上海市崇明区2021届高三第一学期一模数学试卷 含答案解析
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上海市崇明区2021届高三一模
数学试卷
2020.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 设集合{1,2,3}A=，集合{3,4}B=，则AB=
2. 不等式102xx−+的解集是
3. 已知复数z满足(2)i1z−=（i是虚数单位），则z=
4. 设函数1()1fxx=+的反函数为1()fx−，则1(2)f−=
5. 点(0,0)到直线2xy+=的距离是
6. 计算：123lim(2)nnnn→++++=+
7. 若关于x、y的方程组46132xyaxy+=−=无解，则实数a=
8. 用数字0、1、2、3、4、5组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为
（结果用数值表示）
9. 若23(2)nab+的二项展开式中有一项为412mab，则m=
10. 设O为坐标原点，直线xa=与双曲线2222:1xyCab−=（0a，0b）的两条渐近线
分别交于D、E两点，若△ODE的面积为1，则双曲线C的焦距的最小值为
11. 已知函数()yfx=，对任意xR，都有(2)()fxfxk+=（k为常数），且当
[0,2]x
时，2()1fxx=+，则(2021)f=
12. 已知点D为圆22:4Oxy+=的弦MN的中点，点A的坐标为(1,0)，且1AMAN=，
则OAOD的最大值为
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 若0ab，则下列不等式恒成立的是（ ）
A. 11ab B. ab− C. 22ab D. 33ab
14. 正方体上点P、Q、R、S是其所在棱的中点，则直线PQ与RS异面的图形是（ ）
2
A. B. C. D.
15. 设{}na为等比数列，则“对于任意的*mN，2mmaa+”是“{}na为递增数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
16. 设函数()yfx=的定义域是R，对于下列四个命题：
（1）若函数()yfx=是奇函数，则函数(())yffx=是奇函数；
（2）若函数()yfx=是周期函数，则函数(())yffx=是周期函数；
（3）若函数()yfx=是单调减函数，则函数(())yffx=是单调减函数；
（4）若函数()yfx=存在反函数1()yfx−=，且函数1()()yfxfx−=−有零点，
则函数()yfxx=−也有零点；
其中正确的命题共有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 如图，已知AB⊥平面BCD，BCBD⊥，直线AD与平面BCD所成的角为30°，
且2ABBC==.
（1）求三棱锥ABCD−的体积；
（2）设M为BD的中点，求异面直线AD与CM所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
18. 已知函数21()sin23cos2fxxx=−.
（1）求函数()yfx=的最小正周期；
（2）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若锐角A满足
13()2fA−
=
，6C=，2c=，求△ABC的面积.
3
19. 研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数y与听课时间x（单位：分钟）
之间的变化曲线如图所示，当[0,16]x时，曲线是二次函数图像的一部分；当[16,40]x
时，曲线是函数0.880log()yxa=++图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，
称学生处于“欠佳听课状态”.
（1）求函数()yfx=的解析式；
（2）在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”
的时间有多长？（精确到1分钟）
20. 已知椭圆22:14xy+=的左右顶点分别为A、B，P为直线4x=上的动点，直线PA
与椭圆的另一交点为C，直线PB与椭圆的另一交点为D.
（1）若点C的坐标为(0,1)，求点P的坐标；
（2）若点P的坐标为(4,1)，求以BD为直径的圆的方程；
（3）求证：直线CD过定点.
4
21. 对于数列{}na，若从第二项起的每一项均大于该项之前的所有项的和，则称{}na为P
数列.
（1）若数列1，2，x，8是P数列，求实数x的取值范围；
（2）设数列1a，2a，3a，，10a是首项为1−、公差为d的等差数列，若该数列是P数
列，求d的取值范围；
（3）设无穷数列{}na是首项为a、公比为q的等比数列，有穷数列{}nb、{}nc是从{}na中
取出部分项按原来的顺序所组成的不同数列，起所有项和分别记为1T、2T，求证：当
0a
且12TT=时，数列{}na不是P数列.
5
参考答案
一. 填空题
1. {3} 2. (2,1)− 3. 2i+ 4. 12−
5. 2 6. 12 7. 2− 8. 48
9. 60 10. 22 11. 2 12. 2
二. 选择题
13. D 14. B 15. C 16. B
三. 解答题
17.（1）433；（2）37arccos14.
18.（1）3()sin(2)32fxx=−−，T=；（2）4A=，22a=，13S=+.
19.（1）20.80.25(12)84,[0,16]()log(15)80,[16,40]xxfxxx−−+=−+；（2）()68fx，约14分钟.
20.（1）(4,3)P；（2）2215(1)()24xy−++=；（3）(1,0).
21.（1）(3,5)；（2）8(0,)27；（3）略.
2021年上海市崇明县中考数学一模试卷
2021 年上海市崇明县中考数学一模试卷
一.选择题
1．（4 分）已知=，那么的值为（）
A．B．C．D．
2．（4 分）已知Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AB=5，那么sinB 的值是（）A．B．C．D．
3．（4 分）将抛物线y=x2先向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位，那么得到的新的抛物线的解析式是（）
A．y=（x+2）2+3 B．y=（x+2）2﹣3 C．y=（x﹣2）2+3 D．y=（x﹣2）2﹣3 4．（4 分）如图，在△ABC 中，点D、E 分别在AB、AC 上，∠AED=∠B，那么下列各式中一定正确的是（）
A．AE•AC=AD•AB B．CE•CA=BD•AB C．AC•AD=AE•AB D．AE•EC=AD•DB 5．（4 分）已知两圆的半径分别是3 和5，圆心距是1，那么这两圆的位置关系是（）
A．内切B．外切C．相交D．内含
6．（4 分）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）。
2021届上海市高三上学期一模冲刺考试数学试题Word版含解析 (2)
2021届上海市高三上学期一模冲刺考试数学试题一、单选题1．若(5)n x y -展开式的系数之和等于10(20192018)a b +展开式的二项式系数之和，则n 的值为（ ） A.15 B.10 C.8 D.5【答案】D【解析】由二项式定理可得10(20192018)a b +展开式的二项式系数之和为102，(5)n x y -展开式的系数之和()514nn -=，再列方程求解即可. 【详解】解：由题意有10(20192018)a b +展开式的二项式系数之和为102， 令1,1x y ==，则(5)nx y -展开式的系数之和()514nn -=，即1042n =，所以5,n = 故选:D. 【点睛】本题考查了二项式展开式系数及展开式二项式系数，重点考查了二项式定理，属基础题. 2．已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数①|()|f x ；②(||)f x ；③1()f x ；④()()f x f x -；其中在(,0)-∞上递减的是（ ）A.①②③B.③②C.②④D.②【答案】A【解析】先由函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上递增，则(0)0f =，当0x >时，()0f x >,当 0x <时，()0f x <，再利用复合函数的增减性的判断，逐一检验即可. 【详解】解：因为函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上递增， 则(0)0f =，当0x >时，()0f x >,当 0x <时，()0f x <，对于①|()|f x ，当0x <时，|()|f x =()f x -，则|()|f x 在(,0)-∞上递减； 对于②(||)f x ，函数(||)f x 为偶函数，则(||)f x 在(,0)-∞上递减；对于③1()f x ，由复合函数单调性可得，1()f x 在(,0)-∞上递减； 对于④()()f x f x -，2()()()f x f x f x -=-，当0x <时，()0f x <，且函数()f x 为增函数，由复合函数单调性可得，则2()y f x =-在(,0)-∞上递增， 综上可得在(,0)-∞上递减的是①②③, 故选：A. 【点睛】本题考查了函数的奇偶性及增减性，重点考查了复合函数的增减性，属中档题.3．已知关于x ，y 的不等式组()3{3020x y mx y x x +≥-+≥-≤，所表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m 的取值范围为 A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,32⎛⎫⎪⎝⎭D ．（0，1）【答案】D【解析】首先根据题中所给的约束条件，画出可行域对应的边界线，直线30x y +-=，0,3x x ==，之后判断出直线30mx y -+=过定点(0,3)，之后对应的两个边界就是直角三角形时，直线的位置，从而求得相应的斜率，之后得到对应的范围，求得结果. 【详解】根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图所示：要使可行域为锐角三角形，可知直线AD 与AC 是直线30mx y -+=的两个边界位置， 又因为0,1AD AC k k ==，所以m 的取值范围是(0,1)， 故选D. 【点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在解题的过程中，需要注意题中的条件，锐角三角形，再者就是能通过直线的方程判断出动直线所过的定点，之后应用两个边界位置得出直线的斜率的边界值，得到范围. 4．若对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的最小面积是（ ） A.3 B.4C.33 D.不确定【答案】D【解析】先根据点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=的距离为1，确定直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线，再取特殊直线运算否定ABC 即得选项. 【详解】解：由对于任意角θ，都有cos (2)sin 1x y θθ+-=，则点()02P ，到直线cos (2)sin 1x y θθ+-=2211cos sin θθ=+，即此直线为以()02，为圆心，1为半径的圆的切线， 当三条切线如图所示时，则正三角形ABC 的面积 123312S =⨯⨯=即存在直线:cos (2)sin 1l x y θθ+-=围成的正多边形的面积为3，即选项A,B,C 错误， 故选D.【点睛】本题考查了直线系方程及数形结合的数学思想方法，重点考查了点到直线的距离，属中档题.二、填空题 5．已知集合23|242x A x x +⎧⎫=>⎨⎬-⎩⎭，21|22210,8x x B y y x A ⎧⎫==⋅-⋅+∈⎨⎬⎩⎭，则A B =________.【答案】(2,4)【解析】由分式不等式的解法可得：()2,4A =，由二次型函数的值域的求法，设2x t =,()2,4x ∈,再转化为二次函数求值域可得()2,10B =，再求交集即可得解. 【详解】 解:解不等式2+3242x x >-, 化简得402x x -<-,解得:24x <<,即()2,4A =,令2x t =,()2,4x ∈, 则()4,16t ∈, 则()2211210(8)2,4,1688y t t t t =-+=-+∈,所以()2,10y ∈,即()2,10B =, 所以AB =()2,4,故答案为: ()2,4. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法及二次型函数的值域的求法，重点考查了集合交集的运算，属基础题. 6．已知()f x 存在反函数1()f x -，则2(21)y f x =+的反函数为________； 【答案】111222x y f -⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 【解析】先由2(21)y f x =+，将x 用y 表示，再求其反函数即可. 【详解】解：()f x 存在反函数1()f x -， 又2(21)y f x =+，所以(21)2yf x =+， 所以11()[(21)]2yff f x --=+， 所以121()2y x f -+=， 即111()222y x f -=-，即2(21)y f x =+的反函数为111()222x y f -=-， 故答案为：111()222x y f -=-. 