不等式与不等式组知识点总结
初二数学不等式知识点总结
初二数学不等式知识点总结一、不等式的概念。
1. 不等式的定义。
- 用符号“<”（或“≤”），“>”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子叫做不等式。
例如：2x + 1>5，3y - 2≤slant4等。
2. 不等式的解。
- 能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
例如对于不等式x + 3>5，x = 3是它的一个解，因为当x = 3时，3+3 = 6>5。
3. 不等式的解集。
- 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。
例如不等式x - 1>0的解集是x>1，表示所有大于1的数都是这个不等式的解。
- 可以用数轴来表示不等式的解集。
例如x≥slant2在数轴上表示为：在数轴上找到2这个点，然后用实心圆点（因为包含2这个值），然后向数轴正方向画一条线，表示所有大于等于2的数。
二、不等式的基本性质。
1. 性质1（不等式的传递性）- 如果a>b，b>c，那么a>c。
例如：若5>3，3>1，则5>1。
2. 性质2（不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变）- 如果a>b，那么a±c>b±c。
例如：若x + 3>5，两边同时减3，得到x>2。
3. 性质3（不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变）- 如果a>b，c>0，那么ac>bc（或(a)/(c)>(b)/(c)）。
例如：若2x>4，两边同时除以2（2是正数），得到x > 2。
4. 性质4（不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）- 如果a>b，c<0，那么ac（或(a)/(c)<(b)/(c)）。
例如：若- 3x>6，两边同时除以 - 3（-3是负数），得到x<-2。
三、一元一次不等式。
1. 一元一次不等式的定义。
- 含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。
人教版数学七年级下册知识重点与单元测-第九章9-5《不等式与不等式组》章末复习(能力提升)
第九章不等式与不等式（组）9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）【要点梳理】知识点一、不等式1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a>，x a≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a bc c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a bc c <)．要点二、一元一次不等式1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案.要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键.要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组.要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集.（2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组.（3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集.（4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．（1）若 b﹣3a＜0，则b＜3a；（2）如果﹣5x＞20，那么x＞﹣4；（3）若a＞b，则 ac2＞bc2；（4）若ac2＞bc2，则a＞b；（5）若a＞b，则 a（c2+1）＞b（c2+1）．（6）若a ＞b ＞0，则＜． ． 【答案与解析】解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确； （2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误； （3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误； （4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确． （6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确． 故答案为：√、×、×、√、√、√．【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．例2. 设x>y ，试比较代数式-(8-10x)与-(8-10y)的大小，如果较大的代数式为正数，则其中最小的正整数x 或y 的值是多少?【思路点拨】比较两个代数式的大小，可以运用不等式的性质得出比较方法。
不等式知识点大全
不等式知识点大全一、不等式的基本概念：1.不等式的定义：不等式是一个包含不等号（>，<，≥，≤）的数学语句。
