第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛(小学高年级组)-决赛试题A
2017年“华罗庚杯”数学邀请赛初赛试卷（小学中高年级组）
2017年“华罗庚杯”数学邀请赛初赛试卷（小学中高年级
组）
华罗庚金杯少年数学邀请赛（简称“华杯赛”）是为了纪念和学习我国杰出的数学家华罗庚教授，于1986年始创的全国性大型少年数学竞赛活动。
华杯赛的报考
时间：初赛在每年12月；复赛在每年3月的第二个星期六。
总决赛两年一次，在7月进行。
那么对于2017年的华杯赛小学试题，作为小学生的你，你觉得如何呢？
针对“华杯赛”，小编为大家总结2018年复赛中，应注意的知识点，需要不断的去加强练习。
小学中年级组：
小学高年级组：。
第十八届华杯赛决赛答案_小高B
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题B参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题10 分, 共80分）二、解答下列各题（每题10 分, 共40分, 要求写出简要过程）9.答案：106解答. 图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段, 任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有2102110)123456()1234(=⨯=+++++⨯+++(个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含含“*”号有210－104＝106个.10.答案：9解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等, 可得出三角形AEC 的面积等于三角形BDC的面积. 由BD:DA = 1:2, 得三角形BDC的面积等于三角形ABC面积的13, 即三角形AEC的面积等于三角形ABC面积的13. 那么EC等于BC的13, 得出EC = 6, 进而AD = 6, BD = 3, 最终AB = 9.11.答案：61解答. 设有n 个人, 每人植树x 棵, 则611132013⨯⨯==nx .可以说明：113⨯>n . 若33=n , 则每人植树61棵. 如果5人不参加植树, 则有305棵树, 其余28人每人多植3棵, 才种84棵树, 完不成任务. 可见, 113⨯>n .考虑n = 61. 此时, x = 33. 如果5人不参加植树, 则有165棵树要让56人多植树. 若每人多植2棵, 则56人多植了112256=⨯（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植3棵, 则56人多植了168356=⨯（棵）, 完成了植树任务. 所以, n = 61符合要求.12. 答案：59解答.① 观察立体右面的正方体, 标有1个黑点的侧面到标有2个黑点的面, 再到标有4个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.② 观察中间上面的正方体, 既然从1个黑点到2个黑点, 再到4个黑点是逆时针, 则该正方体标有6个黑点的面的对面标有1个黑点.③ 观察立体左面的正方体, 正方体标有3个黑点的面紧邻标有2个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有4个黑点的侧面的对面的黑点有3个, 且底面标有5个黑点. 并且可知, 从1个黑点到2个黑点, 再到3个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为1、2和3的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1对6, 2对5, 3对4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有6个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有2个黑点, 底面有可能是有1个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他3个正方体的3个侧面黑点总数最少是8个.4个正方体黑点总数是84, 3对紧贴的侧面黑点总数最多是25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是59.三、解答下列各题（每题15 分, 共30分, 要求写出详细过程）13.答案：4解答. 用右图代替题目中的12⨯小长方形. 对于拼成的正方形图形, 记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1) 当甲对角线是对称轴时,a)左上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (3), (4) 中之一;b)右下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (5), (6) 中之一;c)若右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中的一个, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);2) 当乙对角线是对称轴时,a)右上角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (7), (8) 中之一;b)左下角的22⨯小正方形是图A的(1), (2), (9), (10) 中之一;c)若左上角的22⨯小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4) 之一, 则左下角的22⨯小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下4种图形:14.解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i , j , k 类, 每类的盒子数目分别为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 ,令k j i n ++=.1) 因为i a a a ,,,21 , j b b b ,,,21 , k c c c ,,,21 包含了1到30的所有整数, 所以 30≥n . 另一方面,,15534652313030211553212121⨯==⨯=+++≥+++++++++++=⨯ kj i c c c b b b a a a所以 30=++=k j i n , 三种分类各自分类的类数之和是30.2) 不妨设301=a , 记这30个盒子的类为A 类. 因为30=++k j i , 必有14≤j 或14≤k , 不妨设14≤j . A 类的30个盒子分到这不超过14个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.。
历届“华杯赛”初赛决赛试题汇编【小中组(附答案)】
二、简答题（每小题 15 分, 共 60 分, 要求写出简要过程）
9. 用 4 个数码 4 和一些加、减、乘、除号和小括号, 写出值分别等于 2、3、4、 5、6 的五个算式. 10. 右图是 U, V, W, X 四辆不同类型的汽车每百千米的耗油 量. 如果每辆车都有 50 升油, 那么这四辆车最多可行驶 的路程总计是多少千米? 11. 某商店卖出一支钢笔的利润是 9 元, 一个小熊玩具的进 价为 2 元. 一次, 商家采取 “买 4 支钢笔赠送一个小熊玩具”的打包促销, 共 获利润 1922 元. 问这次促销最多卖出了多少支钢笔? 12. 编号从 1 到 10 的 10 个白球排成一行, 现按照如下方法涂红色: 1）涂 2 个球; 2）被涂色的 2 个球的编号之差大于 2. 那么不同的涂色方法有多少种?
