2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高二下学期期中考试数学试题(PDF版)
高二数学参考答案第1页共5页
2018学年第二学期期中杭州地区(含周边)重点中学
高二年级数学学科参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二、填空题：本大题共7小题，多空题每空3分，单空题每空4分，共36分.11．1i -+
12．7；142y x =±13．56
14．1
，55⎡⎢⎥⎣⎦15
．16
．17．1
a ≤-三、解答题:（本大题共5小题，其中18题14分，其它题各15分，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18．()()=1351(21),().n
f n n n N *-+-++-⋅-∈ 已知函数（1）求(1)()f n f n +-；
（2）用数学归纳法证明()=(1).
n f n n -⋅解：
（1）(1)()f n f n +-()11(21),().n n n N +*=-⋅+∈……………………………5分
（2）①当n=1时，左边()11(21)1,=-⋅-=-右边()1111,=-⨯=-等式成立…6分
②假设当n=k(k ∈*N )时结论成立，即()=(1).k f k k -⋅………………7分
则当n=k+1时，
(1)f k +=()()1=1351(21)1(21)
k k k k +-+-++-⋅-+-⋅+ ()1=(1)+1(21)k k k k +-⋅-⋅+()1=1(1).k k +-⋅+………………………12分
所以当n=k+1时,结论也成立，…………………………………………………13分
综①②所述，()=(1)n f n n -⋅意的n ∈*N 都成立.…………………………14分
19．19.已知点(1,0),(4,0)P Q ,一动点2M MQ MP =满足.
（1）求点M 的轨迹方程；
（2）过点(2,3)A 的直线l 与(1)中的曲线有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.
解：（1）设点(,)M x y ，2M MQ MP =点满足
，
题号
12345678910答案C D C B
B B D D A D
高二数学参考答案第2页共5页
则点M 的轨迹方程C 为224x y +=……………………………………………………6分
（2）设直线l 的方程为3(2)y k x -=-，
:3(2)l y k x C -=- 直线与曲线只有一个公共点，
:3(2)l y k x C ∴-=-直线与曲线
相切，
2d ==51212
k ⇒= 分214x C = 直线与曲线相切，分
=2512260.15l x x y ∴-+= 直线为或分
20．四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是直角梯形，,90AB CD BCD ︒∠=P ,
22AB AD DC ===.PAD ∆为正三角形，二面角P AD C --的大小为23
π.（1）线段AD 的中点为M .求证：PMB ⊥平面;
ABCD 平面（2）求直线BA 与平面PAD 所成角的正弦值.解：
（1）证明：BAD PAD ∆∆和Q 是正三角形，
M Q 是AD 的中点，,,
AD MB AD MP ∴⊥⊥,
MB MP M =又Q I AD PMB ∴⊥平面AD ABCD ⊂又平面Q .6PMB ABCD ∴⊥⋯⋯⋯平面平面分
（2）由（1）知PMB P AD B ∠--是二面角的平面角
2=.3
PMB π∴∠由（1）知AD PMB
⊥平面AD PAD
⊂平面Q PAD PBM
B PAD E PM ∴⊥∴平面平面过作平面的垂线，则垂足在延长线上
.3BME π∴∠=,AE BAE AB PAD ∠连结则是与平面所成的角 (12)
分BM =Q 3,2
BE ∴=M C D P A B E A D C B M
P
高二数学参考答案第3页共5页3sin 4
BE BAE AB ∴∠==……………………………15分21．已知抛物线C 的对称轴为x 轴，点(1,2)P 在抛物线C 上，,A B 是抛物线C 上不同的两点，直线
PA PB ，的斜率为12,k k ，满足124k k +=-.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）证明：直线AB 过定点；
（3）当点P 到直线AB 距离最大时，求PAB ∆的面积.
解：
（1）24y x =…………………………………………………………………………4分
（2）设1122(1,2)(,),(,)P A x y B x y ，，
124
k k +=-Q 121222411
y y x x --∴+=---1222122241144y y y y --∴+=---12123()801y y y y ∴+++=（）………………………7分
设直线AB 的方程为x my n
=+24x my n y x
=+⎧⎨=⎩2440
y my n ∴--=12124,4(2)y y m y y n +==-………………………9分
由（1）（2）得，32
n m =+所以，直线AB 过定点(2,3)-………………………………………………………10分
（2）当点P 到直线AB 距离最大时,点P 与定点(2,3)D -的连线与直线AB 垂直.11分
121235
AB k -∴=-=+…………………………………………………………12分联立抛物线与直线AB 的方程251704x y y x
--=⎧⎨=⎩
，
12AB y =-=
1122
PAB S AB PD ∆∴==⨯分22．已知函数()2ln ,.f x x x a x a R =--∈（1）若不等式()0f x <无解，求a 的值；
（2）若函数()f x 存在两个极值点1212,x x x x <、且，当
()()12f x f x m a -<恒成立时，求实数m 的
最小值.
解：
（1）解法1：由题意()0f x ≥恒成立，（1分）
高二数学参考答案第4页共5页()10,1f =则为极值点
()101f a '=⇒=………………………3分
当1a =时()2ln ,
f x x x x =--()212121,x x f x x x x
--'=--=()(][)0,11+f x ∞在上单调递减，在，上单调递增，
()(1)0
f x f ∴≥=当1a =时()0f x <无解.………………………6分
解法2：由题意()0f x ≥恒成立，（1分）
若0a ≤，则111ln 0242f a ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭
，不合题意，…………………………2分所以0a >，()2'2,x x a f x x --=令220x x a --=，则180a ∆=+>，所以该方程有两个不相等的实根12,x x ，且12x x <，因为1202
a x x =-<，所以120,0,x x <>所以()f x 在2(0,)x 递减，在()2,x +∞递增，所以()()2min 0f x f x =≥，………4分
又因为(1)0f =，所以21x =，所以210a --=，所以1a =.………6分（2）解法1：由题意220x x a --=有两个不同的正根，知0a <由()f x 先增后减知12()()f x f x >，则12()()0f x f x a -<，当1x 无限接近于2x 时，12()()f x f x a -接近于0，则实数m 的最小值为0.……………15分
解法2：由题意220x x a --=有两个不同的正根，所以121218010202a x x a x x ⎧⎪∆=+>⎪⎪+=>⎨⎪⎪=->⎪⎩
，解得1211110,0,8442a x x -<<<<<<，
……………………………………………9分所以()()()()11212221211122221ln ln ln x x x x x a f x f x x x a x x x a x x a a a
-+------++===()()121
21122ln 2x x x x x x x x -+-=121212
1ln 2x x x x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭………………………………12分令()21222
112,10,12x x t t x x x -===-∈则，所以11ln 2y t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2'2211111022t y t t t -⎛⎫=+-=> ⎪⎝⎭，所以函数11ln 2y t t t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
在()01，上单调递增，当1,0t y →→，所以当0m ≥时恒成立，实数m 的最小值为0.……………15分。
2018-2019浙江杭州重点中学高一上数学期末试题(word 有答案)
2018-2019学年浙江省杭州地区（含周边）重点中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={1,2，3}，B ={2,3，6}，那么A ∩B =( )A. {1,6}B. {2,3}C. {1,2，3}D. {1,2，3，6}【答案】B【解析】解：∵A ={1,2，3}，B ={2,3，6}； ∴A ∩B ={2,3}． 故选：B ．进行交集的运算即可．考查列举法的定义，以及交集的运算．2. 已知角α的终边经过点P(3,−4)，则tanα=( )A. −34B. −43 C. 43 D. 34【答案】B【解析】解：∵已知角α的终边经过点P(3,−4)， ∴x =3，y =−4，则 tanα=yx =−43=−43，故选：B ．根据角α的终边经过点P(3,−4)，可得x =3，y =−4，再根据tanα=yx 计算求得结果． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3. 在△ABC 中，点D 为边AB 的中点，则向量CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ C. −12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ −12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 【答案】A【解析】解：如图， ∵点D 为边AB 的中点； ∴2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ； ∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：A ．根据向量加法的平行四边形法则即可得出2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，从而得出CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ．考查向量加法的平行四边形法则，向量数乘的几何意义，向量的数乘运算．4. 设a =log 25,b =(12)5,c =log 512，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. b <c <aB. c <b <aC. c <a <bD. a <b <c【答案】B【解析】解：∵a =log 25,b =(12)5,c =log 512， a =log 25>log 24=2， 0<b =(12)5<(12)0=1，log 512<log 51=0，∴a ，b ，c 的大小关系为c <b <a ． 故选：B ．利用指数函数、对数函数的单调性直接求解．本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5. 下列函数中，既是奇函数又在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A. y =x 3−1xB. y =tanxC. y =2xD. y =sinx【答案】A【解析】解：A.f(−x)=−x 3+1x =−f(x)，则函数f(x)是奇函数，∵y =x 3和y =−1x 在(0,+∞)上都是增函数，∴f(x)是增函数，满足条件． B .y =tanx 在(0,+∞)上不单调，不满足条件． C .y =2x 是增函数，但不是奇函数，不满足条件．D .y =sinx 是奇函数，在(0,+∞)上不是单调函数，不满足条件． 故选：A ．根据函数奇偶性和单调性的性质进行判断即可．本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性．6. 若函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|≤π)局部图象如图所示，则函数y =f(x)的解析式为( )A. y =32sin(2x +π6) B. y =32sin(2x −π6)C. y =32sin(2x +π3) D. y =32sin(2x −π3)【答案】D 【解析】解：∵12T =2π3−π6=π2，∴ω=2πT=2；又由图象可得：A =32，可得：f(x)=32sin(2x +φ)， f(2π3+π62)=32sin(2×5π12+φ)=32，∴5π6+φ=kπ+π2，k ∈Z ．∴φ=kπ−π3，(k ∈Z)， 又∵|φ|≤π，∴当k =0时，可得：φ=−π3，此时，可得：f(x)=32sin(2x −π3). 故选：D ．由y =Asin(ωx +φ)的部分图象可求得A ，T ，从而可得ω，再由f(2π3+π62)=32，结合φ的范围可求得φ，从而可得答案．本题考查由y =Asin(ωx +φ)的部分图象确定函数解析式，求得φ的值是难点，属于中档题．7. 已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)，则g(1)=( )A. 32B. 2C. 52D. 4【答案】C【解析】解：∵函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且2x+1=f(x)+g(x)， ∴f(1)+g(1)=21+1=4，① f(−1)+g(−1)=2−1+1=20=1， 即−f(1)+g(1)=1 ② 由①+②得2g(1)=5， 则g(1)=52， 故选：C ．根据函数奇偶性的性质，建立方程组进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，利用函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键．8.已知函数f(x)=√1+cosx+√3−3cosx，则y=f(x)的最大值为()A. √2+√3B. √6C. 2√2D. √2【答案】C【解析】解：∵cosx=2cos2x2−1=1−2sin2x2−1，∴f(x)=√1+cosx+√3−3cosx=√2|cos x2|+√6|sinx2|≥|√2cos x2+√6sin x2|=2√2|sin(x2+π6)|，当|sin(x2+π6)|=1时，有最大值，最大值为2√2，故选：C．根据二倍角公式和两角和正弦公式和正弦函数的性质即可求出．本题考查了函数的最值问题，考查了三角函数的化简和计算，属于中档题．9.已知向量a⃗,b⃗ 满足|a⃗|=1,|a⃗⋅b⃗ |≥2，则|a⃗−b⃗ |的最小值是()A. 4B. 3C. 2D. 1【答案】D【解析】解：不妨设如图所示的直角坐标系，a⃗=(1,0)，b⃗ =(x,y)，a⃗⋅b⃗ =x，因为|a⃗⋅b⃗ |≥2，所以x≤−2或x≥2，即b⃗ 所对应的点B在直线x=−2的左边区域(含边界)或在直线x=2的右边区域(含边界)，又|a⃗−b⃗ |的结合意义为a⃗与b⃗ 所对应的点A与B的距离，由图知：当B(2,0)时，|AB|最短，且为1，故|a⃗−b⃗ |的最小值是1，故选：D．由平面向量的坐标运算得：b⃗ 所对应的点B在直线x=−2的左边区域(含边界)或在直线x=2的右边区域(含边界)，由向量模的几何意义得：|a ⃗ −b ⃗ |的结合意义为a ⃗ 与b ⃗ 所对应的点A 与B 的距离，作图观察可得解．本题考查了平面向量的坐标运算及向量模的几何意义，属中档题．10. 若函数f(x)=x|x|+a|x|+3在区间[3,+∞)和(−∞,−1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A. [−3,1]B. [−6,1]C. [−3,2]D. [−6,2]【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=x|x|+a|x|+3={−x 2−ax +3,x <0x 2+ax+3,x≥0， 当x ≥0时，f(x)=x 2+ax +3，若f(x)在区间[3,+∞)上为增函数，则有−a2≤3，解可得a ≥−6；当x <0时，f(x)=−x 2−ax +3，若f(x)在区间(−∞,−1]上为增函数，则有−a 2≥−1，解可得a ≤2；综合可得：−6≤a ≤2，即a 的取值范围为[−6,2]； 故选：D ．根据题意，写成函数f(x)的解析式，当x ≥0时，f(x)=x 2+ax +3，当x <0时，f(x)=−x 2−ax +3，结合二次函数的性质分析可得a 的取值范围，综合可得答案． 本题考查分段函数的单调性，涉及二次函数的性质，属于基础题．二、填空题（本大题共7小题，共28.0分） 11. 计算：cos 113π=______．【答案】12 【解析】解：由cos 113π=cos(4π−π3)=cos π3=12．故答案为：12．直接利用诱导公式化简求值即可． 本题考查诱导公式的应用，考查计算能力．12. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米． 【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)， 故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13.求值：823−log32log227=______．【答案】1【解析】解：原式=4−3log32log23=4−3log32⋅1log32=1．故答案为：1．进行分数指数幂和对数的运算即可．考查分数指数幂的运算，对数的运算，对数的换底公式．14.已知幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，则f(4)=______．【答案】2【解析】解：∵幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，∴f(4)=√4=2．故答案为：2．由幂函数f(x)=xα(0<α<1)满足f(α)=√α，能求出f(4)的值．本题考查函数值的求法，考幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15.已知平面向量a⃗,b⃗ ,|a⃗|=1,|a⃗+b⃗ |=√3，向量a⃗,b⃗ 夹角为2π3，则|b⃗ |=______．【答案】2【解析】解：由|a⃗+b⃗ |=√3，所以a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =3，又a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos2π3=−12|b⃗ |，所以b⃗ 2−|b⃗ |−2=0，所以|b⃗ |=2，故答案为：2．由平面向量的数量积及其运算得：a⃗⋅b⃗ =|a⃗||b⃗ |cos2π3=−12|b⃗ |，即b⃗ 2−|b⃗ |−2=0，即|b⃗ |=2，得解．本题考查了平面向量的数量积及其运算，属简单题．16.已知0≤α≤π2,cos(α+π6)=√24，则sin(α+5π12)=______．【答案】1+√74【解析】解：已知0≤α≤π2,cos(α+π6)=√24，∴α+π6还是锐角，∴sin(α+π6)=√1−cos2(α+π6)=√144，则sin(α+5π12)=sin[(α+π6)+π4]=sin(α+π6)cosπ4+cos(α+π6)sinπ4=√144⋅√22+√24⋅√2 2=√7+14，故答案为：1+√74．由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin(α+π6)的值，再利用两角和的正弦公式sin(α+5π12)=sin[(α+π6)+π4]的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式的应用，属于基础题．17.已知函数f(x)=|x2−t|+tx2的最小值为与t无关的常数，则t的范围是______．【答案】[1,+∞)【解析】解：f(x)=|x2−t|+tx2，设x2=m，则m>0，∴函数转化为f(m)=|m−t|+tm的最小值为与t无关的常数，m>0①当t≤0时，f(m)=m−t+tm，函数在(0,+∞)单调递增，无最小值，②当t>0时，m≤t时，f(m)=−m+t+tm，函数在(0,t]单调递减，f(m)min=−t+ t+1=1，当m>t时，f(m)=m−t+tm，∴f(m)=1−tm2=m2−tm2，令f(m)=0，解得m=√t，(i)若√t≥t，即0<t≤1时，当t<m<√t时，f′(m)<0，函数f(m)单调递递减，当m>√t时，f′(m)>0，函数f(m)单调递递增，∴f(m)min=f(√t)=√t−t√t=2√t−t，∵要使函数y=f(x)的最小值为与t无关的常数，∴2√t−t≥1，即(√t−1)2≤0解得t=1，(ii)若√t<t，即t>1时，f(m)在(t,+∞)单调递递增，∴f(m)min=−t+t+1=1，综上所述：t的范围是[1,+∞)先利用换元法，转化为函数转化为，当m>0，f(m)=|m−t|+tm的最小值为与t无关的常数，对t进行分类讨论，根据函数的单调性即可求出t的范围本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于难题．三、解答题（本大题共4小题，共52.0分） 18. 已知函数f(x)=(sinx +cosx)2+2sin 2x ；(1)求f(π4)的值；(2)求函数y =f(x)的周期及单调递增区间； 【答案】解：∵f(x)=(sinx +cosx)2+2sin 2x ，∴f(x)=1+2sinxcosx +2sin 2x =1+sin2x +1−cos2x =2+√2sin(2x −π4)， (1)f(π4)=2+√2sin π4=3； (2)函数f(x)的周期T =2π2=π，由−π2+2kπ≤2x −π4≤π2+2kπ(k ∈Z)， 可得−π8+kπ≤x ≤38+kπ,k ∈Z ．