双曲线的几何性质课件
• 双曲线的几何性质
x2 y2 y2 x2 标准方程 2－ 2＝1(a>0， b>0) a2－b2＝1(a>0，b>0) a b
图形
焦点
焦距 范围
F1(－c,0)、F2(c,0) F1(0，－c)、F2(0，c) ___________ _____________
_____
|F1F2|＝2c
_____
[ 解析]
4＋1 5 c 离心率 e＝a＝ 2 ＝ 2 .
y2 x2 6．已知双曲线a2－ 3 ＝1 的离心率为 2，求此双曲线的渐 近线方程．
[ 解析] 由双曲线的方程得：c＝ a2＋3，
a2＋3 ∴ a ＝2，解得 a2＝1，
2 x ∴此双曲线方程是 y2－ 3 ＝1.
3 a ∴其渐近线方程为 y＝± bx＝± 3 x.
) 4 B.3 3 D.2
[ 解析]
2 2 b2 16 c －a c2 b 4 ∵a＝3，∴a2＝ 9 ＝ a2 ＝a2－1，
c 16 25 c 5 2 ∴ a ＝ 9 ＋1＝ 9 ，∴e＝a＝3.
4． (2014· 北京文)设双曲线 C 的两个焦点为(－ 2， 0)、 ( 2， 0)，一个顶点是(1,0)，则 C 的方程为______________．
[ 点评]
x 2 y2 与双曲线a2－b2＝1(a>0，b>0)有相同渐近线的双
x2 y 2 曲线系为a2－b2＝λ(λ≠0，a>0，b>0)，焦点可能在 x 轴上，也 可能在 y 轴上．
1 已知双曲线的渐近线方程为 y＝± 2x，焦距为 10，求双曲线 方程．
[ 解析] 解法一：当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线方程
成才之路· 数学
人教B版 ·选修1-1 1-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
圆锥曲线与方程
第二章
2.2
双曲线3
第二章
第2课时
双曲线的几何性质
第二章
课前自主预习
课堂典例讲练
方法警示探究 思想方法技巧
易错疑难辨析
课后是双曲线，双曲线是非常优 美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的 曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特 性.
[ 解析]
c 3 ∵双曲线的右焦点在 x 轴上，且 c＝3，又a＝2，
2 2 x y ∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝5，∴c 的方程为 4 － 5 ＝1.
x2 y 2 4 3． 已知双曲线a2－b2＝1(a> 2)的一条渐近线方程为 y＝3x， 则双曲线的离心率为( 5 A.3 5 C.4
[ 答案] A
课堂典例讲练
•由双曲线的性质求标准方程
x2 2 求过点(2，－2)且与 2 －y ＝1 有公共渐近线的 双曲线的方程．
[ 解析]
2 b 解法一：当焦点在 x 轴上时，由于a＝ 2 ，故可设
x2 y2 方程为2b2－b2＝1，代入点(2，－2)，得 b2＝－2(舍去)．当焦点 2 y2 x2 a 在 y 轴上时，可知b＝ 2 ，故可设方程为a2－2a2＝1，代入点(2，
2 2 5 为(± 2,0)，∴所求距离为 d＝ ＝ 5 . 5
2．(2013· 广东理)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 3 F(3,0)，离心率等于2，则 C 的方程是( x2 y2 A. 4 － ＝1 5 x2 y2 C. 2 － 5 ＝1
[ 答案] B
)
x2 y2 B. 4 － 5 ＝1 x2 y2 D. 2 － ＝1 5
2 2 y x －2)，得 a2＝2，∴所求双曲线方程为 2 － 4 ＝1.
x2 2 解法二： 因为所求双曲线与已知双曲线 2 －y ＝1 有公共的 x2 y2 渐近线，故可设双曲线方程为 2 － 1 ＝λ，代入点(2，－2)，得 λ ＝－2. x2 2 y2 x2 ∴所求双曲线的方程为 2 －y ＝－2，即 2 － 4 ＝1.
1 x2 2 解法二：由渐近线方程为 y＝± 2x 可设双曲线方程为 4 －y x2 y2 ＝λ(λ≠0)，即4λ－ λ ＝1. 由 a2＋b2＝c2 得|4λ|＋|λ|＝25，即 λ＝± 5. x2 y2 y2 x2 ∴所求双曲线方程为20－ 5 ＝1 或 5 －20＝1.