四百米比赛进入冲刺阶段，甲在乙前面 30 米，丙在丁后面 60 米，乙在丙前面 20 米. 这时，跑在最前面的两位同学相差（ （A）10 （B）20 ）米. （D）60
（C）50
5.
在右图所示的两位数的加法算式中, 已知 A B C D 22 , ）. （B）4 （C）7 （D）13
一、选择题 (每小题 10 分, 满分 60 分. 以下每题的四个选项中, 仅 有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号 内.)
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷_小学高年级组解析
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
在考试中，选择恰当的方法很重要。
这道题，看到这道题后，我第一个想法就是归纳。
2222315=+、2231422=+、2244537=+、2255648=+、写完前三个，发现第二个算式很不和谐，又写出了第四个，仔细一想，原来第二个可以写成2233426=+，规律找到了，分子是原式中分子部分的一个因数，分母比分子大3！答案一定是20132016，很简单，第一题是很容易的年份题，等等，年份2013这个数是我们非常熟悉的，2013=3×11×61，是3的倍数，那么加3不还是3的倍数么？可以约分，所以最后的答案是20136712016672=所以选B ！ 如果本题需要详细的过程，那么用规纳的方法是不合适的，因为这是不完全归纳法，你这么知道前几个适用的情况下，最后的2013也适用呢，所以最正确的方法是这样思考：如果这道题直接计算，分别算出分子分母，然后必然需要一个约分的过程（从选项可以看出），那么就太麻烦了，如果不计算出最后结果就可以约分，是件好事儿，那么转化分子还是转化分母呢？我们都知道，当分子分母都是乘法的形式，是比较好约分的，所以要转化分母，要在分母中“凑”出2013.具体过程是这样的：201320132014(20131)2012201320132014201320142012201320132014201320132201320132013671,2013(20142)2016672⨯=⨯++⨯=⨯++⨯=⨯+⨯⨯===⨯+原式 6716721343.m n +=+=这个题做完了，很容易得分的一道题，也是容易马虎的一个题，如果不仔细读题，忽略了“m 与n 为互质的自然数”，那么就容易把答案写成D 。
2020华杯赛决赛小学高年级组试题A参考答案详解
处的木桩上.
【考点】圆与扇形
【答案】B 【解析】拴在B处活动区域最大，为 3 圆。
4
2. 在所有是20的倍数的正整数中, 不超过2014并且是14的倍数的数之和是
.
【考点】最小公倍数，等差数列
【答案】14700
【解析】 20,14
140
，
2014 140
14
，140
1
2
3
14
14700
.
3. 从1～8这八个自然数中任取三个数, 其中没有连续自然数的取法有
则 a+b+c+d=5+3+10=18 或 a+b+c+d=5+3+11=19 （2）当 c=4 时，b+d 不进位，只能取 b+d=1，0+1=1 符合要求
此时 a+b+c+d=5+4+1+0=10.
聚智堂教研组王乃聪
9
当a=8＋25=33时，b=5，共2组整数解。
8. 平面上的五个点A, B, C, D , E 满足: AB = 8厘米, BC = 4厘米, AD = 5厘米, DE = 1厘米, AC = 12
厘米, AE = 6厘米. 如果三角形EAB的面积为24平方厘米, 则点 A 到 CD 的距离等于
厘
米
聚智堂教研组王乃聪
4
您身边的教学专家
0 51 4 63
2
7. 学校组织1511人去郊游, 租用42座大巴和25座中巴两种汽车. 如果要求恰好每人一座且每座一
人, 则有
种租车方案.
【考点】不定方程
【答案】2
【解析】设大巴a辆，中巴b辆
【数学】第十八届华杯赛初赛试卷和解析小学高年级组
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C (小学高年级组) 第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛 初赛试卷C （小学高年级组） （ 时间: 2013 年3月23日8:00 ~ 9:00） 一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内. ) 1. 如果m n =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029 2. 甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合成糖水, 然后他们又分别做了以下事情: 最终,（ ）得到的糖水最甜. （A ）甲 （B ）乙 （C ）丙 （D ）乙和丙 3. 一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬, 它每向上爬3米, 因为井壁打滑, 就会下滑1米, 下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一. 8点17分时, 青蛙第二次爬至离井口3米之处, 那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（ ）分钟. （A ）22 （B ）20 （C ）17 （D ）16 4. 已知正整数A 分解质因数可以写成235A αβγ=⨯⨯, 其中α、β、γ 是自然数. 如果A 的二分之一是完全平方数, A 的三分之一是完全立方数, A 的五分之一是某个自然数的五次方, 那么++αβγ的最小值是（ ）.（A ）10 （B ）17 （C ）23 （D ）31装订线总分第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试卷C(小学高年级组)5.今有甲、乙两个大小相同的正三角形, 各画出了一条两边中点的连线. 如图, 甲、乙位置左右对称, 但甲、乙内部所画线段的位置不对称. 