导数在研究函数性态中的作用
导数在研究函数性态中的作用
------从一道考题看解题分析
从一个高考题说起
例（2010.湖北文21改编）设函数321()32afxxxbxc，其中0a，曲线()yfx在点(0,(0))Pf处的切线方程为1y.
（Ⅰ）确定,bc的值
（Ⅱ）（略）
（Ⅲ）若过点(0,2)可作曲线()yfx的三条不同切线，求a的取值范围.
问题1 函数的切线方程如何求？
问题2 切线方程为1y的几何含义？
题1（2009.福建）若曲线3lnfxaxx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是 .
问题3 三次函数函数图像的形态？或者说函数32(0)yaxbxcxda的图像与,,,abcd的关系如何？
题2函数321()2fxxx的图象大致是
问题4 过点(0,2)可作曲线()yfx的三条不同切线，是什么意思？如何下手呢？能不能转化为我们熟悉的情境？
曲线()yfx的三条不同切线都过点(0,2)，也就是方程2()()(0)ftftt有三个相异实根，也即方程3221032att有三个相异实根.
x y
O
（A） （B） （C） （D） x y
O x y
O x y
O 1
至此，令322()132agttt，上述条件等价于gt的图像与t轴有三个交点.注意到，三次函数只有两种形态：一是没有极值点，一是有两个极值点.于是，这个三次函数的图像应该是：先单调上升经过t轴到达极大值，再单调下降经过t轴到达极小值，而后单调上升第三次经过t轴.
这样问题就转化为0,0极小极大tgtg.
2()22()2agttattt，由于0a，故有
t ,0 0 0,2a 2a ,2a
gt + 0 +
gt 增 极大值1 减 极小值3124a 增
要使()0gt有三个相异实根.须且只需0,0极小极大tgtg.也即31224aag，从而a的范围由31024a，得到323a.
数学素养的一个重要体现就是对不同数学语言之间关系的自觉的转换，能有借助数学的符号系统进行思考，这就是所谓地“数学地思考问题”.高考中题目难度体现之一就是数学语言的抽象，或者考生对数学符号语言的描述不能“数学地思考问题”，不能很好地转换视角.
拓展变式1：已知函数323,fxaxbxxabR在点1,1f处的切线方程为20y．
⑴求函数fx的解析式；
⑵若对于区间2,2上任意两个自变量的值12,xx都有12fxfxc，求实数c的最小值；
⑶若过点2,2Mmm可作曲线yfx的三条切线，求实数m的取值范围．
拓展变式2（2007年全国卷Ⅱ理22题）
已知函数3()fxxx．
（Ⅰ）求曲线()yfx在点(,())Mtft处的切线方程；
（Ⅱ）设0a，如果过点(,)ab可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．
导数的几何意义
导数的几何意义
导数是微积分中的一个重要概念，它表示了函数的变化率。导数的几何意义可以从两个方面来理解：一是导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率，二是导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。
首先，我们来看导数代表的是函数曲线在其中一点的切线斜率。对于一条曲线上的任意一点P(x,y)，求该点处的导数，即可得到曲线在该点的切线斜率。具体来说，如果一个函数f(x)在特定点x0处可导，那么它在该点的导数f'(x0)就是该点处曲线的切线斜率。换言之，导数给出了函数在任意一点的变化速率。对于单调递增的函数而言，导数始终为正；而对于单调递减的函数而言，导数始终为负。当导数为零时，函数在该点处可能存在极值。
其次，导数代表的是函数曲线在其中一点的局部线性逼近。这可以通过导数定义中的极限来理解。如果在其中一点x0处，函数f(x)的导数存在，那么可以用一个线性函数y=kx+b来近似描述原函数在该点的附近情况。其中k为导数f'(x0)，b为函数曲线在该点处的切线与y轴的交点（截距）。这个线性函数就称为原函数在x0附近的局部线性逼近。这种线性逼近的好处是使得函数在其中一点的局部性质更加直观可见。
