第七章 复数章节复习及检测-高一数学考点讲解练(人教A版2019必修第二册)
第七章复数章节提升知识框架核心归纳1．复数代数形式z＝a＋bi中，a，b∈R应用复数相等的条件，必须先化成代数形式．2．复数分类条件，其前提必须是代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．3．复数运算的法则，不要死记硬背，加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．4．a 2≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z 2≥0不一定成立，|z |2≠z 2. 5．复数与平面向量联系时，必须是以原点为始点的向量． 6．不全为实数的两个复数不能比较大小．考点讲解考点1：复数的概念【例1】（1）复数1－2＋i ＋11－2i 的虚部是( )A ．15iB ．15C ．－15iD ．－15（2）若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1【解析】(1)1－2＋i ＋11－2i ＝－2－i －2＋i －2－i ＋1＋2i 1－2i 1＋2i＝－2－i 5＋1＋2i 5＝－15＋15i ，故虚部为15.(2)由纯虚数的定义，可得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得a ＝2.【方法技巧】处理复数概念问题的两个注意点(1)当复数不是a ＋b i(a ，b ∈R )的形式时，要通过变形化为a ＋b i 的形式，以便确定其实部和虚部． (2)求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根． 【针对训练】1．(1)若复数z ＝1＋i(i 为虚数单位)，z 是z 的共轭复数，则z 2＋z 2的虚部为( ) A ．0 B ．－1 C ．1D ．－2(2)已知z 1＝m 2－3m ＋m 2i ，z 2＝4＋(5m ＋6)i ，其中m 为实数，i 为虚数单位，若z 1－z 2＝0，则m 的值为( )A ．4B ．－1C ．6D ．－1或6【解析】(1)因为z ＝1＋i ，所以z ＝1－i ，所以z 2＋z 2＝(1＋i)2＋(1－i)2＝2i ＋(－2i)＝0.故选A ． (2)由题意可得z 1＝z 2，即m 2－3m ＋m 2i ＝4＋(5m ＋6)i ，根据两个复数相等的充要条件可得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝4，m 2＝5m ＋6，解得m ＝－1，故选B ． 考点2：复数的四则运算【例2】 (1) 已知z 是z 的共轭复数，若z ·z i ＋2＝2z ，则z ＝( ) A ．1＋i B ．1－i C ．－1＋iD ．－1－i(2)已知复数z 1＝2－3i ，z 2＝3＋2i 2＋i 2，则z 1z 2＝( )A ．－4＋3iB ．3＋4iC ．3－4iD ．4－3i 【解析】(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i ，代入z ·z i ＋2＝2z 中得，(a ＋b i)(a －b i)i ＋2＝2(a ＋b i)， ∈2＋(a 2＋b 2)i ＝2a ＋2b i ，由复数相等的条件得，⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝2，a 2＋b 2＝2b ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∈z ＝1＋i ，故选A ．(2)z 1z 2＝2－3i 2＋i 23＋2i＝2－3i 3－2i 2＋i 23＋2i 3－2i＝－13i 3＋4i13＝4－3i.【变式训练】1．本例题(1)中已知条件不变，则z z＝________.【解析】由例(1)解析知z ＝1＋i ，所以z ＝1－i.z z＝1＋i1－i＝i. 2．本例题(2)中已知条件不变，则z 1z 2＝__________. 【解析】z 1z 2＝2－3i 3＋2i2＋i 2＝12－5i 3＋4i ＝12－5i3－4i3＋4i 3－4i＝16－63i 32＋42＝1625－6325i. 【方法技巧】1．复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似．2．复数的除法运算，将分子、分母同时乘以分母的共轭复数，最后整理成a ＋b i(a ，b ∈R )的结构形式. 3．利用复数相等，可实现复数问题的实数化． 考点3：复数的几何意义及其应用【例3】 已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．【解析】 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )， 则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∈y ＝－2.又z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数，∈x ＝4，∈z ＝4－2i. 又∈(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限，∈⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8a －2>0，解得2<a <6. ∈实数a 的取值范围是(2,6)．【方法技巧】一般设出复数z 的代数形式，即z ＝x ＋y i x ，y ∈R ，则涉及复数的分类、几何意义、模的运算、四则运算、共轭复数等问题，都可以转化为实数x ，y 应满足的条件，即复数问题实数化的思想是本章的主要思想方法.2．(1)在复平面内，复数－2＋3i 3－4i (i 是虚数单位)所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限(2)(一题两空)已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C ．若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.【解析】(1)－2＋3i 3－4i ＝－2＋3i 3＋4i 25＝－18＋i 25＝－1825＋125i ，∈复数－2＋3i 3－4i 对应的点位于第二象限．(2)∈OC →＝2OA →＋OB →， ∈1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a ，－4＝6＋b ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－10.章节过关练一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2020·全国Ⅲ卷理)复数11－3i 的虚部是( )A ．－310B ．－110C ．110D ．310【解析】 因为z ＝11－3i ＝1＋3i (1－3i )(1＋3i )＝110＋310i ，所以复数z ＝11－3i 的虚部为310.故选D ．2．已知复数z 满足(2＋i)z ＝1－2i(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z －＝( ) A ．i B ．－i C ．4－5i 5D ．4＋5i 5【解析】 z ＝1－2i 2＋i ＝－i ，则z －＝i.3．已知复数z ＝i ，则⎪⎪⎪⎪1＋i z ＝( )A ．1＋iB ．1－iC ．2D ．1【解析】 已知复数z ＝i ，则1＋i z ＝1＋ii＝1－i ⇒|1－i|＝ 2.4．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限【解析】由题可知z ＝|3＋i|1＋i ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )1－i 2＝1－i ，所以z 对应的点为(1，－1)，位于第四象限.5．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋4i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( ) A ．3＋2i B ．3－2i C ．－3－iD ．－3＋i【解析】由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋4i ＝0．即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－2.所以z ＝3－2i. 6．若复数z 1，z 2满足z 1＝z －2，则z 1，z 2在复数平面上对应的点Z 1，Z 2( ) A ．关于x 轴对称 B ．关于y 轴对称 C ．关于原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【解析】 复数z 1，z 2满足z 1＝z －2，可得z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，故z 1，z 2在复数平面上对应的点关于x 轴对称.7．已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a －3i ，z ·z －＝4，则a ＝( )A ．1或－1B ．7或－7C ．－3D ．3【解析】 由题意，复数z ＝a －3i ，则z －＝a ＋3i ， 所以z ·z －＝(a －3i)(a ＋3i)＝a 2＋3＝4，所以a 2＝1， 即a ＝1或a ＝－1．8．欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ(e 为自然对数的底数，i 为虚数单位)是瑞士著名数学家欧拉发明的，e iπ＋1＝0是英国科学期刊《物理世界》评选出的十大最伟大的公式之一.