高一第一次月考(数学)试题含答案
高一第一次月考（数学）（考试总分：150 分）一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分）1. 集合，集合，则等于（ ）A ．B ．C ．D ．2.（5分）2．已知命题：，，则为（ ）A ．，B ．，C ．，D ．，3.（5分）3. “”是“”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分且必要条件D ．既不充分也不必要条件4.（5分）4.不等式的解集是（ ）A ．B ．C ．D ．5.（5分）5.设实数、满足，，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．6.（5分）6.下列命题中真命题有（ ）①； ②q ：所有的正方形都是矩形； ③ ； ④s ：至少有一个实数x ，使.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7.（5分）7.若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）A ．或B ．C ．或D ．8.（5分）8. 已知关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是（ ）{}1,2,3,4A ={}3,4,5,6B =A B {}1,2,3,4,5,6{}3,4{}3{}4p n N ∃∈225n n ≥+p ⌝n N ∀∈225n n ≥+n N ∃∈225n n ≤+n N ∀∈225n n <+n N ∃∈225n n =+1x =2230x x +-=()()2230x x -->()3,2,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭R 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭∅x y 34x <<12y <<2M x y =-46M <<57M <<56M <<47M <<21,04p x R x x ∀∈+-≥：2,220r x R x x ∈+∃+≤：210x +=x 210x mx ++≥R m {2m m ≤-}2m ≥{}22m m -≤≤{2m m <-}2m >{}22m m -<<x 2243x x a a -+≥-R aA ．B ．C ．或D ．二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 已知且，则下列不等式正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．10.（5分）10.若集合，，则下列结论错误的是（ ）A ．B ．C ．D ． 11.（5分）11．记全集为U ，在下列选项中，是B ⊆A 的充要条件的有( )A ．A ∪B ＝A B ．A ∩B ＝AC ．(∁U A )⊆(∁U B )D ．A ∪(∁U B )＝U12.（5分）12.两个函数与（为常数）的图像有两个交点且横坐标分别为，，，则下列结论中正确的是（ ）A ．的取值范围是B ．若，则，C ．当时，D ．二次函数的图象与轴交点的坐标为和三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）三、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13. 不等式的解集是____________.14.（5分）14．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |x ＞1}，则A ∪(∁U B )＝________.15.（5分）15. 设：，：，是的充分条件，则实数的取值范围是__________.16.（5分）16. 已知，则的最大值为________．四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）四、解答题：（本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） {}14a a -≤≤{}14a a -<<{4a a ≥}1a ≤-{}41a a -≤≤,,R a b c ∈a b >a c b c +>+11a b >22ac bc >33a b >{1,2,3,4,5}M ={2,2}N =-N M ⊆M N M ⋃=M N N ={2}M N =24y x =-y m =m 1x 2x ()12x x <m 4m >-0m =12x =-22x =0m >1222x x -<<<()()12y x x x x m =--+x ()2,0()2,0-2430x x -+<α24x <≤βx m >αβm 0x >97x x --17.（本小题满分10分）设集合2{},35{-<=≤≤-=x x B x x A 或}4>x ，求)()(,B C A C B A R R ⋃⋂18.（12分）18.（本小题满分12分）已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围．19.（12分）19.（本小题满分12分）已知关于的方程有实数根，．（1）若p 是假命题，求实数的取值范围；（2）若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．20.（12分）20（本小题满分12分）在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合.（1）当时，求A ∪B ；（2）若_______，求实数a 的取值范围.21.（12分）21.（本小题满分12分） 已知二次函数.（1）若关于的不等式的解集是.求实数的值；（2）若，解关于的不等式.22.（12分）22. （本小题满分12分）中欧班列是推进“一带一路”沿线国家道路联通、贸易畅通的重要举措，作为中欧铁路在东北地区的始发站，沈阳某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一面高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室，由于保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此，甲工程队给出的报价如下：屋子前面新建墙体的报价为每平方米元，左右两面新建墙体的报价为每平方米元，屋顶和地面以及其他报价共计元，设屋子的左右两面墙的长度均为.（1）当左右两面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？（2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元:p x 22220x ax a a -++-=:13q m a m -≤≤+a p q m A B B ⋃=x A ∈x B ∈A B =∅{|},111|3{}A x a x a B x x =-≤≤=≤≤-+2a =22y ax bx a =+-+x 220ax bx a +-+>{}|13x x -<<,a b 2,0b a =>x 220ax bx a +-+>3m 212m 4001507200m x (26)x ≤≤900(1)a x x +；若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，求的取值范围.(0)a a答案一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）1.（5分） 1-4 B2.（5分）C3.（5分）A4.（5分）A5.（5分）5-8 D6.（5分）B7.（5分）B8.（5分）A二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）9.（5分）二、多项选择题：9．AD10.（5分） 10.ABC11.（5分） 11.ACD 1212.（5分）.ABD三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13. （1,3） ；14.（5分） 14. {x |x ≤1}；15.（5分） 15. ；16.（5分） 16. 1四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）四、解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分10分）解：=⋂B A }25{-<≤-x x =⋃)()(B C A C R R }2,5{-≥-<x x x 或18.（12分）18.（本小题满分12分）解： (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B ，知⎩⎨⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，(],2-∞即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．19.（12分）19.（本小题满分12分）解：（1）因为是假命题，所以对于方程，有， 即，解得，所以实数的取值范围是．（2）由命题为真命题，根据（1）可得，又由是的必要不充分条件，可得那么能推出，但由不能推出， 可得，则，解得，所以实数的取值范围是．20.（12分）20.（本小题满分12分）解：（1）当时，集合，所以；（2）若选择①，则，因为 ，所以 ，又，所以，解得， 所以实数a 的取值范围是.若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，因为，所以，又，所以，解得， 所以实数a 的取值范围是.若选择③，，因为，所以，又所以或，解得或，所以实数a 的取值范围是 . p 22220x ax a a -++-=()()222420a a a ∆=--+-<480a ->2a >a {}2a a >p {}2a a ≤p q q p p q {}{}132a m a m a a -≤≤+≤32m +≤1m ≤-m {}1m m ≤-2a =1313{|},{|}A x x B x x =≤≤=≤≤-{|13}B x x A -≤≤⋃=A B B ⋃=A B ⊆11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩02a ≤≤[]0,2x A ∈x B ∈AB 11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤1113a a -≥-⎧⎨+≤⎩02a ≤≤[]0,2A B =∅11{|}A x a x a =-≤≤+A ≠∅{|13}B x x =-≤≤13a ->11a +<-4a >2a <-()(),24,-∞-+∞21.（12分）21.（本小题满分12分）解（1）因为关于的不等式的解集是 所以和是方程的两根，所以 解得：， （2）当时，即可化为，因为，所以 所以方程的两根为和， 当即时，不等式的解集为或， 当即时，不等式的解集为， 当即时，不等式的解集为或， 综上所述：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或. 22.（12分） 22.（本小题满分12分）解：（1）设甲工程队的总造价为元，依题意左右两面墙的长度均为，则屋子前面新建墙体长为， 则 因为． 当且仅当，即时等号成立． 所以当时，，即当左右两面墙的长度为4米时，甲工程队的报价最低为14400元． x 220ax bx a +-+>{}|13x x -<<1-3220ax bx a +-+=13213b a a a ⎧-+=-⎪⎪⎨-⎪-⨯=⎪⎩12a b =-⎧⎨=⎩2b =220ax bx a +-+>2220ax x a +-+>()()120x ax a +-+>0a >()210a x x a -⎛⎫+-> ⎪⎝⎭()210a x x a -⎛⎫+-= ⎪⎝⎭1-2a a -21a a --<1a >{|1x x <-2a x a -⎫>⎬⎭21a a --=1a ={}|1x x ≠-21a a -->01a <<2|a x x a -⎧<⎨⎩}1x >-01a <<2|a x x a -⎧<⎨⎩}1x >-1a ={}|1x x ≠-1a >{|1x x <-2a x a -⎫>⎬⎭y m x (26)x ≤≤12m x 12163(1502400)7200900()7200(26)y x x x x x =⨯+⨯+=++1616900()72009002720014400x x x x++⨯⨯⋅+=16x x =4x =4x =min 14400y =（2）由题意可得，对任意的，恒成立． 即，从而，即恒成立， 又．当且仅当，即时等号成立． 所以．16900(1)900()7200a x x x x+++>[2x ∈6]2(4)(1)x a x x x ++>2(4)1x a x +>+9161x a x +++>+99162(1)61211x x x x ++++⋅+=++911x x +=+2x =012a <<。
高一数学第一次月考试卷
高一数学第一次月考试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1.已知集合A={x|1<x<6，x∈N}，B={x|4-x>0}，则A∩B=（）A. {2,3,4}B. {2,3}C. {2}D. {3}答案：C2.下列说法正确的是（）A. ∅∈{0}B. 0⊆NC. {1}∈{1,2,3}D. {-1}⊆Z答案：D3.命题“∀x∈(0,1)，x³<x²”的否定是（）A. ∀x∈(0,1)，x³>x²B. ∀x∉(0,1)，x³≥x²C. ∃x₀∈(0,1)，x₀³<x₀²D. ∃x₀∈(0,1)，x₀³≥x₀²答案：D4.“a>b”是“a²>b²”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件答案：D5.若集合A={x|2mx-3>0，m∈R}，其中2∈A且1∉A，则实数m的取值范围是（）A. m>3/4B. m≥3/4C. 3/4<m<3/2D. 3/4≤m<3/2答案：C6.满足集合{1,2}⫋M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是（）A. 6B. 7C. 8D. 15答案：C7.设集合A={x|1<x≤2}，B={x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（）A. {a|a<1}B. {a|a≤1}C. {a|a>2}D. {a|a≥2}答案：D8.已知集合A={1,2}，B={0,2}，若定义集合运算：A B={z|z=xy，x∈A，y∈B}，则集合A B的所有元素之和为（）A. 6B. 3C. 2D. 0答案：B（注：以上选择题仅为示例，实际考试时题目可能不同。
）二、填空题（每小题5分，共20分）9.已知函数f(x)=x²+bx+c，且f(1)=0，f(3)=6，则b=，c=。
高一上学期第一次月考数学试题(含答案)