【点睛】本题考查了复合函数反函数的求法，重点考查了运算能力，属基础题.7．已知5132(99)140x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，则x y +=________.【答案】145【解析】由5132(52,52)(99)140x x y y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯=++= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，再列方程组求解即可.【详解】解：因为5132(99)140x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⨯= ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭，所以529529x y +=⎧⎨+=⎩，解得7575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即x y +=145， 故答案为：145.【点睛】本题考查了行列式的运算，重点考查了运算能力，属基础题.8．已知数列{}n a 满足，621616n n n n a n a --≤⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，*n N ∈，其中a 为常数且1a >，若n S 为数列{}n a 的前n项和，则lim n n S →∞=________. 【答案】1361a +- 【解析】由等差数列，等比数列前n 项和可得当6n >时，66111[1()]1()3636111n n n a a a S a a----=+=+--，再由数列的极限求解即可. 【详解】解：当6n ≤时，2(121)2n n nS n +-==，当6n >时，66111[1()]1()3636111n n n a a a S a a ----=+=+--，即lim n n S →∞=611()1lim[36]3611n n a a a -→∞-+=+--， 故答案为：1361a +-.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列前n 项和，重点考查了数列的极限，属中档题.9．若今年春考有9所本科院校参与招生，则甲、乙、丙三位同学至少有2位同学报考同一所院校的概率为________. 【答案】2581【解析】由古典概型的概率公式求法，分有且只有2位同学报考同一所院校，3位同学都报考同一所院校两种情况分别求概率即可.【详解】解：由题意可知，有且只有2位同学报考同一所院校的概率为21139838279C C C =, 3位同学都报考同一所院校的概率为1931819C =,所以甲、乙、丙三位同学至少有2位同学报考同一所院校的概率为8125278181+=， 故答案为：2581. 【点睛】本题考查了排列组合知识及概率的求法，属基础题.10．已知球、母线和直径相等的圆柱、正方体，它们的体积依次为1V 、2V 、3V ，若它们的表面积相等，则222123::V V V =________（结果保留π）.【答案】6:4:π【解析】设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ，由球、圆柱、正方体的表面积相等，则222111::::466R r a ππ=，再由球、圆柱、正方体的体积公式求解即可. 【详解】解：设球的半径为R ，圆柱底面半径为r ，正方体的棱长为a ， 由它们的表面积相等，则222466R r a ππ==，则222111::::466R r a ππ=， 即2223232321234::():(2):()6:4:3V V V R r a πππ==， 故答案为：6:4:π. 【点睛】本题考查了球、圆柱、正方体的表面积与体积公式，重点考查了运算能力，属基础题. 11．在ABC △中，sin 2sin cos 0A B C +=，则A 的最大值是______. 【答案】6π 【解析】利用三角形内角和定理与诱导公式化简可得3sin cos cos sin 0B C B C +=，即3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角，()tan tan A B C =-+展开代入利用基本不等式的性质即可得出tan A 的最大值，结合A 的范围即可得解． 【详解】∵sin 2sin cos 0A B C +=， ∴()sin 2sin cos 0B C B C ++=， ∴3sin cos cos sin 0B C B C +=， ∵cos 0C ≠，cos 0B ≠，∴3tan tan B C =-，可得B 为锐角，C 为钝角． ∴()()2tan 3tan tan tan tan tan 1tan tan 13tan B B B C A B C B C B --+=-+=-=-+213tan tan B B=≤=+，当且仅当tan B =时取等号， ∴tan A的最大值是3， ∵A 为锐角，∴A 的最大值是6π，故答案为6π． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理、诱导公式、和差公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12．根据高一课本基本不等式章节知识所学，我们知道基本不等式),a b a b R ++≥∈，那么类比可得),,x y z x y z R +++≥∈，那么根据上述结论，则32124(04)4y t t t t =-+<<的最大值为________. 【答案】6427【解析】由),a b a b R ++≥∈可得2()2a b ab +≤，类比可得3()3x y z xyz ++≤(),,x y z R +∈，再求解即可. 【详解】解：由已知),a b a b R++≥∈可得2()2a b ab +≤，又),,x y z x y z R+++≥∈，则类比可得3()3x y z xyz ++≤(),,x y z R +∈， 又04t <<，所以40t ->， 则32231112(4)4)6424(2)(4)[]488327t t t t t t t t +-+--+=-≤=，当且仅当24t t =-，即43t =时取等号， 故答案为：6427. 【点睛】本题考查了三项基本不等式，重点考查了类比能力，属基础题.13．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，定点A ．若射线FA 与抛物线C 相交于点M （点M 在F 、A中间），与抛物线C 的准线交于点N ，则||||FM MN =________.【答案】13【解析】由直线斜率公式可得k =，则在Rt MPN ∆中，tan MNP ∠=PN =，再由3MN PM ==，运算即可得解.【详解】解：如图所示，因为抛物线方程为24x y =，所以焦点(1,0)F ,准线方程为:1,l y =-因为定点A ，所以直线FA 的斜率k ==，过M 作PM l ⊥于点P ，在Rt MPN ∆中，tan 4MNP k ∠=-=，所以4PM PN =,所以PN =,因为3MN PM ==,所以||||FM MN =13PM MN =, 故答案为：13.【点睛】本题考查了直线与抛物线的位置关系及直线斜率的运算，重点考查了运算能力，属中档题.14．已知关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈，当方程有实数根时，则实数t 的取值范围________. 【答案】[4,0]-【解析】根据方程有实数根，再结合复数相等，建立条件关系可得点的轨迹为以()1,1-2为半径的圆，再结合直线t y x =-与圆的位置关系即可得解. 【详解】解：因为关于t 的一元二次方程2(2)2()0(,)t i t xy x y i x y R ++++-=∈有实数根，得222()0t t xy t x y i +++++=，由复数相等的充要条件可得：22200t t xy t x y ⎧++=⎨+-=⎩，消t 得22(1)(1)2x y -++=，则所求点的轨迹为以()1,1-2为半径的圆，直线t y x =-与圆有公共点， 1(1)22t--+≤，解得40t -≤≤，故答案为：[4,0]-. 【点睛】本题考查了方程有实数根、复数相等及直线与圆的位置关系，重点考查了运算能力，属中档题.15．如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，60BCD ∠=︒，23CB CD ==若点M 为边BC 上的动点，则AM DM ⋅的最小值为_______.【答案】214【解析】如图所示，以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴，求出A ，D ，C 的坐标，根据向量的数量积和二次函数的性质即可求出． 【详解】 如图所示：以B 为原点，以BA 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴， 过点D 作DP x ⊥轴，过点D 作DQ y ⊥轴，∵AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=︒，23CB CD ==∴()00B ，，()20A ，，(0,23C ，(3D ， 设()0,M a ，则()2,AM a =-，( 3,3DM a =-， 故(232121 6344AM DM a a a ⎛=+-=+≥ ⎝⎭⋅，故答案为214． 【点睛】本题考查了向量在几何中的应用，考查了运算能力和数形结合的能力，属于中档题．16．已知2322()2log 1024x x f x x x x +=+++，则(2019)(2018)(6)f x f x f x -+-++-(2013)(2012)()f x f x f x +-+-++-=________.【答案】-24168【解析】先观察所求表达式的结构，探求()(6)12f x f x -+-=-，再分组求和即可. 【详解】解：因为2322()2log 1024x xf x x x x +=+++，所以33(2)(6)(4)()(6)2()2(6)log log 12(4)(6)(2)x x x x f x f x x x x x x x -----+-=-+-++=-----，则 (2019)(2018)(6)f x f x f x -+-++-(2013)(2012)()f x f x f x +-+-++-=[(2019)(2013)]...[(6)()]12201424168f x f x f x f x -+-++-+=-⨯=-， 故答案为：24168-. 【点睛】本题考查了函数的性质，重点考查了观察数据、处理数据的能力，属中档题.三、解答题17．已知A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若sin 2,2cos 1cos22AA m A⎛⎫=⎪+⎝⎭，sin 2,3cos 2A n A ππ⎛⎛⎫+ ⎪ ⎝⎭ =⎛⎫ +⎪ ⎝⎭⎝⎭，且12m n ⋅=．（1）求角A 的值；（2）若ABC ∆的周长为4a a 的值． 【答案】（1）23π；（2） 【解析】（1）三角恒等变换、诱导公式可得tan ,2cos2A m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，cot ,cos 2A n A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再利用向量数量积公式运算可得1cos 2A =-，得解；（2）由三角形周长及三角形面积可得4b c +=，4bc =，再利用余弦定理运算即可得解. 【详解】解：（1）因为2sin 22sin cos tan 1cos22cos A A AA A A==+，sin()cos 2cot 3sin cos()2A AA A A ππ+==+， 1cos cos cos 222A A A +-=-=-， 则 1tan cot (2cos )(cos )cos 222A A m n A A A ⋅=⋅+⋅-=-=，即1cos 2A =- ,又()0,A π∈，故23A π=；（2）因为23A π=，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得，222a b c bc =++，又 ABC ∆的周长为4a ，所以4b c +=，由三角形面积为3，所以1sin 32bc A = 即4bc =，所以22()12,a b c bc =+-=故23a =. 【点睛】本题考查了三角恒等变换、诱导公式，向量数量积的运算，重点考查了余弦定理及三角形面积公式，属中档题.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是直角梯形，//AD BC ，36AD BC ==，62PB =，点M 在线段AD 上，且4MD =，AD AB ⊥，PA ⊥平面ABCD .（1）求证：平面PCM ⊥平面PAD ；（2）当四棱锥P ABCD -的体积最大时，求四棱锥P ABCD -的表面积.【答案】（1）见解析. （2）(610222.【解析】【试题分析】（1）利用//,AM BC AM BC =结合直角梯形，可知四边形ABCM 是矩形，故CM AD ⊥，由于PA ⊥平面ABCD ，所以PA CM ⊥，故CM ⊥平面PAD .由此证得平面PCM ⊥平面PAD .（2）根据体积公式计算得43V AB PA =⋅，即只需AB PA ⋅取得最大值.