人教版数学八年级下册《平行四边形》单元测试题

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《平行四边形》单元测试卷
班级姓名成绩
一、选择题（每题3分，共30分）

1、 ①两组对边分别平行②两组对边分别相等③有一组对边平行且相等④对角线相等。

以上四个条件中可以判定四边形是平行四边形的有（）。
（A） 1个（B） 2个（C） 3个（D） 4个
2、菱形具有而矩形不具有的性质是（）
（A）对角线互相平分（B）四条边都相等（C）对角相等（D）邻角互补
3、如右图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠C=60°，
BD平分∠ABC．则∠ABD的度数是（）．
（A）40° （B）50° （C）60° （D）30°
4、顺次连结对角线相等．．．．．的四边形各边中点所得的四边形必定是（）

（A）菱形（B）矩形（C）正方形（D）等腰梯形
5、如图，AD∥BC，若△ABC面积是15，则△DBC的面积是（）
（A）12 （B）13 （C）14 （D）15
6、能够判定一个四边形是矩形的条件是（）。
（A）对角线互相平分且相等（B）对角线互相垂直平分
（C）对角线相等且互相垂直（D）对角线互相垂直
7、如图，菱形ABCD中对角线相交于点O，且OE⊥AB
若AC=8，BD=6，则OE的长是（）
（A）2.5 （B）5 （C） 2.4 （D）不清楚
8．平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O（如图），则图中全等三角形的对数
为（）

A．2 B．3 C．4 D．5
9．下面平行四边形不具有的性质是（）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．对角线相等 D．相邻两角互补
2

10．将两块能完全重合的两张等腰直角三角形纸片拼成下列图形：①平行四边
形（不包括菱形、矩形、正方形）②矩形③正方形④等边三角形⑤等腰直角三
角形 ( )
A．①③⑤ B．②③⑤ C．①②③ D．①③④⑤

二、填空题（每题4分，共24分）
14、平行四边形ABCD中，∠A=50°，AB=30cm，则∠B=__ __，DC=__ __
15、菱形的两条对角线分别长10cm，24cm，则菱形的边长为__ ___ cm，面积为__ ____ cm2．
16、在□ABCD 中，
（1）若添加一个条件_____ __，则四边形ABCD是矩形；
（2）若添加一个条件，则四边形ABCD是菱形．

17、在Rt△ABC中，∠ACB=90°，若CA=8，BC=6，点D、E分别
是AC、AB的中点。则DE= ， CE=

18、在平面直角坐标系中，四边形AOBC是菱形。若点A的坐标
是（3 , 4），则菱形的周长为，点C的坐标是

19．如图，在□ABCD中，已知∠ADO=90°，OA=6cm，OB=3cm，
AD= ;AC= .
三、解答题。
24、（12分）如图，在□ABCD中，E、F为对角线BD上的两点，且∠DAE=∠BCF．
（1）求证：AE=CF．（2）求证：AE∥CF
3

25、（10分）如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点O。若 AO=3，
∠OBC=30°，求矩形的周长和面积。

26、（10分）已知Rt△ABC中，∠ACB=90°, CD平分∠ACB，
且DE⊥AC，DF⊥BC。求证：四边形DECF是正方形。
4

27、(14分) 如图，点D、E、F分别是△ABC各边中点。
（1）求证：四边形ADEF是平行四边形。
（2）若AB=AC=10，BC=12，求四边形ADEF的周长和面积。

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新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试卷(答案解析)

一、选择题1．如图，ABC 中，//DE BC ，//EF AB ，要判定四边形DBFE 是菱形，可添加的条件是（）A ．BD EF =B ．AD BD =C ．BE AC ⊥D ．BE 平分ABC ∠ 2．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分,6,2ADC AD BE ∠==，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．18C ．20D ．243．如图，已知正方形ABCD 的边长为4，点Р是对角线BD 上一动点（不与D ，B 重合），PF CD ⊥于点F ，PE BC ⊥于点E ，连接AP ，EF ．则下列结论错误的是（）A ．2PD EC =B ．AP EF =，且AP EF ⊥C ．四边形PECF 的周长是8D ．12BD EF AB ≤< 4．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（）A ．矩形B ．平行四边形C ．菱形D ．正方形 5．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，顺次连接ABCD 各边中点得到一个新的四边形，如果添加下列四个条件中的一个条件：①AC BD ⊥；②ΔΔABO CBO C C =；③DAO CBO ∠=∠；④DAO BAO ∠=∠，可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，在正方形 ABCD 内有一个四边形AECF ，AE EF ⊥， CF EF ⊥且8AE CF ==，12EF =，则图中阴影分的面积为（）A ．100B ．104C ．152D ．3047．矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，连接AG ，取AG 的中点H ，连接EH ．若4AB CF ==，2BC CE ==，则EH =（）A ．2B ．2C ．3D ．58．如图，在平行四边形ABCD 中，DE 平分ADC ∠，6AD =，2BE =，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．16B ．14C ．20D ．249．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．102D ．32210．如图所示，已知Rt ABC 中，90B ︒∠=，3AB =，4BC =，D F 、分别为AB AC 、的中点，E 是BC 上动点，则DEF 周长的最小值为（）A ．240+B ．213+C ．13D ．611．如图，菱形ABCD 中，4AB =，60A ∠=︒，点E 是线段AB 上一点（不与A ，B 重合），作EDF ∠交BC 于点F ，且60EDF ∠=︒，则BEF 周长的最小值是（）A ．6B ．43C ．43+D ．423+ 12．如图，在矩形纸片ABCD 中，BC a =，将矩形纸片翻折，使点C 恰好落在对角线交点O 处，折痕为BE ，点E 在边CD 上，则CE 的长为（）A ．12aB ．25aC 3D 3二、填空题13．如图，Rt ABC △中，90,5∠=︒=B AB ，D 为AC 的中点， 6.5=BD ，则BC 的长为__________．14．在正方形ABCD 中，点E 在对角线BD 上，点P 在正方形的边上，若∠AEB=105°，AE=EP ，则∠AEP 的度数为_________．15．如图，在长方形纸片ABCD 中，12AB =，5BC =，点E 在AB 上，将DAE △沿DE 折叠，使点A 落在对角线BD 上的点A '处，则AE 的长为______．16．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．17．如图在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，若30,2ACB AB ︒∠==，则BD 的长为_______．18．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC 和AB 上，BE=2，AF=2，BF=4，将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，当点H 落在CD 边上时，F ，H 两点之间的距离为______．19．如图，正方形ABCD 的顶点B 在直线l 上，作AE l ⊥于E ，连结CE ，若4BE =，3AE =，则BCE 的面积________．20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．参考答案三、解答题21．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．22．已知：如图，在四边形ABCD 中，点G 在边BC 的延长线上，CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠，//EF BC 交CD 于点O ．（1）求证：OE OF =；（2）若点O 为CD 的中点，求证：四边形DECF 是矩形．23．如图，在▱ABCD 中，AB =12cm ，BC =6cm ，∠A =60°，点P 沿AB 边从点A 开始以2cm/秒的速度向点B 移动，同时点Q 沿DA 边从点D 开始以1cm/秒的速度向点A 移动，用t 表示移动的时间（0≤t ≤6）．（1）当t 为何值时，△PAQ 是等边三角形？（2）当t 为何值时，△PAQ 为直角三角形？24．已知点()0,6B ，点C 为x 轴正半轴上一动点，连接BC ，分别以OC 和BC 为边长作等边ODC △和EBC ，连接DE ．（1）如图（a ），当D 点在OBC 内部时，求证：BO DE =；（2）如图（b ），当D 点在OBC 外部时，上述结论是否还成立？请说明理由．（3）当D 点恰好落在EBC 的边上时，利用图（c ）探究分析后，直接写出ODC △的高的长度为______．25．如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，点F 在边BC 的延长线上，且90EDF ∠=︒．求证：DE DF =．26．已知：如图，在ABCD 中，延长DC 至点E ，使得DC CE =，连接AE ，交边BC 于点F ．连接AC ，BE ．（1）求证：四边形ABEC 是平行四边形．（2）若2AFC D ∠=∠，求证：四边形ABEC 是矩形．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，可知先证明四边形BDEF 是平行四边形，再证明BD=DE 即可解决问题．【详解】解：当BE 平分∠ABC 时，四边形DBFE 是菱形，理由：∵DE ∥BC ，∴∠DEB=∠EBC ，∵∠EBC=∠EBD ，∴∠EBD=∠DEB ，∴BD=DE ，∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，∴四边形DBFE 是平行四边形，∵BD=DE ，∴四边形DBFE 是菱形．其余选项均无法判断四边形DBFE 是菱形，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的判定、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．2．C解析：C【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED ，再根据等角对等边的性质可得CE=CD ，然后利用平行四边形对边相等求出CD 、BC 的长度，再求出▱ABCD 的周长．【详解】解：∵DE 平分∠ADC ，∴∠ADE=∠CDE ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，BC=AD=6，AB=CD ，∴∠ADE=∠CED ，∴∠CDE=∠CED ，∴CE=CD ，∵AD=6，BE=2，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴▱ABCD 的周长=6+6+4+4=20．故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形对边平行，对边相等的性质，角平分线的定义，等角对等边的性质，熟练掌握平行四边形的性质，证明CE=CD 是解题的关键．3．A解析：A【分析】由三个直角的四边形是矩形，由此判断四边形PECF 是矩形，得到EC PF =，再结合正方形的性质，解得PD =，由此判断A ；过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，由角平分线的性质得到PN PE =，继而结合勾股定理证明AP EF =、证明四边形PEFM 是平行四边形，即可得到EF PM AP ==，设BE x =，结合勾股定理证明222PM A M P A +=，即可判断B ；根据等腰直角三角形的性质计算四边形PECF 的周长即可判断C ；设BE x =，由勾股定理解得EF 的长，再结合04x ≤≤，解得EF 与BD AB 、的数量关系即可判断D ．【详解】解：A. ,PE BC PF CD ⊥⊥90PEC PFC ∴∠=∠=︒90C ∠=︒∴四边形PECF 是矩形EC PF ∴=正方形ABCD 中45PDF ∠=︒PD ∴==故A 错误；B.过点P 作PN AB ⊥垂足为N ，过P 作//PM EF 交DC 于点M ，连接AM ，BD 平分ABC ∠，PN AB ⊥，PE BC ⊥PN PE ∴=222222,AP AN PN EF EC PE =+=+且,AN EC PN PE ==AP EF ∴=//,//PM EF PE CD∴四边形PEFM 是平行四边形EF PM AP ∴==设BE x =，则,42PE FC MF x DM x ====-，4EC PF x ==-22(4)AP EF PM x x ===+-222216(42)AD MD AM x +==+-222AP PM AM +=AP PM ∴⊥AP EF ∴⊥故B 正确；C. BPE 为等腰直角三角形PE BE ∴=4PE PF BE EC BC ∴+=+==故四边形PECF 的周长为2()8PE PF +=，故C 正确；D.设BE x =EF ∴=2222(4)28+16=2(2)4x x x x x +-=--+04x ≤≤42EF ∴≥12EF BD ∴≥ 4EF <EF AB ∴<12BD EF AB ∴≤< 故D 正确，故选：A ．【点睛】本题考查四边形的综合题，涉及勾股定理、矩形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 4．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC ⊥BD ，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，∵E ，F ，G ，H 是菱形各边的中点，∴EF ∥BD ，FG ∥AC ，∴EF ⊥FG ，同理：FG ⊥HG ，GH ⊥EH ，HE ⊥EF ，∴四边形EFGH 是矩形．故选：A ．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．逐一对四个条件进行判断．【详解】解：顺次连接四边形的中点，得到的四边形形状和四边形的对角线位置、数量关系有关，利用三角形中位线性质可得：当对角线垂直时，所得新四边形是矩形．①,AC BD ⊥∴新的四边形成为矩形，符合条件； ②四边形ABCD 是平行四边形，,AO OC BO DO ∴==．ΔΔ,ABO CBO C C AB BC =∴=．根据等腰三角形的性质可知,BO AC BD AC ⊥∴⊥．所以新的四边形成为矩形，符合条件； ③四边形ABCD 是平行四边形，CBO ADO ∠∠∴=．,DAO CBO ADO DAO ∠∠∠∠=∴=．AO OD ∴=．,AC BD ∴=∴四边形ABCD 是矩形，连接各边中点得到的新四边形是菱形，不符合条件；④,DAO BAO BO DO ∠∠==，AO BD ∴⊥，即平行四边形ABCD 的对角线互相垂直，∴新四边形是矩形．符合条件．所以①②④符合条件．故选：C ．【点睛】本题考查特殊四边形的判定与性质，掌握矩形、平行四边形的判定与性质是解题的关键． 6．B解析：B【分析】由题意可证四边形AECF 是平行四边形，可得AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6，由勾股定理可求AO ＝10，可得AC ＝20，由阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF 可求解．【详解】解：连接AC ，∵AE ⊥EF ，CF ⊥EF ，∴AE ∥CF ，且AE ＝CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AO ＝CO ，EO ＝FO ＝12EF ＝6， ∴AO 22AE EO +10，∴AC ＝20， ∴阴影分的面积＝S 正方形ABCD -S ▱AECF ＝20202⨯-8×12＝104，故选：B ．【点睛】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的应用．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用．7．A解析：A【分析】延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ，先计算出RG=6，∠ARG=90︒，AR=2，根据勾股定理求出210AG =，得到HG=10，利用1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅，求出210EN =，即可利用勾股定理求出NG 、EH ．【详解】如图，延长GE 交AB 于点R ，连接AE ，设AG 交DE 于点M ，过点E 作EN ⊥AG 于N ， ∵矩形ABCD 与ECFG 如图放置，点B ，C ，F 共线，点C ，E ，D 共线，∴RG=BF=BC+CF=2+4=6，∠ARG=90︒，AR=AR-CE=4-2=2，∴222222061AG AR RG =+==+，∵H 是AG 中点，∴HG=10，∵1122AEG S EG AR AG EN =⋅⋅=⋅⋅， ∴21204EN ⨯=，∴210EN =，在Rt △ENG 中，22610EG EN NG =-= ， ∴105NH NG HG =-=， ∴222NH EH EN +==，故选：A ．【点睛】此题考查矩形的性质，勾股定理，线段中点的性质，三角形面积法求线段长度，熟记矩形的性质及熟练运用勾股定理是解题的关键．8．C解析：C【分析】根据角平分线的性质以及两直线平行，内错角相等求出∠CDE=∠CED，再根据等角对等边的性质可得CE=CD，然后利用平行四边形对边相等求出CD、BC的长度，再求出平行四边形ABCD的周长．【详解】解：∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠ADE=∠CED，∴∠CDE=∠CED，∴CE=CD，∵在平行四边形ABCD中，AD=6，BE=2，∴AD=BC=6，∴CE=BC-BE=6-2=4，∴CD=AB=4，∴平行四边形ABCD的周长=6+6+4+4=20．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的性质，准确识图并熟练掌握性质是解题的关键．9．C解析：C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE 平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt △CDE 中 EC=22221310DE CD +=+=∵点F 、G 分别为BC 、BE 的中点, ∴FG 是△CBE 的中位线，FG=12CE=102 故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC 的长度是解题的关键. 10．B解析：B【分析】先根据三角形的中位线定理可求得DF 的长为2，然后作出点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ，此时DEF 周长的最小，由轴对称图形的性质可知EF=EF′，从而可得到ED+EF=DF′，再证明四边形DBMF 为矩形，得出FF′=3，然后在Rt △DFF′中，由勾股定理可求得DF′的长度，从而可求得三角形DEF 周长的最小值．【详解】解：如图，作点F 关于BC 的对称点F′，连接DF′交BC 于点E ．此时DE+EF 最小∵点D 、F 分别是AB 和AC 的中点，BC=4，3AB =，∴DF=12BC=2，DF//BC ，BD=1.5， ∵点F 与点F′关于BC 对称，∴EF=EF′，FF′⊥BC ，FM= F′M ， ∴DE+EF 最小值为DE+ EF′=DF′，90DFF ∠'=︒，∵DF//BC ，90B ∠=︒，∴90B BDF FMB ∠=∠=∠=︒，∴四边形DBMF 为矩形，∴BD=FM=1.5，∴FF′=3，在Rt △DFF′中，DF =='∴△DEF 周长的最小值故选：B【点睛】本题主要考查的是轴对称路径最短问题，以及勾股定理，矩形的判定，作出点F 关于BC 的对称点，将DE+EF 转化为DF′的长是解题的关键．11．D解析：D【分析】只要证明DBE DCF ∆≅∆得出DEF ∆是等边三角形，因为BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，所以等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，只要求出DEF ∆的边长最小值即可．【详解】解：连接BD ，菱形ABCD 中，60A ∠=︒，ADB ∴∆与CDB ∆是等边三角形，60DBE C ∴∠=∠=∠︒，BD DC =，60EDF ∠=︒，BDE CDF ∴∠=∠，在BDE ∆和CDF ∆中，DBE C BDE CDF BD CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，DBE DCF ∴∆≅∆，DE DF ∴=，BDE CDF ∠=∠，BE CF =，60EDF BDC ∴∠=∠=︒，DEF ∴∆是等边三角形，BEF ∆的周长4BE BF EF BF CF EF BC EF EF =++=++=+=+，∴等边三角形DEF ∆的边长最小时，BEF ∆的周长最小，当DE AB ⊥时，DE最小=，BEF ∴∆的周长最小值为4+，故选：D ．【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、最小值问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题，学会转化的思想解决问题，所以中考常考题型．12．D解析：D【分析】首先证明△OBC 是等边三角形，在Rt △EBC 中求出CE 即可解决问题；【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OB=OC ，∠BCD=90°，由翻折不变性可知：BC=BO ，∴BC=OB=OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴∠OBC=60°，∴∠EBC=∠EBO=30°，∴BE=2CE根据勾股定理得：33，故选：D ．【点睛】本题考查翻折变换，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明△OBC 是等边三角形．二、填空题13．12【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出再根据勾股定理求解即可【详解】解：∵D 为的中点∴∴故答案是：12【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线熟悉相关性质是解题的关键解析：12．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出AC ，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵90B ∠=︒，D 为AC 的中点， 6.5=BD∴22 6.513AC BD ==⨯=， ∴222212135BC AC AB ===--，故答案是：12．【点睛】考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线，熟悉相关性质是解题的关键．14．60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB 再以E 为圆心EA 为半径作圆与正方形的交点即为满足条件的P 点分类讨论即可【详解】如图所示在正方形ABCD 中∠AEB=105°∵点P 在正解析：60°或90°或150°【分析】首先根据题意作出正方形以及∠AEB ，再以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，分类讨论即可．【详解】如图所示，在正方形ABCD 中，∠AEB=105°，∵点P 在正方形的边上，且AE=EP ，∴可以E 为圆心，EA 为半径作圆，与正方形的交点即为满足条件的P 点，①当P 在AD 上时，如图，AE=EP 1，∵∠EBA=45°，∴∠EAB=180°-45°-105°=30°，∠EAP 1=60°，△EAP 1为等边三角形，∴此时∠AEP 1=60°；②当P 在CD 上时，如图，AE=EP 2，AE=EP 3，由①可知∠DEP 1=180°-105°-60°=15°，∴此时∠DEP 1=∠DEP 2=15°，∠CEP 2=∠AEP 1=60°，∴此时∠AEP 2=60°+15°+15°=90°；∠AEP 3=2∠AED=2×(180°-105°)=150°，故答案为：60°或90°或150°．【点睛】本题考查正方形的性质以及等腰三角形的判定，熟练运用尺规作图的方式进行等腰三角形的确定是解题关键．15．【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长再根据折叠可得AD=A′D=5进而得到A′B 的长再设AE=x 则A′E=xBE=12-x 再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程解出x 的值可得答案【详解】解析：103【分析】首先利用勾股定理计算出BD 的长，再根据折叠可得AD=A′D=5，进而得到A′B 的长，再设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，再在Rt △A′EB 中利用勾股定理得出关于x 的方程，解出x 的值，可得答案．【详解】解：∵AB=12，BC=5，∴AD=5，∴=13，根据折叠可得：AD=A′D=5，∴A′B=13-5=8，设AE=x ，则A′E=x ，BE=12-x ，在Rt △A′EB 中：（12-x ）2=x 2+82，解得：x=103．故答案为：103．【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、折叠的性质等知识点，能根据题意得出关于x 的方程是解此题的关键．16．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P解析：5cm 或245cm 或75cm ．【分析】利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，由勾股定理得，5AB cm ===，如图，①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，∴AB ⊥PC设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4，解得CD=125， ∴P 2C=2CD=2×125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，由勾股定理得，22221293()55BD BC CD =-=-=，过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，则有12×5•P 3E=12×3×4， ∴P 3E=125∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴P 3E//CD ，∴四边形P 3CDE 是平行四边形，又∠CDE=90°∴四边形P 3CDE 是矩形，∴P 3C=DE∵3P AB △≌ABC∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA又∠P 3EA=∠CDB=90°∴△P 3AE ≌△CBD∴AE=BD∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75，综上所述，PC 的长为5cm 或245cm 或75cm ．故答案为：5cm 或245cm 或75cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．17．4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4利用矩形的性质得到BD=AC=4即可【详解】在矩形中∵四边形是矩形故答案为：4【点睛】此题考查矩形的性质直角三角形30度角的性质熟记各性质是解析：4【分析】根据30度所对的直角边等于斜边的一半求出AC=4，利用矩形的性质得到BD=AC=4即可．【详解】在矩形ABCD 中，90ABC ︒∠=，30,2ACB AB ︒∠==，2224AC AB ∴==⨯=，∵四边形ABCD 是矩形，4BD AC ∴==．故答案为：4．【点睛】此题考查矩形的性质，直角三角形30度角的性质，熟记各性质是解题的关键． 18．【分析】根据旋转的可证明△BEF ≌△CHE 作FM ⊥CD 于M 分别求出FMMH 的长利用勾股定理即可求解【详解】∵将△BEF 绕点E 顺时针旋转得到△GEH 点H 落在CD 边上∵BE=2AF=2BF=4∴GH=B解析：【分析】根据旋转的可证明△BEF ≌△CHE ，作FM ⊥CD 于M ，分别求出FM,MH 的长，利用勾股定理即可求解．【详解】∵将△BEF 绕点E 顺时针旋转，得到△GEH ，点H 落在CD 边上，∵BE=2，AF=2，BF=4∴GH=BF=EC=4，=∴在Rt △HEC 中，2=∴BE=CH又∵∠B=∠C=90°，BF=CE=4∴△BEF ≌△CHE作FM ⊥CD 于M ，故四边形AFMD 是矩形，∴DM=AF=2，MH=CM-CH=2，FM=AD=6∴FH=2226210+=故答案为：210．【点睛】此题主要考查正方形的性质与全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知勾股定理、正方形的性质、矩形的性质及全等三角形的判定定理．19．8【分析】过C 作于点F 根据正方形的性质找出对应相等的边和角求证出得到即可求三角形的面积【详解】如图所示过C 作于点F 四边形ABCD 是正方形又又在和中故答案为8【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等解析：8【分析】过C 作CF l ⊥于点F ，根据正方形的性质找出对应相等的边和角，求证出ABE BCF ≅得到 4CF BE ==即可求三角形的面积．【详解】如图所示，过C 作CF l ⊥于点F ，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC ∠=︒，又AE BE ⊥，CF BF ⊥，90AEB BFC ∴∠=∠=︒，又18090ABE CBF ABC ∠+∠=︒-∠=︒，18090ABE BAE AEB ∠+∠=︒-∠=︒，CBF BAE ∴∠=∠，∴在ABE △和BCF △中， AEB BFC BAE CBF AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AAS ABE BCF ∴≅，4CF BE ∴==，12BCE S BE CF ∴=⨯⨯1442=⨯⨯8=，故答案为8．【点睛】此题考查了正方形的性质和三角形全等的判定，以及三角形面积的公式，难度一般． 20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4 解析：201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， ∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n， ∴20202020201811422C =⨯=．故答案为：201812．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．三、解答题21．（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°，在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．22．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由角平分线的定义及平行线的性质可证得DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠，得OE OC =，OF OC =，即可得出结论；（2）先证得四边形DECF 是平行四边形，再利用角平分线的定义可求得90ECF ∠=︒，则可证得四边形DECF 为矩形．【详解】证明：（1）∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠∴BCE DCE ∠=∠，DCF GCF ∠=∠∵EF ∥BC ，∴BCE FEC ∠=∠，EFC GCF ∠=∠∴DCE FEC ∠=∠，EFC DCF ∠=∠∴OE OC =，OF OC =，∴OE OF =．（2）∵点O 为CD 的中点，∴OD OC =，又OE OF =，∴四边形DECF 是平行四边形∵CE 平分BCD ∠、CF 平分GCD ∠， ∴12DCE BCD ∠=∠，12DCF DCG ∠=∠ ∴()11=9022DCE DCF BCD DCG BCG ∠+∠=∠+∠∠=︒ ∵DCE DCF ECF ∠+∠=∠， ∴90ECF ∠=︒∵四边形DECF 是平行四边形，∴平行四边形DECF 是矩形．【点睛】本题主要考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键．23．（1）t =2；（2）t =3或65t =．【分析】（1）根据等边三角形的性质，列出关于t 的方程，进而即可求解．（2）根据△PAQ 是直角三角形，分两类讨论，分别列出方程，进而即可求解．【详解】解：（1）由题意得：AP =2t （米），AQ =6-t （米）．∵∠A =60°，∴当△PAQ 是等边三角形时，AQ =AP ，即2t =6-t ，解得：t =2，∴当t =2时，△PAQ 是等边三角形．（2）∵△PAQ 是直角三角形，∴当∠AQP =90°时，有∠APQ =30°，即AP =2AQ ，∴2t =2（6-t ），解得：t =3（秒），当∠APQ=90°时，有∠AQP=30°，即AQ=2AP，∴6-t=2·2t，解得6 5t=（秒），∴当t=3或65t=时，△PAQ是直角三角形．【定睛】本题主要考查等边三角形的性质，直角三角形的定义以及平行四边形的定义，熟练掌握等边三角形的性质，直角三角形的定义，列出方程，是解题的关键．24．（1）证明见解析；（2）还成立，理由见解析；（3）3或9．【分析】（1）利用“SAS”证明BCO ECD≅△△即可解答；（2）同（1）利用“SAS”证明BCO ECD≅△△即可解答；（3）分当D点恰好落在EBC的边BC上或边BE上两种情况讨论，利用全等三角形的性质以及三角形中位线或含30度角的直角三角形的性质求解即可．【详解】证明：（1）在等边ODC△与等边EBC中，CO CD=，CB CE=，60OCD BCE∠=∠=︒，∴OCD DCB DCB BCE∠+∠=∠+∠，即OCB DCE∠=∠，在BCO与ECD中，CO CDOCB DCEBC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS≅△△，∴BO DE=；（2）还成立．理由：连接DE，与（1）同理，CO CD =，CB CE =，60OCD BCE ∠=∠=︒，∴OCD DCB BCE DCB ∠-∠=∠-∠，即OCB DCE ∠=∠，在BCO 与ECD 中，CO CD OCB DCE BC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()BCO ECD SAS ≌△△， ∴BO DE =；（3）当D 点恰好落在EBC 的边BC 上时，如图，作DG ⊥OC 于G ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BC 的中点，∵DG ⊥OC ，∴DG 是△BOC 的中位线，∴DG=12BO=3；当D 点恰好落在EBC 的边BE 上时，如图，作DF ⊥OC 于F ，由（2）知BCO ECD ≌△△，∴∠EDC=∠BOC=90︒，∠ECD=∠BCO ，∵△EBC 是等边三角形，∴D 点恰好是边BE 的中点，∴∠ECD=∠BCD=∠BCO=30︒，∴BC=2BO=12，∴2263BC BO -=∵△DOC 是等边三角形，∴DC=OC=3，FC=OF=33∴229DC CF -=，综上，ODC △的高的长度为3或9．故答案为：3或9．【点睛】本题是三角形综合题，考查了坐标与图形的性质、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 25．见解析【分析】利用ASA 证明△ADE ≌△CDF 即可得到结论．【详解】证明：四边形ABCD 是正方形， AD CD ∴=，90A DCF ADC ∠=∠=∠=︒，又90EDF ∠=︒，ADC EDC EDF EDC ∴∠-∠=∠-∠．ADE CDF ．在ADE 与CDF 中，ADE CDF AD CDA DCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ()ADE CDF ASA ∴△≌△．DE DF ∴=．【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，正方形的性质，熟记正方形的性质是解题的关键． 26．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据题意可得到//AB CE ，从而再证明AB CE =即可得出结论；（2）结合（1）的结论可以得到//BC AD ，BCE D ∠=∠，再根据2AFC D ∠=∠推出FEC FCE ∠=∠，从而得到FC FE =即可得出结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AB CD ，AB CD =，即//AB CE ，∵DC CE =，∴AB CE =，∴四边形ABEC 是平行四边形；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//BC AD ，BCE D ∠=∠，∵四边形ABEC 是平行四边形，又∵AFC FEC BCE ∠=∠+∠，∴当2AFC D ∠=∠时，则有FEC FCE ∠=∠，∴FC FE =，AE BC =，∴四边形ABEC 是矩形．【点睛】本题考查平行四边形的性质与判定，矩形的判定，熟练掌握基本的性质定理以及判定方法是解题关键．。

