a ⇔x <－a 或x >a . (2)平方法：两边平方去掉绝对值符号.(3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组)求解.(4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解.(5)数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.[跟踪训练]1.(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )＝|x －a |x ＋|x －2|(x －a ). (1)当a ＝1时，求不等式f (x )<0的解集； (2)若x ∈(－∞，1)时，f (x )<0，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x －1|x ＋|x －2|(x －1). 当x <1时，f (x )＝－2(x －1)2<0； 当x ≥1时，f (x )≥0，所以，不等式f (x )<0的解集为(－∞，1). (2)因为f (a )＝0，所以a ≥1.当a ≥1，x ∈(－∞，1)时，f (x )＝(a －x )x ＋(2－x )(x －a )＝2(a －x )(x －1)<0. 所以，a 的取值范围是[1，＋∞).2.(2019·石家庄市质量检测)设函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )≤5－f (x －3)的解集；(2)已知关于x 的不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4在[－1，1]上有解，求实数a 的取值范围.解：(1)不等式f (x )≤5－f (x －3)，即|x ＋1|＋|x －2|≤5，等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－1，－x －1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤2，x ＋1－x ＋2≤5或⎩⎪⎨⎪⎧x >2，x ＋1＋x －2≤5， 解得－2≤x ≤3，所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤3}.(2)当x ∈[－1，1]时，不等式2f (x )＋|x ＋a |≤x ＋4，即|x ＋a |≤2－x ， 所以|x ＋a |≤2－x 在[－1，1]上有解，即－2≤a ≤2－2x 在[－1，1]上有解，所以－2≤a ≤4，即实数a 的取值范围是[－2，4].[例2] (2019·全国卷Ⅰ)已知a ，b ，c 为正数，且满足abc ＝1.证明： (1)1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2；(2)(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[证明] (1)因为a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac ，又abc ＝1，故有a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca ＝ab ＋bc ＋ca abc ＝1a ＋1b ＋1c.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立.所以1a ＋1b ＋1c≤a 2＋b 2＋c 2.(2)因为a ，b ，c 为正数且abc ＝1，故有(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥33（a ＋b ）3（b ＋c ）3（a ＋c ）3＝3(a ＋b )(b ＋c )(a ＋c ) ≥3×(2ab )×(2bc )×(2ac ) ＝24.当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，等号成立. 所以(a ＋b )3＋(b ＋c )3＋(c ＋a )3≥24.[解题方略] 证明不等式的常用方法不等式证明的常用方法有比较法、分析法、综合法、放缩法、反证法等. (1)如果已知条件与待证结论直接联系不明显，则考虑用分析法.(2)利用放缩法证明不等式，就是舍掉式中的一些正项或负项，或者在分式中放大或缩小分子、分母，还可把和式中各项或某项换为较大或较小的数或式子，从而达到证明不等式的目的.(3)如果待证的是否定性命题、唯一性命题或以“至少”“至多”等方式给出的问题，则考虑用反证法.用反证法证明不等式的关键是作出假设，推出矛盾.[跟踪训练]1.已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )＞f (a )－f (－b ). 解：(1)由题意，|x ＋1|<|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解； ③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1. 综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2， 即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.2.已知a ，b ∈R ，且a ＋b ＝1，求证：(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.证明：法一：(放缩法)因为a ＋b ＝1，所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥2⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋2）＋（b ＋2）22＝12[(a ＋b )＋4]2＝252⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋2＝b ＋2，即a ＝b ＝12时，等号成立. 法二：(反证法)假设(a ＋2)2＋(b ＋2)2<252，则a 2＋b 2＋4(a ＋b )＋8<252.因为a ＋b ＝1，则b ＝1－a ，所以a 2＋(1－a )2＋12<252.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122<0，这与⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122≥0矛盾，故假设不成立.所以(a ＋2)2＋(b ＋2)2≥252.[例3] 已知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|，a ∈R .(1)若不等式f (x )＋|x －1|≥2对任意的x ∈R 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)当a <2时，函数f (x )的最小值为a －1，求实数a 的值. [解] (1)f (x )＋|x －1|≥2可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥1.∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －a 2＋|x －1|≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪a2－1≥1， ∴a ≤0或a ≥4，∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞).(2)当a <2时，易知函数f (x )＝|2x －a |＋|x －1|的零点分别为a 2和1，且a2<1，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋a ＋1，x <a2，x －a ＋1，a 2≤x ≤1，3x －a －1，x >1，易知f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 2上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞上单调递增，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 2＋1＝a －1，解得a ＝43，又43<2，∴a ＝43.[解题方略]解决不等式恒成立、能成立、恰成立问题的策略[跟踪训练]1.在本例条件下，若f (x )≤|x ＋1|的解集包含⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3，求a 的取值范围. 解：由题意可知f (x )≤|x ＋1|在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3上恒成立， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3时， f (x )＝|2x －a |＋|x －1|＝|2x －a |＋x －1≤|x ＋1|＝x ＋1， ∴|2x －a |≤2，即2x －2≤a ≤2x ＋2， ∵(2x －2)max ＝4， (2x ＋2)min ＝5，因此a 的取值范围为[4，5].2.在本例中函数f (x )不变的条件下，若存在实数x ，使不等式f (x )－3|x －1|≥2能成立，求实数a 的取值范围.解：∵f (x )－3|x －1|＝|2x －a |－2|x －1| ＝|2x －a |－|2x －2|≤|a －2|. ∴|a －2|≥2. ∴a ≤0或a ≥4.∴实数a 的取值范围为(－∞，0]∪[4，＋∞). 3.已知函数f (x )＝|x |＋|x ＋1|.(1)若任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立，求实数λ的取值范围. (2)若存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立，求实数t 的取值范围. 解：(1)由f (x )＝|x |＋|x ＋1|≥|x －(x ＋1)|＝1知，f (x )min ＝1，欲使任意x ∈R ，恒有f (x )≥λ成立， 则需满足λ≤f (x )min ，所以实数λ的取值范围为(－∞，1].