•双曲线的离心率
x2 y2 已知双曲线a2－b2＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直 3 线 l 过点(a,0)、(0，b)，且原点到直线 l 的距离为 4 c，求双曲 线的离心率．
[ 解析]
x2 y2 1 为a2－b2＝1，由渐近线方程为 y＝± 2x 得， b 1 2 2 2 2 2 ＝ ， 2 c ＝ 10 ，由 c ＝ a ＋ b 得 a ＝ 20 ， b ＝5. a 2
x2 y2 ∴双曲线方程为20－ 5 ＝1. 同理，当焦点在 y 轴上时，可得双曲线方程为 y 2 x2 5 －20＝1. x2 y2 y2 x2 即所求双曲线方程为20－ 5 ＝1 或 5 －20＝1.
[ 答案] x2－y2＝1
[ 解析]
由题意可知，双曲线的焦点在 x 轴上，且 c＝ 2，
a＝1，则 b2＝c2－a2＝1，故双曲线 C 的方程为 x2－y2＝1.
x2 5 ． (2014· 四 川 文 ) 双 曲 线 4 － y2 ＝ 1 的 离 心 率 等 于 ______________．
[ 答案] 5 2
对称 _________________________
x2 2 1.(2013· 福建理)双曲线 4 －y ＝1 的顶点到其渐近线的距离 等于( 2 A.5
[ 答案] C
) 4 B.5 2 5 C. 5 4 5 D. 5
[ 解析]
1 双曲线的渐近线方程为 y＝± 即 x± 2y＝0， 顶点 2x ，
x≥a或x≤－a，y∈R (－a,0)、(a,0)
y≥a或y≤－a，x∈R
__________________ (0，－a)、(0，a)
___________ _____________ 关于x轴、y轴和原点对称
___ 2a
顶点 性
_____ 2b
x y a x y b ± ＝0 或 y＝± x ± ＝ 0 或 y ＝ ± x b a b ___________ a b a _____________ c _____ e＝a(e>1) _____
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人教版高中数学课件：8.4双曲线的几何性质
x a
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
2 2
y b
2 2
1
渐近线为
x a
y b
0
F1 B2
则它的共轭双曲线方程是:
y b
2 2
x a
2 2
1
渐近线为:
x y
y b
x a
0
X
A1
F’1 显然,它可化为 a b 0 故双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线; 证明:(2)设已知双曲线的焦点为F(c,0),F(-c,0) 它的共轭双曲线的焦点为F1’(0,c’), F2’(0,-c’), ∵ c a2 b2
x
2
o
B1
A2
F’2
F2
c a b
2
2
∴
c=c'
∴四个焦点 F1 , F2 ,F1 , F2 在同一个圆
y
2
a
2
b 上.
2
问:有相同渐近线的双曲线方 程一定是共轭双曲线吗 ?
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
A
B
C
D
一、选择题:
准
线
c
双曲线图形(1)
Y
x a
2 2
y b
2 2
1
标
准
方
程
范
围
B2
性
对
称
顶 焦
对
点 点
称 轴
F1
A1
A2
F2
X
322双曲线的简单几何性质(二)课件高二上学期数学人教A版选择性
判断直线与双曲线位置关系的基本步骤
把直线方程代入双曲线方程
二次项系数为0
二次项系数不为0
得到一元一次方程
得到一元二次方程
直线与双曲线的
渐进线平行
计算判别式
>0
=0
<0
相交
相切
相离
相交（一个交点）
2
2
x
y
所以, 所求双曲线的方程为
1.
144 625
9
例5 点M（x,y）与定点F（4,0）的距离和它到定直线 l : x
4
4
的距离的比是常数 ,求动点M的轨迹.
3
解：设 d 是点M 到直线 l 的距离，根据题意，动
点 M 的轨迹就是点的集合
y
（x 4） y
4
.
9
3
x
4
2
由此得
定直线叫做双曲线的准线，
常数是双曲线的离心率 .
.
F’
O
l
d .M
.
