2020云南高考理科数学试题及答案解析【word精校版】
2020年4月云南省普通高中2020届高三下学期高考适应性考试理科数学试卷(A卷)及解析
【详解】A是∠ 与∠ 的角平分线的交点,∴ 是 的内切圆的圆心,设 是 中点,连接 ,如图,则 ,
由 得 ,
∴ 三点共线, ,∴ ．
由 既是角 平分线,又是 中线,得 , ,∴ , ,又 ,∴ ,
作 轴于 ,则 ,且 ,
∴ ,∴ ,解得 ．
故答案为：6．
三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题,考生根据要求作答.
17.已知数列 的前 项和为 ,且满足 .数列 是首项为 ,公差不为零的等差数列,且 成等比数列．
正方体中 与 平行且相等,则 是平行四边形, , 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,同理 平面 , , 都在平面 内,∴平面 平面 , 平面 ,∴ 平面 ,②正确；
与①同理可证 平面 ,当 是 与 交点时, 平面 , ,异面直线 与 所成角为 ,③错误；
由②知 平面 ,∴ 到平面 的距离不变,因此三棱 体积不变,④正确．
（2）甲班排在第二位,丙班和丁班在一起的情况有 种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有 种情况,此时有 种安排方案；
（3）甲班排在第三位,丙班和丁班排在一起的情况有 种,将剩下的三个班全排列,安排到剩下的三个位置,有 种情况,此时有 种安排方案；
由加法计数原理可知共有 种方案,
故选：B
9.如图,在正方体 中,点 在线段 上运动,则下列判断中正确的是（）
翻折后仍然 ,
且 ,
则 平面 .
2020高考测试数学(理科)-附答案及解析
1 / 12绝密★启用前数学测试题理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 已知复数34i z =+，则5z 的虚部是（）. A. 45- B. 45C. 4-D. 4 2. 设集合{}21log 3A x x =≤≤，{}2340B x x x =--<，则A B =U （）.A. ()1,2-B. (]1,8-C. [)2,4D. []4,83. 为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响，某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本，其中城镇户籍与农村户籍各100人；男性120人，女性80人，绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图，如图所示，其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例，则下列叙述中错误的是（）.A. 是否倾向选择生育二胎与户籍有关B. 是否倾向选择生育二胎与性别有关C. 倾向选择生育二胎的人群中，男性人数是女性人数的43倍D. 倾向选择不生育二胎的人群中，农村户籍人数少于城镇户籍人数4. “0a b >>”是“22a a b b +>+”的（）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知等差数列{}n a 满足3243a =a ，则{}n a 中一定为0的项是（）.A. 12aB. 10aC. 8aD. 6a6. 求11111135792019++++++L 的程序框图，如图所示，则图中判断框中可填入（）.A. 1010?n ≤B. 1010?n <C. 1012?n ≤D. 1012?n <7. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺. 蒲生日自半，莞生日自倍.问几何日而长倍？”意思是：“今有蒲草第1天长高3尺，芜草第1天长高1尺以后，蒲草每天长高前一天的一半，芜草每天长高前一天的2倍.问第几天莞草是蒲草的二倍？”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是（）. （结果采取“只入不舍”的原则取整数，相关数据：lg30.4771≈，lg20.3010≈）A. 2B. 3C. 4D. 58. 圆2211:504C x y y +--=上有且仅有三点到双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的距离为1，则该双曲线的离心率为（）. A. 53 B. 54 C. 259 D. 25169. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（）.A. 36πB. 27πC. 27π2D. 252π 10. 关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(,)x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形．．．．．三边的数对(,)x y 的个数m ，最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是34m =，那么可以估计π的值约为（）. A. 9429 B. 4715C. 5116D. 5317 11. 如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过,,E F O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111A B C D 所成角为α，则sin α的最大值为（）.A.B. C. D. 12. 已知函数()()2πcos 03f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，1x 、2x 、[]30,πx ∈，且[]0,πx ∀∈都有()()()12f x f x f x ≤≤，满3 / 12足()30f x =的实数3x 有且只有3个，给出下述四个结论：①满足题目条件的实数1x 有且只有1个；②满足题目条件的实数2x 有且只有1个；③()f x 在π0,10⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；④ω的取值范围是1319,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 其中所有正确结论的编号是（）.A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年云南省曲靖市高考(理科)数学二模试卷 (解析版)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．33．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ） A ．−725B ．725C ．−15D ．154．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．7B ．9C ．10D ．115．已知向量a →，b →，|a →|=2，b →=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a →+2b →|=2√3，则a →与b →夹角是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．π3D ．π66．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（bi ē，n ào ）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（ ）A ．6B ．21C ．27D ．547．已知实数x ，y 满足{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0，z ＝ax +by （a ＞b ＞0）的最大值为2，则直线ax +by﹣1＝0过定点（ ） A ．（3，1）B ．（﹣1，3）C ．（1，3）D ．（﹣3，1）8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．65879．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ） B ．x 0∈（a ，b ） C ．x 0∈（b ，c ） D ．x 0∈（c ，+∞）10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．211．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√3412．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e2，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e2，1e） 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ ． 14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 ．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ．（把你认为正确的命题序号都填上）16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于 ． 三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=1(a n+1)2，设数列{b n}的前n项和为T n．求证：T n＜14．19．如图所示，平面PAB⊥平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，∠APB＝90°，M，N分别是CD，PB的中点．（1）证明：CN∥平面PAM；（2）若直线PA与平面ABCD所成角等于60°，求二面角M﹣AP﹣C的余弦值．20．已知△ABC的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC的周长为8+4√3，O是坐标原点，点M满足OA→=−2AM→．（Ⅰ）求点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求△OPQ面积的最大值．21．已知函数f（x）＝xlnx，g(x)=12x2．（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，求实数m的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．参考答案一、选择题1．设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |x 2+2x ﹣15＜0，x ∈Z}，则A ∩B ＝（ ） A ．{1，2}B ．{1，2，3}C ．{1，2，3，4}D ．{1，2，3，4，5}【分析】可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．解：B ＝{x |﹣5＜x ＜3，x ∈Z}＝{﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}； ∴A ∩B ＝{1，2}． 故选：A ．2．已知复数z 满足z •（1+i ）＝2，则|z |＝（ ） A ．1B ．√2C ．2D ．3【分析】求出z ，求出z 的模即可． 解：z =21+i=1﹣i ， 故|z |=√2， 故选：B ．3．已知cos （π4−α）=45，则sin2α＝（ ）A ．−725B ．725C ．−15D ．15【分析】由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得sin αcos α的值，再利用二倍角公式，求得sin2α的值．解：∵cos （π4−α）=45，即 √22cos α+√22sin α=45，平方可得12+sin αcos α=1625，∴sin αcos α=750， 则sin2α＝2sin αcos α=725， 故选：B ．4．执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A．7B．9C．10D．11【分析】模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S＝﹣lg11时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．解：模拟程序的运行，可得：i=1，S=lg13=−lg3＞−1，否；i=3，S=lg13+lg35=lg15=−lg5＞−1，否；i=5，S=lg15+lg57=lg17=−lg7＞−1，否；i=7，S=lg17+lg79=lg19=−lg9＞−1，否；i=9，S=lg19+lg911=lg111=−lg11＜−1，是，输出i＝9，故选：B．5．已知向量a→，b→，|a→|=2，b→=(cosα，sinα)(α∈R)，若|a→+2b→|=2√3，则a→与b→夹角是（）A．5π6B．2π3C．π3D．π6【分析】由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．解：由题意可得|b→|＝1，因为|a→+2b→|=2√3，所以a2+4a→⋅b→+4b→2=12，即8+4a→⋅b→=12，所以a→⋅b→=1，设向量a→与b→夹角θ，所以cosθ=a→⋅b→|a→||b→|=12，因为θ∈[0，π]，所以θ=π3．故选：C．6．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑（biē，nào）．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为（）A．6B．21C．27D．54【分析】直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：S=12⋅3⋅5+12⋅3⋅4+12⋅3⋅5+12⋅3⋅4，＝27，故选：C．7．已知实数x，y满足{x−2≥0y−2≥0x+y−8≤0，z＝ax+by（a＞b＞0）的最大值为2，则直线ax+by﹣1＝0过定点（）A．（3，1）B．（﹣1，3）C．（1，3）D．（﹣3，1）【分析】由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线ax+by﹣1＝0由直线系方程得答案．