提公因式法.ppt
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
巧妙计算
(1)
； 解：原式=13.8×0.125+86.2×0.125
=0.125×(13.8+86.2)
=0.125×100
1 13.8×0.125+86.2× 8
(2)已知a+b=5,ab=3,求a2b+ab2的值.
解: a2b+ab2 =ab(a+b)=3 × 5=15
=12.5
1 1 1 1 1 1 7 7 7 （1） 259 ＋ 259 259 259 259 259 ＋ 259 259 259 3 33 55 5 15 15 15 1 1 1 17 7 解：原式＝ 259 （ ＋ ＋ ） ） × 解：原式＝ 259 （ 3 3 5 5 15 15
解：原式
(4a bc 10ab c 2abc) 方法一 2abc(2a 5b 1)
2 2
解：原式
10ab c 4a bc 2abc) 方法二 2abc(5b 2a 1)
2 2
1.分解因式： ①4xmynb－6xm＋1yn＋2＋2xm＋2yn＋1 解：原式＝2xmyn (2b－3xy2＋x2y)
（ 3）4kx － ky= k（4x － y） （4）8x － 72= 8（x －9） （5）a2b － 5ab= ab（a － 5）
（6）a2b － 2ab2+ab = ab（a － 2b+1）
（7）4m3 － 6m2= 2m2（2m － 3） （8）a2b － 5ab+9b= b（a2 － 5a+9）
解：原式= - x(x+y-z)
错误
提出负号时括号里的项 没变号
正确解：原式=
- (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负。
课堂练习
1.把下列多项式分解因式
（1）3a+3b= (3) 3a2-9ab= (2) 5x-5y+5z= (4) -5a2 +25a=
2.已知,x+y=2,xy=-3,求x2y+xy2的值.
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
你知道吗？
正确找出多项式各项公因式的关键是： 1、定系数：公因式的系数多项式各项 中系数的最大公约数．
2、定字母：字母取多项式各项中都含 有的相同的字母． 3、定指数：相同字母的指数取各项中 最小的一个，即字母的最低次数．
提取系数为负的因式，没有变号 病因：__________________________
7ab 14abx 49aby 7ab(1 2 x 7 y) 药方：__________________________
（4） 4a b 6ab 8a 2ab(2a 3b) 8a
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
3.试说明:817－279－913能被45整除.
解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
=328－327－326
=326(32－3－1)
=326×5
=324×45 ∴817－279－913能被45整除.
例题讲解 例1 把下列各式因式分解： (1) 3x+x3 3 2 (2) 7x -21x (3) 8a3b2-12ab3c+ab
随堂练习
课本第144页随堂练习
诊断
小明解的有误吗？
把12x2y+18xy2分解因式 解：原式 =3xy(4x + 6y)
错误
公因式没有提尽， 还可以提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y)
②a(x＋y－z) －b(z－x－y) －c(x－z＋y)
解：原式＝(x＋y－z)(a＋b－c) ③(5x－2y)2 ＋(2x＋5y)2
解：原式＝25x2－20xy＋4y2＋4x2＋20xy＋25y2
＝29x2＋29y2
＝29(x2＋y2)
2.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x
因式分解
一个多项式
x( x 1)
积的形式
整式乘法
因式分解与整式乘法是互逆过程.
练习： 对概念的透彻理解
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解?
(1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)
(2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r).
（C）-6ab2 （D）-6a3b2C
（3）若多项式-6ab+18abx+24aby的一 个因式是-6ab，那么另一个因式是 （D ）
（A）-1-3x+4y
（C）-1-3x-4y
（B）1+3x-4y
（D）1-3x-4y
2、将下列各式分解因式
（1）ma+mb= m（a+b） （2）5y3+20y2= 5y2(y+4）
= 259 （2） 992＋99． 99 ×99 99+ 99 解：原式＝ 99 （ 1 ）
；
= 99 ×(99+1)
= 9900
小结
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： (1)定系数; (2)定字母; (3)定指数.