2.不等式的解集：解集是满足不等式的所有实数的集合。
3.不等式的求解方法：解不等式的方法主要有代入法、分析法、图像法和区间法等。
二、一元一次不等式：1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次函数与一个实数的大小关系。
2.一元一次不等式的解集：一元一次不等式的解集可以用一个开区间或闭区间表示。
三、二次不等式：1.二次不等式的定义：二次不等式是指含有一个未知数的二次函数与一个实数的大小关系。
2.二次不等式的解集：二次不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
四、绝对值不等式：1.绝对值不等式的定义：绝对值不等式是指含有绝对值符号的不等式。
2.绝对值不等式的解集：绝对值不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
五、分式不等式：1.分式不等式的定义：分式不等式是指含有一个未知数的分式与一个实数的大小关系。
2.分式不等式的解集：分式不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
六、三角不等式：1.三角不等式的定义：三角不等式是指三角函数与一个实数之间的大小关系。
2.三角不等式的解集：三角不等式的解集可以用一个开区间、闭区间、半开半闭区间或不等式组表示。
七、复合不等式：1.复合不等式的定义：复合不等式是由两个或多个不等式通过与或或连接构成的不等式。
2.复合不等式的解集：复合不等式的解集是满足所有不等式的实数的交集或并集。
八、常用的不等式：1.平均不等式：包括算术平均不等式、几何平均不等式、加权平均不等式等。
2.布尔不等式：包括与或非不等式和限制条件不等式等。
3.等价不等式：等式两边取绝对值后变为不等式。
4.单调性不等式：利用函数单调性性质证明不等式。
5.导数不等式：利用函数的导数性质证明不等式。
6.积分不等式：利用积分性质及定积分的性质来推导不等式。
北师大版八年级数学下册知识点总结
第一章 一元一次不等式和一元一次不等式组一. 不等关系1. 一般地,用符号“<”(或“≤”), “>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式.2. 区别方程与不等式：方程表示是相等的关系，不等式表示是不相等的关系。
3. 准确“翻译”不等式,正确理解“非负数”、“不小于”等数学术语.非负数 <===> 大于等于0(≥0) <===> 0和正数 <===> 不小于0 非正数 <===> 小于等于0(≤0) <===> 0和负数 <===> 不大于0 二. 不等式的基本性质1. 掌握不等式的基本性质,并会灵活运用:(1) 不等式的两边加上(或减去)同一个整式,不等号的方向不变,即:如果a>b,那么a+c>b+c, a-c>b-c.(2) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变,即如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,c b c a >. (3) 不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变,即:如果a>b,并且c<0,那么ac<bc,cb c a < 2. 比较大小:(a 、b 分别表示两个实数或整式) 一般地: 如果a>b,那么a-b 是正数;反过来,如果a-b 是正数,那么a>b; 如果a=b,那么a-b 等于0;反过来,如果a-b 等于0,那么a=b; 如果a<b,那么a-b 是负数;反过来,如果a-b 是正数,那么a<b; 即:a>b <===> a-b>0 a=b <===> a-b=0 a<b <===> a-b<0 (由此可见,要比较两个实数的大小,只要考察它们的差就可以了. 三. 不等式的解集:1. 能使不等式成立的未知数的值,叫做不等式的解;一个不等式的所有解,组成这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.2. 不等式的解可以有无数多个,一般是在某个范围内的所有数,与方程的解不同.3. 不等式的解集在数轴上的表示:用数轴表示不等式的解集时,要确定边界和方向:①边界:有等号的是实心圆圈,无等号的是空心圆圈;②方向:大向右,小向左四. 一元一次不等式:1. 只含有一个未知数,且含未知数的式子是整式,未知数的次数是1. 像这样的不等式叫做一元一次不等式.2. 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似,特别要注意,当不等式两边都乘以一个负数时,不等号要改变方向.3. 解一元一次不等式的步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化为1(不等号的改变问题) 4. 一元一次不等式基本情形为ax>b(或ax<b)①当a>0时,解为abx >;②当a=0时,且b<0,则x 取一切实数;当a=0时,且b ≥0,则无解;③当a<0时, 解为a bx <;5. 不等式应用的探索(利用不等式解决实际问题) 列不等式解应用题基本步骤与列方程解应用题相类似,即:①审: 认真审题,找出题中的不等关系,要抓住题中的关键字眼,如“大于”、“小于”、“不大于”、“不小于”等含义; ②设: 设出适当的未知数;③列: 根据题中的不等关系,列出不等式; ④解: 解出所列的不等式的解集;⑤答: 写出答案,并检验答案是否符合题意. 