解：画出不等式组{x −2≥0y −2≥0x +y −8≤0表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C 为目标函数取得最大值的最优解， 联立{y −2=0x +y −8=0，解得C （6，2），所以6a +2b ＝2，即3a +b ＝1； 所以b ＝1﹣3a ，代入ax +by ﹣1＝0，得ax +y ﹣3ay ﹣1＝0， 即a （x ﹣3y ）+y ﹣1＝0， 由{x −3y =0y −1=0，解得{x =3y =1．所以直线ax +by ﹣1＝0必过定点（3，1）． 故选：A ．8．设X ～N （1，1），其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）（注：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝95.44%）A ．7539B ．6038C ．7028D ．6587【分析】根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算． 解：∵X ～N （1，1），∴μ＝1，σ＝1．μ+σ＝2∵P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝68.26%，∴则P （0＜X ＜2）＝68.26%， 则P （1＜X ＜2）＝34.13%， ∴阴影部分的面积为：0.6587．∴正方形ABCD 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587． 故选：D ． 9．设函数f （x ）=2xx+1+lnx 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），若f （x ）存在零点x 0，则下列选项中一定错误的是（ ） A ．x 0∈（a ，c ）B ．x 0∈（a ，b ）C ．x 0∈（b ，c ）D ．x 0∈（c ，+∞）【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 解：函数函数f （x ）=2x x+1+lnx ＝2+lnx −2x+1的定义域为{x |x ＞0}，函数是增函数， 满足f （a ）f （b ）f （c ）＜0（a ＜b ＜c ），说明f （a ），f （b ），f （c ），有1个是负数一定是f （a ）两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在（a ，c ），在（a ，b ），在（c ，+∞）， 不可能在（b ，c ）． 故选：C ． 10．若双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x +2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为（ ）A ．2√33B ．√2C ．√3D ．2【分析】通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 解：设双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线不妨为：bx +ay ＝0，圆（x ﹣2）2+y 2＝4的圆心（2，0），半径为：2， 双曲线C ：x 2a −y 2b =1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2＝4所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：√22−12=2b√a 2+b ，解得：4c 2−4a 2c 2=3，可得e 2＝4，即e ＝2．故选：D ．11．已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ＝1，a +b +c ＝3，且c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，则△ABC 的面积为（ ）A ．√34或3√34B ．3√33C ．2√33D ．√34【分析】根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A 的值，利用余弦定理计算bc ，代入面积公式即可求出三角形的面积．解：∵c sin A cos B +a sin B cos C =√32a ，∴sin C sin A cos B +sin A sin B cos C =√32sin A ，∵sin A ≠0，∴sin C cos B +sin B cos C =√32，即sin （B +C ）＝sin A =√32，∴A =π3或A =2π3． 若A =2π3，则a ＞b ，a ＞c ，故2a ＞b +c ，与a ＝1，b +c ＝2矛盾． ∴A =π3，由余弦定理得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝（b +c ）2﹣3bc ＝1， ∴bc ＝1，∴S =12bc sin A =12×1×√32=√34．故选：D ．12．f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1e，+∞） B ．[1e，+∞）C ．[1，+∞）D ．[1e，1e） 【分析】对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果． 【解答】解：f （x ）={x 2，x ≤0ln(x +1)，x ＞0，对于∀x ∈[﹣1，+∞），则f （x ）﹣1={x 2−1，−1≤x ≤0ln(x +1)−1，x ＞0，在坐标系中，画出函数y ＝f （x ）﹣1与y ＝a （x +1）的图象，如图： 对于∀x ∈[﹣1，+∞），均有f （x ）﹣1≤a （x +1），就是函数y ＝a （x +1）的图象都在y ＝f （x ）﹣1图象的上方， 则y ＝ln （x +1）﹣1可得y ′=1x+1（x ＞0），设切点坐标（m ，n ）， 可得1m+1=nm+1，可得n ＝1，此时ln （m +1）﹣1＝1，解得m ＝e 2﹣1，所以切线的斜率为：1e 2−1+1=1e 2．可得a ≥1e 2． 故选：A ． 二、填空题13．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点，则p ＝ 2 ． 【分析】判断抛物线的准线方程，利用直线与x 轴的交点在抛物线的准线上，求解即可． 解：抛物线y 2＝2px （p ＞0）的准线：x =−p2，经过直线y ＝x +1与坐标轴的一个交点（﹣1，0），可得：−p2=−1，解得p ＝2． 故答案为：2．14．已知二项式（1+x ）n 展开式中只有第4项的二项式系数最大，则(1+1x2)(1+x)n 展开式中常数项为 16 ．【分析】因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n 的值；然后再将(1+1x2)(1+x)n 拆成两个式子，求出展开式中的常数项． 解：由题意，（1+x ）n 展开式中第n 2+1=4项的二项式系数最大，故n ＝6． 故(1+1x 2)(1+x)n =(1+1x 2)(1+x)6=(1+x)6+1x2⋅(1+x)6． 该式中前一项的常数项为：C 60=1，后一项展开式的常数项为1xC 62⋅x 2=C 62=15． 故原式展开式中的常数项为1+15＝16． 故答案为：16．15．关于函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，有下列命题： ①由f （x 1）＝f （x 2）＝0可得x 1﹣x 2必是π的整数倍； ②y ＝f （x ）在区间(−5π13，π13)上单调递增； ③y ＝f （x ）的图象关于点(−π6，0)对称； ④y ＝f （x ）的图象关于直线x =−π6对称．其中正确的命题的序号是 ②③ ．（把你认为正确的命题序号都填上）【分析】利用特殊值判断①；函数的单调性判断②；函数的对称中心判断③；函数的对称轴判断④．解：函数f(x)=4sin(2x +π3)(x ∈R)，①特例：x 1=−π6，x 2=π3，满足f （x 1）＝f （x 2）＝0，但是x 1﹣x 2不是π的整数倍；所以①不正确；②y ＝f （x ）的周期为π，−π2≤2x +π3≤π2，可得−5π12≤x ≤π12是函数的单调增区间，所以函数在区间(−5π13，π13)上单调递增；所以②正确； ③y ＝f （x ）可知x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以③正确；④x =−π6时，f （x ）＝4sin0＝0，所以函数的图象关于点(−π6，0)对称；所以y ＝f （x ）的图象不关于直线x =−π6对称．所以④不正确； 故答案为：②③．16．在几何体P ﹣ABC 中，△PAB 是正三角形，平面PAB ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝2，AB ⊥BC ，则P ﹣ABC 外接球的表面积等于28π3．【分析】通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．解：△PAB 是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB 的中心的垂线上，因为平面PAB ⊥平面ABC ，所以作GO ⊥平面PAB ，AB ⊥BC ，外接球的球心也在平面ABC 的重心的垂线上，作OE ⊥平面ABC 交AC 于E ，O 为外接球的球心，由题意可知EC =√2，GD =13×√32×2=√33，外接球的半径为：OC =(√33)2+(√2)2=√73．外接球的表面积为：4π×(√73)2=28π3．故答案为：28π3．三、解答题17．某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：（Ⅰ）求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度（不要求计算出具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）若规定分数在[120，150）的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．【分析】（Ⅰ）先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；（Ⅱ）用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．解：（Ⅰ）根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：122+1142=118，乙班抽出同学分数的中位数：128+1282=128．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．（Ⅱ）根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则P(A)=C22⋅C83C105⋅C33⋅C114C147=5234．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为5234．18．已知正项数列{a n}的前n项和S n满足4S n＝a n2+2a n．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n =1(a n +1)2，设数列{b n }的前n 项和为T n ．求证：T n ＜14．【分析】（Ⅰ）由4S n =a n 2+2a n ⇒4S n+1=a n+12+2a n+1，两式相减得（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，再由a n ＞0得a n +1﹣a n ＝2，然后求出a 1，说明数列{a n }为等差数列，进而求得通项公式； （Ⅱ）由a n ＝2n ⇒b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，进而证明结论． 解：（Ⅰ）∵4S n =a n 2+2a n ①，∴4S n+1=a n+12+2a n+1②，由②﹣①得，4a n+1=a n+12−a n 2+2a n+1−2a n ，即（a n +1+a n ）（a n +1﹣a n ﹣2）＝0，因为a n +1+a n ＞0，所以a n +1﹣a n ＝2．又由4S 1=a 12+2a 1解得a 1＝2，故数列{a n }为等差数列，公差d ＝2．故a n ＝2（n ﹣1）×2＝2n ； （Ⅱ）证明：∵a n ＝2n ，∴b n =1(2n+1)2=14n 2+4n+1＜14n(n+1)=14(1n −1n+1)，所以T n ＜14(1−12)+14(12−13)+14(13−14)+⋯+14(1n −1n+1)=14(1−1n+1)＜14． 19．如图所示，平面PAB ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是边长为4的正方形，∠APB ＝90°，M ，N 分别是CD ，PB 的中点． （1）证明：CN ∥平面PAM ；（2）若直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，求二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【分析】（1）取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，由已知可知四边形CNEM 为平行四边形，得到CN ∥EM ，再由线面平行的判定可得CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，可得∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM 与APC 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值．【解答】（1）证明：取线段AP 的中点E ，连接EN ，EM ，则EN ∥AB 且EN =12AB ．在正方形ABCD 中，∵M 是CD 的中点，∴CM ∥AB 且CM =12AB ． ∴CM ∥EN ，且CM ＝EN ，则四边形CNEM 为平行四边形． ∴CN ∥EM ，∵CN ⊄平面PAM ，EM ⊂平面PAM ， ∴CN ∥平面PAM ；（2）过P 作PO ⊥AB ，垂足为O ，∵平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ∩平面ABCD ＝AB ，PO ⊂平面PAB ， ∴PO ⊥平面ABCD ．