高一上学期第一次月考数学试题(含答案)高一数学试题注 意：时间120分钟，满分150分 命题人：张瑜一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分) 1．下列四个集合中，是空集的是( )A ．{x |x ＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R} C ．{x |x 2≤0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}2．设全集U ＝{1，2，3，4，5，6}，A ＝{1，2}，B ＝{2，3，4}，则A ∩(∁U B )＝( ) A ．{1，2，5，6} B ．{1}C ．{2}D ．{1，2，3，4}3. 如果奇函数)(x f 在区间[3,7] 上是增函数且最大值为5，那么)(x f 在区间[]3,7--上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-C ．减函数且最大值是5-D ．减函数且最小值是5-4. 已知集合A={x |1≤x <4},B={x |x <a },若A ⊆B,则实数a 的取值集合是( ) A.{a |a >4}B.{a |a ≥4}C.{a |a ≤4}D.{a |a <4}5．若函数f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，又f (3)＝0，则()()02<-+xx f x f 的解集为( )A ．(－3,3)B ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C ．(－3,0)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)6．已知函数f(x)＝()⎩⎨⎧≥+-<0,430,x a x a x a x 在其定义域上为减函数，则a 的范围是( )A. (0,41] B ．(0,1) C. [41,1) D ．(0,3)7. 函数y ＝x 416－的值域是( ).A ．[0，＋∞)B ．[0，4]C ．[0，4)D ．(0，4)8．若函数)(x f 的定义域是[0,4]，则函数xx f x g )2()(=的定义域是( ) A ．[0,2] B ．(0,2) C ．(0,2]D ．[0,2)9．函数f (x )＝a x －b的图象如图所示，其中a ，b 均为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b >0B ．a >1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <010.已知f (x )＝x 7＋ax 5＋bx －5，且f (－3)＝5，则f (3)＝( ) A ．－15 B ．15C ．10D ．－1011.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A ．)2()1()23(f f f <-<-B ．)2()23()1(f f f <-<-C ．)23()1()2(-<-<f f fD ．)1()23()2(-<-<f f f 12.已知－1＜a ＜0，则( )．A ．(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜2aB ．2a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)aC ．2a ＜(0.2)a ＜a⎪⎭⎫⎝⎛21D ．a⎪⎭⎫⎝⎛21＜(0.2)a ＜2a二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知集合A={-1,3,2m -1},集合B={3,m 2},若B ⊆A,则实数m = . 14.若函数f (x )＝12ax x ++在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________. 15.已知221)1(x x x x f +=-，则=)3(f ________. 16.下列命题：①偶函数的图象一定与y 轴相交；②定义在R 上的奇函数f (x )必满足f (0)＝0；③f (x )＝(2x ＋1)2－2(2x －1)既不是奇函数也不是偶函数； ④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x ＋1，则f 为A 到B 的映射； ⑤f (x )＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数．其中真命题的序号是________(把你认为正确的命题的序号都填上)．三、解答题17.(本小题满分10分)设A=}-3x 1|{≤≥或x x ，B=}04|{<<-x x 求：(1),AB A B(2))(B C A R U18.(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}．(1)若A≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A∩B＝A ，求实数a 的取值范围．19.(本小题满分12分)求下列函数的定义域、值域、单调区间： (1)1421x y x +=++；(2)y ＝2＋3231x －x ⎪⎭⎫⎝⎛．20.(本小题满分12分）已知定义域为R 的函数f (x )＝ab－x x ＋2＋21＋是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0恒成立，求k 的取值范围．21.(本小题满分12分)若函数y ＝f (x )对任意的x ，y ∈R ，恒有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )．当x >0时，恒有f (x )<0. (1)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论； (2)若f (2)＝1，解不等式f (－x 2)＋2f (x )＋4<0.22.(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,4)，对任意x 满足f (3－x )＝f (x )，且有最小值是74.(1)求f (x )的解析式；(2)在区间[－1,3]上，y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．高一数学参考答案一、选择题(本大题共12题,每小题5分,共60分)1——5 DBABC 6——10 ACCDA 11——12 DB 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13. 1 14. (-∞,21) 15. 11 16. 三、解答题17．解 (1) {}{}10,34≥<=-≤<-=x x x B A x x B A 或 (2){}04≥-≤=x x x B C R 或 (){}03≥-≤=x x x B C A R 或18.解：(1) ①当a ＝1时，A ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧32≠Φ，②当a ≠1时，Δ≥0即a ≥－18且a ≠1，综上，a ≥－18.(2)∵B ＝{1,2}，A ∩B ＝A ， ∴A ＝Φ或{1}或{2}或{1,2}． ①当A ＝∅时，Δ<0即a<－18.②当A ＝{1}或{2}时，Δ＝0即a ＝0且a ＝－18，不存在这样的实数．③当A ＝{1,2}，Δ>0即a>－18且a ≠1，解得a ＝0.综上，a<－18或a ＝0.19.解：(1)定义域为R ．令t ＝2x (t ＞0)，y ＝t 2＋2t ＋1＝(t ＋1)2＞1， ∴ 值域为{y | y ＞1}．t ＝2x 的底数2＞1，故t ＝2x 在x ∈R 上单调递增；而 y ＝t 2＋2t ＋1在t ∈(0，＋∞)上单调递增，故函数y ＝4x ＋2x ＋1＋1在(－∞，＋∞)上单调递增．(2)定义域为R ．令t ＝x 2－3x ＋2＝223⎪⎭⎫ ⎝⎛x －－41⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫⎢⎣⎡，＋∞41－t ∈． ∴ 值域为(0，43]．∵ y ＝t⎪⎭⎫⎝⎛31在t ∈R 时为减函数，∴ y ＝2＋3－231x x ⎪⎭⎫⎝⎛在 ⎝⎛－∞，⎪⎭⎫23上单调增函数，在 ⎝⎛23，＋∞⎪⎪⎭⎫为单调减函数．20.解：(1)∵函数f (x )为R 上的奇函数，∴ f (0)＝0，即ab2＋－1＋＝0，解得b ＝1，a ≠－2， 从而有f (x )＝ax x ＋21＋2－＋1．又由f (1)＝－f (－1)知a4＋＋12－＝－a 1＋＋121－，解得a ＝2．(2)先讨论函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x ＝－21＋1＋21x的增减性．任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，f (x 2)－f (x 1)＝1＋212x －1＋211x ＝))((1＋21＋22－21221x x x x ，∵指数函数2x 为增函数，∴212－2x x ＜0，∴ f (x 2)＜f (x 1)， ∴函数f (x )＝2＋21＋2－＋1x x 是定义域R 上的减函数．由f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )＜0得f (t 2－2t )＜－f (2t 2－k )， ∴ f (t 2－2t )＜f (－2t 2＋k )，∴ t 2－2t ＞－2t 2＋k (*)． 由(*)式得k ＜3t 2－2t ．又3t 2－2t ＝3(t －31)2－31≥－31，∴只需k ＜－31，即得k 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛31－ －∞，． 21.解：(1)令x ＝y ＝0，可知f(0＋0)＝f(0)＋f(0)， 解得f(0)＝0.又0＝f(0)＝f(－x ＋x)＝f(－x)＋f(x)， 移项得f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(2)设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，由已知条件，知f(x 2－x 1)<0，① 又因为f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)，② 由①②，知x 2－x 1>0时，f(x 2－x 1)＝f(x 2)＋f(－x 1)＝f(x 2)－f(x 1)<0， 所以f(x 2)<f(x 1)，即x1<x2时，f(x2)<f(x1)，所以f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．由已知条件，知f(8)＝2f(4)＝4f(2)＝4，∴f(－x2)＋2f(x)＋4＝f(－x2＋2x＋8)，又f(0)＝0，且f(x)在R上为减函数，所以f(－x2)＋2f(x)＋4<0可化为f(－x2＋2x＋8)<f(0)，即－x2＋2x＋8>0，解得－2<x<4. 所以不等式的解集为(－2,4)．22.解：(1)由题意知，二次函数图象的对称轴为x＝32，又最小值是74，则可设f(x)＝a223⎪⎭⎫⎝⎛-x＋74(a≠0)，又图象过点(0,4)，则a2230⎪⎭⎫⎝⎛-＋74＝4，解得a＝1，∴f(x)＝223⎪⎭⎫⎝⎛-x＋74＝x2－3x＋4.(2)由已知，f(x)>2x＋m对x∈[－1,3]恒成立，∴m<x2－5x＋4对x∈[－1,3]恒成立，∴m<(x2－5x＋4)min(x∈[－1,3])，∵g(x)＝x2－5x＋4在x∈[－1,3]上的最小值为g⎪⎭⎫⎝⎛25＝－94.∴m<－94.。
安徽省合肥市中国科学技术大学附属中学2023-2024学年高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
中科大附中2023-2024学年第二学期高一年级月考数学试卷考试时间：120分钟 卷面满分150分一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 在复平面内，点(2,3)表示复数z ，则z 的虚部是（ ） A. 3 B. 3i C. 3− D. 3i −【答案】C 【解析】【分析】先得到23i z =+，则23i z =−，再求出其虚部即可.【详解】由复数的几何意义得23i z =+，从而23i z =−，其虚部为3−. 故选：C2. 已知点()()1,3,4,1,A B −则与AB同方向的单位向量为 A. 3455−， B. 4355 −，C. 3455 −，D. 4355 −，【答案】A 【解析】【详解】试题分析：(41,13)(3,4)AB =−−−=− ,所以与AB同方向的单位向量为134(3,4)(,)555AB e AB −−，故选A. 考点：向量运算及相关概念.3. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=A.B.C. 2D. 3【答案】D 【解析】【详解】由余弦定理得，解得（舍去），故选D.【考点】余弦定理【名师点睛】本题属于基础题,考查内容单一,根据余弦定理整理出关于b 一元二次方程,再通过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！4 已知43AP AB = ，用OA ，OB 表示OP ，则OP等于（ ）A. 1433OA OB −B. 1344OA OB +C. 1433OA OB −+ D. 1433OA OB −−【答案】C 【解析】【分析】根据向量减法，将,AP AB用,,OP OA OB表示，然后整理可得.【详解】因为43AP AB =，所以()43OP OAOB OA −=− ，整理得1433OP OA OB =−+. 故选：C5. 在ABC 中，()cos21,sin 21AB =°°，()2sin 39,2cos39AC =°°，则ABC 的面积为（ ）A.12B. 1C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用向量的坐标求出,,,AB AC AB AC，然后由三角形面积公式可得.【详解】因为()cos 21,sin 21AB =°°，()2sin 39,2cos39AC =°° ，所以1AB =，2AC=，的.2cos 21sin 392sin 21cos39cos ,sin 6012AB AC °°+°°==°=× . 又[],0,πAB AC ∈ ，所以π,6AB AC = ，所以1π112sin 262ABC S =××= . 故选：A6. 在ABC 中，若cos cos 0a bA B c−−+=，则ABC 的形状是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰或直角三角形【答案】D 【解析】【分析】利用余弦定理将cos cos 0a b A B c −−+=化简为222222a b c a b c a b+−+−=，从而可求解. 【详解】由cos cos 0a bA B c−−+=，得cos cos a c B b c A −=−， 由余弦定理得22222222a c b b c a a c b c ac bc +−+−−×=−×，化简得222222a b c a b c a b+−+−=， 当2220a b c +−=时，即222+=a b c ，则ABC 为直角三角形； 当2220a b c +−≠时，得a b =，则ABC 为等腰三角形； 综上：ABC 为等腰或直角三角形，故D 正确. 故选：D .7. 点P 是锐角ABC 内一点，且存在R λ∈，使()AP AB AC λ=+，则下列条件中，不能判断出ABC 为等腰三角形的是（ ） A. 点P 是ABC 的垂心 B. 点P 是ABC 的重心 C. 点P 是ABC 的外心 D. 点P 是ABC 的内心【答案】B 【解析】【分析】由已知判断点P 在直线AD 上，结合垂心、重心、外心、内心的定义逐一判断即可. 【详解】记BC 的中点为D ，则()2AP AB AC AD λλ+， 所以，点P 在直线AD 上.A 选项：若点P 是ABC 的垂心，则AD BC ⊥，所以AB AC =，所以ABC 为等腰三角形，A 正确；B 选项：若点P 是ABC 的重心，则点P 在BC 边的中线上，无法推出AD BC ⊥，B 错误； C 选项：若点P 是ABC 的外心，则点P 在BC 边的中垂线上， 所以AD BC ⊥，所以ABC 为等腰三角形，C 正确；D 选项：若点P 是ABC 的内心，则AD 为BAC ∠的角平分线， 所以BAD CAD ∠=∠，又,AP APBD CD ==，所以ADB 与ADC △全等， 故AB AC =，D 正确. 故选：B8. 设θ为两个非零向量a ，b的夹角，已知对任意实数t ，||a tb + 是最小值为1，则（ ）A. 若θ确定，则||a唯一确定B. 若θ确定，则||b唯一确定C 若||a 确定，则θ唯一确定 D. 若||b确定，则θ唯一确定【答案】A 【解析】【分析】画图，利用点与直线上的点的距离大小关系，以及向量的加减法性质判定即可.【详解】如图，记OA a = 、AB b = 、AH tb = ，则OH a tb =+，则当()b a tb ⊥+时，||a tb +取得最小值1，若θ确定，则||a 唯一，||b不确定，若||a 确定，θ可能有两解（图中OA a = 或OA a =′）， 若||b确定，则a不确定，从而θ也不确定.故选：A.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 下面四个命题中的真命题为（ ） A. 若复数z ∈R ，则z ∈RB. 复数z ∈R 的充要条件条件是z z =C. 对任意复数,z w 都有z w z w +=+D. 若复数i z a =+（a ∈R ），且||z =1a =【答案】ABC 【解析】【分析】根据共轭复数的概念判断AC ，根据复数为实数及共轭复数的概念判断B ，根据复数模的运算判断D.