利用基本不等式可求得AB PA ⋅的最大值为36，再通过体积公式可计算得表面积.【试题解析】（1）由6,4AD DM ==可得2AM =， 易得四边形ABCM 是矩形，∴CM AD ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，CM ⊂平面ABCD ，∴PA CM ⊥， 又PM AD M ⋂=，,PM AD ⊂平面PAD ，∴CM ⊥平面PAD ， 又CM ⊂平面PCM ，∴平面PCM ⊥平面PAD （2）四棱锥P ABCD -的体积为()1132V AD BC =⋅⋅+⋅ 43AB PA AB PA ⋅=⋅⋅， 要使四棱锥P ABCD -的体积取最大值，只需AB PA ⋅取得最大值. 由条件可得22272PA AB PB +==，∴722PA AB ≥⋅，即36PA AB ⋅≤， 当且仅当6PA AB ==时，PA AB ⋅取得最大值36.219PC =，62PD =，213CD =，cos CPD ∠=22222219PC PD CD PC PD +-=⋅⋅，则11sin 19CPD ∠=， ∴1sin 6222PCD S PC PD CPD ∆=⋅⋅⋅∠=， 则四棱锥P ABCD -的表面积为()1162666222⎛⎫⋅+⋅+⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭()12626226102222⋅⋅+=++. 19．如图，某市有相交于点O 的一条东西走向的公路l ，与南北走向的公路m ，这两条公路都与一块半径为1（单位：千米）的圆形商城A 相切．根据市民建议，欲再新建一条公路PQ ，点P 、Q 分别在公路l 、m 上，且要求PQ 与圆形商城A 也相切．（1）当P 距O 处4千米时，求OQ 的长；（2）当公路PQ 长最短时，求OQ 的长．【答案】(1) 3千米．(2) 2【解析】（1）先建立以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系．设直线方程为：14xyb+=，1=，运算即可得解；（2）设(,0)P a ，(0,)Q b (2,2)a b >>，由PQ 与圆A 相切，得2()2ab a b =+-，再结合重要不等式即可得解. 【详解】解：（1）以O 为原点，直线l 、m 分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系． 设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB ，以1千米为单位长度， 则圆A 的方程为22(1)(1)1x y -+-=， 由题意可设直线PQ 的方程为14x yb+=，即440bx y b +-=，(2)b >， ∵PQ 与圆A1=，解得3b =，故当P 距O 处4千米时，OQ 的长为3千米． （2）设(,0)P a ，(0,)Q b (2,2)a b >>， 则直线PQ 方程为1x ya b+=，即0bx ay ab +-=． 因为PQ 与圆A1=，化简得202()a ab b -++=，即2()2ab a b =+-；解法一：因此PQ ====因为2a >，2b >，所以4a b +>，于是()2PQ a b =+-．又22()22a b ab a b +⎛⎫=+-≤ ⎪⎝⎭，解得04a b <+≤-，或4a b +≥+因为4a b +>，所以4a b +≥+()22PQ a b =+-≥+，当且仅当2a b ==时取等号，所以PQ最小值为2+，此时2a b ==．答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O都为2PQ 最短． 解法二：化简得202()a ab b -++=，即2(1)2222a b a a -==+--．因为PQ =====2(2)22a a ==-++-因为2a >，所以2(2)2222PQ a a =-++≥=+-． 当且仅当222a a -=-，即2a b ==+时取到等号， 答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O都为2PQ 最短． 解法三：设PQ 与圆A 相切于点B ，连结AB 、AP 、AQ ，设OPA θ∠=， 则APB APO ∠=∠，BQA OQA ∠=∠，且2OPQ OQP π∠+∠=，∴4AQB πθ∠=-，又∵AB PQ ⊥，∴1tan PB θ=，10,4tan 4BQ πθπθ⎛⎫=∈ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭∴111111tan 1tan tan tan tan 1tan tan 1tan 4PQ θθπθθθθθθ+=+=+=+--⎛⎫- ⎪+⎝⎭12121(tan 1tan )1tan 1tan tan 1tan θθθθθθ⎛⎫=+-=++-- ⎪--⎝⎭1tan 2tan 12122tan 1tan θθθθ-=+++-≥+=+-（当且仅当tan 1θ=取等号）答：当P 、Q 两点距离两公路的交点O 都为2PQ 最短． 解法四：设PQ 与A 相切于点B ，设BP x =，(0,0)BQ y x y =>>，则1OP x =+，1OQ y =+，PQ x y =+，在RT OPQ ∆中，由222OP OQ PQ +=得：222()(1)(1)x y x y +=+++，化简得：1xy x y =++，∴212x y x y +⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，解得：2x y +≥+2x y +≤-（当且仅当1x y ==时等号成立）∴当2OP OQ ==+PQ 有最小值；答：当P 、Q 两点距离公路交点O 都为2+PQ 最短． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系及重要不等式，重点考查了运算能力，属中档题. 20．已知圆C ：22(1)x y a ++=(0a >)，定点(,0)A m ，(0,)B n ，其中,m n 为正实数.（1）当3a m n ===时，判断直线AB 与圆C 的位置关系；（2）当4a =时，若对于圆C 上任意一点P 均有PA PO λ=成立(O 为坐标原点)，求实数,m λ的值； （3）当2,4m n ==时，对于线段AB 上的任意一点P ，若在圆C 上都存在不同的两点,M N ，使得点M 是线段PN 的中点，求实数a 的取值范围． 【答案】(1) 相离. (2) 3m =，2λ=．(3) 1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P 的任意性即可得实数m ，λ的值；（3）设出点P 和点N 的坐标，表示出中点M 的坐标，M 、N 满足圆C 的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P 满足直线AB 的方程，解出半径的取值范围. 【详解】解: (1) 当3a =时,圆心为()1,0-,当3m n ==时,直线AB 方程为30x y +-=, 所以,圆心到直线距离为d ==,<所以,直线与圆相离. （2）设点(),P x y，则PO =PA =∵PA PO λ=，∴()()22222x m y xy λ-+=+，()()222221120x y mx m λλ-+-+-=，…………由()2214x y ++=得，22230x y x ++-=， ∴2232x y x +=-， 代入得， ()()2213220x mx m λ--+-=，化简得()()22221310m x m λλ-+-+-=，…………因为P 为圆C 上任意一点，所以，()22210,310,m m λλ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩……… 又,0m λ>，解得3m =，2λ=．………………… (3)法一:直线AB 的方程为124x y+=，设(),42P t t -(02t ≤≤)，(),N x y ， 因为点M 是线段PN 的中点，所以,222x ty M t +⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，又,M N 都在圆C ：()221x y a ++=上，所以()22221,12,22x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨+⎛⎫⎛⎫++-+=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩ 即()()()22221,2424,x y a x t y t a ⎧++=⎪⎨++++-=⎪⎩…………………… 因为该关于,x y 的方程组有解，即以()1,0-()2,24t t ---为圆心，半径的圆有公共点，所以，()()221249a t t a ≤++-≤，又P 为线段AB 上的任意一点，所以()()221249a t t a ≤++-≤对所有02t ≤≤成立．而()()()22124f t t t =++- 2736555t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在[]0,2上的值域为36,175⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以36,5917,a a ⎧≤⎪⎨⎪≥⎩所以173695a ≤≤．………又线段AB 与圆C<365a <. 故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭． …………… 法二:过圆心C 作直线MN 的垂线，垂足为H ，设CH d =，=MN l ，则222221232d l a d l PC ⎧⎛⎫+=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩则消去l 得， [)2290,88PC d a a =-∈，∴ (]2,9PC a a ∈直线AB 方程为240x y +-= ∴点C 到直线AB= 且3,CA CB == P 为线段AB 上的任意一点，∴ 236,175PC ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…(]36,17,95a a ⎡⎤∴⊆⎢⎥⎣⎦，361795a a ∴<<≤，故实数a 的取值范围为1736,95⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查直线与圆,圆与圆的位置关系的应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力.21．{}n a 满足113a =，()2*12nn n a a a n N n+=+∈．（1）求出2311a a -与14的差；（2）证明：()*11n n a a n N +<<∈；（3）证明：()*21n na n N n ≥∈+． 【答案】(1) 140-(2)证明见解析；(3)证明见解析 【解析】（1）由数列通项的递推式分别求出2,a 3a 代入运算即可；（2）由22111222,n k k k n n n k k k a a a a a a a a a a n k k +++⋅+><+==+可得，再得21111k k a a k +-<，再累加求和即可； （3）由已知通过放缩，可得211111k k a a k +->+，再累加求和即可得证. 【详解】 解（1）因为249a =，323401198198144040a a a =⇒-=-=，所以2311191014404040a a --=-=-； 证明：（2）由已知条件易知：0n a >，所以22111222n k k k n n n k k k a a a a a a a a a a n k k+++⋅+>⇒=+<+=，则21111k k a a k +-<． 所以，当2n ≥时，1112112111111111131(1)n n n k k k n k k a a a a a k k k ---===+⎛⎫⎡⎤=-->->-+ ⎪⎢⎥-⎣⎦⎝⎭∑∑∑ 12111313111111n k n k k n n -=⎡⎤⎛⎫⎡⎤=-+-=-+-=> ⎪⎢⎥⎢⎥---⎝⎭⎣⎦⎣⎦∑ 所以，1n a <，又1113a =<，所以，对*n N ∀∈，都有1n a <， 则11n n a a +<<，从而的得证： （3）当1n =时，显然成立．由1n a <，知22112221k k k k k k k a a k a a a a a k k k ++=+<+⇒>⋅+，所以2211122221111k k k k k k k k k a k a a a a a a a a k k k k +++=+>+⋅=+++， 则211111k k a a k +->+，所以，当2n ≥时， 1112111111111111131(1)n n n k k k n k k a a a a a k k k ---===+⎛⎫=--<-<- ⎪++⎝⎭∑∑∑ 11111213311n k n k k n n -=+⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭∑，即21n n a n >+， 又因为113a =，所以()*21n n a n N n ≥∈+， 故命题得证．【点睛】本题考查了数列不等式的放缩及数列累加求和，重点考查了对通项公式的恰当放缩，属难度较大的题型.。
上海市崇明区2023届高三上学期高考一模数学试卷带讲解
（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定 的位置.