F
x
x2 y2
1的右焦点F2,倾斜角为30°的直
例6：如图，过双曲线
3
6
线交双曲线于A，B两点，求|AB|
y
法一:设直线AB的方程为
O
F1
B
A
F2 x
x2 y2
1的右焦点F2,倾斜角为30°的直
例6：如图，过双曲线
x －y ＝4
1－k2≠0
由
得
Δ＝4k2＋20（1－k2）<0
且方程无解．
5
5
k> 或 k<－ ，
2
2
5
5
课件9：2.3.2 双曲线的简单几何性质
－by22＝λ(λ≠0)，可避免讨论焦点的位置．
课前探究学习
课堂讲练互动
►变式训练
2．(1)(2014·北京卷)设双曲线 C 的两个焦点为(－ 2，0)，
( 2，0)，一个顶点式(1，0)，则 C 的方程为__________________．
(2)
与
椭
圆
x2 2
＋
y2 3
＝
1
有 公共焦 点，且 离心 率为32的 双曲线 方程为
课前探究学习
课堂讲练互动
规律方法： (1)求双曲线离心率的常见方法：一是依据条件求出
a，c，再计算 e＝ac；二是先依据条件建立参数 a，b，c 的关系式，
再消去
b
转化成离心率
e
的方程求解，或消去
c
转化成含b的方程， a
求出ab后利用 e＝ 1＋ab22求离心率．
(2)求离心率的范围一般是根据条件建立 a，b，c 的不等式，通
2．3.2 双曲线的简单几何性质
课前探究学习
课堂讲练互动
课前探究学习
课堂讲练互动
1．掌握双曲线的简单的几何性质．
2．了解双曲线的渐近线及渐近线的概念， 会利用几何性质求双曲线的标准方程．
课前探究学习
课堂讲练互动
研题型学习法
课前探究学习
课堂讲练互动
题型一 由双曲线的标准方程研究其几何性质
例 1 求双曲线 nx2－my2＝mn(m＞0，n＞0)的实半轴长、虚半轴 长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程．
规律方法：由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系
数法．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意
分 类 讨 论 ． 为 了 避 免 讨 论 ， 也 可 设 双 曲 线 方 程 为 mx2 － ny2 ＝
2.3双曲线的简单几何性质(1)PPT课件
渐近线相同的双曲线有多少条？
渐近线为 y
b a
x
的双曲线方程有
何特点？ x2 y2 a2 b2
( 0)
2020年10月2日
11
探究新知
双曲线
y2 a2
x2 b2
1a0,b0
的渐
近线方程是什么？
y
ax
b
2020年10月2日
12
探究新知 5.离心率
与椭圆类似，把双曲线的焦距与
实轴长的比 c 称为双曲线的离心率，
17
典例讲评
例1 求双曲线9y2－16x2＝144的半实
轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、
渐近线方程．
半实轴长a＝4. 半虚轴长b＝3.
焦点坐标(0,
±5). 离心率 e
5 4
.
渐近线方程 y
4 3
x
2020年10月2日
18
典例讲评
例2 求满足下列条件的双曲线的标准方 程： （1）实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在
高中数学选修 2-1
第二章 曲线与方程
2.3.2 双曲线的简单几何性质 第 一课时
2020年10月2日
1
复习巩固
1.双曲线的标准方程和一般方程分别是
什么？
x2
(1)
标准方程： a2
y2
b2
1a0,b0
(2)ay22bx22 1a0,b0
一般方程：Ax2＋By2＝1（AB＜0）
2020年10月2日
3.等轴双曲线有无数条，但其离心 率和渐近线是确定不变的.