【详解】对于A ，设()i ,z a b a b =+∈R ，若复数z ∈R ，即0b =，则z z =∈R ，正确； 对于B ，设()i ,z a b a b =+∈R ，若i i 0z z a b a b b =⇔+=−⇔=， 所以，复数z ∈R 的充要条件是z z =，正确；对于C ，设()i ,z a b a b =+∈R ，()i ,w c d c d =+∈R ，则()()i z w a c b d +=+++， 所以()()i z w a c b d +=+−+，而()()()()i i i z w a b c d a c b d +=−+−=+−+， 即有z w z w +=+，正确；对于D ，若复数i z a =+（a ∈R ），且||z =1a =±，错误.故选：ABC.10. 如图所示设,Ox Oy 是平面内相交成2πθθ≠角的两条数轴，21,e e分别是与,x y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若12OM xe ye =+ ，则把有序数对(),x y 叫做向量OM的反射坐标，记为(),OM x y = ．在23πθ=的反射坐标系中，()()12,21，，==− a b ．则下列结论中，正确的是（ ）A. ()1,3a b −=−B. a =C. ab ⊥D. a在b上的投影向量为【答案】AD 【解析】【分析】向量差的坐标运算判断选项A ；利用向量的模公式计算判断选项B ；用向量的数量积公式判断选项C ；利用a在b上的投影向量公式判断选项D.【详解】对于A ，()()()12,21,1,3,a b a b ==−−=− ，，故A 正确； 对于B，a =B 错误； 对于C ，22121211223(2)(2)232,2a b e e e e e e e e ⋅=+−=+−=−故C 错误； 对于D，b = ，a 在b 上投影向量为a b b b⋅== ，故D 正确； 故选：AD.11. 在ABC 中，2a =，π6A =，则下列结论正确的是（ ） A. 若3b =，则ABC 有两解B. ABC 周长有最大值6C. 若ABC 是钝角三角形，则BC 边上的高AD的范围为(0, D. ABC面积有最大值2+ 【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据sin b A a b <<得到结论；B 选项，由余弦定理和基本不等式求出周长的最大值；C选项，求出三角形的外接圆半径，画出图形，数形结合得A 在 CD或 BE 上，BC 边上的高AD的范围为(0,；D 选项，在C 选项的基础上求出面积最大值. 【详解】A 选项，π3sin 3sin 62b A ==，故sin b A a b <<，故ABC 有两解，A 正确； B 选项，由余弦定理得2222cos b c a bc A +−=，即()2π242cos 6b c bc bc +−−=，化简得()(242b c bc +−=+， 由基本不等式得()24b c bc +≤，故()24b c +−≤的当且仅当b c =时，等号成立，解得b c +≤，故ABC的周长最大值为2，B 错误；C 选项，由正弦定理得24πsin sin 6a A ==，故ABC 的外接圆半径为2，如图所示，将ABC 放入半径为2的圆中，其中2BC DE ==，π6BDC ∠=，故BE CD ==，ABC 是钝角三角形，故A 在 CD或 BE 上， 故BC 边上的高AD的范围为(0,，C 正确；D 选项，由C 选项可知，当A 落在 的中点时，ABC 边BC 上的高A F ′最大，其中πsin 3OF OB ==，此时高A F ′为2+，面积最大值为122BC A F ′⋅=D 正确. 故选：ACD【点睛】思路点睛：解三角形中最值或范围问题，通常涉及与边长，周长有关的范围问题，与面积有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，常用处理思路：①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求出答案；②采用正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，通常采用这种方法；③巧妙利用三角换元，实现边化角，进而转化为正弦或余弦函数求出最值.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知(,1),(1,2)a x b ==− ，且22a b a b +=−，则x =______.【答案】2【解析】【分析】由22a b a b +=−可得0a b ⋅= ，利用向量数量积的坐标运算即可求解. 【详解】由22a b a b +=− 两边同时平方可得：2222a b a b +=−，所以22224444a a b b a a b b +⋅+−⋅+ ，整理得0a b ⋅= ， 而()1120a b x ⋅=×−+×=，解得：2x =，故答案为：2.13. 如图,OM ∥AB ,点P 在由射线OM ,线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP xOA yOB =+ ，则x 的取值范围是___；当12x =−时，y 的取值范围是___.【答案】 ①. ()0∞-，②. 1322， 【解析】【分析】由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，得到x 的取值范围，当12x =−时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，得到y 的取值范围.【详解】解：如图，OM AB ,点P 在射线OM ，线段OB 及AB 延长线围成的区域内（不含边界）运动，且OP xOA yOB =+ ，由向量加法的平行四边形法则，OP 为平行四边形的对角线，该四边形应是以,OB OA 的反向延长线为相邻两边，故x 的取值范围是()0∞-，； 当12x =−时，要使点P 落在指定区域内，即点P 应落在DE 上，13,22CD OB CE OB ==, 故y 的取值范围是：1322，.的【点睛】本题考查了平面向量基本定理及向量加法的平行四边形法则，属基础题.14. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，角B 为锐角，且28sin sin sin A C B =，则a cb+的取值范围为__________．【答案】 【解析】 【详解】设()t 1a ct b+=>，，则a c tb +=，由28sin sin sin A C B =，得28ac b =,. 由余弦定理得()22222222222124cosB45,12ac 24t b b b a c ac b a c b t ac b −−+−−+−====−由角B 为锐角得0cosB 1<<，所以20451t <−<t <<a cb +<<故答案为四、解答题: 本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. 设O 为坐标原点，向量1OZ 、2OZ 、3OZ 分别对应复数1z 、2z 、3z ，且()212i z a a =+−，()2132i z a =−+−，32i z m =− (),R a m ∈. 已知12z z +是纯虚数.（1）求实数a 的值；（2）若123,,Z Z Z 三点共线，求实数m 的值. 【答案】（1）1a =− （2）2m =− 【解析】【分析】（1）根据12z z +是纯虚数，结合共轭复数、纯虚数的定义求解即可；（2）根据1132//Z Z Z Z求解即可.【小问1详解】由题意可得()21211i z z a a +=−+−，由于复数12z z +是纯虚数，则21010a a −= −≠，解得1a =−；【小问2详解】由（1）可得113i z =+，215i z =−+，则点()11,3Z ，()21,5Z −，点()32,m Z −所以，1132(2,2),(1,3)Z Z Z Z m =−=−−因123,,Z Z Z 三点共线，所以1132//Z Z Z Z，所以(2)(3)12m −×−−=×，所以2m =−16. 已知向量,a b 满足1,2,2a b a b ==−=.（1）求向量,a b的夹角；（2）求向量3a b + 与a的夹角的余弦值. 【答案】（1）2π3（2 【解析】【分析】（1）将2a b −=（2）求出向量3a b + 与a 的数量积，求得3a b +的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【小问1详解】由2a b −= 2|2|12a b −= ，即224412a a b b −⋅+= ，故4412cos ,412a b −××〈〉+=，则1cos ,2a b 〈〉=− ，而,[0,π]a b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= ； 【小问2详解】22π(3)3312cos 3123a b a a a b +⋅=+⋅=+××=−= ，3a b +=所以(3)cos3,|3|||a b aa b aa b a+⋅〈+〉==+17. 在ABC∆中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c .已知cos2cos2cosA C c aB b−−=（1）求sinsinCA的值（2）若1cos,24B b==，求ABC∆的面积.【答案】（1）sin2sinCA=（2【解析】【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin2sinA B B C+=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin2sinc Ca A==，结合题意由余弦定理可解得1a=，sin B=，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin,2sin,2sina R Ab R bc R C==，所以cos cos22sin sincos sinA C c a C AB b B−−−==即sin cos2sin cos2sin cos sin cosB A BC C B A B−=−即有()()sin2sinA B B C+=+，即sin2sinC A=所以sin2sinCA=（2）由（1）知sin2sinc Ca A==，即2c a=，又因为2b=，所以由余弦定理得：2222cosb c a ac B=+−，即222124224a a a a+−××，解得1a=,所以2c=，又因为1cos4B=，所以sin B=，故ABC∆的面积为11sin1222ac B=×××.【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．18. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径，一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲､乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发4min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C ，假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min ，索道AB 长为2080m ，经测量12cos 13A =，3cos 5C =.（1）求AC 的长；（2）问：乙从A 出发多少min 后，乙在缆车上与甲的距离最短？（3）为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过5min ，乙步行的速度应控制在什么范围内？【答案】（1）2520米（2）70min 37t = （3）12502500,4361（单位：m/mim ） 【解析】【分析】（1）根据同角关系由余弦可求正弦值，进而可由和差角公式求解sin B ,然后在ABC 中，利用正弦定理即可求解AC .（2）根据余弦定理表达出两人之间的距离，然后根据二次函数的最值进行求解.（3）根据甲乙两人行走的时间与路程之间的关系即可求解.【小问1详解】在ABC 中，因为12cos 13A =，3cos 5C =， 所以5sin 13A =，4sin 5C = ∴5312463sin sin[π()]sin()sin cos cos sin 13513565B AC A C A C A C =−+=+=+=×+×= 由正弦定理sin sin AB AC C B =，∴208063sin 25204sin 655AB AC B C =×=×=， 所以AC 的长为2520米.【小问2详解】假设乙出发t min 后，甲､乙两游客距离为d ，此时，甲行走了(20050)m t +，乙距离A 处130m t ， 所以由余弦定理得22212(20050)(130)2130(20050)13d t t t t =++−××+×()220037140200t t −+ 由于20800130t ≤≤，即016t ≤≤， 故当70min 37t =时，甲､乙两游客距离最短. 【小问3详解】由正弦定理sin sin BC AC A B=， ∴25205sin 100063sin 1365AC BC A B =×=×=， 甲到达C 共需要425205050.=分钟，乙开始从B 出发时，已经用去164121++=分钟. 乙从B 出发时，甲已走了50(1641)1050×++=米，还有1470米到达C . 设乙步行的速度为 m /min v ，由题意得100014705550v −≤−≤解得125025004361v ≤≤ 所以为使两位游客在t 处互相等待的时间不超过5min ，乙步行的速度应控制在12502500,4361 （单位：m/mim ）范围内.19. 在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c，且sin C C a， b =（1）求角B ；（2）若2a c +=，求边AC 上的角平分线BD 长；（3）若ABC 为锐角三角形，求边AC 上的中线BE 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）BD =（3）32【解析】【分析】（1）根据正弦定理结合两角和的正弦公式化简求值即可；（2）根据余弦定理及已知得13ac =，然后利用面积分割法列方程求解即可； （3）利用向量加法运算及数量积模的运算得21(32)4BE ca =+ ，利用正弦定理得π2sin(2)16ac A =−+，然后利用正弦函数的性质求解范围即可.【小问1详解】由sin C C a+=及正弦定理得sin sin sin b C C A B +=，即sin sin cos B C B C A ⋅+⋅，即sin sin cos sin B C B C BcosC B C ⋅+⋅=+，所以sin sin sin B C B C ⋅，因为sin 0C ≠，所以tan B =. 因为(0,π)B ∈，所以π3B =. 【小问2详解】 由π3B =及余弦定理得()22233c a ac c a ac =+−=+−，又2a c +=，所以13ac =， 由ABCABD BDC S S S =+ 得111sin sin sin 22222B B ac B c BD a BD =⋅⋅+⋅⋅， 所以ππsin ()sin 36ac BD c a =⋅+，所以11232BD ×⋅⋅，解得BD =. 【小问3详解】因为E 的AC 的中点，所以1()2BE BA BC =+ ， 则222211132()(2cos )(3)4444ca BE BA BC c a ca B ca ca +=+=++⋅=++= ， 由正弦定理得2πsin sin 4sin sin 4sin sin()sin sin 3b b ac A C A C A A B B ⋅⋅⋅−214sin sin cos 2sin 2A A A A A A =⋅+=+π21cos 22sin(2)16A A A +−=−+， 因为ABC 为锐角三角形，所以π022ππ032A A << <−< ，所以ππ62A <<， 所以ππ5π2666A <−<，所以1πsin(2)126A <−≤，所以23ac <≤， 所以2179(32),444BE ca =+∈，所以32BE ∈， 即边AC 上的中线BE的取值范围为32.。
高一下学期第一次月考数学试题3(必修3)(含答案)