【小问1详解】
以 为坐标原点， 、 所在直线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
如图所示，则 ， ， ，
设曲线段 所在抛物线的方程为 ，
由题意可知，点 和 在此抛物线上，
【小问1详解】
由题意， ， ， ，
由题意， ， ， ，故 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以椭圆的标准方程为 .
【小问2详解】
当 时，椭圆方程为 ，则 ， ，
由对称性，不妨设点P在x轴上方，则直线AP的方程为 ，代入椭圆方程，得
，解得 （舍去）， ，所以 ，
所以 .
【小问3详解】
设 ，则 ，
直线AP 方程为 ，
【详解】设椭圆 标准方程为 ，椭圆离心率为 ，
设双曲线 标准方程为 ，双曲线离心率为 ，
由题可知： ．
设 ， ，
则 ，
由①②得， ， ，
代入③整理得， ，
两边同时除以 得， ，
即 ，
即 ，
解得 ，即 ．
故答案为：
【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.
【详解】将点 代入 得 ，解得
故答案为：2.
5.设等比数列 满足a1+a2= –1,a1–a3= –3，则a4=___________．
【答案】-8
【详解】设等比数列 的公比为 ，很明显 ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：
，由 可得： ，代入①可得 ，
由等比数列的通项公式可得 .
上海市崇明县2021届新第三次高考模拟考试数学试卷含解析
上海市崇明县2021届新第三次高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（）A．8 B．83C．4 D．43【答案】D【解析】【分析】根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它的体积．【详解】根据三视图知，该几何体是侧棱PA⊥底面ABCD的四棱锥，如图所示：结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，高为PA=2，∴四棱锥的体积为21242323 V=⋅⋅=.故选：D.本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．属于中等题.2．已知函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，若不等式()()()12122f x f x x x t+>++有解，则t 的取值范围是（ ） A ．(,2ln 2)-∞- B ．(],2ln 2-∞- C ．(,112ln 2)-∞-+ D ．(],112ln 2-∞-+【答案】C 【解析】 【分析】先求导得221()ax x f x x -+='（0x >），由于函数()f x 有两个不同的极值点1x ，2x ，转化为方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，根据∆，12x x +，12x x ⋅，求出a 的取值范围，而()()()12122f x f x x x t +>++有解，通过分裂参数法和构造新函数51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭，通过利用导数研究()h a 单调性、最值，即可得出t 的取值范围. 【详解】由题可得：221()ax x f x x-+='（0x >），因为函数2()ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ， 所以方程2210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有1212180,10,210,2a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩解得108a <<. 若不等式()()()12122f x f x x x t +>++有解， 所以()()()1212max 2t f x f x x x <+-+⎡⎤⎣⎦因为()()()12122f x f x x x +-+()2211122212ln ln 2ax x x ax x x x x =-++-+-+()()()21212121223ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦51ln(2)4a a=---.设51()1ln(2)048h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 254()04a h a a -'=>，故()h a 在10,8⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 故1()112ln 28h a h ⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭， 所以112ln 2t <-+，所以t 的取值范围是(,112ln 2)-∞-+. 故选：C. 【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性、最值来求参数取值范围，以及运用分离参数法和构造函数法，还考查分析和计算能力，有一定的难度.3．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由题意得，{}()()6N f x g x ⊗=表示不等式22|log |(1)2x a x <-+的解集中整数解之和为6.当0a >时，数形结合（如图）得22|log |(1)2x a x <-+的解集中的整数解有无数多个，22|log |(1)2x a x <-+解集中的整数解之和一定大于6.当0a =时，()2g x =，数形结合（如图），由()2f x <解得144x <<.在1(,4)4内有3个整数解，为1，2，3，满足{}()()6N f x g x ⊗=，所以0a =符合题意.当0a <时，作出函数2()|log |f x x =和2()(1)2g x a x =-+的图象，如图所示.若{}()()6N f x g x ⊗=，即22|log |(1)2x a x <-+的整数解只有1，2，3.只需满足(3)(3)(4)(4)f g f g <⎧⎨≥⎩，即2log 342292a a <+⎧⎨≥+⎩，解得2log 3204a -<≤，所以2log 3204a -<<. 综上，当{}()()6N f x g x ⊗=时，实数a 的取值范围是2log 32(,0]4-.故选D. 4．已知f(x)=-1x x e e a+是定义在R 上的奇函数，则不等式f(x-3)<f(9-x 2)的解集为（ ）A ．(-2,6)B ．(-6,2)C ．(-4,3)D ．(-3,4)【答案】C 【解析】 【分析】由奇函数的性质可得1a =，进而可知()f x 在R 上为增函数，转化条件得239x x -<-，解一元二次不等式即可得解. 【详解】因为()1x x e f x e a-=+是定义在R 上的奇函数，所以()()011f f +-=，即11101e e e a a e--+=++，解得1a =，即()12111x x xe f x e e -==-++， 易知()f x 在R 上为增函数. 又()()239f x f x -<-，所以239x x-<-，解得43x -<<.【点睛】本题考查了函数单调性和奇偶性的应用，考查了一元二次不等式的解法，属于中档题.5．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（ ） A ．17种 B ．27种 C ．37种 D ．47种【答案】C 【解析】 【分析】由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解. 【详解】所有可能的情况有3464=种,其中最大值不是4的情况有3327=种,所以取得小球标号最大值是4的取法有642737-=种, 故选:C 【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.6．已知集合{}2|230A x x x =--<，集合{|10}B x x =-≥，则()A B ⋂=R ð（ ）.A ．(,1)[3,)-∞+∞UB ．(,1][3,)-∞+∞UC ．(,1)(3,)-∞+∞UD ．(1,3)【答案】A 【解析】 【分析】算出集合A 、B 及A B I ，再求补集即可. 【详解】由2230x x --<，得13x -<<，所以{|13}A x x =-<<，又{|1}B x x =≥， 所以{|13}A B x x ⋂=≤<，故()A B ⋂=R ð{|1x x <或3}x ≥. 故选：A. 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算，考查学生的基本运算能力，是一道基础题.7．已知双曲线22221x y -=（0a >，0b >）的左、右顶点分别为1A ，2A ，虚轴的两个端点分别为1B ，2B ，若四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π，则双曲线焦距的最小值为（ ）A ．8B ．16C ．62D ．122【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出几何关系，由四边形1122A B A B 的内切圆面积求得半径，结合四边形1122A B A B 面积关系求得c 与ab 等量关系，再根据基本不等式求得c 的取值范围，即可确定双曲线焦距的最小值.【详解】根据题意，画出几何关系如下图所示：设四边形1122A B A B 的内切圆半径为r ，双曲线半焦距为c ， 则21,,OA a OB b == 所以2221A B a b c =+=，四边形1122A B A B 的内切圆面积为18π， 则218r ππ=，解得32OC r ==则112212122111422A B A B S A A B B A B OC =⋅⋅=⨯⋅⋅四边形， 即112243222a b c ⋅⋅=⨯⋅⋅故由基本不等式可得2222323262a b c +=≤=，即62c ≥， 当且仅当a b =时等号成立. 故焦距的最小值为122本题考查了双曲线的定义及其性质的简单应用，圆锥曲线与基本不等式综合应用，属于中档题.8．已知函数()ln(1)f x x ax =+-，若曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为2y x =，则实数a 的取值为（ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用切线方程通过f′（0），求解即可； 【详解】f （x ）的定义域为（﹣1，+∞）， 因为f′（x ）11x =-+a ，曲线y ＝f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程为y ＝2x ， 可得1﹣a ＝2，解得a ＝﹣1， 故选：B ． 【点睛】本题考查函数的导数的几何意义，切线方程的求法，考查计算能力．9．计算2543log sin cos ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于( )A ．32-B ．32C ．23-D ．23【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值. 【详解】原式2221log cos 2log cos log 332πππ⎤⎤⎤⎛⎫⎛⎫=-==⎥⎥⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦3223log 22-==-. 故选：A 【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.10．已知函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，88f x f x ππ+=-（）（），且58f π=（），则b =（ ） A ．3 B ．3或7C ．5D ．5或8【分析】根据函数的对称轴8x π=以及函数值，可得结果.【详解】函数()()()2sin 0f x x b ωϕω=++>，若88f x f x ππ+=-（）（），则()f x 的图象关于8x π=对称，又58f π=（），所以25b +=或25b -+=， 所以b 的值是7或3. 故选：B. 【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题11．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的实轴长为2，离心率为2，1F 、2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上运动，若12F PF △为锐角三角形，则12PF PF +的取值范围是（ ）A ．()B ．()C ．()D ．()【答案】A 【解析】 【分析】由已知先确定出双曲线方程为2213y x -=，再分别找到12F PF △为直角三角形的两种情况，最后再结合122PF PF -=即可解决.【详解】由已知可得22a =，2ca=，所以1,2,a c b ==== 2213y x -=，不妨设点P 在双曲线C 右支上运动，则122PF PF -=，当12PF PF ⊥时，此时221216PF PF +==122()2PF PF -+12PF PF ，所以126PF PF =，122()PF PF +=22122PF PF ++1228PF PF =，所以12PF PF +=当2PF x ⊥轴时，221216PF PF =+，所以12168PF PF =+=，又12F PF △为锐角三角形，所以12PF PF +()∈. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，本题的关键是找到12F PF △为锐角三角形的临界情况，即12F PF △为直角三角形，是一道中档题.12．已知定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x ≥时，恒有())03(xf f x x '+>．则不等式33()(12)(12)0x f x x f x -++<的解集为（ ）． A ．{|31}x x -<<- B ．1{|1}3x x -<<- C ．{|3x x <-或1}x >- D ．{|1x x <-或1}3x >-【答案】D 【解析】 【分析】先通过())03(x f f x x '+>得到原函数()()33x f x g x =为增函数且为偶函数，再利用到y 轴距离求解不等式即可. 【详解】构造函数()()33x f x g x =，则()()()()()322'''33x x g x x f x f x x f x f x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭由题可知())03(x f f x x '+>，所以()()33x f x g x =在0x ≥时为增函数；由3x 为奇函数，()f x 为奇函数，所以()()33x f x g x =为偶函数；又33()(12)(12)0x f x x f x -++<，即33()(12)(12)x f x x f x <++ 即()()12g x g x <+ 又()g x 为开口向上的偶函数所以|||12|x x <+，解得1x <-或13x >- 故选：D此题考查根据导函数构造原函数，偶函数解不等式等知识点，属于较难题目. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届上海市崇明区高三上学期期末(一模)数学试题(解析版)