(2)由题意得f (t )＝|t |＋|t ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t －1，t <－1，1，－1≤t ≤0，2t ＋1，t >0，存在m ∈R ，使得m 2＋2m ＋f (t )＝0成立， 即有Δ＝4－4f (t )≥0， 所以f (t )≤1，又f (t )≤1可等价转化为⎩⎪⎨⎪⎧t <－1，－2t －1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤t ≤0，1≤1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，2t ＋1≤1， 所以实数t 的取值范围为[－1，0]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.(2019·昆明市质量检测)已知函数f (x )＝|2x －1|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4；(2)当x ≠0，x ∈R 时，证明：f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥4等价于|2x －1|＋|2x ＋1|≥4， 等价于⎩⎪⎨⎪⎧x <－12，－4x ≥4或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ≤12，2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧x >12，4x ≥4， 解得x ≤－1或x ≥1，所以原不等式的解集是(－∞，－1]∪[1，＋∞).(2)证明：当x ≠0，x ∈R 时，f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x－1，因为|－2x －1|＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x －1≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2x ＋2x ＝2|x |＋2|x |≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1≥0，2|x |＝2|x |，即x ＝±1时等号成立，所以f (－x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x≥4. 2.(2019·沈阳市质量监测(一))设a >b >0，且ab ＝2，记a 2＋b 2a －b的最小值为M .(1)求M 的值，并写出此时a ，b 的值； (2)解关于x 的不等式：|3x ＋3|＋|x －2|>M . 解：(1)因为a >b >0，所以a －b >0，4a －b>0， 根据基本不等式有a 2＋b 2a －b ＝（a －b ）2＋4a －b ＝a －b ＋4a －b≥4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝2，ab ＝2，即⎩⎨⎧a ＝3＋1，b ＝3－1时取等号，所以M 的值为4，此时a ＝3＋1，b ＝3－1.(2)当x ≤－1时，原不等式等价于－(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得x <－54；当－1<x <2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(2－x )>4，解得－12<x <2；当x ≥2时，原不等式等价于(3x ＋3)＋(x －2)>4，解得x ≥2. 综上所述，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－54∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 3.已知函数f (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5.(2)若|a |>1，且f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a，证明：|b |>2.解：(1)不等式f (x )＋f (x ＋1)≥5等价于|x －2|＋|x －1|≥5， 当x >2时，(x －2)＋(x －1)≥5，x ≥4；当1≤x ≤2时，(2－x )＋(x －1)≥5，1≥5，无解； 当x <1时，(2－x )＋(1－x )≥5，x ≤－1. 综上，不等式的解集为{x |x ≥4或x ≤－1}. (2)证明：f (ab )>|a |·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a⇔|ab －2|>|a |·⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a－2⇔|ab －2|>|b －2a | ⇔(ab －2)2>(b －2a )2⇔a 2b 2＋4－b 2－4a 2>0⇔(a 2－1)(b 2－4)>0.因为|a |>1，所以a 2－1>0， 所以b 2－4>0，|b |>2.4.已知a ，b ∈(0，＋∞)，且2a 4b＝2. (1)求2a ＋1b的最小值；(2)若存在a ，b ∈(0，＋∞)，使得不等式|x －1|＋|2x －3|≥2a ＋1b成立，求实数x 的取值范围.解：(1)由2a 4b＝2可知a ＋2b ＝1， 又因为2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b (a ＋2b )＝4b a ＋ab＋4，由a ，b ∈(0，＋∞)可知4b a ＋ab＋4≥24b a ·ab＋4＝8，当且仅当a ＝2b 时取等号，所以2a ＋1b的最小值为8.(2)由(1)及题意知不等式等价于|x －1|＋|2x －3|≥8，①⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，1－x ＋（3－2x ）≥8，所以x ≤－43.②⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32，x －1＋3－2x ≥8，无解， ③⎩⎪⎨⎪⎧x ≥32，x －1＋2x －3≥8，所以x ≥4. 综上，实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪[4，＋∞). 5.(2019·济南市模拟考试)已知函数f (x )＝|x －2|＋|2x －1|. (1)求不等式f (x )≤3的解集；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集为空集，求实数a 的取值范围.解：(1)法一：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，当x ≤12时，f (x )＝－3x ＋3≤3，解得x ≥0，即0≤x ≤12，当12<x <2时，f (x )＝x ＋1≤3，解得x ≤2，即12<x <2， 当x ≥2时，f (x )＝3x －3≤3，解得x ≤2，即x ＝2. 综上所述，原不等式的解集为[0，2].法二：由题意f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋3，x ≤12，x ＋1，12<x <2，3x －3，x ≥2，作出f (x )的图象如图所示，注意到当x ＝0或x ＝2时，f (x )＝3， 结合图象，不等式的解集为[0，2].(2)由(1)可知，f (x )的图象如图所示，不等式f (x )≤ax 的解集为空集可转化为f (x )>ax 对任意x ∈R 恒成立， 即函数y ＝ax 的图象始终在函数y ＝f (x )的图象的下方，当直线y ＝ax 过点A (2，3)以及与直线y ＝－3x ＋3平行时为临界情况， 所以－3≤a <32，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，32. 6.(2019·广州市调研测试)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. 解：(1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3，①当x ≤13时，1－3x ＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，3x －1＋x －2≥3，解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，不等式的解集为{}x |x ≤0或x ≥1.(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12上恒成立， 所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，43.7.(2019·全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)因为[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，所以由已知得(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立.所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：因为[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，所以由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a 3，z ＝2a －23时等号成立.所以(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.8.(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，若f (x )的最小值为1.(1)求实数a 的值；(2)若a ＞0，m ，n 均为正实数，且满足m ＋n ＝a2，求m 2＋n 2的最小值.解：(1)f (x )＝|x ＋1|＋|3x ＋a |，①当a ＞3，即－1＞－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－a3，2x ＋a －1，－a 3＜x ＜－1，4x ＋a ＋1，x ≥－1，∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝()－3＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫a3－1＝2（a －3）3＞0， ∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3， 则当x ＝－a3时，f (x )min ＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3－1－a ＝1，∴a ＝6.