记住哟！
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式.
发现新知
（2） 2a(b+c) - 3(b+c)
解：原式= (b+c) (2a-3)
注意：公因式既可以是一个单项式的形式， 也可以是一个多项式的形式 整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法 。
把下列多项式分解因式：
（1） a2 ( x 3 y)2 b(3 y x)2
解：原式
( x 3 y) (a b)
整式的乘法 1、计算下列各式: x(x+1)= x2 + x；
2、请把下列多项式写成整式乘积的形式.
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
注意：公因式要提尽。
小亮解的有误吗？
把3x2 - 6xy+x分解因式
解：原式 =x(3x-6y)
错误
当多项式的某一项和公 因式相同时，提公因式 后剩余的项是1。
=x(3x-6y+1)
正确解：原式=3x x-6y x+1 x
. . .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ注意：某项提出莫漏1。
诊断
小华解的有误吗？
把 - x2+xy-xz分解因式
（2） 9a 6ab 3a 3a(3a 2b)
2
漏掉一个因式“1” 病因：__________________________
9a 6ab 3a 3a(3a 2b 1) 药方：__________________________
2
（3）
7ab 14abx 49aby 7ab(1 2 x 7 y)
因式分解
整式乘法
整式乘法 因式分解
整式乘法
因式分解 因式分解
二 探索发现
这几个多项式有什么特点？ (1) ma+mb+mc=( m )( a+b+c ); (2) x2 +x =( x)( x+1 ); (3) ax-ay=( a )( x-y ) .
多项式中各项都含有的相同因式， 叫做这个多项式的公因式．
二 探索发现
因式分解：
ma mb mc
解:
ma mb mc m(a b c)
公因式 提公因式法 多项式中各项都含有的相同因式,称之为公因式
把公因式提出来，多项式ma+mb+mc 就可 以分解成两个因式m和(a+b+c)的乘积。像这 种因式分解的方法，叫做提取公因式法。
合作探究
4、提公因式法分解因式应注意的问题： （1）公因式要提尽； （2）小心漏掉1; （3）提出负号时,要注意变号.
复习旧知
用提公因式法将下列各式分解因式
（1）7x2 - 21x 解：原式= 7x x -3
用提公因式法分解因式的步骤 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式,(即将多 项式化为几个因式的乘积)
（ 1）
6x2 y 2 z 9xy3 3xy(2xyz 3 y 2 )
还有公因式没提取 病因：___________________________
2 2 3 2 6 x y z 9 xy 3 xy (2xz 3 y ) 药方：___________________________
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提取公因式法课件
=－2x（x2－2x+1）
课堂小结
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式.
今天分解因式的方法： 提公因式法
的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方 向的变形
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
解：a（x－3）+2b（x－3） =（x－3）（a+2b）
分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公 因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x） 是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－” 号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y） 解：（1）a（x－y）+b（y－x）
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例2 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因 此可以把(x－3)作为公因式提出来.
提公因式法
• 1、通过探究你发现了什么规律？ • 2、感受因式分解与整式乘法是相反方
课堂小结
把一个多项式化成了几个整式的积的形式,像 这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也 叫做把这个多项式分解因式.
今天分解因式的方法： 提公因式法
的式子变形叫做把这个多项式因式分解,也2-1
(x+1)(x-1)
整式乘法
因式分解与整式乘法是相反方 向的变形
判断下列各式哪些是因式分解?为什么？
(1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy
因式分解 整式乘法
(3) x2+4x+4=(x+2)2
解：a（x－3）+2b（x－3） =（x－3）（a+2b）
分解因式:（1）a（x－y）+b（y－x）;
分析：虽然a（x－y）与b（y－x）看上去没有公 因式，但仔细观察可以看出（x－y）与（y－x） 是互为相反数，如果把其中一个提取一个“－” 号，则可以出现公因式，如：y－x=－（x－y） 解：（1）a（x－y）+b（y－x）
把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
分析：找公因式 1、系数的最大公约数 4 2、找相同字母 aｂ 3、相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解:8a3b2+12ab3c
=4ab2•2a2+4ab2•3bc
=4ab2(2a2+3bc)
例2 把a（x－3）+2b（x－3）分解因式
分析：这个多项式整体而言可分为两大项，即 a(x－3)与2b(x－3)，每项中都含有（x－3）,因 此可以把(x－3)作为公因式提出来.