根据欧拉公式可知，复数e π3 i的虚部为( )A ．－32 B ．32 C ．－32i D ．32i 【解析】 根据欧拉公式e i θ＝cos θ＋isin θ，可得e π3 i＝cos π3＋isin π3＝12＋32i ，所以e π3 i的虚部为32.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)9．若θ∈(3π2，2π)，则复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点不可能在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 ∵θ∈(3π2，2π)，∴cos θ＞0，sin θ<0，∴复数cos θ＋isin θ在复平面内对应的点在第四象限，故选ABC ．10．已知i 是虚数单位，与复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2相同的选项为( )A ．－iB ．－1C ．1D ．i 2【解析】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝2i －2i＝－1．11．设z －1，z 2是复数，给出四个命题： ①若|z 1－z 2|＝0，则z －1＝z －2 ②若z 1＝z －2，则z －1＝z 2 ③若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2④若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22其中真命题的有( ) A ．① B ．② C ．③D ．④【解析】 由z 1，z 2是复数，得：在①中，若|z 1－z 2|＝0，则z 1，z 2的实部和虚部都相等，所以z －1＝z －2，故①正确； 在②中，若z 1＝z －2，则z 1，z 2的实部相等，虚部互为相反数，所以z －1＝z 2，故②正确； 在③中，若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z －1＝z 2·z －2＝|z 1|2，故③正确；在④中，若|z 1|＝|z 2|，则由复数的模的性质得z 21≠z 22，如|1－i|＝|1＋i|＝2，但(1－i)2＝－2i ≠(1＋i)2＝2i ，故④不正确.12．若复数z ＝(a －i)·i ，a 是下列区间内的任意实数，则可以使|z |≤2恒成立的是( ) A ．[－1,0) B ．[－1,1]C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)【解析】 因为z ＝(a －i)·i ＝1＋a i ，所以|z |＝1＋a 2≤2，解得－3≤a ≤ 3. 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝____. 【解析】1＋i 1－i ＝(1＋i )2(1－i )(1＋i )＝i ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2 019＝i 2 019＝i 4×504＋3＝i 3＝－i .14．已知i 为虚数单位，则复数z ＝21＋i 在复平面内对应的点的坐标为____.【解析】 复数z ＝21＋i ＝2(1－i )(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝1－i ，则z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－1).15．已知a ，b ∈R ，复数z ＝a －i 且z1＋i ＝1＋b i(i 为虚数单位)，则ab ＝____.【解析】 因为z ＝a －i ，所以z1＋i ＝a －i 1＋i ＝1＋b i ，即a －i ＝(1＋i)(1＋b i)＝1＋b i ＋i －b ＝(b ＋1)i ＋1－b ，根据左右两边对应相等有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－b ，－1＝b ＋1，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，所以ab ＝－6．16．已知复数z 满足z ＝1－ii(i 是虚数单位)，则z 2＝___；|z |＝____.【解析】 由题意，根据复数的运算，化简得z ＝1－i i ＝(1－i )(－i )－i 2＝－1－i ，所以z 2＝(－1－i)2＝2i ，|z |＝ 2.四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)设复数z ＝a 2－a －(a －1)i ，(a ∈R ). (1)若z 为纯虚数，求|3＋z |.(2)若z 在复平面内对应的点在第四象限，求a 的取值范围.【解析】 (1)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＝0，a －1≠0， 所以a ＝0，故z ＝i ，所以|3＋z |＝10.(2)若z 在复平面内对应的点在第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >0，－a ＋1<0，解得a >1． 18．(本小题满分12分)计算：(1)(1＋3i )2－2(1＋2i )3－i. (2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2. 【解析】(1)(1＋3i )2－2(1＋2i )3－i ＝－8＋6i －2－4i 3－i＝－10＋2i 3－i ＝(－10＋2i )(3＋i )(3－i )(3＋i )＝－32－4i 10＝－165－25i. (2)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i－1＋i 2i ＝－2i 2i ＝－1． 19．(本小题满分12分)已知i 为虚数单位，复数z ＝3＋b i(b ∈R )，且(1＋3i)·z 为纯虚数.(1)求复数z 及z －.(2)若ω＝z 2＋i，求复数ω的模. 【解析】 (1)由题可得(1＋3i)·z ＝(1＋3i)(3＋b i)＝(3－3b )＋(9＋b )i ，因为(1＋3i)·z 为纯虚数，所以3－3b ＝0且9＋b ≠0，解得b ＝1，所以z ＝3＋i ，z －＝3－i.(2)由(1)可得ω＝z 2＋i ＝3＋i 2＋i ＝(3＋i )(2－i )(2＋i )(2－i )＝7－i 5＝75－15i ， 所以|ω|＝⎪⎪⎪⎪75－15i ＝⎝⎛⎭⎫752＋⎝⎛⎭⎫－152＝ 2. 20．(本小题满分12分)已知复数z ＝(2＋i)(i －3)＋4－2i.(1)求复数z 的共轭复数z －及|z |.(2)若复数z 1＝z ＋(a 2－2a )＋a i(a ∈R )是纯虚数，求实数a 的值.【解析】 (1)复数z ＝(2＋i)(i －3)＋4－2i.z ＝2i ＋i 2－6－3i ＋4－2i ＝－3－3iz －＝－3＋3i ，|z |＝(－3)2＋(－3)2＝3 2.(2)因为复数z 1＝z ＋(a 2－2a )＋a i ＝(a 2－2a －3)＋(a －3)i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －3＝0，a －3≠0， 解得a ＝－1．所以实数a ＝－1．21．(本小题满分12分)已知复数w 满足w －4＝(3－2w )i(i 为虚数单位)，z ＝5w ＋|w －－2|.(1)求z .(2)若(1)中的z 是关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的一个根，求实数p ，q 的值及方程的另一个根.【解析】 (1)因为w －4＝(3－2w )i ，所以w (1＋2i)＝4＋3i ，所以w ＝4＋3i 1＋2i ＝(4＋3i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－i ，所以z ＝52－i ＋|i|＝5(2＋i )(2－i )(2＋i )＋1＝3＋i. (2)因为z ＝3＋i 是关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0的一个根，所以(3＋i)2－p (3＋i)＋q ＝0，(8－3p ＋q )＋(6－p )i ＝0，因为p ，q 为实数，所以⎩⎪⎨⎪⎧8－3p ＋q ＝0，6－p ＝0， 解得p ＝6，q ＝10．解方程x 2－6x ＋10＝0，得x ＝3±i.所以实数p ＝6，q ＝10，方程的另一个根为x ＝3－i.22．(本小题满分12分)若复数z 满足|z ＋3＋i|≤1，求(1)|z |的最大值和最小值；(2)|z －1|2＋|z ＋1|2的最大值和最小值.【解析】 (1)满足条件|z ＋3＋i|≤1的复数z 的几何意义为圆心为(－3，－1)，半径为1的圆及其内部，|z |则表示圆面上一点到原点的距离，易求得圆心到原点的距离为(3)2＋12＝2，所以|z |max ＝3，|z |min ＝1．(2)∵|z －1|2＋|z ＋1|2＝2|z |2＋2，∴|z －1|2＋|z ＋1|2最大值为20，最小值为4．。
7.2 复数的四则运算(解析版) (人教A版2019必修第二册)-人教版高中数学精讲精练必修二