②当a ＜3，即－1＜－a3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x －1－a ，x ≤－1，－2x －a ＋1，－1＜x ＜－a 3，4x ＋a ＋1，x ≥－a3， ∵f (－1)－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝(3－a )－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＝2（3－a ）3＞0，∴f (－1)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3，则当x ＝－a3时，f (x )min ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＋1＋a ＝1，∴a ＝0.③当a ＝3，即－1＝－a3时，f (x )＝4|x ＋1|，当x ＝－1时，f (x )min ＝0不满足题意.综上，a ＝0或a ＝6.(2)由题意知，m ＋n ＝3.∵m ＞0，n ＞0，∴(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ≤(m 2＋n 2)＋(m 2＋n 2)＝2(m 2＋n 2)， 即m 2＋n 2≥12(m ＋n )2，当且仅当m ＝n ＝32时取“＝”.∵m 2＋n 2≥92，∴m 2＋n 2的最小值为92.。
2020年高考数学(理)二轮专项复习专题08 解析几何
A，B 两点的中点 M(x，y)的坐标公式是 x
x1
2
x2
,
y
y1 y2 2
3．空间直角坐标系
在空间直角坐标系 O－xyz 中，若 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B 两点之间的距离 公式是
6．点 A(2，3)关于点 B(－4，1)的对称点为______．
》
站
载
下
7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4 的解为______．
费 免
《
号
8．如图 8－1－4，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|D公众D1|＝2，A1C 的中
公
点为 M，则点 B1 的坐标是______，点 M 的坐标是______，M 关于点微B信1 的对称点为______．
§8－1 直角坐标系
【知识要点】
1．数轴上的基本公式
设数轴的原点为 O，A，B 为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称 x2－x1 叫做向量 AB
的坐标或数量，即数量 AB＝x2－x1；数轴上两点 A，B 的距离公式是
d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．
2．平面直角坐标系中的基本公式
设 A，B 为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点之间的距离
斜截式：y＝kx＋b；
两点式：
y y2
y1 y1
x x2
x1 x1
(
x1
x2 , y1
y2 );
一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
4．两条直线相交、平行与重合的条件
全国数学高考二轮复习考点60 不等式选讲-2020年高考数学(理)
专题60 不等式选讲1．理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式： （1）a b a b +≤+. （2） a b a c c b -≤-+-.（3）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：; ; ax b c ax b c x a x b c +≤+≥-+-≥.2．了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明. （1）柯西不等式的向量形式：||||||.⋅≥⋅αβαβ （2）22222()(+)()a b c d ac bd +≥+.（3≥ （此不等式通常称为平面三角不等式.）3．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：4．会用向量递归方法讨论排序不等式.5．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题. 6．会用数学归纳法证明伯努利不等式：了解当n 为大于1的实数时伯努利不等式也成立.7．会用上述不等式证明一些简单问题.能够利用平均值不等式、 柯西不等式求一些特定函数的极值. 8．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.一、不等式的求解1．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.(3)|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.2．绝对值三角不等式(1)定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.(2)定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.(3)推论1:||a|-|b||≤|a+b|.(4)推论2:||a|-|b||≤|a-b|.【技能方法】（一）含绝对值不等式的解法（二）含绝对值不等式的恒成立问题的解题规律1．根据绝对值的定义,分类讨论去掉绝对值,转化为分段函数,然后利用数形结合解决. 2．巧用“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”求最值.(1)求|a|-|b|的范围:若a±b 为常数M,可利用||a|-|b||≤|a±b|⇔-|M|≤|a|-|b|≤|M|确定范围. (2)求|a|+|b|的最小值:若a±b 为常数M,可利用|a|+|b|≥|a±b|=|M|,从而确定其最小值. 3．f (x )<a 恒成立⇔f (x )max <a,f (x )>a 恒成立⇔f (x )min >a. 二、不等式的证明 1．基本不等式(1)基本不等式:如果a,b>0,那么2a b+≥a=b 时,等号成立.用语言可以表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数.(2)算术平均—几何平均定理(基本不等式的推广):对于n 个正数a 1,a 2,…,a n ,它们的算术平均数不小于它们的几何平均数,即12n a a a n+++≥L ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.2．柯西不等式(1)二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,当且仅当ad=bc 时,等号成立.(2)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当α是零向量或β是零向量或存在实数k 使α=k β时,等号成立.(3)二维形式的三角不等式:设x 1,y 1,x 2,y 2∈R ,≥.(4)一般形式的柯西不等式:设a 1,a 2,…,a n ,b 1,b 2,…,b n 是实数,则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当a i =0或b i =0(i=1,2,…,n )或存在一个数k 使得a i =kb i (i=1,2,…,n )时,等号成立.3．证明不等式的基本方法 (1)比较法; (2)综合法; (3)分析法; (4)反证法和放缩法; (5)数学归纳法.考向一 绝对值不等式的求解解绝对值不等式的常用方法有：（1）基本性质法：对,||,||a x a a x a x a x a x a +∈<⇔-<<>⇔<->R 或. （2）平方法：两边平方去掉绝对值符号.（3）零点分区间法（或叫定义法）：含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法脱去绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解.（4）几何法：利用绝对值的几何意义，画出数轴，将绝对值转化为数轴上两点的距离求解. （5）数形结合法：在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图象求解.典例1 解不等式1325x x ++-≥． 【答案】3(,1],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U .【解析】令10x +=，1x ∴=-，令320x -=，23x ∴=. 当1x ≤-时，1235x x --+-≥，1x ∴≤-.当213x -<<时，1235x x ++-≥，1x ∴≤-，故解集为∅； 当23x ≥时，1325x x ++-≥，32x ∴≥.综上：3(,1],2x ⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎢⎣⎭U .【名师点睛】本题考查绝对值不等式的解法，此类问题常用“零点”分段讨论法将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式后再求解，属于基础题.求解时，令10x +=和令320x -=，得1x =-和23x =，分1x ≤-，213x -<<，23x ≥三种情况分别讨论，将绝对值不等式转化为不含绝对值的不等式，求解转化后的不等式，再求解这三种情况的解集的并集可得解. 典例2 已知函数()214f x x x =++-. （1）解不等式()6f x ≤；（2）若不等式2()48f x x a a +-<-有解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）[]1,1-；（2）(),1(9,)-∞-+∞U .【解析】（1）由已知得13321()542334x x f x x x x x ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩，，，， 当21x <-时，3361x x -+≤⇒≥-，112x ∴-≤<-； 当142x -≤≤时，561x x +≤⇒≤，112x ∴-≤≤；当4x >时，3363x x -≤⇒≤，舍去. 