提公因式法
• 1、通过探究你发现了什么规律？ • 2、感受因式分解与整式乘法是相反方
因式分解提公因式法ppt
工程设计
在工程设计中，因式分解可以帮助人们更好地理解问题的本质，例如在力学中，可以将一个复杂的结构表示为几个简单因式的乘积，从而更便于分析和设计。
02
提公因式法的原理及步骤
提公因式法的基本概念
公因式定义
提公因式法的理论基础
提公因式法的原理
确定多项式中的公因式。
提公因式法的步骤
步骤一
将多项式中的每个项都除以公因式，得到商和余数。
01
02
03
提公因式法在面积计算中的应用
在计算几何形状的面积时，可以使用提公因式法将面积表达式化简。
提公因式法在体积计算中的应用
在计算几何体的体积时，可以使用提公因式法将体积表达式化简。
提公因式法在几何中的应用
代数例题
例如，有一个多项式ax³+bx²+cx+d，其中a=3，b=2，c=1，x=5，求这个多项式的值。通过提公因式法，可以将这个多项式化简为3x²(x+1)+2(x+1)-3，再代入x=5得到答案。
数学术语
因式分解可以理解为求解一个方程的逆问题，即给定一个方程的解，反求方程中的未知数。
物理含义
因式分解的定义
1
因式分解的意义
2
3
通过因式分解，可以将一个复杂的多项式表示为几个简单因式的乘积，从而更便于理解和计算。
简化表达式
数学中的许多公式和定理都可以表示为因式分解的形式，这样便于记忆和应用。
便于记忆
几何例题
例如，有一个矩形ABCD，其中AB=3cm，BC=4cm，求这个矩形的面积。通过提公因式法，可以将这个矩形的面积表达式化简为3×4=12(cm²)。
提公因式法例题解析
提公因式法一ppt课件
(1) 8a
3
b 12ab 4ab
2 4 2 3
1) 4ab( 2a b 3b )
4
(2) 4 x
2 x y 2 x (4 2 x 2 y)
3 3
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
3 2
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
2
(3)
(4)
2x 4x 2x
3 2
1. 提公因式法是最基本的分解因式 的方法之一，其一般步骤是什么？ 2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 如何检验分解因式正误？ 4.你还有什么新的认识与体会吗？
ab bc
2
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
例如：
多项式
公因式
ab bc 2 3x 3 y 2 7a 21a
3x 6 x
3 2
b
3
7a 2 3x
观察上述举例，分析并猜想： 确定一个多项式的公因式时， 要从 和 数字系数 字母及 其指数 分别进行考虑。
一、因式分解的概念 把一个多项式化为几 个整式的积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.
3
b 12ab 4ab
2 4 2 3
1) 4ab( 2a b 3b )
4
(2) 4 x
2 x y 2 x (4 2 x 2 y)
3 3
4. 把下列各式分解因式：
(1) (2)
8 x 2 xy 3 2 4m 6m 2m a b 5ab 9b
3 2
1.填空:（口答）
(1) (2)
(3)
2R 2r 2 ( R r ) 2 3 2 3x 6 x 3 x ( x 2)
7a 21a 7a( a 3 )
2
1 2 1 2 1 gt1 gt 2 g (4) 2 2 2
(t t )
2 1 2 2
2.把下列各式分解因式：
2
(3)
(4)
2x 4x 2x
3 2
1. 提公因式法是最基本的分解因式 的方法之一，其一般步骤是什么？ 2. 提公因式法的关键是什么？ 3. 如何检验分解因式正误？ 4.你还有什么新的认识与体会吗？
ab bc
2
1、找出下列多项式中各项中 含有的相同因式.