人教版八年级下册数学第18章平行四边形单元测试卷

人教版八年级下册数学第18章平行四边形单元测试卷一.选择题（本大题共8小题，共24分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 下列条件中，能判定四边形是平行四边形的条件是( )A. 一组对边平行，一组邻角互补B. 一组对边平行，另一组对边相等C. 一组对边平行，一组对角相等D. 一组对边相等，一组邻角相等2. 下列命题，其中是真命题的为( )A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 一组邻边相等的矩形是正方形D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形3. 如下图，公路AC，BC互相垂直，公路AB的中点M与点C被湖隔开.若测得AB的长为1.6km，则M，C 两点间的距离为( )A. 0.5kmB. 0.6kmC. 0.8kmD. 1.2km4. 下列命题是假命题的是( )A. 对角线相等的菱形是正方形B. 对角线互相垂直且平分的四边形是正方形C. 对角线互相垂直的矩形是正方形D. 对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形5. 如图，点E、F、G、H分别是四边形ABCD边AB、BC、CD、DA的中点．则下列说法：①若AC=BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．其中正确的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 46. 如图四边ABCD中∠BAD=∠C=90°，AB=AD，AE⊥BC，垂足为E.若线段AE=5，则S=( )四边形ABCDA. 20B. 25C. 18D. 247. 如图，菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=6，BD=8，点P是BC边上的一动点，则AP的最小值为( )A. 4B. 4.8C. 5D. 5.58. 如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABD=30°，则菱形ABCD的面积是( )A. 18B. 18√3C. 36D. 36√3二、填空题（本大题共8小题，共24分）9. 如图，两条射线AM//BN，点C，D分别在射线BN，AM上，只需添加一个条件，即可证明四边形ABCD 是平行四边形，这个条件可以是(写出一个即可)．10. 如图，已知菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E为BC的中点，若OE=3，则菱形的周长为______．11. 如图，在正方形ABCD中，AB=8，AC与BD交于点O，N是AO的中点，点M在BC边上，且BM=6.P 为对角线BD上一点，则PM−PN的最大值为______．12.如图，在▱ABCD中，E、F是对角线AC上两点，AE=EF=CD，∠ADF=90°，∠BCD=63°，则∠ADE 的大小为______．13. 已知正方形ABCD的边长为6，如果P是正方形内一点，且PB=PD=2√5，那么AP的长为．14. 已知两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是．15如图，▱ABCD的顶点C在等边△BEF的边BF上，点E在AB的延长线上，G为DE的中点，连接CG.若AD=3，AB=CF=2，则CG的长为．.16. 如图，在△ABC中，∠B=45°，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E(BE>CE)，点F是AC的中点，连接AE、EF，若BC=7，AC=5，则△CEF的周长为______ ．三、解答题（本大题共9小题，共72分。