又PA ∩平面ABCD ＝A ，从而AO 为直线PA 在平面ABCD 内的射影， 故∠PAO 为直线PA 与平面ABCD 所成角等于60°，如图，以O 为坐标原点，分别以过O 点且平行于AD 的直线、OB 、OP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，﹣1，0），P （0，0，√3），M （4，1，0），C （4，3，0）， AM →=(4，2，0)，AP →=(0，1，√3)，AC →=(4，4，0)．设m →=(x 1，y 1，z 1)，n →=(x 2，y 2，z 2)分别为平面APM 与APC 的一个法向量， 则{m →⋅AM →=4x 1+2y 1=0m →⋅AP →=y 1+√3z 1=0，取y 1=2√3，得m →=(−√3，2√3，−2)； {n →⋅AC →=4x 2+4y 2=0n →⋅AP →=y 2+√3z 2=0，取y 2=√3，得n →=(−√3，√3，1)． ∴cos ＜m →，n →＞=m →⋅n →|m →|⋅|n →|=3+6+2√7×√19=11√133133． 即二面角M ﹣AP ﹣C 的余弦值为11√133133．20．已知△ABC 的两个顶点坐标是B(−2√3，0)，C(2√3，0)，△ABC 的周长为8+4√3，O 是坐标原点，点M 满足OA →=−2AM →． （Ⅰ）求点M 的轨迹E 的方程；（Ⅱ）设不过原点的直线l 与曲线E 交于P ，Q 两点，若直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的最大值．【分析】（Ⅰ）通过|AB |+|AC |＝8＞|BC |，说明点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．求出a ，b 即可得到点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0）．由OA →=−2AM →，转化求解点M 的轨迹E 的方程．（Ⅱ）直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0，利用韦达定理，结合直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．解：（Ⅰ）已知|AB |+|AC |＝8＞|BC |，所以，点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（不含左右顶点）．因为，2a ＝8，c =2√3，所以，a ＝4，b ＝2． 所以，点A 的轨迹方程为x 216+y 24=1(y ≠0)．设M （x ，y ），A （x 0，y 0），由OA →=−2AM →得，{x 0=2x y 0=2y ，又x 0216+y 024=1． 故，点M 的轨迹E 的方程为(2x)216+(2y)24=1，即x 24+y 2=1(y ≠0)．（Ⅱ）由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0，故可设直线l 的方程为y ＝kx +m （m ≠0），P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）， 由{y =kx +m x 24+y 2=1，消去y 得（1+4k 2）x 2+8kmx +4（m 2﹣1）＝0， 则△＝64k 2m 2﹣16（1+4k 2）（m 2﹣1）＝16（4k 2﹣m 2+1）＞0， 即4k 2﹣m 2+1＞0，且x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4(m 2−1)1+4k2，故y 1y 2=(kx 1+m)(kx 2+m)=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2． ∵直线OP ，PQ ，OQ 的斜率依次成等比数列， ∴y 1x 1⋅y 2x 2=k 2x 1x 2+km(x 1+x 2)+m 2x 1x 2=k 2，即−8k 2m 21+4k 2+m 2=0，又m ≠0，所以k 2=14，即k =±12．由△＞0，及直线OP ，OQ 的斜率存在，得0＜m 2＜2，∵|PQ|=√1+k 2|x 1−x 2|=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√10−5m 2， 点O 到直线l 的距离d =√1+k=5．S △OPQ =12|PQ|⋅d =√m 2(2−m 2)=√1−(m 2−1)2≤1，当m 2＝1时取等号， 此时直线l 的方程为y =±12x ±1，S △OPQ 的最大值为1．21．已知函数f （x ）＝xlnx ，g(x)=12x 2．（Ⅰ）求函数f （x ）在[t ，t +1]（t ＞0）上的最值；（Ⅱ）若对b ＞a ＞0，总有m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）成立，求实数m 的取值范围．【分析】（Ⅰ）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；（Ⅱ）由m [g （b ）﹣g （a ）]＞f （b ）﹣f （a ）等价于mg （b ）﹣f （b ）＞mg （a ）﹣f （a ），构造函数h(x)=mg(x)−f(x)=m2x 2−xlnx ，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．解：（Ⅰ）因为，f '（x ）＝lnx +1单调递增；令f '（x ）＝lnx +1＝0得，x =1e． 当x ∈(0，1e)时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x∈(1e，+∞)时，f'（x）＞0，f（x）单调递增．①当0＜t＜t+1＜1e时，满足条件的t不存在；②当0＜t＜1e＜t+1即0＜t＜1e时，f(x)min=f(1e)=−1e；③当1e≤t＜t+1即t≥1e时，f（x）min＝f（t）＝tlnt．（Ⅱ）因为，m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）等价于mg（b）﹣f（b）＞mg（a）﹣f（a），令h(x)=mg(x)−f(x)=m2x2−xlnx，因为b＞a＞0，总有m[g（b）﹣g（a）]＞f（b）﹣f（a）成立，所以，h（x）在（0，+∞）上单调递增．问题化为h'（x）＝mx﹣lnx﹣1≥0对x∈（0，+∞）恒成立．即m≥lnx+1x对x∈（0，+∞）恒成立．令φ(x)=lnx+1x，则φ′(x)=−lnxx2．由φ′(x)=−lnxx2=0得，x＝1．当x∈（0，1）时，φ'（x）＞0，φ（x）递增，当x∈（1，+∞）时，φ'（x）＜0，φ（x）递减，φ（x）max＝φ（1）＝1，故m的取值范围是：[1，+∞）．一、选择题22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为{x=3+√32ty=12t（t为参数），在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ．（Ⅰ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；（Ⅱ）设点M是曲线C上任意一点，求△MAB面积的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2＝4，将直线l的参数方程{x=3+√32ty=12t代入曲线C的直角坐标方程得：(3+√32t−2)2+(12t)2=4，化简得t2+√3t−3=0，设A，B的参数分别为t1，t2，由韦达定理得：t1+t2=−√3，于是t P=t1+t22=−√32．设P（x0，y0），则{x0=3+√32×(−√32)=94y0=12×(−√32)=−√34故，点P的直角坐标为P(94，−√34 )．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：t1+t2=−√3，t1•t2＝﹣3所以，|AB|=|t1−t2|=√(t1+t2)2−4t1t2=√15又直线l的普通方程为x−√3y−3=0，圆心C（2，0）到直线l的距离为d=|2−3|√1+(√3)2=12，圆半径r＝2．所以，点M到直线l的距离的最大值为h max=d+r=52．因此，△MAB面积的最大值为：S=12|AB|⋅h max=12√15×52=5√154．[选修4-5：不等式选讲]23．已知不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足a+b+c＝M．求证：12a+b +3b+2c≥2+√3．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式的性质得|2x+1|+|2x﹣1|≥2，把不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，求解绝对值的不等式得答案；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a+b+c＝1，配凑使用柯西不等式，得12a+b+3b+2c=12[(2a+b)+(b+2c)](12a+b +32b+c)，则结论得证．【解答】（Ⅰ）解：∵|2x+1|+|2x﹣1|≥|（2x+1）﹣（2x﹣1）|＝2，∴不等式|2x+1|+|2x﹣1|≥|m+1|对于任意的x∈R恒成立转化为|m+1|≤2，解得﹣3≤m≤1，∴m的取值范围是[﹣3，1]；（Ⅱ）证明：∵M＝1，∴a+b+c＝1，又a ，b ，c 均为正实数，配凑使用柯西不等式， 得12a+b +3b+2c=12[(2a +b)+(b +2c)](12a+b+3b+2c)≥12(√2a +b ⋅√12a+b +√b +2c ⋅√3b+2c )2 =12(1+√3)2=2+√3． 当且仅当3(2a+b)b+2c =b+2c 2a+b时上式等号成立．∴12a+b+3b+2c≥2+√3．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案-全国卷1
2020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学试题及答案-全国卷12020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）如果事件A B ，互斥，那么球的表⾯积公式()()()P A B P A P B +=+24πS R =如果事件A B ，相互独⽴，那么其中R 表⽰球的半径()()()P A B P A P B =球的体积公式如果事件A 在⼀次试验中发⽣的概率是P ，那么 34π3V R =n 次独⽴重复试验中恰好发⽣k 次的概率其中R 表⽰球的半径()(1)(01,2)k kn k n n P k C P P k n -=-=，，，⼀、选择题 1．函数y =）A ．{}|0x x ≥ B ．{}|1x x ≥ C ．{}{}|10x x ≥D ．{}|01x x ≤≤2．汽车经过启动、加速⾏驶、匀速⾏驶、减速⾏驶之后停车，若把这⼀过程中汽车的⾏驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（）3．在ABC △中，AB =c ，AC =b ．若点D 满⾜2BD DC =，则AD =（） A ．2133+b cB ．5233-c b C ．2133-b cD ．1233+b c 4．设a ∈R ，且2()a i i +为正实数，则a =（） A ．2B ．1C ．0D ．1-5．已知等差数列{}n a 满⾜244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（） A ．138B ．135C ．95D ．236．若函数(1)y f x =-的图像与函数ln 1y =的图像关于直线y x =对称，则()f x =A ．B ．C ．D ．（）A ．e 2x-1B ．e 2xC ．e 2x+1D ． e 2x+27．设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（） A ．2B ．12C ．12- D ．2-8．为得到函数πcos 23y x ??=+的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（） A ．向左平移5π12个长度单位 B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位9．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()() 0f x f x x--<的解集为（）A ．(10)(1)-+∞，，B ．(1)(01)-∞-，，C ．(1)(1)-∞-+∞，，D ．(10)(01)-，，10．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b+≥ 11．已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底⾯边长都相等，1A 在底⾯ABC 内的射影为ABC △的中⼼，则1AB 与底⾯ABC 所成⾓的正弦值等于（）A ．13B．3C．3D ．2312．如图，⼀环形花坛分成A B C D ，，，四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块⾥种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（） A ．96 B ．84 C ．60 D ．482020年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试理科数学（必修+选修Ⅰ）⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．） 13．13．若x y ，满⾜约束条件03003x y x y x ?+?-+，，，≥≥≤≤则2z x y =-的最⼤值为．14．已知抛物线21y ax =-的焦点是坐标原点，则以抛物线与两坐标轴的三个交点为顶点的三⾓形⾯积为．15．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离⼼率e = ．16．等边三⾓形ABC 与正⽅形ABDE 有⼀公共边AB ，⼆⾯⾓C AB D --的余弦值为3，M 、N 分别是AC 、BC 的中点，则EM 、AN 所成⾓的余弦值等于．三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本⼩题满分10分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设ABC △的内⾓A B C ，，所对的边长分别为a 、b 、c ，且3cos cos 5a Bb Ac -=．