通过这两个几何意义的理解，我们可以得出导数在几何上的重要性。首先，导数可以帮助我们了解函数在特定点的斜率，从而判断函数局部的增减变化规律，甚至找到函数的极值点，这对于解决很多实际问题具有重要意义。其次，导数能够提供函数在其中一点附近的线性逼近，使得我们能够直观地了解函数的局部情况，进而推断函数在整个定义域上的特性。这对于研究函数的全局性质也是至关重要的。 除了以上的几何意义，导数还有一些重要的应用。例如，在物理学中，速度的导数就是加速度，加速度的导数就是速度的变化率。在经济学中，导数可以表示商品的边际效用，即单位商品消费增加所带来的满足感的变化。在工程学中，导数可以用来优化控制系统设计，通过最小化出错率来提高系统的性能。
3.2导数研究函数性质教案
石榴高级中学教案 高二数学一轮复习 NO：15
§3.2导数在研究函数中的应用
一、知识梳理
1．导数和函数单调性的关系：
(1)对于函数y＝f(x)，如果在某区间上f′(x)>0，那么f(x)为该区间上的________；
如果在某区间上f′(x)<0，那么f(x)为该区间上的________．
(2)若在(a，b)的任意子区间内f′(x)都不恒等于0，f′(x)≥0⇔f(x)在(a，b)上为____函数，若在(a，b)上，f′(x)≤0，⇔f(x)在(a，b)上为____函数．
2．函数的极值
(1)判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧________，右侧________，那么f(x0)是极小值．
(2)求可导函数极值的步骤
①求f′(x)；
②求方程________的根；
③检查f′(x)在方程________的根左右值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得________；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得________．
3．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求函数y＝f(x)在(a，b)上的________；
(2)将函数y＝f(x)的各极值与________比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
二、自我检测：
1．(2009·广东改编)函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间为______________．
2.函数f(x)＝x3＋ax－2在区间(1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围为______________．
3.设p：f(x)＝x3＋2x2＋mx＋1在(－∞，＋∞)内单调递增，q：m≥43，则p是q的________条件．
导数在研究函数中的应用教案
1.3导数在研究函数中的应用教案
一、教学目标：
知识与技能：
1．结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系．
2.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．
过程与方法：
能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式．
情感、态度与价值：
让学生探索、发现数学知识和掌握数学知识的内在规律的过程中不，不断获得成功积累愉快的体验，不断增进学习数学的兴趣，同时还通过探索这一活动培养学生善于和他人合作的精神.
二、教学重点、难点
重点：掌握函数的单调性与导数的关系．
难点：能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式
三、教学模式与教法、学法
教学模式：本课采用“探究——发现”教学模式．
教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．
“抓三线”，即(一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线.
“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点，二抓知识的切入点.
学法：突出探究、发现与交流．
四、教学过程
（一）温故知新
以前，我们用定义来判断函数的单调性，在假设x1
解析：请同学思考并回顾以前所学知识并积极回答之.