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试题

人教版八年级初二数学下学期平行四边形单元测试题一、选择题1．如图，▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于O ，BD=2AD ，E ，F ，G 分别是OC ，OD ，AB 的中点，下列结论①BE ⊥AC②四边形BEFG 是平行四边形③EG=GF④EA 平分∠GEF其中正确的是（）A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④2．如图，ABCD □中，4,60AB BC A ==∠=︒，连接BD ，将BCD 绕点B 旋转，当BD （即BD '）与AD 交于一点E ，BC （即BC '）与CD 交于一点F 时，给出以下结论：①AE DF =；②60BEF ∠=︒；③DEB DFB ∠=∠；④DEF 的周长的最小值是423+.其中正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①③④3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，对角线AC 、BD 交于点O ，∠AOD ＝120°，E 为BD 上任意点，P 为AE 中点，则PO ＋PB 的最小值为（）A 3B ．13C 7D ．34．如图，点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点，点F 是边CD 上一点，连接ED ，EF ，ED 平分∠AEF ，过点D 作DG ⊥EF 于点M ，交BC 于点G ，连接GE ，GF ，若FG ∥DE ，则AB AD的值是( )A ．32B ．2C ．2D ．35．如图，平行四边形ABCD 中，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ，且AB AE =，延长AB 与DE 的延长线交于点F ，连接AC ，CF ．下列结论：①ABC EAD ∆∆≌；②ABE ∆是等边三角形；③AD BF =；④BEF ACD S S ∆∆=；⑤CEF ABE S S ∆∆=中正确的有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BF ＝4CF ，四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．3B ．4C ．6D ．87．如图，△ABC 的周长为19，点D ，E 在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为N ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为M ，若BC=7，则MN 的长度为（）A ．32B ．2C ．52D ．38．矩形纸片ABCD 中，AB ＝5，AD ＝4，将纸片折叠，使点B 落在边CD 上的点B '处，折痕为AE ．延长B E '交AB 的延长线于点M ，折痕AE 上有点P ，下列结论中：①M DAB '∠∠＝；②PB PB '＝；③AE ＝552；④MB CD '＝；⑤若B P CD '⊥，则EB B P ''＝．正确的有（）个A ．2B ．3C ．4D ．59．如图，90MON ∠=︒，矩形ABCD 在MON ∠的内部，顶点A ，B 分别在射线OM ，ON 上，4AB =，2BC =，则点D 到点O 的最大距离是（）A ．222-B ．222+C ．252-D ．22+10．如图，在平行四边形ABCD 中，按以下步骤作图：①以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交边AD 于点；②再分别以B ，F 为圆心画弧，两弧交于平行四边形ABCD 内部的点G 处；③连接AG 并延长交BC 于点E ，连接BF ，若BF ＝3，AB ＝2.5，则AE 的长为（）A ．2B ．4C ．8D ．5二、填空题11．如图，某景区湖中有一段“九曲桥”连接湖岸A ，B 两点，“九曲桥”的每一段与AC 平行或BD 平行，若AB ＝100m ，∠A ＝∠B ＝60°，则此“九曲桥”的总长度为_____．12．如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O ，对角线长为1cm ，过点O 任作一条直线分别交AD ，BC 于E ，F ，则阴影部分的面积是_____．13．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，DH ⊥AE 于点H ，连接BH 并延长交CD 于点F ，连接DE 交BF 于点O ，下列结论：①∠AED ＝∠CED ；②OE ＝OD ；③BH ＝HF ；④BC ﹣CF ＝2HE ；⑤AB ＝HF ，其中正确的有_____．14．如图，在平行四边形ABCD 中，AD=2AB ．F 是AD 的中点，作CE ⊥AB, 垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：(1)∠DCF+12∠D ＝90°；(2)∠AEF+∠ECF ＝90°；(3)BEC S =2CEF S ； (4)若∠B=80︒，则∠AEF=50°．其中一定成立的是______ (把所有正确结论的字号都填在横线上)．15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．16．菱形OBCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B （23，0），∠DOB ＝60°，点P 是对角线OC 上一个动点，E （0，－1），则EP 十BP 的最小值为__________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ⊥AB ，AC 与BD 相交于点O ，在同一平面内将△ABC 沿AC 翻折，得到△AB’C ，若四边形ABCD 的面积为24cm 2，则翻折后重叠部分（即S △ACE ) 的面积为________cm 2．18．如图，▱ABCD 中，∠DAB ＝30°，AB ＝6，BC ＝2，P 为边CD 上的一动点，则2PB+ PD 的最小值等于______.19．如图，正方形ABCD 面积为1，延长DA 至点G ，使得AG AD =，以DG 为边在正方形另一侧作菱形DGFE ，其中45EFG ︒∠=，依次延长, , AB BC CD 类似以上操作再作三个形状大小都相同的菱形，形成风车状图形，依次连结点, , , ,F H M N 则四边形FHMN 的面积为___________．20．如图，长方形ABCD 中，26AD =，12AB =，点Q 是BC 的中点，点P 在AD 边上运动，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为______，三、解答题21．如图，在矩形ABCD 中，AD nAB =，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若1n =，①如图，AF DE ⊥，求证：AE BF =；②如图，点G 为点F 关于AB 的对称点，连结AG ，DE 的延长线交AG 于H ，若AH AD =，猜想AE 、BF 、AG 之间的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图，若M 、N 分别为DC 、AD 上的点，则EM FN的最大值为_____（结果用含n 的式子表示）；（3）如图，若E 为AB 的中点，ADE EDF ∠=∠．则CF BF的值为_______（结果用含n 的式子表示）．22．如图，在ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，延长AE 至G ，使EG AE =，连接CG ．（1）求证：AOE COF ∆≅∆；（2）四边形EGCF 是平行四边形吗？请说明理由；（3）若四边形EGCF 是矩形，则线段AB 、AC 的数量关系是______．23．在等边三角形ABC 中，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B ，C 重合），以AD 为边在AD 的上方作菱形ADEF ，且∠DAF=60°，连接CF ．（1）（观察猜想）如图（1），当点D 在线段CB 上时，①BCF ∠= ；②,,BC CD CF 之间数量关系为．（2）（数学思考）：如图（2），当点D 在线段CB 的延长线上时，（1）中两个结论是否仍然成立？请说明理由．（3）（拓展应用）：如图（3），当点D 在线段BC 的延长线上时，若6AB =，13CD BC =，请直接写出CF 的长及菱形ADEF 的面积．．24．如图1所示，把一个含45°角的直角三角板ECF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点C 重合，点E ，F 分别在正方形的边CB ，CD 上，连接AE 、AF ．(1)求证：AE ＝AF ；(2)取AF 的中点M ，EF 的中点N ，连接MD ，MN ．则MD ，MN 的数量关系是，MD 、MN 的位置关系是(3)将图2中的直角三角板ECF ，绕点C 旋转180°，如图3所示，其他条件不变，则(2)中的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．25．如图1，在正方形ABCD 和正方形BEFG 中，点,,A B E 在同一条直线上，P 是线段DF 的中点，连接,PG PC ．（1）求证：,PG PC PG PC ⊥=．简析：由Р是线段DF 的中点，//DC CF ，不妨延长GP 交DC 于点M ，从而构造出一对全等的三角形，即_______≅________．由全等三角形的性质，易证CMG 是_______三角形，进而得出结论；（2）如图2，将原问题中的正方形ABCD 和正方形BEFG 换成菱形ABCD 和菱形BEFG ，且60ABC BEF ∠=∠=︒，探究PG 与PC 的位置关系及PG PC 的值，写出你的猜想并加以证明；（3）当6,2AB BE ==时，菱形ABCD 和菱形BEFG 的顶点都按逆时针排列，且60ABC BEF ∠=∠=︒．若点A B E 、、在一条直线上，如图2，则CP =________；若点A B G 、、在一条直线上，如图3，则CP =________．26．我们知道平行四边形有很多性质，现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折，会发现这其中还有更多的结论.（发现与证明．．）ABCD 中，AB BC ≠，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D . 结论1：'AB C ∆与ABCD 重叠部分的图形是等腰三角形；结论2：'B D AC .试证明以上结论.（应用与探究）在ABCD 中，已知2BC =，45B ∠=，将ABC ∆沿AC 翻折至'AB C ∆，连结'B D .若以A 、C 、D 、'B 为顶点的四边形是正方形，求AC 的长.（要求画出图形）27．如图，菱形纸片ABCD 的边长为2,60,BAC ∠=︒翻折,,B D ∠∠使点,B D 两点重合在对角线BD 上一点,,P EF GH 分别是折痕．设()02AE x x =<<．（1）证明：AG BE =；（2）当02x <<时，六边形AEFCHG 周长的值是否会发生改变，请说明理由；（3）当02x <<时，六边形AEFCHG 的面积可能等于534吗?如果能，求此时x 的值；如果不能，请说明理由．28．如图，ABC ADC ∆≅∆，90,ABC ADC AB BC ︒∠=∠==，点F 在边AB 上，点E 在边AD 的延长线上，且,DE BF BG CF =⊥，垂足为H ，BH 的延长线交AC 于点G .（1）若10AB =，求四边形AECF 的面积；（2）若CG CB =，求证：2BG FH CE +=.29．如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，点E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为边，作正方形CEFG （点C 、E 、F 、G 按逆时针排列），连接BF.（1）如图1,当点E 与点D 重合时，BF 的长为；（2）如图2，当点E 在线段AD 上时，若AE=1，求BF 的长；（提示：过点F 作BC 的垂线，交BC 的延长线于点M ，交AD 的延长线于点N.）（3）当点E 在直线AD 上时，若AE=4，请直接写出BF 的长.30．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝nAB ，E ，F 分别在AB ，BC 上．（1）若n ＝1，AF ⊥DE ．①如图1，求证：AE ＝BF ；②如图2，点G 为CB 延长线上一点，DE 的延长线交AG 于H ，若AH ＝AD ，求证：AE +BG ＝AG ；（2）如图3，若E 为AB 的中点，∠ADE ＝∠EDF ．则CF BF 的值是_____________（结果用含n 的式子表示）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】【分析】由平行四边形的性质可得OB=BC，由等腰三角形的性质可判断①正确，由直角三角形的性质和三角形中位线定理可判断③错误，由BG=EF，BG∥EF∥CD可证四边形BEFG是平行四边形，可得②正确．由平行线的性质和等腰三角形的性质可判断④正确．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO=DO=1BD，AD=BC，AB=CD，AB∥BC，2又∵BD=2AD，∴OB=BC=OD=DA，且点E 是OC中点，∴BE⊥AC，故①正确，∵E、F分别是OC、OD的中点，∴EF∥CD，EF=1CD，2∵点G是Rt△ABE斜边AB上的中点，∴GE=1AB=AG=BG，2∴EG=EF=AG=BG，无法证明GE=GF，故③错误，∵BG=EF，BG∥EF∥CD，∴四边形BEFG是平行四边形，故②正确，∵EF∥CD∥AB，∴∠BAC=∠ACD=∠AEF，∵AG=GE，∴∠GAE=∠AEG，∴∠AEG=∠AEF，∴AE平分∠GEF，故④正确，故选B．【点睛】本题考查了菱形的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键．2．B解析：B【解析】【分析】根据题意可证△ABE≌△BDF，可判断①②③，由△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，则当EF最小时△DEF的周长最小，根据垂线段最短，可得BE⊥AD时，BE最小，即EF最小，即可求此时△BDE周长最小值．【详解】解：∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°∴△ABD，△BCD为等边三角形，∴∠A=∠BDC=60°，∵将△BCD绕点B旋转到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°，故①正确，③错误；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°，故②正确∵△DEF的周长=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴当EF最小时，∵△DEF的周长最小．∵∠EBF=60°，BE=BF，∴△BEF是等边三角形，∴EF=BE，∴当BE⊥AD时，BE长度最小，即EF长度最小，∵AB=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=∴△DEF的周长最小值为4+故④正确，综上所述：①②④说法正确，故选：B ．【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，平行四边形的性质，最短路径问题，关键是灵活运用这些性质解决问题．3．C解析：C【分析】设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，则'BO 即为PO ＋PB 的最小值，易证△ABO 为等边三角形，过点A 作AH ⊥BO 于H ，求出AH OO ='，然后利用勾股定理求出BO 即可．【详解】解：如图，设M 、N 分别为AB 、AD 的中点，则MN 为△ABD 的中位线，∵P 为AE 中点，∴点P 在MN 上，作点O 关于MN 的对称点'O ，连接'BO ，∴OP OP ='，∴PO ＋PB =BP O P BO +=''，∵四边形ABCD 是矩形，∠AOD =120°，∴OA =OB ，∠AOB =60°，∴△AOB 为等边三角形，∴AB =BO =4，过点A 作AH ⊥BO 于H ， ∴2221=3AH =-，∵MN ∥BD ，点H 关于MN 的对称点为A ，点O 关于MN 的对称点为'O ， ∴3AH OO =='OO BD ⊥'， ∴2222+=2+(3)=7BO BO OO =''即PO ＋PB 7故选：C ．【点睛】本题考查了利用轴对称求最短路径，矩形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定及性质，勾股定理的应用，通过作辅助线，得出'BO 为PO ＋PB 的最小值是解题关键．4．C解析：C【分析】由题意得△AED ≌△MED 、△BEG ≌△MEG 、△MGF ≌△CGF ，设CG=x ，用含x 的式子表示AD =2x ，AB =，即可得出AB AD 2x==【详解】∵ED 平分∠AEF∴∠AED=∠DEM在矩形ABCD 中，∠A=∠B=∠BCD=90°∵DG ⊥EF∴∠DME=∠EMG=∠GMF=90°∴∠A=∠DME=90°∵DE=DE∴△AED ≌△MED∴ME=AE∵点E 是矩形ABCD 的边AB 的中点∴AE=BE∴ME=BE∵∠EMC=∠B=90°， EG=EG∴Rt △BEG ≌Rt △MEG∵AD ∥BC∴∠ADG=∠CGD∵ED ∥GF∴∠EDM=∠FGM∴∠ADE=∠CGF∴∠CGF=∠FGM∴△MGF ≌△CGF∴MG=CG=BG设CG=x∴BC=2x∴AD=DM=2x∴DG=3x根据勾股定理可得CD =∴AB =∴AB AD 2x==故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质和全等三角形的判定和性质、勾股定理，掌握和全等三角形的判定和性质、勾股定理是解题的关键．5．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出AD ∥BC ，AD=BC ，由AE 平分∠BAD ，可得∠BAE=∠DAE ，可得∠BAE=∠BEA ，得AB=BE ，由AB=AE ，得到△ABE 是等边三角形，②正确；则∠ABE=∠EAD=60°，由SAS 证明△ABC ≌△EAD ，①正确；由△FCD 与△ABD 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），得出S △FCD =S △ABD ，由△AEC 与△DEC 同底等高，所以S △AEC =S △DEC ，得出S △ABE =S △CEF ，⑤正确．【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠EAD=∠AEB ，又∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE ，∴∠BAE=∠BEA ，∴AB=BE ，∵AB=AE ，∴△ABE 是等边三角形；②正确；∴∠ABE=∠EAD=60°，∵AB=AE ，BC=AD ，在△ABC 和△EAD 中，AB AE ABE EAD BC AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△EAD （SAS ）；①正确；∵△FCD 与△ABC 等底（AB=CD ）等高（AB 与CD 间的距离相等），∴S △FCD =S △ABC ，又∵△AEC 与△DEC 同底等高，∴S △AEC =S △DEC ，∴S △ABE =S △CEF ；⑤正确；若AD与AF相等，即∠AFD=∠ADF=∠DEC，即EC=CD=BE，即BC=2CD，题中未限定这一条件，∴③④不一定正确；故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质．此题比较复杂，注意将每个问题仔细分析．6．D解析：D【分析】连接EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，求出平行四边形ACFM，根据等底等高的三角形面积相等得出△BDE的面积和△CDE的面积相等，△ADE的面积和△AME的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，求出CF×h CF的值即可．【详解】连接DE、EC，过A作AM∥BC交FE的延长线于M，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥CD，∴AM∥DE∥CF，AC∥FM，∴四边形ACFM是平行四边形，∵△BDE边DE上的高和△CDE的边DE上的高相同，∴△BDE的面积和△CDE的面积相等，同理△ADE的面积和△AME的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形ACFM的面积的一半，是12×CF×h CF，∵△ABC的面积是24，BC＝3CF∴12BC×h BC＝12×3CF×h CF＝24，∴CF×h CF＝16，∴阴影部分的面积是12×16＝8，故选：D．【点睛】此题考查平行四边形的判定及性质，同底等高三角形面积的关系，解题中注意阴影部分面积的求法，根据图形的特点选择正确的求法是解题的关键.7．C解析：C【分析】证明△BNA ≌△BNE ，得到BA=BE ，即△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，根据题意求出DE ，根据三角形中位线定理计算即可．【详解】解：∵BN 平分∠ABC ，BN ⊥AE ，∴∠NBA=∠NBE ，∠BNA=∠BNE ，在△BNA 和△BNE 中，ABN EBN BN BNANB ENB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△BNA ≌△BNE ，∴BA=BE ，∴△BAE 是等腰三角形，同理△CAD 是等腰三角形，∴点N 是AE 中点，点M 是AD 中点（三线合一），∴MN 是△ADE 的中位线，∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12，∴DE=BE+CD-BC=5，∴MN=12DE=52．故选C ．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．8．C解析：C【分析】①由翻折知∠ABE=∠AB'E=90º，再证∠M=∠CB'E=∠B'AD 即可；②借助轴对称可知；③利用计算，勾股定理求B′D，构造方程，求EB，在构造勾股定理求MB′=552；④由相似CB'：BM=CE：BE，BM=103，在计算B'M>5；⑤证△BEG≌△B′PG得BE=B′P，再证菱形即可．【详解】①由折叠性质知∠ABE=∠AB'E=90º，∴∠CB'E+∠AB'D=90º∵∠D=90º∴∠B'AD+∠AB'D=90º∴∠CB'E=∠B'AD，∵CD∥MB，∴∠M=∠CB'E=∠B'AD；②点P在对称轴上，则B'P=BP；③由翻折，AB=AB'=5，AD=4，由勾股定理DB'=3，∴CB'=5-3=2，设BE=x=B'E，CE=4-x，在Rt△B′CE中，∠C=90º，由勾股定理（4-x）2+22=x2，解得x=52，∴CE=4-52=32，在Rt△ABE中，∠ABE=90º，AE=22555+5=22⎛⎫⎪⎝⎭；④由BM∥CB′∴△ECB′∽△EBM，∴CB'：BM=CE ：BE ，∴2：BM=32：52， ∴BM=103，则B'M=221020+4=33⎛⎫ ⎪⎝⎭>5=CD ； ⑤连接BB′，由对称性可知，BG=B′G ，EP ⊥BB′，BE ∥B′P ，∴△BEG ≌△B′PG ，∴BE=B′P ，∴四边形BPB′E 为平行四边形，又BE=EB′，所以四边形BPB′E 是菱形，所以PB′=B'E ．故选择：C ．【点睛】此题考查了矩形的性质、图形的翻折变换以及相似三角形的性质等知识的应用，此题的关键是能够发现△BEG ≌△B′PG ．9．B解析：B【分析】取DC 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，根据三角形的任意两边之和大于第三边可知当O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大，再根据勾股定理求出DE 的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OE 的长，两者相加即可得解．【详解】取AB 中点E ，连接OE 、DE 、OD ，90MON ∠=︒，122OE AB ∴==．在Rt DAE ∆中，利用勾股定理可得22DE =在ODE ∆中，根据三角形三边关系可知DE OE OD +>，∴当O 、E 、D 三点共线时，OD 最大为222OE DE +=+．故选B ．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到性质，三角形的三边关系，矩形的性质，勾股定理，根据三角形的三边关系判断出点O 、E 、D 三点共线时，点D 到点O 的距离最大是解题的关键．10．B解析：B【分析】连接EF ，先证AF =AB =BE ，得四边形ABEF 是菱形，据此知AE 与BF 互相垂直平分，继而得OB 的长，由勾股定理求得OA 的长，继而得出答案．【详解】由题意得：AF =AB ，AE 为∠BAD 的角平分线，则∠BAE =∠FAE ．又∵四边形ABCD 是平行四边形，则AD ∥BC ，∠BAE =∠FAE =∠BEA ，∴AF =AB =BE ．连接EF ，则四边形ABEF 是菱形，∴AE 与BF 互相垂直平分，设AE 与BF 相交于点O ，OB 2BF ==1.5．在Rt △AOB 中，OA 22222515AB OB =-=-=．．2，则AE =2OA =4．故选B ．【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，解题的关键是掌握菱形的性质与判定，平行四边形的性质，角平分线的尺规作图方法等．二、填空题11．200m【分析】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M ，则四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形，△ABC 是等边三角形，由此即可解决问题．【详解】如图，延长AC 、BD 交于点E ，延长HK 交AE 于F ，延长NJ 交FH 于M由题意可知，四边形EDHF ，四边形MNCF ，四边形MKGJ 是平行四边形∵∠A ＝∠B ＝60°∴18060E A B ∠=-∠-∠=∴△ABC 是等边三角形∴ED ＝FM+MK+KH ＝CN+JG+HK ，EC ＝EF+FC ＝JN+KG+DH∴“九曲桥”的总长度是AE+EB ＝2AB ＝200m故答案为：200m ．【点睛】本题考查了平行四边形、等边三角形、三角形内角和的知识；解题的关键是熟练掌握平行四边形、等边三角形、三角形内角和的性质，从而完成求解．12．218cm 【分析】根据正方形的性质可以证明△AEO ≌CFO ，就可以得出S △AEO =S △CFO ，就可以求出△AOD 面积等于正方形面积的14，根据正方形的面积就可以求出结论．【详解】解：如图：∵正方形ABCD 的对角线相交于点O ，∴△AEO 与△CFO 关于O 点成中心对称，∴△AEO ≌CFO ，∴S △AEO ＝S △CFO ，∴S △AOD ＝S △DEO +S △CFO ，∵对角线长为1cm ，∴S 正方形ABCD ＝1112⨯⨯＝12cm 2， ∴S △AOD ＝18cm 2， ∴阴影部分的面积为18cm 2．故答案为：18cm 2．【点睛】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用正方形的面积及三角形的面积公式的运用，在解答时证明△AEO ≌CFO 是关键．13．①②③④【分析】①根据角平分线的定义可得∠BAE =∠DAE =45°，可得出△ABE 是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE =，从而得到AE =AD ，然后利用“角角边”证明△ABE 和△AHD 全等，根据全等三角形对应边相等可得BE =DH ，再根据等腰三角形两底角相等求出∠ADE =∠AED =67.5°，根据平角等于180°求出∠CED =67.5°，从而判断出①正确； ②求出∠AHB =67.5°，∠DHO =∠ODH =22.5°，然后根据等角对等边可得OE =OD =OH ，判断出②正确；③求出∠EBH =∠OHD =22.5°，∠AEB =∠HDF =45°，然后利用“角边角”证明△BEH 和△HDF 全等，根据全等三角形对应边相等可得BH =HF ，判断出③正确；④根据全等三角形对应边相等可得DF =HE ，然后根据HE =AE ﹣AH =BC ﹣CD ，BC ﹣CF =BC ﹣（CD ﹣DF ）=2HE ，判断出④正确；⑤判断出△ABH 不是等边三角形，从而得到AB ≠BH ，即AB ≠HF ，得到⑤错误．【详解】∵在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∴∠BAE =∠DAE =45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AE =． ∵AD =，∴AE =AD ．在△ABE 和△AHD 中，∵90BAE DAE ABE AHD AE AD ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△AHD （AAS ），∴BE =DH ，∴AB =BE =AH =HD ，∴∠ADE =∠AED 12=（180°﹣45°）=67.5°，∴∠CED =180°﹣45°﹣67.5°=67.5°，∴∠AED =∠CED ，故①正确；∵∠AHB 12=（180°﹣45°）=67.5°，∠OHE =∠AHB （对顶角相等），∴∠OHE =∠AED ，∴OE =OH ．∵∠DOH =90°﹣67.5°=22.5°，∠ODH =67.5°﹣45°=22.5°，∴∠DOH =∠ODH ，∴OH =OD ，∴OE =OD =OH ，故②正确；∵∠EBH=90°﹣67.5°=22.5°，∴∠EBH=∠OHD．在△BEH和△HDF中，∵EBH OHDBE DHAEB HDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△BEH≌△HDF（ASA），∴BH=HF，HE=DF，故③正确；由上述①、②、③可得CD=BE、DF=EH=CE，CF=CD﹣DF，∴BC﹣CF=（CD+HE）﹣（CD﹣HE）=2HE，所以④正确；∵AB=AH，∠BAE=45°，∴△ABH不是等边三角形，∴AB≠BH，∴即AB≠HF，故⑤错误；综上所述：结论正确的是①②③④．故答案为①②③④．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．(1) (2) (4)【分析】由平行四边形的性质和等腰三角形的性质得出(1)正确；由ASA证明△AEF≌△DMF，得出EF=MF，∠AEF=∠M，由直角三角形斜边上的中线性质得出CF=12EM=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠ECF，得出(2)正确；证出S△EFC=S△CFM，由MC＞BE，得出S△BEC＜2S△EFC，得出(3)错误；由平行线的性质和互余两角的关系得出(4)正确；即可得出结论．【详解】(1)∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD=AB，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∠BCD+∠D=180°，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，∴∠DCF+12∠D=90°，故(1)正确；(2)延长EF，交CD延长线于M，如图所示：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，∴∠A=∠MDF ，∵F 为AD 中点，∴AF=FD ，在△AEF 和△DMF 中，A FDM AF DF AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AEF ≌△DMF(ASA)，∴EF=MF ，∠AEF=∠M ，∵CE ⊥AB ，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF ，∴CF=12EM=EF ， ∴∠FEC=∠ECF ，∴∠AEF+∠ECF=∠AEF+∠FEC=∠AEC=90°，故(2)正确；(3)∵EF=FM ，∴S △EFC =S △CFM ，∵MC ＞BE ，∴S △BEC ＜2S △EFC ，故(3)错误；(4)∵∠B=80°，∴∠BCE=90°-80°=10°，∵AB ∥CD ，∴∠BCD=180°-80°=100°，∴∠BCF=12∠BCD=50°， ∴∠FEC=∠ECF=50°-10°=40°，∴∠AEF=90°-40°=50°，故(4)正确．故答案为：(1)(2)(4)．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明△AEF ≌△DMF 是解题关键．15．25【分析】作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，求出BE=10，即可求得BD 的长．【详解】解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：则∠BEA=∠BFC=90°，∵∠ADC=90°，∴四边形BEDF 是矩形，∴∠EBF=90°，∵∠ABC=90°，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴∠ABE=∠CBF ，在△ABE 和△CBF 中，BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CBF （AAS ），∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，∴10(cm)，∴25．故答案为：5【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．1619【分析】先根据菱形的性质可得OC 垂直平分BD ，从而可得=DP BP ，再根据两点之间线段最短可得EP BP +的最小值为DE ，然后利用等边三角形的判定与性质求出点D 的坐标，最后利用两点之间的距离公式即可得．【详解】如图，连接BP 、DP 、EP 、DE 、BD ，过点D 作DA OB ⊥于点A ， (23,0)B ， 23OB ∴=，四边形ABCD 是菱形，OC ∴垂直平分BD ，23OB OD ==，点P 是对角线OC 上的点，DP BP ∴=，EP BP EP DP ∴+=+，由两点之间线段最短可知，EP DP +的最小值为DE ，即EP BP +的最小值为DE ， ,60OB OD DOB =∠=︒，BOD ∴是等边三角形，DA OB ⊥，132OA OB ∴==，2222(23)(3)3AD OD OA =-=-=， (3,3)D ∴，又(0,1)E -，22(30)(31)19DE ∴=-++=，即EP BP +的最小值为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据两点之间线段最短得出EP BP +的最小值为DE 是解题关键．17．6【分析】由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，可证点B，点A，点B'三点共线，通过证明四边形ACDB'是平行四边形，可得B'E=CE，即可求解．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，S△ABC=1242=12cm2，∵在同一平面内将△ABC沿AC翻折，得到△AB′C，∴∠BAC=∠B'AC=90°，AB=AB'，S△ABC=S△AB'C=12cm2，∴∠BAB'=180°，∴点B，点A，点B'三点共线，∵AB∥CD，AB'∥CD，∴四边形ACDB'是平行四边形，∴B'E=CE，∴S△ACE=12S△AB'C=6cm2，故答案为：6．【点睛】本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B，点A，点B'三点共线是本题的关键．18．6【分析】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，根据四边形ABCD是平行四边形，得到 AB∥CD，推出PE=12PD，由此得到当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，利用∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6求出PB+PE的最小值=12AB=3，得到2PB+PD的最小值等于6.【详解】过点P作PE⊥AD交AD的延长线于点E，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EDC=∠DAB＝30°，∴PE=12 PD，∵2PB+ PD=2（PB+12PD）=2(PB+PE)，∴当PB+PE最小时2PB+ PD有最小值，此时P、B、E三点在同一条直线上，∵∠DAB＝30°，∠AEP=90°，AB=6，∴PB+PE的最小值=12AB=3，∴2PB+ PD的最小值等于6，故答案为：6.【点睛】此题考查平行四边形的性质，直角三角形含30°角的问题，动点问题，将线段2PB+PD转化为三点共线的形式是解题的关键.19．1382+【分析】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，首先利用正方形性质结合题意求出AD=CD=AG=DQ=1，然后进一步根据菱形性质得出DE=EF=DG=2，再后通过证明四边形NKQR是矩形得出QR=NK=2，进一步可得2221382=+=+，再延长NS交ML于点Z，利用全等三角形性质与判定证FN FR NR明四边形FHMN为正方形，最后进一步求解即可.【详解】如图所示，延长CD交FN于点P，过N作NK⊥CD于点K，延长FE交CD于点Q，交NS于点R，∵ABCD为正方形，∴∠CDG=∠GDK=90°，∵正方形ABCD面积为1，∴AD=CD=AG=DQ=1，∴DG=CT=2，∵四边形DEFG为菱形，∴DE=EF=DG=2，同理可得：CT=TN=2，∵∠EFG=45°，∴∠EDG=∠SCT=∠NTK=45°，∵FE ∥DG ，CT ∥SN ，DG ⊥CT ，∴∠FQP=∠FRN=∠DQE=∠NKT=90°，∴DQ=EQ=TK=NK=2，FQ=FE+EQ=22+，∵∠NKT=∠KQR=∠FRN=90°，∴四边形NKQR 是矩形，∴QR=NK=2，∴FR=FQ+QR=222+，NR=KQ=DK −DQ=2121+-=，∴2221382FN FR NR =+=+，再延长NS 交ML 于点Z ，易证得：△NMZ ≅△FNR(SAS)，∴FN=MN ，∠NFR=∠MNZ ，∵∠NFR+∠FNR=90°，∴∠MNZ+∠FNR=90°，即∠FNM=90°，同理可得：∠NFH=∠FHM=90°，∴四边形FHMN 为正方形，∴正方形FHMN 的面积=21382FN =+，故答案为：1382+.【点睛】本题主要考查了正方形和矩形性质与判定及与全等三角形性质与判定的综合运用，熟练掌握相关方法是解题关键.20．6.5或8或18【分析】根据题意分BP QP =、BQ QP =两种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即可．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，26AD =，点Q 是BC 的中点∴13BQ =∴①当BP QP =时，过点P 作PM BQ ⊥交BQ 于点M ，如图，则 6.5BM MQ ==,且四边形ABMP 为矩形∴ 6.5AP BM ==②当BQ QP =时，以点Q 为圆心，BQ 为半径作圆，与AD 交于P '、P ''两点，如图，过Q 作QN P P '''⊥，交P P '''于点N ，则可知P N P N '''=∵在Rt P NQ '，13P Q '=，12NQ AB == ∴222213125P N P Q NQ ''=-=-=同理，在Rt P NQ ''中，5P N ''= ∴2655822AD P N P N AP '''----'===，85518AP AP P N P N ''''''=++=++= 即P '、P ''为满足条件的P 点的位置∴8AP =或18∴综上所述，当BPQ 是以QP 为腰的等腰三角形时，AP 的长为6.5或8或18．故答案是：6.5或8或18【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，根据等腰三角形的性质进行分类讨论是一个难点，也是解题的关键．三、解答题21．（1）①见解析；②AG FB AE =+，证明见解析；（221n ；（3）241n -【分析】（1）①证明△ADE ≌△BAF （ASA ）可得结论．②结论：AG=BF+AE ．如图2中，过点A 作AK ⊥HD 交BC 于点K ，证明AE=BK ，AG=GK ，即可解决问题．（2）如图3中，设AB=a ，AD=na ，求出ME 的最大值，NF 的最小值即可解决问题．（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，求出CF ，BF 即可解决问题．【详解】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，n=1，∴AD=AB，∴四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，∵AF⊥DE，∴∠ADE+∠DAF=90°，∠DAF+∠BAF=90°，∴∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF（ASA），∴AE=BF；②结论：AG=BF+AE．理由：如图2中，过点A作AK⊥HD交BC于点K，由（1）可知AE=BK，∵AH=AD，AK⊥HD，∴∠HAK=∠DAK，∵AD∥BC，∴∠DAK=∠AKG，∴∠HAK=∠AKG，∴AG=GK，∵GK=GB+BK=BF+AE，∴AG=BF+AE；（2）如图3中，设AB=a，AD=na，当ME 的值最大时，NF 的值最小时，ME NF 的值最大，当ME 是矩形ABCD 的对角线时，ME 的值最大，最大值=()222na 1a n +=+•a ，当NF ⊥AD 时，NF 的值最小，最小值=a ，∴ME NF 的最大值=21a n +⋅=21n +，故答案为：21n +；（3）如图4中，延长DE 交CB 的延长线于H ．设AB=2k ，则AD=BC=2kn ，∵AD ∥BH ，∴∠ADE=∠H ，∵AE=EB=k ，∠AED=∠BEH ，∴△AED ≌△BEH （ASA ），∴AD=BH=2kn ，∴CH=4kn ，∵∠ADE=∠EDF ，∠ADE=∠H ，∴∠H=∠EDF ，∴FD=FH ，设DF=FH=x ，在Rt △DCF 中，∵CD 2+CF 2=DF 2，∴(2k)2+(4kn-x)2=x 2，∴2142n x k n+=⋅，∴221441422n n CF kn k k n n +-=-⋅=⋅，241222n k BF kn k n n-=-⋅=， ∴22412412n k CF n n k BFn-⋅==-，故答案为：241n -．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题．22．（1）见解析；（2）四边形EGCF 为平行四边形，理由见解析；（3）AC=2AB ．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到OE=OF 即可证得结论；（2）利用AOE COF ∆≅∆得到∠EAO=∠FCO ，AE=CF ，由此推出AE ∥CF ，EG=CF 即可证得四边形EGCF 是平行四边形；（3）AC=2AB ，根据平行四边形的性质推出AB=AO ，利用点E 是OB 的中点，得到AG ⊥OB ，即可得到四边形EGCF 是矩形.【详解】（1）四边形ABCD 为平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，点E 、F 分别为OB 、OD 的中点，12OE OB ∴=，12OF OD =，则OE OF =，在AOE ∆与COF ∆中OA OC AOE COF OE OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩AOE COF ∴∆≅∆；（2）AOE COF ∆≅∆，EAO FCO ∴∠=∠，AE CF =，//AE CF ∴，又GE AE =，GE CF ∴=，∴四边形EGCF 为平行四边形；（3）当AC=2AB 时，四边形EGCF 是矩形.∵AC=2AB ，AC=2AO ，∴AB=AO ，。

(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(答案解析)