从图中所示的位置开始, 甲向右水平移动, 直至两个三角形重叠后再离开. 在移动过程中的每个位置, 甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形. 那么在三角形个数最多的位置, 图形中有（）个三角形.（A）9 （B）10 （C）11 （D）126.从1～11这11个整数中任意取出6个数, 则下列结论正确的有（）个.①其中必有两个数互质;②其中必有一个数是其中另一个数的倍数;③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数.（A）3 （B）2 （C）1 （D）0二、填空题(每小题 10 分, 满分40分)7.有四个人去书店买书, 每人买了4本不同的书, 且每两个人恰有2本书相同, 那么这4个人至少买了_______种书.8.每天, 小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD （如右图）. 已知AB:BC:CD = 1:2:1, 并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3:2:4. 如果小明上学与放学回家所用的时间比是n（其中m与m n是互质的自然数），那么m＋n的值是.9.黑板上有11个1, 22个2, 33个3, 44个4. 做以下操作: 每次擦掉3个不同的数字,并且把没擦掉的第四种数字多写2个. 例如: 某次操作擦掉1个1, 1个2, 1个3, 那就再写上2个4. 经过若干次操作后, 黑板上只剩下3个数字, 而且无法继续进行操作, 那么最后剩下的三个数字的乘积是.10.如右图, 正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形, 如果DG = 5, 那么正方形ABCD面积是.第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛初赛试题C （小学高年级组）（时间: 2013 年3月23日）一、选择题 (每小题 10 分, 满分60分. 以下每题的四个选项中, 仅有一个是正确的, 请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内.)1. 如果mn =+⨯⨯20122014201420132013（其中m 与n 为互质的自然数）, 那么m +n 的值是（ ）. （A ）1243 （B ）1343 （C ）4025 （D ）4029解答：B 。
第18届华杯赛决赛真题答案(小高组b卷)
第十八届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 B 参考答案（小学高年级组）一、填空题（每题 10 分, 共 80 分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案50 6, 7 3466 6.5 67 136 10003 7二、解答下列各题（每题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）9.答案：106解答.图中共有5条最长的水平线段和7条最长的垂直线段,任意两条水平与任意两条垂直的就构成一个长方形, 一共有(4 + 3 + 2 +1) ⨯(6 + 5 + 4 + 3 + 2 +1) =10⨯ 21 = 210 (个).其中含“*”号有4×15+4×15－4×4＝120－16＝104 (个).所以不含含“*”号有210－104＝106 个.10.答案：9解答. 由于三角形AFC的面积和四边形DBEF的面积相等,可得出三角形AEC的面积等于三角形 BDC 的面积.由 BD:DA = 1:2,得三角形 BDC 的面积等于三角形 ABC 面积的1 3,即三角形 AEC 的面积等于三角形 ABC 面积的13.那么 EC 等于 BC 的13,得出 EC = 6,进而 AD = 6, BD = 3,最终 AB = 9.“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解11.答案：61解答.设有n个人,每人植树x棵,则nx =2013=3⨯11⨯61.可以说明： n >3⨯11.若 n =33,则每人植树61棵.如果5人不参加植树,则有305棵树, 其余 28 人每人多植 3 棵, 才种 84 棵树, 完不成任务. 可见, n>3⨯11.考虑 n = 61.此时, x = 33.如果5人不参加植树,则有165棵树要让56人多植树.若每人多植2 棵, 则 56 人多植了56⨯2=112（棵）树, 完不成植树任务; 若每人多植 3 棵, 则 56 人多植了 56⨯3 =168（棵）,完成了植树任务.所以,n =61符合要求.12.答案：59解答.①观察立体右面的正方体, 标有 1 个黑点的侧面到标有 2 个黑点的面, 再到标有 4 个黑点的面是以逆时针方向围绕这三个面的交点.②观察中间上面的正方体, 既然从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 4 个黑点是逆时针, 则该正方体标有 6 个黑点的面的对面标有 1 个黑点.③观察立体左面的正方体, 正方体标有 3 个黑点的面紧邻标有 2 个黑点的面, 结合观察立体中间上面的正方体, 可知该正方体中, 标有 4 个黑点的侧面的对面的黑点有 3 个, 且底面标有 5 个黑点. 并且可知, 从 1 个黑点到 2 个黑点, 再到 3 个黑点是顺时针.所以, 四个完全相同的正方体, 黑点为 1、2 和 3 的三个侧面顺时针围绕公共顶点, 1 对6, 2 对 5, 3 对 4. 所以, 立体中右面的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中左面的正方体紧贴中间正方体的侧面有 6 个黑点; 立体中间上面的正方体紧邻下方正方体的侧面有5 个黑点; 立体中间下面的正方体后面的侧面有 2 个黑点, 底面有可能是有 1 个黑点. 