7.2复数的四则运算考法一复数的加减运算【例1-1】（2023·贵州黔东南）已知复数1123i z =-，29i z =-+，则12z z +的实部与虚部分别为（）A ．3，2-B ．3，2i-C ．2，3-D ．2，3i-【答案】A【解析】因为1123i z =-，29i z =-+，所以1232i z z +=-，其实部与虚部分别为3，2-.故选：A【例1-2】（2024·内蒙古）复数13z a i =+，24i z b =-+，其中a ，b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．7-B ．6-C ．6D ．7【答案】A【解析】由题意()1243i z z a b +=-++，()1243i z z a b -=++-，因为12z z +为实数，12z z -为纯虚数，所以3040b a +=⎧⎨+=⎩，得34b a =-⎧⎨=-⎩，所以7a b +=-.故选：A.【一隅三反】1．（2023·四川眉山）复数(12i)(34i)+--对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】由复数(12i)(34i)26i +--=-+，可得复数在复平面内对应的点()2,6-位于第二象限.故选：B.2．（2023·全国·模拟预测）若复数1213i,2i z z =+=-+，则12z z -=（）A ．5BC ．25D【答案】A【解析】由1213i,2i z z =+=-+，有22i z =--，则1234i z z -=+，所以125z z -==，故选：A ．3．（2024·内蒙古）复数124i,3i z a z b =+=-+，其中,a b 为实数，若12z z +为实数，12z z -为纯虚数，则a b +=（）A ．6B ．6-C ．7-D ．7【答案】C【解析】复数124i,3i z a z b =+=-+，,a b 为实数，则12(3)(4)i z z a b +=-++，由12z z +为实数，得40b +=，解得4b =-，又12(3)(4)i z z a b -=++-，显然40b -≠，由12z z -为纯虚数，得30a +=，解得3a =-，所以7a b +=-.故选：C4．（2021·高一课时练习）设z 1=2+b i ，z 2=a+i ，当z 1+z 2=0时，复数a+b i 为（）A ．1+iB ．2+iC ．3D ．2i--【答案】D【解析】因为z 1+z 2=(2+b i )+(a+i )=(2+a )+(b+1)i =0，所以2010a b +=⎧⎨+=⎩，，于是21a b =-⎧⎨=-⎩，，故i 2i a b +=--.故选：D.考法二复数加减运算的几何意义【例2-1】（2023上海）若向量,AB AC分别表示复数122i,3i z z =-=+，则BC uu u r =（）A ．5BC ．D ．【答案】B【解析】因为BC AC AB=-，又向量,AB AC 分别表示复数122i,3i z z =-=+，所以BC表示复数2112i z z -=+，所以12i BC =+= 故选：B【例2-2】（2023·江苏常州）已知12,z z ∈C ，121z z ==，12z z +=12z z -=（）A ．0B ．1C D【答案】B【解析】在复平面中，设12,z z 分别与向量12,OZ OZ对应，由题意可得121OZ OZ ==uuu r uuur ，12OZ OZ +=uuu r uuur因为22221212122OZ OZ OZ OZ OZ OZ ⎛⎫++-=+ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即()21232114OZ OZ +-=+=uuu r uuur ，解得121OZ OZ -=uuu r uuur ，即121z z -=.故选：B.【一隅三反】1．（2023·河南郑州）复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB ，则表示向量BA的复数为（）A ．39i +B ．28i+C ．9i--D ．9i+【答案】D【解析】复数65i +与34i -+分别表示向量OA 与OB，因为BA OA OB =- ，所以表示向量BA的复数为(65i)(34i)9i +--+=+.故选：D.2．（2023·高一课时练习）复平面上有A 、B 、C 三点，点A 对应的复数为2i +，BA对应的复数为12i +，BC对应的复数为3i -，则点C 的坐标为．【答案】()4,2-【解析】因为BA对应的复数是12i +，BC 对应的复数为3i -，又AC BC BA =- ，所以AC 对应的复数为()()3i 12i 23i --+=-，又OC OA AC =+ ，所以点C 对应的复数为()()2i 23i 42i ++-=-，所以点C 的坐标为()4,2-．故答案为：()4,2-．3．（2023·高一课时练习）在平行四边形ABCD 中，若点A ，C 分别对应于复数1i -+，43i --，则A ，C 两点间的距离为．【答案】5【解析】依题意得AC对应的复数为()()43i 1i 34i ----+=--，所以A ，C 两点间的距离为34i 5AC =--==．故答案为：5．考法三复数的乘除法运算【例3】（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()312i -；(2)()323i -；(3)1122⎛⎫⎛⎫-+- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；(4)1i ；(5)2i 1i -；(6)1i 13i ++．【答案】(1)112i -+(2)469i --(3)1(4)i -(5)1i -+(6)21i55-【解析】（1）()()()()()()()23212i 12i 12i 14i 4i 12i 34i 12i ==----+-=---236i 4i 8i 112i=-+-+=-+（2）()()()()()()()23223i 23i 23i 412i 9i 23i 512i 23i ==----+-=---21015i 24i 36i 469i=-+-+=--（3）2221111313i 12224444⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫-+-=--=-=+= ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（4）211i ii i i 1⋅===--（5）()()()222i 1i 2i 2i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 1i 2++-====-+--+-（6）()()()()221i 13i 1i13i i 3i 42i 21i 13i 13i 13i 19i 1055+-+-+--====-++--【一隅三反】1.（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)()i 34i ++；(2)()()1i 1i --+；(3)()()2i 3i --+；(4)()()14i 2i -+-．【答案】(1)35i +(2)2i -(3)12i --(4)35i -【解析】（1）()i 34i 35i ++=+（2）()()1i 1i 2i --+=-（3）()()2i 3i 12i --+=--（4）()()14i 2i 35i-+-=-2．（2023·全国·高一随堂练习）计算：(1)i23i +；(2)4i 3i 2i 2i +-+-+；(3)12i 2i 32i 1i ---+；【答案】(1)32i 1313+(2)121i 55+(3)13i 2--(4)12【解析】（1）i i(23i)32i 32i 23i (23i)(23i)131313-+===+++-（2）4i 3i (4i)(2i)(3i)(2i)76i 55i 121i 2i 2i (2i)(2i)555+-+++--++-+==+-+-+（3）12i 2i 3(12i)(i)(2i 3)(1i)2i 15i 13i 2i 1i 2i (i)(1i)(1i)222---------+-=-=-=--+⋅-+-（42212=；3.（2023湖北）计算：122i(1i)i 22⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（2）50820028i 1i ⎛⎫+- ⎪ ⎪-⎝⎭．（3）()2020222i1i 1i ⎛⎫++⎪ ⎪+-⎝⎭；（4）22021i i i +++ ．【答案】（1）513；（2）247+．（3）2i -+；（4）i .【解析】（1）由于3211111((i)(i)(i)(i)12222222222-=-⨯-=--⨯-=-2(1i)2i-=-故61562155615926612(1(12(1)2(1)221251312112i (2i)i 2i(1i)i 222-⨯--⨯-+===+=⎛⎫⨯-⨯-+ ⎪⎝⎭（2）由于2(1i)2i +=，2(1i)2i -=-，41i =，31(122-=-故50820028i+-+⎝⎭25885004248502i 2(1i)(1i)⨯+=++--25844425212(2i)i (2i)i)22=-+-++-4441122i i 2(i)247822=-+⨯-++-=+（3）()2222i22i 1i i i 1i 2i i i 1i ++---+====-+-- )()())1i 1i 1i 1i -==-+-，所以，()2211i i 1i 2⎛⎫=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭，因此，原式()()210104252202022i 2i1i 21i i ⨯+=-++- =-+=⎛⎫++ ⎪⎪+-⎝⎭+-+-=-+；（4）因为()()12323*i i i i i i i i 10n n n n n n N +++=++++++=∈，所以原式()()()234567820172018201920202021i i i i i i i i ii i i i =+++++++++++++ ()50520214505i i i 1i i ==⋅=⋅=．考法四在复数的范围内解方程【例4】（2024云南）在复数范围内解下列方程.(1)250x +=；(2)23210x x ++=；(3)2460x x ++=.