上海高一下学期期中考试数学试卷含答案
1
上海市高一第二学期期中考试数学试卷
一. 填空题
1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为
2. 函数|tan|yx的对称轴是
3. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边为x轴正半轴重合，终边在直
线3yx上，则sin2
4. 求函数()sin(2)3fxx的单调递减区间
5. 若锐角、满足3cos5，5cos()13，则cos
6. 已知函数2()lg(tan1)9fxxx，则()fx的定义域是
7. 若长度为24x、4x、26x的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x的取值范围是
8. 若函数()2sinfxx（01）在区间[0,]3上的最大值是2，则
9. 如图所示，在塔底B处测得山顶C的仰角为60°，在
山顶C测得塔顶A的俯角为45°，已知塔高20AB米，
则山高DC 米
10. 函数sincos1sincosxxyxx的值域为
11. 已知333()sincos4fxaxbxx（,abR），
且(sin10)5f，则(cos100)f
12. 设a、b均为大于1的自然数，函数()(sin)fxabx，()cosgxbx，若存在实数m，使得
()()fmgm
，则ab
二. 选择题
13. 若MP和OM分别是角76的正弦线和余弦线，则（ ）
A. 0MPOM B. 0OMMP
C. 0OMMP D. 0MPOM
2
14. 已知,(0,)2，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. sin()sinsin B. sin()sinsin
C. cos()sinsin D. cos()coscos
15. 把函数sin2yx的图像沿x轴向左平移6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标
不变）后得到函数()yfx的图像，对于函数()yfx有以下四个判断：① 该函数的解
析式为2sin(2)6yx；② 该函数图像关于点(,0)3对称；③ 该函数在[0,]6上是增
函数；④ 若函数()yfxa在[0,]2上的最小值为3，则23a；
其中正确的判断有（ ）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
16. 定义在区间[3,3]上的函数sin|2|yx与cosyx的图像的交点个数为（ ）
A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个
三. 简答题
17. 已知7cos(23)25，且是第四象限角；
（1）求cos和sin的值；
（2）求3cos()sin()22tan[cos()1]tan()cos()的值；
3
18. 已知函数1()cos(sincos)2fxxxx；
（1）若1tan2，求()f的值；
（2）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间；
19. 设ABC的三个内角A、B、C对边分别是a、b、c，且满足1cos2aCcb；
（1）求角A的大小；
（2）若1a，求ABC的周长l的取值范围；
20. 函数()yfx满足(3)(1)fxfx，且对于12,(2,)xx，有
12
12
()()0fxfxxx
成立，若222(cos22)(sin32)fmfmm对R恒成立；
（1）判断()yfx的单调性和对称性；
（2）求m的取值范围；
4
21. 已知函数()fx、()gx满足关系()()()2gxfxfx；
（1）设()cossinfxxx，求()gx的解析式；
（2）当()|sin|cosfxxx时，存在12,xxR，对任意xR，12()()()gxgxgx恒成立，求
12
||xx
的最小值；
5
参考答案
一. 填空题
1. 103 2. ,2kxkZ 3. 35 4. 5[,],1212kkkZ
5. 3365 6. 3(,)(,)4242U 7. 115(,)23 8. 34
9. 30103 10. [1,1] `11. 3 12. 4
二. 选择题
13. C 14. A 15. B 16. B
三. 简答题
17.（1）3cos5，4sin5；（2）94；
18.（1）1710；（2）最小正周期T，单调增区间：3[,],88kkkZ；
19.（1）3；（2）(2,3]l；
20.（1）对称轴2x，单调减区间(,2)，单调增区间(2,)；
（2）342342(,)66m；
21.（1）()cos2gxx； （2）2；
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案
上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. arccos()arctan(2-+= 2. 已知一扇形的圆心角为1弧度，半径为1，则该扇形的面积为 3. 已知函数sin(2)y x ϕ=+（22ππϕ-<<）的图像关于直线3x π=对称，则ϕ的值为4. 已知tan 7α=，则tan2α=5. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC=6. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若2555a S =+，则数列{}n a 的公差为7. 若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a = 8. 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若△ABC的面积为2，且A 、B 、C 成等差数列，则ac 的最小值为9. 设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201620171a a >，20162017101a a -<-，给出下列结论：①01q <<；②2016201810a a ->；③2016T 是数列{}n T 中的最大项；④使1n T >成立的最大自然数等于4031；其中正确结论的序号为 10. 已知正项数列{}n a 中，若存在正实数p ，使得对数列{}n a 中任意一项k a ，kpa 也是数列 {}n a 中的一项，称数列{}n a 为“倒置数列”，p 是它的“倒置系数”；若等比数列的{}n a项数是m ，数列{}n a 所有项之积是T ，则T = （用m 和p 表示） 二. 选择题11. 已知()(1)(2)2f k k k k k =+++++⋅⋅⋅+（k *∈N ），则（ ）A. (1)()22f k f k k +-=+B. (1)()33f k f k k +-=+C. (1)()42f k f k k +-=+D. (1)()43f k f k k +-=+ 12. 下列等式中正确的是（ ） A. cos(arccos )33ππ=B. 1arccos()1202-=C. arcsin(sin)33ππ=D. 2arctan24π= 13. 已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||2πϕ<）的部分图像如图所示，则下列判断正确的是（ ） A. 函数的图像关于点(,0)3π-对称B. 函数图像关于直线6x π=-对称C. 函数(2)f x 的最小正周期为πD. 当766x ππ≤≤时，函数()f x 的图像与直线2y =围成的封闭图形面积为2π 14. 已知||0x y >>；将四个数x ，x y -，x y +，22x y -按照一定顺序排列成一个数列，则（ ） A. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 B. 当0x >时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列 C. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等比数列 D. 当0x <时，存在满足已知条件的x 、y ，四个数构成等差数列三. 解答题15. 已知函数2()sin cos 3cos f x x x x =+，x ∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当[,]44x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值与最小值.16. 已知数列{}n a 是等差数列，110a =-，公差0d ≠，且2a 、4a 、5a 是等比数列. （1）求n a ；（2）求数列{||}n a 的前n 项和n T .17. 已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，数列{}n b 为等差数列，且111b a ==，331b a =+，557b a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）n S 为数列2{}na 前n 项和，对于任意n *∈N ，有123n b n S t +=⋅，求实数t 的值； （3）求数列{}n n a b 的前n 项和n A .18. 已知数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，且满足11a =，12(1)n n S n a +=-，n *∈N . （1）求2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）证明：对一切正整数，n 有1211174n S S S ++⋅⋅⋅+<.四. 附加题19. 已知函数()sin()cos()g x x x ππ=-，()f x =1544x ≤≤）. （1）试讨论并直接写出()g x 的单调性； （2）试求()f x 的最小值.20. 设数列{}n a 的前n 项和n S 满足：1(1)n n n S a n n -+=+，1,2,n =⋅⋅⋅.（1）令1(1)n n b a n n =++，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）求n S .参考答案一. 填空题 1.2π2. 12-3. 6π-4. 724-5. 16. 1-7. 1(2)n --8. 49. ①③ 10. 2mT p =二. 选择题11. B 12. C 13. D 14. D三. 解答题15.（1）T π=；（2）最大值1+. 16.（1）212n a n =-；（2）当6n ≤，211n T n n =-；当6n ≥，21160n T n n =-+.17.（1）12n n a -=，21n b n =-；（2）23t =；（3）2(23)3n n -+. 18.（1）23a =，35a =；（2）21n a n =-；（3）证明略.四. 附加题 19.（1）增区间，13[2,2]44k k -++；减区间，37[2,2]44k k ++，k ∈Z ；（2）min 5()()4f x f ==. 20.（1）证明略；（2）1112n n S n =-+.。
上海市高一第二学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知()732log log log 0x =⎡⎤⎣⎦，那么x 等于 .2.2lg 3lg 91lg 27lg8lg 1000lg 0.3lg1.2-+-= .3.若21a b a >>>，则log ,log ,log bb a ba b a的大小顺序是 . 4.函数()212log 617y x x =-+的值域是 . 5．函数223y x ax =--在区间[]1,2上存在反函数的充要条件是 .6.若方程()22log 222ax x -+=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则实数a 的取值范围是 .7.已知一个扇形的周长为6，该扇形的中心角为1弧度，则该扇形的面积是 . 8.已知点()sin cos ,tan P θθθ-在第一象限，则在[]0,2π内θ的取值范围是 . 9.已知()1sin 34πθ+=，求()()()()()()cos cos 2cos 2cos cos cos cos 1πθθπθππθθθπθ+-+=+++-+-⎡⎤⎣⎦ .10.已知tan 1tan 1αα=--，则sin 3cos sin cos αααα-=+ .11.求值：4466sin cos 1sin cos 1αααα+-=+- . 12.函数()f x 满足()()1cos 02f x x x π=≤≤，则4sin3f π⎛⎫= ⎪⎝⎭. 13.若()()54cos ,sin ,,,0,13522ππαβααβπ⎛⎫-==-∈-∈ ⎪⎝⎭，则cos β= . 14.若sin sin sin 0,cos cos cos 0αβγαβγ++=++=，则()cos αβ-= .二、选择题：15．已知221,0,0x y x y +=>>，且()1log 1,log 1a ax m n x+==-，则log a y 等于 A. m n + B. m n - C. ()12m n + D.()12m n -16．函数2lg 11y x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象关于 A. x 轴对称 B. y 轴对称 C. 原点对称 D.直线y x =对称 17．已知()()log 10,1a g x x a a =+>≠，在()1,0-上有()0g x >，则()1x f x a+=在A.(),0-∞上递增B.(),0-∞上递减C.(),1-∞-上递增D. (),1-∞-上递减 18=，则α的终边在A. 第一象限B.第二象限C. 第一或第三象限D.第二或第四象限 19．锐角α终边上一点A 的坐标为()2sin3,2cos3-，则角α的弧度数为 A. 3π- B. 3π- C. 32π- D.3220．如果θ是第一象限角，那么恒有 A. sin02θ> B. tan12θ< C. sincos22θθ> D.sincos22θθ<三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.21.已知1sin cos 3αα+=，其值：（1）sin cos αα； （2）33sin cos αα+ （3）55sin cos αα+.22.已知()()2121x x a f x a R ⋅-=∈+是R 上的奇函数.（1）求a 的值； （2）求()f x 的反函数；（3）对任意()0,k ∈+∞的解不等式()121log xf x k-+>.23.已知α是锐角.（1）如果()tan cot 3log sin 4ααα-=-，求tan log cos αβ的值；（2）如果7sin sin 8αβ=，且1tan tan 4αβ=，求csc α的值.22.已知函数()()()log 30,1a f x x a a a =->≠，当点(),P x y 是函数图象上的点时，点()2,Q x a y --是函数()y g x =的图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）当[]2,3x a a ∈++时，恒有()()1f x g x -≤，试确定a 的取值范围.上海市高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 半径为2，圆心角为300°的圆弧长为2. 函数|tan |y x =的对称轴是3. 在平面直角坐标系中，已知角θ的顶点在坐标原点，始边为x 轴正半轴重合，终边在直 线3y x =上，则sin 2θ=4. 求函数()sin(2)3f x x π=-+的单调递减区间5. 若锐角α、β满足3cos 5α=，5cos()13αβ+=-，则cos β= 6. 已知函数2()lg(tan 1)9f x x x =--()f x 的定义域是7. 若长度为24x +、4x 、26x +的三条线段可以构成一个锐角三角形，则x 的取值范围是8. 若函数()2sin f x x ω=（01ω<<）在区间[0,]3π2，则ω=9. 如图所示，在塔底B 处测得山顶C 的仰角为60°，在山顶C 测得塔顶A 的俯角为45°，已知塔高20AB =米， 则山高DC = 米 10. 函数sin cos 1sin cos x xy x x+=+的值域为11. 已知333()sin cos 4f x a x x x =++（,a b R ∈）， 且(sin10)5f ︒=，则(cos100)f ︒=12. 设a 、b 均为大于1的自然数，函数()(sin )f x a b x =+，()cos g x b x =+，若存在实数m ，使得()()f m g m =，则a b +=二. 选择题13. 若MP 和OM 分别是角76π的正弦线和余弦线，则（ ） A. 0MP OM << B. 0OM MP >>C. 0OM MP <<D. 0MP OM >>14. 已知,(0,)2παβ∈，则下列不等式一定成立的是（ ）A. sin()sin sin αβαβ+<+B. sin()sin sin αβαβ+>+C. cos()sin sin αβαβ+<+D. cos()cos cos αβαβ+>+ 15. 把函数sin 2y x =的图像沿x 轴向左平移6π个单位，纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标 不变）后得到函数()y f x =的图像，对于函数()y f x =有以下四个判断：① 该函数的解析式为2sin(2)6y x π=+；② 该函数图像关于点(,0)3π对称；③ 该函数在[0,]6π上是增函数；④ 若函数()y f x a =+在[0,]2πa =其中正确的判断有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16. 定义在区间[3,3]ππ-上的函数sin |2|y x =与cos y x =的图像的交点个数为（ ） A. 12个 B. 14个 C. 16个 D. 18个三. 简答题17. 已知7cos(23)25θπ-=，且θ是第四象限角； （1）求cos θ和sin θ的值；（2）求3cos()sin()22tan [cos()1]tan()cos()ππθθθπθπθθ--++---的值；18. 已知函数1()cos (sin cos )2f x x x x =++； （1）若1tan 2α=，求()f α的值； （2）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；19. 设ABC ∆的三个内角A 、B 、C 对边分别是a 、b 、c ，且满足1cos 2a C cb +=；（1）求角A 的大小；（2）若1a =，求ABC ∆的周长l 的取值范围；20. 函数()y f x =满足(3)(1)f x f x +=-，且对于12,(2,)x x ∈+∞，有1212()()f x f x x x ->-成立，若222(cos 22)(sin 32)f m f m m θθ++<+--对R θ∈恒成立； （1）判断()y f x =的单调性和对称性； （2）求m 的取值范围；21. 已知函数()f x 、()g x 满足关系()()()2g x f x f x π=⋅+；（1）设()cos sin f x x x =+，求()g x 的解析式；（2）当()|sin |cos f x x x =+时，存在12,x x R ∈，对任意x R ∈，12()()()g x g x g x ≤≤恒成立，求12||x x -的最小值；参考答案一. 填空题 1. 103π 2. ,2k x k Z π=∈ 3. 35 4. 