综上得，()6f x ≤的解集为[]1,1-. （2）()421289f x x x x +-=++-≥.2()48f x x a a +-<-Q 有解，289a a ∴->，(9)(1)0a a -+>，1a ∴<-或9a >，a ∴的取值范围是(),1(9,)-∞-+∞U .【名师点睛】该题考查的是有关绝对值不等式的问题，涉及的知识点有应用零点分段法解绝对值不等式，根据不等式有解求参数的取值范围，属于简单题目.求解时，（1）对()f x 去绝对值符号，然后分别解不等式即可；（2）不等式2()48f x x a a +-<-有解，则只需2min (()4)8f x x a a +-<-，求出()4f x x +-的最小值，然后解不等式即可.1．已知函数()|22||1|f x x x =+--，x ∈R ． （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围．考向二 含绝对值不等式的恒成立问题含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法： （1）分享参数法运用“max min ()(),()()f x a f x a f x a f x a ≤⇔≤≥⇔≥”可解决恒成立中的参数范围问题.求最值的思路：利用基本不等式和不等式的相关性质解决；将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值；利用性质“||||||||||||a b a b a b -≤±≤+”求最值. （2）更换主元法不少含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法. （3）数形结合法在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维和抽象思维各自的优势，可直接解决问题.典例3 若不等式log 2(|x+1|+|x -2|−m )≥2恒成立，则实数m 的取值范围是 . 【答案】(−∞,-1]【解析】由题意可知|x+1|+|x−2|−m ≥4恒成立，即m ≤(|x+1|+|x−2|-4)min . 又|x+1|+|x−2|-4≥|(x+1) − (x−2)| −4=−1，故m ≤−1. 典例4 已知函数f (x )=|3x +2|. （1）解不等式f (x )<4−|x −1|；（2）已知1(,0)m n m n +=>，若()11(0)x a f x a m n--≤+>恒成立，求实数a 的取值范围. 【解析】（1）不等式()4|1|f x x <--可化为3214x x ++-< ①. 当23x <-时，①式为3214x x ---+<，解得5243x -<<-； 当213x -≤≤，①式为3214x x +-+<，解得2132x -≤<； 当x > 1时，①式为3214x x ++-<，无解．综上所述，不等式()4|1|f x x <--的解集为5142⎛⎫- ⎪⎝⎭，．（2）()111124n mm n m n m n m n⎛⎫+=++=++≥ ⎪⎝⎭， 令()()222323242322x a x g x x a f x x a x x a x a x a x a ⎧++<-⎪⎪⎪=--=--+=--+-≤≤⎨⎪--->⎪⎪⎩，，，，∴23x =-时，()max 23g x a =+， 要使不等式恒成立，只需()max 243g x a =+≤，即1003a <≤， ∴实数a 的取值范围是1003⎛⎤ ⎥⎝⎦，．2．设函数()|1|||f x x x a =++-.（1）当2a =时，解不等式：()5f x x ≥；（2）若存在0x ∈R ，使得()020f x -<，试求实数a 的取值范围.考向三 不等式的证明比较法证明不等式最常用的是差值比较法，其基本步骤是：作差—变形—判断差的符号—下结论.其中“变形”是证明的关键，一般通过因式分解或配方将差式变形为几个因式的积或配成几个代数式平方和的形式，当差式是二次三项式时，有时也可用判别式来判断差值的符号.个别题目也可用柯西不等式来证明.典例5 已知函数()|1|f x x =-. （1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若||1,||1,0a b a <<≠，求证：()||()bf ab a f a>. 【答案】（1）{}|53x x x ≤-≥或；（2）见解析.【解析】（1）()22,3+(4)134,3122,1x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪+-++-≤≤⎨⎪+>⎩＝＝.当3x <-时，由228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，()8f x ≥不成立； 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥．综上所述：不等式()4f x ≤的解集为5{}3|x x x ≤-≥或． （2）()||()b f ab a f a>，即1||||ab a b >--．11a b <<Q ，，()()()()22222222|1|||212110ab a b a b ab a ab b a b ∴---=-+--+=-->，所以1||||ab a b >--． 故所证不等式成立．【名师点睛】本题考查了解绝对值不等式，不等式的证明，将绝对值不等式转化为分段函数是常用的技巧，需要灵活掌握.求解时，（1）得到分段函数()22,3(4)4,3122,1x x f x f x x x x --<-⎧⎪++-≤≤⎨⎪+>⎩＝，分别计算不等式得到答案.（2）不等式等价于1||||ab a b >--，证明22|1|||0ab a b --->得到答案.3．设正数,,a b c 满足abc a b c =++，求证：4936ab bc ac ++≥，并给出等号成立的条件.1．不等式125x x -++≥的解集为 A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),12,-∞-+∞U C ．(][),23,-∞-+∞UD ．(][),32,-∞-+∞U2．函数|1||2|y x x =++-的最小值及取得最小值时x 的值分别是 A ．1，[1,2]x ∈- B ．3，0 C ．3，[1,2]x ∈-D ．2，[]1,2x ∈3．不等式|1||2|x x a +--<无实数解，则a 的取值范围是 A ．(,3)-∞ B ．(3,)-+∞ C ．(,3]-∞-D ．(,3)-∞-4．若a ，b ，c 为正数，且a +b +c =1，则1a +1b +1c的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．135．已知函数()1f x x x a =++-，若()2f x ≥恒成立，则a 的取值范围是 A ．(][),22,-∞-+∞U B ．(][),31,-∞-+∞U C ．(][),13,-∞-+∞UD ．(][),04,-∞+∞U6．若函数f(x)=|x +1|+|2x +a|的最小值3，则实数a 的值为 A ．−4或8 B ．−1或−4 C ．−1或5D ．5或87．不等式|x +1|<2x −1的解集为___________.8．已知不等式|2x −a|+a ≤6的解集为[−2,3],则实数a 的值为___________.9．若关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，则实数a 的取值范围为___________. 10．已知a ∈R ，函数()4f x x a a x=+-+在区间[]14，上的最大值是5，则a 的取值范围是___________. 11．若关于x 的不等式|2||1|x x a -≥++的解集不是∅，则实数a 的最大值是___________. 12．设函数()|24|1f x x =-+.（1）画出函数()y f x =的图象；（2）若不等式()|2|2f x x a +-≤的解集非空，求实数a 的取值范围.13．函数()2132f x x x =-++的最小值为t .（1）求t 的值；（2）若0,0a b >>，且a b tab +=，求22a b +的最小值．14．已知函数()()2110a f x x x a a+=-+->，()41g x x =-+. （1）当1a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合.15．已知函数()|22||43|f x x a x a =-+-+．（1）当1a =时，求不等式()9f x ≤的解集；（2）当1a ≠时，若对任意实数x ，()4f x ≥都成立，求a 的取值范围．16．已知(0,)a b c ∈+∞,,，2221a b c ++=．（1）求证：1ab bc ac ++≤；（2）求证：4442221a b c c a b++≥．17．已知函数()2f x x =-.（1）求不等式()1f x x x <++的解集；（2）若函数()()()2log 32g x f x f x a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ，求实数a 的取值范围.18．设函数()2.f x x x a =--+（1）若不等式()2f x <-的解集为3{|}2x x >，求实数a 的值；（2）若[]3,1a ∈--，求证：对任意的实数()()(),,22x y f y f x f y -+≤≤+．19．已知函数()231f x x x =-+-.（1）解不等式()2f x ≤；（2）若函数()2202022019g x x a x =-++-，若对于任意的1x ∈R 都存在2x ∈R ，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围.1．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知()|||2|().f x x a x x x a =-+-- （1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集； （2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围．3．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设,,x y z ∈R ，且1x y z ++=．（1）求222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值；（2）若2221(2)(1)()3x y z a -+-+-≥成立，证明：3a ≤-或1a ≥-．4．【2019年高考江苏卷数学】设x ∈R ，解不等式||+|2 1|>2x x -．5．