所以立体中间下面的正方体紧贴其他 3 个正方体的 3 个侧面黑点总数最少是 8 个.4 个正方体黑点总数是 84, 3 对紧贴的侧面黑点总数最多是 25, 所以, 立体的侧面（包括底面）所有黑点的总数最多是 59.三、解答下列各题（每题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解13.答案：4解答. 用右图代替题目中的2⨯1小长方形.对于拼成的正方形图形,记过左上顶点的对角线为甲对角线, 另一条对角线为乙对角线.图A首先, 有如下观察:1)当甲对角线是对称轴时,a)左上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (3), (4)中之一;b)右下角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (5), (6)中之一;c)若右上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (7), (8)中的一个,则左下角的2 ⨯ 2 小正方形分别是图A中的(1), (2), (9), (10);2)当乙对角线是对称轴时,a)右上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (7), (8)中之一;b)左下角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A的(1), (2), (9), (10)中之一;c)若左上角的 2 ⨯ 2 小正方形是图A中的(1), (2), (3), (4)之一,则左下角的2 ⨯ 2 小正方形分别是图A中的(1), (2), (5), (6).根据上述观察, 注意到拼出的正方形中恰有八个星, 再去掉旋转重合的, 得到以下 4 种图形:14.解答. 记第一种、第二种和第三种分类分别分了i,j,k类,每类的盒子数目分别为“华杯赛”官网四大类网络课程√专题讲座√赛前串讲√真题详解√月月练讲解a 1 , a 2 ,, a i , b 1 , b 2 , , b j , c 1 , c 2 , , c k ,令 n = i + j + k .1) 因为 a 1 , a 2 , , a i , b 1 , b 2 , , b j , c 1 , c 2 , , c k 包含了 1 到 30 的所有整数, 所以 n ≥ 30 . 另一方面,3⨯155 = a 1 + a 2 ++ a i + b 1 + b 2 ++ b j + c 1 + c 2 + + c k≥ 1 + 2 + + 30 =30⨯31= 465 = 3⨯155,2所以 n = i + j + k = 30 , 三种分类各自分类的类数之和是 30.2) 不妨设 a 1 = 30 , 记这 30 个盒子的类为 A 类. 因为 i + j + k = 30 , 必有 j ≤ 14或k ≤ 14, 不妨设 j ≤ 14. A 类的 30 个盒子分到这不超过 14 个类中去, 必有一类至少有三个盒子, 这三个盒子里的红球数相同并且黄球数也相同.“华杯赛”官网四大类网络课程 √ 专题讲座 √ 赛前串讲 √ 真题详解 √ 月月练讲解。
年第十八届华杯赛决赛小高年级B卷试题及解析word版
第十八届华罗庚金杯少年邀请赛决赛试题B （小学高年级组）（时间2013年4月20日10：00～11：30）一、填空题（每小题 10分, 共80分）1错误！未指定书签。
．计算: 19×0.125+281×81+12.5=________. 2错误！未指定书签。
．农谚‘逢冬数九’讲的是, 从冬至之日起, 每九天分为一段, 依次称之为一九, 二九, ……, 九九, 冬至那天是一九的第一天. 2012年12月21日是冬至, 那么2013年的2月10日是________九的第________天.解析：31-21+1+31+10=52,52÷9=5…7，2013年的元旦是六九的第7天.3错误！未指定书签。
．某些整数分别被131********，，，除后, 所得的商化作带分数时, 分数部分分别是112927252，，，, 则满足条件且大于1的最小整数是________.解析：设整数为A, 分别被131********，，，除后, 所得的商分别为A A A A 11139117957，，，; )1(111311211113)1(911921911)1(7972179)1(5752157-++=-++=-++=-++=A A A A A A A A ，，，显然，当A-1是[5，7，9，3]的时候满足题意。
所以A-1=3465，A=3466。
错误！未指定书签。
．如图所示, P, Q 分别是正方形ABCD 的边AD 和对角线 AC 上的点,且PD:AP =4:1, QC: AQ =2:3, 如果正方形ABCD 的面积为25, 那么三角形PBQ 的面积是 .解析：连接QD,做QE ⊥BC 于E, QF ⊥AD 于F, QG ⊥CD 于G, 正方形ABCD 的面积为25,所以AD=EF=5， QC: AQ =2:3,根据正方形对称性，所以QE=QG=2，QF=3, PD:AP =4:1, AP=1，PD=4。
第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷(小高组a卷)
2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期．（今天是2016年3月12日，星期六）3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝厘米．4．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC 的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有个“好点”．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有个．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩次．7．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第个单位怡好与大尺上某一单位相合．