5[,],1212k k k Z ππππ-+∈5.3365 6. 3(,)(,)4242ππππ--U 7. 1(2 8. 349. 30+[1,1]- `11. 3 12. 4二. 选择题13. C 14. A 15. B 16. B三. 简答题17.（1）3cos 5θ=，4sin 5θ=-；（2）94；18.（1）1710；（2）最小正周期T π=，单调增区间：3[,],88k k k Z ππππ-+∈； 19.（1）3π；（2）(2,3]l ∈； 20.（1）对称轴2x =，单调减区间(,2)-∞，单调增区间(2,)+∞；（2）m ∈； 21.（1）()cos 2g x x =； （2）2π；上海市高一第二学期期中考试数学卷一. 填空题1. 弧度数为3的角的终边落在第 象限2. 2233cos sin 88ππ-= 3. 若函数()sin 3cos f x a x x =+的最大值为5，则常数a =4. 已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若18a =，460a a +=，则8S =5. 在ABC ∆中，23A π∠=，3a c =，则ab= 6.函数sin 3y x x =-的图像可由函数3cos y x x =+的图像至少向右平移 个单位长度得到7. 方程3sin 1cos2x x =+的解集为8. 已知θ是第四象限角，且3sin()45πθ+=-，则tan()4πθ-=9. 无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成， n S 为{}n a 的前n 项和，若对任意*n N ∈，{1,3}n S ∈，则k 的最大值为10. 在锐角ABC ∆中，若sin 3sin sin A B C =，则tan tan tan A B C 的最小值是二. 选择题 11. 已知10sin 10α=，5sin()5αβ-=-，,(0,)2παβ∈，则β=（ ） A.512π B. 3π C. 4π D. 6π12. 函数sin()y A x ωϕ=+的部分图像如图所示，则（ ）A. 2sin(2)6y x π=-B. 2sin(2)3y x π=-C. 2sin(2)6y x π=+D. 2sin(2)3y x π=+13. “sin 0α<”是“α为第三、四象限角”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件14. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+（0ω>，||2πϕ≤），4x π=-为()f x 的零点，4x π=为()y f x =的图像的对称轴，且()f x 在5(,)836ππ单调，则ω的最大值为（ ）A. 11B. 9C. 7D. 5三. 简答题15. 在ABC ∆中，222a c b +=； （1）求B ∠的大小；（2）求cos A C +的最大值；16. 已知{}n a 是等比数列，前n 项和为n S （*n N ∈），且123112a a a -=，663S =； （1）求{}n a 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，n b 是2log n a 和21log n a +的等差中项，求数列2{(1)}n n b -的前2n 项和；17.已知函数()4tan sin()cos()23f x x x x ππ=--（1）求()f x 的定义域与最小正周期； （2）求()f x 在区间[,]44ππ-上的单调性与最值；18. 已知方程arctan arctan(2)2xx a +-=；（1）若4a π=，求arccos 2x的值； （2）若方程有实数解，求实数a 的取值范围；（3）若方程在区间[5,15]上有两个相异的解α、β，求αβ+的最大值；参考答案一. 填空题1. 二2. 2-3. 4±4. 8 6. 2π 7. {|(1)},6k x x k k Z ππ=+-⋅∈ 8. 43 9.4 10. 12二. 选择题11. C 12. A 13. B 14. B三. 简答题 15.（1）4π； （2）1； 16.（1）1*2()n n a n N -=∈； （2）222n T n =； 17.（1）定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈，T π=；（2）单调递增：[,]124ππ-，单调递减：[,]412ππ--，最大值为1，最小值为2-； 18.（1）π或3π； （2）[arctan； （3）19；高一年级下学期期中考试数学试卷二、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）3. 若函数()231,3log ,3x x f x x x ⎧+<=⎨≥⎩，则()()9f f = .4. 函数()()log 230,1a y x a a =-+>≠的图象恒过一定点_________. 3.若3cos α=，则2tan α= . 4.135o的圆心角所对的弧长为3π，则圆的半径是 . 5．已知11sin ,sin 32αβ==，则()()sin sin αβαβ+⋅-= . 6.已知5sin 13θ=-，且θ是第三象限角，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ .7.已知角α的终边在13y x =上，则sin α= . 8.已知1sin cos 2αα+=-，则22tan co t αα+= .9.若tan 24πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan α的值等于 . 10.若tan 2α=，则222sin sin cos cos αααα-+= . 11.设函数()y f x =存在反函数()1y fx -=，且函数()y x f x =-的图象经过点()2,5，则函数()13y f x -=+的图象一定过点 .12.已知()sin 21,,22f x x x ππ⎡⎤=-+∈-⎢⎥⎣⎦，那么()cos10f = . 13.函数()()()212log 24f x ax x a R =-+∈，若()f x 的值域为(],1-∞，则a 的值为 .14.设,αβ为锐角，且满足()22sinsin sin αβαβ+=+，则αβ+= .15.已知225sin sin 3sin αβα-+=，则函数22sin sin y αβ=+的最小值为 .16．下列4个命题中：（1）存在()0,x ∈+∞，使不等式23xx<成立；（2）不存在()0,1x ∈，使不等式23log log x x <；（3）任意的()0,x ∈+∞，使不等式2log 2x x <成立；（4）任意的()0,x ∈+∞，使不等式21log x x<成立.其中正确的命题个数是（ ） A. （1）（3）B. （1）（4）C. （2）（3）D.（2）（4）17．角α的终边在第三象限，那么3α的终边不可能在的象限是第（ ）象限 A. 一B. 二C. 三D. 四18．tan ,tan αβ是一元二次方程240x ++=的两根，,,02παβ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，那么()cos αβ+等于（ ）B. -C. 12- D.1219．若定义在()(),11,-∞+∞U 上的函数()y f x =满足()()11f x f x +=-，且当()1,x ∈+∞时，()231x f x x -=-则下列结论中正确的是（ ） A.存在t R ∈，使()2f x ≥在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 B. 存在t R ∈，使()02f x ≤≤在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上恒成立 C. 存在t R ∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 D. 存在t R +∈，使()f x 在11,22t t ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦上始终存在反函数 20．设函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程()f x a =有四个不同的根1234,,,x x x x ，且1234x x x x <<<，则()1122341x x x x x ++的取值范围是（ ） A. ()3,-+∞ B. (]3,3- C. [)3,3- D. (),3-∞21.已知()111cos ,cos ,0,,,71422ππααβααβπ⎛⎫⎛⎫=+=-∈+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，求β的值.22.已知sin ,cos θθ是方程244210x mx m -+-=的两根322πθπ<<，求角θ.23.扇形AOB 的中心角为2,0,2πθθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，半径为r ，在扇形AOB 中作内切圆1O 与圆1O 外切，与,OA OB 相切的圆2O ，问sin θ为何值时，圆2O 的面积最大？最大值是多少？24. 设函数()()0,1x x f x ka a a a -=->≠是奇函数. （1）求常k 数的值； （2）若()813f =，且函数()()222x xg x a a mf x -=+-在区间[)1,+∞上的最小值为-2，求实数m 的值.25.若函数()f x 的定义域为R,满足对任意12,x x R ∈，有()()()1212f x x f x f x +≤+,则称()f x 为“V 形函数”.若函数()g x 定义域为R ，恒大于0，且对任意12,x x R ∈，恒有()()()1212lg lg lg f x x f x f x +≤+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则称()g x 为“对数V 形函数”.（1）当()2f x x =时，判断()f x 是否是“V 形函数”并说明理由；（2）当时()52xg x =+判断()g x 是否是“对数V 形函数”，并说明理由；（3）若函数()f x 是“V 形函数”，且满足对任意x R ∈都有()2f x ≥，问()f x 是否是“对数V 形函数”？请加以证明，如果不是，请说明理由.参考答案一、填空题1、52、(3,3)3、24、45、536-6、7、 8、469 9、13 10、75 11、()3,5- 12、217π- 13、27 14、2π 15、0二、选择题16. A 17. B 18. C 19. C 20. B 三、解答题21、3π22、53π23、sin θ为13时，圆2O 的面积最大，最大值是64π 24、（1）1k =；（2）2512m =25、（1）不是，理由略；（2）是，理由略；（3）是，理由略高一年级第二学期数学学科期中考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________. 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________．6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________． 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________. 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是__________________．10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 三、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω=+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. 5. 求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（1）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（2）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......第二学期高一年级数学学科期中考试参考答案 （考试时间：120分钟 满分：150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1. 已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若43a =，则7S =__________.4 2．若34π的圆心角所对的弧长为3π，则扇形半径长为 ． 21 3．方程2cos 10x +=的解集是__________．22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭4. 设1cos 9θ=，则sin 2θ的值为__________．23±5．函数sin y x =233x ππ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的值域为___________． 32⎛⎤- ⎥ ⎝⎦6．设函数()f x 是R 上的奇函数，当0x >时，()cos f x x =，则当0x <时，()f x 的解析式为_______________.()()cos 0f x x x =-<7．若等比数列{}n a 的前n 项和23n n S r =⋅+，则r =___________．2- 8. 如图所示，在直角坐标系xOy 中，角α的顶角是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且⎪⎭⎫⎝⎛∈26ππα，.将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B .若点A 的横坐标为31，则点B 的横坐标为________.1266- 9．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若将函数()f x 的图像向左平移a ()0a π<<个单位，所得图像关于y 轴对称，则实数a 的取值集合是________．2,36ππ⎧⎫⎨⎬⎩⎭10.已知数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n N +==∈，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2018S =____________．1009323⨯-11．已知数列{}n a 满足511,62,6n n a n n a a n -⎧⎛⎫-+<⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪≥⎩，若对任意*n N ∈都有1n n a a +>，则实数a 的取值范围是 ．17,212⎛⎫⎪⎝⎭12．已知函数()74sin 20,66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭的图像与直线y m =的三个交点的横坐标分别为()123123,,x x x x x x <<，那么1232x x x ++的值是__________.53π二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13. 已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足242++=n n S n ，则345a a a ++= （ C ） A. 10 B ．11 C ．33 D ．3414．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，则“a b =”是“cos cos a A b B =”的 ( A ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．有下列四个命题：①只有在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，正弦函数()sin f x x =才有反函数；②()()sin arcsin f x x =与()()sin sin g x arc x =是同一函数；③若函数()1tan 3y ax =的最小正周期为π，则1a =；④函数()sin cos 1f x x x =-的最小正周期为π. 其中正确的命题个数为 （ A ） A. 0 B ．1 C ．2 D ．316．对于实数x ，[]x 表示不超过x 的最大整数. 已知正数数列{}n a 满足112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，*n N ∈，其中n S 为数列{}n a 的前n 项和，则[][][]1280111...S S S +++=（ B ） A ．2323140 B ．5241280 C ．2603140 D ．5171280三、解答题(本大题满分76分)本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤． 17．(本题满分14分)设1tan 43πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求sin 23πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.解：1tan 1tan tan 241tan 3παααα+⎛⎫+==-⇒=- ⎪-⎝⎭Q . 2222tan 41tan 3sin 2,cos 1tan 51tan 5αααααα-∴==-==-++1sin 22sin 232πααα⎛⎫∴-=-=⎪⎝⎭18．(本题满分14分)本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分． 已知等比数列{}n a 满足：公比()0,1q ∈，且1524257,116a a a a +=⋅=. 四、求数列{}n a 的通项公式；（2）设点(),n n a b 在函数()()2log 01f x x a a =>≠且的图像上，求数列{}n b 的前n 项和n T 的最大值，并求出此时的n .解：（1）由11511551552425712571161616111116a a a a a a a a a a a a =⎧⎧⎧⎧+==+=⎪⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨⎨=⎪⎪⎪⎪⋅==⋅=⎩⎩⎩⎩或 又()110,1,16,4q a q ∈∴==Q ()1*1164n n a n N -⎛⎫∴=⋅∈ ⎪⎝⎭（2）由题意，()()()162*2221log log 16log 2624n n n n b a n n N --⎡⎤⎛⎫==⋅==-∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦{}n b ∴是等差数列，且()()22*4625255224n n n T n n n n N ⋅+-⎛⎫==-+=--+∈ ⎪⎝⎭()23max 6n T T T ∴===.