一、选择题1．如果一个多边形的内角和为1260︒，那么从这个多边形的一个顶点可以作（）条对角线．A ．4B ．5C ．6D ．72．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB=6，BC=10，则EF 长为（）A ．1B ．1.5C ．2D ．2.53．如图，作ABC 关于直线对称的图形A B C '''，接着A B C '''沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A ．对应点连线相等B ．对应点连线互相平行C ．对应点连线垂直于直线lD ．对应点连线被直线平分 4．已知一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形的边数是（）A ．9B ．10C ．11D ．12 5．如图，在▱ABCD 中，AB=2.6，BC=4，∠ABC 的平分线交CD 的延长线于点E ，则DE 的长为（）A ．2.6B ．1.4C ．3D ．26．下列关于多边形的说法不正确的是（）A ．内角和外角和相等的多边形是四边形B ．十边形的内角和为1440°C ．多边形的内角中最多有四个直角D ．十边形共有40条对角线7．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是BC 的中点，若AB ＝16，则OE 的长为（）A ．8B ．6C ．4D ．3 8．已知在四边形ABCD 中，3AB =，5CD =，M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则线段MN的取值范围是（）A ．14MN <<B ．14MN <≤C ．28MN <<D ．28MN <≤ 9．如图，△ACE 是以□ABCD 的对角线AC 为边的等边三角形，点C 与点E 关于x 轴对称.若E 点的坐标是（7，－33），则D 点的坐标是 ( )A ．(4,0)B ．(92,0)C ．(5,0)D ．(112,0) 10．有下列命题：①有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形；②三边长为3，4，5的三角形为直角三角形；③三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等；④平行四边形的对角线相等；⑤顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形是平行四边形．正确的个数有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．如图，ABCD 中，点E 在边BC 上，以AE 为折痕，将ABE △向上翻折，点B 正好落在CD 上的点F 处，若FCE △的周长为7，FDA △的周长为21，则FD 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．812．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB AC ⊥，若6AB =，8AC =，则BD 的长是（）A ．10B ．213C ．413D ．12二、填空题13．一个正多边形的内角和为720︒，则这个多边形的外角的度数为______． 14．如图，在平行四边形ABCD 中，∠B=60°，∠BCD 的平分线交AD 点E ，若CD=3，四边形ABCE 的周长为13，则BC 长为__．15．平行四边形ABCD 中，4AB =，对角线3AC =，另一条对角线BD 的取值范围是_____．16．如图，在ABCD 中，CD ＝2，∠B ＝60°，BE ∶EC ＝2∶1，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为________．17．如图，在平行四边形ABCD 中，AB=213，AD=4，AC ⊥BC ．则BD=____．18．一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是边形__________边形．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8cm ，AB=6cm ，BE 平分∠ABC 交AD 边于点E ，则线段DE 的长度为_____．20．如图，平行四边形ABCD ，将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN ，已知68BNM ︒∠=，则AMP ∠=_______．三、解答题21．如图，ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，M ，N 分别是AB 、AD 的中点．（1）求证：四边形AMON 是平行四边形；（2）若6AC =，4BD =，90AOB ∠=︒，求NO 的长度．22．如图，在△OAB 中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，OB=8．以OB 为一边,在△OAB 外作等边三角形OBC ，D 是OB 的中点，连接AD 并延长交OC 于E ．（1）求证：四边形ABCE 是平行四边形．（2）求四边形ABCE 的面积．23．如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，E 是AB 上一点，且CE ＝BE ，将△CBE 绕点C 旋转得到△CAD ．（1）求证：AB ∥DC ；（2）连接DE ，判断四边形BEDC 的形状，并说明理由．24．在ABC 中，AB AC =，36BAC ∠=︒，将ABC 绕点A 顺时针旋转一个角度α得到ADE ，点B 、C 的对应点分别是D 、E ．（1）如图1，若点E 恰好与点B 重合，DF AB ⊥，垂足为F ，求BDF ∠的大小；（2）如图2，若108α=︒，连接EC 交AB 于点G ，求证：四边形ADEG 是平行四边形．25．如图，▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且E 、F 、G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点．(1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)若AC+BD=36，AB=10，求△OEF 的周长．26．如图，平行四边形ABCD 中，分别过A 、C 两点作AE BD ⊥，CF BD ⊥，垂足分别为E 、F ，连接CE 、AF ．（1）若4AB =，3EF =30ABD ∠=︒，求ABD △的面积；（2）求证：AF CE =．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用n 边形的内角和公式算出n ，再利用n 边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.【详解】根据题意,得(n-2)×180=1260，解得n=9，∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：n-3=9-3=6.故选C.【点睛】本题考查了n 边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.2．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质可得AFB FBC ∠=∠，由角平分线可得ABF FBC ∠=∠，所以AFB ABF ∠=∠，所以6AF AB ==，同理可得6DE CD ==，则根据EF AF DF AD =+-即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴//AD BC ，10AD BC ==，6DC AB ==，∴AFB FBC ∠=∠，∴BF 平分ABC ∠，∴ABF FBC ∠=∠，∴AFB ABF ∠=∠，∴6AF AB ==，同理可得6DE DC ==，∴66102EF AF DE AD =+-=+-=．故选：C ．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，解题的关键是依据数学模型“角平分线＋平行线＝等腰三角形”转化线段．3．D解析：D【分析】作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，则AD 被对称轴垂直平分，利用EF 是△A A 'D 的中位线，得到AE=E A '，同理可知：图形中对应点连线被直线平分．【详解】根据题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，∵A 、D 关于直线l 对称，∴AD 被对称轴垂直平分，又∵EF ∥A 'D ，∴EF 是△A A 'D 的中位线，∴AE=E A '，即A A '被对称轴平分，同理可知：图形中对应点连线被直线平分，故选：D ．．【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．4．B解析：B【分析】先根据多边形的外角和等于360︒可得其内角和的度数，再根据多边形的内角和公式即可得．【详解】设这个多边形的边数为n ，这个多边形的内角和是外角和的4倍，∴其内角和为36041440︒⨯=︒，由多边形的内角和公式得：180(2)1440n ︒-=︒，解得10n =，故选：B ．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和公式是解题关键． 5．B解析：B【分析】由平行四边形ABCD 中，BE 平分∠ABC ，可证得△BCE 是等腰三角形，继而利用DE=CE-CD ，求得答案．【详解】解：四边形ABCD 是平行四边形，AB//CD ∴，CD AB 2.6==，E ABE ∠∠∴=． BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，CBE E ∠∠∴=，CE BC 4∴==，DE CE CD 4 2.6 1.4∴=-=-=．故选：B ．【点睛】此题考查了平行四边形的性质，能证得△BCE 是等腰三角形是解此题的关键． 6．D解析：D【分析】根据多边形的内角和、外角和，多边形的内角线，即可解答．【详解】A 、内角和与外角和相等的多边形是四边形，正确；B 、十边形的内角和为()102180-⨯︒=1440°，正确；C 、多边形的内角中最多有四个直角，正确；D 、十边形共有()101032⨯-=35条对角线，故错误；故选：D ．【点睛】本题考查了多边形，解决本题的关键是熟记多边形的有关性质． 7．A解析：A【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO 的长．【详解】解：∵在□ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∴点O 是AC 的中点，又∵点E 是BC 的中点，∴EO 是△ABC 的中位线，∴EO ＝12AB ＝8．故选：A ．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO 是△ABC 的中位线是解题关键．8．B解析：B【分析】利用中位线定理作出辅助线，利用三边关系可得MN 的取值范围．【详解】连接BD ，过M 作MG ∥AB ，连接NG ．∵M 是边AD 的中点，AB=3，MG ∥AB ， ∴MG 是△ABD 的中位线，BG=GD ，1322MG AB ==； ∵N 是BC 的中点，BG=GD ，CD=5，∴NG 是△BCD 的中位线，1522NG CD ==，在△MNG 中，由三角形三边关系可知NG-MG ＜MN ＜MG+NG ，即53532222MN -<<+， ∴14MN <<，当MN=MG+NG ，即MN=4时，四边形ABCD 是梯形，故线段MN 长的取值范围是1＜MN≤4．故选B ．【点睛】解答此题的关键是根据题意作出辅助线，利用三角形中位线定理及三角形三边关系解答． 9．C解析：C【详解】解：如图，∵点C与点E关于x轴对称，E点的坐标是（7，3∴C的坐标为（7，3∴CH3CE3，∵△ACE是以▱ABCD的对角线AC为边的等边三角形，∴AC3∴AH=9，∵OH=7，∴AO=DH=2，∴OD=5，∴D点的坐标是（5，0），故答案为（5，0）．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等边三角形的性质、点关于x轴对称的特点以及勾股定理的运用．10．B解析：B【分析】根据各图形的性质和判定可以选出正确答案．【详解】解：①为等边三角形的判定定理，正确；对于②，2223475575+==≠，，，所以错误；∵线段垂直平分线上点到线段两端点距离相等，所以三角形三边垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，③正确；矩形的对角线相等，一般的平行四边形对角线不一定相等，④错误；顺次连结任意四边形各边的中点组成的新四边形各组对边分别与某一条对角线平行，所以新四边形是平行四边形，⑤正确，故选B．【点睛】本题考查三角形与四边形的性质与判定，灵活应用有关定理求证是解题关键．11．C解析：C【分析】由题意易得AB=AF，FE=BE，然后根据三角形的周长及线段的等量关系进行求解即可．【详解】解：由题意得：AB=AF，FE=BE，四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD，AB=DC=AF，FCE△的周长为7，FDA△的周长为21，∴FE+EC+FC=7，AD+AF+DF=21，∴BC+FC=7，AF=DC=DF+FC，∴7-FC+DF+FC+DF=21∴DF=7．故选C．【点睛】本题主要考查折叠的性质及平行四边形的性质，熟练掌握平息四边形及折叠的性质是解题的关键．12．C解析：C【分析】由平行四边形的性质得出OB=OD，OA=OC=12AC=4，由AC⊥AB，根据勾股定理求出OB，即可得出BD的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB=OD，OA=OC=12AC=4，∵AB⊥AC，∴由勾股定理得：=＝∴故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，由勾股定理求出OB是解题的关键．二、填空题13．60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720继而可求得答案【详解】解：设这个正多边形的边数为n∵一个正多边形的内角和为720°∴180（n-2）=72解析：60°【分析】首先设这个正多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式可得180（n-2）=720，继而可求得答案．【详解】解：设这个正多边形的边数为n，∵一个正多边形的内角和为720°，∴180（n-2）=720，解得：n=6，∴这个正多边形的每一个外角是：360°÷6=60°．故答案为：60°．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．14．5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行进而得出DE=CD=3再求出AE+BC=7BC-AE=3即可求出BC的长【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E∴∠ECD=∠ECB∵在平行四边形ABCD解析：5【分析】利用平行四边形的对边相等且互相平行，进而得出DE=CD=3，再求出AE+BC=7，BC-AE=3，即可求出BC的长．【详解】∵CE平分∠BCD交AD边于点E，∴∠ECD=∠ECB，∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=3，AD=BC，∠D=∠B=60°，∴∠DEC=∠ECB，∴∠DEC=∠DCE，∴DE=CD=3，∴△CDE是等边三角形，∴CE=CD=3，∵四边形ABCE的周长为13，∴AE+BC=13-3-3=7①，∵AD-AE═DE=3，即BC-AE=3②，由①②得：BC=5；故答案为：5．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出∠DEC=∠DCE是解题关键．15．【分析】根据四边形和三角形的三边关系性质计算即可得到答案【详解】如图平行四边形ABCD 对角线AC 和BD 交于点O ∵平行四边形ABCD ∴中或∴或∵不成立故舍去∴∴∵∴【点睛】本题考查了平行四边形三角形的解析：511BD <<【分析】根据四边形和三角形的三边关系性质计算，即可得到答案．【详解】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 和BD 交于点O∵平行四边形ABCD ，3AC = ∴1322AO AC == ABO 中AO BO AB AO BO AB +>⎧⎨-<⎩ 或AO BO AB BO AO AB +>⎧⎨-<⎩∴342342BO BO ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩ 或342342BO BO ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩∵342342BO BO ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩不成立，故舍去 ∴342342BO BO ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩∴51122BO << ∵2BD BO =∴511BD <<．【点睛】本题考查了平行四边形、三角形的性质；解题的关键是熟练掌握平行四边形对角线、三角形三边关系的性质，从而完成求解．16．【分析】分析作图痕迹可知△ABE 是等边三角形从而可求其面积继而求得△ABC 的面积再分析求得平行四边形的面积【详解】过点A 作AF ⊥BC 垂足为点F连接AC由题意知：△ABE是等边三角形∵四边形ABCD是解析：33【分析】分析作图痕迹，可知△ABE是等边三角形，从而可求其面积，继而求得△ABC的面积，再分析求得平行四边形的面积．【详解】过点A作AF⊥BC，垂足为点F，连接AC，由题意知：△ABE是等边三角形，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝2，∵∠B＝60°，∴在Rt△ABF中，BF=1，AF=22AB-BF=3，△ABE的面积为：11AB AF=23=3 22⨯⋅⨯⨯，∵BE∶EC＝2∶1∴△ABC与△ABE的底之比为3：2，而它们等高，∴△ABC的面积为：332，∴平行四边形ABCD的面积为：33．【点睛】考查垂直平分线的性质、等边三角形的判定、勾股定理、平行四边形的性质等，比较综合，但难度不大．17．10【分析】由BC⊥ACAB=2BC=AD=4由勾股定理求得AC的长得出OA长然后由勾股定理求得OB的长即可【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴BC=AD=4OB=ODOA=OC∵AC⊥BC∴解析：10【分析】由BC⊥AC，13BC=AD=4，由勾股定理求得AC的长，得出OA长，然后由勾股定理求得OB的长即可．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC=AD=4，OB=OD，OA=OC，∵AC⊥BC，∴，∴OC=3，∴，∴BD=2OB=10故答案为：10．【点睛】此题考查平行四边形的性质以及勾股定理．解题关键在于注意掌握数形结合思想的应用．18．八【分析】首先设这个多边形的边数为n由n边形的内角和等于180（n-2）即可得方程180（n-2）=1080解此方程即可求得答案【详解】解:设这个多边形的边数为n根据题意得:180（n-2）=108解析：八【分析】首先设这个多边形的边数为n,由n边形的内角和等于180︒（n-2）,即可得方程180（n-2）=1080,解此方程即可求得答案．【详解】解:设这个多边形的边数为n,根据题意得:180（n-2）=1080,解得:n=8,故答案为:八．【点睛】此题考查了多边形的内角和公式．此题比较简单,注意熟记公式是准确求解此题的关键,注意方程思想的应用．19．2cm【解析】试题解析：2cm．【解析】试题∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC=8cm，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=6cm，∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.20．【分析】根据平行四边形的性质得得根据折叠的性质得根据平角的性质即可求解【详解】∵四边形ABCD是平行四边形∴∴∵将四边形CDMN沿线段MN折叠得到四边形QPMN∴∴故答案为【点睛】本题考察了平行四边解析：44︒【分析】根据平行四边形的性质得//AD BC ，得68NMD ︒∠=，根据折叠的性质得68PMN NMD ︒∠=∠=，根据平角的性质即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形∴//AD BC∴68NMD BNM ︒∠=∠=∵将四边形CDMN 沿线段MN 折叠，得到四边形QPMN∴68PMN NMD ︒∠=∠=∴18044AMP PMN NMD ︒∠=︒-∠-∠=故答案为44︒．【点睛】本题考察了平行四边形的性质，平行线的性质，和利用平角求解未知角的度数；其中两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）NO =．【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AO ＝OC ，BO ＝OD ，根据三角形中位线的性质得到MO ∥AD ，NO ∥AB ，根据平行四边形的判定可证得结论；（2）由勾股定理求得AB =12NO AB =进而可得结论．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC ，BO ＝OD ．∵M ，N 分别是AB 、AD 的中点，∴//MO AD ，//NO AB ，∴//MO AN ，//NO AM ，∴四边形AMON 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO OC =，BO OD =．∵6AC =，4BD =，∴3AO =，2BO =．∵90AOB ∠=︒， ∴AB =∵N 是AD 的中点，BO OD =， ∴12NO AB =，∴NO =【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，三角形中位线的性质，勾股定理，根据三角形中位线的性质得到12NO AB =是解决问题的关键．22．（1）见详解；（2）【分析】（1）先证明AB ∥CE ，再推出∠ADB ＝∠OBC=60°，从而得AD ∥BC ，进而得到结论；（2）根据勾股定理求出AO 的长，再根据平行四边形的面积公式，即可求解．【详解】（1）证明：∵∠OAB ＝90°，∴AB ⊥x 轴，∵y 轴⊥x 轴，∴AB ∥y 轴，即AB ∥CE ，∵∠AOB ＝30°，∴∠OBA ＝60°，∵∠OAB=90°，D 是OB 的中点，∴DB=DO=12OB =4， ∵∠AOB=30°， ∴AB= 12OB =4， ∵DB ＝DO ＝AB =4，∴∠BDA ＝∠BAD ＝（180°-60°）÷2＝60°，∵△OBC 是等边三角形，∴∠OBC ＝60°，∴∠ADB ＝∠OBC ，即AD ∥BC ，∴四边形ABCE 是平行四边形；（2）在直角△OAB 中，AB=4，BO=8，∴=∴平行四边形ABCE 的面积=AB∙AO=4⨯=【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理以及平行四边形的判定定理，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．23．（1）见解析；（2）平行四边形，理由见解析【分析】（1）由旋转的性质得出∠BCE ＝∠ACD ，由等腰三角形的性质得出∠B ＝∠BAC ，∠B ＝∠BCE ，由平行线的判定可得出结论；（2）由平行四边形的判定可得出结论．【详解】（1）证明：由旋转的性质得∠BCE ＝∠ACD ，∵AC ＝BC ，∴∠B ＝∠BAC ，∵CE ＝BE ，∴∠B ＝∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BAC ，∴AB ∥CD ；（2）解：四边形BEDC 是平行四边形，由旋转的性质得CD ＝CE ，∵CE ＝BE ，∴CD ＝BE ，∵AB ∥DC ，∴四边形BEDC 是平行四边形．【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的性质与判定、熟练掌握旋转的性质是解本题的关键；24．（1）18BDF ∠=︒；（2）见解析．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ACB=72゜，再由旋转的性质得∠DBF=∠ACB=72゜，最后根据直角三角形两锐角互余可得结论；（2）分别证明∠DEC=108゜，∠DAG =108゜，可得EG//AD ，AG//DE ，从而可证四边形ADEG 是平行四边形．【详解】解：（1）∵AB AC =，36BAC ∠=︒∴72ABC ACB ∠=∠=︒∴72ADB ABD ∠∠==︒∵DF AB ⊥，∴90DFB ∠=︒∴∠DBF+∠BDF=90゜∴907218BDF ∠=︒-︒=︒（2）∵108α=︒，即108CAE ∠=︒又AE AC =∴36ACE AEC ∠=∠=︒∵∠AED=∠ADE=72゜∴∠DEC=72゜+36゜=108゜∴∠ADE+∠CED=180゜∴EG//AD∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE+∠EAG=∠CAB+∠EAG=108゜∴∠DAG+∠ADE=180゜∴AG//DE∴四边形ADEG 是平行四边形【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了平行四边形的判定．25．（1）详见解析；（2）14【分析】（1）由平行四边形的性质可得AO=CO ，BO=DO ，由中点的性质可得EO=12AO ，GO=12CO ，FO=12BO ，HO=12DO ，由对角线互相平分的四边形是平行四边形可得结论；（2）由平行四边形的性质可得EO+FO=9，由三角形中位线定理可得EF=5，即可求解．【详解】证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形∴AO=CO ，BO=DO∵E 、F 、 G 、H 分别是AO 、BO 、CO 、DO 的中点∴EO=12AO ，GO=12CO ，FO=12BO ，HO=12DO ∴EO=GO ，FO=HO∴四边形EFGH 是平行四边形(2)∵E 、F 分别是AO 、BO 的中点∴EF=12AB ，且AB=10 ∴EF=5 ∵AC+BD=36∴AO+BO=18∴EO+FO=9∴△OEF 的周长=OE+OF+EF=9+5=14．【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，熟练运用平行四边形的性质是本题的关键． 26．(1)；(2)证明见解析【分析】(1)由平行四边形的性质得AB=CD ，AB ∥CD ，由平行线的性质得∠ABE=∠CDF ，由AAS 证得△ABE ≌△CDF ，得BE=DF ，在Rt △ABE 中，由含30°角直角三角形的性质得122AE AB ==，再由勾股定理求出BE ，进而得到BD 的长，进而求出ABD △的面积； (2)由(1)得△ABE ≌△CDF ，则AE=CF ，易证AE ∥CF ，得出四边形AECF 是平行四边形，即可得出结论．【详解】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，AB ∥CD ，∴∠ABE=∠CDF ，又∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB=∠CFD=90°，在△ABE 和△CDF 中：ABE CDF AEB CFD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE ≌△CDF （AAS ），∴BE=DF ，∵在Rt △ABE 中，∠ABD=30°， ∴122AE AB ==，由勾股定理得：BE ==， ∴2223353BDBE EF ， ∴112535322ABD SAE BD ，故答案为：(2) 由(1)得：△ABE ≌△CDF ，∴AE=CF ，∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形，∴AF=CE ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30°直角三角形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．。

(必考题)初中数学八年级数学下册第六单元《平行四边形》测试卷(有答案解析)