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？2016年第二十一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛试卷（小高组A卷）参考答案与试题解析一、填空题（每题10分，共80分）1．（10分）计算：7﹣（2.4+1×4）÷1＝ 2 ．【分析】先算小括号里面的乘法，再算小括号里面的加法，然后算括号外的除法，最后算括号外的减法．【解答】解：7﹣（2.4+1×4）÷1＝7﹣（2.4+）÷1＝7﹣÷1＝7﹣＝2故答案为：2．2．（10分）中国北京在2015年7月31日获得了2022年第24届冬季奥林匹克运动会的主办权．预定该届冬奥会的开幕时间为2022年2月4日，星期五．（今天是2016年3月12日，星期六）【分析】首先分析2016年的3月12日到2022年的3月13日是星期几，然后再根据3月12向前推理出2月4日即可．【解答】解：依题意可知：平年365天是52个星期多1天．润年是52个星期多2天．2016年3月12到2022年3月12日经过了5个平年1个闰年，向后推的天数为1+1+1+1+1+2＝7．恰好为星期六．那么2022年的2月4日到2022年的3月12日．经过24+12＝36天．36÷7＝5…1．从星期六前推前天．说明2022年的2月4日是星期五．故答案为：五3．（10分）如图中，AB＝5厘米，∠ABC＝85°，∠BCA＝45°，∠DBC＝20°，AD＝ 5 厘米．【分析】首先根据题意可知∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么根据三角形内角和为180度可知∠A＝50°．继续推理即可．【解答】解：依题意可知：∠ABC＝85°，∠BCA＝45°．那么∠A＝50°．∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝85°﹣20°＝65°∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣50°﹣65°＝65°；∠ADB＝∠ABD，∴AB＝AD＝5故答案为：54．（10分）在9×9的格子纸上，1×1小方格的顶点叫做格点．如图，三角形ABC的三个顶点都是格点．若一个格点P使得三角形PAB与三角形PAC 的面积相等，就称P点为“好点”．那么在这张格子纸上共有 6 个“好点”．【分析】如下图这样，经过A点和BC边的中点画一条直线，交方格图于E点和F点，可以证得D、E、F三点都是好点；过AB点作平行线，与原来的三角形组成平行四边形，得到平行四边形ACBI，可以证得I、H、G三点也是好点．【解答】解：（1）△BDA与△CDA等底等高，所以面积相等；（2）△ABE与△ACE的面积都等于平行四边形ABCE的一半，所以面积相等；（3）△ABF的面积＝△BDF的面积﹣△BDA的面积，△CAF的面积＝△CDF 的面积﹣△CDA的面积，又因为△BDA与△CDA面积相等，所以△ABF的面积＝△CAF的面积；（4）△ABI和△ACI的面积都等于平行四边形ACBI面积的一半，所以相等；（5）△ABH的面积是△ABI面积的一半，△ACH的面积是△ACI的面积的一半，所以△ABH与△ACH面积相等；（6）△AGB和△AGC有相同底AG，这条底边上的两个三角形高是相等的，所以这两个三角形面积相等．故此题的好点一共有6个．5．（10分）对于任意一个三位数n，用表示删掉n中为0的数位得到的数．例如n＝102时＝12．那么满足＜n且是n的约数的三位数n有93 个．【分析】按题意，能满足＜n且是n的约数的三位数n，有两种：第一种，十位为0，第二种，个位为0，然后再计算个数．【解答】解：根据分析，第一种，十位为0的三位数中，能满足是n的约数的n只有：105、108、405，三个数删掉0后得：15、18、45分别为105、108、405的约数；第二种，个位为0的三位数共有：9×10＝90个，删掉0后均能满足是n 的约数，故满足题意的三位数n有90个，综上，满足题意的三位数一共有90+3＝93个．故答案是：93．6．（10分）共有12名同学玩一种扑克游戏，每次4人参加，且任意2位同学同时参加的次数不超过1．那么他们最多可以玩9 次．【分析】首先分析可以将同学们进行标好，然后枚举即可．【解答】解：依题意可知：将学生进行编号1﹣12．如果是1﹣4一组，5﹣8一组，9﹣12一组下一组就没有符合题意的了，那么要求尽可能多分组．即第一次是1，2，3，4．第二次是1，5，6，7．第三次是2，5，8，9．第四组是3，6，8，10．第五组是4，5，8，11．第六组是3，5，9，10．第七组是4，6，9，11第八组是1，7，9，12第九组是2，6，10，12．故答案为：97．（10分）如果2×38能表示成k个连续正整数的和，则k的最大值为108 ．【分析】设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，利用质因数分解即可解决问题．【解答】解：设k个连续正整数的首项为n，则末项为n+k﹣1．则k个连续正整数的和＝（n+n+k﹣1）•k÷2＝2×38，所以（2n+k﹣1）•k＝22×38，所以k的最大值为108＝22×33，此时2n+k﹣1＝35，n＝68，故k的最大值为108．故答案为108．8．（10分）两把小尺子组成套尺，小尺可以沿着大尺滑动．大尺上每一个单位都标有自然数，第一把小尺将大尺上的11个单位等分为10，第二把小尺将大尺上9个单位等分为10，两把小尺的起点都为0，都分别记为1至10．现测量A，B两点间距离，A点在大尺的0单位处，B点介于大尺的18与19单位之间，将第一把小尺的0单位处于B点时，其单位3怡好与大尺上某一单位相合．如果将第二把小尺的0单位处置于B点，那么第二把小尺的第7 个单位怡好与大尺上某一单位相合．【分析】根据题意可：第一把小尺与大尺的单位比是11：10，第一把小尺的单位3，相当于大尺的单位3.3（根据比例求得）大尺3.3与18.7才能相加得整数，所以小尺的0对的大尺的单位是18.7．