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()()()cos 0,0f x x x ωϕωϕϕπω+-+<<>为偶函数，且函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π. （1）求8f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图象向右平移6π个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.解：（1）化简得：()2sin 6f x x πωϕ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()f x Q 为偶函数，62k ππϕπ∴-=+又0ϕπ<<Q ，23πϕ∴=又函数()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为2π，2,222T T πππωω∴=∴==⇒=()2cos2f x x ∴=，因此2cos 84f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭.（2）由题意得()2cos 23x g x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令2223x k k ππππ≤-≤+，即()g x 的单调递减区间为284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.20.（本题满分16分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分10分. 如图，公路AM AN 、围成的是一块角形耕地，其中顶角A 满足tan 2A =-.在该土地中有一点P ，经测量它到公路AM AN 、的距离分别为3km .现要过点修建一条直线公路BC ，将三条公路围成的区域ABC 建成一个工业区． （1）用sin ,sin B C 来表示BC ；（2）为尽量减少耕地占用，问AB 等于多少时，使该工业区面积最小？并求出最小面积.解：（1）35,sin sin BP CP B C ==∴， 35sin sin BC BP CP B C=+=+∴. （2）由正弦定理sin sin sin BC AB ACA C B==，得3sin 53sin 5,sin sin sin sin C B C B AB AC B A C A +== ()23sin 5113sin 5sin 3sin 5sin sin sin 222sin sin sin C B C B C BS AB AC A A B C A++∴=⋅⋅==229sin 5sin 65sin 59sin 5sin 651524sin sin 2sin sin 5C B B C C B B C B C ++⎫==+≥⎪⎝⎭ 当且仅当9sin 5sin sin sin C BB C=，即sin 5sin 3C B =时等号成立. 解得5AB =. 答：当5AB =时，该工业区的面积最小值为15.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．用部分自然数构造如图的数表：用()ij a i j >表示第i 行第j 个数(),i j N ∈，使得1i ij a a i ==，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第()*n n N ∈行中的各数之和为n b .（4）已知()*1n n b pb q n N +=+∈，求23,,,b b p q 的值；（5）令2n n c b =+，证明：{}n c 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（6）数列{}n b 中是否存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列？若存在，求出,,p q r 的关系，若不存在，说明理由.122343477451114115 ......解：（1）234,10,2b b p q ====. （2）证明：()112222222n n n n n n b c b c b b +++++===++（常数） 又112123c b =+=+={}n c ∴是以3为首项，2为公比的等比数列. 故()1*32n n c n N -=⋅∈ ()1*2322n n n b c n N -∴=-=⋅-∈.（3）不妨设数列{}n b 中存在不同的三项()*,,,,,p q r b b b p q r p q r N >>∈其中恰好成等差数列. 即2q p r b b b =+()()()1112322322322q p r ---∴⨯⋅-=⋅-+⋅- 化简得：()22211,2q r p r q r p r --⨯=--≥-≥其中显然上式左边为偶数，右边为奇数，方程不成立. 故数列{}n b 中不存在不同的三项()*,,,,p q r b b b p q r N ∈恰好成等差数列.。
上海市向明中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题+Word版含答案
向明中学高一期中数学试卷2020.06一. 填空题1. 求值：cos(arcsin0)=2. 在等差数列{}n a 中，411a =-，68a =-，则8a =3. 函数()tan()4f x x π=-的单调增区间是4. 已知α是第四象限角，3cos 5α=，则tan2α= 5. 已知1sin 3α=，[0,2]απ∈，则α= （用反三角函数表示） 6.函数()f x =的定义域是7. 函数2()sin cos 2f x x x =+-的值域是8. 已知是等差数列{}n a ，n S 表示前n 项和，371115a a a ++=，则13S =9. 化简23cot()cos()sin(2)2tan()sec()(1cos )2πθθπθπθπθθ-⋅-⋅-=+⋅-⋅- 10. 已知数列{}n a 的通项公式为12n nmn m a -+=（*n ∈N ），若数列{}n a 是递减数列， 则实数m 的取值范围是11. 已知数列{}n a ，n ∏表示前n 项之积，13a =，21a =，11n n n a a a +-=⋅（2n ≥）， 则2011∏=12. 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足sin()n n b a =，集合{|,n S x x b ==*}n ∈N ，若12a π=，集合S 中恰好有两个元素，则d =二. 选择题 13.“6k παπ=+（k ∈Z ）”是“1cos22α=”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 14.函数)4y x π=-的图像可以由)4y x π=+的图像（ ）个单位得到 A. 向左平移2π B. 向右平移2π C. 向左平移4π D. 向右平移4π15. 当函数()3cos 4sin f x x x =-取得最大值时，tan x 的值是（ ）A.43 B. 43- C. 34 D. 34-16. 实数a 、b 满足0a b <<，按顺序a 、2a b+、b ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题17. 已知tan 3α=，求值： （1）4sin 2cos 5cos 3sin αααα-+；（2）2221sin cos 34αα+.18. 已知函数2()cos 2cos 1f x x x x =-+（x ∈R ）. （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）在区间[0,]2π上的最大值与最小值.19. 已知数列{}n a 的前n 项的和n S ，3nn S a =+（a ∈R ）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）请讨论a 的值说明，数列{}n a 是否为等比数列？若是，请证明，若不是，请说明理由.20. 某体育馆拟用运动场的边角地建一个矩形的健身室，如图所示，ABCD 是一块边长为100m 的正方形地皮，扇形CEF 是运动场的一部分，其半径是80m ，矩形AGHM 就是拟建的健身室，其中G 、M 分别在AB 和AD 上，H 在»EF上，设矩形AGHM 的面积为S ，HCF θ∠=.（1）将S 表示为θ的函数；（2）求健身室面积的最大值，并指出此时的点H 在»EF何处？21. 已知{}n a 是等差数列，11a =，{}n b 是等比数列，n n n c a b =+，13c =，28c =，315c =. （1）求数列{}n c 的通项公式； （2）若nn n a n d b n ⎧=⎨⎩是奇数是偶数，求当n 是偶数时，数列{}n d 的前n 项和n T ；（3）若n n ne b =，是否存在实数a 使得不等式1sin cos 2n e a x x <-++对任意的*n ∈N ，x ∈R 恒成立？若存在，求出所有满足条件的实数a ，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. 12. 5-3. 3(,)44k k ππππ-+，k ∈Z 4. 247 5. 1arcsin 3或1arcsin 3π- 6. [2,2]k k πππ-，k ∈Z 7. 3[3,]4-- 8. 65 9. sin θ- 10. [0,1) 11. 3 12. π或23π二. 选择题13. A 14. D 15. B 16. B三. 解答题 17.（1）57；（2）58. 18.（1）T π=，5[,]36k k ππππ++，k ∈Z ；（2）max ()2f x =，min ()1f x =-. 19.（1）131232n n a n a n -+=⎧=⎨⋅≥⎩；（2）1a =-时，数列{}n a 是等比数列； 1a ≠-时，数列{}n a 不是等比数列.20.（1）400[2520(sin cos )16sin cos ]S θθθθ=-++，[0,]2πθ∈；（2）2(100-，在»EF中点处.21.（1）322nn c n =-+；（2）2+2342-443n n n n T -=+；（3）a >.。
上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试试卷含答案
复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟满分150分所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期为__________．2．α为第三象限角，且coscos22αα=-，则2α在第_______象限． 3．已知扇形的周长为20cm ，面积为216cm ，则扇形的圆心角α的弧度数为_________．4．函数2()log (tan f x x =的定义域为_________． 5．方程1sin 3x =在3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的解为x =_________（用反三角函数表示） 6．已知奇函数()f x 的一个周期为2，当(0,1)x ∈时，()cos 3xf x π=，则(7.5)f =_______．7．已知角α满足1sin 63πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭_______． 8．函数()cos 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的单调递增区间为_________． 9．函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是_______． 10．已知()4sin 3cos ,()f x x x f x =+向右平移(0)ααπ<<个单位后为奇函数，则tan α=_______．11．我们知道函数的性质中，以下两个结论是正确的：①偶函数()f x 在区间[,]()a b a b <上的取值范围与在区间[,]b a --上的取值范围是相同的；②周期函数()f x 在一个周期内的取值范围也就是()f x 在定义域上的值域，由此可求函数()|sin |cos |g x x x =的值域为_________．12．已知定义在R 上的奇函数，满足(2)()0f x f x -+=，当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，若函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，则m 的取值范围是___________．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2πϕ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件 14．在ABC 中，2sin 22A c bc-=，则ABC 的形状为（ ） A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰三角形 15．设定义在R 上的函数()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭．则()f x （ ） A ．在区间27,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 B ．在区间,2ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上是减函数C ．在区间,84ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 D ．在区间5,36ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数 16．设函数()2sin()1(0)f x x ωϕω=+->，若对于任意实数ϕ，()f x 在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．816,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．164,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．204,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D ．820,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）在平面直角坐标系xOy 中，角θ的始边为x 轴正半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P ． （1）若点P 的横坐标为35-，求cos 3sin 3sin cos θθθθ+-的值．（2）若将射线OP 绕点O 逆时针旋转4π，得到角α，若1tan 3α=，求tan θ的值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数()sin()(0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()(),0,64h x f x f x x ππ⎛⎫⎡⎤=⋅-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，求()h x 的取值范围．19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图某公园有一块直角三角形ABC 的空地，其中,,26ACB ABC AC ππ∠=∠=长a 千米，现要在空地上围出一块正三角形区域DEF 建文化景观区，其中D E F 、、分别在BC AC AB 、、上．设DEC θ∠=．（1）若3πθ=，求DEF 的边长；（2）当θ多大时，DEF 的边长最小？并求出最小值．20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分） 已知数2()32sin 1(0)6212x f x x πωπωω⎛⎫⎛⎫=+++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的相邻两对称轴间的距离为2π．（1）求()f x 的解析式； （2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图像，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域． （3）对于第（2）问中的函数()g x ，记方程4()3g x =在4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上的根从小到依次为12,,n x x x ，试确定n 的值，并求1231222n n x x x x x -+++++的值．21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题第（ⅰ）问满分6分，第2小题第（ⅱ）问满分8分） 在非直角三角形ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ． （1）若2a c b +=，且3B π=，判断三角形ABC 的形状；（2）若(1)a c mb m +=>，（ⅰ）证明：1tantan 221A C m m -=+； （可能运用的公式有sin sin 2sincos22αβαβαβ+-+=）（ⅱ）是否存在函数()m ϕ，使得对于一切满足条件的m ，代数式cos cos ()()cos cos A C m m A Cϕϕ++恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的()m ϕ，并证明之；若不存在，请给出一个理由．复旦大学附属中学第二学期 高一年级数学期中考试试卷考试时间120分钟 满分150分 所有答案均写在答题纸上一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．【答案】：π【解析】：函数()3sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的最小正周期22T ππ==． 2．【解析】：因为α以为第三象限角，所以322,2k k k Z πππαπ+<<+∈，所以3,224k k k Z παπππ+<<+∈又因为cos cos 22αα=-，所以cos 02α<，所以在第二象限．3．【答案】：12【解析】：设扇形半径为r ，弧长为l ，所以2201162l r lr +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得162l r =⎧⎨=⎩或48l r =⎧⎨=⎩，所以8l r α==（舍）或12l r α==所以扇形的圆心角α的弧度数为124．【答案】：,32xk x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z【解析】：根据题意得，tan 0x ->，即tan x >22,32k x k k Z ππππ+<<+∈所以函数2()log (tan f x x =的定义域,32x k x k k ππππ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z5．【答案】：1arcsin3π- 6．【答案】：2-【解析】：根据题意得，(7.5)(0.58)(0.5)(0.5)cos 6f f f f π=-+=-=-=-=7．