高一下学期第一次月考数学试题第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（每小题5分，共60分，在给出的四个选项中只有一个选项符合要求）1．下列给出的赋值语句中正确的是： （ ）A. 3=A B ．d=d+5 C ．B=A=2 D ． x+y=02．右图是某算法程序框图的一部分，它表达的算法逻辑结构为 （ ）A ． 顺序结构B ．条件结构C ． 循环结构D ．以上三种结构都不是3．已知下列说法：①算法执行后一定产生确定的结果；②输入语句中必须写出“提示内容”；③在生长期内人的身高与年龄成正相关；④样本容量很大的频率分布直方图就是总体密度曲线；其中正确的个数是 ( )A ． 0B ．1C ．2D ．34．将两个数8,17a b ==交换,使17,8a b ==,下面语句正确一组是 ( )AB C D5．下列各数中最小的数为 ( ) A.)7(214 B. )2(1101010 C. )5(412 D. )3(10220 6．右边的程序运行后输出的结果的是 ( ) A.32 B.64 C.128 D. 2567．变量x ，y 有观测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u ，v 有观测数据(u i ，v i )(i ＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断．A. 变量x 与y 正相关，u 与v 正相关B. 变量x 与y 正相关，u 与v 负相关C. 变量x 与y 负相关，u 与v 正相关D. 变量x 与y 负相关，u 与v 负相关8则图中判断框内（1）处和执行框中的（2）处应填的语句是 ( )A ．1,100+=>n n iB ．2,100+=>n n iC ．2,50+=>n n iD ．2,50+=≤n n i9．若某高校共有在校大学生16050名，其中专科生4500人，本科生9750人，研究生1800人，现在需要采用分层抽样的方法调查学生的家庭情况，已知从专科生抽取了60人，则需要从本科生、研究生两类学生分别抽取多少人 （ ）A ．130 ，24B ．260，24C ．390，48D ．130，3610．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表根据上表可得回归方程ˆˆy b x a =+中的ˆb为4.9，据此模型预报广告费用为7万元时销售额 （ ）A ．63．6万元B ．65．5万元C ．77．9万元D ．74．9万元11．若样本1x +2，2x +2，……，n x +2的平均数为10，方差为3，则样本21x +3，22x +3，…，2n x +3，的平均数、方差、标准差是 （ ）A ．19，12，32B ．23，12，32C ．23，18，23D ．19，18，2312．在刚召开的十二届全国人大一次会上，为了调查人大代表对“反腐倡廉”的意见，现从1000名代表中使用系统抽样，按以下规定获取样本编号：如果在起始组中随机抽取的号码为M ，那么第K 组（组号K 从0开始，K=0,1,2，…，9）抽取的号码的百位数为组号，后两位数为M+32K 的后两位数，若M=16，则4,7K K ==时所抽取的样本编号为：（ ）A ．444 ，740B ．416，716C ．444，726D ．423，726第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每小题5分，共20分）13．在学校的生物园中，甲同学种植了9株花苗， 乙同学种植了10株花苗．测量出花苗高度的数 据(单位：cm)，并绘制成如图所示的茎叶图，则 第8题 甲 乙9 1 0 4 0 4 3 1 0 2 6 41 2 3 7 3 04 4 6 6 7。
福建省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一数学试卷一、单选题（共40分）1. 已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A. B.C.D.12-2i 2i -【答案】B 【解析】【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2. 已知向量且，则(1,2),(,4),a b x =-= //,a ba b -=A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】分析：首先由向量平行确定向量的坐标，再求向量的模长.b a b -详解：因为，所以，即；//,a b24x -=2x =-所以； ()36，-=-a b所以-=a b 点睛：1、本题考查向量共线、向量的坐标运算等知识，意在考查学生的分析、计算能力. 解决本题的关键在于熟练掌握向量平行的坐标表示； 熟记向量坐标的加减运算与向量模长的坐标运算.3. 在中，角的对边分别为，若，则一定是( ) ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos a b C =ABC A A. 正三角形 B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等腰三角形【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理化边为角，结合边的关系进行判断.【详解】因为，所以由正弦定理可得，2cos a b C =sin 2sin cos A B C =因为，所以， ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+sin cos cos sin 0B C B C -=即，所以. ()sin 0B C -=B C =故选：D.4. 函数的图象为()sin cos 2f x x x =+A. B.C. D.【答案】B 【解析】【详解】试题分析：因为，根据奇函数和偶函数的定义可知，函数()sin cos 2f x x x -=-+是非奇非偶函数，排除选项A 和选项 D.当时，()sin cos 2f x x x =+x π=，所以选B.()sin cos 2010f πππ=+=+>考点：三角函数的图像与性质5. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中正确的是 m n αβA. 若，，，则 αβ⊥m α⊂n β⊂m n ⊥B. 若，，，则 //αβm α⊂n β⊂//m n C. 若，，，则 m n ⊥m α⊂n β⊂αβ⊥D. 若，，，则 m α⊥//m n //n βαβ⊥【答案】D 【解析】【详解】试题分析：，,故选D.m α⊥ ,n βαβ∴⊥A 考点：点线面的位置关系.6. 如图，是用斜二测画法画出的直观图，则是（ ）A OB '''∠AOB ∠AOB ∠A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 无法判断【答案】C 【解析】【分析】根据斜二测画法，将直观图还原为平面图即可判断.【详解】解：根据斜二测画法的规则，将直观图还原为平面图如图所示，A OB '''∠所以，是钝角. AOB ∠故选：C7. 已知为的外接圆圆心，若在方向上的投影O ABC A 2,CA OA AB AB =+= BABC 向量为（ ）A.B.C.D. 34BC u uu r BC34BC -【答案】A 【解析】【分析】根据已知条件判断出三角形的形状，从而计算出在上的投影向量.ABC BA BC【详解】依题意三角形的外接圆圆心为，，即， ABC A O 2CA OA AB =+ 2AO AB AC =+所以是的中点，即是圆的直径，且， O BC BC O π2BAC ∠=又AB = 所以， AC OA =所以， π6ABC ∠=∴，π3cos 6324BA BC OA ⋅== 所以在上的投影向量为.BA BC 34BC u uu r 故选：A.8. 已知，将的图象向右平移个单位，再向下平移1()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()y f x =π6个单位，得到的图象．若对，都有成立，则()y g x =R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π3g a ⎛⎫+=⎪⎝⎭（ ）．A.B. C.D. 1212-【答案】A 【解析】【分析】根据三角恒等变换化简，再求出变换后的函数的解析式，根据条件结合正弦函数性()f x ()g x 质列方程求出，从而可计算出答案. a 【详解】 ()2ππsin cos cos 44f x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1cos 22x x x x x ⎫+=++⎪⎪⎭()11112sin cos cos 2222x x x =+++ 11sin 2cos 2122x x =++， π214x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭将的图象向右平移个单位，再向下平移1个单位， ()y f x =π6， ()πππ21126412g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以对，都有成立， R x ∀∈022a a g x g x ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以函数关于点对称，()π212g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，则， ππ,Z 12a k k -=∈ππ,Z 12a k k =+∈所以 πππ23312g a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦5ππ2π1212k ⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3π2π4k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭3π4=. 12=故选：A.二、多选题（共20分）9. 已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A.B. 在复平面内对应的点位于第二象限 z =zC.D. 满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD 【解析】【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，，故A 正确； 13i1i 2iz +==++z =对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误；24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10. 如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下列结1SO OC ==论正确的是（ ）A. 圆锥SOB. 三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C. ∠SAB 的取值范围是 ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D. 若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD 【解析】【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距离最B AC大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D 将两个三AB BC =SAB ∠角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为， ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对； 111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时，AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD11. 如图，平面四边形中，是等边三角形，且，是的中ABCD BCD △AB BD ⊥2AB BD ==M AD 点.沿将翻折，折成三棱锥，在翻折过程中，下列结论正确的是（ ）BD BCD △C ABD -A. 存在某个位置，使得与所成角为锐角 CM BDB. 棱上总会有一点，使得平面 CD N //MN ABCC. 当三棱锥的体积最大时，C ABD -AB BC ⊥D. 当平面平面时，三棱锥的外接球的表面积是 ABD ⊥BDC C ABD -8π【答案】BC 【解析】【分析】取中点，连接，，可证明即可判断A ；取中点，连接，BD G CG MG BD MC ^CD H HM 可证明平面判断B ；三棱锥的体积最大， 的投影在棱上时，此时//HM ABC C ABD -C BD CG ⊥平面，进而可证明平面得判断C ；过作，过点作ABD AB ⊥BCD AB BC ⊥M MF ⊥ABD F 交于，设为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为，进而根据几何关//FE MG CG E F C ABD -R系求解得可判断D. 273R =【详解】解：对于A 选项，取中点，连接，，因为是等边三角形，所以BD G CG MG BCD △，又因为是的中点，所以，因为，所以，因为CG BD ⊥M AD //MG AB AB BD ⊥MG BD ⊥，平面，所以平面，因为平面，所以MG CG G ⋂=,MG CG ⊂MCG BD ⊥MCG MC ⊂MCG ，故错误；BD MC ^对于B 选项，取中点，连接，因为是的中点，所以，因为平面CD H HM M AD //HM AC HM ⊄，平面，所以平面，故正确；ABC AC ⊂ABC //HM ABC对于C 选项，设到平面的距离为，因为且， C ABD h AB BD ⊥2AB BD ==所以，所以，故要使三棱锥的体积最大，则12222ABD S =⨯⨯=△1233C ABD ABD V S h h -=⋅=A C ABD -h 最大，所以当的投影在棱上时，最大，且，此时平面，平面C BD h max h CG =CG ⊥ABD AB ⊂ABD ，所以，因为，，平面，所以平面，CG AB ⊥AB BD ⊥CG BD G = ,CG BD ⊂BCD AB ⊥BCD 平面，所以，故正确；BC ⊂BCD AB BC ⊥对于D 选项，因为为直角三角形，所以过作，设为三棱锥的外接球ABD △M MF ⊥ABD F C ABD -的球心，外接球的半径为，因为平面平面，平面平面，平面R ABD ⊥BDC ABD ⋂BDC BD =CG ⊂，，所以平面，所以，过点作交于，如图所BDC CG ⊥BD CG ⊥ABD //CG MF F //FE MG CG E 示，所以四边形为矩形，所以，所以在中，MFEG ,MF EG FD FC R ===Rt MFD A，即，222R MD MF =+222R MF =+在中，，即，进而解得，所以三棱锥Rt EFC △222R EF CE =+221)R EG =+273R =C ABD -的外接球的表面积为，故错误. 22843Rππ=故选：BC12. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH 的边长为，P是正八边形ABCDEFGH 边上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.2BG AH =B. 在向量上的投影向量为AD AB1AB ⎫+⎪⎪⎭C. 若，则为的中点(1OA FC PA ED ⋅=+⋅ P ED D. 若在线段上，且，则的取值范围为P BC AP x AB y AH =+x y+1,2⎡+⎣【答案】BD 【解析】【分析】以为轴，为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A 错误，投影AE y GC x 2BG AH ≠向量为，B 正确，直线与正八边形有两个交点，C 错误，，D正确，得到1AB ⎫⎪⎪⎭x y +=答案.【详解】如图所示：以为轴，为轴建立直角坐标系，AE y GCx设， OA OB OC OD OE OF OG OH a ========则，整理得到222π22cos4a a a =+-⨯22a =+，()()()0,,,,,0,,0,,A a B C a D E a F ⎫⎫⎛⎫-⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎝⎭，，设，(),0G a -,H ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()00,P x y 对选项A ：，，，错误；a B a G ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ,a A H ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭ 2BG AH ≠ 对选项B ：，，AD D a⎫=+⎪⎪⎭ ,AB a ⎫=-⎪⎪⎭，即投影向量为，正确；21AD AB AB ⋅===+ 1AB⎫+⎪⎪⎭ 对选项C：， ()20,,OA FC a a ⎛⎫⋅=-⋅+= ⎪⎪⎝⎭，()()0000,P x a A E a x D y a y a ⎫⎫=-=-⎪⋅+-⎪⎪⎪⎭---⋅⎭ ，整理得到，即，(1OA FC PA ED ⋅=+⋅()00ay a ⎫-+-=⎪⎪⎭)001y x =+与正八边形有两个交点，错误；对选项D ：，，， ()00,x y a AP =+,AB a ⎫=⎪⎪⎭,a A H ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，，AP x AB y AH =+ ()00,,,x y a x a a y a ⎫⎛⎫+=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭整理得到，，故，正确. x y +=0,0y ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦1,2x y ⎡+∈+⎣故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.