2020年10月2日
25
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双曲线的简单几何性质课件
双曲线的简单几何性质
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
通过探索直角双曲线的定义、方程、性质和应用，本课件将带您深入了解双 曲线的几何特性，以及它在数学和实际生活中的重要性。
直角双曲线定义
直角双曲线是由一个平面上的点到两个给定直点的距离差等于一个常数的点集合。 这个定义可以用数学方程形式表示，并且直角双曲线拥有独特的图形特点。
直角双曲线的图形特点
冷却塔
直角双曲线的形状在工程中被 广泛应用于冷却塔的设计。
Hale Waihona Puke 火箭轨迹双曲线轨迹模型可用于描述火 箭的轨迹和飞行路线。
卫星轨道
卫星在空间中的运行轨道也经 常使用双曲线模型进行建模。
结论和要点
几何性质
直角双曲线具有独特的几 何性质，如两支曲线、渐 近线以及对称性。
方程与参数
可以使用标准方程和参数 方程来描述直角双曲线的 形状。
渐近线
直角双曲线的渐近线是与曲 线的无限延伸方向相切的特 殊直线。
直角双曲线的性质与证明
1
双曲线的对称性
直角双曲线具有关于两条坐标轴的对称性。
2
焦距与离心率
焦距是焦点与曲线上任一点的距离，而离心率则是焦距与准线长度的比值。
3
曲线与渐近线
直角双曲线在无穷远处与其渐近线趋于平行。
直角双曲线的相关实例和应用
2 参数方程
直角双曲线的参数方程 是x = a * sec(θ)和y = b * tan(θ)。
3 参数特性
直角双曲线的参数a和b 分别决定曲线的形状和 大小。
直角双曲线的焦点、准线与渐近线
焦点
直角双曲线拥有两个焦点， 位于对称轴上，与曲线的离 心率相关。
准线
准线是离心率等于1的直角双 曲线上的一条特殊直线。
双曲线的简单几何性质 课件
12 分
双曲线的离心率问题主要有两种，一是求离心率， 二是求离心率的取值范围．求圆锥曲线的离心率的 关键是探寻a与c的关系．在探寻过程中，要充分挖 掘各种隐含条件，结合图形与圆锥曲线的定义，并 要综合运用各种知识，只有这样才能做到“心有灵 犀一‘点’通”，找到最优解法，提高解题速度．
由双曲线的几何性质求标准方程
●
求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)实轴长为 8，离心率为54；
(2)已知双曲线的中心在原点，焦点 F1，F2 在坐标轴上，
实轴长和虚轴长相等，且过点 P(4，－ 10)；
(3)渐近线方程为 y＝±12x，且经过点 A(2，－3)．
思路点拨： (1)(2)可用待定系数法求出a，b，c后求方程；
思路点拨： 双曲线方程 ―化 变―简 形→ 双曲线的标准方程
―→ a，b，c的值 ―→ 结果
解析： 将方程 9y2－16x2＝144 化为标准方程4y22－3x22＝1， 由此可知，实半轴长 a＝4，虚半轴长 b＝3；
c＝ a2＋b2＝ 42＋32＝5，焦点的坐标是(0，－5)，(0,5)， 渐近线方程为 x＝±34y，即 y＝±43x.
若焦点在 x 轴上，设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝
1(a>0双曲线上，∴a42－b92＝1.
②
由①②联立，无解．
若焦点在 y 轴上，设所求双曲线的标准方程为ay22－bx22＝
1(a>0，b>0)，
则ab＝12.
③
∵A(2，－3)在双曲线上，∴a92－b42＝1.
求双曲线的离心率
点 P 是双曲线 C1：ax22－by22＝1(a>0，b>0)和圆 C2： x2＋y2＝a2＋b2 的一个交点，且有 2∠PF1F2＝∠PF2F1，其中 F1，F2 是双曲线 C1 的左右两个焦点，求双曲线 C1 的离心率．
双曲线的简单几何性质 课件高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
2
13 y 1.
②
122 b2
2
5b
55
252 12
5b
1.
由方程②，得 y （负值舍去）.代入方程①，得 2
2
12
b
12
化简得 19b2 275b 18150 0 .③
解方程③，得 b 25 （负值舍去）.
x2
y2
因此所求双曲线的方程为
解析：双曲线方程化为标准形式： y
1
m
m
2
由题设知 2
1
1
，解得 m .故选 A.
m
4
x2
y2
x2
y2
2. 若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线
1 的( A )
1 与曲线
25 k 9
25 9 k
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
令 x 0 ，得 y 2 b2 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴
没有公共点，但也把 B1 (0 ， b) ，B2 (0 ，
b) 两点画在 y 轴上（如图）.
4. 渐近线
实际上，经过两点 A1 ，A2 作 y 轴的平行线 x 3 ，经过两点 B1 ，B2
作 x 轴的平行线 y 2 ，四条直线围成一个矩形（如图）
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例 1 求双曲线 9 y 2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程.
y 2 x2
解：把双曲线的方程 9 y 16 x 144 化为标准方程 2 2 1 .
13 y 1.
②
122 b2
2
5b
55
252 12
5b
1.