一、选择题1．如果一个多边形的内角和为1260︒，那么从这个多边形的一个顶点可以作（）条对角线．A ．4B ．5C ．6D ．7 2．在平行四边形ABCD 中，AB ⊥AC ，∠B ＝60°，AC ＝23cm ，则平行四边形ABCD 的周长是（）A ．10cmB ．11cmC ．12cmD ．13cm3．如图，在ABCD 中，4CD =，60B ︒∠=，:2:1BE EC =，依据尺规作图的痕迹，则ABCD 的面积为（）A ．12B ．122C ．123D ．125 4．如图，作ABC 关于直线对称的图形A B C '''，接着A B C '''沿着平行于直线l 的方向向下平移，在这个变换过程中两个对应三角形的对应点应具有的性质是（）A ．对应点连线相等B ．对应点连线互相平行C ．对应点连线垂直于直线lD ．对应点连线被直线平分5．在平面直角坐标系中，已知四边形AMNB 各顶点坐标分别是：(0,2)(2,2),(3,),(3,)A B M a N b -，，且1,MN a b =<，那么四边形AMNB 周长的最小值为（）A ．625+B ．613+C 34251D 34131 6．下面关于平行四边形的说法中，不正确的是（）A ．对角线互相平分的四边形是平行四边形B ．有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形C ．有一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形D．有两组对角相等的四边形是平行四边形7．如图，在平面直角坐标系中，▱ABCD三个顶点坐标分别为A（-1，-2），D（1，1），C （5，2），则顶点B的坐标为（）A．（-1，3）B．（4，-1）C．（3，-1）D．（3，-2）8．如图，将四边形ABCD去掉一个60°的角得到一个五边形BCDEF，则∠1与∠2的和为()A．60°B．108°C．120°D．240°9．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是BC的中点，若AB＝16，则OE 的长为（）A．8 B．6 C．4 D．310．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,分别以点A和点C为圆心，以相同的长（大于12 AC）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD，下列结论错误的是（）A．AD=CD B．∠A=∠DCE C．∠ADE=∠DCB D．∠A=2∠DCB 11．如图，P为□ABCD对角线BD上一点，△ABP的面积为S1，△CBP的面积为S2，则S1和S2的关系为（）A ．S 1>S 2B ．S 1=S 2C ．S 1<S 2D ．无法判断 12．如图，平行四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，且14,5AC BD CD +==，则ABO ∆周长是（）A ．10B ．14C ．12D ．22二、填空题13．已知，如图，//,AB DC AF 平分,BAE DF ∠平分CDE ∠，且AFD ∠比∠E 的2倍多30°，则AED =∠_____度．14．对于一个四边形的四个内角，下面四个结论中，①可以四个角都是锐角；②至少有两个角是锐角；③至少有一个角是钝角；④最多有三个角是钝角；所有正确结论的序号是______．15．如图，在平行四边形纸片ABCD 中，2cm AB =，将纸片沿对角线AC 对折至CF ，交AD 边于点E ，此时BCF △恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是________．16．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝13 cm ，BC ＝12 cm ，点D 在边AB 上，AD ＝AC ，AE ⊥CD ，垂足为E ，点F 是BC 的中点，则EF ＝______cm ．17．如图，在△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 边的中点，若DE =2，则BC 边的长为____．18．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为()1,0-，()3,0，现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D ，则D 的坐标为_______，连接AC ，BD ．在y 轴上存在一点P ，连接PA ，PB ，使AB PAB DC S S ∆=四边形．则点P 的坐标为_______．19．如图，在平行四边形ABCD 中，BC=8cm ，AB=6cm ，BE 平分∠ABC 交AD 边于点E ，则线段DE 的长度为_____．20．已知//,AD BC 要使四边形ABCD 为平行四边形，需要增加的条件是____．(填一个你认为正确的条件)．三、解答题21．如图，在ABC 中，,AB AC =，D 为CA 延长线上一点，DE BC ⊥于点E ，交AB 于点F ．（1）求证：ADF 是等腰三角形；（2）若5AF BF ==，2BE =，求线段DE 的长．22．如图，点E 在ABCD 外，连接BE ，DE ，延长AC 交DE 于F ，F 为DE 的中点．（1）求证：//AF BE ；（2）若2AD =，60ADC ∠=︒，90ACD ∠=︒，2AC CF =，求BE 的长．23．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ⊥AC ，AB=3cm ，BC=5cm ．点P 从A 点出发沿AD 方向匀速运动，速度为lcm/s ．连接PO 并延长交BC 于点Q ，设运动时间为t (0<t<5)（1）求ABCD 面积；（2）设AOP 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式；（3）是否存在某一时刻t ，使点O 在线段AP 的垂直平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．24．如图1，在平面直角坐标系中，直线AB 与 x 轴、y 轴相交于A(6，0)、B(0，2)两点，动点C 在线段OA 上(不与 )O 、A 重合 )，将线段CB 绕着点C 顺时针旋转 90° 得到CD ，当点D 恰好落在直线AB 时，过点D 作DE ⊥x 轴于点E ．（1）求证：BOC CED ∆≅∆；（2）求经过A 、B 两点的一次函数表达式，如图2,将BCD ∆沿x 轴正方向平移得B C D '''∆，当直线B′C′经过点D 时，求点D 的坐标、B C D '''∆的面积；（3）若点P 在y 轴上，点Q 在直线AB 上，是否存在以C 、D 、P 、Q 为顶点的四边形是平行四边形?若存在，通过画图说明理由，并指出点Q 的个数．25．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，点,E F 分别是AB ，BC 的中点，连接EF交BD于G，连接OE，OF．证明：（l）四边形COEF是平行四边形；（2）线段OB与线段EF相互平分．OA=，26．如图，平行四边形ABCD在直角坐标系中，点B、点C都在x轴上，其中4 OB=，63AD=，E是线段OD的中点．（1）直接写出点C，D的坐标；（2）平面内是否存在一点N，使以A、D、E、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】先利用n边形的内角和公式算出n，再利用n边形的每一个顶点有(n-3)条对角线计算即可.【详解】根据题意,得(n-2)×180=1260，解得n=9，∴从这个多边形的一个顶点可以作对角线的条数为：n-3=9-3=6.故选C.【点睛】本题考查了n边形的内角和和经过每一个顶点可作的对角线条数，熟记多边形内角和公式，计算经过每一个顶点的对角线条数计算公式是解题的关键.2．C解析：C【分析】可设AB x =，因为AB AC ⊥，60B ∠=︒，所以30ACB ∠=︒，所以2BC x =，在t R ABC △中，利用勾股定理可求x ，则平行四边形的边AB ，BC 的长度可求，则周长可求．【详解】如图：9060906030AB ACBAC B ACB ⊥∴∠=︒∠=︒∴∠=︒-︒=︒设AB x =，则2BC x =在t R ABC △中，由勾股定理可得： 222BC AB AC -= 23AC =()(222223x x ∴-=2312x ∴= 24222,4x x x x AB BC ∴=∴=±>∴=∴==∴平行四边形ABCD 周长为： ()24212+⨯=故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质进行推理计算是解题关键．3．C解析：C【分析】由作图痕迹可得EF 为AB 的中垂线，结合60B ∠=︒判断出△ABE 为等边三角形，从而结合边长求出ABCD 在BC 边上的高为23，再根据比例关系求得BC 的长度，最终计算面积即可．【详解】设尺规作图所得直线与AB 交于F 点，根据题意可得EF 为AB 的中垂线，∴AE=BE ，又∵60B ∠=︒，∴△ABE 为等边三角形，边长AB=CD=4，∴BF=2，BE=4，2223EF BE BF =-=， ∴ABCD 在BC 边上的高为23，又∵:2:1BE EC =，BE=4，∴EC=2，BC=2+4=6，∴ABCD S =23×6=123，故选：C ．【点睛】本题考查平行四边形的性质，中垂线的识别与性质，以及等边三角形的判定与性质，准确根据作图痕迹总结出等边三角形是解题关键．4．D解析：D【分析】作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，则AD 被对称轴垂直平分，利用EF 是△A A 'D 的中位线，得到AE=E A '，同理可知：图形中对应点连线被直线平分．【详解】根据题意，作点A 关于直线l 的对称点D ，交直线l 于F ，将点D 向下平移得到点A '，连接A A '交直线l 于E ，∵A 、D 关于直线l 对称，∴AD 被对称轴垂直平分，又∵EF ∥A 'D ，∴EF 是△A A 'D 的中位线，∴AE=E A '，即A A '被对称轴平分，同理可知：图形中对应点连线被直线平分，故选：D ．．【点睛】此题考查平移的性质，轴对称的性质，三角形中位线的性质，熟练掌握各性质是解题的关键．5．A解析：A【分析】如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，，连接2A B ，交直线3x =于N ，连接1A N ，则此时四边形AMNB 的周长最短，再利用勾股定理可得：()()22022225AB =-+--=，()()22262125A B =-+--=，利用AMNB C 四边形2AB MN A B =++从而可得答案．【详解】解：如图，把()02A -，向上平移一个单位得：()101A -，，作1A 关于直线3x =的对称点()261A -，，连接2A B ，交直线3x =于N ，连接1A N ，122A N BN A N BN A B ∴+=+=，由111//MN AA MN AA ==，， ∴ 四边形1AMNA 是平行四边形，12,A N AM A N ∴==所以此时：四边形AMNB 的周长最短，()()()2022261A B A --，，，，，， ()()22022225AB ∴=-+--=， ()()22262125A B =-+--=，2AMNB C AM AB BN MN A N BN AB MN =+++=+++四边形2AB MN A B =++ 251525 6.=++=+故选：.A【点睛】本题考查的是图形与坐标，勾股定理的应用，轴对称的性质，平行四边形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．6．C解析：C【分析】根据平行四边形的判定分别对各个选项进行判断即可．【详解】A 、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，∴选项A 不符合题意；B 、∵有一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项B 不符合题意；C 、∵有一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形，∴选项C 符合题意；D 、∵有两组对角相等的四边形是平行四边形，∴选项D 不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定；熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 7．C解析：C【分析】根据平行四边形的性质，CD=AB ，CD ∥AB ，根据平移的性质即可求得顶点B 的坐标．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴CD=AB，CD∥AB，∵▱ABCD的顶点A、D、C的坐标分别是A（-1，-2）、D（1，1）、C（5，2），D（1，1）向左平移2个单位，再向下3个单位得到A（-1，-2），则C（5，2）向左平移2个单位，再向下3个单位得到（3，-1），∴顶点B的坐标为（3，-1）．故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平移的性质．注意数形结合思想的应用是解此题的关键．8．D解析：D【分析】利用四边形的内角和得到∠B＋∠C＋∠D的度数，进而让五边形的内角和减去∠B＋∠C＋∠D的度数即为所求的度数．【详解】∵四边形的内角和为（4−2）×180°＝360°，∴∠B＋∠C＋∠D＝360°−60°＝300°，∵五边形的内角和为（5−2）×180°＝540°，∴∠1＋∠2＝540°−300°＝240°，故选D．【点睛】本题考查多边形的内角和知识，求得∠B＋∠C＋∠D的度数是解决本题的突破点．9．A解析：A【分析】直接利用平行四边形的性质结合三角形中位线定理得出EO的长．【详解】解：∵在□ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∴点O是AC的中点，又∵点E是BC的中点，∴EO是△ABC的中位线，∴EO＝1AB＝8．2故选：A．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形中位线定理，正确得出EO是△ABC的中位线是解题关键．10．D解析：D【分析】根据题意可知DE是AC的垂直平分线，由此即可一一判断．【详解】∵DE是AC的垂直平分线，∴DA=DC，AE=EC，故A正确，∴DE∥BC，∠A=∠DCE，故B正确，∴∠ADE=∠CDE=∠DCB，故C正确，故选D．【点睛】本题考查作图-基本作图、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是熟练运用这些知识解决问题．11．B解析：B【解析】分析：根据平行四边形的性质可得点A、C到BD的距离相等，再根据等底等高的三角形的面积相等.详解：∵在□ABCD中，点A、C到BD的距离相等，设为h.∴S1= S△ABP=12BP h ,S2= S△CPB=12BP h.∴S 1=S2,故选B.点睛：本题主要考查的平行四边形的性质，关键在于理解等底等高的三角形的面积相等的性质.12．C解析：C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=5，∵AC+BD=14，∴AO+BO=7，∴△ABO的周长是：AO+BO+ AB=7+5=12．故选：C．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，正确得出AO+BO的值是解题关键．二、填空题13．60【分析】过F作FG∥AB即可得出AB∥GF∥CD再根据平行线的性质以及角平分线的定义即可得到∠AFD=∠3+∠4依据四边形内角和等于360°即可得出∠AED的度数【详解】解：如图所示过F作FG∥解析：60【分析】过F作FG∥AB，即可得出AB∥GF∥CD，再根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到∠AFD=∠3+∠4，依据四边形内角和等于360°，即可得出∠AED的度数．【详解】解：如图所示，过F作FG∥AB，∵AB∥DC，∴AB∥GF∥CD，∴∠1=∠DFG，∠2=∠AFG，∴∠AFD=∠1+∠2，∵AF平分∠BAE，DF平分∠CDE，∴∠1=∠3，∠2=∠4，设∠E=α，则∠AFD=2α+30°，∴∠AFD=∠3+∠4=2α+30°，∵四边形AEDF中，∠E+∠3+∠4+∠AFD=360°，∴α+2（2α+30°）=360°，解得α=60°，故答案为：60．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用四边形内角和进行计算求解．14．④【分析】四边形的内角和是根据四边形内角的性质选出正确选项【详解】解：①错误如果四个角都是锐角那么内角和就会小于；②错误可以是四个直角；③错误可以是四个直角；④正确故选：④【点睛】本题考查四边形内角解析：④【分析】四边形的内角和是360︒，根据四边形内角的性质选出正确选项．【详解】解：①错误，如果四个角都是锐角，那么内角和就会小于360︒；②错误，可以是四个直角；③错误，可以是四个直角；④正确．故选：④．【点睛】本题考查四边形内角的性质，解题的关键是掌握四边形内角的性质．15．【分析】为等边三角形点A 为BF 的中点可得求得再证明出点E 为AD 的中点得到可求出面积【详解】解：折叠至处AB=AF=2cmBC=BF=CF=4cm 为等边三角形又四边形ABCD 为平行四边形cmCD=AB2cm【分析】BCF △为等边三角形，点A 为BF 的中点，可得90BAC ∠=︒，求得12ACD S AC CD =，再证明出点E 为AD 的中点，得到12ACE ACD S S =，可求出面积．【详解】解：ABC 折叠至ACF 处，∴AB=AF=2cm ，BC=BF=CF=4cm ，BCF △为等边三角形，AC BF ∴⊥，90BAC ∠=︒，又四边形ABCD 为平行四边形，∴//AB CD ， 90ACD ∴∠=︒，AC ==，CD=AB=2cm ，12ACD S AC CD ∴==212⨯=2cm ，点A 为BF 的中点，//AE BC ， ∴AE 为BCF △的中位线，1122AE BC AD ∴==， ∴点E 为AD 的中点， 12ACE ACD S S ∴==12⨯2cm 为折叠重合部分的面积，2cm ．【点睛】本题考查了折叠问题以及等边三角形和平行四边形的综合问题，还涉及勾股定理，需要有一定的推理论证能力，熟练掌握等边三角形和平行四边形的性质是解题的关键． 16．4【分析】根据勾股定理求出AC 得到BD 的长根据等腰三角形的性质得到CE ＝DE 根据三角形中位线定理解答即可【详解】在△ABC 中∠ACB ＝90°∴AC ＝＝＝5∴AD＝AC＝5∴BD＝AB−AD＝13−5解析：4【分析】根据勾股定理求出AC，得到BD的长，根据等腰三角形的性质得到CE＝DE，根据三角形中位线定理解答即可．【详解】在△ABC中，∠ACB＝90°，∴AC5，∴AD＝AC＝5，∴BD＝AB−AD＝13−5＝8，∵AC＝AD，AE⊥CD，∴CE＝DE，∵CE＝DE，CF＝BF，∴EF是△CBD的中位线，∴EF＝1BD＝4，2故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质、勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．17．【分析】根据三角形中位线定理解答即可【详解】解：∵DE分别为ABAC 边的中点∴DE是△ABC的中位线∴BC=2DE=4故答案为：4【点睛】本题考查的是三角形中位线定理掌握三角形的中位线平行于第三边且解析：【分析】根据三角形中位线定理解答即可．【详解】解：∵D、E分别为AB、AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴BC=2DE=4．故答案为：4．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．（42）（04）或（0-4）【分析】（1）根据平移规律直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h则S△PAB=×AB×h根据S△PAB=S四边形ABDC列方程求h的值确定P点坐标【详解】解：∵解析：（4，2）（0，4）或（0，-4）【分析】（1）根据平移规律，直接得出点D的坐标；（2）设点P到AB的距离为h，则S△PAB=12×AB×h，根据S△PAB=S四边形ABDC，列方程求h的值，确定P点坐标．【详解】解：∵点B的坐标为(3，0)，将点B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到点D，∴D(4，2)；设点P到AB的距离为h，S△PAB=12×AB×h=2h，S四边形ABDC=AB×y D=8，∵S△PAB=S四边形ABDC，∴2h=8，解得h=4，∴P(0，4)或(0，-4)．故答案为：(4，2)；(0，4)或(0，-4)．【点睛】本题考查了坐标与图形平移的关系，坐标与平行四边形性质的关系，解题的关键是理解平移的规律．19．2cm【解析】试题解析：2cm．【解析】试题∵四边形ABCD为平行四边形，∴AE∥BC，AD=BC=8cm，∴∠AEB=∠EBC，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，∴∠ABE=∠AEB，∴AB=AE=6cm，∴DE=AD﹣AE=8﹣6=2（cm）.20．AD=BC(答案不唯一)【分析】在已知一组对边平行的基础上要判定是平行四边形则需要增加另一组对边平行或平行的这组对边相等或一组对角相等均可【详解】解：根据平行四边形的判定方法知需要增加的条件是AD=解析：AD=BC(答案不唯一)【分析】在已知一组对边平行的基础上，要判定是平行四边形，则需要增加另一组对边平行，或平行的这组对边相等，或一组对角相等均可．【详解】解：根据平行四边形的判定方法，知需要增加的条件是AD=BC 或AB ∥CD 或∠A=∠C 或∠B=∠D ．故答案为：AD=BC （或AB ∥CD ）．【点睛】此题考查了平行四边形的判定，为开放性试题，答案不唯一，要掌握平行四边形的判定方法．三、解答题21．（1）证明见解析；（2）321DE =．【分析】（1）根据等边对等角和直角三角形两锐角互余可得∠D=∠BFE ，再等量代换可得∠D=∠AFD ，根据等角对等边即可证明；（2）过A 作AH ⊥BC ，根据中位线定理可得EH=2，根据三线合一可得EC ，再根据勾股定理可求．【详解】解：（1）∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵DE ⊥BC ，∴∠C+∠D=90°，∠B+∠BFE=90°，∴∠D=∠BFE ，又∵∠BFE=∠AFD ，∴∠D=∠AFD ，∴AD=AF ，即△ADF 为等腰三角形；（2）过A 作AH ⊥BC ，∵5AF BF ==，DE ⊥BC ，∴EF//AH ，∴EF 是△BAH 的中位线，∵BE=2，∴EH=2，∵AB=AC ，∴BC=4BE=8，EC=HC+HE=BH+EH=6，∵DA=AF=5，AC=AB=10，∴DC=AD+AC=15， ∴22156321DE =-=．【点睛】本题考查中位线定理、勾股定理、等腰三角形的性质和判定等．（1）中注意等边对等角，以及等角对等边的使用；（2）中能正确作出辅助线是解题关键．22．（1）见解析；（2）23【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，根据平行四边形的性质可以判定OF 为△DBE 的中位线，即可证明；（2）根据AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，可求出AC 的长，再根据中位线的性质即可求解；【详解】解：（1）连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB OD =，∵DF EF =，∴OF 为△DBE 的中位线∴//AF BE ．（2）∵AD=2，∠ACD=90°，∠ADC=60°，∴3AC =∵OF 是DBE 的中位线，∴2BE OF =．∴222BE OC CF AC CF =+=+．∵2AC CF =，∴223BE AC ==【点睛】本题考查了三角形中位线的性质以及平行四边形的性质，正确掌握知识点是解题的关键； 23．（1）12cm 2；（2）35y t =(0＜t ＜5)；（3）存在，当16 5t =秒时，使点O 在线段AP的垂直平分线上【分析】（1）利用勾股定理求出AC 即可解决问题．（2）如图1中，作OH ⊥AD 于H ．利用三角形的面积公式求出OH 即可解决问题．（3）由OH 是AP 的垂直平分线，推出AH=12AP=12t ，∠AHO=90°，由（2）知：AO=2，OH=56，由勾股定理得：AH 2+OH 2=AO 2，由此构建方程即可解决问题．【详解】（1）∵AB ⊥AC ，∴∠BAC=90°，∵AB=3cm ，BC=5cm ，∴AC=2222534BC AB -=-=(cm)，∴S 平行四边形ABCD =AB•AC=12(cm 2)；（2）如图1中，作OH ⊥AD 于H ．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC=5，S △AOD =14S 平行四边形ABCD =3， ∴12AD•OH=3， ∴OH=65(cm)， ∴12y =AP•OH=12•t•6355t =(0＜t ＜5)；（3）存在，如图2，∵OH 是AP 的垂直平分线，∴AH=12AP=12t ，∠AHO=90°，由（2）知：AO=12AC =2，OH=65，由勾股定理得：2AH +2OH =2AO ，即22216t 225⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴165t =或165t =-(舍去)， ∴当165t =秒时，使点O 在线段AP 的垂直平分线上．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理的应用，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24．（1）见解析；（2）D （3，1），B C D '''∆的面积为52；（3）存在，满足条件点Q 存在三个点，如图所示见解析．【分析】（1）根据同角的余角相等得到BCO CDE ∠=∠，通过AAS 即可得到结论；（2）通过待定系数法求出直线 AB 的一次函数式，设 OC= ED =m ，从而得到点D 的坐标，进而即可求出B C D '''∆的面积；（3）分别以CD 为平行四边形的边和对角线，画出图形，即可得到结论．【详解】（1）证明：如图 1 中， 90BOC BCD CED ︒∠=∠=∠=90OCB DCE ︒∴∠+∠=,90DCE CDE ︒∠+∠=BCO CDE ∴∠=∠BC CD =BOC CED ∴∆≅∆（2）设直线 AB 的一次函数式为：y kx b =+∵直线 AB 与 x 轴， y 轴交于 A(6,0) , B(0,2)两点，∴062k bb=+⎧⎨=⎩，解得：132kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴可求得直线 AB 的一次函数式为：123y x=-+BOC CED∆≅∆∵BO=CE=2，设 OC= ED =m，则 D( m+2,m ),把D(m+2,m) 代入得到123y x=-+,得m=1,∴D(3,1)∴等腰直角△BCD 腰长：5CB CD==,∵B C D'''∆与△BCD 的全等,∴B C D'''∆的面积=△BCD 的面积=52；(3)满足条件点 Q 存在三个点，如图所示【点睛】本题主要考查一次函数的图象和性质、三角形全等的判定和性质定理以及平行四边形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理以及平行四边形的性质，以及分类讨论思想是解题的关键．25．（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）由题意可知OE、EF是△ABC的两条中位线，然后根据中位线的性质和平行四边形的判定可以得到解答．（2）由题意及（1）的结论可知OE||BF且OE=BF，由此得四边形OEBF是平行四边形，进一步可以得到解答．【详解】证明：（l）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO CO=，即点O为线段AC的中点.又∵点,E F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF AC ，OE BC ∥.∴四边形COEF 是平行四边形.（2）∵点,E F 分别是AB ，BC 的中点，点O 为线段AC 的中点， ∴1OE BC 2=，12BF BC =.∴OE BF =. 由（1）知，OE BC ∥，∴四边形OEBF 是平行四边形. ∴线段OB 与线段EF 相互平分.【点睛】本题考查三角形中位线和平行四边形的综合应用，熟练掌握三角形中位线的性质和平行四边形的性质和判定是解题关键．26．（1）C (3，0)，D (6，4)；（2）存在，1N (3，6)，2N (9，2)，3N (3-，2-)【分析】（1）根据平行四边形的性质可求得OC 的长，从而求得点C ，D 的坐标；（2）分AD 为对角线，DE 为对角线，AE 为对角线三种情况讨论，利用中点坐标公式即可求解．【详解】（1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=6，∵OB=3，∴OC=6-3=3，∴点C 的坐标为(3，0)，点D 的坐标为(6，4)；（2）存在，理由如下：∵E 是线段OD 的中点，∴点E 的坐标为(602+，402+)，即(3，2)，设点N 的坐标为(x ，y )，当AD 为对角线时，36022x ++=，242y +=，解得：3x =，6y =，∴1N 的坐标为(3，6)；当DE 为对角线时，06322x ++=，44222y ++=，解得：9x =，2y =，∴2N 的坐标为(9，2)；当AE 为对角线时，60322x ++=，40222y ++=，解得：3x =-，2y =-，∴3N 的坐标为(3-，2-) ．【点睛】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质．讨论平行四边形存在性问题时，按对角线进行分类讨论，画出图形再计算．。