（Ⅰ）求tan cot A B 的值；（Ⅱ）求tan()A B -的最⼤值． 18．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）四棱锥A BCDE -中，底⾯BCDE 为矩形，侧⾯ABC ⊥底⾯BCDE ，2BC =，CD =AB AC =．（Ⅰ）证明：AD CE ⊥；（Ⅱ）设CE 与平⾯ABE 所成的⾓为45，求⼆⾯⾓C AD E --的⼤⼩．CDE AB19．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知函数32()1f x x ax x =+++，a ∈R ．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）设函数()f x 在区间2133??--，内是减函数，求a 的取值范围． 20．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）已知5只动物中有1只患有某种疾病，需要通过化验⾎液来确定患病的动物．⾎液化验结果呈阳性的即为患病动物，呈阴性的即没患病．下⾯是两种化验⽅法：⽅案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为⽌．⽅案⼄：先任取3只，将它们的⾎液混在⼀起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只，然后再逐个化验，直到能确定患病动物为⽌；若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．（Ⅰ）求依⽅案甲所需化验次数不少于依⽅案⼄所需化验次数的概率；（Ⅱ）ξ表⽰依⽅案⼄所需化验次数，求ξ的期望． 21．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）双曲线的中⼼为原点O ，焦点在x 轴上，两条渐近线分别为12l l ，，经过右焦点F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点．已知OA AB OB 、、成等差数列，且BF 与FA 同向．（Ⅰ）求双曲线的离⼼率；（Ⅱ）设AB 被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的⽅程． 22．（本⼩题满分12分）（注意：在试题卷上作答⽆效．．．．．．．．．）设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满⾜101a <<，1()n n a f a +=．（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，是增函数；（Ⅱ）证明：11n n a a +<<；（Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥．证明：1k a b +>．参考答案⼀、选择题 1、C 2、A 3、A 4、D 5、C 6、B 7、D 8、A 9.D 10.D ． 11.B ． 12.B. ⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.答案：9．14. 答案：2.15.答案：38. 16.答案：16. 三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明，证明过程或演算步骤． 17.解析：（Ⅰ）由正弦定理得a=CBc b C A c sin sin ,sin sin =acosB-bcosA=(A CB C A cos sin sin cos sin sin ?-?)c=c B A AB B A ?+-)sin(cos sin cos sin=c B A B A BA B A ?+-sin cos cos sin sin cos cos sin=1cot tan )1cot (tan +-B A cB A依题设得c B A c B A 531cot tan )1cot (tan =+-解得tanAcotB=4(II)由（I ）得tanA=4tanB ，故A 、B 都是锐⾓，于是tanB>0 tan(A-B)=B A BA tan tan 1tan tan +-=B B 2tan 41tan 3+ ≤43，且当tanB=21时，上式取等号，因此tan(A-B)的最⼤值为4318．解：(I)作AO ⊥BC ，垂⾜为O ，连接OD ，由题设知，AO ⊥底⾯BCDE ，且O 为BC 中点，由21==DE CD CD OC 知，Rt △OCD ∽Rt △CDE ，从⽽∠ODC=∠CED ，于是CE ⊥OD ，由三垂线定理知，AD ⊥CE（II ）由题意，BE ⊥BC ，所以BE ⊥侧⾯ABC ，⼜BE ?侧⾯ABE ，所以侧⾯ABE ⊥侧⾯ABC 。
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷(理科)(含答案解析)
2020年云南省曲靖市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1.设集合，，则A. B. 2，C. 2，3，D. 2，3，4，2.已知复数z满足，则A. 1B.C. 2D. 33.已知，则A. B. C. D.4.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为A. 7B. 9C. 10D. 115.已知向量，，，若，则与夹角是A. B. C. D.6.在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某鳖臑的三视图，则该鳖臑的表面积为A. 6B. 21C. 27D. 547.已知x，y满足，的最大值为2，则直线过定点A. B. C. D.8.设，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是注：若，则，A. 7539B. 6038C. 7028D. 65879.设函数满足，若存在零点，则下列选项中一定错误的是A. B. C. D.10.若双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则C的离心率为A. B. C. D. 211.已知的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，且，则的面积为A. 或B.C.D.12.，对于，均有，则实数a的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）13.若抛物线的准线经过直线与坐标轴的一个交点，则______．14.已知二项式展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中常数项为______．15.关于函数，有下列命题：由可得必是的整数倍；在区间上单调递增；的图象关于点对称；的图象关于直线对称．其中正确的命题的序号是______把你认为正确的命题序号都填上16.在几何体中，是正三角形，平面平面ABC，且，，则外接球的表面积等于______．三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）17.某数学教师在甲、乙两个平行班采用“传统教学”和“高效课堂”两种不同的教学模式进行教学实验．为了解教改实效，期中考试后，分别从两个班中各随机抽取20名学生的数学成绩进行统计，得到如图的茎叶图：Ⅰ求甲、乙两班抽取的分数的中位数，并估计甲、乙两班数学的平均水平和分散程度不要求计算出具体值，给出结论即可；Ⅱ若规定分数在的为良好，现已从甲、乙两班成绩为良好的同学中，用分层抽样法抽出12位同学进行问卷调查，求这12位同学中恰含甲、乙两班所有140分以上的同学的概率．18.已知正项数列的前n项和满足．Ⅰ求数列的通项公式；Ⅱ记，设数列的前n项和为求证：．19.如图所示，平面平面ABCD，四边形ABCD是边长为4的正方形，，M，N分别是CD，PB的中点．证明：平面PAM；若直线PA与平面ABCD所成角等于，求二面角的余弦值．20.已知的两个顶点坐标是，，的周长为，O是坐标原点，点M满足．Ⅰ求点M的轨迹E的方程；Ⅱ设不过原点的直线l与曲线E交于P，Q两点，若直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求面积的最大值．21.已知函数，．Ⅰ求函数在上的最值；Ⅱ若对，总有成立，求实数m的取值范围．22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数，在以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为．Ⅰ若直线l与曲线C交于A，B两点，求线段AB的中点P的直角坐标；Ⅱ设点M是曲线C上任意一点，求面积的最大值．23.已知不等式对于任意的恒成立．Ⅰ求实数m的取值范围；Ⅱ若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足求证：．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：0，1，；．故选：A．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及交集的运算．2.答案：B解析：解：，故，故选：B．求出z，求出z的模即可．本题考查了复数求模问题，考查复数的运算，是一道基础题．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系求得的值，再利用二倍角公式，求得的值．【解答】解：，即，平方可得，，则，故选B．4.答案：B解析：【分析】本题考查程序框图，考查循环语句，是基础题．模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，S的值，当时，满足条件，退出循环，输出i的值为9，从而得解．【解答】解：模拟程序的运行，可得：，否；，否；，否；，否；，是，输出．故选B．5.答案：C解析：解：由题意可得，因为，所以，即，所以，设向量与夹角，所以，因为，所以．故选：C．由已知结合向量数量积的性质及向量的夹角公式即可求解．本题主要考查了向量数量积的性质的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．6.答案：C解析：解：根据几何体的三视图：得知：该几何体是由一个底面以3和4为直角边的直角三角形和高为3的四面体构成，所以：，，故选：C．直接利用三视图的转换的表面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图的应用，几何体的表面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.答案：A解析：解：画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分所示；由图可知，C为目标函数取得最大值的最优解，联立，解得，所以，即；所以，代入，得，即，由，解得．所以直线必过定点．故选：A．由约束条件作出可行域，得到目标函数取得最大值的最优解；求出最优解的坐标，代入目标函数得到a，b的关系；再代入直线由直线系方程得答案．本题考查了简单的线性规划应用问题，也考查了数形结合的解题思想与数学转化方法，是中档题．8.答案：D解析：【分析】本题考查了正态分布、几何概型，属于基础题．根据正态分布的定义，可以求出阴影部分的面积，利用几何概型即可计算．【解答】解：，，，则，则，阴影部分的面积为：．正方形ABCD中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选D．9.答案：C解析：解：函数函数的定义域为，函数是增函数，满足，说明，，，有1个是负数一定是两个正数或3个负数，由函数的零点判断定理可知，函数的零点在，在，在，不可能在．故选：C．利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可．本题考查函数的零点判断定理的应用，是基本知识的考查，基础题．10.答案：D解析：解：设双曲线C：的一条渐近线不妨为：，圆的圆心，半径为：2，双曲线C：的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，可得圆心到直线的距离为：，解得：，可得，即．故选：D．通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，圆的方程的应用，考查计算能力．11.答案：D解析：解：，，，，即，或．若，则，，故，与，矛盾．，由余弦定理得，，．故选：D．根据正弦定理和两角和的正弦公式化简条件得出sin A的值，利用余弦定理计算bc，代入面积公式即可求出三角形的面积．本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积计算，属于中档题．12.答案：A解析：【分析】本题考查函数的导数的应用，切线斜率的求法，函数与方程的综合应用，考查数形结合以及转化思想的应用．对于，均有，在坐标系中，画出函数与的图象，利用函数的导数求解切线的斜率，推出结果．【解答】解：对于，则，在坐标系中，画出函数与的图象，如图：对于，均有，就是函数的图象都在图象的上方，则可得，设切点坐标，可得，可得，此时，解得，所以切线的斜率为：．可得．故选：A．13.答案：2解析：解：抛物线的准线：，经过直线与坐标轴的一个交点，可得：，解得．故答案为：2．判断抛物线的准线方程，利用直线与x轴的交点在抛物线的准线上，求解即可．本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查．14.答案：16解析：解：由题意，展开式中第项的二项式系数最大，故．故．该式中前一项的常数项为：，后一项展开式的常数项为．故原式展开式中的常数项为．故答案为：16．因为只有第四项的二项式系数最大，所以第四项是唯一中间项，由此求出n的值；然后再将拆成两个式子，求出展开式中的常数项．本题考查二项式系数的性质，通项法求常数项的方法．属于基础题．15.答案：解析：解：函数，特例：，，满足，但是不是的整数倍；所以不正确；的周期为，，可得是函数的单调增区间，所以函数在区间上单调递增；所以正确；可知时，，所以函数的图象关于点对称；所以正确；时，，所以函数的图象关于点对称；所以的图象不关于直线对称．所以不正确；故答案为：．利用特殊值判断；函数的单调性判断；函数的对称中心判断；函数的对称轴判断．本题考查命题的真假的判断与应用，三角函数的图象与性质的判断，考查转化思想以及计算能力，是中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查平面与平面垂直的判断与性质，几何体的外接球的表面积的求法，考查空间想象能力和计算能力．