【2018年高考全国Ⅰ卷理数】已知()|1||1|f x x ax =+--． （1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围．6．【2018年高考全国Ⅱ卷理数】设函数()5|||2|f x x a x =-+--． （1）当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； （2）若()1f x ≤，求a 的取值范围．7．【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()211f x x x =++-． （1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．8．【2017年高考全国Ⅰ卷理数】已知函数4)(2++-=ax x x f ，|1||1|)(-++=x x x g ． （1）当1=a 时，求不等式)()(x g x f ≥的解集；（2）若不等式)()(x g x f ≥的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围．9．【2017年高考全国Ⅱ卷理数】已知330,0,2a b a b >>+=．证明：（1）55()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤．10．【2017年高考全国Ⅲ卷理数】已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│．（1）求不等式f （x ）≥1的解集；（2）若不等式()2f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围．1．【答案】（1）{|40}x x -≤≤;（2）13a -<<.【解析】（1）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，①当1x ≥时，31x +≤得：无解；②当11x -<<时，311x +≤，解得：10x -<≤； ③当1x ≤-时，31x --≤，解得：41x -≤≤-. 综合①②③可得()1f x ≤的解集为：{|40}x x -≤≤.（2）若()f x x a =+有两个不同的解，即()y f x =的图象与直线y x a =+有两个交点，当直线y x a =+过点(1,2)--时，1a =-，当直线y x a =+与3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩中的第一段重合时，3a =.结合图象可得13a -<<．【名师点睛】本题考查了绝对值的意义、数形结合的数学思想方法，难度不大，但对作图要求较高．求解时，（1）由绝对值的意义可得：3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，再分段求解即可；（2）采用数形结合的数学思想方法解题，分别作()y f x =的图象与直线y x a =+图象，观察交点个数情况，从而得出a 的取值范围．2．【答案】（1）3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（2）{}|31a a -<<.【解析】（1）|1||2|5x x x ++-≥，1125x x x x ≤-⎧⎨---+≥⎩或12125x x x x -<<⎧⎨+-+≥⎩或2125x x x x≥⎧⎨++-≥⎩， 所以1x ≤-或315x -<≤或x ∈∅，所以不等式的解集为3,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.（2）即若存在0x ∈R ，使得()02f x <， 因为|1|||x x a ++-|(1)()||1|x x a a +--=+…， 所以|1|2a +<，所以a 的取值范围为{}|31a a -<<.【名师点睛】求解本题时，（1）由题意将不等式转化为分段函数的形式，然后分别求解相应的不等式组即可确定不等式的解集；（2）首先利用绝对值三角不等式求得|1|||x x a ++-的最小值，据此得到关于a 的不等式即可确定实数a 的取值范围. 绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 3．【答案】见解析.【解析】因为abc a b c =++， 所以1a b c a c ac b b b ++==++，1a b c a b ab c c c ++==++，1a b c b cbc a a a++==++， 所以4914191a b b c a c ab bc ac c c a a b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++++++++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭494914a c b c b a c a c b ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭14≥ 461214=+++ 36=，取等号时2323a cb cb a abc a b c=⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=++⎩，即231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以4936ab bc ac ++≥成立.【名师点睛】（1）绝对值不等式常用的求解集方法：零点分段法、几何意义法、图象法；（2）利用基本不等式完成证明或者计算最值得时候一定要说明取等号的条件.对于本题，将,,ab bc ac 分别利用abc a b c =++得到等价变形，然后利用基本不等式证明，并给出取等号的条件.1．【答案】D【解析】原不等式等价于2125x x x <-⎧⎨---≥⎩或21125x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或1125x x x >⎧⎨-++≥⎩ 23x x <-⎧⇒⎨≤-⎩或2135x -≤≤⎧⎨≥⎩或12x x >⎧⎨≥⎩3x ⇒≤-或x ∈∅或2x ≥3x ⇒≤-或2x ≥．故D 正确．【名师点睛】本题考查绝对值不等式，属于基础题.求解时，讨论x 与2-与1的大小关系，将绝对值拿掉，再解不等式即可. 2．【答案】C【解析】依题意12123y x x x x =++-≥++-=，当且仅当()()120x x +-≥，即12x -≤≤时等号成立，故选C ．【名师点睛】本小题主要考查绝对值不等式，以及绝对值不等式等号成立的条件，属于基础题.求解时，利用绝对值不等式，求得函数的最小值，并求得对应x 的值. 3．【答案】C【解析】由绝对值不等式的性质可得，||1||2|||(1)(2)|3x x x x +--++-=„， 即|1||2|3x x +---….因为|1||2|x x a +--<无实数解，所以3a ≤-. 故选C ．【名师点睛】本题考查了绝对值不等式的性质，利用绝对值不等式的性质解出变量的范围是解决问题的关键.求解时，利用绝对值不等式的性质||||||a b a b -≤-，因此得出||||a b -的范围，再根据无实数解得出a 的范围.4．【答案】A【解析】()222222111111a b c a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++=++++=++++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦29≥=，当且仅当13a b c===时等号成立，故所求的最小值为9，故选A．5．【答案】B【解析】根据绝对值三角不等式，得x x a x x a a++-≥+--=+1(1)()1，∴()1f x x x a=++-的最小值为1a+，Q()2f x≥恒成立，∴等价于()f x的最小值大于等于2，即12a+≥，∴12a+≥或12a+≤-，即1a≥或3a≤-，故选B．【名师点睛】本题主要考查了绝对值三角不等式的应用及如何在恒成立条件下确定参数a的取值范围.求解时，利用绝对值三角不等式确定()f x的最小值；把()2f x≥恒成立的问题，转化为其等价条件去确定a的范围.6．【答案】A【解析】由f(x)=|x+1|+|2x+a|，当a=2时，f(x)=3|x+1|≥0，不合题意；当a<2时，()31,11,1231,2x a xaf x x a xax a x⎧⎪---≤-⎪⎪=--+-<<-⎨⎪⎪++≥-⎪⎩，()min32af x f⎛⎫=-=⎪⎝⎭，得4a=-；当2a>时，()31,21,1231,1ax a xaf x x a xx a x⎧---≤-⎪⎪⎪=+--<<-⎨⎪++≥-⎪⎪⎩，()min32af x f⎛⎫=-=⎪⎝⎭，得8a=.故选A．7．【答案】(2,+∞)【解析】∵|x+1|<2x−1，∴{x≥−1x+1<2x−1或{x<−1−x−1<2x−1，解得x ＞2，故所求不等式的解集是（2，+∞）. 8．【答案】1【解析】由|2x −a|+a ≤6,得a −6≤2x −a ≤6−a ,所以a −3≤x ≤3,所以a =1. 9．【答案】2a ≤【解析】由绝对值不等式的性质可得： 1111112-++=-++≥-++=x x x x x x ， 又关于x 的不等式11x x a -++≥的解集为R ，即11x x a -++≥恒成立， 所以只需2a ≤. 故答案为：2a ≤.【名师点睛】本题主要考查由不等式恒成立求参数的问题，熟记绝对值不等式的性质即可，属于常考题型.求解时，先由绝对值不等式性质得到112-++≥x x ，再由题意，即可得出结果. 10．【答案】9,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】由题可知45x a a x +-+≤，即45x a a x+-≤-，所以5a ≤， 又因为45x a a x +-≤-，所以455a x a a x -≤+-≤-，故4255a x x-≤+≤， 又因为14x ≤≤，445x x ≤+≤，所以254a -≤，解得92a ≤，11．【答案】3【解析】不等式21x x a -≥++变形为21x x a --+≥， 构造函数()21f x x x =--+，当1x <-时，()()()213f x x x =--++=；当12x -≤≤时，()()()2121f x x x x =---+=-+； 当2x >时，()()()213f x x x =--+=-.即()3,21,3,f x x ⎧⎪=-+⎨⎪-⎩1122x x x <--≤≤>，画出函数图象如下图所示:因为()21f x x x a =--+≥的解集不是空集，即()21f x x x a =--+≥有解， 所以从图象可知，3a ≤，即实数a 的最大值是3. 