∴函数f(x)的周期T =π，单调递增区间为[−π8+kπ,38+kπ],k ∈Z ．【解析】(1)利用三角函数的恒等变换化简函数f(x)的解析式为f(x)=2+√2sin(2x −π4)，由此求得f(π4)的值； (2)代入周期公式即可求出函数的最小正周期，利用正弦函数的单调性解关于x 的不等式，即可得到f(x)的单调递增区间．本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查三角函数的周期性以及单调性的求法，属于中档题．19. 在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1) (1)若C 是AB 所在直线上一点，且OC ⊥AB ，求C 的坐标．(2)若OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，当OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10，求λ的值． 【答案】解：(1)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−1)， 因为C 是AB 所在直线上一点， 设AC⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得C(1−3λ,2−λ)， 又因为OC ⊥AB ， 所以OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 解得λ=12， 所以C(−12,32)， 故答案为：(−12,32)(2)∵OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2),OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1)且OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， 显然λ≠0，所以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,3)=(−λ,3λ)，又OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10 所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10即−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10， 所以−2OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10， 所以−20λ2+10λ=−10 即2λ2−λ−1=0， 解得：λ=−12或λ=1， 故答案为：−12或1．【解析】(1)由向量共线的坐标运算得：设AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，可得C(1−3λ,2−λ)，又因为OC ⊥AB ，λ=12，即C(−12,32)，(2)由平面向量数量积的运算得：由OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10所以OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(2DO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10即−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=−10，所以−2OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+1λOD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=−10，所以−20λ2+10λ=−10，运算可得解本题考查了向量共线的坐标运算及平面向量数量积的运算，属中档题．20. 已知函数f(x)=√2x −1+1(1)求函数f(x)的定义域及其值域．(2)若函数y =2x −mf(x)有两个零点，求m 的取值范围．【答案】解：(1)由题意可知2x −1≥0，∴x ≥0，函数f(x)的定义域为[0,+∞)， f(x)=√2x −1+1≥1，函数f(x)的值域为[1,+∞)； (2)∵f(x)=√2x −1+1，∴y =2x −m(√2x −1+1)， 令t =√2x −1+1(t ≥1)，可得2x =1+(t −1)2=t 2−2t +2，所以原函数转化为y =t 2−(m +2)t +2(t ≥1)，记ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2(t ≥1)， 要使得函数y =2x −mf(x)有两个零点，即方程ℎ(t)=t 2−(m +2)t +2=0在[1,+∞)上有两个根，所以{ℎ(1)≥0m+22>1(m +2)2−8>0，解得2√2−2<m ≤1，所以当2√2−2<m ≤1时，函数y =2x −mf(x)有两个零点．【解析】(1)由偶次根式被开方数非负，以及指数函数的单调性和值域，可得所求； (2)由零点的定义和换元法，以及二次函数的图象和性质，可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．本题考查函数的定义域和值域，以及函数零点的求法，考查换元法和指数函数的单调性、二次函数的图象和性质，考查运算能力，属于中档题．21. 已知函数f(x)=ax 2−x +1−a ．(1)当a =1时，求函数y =f(x)在[−3,3]上的最大值与最小值．(2)当a >0时，记g(x)=f(x)x，若对任意x 1，x 2∈[−3,−1]，总有|g(x 1)−g(x 2)|≤a +13，求a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =1时，f(x)=x 2−x =(x −12)2−14， ∵12−(−3)>3−12， ∴当x =−3时，f(x)max =12， 当x =12时，f(x)min =−14 (2)由题意可知：g(x)=ax +1−a x−1(x ∈[−3,−1])要使得对任意x 1，x 2∈[−3,−1]，总有|g(x 1)−g(x 2)|≤a +13 只需当x ∈[−3,−1]时，g(x)max −g(x)min ≤a +13 ①当a ≥1时，g(x)在[−3,−1]上单调递增即：g(−1)−g(−3)≤a +13，所以−2−(−83a −43)≤a +13， 所以a ≤35，不合题意) ②当0<a <1时 (Ⅰ)当√1−a a ≤1即12≤a <1时，g(x)在[−3,−1]上单调递增，解得12≤a ≤35 (Ⅱ)1<√1−a a<3即110<a <12时，g(x)在[−3,−√1−a a]上单调递增，[−√1−a a,−1]上单调递减可得{g(−√1−a a )−g(−3)≤a +13g(−√1−a a )−g(−1)≤a +13，解得110<a <12 (Ⅲ)√1−a a ≥3即0<a ≤110时，g(x)在[−3,−1]上单调递减，所以g(−3)−g(−1)≤a +13，即−83a −43+2≤a +13,得111≤a <110综上111≤a ≤35【解析】(1)根据二次函数的性质即可求出函数的最值，(2)问题转化为只需当x ∈[−3,−1]时，g(x)max −g(x)min ≤a +13，分类讨论，根据函数的单调性即可求出． 】。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
吉林省延边第二中学2018-2019学年高二数学下学期期中试题 理(含解析)
延边第二中学2018—2019学年度第二学期期中考试高二年级数学试卷（理）一、选择题（共12小题，每小题4分，共48分，每题只有一个选项正确）1.已知复数满足，则复数的共轭复数为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】把给出的等式两边同时乘以i，然后利用复数的乘法运算化简，取虚部为相反数得到z的共轭复数．【详解】由，得．∴复数z的共轭复数为．故选：D．【点睛】本题考查了复数代数形式的乘法运算，考查了复数的基本概念，是基础题．2.设函数f(x)在x=1处存在导数为2,则=( )A. 2B. 1C.D. 6【答案】C【解析】【分析】利用导数概念直接求解．【详解】解：∵函数f（x）在x＝1处存在导数，∴f′（1）=．故选：C．【点睛】本题考查导数的概念，是基础题，解题时要认真审题，注意导数定义的合理运用．3.我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这10部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为（）A. 45 种B. 42 种C. 28 种D. 16种【答案】B【解析】【分析】分成两类：2部都为魏晋南北朝时期的名著、只有1部为魏晋南北朝时期的名著，分别计算即可.【详解】解：2部都为魏晋南北朝时期的名著的方法数为＝21种，只有1部为魏晋南北朝时期的名著的方法数为＝21种，∴事件“所选两部名著中至少有一部是魏晋南北朝时期的名著”的选法为42种. 故选：B【点睛】本题考查组合数的简单应用，属于基础题.4.将A、B、C、D、E、F六个字母排成一排，且A、B均在C的同侧，则不同的排法共有( )A. 480种B. 240 种C. 960种D. 720 种【答案】A【解析】【分析】分类讨论，考虑C排在左边第一、二、三个位置的情况，再利用对称性可得结论．【详解】解：第一类，字母C 排在左边第一个位置，有种；第二类，字母C 排在左边第二个位置，有种；第三类，字母C 排在左边第三个位置，有种，由对称性可知共有2（）＝480种．故选：A．【点睛】本题考查利用排列知识解决实际问题，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．5.下面几种推理是演绎推理的个数是（）①两条直线平行，同旁内角互补。
2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一下学期期中数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一下学期期中数学试题一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,4,5}A =，集合{2,4,6}B =，则()CuA B ⋂=（ ） A ．{4} B ．{2,6}C ．{2,4,6}D ．{2,3,6}【答案】B【解析】直接由交集与补集的定义，即可得到本题答案. 【详解】由题，得{2,3,6}U C A =，所以(){2,6}U C A B ⋂=. 故选：B 【点睛】本题主要考查集合的交集与补集的运算，属基础题.2．已知等比数列{}n a ，若52a =，932a =，则410a a ⋅=（ ） A ．16± B ．16C ．64±D ．64【答案】D【解析】直接利用等比数列的性质，即可得到本题答案. 【详解】因为{}n a 为等比数列，且592,32a a ==， 由等比数列的性质得，4105923264a a a a ⋅=⋅=⨯=.故选：D 【点睛】本题主要考查利用等比数列的性质求值，属基础题. 3．已知函数25,0(),0x x f x x x ->⎧=⎨≤⎩，则((-3))f f =（ ） A ．8- B ．9C ．81D ．4【答案】D【解析】由(3)9,(9)4f f -==，即可得到本题答案. 【详解】由题，得2(3)(3)9f -=-=， 所以((3))(9)954f f f -==-=. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用分段函数求函数值，属基础题.4．已知0a b >>，且0c >，且1c ≠，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．log log c c a b > B ．a b c c >C ．ac bc >D ．c c a b> 【答案】C【解析】根据指数函数与对数函数的单调性以及不等式的基本性质，逐项判断，即可得到本题答案. 【详解】当01c <<时，log c y x =在(0,)+∞单调递减，由0a b >>，得log log c c a b <，当1c >时，log c y x =在(0,)+∞单调递增，由0a b >>，得log log c c a b >，故A 不正确；当01c <<时，xy c =在(,)-∞+∞单调递减，由0a b >>，得a b c c <，当1c >时，x y c =在(,)-∞+∞单调递增，由0a b >>，得a b c c >，故B 不正确；根据不等式的基本性质，由0a b >>，0c >，得ac bc >，故C 正确； 由0a b >>，得110b a >>，又0c >，根据不等式的基本的性质，有c c b a>，故D 不正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查利用指数函数和对数函数的单调性以及不等式的基本性质比较大小.5．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A ︒=，a =c =则C =（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．60︒或120︒D ．30︒或150︒【答案】A【解析】直接根据正弦定理即可得到本题答案，别漏了“大边对大角”对结果的限制. 【详解】解：在ABC ∆中，60A ︒=Q ，6a =，2c =，∴由正弦定理，得sin sin a c A C=，即62sin 32C =，∴解得1sin 2C =， 又a c >，A C ∴>，30C ︒=，故选：A 【点睛】本题主要考查利用正弦定理求角.6．已知函数()y f x =的部分图象如图，则该函数的解析式可能是（ ）A ．()()x xf x x e e-=-B ．()()ln x xf x e e-=+C ．21()x xx f x e e-+=+ D ．()ln ||1f x x =+【答案】B【解析】由(0)0f >及当x →+∞时，()f x →+∞，逐项排除，即可得到本题答案. 【详解】由图，可得(0)0f >，对于选项A ，(0)0f =，故排除A ；对于选项D ，()f x 的定义域为0x ≠，故排除D ；由图，可得()f x 在(0,)+∞上函数单调递增，当x →+∞时，()f x →+∞， 对于选项C ，当x →+∞时，()0f x →，故排除C . 故选：B【点睛】本题主要考查根据函数的图象判断函数的解析式，结合函数的单调性和奇偶性，利用特殊值法，逐项排除，是解决此类问题的常用方法. 7．将函数()sin 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位后得到()g x 的图象，下列是()g x 的其中一个单调递增区间的是（ ）A ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭ B ．57,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】由题，得()cos2g x x =，令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈，可求得()cos2g x x =的增区间，再令1k =，即可得到本题答案. 【详解】由题，得()si n 2sin 2cos 2842g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 令222k x k πππ-≤≤，k Z ∈， 得2k x k πππ-≤≤，k Z ∈，即函数()cos2g x x =的单调递增区间为,2k k πππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， 当1k =时，单调递增区间为,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 因为57,,882ππππ⎛⎫⎡⎤⊆⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以57,88ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭是函数()cos2g x x =的一个单调递增区间. 故选：B 【点睛】本题主要考查三角函数图象的平移以及求三角函数的单调区间.8．已知平面向量,a b r r 满足||2a =r ，||b =r|(12)|()xa x b x R +-∈rr的最小值||()a yb y R +∈r r 的最小值为（ ）A ．B ．1C ．2D ．1或2【答案】D【解析】设2()|(12)|f x xa x b =+-r r ，a b t ⋅=r r ，则2()(164)(212)3f x t x t x =-+-+，由()f x 的最小值为34，得24(164)3(212)34(164)4t t t ⨯-⨯--=⨯-，且1640t ->，解得0t =或3t =，然后分2种情况考虑||()a yb y R +∈r r的最小值，即可得到本题答案. 【详解】设2()|(12)|f x xa x b =+-r r ，a b t ⋅=rr ，则2222()2(12)(12)f x a x x x a b x b =⋅+-⋅+-r r r r()2242(12)3144x x x t x x =+-+-+2(164)(212)3t x t x =-+-+因为|(12)|()xa x b x R +-∈r r所以()f x 的最小值为34， 则24(164)3(212)34(164)4t t t ⨯-⨯--=⨯-，且1640t ->， 解得0t =或3t =， 当0t =，即0a b ⋅=r r时，||2a yb +==≥r r，所以||()a yb y R +∈r r的最小值为2； 当3t =，即3a b ⋅=r r时，||1a yb +===≥r r，所以||()a yb y R +∈r r的最小值为1，综上，||()a yb y R +∈r r的最小值为1或2.故选：D 【点睛】本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算能力.9．设函数2()x f x e ax bx c =+++（,,a b c 为非零实数），且()a f a e =，()b f b e =，若1a <-，则b 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D【解析】根据()a f a e =，()bf b e =，得到,a b 的关系式，即可得到b 的最小值. 【详解】由()af a e =，()b f b e =，得322a abbe a ab c e e ab b c e ⎧+++=⎨+++=⎩两式相减得，()()()0a a b a b b a b +-+-=， 所以2()()0a b a ab b -++=，① 当a b =时，由()af a e =，()bf b e =，得0a b ==，与1a <-矛盾，所以不符合题意；②当20a ab b ++=时，212(1)11a b a a a =-=--+++，由10a +<，得(1)0a -+>，所以212(1)2411a b a a a =-=--+≥+=++，当且仅当2(1)1a +=，即2a =-时，b 取得最小值. 故选：D 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，由函数()f x 得到,a b 的关系式是解决问题的关键.10．若函数22()(2)(2)2f x x m x x m x =+-+-++的最小值为0，则m 的取值范围为（ ）A ．(,1]-∞B ．[2,1]-C ．(2]-∞D ．[2]-【答案】A【解析】讨论0m =，求得1x =时，取得最小值0；去绝对值，结合二次函数的最值求法，即可得到所求范围. 【详解】解：当0m =时，22222()222(1)1(1)12(1)f x x x x x x x x =-+-+=--+-+=-， 当1x =时，()f x 取得最小值0；当1x =时，(1)12|122|1|1|f m m m m =+-+--+=-+-， 当1m £时，可得(1)110f m m =-+-=， 当1m >时，(1)2(1)0f m =->，22()(1)1(1)1f x x mx x mx =--++-+-，当2(1)1x mx -≥-时，2()2(1)0f x x =-≥，当1x =时，取得最小值0，此时1m £；当2(1)1x mx -<-时，()2(1)f x mx =-，由题意可得2(1)0mx -≥恒成立. 故选：A 【点睛】本题主要考查二次函数与绝对值的综合问题，涉及到分类讨论思想的运用，考查学生的推理分析能力以及计算化简能力.二、填空题11．计算：66log 92log 2+=________ ；1068e =________． 【答案】2 0【解析】根据对数的运算公式和实数指数幂的运算公式，化简、求值，即可得到答案. 【详解】由题意，根据对数的运算可得6666log 92log 2log 94log 362+=⨯==；由实数指数幂的运算可得1162811)20e +=+-=．【点睛】本题主要考查了对数运算和实数指数幂的运算、化简求值，其中解答中熟记实数指数幂的运算公式和对数的运算公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．函数1y =______；值域为______.【答案】[0,)+∞ (,1]-∞【解析】要使已知函数有意义，则需满足0x ≥0≥即可求出函数的值域. 【详解】因为要使函数1y =-0x ≥，所以函数1y =[0,)+∞；0≥，所以11≤，所以函数1y =(,1]-∞.故答案为：[0,);(,1]+∞-∞ 【点睛】本题主要考查函数的定义域及值域，属基础题.13．已知数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且2n S n n =+，则n a =______，数列}n的前n 项的和n T =______. 【答案】2n 122n +-【解析】由题，得1n =时，112a S ==，2n ≥时，由1n n n a S S -=-，可得所求的通项公式；由数列}n即为{}2n，利用等比数列的求和公式计算，即可得到本题答案.