公因式的定义： 一个多项式各项都含 有的相同因式, 叫做这个 多项式各项的公因式.
例如：
多项式
公因式
ab bc 2 3x 3 y 2 7a 21a
3x 6 x
3 2
b
3
7a 2 3x
观察上述举例，分析并猜想： 确定一个多项式的公因式时， 要从 和 数字系数 字母及 其指数 分别进行考虑。
一、因式分解的概念 把一个多项式化为几 个整式的积的形式,这种 变形叫做把这个多项式分 解因式.
3.2.1提公因式法(二)课件
珍珠山中学
zhen zhu shan zhong xue
3.2.1 提公因式法（二）
一、复习引入
将下列各式因式分解：
（1）am+an
（2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）-2x2y+4xy2–2xy
二、新知探究
将多项式am+an中的a换成（x-2）后
，公因式是什么？ (x-2)
三、例题精讲
（1）x(x-2)+y(2-x)
解：原式 =(x-2)•x+[-(x-2)•y] =(x-2)•x-(x-2)•y =(x-2)(x-y)
步骤: 第一步，找出公因式; 第二步，提取公因式 ； 第三步，将多项式化成两个 因式乘积的形式。
三、例题精讲
（2）a(a-b)2-b(b-a)2
解:原式=(a-b)2•a-(a-b)2•b =(a-b)2(a-b)
- （6）–s2+t2 =
(s2–t2）
二、新知探究
归纳：
（1）首先判断前后两个多项式底数部分是 相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，添 “+”号； （3）当前后两个多项式的底数部分互为相 反数时，若指数为奇数，添“-”号；若指 数为偶数，添“+”号。 二、新知探究七、拓展提升
因式分解： (m-n)4+m(n-m)3+n(n-m)3
因式分解： m (x-2) + n (x-2)
= (x-2)(m+n )
提取公因式时，有相同的多项式可直接提 出来，多项式的指数取较低的。
三、例题精讲
例2：将下列各式分解因式：
（1）x(x-2)+y(2-x) （2）a(a-b)2-b(b-a)2 （3）m(n-m)3-n(m-n)3 （4）-6(x-y)3+18(y-x)2-24(y-x)3
zhen zhu shan zhong xue
3.2.1 提公因式法（二）
一、复习引入
将下列各式因式分解：
（1）am+an
（2）a2b–5ab （3）m2n+mn2–mn （4）-2x2y+4xy2–2xy
二、新知探究
将多项式am+an中的a换成（x-2）后
，公因式是什么？ (x-2)
三、例题精讲
（1）x(x-2)+y(2-x)
解：原式 =(x-2)•x+[-(x-2)•y] =(x-2)•x-(x-2)•y =(x-2)(x-y)
步骤: 第一步，找出公因式; 第二步，提取公因式 ； 第三步，将多项式化成两个 因式乘积的形式。
三、例题精讲
（2）a(a-b)2-b(b-a)2
解:原式=(a-b)2•a-(a-b)2•b =(a-b)2(a-b)
- （6）–s2+t2 =
(s2–t2）
二、新知探究
归纳：
（1）首先判断前后两个多项式底数部分是 相等关系还是互为相反数的关系； （2）当前后两个多项式的底数相等时，添 “+”号； （3）当前后两个多项式的底数部分互为相 反数时，若指数为奇数，添“-”号；若指 数为偶数，添“+”号。 二、新知探究七、拓展提升
因式分解： (m-n)4+m(n-m)3+n(n-m)3
因式分解： m (x-2) + n (x-2)
= (x-2)(m+n )
提取公因式时，有相同的多项式可直接提 出来，多项式的指数取较低的。
三、例题精讲
例2：将下列各式分解因式：
（1）x(x-2)+y(2-x) （2）a(a-b)2-b(b-a)2 （3）m(n-m)3-n(m-n)3 （4）-6(x-y)3+18(y-x)2-24(y-x)3
北师大版八年级数学下册《因式分解——提公因式法》教学PPT课件(3篇)
= −(4 ∙ 6 2 − 4 ∙ 3 + 4 ∙ 7)
= −4(6 2 − 3 + 7).