故答案为3.【名师点睛】本题考查了分类讨论绝对值不等式相关问题，将不等式转化为函数，结合图象来分析参数取值是常用方法，属于基础题.求解时，将不等式变形，并构造函数()21f x x x =--+，对x 分类讨论，求得不同x 取值范围内解析式.画出函数图象，并根据图象求得a 的取值范围. 12．【答案】（1）见解析；（2）35a ≤≤.【解析】（1）Q 函数()|24|1f x x =-+，当2x <时，()()|24|124125f x x x x =-+=--+=-+， 当2x ≥时，()|24|124123f x x x x =-+=-+=-，25,2()23,2x x f x x x -+<⎧∴=⎨-≥⎩.则函数()y f x =的图象如图所示：（2）由题得()|2|2f x x a +-≤，即|24||2|1x x a -+-≤有解. 所以min (|24||2|)1x x a -+-≤，又|24||2||(24)(2)||4|x x a x x a a -+-≥---=-（当(24)(2)0x x a +⋅-≤时取等号）， 所以min (|24||2|)|4|x x a a -+-=-， 则|4|1a -≤，可得35a ≤≤.【名师点睛】本题主要考查了不等式选讲的内容，一般地，对含有绝对值的函数，采用零点分段法，即可把绝对值去掉，属于中档题.求解时，（1）去掉绝对值，再根据解析式画出图象即可.（2）根据题意，将不等式()|2|2f x x a +-≤的解集非空，转化为|24||2|1x x a -+-≤有解，由三角不等式求出|24||2|x x a -+-的最小值，解不等式|4|1a -≤，即可得出实数a 得取值范围.13．【答案】（1）73t =；（2）7249. 【解析】（1）由题意，函数()251,,32121323,,32151,,2x x f x x x x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-++=+-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩当23x ≤-时，函数的最小值为73； 当2132x -<<时，函数的最小值()min 73f x >；当12x ≥时，函数的最小值为72，所以函数的最小值为73，即73t =. （2）由（1）知，73a b ab +=，则1173a b +=，则()2222222229119224949b a b a a b a b a b a b a b ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦972224949⎛≥+⋅= ⎝，当且仅当2222b a a b=且b aa b =，即67a b ==时取等号，所以22a b +的最小值为7249. 【名师点睛】本题主要考查了含绝对值函数的应用，以及利用基本不等式求最值问题，其中解答中合理去掉绝对值得到分段函数，以及准确利用基本不等式求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.求解时，（1）由题意，去掉绝对值，得到分段函数，即可求得函数的最小值，得到答案.（2）由（1）知，73a b ab +=，则1173a b +=，利用基本不等式，即可求得22a b +的最小值，得到答案.14．【答案】（1）(][),14,-∞-+∞U ；（2）{}1.【解析】（1）1a =时，()32,121=1,1223,2x x f x x x x x x -≤⎧⎪=-+-<<⎨⎪-≥⎩.()5f x ≥即()215f x x x =-+-≥，由()=5f x 可解得=1x -或4x =， 所以不等式的解为(][),14,-∞-+∞U .（2）由21141a x x x a+-+-≤-+在[]1,2上恒成立， 由于0a >，可得212a a+≥（当且仅当a =1时取等号）， 不等式()()f x g x ≤等价于21141a x x x a+-+-≤--在[]1,2上恒成立，即214a x a +≤-在[]1,2上恒成立，即212a a+≤，可得1a =，故a 的取值集合为{}1.【名师点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值的几何意义，恒成立问题，分离参数的方法，属于难题.求解时，（1）1a =时，()215f x x x =-+-≥，根据绝对值的几何意义即可求解（2）不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，即21141a x x x a+-+-≤-+在[]1,2上恒成立，去掉绝对值号，分离参数即可求解.15．【答案】（1）{|24}x x ∈-≤≤R ；（2）17,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .【解析】（1）当1a =时，()3|1|f x x =-，由()9f x ≤得|1|3x -≤，即313x -≤-≤，解得24x -≤≤. 当1a =时，关于x 的不等式()9f x ≤的解集为{|24}x x ∈-≤≤R .（2）①当1a >时，43a a <-，363,43()23,43363,x a x a f x x a a x a x a x a -+>-⎧⎪=+-≤≤-⎨⎪-+-<⎩，所以()f x 在(),a -∞上是减函数，在[,)a +∞上是增函数， 所以min ()()33f x f a a ==-， 由题设得334a -≥，解得73a ≥. ②当1a <时，43a a >-，363,43()23,43363,x a x a f x x a a x a x a x a -+-<-⎧⎪=--+-≤≤⎨⎪-+>⎩，所以()f x 在(),a -∞上是减函数，在[,)a +∞上是增函数， 所以min ()()33f x f a a ==-+，由题设得334a -+≥，解得13a ≤-.综上所述，a 的取值范围为17,,33⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .【名师点睛】本题考查绝对值函数，绝对值函数其本质就是分段函数，通过讨论绝对值里面的正负号，将绝对值去掉是解本类题的关键，属于中档题.求解时，（1）当1a =时，()3|-1|9f x x =≤，解出即可.（2）讨论a 的取值，去掉绝对值，找到()min 4f x ≥，即可求出a 的取值范围. 16．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）()()()22222222222a b c b a c ab bc ac ab bc ac +++++++++=≤2221a b c =++=，3a b c ===时取等号． （2）444444222222222222a b c a b c a b c c a b c a b c a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22222a b c ≥=++=，所以4442221a b c c a b ++≥，a b c ===【名师点睛】本题主要考查利用均值不等式证明不等式的方法，不等式的灵活变形等知识，属于中等题.求解时，（1）由2222ab bc acab bc ac ++++=结合均值不等式进行整理变形即可证得题中的结论；（2）由题意利用均值不等式首先证得4442222222a b c a b c c a b+++++≥，然后结合题意即可证得题中的结论，注意等号成立的条件. 17．【答案】（1）1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭；（2）3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭. 【解析】（1）由()1f x x x <++得：21x x x -<++， 当2x >时，21x x x -<++，解得：3x >-，2x ∴>； 当12x -≤≤时，21x x x -<++，解得：13x >，123x ∴<≤；当1x <-时，21x x x -<--，解得：3x >，∴解集为∅. 综上所述，不等式的解集为1,3⎛+∞⎫ ⎪⎝⎭.（2）要使函数()()2log 32()g f x x x f a =++-⎡⎤⎣⎦的定义域为R ， 只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可.又()12232h x x x a a =++--≥-（当且仅当[]1,2x ∈-时取等号），320a ∴->，解得：32a <. ∴实数a 的取值范围为3,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.【名师点睛】本题考查分类讨论求解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用；涉及到根据对数型复合函数的定义域求解参数范围的问题；关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，利用绝对值三角不等式求得最值.求解时，（1）分别在2x >、12x -≤≤和1x <-三种情况下去掉绝对值符号，解不等式求得结果；（2）将问题转化为()()()32h x f x f x a =++-最小值大于0；利用绝对值三角不等式可求得()min 32h x a =-，根据320a ->求得结果. 18．【答案】（1）1a =；（2）见解析.【解析】（1）因为不等式()2f x <-的解集为3{|}2x x >， 所以32x =是方程()2f x =-的根， 所以33322222f a ⎛⎫=--+=-⎪⎝⎭，解得1a =或4a =-， 当4a =-时，()2f x <-的解集为∅，不合题意，舍去. 经验证，当1a =时不等式()2f x <-的解集为32x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭，符合题意， 所以1a =.（2）因为()()222x x a x x a a --+≤--+=+，即()2f x a ≤+， 所以对任意的实数(),,22,x y a f x a -+≤≤+①()22a f y a -+≤≤+，即()22,a f y a -+≤-≤+②①+②得()()2222a f x f y a -+≤-≤+， 因为[]3,1a ∈--，所以21,21a a +≤-+≥-，所以()()22f x f y -≤-≤，即()()()22f y f x f y -+≤≤+， 故得证.【名师点睛】本题考查方程的根和所对应的不等式的解集之间的关系和绝对值三角不等式的应用，属于基础题.求解时，（1）根据方程的根与所对应的不等式的解集之间的关系，建立方程求得a ，注意检验所对应的解集是否满足题意；（2）利用绝对值三角不等式：a b a b a b -≤±≤+，对函数()f x 进行放缩得证.19．