通过平面与平面垂直，判断外接球的球心的位置，求出外接球的半径，即可求解外接球的表面积．【解答】解：是正三角形，所以三棱锥的外接球的球心一定在三角形PAB的过中心的垂线上，作出的中心G，作平面PAB，因为，取AC的中点为E，外接球的球心也在过E 点的垂线上，，O为外接球的球心，由题意可知，，外接球的半径为：．外接球的表面积为：．故答案为：．17.答案：解：Ⅰ根据茎叶图得：甲班抽出同学分数的中位数：，乙班抽出同学分数的中位数：．乙班学生数学考试分数的平均水平高于甲班学生数学考试分数的平均水平；甲班学生数学考试分数的分散程度高于乙班学生数学考试分数的分散程度．Ⅱ根据茎叶图可知：甲、乙两班数学成绩为优秀的人数分别为10、14，若用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人．设“抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学”为事件A，则．故抽出的12人中恰含有甲、乙两班的所有140分以上的同学的概率为．解析：Ⅰ先由茎叶图得到分数的中位数，由茎叶图看出甲乙的平均水平和分散程度，加以分析即可；Ⅱ用分层抽样法抽出12人，则应从甲、乙两班各抽出5人、7人，再由排列组合确定出概率．本题考查由茎叶图求中位数，排列组合求概率，属于基础题．18.答案：解：Ⅰ，，由得，，即，因为，所以又由解得，故数列为等差数列，公差故；Ⅱ证明：，，所以．解析：Ⅰ由，两式相减得，再由得，然后求出，说明数列为等差数列，进而求得通项公式；Ⅱ由，进而证明结论．本题主要考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法在数列求和中的应用、不等式的放缩等基础知识，属于中档题．19.答案：证明：取线段AP的中点E，连接EN，EM，则且．在正方形ABCD中，是CD的中点，且．，且，则四边形CNEM为平行四边形．，平面PAM，平面PAM，平面PAM；过P作，垂足为O，平面平面ABCD，平面平面，平面PAB，平面ABCD．又平面，从而AO为直线PA在平面ABCD内的射影，故为直线PA与平面ABCD所成角等于，如图，以O为坐标原点，分别以过O点且平行于AD的直线、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则，0，，1，，3，，，，．设，分别为平面APM与APC的一个法向量，则，取，得；，取，得．．即二面角的余弦值为．解析：取线段AP的中点E，连接EN，EM，由已知可知四边形CNEM为平行四边形，得到，再由线面平行的判定可得平面PAM；过P作，垂足为O，可得为直线PA与平面ABCD所成角等于，以O为坐标原点，分别以过O点且平行于AD的直线、OB、OP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面APM与APC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．20.答案：解：Ⅰ已知，所以，点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点．因为，，，所以，，．所以，点A的轨迹方程为．设，，由得，，又．故，点M的轨迹E的方程为，即．Ⅱ由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为，，，由，消去y得，则，即，且，，故．直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，，即，又，所以，即．由，及直线OP，OQ的斜率存在，得，，点O到直线l的距离．，当时取等号，此时直线l的方程为，的最大值为1．解析：Ⅰ通过，说明点A的轨迹是以B，C为焦点的椭圆不含左右顶点求出a，b即可得到点A的轨迹方程为设，由，转化求解点M的轨迹E的方程．Ⅱ直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，，，由，消去y得，利用韦达定理，结合直线OP，PQ，OQ的斜率依次成等比数列，求出直线的斜率，求出弦长，通过点到直线的距离表示三角形的面积求解即可．本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．21.答案：解：Ⅰ因为，单调递增；令得，．当时，，单调递减；当时，，单调递增．当时，满足条件的t不存在；当即时，；当即时，．Ⅱ因为，等价于，令，因为，总有成立，所以，在上单调递增．问题化为对恒成立．即对恒成立．令，则由得，．当时，，递增，当时，，递减，，故m的取值范围是：．解析：Ⅰ先对函数求导，然后结合导数与单调性关系分析函数的单调性及极值，进而可求最值；Ⅱ由等价于，构造函数，结合已知不等式进行分离常量，转化为求解相应函数的最值．本题主要考查了导数研究函数的最值及取得的条件及由不等式的恒成立求解参数范围问题，分离常数是常见的处理方法．22.答案：解：Ⅰ曲线C的直角坐标方程为，将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程得：，化简得，设A，B的参数分别为，，由韦达定理得：，于是设，则故，点P的直角坐标为．Ⅱ由Ⅰ知：，所以，又直线l的普通方程为，圆心到直线l的距离为，圆半径所以，点M到直线l的距离的最大值为．因此，面积的最大值为：．解析：Ⅰ直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用伸缩变换的应用求出函数的关系式，再利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：Ⅰ解：，不等式对于任意的恒成立转化为，解得，的取值范围是；Ⅱ证明：，，又a，b，c均为正实数，配凑使用柯西不等式，得．当且仅当时上式等号成立．．解析：Ⅰ利用绝对值不等式的性质得，把不等式对于任意的恒成立转化为，求解绝对值的不等式得答案；Ⅱ由Ⅰ可得，配凑使用柯西不等式，得，则结论得证．本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题的求解方法，训练了利用柯西不等式求最值，是中档题．。
2020年普通高等学校招生全国统一考试数学试题 理(全国卷3,含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）理科数学注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│，B ={}(,)x y y x =│，则A I B 中元素的个数为 A ．3B ．2C ．1D ．02．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣= A ．12B ．2 C ．2 D ．23．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 4．(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为A ．-80B ．-40C ．40D ．805．已知双曲线C ：22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为5y x =,且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则C 的方程为A ．221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为−2πB ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称 C ．f (x +π)的一个零点为x =6πD ．f (x )在(2π,π)单调递减 7．执行下面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为A ．5B ．4C ．3D ．28．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为 A ．πB ．3π4C ．π2D ．π49．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．-24B ．-3C ．3D ．810．已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为ABC．3D ．1311．已知函数211()2()x x f x x x a ee --+=-++有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．112．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP u u u r =λ AB u u u r +μAD u u u r，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．CD ．2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年高考理科数学全国2卷真题及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的。
1. 已知集合{}2,1,0,1,2,3U=--，{}-1,0,1A=，{}1,2B=，则()UA B=A. {} 2,3 -B. {} 2,2,3 -C. {} 2,1,0,3 --D. {} 2,1,0,2,3 --2. 若α为第四象限角，则A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作。
已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,。
志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者A．10名B．18名C．24名D．32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块。
下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次增加9块。
已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）A ．3699块B ．3474块C ．3402块D ．3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为 A.55 B.255 C.355 D. 4556.数列()n a 中，12a =，m n m n a a a +=，若1551210...22k k k a a a ++++++=-，则k = A. 2 B. 3 C. 4 D. 57.右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为A ．EB ．FC ．GD ．H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点。
2020届云南省曲靖一中高三二模理科数学试题答案详解(19页)
2020届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届届一、选择题1.已知集合(){}lg 2A x y x ==-，集合1244x B x⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =I （ ） A. {}2x x >- B. {}22x x -<< C. {}22x x -≤< D. {}2x x < 【答案】C【解析】【分析】求出集合的等价条件,利用交集的定义进行求解即可. 【详解】解：∵{}2A x x =<,{}22B x x =-≤≤, ∴{}22A B x x ⋂=-≤<,故选：C.【点睛】本题主要考查了对数的定义域与指数不等式的求解以及集合的基本运算,属于基础题. 2.若复数221a i i++（a R ∈）是纯虚数，则复数22a i +在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 【答案】B【解析】【分析】 化简复数221a i i++，由它是纯虚数，求得a ，从而确定22a i +对应的点的坐标． 【详解】221a i i ++2()(1)1(1)(1)(1)a i i a a i i i +-==++-+-是纯虚数，则1010a a +=⎧⎨-≠⎩，1a =-， 2222a i i +=-+，对应点为(2,2)-，在第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义．本题属于基础题．3.定义运算()()a a b a b b a b ≤⎧⊕=⎨>⎩，则函数()12x f x =⊕的图象是（ ）．A. B.C. D.【答案】A【解析】【详解】由已知新运算a b ⊕的意义就是取得,a b 中的最小值，因此函数()1,0122,0x x x f x x >⎧=⊕=⎨≤⎩， 只有选项A 中的图象符合要求，故选A.4.抛物线方程为24y x =，一直线与抛物线交于A B 、两点，其弦AB 的中点坐标为(1,1)，则直线的方程为（ ）A. 210x y --=B. 210x y +-=C. 210x y -+=D. 210x y ---= 【答案】A【解析】【分析】 设()11,A x y ，()22,B x y ，利用点差法得到1212422y y x x -==-，所以直线AB 的斜率为2，又过点(1,1)，再利用点斜式即可得到直线AB 的方程.【详解】解：设()()1122,,,A x y B x y ，∴122y y +=，又21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式相减得：()2212124y y x x -=-， ∴()()()1212124y y y y x x +-=-，∴1212422y y x x -==-， ∴直线AB 斜率为2，又∴过点(1,1)，∴直线AB 的方程为：12(1)y x -=-，即2 10x y --=，故选：A .【点睛】本题考查直线与抛物线相交的中点弦问题，解题方法是“点差法”，即设出弦的两端点坐标，代入抛物线方程相减后可把弦所在直线斜率与中点坐标建立关系．5.在明代程大位所著的《算法统宗》中有这样一首歌谣，“放牧人粗心大意，三畜偷偷吃苗青，苗主扣住牛马羊，要求赔偿五斗粮，三畜户主愿赔偿，牛马羊吃得异样．马吃了牛的一半，羊吃了马的一半．”请问各畜赔多少？它的大意是放牧人放牧时粗心大意，牛、马、羊偷吃青苗，青苗主人扣住牛、马、羊向其主人要求赔偿五斗粮食（1斗=10升），三畜的主人同意赔偿，但牛、马、羊吃的青苗量各不相同．马吃的青苗是牛的一半，羊吃的青苗是马的一半．问羊、马、牛的主人应该分别向青苗主人赔偿多少升粮食？