【答案】(1)1,2x =(2)1,231x -=(3)1,22x =-【解析】（1）∵200∆=-<，∴由求根公式得1,22x ==.（2）∵224380∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,2x =（3）∵244680∆=-⨯=-<，∴由求根公式得1,22x =-.【一隅三反】1．（2023下·西藏林芝·高一校考期末）在复数范围内解下列方程：(1)230x +=；(2)210x x ++=．(3)240z +=；(4)210400z z -+=．【答案】(1)x =(2)x =(3)2i z =或2i z =-．(4)5z =或5z =．【解析】（1）230x +=即为223i x =，故x =.（2）210x x ++=即为22133i 244x ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭，故12x +=，所以12x =-.（3）240z +=，则24z =-，则2i z =±.（4）配方，得()2515z -=-．5z -=或5z -=，所以5z =或5z =．2（2024上海）已知2z i =+是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，求实数p、q 的值及方程的另一个根．【答案】4p =-，5q =，另一个根2i -．【解析】因为2z i =+是方程20x px q ++=的一个根，所以()()2220i i p q ++++=，即()3240q p p i ++++=，所以32040q p p ++=⎧⎨+=⎩，解得45p q =-⎧⎨=⎩，所以方程为2450x x -+=，因为124x x +=，所以方程的另一个根是2x i =-.3（2024江苏）已知复数51i 12iz =+++，i 为虚数单位.（1）求z 和z ；（2）若复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，求实数m ，n 的值.【解析】（1） 复数55(12)1112(12)(12)i z i ii i i -=++=++++-1212i i i =-++=-，||z ∴==2z i =+．（2） 复数z 是关于x 的方程20x mx n ++=的一个根，2(2)(2)0i m i n ∴-+-+=，24420i i m mi n ∴-++-+=，(32)(4)0m n m i ∴++-+=，∴32040m n m ++=⎧⎨+=⎩，解得4m =-，5n =．考法五复数模的最值【例5】（2023·浙江）已知复数z 满足1z =，则2z -的取值范围为．【答案】[]2,4【解析】1z =表示z 对应的点是单位圆上的点，2z -的几何意义表示单位圆上的点和(之间的距离，2z -的取值范围转化为点(到圆心的距离加上半径可得最大值，减去半径可得最小值，14=12-=，所以2z -的取值范围为[]2,4.故答案为：[]2,4.【一隅三反】1．（2024·上海）已知C z ∈，且i 3z +=，i 为虚数单位，则33i z --的最大值是．【答案】8【解析】因为C z ∈且i 3z +=，所以，根据复数模的几何意义，z 表示以(0,1)-为圆心，3为半径的圆，所以，33i z --表示圆上的点和点(3,3)的距离，因为圆心(0,1)-到点(3,3)5=，max 35833i z =-+-=，故答案为：82．（2023·全国·模拟预测）设z 是复数且12i 1z -+=，则z 的最小值为（）A ．1B 1C 1D【答案】C【解析】根据复数模的几何意义可知，12i 1z -+=表示复平面内以()1,2-为圆心，1为半径的圆，而z 表示复数z 到原点的距离，由图可知，min 11z =-=.故选：C3．（2024北京）（多选）已知i 为虚数单位，下列说法正确的是（）A ．若复数z 满足i z -=z 在复平面内对应的点在以()1,0B ．若复数z 满足28i z z +=+，则复数158iz =+C ．复数的模实质上是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D ．非零复数z 1对应的向量为1OZ，非零复数z 2对应的向量为2OZ ，若1212z z z z +=-，则12OZ OZ ⊥ 【答案】CD【解析】对于A 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则()i 1i z a b -=+-，由i z -=可得，()2215a b +-=，所以满足i z -=的复数z 在复平面内对应的点在以()0,1A 错误；对于B 项，设i z a b =+(),a b ∈R ，则z =，由28i z z +=+可得，i=2+8i a b +，根据复数相等的条件可得28a b ⎧⎪=⎨=⎪⎩，解得158a b =-⎧⎨=⎩，所以158i z =-+，故B 项错误；对于C 项，由复数的模的定义知C 正确；对于D 项，由1212z z z z +=-的几何意义知，以12OZ OZ，为邻边的平行四边形为矩形，从而两邻边垂直，故D 正确.故选：CD .考法六复数的综合运用【例6】（2024·浙江宁波）（多选）已知复数1z ，2z ，则下列结论正确的有（）A ．2211z z =B ．1212z z z z ⋅=⋅C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+【答案】BC【解析】设1i z a b =+，2i z c d =+，其中,,,R a b c d ∈.对于选项A:()222222211i 2i,2i z a b a b ab z a b ab =+=-+--=，所以2ab 与2ab -不一定相等，故选项A 错误；对于选项B:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++，所以()()21i z b z ac d ad bc ⋅=--+，因为()()()()12i i i z z c d ac bd a b ad bc ⋅-=--+=-，所以1212z z z z ⋅=⋅,故选项B 正确；对于选项C:因为()()()()12i i i z z a b c d ac bd ad bc ⋅=++=-++,所有12z z ==因为11z z =，所以1212z z z z =⋅,故选项C 正确；对于选项D:因为()()12i z z a c b d +=+++，所以12z z +=12z z +=,故选项D 错误；故选：BC.【一隅三反】1．（2024·云南德宏）（多选）已知z 是复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（）A ．2z z z ⋅=B ．若||1z =，则1z =±C ．||||||z z z z ⋅=⋅D ．若|1|1+=z ，则|1|z -的最小值为1【答案】CD【解析】对于A ，设()i ,R z a b a b =+∈，则()()222i i z z a b a b a b z ⋅=+-=+=，但()()()2222i i i 2i z a b a b a b a ab b =+=++=+-，故A 错误；对于B ，令i z =，满足i 1z ==，故B 错误；对于C ，设()i ,R z a b a b =+∈，则i z a b =-所以()()22i i z z a b a b a b ⋅=+-=+，则2222z z a b a b ⋅=+=+22z z a b ⋅==+，所以||||||z z z z ⋅=⋅，故C 正确；对于D ，设()i ,R z a b a b =+∈，则11i 1z a b +=++==，即()2211a b ++=，表示以()1,0-为圆心，半径为1的圆，1z -=()1,0的距离，故1z -11=，故D 正确.故选：CD2（2023湖北）（多选）设1z ，2z 是复数，则（）A．1212z z z z -=-B．若12z z ∈R ，则12z z =C．若120z z -=，则12z z =D．若22120z z +=，则120z z ==【答案】AC【解析】设1i z a b =+，2=+z x yi ，a ，b ，x ，y ∈R ，12()()i ()()i z z a x b y a x b y -=-+-=---12i (i)a b x y z z =---=-，A 成立；()()12i 0z z a x b y -=-+-=，则22()()0a x b y -+-=，所以a x =，b y =，从而12z z =，所以12z z =，C 成立；对于B，取1i z =，22i z =，满足12z z ∈R ，但结论不成立；对于D，取1i z =，21z =，满足22120z z +=，但结论不成立.故选：AC3．（2024甘肃（多选））设12,z z 是复数，则下列命题中的真命题是（）A．若120z z -=，则12z z =B．若12z z =，则12z z =C．若12=z z ，则1122z z z z ⋅=⋅D．若12=z z ，则2212z z =【答案】ABC【解析】对于A，因12|0|z z -=，则120z z -=，即12z z =，则12z z =为真，A 正确；对于B，因12z z =，则1z 和2z 互为共轭复数，则12z z =为真，B 正确；对于C，设1112221122i,i,,,,z a b z a b a b a b =+=+∈R ，因12||||z z ==22221122a b a b +=+，于是得22221111111122222222z (i)(i)(i)(i)z z a b a b a b a b a b a b z ⋅=+⋅-=+=+⋅-=⋅=+，则1122z z z z ⋅=⋅为真，C 正确；对于D，当121,i z z ==，有12||||z z =，而22121,1z z ==-，即2212z z =为假，D 不正确.故选：ABC一．单选题1．（2024·湖南邵阳）下列各式的运算结果不是纯虚数的是（）A ．2(1i)+B ．2(1i)-C ．