【详解】因为数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且2n S n n =+， 所以，当1n =时，112a S ==；2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=，上式对1n =也成立，可得2n a n =，*n N ∈；数列}n即为{}2n，为首项和公比均等于2的等比数列，可得()12122212n n nT +-==--.故答案为：12;22n n +-【点睛】本题主要考查由n S 的表达式求数列的通项公式，以及利用等比数列的前n 项和公式求和.14．已知ABC ∆中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则最小角的正弦值为______；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为______. 【答案】356 【解析】由题，得ABC ∆是直角三角形，且三边为3，4，5，由此即可得到本题答案； 设三边长分别为1,,1n n n -+,对应的角为,,A B C ，则2C A =，由正弦定理得，1cos 2(1)n A n +=-，又由余弦定理得，4cos 2(1)n A n +=+，综合以上，即可求得本题答案.【详解】解：ABC ∆中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则其余两边为4，5， 则ABC ∆为直角三角形，故最小角的正弦值为35； 设三边长分别为1,,1n n n -+,对应的角为,,A B C ， 由题意知2C A =， 由正弦定理得11sin 2sin cos n n A A A-+=， 即有1cos 2(1)n A n +=-，又222(1)(1)4cos 2(1)2(1)n n n n A n n n ++--+==++，所以142(1)2(1)n n n n ++=-+，化简得250n n -=，解得5n =， 所以三边分别为4，5，6， 故最大边的长为6. 故答案为：35；6 【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的综合应用，考查学生的计算能力和求解能力.15．若,a b 均为正实数，且满足21a b +=，则1a b ab++的最小值为______.【答案】7【解析】由题，得1232323(2)a b a b a b ab ab b a b a +++⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭，展开之后利用基本不等式，即可求得本题答案. 【详解】因为21a b +=，所以122323a b a b a b a b ab ab ab b a++++++===+，所以2362(2)4377b a a b b a a b ⎛⎫++=+++≥+=+⎪⎝⎭当且仅当62b aa b =，即a 时取等号， 所以 1a b ab++的最小值为7.故答案为：7 【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值的问题，巧用“1”是解决本题的关键. 16．在ABC ∆中，||2BC =，点P 为ABC ∆所在平面内一个动点，则()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为______.【答案】1-【解析】以DE 所在直线为x 轴，线段DE 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则1,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)P x y ，由此求()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r 的最小值，可通过求2212(2)44PD PE x y ⎛⎫⋅=+- ⎪⎝⎭u u u r u u u r 的最小值得到.【详解】解：取AB 中点为D ，AC 中点为E ， 由||2BC =，得||1DE =，以DE 所在直线为x 轴，线段DE 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系， 则1,02D ⎛⎫-⎪⎝⎭1,02E ⎛⎫⎪⎝⎭，设(,)P x y ，则()22221()()2(2)44114PA PB PA PC PD PE x y x y ⎛⎫+⋅+=⋅=+-=+-≥- ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()()PA PB PA PC +⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r的最小值为1-.故答案为：1- 【点睛】本题主要考查利用建立平面直角坐标系解决向量的相关问题，主要体现了数形结合及转化和化归思想的应用.17．设非零实数a b 、满足221a b +=.若函数21ax by x +=+存在最大值M 和最小值m ，则M m -=______. 【答案】1【解析】函数y 化为20yx ax y b -+-=，由题意可得24()0a y y b ∆=--≥，结合条件，解不等式可得,m M ，作差可得所求值. 【详解】 解：21ax b y x +=+化为20yx ax y b -+-=， 由题意可得24()0a y y b ∆=--≥， 即为22440y yb a --≤， 由221a b +=，可得244(1)(1)0y yb b b ---+≤，解得1122b by -++≤≤， 即12b M +=，12bm -+=，则1M m -=. 故答案为：1 【点睛】本题主要考查利用判别式法求函数最值的问题，考查学生的分析能力与计算能力.三、解答题18．已知集合{|()(3)0}A x R x a x =∈+-<，集合1|11B x R x ⎧⎫=∈>⎨⎬-⎩⎭. （1）若1a =，求A B I ；（2）若A B =∅I ，求a 的取值范围. 【答案】（1）(1,2)A B ⋂= （2）2a ≤-【解析】（1）分别求出一元二次不等式及分式不等式的解，然后根据集合的交集运算，即可得到本题答案；（2）分3a =-，3a <-和3a >-三种情况考虑，即可确定a 的取值范围. 【详解】解：根据题意，集合1|1(1,2)1B x R x ⎧⎫=∈>=⎨⎬-⎩⎭， （1）若1a =，则集合{|(1)(3)0}(1,3)A x R x x =∈+-<=-， 所以(1,2)A B ⋂=；（2）集合{|()(3)0}A x R x a x =∈+-<， 若3a =-，则A =∅，满足题意；若3a <-，则(3,)A a =-，显然A B =∅I ；若3a >-，则(,3)A a =-，当2-≥a 时，A B =∅I ，此时32a -<≤-； 综上所述：2a ≤-. 【点睛】本题主要考查集合的交集运算，其中涉及一元二次不等式和分式不等式的求解，以及根据集合的关系确定参数a 的取值范围. 19．已知函数22()sin sin 36f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，（1）求()f x 的最小正周期和单调增区间； （2）若5()13f α=且,123ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求sin 2α的值；【答案】（1）T π=，[,]36ππk πk π-++()k ∈Z ；（2）1226【解析】（1）由诱导公式及二倍角公式恒等变形，得()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2T πω=可求得()f x 的最小正周期，令2223k x k ππππ-+≤-≤，可求得()f x 的增区间； （2）由题，先确定23πα-的取值范围，然后求出sin 23πα⎛⎫-⎪⎝⎭的值，最后根据sin 2sin 233ππαα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，即可得到本题答案.【详解】 （1）2222()sin sin cos sin cos 236663f x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--=---=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 的最小正周期22T ππ==， 令2223k x k ππππ-+≤-≤，()k ∈Z得36k x k ππππ-+≤≤+，()k ∈Z所以()f x 的单调增区间为,36k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；（2）,123ππα⎛⎫∈-⎪⎝⎭Q ，2,323πππα⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭，51()cos 23132f παα⎛⎫=-=< ⎪⎝⎭Q ，2,323πππα⎛⎫∴-∈-- ⎪⎝⎭，12sin 2313πα⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭ ，sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 333333ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+=-⋅+-⋅=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 【点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质的应用以及利用和差公式求三角函数值，其中涉及到利用诱导公式和二倍角公式恒等变形. 20．已知函数2()1f x ax x a =+++.（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，求a 的值；（2）设0a >，若对任意的[1,2]x ∈，不等式2()x f x ≤恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）0a =或12a -=； （2）15a ≥【解析】（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，等价于2210ax x a +++=有唯一实根，对a 进行讨论，结合二次方程的根的存在条件即可求解；（2）2()x f x ≤等价于210ax x a -++≥，设2()1g x ax x a =-++，分112a≤，1122a <<和122a≥三种情况，考虑()g x 的最小值即可得到本题答案. 【详解】解：（1）若函数()y f x x =+有唯一的零点，等价于2210ax x a +++=有唯一实根； 若0a =，则方程为210x +=，方程根为12-，满足题意；若0a ≠，则2224(1)4440a a a a ∆=-⋅⋅+=--+=，得a =；综上，0a =或12a -±=； （2）设0a >，若对任意的[1,2]x ∈，不等式2()x f x ≤恒成立等价于210ax x a -++≥恒成立，设2()1g x ax x a =-++，若112a≤，即12a ≥，则()g x 在[1,2]上递增，所以1()min (1)202g x g a a ==≥⇒≥； 若1122a <<，即1142a <<，则()g x 在11,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在1,22a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增， 所以min 111()0242g x g a a ⎛⎫=≥⇒<< ⎪⎝⎭； 若122a ≥，即14a ≤，则()g x 在[1,2]上递减， 所以min 11()(2)51054g x g a a ==-≥⇒≤≤； 综上所述：15a ≥.【点睛】本题主要考查由函数的零点个数确定参数取值范围的问题以及求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论思想的应用.21．设ABC V 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若1cos 2c B a b =-且c =.（1）求角C 的大小；（2）若角C 的平分线交AB 于点D ，求线段CD 长度的取值范围. 【答案】（1）3C π=（2）30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】（1）由正弦定理的边角转换以及和差公式的应用，即可得到本题答案；（2）由题意根据三角形的面积公式可得||CD =由余弦定理得223a b ab +=+，结合基本不等式可求得03ab <≤，从而a b +∈，所以可求得13||0,32a bCD a b +⎫⎛⎤==-∈⎪ ⎥+⎭⎝⎦. 【详解】（1）由正弦定理得，1sin cos sin sin 2C B A B =-， 所以1sin cos sin()sin 2C B B C B =+-， 所以1sin cos sin cos cos sin sin 2C B B C B C B =+-， 因为sin 0B ≠，所以1cos 2C =， 所以3C π=；（2）由题意得11||||44ABC ACD BCD S S S b CD a CD ∆∆∆==+=⋅+⋅，所以||CD a b=+， 根据余弦定理，可得223a b ab +=+， 所以2232a b ab ab +=+≥， 所以03ab <≤，由223a b ab +=+，得2()13a b ab +=-，且a b +∈所以13||0,32a bCD a b +⎫⎛⎤==-∈⎪ ⎥+⎭⎝⎦. 【点睛】本题主要考查利用正弦定理的边角转换求角，以及综合余弦定理，三角形面积公式和基本不等式求边长的取值范围，考查学生的计算能力及转化和化归思想的运用.22．知数列{}n a 满足：13a =，21224n n n a a a +=-+.（1）求证：1n n a a +>；（2）求证：()*123111112133nn n N a a a a ⎛⎫≤++++≤-∈ ⎪⎝⎭L【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析【解析】（1）可根据递推式的特点选择作差法来判断1n a +与n a 的大小关系；（2）首先对递推式进行整理重新组合，化成1n a +与n a 的倒数关系式，这可以根据求证的不等式进行思考，然后可采用相消法使式子变得更简单，这样便能证出不等式成立. 【详解】证明：（1）由题意，可知：()221224420n n n n n a a a a a +-=-+=-≥，1n n a a +∴≥，∴数列{}n a 是单调递增数列. 又13a =Q ，1n n a a +∴≥≥，…130a ≥=>，()()2212210n a a ∴-≥≥-=>L .1n n a a +∴>.（2）由题意，可知：21224n n n a a a +=-+Q ， 21242n n n a a a +∴-=-，即()()1222n n n a a a +-=-，()()11111122222n n n n n a a a a a +⎛⎫⇒==- ⎪---⎝⎭111122n n n a a a +⇒=---. 123122311111111111222222n n n a a a a a a a a a a +∴++++=-+-++-------L L 1111111222n n a a a ++=-=----. *n N ∈Q ，又由（Ⅰ），知：1272n a a +≥=，1231111111123n n a a a a a +∴++++=-≥-L ； 又由()()1222n n n a a a +-=-，得：11121212122232323n nn n n n a a a a a +⎛⎫⎛⎫=⋅≤⋅≤≤⋅= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭L ，12311111121123nn n a a a a a +⎛⎫∴+++⋯+=-≤- ⎪-⎝⎭. ()*123111112133nn n N a a a a ⎛⎫∴≤++++≤-∈ ⎪⎝⎭L .命题得证.【点睛】本题主要考查利用作差法来判断数列的大小以及不等式与数列的综合应用问题，体现了转化和化归的数学思想.。
浙江省杭州市长征中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷Word版含解析
浙江省杭州市长征中学2018-2019学年上学期期中考试高一数学试卷一、选择题（本大题有18小题，每小题3分，共54分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁（M∪N）=（）UA．{1，2，3} B．{2} C．{1，2，3} D．{4}2．函数f（x）=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是（）A．R B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[﹣3，0]3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=B．C．D．y=x2+x+14．函数y=的图象是（）A．B．C．D．5．函数y=的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．66．已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[0，4] B．[2，+∞）C．[0，] D．（0，]7．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数8．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．B．C ．D ．9．已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）A ．3个B ．2个C ．1个D ．无穷多个10．函数x y 3log =的反函数是（ ）A ．x y 3log -=B ．x y -=3C ．x y 3=D ．x y 3-=11．设21log 3=a ,3)21(=b ,213=c ，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜a C ．c ＜a ＜b D ．b ＜a ＜c12．函数y=的值域是（ ） A ．R B ．[8，+∞） C ．（﹣∞，﹣3] D ．[3，+∞）13．设x=log 56•log 67•log 78，则x 属于区间（ ）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）14．设函数f （x ）=f （）lgx+1，则f （10）值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．10D ．15．设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ）A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）16．若关于x 的方程|3x+1﹣1|=k 有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．（﹣1，0）B ．（0，1）C ．（1，+∞）D ．（1，2）17．函数f （x ）=log a |x+1|在（﹣1，0）上是增函数，则f （x ）在（﹣∞，﹣1）上是（ ）A ．函数值由负到正且为增函数B ．函数值恒为正且为减函数C．函数值由正到负且为减函数 D．没有单调性18．设函数，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1或0＜m＜1 B．0＜m＜1 C．m＜﹣1 D．﹣1＜m＜0二、填空题（本大题有4小题，每空3分，共15分，请将答案写在答题卷上）19．（6分）已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，那么当x=0时，f（x）= ；当x＜0时，f（x）= ．20．已知幂函数f（x）=xα图象过点，则f（9）= ．21．函数，（0＜a＜1）的单调递减区间是．22．关于下列命题：①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．④若函数y=log2其中不正确的命题的序号是．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）三、解答题（本大题有3小题，共31分，请将解答过程写在答题卷上）23．（9分）已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁A）∩B；R（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．24．（10分）求下列各题：（1）计算：；（2）计算lg20+log25；100（3）求函数的定义域．25．（12分）已知函数f（x）=2x+2ax+b，且f（1）=、f（2）=．（1）求a、b的值；（2）判断f（x）的奇偶性并证明；（3）先判断并证明函数f（x）在[0，+∞）上的单调性，然后求f（x）的值域．浙江省杭州市长征中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有18小题，每小题3分，共54分，请从A，B，C，D四个选项中，选出一个符合题意的正确选项，填入答题卷，不选，多选，错选均得零分．）1．若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则∁（M∪N）=（）UA．{1，2，3} B．{2} C．{1，2，3} D．{4}【考点】交、并、补集的混合运算．（M∪N）．【分析】利用两个集合的并集的定义求出 M∪N，再利用集合的补集的定义求出CU（M∪N）=[4}，【解答】解：M∪N={1，2}∪{2，3}={1，2，3}，∴CU故选D．【点评】本题考查集合的表示方法、集合的补集，两个集合的并集的定义和求法，求出 M∪N 是解题的关键．2．函数f（x）=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是（）A．R B．（﹣∞，1] C．[﹣3，1] D．[﹣3，0]【考点】二次函数在闭区间上的最值．