新人教版八年级下册平行四边形单元测试题

人教版八年级数学（下）四边形单元训练题（五一作业）一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD为对角线，BC=6，BC边上的高为4，则图中阴影部分的面积为（）第1题图第2题图第3题图A．3 B．6 C．12 D．242．如图，沿虚线EF将平行四边形ABCD剪开，则得到的四边形ABFE是（）A．梯形 B．平行四边形C．矩形 D．菱形3．如图是一张矩形纸片ABCD，AD=10cm，若将纸片沿DE折叠，使DC落在DA上，点C的对应点为点F，若BE=6cm，则CD=（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm4．如图，正方形ABCD内有两条相交线段MN，EF，M，N，E，F分别在边AB，CD，AD，BC上．小明认为：若MN=EF，则MN⊥EF；小亮认为：若MN⊥EF，则MN=EF．你认为（）A．仅小明对B．仅小亮对C．两人都对D．两人都不对第4题图第6题图5．在平面直角坐标系中，已知点A（0，2），B（﹣2，0），C（0，﹣2），D（2，0），则以这四个点为顶点的四边形ABCD是（） A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形6．矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为（）A．8 B ．C．4 D ．7．下列命题正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形8．如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB=BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（）A．AD=BC B．CD=BF C．∠A=∠C D．∠F=∠CDE第8题图第9题图第10题图9．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（）A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm10．如图，在菱形ABCD中，∠A=110°，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，则∠FPC=（）A．35°B．45°C．50°D．55°11．如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O，以下四个结论：①∠ABC=∠DCB，②OA=OD，③∠BCD=∠BDC，④S△AOB=S△DOC．其中正确的是（）第11题图第12题图第13题图A．①② B．①④ C．②③④D．①②④12．如图，在矩形ABCD中，若AC=2AB，则∠AOB的大小是（）A．30° B45°C．60°D．90°二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为_________cm2．14、如图5，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点与A点重合，则折痕EF 的长是15、如下图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM=2，N是AC上的一动点，求DN+MN 的最小值（）。

新人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》检测卷(有答案解析)

一、选择题1．如图，在等腰直角ABC 中，AB BC =，点D 是ABC 内部一点， DE BC ⊥，DF AB ⊥，垂足分别为E ，F ，若3CE DE =， 53DF AF =， 2.5DE =，则AF =（）A ．8B ．10C ．12.5D ．152．下列命题为假命题的是（）A ．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．B ．两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等．C ．等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合．D ．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．3．已知点()0,0A ，()0,4B ，()3,4C t +，()3,D t ．记()N t 为ABCD 内部（不含边界）整点的个数，其中整点是指横坐标和纵坐标都是整数的点，则()N t 所有可能的值为（）A ．6、7B ．7、8C ．6、7、8D ．6、8、9 4．如图，已知ABC ∆的面积为24,点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且4,BC CF =四边形DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）A ．6B ．8C ．3D ．45．在菱形ABCD 中，∠ABC=60゜，AC=4，则BD=( )A ．3B ．23C ．33D ．436．在平面直角坐标系中，点A ，B ，C 的坐标分别为()5,0，()1,3--，()2,5-，当四边形ABCD 是平行四边形时，点D 的坐标为（）A ．()8,2-B ．()7,3-C ．()8,3-D ．()14,0 7．如图，在△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，BM 是AC 边的中线，点D ，E 分别在边AC 和BC 上，DB=DE ，EF ⊥AC 于点F ，则以下结论；①∠DBM=∠CDE ；②BN=DN ；③AC=2DF ；④S BDE ∆﹤S BMFE 四边形其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③ 8．如图，将长方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 落在点C ′处，BC ′交AD 于E ，AD ＝8，AB ＝4，则重叠部分（即BDE ）的面积为（）A ．6B ．7.5C ．10D ．209．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．102D ．32210．如图，矩形纸片ABCD 中，6AB =，10AD =，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的点A 处，折痕为PQ ，当点1A 在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则当1A B 最小时其值为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，M ，N 分别在边AB ，BC ，AD 上，将纸片分别沿EN ，EM 对折，使点A 落在点'A 处，点B 落在点'B 处，若''30A EB ∠=︒，则NEM ∠的度数为（）A ．70︒B ．75︒C ．80︒D ．85︒ 12．矩形不一定具有的性质是（） A ．对角线互相平分 B ．是轴对称图形 C ．对角线相等 D ．对角线互相垂直参考答案二、填空题13．已知菱形的面积为962cm ，两条对角线之比为3∶4，则菱形的周长为__________． 14．如图，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，DE //AC ，CE //BD ，连接OE ，设AC ＝12，BD ＝16，则OE 的长为_____．15．在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，要使四边形ABCD 是平行四边形，还需添加一个条件，这个条件可以是__________．（只要填写一种情况）16．如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN ，再把点B 折叠到折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，则ABH ∠=______°．17．如图：在ABC ∆中，13,12,AB BC ==点D E 、分别是,AB BC 的中点，连接DE CD 、，如果 2.5,DE =那么ABC ∆的周长是___．18．如图，在ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，（1）若18cm,24cm AC BD ==，则AO =_______，BO =_______．又若13AB =厘米，则COD △的周长为________．（2）若AOB 的周长为30cm ，12cm AB =，则对角线AC 与BD 的和是________． 19．如图，在Rt ABC ∆中，90,6,10ACB AC AB ∠===，过点A 作//,AM CB CE 平分ACB ∠交AM 于点,E Q 是线段CE 上的点，连接BQ ，过点B 作BP BQ ⊥交AM 于点P ，当PBQ ∆为等腰三角形时，AP =________________________．20．在ABCD 中，BE AD ⊥于E ，BF CD ⊥于F ，若60EBF ︒∠=，且3AE =，2DF =，则EC =_______．三、解答题21．综合与实践：问题情境：数学活动课上，老师和同学们一起以“矩形的旋转”开展数学活动．具体操作如下：第一步：如图1，将长与宽都相等的两个矩形纸片ABCD 和EFGH 叠放在一起，这时对角线AC 和EG 互相重合．第二步：固定矩形ABCD ，将矩形EFGH 绕AC 的中点O 逆时针方向旋转，直到点E 与点B 重合时停止．问题解决：（1）奋进小组发现：在旋转过程中，当边AB 与EF 交于点M ，边CD 与GH 交于点N ，如图2、图3所示，请写出线段AM 与CN 始终存在的数量关系，并利用图2说明理由．（2）奋进小组继续探究发现：在旋转开始后，当两个矩形纸片重叠部分为四边形MRNQ 时，如图3所示，请你猜测四边形MRNQ 的形状，并试着证明你的猜想．探索发现：（3）奋进小组还发现在问题（2）中的四边形MRNQ 中MQN ∠与旋转角AOE ∠存在着特定的数量关系，请你写出这一关系，无需说明理由．22．已知：线段,a b ，α∠（如图），用直尺和圆规作一个平行四边形，使它的两条对角线长分别等于线段,a b ，且两条对角线所成的一个角等于α∠．23．（1）如图，已知线段a ，c ，求作Rt ABC ，使得90C ∠=︒，BC a =，AB c =；（2）在Rt ABC 中，斜边AB 边上的中线长为5，7BC =，试比较AC ，BC 的大小． 24．如图，将长方形ABCD 沿着对角线BD 折叠，使点C 落在C '处，BC '交AD 于点E ．（1）试判断BDE 的形状，并说明理由．（2）若4AB =，8AD =，求AE 的长．参考答案25．如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，点E ，F 在BD 上，且BE DF =，连接AE 并延长，交BC 于点G ，连接CF 并延长，交AD 于点H ．（1）求证：AE CF =；（2）若AC 平分HAG ∠，判断四边形AGCH 的形状，并证明你的结论．26．下图所示的三种拼块A ，B ，C ，每个拼块都是由一些大小相同、面积为1个单位的小正方形组成，如编号为A 的拼块的面积为3个单位．现用若干个这三种拼块拼正方形，拼图时每种拼块都要用到，且这三种拼块拼图时可平移、旋转，或翻转．（1）若用1个A 种拼块，2个B 种拼块，4个C 种拼块，则拼出的正方形的面积为个单位；（2）在图1和图2中，各画出了一个正方形拼图中1个A 种拼块和1个B 种拼块，请分别用不同的拼法将图1和图2中的正方形拼图补充完整．要求：所用的A ，B ，C 三种拼块的个数与（1）不同，用实线画出边界线，拼块之间无缝隙，且不重叠．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】根据比例关系设DF=x ，可判断四边形DEBF 为矩形，根据矩形的性质和比例关系分别表示CB 和AB ，再根据AB BC =，列出方程，求解即可得出x ，从而得出AF ．【详解】,DE BC DF AB ⊥⊥，90DEB DFB ∴∠=∠=︒，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴∠ABC=90°，∴四边形DEBF 为矩形，∴BF=DE=2.5，DF=EB ，设DF=3x ，则EB=3x ，∵53DF AF =，∴AF=5x ，AB=5x+2.5，∵3CE DE =，∴CE=7.5，∴CB=7.5+3x ，∵AB=CB ，∴5x+2.5=7.5+3x ，解得x=2.5,∴512.5AF x ==，故选：C ．【点睛】本题考查矩形的性质和判定，等腰三角形的定义，一元一次方程的应用．能借助相关性质表示对应线段的长度是解题关键．本题主要用到方程思想．2．B解析：B【分析】根据直角三角形斜边的中线的性质，三角形全等的判定，等边三角形的性质以及线段垂直平分线的性质对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是真命题，不符合题意；B 、两边及其一边的对角对应相等的两个三角形全等，是假命题，符合题意．C 、等边三角形一边上的高线与这边上的中线互相重合，是真命题，不符合题意；D 、到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，是真命题，不符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．3．C解析：C【分析】分别求出t=1，t=1.5，t=2，t=0时的整数点，根据答案即可求出答案．【详解】解：当t=0时，A （0，0），B （0，4），C （3，4），D （3，0），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），共6个点；当t=1时，A （0，0），B （0，4），C （3，5），D （3，1），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），共8个点；当t=1.5时，A （0，0），B （0，4），C （3，5.5），D （3，1.5），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），共7个点；当t=2时，A （0，0），B （0，4），C （3，6），D （3，2），此时整数点有（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），共8个点；故选项A 错误，选项B 错误；选项D 错误，选项C 正确；故选：C ．【点睛】本题考查了平行四边形的性质．主要考查学生的理解能力和归纳能力．4．A解析：A【分析】想办法证明S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，再由EF ∥AC ，可得S △AEC =S △ACF 解决问题；【详解】解：如图连接AF 、EC ．∵BC=4CF ，S △ABC =24，∴S △ACF = 14×24=6， ∵四边形CDEF 是平行四边形，∴DE ∥CF ，EF ∥AC ，∴S △DEB =S △DEC ，∴S 阴=S △ADE +S △DEC =S △AEC ，∵EF ∥AC ，∴S △AEC =S △ACF =6，∴S 阴=6．故选：A ．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．D解析：D【分析】根据菱形的性质可得到直角三角形，利用勾股定理计算即可；【详解】如图，AC 与BD 相较于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，4AC =，∴AC BD ⊥，2AO =，又∵∠ABC=60゜，∴30ABO ∠=︒，∴24AB AO ==，∴BO == ∴2BD BO ==；故选D ．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合勾股定理计算是解题的关键．6．A解析：A【分析】以AC 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AB 为对角线，可得AD ∥BC ，AD=BC ；以AD 为对角线，可得AB ∥CD ，AB=CD ．【详解】解：①以AD 为对角线时，可得AB ∥CD ，AB ＝CD ，∴A 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得B 点，∴C 点向左平移6个单位，再向下平移3个单位得D₁(-4，-8)；②以AC 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴B 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得B 点，∴C 点向右平移6个单位，再向上平移3个单位得D₂(8，-2)；③以AB 为对角线时，可得AD ∥BC ，AD=BC ，∴C 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得A ，∴B 点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得D₃(2，2)；综上可知，D 点的坐标可能为：D₁(-4，-8)、D₂(8，-2)、D₃(2，2)，故选：A ．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，利用平行四边形的判定：对边平行且相等的四边形是平行四边形，要分类讨论，以防遗漏．7．D解析：D【分析】①设∠EDC=x ，则∠DEF=90°-x 从而可得到∠DBE=∠DEB=180°-（90°-x ）-45°=45°+x ，∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x ，从而可得到∠DBM=∠CDE ；③由△BDM ≌△DEF ，可知DF=BM ，由直角三角形斜边上的中线的性质可知BM=12AC ； ④可证明△BDM ≌△DEF ，然后可证明：△DNB 的面积=四边形NMFE 的面积，所以△DNB 的面积+△BNE 的面积=四边形NMFE 的面积+△BNE 的面积；【详解】解：①设∠EDC=x ，则∠DEF=90°-x ，∵BD=DE ，∴∠DBE=∠DEB=∠EDC+∠C=x+45°，∴∠DBM=∠DBE-∠MBE=45°+x-45°=x ．∴∠DBM=∠CDE ，故①正确；②由①得∠DBM=∠CDE ，如果BN=DN ，则∠DBM=∠BDN ，∴∠BDN=∠CDE ，∴DE 为∠BDC 的平分线，∴△BDE ≌△FDE ，∴EB ⊥DB ，已知条件∠ABC=90°，∴②错误的；③在△BDM 和△DEF 中，DBM CDE DMB DFE BD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDM ≌△DEF （AAS ），∴BM=DF ，∵∠ABC=90°，M 是AC 的中点，∴BM=12AC ， ∴DF=12AC ，即AC=2DF ；故③正确．④由③知△BDM ≌△DEF （AAS ）∴S △BDM =S △DEF ，∴S △BDM -S △DMN =S △DEF -S △DMN ，即S △DBN =S 四边形MNEF ．∴S △DBN +S △BNE =S 四边形MNEF +S △BNE ，∴S △BDE =S 四边形BMFE ，故④错误；故选D ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，利用面积法证明S △BDE =S 四边形BMFE 是解题的关键．8．C解析：C【分析】由折叠结合矩形的性质先证明,BE DE =设,BE DE x == 则8,AE x =- 再利用勾股定理求解,x 从而可得BDE 的面积．【详解】解：长方形ABCD ，8,4,AD AB ==//,AD BC ∴,ADB CBD ∴∠=∠由对折可得：,CBD C BD '∠=∠,ADB C BD '∴∠=∠,BE DE ∴=设,BE DE x == 则8,AE x =-由222,BE AB AE =+ ()22248,x x ∴=+-1680,x ∴=5,x ∴= 5,DE BE ∴== 115410.22BDE S DE AB ∴==⨯⨯= 故选：.C【点睛】本题考查的是矩形与折叠问题，勾股定理的应用，矩形的性质，掌握以上知识是解题的关键．9．C解析：C【分析】连接CE ，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG 的长；【详解】连接CE ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD ∥BC ，∴∠CBE=∠AEB ，∵BE 平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt △CDE 中=∵点F 、G 分别为BC 、BE 的中点,∴FG 是△CBE 的中位线，FG=12 故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC 的长度是解题的关键. 10．A解析：A【分析】根据翻折的性质，可得当Q 与D 重合时，A 1B 最小，根据勾股定理，可得A 1C ，从而可得答案．【详解】解：由折叠可知：当Q 与D 重合时，A 1B 最小，A 1D=AD=10，由勾股定理，得：A 1=8，∴A 1B=10-8=2，故选A ．【点睛】本题考查了翻折变换，利用了翻折的性质得到当Q 与D 重合时，A 1B 最小是解题的关键． 11．B解析：B【分析】先由翻折的性质得到'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图可得''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，然后根据180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，得到2''180NEM A EB ∠+∠=︒，进而可求出NEM ∠的度数．【详解】由翻折的性质可知：'AEN A EN ∠=∠，'BEM B EM ∠=∠，由图知：''''A EN B EM NEM A EB ∠+∠=∠+∠，又∵180AEN NEM MEB ∠+∠+∠=︒，∴''180A EN B EM NEM ∠+∠+∠=︒，∴2''180NEM A EB ∠+∠=︒，又∵''30A EB ∠=︒，∴75NEM ∠=︒．故选：B ．【点睛】本题主要考查的是翻折的性质，掌握翻折的性质是解题的关键．12．D解析：D【分析】根据矩形的性质即可判断．【详解】解：∵矩形的对角线线段，四个角是直角，对角线互相平分，∴选项A 、B 、C 正确，故选：D ．【点睛】本题考查矩形的性质，解题的关键是记住矩形的性质．二、填空题13．40【分析】依题意已知菱形的面积以及对角线之比首先根据面积公式求出菱形的对角线长然后利用勾股定理求出菱形的边长【详解】解：设两条对角线长分别为3x 和4x 由题意可得：解得：x=±4（负值舍去）∴对角线解析：40cm【分析】依题意，已知菱形的面积以及对角线之比，首先根据面积公式求出菱形的对角线长，然后利用勾股定理求出菱形的边长．【详解】解：设两条对角线长分别为3x 和4x ，由题意可得：134962x x =，解得：x=±4（负值舍去） ∴对角线长分别为12cm 、16cm ，又∵菱形的对角线互相垂直平分，根据勾股定理可得菱形的边长，则菱形的周长为40cm ．故答案为：40cm ．此题主要考查菱形的性质和菱形的面积公式，综合利用了勾股定理．14．10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20证出平行四边形OCED为矩形得OE＝CD＝10即可【详解】解：∵DEACCEBD∴四边形OCED为平行四边形∵四边形ABCD是菱形∴AC⊥BDOA＝O解析：10【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可．【详解】解：∵DE//AC，CE//BD，∴四边形OCED为平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC＝12AC＝6，OB＝OD＝12BD＝8，∴∠DOC＝90︒，CD＝10，∴平行四边形OCED为矩形，∴OE＝CD＝10，故答案为：10．【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键．15．（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定定理有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可填写【详解】解：∵AD∥BCAD=BC∴四边形ABCD 是平行四边形故答案为：AD=BC（答案不唯一）【点睛】解析：AD BC=（答案不唯一）【分析】根据平行四边形的判定定理“有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可填写．【详解】解：∵AD∥BC，AD=BC，∴四边形ABCD是平行四边形．故答案为：AD=BC（答案不唯一）【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟知平行四边形的判定定理是解题的关键，本题有多种答案，如可以根据平行四边形的定义填写AB∥CD等．16．75【分析】由将正方形纸片对折折痕为MN可得MA=MD=由折叠得AB=AH 由四边形ABCD是正方形得AD=AB可推出AH=AD=2AM可求∠AHM=30°利用平行线性质可求∠BAH=30°在△AHB【分析】由将正方形纸片对折，折痕为MN ，可得MA=MD=1AD 2，由折叠得AB=AH 由四边形ABCD 是正方形得AD=AB ，可推出AH=AD=2AM ，可求∠AHM=30°，利用平行线性质可求∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB 由内角和可求∠ABH=75︒即可．【详解】解:∵正方形纸片对折，折痕为MN ，∴MN 是AD 的垂直平分线，∴MA=MD=1AD 2， ∵把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，∴AB=AH ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=AB ，∴AH=AD=2AM ，∵∠AMH=90°，AM=1AH 2， ∴∠AHM=30°，∵MN ∥AB ，∴∠BAH=30°，在△AHB 中，AH=AB ， ∴∠ABH=()()11180BAH 180307522︒-∠=︒-︒=︒．故答案为：75．【点睛】本题考查正方形折叠问题，涉及垂直平分线，正方形性质，等腰三角形性质，三角形内角和，关键是30°角所对直角边等于斜边一半逆用求角度．17．30【分析】根据三角形的中位线性质求出AC 的长再求出ΔABC 的周长【详解】∵点DE 分别是ABBC 的中点∴DE 是ΔABC 的中位线∴DE=AC ∵DE=25∴AC=5∵AB=13BC=12∴C △ABC=A解析：30【分析】根据三角形的中位线性质，求出AC 的长，再求出ΔABC 的周长．【详解】∵点 D 、 E 分别是 AB 、 BC 的中点，∴DE 是ΔABC 的中位线，∴ DE=12AC ，∵ DE=2.5 ，∴ AC=5 ，∵ AB=13 ， BC=12 ，∴ C△ABC=AB+BC+AC=13+12+5=30．故答案为：30.【点睛】本题考查了三角形的中位线性质定理，解题的关键是掌握，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．18．9cm12cm34cm36cm【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分对边相等可得结果；（2）根据△AOB的周长和AB的长度得到AO+BO从而得到AC+BD【详解】解：（1）在平行四边形ABCD中解析：9cm 12cm 34cm 36cm【分析】（1）根据平行四边形对角线互相平分，对边相等可得结果；（2）根据△AOB的周长和AB的长度，得到AO+BO，从而得到AC+BD．【详解】解：（1）在平行四边形ABCD中，∵AC=18cm，BD=24cm，∴AO=12AC=9cm=CO，BO=12BD=12cm=DO，∵AB=13cm，∴CD=13cm，∴COD△的周长为CO+DO+CD=9+12+13=34cm，故答案为：9cm，12cm，34cm；（2）∵△AOB的周长为30cm，∴AB+AO+BO=30cm，∵AB=12cm，∴AO+BO=30-12=18cm，∴AC+BD=2AO+2BO=36cm．【点睛】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分，平行四边形的对边相等．19．【分析】过点P作PG⊥CB交CB的延长线于点G过点Q作QF⊥CB运用AAS定理证明△QBF≌△BPG根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形利用勾股定理求得线段BC的长然后结合全解析：10【分析】过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB，运用AAS定理证明△QBF≌△BPG，根据平行线的性质和角平分线的定义求得△AEC为等腰直角三角形，利用勾股定理求得线段BC的长，然后结合全等三角形和矩形的性质求解．【详解】解：过点P作PG⊥CB，交CB的延长线于点G，过点Q作QF⊥CB ∵BP BQ⊥，PG⊥CB∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°∴∠1=∠3∵QF⊥CB，BP BQ⊥∴∠QFB=∠PGB=90°又∵PBQ∆为等腰三角形∴QB=PB在△QBF和△BPG中1=3QFB PGB QB PB∠∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△QBF≌△BPG∴PG=BF，BG=QF∵∠ACB=90°，CE平分ACB∠∴∠ACE=∠ECB=45°又∵AM∥CB，∴∠AEC=∠ECB=45°∴∠AEC=∠ACE=45°∴△AEC为等腰直角三角形∵AM∥BC，∠ACB=90°∴∠CAM+∠ACB=180°，即∠CAM=90°∴∠CAM=∠ACB=∠PGB=90°∴四边形ACGP为矩形，∴PG=AC=6，AP=CG在Rt△ABC中，BC=228AB AC-=∴CF=BC-BF=BC-PG=8-6=2∵QF⊥BC，∠ECB=45°∴△CQF是等腰直角三角形，即CF=QF=2∴AP=CG=BC+BG=BC+QF=8+2=10【点睛】本题考查矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，掌握相关性质定理正确推理论证是解题关键20．【分析】由▱ABCD 中BE ⊥ADBF ⊥CD 可得∠D=120°继而求得∠A 与∠BCD 的度数然后由勾股定理求得ABBEBC 的长继而求得答案【详解】解：∵BE ⊥ADBF ⊥CD ∴∠BFD=∠BED=∠BFC【分析】由▱ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，可得∠D=120°，继而求得∠A 与∠BCD 的度数，然后由勾股定理求得AB ，BE ，BC 的长，继而求得答案．【详解】解：∵BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，∴∠BFD=∠BED=∠BFC=∠BEA=90°，∵∠EBF=60°，∴∠D=120°，∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，∴∠BCD=∠A=60°，∵在△ABE 中，∠ABE=30°，∴AB=2AE=2×3=6，∴CD=AB=6，=∴CF=CD-DF=6-2=4，∵在△BFC 中，∠CBF=30°，∴BC=2CF=2×4=8，∴【点睛】此题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度适合，注意掌握数形结合思想的应用．三、解答题21．（1）AM CN =，理由见解析；（2）四边形MRNQ 为菱形，证明见解析；（3）MQN ∠=AOE ∠【分析】（1）结论：AM=CN ．先证明(AAS)AOS COT ≌△△，推出AS CT =，OS OT =，34∠=∠，再证明(ASA)ESM GTN ≌△△即可解决问题．（2）过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．首先证明四边形QMRN 是平行四边形，再证明QM=QN 即可．（3）结论：∠MQN=∠AOE ．理由三角形的外角的性质以及平行线的性质即可解决问题．【详解】（1）关系：AM CN =理由：如图：设EG 分别与AB 、CD 相交于点S 、T ；∵四边形ABCD 与EFGH 都是矩形，且点O 为对角线的中点；∴//AB CD ，//EF GH ，OA OC =，OE OG =；∴12∠=∠；又AOS COT ∠=∠∴(AAS)AOS COT ≌△△ ∴AS CT =，OS OT =；∴ES GT =；又//EF GH ，∴56∠=∠；又12∠=∠；∴34∠=∠∴(ASA)ESM GTN ≌△△ ∴SM TN =，则AS SM CT TN +=+即AM CN =（2）四边形MRNQ 为菱形．证明：过点Q 作QK ⊥EF ，QL ⊥CD ，垂足分别为点K ，L ．由题可知：矩形ABCD≌矩形EFGH∴AD=EH，AB∥CD，EF∥HG∴四边形QMRN为平行四边形，∵QK⊥EF，QL⊥CD，∴QK=EH，QL=AD，∠QKM=∠QLN=90°∴QK=QL，又∵AB∥CD，EF∥HG，∴∠KMQ=∠MQN，∠MQN=∠LNQ，∴∠KMQ=∠LNQ，∴△QKM≌△QLN（AAS）∴MQ=NQ∴四边形MRNQ为菱形．（3）结论：∠MQN=∠AOE．理由：如图中，∵∠QND=∠1+∠2，∠AOE=∠1+∠3，又由题意可知旋转前∠2与∠3重合，∴∠2=∠3，∴∠QND═∠AOE，∵AB∥CD，∴∠MQN=∠QND，∴∠MQN=∠AOE．【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找确定的三角形解决问题，属于中考压轴题．22．见解析【分析】先作线段a、b的垂直平分线得到12a和12b，再作∠AOB=∠α，且OA=12a，OB=12b，然后在OA的反向延长线上截取OD=12a，在OB的反向延长线上截取OC=12b，则利用平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为平行四边形．【详解】解：如图，四边形ABCD为所作．【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．23．（1）见解析；（2）BC＜AC【分析】（1）画射线BD，以B为端点取BC=a，过点C作BD的垂线，再以点B为圆心，c为半径画弧，与该垂线交于点A即可；（2）根据直角三角形的性质得到AB，利用勾股定理求出AC，再比较大小即可．【详解】解：（1）如图，△ABC即为所作；（2）如图，直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为AB 中点，则CD=5，BC=7，∴AB=10，∴AC=22107-=51，∵7=49＜51，∴BC ＜AC ．【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形的性质，勾股定理，实数的大小比较，解题的关键是依据题意作出图形．24．（1）BDE 是等腰三角形，证明见解析；（2）3AE =．【分析】（1）根据折叠的性质可知EBD DBC ∠=∠，又因为//AD BC ，可知ADB DBC ∠=∠，即推出ADB EBD ∠=∠，所以BE DE =，BDE 为等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-，在Rt ABE △中根据勾股定理列出等式，解出x 即可．【详解】（1）BDE 是等腰三角形，理由是：由折叠得：EBD DBC ∠=∠，∵四边形ABCD 是矩形，∴//AD BC ，∴ADB DBC ∠=∠，∴ADB EBD ∠=∠，∴BE DE =，∴BDE 是等腰三角形．（2）设AE x =，则8BE DE x ==-， ∵四边形ABCD 是矩形，∴90A ∠=︒，∴在Rt ABE △中，222AB AE BE +=，即2224(8)x x +=-，解得：3x =，∴3AE =．【点睛】本题考查翻折的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定以及勾股定理．根据翻折的性质间接证明出BE DE =是解答本题的关键．25．（1）见解析；（2）四边形AGCH 是菱形，见解析【分析】（1）利用SAS 证明△AOE ≌△COF 即可得到结论；（2）四边形AGCH 是菱形．根据△AOE ≌△COF 得∠EAO=∠FCO ，推出AG ∥CH ，证得四边形AGCH 是平行四边形，再根据AD ∥BC ，AC 平分HAG ∠，得到GAC ACB ∠=∠，证得GA=GC ，即可得到结论．【详解】证明：（1）四边形ABCD 是平行四边形，OA OC ∴=，OB OD =，BE DF =，OB BE OD DF ∴-=-，即OE OF =，又AOE COF ∠=∠，AOE COF ∴≌，AE CF ∴=．（2）四边形AGCH 是菱形．理由：AOE COF ≌，EAO FCO ∴∠=∠，//AG CH ∴，四边形ABCD 是平行四边形，//AD BC ∴，∴四边形AGCH 是平行四边形，//AD BC ，HAC ACB ∠∠∴=，AC 平分HAG ∠，HAC GAC ∠∠∴=，∴GAC ACB ∠=∠，GA GC ∴=，∴平行四边形AGCH是菱形．【点睛】此题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，菱形的判定定理，等角对等边证明边相等，熟记平行四边形的判定定理是解题的关键．26．（1）25；（2）补图见解析．【分析】(1)根据题意，知A 的拼块的面积为 3 个单位，B的面积为3个单位，C的面积为4个单位，即可得出；(2)图1用了3个A，2个B，1个C，图2用了4个A，1个B，1个C，和(1)不同即可．【详解】⨯+⨯+⨯=，（1）13234425∴正方形的面积为25；（2）答案不唯一，如：【点睛】本题主要考查了正方形的面积组合，读懂题意是解题的关键．。