【答案】：79【解析】：227sin 2cos 2cos 212sin 16263699πππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-+=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭8．【答案】：,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z【解析】：()cos 2cos 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以222,3k x k k Z ππππ-≤-≤∈，解得,36k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以单调递增区间为,,36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z9．【解析】：222()cos sin 21sin sin 1sin sin 2f x x x x x x x =++=-++=-++ 令7sin ,,46t x x ππ⎛⎤=∈⎥⎝⎦，则1,12t ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，2()2f t t t =-++ 所以22minmin 115119()2,()2224224f t f t ⎛⎫⎛⎫=---+==-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以59(),44f t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以59(),44f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以函数2()cos sin 1f x x x =++在7,46ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦上的值域是59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦10．【答案】：34【解析】：由根据题意可得，函数()4sin 3cos 5sin()f x x x x ϕ=+=+，其中3tan 4ϕ= 因为()f x 向右平移α个单位后，可得()5sin[()]5sin()g x x x αϕαϕ=-+=-+，又由()5sin()g x x αϕ=-+为奇函数，所以,k k Z ϕαπ-=∈，即,k k Z αϕπ=-∈， 又因为0απ<<，所以αϕ=，所以3tan tan 4αϕ==．11．【答案】：[1,2]【解析】：()|sin |cos |g x x x =是偶函数，周期为π．当[0,]x π∈时，sin ,0,2()|sin ||cos |sin ,,2x x x g x x x x x x πππ⎧⎛⎫⎡⎤+∈⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎝⎭⎩所以2sin 0,32()2sin ,32x x g x x x πππππ⎧⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎪-∈ ⎪ ⎪⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎩，所以()g x 值域为[1,2]12．【解析】：由题意，函数()f x 为R 上奇函数，所以(0)0f =，且()()f x f x -=-， 又(2)()0f x f x -+=，可得(2)()f x f x -=-，可得函数()f x 的图像关于点(1,0)对称， 联立可得(2)()f x f x -=-，所以()f x 是以2为周期的周期函数， 又由函数sin y x π=的周期为2，且关于点(,0)()k k Z ∈对称， 因为当(0,1]x ∈时，2()log f x x =-，由图像可知，函数2()log f x x =-和sin y x π=的图像在[1,1)-上存在1234111,,0,22x x x x =-=-==四个零点，即一个周期内有4个零点，要使得函数()()sin F x f x x π=-，在区间[2,]m -上有2021个零点，其中1234312,,1,22x x x x =-=-=-=-都是函数的零点，即函数()()sin F x f x x π=-在[0,]m 上有2017个零点，如果m 是第207个零点，则20171210084m -=⨯=，如果m 是第2018个零点，则12017100822m =+=，即20171008,2m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．13．【答案】：A 【解析】：①当2πϕ=时，()2sin 22cos22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∵()2cos(2)2cos2()f x x x f x -=-==，∴()f x 为偶函数， ②当()f x 为偶函数时，,Z 2k k πϕπ=+∈，综上所述，2πϕ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A14．【答案】：B【解析】：21cos sin 222A c b A c --==，即cos b A c =，所以sin cos sin BA C=，所以cos cos sin A C B =cos sin sin sin()sin cos cos sin A C B A C A C A C ==+=+，所以sin cos 0A C =，因为sin 0A ≠，所以cos 0C =，所以cos 0C =是直角数学卷，故选B 15．【答案】：4【解析】：|sin |y x =图像如图，可知|sin |y x =的周期为π，严格单调递增区间是,,2k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦所以()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的严格单调递增区间是,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，令1k =，易知A 正确16．【答案】：B【解析】：令()0f x =，则1sin()2x ωϕ+=，令t x ωϕ=+，则1sin 2t = 则问题转化为sin y t =在区间3,44ππωϕωϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上至少有两个，至多有三个t ，使得1sin 2t =， 作出sin y t =和12y =的图像，观察交点个数，可知使得1sin 2t =的最短区间长度为2π，最长长度为223ππ+， 由题意列不等式的：3222443πππωϕωϕππ⎛⎫⎛⎫≤+-+<+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：1643ω≤<，故选B三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17．【答案】：见解析【解析】：（1）因为P 在单位圆上，且点P 的横坐标为35-，可求得纵坐标为45，所以4tan 3θ=-， 所以cos 3sin 13tan 33sin cos 3tan 15θθθθθθ++==--．（2）由题知4παθ=+，则4πθα=-则11tan 113tan tan 141tan 213παθαα--⎛⎫=-===- ⎪+⎝⎭+18．【答案】：见解析 【解析】：（1）由图可得37341264A T πππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭，∴T π=， ∴22πωπ==，则())f x x ϕ=+，又7721212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2,3k k Z πϕπ=+∈， ∵02ϕπ<<，∴3πϕ=，∴()23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（3）()()226363h x f x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦233sin 2sin 23sin 2cos cos2sin sin 2sin 22cos233322x x x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3333sin 4cos4sin 4444264x x x π⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭． ∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴54,666x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，则当462x ππ-=时，()h x 取得最小值为0， 当462x ππ-=时，()h x 取得最大值为94，()h x 的取值范围为90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦19．【答案】：见解析【解析】：（1）设DEF 的边长为x 千米 由3πθ=，得11,22CE x AE a x ==-．在AEF 中，,333FEA A ππππθ∠=--=∠=，∴AEF 为等边三角，得12AE x a x ==-，解得23x a =．所以DEF 的边长等于23a 千米．（2）设DEF 的边长为x 千米．则cos CE x θ=，cos AE a x θ=- 在AEF 中，2,,33FEA A EFA ππθθ∠=-∠=∠=，∴cos sin sin 3x a x θπθ-=，解得x ===，当2πθ+=，arctan 2πθ=-min 7ax ==所以当2πθ=-时，DEF的边长取得最小值为7千米 20．【答案】：见解析【解析】：（1）由题意，函数2())2sin 12x f x x ωϕωϕ+⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)cos()2sin 6x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭因为函数()f x 图像的相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，可得2w =．（2）将函数()f x 的图像向右平移6π个单位长度，可得2sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图像． 再把橫坐标缩小为原来的12，得到函数()2sin 43y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭的图像．当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，24,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 当432x ππ-=-时，函数()g x 取得最小值，最小值为2-，当433x ππ-=时，函数()g x()g x的值域[-．（3）由方程4()3g x =，即42sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，即2sin 433x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为4,63x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得4,533x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，设43x πθ=-，其中,53πθπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即2sin 3θ=， 结合正弦函数sin y θ=的图像，可得方程2sin 3θ=在区间,53ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦有5个解，即5n =， 其中122334453,5,7,9θθπθθπθθπθθπ+=+=+=+=， 即12233445443,445,447,44933333333x x x x x x x x ππππππππππππ-+-=-+-=-+-=-+-= 解得1223344511172329,,,12121212x x x x x x x x ππππ+=+=+=+= 所以()()()()1234512233445202223x x x x x x x x x x x x x π+++++=+++++++=． 21．【答案】：见解析 【解析】：（1）由余弦定理得222b ac ac =+-，将2a cb +=代入得到ac =，所以ABC 为等边三角形． （2）（ⅰ）由a c mb +=及正弦定理sin sin sin a b c A B C==得sin sin sin A C m B +=， 所以2sin cos 2sin cos 2222A C A C B B m +-=，因为222A C B π+=-， 所以()2sin cos 2sin cos 2sin cos 22222222B A C A C B A C B m m πππ--++⎛⎫⎛⎫-==-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 有cos cos 22A C A C m -+=，由两角和、差的余弦公式可得 cos cos sin sin cos cos sin sin cos cos sin sin 222222222222A C A C A C A C A C A C m m m ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，整理得(1)sinsin (1)cos cos 2222A C A C m m +=-， 故1tan tan 221A C m m -=+． （ⅱ）由1tan tan 221A C m m -=+及半角正切公式1cos sin tan 2sin 1cos ααααα-==+可得 21cos sin 1cos sin 1cos 1cos tan tan 22sin 1cos sin 1cos 1cos 1cos A C A A C C A C A A C C A C ----⎛⎫=⋅⋅⋅=⋅ ⎪++++⎝⎭22(1)(1)m m -=+， 展开整理得()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C -++=-， 即()2421(cos cos )4cos cos m m A C m A C-++=-， 即222cos cos 21cos cos 1mA C m m A C m +-+=+， 即222cos cos 112cos cos 1m A C m m A C m +-+=--+，与原三角式作比较可知()m ϕ存在且22()1m m m ϕ=-+．。
上海高一下学期期中考试数学试卷有答案
上海⾼⼀下学期期中考试数学试卷有答案上海市理⼯⼤学附属⾼⼀下学期期中考试数学试卷满分：100分完成时间：90分钟⼀、填空题（本⼤题共12⼩题，每⼩题3分，满分36分）1．由02010sin ,02010cos <>可知，2010弧度的⾓为第______________象限的⾓. 2．若⾓α的终边经过点)3,(x P ，且1 cos 2α=-，则=x ． 3．函数lg2xy x=-的定义域为． 4．设函数)1(1)(2>-=x x x f 的反函数为)(1x f-，则=--)2(1f________________．5．满⾜⽅程931=-x 的x 的值为_______________________．6．把ααsin 3cos +化为)20,0)(sin(πα<<>+A A 的形式即为_______________．7．已知a =2log 3，则18log 32⽤a 表⽰为．8．函数12)(2++=ax x x f 在]2,1[- 上不存在．．．反函数，则实数a 的取值范围为___________． 9．化简：()()()=--+--+??+ααπαπαπsin sin sin 2cos _______________． 10．若342sin ,cos ,,552a a a a παααπ--==<<++则a =____________________． 11．已知函数)1,0(),3(log ≠>-=a a ax y a 在]1,0[上单调递减，则实数a 的取值范围为．12．已知函数(1)()log (2)()n f n n n *+=+∈N ，若存在正整数k 满⾜：(1)(2)(3)f f f f n k =，那么我们把k 叫做关于n 的“对整数”，则当[1,10]n ∈时，“对整数”共有_______________个⼆、选择题（本⼤题共4⼩题，每⼩题3分，满分12分） 13．“21c o s=α”是“3πα=”的……………………………………………………（） (A) 充分⾮必要条件 (B) 必要⾮充分条件 (C) 充分必要条件 (D) 既⾮充分⼜⾮必要条件14．若把?1000化成360(k Z,9090)k αα??+∈-?<（A ）?8 （B ）?-8 （C ）?80 （D ）?-8015．设02x π≤≤,sin cos x x =-,则………………………………（） A.0x π≤≤ B.744x ππ≤≤C.544x ππ≤≤D.322x ππ≤≤ 16．函数ln 1xy ex =--的图像⼤致是…………………………………………………( )三、解答题（本⼤题共有5题，满分52分） 17．（本题满分8分）解⽅程：22log (95)log (32)2x x-=-+18．（本题满分8分）已知()()1sin cos 5παπα++-=，且2παπ<<，求tan(2).πα-19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）（1）已知tan 2α=-，求224sin 3cos αα+的值.（2）已知,αβ为锐⾓，sin 5α=，cos 10β=，求αβ-的值.20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第（3）题6分）某同学在⼀次研究性学习中发现，以下五个式⼦的值都等于同⼀个常数：①??-?+?17cos 13sin 17cos 13sin 22；②??-?+?15cos 15sin 15cos 15sin 22；③??-?+?12cos 18sin 12cos 18sin 22；④??--?+?-48cos )18sin(48cos )18(sin 22；⑤??--?+?-55cos )25sin(55cos )25(sin 22.(1) 利⽤计算器求出这个常数；(2) 根据(1)的计算结果，请你写出⼀个三⾓恒等式，使得上述五个等式是这个恒等式的特殊情况；（3）证明你写出的三⾓恒等式.21．（第⼀⼩题2分，第⼆⼩题4分，第三⼩题5分，第四⼩题3分，满分14分）已知函数1()log (0,1)1a mxf x a a x -=>≠-是奇函数. （1）求m 的值；（2）求()f x 的反函数1()fx -；（3）讨论()f x 的单调性，并⽤定义证明；（4）当()f x 定义域区间为()1,2a -时，()f x 的值域为()1,+∞，求a 的值.2013年第⼆学期期中考试⾼⼀数学试卷参考答案与评分意见⼀、填空题1．