五. 一元一次不等式组1. 定义: 由含有一个相同未知数的几个一元一次不等式组成的不等式组,叫做一元一次不等式组.2. 一元一次不等式组中各个不等式解集的公共部分叫做不等式组的解集.如果这些不等式的解集无公共部分,就说这个不等式组无解. 几个不等式解集的公共部分,通常是利用数轴来确定.3. 解一元一次不等式组的步骤:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些解集的公共部分,即这个不等式组的解集.两个一元一次不等式组的解集的四种情况(a、b为实数,且a<b)第二章分解因式一. 分解因式1. 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式分解因式.2. 因式分解与整式乘法是互逆关系。
【K12学习】初一数学下册《不等式与不等式组》知识点归纳
初一数学下册《不等式与不等式组》知识点归纳一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。
二、知识框架三、重点理解并掌握不等式的性质;正确运用不等式的性质;建立方程解决实际问题，会解"ax+b=cx+d"类型的一元一次方程;寻找实际问题中的不等关系，建立数学模型;一元一次不等式组的解集和解法。
四、难点一元一次不等式组解集的理解;弄清列不等式解决实际问题的思想方法，用去括号法解一元一次不等式;正确理解不等式、不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。
五、知识点、概念总结1.不等式：用符号"<"，">"，"≤"，"≥"表示大小关系的式子叫做不等式。
2.不等式分类：不等式分为严格不等式与非严格不等式。
一般地，用纯粹的大于号、小于号">"，"<"连接的不等式称为严格不等式，用不小于号、不大于号"≥"，"≤"连接的不等式称为非严格不等式，或称广义不等式。
3.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
5.不等式解集的表示方法：用不等式表示：一般的，一个含未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式表达出来，例如：x-1≤2的解集是x≤3用数轴表示：不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地说明不等式有无限多个解，用数轴表示不等式的解集要注意两点：一是定边界线;二是定方向。
初中数学知识点必备：不等式
初中数学知识点必备：不等式学校数学学问点：不等式1用小于号或大于号表示大小关系的式子，叫做不等式(inequality)。
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。
能使不等式成立的x的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集(solution set)。
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式(linear inequality of one unknown)。
不等式的性质：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个正数，不等号的`方向不变。
不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
三角形中任意两边之差小于第三边。
三角形中任意两边之和大于第三边。
不等式(组)1、不等式：用不等号(“”、“≤”、“”、“≥”、“≠”)表示不等关系的式子。
2、不等式的基本性质：(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。
(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
(3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向转变。
3、不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
4、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的全部解，组成这个不等式的解集。
提示大家：解不等式指的是求不等式解集的过程叫做解不等式。
学校数学学问点：不等式21.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是1，这样的方程是二元一次方程.留意：一般说二元一次方程有很多个解.2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组.3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.留意：一般说二元一次方程组只有解(即公共解).4.二元一次方程组的解法：(1)代入消元法；(2)加减消元法；(3)留意：推断如何解简洁是关键。
5.一次方程组的应用：(1)对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能简单一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则难列易解(2)对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值；(3)对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系。