1i1i-+D ．4(1i)+【答案】D【解析】对于A ，22(1i)=1i 2i 2i +++=，故A 正确；对于B ，22(1i)=1i 2i 2i -+-=-，故B 正确；对于C ，()()()21i 1i 2i ==i 1i 1i 1i 2---=-++-，故C 正确；对于D ，4222(1i)(1i)(1i)2i 2i 4i 4+=++=⋅==-，故D 错误.故选：D.2．（2024·云南昆明）复数i2i+在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A 【解析】由题意()()()i 2i i 12i 22i 2i 5i -+==++-，所以复数i 2i +在复平面内对应的点为12,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，它在第一象限.故选：A.3．（2024上·山东枣庄）若z 是方程210x x ++=的一个虚数根，则2z z -=（）A ．0B ．-1C 3iD ．-13i【答案】A【解析】方程210x x ++=化为：213(24x +=-，依题意，1322z =-+或1322z =--，显然1z z +=-，又210z z ++=，即21z z =--，所以21(10z z z z z z -=---=-+-=.故选：A4．（2023·安徽）若复数z 满足()1i 1i z +=+，则z 的虚部为（）A ．B ．2C ．i 2D ．2【答案】D【解析】由()1i 1i z +=+=)()()1i 1i 1i 1i 22z -===-++-，所以i 22z =+，即z 的虚部为2故选：D ．5．（2024·湖北武汉）已知复数z 满足23i23i z z+=-，则z =（）A ．3BC ．7D ．13【答案】B【解析】由题设2()()1323i 23i z -+==，令i z a b =+，且,R a b ∈，则222(i)2i 13a b a b ab +=-+=所以22130a b ab ⎧-=⎨=⎩，故2213a b ⎧=⎨=⎩，故z ==故选：B6．（2023·广东中山）复数z 满足i i (1)2+=z ，其中i 为虚数单位，则（）A ．20z z +=B ．0z z +=C ．0z z -=D ．220z z -=【答案】A【解析】由i i (1)2+=z ，得2i 2i (1i)22i1i 1i (1i)(1i)2z ⋅-+====+++-，1i z =-，对于A ，2222(1i)(1i)2i 2i 0z z +=++-=-=，A 正确；对于B ，(1i)(1i)2z z +=++-=，B 错误；对于C ，(1i)(1i)2i z z -=+--=，C 错误；对于D ，2222(1i)(1i)2i 2i 4i z z -=+--=+=，D 错误.故选：A7．（2024·河北保定）已知复数z 满足()727282i 3i 4i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】由()727282i 3i4i z +=+，得()2i 43i z -=-，所以()()()()43i 2i 43i 112i 2i 2i 2i 55z -+-===---+，所以112i 55z =+，所以z 在复平面内对应的点为112,55⎛⎫⎪⎝⎭，位于第一象限.故选：A.8．（2023·全国·统考模拟预测）已知复数12nz ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，n *∈N 且0z >，则n 的最小值为（）A ．1B ．3C ．6D ．9【答案】C【解析】因为21131i i 2244222⎛⎫+=-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，311131122222244⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=--=- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，4111i 222222⎛⎫⎛⎫+=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，51111122222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=--= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，611113122244⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，当6n =时，0z >，故n 的最小值为6.故选：C.二．多选题9（2023福建）若实数x ，y 满足(i)(3i)24i x y ++=+，则（）A．1i y +的共轭复数为1i -B．1xy =C．|i |y +D．32y x -=-【答案】BCD【解析】因为(i)(3i)(3)(3)i 24i x y x y xy ++=-++=+.所以32x y -=，34xy +=，即32y x -=-，1xy =，则32y y-=-.解得1y =或3y =-，故A 错误，B，C，D 均正确.故选：BCD.10．（2024河北邢台）若复数z 满足i 2i z =-+（其中i 是虚数单位），则（）A．z 的实部是2B．z 的虚部是2i C．12i z =-D．|z |=【答案】CD【解析】依题意i 2i z =-+，两边乘以i 得12i,12i z z -=--=+，所以z 的实部为1，虚部为2，所以AB 错误.12i z =-，所以C正确.z =，所以D 正确.故选：CD11．（2024·河南南阳）设复数122z =--的共轭复数为z ，则下列结论正确的有（）A ．22cos i sin 33z ππ=+B ．212z z =C ．1z z=D ．222z z +=【答案】AC【解析】对于A，122i=cos isin2233z ππ=-+，故A 正确；对于B，2211222112z z -+-+===⎛⎫- ⎪⎝⎭，故B 错误；对于C，21122122z z ⎛⎫-+ ⎪-+=--⎝⎭⎝⎭，所以1z z =，故C 正确；对于D，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，221122z ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以21z z +=-，故D 错误.故选：AC12．（2023·湖南衡阳）在复平面内，复数z =，正确的是（）A ．复数z 的模长为1B ．复数z 在复平面内对应的点在第二象限C ．复数z 是方程210x x -+=的解D ．复数ω满足max 1,1z ωω-==则【答案】AC【解析】由z =得2112z ==，则12z =对于A,1z =，故A 正确，对于B,复数z 在复平面内对应的点为1,2⎛⎝⎭，故该点位于第四象限，故B错误，对于C,211131i i 1i i 10222242422⎛⎫⎛⎫---+=---++= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故12z =是210x x -+=的复数根，故C 正确，对于D ，设复数ω对应的向量为(),OW x y = 到,复数z 对应的向量为1,22OZ ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭,由1z ω-=得1ZW = 的距离为1，故复数ω对应点的(),x y 在以1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭为圆心，半径为1的圆上，故ω的最大值为112OZ r +=+=，故D 错误，故选：AC 三．填空题13．（2023·上海黄浦）复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则12z z +=；【答案】5i【解析】因为复数1z ，2z 在复平面上对应的点分别为()11,2Z ，()21,3Z -，则1212i z 13i z =+=-+，，则1205i=5i z z +=+故答案为：5i14．（2023·上海宝山）已知复数1z ，2z 满足11z =，22z =，312z z z =-，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为．【答案】8π【解析】11z = ，1z ∴是以复平面内点()0,0为圆心，以1为半径的圆，312z z z =- ，213z z z ∴=-2132z z z ∴=-=，13132,2z z z z ∴+≥-≤，即313z ∴≤≤，∴复数3z 以复平面内点()0,0为圆心，半径为1和3的两圆构成的圆弧，则3z 在复平面所对应的点组成的图形的面积为：()22318S ππ=⨯-=故答案为：8π.15．（2024·课时练习）若有两个数，它们的和是4，积为5，则这两个数是.【答案】2i±【解析】设()12,,,,z a bi z c di a b c d R =+=+∈，依题意有12124,5z z z z +=⋅=，即()()45a c b d i ac bd ad bc i ⎧+++=⎪⎨-++=⎪⎩，所以4050a c b d ac bd ad bc +=⎧⎪+=⎪⎨-=⎪⎪+=⎩.将=-b d 代入0ad bc +=，得a c =；将a c =代入4a c +=，解得2a c ==；将2a c ==代入5ac bd -=，得1bd =-，结合=-b d 解得11b d =⎧⎨=-⎩或11b d =-⎧⎨=⎩.所以对应的数为2i +、2i -.故答案为：2i±16．（2023上海）已知i 为虚数单位，则集合{}23*i i i i ,n A x x n N ==+++⋅⋅⋅+∈中元素的个数为___________.