2020届上海市崇明区高三上学期期末（一模）数学试题一、单选题1．若0a b <<,则下列不等式恒成立的是 A ．11a b> B ．a b -> C ．22a b > D ．33a b <【答案】D【解析】∵0a b << ∴设1,1a b =-= 代入可知,,A B C 均不正确对于D ，根据幂函数的性质即可判断正确 故选D2．“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】先求出关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，再由“2p <”与“22p -<<”的关系得解。
【详解】解：关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根的充要条件为：240p =-<，即22p -<<，又“2p <”不能推出“22p -<<”， “22p -<<”能推出“2p <”，即“2p <”是“关于x 的实系数方程210x px ++=有虚数根”的必要不充分条件，故选：B ． 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件、充要条件及简易逻辑知识，属简单题3．已知向量a 、b 、c 满足0a b c ++=，且222a b c <<，则a b ⋅、b c ⋅、a c ⋅中最小的值是（ ） A.a b ⋅ B.b c ⋅ C.a c ⋅D.不能确定【答案】B【解析】利用已知条件作差比较可知. 【详解】因为0a b c ++=, 所以()b a c =-+rr r,所以()a b b c b a c ⋅-⋅=⋅-22()()()a c a c a c =-+-=--0>,所以a b b c ⋅>⋅, 同理可得,a c b c ⋅>⋅, 故b c ⋅最小. 故选B . 【点睛】本题考查了平面向量的数量积和比较法比较大小,属于中档题.4．函数()f x x =，()22.g x x x =-+若存在1x ，2x ，⋯，90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()()()()()121121n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --++⋯++=++⋯++，则n的最大值是（ ） A.11 B.13 C.14 D.18【答案】C【解析】由已知得(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤-=---+-+⋯+-⎦，又1x ，2x ，⋯，90,2n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可求n 的最大值．【详解】 解：()()()()21211212n n n n n f x f x f x g x x x x x x --++⋯++=++⋯++-+，()()()()()()22212112112121n n n n ng x g x g x f x x x x x x x n x ---++⋯++=++⋯+-++⋯++-+，()2222121(1)(1)(1)2(1)n n x x x n x -∴-+-+⋯+-+-=-，(22221212(1)[(1)(1)1)n n n x x x x -⎤∴-=---+-+⋯+-⎦当1211n x x x -==⋯==，92n x =时，2949(2)(1)24max n -=-=， 4924n ∴-≤，又n N ∈，14max n ∴=． 故选：C ． 【点睛】本题考查参数的最值，配方是关键，考查推理能力和计算能力，属中档题二、填空题5．20lim 31n n n →∞+=+______．【答案】13【解析】将分式2031n n ++ 分子、分母同时除以n ，再利用201lim 0,lim 0n n n n →∞→∞==，可求解． 【详解】解：202011lim20101limlim 113130333limn n n n n n n n nn →∞→∞→∞→∞++++====++++ 故答案为：13．【点睛】本题考查了极限的运算，属简单题．6．已知集合{|12}A x x =-<<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =______．【答案】{}0,1【解析】直接利用交集运算得答案． 【详解】解：{}0,1A B ⋂=． 故答案为：{}0,1． 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题．7．若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =______． 【答案】12i -【解析】设复数z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a 、b 的值，从而得到复数z 的值． 【详解】解：设z a bi =+，(a 、b 是实数)，则z a bi =-，232z z i +=-，2232a bi a bi i ∴++-=-， 33a ∴=，2b =-，解得1a =，2b =-， 则12z i =- 故答案为：12i -． 【点睛】本题着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题． 8．281()x x-的展开式中x 7的系数为__________.（用数字作答） 【答案】56-【解析】试题分析：展开式通项为281631881()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-，令1637r -=，得3r =，所以展开式中7x 的系数为．故答案为56-．【考点】二项式定理【名师点睛】①求特定项系数问题可以分两步完成：第一步是根据所给出的条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n≥r ）；第二步是根据所求的指数，再求所要求的项． ②有理项是字母指数为整数的项．解此类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解．9．角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______． 【答案】34-【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值． 【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-， 故答案为：34-． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线24y x =上一点P 到焦点的距离为5，则点P 的横坐标是______． 【答案】4【解析】由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，已知5PF =，则P 到准线的距离也为5，即15x +=，即可求出x ． 【详解】 解：抛物线242y x px ==，2p ∴=，由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，15PF x ∴=+=， 4x ∴=，故答案为：4． 【点睛】考查了抛物线的定义、焦半径到焦点的距离常转化为到准线的距离求解，属于基础题. 11．圆22240x y x y +-+=的圆心到直线3450x y ++=的距离等于______． 【答案】0【解析】先求圆的圆心坐标，利用点到直线的距离公式，求解即可． 【详解】解：由已知得圆心为：()1,2P -，由点到直线距离公式得：0d ==，故答案为：0． 【点睛】本题以圆为载体考查点到直线的距离公式，考查学生计算能力，是基础题． 12．已知一圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆，则该圆锥的体积为 .【答案】π33 【解析】试题分析：设圆锥的底面半径为r ，22⨯=ππr ，解得1=r ，根据勾股定理，圆锥的高等于31222=-，所以圆锥的体积ππ3331312=⨯⨯⨯=V . 【考点】旋转体的体积 13．若函数()2log 1x af x x -=+的反函数的图象过点()3,7-，则a =______． 【答案】6【解析】()f x 的反函数图象过点()3,7-，所以原函数()f x 的图象过()7,3-，然后将点()7,3-代入()f x 可解得． 【详解】 解：()f x 的反函数图象过点()3,7-，所以原函数()f x 的图象过()7,3-，()73f ∴=-，即27log 371a -=-+，3728a--∴=，6a ∴=． 故答案为：6 【点睛】本题考查了反函数,属基础题．14．2018年上海春季高考有23所高校招生，如果某3位同学恰好被其中2所高校录取，那么不同的录取方法有______种. 【答案】1518【解析】解决这个问题得分三步完成，第一步把三个学生分成两组，第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，再用乘法原理求解 【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题， 解决这个问题得分三步完成， 第一步把三个学生分成两组， 第二步从23所学校中取两个学校，第三步，把学生分到两个学校中，共有12232231518C C A =，故答案为：1518． 【点睛】本题考查分步计数问题，本题解题的关键是把完成题目分成三步，看清每一步所包含的结果数，本题是一个基础题．15．设()f x 是定义在R 上的以2为周期的偶函数，在区间[]0,1上单调递减，且满足()1f π=，()22f π=，则不等式组()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩的解集为______．【答案】[]2,82ππ--【解析】根据()f x 是以2为周期的偶函数，并且在[]0,1上单调递减，便可由()1f π=，()22f π=得出()41f π-=，()262f π-=，并且由12x ≤≤得出021x ≤-≤，从而由()12f x ≤≤得出()()()4226f f x f ππ-≤-≤-，进而得出{122624x x ππ≤≤-≤-≤-，解该不等式组即可．【详解】 解：()f x 是以2为周期的偶函数，且()f x 在[]0,1上单调递减；∴由()1f π=，()22f π=得，()41f π-=，()262f π-=，且4π-，[]260,1π-∈；由12x ≤≤得，021x ≤-≤；∴由()1212x f x ≤≤⎧≤≤⎨⎩得，()()()124226x f f x f ππ≤≤⎧-≤-≤-⎨⎩；{122624x x ππ≤≤∴-≤-≤-；解得282x ππ-≤≤-；∴原不等式组的解集为[]2,82ππ--．故答案为：[]2,82ππ--．【点睛】考查周期函数和偶函数的定义，以及减函数的定义，不等式的性质．16．已知数列{}n a 满足：①10a =，②对任意的*n N ∈都有1n n a a +>成立．函数()1()sinn n f x x a n=-，[]1,n n x a a +∈满足：对于任意的实数[)0,1m ∈，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是______． 【答案】()12n n n a π-=【解析】利用三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系可得1n n a a n π+-=，再利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出． 【详解】 解：10a =，当1n =时，()()11sin sin f x x a x =-=，[]20,x a ∈，又对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，2a π∴=，()1sin f x x ∴=，[]0,x π∈，2a π=，又()()()2211sinsin cos 222xf x x a x π=-=-=，[]3,x a π∈， 对任意的[)0,1m ∈，()1f x m =总有两个不同的根，33a π∴=， 又()()()33111sinsin 3sin 333f x x a x ππ=-=-=，[]43,x a π∈， 对任意的[)0,1b ∈，()1f x m =总有两个不同的根，46a π∴=， 由此可得1n n a a n π+-=，()()()()12111012n n n n n a a a a a a n πππ--∴=+-+⋯+-=++⋯+-=，故答案为：()12n n n a π-=，【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质、诱导公式、数列的递推关系、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题17．如图，设长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，直线1A C 与平面ABCD 所成角为4π．()1求三棱锥1A A BD -的体积；()2求异面直线1A B 与1B C 所成角的大小．【答案】（1）3（2）2arccos 3．【解析】()1转换顶点，以1A 为顶点，易求体积；()12B C 平移至1A D ，化异面直线为共面直线，利用余弦定理求解．