【分析】先进行配方找出对称轴，判定对称轴是否在定义域内，然后结合二次函数的图象可知函数的单调性，从而求出函数的值域．【解答】解：f（x）=﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+1（0≤x≤3）根据二次函数的开口向下，对称轴为x=1在定义域内可知，当x=1时，函数取最大值1，离对称轴较远的点，函数值较小，即当x=3时，函数取最小值﹣3∴函数f（x）=2x﹣x2（0≤x≤3）的值域是[﹣3，1]故选C．【点评】本题主要考查了二次函数的值域，二次函数的最值问题一般考虑开口方向和对称轴以及区间端点，属于基本题．3．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（）A．y=B．C．D．y=x2+x+1【考点】函数的值域．【分析】分别求出四个选项中函数的值域得答案．【解答】解：对于A，函数为值域为[0，+∞），对于B，函数的值域为（0，+∞），对于C，函数的值域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），对于D，y=x2+x+1=（x+）2+≥，故选：B【点评】本题考查基本初等函数值域的求法，是基础题．4．函数y=的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】通过函数的解析式的变形，得到分段函数，然后判断函数的图象即可．【解答】解：函数y==．所以函数的图象是C．故选：C．【点评】本题考查函数的图象的判断，分段函数的应用，是基础题．5．函数y=的最大值是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】函数的最值及其几何意义．【分析】x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，即可求出函数y=的最大值．【解答】解：x＜1时，y＜4；x≥1时，y≤5，∴函数y=的最大值是5，故选：C【点评】本题考查考查函数最值的求法，比较基础．6．已知函数f（x）=ax2﹣x+a+1在（﹣∞，2）上单调递减，则a的取值范围是（）A．[0，4] B．[2，+∞）C．[0，] D．（0，]【考点】二次函数的性质．【分析】对函数求导，函数在（﹣∞，2）上单调递减，可知导数在（﹣∞，2）上导数值小于等于0，可求出a的取值范围．【解答】解：对函数求导y′=2ax﹣1，函数在（﹣∞，2）上单调递减，则导数在（﹣∞，2）上导数值小于等于0，当a=0时，y′=﹣1，恒小于0，符合题意；当a≠0时，因函导数是一次函数，故只有a＞0，且最小值为y′=2a×2﹣1≤0，∴a≤，∴a∈[0，]，故选C．【点评】本题主要二次函数的性质、考查函数的导数求解和单调性的应用．属于基础题．7．函数是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数【考点】函数奇偶性的判断．【分析】先求定义域，再利用奇偶函数的定义进行判断即可．【解答】解：的定义域为R，且==﹣f（x），故f（x）为奇函数．故选A．【点评】本题考查函数的奇偶性的判断，属基本题型、基本概念的考查，难度不大．在判断函数奇偶性的时，否定时一般用特值．8．设函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且当x≥1时，f（x）=3x﹣1，则有（）A．B．C．D．【考点】指数函数单调性的应用；函数单调性的性质．【分析】先利用函数的对称性，得函数的单调性，再利用函数的对称性，将自变量的值化到同一单调区间上，利用单调性比较大小即可【解答】解：∵函数f（x）定义在R上，它的图象关于直线x=1对称，且x≥1时函数f（x）=3x﹣1为单调递增函数，∴x＜1时函数f（x）为单调递减函数，且f（）=f（）∵＜＜＜1∴，即故选B【点评】本题考查了函数的对称性及其应用，利用函数的单调性比较大小的方法9．已知全集U=R，集合M={x|﹣2≤x﹣1≤2}和N={x|x=2k﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．3个B．2个C．1个D．无穷多个【考点】Venn 图表达集合的关系及运算．【分析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，进而可得M 与N 的元素特征，分析可得答案．【解答】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3，即M={x|﹣1≤x ≤3}，在此范围内的奇数有1和3．所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素，故选B ．【点评】本题考查集合的图表表示法，注意由Venn 图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合．10．函数x y 3log =的反函数是（ ）A ．x y 3log -=B ．x y -=3C ．x y 3=D ．x y 3-=【考点】反函数．【分析】利用反函数的定义，求出函数y 的反函数即可．【解答】解：∵函数y=log 3x ，x ＞0，∴x=3y ；交换x 、y 的位置，得y=3x ，∴函数y=log 3x 的反函数是y=3x ．故选：C ．【点评】本题考查了反函数的定义与应用问题，是基础题目．11．设21log 3=a ,3)21(=b ,213=c ，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cA ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c【考点】对数值大小的比较．【分析】利用指数函数、对数函数单调性直接求解．【解答】解：∵＜log31=0，0＜＜=1，＞30=1，∴a＜b＜c．故选：A．【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数、对数函数单调性的合理运用．12．函数y=的值域是（）A．R B．[8，+∞）C．（﹣∞，﹣3] D．[3，+∞）【考点】对数函数的值域与最值．【分析】此为一复合函数，要由里往外求，先求内层函数x2﹣6x+17，用配方法求即可，再求复合函数的值域．【解答】解：∵t=x2﹣6x+17=（x﹣3）2+8≥8∴内层函数的值域变[8，+∞）y=在[8，+∞）是减函数，故y≤=﹣3∴函数y=的值域是（﹣∞，﹣3]故应选C．【点评】本题考点对数型函数的值域与最值．考查对数型复合函数的值域的求法，此类函数的值域求解时一般分为两步，先求内层函数的值域，再求复合函数的值域．13．设x=log56•log67•log78，则x属于区间（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】对数的运算性质．【分析】根据换底公式化简，再根据对数函数的性质即可得解【解答】解：由换底公式知：x=log 56•log 67•log 78=又由对数函数的性质知：1=log 55＜log 58＜log 525=2∴1＜x ＜2故选B【点评】本题考查对数运算，须熟练掌握换底公式的正用和逆用，同时要注意对数函数的单调性的应用．属简单题14．设函数f （x ）=f （）lgx+1，则f （10）值为（ ）A ．1B ．﹣1C ．10D ．【考点】函数的值；对数的运算性质．【分析】令x=10和x=分别代入f （x ）=f （）lgx+1，列出两个方程利用消元法求出f （10）．【解答】解：令x=10，代入f （x ）=f （）lgx+1得，f （10）=f （）lg10+1 ①令x=得，f （）=f （10）lg +1 ②， 联立①②，解得f （10）=1．故选A ．【点评】本题考查了利用方程思想求函数的值，由题意列出方程，构造方程组用消元法求解．15．设函数f （x ）=则不等式f （x ）＞f （1）的解集是（ ） A ．（﹣3，1）∪（3，+∞）B ．（﹣3，1）∪（2，+∞）C ．（﹣1，1）∪（3，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪（1，3）【考点】一元二次不等式的解法．【分析】先求f （1），依据x 的范围分类讨论，求出不等式的解集．【解答】解：f （1）=3，当不等式f （x ）＞f （1）即：f （x ）＞3如果x＜0 则 x+6＞3可得 x＞﹣3，可得﹣3＜x＜0．如果 x≥0 有x2﹣4x+6＞3可得x＞3或 0≤x＜1综上不等式的解集：（﹣3，1）∪（3，+∞）故选A．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，是中档题．16．若关于x的方程|3x+1﹣1|=k有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是（）A．（﹣1，0） B．（0，1）C．（1，+∞） D．（1，2）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】数形结合：要使方程|3x+1﹣1|=k有两个不相等的实根，只需y=|3x+1﹣1|与y=k的图象有两个交点，作出函数y=|3x+1﹣1|的图象，根据图象即可求得k的范围．【解答】解：作出函数y=|3x+1﹣1|的图象，如下图所示：要使方程|3x+1﹣1|=k有两个不相等的实根，只需y=|3x+1﹣1|与y=k的图象有两个交点，由图象得，0＜k＜1．故选B．【点评】本题考查方程根的存在性及根的个数判断，属中档题，数形结合是解决本题的强有力工具．17．函数f（x）=log|x+1|在（﹣1，0）上是增函数，则f（x）在（﹣∞，﹣1）上是（）aA．函数值由负到正且为增函数 B．函数值恒为正且为减函数C．函数值由正到负且为减函数 D．没有单调性【考点】复合函数的单调性；对数函数的图象与性质．【分析】由已知分析出外函数的单调性，进而可得f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调性和符号．【解答】解：内函数t=|x+1|在（﹣1，0）上是增函数，|x+1|在（﹣1，0）上是增函数，若函数f（x）=loga则外函数y=logt为增函数，a内函数t=|x+1|在（﹣∞，﹣1）上是减函数，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是减函数，又由f（﹣2）=0，故f（x）在（﹣∞，﹣1）上是函数值由正到负且为减函数，故选：C【点评】本题考查的知识点是复合函数的单调性，熟练掌握复合函数单调性“同增异减”的原则，是解答的关键．18．设函数，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）A．m＜﹣1或0＜m＜1 B．0＜m＜1 C．m＜﹣1 D．﹣1＜m＜0【考点】函数恒成立问题．【分析】显然m≠0，分当m＞0与当m＜0两种情况进行讨论，并进行变量分离即可得出答案．【解答】解：由f（mx）+mf（x）＜0得mx﹣+mx﹣＜0，整理得：2mx＜（m+），即2mx2＜m+恒成立．①当m＞0时，2x2＜1+，因为y=2x2在x∈[1，+∞）上无最大值，因此此时不合题意；②当m＜0时，2x2＞1+，因为y=2x2在x∈[1，+∞）上的最小值为2，所以1+＜2，即m2＞1，解得m＜﹣1或m＞1（舍去）．综合可得：m＜﹣1．故选C．【点评】本题主要考查了恒成立问题的基本解法及分类讨论思想，属于难题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解．二、填空题（本大题有4小题，每空3分，共15分，请将答案写在答题卷上）19．已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=x2+x﹣1，那么当x=0时，f（x）= 0 ；当x＜0时，f（x）= ﹣x2+x+1 ．【考点】函数解析式的求解及常用方法．【分析】由奇函数的定义得出f（0）=0；由x＞0时，f（x）的解析式，结合函数的奇偶性，求出x＜0时的解析式．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（﹣0）=﹣f（0），即f（0）=0；当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=（﹣x）2+（﹣x）﹣1=x2﹣x﹣1；又∵f（﹣x）=﹣f（x），∴﹣f（x）=x2﹣x﹣1，∴f（x）=﹣x2+x+1．故答案为：0，﹣x2+x+1．【点评】本题考查了求函数解析式的问题以及函数奇偶性的应用问题，解题时应灵活应用函数的奇偶性进行解答，是基础题．20．已知幂函数f（x）=xα图象过点，则f（9）= 81 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】由已知先求出f（x）=x2，由此能求出f（9）．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα图象过点，∴f（）==2，解得α=2，∴f（x）=x2，∴f（9）=92=81．故答案为：81．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意幂函数的性质的合理运21．函数，（0＜a＜1）的单调递减区间是（6，+∞）．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】求出原函数的定义域，分析内函数t=x2﹣5x﹣6的单调性，由于外层函数y=logat 为减函数，则内层函数的增区间即为复合函数的减区间．【解答】解：令t=x2﹣5x﹣6，由x2﹣5x﹣6＞0，得x＜﹣1或x＞6．∴函数f（x）=log0.5（x2﹣2x）的定义域为（﹣1，0）∪（6，+∞），当x∈（6，+∞）时，内层函数t=x2﹣5x﹣6为增函数，而外层函数y=logat 为减函数，∴函数f（x）=loga（x2﹣5x﹣6）的单调递减区间是（6，+∞），故答案为（6，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的单调区间，训练了复合函数的单调区间的求法，复合函数的单调性满足“同增异减”的原则，是中档题．22．关于下列命题：①若函数y=2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}；②若函数y=的定义域是{x|x＞2}，则它的值域是{y|y≤}；③若函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，则它的定义域一定是{x|﹣2≤x≤2}；④若函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，则它的定义域是{x|0＜x≤8}．其中不正确的命题的序号是①②③．（注：把你认为不正确的命题的序号都填上）【考点】函数的定义域及其求法；函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；对数函数的值域与最值．【分析】根据①、②、③、④各个函数的定义域，求出各个函数的值域，判断正误即可．【解答】解：①中函数y=2x的定义域x≤0，值域y=2x∈（0，1]；原解错误；②函数y=的定义域是{x|x＞2}，值域y=∈（0，）；原解错误；③中函数y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，，y=x2的值域是{y|0≤y≤4}，但它的定义域不一定是{x|﹣2≤x≤2}；原解错误④中函数y=log2x的值域是{y|y≤3}，y=log2x≤3，∴0＜x≤8，故①②③错，④正确．故答案为：①②③【点评】本题考查函数的定义域及其求法，函数的值域，指数函数的定义域和值域，对数函数的值域与最值，考查计算能力，高考常会考的题型．三、解答题（本大题有3小题，共31分，请将解答过程写在答题卷上）23．已知集合A={x|3≤x＜7}，B={x|x2﹣12x+20＜0}，C={x|x＜a}．（1）求A∪B；（∁RA）∩B；（2）若A∩C≠∅，求a的取值范围．【考点】交、并、补集的混合运算；集合关系中的参数取值问题．【分析】（1）先通过解二次不等式化简集合B，利用并集的定义求出A∪B，利用补集的定义求出CR A，进一步利用交集的定义求出（CRA）∩B；（2）根据交集的定义要使A∩C≠∅，得到a＞3．【解答】解：（1）B═{x|x2﹣12x+20＜0}={x|2＜x＜10}；因为A={x|3≤x＜7}，所以A∪B={x|2＜x＜10}；（1分）因为A={x|3≤x＜7}，所以CRA={x|x＜3或x≥7}；（1分）（CRA）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（1分）（2）因为A={x|3≤x＜7}，C={x|x＜a}．A∩C≠∅，所以a＞3．（2分）【点评】本题考查进行集合间的交、并、补运算应该先化简各个集合，然后利用交、并、补集的定义进行运算，属于基础题．24．（10分）（2016秋•拱墅区校级期中）求下列各题：（1）计算：；（2）计算lg20+log10025；（3）求函数的定义域．【考点】对数的运算性质；函数的定义域及其求法．【分析】（1）根据指数幂的运算性质计算即可，（2）根据对数的运算性质计算即可，（3）根据函数的定义域的求法得到由解得即可．【解答】解：（1）==10﹣1×103=102=100，（2）lg20+log 10025==lg20+log 105=lg100=2，（3）由所以f （x ）的定义域为【点评】本题考查了指数幂和对数的运算性质以及函数的定义的求法，属于基础题．25．（12分）（2016秋•拱墅区校级期中）已知函数f （x ）=2x +2ax+b ，且f （1）=、f （2）=． （1）求a 、b 的值；（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；（3）先判断并证明函数f （x ）在[0，+∞）上的单调性，然后求f （x ）的值域．【考点】函数单调性的判断与证明；函数的值域．【分析】（1）由f （1）=、f （2）=列方程组，解这个指数方程组即可得a 、b 的值；（2）先求函数的解析式，在求函数的定义域，最后利用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性；（3）利用函数单调性的定义，通过设变量，作差比较函数值的大小证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的值域即可【解答】解：（1）由得解得；（2）∵f （x ）=2x +2﹣x ，f （x ）的定义域为R ，由f （﹣x ）=2﹣x +2x =f （x ），所以f （x ）为偶函数．（3）f（x）在[0，+∞）上为增函数．证明如下：设x1＜x2，且x1，x2∈[0，+∞）==因为x1＜x2且x1，x2∈[0，+∞）所以，所以f（x1）﹣f（x2）＜。
2018-2019学年浙江省杭州地区(含周边)重点中学高一上学期期中联考数学试题
2018-2019学年第一学期期中杭州地区(含周边)重点中学高一年级数学学科试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合,且,则实数等于A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据,以及与的并集,确定出的值即可.【详解】,且，所以，，故选A.【点睛】本题主要考查并集的定义，意在考查对基础知识的掌握情况，属于简单题.2.下列从集合到集合的对应关系中，其中是的函数的是A. ，对应关系,其中B. ，对应关系,其中C. ,对应关系,其中D. ，对应关系,其中【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义：集合中每一个元素，在集合中都有唯一元素与之对应，逐一判断即可. 【详解】对于，中的奇数在中无元素与之对应不是的函数；对于,中每个元素在中都有两个不同元素对之对应，不是的函数；对于,中每个元素在中都有唯一元素与之对应，是的函数；对于,中在中没有元素对应，不是的函数，故选C.【点睛】本题主要考查函数的定义，意在考查对基本概念掌握的熟练程度，属于基础题.3.函数的定义域为A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据幂函数的定义域以及对数函数的定义域列不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，必须满足，解得，函数的定义域为，故答案为,故选C.【点睛】本题主要考查幂函数与对数函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数的定义域为，则函数的定义域由不等式求出.4.已知（是个无理数，），则下列不等关系正确的是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指数函数的单调性与对数函数的单调性，分别判断的取值范围，然后比较大小即可. 【详解】由指数函数的性质可得，，，根据对数函数的性质可得，，，即，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.下列函数中，是奇函数且在区间上是增函数的是A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用奇偶性的定义与单调性的定义，分别判断选项中的函数是否是奇函数且在区间上是增函数即可.【详解】对于，在上是减函数，不合题意；对于，是偶函数，不合题意；对于，在上是减函数，不合题意；对于，，是奇函数，，在上递增，合题意，故选D.【点睛】本题主要考查函数的奇偶性及函数的单调性，属于中档题.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1）直接法，(正为偶函数，负为减函数)；（2）和差法，（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，（为偶函数，为奇函数） .6.已知实数且，则在同一直角坐标系中，函数的图象可能是A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：当时，函数的图象只有D满足要求，当时，函数的图象，无满足要求的答案，故选D.考点：对数函数、幂函数的图象和性质.7.已知函数，则函数的最小值是A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用对数的运算法则将函数化为，利用配方法可得结果.【详解】化简，即的最小值为，故选B.【点睛】本题主要考查对数的运算法则以及二次函数配方法求最值，属于中档题. 求函数最值常见方法有，①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图象法.8.