由方程②，得 y （负值舍去）.代入方程①，得 2
2
12
b
12
化简得 19b2 275b 18150 0 .③
解方程③，得 b 25 （负值舍去）.
x2
y2
因此所求双曲线的方程为
解析：双曲线方程化为标准形式： y
1
m
m
2
由题设知 2
1
1
，解得 m .故选 A.
m
4
x2
y2
x2
y2
2. 若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线
1 的( A )
1 与曲线
25 k 9
25 9 k
A.焦距相等
B.实半轴长相等
C.虚半轴长相等
D.离心率相等
令 x 0 ，得 y 2 b2 ，这个方程没有实数解，说明双曲线和 y 轴
没有公共点，但也把 B1 (0 ， b) ，B2 (0 ，
b) 两点画在 y 轴上（如图）.
4. 渐近线
实际上，经过两点 A1 ，A2 作 y 轴的平行线 x 3 ，经过两点 B1 ，B2
作 x 轴的平行线 y 2 ，四条直线围成一个矩形（如图）
双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小.
例 1 求双曲线 9 y 2 16 x2 144 的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、
离心率、渐近线方程.
y 2 x2
解：把双曲线的方程 9 y 16 x 144 化为标准方程 2 2 1 .
双曲线几何性质的应用 课件
(2)由韦达定理及向量坐标关系，可得到关于a的方 程，解出a即可．
[解] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线xa22－y2＝1 中得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴14－ a4＋a2≠ 8a20，1－a2>0. 解得 0<a< 2且 a≠1，
又双曲线的离心率 e＝
1＋a2＝ a
a12＋1，
类型三 直线与双曲线的综合问题 [例 3] 设双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)与直线 l： x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
[分析] (1)利用Δ>0可得a的范围，再写出离心率 关于a的表达式，可求出离心率的范围；
应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲 线的渐近线平行．同时在解答时还要对直线 l 的斜率 是否存在进行讨论．
[解] 可分两种情况： (1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合 题意； (2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入 双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当 4－k2＝0 时，k＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与 双曲线只有一个公共点； 当 4－k2≠0，令 Δ＝0，得 k＝52. 综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
∴e>
6且 2
e≠
2.
(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0,1)． ∵P→A＝152P→B，∴(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)． 由此得 x1＝152x2，由于 x1、x2 都是方程①的 根，且 1－a2≠0.
[解] (1)将 y＝－x＋1 代入双曲线xa22－y2＝1 中得 (1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①
∴14－ a4＋a2≠ 8a20，1－a2>0. 解得 0<a< 2且 a≠1，
又双曲线的离心率 e＝
1＋a2＝ a
a12＋1，
类型三 直线与双曲线的综合问题 [例 3] 设双曲线 C：xa22－y2＝1(a>0)与直线 l： x＋y＝1 相交于两个不同的点 A、B. (1)求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围； (2)设直线 l 与 y 轴的交点为 P，且P→A＝152P→B， 求 a 的值．
[分析] (1)利用Δ>0可得a的范围，再写出离心率 关于a的表达式，可求出离心率的范围；
应分两种情况讨论：双曲线与直线相切或直线与双曲 线的渐近线平行．同时在解答时还要对直线 l 的斜率 是否存在进行讨论．
[解] 可分两种情况： (1)直线 l 斜率不存在时，l：x＝1 与双曲线相切，符合 题意； (2)直线 l 斜率存在时，设 l 方程为 y＝k(x－1)＋1，代入 双曲线方程，得(4－k2)x2－(2k－2k2)x－k2＋2k－5＝0. 当 4－k2＝0 时，k＝±2，l 与双曲线的渐近线平行，l 与 双曲线只有一个公共点； 当 4－k2≠0，令 Δ＝0，得 k＝52. 综上，k＝52或 k＝±2 或 k 不存在．
∴e>
6且 2
e≠
2.
(2)设 A(x1，y1)、B(x2，y2)、P(0,1)． ∵P→A＝152P→B，∴(x1，y1－1)＝152(x2，y2－1)． 由此得 x1＝152x2，由于 x1、x2 都是方程①的 根，且 1－a2≠0.
双曲线的简单几何性质 课件
x2
− b 2 =1(a>0,b>0)
y≤-a 或 y≥a
x∈R
范围
x≤-a 或 x≥a
y∈R
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
性 顶点
质轴
离心率
渐近线
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
实轴:线段 A1A2,长:2a;虚轴:线段 B1B2,长:2b;实半轴
长:a,虚半轴长:b
小,离心率越大,开口越开阔,离心率越小,开口越扁狭.