（二）新知探究
探究点一 函数的单调性与导函数正负的关系
思考1 观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象，及运动员的速度v随时间t变化的函数v(t)＝h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别．
思考2 观察下面四个函数的图象，回答函数的单调性与其导函数的正负有何关系？
答 (1)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝1>0，y是增函数；
(2)在区间(－∞，0)内，y′＝2x<0，y是减函数；
在区间(0，＋∞)内，y′＝2x>0，y是增函数；
(3)在区间(－∞，＋∞)内，y′＝3x2≥0，y是增函数；
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案
1.3导数在研究函数中的应用教学设计教案
第一篇：1.3导数在研究函数中的应用 教学设计 教案
教学准备
1.教学目标
（1）使学生理解函数的最大值和最小值的概念，能区分最值与极值的概念（2）使学生掌握用导数求函数最值的方法和步骤
2.教学重点/难点
【教学重点】：
利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】：
函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系．熟练计算函数最值的步骤
3.教学用具
多媒体
4.标签
1．3．3函数的最大（小）值与导数
教学过程
第二篇：3．3 导数在研究函数中的应用 教学设计 教案
教学准备
1.教学目标
知识与技能
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 2.掌握利用导数判断函数单调性的方法。过程与方法
通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严密推理的良好思维习惯，让学生感知从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程．
情感、态度与价值观
通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯．
2.教学重点/难点 教学重点
探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间； 教学难点
探索函数的单调性与导数的关系。
3.教学用具
多媒体
4.标签
教学过程
教学过程设计
复习引入
请同学们思考函数单调性的概念？ 函数 y = f(x)在给定区间 D上，D=(a , b)当 x
1、x 2 ∈D且 x 1＜ x 2 时
①都有 f(x 1)＜ f(x 2)，则 f(x)在D上是增函数； ②都有 f(x 1)＞
f(x 2)，则 f(x)在D上是减函数；
若 f(x)在D上是增函数或减函数，D称为单调区间，则 f(x)在D
上具有严格的单调性。
【师】判断函数单调性有哪些方法？
①定义法;
②图象法;
③已知函数
以前,我们主要采用定义法去判断函数的单调性.在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的大小并不容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.让学生自由发言，教师不急于下结论，而是继续引导学生：欲知结论怎样，让我们一起来观察、研探。新知探究
导数的意义及应用
导数的意义及应用
导数是微积分的重要概念之一，真实世界中有许多应用与导数相关。
导数表示一个函数在其中一点上的瞬时变化率。可以理解为函数曲线在该点处的切线的斜率。导数能够提供有关函数如何随着自变量的变化而变化的信息。
导数的应用：
1.确定函数的递增和递减区间
函数在其中一点的导数为正表示函数在该点处递增，即函数的值随自变量的增加而增大。函数在其中一点的导数为负表示函数在该点处递减，即函数的值随自变量的增加而减小。通过导数的正负性推断出函数的递增和递减区间。
2.求取最大值和最小值
在函数图像上，极大值和极小值对应于导数为零或不存在的点，即导数为零的点可能是函数的极值点。可以通过导数值的变化确定极值的位置，并通过二次导数的符号推断出最大值和最小值。
3.切线和法线
导数可以用来确定函数曲线在其中一点的切线方程。切线是曲线在该点上的最佳线性逼近。导数还可以用来确定切线的斜率，进一步确定切线的方程。法线是切线的垂直线，法线的斜率是切线斜率的相反数。
4.求解速度和加速度 在物理学和工程学中，导数用于求解物体的速度和加速度。速度是位移关于时间的导数，加速度是速度关于时间的导数。通过求解导数，可以确定物体的速度和加速度的变化率。
5.求解曲线的凹凸性