人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结
人教版初中数学不等式与不等式组基础知识点归纳总结单选题1、不等式组{3(x −1)>x −72x +2⩾3x的解集是（ ） A ．﹣2＜x≤2B ．x ＜﹣2C ．x≥2D ．无解答案：A解析：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．解不等式3(x ﹣1)＞x ﹣7，得：x ＞﹣2，解不等式2x+2≥3x ，得：x≤2，则不等式组的解集为﹣2＜x≤2，故选：A ．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．2、下列说法中错误的是（ ）A ．不等式x +2≤3的整数解有无数个B ．不等式x +4<5的解集是x <1C ．不等式x <3的正整数解有限个D ．0是不等式2x <−1的解答案：D解析：逐一对选项进行分析即可．A. 不等式x +2≤3的解集为x ≤1 ，所以整数解有无数个，故正确；B. 不等式x +4<5的解集是x <1，故正确；C. 不等式x <3的正整数解为1，2，是有限个，故正确；D. 0不是不等式2x <−1的解，故错误；故选：D ．小提示：本题主要考查不等式的解集及解的个数，会解不等式是解题的关键．3、“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为（ ）A ．2x +3≥0B ．2x +3>0C ．2x +3≤0D ．2x +3<0答案：A解析：非负数就是大于或等于零的数，再根据x 的2倍与3的和是非负数列出不等式即可.解：“x 的2倍与3的和是非负数”列成不等式为：2x +3≥0,故选：A.小提示：本题考查的是列不等式，掌握“非负数是正数或零，用不等式表示就是大于或等于零”是解题的关键.4、关于x 的方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m 的取值范围是（ ）A ．m>92B ．m<0C ．m<92D ．m>0 答案：A解析：解：方程4x －2m ＋1＝5x －8的解为x ＝9－2m ．由题意得：9－2m ＜0，则m ＞92．故选A ．5、下列式子：①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；④x 2+x ；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1，其中不等式有（ ）个A ．3B ．4C ．5D ．6答案：C解析：根据不等式定义可得答案．①3＞0；②4x +5＞0；③x ＜3；⑤x ≠﹣4；⑥x +2＞x +1是不等式，共5个，故选C ．小提示：本题考查不等式的定义，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．6、关于x 的一元一次方程4x-m+1=3x-1的解是负数，则m 的取值范围是（ ）.A ．m=2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m≤2答案：C解析：∵方程x ﹣m +2=0的解是负数，∴x =m ﹣2＜0，解得：m ＜2，故选C ．7、下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）A ．{x −1<3x +1<3B ．{x −1<3x +1>3C ．{x −1>3x +1>3D ．{x −1>3x +1<3答案：B分析：先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．详解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；D、此不等式组的无解，不符合题意；故选B．点睛：本题考查的是在数轴上表示不等式的解集，解答此类题目时一定要注意实心与空心圆点的区别，即一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点．8、不等式3x−1>x+1的解集在数轴上表示为( )A．B．C．D．答案：C解析：试题解析：由3x﹣1＞x+1，可得2x＞2，解得x＞1，所以一元一次不等式3x﹣1＞x+1的解在数轴上表示为：故选C．点睛：首先根据解一元一次不等式的方法，求出不等式3x﹣1＞x+1的解集，然后根据在数轴上表示不等式的解集的方法，把不等式3x﹣1＞x+1的解集在数轴上表示出来即可．9、用不等式表示：x 减去2的差的绝对值不大于32_________________． 答案：|x −2|≤32解析：根据题意以及不等式的定义列不等式．解：x 减2的绝对值不大于32，列式：|x −2|≤32．故答案是：|x −2|≤32． 小提示：本题考查列不等式，解题的关键是根据不等式的定义，找到题目中的不等关系进行列式．10、一次测验共出5道题，做对一题得一分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低的得3分，至少有3人得4分，则得5分的有______ 人．答案：22解析：解：设得5分的人数为x 人，得3分的人数为y 人．