定义在上的函数满足:对任意有，则A. 是偶函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是奇函数【答案】D【解析】【分析】设，由，，由特值法求得，令，可得结果.【详解】设，由，可得则，令，得，令，，是奇函数，故选D.【点睛】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断与是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立．9.已知二次函数，分别是函数在区间上的最大值和最小值，则的最小值A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】讨论二次函数的对称轴位置，分别判断二次函数的单调性，利用单调性求出最大值与最小值，分别求出的范围，综合四种情况可得结果.【详解】当，即时，；当，即时，；当，即时，；当，即时，，综上所述，最小值为1，故选B.【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质以及分类讨论思想的应用，属于难题. （1）二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；（2）二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分析讨论求解．10.已知实数，实数满足方程，实数满足方程，则的取值范围是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】因为是的解，是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，根据函数图象关于对称，可得利用基本不等式可得结果.【详解】因为是的解,是的解，所以分别是和与的图象交点的横坐标，可得，的图象与的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称，点关于直线对称，设关于直线对称的点与点重合，则，故的取值范围是，故选C.【点睛】本题主要考查方程的根与函数图象交点的关系，属于难题. 函数的性质问题以及函数零点问题是高考的高频考点，考生需要对初高中阶段学习的十几种初等函数的单调性、奇偶性、周期性以及对称性非常熟悉；另外，函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.非选择题部分二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知指数函数，则函数必过定点____【答案】【解析】【分析】由函数恒过点，令函数指数为0 ,可得定点坐标.【详解】由函数恒过点，可得当,即时，恒成立，故函数恒过点,故答案为.【点睛】本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.12.计算：_____【答案】【解析】【分析】直接利用对数与幂指数的运算法则求解即可,解答过程注意避免出现计算错误.【详解】，故答案为.【点睛】本题主要考查对数的运算法则、幂指数的运算法则，属于简单题.求解对数、幂指数的化简求值题时，注意两点：一是熟练掌握运算法则；二是注意避免出现计算错误.13.已知函数，那么的值为____【答案】【解析】【分析】根据分段函数的解析式，先求出的值，从而可得的值.【详解】，且，，，故答案为.【点睛】本题主要考查分段函数的解析式，属于中档题. 求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值．14.已知，则_____【答案】【解析】【分析】令得，可得，从而可得到所求的函数解析式.【详解】由题意，得，因为，则，，故答案为.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.15.已知是定义在上的奇函数，对于任意且，都有成立，且，则不等式的解集为_____【答案】【解析】【分析】先判断在上递减，根据奇偶性可得上递减，，分两种情况讨论，解不等式组可得结论.【详解】当，恒成立，；当，恒成立，恒成立，在递减，又在上是奇函数，在和在上递减，由不等式可得，或，不等式的解集为，故答案为.【点睛】本题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性的应用，属于难题.将奇偶性与单调性综合考查一直是命题的热点，解这种题型往往是根据函数在所给区间上的单调性，根据奇偶性判断出函数在对称区间上的单调性(偶函数在对称区间上单调性相反，奇函数在对称区间单调性相同)，然后再根据单调性列不等式求解.16.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______【答案】【解析】【分析】根据复合函数的单调性可得在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，由此列不等式组求解即可.【详解】设，则单调递增，在区间上单调递减，所以在区间上单调递减，且在区间上恒为正数，，解得，即实数的取值范围是，故答案为.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、复合函数的单调性，属于中档题.复合函数的单调性的判断可以综合考查两个函数的单调性，因此也是命题的热点，判断复合函数单调性要注意把握两点：一是要同时考虑两个函数的的定义域；二是同时考虑两个函数的单调性，正确理解“同增异减”的含义（增增增，减减增，增减减，减增减）.17.已知函数，若恒成立，则的最小值为___________.【答案】【解析】【分析】函数写出分段函数的形式，判断在上递减，在上递增，可得的最小值，从而列不等式可得结果.【详解】因为，所以，，可得，，,在上递减，在上递增，，恒成立，或，，故的最小值为2，故答案为2.【点睛】本题主要考查分段函数的图象与性质以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合(图象在上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数.三、解答题（本大题共4小题，共52分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18.已知集合；（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围。
2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一(下)期中数学试卷及参考答案
2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，4，5}，集合B＝{2，4，6}则（∁U A）∩B＝（）A．{4}B．{2，6}C．{2，4，6}D．{2，3，6} 2．（4分）已知等比数列{a n}，若a5＝2，a9＝32，则a4•a10＝（）A．±16B．16C．±64D．643．（4分）已知函数，则f（f（﹣3））＝（）A．﹣8B．9C．81D．44．（4分）已知a＞b＞0，且c＞0，且c≠1，则下列不等式一定成立的是（）A．log c a＞log c b B．c a＞c bC．ac＞bc D．5．（4分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝60°，，，则C＝（）A．30°B．60°C．60°或120°D．30°或150°6．（4分）已知函数y＝f（x）的部分图象如右图，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）＝x（e x﹣e﹣x）B．f（x）＝ln（e x+e﹣x）C．D．f（x）＝ln|x|+17．（4分）将函数的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，下列是g（x）的其中一个单调递增区间的是（）A．B．C．D．．8．（4分）已知平面向量，满足||＝2，||＝，且|x+（1﹣2x）|（x∈R）的最小值，则|+y|（y∈R）的最小值为（）A．B．1C．2D．1或29．（4分）设函数f（x）＝e x+ax2+bx+c（a，b，c为非零实数），且f（a）＝e a，f（b）＝e b，若a＜﹣1，则b的最小值为（）A．1B．2C．3D．410．（4分）若函数f（x）＝x2+（m﹣2）x+|x2﹣（m+2）x+2|的最小值为0，则m的取值范围为（）A．（﹣∞，1]B．C．D．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．（6分）计算：log69+2log62＝；＝．12．（6分）函数的定义域为；值域为．13．（6分）已知数列{a n}的前n项的和为S n，且，则a n＝，数列的前n项的和T n＝．14．（6分）已知△ABC中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则最小角的正弦值为；若最大角是最小角的两倍，则最大边的长为．15．（4分）若a，b均为正实数，且满足a+2b＝1，则的最小值为．16．（4分）在△ABC中，|BC|＝2，点P为△ABC所在平面内一个动点，则的最小值为．17．（4分）设非零实数a、b满足a2+b2＝1．若函数存在最大值M和最小值m，则M﹣m＝．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（14分）已知集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，集合．（Ⅰ）若a＝1，求A∩B；（Ⅱ）若A∩B＝∅，求a的取值范围．19．（15分）已知函数，（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间；（Ⅱ）若且，求sin2α的值；20．（15分）已知函数f（x）＝ax2+x+1+a．（Ⅰ）若函数y＝f（x）+x有唯一的零点，求a的值；（Ⅱ）设a＞0，若对任意的x∈[1，2]，不等式2x≤f（x）恒成立，求a的取值范围．21．（15分）设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若且．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）若角C的平分线交AB于点D，求线段CD长度的取值范围．22．（15分）已知数列{a n}满足：a1＝3，2a n+1＝a n2﹣2a n+4．（Ⅰ）求证：a n+1＞a n；（Ⅱ）求证：（n∈N*）2018-2019学年浙江省浙南名校联盟高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．1．【解答】解：∁U A＝{2，3，6}，则（∁U A）∩B＝{2，6}，故选：B．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合交集补集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a5＝2，a9＝32，∴a4•a10＝a5•a9＝2×32＝64．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．【解答】解：∵函数，∴f（﹣3）＝（﹣3）2＝9，f（f（﹣3））＝f（9）＝9﹣5＝4．故选：D．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4．【解答】解：∵a＞b＞0，∴当0＜c＜1时，log c a＜log c b，c a＜c b，当c＞1时，log c a＞log c b，c a＞c b，∴ac＞bc，＜故选：C．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．5．【解答】解：在△ABC中，∵A＝60°，，，∴由正弦定理，得，即，∴解得sin C＝，又a＞c，∴A＞C，C＝30°，故选：A．【点评】该题考查正弦定理及其应用，运用正弦定理涉及多解时要注意判断取舍，往往用到知识“大边对大角”．6．【解答】解：根据函数的对称性，函数f（x）为偶函数，选项A为偶函数，且选项A经过原点，排除A，在（0，+∞）上函数单调递增，x→+∞时，f（x）→+∞，选项C中的f（x）当x→+∞时，f（x）→0，排除C，f（x）＞0，D选项当x∈（0，1）时，f（x）＜0，排除D．故选：B．【点评】本题考查了根据函数的图象判断函数的解析式，可以灵活运用所学的函数的性质，结合函数图象上的特殊点来处理，本题属于中档题．7．【解答】解：将函数的图象向左平移个单位后得到g（x）的图象，得到g（x）＝sn[2（x+）+]＝sin（2x+）＝cos2x，由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，k∈Z，得kπ﹣≤x≤kπ，k∈Z，即函数的单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，k∈Z，当k＝0时，单调递增区间为[，π]，∵⊆[，π]，∴是函数的一个单调递增区间，故选：B．【点评】本题主要考查三角函数单调区间的求解，结合三角函数的图象平移关系求出g （x）的解析式以及三角函数的单调性是解决本题的关键．8．【解答】解：由平面向量，满足||＝2，||＝，设f（x）＝|x+（1﹣2x）|2，则f（x）＝4（4）x2+3，又|x+（1﹣2x）|（x∈R）的最小值，则＝且4﹣＞0，解得＝0或＝3，则||＝，当＝0时，||＝＝≥2，即|+y|（y∈R）的最小值为2，当＝3时，||＝＝＝≥1，即|+y|（y∈R）的最小值为1，故|+y|（y∈R）的最小值为1或2，故选：D．【点评】本题考查了向量和与差的模的运算及最值，属中档题．9．【解答】解：依题意由f（a）＝e a，f（b）＝e b得+两式相减得，a （a+b）（a﹣b）+b（a﹣b）＝0，所以（a﹣b（a2+ab+b）＝0，若a＝b，则f（a）＝e a，f（b）＝e b成立时，a＝b＝0，不成立．所以b＝＝2﹣﹣（a+1），因为a+1＜0，所以b＝＝2﹣﹣（a+1）＝4，当且仅当（a+1）2＝1，即a＝﹣2时b取得最小值．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式，由函数f（x）得到a，b间的关系是解决问题的关键．属于中档题．10．【解答】解：当m＝0时，f（x）＝x2﹣2x+|x2﹣2x+2|＝（x﹣1）2﹣1+|（x﹣1）2+1|，当x＝1时，f（x）取得最小值0；当x＝1时，f（1）＝1+m﹣2+|1﹣m﹣2+2|＝m﹣1+|m﹣1|，当m≤1时，可得f（1）＝m﹣1+1﹣m＝0，当m＞1时，f（1）＝2（m﹣1）＞0，f（x）＝（x﹣1）2﹣1+mx+|（x﹣1）2+1﹣mx|，当（x﹣1）2≥mx﹣1时，f（x）＝2（x﹣1）2≥0，当x＝1时，取得最小值0，此时m≤1；当（x﹣1）2＜mx﹣1时，f（x）＝2（mx﹣1），由题意可得2（mx﹣1）≥0恒成立，故选：A．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用绝对值的意义，考查化简运算能力，属于中档题．二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．11．【解答】解：log69+2log62＝log69+log64＝log636＝2；＝1+﹣＝0．故答案为：2，0．【点评】本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．【解答】解：要使原函数有意义，则：x≥0；∴原函数的定义域为[0，+∞）；∵；∴；∴原函数的值域为（﹣∞，1]．故答案为：[0，+∞），（﹣∞，1]．【点评】考查函数定义域、值域的概念及求法，不等式的性质．13．【解答】解：数列{a n}的前n项的和为S n，且，可得a1＝S1＝2，n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣（n﹣1）2﹣（n﹣1）＝2n，上式对n＝1也成立，可得a n＝2n，n∈N*；数列即为{2n}，为首项和公比均为2的等比数列，可得T n＝＝2n+1﹣2，故答案为：2n，2n+1﹣2，【点评】本题考查等差数列的通项公式的求法，考查等比数列的求和公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题．14．【解答】解：△ABC中，三边是连续的三个自然数；若最小边为3，则其余两边为4，5，则△ABC为直角三角形，故最小角的正弦值为；设三边长分别为n﹣1，n，n+1，对应的角为A，B，C，由题意知C＝2A，由正弦定理得＝即有cos A＝，又cos A＝＝所以＝，化简为n2﹣5n＝0，解得n＝5，所以三边分别为4，5，6．故最大边的长为6故答案为：6．【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查了运算能力和求解能力，属于中档题．15．【解答】解：a+2b＝1，则＝＝＝+，则（+）（a+2b）＝4+3++≥7+2＝7+4，当且仅当＝，即a ＝b时取等号，故答案为：4+7．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．【解答】解：取AB中点为D，AC中点为E，由|BC|＝2，得|DE|＝1，以DE所在直线为x轴，线段DE的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，则D（﹣，0）E（，0），设P（x，y），则＝2＝4（x2+y2）＝4（x2+y2）﹣1≥﹣1，即的最小值为﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题．17．【解答】解：化为yx2﹣ax+y﹣b＝0，由题意可得△＝a2﹣4y（y﹣b）≥0，即为4y2﹣4yb﹣a2≤0，由a2+b2＝1，可得4y2﹣4yb﹣（1﹣b）（1+b）≤0，解得≤y≤，即M＝，m＝，则M﹣m＝1．故答案为：1．【点评】本题考查函数的最值求法，注意运用判别式法，以及二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．【解答】解：根据题意，集合＝（1，2），（I）若a＝1，集合A＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＜0}＝（﹣1，3），则A∩B＝（1，2）；（II）集合A＝{x∈R|（x+a）（x﹣3）＜0}，若a＝﹣3，则A＝∅，满足题意；若a＜﹣3，则A＝（3，﹣a），显然A∩B＝∅；若a＞﹣3，则A＝（﹣a，3），所以﹣a≥2，所以﹣3＜a≤﹣2；综上所述：a≤﹣2．【点评】本题考查集合交集的计算，（2）中注意讨论a的取值范围．19．【解答】解：（I）………………（4分）f（x）的最小正周期T＝π；………………（6分）由得：………………（9分）（II）∵，∴∵，∴，………………（11分）∴………………（12分）∴………（15分）【点评】本题考查了三角函数中的恒等变换应用，属中档题．20．【解答】解：（I）若函数y＝f（x）+x有唯一的零点，等价于ax2+2x+a+1＝0有唯一实根；………（2分）若a＝0，则方程为2x+1＝0，方程根为，满足题意；……………（4分）若a≠0，则△＝22﹣4•a•（a+1）＝﹣4a2﹣4a+4＝0，得；……………（6分）综上所述：a＝0或；…………………（7分）（II）法一：2x≤f（x）等价于ax2﹣x+a+1≥0，…………………………（8分）记g（x）＝ax2﹣x+a+1，若，即，则g（x）在[1，2]上递增，所以g（x）min＝g（1）＝2a≥0；…………………………（10分）若，即，则g（x）在上递减，在上递增，所以⇒；…………………………（12分）若，即，则g（x）在[1，2]上递减，所以g（x）min＝g（2）＝5a﹣1≥0；…………………………（14分）综上所述：．…………………………（15分）法二：2x≤f（x）等价于，…………………………（9分）记，可知g（x）在上递减，在上递增；若，此时，所以g（x）在[1，2]上递减，所以；…………………………（11分）若，此时，所以g（x）在上递减，在上递增；所以；…………………………（14分）综上所述：．…………………………（15分）【点评】本题主要考查了函数的恒成立与最值求解关系的相互转化，二次函数闭区间上的最值求解，体现了分类讨论思想的应用．21．【解答】（本题满分为15分）解：（Ⅰ）方法1：因为a＝b cos C+c cos B，…………………………（2分）所以，…………………………（4分）所以，所以；…………………………（6分）方法2：由余弦定理得，，所以，……………（2分）所以a2+c2﹣b2＝2a2﹣ab，即a2+b2﹣c2＝ab，……………（4分）所以，所以；……………（6分）方法3：由正弦定理得，，……………（2分）所以，……………（4分）所以，所以，所以；……………（6分）（Ⅱ）方法1：由题意得，所以，……………（9分）根据余弦定理，可得a2+b2＝3+ab，所以a2+b2＝3+ab≥2ab，所以0＜ab≤3，……………（11分）由a2+b2＝3+ab，得，且……………（13分）所以．……………（15分）方法2：由角平分线定理，得，所以，所以，……（9分）以下同方法1．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形的面积公式，余弦定理，基本不等式，角平分线定理，平面向量的计算在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22．【解答】证明：（Ⅰ）由题意，可知：，∴a n+1≥a n，∴数列{a n}是单调递增数列．又∵a1＝3，∴a n+1≥a n≥…≥a1＝3＞0，∴（a n﹣2）2≥…≥（a1﹣2）2＝1＞0．∴a n+1＞a n．（Ⅱ）由题意，可知：∵，∴．即：2（a n+1﹣2）＝a n（a n﹣2）．∴＝．∵n∈N*，又由（Ⅰ），知：，∴＝；又由2（a n+1﹣2）＝a n（a n﹣2），得：，∴＝．∴（n∈N*）．命题得证．【点评】本题第（Ⅰ）题主要考查利用作差法来判断数列的大小；第（Ⅱ）题主要考查先得出一般式，然后代入求和算式中使算式简单化．本题属较难的中档题．。
2018-2019学年贵州省遵义市高二(下)期中考试数学试卷(理科)Word版含解析