易错注意：1.公因式要提尽；
2.公因式是某项时剩余的系数1别忘；
错误
提公因式后括号里少了一项.
正确解：原式=3x·
x-6y·
x+1·x
=x(3x-6y+1)
请你判断小明的解法有误吗？
因式分解： - x2+xy-xz.
解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的项
没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
探索新知
巩固练习 将下列各式分解因式
项式的各项变号；
2.公因式的系数是多项式各项__________________;
系数的最大公约数
相同的字母
3.字母取多项式各项中都含有的____________;
4.相同字母的指数取各项中最小的一个，即 最低次幂
_________.
合作探究
因式分解：a(x-3)+2b(x-3)
（1）多项式的公因式是什么？
B．6(p＋q)2－2(p＋q)＝2(p＋q)(3p＋q－1)
C．3(y－x)2＋2(x－y)＝(y－x)(3y－3x＋2)
D．3x(x＋y)－(x＋y)2＝(x＋y)(2x＋y)
4.用提公因式法因式分解：
（1）6p(p+q)-4q(p+q);
解：6p(p+q)-4q(p+q)
=2(p+q)(3p-2q).
A．x4
B．x3＋1
C．x4＋1
D．x3－1
9.13 提取公因式法课件(共45张PPT)七年级数学上册(沪教版)
a1ຫໍສະໝຸດ 指数： 相同字母的字母： 最低次数
相同的字母
所以公因式是 4a
找出多项式的公因式的一般步骤： 1. 定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公 因数； 2. 定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母； 3. 定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即 字母的最低次数.
新课讲授
教材第40页
的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这 个多项式分解因式.
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
因式分解和整式乘法的过程正好相反，是互为相反 的变形，即
a2 - b2
因式分解 整式乘法
(a + b)(a - b)
a2 - b2 = (a + b)(a - b) 等式的特征：左边是多项式， 右边是几个整式的乘积
当堂练习
12.下列因式分解正确的有( B ) ①3x2－6xy＋x＝x(3x－6y)＝3x(x－2y)； ②－5x＋5xy＝－5x(1＋y)； ③4x3－2x2y＝2x2(2x－y)； ④6a3b3＋4a2b2＋2ab＝2ab(3a2b2＋2ab)． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
提公因式后，可以利用整式乘法检查是否正确．此外，当提取 的公因式有“－”号时，应注意括号内各项要变号．
（2）x(a-b)+y(b-a)-3(b-a);
解：原式＝x(a-b)-y(a-b)+3(a-b) ＝(a-b)(x-y+3).
新课讲授
教材第43页
例题5 分解因式：
（3）6(x+y)2 -2(x-y)(x+y).
解：原式＝2(x+y)[3(x+y) －(x－y)] ＝2(x+y)(3x+3y －x + y) ＝2(x + y)(2x+4y) ＝4(x+y)(x+2y).
提取公因式法 课件
相同因式要写 成幂的形式
求值 4a2 (x 7) a(x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3
把下列各式分解因式:
(1) 24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby
观察下列各式：
x+y=（x+y）1 x2+2xy+y2= （x+y）2 x3+3x2y+3xy2+y3= （x+y）3 x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4= （x+y）4
省略不写，但单独成项时，它
在因式分解时不能漏掉。
5.把(2a + c)(a－b+c)+(b + a)(b－a－c)
分解因式.