则可得{x +y +3=265x +3y +12>26×4.8，解得：x ＞21.9． ∵一共26人，最低的得3分，至少有3人得4分，∴得5分最多22人，即x ≤22．∴21.9＜x ≤22且x 为整数，所以x =22．故得5分的人数应为22人．故答案为22．点睛：此题考查不等式组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．解题过程中一定要符合题目的意思，以事实为依据．11、已知不等式组{x >1x <a −1无解，则a 的取值范围为__．答案：a⩽2解析：求出不等式组中每个不等式的解集，根据已知即可得出关于a的不等式，即可得出答案．解：∵不等式组{x>1x<a−1无解，∴a−1⩽1，解得：a⩽2，所以答案是：a⩽2．小提示：本题考查了一元一次不等式组的应用，解此题的关键是能得出关于a的不等式，题目比较好，难度适中．12、不等式组{2x−1<3−12x−1≤0的整数解的和为________．答案：-2解析：先根据一元一次不等式组解出x的取值，根据x是整数解得出x的可能取值，再相加．解：{2x−1<3①−12x−1≤0②，解不等式①得，x＜2；解不等式②得，x≥-2，∴不等式组的解集是：-2≤x＜2，∴不等式组的整数解是：-2，-1，0，1，∴整数解的和为-2-1+0+1=-2，所以答案是：-2．小提示：本题考查了解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．13、已知关于x的不等式3x-5k>-7的解集是x>1，则k的值为________.答案：2解析：试题分析：不等式可变形为：3x＞5k－7，x＞5k−7，3∵关于x的不等式3x－5k>－7的解集是x>1，∴5k−7＝1，3解得：k＝2．故答案为2．点睛：本题考查了不等式的解集，利用不等式的解集得出关于k的方程是解题关键．解答题14、在平面直角坐标系中，若P、Q两点的坐标分别为P(x1,y1)和Q(x2,y2)，则定|x1−x2|和|y1−y2|中较小的一个（若它们相等，则任取其中一个）为P、Q两点的“直角距离小分量”，记为d min(P,Q)．例如：P(−2,3),Q(0,2)，因为x1=−2,x2=0,|x1−x2|=|−2−0|=2；y1=3,y2=2,|y1−y2|=|3−2|=1，而|3−2|<|−2−0|，所以d min(P,Q)=|3−2|=1．（1）请直接写出A(3,−2)和B(−1,1)的直角距离小分量d min(A,B)=_________；（2）点D是坐标轴上的一点，它与点C(3,−1)的直角距离小分量d min(C,D)=2，求出点D的坐标；（3）若点M(m+1,2m−2)满足以下条件：a）点M在第一象限；b）点M与点N(5,0)的直角距离小分量d min(M,N)<2c）∠MON>45°，O为坐标原点．请写出满足条件的整点（横纵坐标都为整数的点）M的坐标_______．答案：（1）3；（2）D(0,1)或D(0,−3)；（3）M(5,6)或(6,8)解析：（1）根据新概念求得即可；（2）分两种情况，根据“直角距离小分量”的定义得出即可；（3）根据题意得出{m+1>02m−2>0，解出m的取值范围，再由∠MON>45°可推导出K OM =2m−2m+1>1，解出m的取值范围，根据横纵坐标都为整数的点取m的值即可．解：（1）∵A(3,−2)，B(−1,1)，∴|3+1|=4>|−2−1|=3，∴d min(A,B)=3；故答案为3；（2）∵点D是坐标轴上的一点，若D在x轴上，设D(a,0)，由于|0+1|=1<2与题意矛盾，故点D是在y轴上的一点，设D(0,b)，|0−3|=3>2，∴|b+1|=2，解得：b=1或−3，∴D(0,1)或D(0,−3)；（3）由题意得：{m+1>02m−2>0，解得m>1，|m+1−5|=|m−4|,|2m−2−0|=2|m−1|，∴(m−4)2−[2(m−1)]2=−3m2+12，当1<m<2时，d min(M,N)=2|m−1|<2，解得：0<m<2，当m≥2时，d min(M,N)=|m−4|<2，解得：2<m<6，∴m的取值范围是：0<m<2或2<m<6，∵∠MON>45°恰好为l OM的倾斜角，∴K OM>1，K OM=2m−2m+1>1，解得：m<−1或m>3综上：m的取值范围是：3<m<6，∵横纵坐标都为整数，∴m=4和5，∴M(5,6)或(6,8)，所以答案是：M(5,6)或(6,8)．小提示：本题考查了坐标与图形的性质，解一元一次不等式组，解题的关键是根据新概念列出不等式组．15、求不等式2x+13≤3x−25+1的非负整数解．答案：不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．解析：去分母，去括号，移项，合并同类项，即可得出不等式的解集．去分母得：5（2x +1）≤3（3x -2）+15，去括号得：10x +5≤9x -6+15，移项得：10x -9x ≤-5-6+15，合并同类项得x ≤4，∴不等式的非负整数解为0、1、2、3、4．小提示：考查了不等式的性质和解一元一次不等式，主要考查学生运用不等式的性质解一元一次不等式的能力.。
宁波市宁波中学(一中)七年级数学下册第九单元《不等式与不等式组》知识点总结(含答案解析)