(人教版)宁波市八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试题(有答案解析)

一、选择题1．如图，E 是直线CD 上的一点，且12CE CD =．已知ABCD 的面积为252cm ，则ACE △的面积为（）A ．52B ．26C ．13D ．392．如图，在ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 、F 是对角线AC 上的两点，给出下列四个条件，其中不能判定四边形DEBF 是平行四边形的有（）A ．AE CF =B ．DE BF =C ．ADE CBF ∠=∠D ．ABE CDF ∠=∠ 3．如图，将菱形纸片ABCD 折叠，使点A 恰好落在菱形的对称中心O 处，折痕为EF ．若菱形ABCD 的边长为4，120B ∠=︒，则EF 的值是（）A 3B ．2C ．23D ．44．下列说法正确的是（）A ．有一个角是直角的平行四边形是正方形B ．对角线互相垂直的矩形是正方形C ．有一组邻边相等的菱形是正方形D ．各边都相等的四边形是正方形 5．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线,AC BD 交于点O ，2BD AD =，E ，F ，G 分别是,,OA OB CD 的中点，EG 交FD 于点H ．下列结论：①ED CA ⊥；②EF EG =；③12EH EG =；成立的个数有( )A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 6．顺次连接菱形四边中点得到的四边形一定是（） A ．矩形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．正方形 7．如图，己知四边形ABCD 是平行四边形，下列说法正确．．的是（）A ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是矩形B ．若AB AD =，则平行四边形ABCD 是正方形C ．若AB BC ⊥，则平行四边形ABCD 是矩形D ．若AC BD ⊥，则平行四边形ABCD 是正方形8．如图，在123A A A △中，160A ∠=︒，230A ∠=︒，131A A =，3+n A 是1(1,2,3)n n A A n +=⋅⋅⋅的中点，则202120222023A A A △中最短边的长为（）A ．100912 B ．101012 C ．101112 D ．1021129．顺次连接矩形ABCD 各边的中点，所得四边形是（）A ．平行四边形B ．正方形C ．矩形D ．菱形10．如图，在矩形ABCD 中，O 为AC 中点，过点O 的直线分别与AB ，CD 交于点E 、F ，连接BF 交AC 于点M ，连接DE ，BO ．若60COB ∠=︒，FO FC =．则下列结论：①FB 垂直平分OC ；②四边形DEBF 为菱形；③OC FB =；④2AM BM =；⑤:3:2BOM AOE S S =．其中正确结论的个数是（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个11．如图，在ABC 中，D 是BC 的中点，E 在AB 上，且:1:2AE BE =，连接AD ，CE 交于点F ，若60ABC S =△，则DBEF S =四边形（）A ．15B ．18C ．20D ．2512．如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4=AD ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于点E ．点F ，G 分别是BC ，BE 的中点，则FG 的长为（）A ．2B ．52C ．102D ．322二、填空题13．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，点D 是AB 边的中点，若AB ＝8，则CD ＝______． 14．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（10，8），过点A 作AB x ⊥轴于点B ，AC y ⊥轴于点C ，点D 在AB 上．将△CAD 沿直线CD 翻折，点A 恰好落在x 轴上的点E 处，则点D 的坐标为_______．15．已知Rt ABC ，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，若PAB △与ABC 全等，PC ________．16．如图，点E 是平行四边形ABCD 的边BC 上一点，连结AE ，并延长AE 与DC 的延长线交于点F ，若AB AE =，50F ∠=︒，则D ∠=______︒．17．如图，在平行四边形ABCD 中，BF 平分∠ABC ，交AD 于点F ，CE 平分∠BCD ，交AD 于点E ，AB ＝8，EF ＝1，则BC 长为__________．18．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是斜边AB 中点，若∠B ＝30°，AC ＝2，则CD ＝_____．19．如图，长方形ABCD 中，4=AD ，3AB =，点P 是AB 上一点，1AP =，点E 是BC 上一动点，连接PE ，将BPE 沿PE 折叠，使点B 落在B '，连接DB '，则PB DB ''+的最小值是________．20．如图，△ABC 是边长为1的等边三角形，取BC 边中点E ，作ED ∥AB ，EF ∥AC ，得到四边形EDAF ，它的周长记作C 1；取BE 中点E 1，作E 1D 1∥FB ，E 1F 1∥EF ，得到四边形E 1D 1FF 1，它的周长记作C 2．照此规律作下去，则C 2020＝__．参考答案三、解答题21．如图，四边形ABCD 是矩形，对角线AC 与BD 相交于点O ，∠AOD ＝60°，AD ＝2，求AC 的长度．22．已知：在Rt △ABC 中，90BAC ∠=，DE 是直角边AB 的垂直平分线，DBA ABC ∠=∠，连接AD ．求证：（1）四边形ADBC 是梯形；（2）12AD BC =． 23．如图，平行四边形ABCD 中，,AP BP 分别平分DAB ∠和CBA ∠，交于DC 边上点P ， 2.5AD =．（1）求线段AB 的长．（2）若3BP =，求ABP △的面积．24．如图，在四边形ABCD 中，,E F 分别是,AD BC 的中点，,G H 分别是对角线,BD AC 的中点，依次连接,,,E G F H 连接,EF GH ．（1）求证：四边形EGFH 是平行四边形；（2）当AB CD =时，EF 与GH 有怎样的位置关系？请说明理由；（3）若,20,70AB CD ABD BDC =∠=︒∠=︒，则GEF ∠= ︒．25．我们学习过利用尺规作图平分一个任意角，而“利用尺规作图三等分一个任意角”曾是数学史上一大难题，之后被数学家证明是不可能完成的．但人们可以通过折纸把一个角三等分，今天我们就通过折纸把一个直角三等分．操作如下：第一步：如图①，对折长方形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，沿EF 对折后，得到折痕EF ，把纸片展平；第二步：如图②，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上（标记为点O ），并使折痕经过点B ；第三步：如图③，再展开纸片，得到折痕BR ，同时连接BO RO 、．这时就可以得到BR BO 、把直角ABC 三等分．为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明．如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”过程．已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是由BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，求证：26．如图，在中，，D 为的中点，，，连接交于点O ．（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【分析】设平行四边形AB边上的高为h，分别表示出△ACE的面积和平行四边形ABCD的面积，从而求出结果．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，12CE CD=，设平行四边形AB边上的高为h，∴△ACE的面积为：12CE h⋅，平行四边形ABCD的面积为2CE h⋅，∴△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14，又∵□ABCD的面积为52cm2，∴△ACE的面积为13cm2．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，比较简单，解答本题的关键是根据图形的形状得出△ACE的面积为平行四边形ABCD的面积的14．2．B解析：B【分析】根据全等三角形的判定和性质以及平行四边形的判定定理分别判断即可．【详解】解：A、∵AE CF=，∴AO=CO，由于四边形ABCD是平行四边形，则BO=DO，∴四边形DEBF是平行四边形；B、不能证明四边形DEBF是平行四边形；C、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠DAE=∠BCF，又∠ADE=∠CBF，∴△DAE≌△BCF（ASA），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；D 、同C 可证：△ABE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF ，同A 可证四边形DEBF 是平行四边形；故选：B ．【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．3．B解析：B【分析】根据菱形的性质证明△ABD 是等边三角形，求得BD=4，再证明EF 是△ABD 的中位线即可得到结论．【详解】解：连接AC ，BD∵四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，BD 平分∠ABC ，4AB BC CD DA ====∴∠111206022ABD ABC ︒=∠=⨯=︒ ∵AB AD =∴△ABD 是等边三角形， ∴ 4.BD =由折叠的性质得：EF AO ⊥，EF 平分AO ，又∵BD AC ⊥，∴//EF BD∴EF 为△ABD 的中位线， ∴122EF BD == 故选：B ．【点睛】本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力． 4．B解析：B【分析】根据正方形的判定：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角进行分析即可．【详解】解：A.有一个角是直角的平行四边形是正方形，说法错误，应是矩形，不符合题意；B.对角线互相垂直的矩形是正方形，说法正确，符合题意；C.一组邻边相等的矩形是正方形，说法错误，不合题意；D.各边都相等的四边形是菱形，不是正方形，不合题意．故选B．【点睛】本题主要考查了正方形的判定，关键是掌握正方形的判定方法．5．A解析：A【分析】由平行四边形性质和等腰三角形“三线合一”即可得ED⊥CA，根据三角形中位线定理可得EF=12AB；由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得EG=12CD，即可得EF＝EG；连接EG，可证四边形DEFG是平行四边形，即可得EH=12 EG．【详解】解：如图，连接FG，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD，AB∥CD，∵BD＝2AD，∴OD＝AD，∵点E为OA中点，∴ED⊥CA，故①正确；∵E，F，G分别是OA，OB，CD的中点，∴EF∥AB，EF=12AB，∵∠CED＝90°，CG＝DG=12CD，∴EG=12CD，∴EF＝EG，故②正确；∵EF∥CD，EF＝DG，∴四边形DEFG是平行四边形，∴EH＝HG，即EH=12EG，故③正确；故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形性质和判定，三角形中位线定理，三角形面积，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，等腰三角形性质等；熟练运用三角形中位线定理、等腰三角形“三线合一”、直角三角形斜边上中线等于斜边一半等性质是解题关键．6．A解析：A【分析】画出图形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，根据三角形中位线定理、矩形的判定定理证明结论．【详解】解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵E，F，G，H是菱形各边的中点，∴EF∥BD，FG∥AC，∴EF⊥FG，同理：FG⊥HG，GH⊥EH，HE⊥EF，∴四边形EFGH是矩形．故选：A．【点睛】本题考查的是中点四边形，掌握菱形的性质定理、矩形的判定定理以及三角形的中位线定理是解题的关键．7．C解析：C【分析】根据已知及各个特殊四边形的判定方法对各个选项进行分析从而得到最后答案．【详解】解：A 、若AB=AD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；B 、若AB=AD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；C 、若AB ⊥BC ，则▱ABCD 是矩形，选项说法正确；D 、若AC ⊥BD ，则▱ABCD 是菱形，选项说法错误；故选：C ．【点睛】此题考查了菱形，矩形，正方形的判定方法，对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形．8．B解析：B【分析】根据已知条件和图形的变化可得前几个图形的最短边的长度，进而可得结论．【详解】解：在△A 1A 2A 3中，∠A 1A 3A 2=90°，∠A 2=30°，A 1A 3=1，A n+3是A n A n+1（n=1、2、3…）的中点，可知：A 4A 5//A 1A 3，A 3A 4=A 2A 4，∴∠A 3A 5A 4=90°，∠A 4A 3A 2=∠A 2=30°，∴△A 1A 2A 3是含30°角的直角三角形，同理可证△A n A n+1A n+2是含30°角的直角三角形．△A 1A 2A 3中最短边的长度为A 1A 3=1=012， △A 3A 4A 5中最短边的长度为A 4A 5=12=112， △A 5A 6A 7中最短边的长度为A 5A 7=21142=， …，所以△A n A n+1A n+2中最短边的长度为1212n -，则△A 2019A 2020A 2021中最短边的长度为120211221122n --==101012．故选：B ．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律．也考查了直角三角形斜边的中线，三角形的中位线，平行线的性质，含30°角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的性质等知识．9．D解析：D【分析】利用三角形中位线定理,矩形对角线的性质,菱形的判定判断即可.【详解】如图，设矩形ABCD各边的中点依次为E，F，G，H，∴EF，FG，GH，HE分别是△ABC，△BCD，△CDA，△DAB的中位线，∴EF=12AC，FG=12BD，GH=12AC，EH=12BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，故选D.【点睛】本题在矩形背景考查了三角形中位线定理，菱形的判定，矩形的性质，熟练运用三角形中位线定理，矩形的性质，菱形的判定是解题的关键.10．C解析：C【分析】证明△OFB≌△CFB，可判断结论①正确；利用菱形的定义，可判断结论②正确；根据OC=OB，斜边大于直角边，可判断结论③错误；根据30度角的性质，可判断AB=2BM，故结论④是错误的；证NE∥BM，AN=NO=OM，所以BM=3NE，AO=2OM，利用三角形面积公式计算判断，结论⑤正确.【详解】连接BD，∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AC、BD互相平分，∵O为AC中点，∴BD也过O点，∴OB=OC，∵∠COB=60°，OB=OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB=BC=OC，∠OBC=60°，∵FO=FC，BF=BF∴△OBF ≌△CBF （SSS ），∴△OBF 与△CBF 关于直线BF 对称，∴FB ⊥OC ，OM=CM ；∴①正确，∵AB ∥CD ，∴∠OCF=∠OAE ，∵OA=OC ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE=OF ，FC=AE ，∴DF=BE ，DF ∥BE ，∴四边形EBFD 是平行四边形，∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴BE=BF ，∴四边形EBFD 是菱形，∴结论②正确；∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵FO=OE=FC=AE ，∴∠AOE=∠FOM=30°，∴∠BOF=90°，∴FB ＞OB ，∵OB=OC ，∴FB ＞OC ，∴③错误，在直角三角形AMB 中，∵∠BAM=30°，∠AMB=90°，∴AB=2BM ，∴④错误，设ED 与AC 的交点为N ，设AE=OE=2x ，则NE=x ，BE=4x ，∴AB=6x ，∴BM=3x ， ∴11::22BOM AOE S S OM BM AO NE =⋅⋅=3:2OM x OM x ⋅⋅=3:2，结论⑤正确.故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形三线合一性质，全等三角形，直角三角形30°角的性质，菱形的判定，熟练掌握，灵活运用是解题的关键.11．D解析：D【分析】过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，根据三角形中位线的定理可得CG ＝EG ，通过△DGF ≅△AEF ，可得AF=DF ，再利用三角形的面积可求解．【详解】过D 作DG ∥AB ，交CE 于G ，连接DE ，∵D 为BC 的中点，∴DG 为△BCE 的中位线，∴BE ＝2GD ，CG ＝EG ，∵:1:2AE BE =，∴AE=GD ，∵DG ∥AB ，∴∠AEF=∠DGF ，∠EAF=∠GDF ，∴△DGF ≅△AEF ，∴AF=DF ，∵60ABC S =△，∴S △ABD ＝30，S △AED ＝10，∴S △AEF ＝5，∴S 四边形DCEF ＝S △ABD −S △AEF ＝30−5＝25，【点睛】本题主要考查三角形的面积，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．12．C解析：C【分析】连接CE，由矩形的性质和角平分线的性质可得AB=AE=3，可得ED=1，由勾股定理可求CE 的长，由三角形中位线定理可求FG的长；【详解】连接CE，如图所示：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ABC=∠D=90°，AB=CD=3，AD=BC=4，AD∥BC，∴∠CBE=∠AEB，∵BE平分∠ABC.∴∠ABE=∠CBE=45°，∴∠ABE=∠AEB=45°，∴AB=AE=3，∴ED=AD-AE=4-3=1，在Rt△CDE中2222+=+DE CD1310∵点F、G分别为BC、BE的中点,10∴FG是△CBE的中位线，FG=12故选：C【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，三角形中位线的定理等知识；熟练掌握矩形的性质和三角形中位线定理，求出EC的长度是解题的关键.二、填空题13．4【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得【详解】∵D是AB的中点∴∴故答案为：4【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质熟记性质是解题的关键【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得2AB CD =．【详解】∵90C ∠=︒，D 是AB 的中点，∴2AB CD =， ∴118422CD AB ==⨯=．故答案为：4．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键． 14．【分析】如详解中图先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10DE=DA=8-m 利用勾股定理计算出OE=6则EB=4在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m2+42然后解方程求出m 即可得解析：(10,3)【分析】如详解中图，先作出△CDE ；再由折叠性质得到CE=CA=10，DE=DA=8-m ，利用勾股定理计算出OE=6，则EB=4．在Rt △DBE 中利用勾股定理得到（8-m ）2=m 2+42．然后解方程求出m 即可得到点D 的坐标．【详解】解：如图，作△CDE ．设DB=m ．由题意可得，OB=CA=10，OC=AB=8，∵△CED 与△CAD 关于直线CD 对称，∴CE=CA=10，DE=DA=8-m ，在Rt △COE 中，22108-，∴EB=10-6=4．在Rt △DBE 中，∠DBE=90°，∴DE 2=DB 2+EB 2．即（8-m ）2=m 2+42．解得m=3，∴点D 的坐标是（10，3）．故答案为（10，3）．本题考查了作图以及利用折叠的性质和勾股定理解直角三角形，掌握相关性质是解答此题的关键．15．5cm 或cm 或cm 【分析】利用勾股定理列式求出AB 然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时AP 与BC 是对应边时四边形ACBP 是矩形然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时根据对称性可知AB ⊥P解析：5cm 或245cm 或75cm ．【分析】利用勾股定理列式求出AB ，然后分①点P 与点C 在AB 的两侧时，AP 与BC 是对应边时，四边形ACBP 是矩形，然后利用勾股定理列式计算即可得解；AP 与AC 是对应边时，根据对称性可知AB ⊥PC ，再利用三角形的面积列式计算即可得解；②点P 与点C 在AB 的同侧时，利用勾股定理求出BD ，再根据PC=AB-2BD 计算即可得解．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4cm AC =，3cm BC =，由勾股定理得，2222435AB AC BC cm =+=+=，如图，①点P 与点C 在AB 的两侧时，若AP 与BC 是对应边，则四边形ACBP 1是矩形， ∴P 1C=AB=5cm ，若AP 与AC 是对应边，则△ABC 和△ABP 关于直线AB 对称，∴AB ⊥PC设AB 与P 2C 相交于点D ，则S △ABC =12×5•CD=12×3×4，解得CD=125， ∴P 2C=2CD=2×125=245， ②点P 3与点C 在AB 的同侧时，由勾股定理得，22221293()55BD BC CD =-=-=，过点P 3作P 3E ⊥AB ，垂足E ，连接P 3C ，如图，则有12×5•P 3E=12×3×4， ∴P 3E=125∴P 3E=CD 又P 3E ⊥AB ，CD ⊥AB ，∴P 3E//CD ，∴四边形P 3CDE 是平行四边形，又∠CDE=90°∴四边形P 3CDE 是矩形，∴P 3C=DE∵3P AB △≌ABC∴P 3A=BC ，∠P 3AB=∠CBA又∠P 3EA=∠CDB=90°∴△P 3AE ≌△CBD∴AE=BD∴P 3C=AB-2BD=5-2×95=75，综上所述，PC 的长为5cm 或245cm 或75cm ．故答案为：5cm 或245cm 或75cm ．【点睛】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，勾股定理，轴对称性，难点在于分情况讨论，作出图形更形象直观．16．65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°利用平行四边形对角相等得出即可【详解】解：如图所示∵四边形解析：65【分析】利用平行四边形的性质以及平行线的性质得出∠F=∠BAE=50°，进而由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求得∠B=∠AEB=65°，利用平行四边形对角相等得出即可．【详解】解：如图所示，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠F=∠BAE=50°，．∵AB=AE，∴∠B=∠AEB=65°，∴∠D=∠B=65°．故答案是：65．【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质，熟练应用平行四边形的性质得出是解题关键．17．15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB得出AF=AB=8同理可得DE=DC=8再由EF的长即可求出BC的长【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCDC=AB=8A解析：15【分析】由平行四边形的性质和角平分线得出∠ABF=∠AFB，得出AF=AB=8，同理可得DE=DC=8，再由EF的长，即可求出BC的长．【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，DC=AB=8，AD=BC，∴∠AFB=∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，则∠ABF=∠AFB，∴AF=AB=8，同理可证：DE=DC=8，∵EF=AF+DE-AD=1，即8+8-AD=1，解得：AD=15；故答案为：15．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的性质，证出AF=AB是解决问题的关键．18．【分析】先由所对的直角边是斜边的一半求解再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案【详解】解：∠ACB＝90°∠B＝30°AC＝2D是斜边AB中点故答案为：【点睛】本题考查的是含的直角三角形解析：2.【分析】AB再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的先由30所对的直角边是斜边的一半求解,一半可得答案．【详解】解： ∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AC ＝2，24AB AC ∴==，D 是斜边AB 中点， 1 2.2CD AB ∴== 故答案为：2. 【点睛】本题考查的是含30的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，掌握以上知识是解题的关键．19．【分析】根据题意可知最小时落在线段PD 上利用勾股定理求出PD 即可【详解】如图连接PD 根据题意可知当落在线段PD 上时最小且最小值为PD 长在中综上可知最小值为故答案为：【点睛】本题考查翻折的性质结合题意解析：17【分析】根据题意可知PB DB ''+最小时，B '落在线段PD 上，利用勾股定理求出PD 即可．【详解】如图，连接PD ，根据题意可知当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小，且最小值为PD 长．在Rt APD 中，2211617PD AP AD =+=+=．综上可知PB DB ''+最小值为17．17【点睛】本题考查翻折的性质，结合题意根据两点之间线段最短得出当B '落在线段PD 上时，PB DB ''+最小是解答本题的关键．20．【分析】先计算出C1C2的长进而得到规律最后求出C2020的长即可【详解】解：∵E 是BC 的中点ED ∥AB ∴DE 是△ABC 的中位线∴DE ＝AB ＝AD ＝AC ＝∵EF ∥AC ∴四边形EDAF 是菱形∴C1＝4解析：201812【分析】先计算出C 1、C 2的长，进而得到规律，最后求出C 2020的长即可．【详解】解：∵E 是BC 的中点，ED ∥AB ，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE ＝12AB ＝12，AD ＝12AC ＝12， ∵EF ∥AC ，∴四边形EDAF 是菱形，∴C 1＝4×12，同理C 2＝4×12×12=4×212， …C n ＝4×12n ， ∴20202020201811422C =⨯=．故答案为：201812．【点睛】本题考查了中位线的性质，菱形的判定与性质，根据题意得到规律是解题关键．三、解答题21．4【分析】根据矩形的性质和等边三角形的性质，可以得到OA 的长，从而可以求得AC 的长．【详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴OA ＝OC ＝OB ＝OD ，∵∠AOD ＝60°，AD ＝2，∴△AOD 是等边三角形，∴OA ＝OD ＝2，∴AC ＝2OA ＝4，即AC 的长度为4．【点睛】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质并判断出△AOB 是等边三角形是解题的关键．22．（1）见解析；（2）见解析．【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得到AD=BD ，利用等边对等角可得到∠DBA=∠DAB ，进而可以证明AD ∥BC ，可以证出四边形ADBC 是梯形；（2）延长DE 交BC 于F ，证明△BDE ≌△BFE ，从而得出四边形ACFD 是平行四边形，进而得出结论．【详解】证明：（1）如图，∵DE 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ，∴∠DBA=∠DAB ，∵∠DBA=∠ABC ，∴∠ABC=DAB ，∴AD ∥BC ，∵AC 与BD 不平行，∴四边形ADBC 是梯形，（2）如图，延长DE 交BC 于F ，∵∠DBA=∠ABC ，BE=BE ，∠DEB=∠BEF=90°，∴△BDE ≌△BFE ，∴BF=BD=AD ，∵∠BAC=∠BEF=90°，∴DF ∥AC ，∵AD ∥BC ，∴四边形ACFD 是平行四边形，∴AD=FC ，FC=BF=AD ， ∴12AD BC ．【点睛】此题主要考查了梯形的判定，垂直平分线的性质以及平行四边形的判定和性质等知识，利用线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等，以及作出辅助线（延长DE 交BC 于F ），是解决问题的关键．23．（1）5；（2）6【分析】（1）证出AD=DP=2.5，BC=PC=2.5，得出DC=5=AB ，即可求出答案；（2）根据平行四边形性质得出AD ∥CB ，AB ∥CD ，推出∠DAB+∠CBA=180°，求出∠PAB+∠PBA=90°，在△APB 中求出∠APB=90°，由勾股定理求出AP ，从而求得△ABP 的面积．【详解】解：（1）∵AP 平分∠DAB ，∴∠DAP=∠PAB ，∵四边形ABCD 是平行四边形，∵AB ∥CD ，∴∠PAB=∠DPA∴∠DAP=∠DPA∴△ADP 是等腰三角形，∴AD=DP=2.5，同理：PC=CB=2.5，即AB=DC=DP+PC=5；（2）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥CB ，AB ∥CD ，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和BP 分别平分∠DAB 和∠CBA ，∴∠PAB+∠PBA=12（∠DAB+∠CBA ）=90°，在△APB 中，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA ）=90°；在Rt △APB 中，AB=5，BP=3，∴，∴△APB 的面积=4×3÷2=6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，勾股定理等知识点的综合运用．24．（1）见解析；（2）GH EF ⊥，见解析；（3）25︒【分析】（1）利用中位线性质得//EG AB ，且12GE AB =，//HF AB ，且12HF AB =，可推出//EG HF ，且EG HF =，可证四边形EGFH 是平行四边形；（2由G F 、分别是BD BC 、的中点，可得12GF CD =，由（1）知12GE AB =，由AB CD =，可证GE GF =，由（1）知四边形EGFH 是平行四边形，可证四边形EGFH 是菱形即可；（3）先证四边形EGFH 是平行四边形；再证四边形EGFH 是菱形，由EG ∥AB ，GF ∥CD ，可求∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°利用平角可求∠DGF=180°-∠BGF=110°，利用两角和求∠EGF=130°利用菱形性质求∠GEH=180°-∠EGF=50º，由FE 平分∠GEH ，∠GEF=25︒即可．【详解】证明：（1）E G 、分别是AD BD 、的中点，//EG AB ∴，且12GE AB =，同理可证：//HF AB ，且12HF AB =， //EG HF ∴，且EG HF =，∴四边形EGFH 是平行四边形；（2）GH EF ⊥，理由：G F 、分别是BD BC 、的中点，12GF CD ∴=，由（1）知12GE AB =，又AB CD =，GE GF ∴=，又四边形EGFH 是平行四边形，∴四边形EGFH 是菱形，GH EF ∴⊥；（3）E G 、分别是AD BD 、的中点，F H 、分别是BC AC 、的中点，//EG AB ∴，//HF AB ，12GE AB =， //EG HF ∴，同理可证//EH GF ，12GF CD =， ∴四边形EGFH 是平行四边形，∵AB CD =，GE GF ∴=，∴四边形EGFH 是菱形，20,70ABD BDC ∠=︒∠=︒，EG ∥AB ，GF ∥CD ，∴∠EGD=∠ABD=20°，∠BGF=∠BDC=70°，∴∠DGF=180°-∠BGF=110°，∴∠EGF=∠EGD+∠DGF=20°+110°=130°，∴∠GEH=180°-∠EGF=50º，∵FE 平分∠GEH ，∴∠GEF=11502522GEH ∠=⨯︒=︒．故答案为：25︒．【点睛】本题考查平行四边形，菱形判断与性质，求菱形内角，掌握平行四边形的判定方法，菱形的判定与性质，会利用菱形的性质求角度是解题关键．25．点O 在折痕EF 上，BR BO 、把ABC ∠三等分，见解析【分析】如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上；连接AO ，根据折叠的性质可得△AOB 为等边三角形，然后结合矩形的性质即可求证所求问题．【详解】解：已知：如图④，线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕，BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形，点O 在折痕EF 上．求证：BR BO 、把ABC ∠三等分证明：连接AO线段EF 是长方形ABCD 对折后的折痕∴EF 垂直平分AB又点O 在对称轴EF 上AO BO ∴=BOR ∆是BAR ∆沿BR 折叠后得到的三角形,12BO AB ∴=∠=∠AO BO AB ∴==ABO ∴∆是等边三角形60ABO ︒∴∠=又12ABO ∠+∠=∠1230︒∴∠=∠=又90ABC ︒∠=330ABC ABO ︒∴∠=∠-∠=123∴∠=∠=∠BR BO ∴、把ABC ∠三等分．【点睛】本题主要考查矩形的性质及等边三角形的性质和判定，还考查了学生的观察力和动手能力，动手操作一下，问题更容易解决．26．（1）见解析；（2）【分析】（1）先证明四边形ADCE是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD=AB=AD，即可得出四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F；先证明△BCD是等边三角形，得出∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，再由平行线的性质得出∠DCE=∠BDC=60°，在Rt△CDF中，求出DF即可．【详解】解：（1）证明：∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB=90°，D为AB的中点，∴CD=AB=AD，∴四边形ADCE为菱形；（2）过点D作DF⊥CE，垂足为点F，如图所示：DF即为菱形ADCE的高，∵∠B=60°，CD=BD，∴△BCD是等边三角形，∴∠BDC=∠BCD=60°，CD=BC=6，∵CE∥AB，∴∠DCE=∠BDC=60°，∴∠CDF=30°，又∵CD=BC=6，∴CF=3，∴在Rt△CDF中，DF==．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定、等边三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握直角三角形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．。