四； 2． 3．(0,2)； 4．3； 5．3-或3； 6．)6sin(2πα+；7．25a a+； 8．()2,1-； 9．2sin α； 10．8； 11．()1,3； 12 2．⼆、选择题13．B ； 14．D ； 15．C ； 16．D ．三、解答题17．（本题满分8分）解：954(32)xx-=-————————2分 ()234330x x-?+=———————2分 313x x==或301x x ∴==或——————————2分经检验0x =是增根，舍去—————1分∴原⽅程的解是1x =————————1分18．（本题满分8分）解：由已知得1sin cos 5αα+=--------------------------------2分两边平⽅得：242sin cos 25αα=-----------------------------2分3222ππαπαπ<<∴<<cos 0sin αα∴>>----------------------------------------------1分14sin cos sin 552432sin cos cos 255αααααα??+=-=-∴=-=---------------------2分4tan(2)tan 3παα-=-=------------------------------------------1分（不同解法相应给分）19．（本题满分10分，第(1)题5分，第(2)题5分）解：（1）原式=22224sin 3cos 2sin cos αααα+--------+分 =224tan 32tan 1αα+--------+分 1915=---------分（2）因为α为锐⾓，sin α=，所以cos α==，--------------- 1分由β为锐⾓，cos 10β=，⼜sin 10β==， --------------- 1分所以sin()=sin cos cos sin αβαβαβ--=510510=-=2-，---------------2分因为,αβ为锐⾓，所以22ππαβ-<-<，所以4παβ-=-. ---------------1分20．（本题满分12分，第(1)题2分，第(2)题4分，第(3)题6分）解：(1) 43……………………………………2分 (2)43)30cos(sin )30(cos sin 22=-?--?+αααα. ……………………………………4分（3）证明:)30cos(sin )30(cos sin 22αααα-?--?+22sin (cos30cos sin 30sin )sin (cos30cos sin 30sin )αααααα=+?+?-?+? ……2分2222311sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=+++--……2分22333sin cos 444αα=+=．………………………………………………………………2分 21．（第⼀⼩题2分，第⼆⼩题4分，第三⼩题5分，第四⼩题3分，满分14分）解：（1）222111()()log log log 0111aa a mx mx m x f x f x x x x +---+=+==--------------1分对定义域内的任意x 恒成⽴ ()2222211,101m x m x x-∴=-=-即解得1m =±，经检验1m =----------------------------------------------------------1分（2）111log 111y ya y x x a y a x x x a +++=?=?=---()0y ≠-------------------------2分 11()(0,0,1)1x xa f x x a a a -+∴=≠>≠-----------------------------------------2分（3）由（1）可知函数()f x 的定义域为()(),11,-∞-+∞--------------------1分设12121(),111x g x x x x x x +=<<-<<-任取或2112122()()()0(1)(1)x x g x g x x x --=>--12()()g x g x ∴>所以，函数()()1(),11,1x g x x +=-∞-+∞-在或上单调递减-----------------2分所以当()()1(),11,a f x >-∞-+∞时，在和上单调递减当01a <<时，()()(),11,f x -∞-+∞在和上单调递增.------------------2分（其他⽅法证明适当给分）（4）123x a a <<-∴> ()()1,2 f x a ∴-由(3)可知在上单调递减--------------------------------------1分21(2)1,l o g 1,410,232a a f a aa a a -∴-==-+=∴+-即化简得分。
2023年上海中学高一下期中数学试卷及答案
上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠=，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．11.设()202320222021f x x x =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（）A.12t =，s 的最小值为6πB.2t =，s的最小值为6πC.12t =，s 的最小值为3πD.2t =，s的最小值为3π14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.4B.4C.14D.14-15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.1116.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值上海中学2023学年第二学期高一年级数学期中2023.04一、填空题（每小题3分，共36分）1.一个扇形的面积为1，周长为4，则该扇形圆心角的弧度数为______．【答案】2rad 【解析】【分析】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，根据题意，由24R l +=，112lR =求解.【详解】设扇形的半径为R ，弧长为l ，圆心角为α，则24R l +=．①由扇形的面积公式12S lR =，得112lR =．②由①②得1R =，2l =，∴2rad lRα==．∴扇形的圆心角为2rad ．故答案为：2rad2.角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-，则tan θ=______．【答案】34-【解析】【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得tan θ的值．【详解】解：角θ的终边经过点()4,P y ，且3sin 5θ=-=，3y ∴=-，则3tan 44y θ==-，故答案为34-．【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．3.若tan 2θ=-，则2cos2sin21cos θθθ-=+______．【答案】16【解析】【分析】利用正余的倍角公式，将2cos2sin21cos θθθ-+转化成齐次式即可求出结果.【详解】因为2222222cos2sin2cos sin 2sin cos 1tan 2tan 1cos 2cos sin 2tan θθθθθθθθθθθθ-----==+++，又tan 2θ=-，所以2cos2sin214411cos 246θθθ--+==++.故答案为：16.4.已知π1πcos (0332αα⎛⎫+=<<⎪⎝⎭，则()sin πα+=________________．【答案】3226-【解析】【分析】根据同角关系式，诱导公式及两角差的正弦公式即得.【详解】π02α<<，ππ5ππ,sin 03363αα⎛⎫∴<+<+> ⎪⎝⎭，所以π22sin 33α⎛⎫+==⎪⎝⎭，则()ππsin πsin sin 33ααα⎡⎤⎛⎫+=-=-+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦221133232⎛=-⨯-⨯= ⎝⎭3226-.故答案为：3226-.5.函数()2sin cos y x x =+的最小正周期是________【答案】π【解析】【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式可得函数sin 21y x =+，根据最小正周期等于2πω求出结果.【详解】函数()222sin cos sin cos 2sin cos sin 21y x x x x x x x =+=++=+，∴函数的最小正周期为22ππ=故答案为：π.6.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积2221()3S a c b =+-，则tan B =________【答案】43【解析】【分析】根据面积公式得到1sin 2S ac B =⋅,根据余弦定理得到2222cos a c b ac B +-=⋅,对等式进行整理,即可得到tan B 的值【详解】由三角形面积公式可得1sin 2S ac B =⋅,由余弦定理可得2222cos a c b ac B+-=⋅ 2221()3S a c b =+-,11sin 2cos 23ac B ac B ∴⋅=⋅⋅又0a > ,0c >,12sin cos 23B B ∴=,2sin 431cos 32B B ∴==,即4tan 3B =故答案为43【点睛】本题考查解三角形的问题,考查三角形面积公式,余弦定理的应用,考查正切公式7.已知函数2()cos 2cos (0)222x x x f x ωωωω=+>的周期为23π，当0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________.【答案】(3,2]--【解析】【分析】先利用二倍角公式和辅助角公式，结合周期为23π求得()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，然后将0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，转化为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象，利用数形结合法求解.【详解】函数2()cos 2cos 222x x x f x ωωω=+，cos 1x x ωω=++，2sin 16x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数()f x 的周期为，所以2323πωπ==，()2sin 316f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()()g x f x k =+恰有两个不同的零点，所以0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x k =-恰有两个不同的根，在同一坐标系中作出函数(),y f x y k ==-的图象如图所示：由图象可知：23k ≤-<，即2k -3<≤-，所以实数k 的取值范围是(3,2]--，故答案为：(3,2]--【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．8.若函数()2sin 0y x ωω=>在,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值是2-，但最大值不是2，则ω的取值范围是________.【答案】3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】根据x 的范围可确定x ω的范围，由正弦型函数最值可确定x ω所满足的不等关系，解不等式组可求得ω的范围.【详解】当,34x ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，,34x ππωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，由题意可知：32223222242k k k k ππππωπππππωπ⎧-+<-≤-+⎪⎪⎨⎪-+≤<+⎪⎩，Z k ∈，解得：3966222828k k k kωω⎧-≤<-⎪⎨⎪-+≤<+⎩，Z k ∈，0ω> ，9602280k k ⎧->⎪∴⎨⎪+>⎩，解得：4143k -<<，又Z k ∈，0k ∴=，392222ωω⎧≤<⎪∴⎨⎪-≤<⎩，322ω∴≤<，即ω的取值范围为3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故答案为：3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭.9.张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C的对边，已知b =，45A ∠= ，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 只有一解，a 的可能取值是______(只需填写一个适合的答案)【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合{})2⎡⋃+∞⎣，即可确定一个a的可能取值是【详解】解：由已知及正弦定理sin sin a b A B=22sin 2B =，可得{}22sin 10,2B a ⎛=∈⋃ ⎝⎦，可得a 的取值集合为：{})2⎡⋃+∞⎣．可得a 的可能取值是故答案为．【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.定义：关于x 的两个不等式()0f x <和()0g x <的解集分别为(),a b 和11,b a ⎛⎫⎪⎝⎭，则称这两个不等式为对偶不等式．如果不等式2cos220x θ-+<与不等式224sin210x x θ++<为对偶不等式，且θ=______．【答案】()ππZ 26k k θ=-∈【解析】【分析】根据题意利用韦达定理可得,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，结合三角恒等变换化简可求得πsin 203θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】依题意可知,a b 为2cos220x θ-+=的两根，11,a b为224sin210x x θ++=的两根，需满足2248cos 280,16sin 280θθ'∆=->∆=->，即215sin 226θ<<，故,2a b ab θ+==，且112sin 2a bθ+=-，故11a b a b ab++=，则2sin 22θθ-=，π2sin 202sin 20,3θθθ⎛⎫+=∴+= ⎪⎝⎭，()()πππ2πZ ,Z 326k k k k θθ+=∈∴=-∈，经验证满足215sin 226θ<<故答案为：()ππZ 26k k θ=-∈11.设()202320222021f x xx =++，若不等式()()22sin cos 1cos f x a x a f x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是______．【答案】(][),21,-∞-+∞ 【解析】【分析】构造函数，利用奇偶性、单调性将不等式转化恒成立问题，利用换元法结合二次函数的性质求解即可.【详解】令()()202320212022g x f x xx =-=+，由()g x 定义域为R ，且()()g x g x -=-，所以()g x 为奇函数，且2023222,0y x y x ==在R 单调递增，所以()g x 在R 单调递增，所以不等式()()22sin cos 1cos f x a x af x ++≥+对一切x ∈R 恒成立，()()22sin cos 20211cos 2021f x a x a f x ⇔++-≥+-，()()22sin cos 1cos g x a x a g x ⇔++≥+，22sin cos 1cos x a x a x ⇔++≥+，即221cos cos 1cos x a x a x ⇔-++≥+，()22cos 1cos 0x a x a ⇔+--≤在R 恒成立，设[]cos ,1,1t x t =∈-，则问题转化为：()2210t a t a +--≤在[]1,1t ∈-上恒成立，又因为()22Δ140a a =-+>，所以()()()()2222221110201110a a a a a a a a ⎧⎧-≥-+-⨯--≤⎪⇒⎨⎨+-≥+-⨯-≤⎪⎩⎩，解得：2a ≤-或1a ≥，所以实数a 的取值范围是：(][),21,-∞-+∞ .故答案为：(][),21,-∞-+∞ .12.若不等式2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，则实数k 的最小值为______．【答案】144【解析】【分析】利用正弦定理角化边，可得223kb ac bc +>恒成立，化简为223bc ac k b -⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，将223bc acb-化为二次函数性形式，结合二次函数性质即可求得答案.【详解】由2sin sin sin 23sin sin k B A C B C +>对任意ABC 都成立，可得223kb ac bc +>，即223bc ac k b -⎛⎫>⎪⎝⎭恒成立，又因为ABC 中，a b c +>，则()()()222232323b a c b a a b bc ac b b b --+-=<22222311144a a a b b b ⎛⎫⎛⎫=-+⋅+=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当11a b =时，211144a b ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭取得最大值144，即223144bc ac b -<，故144k ≥，即实数k 的最小值为144，故答案为：144二、选择题（每小题4分，共16分）13.将函数sin(2)3y x π=-图象上的点(,)4P t π向左平移s （0s >）个单位长度得到点P'，若P'位于函数sin 2y x =的图象上，则（） A.12t =，s 的最小值为6πB.32t =，s的最小值为6π C.12t =，s 的最小值为3πD.32t =，s的最小值为3π【答案】A 【解析】【详解】由题意得，1sin(2)432t ππ=⨯-=，可得，因为P'位于函数sin 2y x =的图象上所以，可得，s 的最小值为，故选A.【名师点睛】三角函数图象的变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意：①平移变换时，当自变量x 的系数不为1时，要将系数先提出；②翻折变换要注意翻折的方向；③三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换.14.我们学过用角度制与弧度制度量角，最近，有学者提出用“面度制”度量角，因为在半径不同的同心圆中，同样的圆心角所对扇形的面积与半径平方之比是常数，从而称这个常数为该角的面度数，这种用面度作为单位来度量角的单位制，叫做面度制在面度制下，角θ的面度数为512π，则cos 2θ=（）A.624 B.624C.314D.314-【答案】B 【解析】【分析】设角θ所在的扇形的半径为r ，利用面度数的定义及扇形的面积公式可得θ，利用两角和的余弦公式即可求解cos2θ的值．