【详解】解：()1连接AC ，则1A CA ∠为1A C 与平面ABCD 所成的角，14ACA π∴∠=，2AB BC ==，AC ∴=，1AA ∴=11A A BD A ABD V V --∴=11132AB AD AA =⨯⨯⨯3=()2连接1A D ，易知11//A D B C ，1(BA D ∴∠或其补角)即为所求，连接BD ，在1A DB 中，1A D =，1A B =BD =， 由余弦定理得：12cos 3BA D ∠==，12arccos 3BA D ∠=，故异面直线1A B ，1B C 所成角的大小为2arccos 3． 【点睛】此题考查了三棱锥体积，异面直线所成角的求法等，难度不大．18．已知函数2()cos sin f x x x x =⋅ ()1求函数()f x 的单调递增区间；()2在锐角ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1()2f A =，3a =， 4.b =求ABC △的面积．【答案】（1）5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈；（2）4+【解析】()1利用二倍角，辅助角公式化简，结合三角函数的单调性即可求解()f x 的单调递增区间；()2根据()12f A =，求解A ，3a =， 4.b =利用余弦定理求解c ，即可求解ABC△的面积． 【详解】 解：()1函数()21cos sin sin2sin 223f x x x x x x x π⎛⎫=⋅+==+ ⎪⎝⎭令222232k x k πππππ-≤+≤+，得51212k x k ππππ-≤≤+， ()f x ∴的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦；k Z ∈； ()2由()12f A =，即1sin 232A π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，ABC △是锐角三角形，5236A ππ∴+= 可得4A π=余弦定理：22222243cos 2242b c a c A bc c +-+-===⨯⨯，即270(0)c c -+=>解得：1c =ABC △的面积1sin 42S bc A ==【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，余弦定理的应用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．19． 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得25万元~ 1600万元的投资收益，现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:奖金y(单位:万元)随投资收益x(单位:万元)的增加而增加，奖金不超过75万元，同时奖金不超过投资收益的20%．(即:设奖励方案函数模型为y=f (x)时，则公司对函数模型的基本要求是:当x ∈[25，1600]时，①f(x)是增函数;②f (x) ≤75恒成立; ③()5xf x ≤恒成立． (1)判断函数() 1030x f x =+是否符合公司奖励方案函数模型的要求，并说明理由;(2)已知函数()()51g x a =≥符合公司奖励方案函数模型要求，求实数a 的取值范围．【答案】(1) 函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求,详见解析(2) [1，2] 【解析】（1）依次验证题干中的条件即可；（2）根据题干得，要满足三个条件，根据三个条件分别列出式子得到a 的范围，取交集即可. 【详解】(1)对于函数模型()1030xf x =+, 当x ∈[25, 1600]时， f (x)是单调递增函数，则f (x) ≤f (1600) ≤75,显然恒成立，若函数()5x f x ≤恒成立，即10305x x +≤,解得x≥60．∴()5xf x ≤不恒成立， 综上所述，函数模型()1030xf x =+，满足基本要求①②，但是不满足③， 故函数模型()1030xf x =+，不符合公司要求．(2)当x ∈[25，1600]时，()5(1)g x a =≥单调递增，∴最大值(1600)540575g a ==-≤∴2a ≤设()55x g x =≤恒成立，∴22(5)5x a x ≤+恒成立，即225225x a x ≤++, ∵25225xx +≥，当且仅当x=25时取等号，∴a 2≤2+2=4 ∵a ≥1, ∴1≤a ≤2, 故a 的取值范围为[1，2] 【点睛】这个题目考查了函数模型的应用，这类题目关键是选对函数模型，读懂题意，将实际问题转化为数学问题，利用数学知识解决问题.20．已知椭圆Γ：22221(0)x y a b a b +=>>，1B ，2B 分别是椭圆短轴的上下两个端点，1F 是椭圆的左焦点，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，若112B F B 的边长为4的等边三角形．()1写出椭圆的标准方程；()2当直线1PB 的一个方向向量是()1,1时，求以1PB 为直径的圆的标准方程； ()3设点R 满足：11RB PB ⊥，22RB PB ⊥，求证：12PB B 与12RB B 的面积之比为定值．【答案】（1）221164x y +=；（2）2282128()()5525x y ++-=；（3）证明见解析 【解析】()1由112B F B 是边长为4的等边三角形得4a =，进一步求得2b =，则椭圆方程可求；()2由直线1PB 的一个方向向量是()1,1，可得直线1PB 所在直线的斜率1k =，得到直线1PB 的方程，由椭圆方程联立，求得P 点坐标，得到1PB 的中点坐标，再求出1PB ，可得以1PB 为直径的圆的半径，则以1PB 为直径的圆的标准方程可求；() 3方法一、设()00,P x y ，()11,R x y 求出直线1PB 的斜率，进一步得到直线1RB 的斜率，得到直线1RB 的方程，同理求得直线2RB 的方程，联立两直线方程求得R 的横坐标，再结合()00,P x y 在椭圆221164x y +=上可得1x 与0x 的关系，由12121PB B RB B S x S x =求解； 方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，得直线1PB 的方程为 2.y kx =+结合11RB PB ⊥，可得直线1RB 的方程为12y x k=-+，把2y kx =+与椭圆方程联立可得021641k x k -=+，再由()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，得到220044x y -=-，从而得到200020002241'4y y y k k x x x -+-⋅=⋅==-，得1'.4k k=-结合22RB PB ⊥，可得直线2RB 的方程为4 2.y kx =-与线1RB 的方程联立求得124.41kx k =+再由12121PB B RB B S x S x =求解． 【详解】()1解：如图，由112B F B 的边长为4的等边三角形，得4a =，且2b =．∴椭圆的标准方程为221164x y +=； ()2解：直线1PB 的一个方向向量是()1,1，∴直线1PB 所在直线的斜率1k =，则直线1PB 的方程为2y x =+，联立2221164y x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得25160x x +=，解得165P x =-，65P y ∴=-．则1PB 的中点坐标为82,55⎛⎫-⎪⎝⎭，1PB == 则以1PB为直径的圆的半径5r =． ∴以1PB 为直径的圆的标准方程为2282128()()5525x y ++-=；()3证明：方法一、设()00,P x y ，()11,.R x y直线1PB 的斜率为1002PB y k x -=，由11RB PB ⊥，得直线1RB 的斜率为1002RB x k y =-．于是直线1RB 的方程为：0022x y x y =-+-． 同理，2RB 的方程为：0022x y x y =--+． 联立两直线方程，消去y ，得20104y x x -=．()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-．14x x ∴=-， 121214PB B RB B S x Sx ∴==． 方法二、设直线1PB ，2PB 的斜率为k ，，则直线1PB 的方程为2y kx =+．由11RB PB ⊥，直线1RB 的方程为12y x k=-+， 将2y kx =+代入221164x y +=，得()2241160k x kx ++=，P 是椭圆上异于点1B ，2B 的点，00x ∴≠，从而021641kx k -=+． ()00,P x y 在椭圆221164x y +=上，22001164x y ∴+=，从而220044x y -=-．200020002241'4y y y k k x x x -+-∴⋅=⋅==-，得1'4k k=-． 22RB PB ⊥，∴直线2RB 的方程为42y kx =-． 联立1242y x k y kx ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩，解得2441k x k =+，即12441k x k =+． 1212201216414441PB B RB B kS x k k Sx k -+∴===+．【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21．已知数列{}n a ，{}n b 均为各项都不相等的数列，n S 为{}n a 的前n 项和，()*11n n n a b S n N +=+∈．()1若11,2n n a b ==，求4a 的值；()2若{}n a 是公比为()1q q ≠的等比数列，求证：数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列；()3若{}n a 的各项都不为零，{}n b 是公差为d 的等差数列，求证：2a ，3a ，⋯，n a ，⋯成等差数列的充要条件是12d =．【答案】（1）8；（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】()1直接代入计算即可；()2通过设()111n n a a q q -=≠，利用等比数列的求和公式及11n n n a b S +=+，计算可知n b ，进而化简即得结论；()3通过数列{}n b 是公差为d 的等差数列，对()1n n n n n a b a b d a +--=变形可知111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----，然后分别证明充分性、必要性即可．【详解】解：()111n n n a b S +=+，11a =，2n n b =， 121111412a a b ++∴===，146132+++ 232114161S a b +++===， 34311461832S a b ++++===， 证明：()2设()111n n a a qq -=≠，则()111nn a q S q-=-，11n n n a b S +=+，()()111111111111nn n n nnn a q S a a q q q b a a q q a q +-++-+--∴===-， ()()1111111111111n n n n a a q q a q b q q a q q q a q -+-+-∴+=+=----()11111111n n a q b q q a q +++-∴+=-- 1n nb q b +∴=，(q 为常数) ∴数列11n b q ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭为等比数列， ()3数列{}n b 是公差为d 的等差数列，∴当2n ≥时，()1n n n n n a b a b d a +--=，即()()11n n n n a a b d a +-=-， 数列{}n a 的各项都不为零，10n n a a +∴-≠，10d -≠， ∴当2n ≥时，11n nn nb a d a a +=--， 当3n ≥时，1111n n n n b a d a a ---=--，两式相减得：当3n ≥时，111111n n n n n n n n a a b b da a a a d d--+---==----．先证充分性：由12d =可知1111n n n n n n a a a a a a -+--=--， ∴当3n ≥时，1111n nn n n na a a a a a --++=--，又0n a ≠，11n n n n a a a a +-∴-=-，即2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列； 再证必要性：2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列， ∴当3n ≥时，11n n n n a a a a +--=-，111111111n n n n n n n n n n n n a a a a d a a a a a a a a d---+---∴-=-==-----，12d ∴=． 综上所述，2a ，3a ，⋯，n a ⋯成等差数列的充要条件是12d = 【点睛】本题考查数列的递推式，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．。