曲线的凹凸性可以通过函数的导数的变化来确定。如果函数的二阶导数为正，表示函数的曲线是凹向上的；如果函数的二阶导数为负，表示函数的曲线是凹向下的。通过确定曲线的凹凸性，可以优化路径规划和表面设计等。
6.求解函数的方程
导数在求解函数的方程时也发挥重要作用。利用导数可以找到函数的零点，即函数的图像与x轴相交的点。通过求解导数，可以确定方程的解的存在性和位置。
总之，导数在实际生活和科学研究中具有广泛的应用。从数学的角度来看，导数提供了函数变化的有用信息。从物理学、工程学和其他科学领域来看，导数帮助我们了解和解释自然现象以及进行预测和优化。
导数在生活中应用例子
导数在生活中的应用如下：
导数是微分学的重要组成部分，是研究函数性质、曲线性态的重要工具,也是解决实际生活中某些优化问题的重要方法。探讨了运用导数求解实际生活中有关用料、成本、利润及选址方面问题的方法。
导数（Derivative)也叫微商，是一种特殊的极限，它反映了函数中因变量随自变量的变化而变化的快慢程度，是微积分中重要的基础概念是联系初等数学与高等数学的桥梁。
在研究几何、证明不等式等方面起着重要的作用，在探究函数性质、寻求函数极值与最值以及描绘函数图形等方面也起着重要的作用，同时，也为解决某些实际应用问题提供了重要的方法。
在实际生活中经常出现的一些谋求利润最大、耗材最少、或效率最高、位置最佳等与经济或科学研究有关的问题，这些问题称之为优化问题，如何找到解决该类问题的最佳方案是求解该类问题的关键，而利用导数就可以简捷地解决这些问题，从而真正解决我们的实际生活问题。
运用导数求解优化问题的方法与注意事项：实际生活中的优化问题，如选址最佳、用料最省、利润最大等问题，本质上就是最值问题，这些问题与求函数的最值问题有着密切的联系，而这些问题可以转化为函数问题，利用导数知识得以简捷的解决。
解决优化问题的方法：首先对现实问题进行分析，找出各个变量之间的关系，建立相对应的函数关系式，将实际问题转化为用函数表示的数学问题。 再结合实际情况确定自变量的定义域，创造函数在闭区间上求最值的情景，通过对函数求导、确定驻点和不可导点、比较函数在区间端点、极值点和不可导点处的函数值，获得所求函数的最大（小）值，最后将数学问题回归到现实问题，根据数学问题的答案回答优化问题最佳方案或策略。
导数在经济发展中具有重要的作用。随着经济的飞速发展，经济学家们面对共享经济下的各种复杂竞争，对其进行了深入研究。导数对于经济学的研究具有重要的意义，例如经济学中的边际问题、弹性问题等等都可以利用导数来解决。利用导数解决经济学中的一些复杂问题，能够将复杂问题简单化。导数是推动经济学发展的重要助推器，导数在经济学中的应用十分广泛。在经济管理中，我们可以利用需求函数来表示需求量和影响需求量的关系；如在研究商品供应量和商品价格的关系时，我们可以利用供给函数来表示。
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用
导数在研究函数单调性中的应用在数学中，单调性是由函数的变化来衡量的，根据函数的变化特征可以判断函数的单调性特点。若函数在某一区间上单调递增或单调递减，则称该函数为单调函数。这种函数的单调性有着十分重要的意义，它可以帮助我们更好地理解数学问题，因此，单调性研究是数学中一个重要的课题。
在研究函数单调性时，导数可以发挥重要作用。导数表示函数在某一点变化率，如果函数在某一区间上单调递增或单调递减，那么该函数在该区间上的导数都应该是正数或负数，而不能是零。因此，导数可以用来判断函数的单调性特点。
另外，导数也可以用来求解函数的极值问题，极值是指函数在某一区间上的最大值或最小值，如果函数在某一点处的导数为零，这就表明该点处可能是函数的极值点，也就是说，该函数在该点可能是最大值或最小值。同时，导数还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值，如果函数在某一点处的导数为正，表明该点处可能是函数的最大值，反之，函数在某一点处的导数为负，表明该点处可能是函数的最小值。
总之，导数在研究函数单调性中发挥着重要的作用，它可以用来判断函数的单调性特点，也可以用来求解函数的极值问题，同时还可以用来判断函数在某一点处是最大值还是最小值。因此，导数在研究函数单调性中有着十分重要的作用，是必不可少的数学工具。
高中数学 第一章 导数及其应用 1.3.1 导数在研究函数中的应用—单调性说课稿2 苏教版选修2-2
word
1 / 5 导数在研究函数中的应用—单调性
一、教材分析
本节课，是苏教版选修2-2第一章第3节课。它承接导数的定义和运算，开启了导数在函数中应用的研究，是导数应用的基础知识，地位重要．
二、学情分析
学生前面已经学习了导数的定义和简单函数四则运算的导数公式，尤其是已经有了“割线逼近切线”这种数学思想，这为本节课提供了充分的思想方法准备．并且，在本节课开头设置的三个问题中，有的问题可以用单调性定义解决，有些通过观察可以直接判断，而有些则并不能一眼看出单调性，这就触动学生要寻找新的解题方法，探索新的思路。通过数学问题的导引，带领学生走进课堂．