（ ） A. 2550100,,777B. 252550,,1477C. 100200400,,777D. 50100200,,777【答案】D【解析】【分析】 设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,易知123,,a a a 成等比数列,1232,50q a a a =++=,结合等比数列的性质可求出答案.【详解】设羊户赔粮1a 升,马户赔粮2a 升,牛户赔粮3a 升,则123,,a a a 成等比数列,且公比1232,50q a a a =++=,则1(1a q +)250q +=,故1250501227a ==++,2110027a a ==,23120027a a ==. 故选:D . 【点睛】本题考查数列与数学文化,考查了等比数列的性质,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.6.若P 是q ⌝的充分不必要条件，则⌝p 是q 的（ ）A. 充充充充充充充B. 充充充充充充充C. 充充充充D. 充充充充充充充充充充的【答案】B【解析】【详解】试题分析：通过逆否命题的同真同假，结合充要条件的判断方法判定即可．由p 是q ⌝的充分不必要条件知“若p 则q ⌝”为真，“若q ⌝则p”为假，根据互为逆否命题的等价性知，“若q 则p ⌝”为真，“若p ⌝则q”为假，故选B ．考点：逻辑命题7.阅读下侧程序框图，为使输出的数据为31，则①处应填的数字为A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B【解析】考点：程序框图． 分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环求S 的值，我们用表格列出程序运行过程中各变量的值的变化情况，不难给出答案．解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：S i 是否继续循环循环前 1 1/第一圈3 2 是第二圈7 3 是第三圈15 4 是第四圈31 5 否故最后当i ＜5时退出，故选B ．8.已知,x y 满足001x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩………，则32y x --的取值范围为（ ） A. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. (1,2]C. (,0][2,)-∞+∞UD. (,1)[2,)-∞⋃+∞ 【答案】C【解析】【分析】 设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)x y 到点(2,3)的斜率，利用数形结合即可得到结论. 【详解】解：设32y k x -=-，则k 的几何意义为点(,)P x y 到点(2,3)D 的斜率， 作出不等式组对应的平面区域如图：由图可知当过点D 的直线平行于x 轴时，此时302y k x -==-成立； 32y k x -=-取所有负值都成立； 当过点A 时，32y k x -=-取正值中的最小值，1(1,1)0x A x y =⎧⇒⎨-=⎩，此时3132212y k x --===--；故32y x --的取值范围为(,0][2,)-∞+∞U ； 故选：C .【点睛】本题考查简单线性规划非线性目标函数函数问题，解题时作出可行域，利用目标函数的几何意义求解是解题关键．对于直线斜率要注意斜率不存在的直线是否存在．9.已知点(3,0),(0,3)A B -，若点P 在曲线y =PAB △面积的最小值为（ ）A. 6B. 3C.92- D. 92+【答案】B【解析】【分析】求得直线AB 的方程，画出曲线表示的下半圆，结合图象可得P 位于(1,0)-，结合点到直线的距离公式和两点的距离公式，以及三角形的面积公式，可得所求最小值.【详解】解：曲线y =O 为圆心，1为半径的下半圆(包括两个端点)，如图， 直线AB 的方程为30x y -+=，可得||AB =，由圆与直线的位置关系知P 在(1,0)-时，P 到直线AB距离最短，即为=， 则PAB △的面积的最小值为132⨯=. 故选：B .【点睛】本题考查三角形面积最值，解题关键是掌握直线与圆的位置关系，确定半圆上的点到直线距离的最小值，这由数形结合思想易得．的10.已知双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与双曲线Γ的左、右两支分别交于,A B 两点，延长BF 交右支于C 点，若,||3||AF FB CF FB ⊥=，则双曲线Γ的离心率是（ ）A. 3B. 32C. 53D. 2【答案】D【解析】【分析】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，'Rt CBF ∆和'Rt FBF ∆中，利用勾股定理计算得到答案.【详解】设双曲线的左焦点为'F ，连接'BF ，'AF ，'CF ，设BF x =，则3CF x =，'2BF a x =+，'32CF x a =+，AF FB ⊥，根据对称性知四边形'AFBF 为矩形，'Rt CBF ∆中：222''CF CB BF =+，即()()()2223242x a x a x +=++，解得x a =；'Rt FBF ∆中：222''FF BF BF =+，即()()22223c a a =+，故2252c a =，故e . 故选：D .【点睛】本题考查了双曲线离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.11.已知()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞，当正数a ，b 满足2132m a b a b+=++时，则74a b +的最小值为（ ）A. 94B. 5C. 54+D. 9【答案】A【解析】【分析】利用()22log 217y x x =-+的值域为[),m +∞,求出m ,再变形,利用1的代换,即可求出74a b +的最小值.【详解】解：∵()()2222log 217log 116y x x x ⎡⎤=-+=-+⎣⎦的值域为[),m +∞, ∴4m =, ∴414622a b a b+=++, ∴()()141746224622a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++++⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭ ()()4216219554426244a b a b a b a b +⎡⎤+=++≥⨯+=⎢⎥++⎣⎦, 当且仅当()4262262a b a b a b a b ++=++时取等号, ∴74a b +的最小值为94. 故选：A. 【点睛】本题主要考查了对数复合函数的值域运用,同时也考查了基本不等式中“1的运用”,属于中档题.12.已知函数())f x x R =∈，若关于x 方程()10f x m -+=恰好有3个不相等的实数根，则实数m 的取值范围为（ ）A. 1)B. (C. (11,1)e + D. 1() 【答案】D【解析】【分析】讨论0x >，0x =，0x <三种情况，求导得到单调区间，画出函数图像，根据图像得到答案.【详解】当0x >时，()x f x e =，故'()f x =10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递减，且122f e⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当0x =时，()00f =；当0x <时，()x f x e=，'()0f x =<，函数单调递减；如图所示画出函数图像，则1012m f ⎛⎫<-<=⎪⎝⎭，故()1m ∈. 故选：D .【点睛】本题考查了利用导数求函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和应用能力.二、填空题（共4小题） 13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 项的系数为_______． 【答案】40【解析】【分析】根据二项定理展开式，求得r 的值，进而求得系数．【详解】根据二项定理展开式的通项式得()521035522rr r r r r C x C x x --⎛⎫= ⎪⎝⎭ 所以1034r -= 充解得2r =所以系数225240C ⨯=【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．14.如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅u u u v u u u v的值为_____.【答案】-3【解析】【分析】根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅u u u r u u u r 值．【详解】∵AB ＝2，AD ＝1，∴()()AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()()AB AD AD AB =+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r 22AD AB =-u u u r u u u r＝1﹣4＝﹣3．故答案为：﹣3．【点睛】本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．15.在直三棱柱111ABC A B C -内有一个与其各面都相切的球O 1，同时在三棱柱111ABC A B C -外有一个外接球2O .若AB BC ⊥,3AB =，4BC =,则球2O 的表面积为______.【答案】29π【解析】【分析】先求出球O 1的半径，再求出球2O 的半径，即得球2O 的表面积.【详解】解：AB BC ⊥Q ,3AB =，4BC =的222AC AB BC ∴=+,5AC ∴=，设球O 1的半径为r ，由题得11345)3422r r r ++=⨯⨯（，1r ∴= 所以棱柱的侧棱为22r =.所以球2O的表面积为2429ππ⋅=. 故答案为：29π【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题，考查球的表面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题.16.在数列{}n a 中，111,2n n a a n a +==-，则数列{}n a 的通项公式n a =_____. 【答案】,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数【解析】 【分析】由题意可得112(2)n n a a n +--=…，又11a =，数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列，对n 分奇数和偶数两种情况，分别求出n a ，从而得到数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数.【详解】解：∵12n n a n a +=-，∴12n n a a n ++=①，12(1)(2)n n a a n n -+=-…②， ①﹣②得：112(2)n n a a n +--=…，又∵11a =， ∴数列{}n a 的奇数项为首项为1，公差为2的等差数列， ∴当n 为奇数时，n a n =，当n 为偶数时，则1n -为奇数，∴12(1)2(1)(1)1n n a n a n n n -=--=---=-，∴数列{}n a 的通项公式,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，故答案为：,1,n n n n ⎧⎨-⎩为奇数为偶数.【点睛】本题考查求数列的通项公式，解题关键是由已知递推关系得出112(2)n n a a n +--=…，从而确定数列的奇数项成等差数列，求出通项公式后再由已知求出偶数项，要注意结果是分段函数形式．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.）17.已知函数21()cos ,()222x f x x x R =+-∈. （1）当[0,]x π∈时，求函数的值域；（2）ABC V 的角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且c =()1f C =，求AB 边上的高h 的最大值.【答案】（1）1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）32【解析】 【分析】（1）由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得出结论.（2）由题意利用余弦定理､三角形的面积公式､基本不等式求得ab 的最大值，可得AB 边上的高h 的最大值.【详解】解：（1）∵函数211cos 1()cos sin 22226x x f x x x x π+⎛⎫=+-=+-=+ ⎪⎝⎭， 当[0,]x π∈时，7,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，1sin ,162x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.（2）ABC V 中，c =，()1sin 6f C C π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭∴3c π=.由余弦定理可得2222232cos c a b ab C a b ab ab ==+-⋅=+-…，当且仅当a b =时，取等号， 即ab 的最大值为3.再根据11sin 223ABC S h ab π==⋅V ，故当ab 取得最大值3时，h 取得最大值为32.【点睛】本题考查降幂公式、两角和的正弦公式，考查正弦函数的性质，余弦定理，三角形面积公式，所用公式较多，选用恰当的公式是解题关键，本题属于中档题．18.如图，三棱锥P ABC -中，PA PB PC CA CB AC BC =====⊥（1）证明：面PAB ⊥面ABC ； （2）求二面角C PA B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，证明PO ⊥平面ABC 得到答案.（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量，平面PAC的一个法向量为n =r，计算夹角得到答案.【详解】（1）取AB 中点O ，连结,PO OC ，,PAPB PO AB ∴⊥Q ＝，2AB ==，PB AP ==Q1PO CO ∴==，POC ∴∠为直角，PO OC ∴⊥，PO ∴⊥平面ABC ，PO ⊂平面PAB ，充面PAB ⊥面ABC .