三、填空题（共20分）13. 已知复数满足，则的最小值是______． z 2z =34z i +-【答案】 3【解析】【分析】根据绝对值不等式，求出的最小值即可． a b a b a b -≤+≤+34z i +-【详解】∵复数满足， z 2z =∴， 3434523z i i z +-≥--=-=∴的最小值是． 34z i +-3故答案为．3【点睛】本题主要考查了不等式的应用问题，也考查了复数的运算问题，是基础题目． 14. 设θ为第二象限角，若tan （θ+）=，则sinθ+cosθ=_________. 12【答案】 【解析】【详解】因为θ为第二象限角，若tan （θ+）=>0，所以角θ的终边落在直线的左侧,12y x =-sinθ+cosθ<0,由tan （θ+）=得=，即=，所以设sinθ+cosθ=x ，则12tan 11tan θθ+-12sin cos cos sin θθθθ+-12cosθ- sinθ=2x ，将这两个式子平方相加得：，即sinθ+cosθ=. 225x =【考点定位】本小题主要考查两角和的正切公式、同角三角函数的基本关系式、三角函数在各个象限的符号口诀等公式的灵活运用，属中档题.15. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移t （）个单位长()sin y A x ωϕ=+0t >度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则t 的最小值为________．()y f x =()y f x =【答案】6π【解析】【分析】由图象可得时，函数的函数值为0，可以解出的表达式，再利用平移π6x =sin()y A x ωϕ=+ϕ的知识可以得出的最小值． t 【详解】解：由图象可得时，函数的函数值为0，即， π6x =sin()y A x ωϕ=+ππ(Z)6k k ωϕ+=∈，ππ(Z)6k k ωϕ∴=-+∈，将此函数向左平移个单位得，，πsin(π)6y A x k ωω∴=-+t π()sin[()π]6f x A x t k ωω=+-+又为奇函数， ()f x ，11πππ(Z)6t k k k ωω∴-+=∈， 11ππ(Z,Z)6k kt k k ω-∴=+∈∈的最小值是．t ∴π6故答案为：.6π16. 已知A ，B ，C ，D 的球体表面上四点，若，，，且三4AB =2AC =BC =棱维的体积为长度的最大值为________． A BCD -CD【答案】【解析】【分析】计算出棱锥的高和球的半径，再考虑所在的截面圆的半径后可求线段长度的最大值. D CD，故球的半径， R 343R π=故，R =而，，，故，故，4AB =2AC =BC =222AB AC BC =+2ACB π∠=故， 122ACB S =⨯=A设到平面的距离为，则，故， D ABC h 13h ⨯⨯=3h =故在球面的截面圆上，设截面圆所在的平面为， D α当与平面在球心的异侧时，有最大值， αABC DC设球心到平面的距离为，而外接圆的半径为，则， ABC d ACB △142AB =1d ==故球心到平面的距离为，α21=设在平面上的投影为，则的轨迹为圆，圆心为的外心即的中点， D ABC E E ABC A AB 当最长时最长，此时， CE CD 213=+=CE故长度的最大值为 CD故答案为：.【点睛】思路点睛：本题涉及到空间中动点的轨迹，注意根据高为定值确定出动点所在的曲线，再将空间问题平面化，从而解决最值问题.四、解答题（共70分17. 已知，，与的夹角为．4a = 8b = a b2π3（1）求；a b +（2）当为何值时，？k ()()2a b ka b +⊥-【答案】（1）（2） 7k =-【解析】【分析】（1）根据向量数量积定义和运算律可求得，进而得到；2a b + a b + （2）由向量垂直可得，根据向量数量积定义和运算律可构造方程求得结果.()()20a b ka b +⋅-=【小问1详解】，2πcos ,32cos 163a b a b a b ⋅=⋅<>==-，.222216326448a b a a b b ∴+=+⋅+=-+=a b ∴+= 【小问2详解】由得：()()2a b ka b +⊥-，()()()()2222121616211280a b ka b k a k a b b k k +⋅-=+-⋅-=---=解得：.7k =-18. 已知向量.)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭（1）当时，求的值；//a b r rtan x （2）设函数，且，求的最大值以及对应的x 的值.()()f x a b b =+⋅ π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()f x 【答案】（1）；1tan 3x =-（2）时，. 0x =()f x 4+【解析】【分析】（1）根据向量平行的坐标表示列方程，结合同角关系可求；tan x （2）根据数量积的坐标表示和两角和余弦公式化简，再根据正弦函数性质求其最大值和对应的()f x x 值即可. 【小问1详解】因为，，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭//ab r r所以，()1cos 102x x ⎫⎛⎫⨯--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭所以， 3sin cos 0x x +=所以； 1tan 3x =-【小问2详解】因为，)1cos ,12a x x b ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭所以，())1cos 1cos sin 2a b x x x x ⎫⎛⎫⋅=+⨯-=-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，314b b ⋅=+=所以， ()())cos sin 4f x a b b a b b b x x =+⋅=⋅+⋅=-+所以，，()π44f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦因为，所以， π02x ≤≤ππ3π444x ≤+≤所以πcos 4x ⎛⎫≤+≤⎪⎝⎭所以，π4444x ⎛⎫≤++≤+ ⎪⎝⎭当，即时，. ππ44x +=0x =()f x 419. 在中，角的对边分别为. ABC A ,,A B C ,,a b c ()sin b C C =（1）求角的大小； B （2）若，为外一点，如图，，求四边形面积的最大值. π3A =D ABC A 4DB=2CD =ABDC【答案】（1）π3（2） 8【解析】【分析】（1，即可得解；sin B B =（2）根据题意，利用余弦定理可得，再表示出，表示出四边形2B D C =-4sin BDC S D =A ，进而可得最值.ABCD S 【小问1详解】，()sin b C C =+()sin sin A B C C =+，()sin sin cos B C B C B C +=sin sin sin B C B C =因为，即，sin 0C≠sin B B =tan B =因为，所以. ()0,πB ∈π3B =【小问2详解】在中，，，BCD △4BD =2CD =所以， 22242242cos 2016cos BC D D =+-⨯⨯⨯=-又，则为等边三角形，， π3A =ABC A 21πsin 23ABC S BC D =⨯=-A 又， 1sin 4sin 2BDC S BD DC D D =⨯⨯⨯=A所以， π4sin 8sin 3ABDC S D D D ⎛⎫=-=+- ⎪⎝⎭所以当时，四边形的面积取最大值，最大值为. 5π6D =ABDC 8+20. 如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段P ABCD -ABCD PAD M 上一点，为的中点.PD N BC（1）当为的中点时，求证：平面. M PD //MN PAB （2）当平面，求出点的位置，说明理由. //PB AMN M 【答案】（1）证明见解析；（2）存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析. 【解析】【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论；//,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M【小问1详解】取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB 【小问2详解】连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面， //PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.21. 如图，直三棱柱的体积为4，的面积为111ABC A B C -1A BC △（1）求到平面的距离；A 1A BC （2）设D 为的中点，，平面平面，求线段BC 的长度． 1AC 1AA AB =1A BC ⊥11ABB A【答案】（1）到平面A 1A BC （2）线段BC 的长为2【解析】【分析】（1）利用体积法可求点到平面的距离；A 1A BC（2）利用面面垂直，线面垂直得线线垂直，最后利用的面积为即可求得线段BC 的长． 1A BC △【小问1详解】解：由直三棱柱的体积为4，可得，111ABC A B C -11111433A ABC ABC ABC V V --==设到平面的距离为，由，A 1A BC d 11A ABC A A BC V V --=，，解得．∴11433A BC S d ⋅=A ∴1433d ⨯=即到平面； A 1A BC 【小问2详解】解：连接交于点1AB 1A B O由直三棱柱， 111ABC A B C -1AA AB =故四边形为正方形，，11AA B B 11AB A B ∴⊥又平面平面，平面平面，1A BC ⊥11ABB A 1A BC 111A B ABB A =平面，，1AB ∴⊥1A BC 1AB BC ∴⊥由直三棱柱知平面，111ABC A B C -1BB ⊥ABC ，又，1BB BC ∴⊥111AB BB B = 平面，，BC ∴⊥11ABB A BC AB ∴⊥，，又， 1AA AB = 12BC ∴⨯=1142AB BC AA ⨯⨯=解得， 12BC AB AA ===则线段BC 的长为2.22. 平行四边形ABCD 中，，，如图甲所示，作于点E ，将22AB AD ==DB =DE AB ⊥ADEV 沿着DE 翻折，使点A 与点P 重合，如图乙所示．（1）设平面PEB 与平面PDC 的交线为l ，判断l 与CD 的位置关系，并证明； （2）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正切值；-P BCDE P BC D --（3）在（2）的条件下，G 、H 分别为棱DE ，CD 上的点，求空间四边形PGHB 周长的最小值． 【答案】（1），证明见解析l CD ∥（2（3【解析】【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明平面PBE,然后利用线面平行的性质定理即可得到证//CD 明；（2）当平面BCDE 时体积最大，作交BC 于点O ，连接PO ，即为二面角PE ⊥EO BC ⊥POE ∠的平面角，在中，直接求解即可.P BC D --Rt POE A （3）由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，当A 、G 、H 、共线时，周长最短，可得结果. B 'B '【小问1详解】因为，平面PBE ，平面PBE ，所以平面PBE EB CD ∥CD ⊂/EB ⊂//CD 因为平面PCD ，平面平面，所以．CD ⊂PBE ⋂PCD l =l CD ∥【小问2详解】当平面平面BCDE 时，四棱锥的体积最大． PDE ⊥-P BCDE 平面平面BCDE=DE ，平面PDE ，, PDE PE ⊂PE DE ⊥可得平面BCDE ，平面BCDE ，可得BC ， PE ⊥BC ⊂PE ⊥作交BC 于点O ，连接PO ，, EO BC ⊥EO PE E ⋂=可得平面POE ，而PO 在平面PEO 中，故PO ，BC⊥BC ⊥即为二面角的平面角，POE ∠P BC D --在中，，，，Rt POE A 12PE=3sin 602EO =⨯︒=tan POE ∠==所以二面角． P BC D --【小问3详解】由展开图可知，B 关于CD 的对称点为，，，由勾股定理可得B 'DE =BB '=AB '=A 、G、H 、共线时，周长最短，PB =B '此时 ()minPG GH HB PB AB PB '+++=+=+。
高一数学必修1第一次月考试卷
高一数学必修1第一次月考试卷(含答案解析)数学试卷（时间：120分钟总分：150分）一．选择题:（本大题共10小题；每小题5分；共50分. 在每小题给出的四个选项中；只有一项是符合题目要求的.）1．集合{1；2；3}的真子集共有（）A、5个B、6个C、7个D、8个2．图中的阴影表示的集合中是（）A．B．C．D．3.以下五个写法中：①｛0｝∈｛0；1；2｝；②｛1；2｝；③｛0；1；2｝＝｛2；0；1｝；④；⑤；正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列从集合A到集合B的对应f是映射的是（）A B A B A B A BA B C D5．函数的定义域为（）A．B．C．D．6．若函数；则的值为（）A．5 B．－1C．－7D．27．已知函数；；那么集合中元素的个数为………………………………………………………（）A．1 B．0 C．1或0 D．1或28．给出函数如下表；则f〔g（x）〕的值域为（）A.{4,2}B.{1,3}C. {1,2,3,4}D. 以上情况都有可能9．设集合；若A∩B≠；则a的取值范围是（）A．B．C．D．10．设, 与是的子集, 若∩=,则称(,)为一个“理想配集”.那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(,)与(,)是两个不同的“理想配集”)A. 4B. 8C. 9D. 16二．填空题（本大题共5个小题；每小题４分；共20分）11．已知集合；则＝12．若函数；则＝_ __ __13．若函数的定义域为[－1；2]；则函数的定义域是14．函数在区间上递减；则实数的取值范围是_ __15．对于函数；定义域为；以下命题正确的是（只要求写出命题的序号）①若；则是上的偶函数；②若对于；都有；则是上的奇函数；③若函数在上具有单调性且则是上的递减函数；④若；则是上的递增函数。
三．解答题：（本大题共6小题；共80分；解答应写出文字说明；证明过程或演算步骤）。
16．（本小题13分）．全集U=R；若集合；；则（1）求；, ；（2）若集合C=；；求的取值范围；（结果用区间或集合表示）17．（本小题13分）．已知函数的定义域为集合；；（1）求；；（2）若；求实数的取值范围。
山东省淄博市高一数学下册第一次月考试题(含答案)