耶第二把小尺子以0单位为起点，在1到10之间找的单位对应大尺上的整数，必须是大尺的18.7加上几点3，就是说加上的这个数的小数位是3．根据大尺与第二把小尺的单位比9：10求得第二把小尺是7时，大尺的单位数才出现点3．【解答】解：11：10＝？：3？＝3.3那B点处在单位18与19之间的应是：18.718.7只有加上一个末位上是3的数（令其为X）才能凑整十数．？是在1一10之间的自然数，所以只有？＝7符合条件．二、解答下列各题（每题10分，共40分，要求写出简要过程）9．（10分）复活赛上，甲乙二人根据投票结果决出最后一个参加决赛的名额．投票人数固定，每票必须投给甲乙二人之一．最后，乙的得票数为甲的得票数的，甲胜出．但是，若乙得票数至少増加4票，则可胜甲，请计算甲乙所得的票数．【分析】乙得票数至少增加4票，则甲必至少减少4票，此时才能使乙胜甲，可以设一个未知数，列出关系式，求出解．【解答】解：根据分析，设甲得票数为x，则乙的得票数为，由题意得：⇒⇒x＜168，又∵x为正整数，且也为正整数∴x＝147，x＝126，即：①甲得票数是147票，乙的得票数是140票；②甲得票数是126票，乙的得票数是120票．故答案是：甲147票，乙140票．或，甲126票，乙120票．10．（10分）如图，三角形ABC中，AB＝180厘米，AC＝204厘米，D、F是AB上的点，E，G是AC上的点，连结CD，DE，EF，FG，将三角形ABC分成面积相等的五个小三角形，则AF+AG为多少厘米．【分析】高一定，对应底的比等于面积比，根据五个小三角形面积相等，所以S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；同理，可求AE、AF、AG的长度，进而求出AF+AG的长度即可．【解答】解：在△ABC中，因为S△ADC＝4S△DBC，所以AD＝4BD＝4×（180÷5）＝144（厘米）；在△ADC中，因为S△ADE＝3S△EDC，所以AE＝3EC＝3×（204÷4）＝153（厘米）；在△ADE中，因为S△AFE＝2S△EFD，所以AF＝2DF＝2×（144÷3）＝96（厘米）；在△AFE中，因为S△AFG＝S△GFE，所以AG＝GE＝153÷2＝76.5（厘米）；所以，AF+AG＝96+76.5＝172.5（厘米）；答：AF+AG为172.5厘米．11．（10分）某水池有甲、乙两个进水阀，只打开甲注水，10小时可将空水池注满；只打开乙，15小时可将空水池往满．现要求7个小时将空水池注满，可以只打开甲注水若干小时，接着只打开乙注水若干小时，最后同时打开甲乙注水．那么同时打开甲乙的时间是多少小时？【分析】可以先求得甲、乙每小时注的水量，即为、，总时间为7小时，同时开的时候，不难求出时间．【解答】解：根据分析，设水池注满时水的总量为1份，甲、乙每小时注水的速度分别为份/时、份/时，则甲乙同时开的时候总速度为+＝，设刚开始只打开甲a小时，接着打开乙b小时，最后同时打开甲乙7﹣a﹣b小时，则：a+b+（7﹣a﹣b）＝1，化简得：2a+3b＝5，又∵a≥1，b≥1，∴a＝1，b＝1，∴甲乙同时打开的时间为：7﹣a﹣b＝7﹣1﹣1＝5（小时）．故答案是：5．12．（10分）将一个五边形沿一条直线简称两个多边形，再将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，得到了三个多边形，然后将其中一个多边形沿一条直线剪成两部分，…，如此下去．在得到的多边形中要有20个五边形，则最少剪多少次？【分析】按题意，一个多边形可以被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°，求解最后得出结果．【解答】解：根据分析，一个多边形被分成两部分，其内角和至多增加360°，剪K次共增加的度数至多为K×360°，所以这（K+1）个多边形的度数和至多是K×360°+540°，另一方面，20个五边形的度数和为20×540°，剩余的（K﹣19）个多边形的度数和最小是（K﹣19）×180°，这样得到：（K﹣19）×180°+20×540°≤K×360°+540°；整理得：K≥38，当K＝38时，可以先将五边形切成一个五边形和一个四边形，然后用18次将四边形分成19个四边形，再用19次将每个四边形切成五边形，这样就用38次将其切成20个五边形．综上，则最少剪38次．故答案是：38．三、解答下列各题（每题15分，共30分，要求写出详细过程）13．（15分）如图，有一张由四个1×1的小方格组成的凸字行纸片和一张5×6的方格纸，现将凸字形纸片粘到方格纸上，要求凸字形纸片的每个小方格都要与方格纸上的某个小方格重合，那么可以粘出多少种不同的图形？（两图形经旋转后相同看作相同图形）【分析】可以分情况讨论，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．【解答】解：根据分析，把凸字形上面那个小方格称为它的头，粘出的图形可以分为两类：凸字形的头在方格纸的边框上位第一类，凸字形的头在方格纸的内部为第二类．对于第一类，凸字形的头不能粘在方格纸的四个角，边框上（不是角）的小方格共有：2×3+2×4＝14（个），有14个图形，第二类，方格纸内部的每一个小方格可以粘凸字形的头，有头朝上，头朝下，头朝左，头朝右之分，所以，这类图形有4×（3×4）＝48（个）．由加法原理知，共有14+48＝62中图形，由于方格纸的每个小方格都与另外一个小方格旋转对称，所以总的不同图形为：62÷2＝31（个）．故答案是：31．14．（15分）设n是正整数，若从任意n个非负整数中一定能找到四个不同的数a，b，c，d使得a+b﹣c﹣d能被20整除．则n的最小值是多少？【分析】首先说明任意8个非负整数不能满足条件，因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是20的倍数，由此循环，即可解决问题．【解答】解：存在8个数：0，1，2，4，7，12，20，40它们中任何四个数都不能满足条件，所以n的最小值大于等于9．因为任意取9个非负整数，从中任意取7个，它们的两两之和有21个，这21个和数除以20的余数有21个，因为余数最多有20个不同的值，所以有下面两种情形之一发生：（1）有4个不同的数a、b、c、d，使得a+b与c+d除以20有相同的余数，此时四个数满足条件．（2）有3个不同的数a、c、x，使得a+x与b+x除以20有相同的余数，则（a+x）﹣（c+x）＝a﹣c是20的倍数，将a、c取出，在剩下的7个数中，同理可得：要么四个不同的数，满足条件，要么有两个数b、d，使得b﹣d是20的倍数，如此一来，总有a、b、c、d，使得a+b﹣c﹣d能被20整除．综上所述，n的最小值为9．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2019/5/7 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2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷(小高组c卷)