【详解】解：设角θ所在的扇形的半径为r ，由扇形的面积公式可得21||2S r θ=⋅，则215||212S r πθ==，可得5coscos cos cos cos sin sin 212464646θπππππππ⎛⎫==+=- ⎪⎝⎭122224=-⨯=.故选：B.15.将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像，若()()129g x g x ⋅=，其中[]12,0,4πx x ∈，则12x x 的最大值为（）．A.9B.275C.3D.11【答案】A 【解析】【分析】根据三角函数图象的平移求得()g x 的解析式，根据已知求得1π34x +的最大值和2π34x +的最小值，即可求得1x 的最大值以及2x 的最小值，即得答案.【详解】将函数()π2sin 34f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向下平移1个单位，得到()g x 的图像,即()π2sin 314g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，则()[3,1]g x ∈-，故由()()129g x g x ⋅=可得()()123,3g x g x =-=-，则12ππsin 31,sin 3144x x ⎛⎫⎛⎫+=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为[]12,0,4πx x ∈，故12ππ49πππ49π,3,344444,4x x ⎡⎤⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以需1π34x +取到最大值23π2，2π34x +取到最小值3π2，即1x 取到最大值15π4，2x 取到最小值5π12，此时12x x 取最大值，即12x x 最大值为15π95412π=，故选：A16.设函数()3sin 2cos 1f x x x =++，若实数,,a b c 使得()()1af x bf x c +-=对任意实数x 恒成立，则cos b ca的值等于A.12-B.12C.1- D.1【答案】C 【解析】【详解】解：令c=π，则对任意的x ∈R ，都有f （x ）+f （x-c ）=2，于是取a=b=12，c=π，则对任意的x ∈R ，f （x ）+f （x-c ）=1，由此得cos b ca=-1，选C 三、解答题（本大题共5题，各题分值依次为8、8、8、12、12分，共48分）17.函数()sin()f x A x ωϕ=+（0ω>，0πϕ-<<）在一个周期内的图像经过(,0)6B π，2(,0)3C π，(,1)4D π三点，求()sin()f x A x ωϕ=+的表达式.【答案】232()433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【解析】【分析】由题意，根据,B C 是半周期内的两个相邻的零点，求得4w =，进而求得3A =和23πφ=-，即可得到函数的解析式；【详解】（1）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是半周期内的两个相邻的零点，则2,,2236T T w πππ=-∴=∴=0321230sin A Asin πφπφπφπφ⎧⎛⎫+= ⎪⎪⎝⎭⎪=⎧⎪⎪⎛⎫+=⇒⎨⎨⎪=-⎝⎭⎪⎪⎩⎪-<<⎪⎩所以函数()2sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭（2）当2,0,,063B C ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是一周期内的两个不相邻的零点，则2,,4362T T w πππ=-∴=∴=()2023331203sin A Asin πφπφππφφ⎧⎛⎫+= ⎪⎧⎪⎝⎭=⎪⎪⎪⎪+=⇒⎨⎨⎪⎪-<<=-⎪⎪⎩⎪⎩所以函数()2sin 433f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，及三角函数的解析式的求解，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理、准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．18.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知2sin tan 12cos CA C=-，1b =.（1）求a 的值；（2）若c =，求ABC 外接圆的面积.【答案】（1）2a =，（2）73π.【解析】【分析】（1）由2sin tan 12cos CA C=-,根据同角的三角函数的关系和两角和的正弦公式可得sin 2sin A B =，再由正弦定理可得2a b =，问题得以解决；（2）由（1）可得2a =，先由余弦定理求出cos C ，再求出C 的值，再由正弦定理求出外接圆的半径，问题得以解决.【小问1详解】因为2sin tan 12cos CA C=-，所以sin 2sin cos 12cos A CA C=-，所以sin (12cos )2cos sin A C A C -=，所以sin 2sin cos 2cos sin 2sin()A A C A C A C =+=+，因为πA C B +=-，所以sin()sin(π)sin A C B B +=-=，所以sin 2sin A B =由正弦定理得2a b =.因为1b =，所以2a =.【小问2详解】因为c =2a =，1b =，所以由余弦定理得：2222cos c a b ab C =+-，即714212cos C =+-⨯⨯，即1cos 2C =-，因为()0,πC ∈所以2π3C =，设ABC 的外接圆半径为R，则22πsin 3R=，解得213R =，所以ABC 的外接圆面积为27ππ3R =.19.设a 为常数，函数()()sin2cos 2π21f x a x x =+-+（x ∈R ）．（1）设a =，求函数()y f x =的单调区间及周期T ；（2）若函数()y f x =为偶函数，求此函数的值域．【答案】（1）增区间ππ[π,π36Z ],k k k -+∈，减区间为 π2π[63π+,πZ k k k +∈；π（2）[0,2]【解析】【分析】（1）根据三角函数诱导公式以及辅助角公式可化简得()π2sin(216f x x =++，结合正弦函数性质即可求得答案；（2）根据函数的奇偶性求得a 的值，结合余弦函数性质可求得答案.【小问1详解】因为a =()πcos212sin(2)16f x x x x =++=++，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤+≤+∈，解得ππππ,Z 36k x k k -≤≤+∈，即函数()y f x =的单调增区间为ππ[π,π36],Z k k k -+∈；令ππ3π2π+22π,Z 262k x k k ≤+≤+∈，解得π2ππ+π,Z 63k x k k ≤≤+∈，函数()y f x =的单调减区间为π2π[π+,π],Z 63k k k +∈函数的周期为2ππ2T ==.【小问2详解】函数()y f x =为偶函数，则()()f x f x -=，即sin(2)cos(22)1ππsin2cos(22)1a x x a x x -+++=+-+，即sin2cos21sin2cos21a x x a x x -++=++，即sin20a x =，由于x ∈R ，则0a =，故()()cos 2π21cos 21f x x x =-+=+，由于cos 2[1,1]x ∈-，故()[0,2]f x ∈.20.已知A 、B 两地相距2R ，以AB 为直径作一个半圆，在半圆上取一点C ，连接AC 、BC ，在三角形ABC 内种草（如图），M 、N 分别为弧AC 、弧BC 的中点，在三角形AMC 、三角形BNC 上种花，其余是空地．设花坛的面积为1S ，草坪的面积为2S ，取ABC θ∠=．（1）用θ及R 表示1S 和2S ；（2）求12S S 的最小值．【答案】（1）()21sin cos 2sin cos S R θθθθ=+-，22sin 2S R θ=；（21-【解析】【分析】（1）先利用θ及R 表示出,AC BC 的长，即可表示出2S ，进而设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，表示出ME 的长，结合三角形面积公式即可表示出1S ；（2）利用（1）的结论可得12S S 的表达式，结合三角函数sin cos ,sin cos θθθθ+之间的关系化简，并利用函数单调性，即可求得答案.【小问1详解】因为π,(0,]2ABC θθ∠=∈，故2sin 2cos ,AC R BC R θθ==，所以22212sin cos sin 22S AC BC R R θθθ=⋅==，设AB 的中点为O ，连接,MO NO ，则,MO AC NO BC ⊥⊥,设MO 交AC 于点E ，则()cos 1cos 2BCME MO OE R R R R θθ=-=-=-=-，则()21||||sin 1cos 2AMC S AC ME R θθ=⋅=- ，同理求得()2cos 1sin BNC S R θθ=- ，故()()()2221sin 1cos cos 1sin sin cos 2sin cos S R R Rθθθθθθθθ=-+-=+-.【小问2详解】由（1）的结论可得()2122sin cos 2sin cos sin cos 12sin cos 2sin cos R S S R θθθθθθθθθθ+-+==-，令πsin cos ,0,2t θθθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，则(π)4t θ=+∈，故22sin cos 1t θθ=-，所以12211111S t S t t t=-=---，由于(t ∈，1y t t =-在(上单调递增，则12(0,]2t t-∈，故1111t t-≥-，即12S S1-.21.对于函数()f x （x D ∈），若存在非零常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 函数”，若对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则称函数()f x 为“严格T 函数”．（1）求证：()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”；（2）若函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，求k 的取值范围；（3）对于定义域为R 的函数()f x ，()00f =．函数()sin f x 是奇函数，且对任意的正实数T ，()sin f x 均是“严格T 函数”．若()π2f a =，()π2f b =-，求a b +的值【答案】（1）证明见解析（2）[2,)π+∞（3）0【解析】【分析】（1）取非零常数2πT =，证明函数满足()()f x T f x +≥即可；（2）根据函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，可推出22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，化简为cos 22πk x ≥-，结合余弦函数性质可得答案；（3）由“严格T 函数”的定义可知函数为单调递增函数，再结合()sin f x 是奇函数，利用其对称性即可求得答案.【小问1详解】证明：取非零常数2πT =，则对任意的x ∈R ，都有()2πsin(2π)sinx f x x +=+=，因为sin sin x x ≥，即()()f x T f x +≥成立，故()sin f x x =，x ∈R 是“T 函数”.【小问2详解】函数()2sin f x kx x =+是“π2函数”，R D =，则()π2f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即22ππsin sin 22k x x kx x ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得cos 22πk x ≥-，而cos 2[1,1]x ∈-，故π21,2πk k ≥∴≥，即k 的取值范围为[2,)π+∞；【小问3详解】因为对于任意x ∈R ，对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +>成立，则()f x 在R 上为单调增函数，令()()sin g x f x =，x ∈R ，由题意知()()sin g x f x =为奇函数，因为()π2f a =，()π2f b =-，所以()sin(())1,()sin(())1g a f a g b f b ====-，所以()()0g a g b +=，则0a b +=.【点睛】关键点睛：本题是给出新的函数定义，然后根据该定义解决问题，解答此类题目的关键是理解新定义，明确其含义，根据其含义明确函数的性质，继而解决问题.。
上海名校高一下学期期中数学试题(解析版)
一、填空题1．角度大小为7弧度的角是第________象限角【答案】一【分析】把弧度化为度数并结合终边相同角的定义变形判断．【详解】7弧度，所以第一象限．180736041.190π︒=⨯-︒≈︒<︒故答案为：一． 2．已知向量，，则的坐标为__________.()1,2a =- ()0,1b = 2a b - 【答案】(1,0)-【分析】运用向量坐标加、减、数乘运算求解即可.【详解】因为，，(1,2)a =- (0,1)b =r 所以.2(1,2)2(0,1)(1,0)a b -=--=- 故答案为：.(1,0)-3．的值为__________.cos57cos12sin 57sin12+【分析】由两角差的余弦公式化简求值.【详解】. c )os57cos12sin 57sin cos(5712cos 4125=+︒-︒=︒=故答案为.4．若，则与的夹角为__________. 2,3a b a b ==⋅= a b 【答案】30︒【分析】根据数量积的定义结合已知计算即可.【详解】解：因为，2,3a b a b ==⋅=所以， cos ,a b a b a b⋅== 又因， 0,180a b ︒︒≤≤ 所以与的夹角为.a b 30︒故答案为：. 30︒5．函数，的最大值为______ sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦【答案】1【分析】求出的范围，然后由正弦函数性质得最大值．3x π+【详解】，则，所以当，即时，． ,32x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦50,36x ππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦32x ππ+=6x π=max 1y =故答案为：1．6．已知2弧度的圆心角所对的弧长为4厘米，则此圆心角所夹的扇形面积为_____.2cm 【答案】4【分析】运用扇形的弧长公式求得扇形的半径，再运用扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意知，，，2α=4l =所以扇形的半径， 42cm 2lr α===所以扇形的面积. 211424cm 22S lr ==⨯⨯=故答案为：4.7．函数的定义域为______． ()πtan π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】 3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【分析】利用整体代入法求得的定义域. ()f x 【详解】令，，可得，， ππππ42x k -≠+Z k ∈34x k ≠+Z k ∈故函数的定义域为． ()f x 3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为： 3,Z 4x x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭8．在中，内角所对的边分别为 ，若，则的值为ABC A ,,A B C ,,a b c 2cos cos a c C b B-=cos B ____________.【答案】/ 120.5【分析】利用正弦定理将边化角，再利用两角和的正弦公式计算可得.【详解】在中，∴， ABC A 2cos cos a c C b B-=()2cos cos a c B b C -=由正弦定理可得，()2sin sin cos sin cos A C B B C -=即，()2sin cos sin cos sin cos sin sin A B C B B C B C A =+=+=因为，，可得. ()0,πA ∈sin 0A ≠1cos 2B =故答案为： 129．已知点在直线上，点在直线外，若，且，，M BC A BC AB AC AB AC +=- 4AB =u u u r 2AC = 则的最小值为______.AM【分析】根据条件可得出 从而得出，进而得出BC ，根据题意知，当0AB AC ⋅= AB AC ⊥时，最小，从而得出可得出的最小值．AM BC ⊥AM AM 【详解】根据题意，当时，最小；AM BC ⊥AM 由，AB AC AB AC +=- ，222222AB AC AB AC AB AC AB AC ∴++⋅=+-⋅ ∴ ，即，0AB AC ⋅= AB AC ⊥，=∴当时，由面积法得 ， AM BC ⊥24AM =⨯ AM =所以的最小值为AM10．已知函数（），其图像的最高点从左到右依次记为π()cos |2f x x =04045x ≤≤，其图像与轴的交点从左到右依次记为，则123n A A A A ，，，，x 123n B B B B ，，，，____.11121222222323332022202320232023A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅+⋅+⋅++⋅= 【答案】8088-【分析】由函数可得,分别写出各点坐标,进一步得到向量坐标,求数量积时会发现每一个数量积2T =均为,整理后即可得到结果.2-【详解】由题可知，，2T =,,为，…，， 1A (2A (3A (2023A (,,，…，，1B ()1,02B ()3,03B ()5,02023B ()4045,0所以，(112233202320231,A B A B A B A B ===== ，(12233420222023B A B A B A B A ===== 所以，11121222222323332022202320232023...132A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅=⋅=⋅=⋅==⋅=-=- 所以. ()11121222222323332022202320232023+...2022228088A B B A B A A B A B B A B A A B B A A B ⋅+⋅⋅+⋅++⋅=⨯⨯-=- 故答案为：.8088-11．函数在区间内不存在零点，则正实数的取值范围是________． 2sin 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(,2)ππω【答案】 55110,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【分析】由题意利用正弦函数的零点，可得，或，，由此求得正26πωππ+…6πωππ+226πωππ+…实数的取值范围．