【答案】4【解析】当*4,n k k N =∈时，23i i i i 0n x =+++⋅⋅+=⋅；当41,n k k N =+∈时，23i i i i i n x =+++⋅⋅+=⋅；当42,n k k N =+∈时，232i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+==-+；当43,n k k N =+∈时，2323i i i i i i i 1n x =+++⋅⋅⋅+++==-，所以集合A 中元素的个数为4．故答案为：4．四．解答题17．（2023·浙江·）已知复数z 满足1i 1i12z +-=-（i 是虚数单位）(1)求z 的值；(2)若复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)12i +；(2)7(,4)2.【解析】（1）由1i 1i12z +-=-，得()()()()()21i 21i 1i 1112i 1i 1i 1i z +++=+=+=+--+.（2）由（1）知，222)512i)512i)(1)94(1)i 10i(((z m z m m m --=-+--=--+-+228)272)i ((m m m =--+-，由复数()25z m z --在复平面内对应的点在第三象限，得22802(72)0m m m ⎧--<⎨-<⎩，解得742m <<，所以实数m 的取值范围为7(,4)2.18．（2023·浙江）已知复数4i z a =+，其中a 是正实数，i 是虚数单位．(1)如果()3i z a a +为纯虚数，求实数a 的值；(2)如果2a =，11izz =-是关于x 的方程20(,R)x bx c b c ++=∈的一个复根，求b c +的值．【答案】(1)12a =；(2)8.【解析】（1）解：因为()()()223i 4i 3i 12(34)i z a a a a a a a a a +++==-++，由()3i z a a +为纯虚数，可得22120340a a a a ⎧-=⎨+≠⎩，解得12a =；（2）解：因为2a =，所以42i z =+，142i (42i)(1i)(2i)(1i)13i 1i (1i)(1i)z +++===++=+--+，将113i z =+代入方程20(,R)x bx c b c ++=∈，得2()(013i i)13b c +++=+，即有8(63)i=0b c b +-++，所以80b c +-=，8+=b c .19．（2023·广东东莞）已知i(,),2i z a b a b z =+∈+R 和i1z-均为实数，其中i 是虚数单位.(1)求复数z ；(2)若117i 12z z m m =+--+对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)22i;z =-(2)132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎝⎭⎝⎭【解析】（1）()i ,R z a b a b =+∈ ，()2i 2i z a b ∴+=++，()()()()()i 1i i i i 1i 1i 1i 1i 222a b a b a b z a b a b a b++-+++-+====+---+，由题意，200b a b +=⎧⎨+=⎩，可得2,2a b ==-，则22i;z =-（2）117172123i 22i i i 121212m m z z m m m m m m --=+-=++-=+-+-+-+，由题意，21012302m m m m -⎧>⎪⎪-⎨-⎪<⎪+⎩，解得122m -<<或312m <<.∴实数m 的取值范围是132,1,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.20．（2023·辽宁沈阳）在①复数z 满足i z +和2iz-均为实数；②z 为复数z 的共轭复数，且()1i 1z z +=+；③复数()i ,0z a b a b =+∈<R 是关于x 方程2450x x -+=的一个根，这三个条件中任选一个（如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分），并解答问题：(1)求复数z ；(2)在复平面内，若()2113i z z m m m=+++-对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.【答案】(1)2i z =-(2)()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U 【解析】（1）若选①：设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 1i z a b +=++，()()()()i 2i 22i 2i 2i 2i 55a b za b a b ++-+==+--+，若i z +和2i z -均为实数，则10205b a b +=⎧⎪+⎨=⎪⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选②：设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，因为()1i 1z z +=+，则()()i 1i i 1a b a b ++=-+，整理得()()()i 1i a b a b a b -++=+-，则1a b a a b b -=+⎧⎨+=-⎩，解得21a b =⎧⎨=-⎩，所以2i z =-；若选③：因为2450x x -+=，则()221x -=-，解得2i x =±，且()i ,0z a b a b =+∈<R ，所以2i z =-.（2）由（1）可得2i z =+，则()()()22211113i 2i 3i 22i z z m m m m m m m m m ⎛⎫=+++-=++++-=+++- ⎪⎝⎭，若1z 对应的点在第四象限，则212020m m m ⎧+>⎪⎨⎪+-<⎩，解得122m -<<-或01m <<，所以实数m 的取值范围为()12,0,12⎛⎫-- ⎪⎝⎭U .21．（2023上·广东深圳）已知复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，其中i 为虚数单位，且满足2z =，且1z -为纯虚数.(1)若复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R 在复平面内对应点在第一象限，求复数z ；(2)(3)若在（1）中条件下的复数z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，求实数m ，n 的值.【答案】(1)1=+z (2)答案见解析(3)2m =-，4n =【解析】（1）因为复数i z x y =+，(),x y ∈∈R R ，所以11i z x y -=--，又1z -为纯虚数，所以1x =，又2z ==，所以y =又因为复数z 在复平面内对应点在第一象限，所以y =1=z .（2）由（1）可知1z =当1=z时，2i 12i 3i 2i 1i 444z -++===-，当1z =时，)()2i 12i 5i 444z ===-+.（3）法一：由（1）可知1=+z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以把1=+z ，代入20x mx n ++=得()()2110m n ++⋅++=，化简得2i 0m n +-++=，即200m n +-=⎧⎪+=，解得：2m =-，4n =法二：由（1）可知1=z 是关于x 的方程()20,R x mx n m n ++=∈的一个根，所以此方程的另一根为：1z =，则24z z m z z n +=-=⎧⎨⋅==⎩，解得：2m =-，4n =22．（2024·全国·高三专题练习）已知关于x 的二次方程()()2tan i i 20x x θ-+-+=．(1)当θ为何值时，这个方程有一个实根？(2)是否存在θ，使得原方程有纯虚数根？若存在，求出θ的值；若不存在，试说明理由．【答案】(1)()ππ4k k θ=+∈Z (2)不存在，理由见解析【解析】（1）设0x 是方程的一个实根，则()()200tan i i 20,x x θ-+-+=即()()2000tan 2i 10.x x x θ-⋅--+=根据复数相等的意义知2000tan 2010x x x θ⎧-⋅-=⎨+=⎩解得：()0π1,tan 1,π4x k k θθ=-==+∈Z ．所以，当()ππ4k k θ=+∈Z 时，原方程有一实根01x =-．（2）假定方程有纯虚数根i b （b ∈R ，且0b ≠），代入原方程得()()()2i tan i i i 20,b b θ-+⋅-+=即()22tan 1i 0.b b b θ-+--+=由复数相等意义知220(tan 1)0b b b θ⎧-+-=⎨-+=⎩但方程220b b -+-=即220b b -+=无实数解，即实数b 不存在．所以，对任何实数θ，原方程不可能有纯虚数根．。
复数的三角形式(课时1)高一数学(人教A版2019必修第二册)
方法总结
复数 的代数形式为______.
[解析] .
巩固训练
探究2 辐角的主值
问题1：我们知道复数 的辐角是 ，而三角函数是周期函数，且正弦函数、余弦函数的周期是 ，那么如何确定辐角的主值的取值范围呢？
[答案] 辐角的主值的取值范围为 .
问题2：终边相同的角有什么关系？
1.复数的辐角有怎样的特征？
[答案] 任何一个不为零的复数的辐角有无限多个值，且这些值相差 的整数倍.对于复数0，因为它对应着零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辐角也是任意的.
2.你能根据复数的三角形式来解释 的几何意义吗？
[答案] 本身可以用坐标平面 轴上的点 表示.而 表示把 轴上的点 绕原点逆时针转90度，就变为 轴上的点 .
A. B. C. D.
C
[解析] ，辐角的主值为 .故选C.