一、选择题1．如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算，若运算进行了3次才停止，则x 的取值范围是（ ）A ．24x <≤B ．24x ≤<C ．24x <<D ．24x ≤≤ A解析：A【分析】根据程序运算进行了3次才停止，即可得出关于x 的一元一次不等式组：()()33222833322228x x ⎧--≤⎪⎨⎡⎤--->⎪⎣⎦⎩，解之即可得出x 的取值范围． 【详解】解：依题意，得：()()33222833322228x x ⎧--≤⎪⎨⎡⎤--->⎪⎣⎦⎩①②， 由①得：936x ≤4x ∴≤，由②得：()398x -＞30，98x ∴-＞10，x ＞2，所以不等式组的解集为：24x <≤．故选：A ．【点睛】本题考查了程序框图中的一元一次不等式组的应用，找准不等关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．2．不等式组20240x x +>⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．C 解析：C【解析】 分析：先求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．详解：解不等式x+2＞0，得：x ＞-2，解不等式2x-4≤0，得：x≤2，则不等式组的解集为-2＜x≤2，将解集表示在数轴上如下：故选C ．点睛：本题主要考查解一元一次不等式组，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．3．如果a b >，可知下面哪个不等式一定成立（ ）A ．a b ->-B ．11a b <C ．2a b b +>D ．2a ab > C解析：C【分析】由基本不等式a ＞b ，根据不等式的性质，逐一判断．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴-a ＜-b ，故本选项不符合题意；B 、∵a ＞b ， ∴当a 与b 同号时有11a b <，当a 与b 异号时，有11a b＞， 故本选项不符合题意；C 、∵a ＞b ，∴a+b ＞2b ，故本选项符合题意；D 、∵a ＞b ，且a ＞0时，∴a 2＞ab ，故本选项不符合题意；故选：C ．【点睛】本题考查了不等式的性质．不等式的基本性质： （1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．已知点()121M m m --，在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ． B解析：B【分析】 由点()121M m m --，在第四象限,可得出关于m 的一元一次不等式组,解不等式组即可得出m 的取值范围,再对照四个选项即可得出结论．【详解】解：由点()121M m m --，在第四象限，得1-2010m m >⎧⎨-<⎩， ∴0.51m m <⎧⎨<⎩即不等式组的解集为：0.5m <，在数轴上表示为：故选：B ．【点睛】此题考查了象限及点的坐标的有关性质、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式组，需要综合掌握其性质5．若|65|56x x -=-，则x 的取值范围是（ ）A ．56x >B ．56x <C ．56x ≥D ．56x ≤ D 解析：D【分析】先根据绝对值的性质判断出65x -的符号，再求出x 的取值范围即可．【详解】 ∵6556x x -=-，∴650x -≤， ∴56x ≤． 故选：D ．【点睛】 本题考查了绝对值的性质以及解一元一次不等式，解答此题的关键是熟知绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． 6．不等式()2x 13x -≥的解集是（ ）A ．x 2≥B ．x 2≤C ．x 2≥-D ．x 2≤- D解析：D【分析】 去括号、移项、合并同类项，然后系数化成1即可求解．【详解】解：()2x 13x -≥，去括号，得2x 23x -≥，移项，得23x 2x -≥-，解得x 2≤-．故选：D ．【点睛】本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．7．若a b <，则下列不等式中不正确的是（ ）A ．11+<+a bB ．a b ->-C ．22a b --<--D ．44a b < C 解析：C【分析】根据不等式的性质来解答即可．不等式的性质为：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．【详解】解：A ：不等式a ＜b 两边都加1，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意；B ：不等式a ＜b 两边都乘以-1，不等号的方向改变，原变形正确，故此选项不符合题意；C ：不等式a ＜b 两边都乘-1再加上-2，不等号的方向改变，原变形不正确，故此选项符合题意；D ：不等式a ＜b 两边都除以4，不等号的方向不变，原变形正确，故此选项不符合题意； 故选：C ．【点睛】本题考查了利用不等式的性质进行不等式的变形．解题的关键是熟练掌握不等式的性质并正确运用．8．若关于x 、y 的二元一次方程组2133x y m x y -=+⎧⎨+=⎩的解满足0x y +>，则m 的取值范围为（ ）A ．2m >-B ．2m >C ．3m >D ．2m <- A 解析：A【分析】首先解关于x 和y 的方程组，利用m 表示出x+y ，代入x+y ＞0即可得到关于m 的不等式，求得m 的范围．