2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．1604．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．46．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）10．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD，PD=AD=1，设点CG到平面PAB的距离为d1，点B到平面PAC的距离为d2，则有（）A．1＜d1＜d2B．d1＜d2＜1 C．d1＜1＜d2D．d2＜d1＜111．已知双曲线（a＞0，b＞0）的焦点F1（﹣c，0）、F2（c，0）（c＞0），过F2的直线l交双曲线于A，D两点，交渐近线于B，C两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（）A．||＞|| B．||＜|| C．|﹣|=0 D．|﹣|＞012．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．2018-2019学年贵州省遵义市高二（下）期中考试数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：（每小题5分，60）1．复数z=1﹣i，则=（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：把复数z代入后前一部分采用复数的除法运算，然后在把实部和实部相加，虚部和虚部相加．解答：解：因为z=1﹣i，所以=．故选D．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法采用的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，是基础题．2．已知p：x≥k，q：＜1，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A．[2，+∞）B．（2，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出不等式q的等价条件，根据充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：∵＜1，∴﹣1=＜0，即（x﹣2）（x+1）＞0，∴x＞2或x＜﹣1，∵p是q的充分不必要条件，∴k＞2，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用不等式之间的关系是解决本题的关键，比较基础．3．的展开式中常数项是（）A．﹣160 B．﹣20 C．20 D．160考点：二项式系数的性质．专题：计算题．分析：利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0，求出r，进而求出展开式的常数项．解答：解：展开式的通项为T r+1=（﹣2）r C6r x3﹣r令3﹣r=0得r=3所以展开式的常数项为（﹣2）3C63=﹣160故选A点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．4．如果f′（x）是二次函数，且f′（x）的图象开口向上，顶点坐标为，那么曲线y=f（x）上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是（）A．B．C．D．考点：导数的几何意义；直线的倾斜角．专题：计算题．分析：由二次函数的图象可知最小值为，再根据导数的几何意义可知k=tanα≥，结合正切函数的图象求出角α的范围．解答：解：根据题意得f′（x）≥则曲线y=f（x）上任一点的切线的斜率k=tanα≥结合正切函数的图象由图可得α∈故选B．点评：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角，同时考查了数形结合法的应用，本题属于中档题．5．设随机变量ξ服从正态分布N（2，9），若P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），则c的值是（）A．1 B．2 C．3 D．4考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．专题：计算题；概率与统计．分析：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），得到曲线关于x=2对称，根据P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），结合曲线的对称性得到点c与点c﹣2关于点2对称的，从而做出常数c的值得到结果．解答：解：随机变量ξ服从正态分布N（2，9），∴曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞c）=P（ξ＜c﹣2），∴，∴c=3故选：C．点评：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查概率的性质，是一个基础题．6．已知椭圆=1（a＞5）的两个焦点为F1、F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为（）A．10 B．20 C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据椭圆=1，得出b=5，再由|F1F2|=8，可得c=4，求得a=，运用定义整体求解△ABF2的周长为4a，即可求解．解答：解：由|F1F2|=8，可得2c=8，即c=4，由椭圆的方程=1（a＞5）得：b=5，则a==，由椭圆的定义可得，△ABF2的周长为c=|AB|+|BF2|+|AF2|=|AF1|+|BF1|+|BF2|+|AF2|=（|AF1|+|AF2|）+（|BF1|+|BF2|）=4a=4．故选：D．点评：本题考查了椭圆的方程，定义，整体求解的思想方法，属于中档题．7．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面．他想把4个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有（）A．4种B．5种C．6种D．9种考点：分类加法计数原理．专题：分类讨论．分析：4枚硬币摆成一摞，应该有3类：（1）正反依次相对，（2）有两枚反面相对，（3）有两枚正面相对；本题（1）（2）满足题意．解答：解：记反面为1，正面为2；则正反依次相对有12121212，21212121两种；有两枚反面相对有21121212，21211212，21212112；共5种摆法，故选B点评：本题考查的是排列组合中的分类计数原理，对于元素较少的可以利用列举法求解；属于基本知识和基本方法的考查．8．给出如下四个命题：①若“p∨q”为真命题，则p、q均为真命题；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0≤1”；④“x＞0”是“x+≥2”的充要条件．其中不正确的命题是（）A．①②B．②③C．①③D．③④考点：命题的真假判断与应用．专题：综合题；简易逻辑．分析：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可；②写出一个命题的否命题的关键是正确找出原命题的条件和结论；③直接写出全称命题的否定判断；④利用基本不等式，可得结论．解答：解：①“p∨q”为真命题，p、q二者中只要有一真即可，故不正确；②“若a＞b，则2a＞2b﹣1”的否命题为“若a≤b，则2a≤2b﹣1”，正确；③“∀x∈R，x2+x≥1”的否定是“∃x0∈R，x02+x0＜1”，故不正确；④“x＞0”时，“x+≥2”，若“x+≥2”，则“x＞0”，∴“x＞0”是“x+≥2”的充要条件，故正确．故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查复合命题的真假判断，考查了命题的否命题、全称命题的否定、充要条件，属于中档题．9．对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x﹣2）f′（x）≤0，则必有（）A．f（﹣3）+f（3）＜2f（2）B．f（﹣3）+f（7）＞2f（2）C．f（﹣3）+f（3）≤2f （2）D．f（﹣3）+f（7）≥2f（2）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：借助导数知识，根据（x﹣2）f′（x）≥0，判断函数的单调性，再利用单调性，比较函数值的大小即可．解答：解：∵对于R上可导的任意函数f（x），（x﹣2）f′（x）≥0∴有，即当x∈[2，+∞）时，f（x）为增函数，当x∈（﹣∞，2]时，f（x）为减函数∴f（1）≥f（2），f（3）≥f（2）∴f（1）+f（3）≥2f（2）故选：C点评：本题考查了利用导数判断抽象函数单调性，以及利用函数的单调性比较函数值的大小．10．如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（ ）A ． 1＜d 1＜d 2B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜1考点： 点、线、面间的距离计算．专题： 综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析： 过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角，能够推导出d 2＜d 1＜1．解答： 解：过C 做平面PAB 的垂线，垂足为E ，连接BE ，则三角形CEB 为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE ＜CB ，即d 2＜1．同理，d 1＜1．再根据面PAC 和面PAB 与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d 2＜d 1．所以d 2＜d 1＜1．故选D ．点评： 本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．11．已知双曲线（a ＞0，b ＞0）的焦点F 1（﹣c ，0）、F 2（c ，0）（c ＞0），过F 2的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点．设+=，+=，则下列各式成立的是（ ）A ． ||＞||B ． ||＜||C ． |﹣|=0D ． |﹣|＞0考点： 双曲线的简单性质．专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析： 特殊化，取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，可得+==2，+==2，即可得出结论．解答： 解：取过F 2垂直于x 轴的直线l 交双曲线于A ，D 两点，交渐近线于B ，C 两点，则+==2，+==2，∴|﹣|=0．．故选：C点评： 特殊化是我们解决选择、填空题的常用方法．12．已知函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，若图象在点P处的切线与x轴交点的横坐标为x n，则log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012的值为（）A．1﹣log20132012 B．﹣1C．﹣log20132012 D．1考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的函数特性．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求点P（1，1），再求曲线在点P（1，1）处的切线方程，从而得出切线与x轴的交点的横坐标为x n，再求相应的函数值．解答：解：∵函数f（x）=x n+1（n∈N*）的图象与直线x=1交于点P，∴P（1，1），∵y=x n+1，∴y′=（n+1）x n，当x=1时，y′=n+1，即切线的斜率为：n+1，故y=x n+1在（1，1）处的切线方程为y﹣1=（n+1）（x﹣1），令y=0可得x=，即该切线与x轴的交点的横坐标为x n=，所以log2013x1+log2013x2+…+log2013x2012=log2013×××…×==﹣1，故选B．点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意利用对数运算的性质求出函数，属中档题．二.填空题：（每小题5分，20）13．由曲线y=sinx，y=cosx与直线x=0，x=所围成的平面图形（下图中的阴影部分）的面积是2﹣2．考点：余弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：三角函数的对称性可得S=2，求定积分可得．解答：解：由三角函数的对称性和题意可得S=2=2（sinx+cosx）=2（+）﹣2（0+1）=2﹣2故答案为：2﹣2点评：本题考查三角函数的对称性和定积分求面积，属基础题．14．设F为抛物线C：y2=4x的焦点，过点P（﹣1，0）的直线l交抛物线C于两点A，B，点Q为线段AB 的中点，若|FQ|=2，则直线l的斜率等于不存在．考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的斜率．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．利用根与系数的关系可得y1+y2=4m，利用中点坐标公式可得=2m，x0=my0﹣1=2m2﹣1．Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．再利用两点间的距离公式即可得出m及k，再代入△判断是否成立即可．解答：解：由题意设直线l的方程为my=x+1，联立得到y2﹣4my+4=0，△=16m2﹣16=16（m2﹣1）＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），Q（x0，y0）．∴y1+y2=4m，∴=2m，∴x0=my0﹣1=2m2﹣1．∴Q（2m2﹣1，2m），由抛物线C：y2=4x得焦点F（1，0）．∵|QF|=2，∴，化为m2=1，解得m=±1，不满足△＞0．故满足条件的直线l不存在．故答案为不存在．点评：本题综合考查了直线与抛物线的位置关系与△的关系、根与系数的关系、中点坐标关系、两点间的距离公式等基础知识，考查了推理能力和计算能力．15．将全体正奇数排成一个三角形数阵如图：按照以上排列的规律，第n行（n≥3）从左向右的第3个数为n2﹣n+5．考点：归纳推理．专题：探究型．分析：根据数阵的排列规律确定第n行（n≥3）从左向右的第3个数为多少个奇数即可．解答：解：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+（n ﹣1）=个，则第n行（n≥3）从左向右的第3个数为为第个奇数，所以此时第3个数为：1=n2﹣n+5．故答案为：n2﹣n+5．点评：本题主要考查归纳推理的应用，利用等差数列的通项公式是解决本题的关键．16．已知O是△ABC的外心，AB=2a，AC=，∠BAC=120°，若=x+y，则x+y的最小值是2．考点：向量在几何中的应用．专题：平面向量及应用．分析：建立直角坐标系，求出三角形各顶点的坐标，因为O为△ABC的外心，把AB的中垂线m方程和AC的中垂线n的方程，联立方程组，求出O的坐标，利用已知向量间的关系，待定系数法求x和y的值，最后利用基本不等式求最小值即可．解答：解：如图：以A为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角系：则A（0，0），B （2a，0），C（﹣，），∵O为△ABC的外心，∴O在AB的中垂线m：x=a上，又在AC的中垂线n 上，AC的中点（﹣，），AC的斜率为tan120°=﹣，∴中垂线n的方程为y﹣=（x+）．把直线m和n 的方程联立方程组，解得△ABC的外心O（a，+），由条件=x+y，得（a，+）=x（2a，0）+y（﹣，）=（2ax﹣，），∴，解得x=+，y=，∴x+y=++=+（）=2．当且仅当a=1时取等号．故答案为：2．点评：本题考查求两条直线的交点坐标的方法，三角形外心的性质，向量的坐标表示及向量相等的条件，待定系数法求参数值．属中档题．三.解答题：17．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点．（1）求证：A1B∥平面ADC1；（2）求二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．专题：综合题．分析：（1）连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，由此利用三角形中位线能够证明A1B∥平面ADC1．（2）由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，知BA，BC，BB1两两垂直．由此能求出二面角C1﹣AD﹣C的余弦值．解答：（1）证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD．由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点，又D为BC中点，所以OD为△A1BC中位线，所以A1B∥OD，因为OD⊂平面ADC1，A1B⊄平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1．…（6分）（2）解：由ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，且∠ABC=90°，故BA，BC，BB1两两垂直．以BA为x轴，以BC为y轴，以BB1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AB=BC=2AA1，∠ABC=90°，D是BC的中点，∴可设AA1=1，AB=BC=2，BD=DC=1，∴A（2，0，0），D（0，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，1），∴=（﹣2，2，1），，设平面ADC1的法向量为，则，，∴，∴=（1，2，﹣2），∵平面ADC的法向量，所以二面角C1﹣AD﹣C的余弦值为|cos＜＞|=||=．点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的求法．解题时要认真审题，注意合理地化空间问题为平面问题，注意向量法的合理运用．18．已知a，b，c∈R，a2+b2+c2=1．（Ⅰ）求证：|a+b+c|≤；（Ⅱ）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．考点：二维形式的柯西不等式；函数恒成立问题．专题：选作题；不等式．分析：（Ⅰ）利用柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3；（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3，问题等价于|x﹣1|+|x+1|≥3．解答：解：（Ⅰ）由柯西不等式得，（a+b+c）2≤（12+12+12）（a2+b2+c2）=3所以﹣≤a+b+c≤所以：|a+b+c|≤；…（5分）（Ⅱ）同理，（a﹣b+c）2≤[12+（﹣1）2+12]（a2+b2+c2）=3 …（7分）若不等式|x﹣1|+|x+1|≥（a﹣b+c）2对一切实数a，b，c恒成立，则|x﹣1|+|x+1|≥3，解集为（﹣∞，﹣]∪[，+∞）…（10分）点评：本题考查柯西不等式，考查恒成立问题，正确运用柯西不等式是关键．19．某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖．（Ⅰ）求分别获得一、二、三等奖的概率；（Ⅱ）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式．专题：计算题．分析：（Ⅰ）由题意设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C，利用独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率公式即可求得；（Ⅱ）由于摸球次数为ξ，按题意则ξ=1，2，3，4，利用随机变变量的定义及随机变量的分布列及期望定义即可求得．解答：解：（Ⅰ）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C．则P（A）=，P（B）==；三等奖的情况有：“生，生，意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况．P（C）==；（Ⅱ）设摸球的次数为ξ，则ξ=1，2，3，4．，，，．故取球次数ξ的分布列为ξ 1 2 3 4P=．点评：此题考查了学生的理解及计算能力，考查了独立事件同时发生及互斥事件一个发生的概率公式，还考查了离散型随机变量的定义及分布列，随机变量的期望．20．已知曲线C：y=e ax．（Ⅰ）若曲线C在点（0，1）处的切线为y=2x+m，求实数a和m的值；（Ⅱ）对任意实数a，曲线C总在直线l：y=ax+b的上方，求实数b的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，y=e ax在x=0处的切线方程为y﹣1=y′（0）x，再比较已知条件，可得；（Ⅱ）原题意可转化为对于∀x，a∈R，e ax＞ax+b恒成立，法1：进一步转化为∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，分别从a=0和a≠0两种情况通过求导的方式进一步分析；法2：进一步转化为∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，再令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，再通过研究函数g（t）=e t ﹣t的性质求解．解答：解：（Ⅰ）y'=ae ax，因为曲线C在点（0，1）处的切线为L：y=2x+m，所以1=2×0+m且y'|x=0=2．解得m=1，a=2（Ⅱ）法1：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，令g（x）=e ax﹣ax﹣b，①若a=0，则g（x）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；②若a≠0，g'（x）=a（e ax﹣1），由g'（x）=0得x=0，g'（x），g（x）的情况如下：x （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（x）﹣0 +g（x）↘极小值↗所以g（x）的最小值为g（0）=1﹣b，所以实数b的取值范围是b＜1；综上，实数b的取值范围是b＜1．