【解析】原式=（ 2a+c )(a－b+c)－(b + a)(a－b+c) =（a－b+c)［(2a+c)－(b + a)］
=（a－b+c)(2a+c－b － a） =（a－b+c)(a－b+c ） =（a－b+c)2
（A）-x（4x2-8x+16）
（B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
当多项式第一项系 数是负数时，通常
先提出“ ”号，
使括号内第一项系 数变为正数，注意 括号内各项都要变
号。
另一个因式的
(3)若多项式-6项式ab数 的+与项18原数a多一bx项致+24aby的一个因式是
求值 4a2 (x 7) a(x 7) 3(x 7), 其中a 5, x 3
把下列各式分解因式:
(1) 24x3y-18x2y (2) 7ma+14ma2 (3) -16x4+32x3-56x2 (4) -7ab-14abx+49aby
观察下列各式：
x+y=（x+y）1 x2+2xy+y2= （x+y）2 x3+3x2y+3xy2+y3= （x+y）3 x4+4x3y+6x2y2+4xy3+y4= （x+y）4
省略不写，但单独成项时，它
在因式分解时不能漏掉。
5.把(2a + c)(a－b+c)+(b + a)(b－a－c)
分解因式.
【解析】原式=（ 2a+c )(a－b+c)－(b + a)(a－b+c) =（a－b+c)［(2a+c)－(b + a)］
=（a－b+c)(2a+c－b － a） =（a－b+c)(a－b+c ） =（a－b+c)2
（A）-x（4x2-8x+16）
（B）x（-4x2+8x-16） （C）4（-x3+2x2-4x） （D）-4x（x2-2x-4）
当多项式第一项系 数是负数时，通常
先提出“ ”号，
使括号内第一项系 数变为正数，注意 括号内各项都要变
号。
另一个因式的
(3)若多项式-6项式ab数 的+与项18原数a多一bx项致+24aby的一个因式是
因式分解-提公因式法PPT演示课件
20
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
21
2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
24
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
25
5
合作探究
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x
拓展运用：
1.已知1＋x＋x2＋x3=0.
求x＋x2＋x3＋x4＋……＋x2000的值.
解：原式＝x(1＋x＋x2＋x3) ＋x5(1＋x＋x2＋x3) ＋……＋ x1997(1＋x＋x2＋x3) ＝0
21
2.试说明:817－279－913能被45整除. 解：∵原式＝(34)7－ (33)9－ (32)13
1)定系数 2)定字母 3)定指数
3、用提公因式法分解因式的步骤：
第一步，找出公因式；
第二步，提公因式（ 把多项式化为两个因式的乘积）
4、用提公因式法分解因式应注意的问题：
（1）小心漏项（如：1）;（2）公因式可以是多项式形式。
24
祝同学们： 天天快乐， 学业有成。
25
5
合作探究
用心观察，找到答案 多项式 8x+12y 8ax+12ay 公因式
4 4a 4a2b
8a
3
bx+12a2b2y
2
9x -6xy+3x
3x
（2）多项式中的公因式是如何确定的？(合作交流探索）
6
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
定系数： 公因式的系数是各项整数系数的 最大公约数。 定字母： 取各项的相同的字母 相同字母的指数取次数最低的， 定指数：
2 x +
(x+1)(x-1)= x2－1 .
x2－1= ( x 1)(x 1)
x= x( x 1)
把一个多项式化成几个整式积的形式 ，这种变形叫做把这个多项式因式分 解（或分解因式）.
2
思考：
因式分解与整式乘法有何关系?
x2 + x
人教版数学《提公因式法》课件详解
人教版数学《提公因式法》课件详解
人教版数学《提公因式法》课件详解1
6．多项式 x2m－xm 提取公因式 xm 后，另一个因式是
A．x2－1
B．xm－1
C．xm
D．x2m－1
B
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
7．若 m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n 的值是
；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n 分解因式的结果
是
(1＋x)n＋1
.