高一年级级模块考试数学试题 一、选择题（每小题5分，共12小题） 1.若集合M=｛x|x>1｝，N=｛x|x<5｝,则集合M ∩N= （ ）A.｛2,3,4｝B.｛x|x>1｝C.｛x|x<5｝D.(1,5)2. 右面的三视图所示的几何体是( )．A ．六棱台B ．六棱柱C ．六棱锥D ．六边形3.若点P(3，4)在角θ的终边上，则cos θ等于（ ）A. 54B. 53C. 43D. 344.下列函数中，定义域为R 的是 （ ）A. y=x e 5- B. y=1+x C. y=lnx D. y=1-x5.若M ∈平面α，M ∈平面β，则α与β的位置关系是（）A ．平行 B.相交 C.异面 D.不确定6. 的值为时已知m b a b a ρρρρ⊥==),m ,3(),-1,2(（）A ．23-B. 32-C.6D.-6 7.已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的体积之比为( )．A ．1∶3B ．1∶3C ．1∶9D ．1∶278.正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱有( )条 A ．3 B. 4 C. 6 D. 89.下列命题正确的是 （ ）A 、若→a ∥→b ，且→b ∥→c ，则→a ∥→cB 、两个有共同起点且相等的向量，其终点可能不同C 、向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D 、若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点共线10. 一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是( )．A B C D11.设0<a<1，函数f （x ）=x a log 的图像大致是 （ ）12.在ABC ∆中，若BC BA BC BA -=+，则ABC ∆一定是 （ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不能确定二、填空题（每小题4分，共5小题）13. 已知(1,2)a =r ,(2,3)b x =-r 且a r ∥b r ,则x = ；14．要得到函数y=cos （32π+x ）的图像，只需将函数y=cos x 2的图像左移_____单位.15. 已知函数f （x ）=⎩⎨⎧+2x 2x )0()0(<≥x x ,则f （f （-1））= .17．长宽高分别为5cm 、4cm 、3cm 的长方体的顶点均在同一球面上，则该球的表面积是 cm 2三、解答题18.（本题8分）19. （本题10分） （1）已知1e u r 、2e u u r 是夹角为60°的两个单位向量，1232a e e =-r u r u u r ，1223b e e =-r u r u u r ，求 a b ⋅r r ; （2） 已知求),1,2(),4,3(-==a b ⋅r r ， 方向上的投影在b a .20. （本题10分）已知函数 )1(g -)1(g )(x l x l x f -+=．(1)求函数)(x f 的定义域；(2)判断)(x f 的奇偶性，并说明理由；(3)求使0)(>x f 成立的x 的集合..上的最大值和最小值]2,0[在)(）求2（的解析式；)(）求1（,)(设函数).sin cos ,(cos ),,sin cos 2(已知向量21.（本题12分）πx f x f b a x f x x x b x x a ρρρρ⋅=+==答案1——12 DCBABCDCCACCππ50.1710.161.156.1443-13.。
广东省2023-2024学年高一下学期第一次月考试题 数学含答案
2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学试卷（答案在最后）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()2,1a =- ，()1,1b =- ，则()()23a b a b +⋅-等于（）A.10B.-10C.3D.-32.函数()2cos 2f x x x =是（）A.周期为2π的奇函数 B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数 D.周期为4π的偶函数3.将向量()1,1OA = 绕坐标原点O 逆时针旋转60°得到OB ，则OA AB ⋅=（）A.-2B.2C.-1D.14.一个质点受到平面上的三个力1F ，2F ，3F （单位：牛顿）的作用而处于平衡状态，已知1F ，2F成60°角且12F = ，24F = ，则3F =（）A.6B.2C. D.5.在ABC △中，若sin cos a B A =，且sin 2sin cos C A B =，那么ABC △一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形6.请运用所学三角恒等变换公式，化简计算tan102sin102︒+︒，并从以下选项中选择该式子正确的值（）A.12C.2D.17.在ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，若AE CA CB λμ=+，则λμ+=（）A.34-B.12-C.34D.18.已知菱形ABCD 的边长为1，60ABC ∠=︒，点E 是AB 边上的动点，则DE DC ⋅的最大值为（）.A.1B.32C.12D.32二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分.9.下列关于平面向量的命题正确的是（）A.若a b ∥ ，b c ∥ ，则a c∥ B.两个非零向量a ，b 垂直的充要条件是：0a b ⋅=C.若向量AB CD =，则A ，B ，C ，D ，四点必在一条直线上D.向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b aλ= 10.如图，函数()()2tan 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象与x 轴相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，且满足ABC △的面积为2π，则下列结论不正确的是（）A.4ω=B.函数()f x 的图象对称中心为,082k ππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z C.()f x 的单调增区间是5,8282k k ππππ⎛⎫++⎪⎝⎭，k ∈Z D.将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度后可以得到函数2tan y x ω=的图象11.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在s t 时相对于平衡位置的高度h （单位：cm ）由关系式()sin h A t ωϕ=+，[)0,t ∈+∞确定，其中0A >，0ω>，(]0,ϕπ∈.小球从最高点出发，经过2s 后，第一次回到最高点，则（）A.4πϕ=B.ωπ=C. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为22D. 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度h 之比为12三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.如图，在正六边形ABCDEF 中，2AF ED EF AB -++=__________.13.已知(2a = ，若向量b 满足()a b a +⊥ ，则b 在a方向上的投影向量的坐标为__________.14.已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边为a ，b ，c ，ABC △3，且2cos 2b A c a =-，4a c +=，则ABC △的周长为__________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知α，β为锐角，1tan 2α=，()5cos 13αβ+=.（1）求cos 2$α的值；（2）求()tan αβ-的值.16.（15分）已知4a = ，2b = ，且a 与b的夹角为120°，求：（1）2a b -；（2）a 与a b +的夹角；（3）若向量2a b λ- 与3a b λ-平行，求实数λ的值.17.（15分）如图，四边形ABCD 中，1AB =，3BC =，2CD DA ==，60DCB ∠=︒.（1）求对角线BD 的长：（2）设DAB θ∠=，求cos θ的值，并求四边形ABCD 的面积.18.（17分）如图，某公园摩天轮的半径为40m ，圆心距地面的高度为50m ，摩天轮做匀速转动，每3min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在最低点处.（1）已知在时刻t （单位：min ）时点P 距离地面的高度()()sin f t A t h ωϕ=++（其中0A >，0ω>，ϕπ<，求函数()f t 解析式及2023min 时点P 距离地面的高度；（2）当点P距离地面(50m +及以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园的全貌？19.（17分）设向量()12,a a a = ，()12,b b b = ，定义一种向量()()()12121122,,,a b a a b b a b a b ⊗=⨯=.已知向量12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，,03n π⎛⎫= ⎪⎝⎭，点()00,P x y 为函数sin y x =图象上的点，点(),Q x y 为()y f x =的图象上的动点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点）.（1）求()y f x =的表达式并求它的周期；（2）把函数()y f x =图象上各点的横坐标缩小为原来的14倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.设函数()()()h x g x t t =-∈R ，试讨论函数()h x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的零点个数.2023-2024学年第二学期高一教学质量检测数学答案1.B 【详解】由向量()2,1a =- ，()1,1b =- ，可得()24,3a b +=- ，()31,2a b -=-，所以()()()()23413210a b a b +⋅-=⨯-+-⨯=-.2.A 【详解】由题意得()2cos 2sin 42f x x x x ==，所以()()()4sin 422f x x x f x -=-=-=-，故()f x 为奇函数，周期242T ππ==.3.C 【详解】因为OA == OB = ，()21212OA AB OA OB OA OA OB OA ⋅=⋅-=⋅-=-=- .4.D 【详解】∵物体处于平衡状态，∴1230F F F ++=，即()312F F F =-+ ，∴312F F F =+===5.D 【详解】因为sin cos a B A =，则sin sin cos A B B A =，因为(),0,A B π∈，则sin 0B >，所以tan A =，则3A π=，又因为sin 2sin cos C A B =，A B C π++=，则()sin 2sin cos A B A B +=，则sin cos cos sin 2sin cos A B A B A B +=，即sin cos cos sin 0A B A B -=，即()sin 0A B -=，又因为(),0,A B π∈，则A B ππ-<-<，所以3A B π==，即3A B C π===.即ABC △一定是等边三角形，故D 正确.6.A 【详解】2sin102cos10tan102sin102sin1022cos102cos10︒︒+︒⨯︒︒+︒=+︒=︒︒()2sin 30102sin 202cos102cos10︒+︒-︒︒+︒==︒︒()2sin 30cos10cos30sin102cos10︒+︒︒-︒︒=︒cos10cos1012cos102cos102︒+︒︒︒===︒︒7.B 【详解】ABC △中，D 是AB 的中点，E 是CD 的中点，则()1111113122222244AE AC AD AC AB AC AC CB CA CB ⎛⎫⎛⎫=+=+=++=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以34λ=-，14μ=，所以12λμ+=-.8.D 【详解】设AE x =，[]0,1x ∈，()DE DC DA AE DC DA DC AE DC⋅=+⋅=⋅+⋅113cos cos0,222DA DC ADC AE DC x ⎡⎤=⋅∠+︒=+∈⎢⎥⎣⎦ ，∴DE DC ⋅ 的最大值为32.故选：D.9.BD 【详解】对于A ，当0b =时，不一定成立，A 错误；对于B ，两个非零向量a ，b ，当向量a ，b 垂直可得0a b ⋅= ，反之0a b ⋅= 也一定有向量a ，b垂直，∴B 正确；对于C ，若向量AB CD = ，AB 与CD方向和大小都相同，但A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上，∴C 错误；对于D ，由向量共线定理可得向量()0a a ≠ 与向量b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b a λ=，∴D 正确.10.ABD 【详解】A ：当0x =时，()02tan 24OC f π===，又2ABC S π=△，所以112222ABCS AB OC AB π==⨯=△，得2AB π=，即函数()f x 的最小正周期为2π，由T πω=得2ω=，故A 不正确；B ：由选项A 可知()2tan 24f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，令242k x ππ+=，k Z ∈，解得48k x ππ=-，k Z ∈，即函数()f x 的对称中心为,048k ππ⎛⎫-⎪⎝⎭，k Z ∈，故B 错误；C ：由32242k x k πππππ+<+<+，k Z ∈，得58282k k x ππππ+<<+，k Z ∈，故C 正确；D ：将函数()f x 图象向右平移8π个长度单位，得函数2tan 2y x =的图象，故D 不正确.11.BC 【详解】对于AB ，由题可知小球运动的周期2s T =，又0ω>，所以22πω=，解得ωπ=，当0s t =时，sin A A ϕ=，又(]0,ϕπ∈，所以2πϕ=，故A 错误，B 正确；对于CD ，则sin cos 2h A t A t πππ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以 3.75s t =与10s t =时的相对于平衡位置的高度之比为()()15cos coscos 3.75244cos 10cos10cos 02A A πππππ⎛⎫- ⎪⨯⎝⎭===⨯，故C 正确D 错误.故选：BC.12.0【详解】由题意，根据正六边形的性质()222AF ED EF AB AF ED EF AB AF DF AB-++=--+=++ 22220AF CA AB CF AB BA AB =++=+=+= .故答案为：0.13.(1,-【详解】由题意知()a b a +⊥ ，故()0a b a +⋅= ，所以20a a b +⋅=，而(a =，则a ==23a b a ⋅=-=- ，则b 在a方向上的投影向量为(1,a a aab ⋅⋅==- ，即b在a方向上的投影向量的坐标为(1,-，故答案为：(1,-.14.6【详解】∵2cos 2b A c a =-，∴222222b c a b c a bc+-⋅=-，∴22222b c a c ac +-=-，∴222a cb ac+-=∴2221cos 22a cb B ac +-==∵0B π<<，∴3B π=，∵1sin 24ABC S ac B ac ===△∴4ac =，∵4a c +=，∴2a c ==，又3B π=，∴ABC △是边长为2的等边三角形，∴ABC △的周长为6.15.【详解】（1）22222211cos sin 1tan 34cos 21cos sin 1tan 514ααααααα---====+++；（2）由1tan 2α=，得22tan 14tan 211tan 314ααα===--，因为α，β为锐角，所以,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0,αβπ+∈，又因()5cos 13αβ+=，所以0,2παβ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以()12sin 13αβ+==，所以()()()sin 12tan cos 5αβαβαβ++==+，则()()()()412tan 2tan 1635tan tan 24121tan 2tan 63135ααβαβααβααβ--+-=-+==-⎡⎤⎣⎦+++⨯.16.