ω【详解】解：函数在区间内不存在零点且，所以，即 2sin()6y x πω=+(,2)ππ0ω>22T ππ≥-，所以，22ππω≥01ω<≤因为，所以， (,2)x ππ∈,2666x πππωωπωπ⎛⎫+∈++ ⎪⎝⎭或，解得或， 26πωππ∴+…6226πωπππωππ⎧+⎪⎪⎨⎪+⎪⎩……512ω≤511612ω≤≤因为，所以或， 0ω>5012ω<≤511612ω≤≤故正实数的取值范围为， ω55110,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦故答案为：． 55110,,12612⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦12．设函数，其中k 是一个正整数，若对任意实数a ，均有()66sin cos 55kx kx f x =+，则k 的最小值为______． (){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈【答案】8【分析】首先化简函数，， ()224224345(sin cos sin cos cos )cos 555555858kx kx kx kx kx kx kx f x =+-⋅+=+根据题意最小正周期，可得，即可得解. 1T <52k π>【详解】 ()66224224sin cos (sin cos )(sin sin cos cos 55555555kx kx kx kx kx kx kx kx f x =+=+-⋅+ 22222(sin cos 3sin cos 5555kx kx kx kx =+-⋅， 2323451sin cos 45858kx kx =-=+若对任意实数a ，均有，(){}(){}1f x a x a f x x R <<+=∈则最小正周期，即，即， 1T <2145k π<52k π>由，所以，所以则k 的最小值为.Z k ∈8k ≥8故答案为：8二、单选题13．如果角的终边经过点，则（ ） θ21⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭tan θ=A ．B ．CD ．12【答案】D【解析】由三角函数的定义可求得的值. tan θ【详解】由三角函数的定义可得tan θ==故选：D.【点睛】本题考查利用三角函数的定义求值，考查计算能力，属于基础题.14．中，“”是“”的（ ）ABC A A B >cos2cos2A B <A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】等价于，由正弦定理以及充分必要条件的定义判断即可.cos2cos2A B <sin sin A B >【详解】在三角形中，因为，所以，即 cos2cos2A B <2212sin 12sin A B -<-sin sin A B >若，则，即，A B >a b >2sin 2sin R A R B >sin sin A B >若，由正弦定理，得，根据大边对大角，可知 sin sin A B >sin sin a b A B =a b >A B >所以“”是“”的充要条件A B >cos2cos2A B <故选：C15．函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图(0)θθ>像关于点对称，则的最小值为（ ） 7,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭θA ．B ．C ．D ． 76π6π8π724π【答案】C【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出ωϕ()f x θ的值，进而可得结论．【详解】由函数的图象可得()sin()(0,02f x x πωϕωϕ=+><<， 2566T w ππππ⎛⎫==--= ⎪⎝⎭2w ∴=又函数过点，得，又，可知． ,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭sin 03πϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭02πϕ<<3πϕ=故函数的解析式为． ()f x ()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)θθ>个单位长度后，得到的图象， ()sin 443g x x πθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∵所得图象关于点对称，，即 7,024π⎛⎫ ⎪⎝⎭7sin 440243πθπ⎛⎫∴⨯-+= ⎪⎝⎭sin 402θ3π⎛⎫-= ⎪⎝⎭即，解得：，， cos 40θ=84k ππθ=+Z k ∈由，可得当时，的最小值为．0θ>0k =θ8π故选：C 16．在△中，为中点，为中点，则以下结论：① 存在△，使得ABC D BC E AD ABC 0AB CE ⋅= ；② 存在三角形△，使得∥，则 （ ）ABC CE ()CB CA +u u r u u rA ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立【答案】B 【分析】建立坐标系，设出坐标，利用坐标关系表示出即可判断.【详解】不妨设，，，，，(2,2)A x y (1,0)B -(1,0)C (0,0)D (,)E x y ① ，，若，∴，(12,2)AB x y =---u u u r (1,)CE x y =-u u r 0AB CE ⋅= 2(21)(1)20x x y -+--=∴，满足条件的明显存在，∴①成立；2(21)(1)2x x y -+-=(,)x y ② F 为AB 中点，，与交点即重心，()2CB CA CF +=u u r u u r u u u r CF AD G ∵为三等分点，为中点，∴与不共线，即②不成立；G AD E AD CE CG 故选：B三、解答题17．已知函数.()cos cos 2(R)f x x x x x =-∈(1)求函数的最小正周期；()f x (2)设，且，求的值. π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭6()5f α=sin 2α【答案】(1)π【分析】（1）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数并运用三角函数周期公式求解即可. ()f x （2）由范围可得的范围，进而由同角三角函数的平方关系可求得的值，再利απ26α-πcos 26α⎛⎫- ⎪⎝⎭用配凑角及两角和的正弦公式可求得的值. sin 2α【详解】（1）因为， ()πcos cos 22cos 22sin 26f x x x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭所以. 2ππ2T ==即的最小正周期为.()f x π（2）因为， ()π62sin 265f αα⎛⎫=-= ⎪⎝⎭所以， π3sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭又因为， π0,3α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以， πππ2662α-<-<所以， π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭所以πππ1πsin 2sin 22cos 266626αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦18．在中，内角的对边分别为，，，已知． ABC A A B C ，，a b c 22232a cb ac +=+(1)求的值；cos B (2)若，，求的周长． 32BA BC →→⋅=2b ac =ABC A 【答案】(1)； 3cos 4B =(2)3【分析】（1）直接利用余弦定理求解；（2）化简得，求出，，即得解. 32BA BC →→⋅=2ac =b =3a c +=【详解】（1）解：由已知得： 22232a cb ac +-=由余弦定理得. 2223cos 24b ac B ac +-==（2）解：，解得， BA BC →→⋅33cos 42ac B ac ===2ac =所以，，22b ac ==b =由余弦定理知 ，2222cos b a c ac B =+-于是，()()22222cos 7a c ac ac B a c =+--=+-解得，3a c +=故的周长为. ABC A 319．如图，有一条宽为的笔直的河道（假设河道足够长），规划在河道内围出一块直角三角形60m 区域（图中）养殖观赏鱼，，顶点A 到河两岸的距离两点分ABC A AB AC ⊥12,,,AE h AD h C B ==别在两岸上，设.12,l l ABD α∠=(1)若，求养殖区域面积的最大值；30α=︒(2)现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊（宽度忽略不计），若，求观赏长廊总长ABC A 130m h =的最小值.()f α【答案】(1)；2(2).1)m【分析】（1）由题可得，再利用基本不等式即得； 12ABC S h =A （2）由题可知，利用同角关系式可转化为，然后利用函数的单sin cos 1()30sin cos f ααααα++⎛⎫= ⎪⎝⎭601y t =-调性即求.【详解】（1）当时，， 30α=︒21212,sin cos h h AB h AC αα====所以， 1212ABC S AB AC h =⋅=A又因为时等号成立），1260h h +=≥1230h h ==所以，12900h h ≤于是 12ABC S h =≤A因此，养殖区域面积的最大值为.2（2）由题意，， 3030,sin cos AB AC αα==所以， 30sin cos BC αα===所以的周长， ABC A 111sin cos 1()3030sin cos sin cos sin cos f ααααααααα++⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭其中. 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭设，则， sin cos t αα=+sin cos 4t πααα⎛⎫=+=+∈ ⎪⎝⎭所以. 21sin cos 2t αα-=所以，216030112t y t t +=⋅=--t ∈于是当时，，即，tmin 1)y ==+min ()1)f α=+因此，观赏长廊总长的最小值为.1)m 20．已知O 为坐标原点，对于函数，称向量为函数的伴随()sin cos f x a x b x =+()OM a b = ，()f x 向量，同时称函数为向量的伴随函数.()f x OM (1)设函数，试求的伴随向量； ()3π)sin(π)2g x x x =---()g x OM (2)记向量的伴随函数为，求当且时的值； (ON = ()f x ()85f x =ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，cos x (3)由（1）中函数的图象（纵坐标不变）横坐标伸长为原来的2倍，再把整个图象向右平移()g x 个单位长度得到的图象，已知，，问在的图象上是否存在一点P ，2π3()h x ()23A -，()26B ，()y h x =使得.若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由.AP BP ⊥【答案】(1) ()OM = (3)存在点，使得.()0,2P AP BP ⊥【分析】（1）利用诱导公式求出，从而得到的伴随向量；（2）根据()cos g x x x =+()g x 向量得到，利用利用凑角法得到；（3）先求出，再设出P 点坐标，利用向量垂直()f x cos x ()h x 关系得到方程，变形整理后得到，根据等式左右两边的取值范围，得到当2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且仅当时，和同时等于，此时. 0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -254()0,2P 【详解】（1），故； ()3π)sin(π)cos 2g x x x x x =---=+()OM =（2）由题意得：，故，由于，()π8sin 2sin 35f x x x x ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭π4sin 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ππ36x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，所以，所以，所以ππ23x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭0，π3cos 35x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ππππππcos cos cos cos sin sin 333333x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭314525⨯+=（3），所以，假设存在点，使()πcos 2cos 3g x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭()12cos 2h x x =1,2cos 2P x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭得，则AP BP ⊥ 即2211112,2cos 32,2cos 644cos 18cos 1802222AP BP x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-⋅--=-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为，所以，所以2219252cos 224x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭122cos 22x -≤≤131952cos 2222x -≤-≤-，又因为，所以当且仅当时，和225191692cos 4224x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭2252544x -≤0x =2192cos 22x ⎛⎫- ⎪⎝⎭2254x -同时等于，此时，故在函数的图象上存在点，使得. 254()0,2P ()y h x =()0,2P AP BP ⊥21．已知向量，，函数. (sin 2,cos 2)m x x = 1)2n = ()f x m n =⋅ (1)求函数的解析式和单调递增区间；()f x (2)若在中，内角所对的边分别为 ，,试判断这个三角ABC A ,,A B C ,,a b c 1()12,,22f A b a ⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦，形解的个数，并说明理由；(3)若时，关于的方程恰有三个不同的实根，，，求π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x π()(1)sin 6f x x λλ+++=1x 2x 3x 实数的取值范围及的值．λ123x x x ++【答案】(1)，增区间是； π()sin(26f x x =+ππ[π,π36],Z k k k -+∈(2)答案见解析；时，原方程有三个解，且． 13λ≤<123,,x x x 123π3ππ22x x x ++=+=【分析】（1）由数量积的坐标表示计算出并由两角和的正弦公共化简；()f x （2）由正弦定理求得，再利用的范围得出三角形解的个数；sin B a（3）化简方程得或时原方程有三解，从而求得三解的sin 1x =1sin 2x λ-=112λ-≤<和．【详解】（1）由题意， 1π()2cos 2sin(226f x m n x x x =⋅=+=+ 由，得， πππ2π22π262k x k -≤+≤+ππππ36k x k -≤≤+所以增区间是； ππ[π,π36],Z k k k -+∈（2），又，即， π()sin(216f A A =+=0πA <<ππ13π2666A <+<所以，， ππ262A +=π6A =由正弦定理，， sin sin a b AB =π2sin 116sin [,2]2B a a ==∈当时，，，因此，只有一解； 1a =sin 1B =0πB <<π2B =时，，无解； 112a <<1sin 1B a =>时，，，三角形只有一解，2a =a b =A B =时，，又，因此，所以有两解，可能为锐角也可能为钝角． 12a <<11sin [,1)2B a =∈a b <A B <B 综上，时，三角形无解，或时三角形只有一解，时，三角形有两解； 112a <<1a =2a =12a <<（3）方程为，即，π()(1)sin 6f x x λλ+++=πsin(2(1)sin 2x x λλ+++=cos 2(1)sin x x λλ++=，22sin (1)sin 10x x λλ-++-=，或，(sin 1)(2sin 1)0x x λ--+=sin 1x =1sin 2x λ-=因为，所以， π2π,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦πsin 12x x =⇒=记，原方程有三个解，则， 1π2x =112λ-≠时，递增，时，递减，，ππ[,)62x ∈-sin y x =π2π(,23x ∈sin y x =2πsin 3=π1sin()62-=-， πsin 12=时，有两解，记两解为，则， 112λ-≤<13λ≤<1sin 2x λ-=23,x x 23πx x +=时，原方程有三个解，且． 13λ≤<123,,x x x 123π3ππ22x x x ++=+=。
4月高一数学下册期中试卷上海附答案
13.
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□
三.
解.
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本.
题.
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分.
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6
本・
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满
分
8
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扇
形.
的
圆
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期中
1考试咼
-数学试题
班级
姓名学
号成绩
亍2013
3・4・
」
.填空题］
（本
题满分
44
分,每小
、题4分）
1
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2
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3.