2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）如果＝（其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（）A．1243B．1343C．4025D．40292．（10分）甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合变成糖水，然后他们又分别做了以下事情：最终，（）得到的糖水嘴甜．A．甲B．乙C．丙D．乙和丙3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A．22B．20C．17D．164．（10分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．315．（10分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（）个三角形．A．9B．10C．11D．126．（10分）从1～11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共（）个．①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．A．3B．2C．1D．0二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）有四个人去书店买书，每人买了4本不同的书，且每两个人恰有2本书相同，那么这4个人至少买了种书．8．（10分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3：2：4，那么小明上学与放学回家所用的时间比是．9．（10分）黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写2个．例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是．10．（10分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面积是．2013年第十八届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛初赛试卷（小高组C卷）参考答案与试题解析一、选择题（每小题10分，满分60分．以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题的圆括号内．）1．（10分）如果＝（其中m与n为互质的自然数），那么m+n的值是（）A．1243B．1343C．4025D．4029【分析】＝＝＝＝，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．【解答】解：＝＝＝，所以n＝671，m＝672，m+n＝1343．故选：B．2．（10分）甲、乙、丙三位同学都把25克糖放入100克水中混合变成糖水，然后他们又分别做了以下事情：最终，（）得到的糖水嘴甜．A．甲B．乙C．丙D．乙和丙【分析】此题首先理解含糖率，含糖率＝×100%，然后分别求出三人的含糖率进行比较即可．【解答】解：甲的含糖率：50×20%＝10（克），×100%＝×100%＝20%；乙的含糖率：×100%＝×100%≈25.7%；丙的含糖率：100×＝40（克），×100%＝≈28.9%，答：最终丙得到的糖水嘴甜．故选：C．3．（10分）一只青蛙8点从深为12米的井底向上爬，它每向上爬3米，因为井壁打滑，就会下滑1米，下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的三分之一．8点17分时，青蛙第二次爬至离井口3米之处，那么青蛙从井底爬到井口时所花的时间为（）分钟．A．22B．20C．17D．16【分析】下滑1米的时间是向上爬3米所用时间的3倍；爬1米和滑1米的时间相同，以爬3米，滑1米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬的路程为（3+1）×4+1＝17米，即4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2；解答即可．【解答】解：以爬3米，滑一米为一个周期；（3﹣1）×3+3＝9m，青蛙第一次爬至离井口3米之处，（3﹣1）×4+1＝9m，青蛙第二次爬至离井口3米之处，此时，青蛙爬了4个周期加1米，用时17分钟，所以青蛙每爬1m或滑1m所用时间为1分钟；（12﹣3）÷（3﹣1）＝4…1，青蛙从井底爬到井口经过5个周期，再爬2m，用时5×（3+1）+2＝22分钟；故选：A．4．（10分）已知正整数A分解质因数可以写成A＝2α×3β×5γ，其中α、β、γ是自然数．如果A的二分之一是完全平方数，A的三分之一是完全立方数，A的五分之一是某个自然数的五次方，那么α+β+γ的最小值是（）A．10B．17C．23D．31【分析】A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值，然后求出α+β+γ的最小值即可．