人教版数学《提公因式法》课件详解1
C
()
2．下列因式分解正确的是 A．3x2－xy－x＝3x(x－y－1) B．－4xy2＋2xy－3y＝－y(4xy－2x－3) C．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D．2x(2x－y)－y(2x－y)＝(2x－y)2
D
()
知识点 2：提公因式法分解因式
1．公因式：各项都含有的 公共
的因式．
2．提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
知识点 1：因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的 积 的形式，这种式子的变形叫做 把这个多项式分解因式(或多项式的因式分解)．
1．下列从左到右的变形中属于因式分解的是 A．(a＋4)(a－4)＝a2－16 B．x2＋5x＋1＝x(x＋52m2n＝6m·7mn
A．－5
B．－2
C．10
D．－10
C
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
8．把下列各式分解因式： (1)6x(a－b)＋8y(b－a)； 解：原式＝6x(a－b)－8y(a－b) ＝2(a－b)(3x－4y)．
人教版数学《提公因式法》课件详解1
6．多项式 x2m－xm 提取公因式 xm 后，另一个因式是
A．x2－1
B．xm－1
C．xm
D．x2m－1
B
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
7．若 m－n＝－2，则(m－n)2－3m＋3n 的值是
；
(3)猜想：1＋x＋x(1＋x)＋x(1＋x)2＋…＋x(1＋x)n 分解因式的结果
是
(1＋x)n＋1
.
人教版数学《提公因式法》课件详解1
C
()
2．下列因式分解正确的是 A．3x2－xy－x＝3x(x－y－1) B．－4xy2＋2xy－3y＝－y(4xy－2x－3) C．x2＋2x＋1＝x(x＋2)＋1 D．2x(2x－y)－y(2x－y)＝(2x－y)2
D
()
知识点 2：提公因式法分解因式
1．公因式：各项都含有的 公共
的因式．
2．提公因式：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
知识点 1：因式分解的概念
把一个多项式化成几个整式的 积 的形式，这种式子的变形叫做 把这个多项式分解因式(或多项式的因式分解)．
1．下列从左到右的变形中属于因式分解的是 A．(a＋4)(a－4)＝a2－16 B．x2＋5x＋1＝x(x＋52m2n＝6m·7mn
A．－5
B．－2
C．10
D．－10
C
()
人教版数学《提公因式法》课件详解1
人教版数学《提公因式法》课件详解1
8．把下列各式分解因式： (1)6x(a－b)＋8y(b－a)； 解：原式＝6x(a－b)－8y(a－b) ＝2(a－b)(3x－4y)．
《提公因式法》分解因式PPT课件3
(5) a(a+1)(a-1)=
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)
____
根据左面的算式填空:
(1) 3x2-3x=_______ (2) ma+mb+mc=______ (3) m2-16=_________ (4) x2-6x+9=________ (5) a3-a=______
议一议
由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是 什么运算? 由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形与 它有什么不同?
从 数字系数 和 字母及其指分数别进行考虑。
1.定系数:公因式的系数应取各项系数的最大公约数。 2.定字母:公因式中的字母取各项相同的字母， 3.定指数: 相同字母的指数取其次数最低的。
例: 找 3x2y2– 6xy3 的公因式。
因为
系数：最大公约数 3
字母：相同字母 指数：最低次幂
xy2
所以， 3x2y2– 6xy3的公因式是 3xy2
看你能否过关？
把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn (2)12xyz-9x2y2 (3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )
3a2 3a a 9ab 3a 3b
用提公因式法分解因式的步骤： 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ；
第三步， 将多项式化成两个 因式 乘积的形式。
例2 把9x2－6xy+3xz分解因式.
解：9x2 – 6 x y + 3x z = 3x·3x - 3x·2y + 3x·z = 3x (3x-2y+z)
方法叫做提公因式法。
例1: 把下列各式分解因式
(1) 8a3b2 + 12ab3c
(2) 2a(b+c) - 3(b+c)