4.等轴双曲线是指实轴长与虚轴长相等的双曲线,其渐近线
方程为 y=±x,离心率等于 2.
【做一做 1】 若点
2
M(x0,y0)是双曲线 4
意一点,则 x0 的取值范围是
是
.
2
− 25=1
上支上的任
,y0 的取值范围
解析：因为a2=4,b2=25,所以a=2,b=5,所以x0∈R,y0≥2.
π
2
因为∠PF1Q=2,所以|F1F2|=|PF2|,即 2c= ,于是 2ac=b2=c2-a2,
所以 e2-2e-1=0,解得 e= 2+1(e=1- 2舍去),故选 C.
2
2 +2
(2)依题意得
= 5,所以2 =5,即 2 =5,解得=2.
若双曲线焦点在 x 轴上,则其渐近线方程为 y=±x,即
是 6.
思路分析对于(1)和(2),可直接设出双曲线方程,根据条件求出参
数a,b的值,即得方程;对于(3),焦点位置不确定,应分类讨论.
2
解(1)设双曲线方程为2
−
4
2
2 =1(a>0,b>0).
高中数学选择性必修一课件：双曲线的简单几何性质(第1课时)
y52＝1.
题型四 双曲线的离心率
例 4 (1)如果双曲线的渐近线方程是 y＝±34x，求离心率． 【解析】 方法一：若双曲线焦点在 x 轴上，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)． 由题意知ba＝34，又∵c2＝a2＋b2， ∴e2＝ac22＝1＋ba22＝1＋342＝542，∴e＝54. 若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题意知ab＝34，
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第1课时)
要点 1 双曲线的几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长
离心率
渐近线
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
2c
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
题型二 求渐近线方程
例 2 (1)求双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程． 【解析】 方法一：∵a＝2，b＝2 2，且焦点在 x 轴上， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：令x42－y82＝0， 得2x±2 y 2＝0， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x.
(4)易知所求双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线方程为6x42 －1y62 ＝λ(λ>0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得 λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
探究 3 巧设双曲线方程的方法： (1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． (2)常见双曲线方程的设法． ①渐近线为 y＝±mn x 的双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果 两条渐近线的方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0， A>0，B>0)．
题型四 双曲线的离心率
例 4 (1)如果双曲线的渐近线方程是 y＝±34x，求离心率． 【解析】 方法一：若双曲线焦点在 x 轴上，设双曲线方程为ax22－by22＝1(a>0， b>0)． 由题意知ba＝34，又∵c2＝a2＋b2， ∴e2＝ac22＝1＋ba22＝1＋342＝542，∴e＝54. 若双曲线的焦点在 y 轴上，设双曲线方程为 ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题意知ab＝34，
3.2.2 双曲线的简单几何性质(第1课时)
要点 1 双曲线的几何性质
标准方程
ax22－by22＝1(a>0，b>0)
ay22－bx22＝1(a>0，b>0)
图形
焦点 焦距 范围 对称性 性质 顶点 轴长
离心率
渐近线
(－c，0)，(c，0)
(0，－c)，(0，c)
2c
|x|≥a，y∈R
|y|≥a，x∈R
题型二 求渐近线方程
例 2 (1)求双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程． 【解析】 方法一：∵a＝2，b＝2 2，且焦点在 x 轴上， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x. 方法二：令x42－y82＝0， 得2x±2 y 2＝0， ∴双曲线x42－y82＝1 的渐近线方程为 y＝± 2x.
(4)易知所求双曲线的焦点在 x 轴上，可设双曲线方程为6x42 －1y62 ＝λ(λ>0)，
将点(2，0)的坐标代入方程得 λ＝116，故所求双曲线的标准方程为x42－y2＝1.
探究 3 巧设双曲线方程的方法： (1)当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论， 为了避免讨论，也可设双曲线的方程为 mx2－ny2＝1(mn>0)． (2)常见双曲线方程的设法． ①渐近线为 y＝±mn x 的双曲线方程可设为mx22－ny22＝λ(λ≠0，m>0，n>0)；如果 两条渐近线的方程为 Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为 A2x2－B2y2＝m(m≠0， A>0，B>0)．