随堂检测·精评价
2.下列复数中已用三角形式表示的是( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 复数的三角形式为 ，其满足的条件：① ；②加号连接；③ 在前， 在后；④ 前后一致，可取任意值.
（4）求出复数的三角形式.
方法总结
1.下列复数是三角形式的是( ).
A. B. C. D.
D
[解析] 选项A中， 与 之间用“-”连接，不是用“ ”连接；选项B中， 不符合 要求；选项C中， 与 用“ ”连接，但不是 的形式.故A，B，C均不是复数的三角形式.故选D.
新知运用
例3 （1）求复数 的辐角的主值；
（2）求复数 的辐角的主值.
[解析] （1） ,所以 .（2） ,所以 .
先把所给复数写成复数的三角形式，然后写出辐角，进而写出辐角的主值.
高中数学 第七章 复数 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义习题(含解析)新人教A版必修第二册-
7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义课后篇巩固提升基础达标练1.若复数z1=-2+i,z2=1+2i,则复数z1-z2在复平面内对应点所在的象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限1-z2=(-2+i)-(1+2i)=(-2-1)+(i-2i)=-3-i,故z1-z2对应点的坐标为(-3,-1)在第三象限.2.设z1=2+b i(b∈R),z2=a+i(a∈R),当z1+z2=0时,复数a+b i为()A.1+iB.2+iC.3D.-2-iz1+z2=(2+b i)+(a+i)=(2+a)+(b+1)i=0,所以于是故a+b i=-2-i.3.复数z1=a+4i,z2=-3+b i,若它们的和为实数,差为纯虚数,则实数a,b的值为()A.a=-3,b=-4B.a=-3,b=4C.a=3,b=-4D.a=3,b=4z1+z2=(a-3)+(b+4)i是实数,z1-z2=(a+3)+(4-b)i是纯虚数,故解得a=-3,b=-4.4.在平行四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若向量对应的复数分别是3+i,-1+3i,则对应的复数是()A.2+4iB.-2+4iC.-4+2iD.4-2i,而(3+i)-(-1+3i)=4-2i,即对应的复数为4-2i,故选D.5.若z1=2+i,z2=3+a i(a∈R),且z1+z2所对应的点在实轴上,则a的值为()A.3B.2C.1D.-1z1+z2=2+i+3+a i=(2+3)+(1+a)i=5+(1+a)i.因为z1+z2所对应的点在实轴上,所以1+a=0,故a=-1.6.已知复数z满足z+1+2i=10-3i,则z=.z+1+2i=10-3i,所以z=(10-3i)-(2i+1)=9-5i.-5i7.已知z是复数,|z|=3且z+3i是纯虚数,则z=.z=a+b i(a,b∈R),则a+b i+3i=a+(b+3)i是纯虚数,∴a=0,b+3≠0.又∵|z|=3,∴b=3,∴z=3i.8.(2020某某六市联考)设m∈R,复数z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,若z1+z2是虚数,求m的取值X围.z1=+(m-15)i,z2=-2+m(m-3)i,∴z1+z2=+[(m-15)+m(m-3)]i=+(m2-2m-15)i.∵z1+z2为虚数,∴m2-2m-15≠0,且m≠-2,解得m≠5,m≠-3,且m≠-2(m∈R).所以m的取值X围为(-∞,-3)∪(-3,-2)∪(-2,5)∪(5,+∞).能力提升练1.(2019全国Ⅰ高考)设复数z满足|z-i|=1,z在复平面内对应的点为(x,y),则()A.(x+1)2+y2=1B.(x-1)2+y2=1C.x2+(y-1)2=1D.x2+(y+1)2=1z=x+y i(x,y∈R).因为z-i=x+(y-1)i,所以|z-i|==1,则x2+(y-1)2=1.故选C.2.若|z|+z=3+i,则z=()A.1-iB.1+iC.+iD.-+iz=x+y i(x,y∈R),依题意有+x+y i=3+i,因此解得故z=+i.3.(2020某某检测)设z∈C,且|z+1|-|z-i|=0,则|z+i|的最小值为()A.0B.1C.D.|z+1|=|z-i|知,在复平面内,复数z对应的点的轨迹是以(-1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x,而|z+i|表示直线y=-x上的点到点(0,-1)的距离,其最小值等于点(0,-1)到直线y=-x的距离即为.4.已知f(z+i)=3z-2i,则f(i)=.z=a+b i(a,b∈R),则f[a+(b+1)i]=3(a+b i)-2i=3a+(3b-2)i,令a=0,b=0,则f(i)=-2i.2i5.复数z1=-2m i,z2=-m+m2i,若z1+z2>0,则实数m=,对应的点位于第象限.2i)1+z2=(-2m i)+(-m+m=(-m)+(m2-2m)i.∵z1+z2>0,∴z1+z2为实数且大于0.∴解得m=2.∴z2=-2+4i,=-2-4i,对应点为(-2,-4),位于第三象限.三6.已知复平面内平行四边形ABCD,点A对应的复数为2+i,向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,求:(1)点C,D对应的复数;(2)平行四边形ABCD的面积.因为向量对应的复数为1+2i,向量对应的复数为3-i,所以向量对应的复数为(3-i)-(1+2i)=2-3i.又,所以点C对应的复数为(2+i)+(2-3i)=4-2i.因为,所以向量对应的复数为3-i,即=(3,-1).设D(x,y),则=(x-2,y-1)=(3,-1),所以解得故点D对应的复数为5.(2)因为=||||cos B,所以cos B=,即sin B=.于是S=||||sin B==7,故平行四边形ABCD的面积为7.素养培优练复平面上三点A,B,C分别对应复数1,2i,5+2i,则由A,B,C所构成的三角形是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形2i-1|=,|AC|=|4+2i|=,|BC|=5,∴|BC|2=|AB|2+|AC|2.故选A.。
7.1 复数的概念-【共2课时】高一数学(人教A版2019必修第二册)
II. 实部和虚部：
不作特殊说明时，复数 = + 都有, ∈ ， 其中的
与分别叫做复数的实部与虚部
注意：1.设复数 = + (, ∈ )时，一定要有, ∈ ，否则不能说
实部为，虚部为；
2.虚部是复数代数形式中的实数系数，不含 ，不能说虚部为.
即 = + (, ∈ ),
ത = − (, ∈ )
理解新知
= −
= ±
= ±
= −
= ±
+ + =
= − ±
例1.解方程： = −
追问： = 能否推出 = ± −?
从而这些数都在扩充后的新数集 = + , ∈ 中
学习新知
复
数
形如 + (, ∈ )的数叫做复数，其中叫做虚数单位。
复数通常用字母表示，即 = + (, ∈ )
I.