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上海市高一下学期期中考试数学试卷含答案
上海市高一下学期期中考试数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知角α的终边经过点(3P ，则与α终边相同的角的集合是 .2. 方程()lg 3lg 1x x -+=的解为x = .3.关于x 的方程12x a aπ+=-只有正实数解，则a 的取值范围是 . 4.若()11tan ,tan 32ααβ=+=，则tan β= . 5．已知1sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭ . 6.将函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象上所有点向右平移6π个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 . 7.若3sin cos 0αα+=，则21cos 2sin cos ααα+ . 8.已知,A B 分别是函数()()2sin 0f x x x ωω=>在y 轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是 .9.在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是,,a b c ，已知ABC ∆的面积为315，12,cos 4b c A -==-，则a 的值为 . 10.已知函数()()sin cos 0,f x x x x R ωωω=+>∈，若函数()f x 在区间(),ωω-内单调递增，且函数()y f x =的图象关于直线x ω=对称，则ω的值为 .二、选择题：11．若sin 0α>，且tan 0α<，则角α的终边位于A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D.第四象限12．下列结论错误的是A.若02πα<<，则sin tan αα<B.若α是第二象限角，则2α为第一象限或第三象限角C.若角α的终边经过点()()3,40P k k k ≠，则 4sin 5α= D.若扇形的周长为6，半径为2，则其中心角的大小为1弧度13．函数2312sin 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是 A.最小正周期为π的奇函数 B. 最小正周期为π的偶函数C. 最小正周期为2π的奇函数D. 最小正周期为2π的偶函数 14．已知函数()()sin f x A x ωϕ=+（,,A ωϕ为正常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是A.()()()220f f f <-<B. ()()()022f f f <<-C. ()()()202f f f -<<D. ()()()202f f f <<-三、解答题：15. 已知tan 2.α=（1）求tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21ααααα+--的值.16. 已知,,a b c 分别是ABC ∆内角A,B,C 的对边，且2sin 2sin sin .B A C =（1）若a b =，求cos B ；（2）设90,B =o ，且a =ABC ∆的面积.17. 已知实数x 满足2411033903x x ---+=，且()22log log 2x f x =⋅ （1）求实数x 的取值范围；（2）求()f x 的最大值和最小值，并求此时x 的值.18.已知函数()22sin sin 6f x x x πωω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，,x R ω∈为常数，且112ω<<，函数()f x 的图象关于直线X π=对称.（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c ，若311,54a f A ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC ∆的S 最大值.四．附加题19.甲、乙两人解关于x 的方程2log log 20x x b c ++=，甲写错了常数b ，得两根11,48，乙写错了常数c ，得两根1,642，求这个方程真正的根.20. 已知函数()()sin 2x f x x R π=∈，任取t R ∈，若函数()f x 在区间[],1t t +上的最大值为()M t ，最小值为()m t ，记()()()g t M t m t =-（1）求函数()f x 的最小正周期及对称轴方程；（2）当[]2,0t ∈-时，求函数()g t 的解析式；（3）设函数()(),28x k h x x H x x x k k -==-+-，其中k 为参数，且满足关于t 的不等式()40g t -≤有解，若对任意[)14,x ∈+∞，存在(]2,4x ∈-∞，使得()()21h x H x =成立，求实数k 的取值范围.。
上海高一下学期期中考试数学试卷含答案(共3套)
上海市高一第二学期期中考试试卷数学一、填空题（共10题，每题5分，满分50分）1、已知)cos ,(tan ααP 在第三象限，则角α的终边在第_____象限2、若扇形的弧长为cm 4，面积为24cm ，则该扇形的圆心角的弧度数是_____3、已知534sin =⎪⎭⎫⎝⎛-x π，则x 2sin 的值为______ 4、若要将函数⎪⎭⎫⎝⎛+=32sin πx y 的图像向右平移)0(>m m 个单位，从而得到函数x y 2sin =的图像，则m 的最小值为_____5、已知α是第三象限的角，若2tan =α，则)cos(2sin απαπ--⎪⎭⎫⎝⎛+=______ 6、若函数x a x x f 2cos 2sin 3)(+=的图像关于直线8π-=x 对称，则实数a =_____7、已知等腰三角形的顶角大小为⎪⎭⎫⎝⎛-257arccos ，则该三角形底角的正弦值为_____ 8、已知函数)0,0,0(),sin()(πϕωϕω≤≤>>+=A x A x f 的部分图像如图所示，则)(x f y =的解析式是)(x f =_________9、给出函数|cos 2|cos )(x x x f +=，有以下四个结论：①该函数的值域为]3,0[；②当且仅当)(Z k k x ∈=π时，该函数取得最大值；③该函数的单调递增区间为)(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ；④当且仅当31<<m 时，方程m x f =)(在π20<<x 上有两个不同的根，且这两个根的和为π2。
其中正确结论的序号为_________10、在角α的终边上任取一点),(y x P ，记)0(22≠+=xy y x r ，在已知的6个三角比之外定义新的三角比“y x r sct +=α”，若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=ππαα,2,5sct ，则)(α-sct =_______ 二、解答题（共5题，满分50分）11、（本题满分8分，其中第（）1小题4分，第（2）小题4分） 解下列三角方程（1）αα2cos 31sin 5=+（2）215sin 2sin 5cos 2cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫⎝⎛+πααπαα12、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）已知7174tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+απ（1）求αtan 以及ααα2cos 1cos 2sin 2+-的值（2）若20,20πβπα<<<<，且6516)cos(-=+βα，求β的值（用反三角函数表示）13、（本题满分10分，第（1）小题5分，第（2）小题满分5分）已知函数x x x x f ωωω2cos 2cos sin 32)(-=（其中ω为常数，且0>ω）的最小正周期为2π（1）求ω的值，并求函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 上的单调递增区间 （2）在ABC ∆中，内角C B A 、、所对边的长分别是c b a 、、，若2,4,12===⎪⎭⎫⎝⎛c C A f π，求ABC ∆的面积ABC S ∆的值14、（本题满分10分，其中第（1）小题5分，第（2）小题5分）近日我渔船编队在岛A 周围海域作业，在岛A 的南偏西︒20方向有一个海面观测站B ，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与B 相距31海里的C 处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西︒40方向，以40海里/小时的速度向岛A 直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达D 处，此时观测站测得D B ,间的距离为21海里 （1）求BDC ∠sin 的值（2）试问海警船再向前航行多少时间方可到岛A ？15、（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图，在直角坐标系xOy 中，点P 是单位圆上的动点，过点P 作x 轴的垂线与射线)0(3≥=x x y 交于点Q （Q 在P 的上方），将始边与x 轴的正半轴重合，且终边在射线OP 上的角记为⎪⎭⎫⎝⎛-∈3,2,ππαα （1）用α表示Q P 、的坐标（2）当α为何值时，OPQ ∆面积有最大值？并求出OPQ ∆面积的最大值上海市高一下学期数学期中考试试卷一、填空题1.幂函数()x f 的图像经过点()4273，，则()x f 的解析式是 . 2.若角α的终边上一点)0)(4,3≠-a a a P （，则cos α= . 3.若扇形的圆心角为3π，则扇形的内切圆的面积与扇形面积之比为 . 4.已知点(tan ,cos )P αα在第三象限，则角α的终边在第 象限.5.已知(()sin 5πα-=α在第二象限角，则 tan α= . 6.已知3sin 5α=，α在第二象限，则tan 2α= .7.求值：tan tan(60)tan(60)θθθθ+︒-︒-= . 8.已知3sin(2)65x π+=，[,]42x ππ∈，则cos 2x = . 9.在ABC ∆中，222sin sin sin sin sin B A C A C +≥+，则角B 的最小值是 . 10.ABC ∆的内角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知A c C a cos 2cos 3=，31tan =A ，则B = .11.已知函数()1()2xf x =，()12log g x x =，记函数()()()⎩⎨⎧=x f x g x h ()()()()x g x f x g x f ＞≤，则函数()()5-+=x x h x F 所有零点的和为 .12. 如果满足︒=45B ，10=AC ，k BC =的ABC ∆恰有一个，则实数k 的取值范围是 .二、选择题13. 2πθ=“”是“x x cos )sin(=+θ”成立的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件的值等于（ ）A. 2cosB. 21cos C. 2cos - D.21cos - 15.ABC ∆中，三边长分别为x 、y 、z ，且222x y z +=，则ABC ∆的形状为（ ）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断16. 设函数()x x x f x a b c =+-，其中0,0＞＞＞＞b a a c ，若a b c 、、是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的是（ ）①存在x R +∈，使xa 、xb 、xc 不能构成一个三角形的三条边 ②对一切()1,∞-∈x ，都有()0＞x f③若ABC ∆为钝角三角形，则存在()2,1∈x ，使()0=x fA.①②B. ①③C.②③D. ①②③三、解答题17.已知α为第二象限角，化简212sin(5)cos()33sin()1sin ()22πααπαππα+-----+．18.已知113cos ,cos()714ααβ=-=，且02πβα＜＜＜，求：（1）tan 2α；（2）βcos ． 19.如图，D C 、是两个小区所在地，D C 、到一条公路AB 的垂直距离分别为km DB km CA 2,1==，AB 两端之间的距离为km 6.（1）某移动公司将在AB 之间找一点P ，在P 处建造一个信号塔，使得P 对C A 、的张角与P 对D B 、的张角相等，试确定点P 的位置；（2）环保部门将在AB 之间找一点Q ，在Q 处建造一个垃圾处理厂，使得Q 对D C 、所张角最大，试确定点Q 的位置.20.若函数()x f 定义域为R ，且对任意实数12,x x ，有1212()()()f x x f x f x ++＜，则称()x f 为“V 形函数”，若函数()x g 定义域为R ，函数()0＞x g 对任意R x ∈恒成立，且对任意实数12,x x ，有[][][]1212lg (lg ()lg ()g x x g x g x ++＜，则称为“对数V 形函数” .（1）试判断函数()2f x x =是否为“V 形函数”，并说明理由；（2）若()1()2xg x a =+是“对数V 形函数”，求实数a 的取值范围；（3）若()x f 是“V 形函数”，且满足对任意R x ∈，有()2＞x f ，问()x f 是否为“对数V 形函数”？证明你的结论．21.（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；（2）若三角形有一个内角为7cos 9α=，周长为定值p ，求面积S 的最大值； （3）为了研究边长c 、、b a 满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：S ∆=（其中)(21c b a p ++=， 三角形面积的海伦公式）， ∴216)()()()S a b c a b c a b c a b c =+++--+-++（ ()()2222[][]a b c c a b =+---42222222()()c a b c a b =-++--()222222[]4c a ba b=--++，而2222[()]0c a b --+≤，281a ≤，264b ≤，则36≤S ，但是，其中等号成立的条件是222,9,8c a b a b =+==，于是2145c =与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形的面积不存在最大值．以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案．试卷答案一、填空题1. ()34f x x=2. 35± 3.2:3 4. 二 5. 12- 6. 39. 3π 10.34π11. 512. (0,10]{k ∈U二、选择题13. A 14. C 15. A 16. D三、解答题17.【解析】原式sin cos 1cos sin αααα-==--18. 【解析】（1）1cos tan 7αα=⇒=22tan tan 21tan 14847ααα===--- （2）[]cos cos ()βααβ=--cos cos()sin sin()ααβααβ=-+-11317147142=⨯+⨯= 19.【解析】（1）张角相等，∴2:1::==DB CA PB AP ，∴4,2==PB AP (2)设AQ =x ，∴6QB x =-，∴tan C x =，6tan 2x D -=，tan tan tan tan()1tan tan C D C D C D θ+=+=-2662x x x +=-+，设6+=x t ，)6,0(∈x ，2tan 1874tt t θ=-+，(6,12)t ∈， ∴1tan 7418t tθ=∈+-(,(3,)-∞+∞U，(arctan 3,θπ∈-， 当且仅当74=t 时，等号成立，此时674-=x ，即674-=AQ20.【解析】（1）()()21212f x x x x +=+，221212()()f x f x x x +=+，当1x 、2x 同号时，()2221212x x x x +>+，不满足1212()()()f x x f x f x ++＜，∴不是“V 形函数”（2）1()()02xg x a =+＞恒成立，∴0≥a ，根据题意，1212()()()g x x g x g x +⋅＜恒成立， 即1212111()()][()]222x x x x a a a ++++＜[，去括号整理得12111[()()]22x x a >-+，∴1a ≥（3）1122()()()f x f f x x x +<+，∵()12f x >，∴1()11f x ->，同理2()11f x ->， ∴12[()1][()1]1f x f x -->，去括号整理得1212()()()()f x f x f x f x +＞，∴1212()()()f x x f x f x +＜，[][][]1212lg ()lg ()lg ()f x x f x f x ++＜，是“对数V 形函数”21.【解析】（1）设两直角边为b a 、=≥=∴12P a b =++2612+（2）设夹α的两边为b a 、，则第三边b a p --，∴222()7cos 29a b p a b ab α+---==，∴223218189369ab ap bp p p =+-≥，∴0)38)(34(≥--p ab p ab ，∵0)34＜（p ab -，∴038≤-p ab ，即2964ab p ≤，22119sin 2296432S ab p p α=≤⨯=，即面积最大值为232p （3）不正确，∵海伦公式三边可互换， ∴22222222216[()]44S a c b c b c b =--++≤，即2164166416S S ≤⨯⨯≤，，此时22280a b c =+=，a =16上海高一第二学期期中考试数学试卷一. 填空题1. 已知角θ的终边在射线2y x =(0)x ≤上，则sin cos θθ+=2. 若32ππα<<1111cos22222α++= 3. 函数2cos(3)5y x π=+的最小正周期为4. 在△ABC 中，若sin sin()1cos()cos 22A B B A ππ-=--，则△ABC 为 三角形 （填“锐角”、“直角”或“钝角”）5. 若3cos()5αβ+=，4cos()5αβ-=，则tan tan αβ= 6. 已知2sin 5x =-3()2x ππ<<，则x = （用反正弦表示） 7. 函数22sin 3sin 1y x x =-+，5[,]66x ππ∈的值域为8. 将函数cos2sin 2y x x =-的图像向左平移m 个单位后，所得图像关于原点对称，则实数m 的最小值为9. 若函数sin3cos3y x a x =+的图像关于9x π=-对称，则a =10. 若函数()sin f x x =和()cos()3g x x π=-定义域均是[,]ππ-，则它们的图像上存在个点关于y 轴对称11. 已知k 是正整数，且12017k ≤≤，则满足方程sin1sin 2sin k ︒︒︒++⋅⋅⋅+=sin1sin 2sin k ︒︒︒⋅⋅⋅⋅⋅⋅的k 有 个12. 已知函数()sin()f x A x B ωϕ=++，其中A 、B 、ω、ϕ均为实数，且0A >，0ω>，||2πϕ<，写出满足(1)2f =，1(2)2f =，(3)1f =-，(4)2f =的一个函数()f x = （写出一个即可）二. 选择题13. 已知02πα-<<，则点(cot ,cos )αα在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限14. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)π上单调递增的是（ ）A. tan ||y x =B. cos()y x =-C. sin()2y x π=- D. 3cos()2y x π=+ 15. 将函数sin(2)3y x π=-图像上的点(,)4P t π向左平移s (0)s >个单位长度得到点P '，若 点P '位于函数sin 2y x =的图像上，则（ ）A. 12t =，s 的最小值为6π B. 2t =，s 的最小值为6πC. 12t =，s 的最小值为3π D. t =，s 的最小值为3π 16. 若α、[,]22ππβ∈-，且sin sin 0ααββ->，则下列结论中正确的是（ ） A. αβ> B. 0αβ+> C. αβ< D. 22αβ>三. 简答题17.求证：sin(2)sin2cos()sin sinαββαβαα+-+=.18.已知tan2θ=-(,)42ππθ∈. （1）求tanθ的值；（2）求22cos sin12sin()4θθπθ--+的值.19.写出函数222sin cosy x x x x=+的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称点坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图像.20. 已知集合{()|()(2)(1)}A f x f x f x f x =++=+，()sin()3xg x π=.（1）求证：()g x A ∈；（2）()g x 是周期函数，据此猜想A 中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；（3）()g x 是奇函数，据此猜想A 中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.21. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<的最小正周期为π，其图像的一个对称 中心为(,0)4π，将函数()f x 图像上的所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再 将所得图像向右平移2π个单位长度后得到函数()g x 的图像. （1）求函数()f x 与()g x 的解析式；（2）求实数a 与正整数n ，使得()()()F x f x ag x =+在(0,)n π内恰有2017个零点.参考答案一. 填空题1. 5-2. sin 2α 3. 23π 4. 直角 5. 176. 2arcsin5π+ 7. 1[,0]8- 8. 8π 9. 10. 2 11. 11 12. 21()3sin()332f x x ππ=-+ 二. 选择题13. B 14. C 15. A 16. D三. 简答题17. 略.18.（1）2； （2）3.19. 值域：[2,2]-；递增区间：5[,]1212k k ππππ-+，k Z ∈；对称轴：526k x ππ=+，k Z ∈； 对称中心：(,0)23k ππ+，k Z ∈；作图：略. 20.（1）略； （2）是； （3）不是，反例：()cos()3f x x π=.21.（1）()cos2f x x =，()sin g x x =； （2）1a =，1345n =.。