【答案】（1）2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）1322a ≤≤. 【解析】（1）34,13()2,12334,2x x f x x x x x ⎧⎪-+⎪⎪=-+≤≤⎨⎪⎪-⎪⎩＜＞.由()2f x ≤得，223x ≤≤， 故所求解集为2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦.（2）()2202022019(22020)(22019)1g x x a x x a x a =-++-≥-+--=-， 由（1）知min 31()()22f x f ==， ∴112a ≥-， ∴1322a ≤≤. 【名师点睛】本题考查了绝对值不等式，绝对值三角不等式和函数最值问题，是中档题．求解时，（1）利用分类讨论法去掉绝对值，从而求得不等式f （x ）≤2的解集；（2）利用绝对值不等式化简g （x ）≥|a ﹣1|，求出函数f （x ）的最小值，问题化为|a ﹣1|12≤，求出不等式的解集即可．1．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥，又1abc =，故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++．所以222111a b c a b c++≤++． （2）因为, , a b c 为正数且1abc =，故有333()()()a b b c c a +++++≥=3(+)(+)(+)a b b c a c3≥⨯⨯⨯=24．所以333()()()24a b b c c a +++++≥．【名师点睛】本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立． 2．【答案】（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞【解析】（1）当a =1时，()=|1| +|2|(1)f x x x x x ---．当1x <时，2()2(1)0f x x =--<；当1x ≥时，()0f x ≥．所以，不等式()0f x <的解集为(,1)-∞． （2）因为()=0f a ，所以1a ≥．当1a ≥，(,1)x ∈-∞时，()=() +(2)()=2()(1)<0f x a x x x x a a x x -----． 所以，a 的取值范围是[1,)+∞．【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型． 3．【答案】（1）43；（2）见详解． 【解析】（1）由于2[(1)(1)(1)]x y z -++++222(1)(1)(1)2[(1)(1)(1)(1)(1)(1)]x y z x y y z z x =-+++++-++++++-2223(1)(1)(1)x y z ⎡⎤≤-++++⎣⎦，故由已知得2224(1)(1)(1)3x y z -++++≥， 当且仅当x =53，y =–13，13z =-时等号成立． 所以222(1)(1)(1)x y z -++++的最小值为43．（2）由于2[(2)(1)()]x y z a -+-+-222(2)(1)()2[(2)(1)(1)()()(2)]x y z a x y y z a z a x =-+-+-+--+--+--2223(2)(1)()x y z a ⎡⎤≤-+-+-⎣⎦，故由已知2222(2)(2)(1)()3a x y z a +-+-+-≥，当且仅当43a x -=，13a y -=，223a z -=时等号成立． 因此222(2)(1)()x y z a -+-+-的最小值为2(2)3a +．由题设知2(2)133a +≥，解得3a ≤-或1a ≥-．【名师点睛】两个问都是考查柯西不等式，属于柯西不等式的常见题型． 4．【答案】1{|1}3x x x <->或．【解析】当x <0时，原不等式可化为122x x -+->，解得x <13-； 当0≤x ≤12时，原不等式可化为x +1–2x >2，即x <–1，无解； 当x >12时，原不等式可化为x +2x –1>2，解得x >1． 综上，原不等式的解集为1{|1}3x x x <->或．【名师点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力．5．【答案】（1）1{|}2x x >；（2）(0,2]．【解析】（1）当1a =时，()|1||1|f x x x =+--，即2,1,()2,11,2, 1.x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩故不等式()1f x >的解集为1{|}2x x >．（2）当(0,1)x ∈时|1||1|x ax x +-->成立等价于当(0,1)x ∈时|1|1ax -<成立． 若0a ≤，则当(0,1)x ∈时|1|1ax -≥； 若0a >，|1|1ax -<的解集为20x a <<，所以21a≥，故02a <≤． 综上，a 的取值范围为(0,2]．6．【答案】（1）{|23}x x -≤≤；（2）(,6][2,)-∞-+∞U ．【解析】（1）当1a =时，24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪=-<≤⎨⎪-+>⎩可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞U ． 7．【答案】（1）图像见解析；（2）a b +的最小值为5．【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．8．【答案】（1）1{|1}2x x -+-≤≤；（2）[1,1]-． 【解析】（1）当1a =时，不等式()()f x g x ≥等价于2|1||1|40x x x x -+++--≤．①当1x <-时，①式化为2340x x --≤，无解；当11x -≤≤时，①式化为220x x --≤，从而11x -≤≤；当1x >时，①式化为240x x +-≤，从而112x -+<≤． 所以()()f x g x ≥的解集为1{|1}2x x -+-≤≤． （2）当[1,1]x ∈-时，()2g x =．所以()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，等价于当[1,1]x ∈-时()2f x ≥．又()f x 在[1,1]-的最小值必为(1)f -与(1)f 之一，所以(1)2f -≥且(1)2f ≥，得11a -≤≤． 所以a 的取值范围为[1,1]-．【名师点睛】形如||||x a x b c -+-≥（或c ≤）型的不等式主要有两种解法：（1）分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(,]a -∞，(,]a b ，(,)b +∞（此处设a b <）三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集． （2）图像法：作出函数1||||y x a x b =-+-和2y c =的图像，结合图像求解． 9．【答案】（1）证明略；（2）证明略．【解析】（1）()()556556a b a baab a b b ++=+++()()()2333344222244.a b a b ab a b ab a b=+-++=+-≥（2）因为()3322333a b a a b ab b +=+++()()()()232332432,4ab a b a b a b a b =+++≤+++=+所以()38a b +≤，因此2a b +≤．【名师点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法． 10．【答案】（1）{}1x x ≥；（2）54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，.【解析】（1）()31211232,x f x x ,x ,x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪>⎩，当1x <-时，()1f x ≥无解；当12x -≤≤时，由()1f x ≥得，211x -≥，解得12x ≤≤； 当2x >时，由()1f x ≥解得2x >． 所以()1f x ≥的解集为{}1x x ≥．（2）由()2f x x x m ≥-+得212m x x x x ≤+---+，而2223551212244x x x x x x x x x ⎛⎫+---+≤++--+=-+≤ ⎪⎝⎭-，且当32x =时，25124x x x x +---+=． 故m 的取值范围为54⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．【名师点睛】绝对值不等式的解法有三种：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象 求解，体现了函数与方程的思想．。
2020版高考数学大二轮复习专题7选修部分第2讲不等式选讲课件文
[题后悟通] 含有绝对值的不等式的解法 (1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a 或 f(x)＜－a. (2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a. (3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c 的不等式，可利用绝对值不等式的几何 意义求解．
与绝对值有关的参数范围问题
(2)①当 a>2 时，a2<2a－3，
3x－3a＋3，x>2a－3 f(x)＝x＋a－3，a2≤x≤2a－3 ， －3x＋3a－3，x<a2
所以 f(x)在－∞，a2上是减函数，在a2，＋∞是增函数，所以 f(x)min＝fa2＝32a－3， 由题设得32a－3≥4，解得 a≥134.
②当 a<2 时，同理求得 a≤－23. 综上所述，a 的取值范围为－∞，－23∪134，＋∞.
第2讲 不等式选讲
绝对值不等式的解法
考情调研
考向分析
主要考查解绝对值不等式以及求含有绝对值的函数最值
问题．求解的一般方法是去掉绝对值，也可以借助数形 1.含绝对值不等式的解法．
结合求解．在高考中主要以解答题的形式考查，难度为 2.利用绝对值不等式求最值.
中、低档.
[题组练透] 1．已知函数 f(x)＝|x＋2|＋2|x－1|. (1)求 f(x)的最小值； (2)若不等式 f(x)＋x－a<0 的解集为(m，n)，且 n－m＝6，求 a 的值．
(2)
bac＋
abc＋
acb＝a＋abb＋c c.