复数集：
全体复数所构成的集合 = + , ∈ 叫做复数集
复 数
章前语
➢ 我们知道，对于实系数一元二次方程 2 + + = 0，当 Δ = 2 − 4 < 0时
没有实数根．因此，在研究代数方程的过程中， 如果限于实数集，有些问题就
无法解决．
• 事实上，数学家在研究 解方程问题时早就遇到了负实数的开平方问题，但他
们一直在回避．到16世纪，数学家在研究实系数一元三次方程的求根公式时，
是否在实数集中？
实数与相加、相乘的结果应如何？
01
复 数 的 概 念
探索新知
回顾已有的数集扩充过程，可以看到，每一次扩充都与实际需求密切相关
第七章 复数 高考真题训练 高中数学人教A版(2019)必修第二册(含解析)
《第七章复数》高考真题挑战考点1 复数的有关概念1.[2020浙江卷·2,4分]已知a∈R,若a-1+(a-2)i(i为虚数单位)是实数,则a=( )A.1B.-1C.2D.-22.[2020全国Ⅲ卷理·2,5分]复数11-3i的虚部是( )A.-310B.-110C.110D.3103.[2020江苏卷·2,5分]已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是. 考点2 复数的四则运算4.[2022新高考Ⅱ卷·2,5分](2+2i)(1-2i)=( )A.-2+4iB.-2-4iC.6+2iD.6-2i5.[2021浙江卷·2,4分]已知a∈R,(1+a i)i=3+i (i为虚数单位),则a=( )A.-1B.1C.-3D.36.[2021全国甲卷理·3,5分]已知(1-i)2z=3+2i,则z=( )A.-1-32i B.-1+32iC.-32+i D.-32-i7.[2021天津卷·10,5分]i是虚数单位,复数9+2i2+i= .考点3 复数的模8.[2020全国Ⅰ卷理·1,5分]若z=1+i,则|z2-2z|=( )A.0B.1C.√2D.29.[2022北京卷·2,4分]若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=( )A.1B.5C.7D. 2510.[2020全国Ⅱ卷理·15,5分]设复数z1,z2满足|z1|=|z2|=2,z1+z2=√3+i,则|z1-z2|= .考点4 共轭复数11.[2022全国乙卷理·2,5分]已知z=1-2i, 且z+a z+b=0, 其中a,b为实数,则( )A.a=1, b=-2B.a=-1, b=2C.a=1, b=2D.a=-1, b=-212.[2022全国甲卷理·1,5分]若z=-1+√3i,则zz-1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33i D.-13−√33i13.[2021全国乙卷理·1,5分]设2(z+z)+3(z-z)=4+6i,则z=( )A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i14.[2021新高考Ⅰ卷·2,5分]已知z=2-i,则z(z+i)=( )A.6-2iB.4-2iC.6+2iD.4+2i15.[2022新高考Ⅰ卷·2,5分]若i(1-z)=1,则z+z=( )A.-2B.-1C.1D.2考点5 复数的几何意义16.[2021新高考Ⅱ卷·1,5分]复数2-i1-3i在复平面内对应的点所在的象限为( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限17.[2020北京卷·2,4分]在复平面内,复数z对应的点的坐标是(1,2),则i·z=( )A.1+2iB.-2+iC.1-2iD.-2-i18.定义:复数b+a i是z=a+b i(a,b∈R)的转置复数,记为z'=b+a i,显然(z')'=z,即z与z'互为转置复数.(1)结合共轭复数的一些运算性质,如z1±z2=z1±z2等,还有一些常用结论,如z=z⇔z∈R等,尝试发现两个有关转置复数的运算性质(如:(z1+z2)'=z'1+z'2)或其他结论;(2)对任意的两个复数z1,z2,定义运算“*”:z1*z2=z'1·z2+z1·z'2,设z=x+y i(x,y∈R),求复平面上的点集M={(x,y)|z*z'=8}所围成区域的面积.参考答案1.C因为a-1+(a-2)i是实数,所以a-2=0,所以a=2.故选C.2.D11-3i =1+3i(1-3i)(1+3i)=1+3i10=110+310i,所以虚部为310.3.3解析复数z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3.4.D(2+2i)(1-2i)=2-4i+2i+4=6-2i.5.C方法一因为(1+a i)i=-a+i=3+i,所以-a=3,解得a=-3.故选C.方法二 因为(1+a i)i=3+i,所以1+a i=3+ii=1-3i,所以a =-3.故选C .6.B z =3+2i(1-i )2=3+2i -2i=3i -22=-1+32i . 7.4-i 解析9+2i2+i =(9+2i )(2-i )(2+i )(2-i )=20-5i 4-i 2=20-5i5=4-i . 8.D 通解 因为z =1+i,所以|z 2-2z |=|(1+i)2-2(1+i)|=|2i-2i-2|=|-2|=2.故选D . 优解 因为z =1+i,所以|z 2-2z |=|z ||z -2|=√2×|-1+i|=√2×√2=2.故选D . 9.B 方法一 依题意可得z =3-4ii=(3-4i )i i 2=-4-3i,所以|z |=√(-4)2+(-3)2=5.方法二 依题意可得i 2·z =(3-4i)i,所以z =-4-3i,则|z |=√(-4)2+(-3)2=5.10.2√3 解析方法一 设z 1=x 1+y 1i(x 1,y 1∈R ),z 2=x 2+y 2i(x 2,y 2∈R ),则由|z 1|=|z 2|=2,得x 12+y 12=x 22+y 22=4.因为z 1+z 2=x 1+x 2+(y 1+y 2)i=√3+i,所以|z 1+z 2|2=(x 1+x 2)2+(y 1+y 2)2=x 12+y 12+x 22+y 22+2x 1x 2+2y 1y 2=8+2x 1x 2+2y 1y 2=(√3)2+12=4,所以2x 1x 2+2y 1y 2=-4,所以|z 1-z 2|=|x 1-x 2+(y 1-y 2)i|=√(x 1-x 2)2+(y 1-y 2)2=√x 12+y 12+x 22+y 22-2x 1x 2-2y 1y 2=√8+4=2√3.方法二 设z 1=a +b i(a ,b ∈R ),则z 2=√3-a +(1-b )i,则{|z 1|2=a 2+b 2=4,|z 2|2=(√3-a )2+(1-b )2=4,即{a 2+b 2=4,√3a +b =2,所以|z 1-z 2|2=(2a -√3)2+(2b -1)2=4(a 2+b 2)-4(√3a +b )+4=4×4-4×2+4=12,所以|z 1-z 2|=2√3.方法三 题设可等价转化为向量a ,b 满足|a |=|b |=2,a +b =(√3,1),求|a -b |.因为(a +b )2+(a -b )2=2|a |2+2|b |2,所以4+(a -b )2=16,所以|a -b |=2√3,即|z 1-z 2|=2√3. 方法四 设z 1,z 2在复平面内对应的点分别为A ,B ,z 1+z 2=z =√3+i,则z 在复平面内对应的点为P (√3,1),所以|z 1+z 2|=|z |=2.由平行四边形法则,知四边形OAPB 是边长为2,一条对角线也为2的菱形,则另一条对角线的长为|z 1-z 2|=√3×2=2√3.11.A 由题意知z =1+2i,所以z +a z +b =1-2i+a (1+2i)+b =a +b +1+(2a -2)i .又z +a z +b =0,所以{a +b +1=0,2a -2=0,解得{a =1,b =-2.12.Czz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=-1+√3i 3=-13+√33i,故选C .(易错:一是分不清虚、实部,共轭复数写错;二是记不住i 2=-1.)13.C 设z =a +b i(a ,b ∈R ),则z =a -b i,代入2(z +z )+3(z -z )=4+6i,可得4a +6b i=4+6i,所以a =1,b =1,故z =1+i .故选C .14.C 因为z =2-i,所以z (z +i)=(2-i)(2+2i)=6+2i .15.D因为i(1-z)=1,所以z=1-1i=1+i,所以z=1-i,所以z+z=(1+i)+(1-i)=2.16.A2-i1-3i =(2-i)(1+3i)(1-3i)(1+3i)=2+6i-i+310=12+12i,所以复数2-i1-3i在复平面内对应的点为(12,12),位于第一象限.17.B由题意,知z=1+2i,所以i·z=i·(1+2i)=-2+i,故选B.18.(1)有关转置复数的运算性质:①z'=iz;②z'+(z)'=0.(2)由运算“*”的定义得z*z'=z'·z'+z·(z')'=i z·(iz)z·z=-i2·z·z+z·z=2z·z=8,得|z|=2,所以M所围成区域的面积S=4π.。