【详解】（1）2a b -====（2）因为()2222168412a ba ab b +=+⋅+=-+=，所以a b += ，又()216412a a b a a b ⋅+=+⋅=-=，所以()3cos ,2a a b a a b a a b⋅++===+ ，又[],0,a a b π+∈ 所以a 与a b + 的夹角为6π；（3）因为向量2a b λ- 与3a b λ-平行，所以存在实数k 使()233a b k a b ka kb λλλ-=-=- ，所以23kkλλ=⎧⎨-=-⎩，解得λ=17.【详解】（1）解：连接BD ，在BCD △中，3BC =，2CD =，60DCB ∠=︒得：22212cos 9423272BD CD BC CD BC DCB =+-⨯⨯∠=+-⨯⨯⨯=∴BD =（2）在ABD △中，由DAB θ∠=，1AB =，2DA =，7BD =2221471cos 22122AB DA BD AB DA θ+-+-===-⨯⨯⨯，∴120θ=，四边形ABCD 的面积：11sin sin 22BCD ABC S S S BC CD BCD AB AD θ=+=⨯⨯⨯∠+⨯⨯⨯△△∴13133212232222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.18.【详解】（1）依题意，40A =，50h =，3T =，则23πω=，所以()240sin 503f t t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭，由()010f =可得，40sin 5010ϕ+=，sin 1ϕ=-，因为ϕπ<，所以2πϕ=-.故在时刻t 时点P 距离地面的离度()()240sin 50032f t t t ππ⎛⎫=-+≥⎪⎝⎭.因此()2202340sin 2023507032f ππ⎛⎫=⨯-+=⎪⎝⎭，故2023min 时点P 距离地面的高度为70m.（2）由（1）知()2240sin 505040cos 323f t t t πππ⎛⎫⎛⎫=-+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中0t ≥.依题意，令()503f t ≥+240cos 33t π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭23cos 32t π⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，解得52722636k t k πππππ+≤≤+，k ∈Z .则573344k t k +≤≤+，k ∈Z .由75330.544k k ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知转一圈中有0.5min 时间可以看到公园全貌.19.【详解】（1）因为12,2m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()00,OP x y =，因为点()00,P x y 为sin y x =的图象上的动点，所以00sin y x =，0000112,2,sin 22m OP x y x x ⎛⎫⎛⎫⊗== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；因为OQ m OP n =⊗+ ，所以()000011,2,sin ,02,sin 2332x y x x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以00231sin 2x x y x π⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0032sin 2x x x y π⎧-⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以()11sin 226y f x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，它的周期为4T π=；（2）由（1）知()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，52,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，当262x ππ-=时，3x π=所以()1sin 226g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，其函数图象如下图所示：由图可知，当12t=或1144t-≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎣⎦内只有一个零点，当1142t≤<时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个零点，当14t<-或12t>时，函数()h x在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦内没有零点.。
高一上学期第一次月考数学试卷(附答案解析)
高一上学期第一次月考数学试卷(附答案解析)考试时间：120分钟；满分：150分学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I卷（选择题）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知全集U={0,1,2,3}，集合A={0,1,3}，B={0,2,3}，则∁U(A∩B)=( )A. {0,1}B. {1,2}C. {0,2}D. {0,3}2. 下列结论正确的是( )A. 若ac>bc，则a>bB. 若a2>b2，则a>bC. 若a>b，c<0，则ac<bcD. 若√a<√b，则a>b3. 已知命题p：∀x>0，x2≥2，则它的否定为( )A. ∀x>0，x2<2B. ∀x≤0，x2<2C. ∃x≤0，x2<2D. ∃x>0，x2<24. 已知a>0且a≠1，则“log a(a−b)>1”是“(a−1)−b<0“成立的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若S是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S中元素个数是( )A. 4B. 5C. 6D. 76. 若函数f(x)=ax2−4x+c的值域为[1,+∞)，则1c−1+9a的最小值为( )A. 1B. 2C. 3D. 47. 设集合A={x|1<x<2}，B={x|x>a}，若A∩B=A，则a的范围是( )A. a≥2B. a≤1C. a≥1D. a≤28. 若不等式2kx2+kx−38<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为( )A. −3<k<0B. −3≤k<0C. −3≤k≤0D. −3<k≤0二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。
福建省高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
高一数学试题时长： 120 分钟，满分： 150 分． 注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号镇写在本试卷和答题卡上．2．回答选择题时， 选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分， 共40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合要求的．1. 已知集合，，则（ ）35A x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭{}21B x Z x =∈≤A B = A. B. C.D.{}1{}0,1{}1,0,1-3,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】求出集合，然后进行交集的运算即可． B 【详解】，3{|},{|11}{1,0,1}5A x xB x Z x =-=∈-=-………，．{0A B ∴= 1}故选：．B 2. 已知，向量与的夹角为，则（ ）1a b ==r r a b60︒34a b -= A. 5B.C. D.【答案】D 【解析】【分析】由已知先求出，然后根据.a b ⋅ 34a b -=【详解】∵，向量与的夹角为1a b ==r r a b 60︒∴1cos 602a b a b ⋅=︒=∴34a b -=== 故选：D .3. 已知幂函数在上为单调减函数，则实数m 的值为（ ）．()()23mf x m x-=-()0,∞+A.B.C.D. 22±2-【答案】D 【解析】【分析】结合幂函数的定义、单调性求得正确答案. 【详解】是幂函数，所以， ()f x 231,2m m -==±当时，，在上递减，符合题意. 2m =()221f x xx-==()0,∞+当时，，在上递增，不符合题意.2m =-()2f x x =()0,∞+综上所述，的值为，D 选项正确. m 2故选：D4. 若关于x 的不等式成立的充分条件是，则实数a 的取值范围是（ ） 1x a -<04x <<A. (－∞，1] B. (－∞，1) C. (3，＋∞) D. [3，＋∞)【答案】D 【解析】【分析】根据充分条件列不等式，由此求得的取值范围. a 【详解】成立的充分条件是，则，1x a -<04x <<0a >，所以. 111x a a x a -<⇒-<<+10314a a a -≤⎧⇒≥⎨+≥⎩故选：D5. 在中，，，则的面积等于（ ）ABC A c =1b =30B ∠=︒ABC AA.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】先用余弦定理求出或2，进而利用三角形面积公式求出答案.1a =【详解】由余弦定理得：或2，经检验，均符合要222cos 2a c b B ac +-===1a =求.当时，； 1a =11sin 22ABC S ac B ===A当时，2a =11sin 22ABC S ac B ===A 故选：D6. 函数的最小值为（ ）()2g x x =A. B.C. D. 178-2-198-94-【答案】A 【解析】【分析】设，将原函数式转化为关于的二次函数的形式，再利用二次函数的值域求出原0)t t =≥t 函数的值域即可【详解】解：设，则则0)t t =≥22()()2(1)22,f x g t t t t t ==--=--函数在上单调递减，在上单调递增，2()22g t t t =--1(0,41(,)4+∞，故选A ．min 117()()48f xg ∴==-【点睛】本题主要考查了利用换元法求函数的值域，解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法，属于基础题7. 已知函数（，且）的图象过定点，为坐标原点，射线是角的终边，22x y a -=-0a >1a ≠P O OP θ则的值为（ ）sin 2cos 2sin cos θθθθ-+A. B.C. D. 54-3434-32-【答案】C 【解析】【分析】先由题意，确定点的坐标，再由三角函数的定义求出，利用同角三角函数基本关系进行P tan θ弦化切，即可求出结果.【详解】根据题意，定点的坐标为，结合三角函数的定义得到， P ()2,11tan 2θ=又.sin 2cos tan 232sin cos 2tan 14θθθθθθ--==-++故选：C.8. 如图，是圆O 的直径，C 、D 是圆O 上的点，，则AB 60,45CBA ABD CD xOA yBC ∠=︒∠=︒=+ ，的值为（ ）x y +A.B.C.D.13-23【答案】A 【解析】【分析】建立平面直角坐标系，利用题意写出相关点的坐标，利用向量相等得到关于、的方程组，进x y 而求出的值.x y +【详解】以为原点，轴，O OB x 过点且垂直的直线为轴建立平面直角坐标系，O AB y不妨设圆的半径为1，因为，， O 60CBA ∠=︒45ABD ∠=︒则，，，，(1,0)A -(1,0)B (0,1)D 1(,2C -所以，， 1,12CD ⎛=-+⎝ 1,2BC ⎛=- ⎝ 又因为，CD xOA yBC =+所以，11(,1(1,0)(,22x y -+=-+-即，11221x y y ⎧-=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得，x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以. x y +=故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列函数在定义域上既是奇函数又是增函数的是（ ） A.B. C. D.y =2y x=3y x =1e e xxy =-【答案】CD 【解析】【分析】A 选项从定义域判断不是奇函数；B 选项根据反比例函数图象与性质知其在各自区间范围内为减函数；C 选项从幂函数图象可知满足题意；D 选项用定义可证为奇函数，又因为增函数减去减函数为增函数，故D正确. 【详解】对A ，定义域为，不关于原点对称，故不是奇函数，A 选项错误；y =[)0,∞+对B ，的定义域为，而此函数的在各自区间范围内为减函数，故B 选项错误； 2y x=()(),00,∞-+∞U 对C ，在定义域上既是奇函数又是增函数，C 选项正确. 3y x =对D ，设，其定义域为，， 1()e exx f x =-R 11()e e ()e e xx x x f x f x --⎛⎫-=-=--=- ⎪⎝⎭故为奇函数，又为增函数，为减函数， 1()e e xx f x =-1=e xy 21e x y =故在定义域内为增函数，故D 选项正确. 1()e exx f x =-故选：CD.10. 关于函数，下列叙述正确的是（ ）π()2sin 214f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭A. 其图像关于直线对称 π4x =B. 其图像可由图像上所有点的横坐标变为原来的得到 π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12C. 其图像关于点对称 3π,08⎛⎫⎪⎝⎭D. 其值域是 []1,3-【答案】BD 【解析】【分析】根据正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A ，因为， π3π2sin 1144f ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭所以直线不是函数图象的对称轴，故A 错误； π4x =对于B ，函数的图象上所有点的横坐标变为原来的， π2sin 14y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭12可得，故B 正确； π2sin 214y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭对于C ，因为， 3π2sin π118f ⎛⎫=+=⎪⎝⎭所以函数的图象关于点对称，故C 错误； ()f x 3π,18⎛⎫⎪⎝⎭对于D ，因为， []πsin 21,14x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭所以，故D 正确. []π()2sin 211,34f x x ⎛⎫=++∈- ⎪⎝⎭故选：BD.11. 在中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，R 为外接圆的半径，的面积记为ABC A ABC A ABC A ABCS A，则下列命题正确的是（ ） A. 的充要条件是sin sin A B <A B <B. 若，则是直角三角形 cos cos a B b A c -=ABC A C. 若，，，则 3b =60A =︒ABC S =A R =D. 不存在，满足，，同时成立 ABC A 5a =10b =π4A =【答案】ABD 【解析】【分析】根据正弦定理边角互化即可判断A,B,根据三角形面积公式可求，进而由余弦定理可求，最4c =a 后由正弦定理可求外接圆半径，假设存在，根据正弦定理得到矛盾可求D.【详解】在中，由正弦定理可得：，故A 正确.ABC A sin sin A B a b A B <⇔<⇔<或者cos cos sin cos sin cos sin sin()sin a B b A c A B B A C A B C A B C -=⇒-=⇒-=⇒-=（不符合内角和，故舍去），因此,又 πA B C -+=A B C =+π,A B C ++=，故B 正确. π=2A ∴由，由余弦定理可得：11sin 3422ABC S bc A c ==⨯⇒=A, a ===因此故C 错误. 112sin 2a R A ===若存在，满足，，同时成立，则矛盾，故ABC A 5a =10b =π4A =sin sin 1b A B a ===>不存在，满足，，同时成立，故D 正确. ABC A 5a =10b =π4A =故选:ABD12. 