法2：对于任意实数a，曲线C总在直线的y=ax+b的上方，等价于∀x，a∈R，都有e ax＞ax+b，即∀x，a∈R，b＜e ax﹣ax恒成立，令t=ax，则等价于∀t∈R，b＜e t﹣t恒成立，令g（t）=e t﹣t，则g'（t）=e t﹣1，由g'（t）=0得t=0，g'（t），g（t）的情况如下：t （﹣∞，0）0 （0，+∞）g'（t）﹣0 +g（t）↘极小值↗所以g（t）=e t﹣t的最小值为g（0）=1，实数b的取值范围是b＜1．点评：本题中的导数的几何意义和利用导数研究函数的性质，是高考中经常考查的知识点和方法，特别是第二小问，通过数形转化后，对于“∀x，a∈R，e ax﹣ax﹣b＞0恒成立，”的处理介绍了两种方法，对于拓宽学生的思维，拓展学生的思路有一定的指导作用，不过不管是哪种方法，最终都需要用导数的知识来进一步分析．21．已知椭圆W：=1，直线l与W相交于M，N两点，l与x轴、y轴分别相交于C、D两点，O 为坐标原点．（Ⅰ）若直线l的方程为x+2y﹣1=0，求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）判断是否存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）由直线l的方程为x+2y﹣1=0，求出C，D的坐标，进而可求△OCD外接圆的圆心与半径，即可求△OCD外接圆的方程；（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），与椭圆方程联立，由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合，利用韦达定理，求出k，由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|，求出m，即可得出结论．解答：解：（Ⅰ）因为直线l的方程为x+2y﹣1=0，所以与x轴的交点C（1，0），与y轴的交点．…（1分）则线段CD的中点，，…（3分）即△OCD外接圆的圆心为，半径为，所以△OCD外接圆的方程为．…（5分）（Ⅱ）存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点．理由如下：由题意，设直线l的方程为y=kx+m（km≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），则，D（0，m），…（6分）由方程组得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，…（7分）所以△=16k2﹣8m2+8＞0，（*）…（8分）由韦达定理，得，．…（9分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得线段MN的中点与线段CD的中点重合．所以，…（10分）解得．…（11分）由C，D是线段MN的两个三等分点，得|MN|=3|CD|．所以，…（12分）即，解得．…（13分）验证知（*）成立．所以存在直线l，使得C，D是线段MN的两个三等分点，此时直线l的方程为，或．…（14分）点评：本题考查圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．22．已知函数．（I）当a=1时，求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅲ）求证：（n∈N*）．考点：数学归纳法；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：计算题；证明题．分析：（I）可先求f′（x），从而判断f（x）在x∈[1，+∞）上的单调性，利用其单调性求f（x）在x∈[1，+∞）最小值；（Ⅱ）求h′（x），可得，若f（x）存在单调递减区间，需h′（x）＜0有正数解．从而转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．通过对a分a=0，a＜0与当a＞0三种情况讨论解得a的取值范围；（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，⇒，再构造函数，令，有，从而，问题可解决；（法二）可用数学归纳法予以证明．当n=1时，ln（n+1）=ln2，3ln2=ln8＞1⇒，成立；设当n=k 时，，再去证明n=k+1时，即可（需用好归纳假设）．解答：解：（I），定义域为（0，+∞）．∵，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．当x≥1时，f（x）≥f（1）=1；（3分）（Ⅱ）∵，∵若f（x）存在单调递减区间，∴f′（x）＜0有正数解．即ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解．（5分）①当a=0时，明显成立．②当a＜0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a为开口向下的抛物线，ax2+2（a﹣1）x+a＜0总有x＞0的解；③当a＞0时，y=ax2+2（a﹣1）x+a开口向上的抛物线，即方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有正根．因为x1x2=1＞0，所以方程ax2+2（a﹣1）x+a=0有两正根．，解得．综合①②③知：．（9分）（Ⅲ）（法一）根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，∴．∵，∴．（12分）（法二）当n=1时，ln（n+1）=ln2．∵3ln2=ln8＞1，∴，即n=1时命题成立．设当n=k时，命题成立，即．∴n=k+1时，．根据（Ⅰ）的结论，当x＞1时，，即．令，则有，则有，即n=k+1时命题也成立．因此，由数学归纳法可知不等式成立．（12分）点评：本题考查利用导数研究函数的单调性及数学归纳法，难点之一在于（Ⅱ）中通过求h′（x）后，转化为：ax2+2（a﹣1）x+a＜0有x＞0的解的问题，再用分类讨论思想来解决；难点之二在于（Ⅲ）中法一通过构造函数，用放缩法证得结论，法二通过数学归纳法，其中也有构造函数的思想，属于难题．。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题含答案
2024学年第一学期期中杭州地区（含周边）重点中学高一年级数学学科试题（答案在最后）命题：考生须知：1.本卷满分150分，考试时间120分钟；2.答题前，在答题卷密封区内填写班级、考试号和姓名；3.所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷.第I 卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()0,1A =，{B x y ==，则A B = （）A.∅B.(],1-∞C.{}[)01,∞⋃+ D.0,+∞【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得集合{}1B x x =≥，根据并集的概念求解即可.【详解】因为{B x y ==，所以{}1B x x =≥，所以()0,A B =+∞ .故选：D .2.下列函数在定义域上为减函数的是（）A.()1f x x=B.()1f x x=-C.()12xf x =- D.()()2log 1f x x =-【答案】C 【解析】【分析】对于A ，由单调性的定义即可判断；对于B ，画出函数图象即可判断；对于C ，由函数图象的变换即可判断；对于D ，由复合函数的单调性即可判断.【详解】对于A ，函数的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，()11f -=-，()11f =，()()11f f -<，所以()f x 不是减函数，故A 不正确；对于B ，()1,11,1x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，函数图象如下：所以函数()1f x x =-不是减函数，故B 不正确；对于C ，()12xf x =-的定义域为R ，因为2x y =是增函数，所以2x y =-是减函数，所以()12xf x =-是减函数，故C 正确；对于D ，函数()()2log 1f x x =-定义域为1,+∞，令1t x =-，因为1t x =-是增函数，2log y t =是增函数，所以()()2log 1f x x =-在1,+∞上是增函数，故D 不正确.故选：C .3.“111x -”是“2x <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】先解不等式，然后根据充分必要条件的定义判断即可.【详解】解不等式111x -＞得12x <<，所以111x -＞成立能推出2x <，当2x <时111x -＞不一定成立，所以“111x -＞”是“2x <”的充分不必要条件.故选：A .4.已知幂函数()()21af x a a x =--为偶函数，则a =（）A .1-或2B.2C.1-D.1【答案】B 【解析】【分析】根据幂函数的定义和性质即可求解.【详解】因为幂函数()()21af x a a x =--为偶函数，所以211a a --=且a 为偶数，所以2a =.故选：B .5.声音的强弱可以用声波的能流密度来计算，叫做声强.通常人耳能听到声音的最小声强为12010I -=（瓦/平方米）.在某特殊介质的实验中对于一个声音的声强I ，用声强I 与0I 比值的常用对数来表示声强I 的“声强级数n ”，即0lg lg n I I =-，则“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的（）A.20倍B.lg 200倍C.100倍D.1000倍【答案】D 【解析】【分析】根据已知可得lg 12n I =+，分别计算当8n =时和5n =时I 的值，即可求解.【详解】因为12010I -=，所以0l lg g 1lg 2n I I I =-+=，当8n =时，410I -=，当5n =时，710I -=，所以4710100010--=，即“声强级数8”的声强是“声强级数5”的声强的1000倍.故选：D .6.已知函数()2111,14()43,1x x f x x x x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪+-⎪⎩＞若当[],x m n ∈时，()12f x ≤≤，则n m -的最大值是（）A.4B.3C.7D.5【答案】C 【解析】【分析】画出()f x 的图象，根据题意，数形结合，即可求得问题.【详解】根据题意，作出=op 的图象如下所示：数形结合可知，要使=op 的值域为[]1,2，且n m -取得最大值，则只需3m =-，4n =即可，故n m -的最大值为7.故选：C.7.已知函数()f x 的定义域为R ，()2e xy f x =+是偶函数，()4e xy f x =-是奇函数，则()1f =（）A.3e e+B.3e e-C.3e e xx+D.0【答案】A 【解析】【分析】根据奇偶函数的定义列式，消去()f x -得到()f x 的解析式，即可求解.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，()2e xy f x =+是偶函数，所以()()2e2e xx f x f x --+=+，即()()2e 2e x x f x f x ---=-，因为()4e xy f x =-是奇函数，所以()()4e 4e xx f x f x -⎡⎤--=--⎣⎦，即()()4e 4e xx f x f x --+=+，所以()3e e xx f x -=+，所以()1313e e e ef -=+=+.故选：A .8.已知函数()44x x f x -=-，若函数()f x 在区间[],m n 上的值域为(41),(41)mnk k ⎡⎤--⎣⎦，则实数k 的取值范围是（）A.()0,∞+ B.()(),22,-∞+∞ C.()()1,22,⋃+∞ D.()1,+∞【答案】C 【解析】【分析】根据函数单调性求函数值域，利用对应关系可得()2110k x kx --+=有两个不相等的正实数根，结合判别式和韦达定理可得结果.【详解】∵4x y =在R 上为增函数，4x y -=在R 上为减函数，∴()44x x f x -=-在R 为增函数，∴函数()f x 在区间[],m n 上的值域为44,44mmn n --⎡⎤--⎣⎦，∴44(41)44(41)m m m n n n k k --⎧-=-⎨-=-⎩，整理得22(1)4410(1)4410m m n nk k k k ⎧--⋅+=⎨--⋅+=⎩，∴4,4m n 为方程2(1)10k x kx --+=的两根，即2(1)10k x kx --+=有两个不相等的正实数根，∴Δ=2−4(−1)>0K1>01K1>0，解得1k >且2k ≠，∴实数k 的取值范围是()()1,22,∞⋃+.故选：C.【点睛】思路点睛：本题考查函数与方程综合问题，具体思路如下：（1）分析函数的单调性，可得()44x x f x -=-在R 为增函数，函数()f x 在区间[],m n 上的值域为44,44m m n n --⎡⎤--⎣⎦.（2）根据值域的对应关系可得4,4m n 为方程2(1)10k x kx --+=的两根，即一元二次方程有两个不相等的正实数根，利用判别式和韦达定理可求得实数k 的取值范围.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.命题“,x y ∀∈R ，220x y +≥”的否定是“,x y ∃∈R ，220x y +<”B.()2f x x =-与()242x g x x -=+是同一个函数C.函数2y x =+的值域为[2,+∞）D.若函数()1f x -的定义域为[]2,5，则函数()f x 的定义域为[]1,4【答案】ACD 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题可判断A ；求出两个函数的定义域可判断B ；利用换元法求出的函数值域可判断C ；根据抽象函数定义域的求法可判断D.【详解】A.命题“,x y ∀∈R ，220x y +≥”的否定是“,x y ∃∈R ，220x y +<”，选项A 正确.B.()2f x x =-定义域为R ，()242x g x x -=+定义域为{|2}x x ≠-，定义域不同，不是同一函数，选项B错误.C.(0)t t =≥，则21x t =+，函数2y x =+可变形为222y t t =++，对称轴为直线14t =-，函数在[)0,∞+上为增函数.当0t =时，min 2y =，故函数的值域为[2,+∞），选项C 正确.D.由函数(1)f x -的定义域为[]2,5得，114x ≤-≤，故函数()f x 的定义域为[]1,4，选项D 正确.故选：ACD.10.若0a >，0b >，且21a b +=，下列结论正确的是（）A.ab 的最大值为18B.224a b +的最小值为12C.a b ab ++的最大值为1D.1a a b a++的最小值为3【答案】AB 【解析】【分析】根据基本不等式及其取等条件分别判断各选项.【详解】A 选项：由21a b +=，且2a b +≥1≤，18ab ≤，当且仅当122a b ==时，等号成立，即ab 的最大值为18，A 选项正确；B 选项：()22211424141482a b a b ab ab +=+-=-≥-⨯=，当且仅当122a b ==时，等号成立，即224a b +的最小值为12，B 选项正确；C 选项：由21a b +=，则12b a =-，所以1200a a ->⎧⎨>⎩，即102a <<，()()2121221a b ab a a a a a ++=+-+-=-+，无最大值，C 选项错误；D 选项：由()21a b a a b +=++=，则1111a a b a a a b+=+-++，所以()111113a a b a a a b a b a a a b a a b+⎛⎫⎡⎤+=+++-=++≥ ⎪⎣⎦+++⎝⎭，当且仅当a b aa a b+=+，即0b =时，等号成立，又0b =与已知0b >矛盾，所以1aa b a++无最小值，D 选项错误；故选：AB.11.已知函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，()31f x f x ++=（），且1f x +（）为偶函数，()()24g x g x ++-=，对于[0,2]x ∀∈都有()()32x f x g x x +=-，则（）A.函数()g x 的图象关于()1,2-对称B.(1)(3)f f -=C.()()6f x f x +=D.()07(0)9f g =-【答案】BCD 【解析】【分析】根据给定条件，推理论证出函数()f x 的周期及函数()f x ，()g x 图像的对称性，对各选项逐一判断即可.【详解】对于A ：()()()()24114g x g x g x g x ++-=⇔++-+=，即()()1212g x g x ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，∴()12y g x =+-是奇函数，关于()0,0原点对称，∴=关于()1,2原点对称，故A 不正确；对于B ：∵1f x +（）为偶函数，∴11f x f x ++（）=（-），令2x =，则31f f （）=（-），故B 正确；对于C ：由()31f x f x ++=（）得()631f x f x +++=（），所以()6f x f x +=（），故C 正确；对于D ：∵()()24,11g x g x f x f x ++-=+=-+（）（），∴()()()()204,20g g f f +==，∵对于[0,2]x ∀∈都有()()32xf xg x x +=-，∴()()001f g +=，()()224f g +=-，∴()()205g g -=-，()902g =，()970122f =-=-，所以()07(0)9f g =-，故D 正确.故选：BCD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.22log 3122-⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】7【解析】【分析】根据指数幂的运算法则及对数的运算性质计算可得结果．【详解】22log 3123472-⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭.故答案为：7.13.已知函数()202420241xxf x =+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()1y f x =-⎡⎤⎣⎦的值域为________.【答案】{}1-【解析】【分析】根据指数函数性质可得202411x +>，即可求解()()1,01f x --∈，进而根据取整函数的定义求解.【详解】由于()2024112024120241x x xf x ==-++，且202411x +>，故10120241x <<+，因此()()110,120241x f x =-∈+，则()()1,01f x --∈，故()11y f x =-⎡⎣⎦=-⎤，因此值域为{}1-，故答案为：{}1-14.已知函数()()e e x b f x x a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，当0x >时()0f x ≥恒成立，则a 的最小值为________.【答案】1-【解析】【分析】通过分析()e e x g x =-的零点及在零点两侧函数值的正负，得出()bx a xh x =++在0x >时的零点及在零点两侧函数值的正负，因为0x >，研究二次函数()()x xh x ϕ=的零点分布情况即可求解.【详解】设()e e x g x =-，()bx a xh x =++，则()()(),(1)0f x g x h x g ==，且()g x 在(0,)+∞单调递增，当01x <<时，()0g x <；当1x >时，()0g x >；因为当0x >时()0f x ≥恒成立，所以()h x 有一个零点为1，且当01x <<时，()0h x <；当1x >时，()0h x <，所以10a b ++=.令22)1()(x ax b x ax x xh a x ϕ++=+-==-，因为0x >，所以()ϕx 有一个零点11x =，且当01x <<时，()0x ϕ<；当1x >时，()0x ϕ>，所以240a b ∆=->，且1210x x a =--≤，所以1a ≥-.故答案为：1-四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知a ∈R ，()(){}|40A x x x a =-+<，03xB xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭（1）当2a =-时，求集合A ；（2）若A B ⊆，求a 的取值范围.【答案】（1）()2,4A =（2）3a ≤-.【解析】【分析】（1）求解一元二次不等式即可；（2）分别讨论当4a =-，4a -＞，4a <-时，写出集合A ，列出满足A B ⊆的条件并求解即可.【小问1详解】当2a =-时，不等式()()420x x --<的解集为()2,4，所以集合()2,4A =.【小问2详解】由03xB xx ⎧⎫=≥⎨⎬-⎩⎭得(](),03,B ∞∞=-⋃+，①当4a =-时，A =∅，满足题意，所以4a =-；②当4a -＞时，(),4A a =-，要满足A B ⊆只要3a -≥，解得43a -<≤-；③当4a <-时，()4,A a =-，满足A B ⊆，故4a <-；综上，a 的取值范围为3a ≤-.16.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log f x x =.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()4x g f x x f ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，[]1,8x Î，求函数()g x 的值域.【答案】（1）22log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪==⎨⎪--<⎩（2）[]1,3-【解析】【分析】（1）根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数可得(0)0f =，利用奇函数的定义可求0x <时()f x 的表达式，从而得到()f x 的解析式.