（2）如图所示，建立空间直角坐标系O xyz －，则(1,0,0),(0,1,0)A P C ， 可取(0,1,0)m OC ==u r u u u r为平面PAB 的一个法向量.设平面PAC 的一个法向量为(,,)n l m n =r.则0,0PA n AC n ⋅=⋅=u u u r r u u u r r，其中(1,0,(1,1,0)PA AC ==-u u u r u u u r，10,10.m ⎧-=⎪∴⎨-+=⎪⎩,.n m l ⎧=⎪∴⎨⎪=⎩，不妨取l =，则n =r . cos ,||||m n m n m n ⋅〈〉=u r ru r r u rr ==. C PA B --Q 为锐二面角，充二面角C PA B --.【点睛】本题考查了面面垂直，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.2018年反映社会现实的电影《我不是药神》引起了很大的轰动，治疗特种病的创新药研发成了当务之急．为此，某药企加大了研发投入，市场上治疗一类慢性病的特效药品A 的研发费用x （百万元）和销量y （万盒）的统计数据如下：（1）求y 与x 的相关系数r 精确到0.01，并判断y 与x 的关系是否可用线性回归方程模型拟合？（规定：0.75r ≥时，可用线性回归方程模型拟合）；（2）该药企准备生产药品A 的三类不同的剂型1A ，2A ，3A ，并对其进行两次检测，当第一次检测合格后，才能进行第二次检测．第一次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为12，45，35，第二次检测时，三类剂型1A ，2A ，3A 合格的概率分别为45，12，23．两次检测过程相互独立，设经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，求X 的数学期望．附：（1）相关系数ni ix y nx yr -=∑（2）81347i ii x y==∑，8211308i i x ==∑，82193i i y ==∑【答案】（1）0.98;可用线性回归模型拟合．（2）65【解析】 【分析】（1）根据题目提供的数据求出,x y r u r，代入相关系数公式求出r ，根据r 的大小来确定结果；（2）求出药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率，发现它们相同，那么经过两次检测后1A ，2A ，3A 三类剂型合格的种类数为X ，X 服从二项分布235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:,，利用二项分布的期望公式求解即可.详解】解：（1）由题意可知2361021131518118x +++++++==r ， 112 2.56 3.5 3.5 4.538y +++++++==u r ，由公式0.98r ==≈，0.980.75r ≈>Q ，∴y 与x 的关系可用线性回归模型拟合；（2）药品A 的每类剂型经过两次检测后合格的概率分别为1142255A P =⨯=，2412525A P =⨯=，3322535A P =⨯=，由题意，235X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:, ，()26355E X ∴=⨯=.【点睛】本题考查相关系数r 的求解，考查二项分布的期望，是中档题. 20.设椭圆()22221,0x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F，离心率2e =，右准线为l ，,M N 是l 上的两个动点，120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r ． （Ⅰ）若12F M F N ==u u u u r u u u u r,a b 的值；【（Ⅱ）证明：当MN 取最小值时，12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r共线．【答案】（Ⅰ）2,a b ==（Ⅱ）证明见解析． 【解析】由222a b c -=与a e c ==222a b =， 120022F a F a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，l 的方程为x =． 设))12My Ny ，，，，则112222F M a y F N a y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r ，，，，由120FM F N ⋅=u u u u r u u u u r 得 212302y y a =-＜． ①（Ⅰ）由12F M F N ==u u u u r u u u u r=， ② =， ③ 由①、②、③三式，消去12,y y ，并求得24a =， 故2,a b === （Ⅱ）()2222212121212121222246MNy y y y y y y y y y y y a =-=+-≥--=-=，当且仅当12y y =-=或21y y =-=时，MN 取最小值2a ，此时，()()12121212,,0222F M F N a y y y y F F ⎛⎫⎛⎫+=+=+== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u u r u u u u r u u u u r ，，，故12FM F N +u u u u r u u u u r 与12F F u u u u r 共线． 21.设函数()2()11xf x eekx -=++-（其中(0,)x ∈+∞），且函数()f x 在2x =处的切线与直线2(2)0e x y +-=平行.（1）求k 的值；（2）若函数()ln g x x x =-，求证：()()f x g x >恒成立. 【答案】（1）1k =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得答案.（2）变形得到-2(1)1ln xe e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，求导得到函数单调区间得到22()()1h x h e e --≤=+，2()(0)(1)F x F e ->=+，得到证明.【详解】（1）2()(1)xf x e e k -'=++，222(2)(1)2f e e k e -'=++=+，解得1k =.（2）()()f x g x >得-2(1)1ln x e e x x x ++->-，变形得-2(1)1ln xe e x x x +>--，令函数()1ln h x x x x =--，()2ln h x x '=--，令2ln 0x --=解得2x e -=， 当2(0,)x e -∈时()0h x '>，2(,)x e -∈+∞时()0h x '<.∴函数()h x 在2(0,)e -上单调递增，在2(,)e -+∞上单调递减，∴22()()1h x h e e --≤=+，而函数-2()(1)xF x e e =+在区间(0,)+∞上单调递增，∴2()(0)(1)F x F e ->=+，∴2()(0)(1)()1ln F x F e h x x x x ->=+≥=--，即2(1)1ln x e e x x x -+>--，即2(1)1ln xe e x x x -+-+>-，∴()()f xg x >恒成立.【点睛】本题考查了根据切线求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.请考生在第22、23两题中任选一题作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题号一致，在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.已知直线l 的参数方程：12x ty t=⎧⎨=+⎩（t 为参数）和圆C 的极坐标方程：2sin ρθ= （1）将直线l 的参数方程化为普通方程，圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）已知点()1,3M ，直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，求MA MB +的值. 【答案】（1）l ： 21y x =+， C ：()2211x y +-=；（2）【解析】 【分析】（1）消去参数t 求得直线l 的普通方程，将2sin ρθ=两边同乘以ρ，化简求得圆C 的直角坐标方程. （2）求得直线l 的标准参数方程，代入圆的直角坐标方程，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义，求得MA MB +的值.【详解】（1）消去参数t ，得直线l 的普通方程为21y x =+， 将2sin ρθ=两边同乘以ρ得22sin ρρθ=，()2211x y +-=，∴圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=；（2）经检验点()1,3M 在直线l 上，12x t y t =⎧⎨=+⎩可转化为13x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩①，将①式代入圆C 的直角坐标方程为()2211x y +-=得22121⎛⎫⎫+++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，化简得240t ++=，设12,t t是方程240t ++=的两根，则12t t +=-124t t =， ∵1240t t =>，∴1t 与2t 同号，由t的几何意义得1212MA MB t t t t +=+=+=【点睛】本小题主要考查参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义求解距离问题，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()||||f x x a x b =++-，(其中0a >，0b >).（1）求函数()f x 的最小值M .（2）若2c M >，求证：c a c <<+【答案】（1）+a b .（2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）利用绝对值不等式的性质即可求得最小值M ；（2）利用分析法，只需证明||a c -<，两边平方后结合2 , 0c a b a >+>即可得证.【详解】（1）()|||||()()|||f x x a x b x a x b a b a b =++-+--=+=+…，当且仅当()()0x a x b +-„时取等号，∴()f x 的最小值M a b =+； （2）证明：依题意，20c a b >+>，要证c a c <<+||a c -<，即证2222a ac c c ab -+<-，即证220a ac ab -+<，即证(2)0a a c b -+<，又2 , 0c a b a >+>可知，(2)0a a c b -+<成立，故原不等式成立.【点睛】本题考查用绝对值三角不等式求最值，考查用分析法证明不等式，在不等式不易证明时，可通过执果索因的方法寻找结论成立的充分条件，完成证明，这就是分析法．。
2020年全国普通高等学校招生统一考试理科数学试卷 全国Ⅱ卷(含答案)
2020年全国普通高等学校招生统一考试试卷 全国Ⅱ卷理科数学一、选择题1.已知集合{}2,1,0,1,2,3U =--，{}1,0,1A =-，{}1,2B =，则()UAB =( )A.{}2,3-B.{}2,2,3-C.{}2,1,0,3--D.{}2,1,0,2,3--2.若α为第四象限角，则( ) A. cos20α>B. cos20α<C. sin20α>D. sin20α<3.在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者( ) A.10名B.18名C.24名D.32名4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板（不含天心石）( )A.3699块B.3474块C.3402块D.3339块5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线230x y --=的距离为( ) 52535456.数列{}n a 中，12a =，m n m n a a a +=.若155121022k k k a a a ++++++=-，则k = ( )A.2B.3C.4D.57.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为()A.EB.FC.GD.H8.设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点.若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为( )A.4B.8C.16D.329.设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则()f x ( ) A.是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B.是奇函数，且在11(,)22-单调递减C.是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D.是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减10.已知ABC 93的等边三角形，且其顶点都在球O 的球面上.若球O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为( ) 3 B.32C.1 3 11.若2233x y x y ---<-，则( ) A.ln(1)0y x -+>B.ln(1)0y x -+<C.ln 0x y ->D.ln 0x y -< 12.01-周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列12na a a 满足{}0,1(1,2,)i a i ∈=，且存在正整数m ，使得i (1,2,)i m a a i +==成立，则称其为01-周期序列，并称满足i (1,2,)i m a a i +==的最小正整数m 为这个序列的周期.对于周期为m 的01-序列12na a a ，11()(1,2,1)mi i k i C k a a k m m +===-∑是描述其性质的重要指标.