【解答】解：A的二分之一是完全平方数，α﹣1、β、γ是2的倍数；A的三分之一是完全立方数，α、β﹣1、γ是3的倍数；A的五分之一是某个自然数的五次方，α、β、γ﹣1是5的倍数；要α+β+γ的值最小，分别求满足条件的α、β、γ值：3×5﹣1是2的倍数，α的最小值为15，2×3﹣1是5的倍数，γ的最小值为6，2×5﹣1是3的倍数，β的最小值为10，所以α+β+γ的最小值是：15+6+10＝31；故选：D．5．（10分）今有甲、乙两个大小相同的正三角形，各画出了一条两边中点的连线，如图，甲、乙位置左右对称，但甲、乙内部所画线段的位置不对称，从图中所示的位置开始，甲向右水平移动，直至两个三角形重叠后在离开．在移动过程中的每个位置，甲与乙所组成的图形中都有若干个三角形，那么三角形个数最多的位置，图形中有（）个三角形．A．9B．10C．11D．12【分析】把所有的情况都画出来然后通过比较找出三角形最多的图形，所有的图如下：【解答】解：根据题干分析，观察画出的图形可得，第7个图形中的三角形最多，有11个．故选：C．6．（10分）从1～11这11个整数中任意取出6个数，则下面结论正确的共（）个．①其中必有两个数互质；②其中必有一个数是其中另一个数的倍数；③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．A．3B．2C．1D．0【分析】①根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，在这11个中，质数有2、3、5、7、11，任何两个质数一定是互质数，又因为在这11个数中偶数有2、4、6、8、10五个，奇数有六个，所以任意取出6个数，其中必有两个数互质．②比如取5个偶数一个奇数，在这5个偶数中4、6、8、10都是2的倍数，如果取1、3、5、7、9、11，其中9是3的倍数；如果取6、7、8、9、10、11，就没有倍数关系；③比如1的2倍是2，2是2的倍数，2的2倍是4，4是4的倍数．据此解答．【解答】解：根据上面的分析可知：从1～11这11个整数中任意取出6个数，①其中必有两个数互质；此说法正确．③其中必有一个数的2倍是其中另一个数的倍数．此说法正确．故选：B．二、填空题（每小题10分，满分40分）7．（10分）有四个人去书店买书，每人买了4本不同的书，且每两个人恰有2本书相同，那么这4个人至少买了7种书．【分析】从简单的性质思考：若只有两个人，为符合题意，一定有6本不同的书，给这6本书编号：1、2、3、4、5、6．设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6．这时丙来了．为符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三个人只买6本书时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书，为了使问题好理解，列表格解答（见解答部分）．【解答】解：若只有两个人，为符合题意，一定有6本不同的书，给这6本书编号为1、2、3、4、5、6．设甲买的是1、2、3、4，乙买的是1、2、5、6．这时丙来了．为符合题意，他可以选择不买其他的书，他买编号为3、4、5、6，也符合题意，这时要注意的是，当三个人只买6本书时，当甲乙买的书确定之后，丙买的编号是唯一的，就是丙不能买甲乙都买的书，那么他就必须再买一本他自己“独有”的书，列表格：这时丁来了，站在丙的角度思考，他至少要有一本“独有”的书，所以4个人的时候至少是7本．即甲买的书编号为（1、2、3、4），则乙买的书编号为（1、2、5、6），丙买的书编号为（3、4、5、6），丁可以买（1、3、5、7）．因此4个人的时候至少买（1、2、3、4、5、6、7），即7种书．故答案为：7．8．（10分）每天，小明上学都要经过一段平路AB、一段上坡路BC和一段下坡路CD（如图），已知AB：BC：CD＝1：2：1，并且小明在平路、上坡路、下坡路上的速度比为3：2：4，那么小明上学与放学回家所用的时间比是19：16．【分析】假设一段平路AB的路程是y、一段上坡路BC是2y和一段下坡路CD是y，平路、上坡路、下坡路上的速度分别为3x，2x，4x，然后运用路程速度时间之间的关系求出上学与放学回家所用的时间比．【解答】解：上学用的时间；+，＝，＝；放学用的时间；++，＝，＝，小明上学与放学回家所用的时间比是：：，＝，＝19：16；答：小明上学与放学回家所用的时间比是19：16．故答案为：19：16．9．（10分）黑板上有11个1，22个2，33个3，44个4，做以下操作：每次擦掉3个不同的数字，并且把没擦掉的第四种数字多写2个．例如：某次操作擦掉1个1，1个2，1个3，那就在写上2个4，经过若干次操作后，黑板上只剩下3个数字，而且无法继续进行操作，那么最后剩下的三个数字的乘积是12．【分析】本题属于操作问题，倒推最简单情况，黑板上只剩下3个数字，而且无法按规定继续进行操作，只有两种情况2个a，一个b，或3个a．我们根据规则进行操作，当剩下3个数字，无法继续进行操作，问题得解．【解答】解：本题列表推理如下：最后剩下了2个2，一个3，它们的积是：2×2×3＝12；故答案为：12．10．（10分）如图，正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，如果DG＝5，那么正方形ABCD面积是64．【分析】如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC 于N．设正方形面积为“1”，则正方形边长为1，根据正方形ABCD被分成了面积相同的8个三角形，可求出BI、HA的长度，再根据四边形FGHI是平行四边形，求出FG、GO、GM的长度，在直角三角形GMD中，根据勾股定理求出DG的长度，最后根据如果DG＝5，求出正方形的边长，最后算出面积．【解答】解：如图，过G点做MO平行AD，交CD、AB分别于点M、O，过点F做FN⊥BC于N．设正方形面积为“1”，则正方形边长为1，图中每个小三角形的面积都是，所以BI＝HA＝，又因为四边形FGHI是平行四边形，所以HI＝FG＝，GO＝GM＝，FN＝，在直角三角形GMD中，MG＝，MD5＝1﹣﹣＝，根据勾股定理DG＝＝，所以正方形的边长是5÷＝8，正方形面积＝8×8＝64．故答案为：64．。