（2）计算()g x 表达式，利用换元法把问题转化为二次函数在区间上的值域问题，结合对称轴和函数单调性即可得到结果.【小问1详解】∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴()00f =.∵0x >时，=log 2，∴当0x <时，()()()2log f x f x x =--=--，∴22log ,0()0,0log (),0x x f x x x x >⎧⎪==⎨⎪--<⎩.【小问2详解】由题意得，()()()()()2222222log log log log 2log 2log 4x g x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.令[]2log ,0,3x t t =∈，问题等价于求2()2h t t t =-，[]0,3t ∈的值域∵函数2()2h t t t =-图象开口向上，对称轴为直线1t =，∴()h t 在0,1上单调递减，在[]1,3上单调递增，∵(1)121h =-=-，(0)0h =，(3)963h =-=，∴min ()1h t =-，max ()3h t =，∴函数()g x 的值域为[]1,3-.17.经市场调查，某商品在过去30天的日销售量()f t （件）与日销售价格()g t （元/件）都是时间t （天）的函数，其中()4f t t =+（030t <≤）.238,015,()242015,1530.16t t g t t t -<<⎧⎪=⎨+≤≤⎪-⎩，每件商品的综合成本为10元.（1）写出该店日销售利润W 与时间t 之间的函数关系；（2）求该店日销售利润W 的最大值.（注：销售利润＝销售收入－销售成本）【答案】（1）W 224112,0152420520,15304t t t t t t ⎧-++<<⎪=⎨++≤≤⎪-⎩（2）315元【解析】【分析】（1）利用销售利润等于单件利润乘以销售量可得结果.（2）分别计算015t <<和1530t ≤≤时日销售利润的最大值，比较后可得日销售利润W 的最大值.【小问1详解】[]2(4)(3810),015()()102420(4)1510,153016t t t W f t g t t t t +--<<⎧⎪=⋅-=⎨⎛⎫++-≤≤ ⎪⎪-⎝⎭⎩224112,0152420520,15304t t t t t t ⎧-++<<⎪=⎨++≤≤⎪-⎩.【小问2详解】当015t <<时，()222411212256W t t t =-++=--+，当12t =时，W 取得最大值，最大值为256，当153t ≤≤0时，()24202420520544044W t t t t ++=+-+-=-，令()2420544t t =--，解得26t =，由对勾函数性质可知()242054404t W t =+-+-在[)15,26上单调递减，在[]26,30上单调递增，且当15t =时，2420752031511W ++==，当30t =时，24203420150201326W ++==，由于342067501333151=->，故1530t ≤≤时，W 的最大值为315，因为315256＞，所以该店日销售利润W 的最大值为315元.18.已知函数()21x f x mx b a =++-（0m >，0a >且1a ≠）为奇函数.（1）求实数b 的值；（2）当01a <<时，判断()f x 在()0,∞+的单调性并用定义加以证明；（3）记()()g x f x mx =-，解关于x 的不等式()2024)g x g x >(.【答案】（1）1b =（2）()f x 在()0,∞+上单调递增，证明见解析（3）答案见解析【解析】【分析】（1）由奇函数定义可得()()0f x f x +-=，代入函数解析式化简即可得到结果.（2）利用单调性定义可证明()f x 在0,+∞上单调递增.（3）结合（2）的分析过程，对a 进行分类讨论，确定函数的单调性，利用单调性解不等式即可得到结果.【小问1详解】由题意得0x ≠，故()f x 的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，由()()22011x x f x f x mx b mx b a a -+-=+++-+=--，化简得()21201xx a b a -+=-，解得1b =.【小问2详解】()f x 在0,+∞上单调递增，证明如下，设()12,0,x x ∞∀∈+，且12x x <，则()()()()()2112121121222222211(1)(1)x x x x x x a a f x f x m x x m x x a a a a --=-+-=+-----，∵0m >，01a <<，12x x <，∴21x x a a <，且11x a <，21x a <，110x a -<，210x a -<，∴21120(1)(1)x x x x a a a a -<--，()1220m x x -<，∴()()12f x f x ＜，∴()f x 在0,+∞上为增函数.【小问3详解】∵y mx =为奇函数，∴()g x 为奇函数，当01a <<时，由（2）证明过程可知，()g x 在0,+∞上单调递增，∴()g x 在(),0∞-上单调递增，由()()2024g x g x >可得2024x x >解得0x <，当1a >时，同理可证()g x 在0,+∞上单调递减，∴()g x 在(),0∞-上单调递减，由()()2024g x g x >可得2024x x <解得0x >，综上，当01a <<时，解集为(),0∞-，当1a >时，解集为0,+∞.19.已知函数()||2x a f x --=，()24ax g x x =+，其中R a ∈.（1）当1a =时，写出()f x 在()0,∞+上的单调性以及最大值（不用证明）；（2）若0a =，函数()()221x m x f x b =+⋅-，[]3,0x ∈-，是否存在实数b ，使得()m x 的最大值为1？若存在，求出b 的值，若不存在，说明理由；（3）设()(),2,4(), 2.g x x h x f x x ≥⎧=⎨<⎩，若对1)2[x ∀∈+∞，，22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）|1|()2x f x --=在(]0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，最大值为1；（2）存在，1b =（3）04a <<.【解析】【分析】（1）根据指数型复合函数的单调性即可求解，（2）换元，将问题转化为求()2221124b b m t t bt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭在1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的最大值，分类讨论，即可根据二次函数的性质求解，，（3）将问题转化为求解两个函数的值域问题，()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，分类讨论，结合函数的单调性即可求解.【小问1详解】当1a =时，|1|()2x f x --=在(]0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减，当1x =时，()f x 有最大值为1；【小问2详解】当[]3,0x ∈-时，()2221x x m x b =+⋅-，令12,18x t ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，则()2221124b b m t t bt t ⎛⎫=+-=+-- ⎪⎝⎭，当12b -≥，即2b ≤-，此时()m t 在1,18t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故()m t 在1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有最大值()111111218648648m b ⎛⎫=+-≤+⨯-< ⎪⎝⎭，不满足题意，舍去，当128b -≤即14b ≥-时，()m t 在1,18⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则最大值()11m =，解得1b =符合；当1182b -<-<，即124b -<<时，此时()11m b =<且111108648m b ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，不满足最大值为1；综上，1b =；【小问3详解】若对1)2[x ∀∈+∞，，都22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，即()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，①当0a <时，()g x 在[)2,+∞上符号是负，而()f x 在(),2∞-上符号是正的，所以不满足题目的条件；②当0a =时，当2x ≥时，=0，而()f x 在(),2∞-上符号为正，所以也不符合条件；③当02a <<时，()()max 1f x f a ==，()2444ax a a g x x x x ==≤++，当且仅当2x =取到等号，故()()max max 444a f x g x =>=，满足题意，所以02a <<；④当2a ≥时，()22x a x a f x ---==在(),2∞-上单调递增，()g x 在[)2,+∞上递减，故此时()()20,2a f x -∈，()0,4a g x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，要满足条件只需24204a a -⋅-＞，由于2424a a y -=⋅-为减函数，又因为4a =时，24204aa -⋅-=，所以24204a a -⋅-的解为24a ≤<综上，实数a 的取值范围为04a <<.【点睛】关键点点睛：对1)2[x ∀∈+∞，，都22)x ∃∈-∞(，，使得()()12h x h x =成立，转化为()()()(){}21112221424x a ax h x h x h x h x x --⎧⎫⎪⎪=⊆=⋅⎨⎬+⎪⎪⎩⎭，即()()()(){}2,242,24x a ax g x g x x f x f x x x --⎧⎫=≥⊆=>⎨⎬+⎩⎭，利用函数的单调性求解两个函数的值域.。
2023-2024学年高二数学真题汇编(人教A版2019)排列组合(解析版)
一卷练透04排列组合月学情调研测试数学试题）故选：ACD ．10．（江苏省扬州中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题）现有4个编号为1，2，3，4的盒子和4个编号为1，2，3，4的小球，要求把4个小球全部放进盒子中，则下列结论正确的有（）A ．没有空盒子的方法共有24种B ．可以有空盒子的方法共有128种C ．恰有1个盒子不放球的方法共有144种D ．没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒子的方法有8种【答案】ACD【分析】对于A ：没有空盒则全排列，求解即可；对于B ：有4个球，每个球有4种放法，此时随意放，盒子可以空也可以全用完，求解即可；对于C ：恰有1个空盒，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有一个盒子中放了2个球，求解即可；对于D ：没有空盒子且恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同的球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，求解即可．【详解】对于A ：4个球全放4个盒中，没有空盒则全排列，共44A 24=种，故A 正确；对于B ：可以有空盒子，有4个球，每个球有4种放法，共44256=种，故B 错误；对于C ：恰有1个空盒子，说明另外3个盒子都有球，而球共4个，必然有1个盒子中放了2个球，先将4个盒中选1个作为空盒，再将4个球中选出2个球绑在一起，再排列共123443C C A 144=种，故C 正确；对于D ：恰有一个小球放入自己编号的盒中，从4个盒4个球中选定一组标号相同得球和盒，另外3个球3个盒标号不能对应，则共14C 28⨯=种，故D 正确．故选：ACD ．11．（浙江省杭州地区（含周边）重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）如图，在一广场两侧设置6只彩灯，现有4种不同颜色的彩灯可供选择，则下列结论正确的是（）A ．共有64种不同方案B ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且4种颜色的彩灯均要使用，则共有186种不同方案C ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用3种颜色的彩灯，则共有192种不同方案D ．若相邻两灯不同色，正相对的两灯（如1､4）也不同色，且只能使用2种颜色的彩灯，则共有12种不同方案【答案】ACD【分析】根据题意，利用分步乘法和分类加法计数原理，结合排列组合的综合问题，依次推导、计算即可求解.【详解】对于选项A ，每个彩灯颜色都有4种选择，根据分步乘法原理得，有64444444⨯⨯⨯⨯⨯=种不同方案，故A 正确；对于选项B ，第一类：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有34A 24=种结果，使用1种剩余的颜色和前3种颜色的2种安装4，5，6号位彩灯时，有2133C C 9⋅=种结果，根据乘法原理得共有249216⨯=种不同的安装方法；第二类：先从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有24A 12=种结果，再安装4，5，6号位彩色灯，分两类：第一类，4，5，6号位只用1，2，3号位剩余的2种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位剩余的2种彩色灯和前三个位置使用过的1种彩灯，有122222C A A 6⋅+=种结果，根据计数原理得共有()21224222A 2C A A 96⋅+⋅+=种不同的安装方法.由分类加法原理得共有21696312+=种不同的安装方案，故B 错误；对于选项C ，第一步：先从4种颜色的彩灯选出3种颜色的彩灯有安装在1，2，3号位，则有34A 24=种结果，第二步：分两类：第一类，4，5，6号位用1，2，3号位的3种彩色灯，有2种结果，第二类，4，5，6号位用1，2，3号位的2种彩色灯，有2132C C 6⋅=种结果，根据计数原理得共有()321432A 2C C 192⋅+⋅=种不同的安装方法.故C 正确；对于选项D ，第一步：从4种颜色的彩灯选出2种颜色的彩灯安装在1，2，3号位，则有2142C C 12⋅=种结果，第二步：安装4，5，6号位彩灯有1种，根据分步计数原理，可得有12112⨯=种不同的安装法，故D 正确；故选：ACD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．即所有符合条件的二进制数()0152a a a ⋯的个数为10．所以所有二进制数()0152a a a ⋯对应的十进制数的和中，52出现25C 10=次，42，32…，12，02均出现24C 6=次，所以满足0152a a a a ⋯，，，中恰好有2个0的所有二进制数()0152a a a ⋯对应的十进制数的和为24302545C 2+2++2+2+C 2=631+1032=506⨯⨯ （）.先选择一个非0数排在首位，剩余数全排列，共有1444C A 96⋅=种，其中2和0排在一起形成20和原来的20有重复，考虑2和0相邻时，且2在0的左边，共有4!24=种排法，其中一半是重复的，故此时有12种重复.其中2和3排在一起形成23和原来的23有重复，考虑2和3相邻时，且2在3的左边，共有1333C ×A 18=种排法，其中一半是重复的，故此时有9种重复.故共有9612975--=种.故答案为：506；75．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（2）抽出的3件中恰有1件次品是指2件正品，1件次品，则有21102C C 90=种不同的抽法，（3）抽出的3件中至少有1件次品的抽法数，是在12件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数，所以共有331210C C 220120100-=-=种不同的抽法.16．（江苏省宿迁市泗阳县2022-2023学年高二下学期期中数学试题）某医疗小组有4名男性，2名女性共6名医护人员，医护人员甲是其中一名．(1)若从中任选2人参加A ，B 两项救护活动，每人只能参加其中一项活动，每项活动都要有人参加，求医护人员甲不参加A 项救护活动的选法种数；(2)这6名医护人员将去3个不同的地方参与医疗支援，每人只能去一地，每地有2人前往，若2名女性不能去往同一个地方，求不同的分配方案种数．【答案】(1)25(2)72【分析】（1）分类，按甲是否参加活动分两类；（2）分步，第一步按排两名女性，第二步按排与女性同去的男性，第三步剩余的两名男性．【详解】（1）分两类：①甲参加B 项救护活动，再从其余5人中选一人参加A ，选法数为15C 5=，②甲不参加救护活动，则从其余5人中任选两人参加救护活动，选法数为25A 20=，所以共有选法种数为20+5=25；（2）分三步：第一步先安排两名女性医护人员有：23A ，第二步：安排两名女医护人员同去的男医护人员有：24A ，第三步：剩余两名男性医护人员去另外一地有：22C ，所以共有不同的分配方案数为：222342A A C 72=．17．（山东省泰安市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）在混放在一起的6件不同的产品中，有2件次品，4件正品.现需要通过检测将其区分，每次随机抽取一件进行检测，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出4件正品时检测结束.(1)若第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品，求共有多少种不同的抽法；(2)已知每检测一件产品需要100元费用，求检测结束时检测费用为400元的抽法有多少种？（要求：解答过程要有必要的说明和步骤）【答案】(1)120(2)96【分析】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，然后利用两个计数原理和排列组合数即可求解；（2）利用分类加法计数原理和排列组合的相关知识即可进行求解.【详解】（1）由题意知，第一次抽到的必是正品，共抽取4次或5次检测结束，第1次抽到的是正品有14C 种抽法；第2次抽到的是次品有12C 种抽法；第3次抽到的是正品有13C 种抽法；当抽取4次结束时，第4次抽到的必是次品，共有111423C C C 24=种抽法；当抽取5次结束时，若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是正品，则共有11114232C C C C 48=种抽法；若第4次抽到的是正品且第5次抽到的是次品，则共有11114232C C C C 48=种抽法；综上，第二次抽到的是次品且第三次抽到的是正品共有120种抽法.（2）由题意知，检测费用为400元，说明一共抽取了4次检测结束，共有以下两种情况：①4次抽到的均为正品，共有44A 24=种抽法；②前3次抽到2件正品，1件次品，且第4次抽到的是次品，共有123243C C A 72⋅⋅=种抽法.所以，检测结束时，检测费用为400元的抽法共有96种.18．（湖北省武汉市东湖中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题）为庆祝3.8妇女节，东湖中学举行了教职工气排球比赛，赛制要求每个年级派出十名成员分为两支队伍，每支队伍五人，并要求每支队伍至少有两名女老师，现高二年级共有4名男老师，6名女老师报名参加比赛.(1)一共有多少不同的分组方案？(2)在进入决赛后，每个年级只派出一支队伍参加决赛，在比赛时须按照1、2、3、4、5号位站好，为争取最好成绩，高二年级选择了A 、B 、C 、D 、E 、F 六名女老师进行训练，经训练发现E 不能站在5号位，若A 、B 同时上场，必须站在相邻的位置，则一共有多少种排列方式？【答案】(1)120(2)348【分析】（1）分成两组，根据是否平均分组分别写出即可；同时上场，则利用捆绑法，求解即可（iii ）若E 在3号位，再将AB 全排列，且AB 可位于1，2号位或4，5号位，共有22A 2⨯种方式，再从CDF 中选两人进行排列，有23A 种方式，所以E 在2号位或3号位共有2223A 24A 2⨯=⨯种不同的方式；（iiii ）若E 在4号位，将AB 全排列，且AB 可位于1，2号位或2，3号位，共有22A 2⨯种方式，再从CDF 中选两人进行排列，有23A 种方式，所以E 在4号位共有2223A 24A 2⨯=⨯种不同的方式.所以AB 上场且E 也上场共有36242424108+++=种不同的方式；③若AB 中有一人上场且E 上场：E 上场且不在5号位，则E 可位于1，2，3，4号位，有14C 种方式，再从AB 中选一人，有12C 种方式，AB 中的一人和CDF 共4人全排列，共44A 种方式，所以AB 中有一人上场且E 上场共有114424C C A 192⨯⨯=种不同的排列方式.综上所述，共有48108192348++=种排列方式.19．（湖北省宜昌市协作体2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题）第18届亚足联亚洲杯将于2023年举行，已知此次亚洲杯甲裁判组有6名裁判，分别是,,,,,A B C D E F .（以下问题用数字作答）(1)若亚洲杯组委会邀请甲裁判组派裁判去参加一项活动，必须有人去，去几人由甲裁判组自行决定，问甲裁判组共有多少种不同的安排方法？(2)若亚洲杯组委会安排这6名裁判担任6场比赛的主裁判，每场比赛只有1名主裁判，每名裁判只担任1场比赛的主裁判，根据回避规则，其中A 不担任第一场比赛的主裁判，C 不担任第三场比赛的主裁判，问共有多少种不同的安排方法？(3)若亚洲杯组委会将这6名裁判全部安排到3项不同的活动中，每项活动至少安排1名裁判，每名裁判只参加1项活动，问共有多少种不同的安排方法？【答案】(1)63种(2)504种。