下列周期为5的01-序列中，满足1()(1,2,3,4)5C k k =的序列是( )A.11010B.11011C.10001D.11001二、填空题13.已知单位向量,a b 的夹角为45°，k -a b 与a 垂直，则k =_______.14.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有___________种.15.设复数1z ，2z 满足122z z ==，12i z z +=+，则12z z -=_______. 16.设有下列四个命题：1p ：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内. 2p ：过空间中任意三点有且仅有一个平面.3p ：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行. 3p ：若直线l ⊂平面α，直线m ⊥平面α，则m l ⊥.则下述命题中所有真命题的序号是_________. ①14p p ∧ ②12p p ∧ ③23p p ⌝∨ ④34p p ⌝∨⌝ 三、解答题17.ABC 中，222sin sin sin sin sin A B C B C --=. （1）求A ；（2）若3BC =，求ABC 周长的最大值.18.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分为面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，，其中i x 和i y 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量，并计算得()()()()22202020202011111601200809000800i ii iiii i i i i x yx x y y x x y y =======-=-=--=∑∑∑∑∑，，，，.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本()(),1,220i i x y i =⋅⋅⋅，，的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数()()()()12211yniii nniii i x x yr x x y y ===--=--∑∑∑，2 1.414≈.19.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F 与抛物线2C 的焦点重合，1C 的中心与2C 的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交1C 于,A B 两点，交2C 于,CD 两点，且43CD AB =. （1）求1C 的离心率；（2）设M 是1C 与2C 的公共点.若5MF =，求1C 与2C 的标准方程.20.如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为BC ，11B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F .（1）证明：1//AA MN ，且平面1A AMN ⊥平面11EB C F ； （2）设O 为111A B C 的中心.若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值.21.已知函数()2sin sin 2f x x x =.（1）讨论()f x 在区间()0π，的单调性；（2）证明：()33f x ； （3）设n *∈N ，证明：22223sin sin 2sin 4sin 24nnn x x x x .22.已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩：（θ为参数），211x t t C y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，：（t 为参数）. （1）将12,C C 的参数方程化为普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设12,C C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且经过极点和P 的圆的极坐标方程. 23.已知函数2()21f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.参考答案1.答案：A解析：2.答案：D解析：3.答案：B解析：4.答案：C解析：5.答案：B解析：6.答案：C解析：7.答案：A解析：8.答案：B解析：9.答案：D解析：10.答案：C解析：11.答案：A解析：12.答案：C解析：13.解析：14.答案：36解析：15.答案：解析：16.答案：①③④解析：17.答案：（1）由正弦定理和已知条件得222BC AC AB AC AB--=⋅.①由余弦定理可知2222cosBC AC AB AC AB A=+-⋅.②由①，②得1cos2A=-.因为0πA<<，所以2π3A=.（2）由正弦定理及（1）得sin sin sinAC AB BCB C A===，从而AC B=，π)3cosAB A B B B=--=.故π33cos33BC AC AB B B B⎛⎫++=+=++⎪⎝⎭.又0π3B<<，所以当π6B=时，ABC周长取得最大值为3+解析：18.答案：（1）由已知得样本平均数20116020iiy y===∑，从而该地区这种野生动物数量的估计值为6020012000⨯=.（2）样本(),(1,2,,20)i ix y i =的相关系数()()200.943i ix x y yr--===≈∑.（3）分层抽样：根据植物覆盖面积的大小对地块分层，再对200个地块进行分层抽样.理由如下：由（2）知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物数量差异也很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计.解析：19.答案：（1）由已知可设2C的方程为24y cx=，其中c=.不妨设,A C 在第一象限，由题设得,A B 的纵坐标分别为22,b b a a -；,C D 的纵坐标分别为2,2c c -，故2||2|,|4b B CD c aA ==.由4||||3CD AB =得2843b c a =，即2322c c a a ⎛⎫⨯=- ⎪⎝⎭.解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2,a c b =，故22122:143x y C c c+=.设()00,M x y ，则220022143x y c c+=，204y cx =， 故20024134x xc c+=.①由于2C 的准线为x c =-，所以0||MF x c =+，而|5MF =|，故05x c =-，代入①得 22(5)4(5)134c c c c --+=，即2230c c --=，解得1c =-（舍去），3c =. 所以1C 的标准方程为2213627x y +=，2C 的标准方程为212y x =.解析：20.答案：（1）因为,M N 分别为11,BC B C 的中点，所以1//MN CC ，又由已知得11//AA CC ，故1//AA MN .因为111A B C 是正三角形，所以111B C A N ⊥.又11B C MN ⊥，故11B C ⊥平面1A AMN .所以平面1A AMN ⊥平面11EB C F .（2）由已知得AM BC ⊥.以M 为坐标原点，MA 的方向为x 轴正方向，||MB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系M xyz -，则2AB =，AM =连结NP ，则四边形AONP 为平行四边形，故PM =，1,03E ⎫⎪⎪⎝⎭.由（1）知平面1A AMN ⊥平面ABC .作NQ AM ⊥，垂足为Q ，则NQ ⊥平面ABC .设(,0,0)Q a ，则22123234,(433NQ a B a a ⎫⎛⎫⎛⎫⎪=---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，故21123223210,,4,||33B E a a B E ⎛⎫⎛⎫ ⎪=-----= ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝. 又(0,1,0)=-n 是平面1A AMN的法向量，故1111π10sin ,cos ,210||||B E B E B E B E ⎛⎫-〈〉=== ⎪⋅⎝⎭n n n n ⋅.所以直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值为10. 解析：21.答案：（1）当π0,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增，当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x <单调递减，当2π,π3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）证明见解析； （3）证明见解析.解析：（1）()cos (sin sin 2)sin (sin sin 2)f x x x x x x x ''=+ 22sin cos sin 22sin cos2x x x x x =+2sin sin3x x =. 当π2π0,,π33x ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭时，()0f x '>；当π2π,33x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.所以()f x 在区间π2π0,,,π33⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭单调递增，在区间π2π,33⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.（3）因为(0)(π)0f f ==，由（1）知，()f x 在区间[]0,π的最大值为π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭为2π3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，而()f x 是周期为π的周期函数，故33()f x . （3）由于()()()2223332332121321sinsin 2sin 2sin sin 2sin 2|sin |sin sin 2sin 2sin 2sin 2|sin |()(2)2sin 2()(2)2nn n n n n n n x xxx x xx x x x x x x f x f x f x xf x f x f x ---=⋅=⋅⋅= 所以23222333sin sin 2sin 24nn nn x xx ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 22.答案：（1）1:4C x y +=；222:4C x y -=；（2）17cos 5ρθ=. 解析：（1）1C 的普通方程为()404x y x +=. 由2C 的参数方程得22212x t t =++，22212y t t =+-，所以224x y -=. 故2C 的普通方程为224x y -=.（2）由2244x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩得5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以P 的直角坐标为53,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 设所求圆的圆心的直角坐标为()0,0x ，由题意得22005924x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，解得01710x =. 因此，所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=23.答案：（1）32x x ⎧⎨⎩或112x ⎫⎬⎭；（2）(][),13,-∞-+∞.解析：（1）当2a =时，72,3,()1,34,27, 4.x x f x x x x -⎧⎪=<⎨⎪->⎩11因此，不等式()4f x 的解集为31122x x x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭∣或. （2）因为222()|21|21(1)f x x a x a a a a =-+-+-+=-， 故当2(1)4a -，即12a -时，()4f x .所以当3a 或1a -时，()4f x . 当-13a <<时，()22221(1)4f a a a a =-+=-<.所以a 的取值范围是(,1][3,)-∞-⋃+∞。
高考理科数学试卷及答案解析【word版】(20200626141228)
f ( 2,1)
（）
A.45
B.60
C.120
D. 210
6. 已知函数 f ( x) x3 ax2 bx c, 且0 f ( 1) f ( 2) f ( 3) 3,则 （ ）
f (1,2） f (0,3)
A. c 3
B.
3c 6
C.
6c 9
D.
c9
7. 在同意直角坐标系中， 函数 f (x) xa (x 0), g (x) log a x 的图像可能是（
15. 设函数 f x
x2 x, x 0 若f f a
x2 , x 0
2 ， 则实数 a 的取值范围是 ______
16. 设直线 x 3y m 0(m
0) 与双曲线
x2 a2
y2 b2
1 （ a b 0 ）两条渐近线分别交于点
A, B ， 若点
P( m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________
2
2
C. 132
cm
D. 138
cm
4. 为了得到函数 y sin 3x cos3x 的图像， 可以将函数 y 2 sin 3x 的图像（
）
A. 向右平移 个单位
4
B. 向左平移 个单位
4
C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位
12
12
5. 在 (1 x)6 (1 y) 4 的 展开 式中， 记 xm y n 项的 系数为 f (m, n) ， 则 f (3,0)
（ 1）若 f x 在 1,1 上的最大值和最小值分别记为 M (a), m(a) ， 求 M (a) m(a) ；
（ 2）设 b
R, 若 f x