在(1)中已证 a＋b＋c≥ 3，
因此要证原不等式成立，
只需证明
1≥ abc
a＋
b＋
c.①
因为 a bc＝ ab·ac≤ab＋2 ac，
2020年高考数学二轮复习 专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围 理
专题能力训练8 利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.设f(x)=x ln x-ax2+(2a-1)x,a∈R.(1)令g(x)=f'(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的取值范围.2.(2018全国Ⅲ,理21)已知函数f(x)=(2+x+ax2)·ln(1+x)-2x.(1)若a=0,证明:当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0;(2)若x=0是f(x)的极大值点,求a.3.已知函数f(x)=ax+x ln x的图象在x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.(1)求实数a的值;(2)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;(3)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:.4.设函数f(x)=ax2-a-ln x,其中a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)确定a的所有可能取值,使得f(x)>-e1-x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).5.设函数f(x)=a ln x,g(x)=x2.(1)记g'(x)为g(x)的导函数,若不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x)在x∈[1,e]内有解,求实数a的取值范围;(2)若a=1,对任意的x1>x2>0,不等式m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立.求m(m∈Z,m≤1)的值.6.已知函数f(x)=-2(x+a)ln x+x2-2ax-2a2+a,其中a>0.(1)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(2)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.已知函数f(x)=x3+x2+ax+1(a∈R).(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当a<0时,试讨论是否存在x0∈,使得f(x0)=f.专题能力训练8利用导数解不等式及参数的取值范围一、能力突破训练1.解 (1)由f'(x)=ln x-2ax+2a,可得g(x)=ln x-2ax+2a,x∈(0,+∞).则g'(x)=-2a=,当a≤0时,x∈(0,+∞)时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0时,x时,g'(x)>0,函数g(x)单调递增,x时,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)单调增区间为,单调减区间为(2)由(1)知,f'(1)=0.①当a≤0时,f'(x)单调递增,所以当x∈(0,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当0<a<时,>1,由(1)知f'(x)在区间内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f'(x)<0,x时,f'(x)>0.所以f(x)在区间(0,1)内单调递减,在区间内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.③当a=时,=1,f'(x)在区间(0,1)内单调递增,在区间(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f'(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.④当a>时,0<<1,当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,所以f(x)在x=1处取极大值,合题意.综上可知,实数a的取值范围为a>2.解 (1)当a=0时,f(x)=(2+x)ln(1+x)-2x,f'(x)=ln(1+x)-,设函数g(x)=f'(x)=ln(1+x)-,则g'(x)=,当-1<x<0时,g'(x)<0;当x>0时,g'(x)>0.故当x>-1时,g(x)≥g(0)=0,且仅当x=0时,g(x)=0,从而f'(x)≥0,且仅当x=0时,f'(x)=0.所以f(x)在(-1,+∞)内单调递增.又f(0)=0,故当-1<x<0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0.(2)①若a≥0,由(1)知,当x>0时,f(x)≥(2+x)·ln(1+x)-2x>0=f(0),这与x=0是f(x)的极大值点矛盾.②若a<0,设函数h(x)==ln(1+x)-由于当|x|<min时,2+x+ax2>0,故h(x)与f(x)符号相同.又h(0)=f(0)=0,故x=0是f(x)的极大值点当且仅当x=0是h(x)的极大值点.h'(x)=若6a+1>0,则当0<x<-,且|x|<min时,h'(x)>0,故x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1<0,则a2x2+4ax+6a+1=0存在根x1<0,故当x∈(x1,0),且|x|<min时,h'(x)<0,所以x=0不是h(x)的极大值点.若6a+1=0,则h'(x)=则当x∈(-1,0)时,h'(x)>0;当x∈(0,1)时,h'(x)<0.所以x=0是h(x)的极大值点,从而x=0是f(x)的极大值点.综上,a=-3.解 (1)∵f(x)=ax+x ln x,∴f'(x)=a+ln x+1.又f(x)的图象在点x=e处的切线的斜率为3,∴f'(e)=3,即a+ln e+1=3,∴a=1.(2)由(1)知,f(x)=x+x ln x,若f(x)≤kx2对任意x>0成立,则k对任意x>0成立.令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值,g'(x)==-令g'(x)=0,解得x=1.当0<x<1时,g'(x)>0,∴g(x)在区间(0,1)内是增函数;当x>1时,g'(x)<0,∴g(x)在区间(1,+∞)内是减函数.故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1,∴k≥1即为所求.(3)证明:令h(x)=,则h'(x)=由(2)知,x≥1+ln x(x>0),∴h'(x)≥0,∴h(x)是区间(1,+∞)内的增函数.∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即,∴mn ln n-n ln n>mn ln m-m ln m,即mn ln n+m ln m>mn ln m+n ln n,∴ln n mn+ln m m>ln m mn+ln n n.整理,得ln(mn n)m>ln(nm m)n.∴(mn n)m>(nm m)n,4.解 (1)f'(x)=2ax-(x>0).当a≤0时,f'(x)<0,f(x)在区间(0,+∞)内单调递减.当a>0时,由f'(x)=0,有x=此时,当x时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x时,f'(x)>0,f(x)单调递增.(2)令g(x)=,s(x)=e x-1-x.则s'(x)=e x-1-1.而当x>1时,s'(x)>0,所以s(x)在区间(1,+∞)内单调递增.又由s(1)=0,有s(x)>0,从而当x>1时,g(x)>0.当a≤0,x>1时,f(x)=a(x2-1)-ln x<0.故当f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立时,必有a>0.当0<a<时,>1.由(1)有f<f(1)=0,而g>0,所以此时f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内不恒成立.当a时,令h(x)=f(x)-g(x)(x≥1).当x>1时,h'(x)=2ax--e1-x>x->0.因此,h(x)在区间(1,+∞)单调递增.又因为h(1)=0,所以当x>1时,h(x)=f(x)-g(x)>0,即f(x)>g(x)恒成立.综上,a5.解 (1)不等式f(x)+2g'(x)≤(a+3)x-g(x),即a ln x+2x≤(a+3)x-x2,化简,得a(x-ln x)x2-x.由x∈[1,e]知x-ln x>0,因而a设y=,则y'=∵当x∈(1,e)时,x-1>0,x+1-ln x>0,∴y'>0在x∈[1,e]时成立.由不等式有解,可得a≥y min=-,即实数a的取值范围是(2)当a=1时,f(x)=ln x.由m[g(x1)-g(x2)]>x1f(x1)-x2f(x2)恒成立,得mg(x1)-x1f(x1)>mg(x2)-x2f(x2)恒成立, 设t(x)=x2-x ln x(x>0).由题意知x1>x2>0,则当x∈(0,+∞)时函数t(x)单调递增,∴t'(x)=mx-ln x-1≥0恒成立,即m恒成立.因此,记h(x)=,得h'(x)=∵函数在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,∴函数h(x)在x=1处取得极大值,并且这个极大值就是函数h(x)的最大值.由此可得h(x)max=h(1)=1,故m≥1,结合已知条件m∈Z,m≤1,可得m=1.6.(1)解由已知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),g(x)=f'(x)=2(x-a)-2ln x-2,所以g'(x)=2-当0<a<时,g(x)在区间内单调递增, 在区间内单调递减;当a时,g(x)在区间(0,+∞)内单调递增.(2)证明由f'(x)=2(x-a)-2ln x-2=0,解得a=令φ(x)=-2ln x+x2-2x-2则φ(1)=1>0,φ(e)=--2<0.故存在x0∈(1,e),使得φ(x0)=0.令a0=,u(x)=x-1-ln x(x≥1).由u'(x)=1-0知,函数u(x)在区间(1,+∞)内单调递增.所以0==a0<<1.即a0∈(0,1).当a=a0时,有f'(x0)=0,f(x0)=φ(x0)=0.由(1)知,f'(x)在区间(1,+∞)内单调递增,故当x∈(1,x0)时,f'(x)<0,从而f(x)>f(x0)=0;当x∈(x0,+∞)时,f'(x)>0,从而f(x)>f(x0)=0.所以,当x∈(1,+∞)时,f(x)≥0.综上所述,存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.二、思维提升训练7.解 (1)f'(x)=x2+2x+a,方程x2+2x+a=0的判别式为Δ=4-4a,①当a≥1时,Δ≤0,则f'(x)≥0,此时f(x)在R上是增函数;②当a<1时,方程x2+2x+a=0两根分别为x1=-1-,x2=-1+,解不等式x2+2x+a>0,解得x<-1-或x>-1+,解不等式x2+2x+a<0,解得-1-<x<-1+,此时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).综上所述,当a≥1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);当a<1时,函数f(x)的单调递增区间为(-∞,-1-)和(-1+,+∞),单调递减区间为(-1-,-1+).(2)f(x0)-f+ax0+1--a-1=+a=+a+x0+(4+14x0+7+12a).若存在x0,使得f(x0)=f,则4+14x0+7+12a=0在内有解.由a<0,得Δ=142-16(7+12a)=4(21-48a)>0,故方程4+14x0+7+12a=0的两根为x1'=,x'2=由x0>0,得x0=x'2=,依题意,0<<1,即7<<11,所以49<21-48a<121,即-<a<-,又由得a=-,故要使满足题意的x0存在,则a≠-综上,当a时,存在唯一的x0满足f(x0)=f,当a时,不存在x0满足f(x0)=f。