人教版初中数学八年级数学下册第三单元《平行四边形》测试(包含答案解析)

作法：①作的角平分线，交于点；
②以为圆心，长为半径作弧，交于点；
③连接．
则四边形所求作的菱形．
根据小明设计的尺规作图过程
（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；
（2）求证四边形为菱形．
24．如图，点B、E分别在AC、DF上，AF分别交BD、CE于点M、N，，．
（1）求证：．
18．如图，在正方形中，有面积为4的正方形和面积为2的正方形、点分别在边上，点在边上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形的面积为__________．
19．如图，两点分别位于山脚的两端，小明想测量两点间的距离，于是想了个主意，先在地上取一个可以直接达到两点的点C，找到的中点D、E，并且测出的长为，则两点间的距离为_________ ．
A． B． C． D．6
12．如图，菱形中，，，点E是线段上一点（不与A，B重合），作交于点F，且，则周长的最小值是（）
A．6B． C． D．
二、填空题
13．三角形的三边长分别为，，，则该三角形最长边上的中线长为____．
14．如图，在菱形纸片中，，，将菱形纸片翻折，使点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，则 _______．
（问题探究）
定义：如图，我们把满足的五边形叫做屋形．其中叫做脊，叫做腰，叫做底．
性质：
边：屋形的腰相等，脊相等；
角：①屋形腰与底的夹角相等；②脊与腰的夹角相等；
对角线：①
②屋形有两组对角线分别相等，且其中一组互相平分．
对称性：屋形是以底的垂直平分线为对称轴的轴对称图形；
（1）请直接填写屋形对角线的性质①；

(完整版)新人教版八年级数学下册平行四边形单元综合测试题

第十八章平行四边形单元测试题第一卷选择题一、选择题（每小题3分，共24分）1．在平行四边形ABCD中，∠B=60°，那么下列各式中，不能成立的是（）A．∠D=60° B．∠A=120° C．∠C+∠D=180° D．∠C+∠A=180°2．矩形，菱形，正方形都具有的性质是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直3．如图，▱ABCD的周长是28cm，△ABC的周长是22cm，则AC的长为（）A． 6cm B． 12cm C． 4cm D． 8cm第3题第4题第5题第7题4．如图所示，平行四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，如果AC=12，BD=10，AB=m，则m的取值范围是（）A．10＜m＜12 B．2＜m＜22 C. 1＜m＜11 D．5＜m＜65．如图，如果平行四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，那么图中的全等三角形共有（）A． 1对B． 2对C． 3对D． 4对6．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是（）A． 6cm B．cm C． 3cm D．cm7．如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，点E为垂足，连接DF，则∠CDF 为（）A．80°B．70°C．65°D．60°8．菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2，则较长的对角线长为（）A． 4.5cm B． 4cm C． 5cm D． 4cm9．矩形的四个内角平分线围成的四边形（）A．一定是正方形 B．是矩形 C．菱形 D．只能是平行四边形10．在△ABC中，AB=12，AC=10，BC=9，AD是BC边上的高．将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点D 重合，折痕为EF，则△DEF的周长为（）A． 9.5 B．10.5 C． 11 D． 15.5第二卷非选择题二、填空题（每小题3分，共24分）11．已知正方形的一条对角线长为4cm，则它的面积是cm2．12．菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，则菱形的边长为cm，面积为cm2．13．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E、F，BD=6，AC=4，则图中阴影部分的面积和为．14．如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是．第13题第14题第15题第16题15．如图，在△ABC中，点D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，若△ABC的周长为12cm，则△DEF的周长是cm．16．如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1S2；（填“＞”或“＜”或“=”）17．已知Rt△ABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，则S△ABC= ．18．将七个边长都为1的正方形如图所示摆放，点A1、A2、A3、A4、A5、A6分别是六个正方形的中心，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是．第19题图第20题图三、解答题（共7小题，共66分）19．如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、BC、CA的中点．证明：四边形DECF是平行四边形．（6分）20．已知：如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别是OB，OC的中点．求证：四边形DFGE是平行四边形．（8分）21．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，（8分）（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．22．如图所示，已知AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，（10分）求证：AD⊥EF．23．已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交于BE的延长线于点F，且AF=DC，连接CF．（10分）（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．24．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N．（12分）（1）求证：∠ADB=∠CDB；（2）若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．25．如图，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分线分别交MN于E、F．（12分）（1）求证：PE=PF；（2）当MN与AC的交点P在什么位置时，四边形AECF是矩形，说明理由；（3）当△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形．（不需要证明）最新人教版八年级下第十八章平行四边形单元测试题A卷答案所以D是错误的．故选D．2、解：菱形对角线不相等，矩形对角线不垂直，也不平分一组对角，故答案应为对角线互相平分，故选B．3、解：∵▱ABCD的周长是28cm，∴AB+BC=14cm，∵AB+BC+AC=22cm，∴AC=22﹣14=8 cm．故选D．4、解：∵平行四边形ABCD∴OA=OC=6，OB=OD=5∵在△OAB中：OA﹣OB＜AB＜OA+OB∴1＜m＜11．故选C．5、解：∵ABCD是平行四边形∴AD=BC，AB=CD，AO=CO，BO=DO∵∠AOB=∠COD，∠AOD=∠COB∴△ABO≌△CDO，△ADO≌△CBO（ASA）∵BD=BD，AC=AC∴△ABD≌△CDB，△ACD≌△CAB（SAS）∴共有四对．故选D．6、解：根据菱形的性质可得较短的对角线与菱形的两边组成一个等边三故选D．8、解：由已知可得，菱形的边长为5cm，两邻角分别为60°，120°．又菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线平分一组对角，可得30°的角，所对边为2.5cm，则此条对角线长5cm．根据勾股定理可得，另一对角线长的一半为cm，则较长的对角线长为5cm．故本题选C．9、解：矩形的四个角平分线将矩形的四个角分成8个45°的角，因此形成的四边形每个角是90°．又知两条角平分线与矩形的一边构成等腰直角三角形，所以这个四边形邻边相等，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，得到该四边形是正方形，故选A．∴△DEF的周长为△EAF的周长，即AE+EF+AF=（AB+BC+AC）=（12+10+9）=15.5．故选D．第二卷非选择题二、填空题（每小题3分，共24分）11、解：设这个正方形的边长为xcm，则根据正方形的性质可知：x2+x2=42=16，解可得x=2cm；则它的面积是x2=8cm2，故答案为8cm2．12、解：菱形的两条对角线分别是6cm，8cm，得到两条对角线相交所构成的直角三角形的两直角边是×6=3cm和×8=4cm，那么它的斜边即菱形的边长=5cm，面积为6×8×=24cm2．故答案为5，24．∴∠CAB=30°∴PA=2EP∵AB=2，E是AB的中点∴AE=1在Rt△APE中，PA2﹣PE2=1∴PE=，PA=∴PE+PB=PE+PA=．故答案为．所以S1=S2．故答案为S1=S2．17、解：∵Rt△ABC的周长是4+4，斜边上的中线长是2，∴斜边长为4，设两个直角边的长为x，y，则x+y=4，x2+y2=16，解得：xy=8，∴S△ABC=xy=4．18、解：连接BD和AA2，∵四边形ABA2D和四边形A1EFC都是正方形，∴DA1=A1A2，∠A1DN=∠A1A2M=45°，∠DA1A2=∠NA1M=90°，∴∠DA1N=∠A2A1M，∵在△DA1N和△A2A1M中∠A1DN=∠A1A2M，DA1=A1A2，∠DA1N=∠A2A1M，∴△DA1N≌△A2A1M，即四边形MA1NA2的面积等于△DA1A2的面积，也等于正方形ABA2D的面积的，同理得出，其余的阴影部分的面积都等于正方形面积的，则这七个正方形重叠形成的重叠部分的面积是6××12=，故答案为：．三、解答题（共7小题，共66分）∴∠BAD=∠DAC，∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE=∠CAE，∵四边形ADCE为矩形，∴矩形ADCE是正方形．∴当∠BAC=90°时，四边形ADCE是一个正方形．22、证明：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形．又∵∠1=∠2，而∠2=∠3，∴∠1=∠3，∴AE=DE．∴▱AEDF为菱形．∴AD⊥EF．23、（1）证明：∵E是AD的中点，∴AE=DE．∵AF∥BC，∴∠FAE=∠BDE，∠AFE=∠DBE．∴△AFE≌△DBE．∴AF=BD．∵AF=DC，∴BD=DC．即：D是BC的中点．（4分）（2）解：四边形ADCF是矩形；∴∠ADB=∠CDB；（2）∵PM⊥AD，PN⊥CD，∠ADB=∠CDB，∴∠PMD=∠PND=90°，PM=PN，∵∠ADC=90°，∴四边形MPND是矩形，∵PM=PN，∴四边形MPND是正方形．25、证明：（1）∵CE平分∠ACB，∴∠ACE=∠BCE．∵MN∥BC，∴∠PEC=∠BCE．∴∠ACE=∠PEC，PE=PC．同理：PF=PC．∴PE=PF．11。

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