在实际教学中，考虑到学生比较容易局限于观察图象，得出结论，缺乏严谨的推理。事实上，图象只能提供直观感受，并不能作为说理依据。教师就要引导学生共同思考：怎样从已有的单调性的定义中，找出合理、可行、有效的方法。师生共同观察、思考、猜想、证明，最终得出结论，比较圆满地完成一个数学知识的学习过程，体验数学发现的乐趣，拓宽师生的数学视野．
三、教学目标
1 .探索并了解函数的单调性和函数导数的关系；
2.比较初等方法与导数方法在研究函数性质过程中的异同，体现导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性．
四、教学重点、难点
我认为本节课的重点是从单调性的定义出发，逐步建立单调性与导数之间的关系。其间，既有代数变形，又有图形直观；既有大胆的猜想，又有严密推理。教师和学生在这些思想方法之间灵活穿梭、切换，既有激烈地思想交锋，又有严密地逻辑推理，让看似平静的课堂充满了智慧的碰撞。
五、教学方法与教学手段
教师从课本章头图引入课题，自然地把导数和单调性结合起来。教师通过设置问题串，从“会”到“不会”，激发学生学习兴趣，展开探究。教师利用多媒体PPT和几何画板，动态演示，确定研究方向，最终得出结论。
六、教学过程 word
2 / 5 教师为了能够真正体现“要提高学生独立获取数学知识，并用数学语言表达问题的能力”这个新课程理念，设计了10个环节。
江苏省南京市高中数学第一章导数及其应用1.3导数在研究函数中的作用1.3.1单调性教案苏教版选修2_2
1 1.3.1单调性
教学目的：
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.
教学重点：利用导数判断函数单调性.
教学难点：利用导数判断函数单调性.
授课类型：新授课 .
课时安排：1课时 .
教 具：多媒体、实物投影仪 .
内容分析：
以前，我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的增函数. 对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么函数f(x)就是区间I上的减函数.
在函数y=f(x)比较复杂的情况下，比较f(x1)与f(x2)的大小并不很容易. 如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单 .
教学过程：
一、复习引入：
1. 常见函数的导数公式：
0'C； 1)'(nnnxx； xxcos)'(sin； xxsin)'(cos.
xx1)'(ln ； exxaalog1)'(log； xxee)'( ； aaaxxln)'(
2.法则1 '''[()()]()()fxgxfxgx．
法则2 [()()]'()()()'()fxgxfxgxfxgx, [()]'()cfxcfx.
法则3 '2()'()()()'()(()0)()()fxfxgxfxgxgxgxgx
二、讲解新课：
1. 函数的导数与函数的单调性的关系：
我们已经知道，曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数y=f(x)的导数.从函数342xxy的图像
可以看到：
在区间（2，＋∞）内，切线的斜率为正，函数y=f(x)的值随着x的增大而增大，即/y>0时，函数y=f(x) 在区间（2，＋∞）内为增函数；在区间（－∞，2）内，切线的斜率为负，函数y=f(x)的值随着x的增大而减小，即/y0时，函数y=f(x) 在区间（－∞，2）内为减函数. y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率 f′(x)
导数的几何意义和物理意义
导数的几何意义和物理意义
导数是微积分中一项重要的概念。它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。
一、导数的几何意义
在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。
1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。
2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。
二、导数的物理意义
导数在物理学中也有着广泛的应用。它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。 1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。这在运动学中有着广泛的应用。
2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。
3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。