2023年上海市崇明区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2022学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1 已知集合{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ，则A B ______.2. 不等式212x x 的解集为______.3. 已知复数12i z a ，23i z ，若12z z 是纯虚数，则实数 a ______.4. 若对数函数log (0a y x a 且1a ）的图象经过点(4,2)，则实数 a ______.5. 设等比数列n a 满足a 1+ a 2= –1, a 1– a 3= –3，则a 4= ___________．6. 已知方程组2168x my mx y无解，则实数m 的值等于______.7. 已知角的终边与单位圆221x y 交于点1,2y P ，则sin 2 ______. 8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______. 9. 已知函数2f x x ，则曲线y f x 在点1,1P 处的切线方程是______.10. 设函数π()sin (0)6f x x k ，若π()3f x f对任意的实数x 都成立，则 的最小取值等于______.11. 在边长为2的正六边形ABCDEF 中，点P 为其内部或边界上一点，则AD BP的取值范围为______. 12. 已知椭圆1 与双曲线2 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1 与.2 在第一象限的交点，当12π6F PF时，双曲线2 的离心率等于______.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,1上是严格增函数的是（ ）A. yB. 3y xC. lg y xD.sin y x14. 设x R ， 则“ 12x x”是“ 1x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件15. 设函数()sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，则m 的最小值为 Aπ6B.π2C.7π6D. π16. 已知曲线C ：3222216x yx y ，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p 、q 都是真命题 B. p 是真命题，q 是假命题 C. p 是假命题，q 是真命题D. p 、q 都是假命题三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17. 如图，长方体1111ABCD A B C D中，AB BC1AC 与底面ABCD 所成的角为45..（1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小. 18. 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在 ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B ，且π02A，求()f B 的取值范围. 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA OB AC 、、及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ，100OA OB 米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x 米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程； （2）求面积S 关于x 的函数解析式 S f x ；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.（结果精确到0.1米）20. 已知椭圆2221(1)x y a a的右焦点为F ，左右顶点分别为A 、B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，点P 是椭圆上异于A 、B 的点，直线AP 交直线l 于点D .（1）若E 是椭圆上顶点，且AEF △是直角三角形，求椭圆的标准方程； （2）若2a ，PAB 45 ，求PAF △的面积；（3）判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明. 21. 已知数列 n a 满足112(1,2,,2) i i i i a a a a i n . （1）若数列 n a 的前4项分别为4，2，3a ，1，求3a 的取值范围；（2）已知数列 n a 中各项互不相同.令1(1,2,,1) m m m b a a m n ，求证：数列n a 是等差数列充要条件是数列 m b 是常数列；（3）已知数列n a 是m （N m 且3m ）个连续正整数1，2，…，m 的一个排列.若的的的1112m kk k aa m ，求m 的所有取值.2022学年第一学期高三第一次模拟考试数学考生注意：1.本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本试卷分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分.3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.】1. 已知集合{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ，则A B ______.【答案】 2,3,4【分析】根据交集的定义求解即可.【详解】解：因为{|04}A x x ， 1,2,3,4,5B ， 所以A B {|04}{1,2,3,4,5}{2,3,4}x x . 故答案为： 2,3,4 2. 不等式2102x x 的解集为______. 【答案】1|22x x【分析】直接根据分式不等式计算方法进行求解即可. 【详解】由2102x x ，得 2120x x ， 解得122x，即不等式的解集为1|22x x.故答案为：1|22x x3. 已知复数12i z a ，23i z ，若12z z 是纯虚数，则实数 a ______. 【答案】6【分析】根据复数的乘法运算，求得 12632i z z a a ，再根据12z z 为纯虚数，即可求解.【详解】 12632i z z a a ，若12z z 是纯虚数 所以60320a a即6a故答案为：64. 若对数函数log (0a y x a 且1a ）的图象经过点(4,2)，则实数 a ______. 【答案】2【分析】直接将点代入计算即可.【详解】将点(4,2)代入log a y x 得2log 4a ，解得2a 故答案为：2.5. 设等比数列 n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________． 【答案】-8【详解】设等比数列 n a 的公比为q ，很明显1q ，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：12121311113a a a q a a a q ，①，②，由②①可得：2q ，代入①可得11a ， 由等比数列的通项公式可得3418a a q .【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 6. 已知方程组2168x my mx y 无解，则实数m 的值等于______.【答案】4 【分析】方程组2168x my mx y无解，转化为直线2x my 与直线168mx y 平行，即可解决.【详解】由题知，方程组2168x my mx y无解，所以直线2x my 与直线168mx y 平行， 所以2160m ，解得4m ，当4m 时，两直线重合，方程组有无数解，不满足题意， 当4m 时，两直线平行，方程组有无解，满足题意， 故答案为：47. 已知角 的终边与单位圆221x y 交于点1,2y P ，则sin 2______.【答案】12##0.5【分析】由三角函数的定义可得1cos 2，然后利用诱导公式可计算出sin cos 2，可得答案. 【详解】把1,2 y P 代入单位圆221x y ，可得2y ，故11cos 2，由三角函数的定义可得1cos 2 ，因此，1sin cos 22.故答案为：12.8. 将半径为2的半圆形纸片卷成一个无盖的圆锥筒，则该圆锥筒的高为______.【分析】根据圆锥侧面展开图即可计算.【详解】如图所示，图1是圆锥(图2)的侧面展开图，2OA OB ，则扇形弧长2πl ，设圆锥底面圆半径为r ，则2π2πr ，得1r ， 则在Rt OAD中，圆锥的高h OD，故答案为.9. 已知函数 2f x x ，则曲线 y f x 在点 1,1P 处的切线方程是______.【答案】21y x【分析】求导得 2f x x ，从而可得切线的斜率2k ，用点斜式写出切线方程再化简即可.【详解】解：因为 2f x x ，所以 2f x x ，所以曲线 y f x 在点 1,1P 处的切线的斜率 12k f ， 所以切线方程为：12(1)y x ， 即21y x 或210x y . 故答案为：21y x 10. 设函数π()sin (0)6f x x k ，若π()3f x f对任意的实数x 都成立，则 的最小取值等于______. 【答案】2【分析】π()3f x f 对任意实数x 都成立，这个条件说明ππsin 136，解方程可得答案.【详解】π()3f x f对任意的实数x 都成立，πππsin sin 636x k k，πππππsin 1,2π,Z 36362k k，62,k 又min 0, 2.故答案为：211. 在边长为2的正六边形ABCDEF 中，点P 为其内部或边界上一点，则AD BP的取值范围为______. 【答案】 4,12【分析】利用数量积几何意义去求AD BP的取值范围即可解决. 详解】正六边形ABCDEF 中，过点B 作BB AD 于B ，则的的【4,3,1AD B D B A =cos ,AD BP AD BP AD BP又cos ,AD B A AD BP AD BP AD B D即4cos ,12AD BP AD BP ，故AD BP的取值范围为 4,12故答案为： 4,1212. 已知椭圆1 与双曲线2 的离心率互为倒数，且它们有共同的焦点1F 、2F ，P 是1 与2 在第一象限的交点，当12π6F PF时，双曲线2 的离心率等于______.【答案】22【分析】根据P 点是椭圆和双曲线的交点，结合椭圆双曲线的定义表示出1PF ，2PF ，在△12PF F 中结合余弦定理即可列出方程求解．【详解】设椭圆1 标准方程为 2211221110x y a b a b ，椭圆离心率为1e ，设双曲线2 标准方程为 2222222210,0x y a b a b ，双曲线离心率为2e ，由题可知：121e e ． 设1PF m ，2PF n ，则122222,2,π42cos ,6m n a m n a c m n mn①②③， 由①②得，12m a a ，12n a a ，代入③整理得，22212422c a a ，两边同时除以2c得，2212224e e，即2222242e e，即42222420e e ，解得222(2e ，即2e2 ．故答案为：2【点睛】本题综合考查椭圆和双曲线的几何性质，解题关键是熟练应用椭圆和双曲线的定义，结合焦点三角形中的余弦定理，列出方程组即可求解.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，其中13、14题每题4分，15、16题每题5分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分.】13. 下列函数中，既是奇函数又在区间 0,1上是严格增函数的是（ ）A. yB. 3y xC. lg y xD.sin y x【答案】D【分析】根据函数的奇偶性以及常见基本函数的单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A; y 的定义域为 0x x ，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，对于B; 3y x 的定义域为R ,关于原点对称，且 33,f x x f x x ，故0f x f x ，因此为奇函数，但是111111,,2832732f f f f，故不是 0,1上是严格增函数，不符合题意，对于C; lg y x 的定义域为0x x ，定义域不关于原点对称，因此不是奇函数，不符合题意，对于D, sin y x 的定义域为R ,关于原点对称，且 sin ,sin f x x f x x ，故0f x f x ，因此为奇函数，又根据正弦函数的性质可知sin y x 在π0,2上单调递增，而 π0,20,1，所以sin y x 在 0,1上是严格增函数，符合题意，故选：D14. 设x R ， 则“ 12x x”是“ 1x ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分性、必要性的定义进行分析判断即可. 【详解】当12x x成立时，显然1x ， 当1x 时，例如0x 时，分式1x没有意义， 所以“ 12x x”是“ 1x ”的充分不必要条件， 故选：A15. 设函数()sin 6f x x，若对于任意5,62，在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，则m 的最小值为 A.π6B.π2C.7π6D. π【答案】B 【分析】先求 [,0]2f，再由存在唯一确定的 ，使得 [0,2f f ，得2[,)633m，从而得解.【详解】当5,62时，有2,36 ，所以 [,0]2f .在区间 0,m 上总存在唯一确定的 ，使得 0f f ，所以存在唯一确定的 ，使得 [0,2f f .0,,[,666m m ，所以25[,[,)63326m m.故选B.【点睛】本题主要考查了三角函数的图像和性质，考查了函数与方程的思想，正确理解两变量的关系是解题的关键，属于中档题. 16. 已知曲线C ：3222216x y x y ，命题p ：曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点；命题q ：曲线C 上的点到原点的最大距离是2.则下列说法正确的是（ ） A. p 、q 都是真命题 B. p 是真命题，q 是假命题 C. p 是假命题，q 是真命题 D. p 、q 都是假命题【答案】A【分析】结合均值不等式得到当且仅当22x y 时，等号成立，以及224x y ，从而可判断命题q的真假性，检验点0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 是否在曲线上即可判断命题p 的真假性. 【详解】因为2223222216162x y x y x y，当且仅当22x y 时，等号成立，所以224x y ，因此曲线C 所围成的区域的在圆224x y 2?， 故曲线C 上的点到原点的最大距离是2，因此命题q 为真命题， 圆224x y 上以及内部横坐标与纵坐标都是整数的点有0,0,1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 ，其中点 0,0显然在曲线C 上，但是1,1,1,1,1,1,1,1,2,0,2,0,0,2,0,2 不在曲线上，故曲线C 仅过一个横坐标与纵坐标都是整数的点，因此命题p 为真命题， 故选：A.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.】17. 如图，长方体1111ABCD A B C D 中，AB BC1AC 与底面ABCD 所成的角为45.