已知函数，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩（ ）A. x 1＋x 2＝－1B. x 3x 4＝1C. 1<x 4<2D. 0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正122x x +=-341x x =341122x x <<<<确选项.【详解】由函数解析式可得图象如下：()f x∴由图知：，，而当时，有，即或2， 122x x +=-121x -<<-1y =2|log |1x =12x =∴，而知：， 341122x x <<<<34()()f x f x =2324|log ||log |x x =2324log log 0x x +=∴，.341x x =21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈故选：BCD【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的1234,,,x x x x 范围及关系.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知向量，，若，则_______.(2,3)a = (,4)b λ= //a bλ=【答案】## 83223【解析】【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可 【详解】由题意，，解得 2430λ⨯-=83λ=故答案为：8314. 函数的单调递减区间是____________.2log (1)(2)y x x =--【答案】 3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】根据复合函数的单调性原则即可由的单调性进行求解. 2(1)(2),log u x x y u =--=【详解】令，解得，()()120x x -->12x <<则的定义域为， 2log (1)(2)y x x =--()12，记，由于的对称轴为， 2(1)(2),log u x x y u =--=(1)(2)u x x =--32x =故其在上单调递减，而在定义域内单调递增，3,22⎛⎫⎪⎝⎭2log y u =由复合函数单调性的原则可知：在单调递减， 2log (1)(2)y x x =--3,22⎛⎫⎪⎝⎭故答案为：. 3,22⎛⎫⎪⎝⎭15. 若＝2，则tan ＝____________.21sin cos cos cos 2αααα+-π24α⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】 717-【解析】【分析】根据弦切互化可得，由正切的二倍角公式可得，进而利用正切的和角公式2tan 3α=12tan 2=5α即可代入求值.【详解】，解得2222221sin cos cos sin cos sin tan tan tan ==2cos 2cos sin 1tan 1tan αααααααααααααα+-++==---2tan 3α=，所以，故 22tan 12tan 2=1tan 5ααα=-12π1tantan 2π754tan 2π124171tan tan 2145ααα--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭+⋅+故答案为： 717-16. 某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等，若一月至十月份销售总额至少至少达7000万元，则，x 的最小值_______ 【答案】20 【解析】【详解】把一月份至十月份的销售额相加求和,列出不等式,求解. 七月份:500(1+x%),八月份:500(1+x%)2. 所以一月份至十月份的销售总额为:3860+500+2[500(1+x%)+500(1+x%)2]≥7000,解得1+x%≤-2.2(舍)或1+x%≥1.2, 所以x min =20.四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17. 设向量满足，分别求满足下列条件的的值.,a b()()1,3,2,a b x =-=- x （1）.()2a b a -⊥ （2）向量的夹角为；,a b 4π【答案】（1）1x =（2） 1x =【解析】【分析】（1）计算出的坐标，根据向量垂直即数量积为0求解未知数.2a b -r r （2）根据平面向量数量积的几何意义，列出向量夹角余弦值的表达式求解即可. 【小问1详解】，()()()21,322,3,32a b x x -=---=-因为，所以，()2a b a -⊥ ()133320x -⨯+-=解得. 1x =【小问2详解】因为，()()1,3,2,a b x =-=-所以cos 4a b a b π⋅===⋅则2230,1,2x +>⎧⎪⎨=⎪⎩解得.1x =18. 设全集为，集合或. U =R {}22150,{5A x x x B x x =--≤=≤-∣∣3}x≥（1）求图中阴影部分表示的集合；（2）已知集合，若，求的取值范围. {1021}C x a x a =-<<+∣()U B C =∅ ða 【答案】（1）(){33}U A B xx ⋂=-≤<∣ð（2）(],7-∞【解析】 【分析】（1）图中阴影部分表示，根据交集、补集的定义计算可得；()U A B ∩ð（2）依题意分与两种情况讨论，列出不等式求解即可.C =∅C ≠∅【小问1详解】 因为， {}{}2215035A x x x x x =--≤=≤≤∣∣或，则， {5B x x =≤-∣3}x ≥{}53U B xx =-<<∣ð所以图中阴影部分表示. (){33}U A B xx ⋂=-≤<∣ð【小问2详解】 ，，且，{1021}C x a x a =-<<+∣{}53U B x x =-<<∣ð()U B C =∅ ð当时，则，解得，符合题意；C =∅1021a a -≥+3a ≤当时，则或解得. C ≠∅1021,215,a a a -<+⎧⎨+≤-⎩1021,103,a a a -<+⎧⎨-≥⎩37a <≤综上，的取值范围为.a (],7-∞19. （1）若正实数满足，求的最小值.,x y 26x y xy ++=xy （2）求函数的最小值. 2710(1)1x x y x x ++=>-+【答案】（1）18 （2）min 9y =【解析】【分析】（1）将看成整体，对直接利用基本不等式求得答案；xy 26x y xy ++=（2）设，将函数转化为，再利用基本不等式求得最小值. 1x t +=(0)t >45y t t=++【详解】（1），当且仅当等号成立266xy x y =+++…3,6x y ==令，可得.又，解得，故的最小值为18.2xy t =260t --…0t > t …xy （2）设，则，1x t +=1(0)x t t =-> 2(1)7(1)10t t y t-+-+∴=. 4559t t =++=…当且仅当，即，且此时时，取等号，. 4t t=2t =1x =min 9y ∴=【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意验证等号成立的条件.20. 在中，角所对的边分别为，向量，，且． ABC A ,,A B C ,,a b c ()2,2m c b a =+ ()cos ,1n B =r //m n （1）求角；A（2）若，的面积为为边的中点，求的长度．4c =ABC A D BC AD 【答案】（1） 23A π=（2）AD =【解析】【分析】（1）由向量平行坐标表示可得，利用正弦定理边化角、两角和差正弦公式可化22cos c b a B +=简求得，由此可得；cos A A （2）由三角形面积公式可构造方程求得；利用余弦定理可求得，进而得到；在中，利b a cos B ABD △用余弦定理可求得.AD 【小问1详解】 ，，由正弦定理得：，//m n 22cos c b a B ∴+=2sin sin 2sin cos C B A B +=又，()()sin sin sin C A B A B π=-+=+⎡⎤⎣⎦，()2sin sin 2sin cos 2cos sin sin 2sin cos A B B A B A B B A B ∴++=++=，sin 2cos sin B A B ∴=-，，，又，. ()0,B π∈ sin 0B ∴≠1cos 2A ∴=-()0,A π∈23A π∴=【小问2详解】，； 12sin 2sin 23ABC S bc A b π====A 2b ∴=由余弦定理得：，， 22222cos 2016cos 283a b c bc A π=+-=-=a ∴=； 222cos 2a c b B ac +-∴===在中，由余弦定理得：， ABD △2222cos 23322a a AD c c B B ⎛⎫=+-⋅=-= ⎪⎝⎭解得：.AD =21. 设向量，，，函数，将函数()2sin a x x ωω= (cos ,1)b x ω= (0)>ω()f x a b =⋅ ()f x 的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，已知的最小正周期为.12π()g x ()g x π（1）求取得最大值时，的取值集合；()f x x （2）令函数，对任意实数，恒有，求实数的取()()2sin 3h x g x x m =++-2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()0h x ≥m 值范围.【答案】（1）；（2）. ,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z [)4,+∞【解析】【分析】（1）先根据三角恒等变换的公式化简，然后根据图象平移求解出的解析式，最后采()f x ()g x 用整体替换的方法求解出取最大值时的取值集合；()f x x（2）根据已知条件将问题转化为“对恒成立”，由此采用换元法求24sin sin 1m x x ≥-+2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦解出，则结果可求.()2max 4sin sin 1x x -+【详解】解：（1）根据已知得到，21()sin cos sin 22cos 226f x a b x x x x x x πωωωωωω⎛⎫=⋅-=+=+=- ⎪⎝⎭ 将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象. ()f x 12π()g x 则， ()cos 2cos 212666g x x x ππωππωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦由的最小正周期为，得，. ()g x π22ππω=1ω=由，得，.22()6x k k ππ-=∈Z 12x k ππ=+k ∈Z 故当取最大值时，的取值集合为. ()f x x ,12x x k k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z （2）由（1）得， ()cos 2g x x =所以. ()()()22sin 2cos 2sin 3212sin sin 3h x g x x m x x m x x m =++-=++-=-++-根据对任意恒成立，可得对任意恒成立. ()0h x ≥2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦24sin sin 1m x x ≥-+2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令，， sin t x =()22115414816r t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭因为，所以， 2,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦易得当时，函数取得最大值，1t =()r t 4所以，故实数的取值范围为.4m ≥m [)4,+∞22. 已知是定义在上的奇函数，其中，且. ()24x a f x x b-=+R ,a b ∈R ()21f =（1）求的值；,a b（2）判断在上的单调性，并用单调性的定义证明；()f x [)2,+∞（3）设，若对任意的，总存在，使得成()222g x mx x m =-+-[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =立，求非负实数的取值范围.m 【答案】（1），0a =4b =（2）在上单调递减，证明见解析()f x [)2,+∞（3）[]0,1【解析】【分析】（1）利用奇函数的性质，结合，求得到的值，检验即可；(0)0f =()21f =,a b （2）利用函数单调性的定义判断并证明即可；（3）记在区间内的值域为，在区间内的值域为，将问题转化为时求()f x []2,4A ()g x []0,1B A B ⊆非负实数的取值范围，利用单调性求出的值域，分，，和四种情况m ()f x 0m =01m <≤12m <≤m>2讨论，结合单调性求出的值域，即可得到答案．()g x 【小问1详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得，()f x R ()00f a =-=0a =又因为，所以，解得， ()21f =()21f ==4b =所以，，则为奇函数， ()244x f x x =+()()244x f x f x x --==-+()f x 所以，.0a =4b =【小问2详解】在上单调递减.()f x [)2,+∞证明如下：设，则， 122x x ≤<()()()()()()1212121222221212164444444x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++因为，则，所以，122x x ≤<12120,1604x x x x --<<()()12f x f x >所以在上单调递减.()f x [)2,+∞【小问3详解】由（2）可知在上单调递减，所以， ()f x []2,4()()max min 4()21,()45f x f f x f ====记在区间内的值域为.()f x []2,44,15A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当时，在上单调递减， 0m =()22g x x =-+[]0,1则，得在区间内的值域为. ()()max min ()02,()10g x g g x g ====()g x []0,1[]0,1B =因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =当时，在上单调递减， 01m <≤()11,g x m≥[]0,1则，得在区间内的值域为， ()()max min ()02,()10g x g m g x g ==-==()g x []0,1[]0,2B m =-因为，所以对任意的，总存在，使得成立. A B ⊆[]12,4x ∈[]20,1x ∈()()12f x g x =当时，在上单调递减，在上单调递增， 12m <≤()111,2g x m ≤<10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()max min 11()02,()2g x g m g x g m m m ⎛⎫==-==-+- ⎪⎝⎭()g x []0,1，所以无解， 12,2B m m m ⎡⎤=-+--⎢⎥⎣⎦142,521,m m m ⎧-+-≤⎪-≥⎩当时，在上单调递减，在上单调递增， m>2()110,2g x m <<10,m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦1,1m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦则，得在区间内的值域为()max min 11()10,()2g x g g x g m m m ⎛⎫====-+-⎪⎝⎭()g x []0,1，不符合题意. 12,0B m m ⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦综上，非负实数的取值范围为.m []0,1。