（1）求四棱锥1A ABCD 的体积； （2）求异面直线1A B 与11B D 所成角的大小. 【答案】（1）43（2）arccos6【分析】（1）先求得长方体1111ABCD A B C D 高1A A 的值，进而求得四棱锥1A ABCD 的体积；（2）先作出异面直线1A B 与11B D 所成角，再利用余弦定理求其大小即可解决. 【小问1详解】连接AC ，因为1A A 平面ABCD ， 所以1A CA 是1AC 与底面ABCD 所成的角. 所以145A CA ，所以12A A ，所以111142333A ABCD ABCD V S AA. 【小问2详解】联结BD ，则11BD B D ∥，的所以1A BD 就是异面直线1A B 与11B D 所成的角（或其补角）1A BD中，11A B A D ，2BD ，所以2221111cos 26A B BD A D A BD A B BD ，又 10,πA BD，则1arccos6A BD 所以异面直线1AB 与11B D所成角的大小为arccos 6. 18. 已知函数21()sin cos sin 2f x x x x . （1）求()f x 的单调递增区间；（2）在 ABC 中,,,a b c 为角,,A B C 的对边，且满足cos 2cos sin b A b A a B ，且π02A，求()f B 的取值范围. 【答案】（1）3ππ[π,π]88k k（Ζk ）； （2）22，. 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及两角和的正弦公式化简函数可得π224f x x，然后利用正弦函数的性质即得； （2）根据正弦定理及二倍角的余弦公式可得π4A ，再利用三角函数的性质即得. 【小问1详解】 由题知 111sin21cos2222f x x x11=sin2cos222x xπ=sin 224x，由πππ2π22π242k x k（Ζk ）， 解得 3ππππ88k x k， 所以 f x 单调递增区间为3ππ[π,π]88k k （Ζk ）； 【小问2详解】依题意，由正弦定理，sin cos2sin cos sin sin B A B A A B ， 因为在三角形中sin 0B ，所以cos2cos sin A A A ， 即 cos sin cos sin 10A A A A ， 当cos sin A A 时，π4A， 当cos sin 1A A 时，22cos sin 2sin cos 1A A A A ，sin 0A ， ∴cos 0A ，π2A ， 由于π02A，所以4A ，则3+π4B C ，则30π4B ， 又ππ7π2444B ， 所以1sin 214B，由sin 224f B B， 所以 f B的取值范围是22，. 19. 某公园有一块如图所示的区域OACB ，该场地由线段OA OB AC 、、及曲线段BC 围成.经测量，90AOB ，100OA OB 米，曲线BC 是以OB 为对称轴的抛物线的一部分，点C 到OA 、OB 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D 在线段AC 或曲线段BC 上，点E 、F 分别在线段OA 、OB 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x 米，游乐场的面积为S 平方米.（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段BC 的方程；（2）求面积S 关于x 的函数解析式 S f x ；（3）试确定点D 的位置，使得游乐场的面积S 最大.（结果精确到0.1米） 【答案】（1）20.02100(050)y x x（2） 320.02100,3050100,5070x x x f x x x x （3）当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大 【分析】（1）先以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，然后根据题意求解析式即可；（2）分别求出D 在不同线段的解析式，然后计算面积；（3）在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值，然后确定D 的位置.【小问1详解】以O 为坐标原点，OA 、OB 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则 100,0A ， 50,50C ， 0,100B ， 设曲线段BC 所在抛物线的方程为 20y ax b a ，由题意可知，点 0,100B 和 50,50C 在此抛物线上， 代入可得：0.02a ，100b .所以曲线段BC 的方程为：20.02100(050)y x x . 【小问2详解】由题意，线段AC 的方程为100(50100)y x x ，当点D 在曲线段BC 上时，20.02100(3050)S x x x ，当点D 在线段AC 上时，(100)(5070)S x x x ，所以 320.02100,3050100,5070x x x f x x x x . 【小问3详解】当3050x 时， 20.06100f x x ，令20.061000x，得13x，23x（舍去）.当30,3x 时，()0f x ¢>；当,503x时， 0f x .因此当3x时，39S f是极大值，也是最大值. 当5070x 时，2()(50)2500f x x ， 当50x 时， 502500S f 是最大值.因为25009，所以当3x时，S取得最大值，此时200,33D， 所以当点D 在曲线段BC 上且其到OA 的距离约为66.7米时，游乐场的面积S 最大.20. 已知椭圆2221(1)x y a a的右焦点为F ，左右顶点分别为A 、B ，直线l 过点B 且与x 轴垂直，点P 是椭圆上异于A 、B 的点，直线AP 交直线l 于点D .（1）若E 是椭圆的上顶点，且AEF △是直角三角形，求椭圆的标准方程； （2）若2a ，PAB 45 ，求PAF △的面积；（3）判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系，并加以证明.【答案】（12212y （2）45（3）以BD 为直径的圆与直线PF 相切，证明见解析【分析】（1）根据题意得90AEF ，然后利用0EA EF列方程得到1ac ，再结合221a c ，解方程得到2a 即可得到椭圆的标准方程；（2）根据2a 得到椭圆方程，根据PAB 45 得到直线AP 的方程为2y x ，联立直线和椭圆方程得到点P 坐标，然后利用三角形面积公式求面积即可；（3）设00,P x y ，得到直线AP 的方程为00()y y x a x a，跟直线l 的方程联立得到002,ay D a x a ，BD 中点00,ay M a x a，然后根据点M 到直线PF 的距离和半径的关系判断以BD 为直径的圆与直线PF 的位置关系即可. 【小问1详解】由题意， ,0A a ， ,00F c c ， 0,1E ，由题意，90AEF ， ,1EA a ， ,1EF c ，故10EA EF ac，所以1ac ，又221a c，所以2a221y . 【小问2详解】当2a 时，椭圆方程为2214x y ，则 2,0A，F，由对称性，不妨设点P 在x 轴上方，则直线AP 的方程为2y x ，代入椭圆方程，得 2516120x x ，解得12x （舍去），265x ，所以64,55P，所以1425PAF P AF y S△. 【小问3详解】设 00,P x y ，则220021x y a，直线AP 方程为00()y y x a x a， 令,x a 则002ay y x a，所以002,ay D a x a ，BD 中点00,ay M a x a，当直线PF 的斜率不存在时，方程为x c ； 当直线PF 的斜率不存在时，方程为 00y y x c x c即 00()0y x c x c y ， 经检验x c 满足 00()0y x c x c y ，故直线PF 方程为的00()0y x c x c y ，点M 到直线PF 的距离d20000000a cx x a ay y MB c x a x a a，所以以BD 为直径的圆与直线PF 相切.【点睛】方法点睛：涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21. 已知数列 n a 满足112(1,2,,2) i i i i a a a a i n . （1）若数列 n a 的前4项分别为4，2，3a ，1，求3a 的取值范围；（2）已知数列 n a 中各项互不相同.令1(1,2,,1) m m m b a a m n ，求证：数列n a 是等差数列的充要条件是数列 m b 是常数列；（3）已知数列 n a 是m （N m 且3m ）个连续正整数1，2，…，m 的一个排列.若1112m kk k aa m ，求m 的所有取值.【答案】（1） 34a ，（2）证明见解析 （3）4或5【分析】（1）根据题意，找到关于3a 的不等关系，即可求解. （2）分别从充分性、必要性两个角度证明即可.（3）对m 取不同的值进行判断，再对k b 分情况讨论即可. 【小问1详解】由题意，112i i i i a a a a ，令1i ，得1232a a a a ，即322a ，则322a 或322a ，此时解得30a 或34a ；令2i ，得4233a a a a ，即3321a a ，两边同时平方解得332a.则求交集可得，34a ，即 34a ，【小问2详解】必要性：若数列 n a 是等差数列，设公差为d ， 则1m m m b a a d ，所以数列 m b 是常数列. 充分性：若数列 m b 是常数列，则1(1,2,,2)m m b b m n ，即112(1,2,,2)m m m m a a a a m n . 所以112m m m m a a a a 或 112m m m m a a a a . 因为数列 n a 的各项互不相同，所以112m m m m a a a a . 所以数列 n a 是等差数列. 【小问3详解】当3m 时，因为12(1,2) i i a a i ，所以12235 a a a a ，不符合题意； 当4m 时，数列为3，2，4，1，此时1223346 a a a a a a ，符合题意； 当5m 时，数列为2，3，4，5，1，此时122334457 a a a a a a a a ，符合题意；下证当6m 时，不存在m 满足题意. 令1(1,2,,1) k k k b a a k m ， 则1211m b b b L ，且112m k k b m ，所以k b 有以下三种可能：① 11,2241k k m b k m，，，，；②11,232231k k m b k m k m，，，，，； ③11,2,,42321k k m b k m m m，，，，.当 112241k k m b k m，，，，，时，因为122m b b b L ，由（2）知：1a ，2a ，…，1m a 是公差为1（或－1）的等差数列. 当公差为1时，由14m b 得14m m a a 或14m m a a ，所以1142m m a a a m m 或14m m m s a a a ，与已知矛盾.当公差为－1时，同理得出与已知矛盾.所以当112241kk mbk m，，，，，时，不存在m满足题意.其它情况同理可得.综上可知，m的所有取值为4或5.。
上海市崇明县2021届高考数学达标测试试题
2019-2020学年高考数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若0a b <<，则下列不等式不能成立的是（ ） A ．11a b> B ．11a b a>- C ．|a|>|b|D ．22a b >2．已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的（ ）A ．B ．C ．D ．3．复数21iz i=-（i 为虚数单位），则z 等于（ ） A ．3 B ．2 C ．2D 24．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为( ) A ．－30B ．－40C ．40D ．505．已知双曲线2221x y a -=的一条渐近线方程是33y x =，则双曲线的离心率为（ ）A 3B 6C 3D 236．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是 A ．2()(2)3-∞+∞，，B ．2(2)3， C ．22()33-，D ．22()()33-∞-+∞，， 7．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点为F ，点,A B 是C 的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB 为直径的圆过F 且交C 的左支于,M N 两点，若|MN|=2，ABF ∆的面积为8，则C 的渐近线方程为（ ） A ．3y x =± B ．33y x =± C ．2y x =±D ．12y x =±8．在直角梯形ABCD 中，0AB AD ⋅=，30B ∠=︒，23AB =，2BC =，点E 为BC 上一点，且AE xAB y AD =+，当xy 的值最大时，||AE =( )A ．5B ．2C ．302D ．239．若424log 3,log 7,0.7a b c ===，则实数,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．c b a >>10．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭，1,03A ⎛⎫ ⎪⎝⎭为()f x 图象的对称中心，若图象上相邻两个极值点1x ，2x 满足121x x -=，则下列区间中存在极值点的是（ ） A ．,06π⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,3π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．某几何体的三视图如图所示，图中圆的半径为1，等腰三角形的腰长为3，则该几何体表面积为（ ）A ．7πB ．6πC ．5πD ．4π12．已知()f x 是定义是R 上的奇函数，满足3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当30,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时， ()()2ln 1f x x x =-+，则函数()f x 在区间[]0,6上的零点个数是（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。