【详解】解：2133x y m x y -+⋯⎧⎨+⋯⎩＝①＝②①+②得2x+2y=2m+4，则x+y=m+2，根据题意得m+2＞0，解得m ＞-2．故选：A ．【点睛】本题考查的是解二元一次方程组和解一元一次不等式，解答此题的关键是把m 当作已知数表示出x+y 的值，再得到关于m 的不等式．9．如果a 、b 两个数在数轴上的位置如图所示，则下列各式正确的是（ ）A ．0a b +>B ．0ab <C ．0b a -<D ．0a b> B 解析：B【分析】由题意可得a 、b 的大小关系和符号关系，从而根据不等式的基本性质和有理数乘除法的符号法则可以得到正确解答．【详解】解：由题意可得：a<b ，-a>b ，所以由不等式的性质可得：b-a>0，a+b<0，故A 、C 错误； 又由题意可得a 、b 异号，所以B 正确，D 错误；故选B ．【点睛】本题考查数轴的应用，利用数形结合的思想方法、不等式的性质和有理数乘除法的符号法则求解是解题关键．10．在数轴上，点A 2，现将点A 沿数轴做如下移动，第一次点A 向左移动4个单位长度到达点1A ，第二次将点1A 向右移动8个单位到达点2A ，第三次将点2A 向左移动12个单位到达点3A ，第四次将点3A 向右移动16个单位长度到达点4A ，按照这种规律下去，第n 次移动到点n A ，如果点n A 与原点的距离不少于18，那么n 的最小值是（ ）A ．7B ．8C ．9D ．10C解析：C【分析】 根据题意依次得出点A 移动的规律，当点A 奇数次移动时，对应表示的数为负数，当点A 偶数次移动时，对应表示的数为正数，得出对应规律，根据点n A 与原点的距离不少于18，列出不等式，求解可得．【详解】解：第一次：1A4-，第二次：2A4，第三次：3A8，第四次：4A8+，...当n 为奇数时，第n142n +⨯22n -， 当n 为偶数时，第n42n ⨯2n ， ∵点n A 与原点的距离不少于18，∴2218n -≥218n ≥，解得：82n ≥+，92n ≥-，∵012<<， ∴n≥9，∴n 的最小值是9，故选C ．【点睛】本题是数字类的变化规律题，考查了解不等式，还考查了数轴的性质：向左移→减，向右移→加；从第一个点移动开始分别计算出表示的数，大胆猜想，找出对应的规律，并验证，列式计算．二、填空题11．不等式组351231148x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩的解集是__．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集找出两解集的公共部分即可【详解】解：解不等式①得：解不等式②得：所以不等式组的解集是故答案为：【点睛】本题考查了解一元一次不等式组正确求出每一个不等式解集是基 解析：8752x -< 【分析】 分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可．【详解】解：351231148x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪--⎪⎩①②， 解不等式①得：85x >-， 解不等式②得：72x ， 所以不等式组的解集是8752x -<， 故答案为：8752x -<． 【点睛】 本题考查了解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，掌握“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键．12．“x 的4倍与1的差不大于3”用不等式表示为 ________________ ．4x-13【分析】的4倍与1的差即4x-1不大于就是据此列不等式【详解】由题意得4x-13故答案为：4x-13【点睛】此题考查列不等式正确理解语句是解题的关键解析：4x-1≤3，【分析】x 的4倍与1的差即4x-1，不大于就是≤，据此列不等式．【详解】由题意得4x-1≤3，故答案为：4x-1≤3．【点睛】此题考查列不等式，正确理解语句是解题的关键．13．若关于x 的不等式组0721x m x -<⎧⎨-≤⎩的整数解共有4个，则整数解是________，m 的取值范围是________．3456【分析】首先解不等式组利用m 表示出不等式组的解集然后根据不等式组有4个整数解即可求得m 的范围【详解】由①得：由②得：∵不等式组的整数解共有4个∴整数解为3456∴m 取值范围为故答案为：345 解析：3，4，5，6 67m <≤【分析】首先解不等式组，利用m 表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有4个整数解即可求得m 的范围．【详解】0721x m x -<⎧⎨-≤⎩①②， 由①得：x m <，由②得：26x ≥，3x ≥，∵不等式组的整数解共有4个，∴整数解为3，4，5，6，∴m 取值范围为67m <≤．故答案为：3，4，5，6；67m <≤．【点睛】本题考查了不等式组的解法及整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．14．关于x ，y 的二元一次方程组23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩的解满足x +y ＞﹣1，则m 的取值范围是_____．【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得再代入可得一个关于m 的一元一次不等式然后解不等式即可得【详解】两个方程相加得：即由题意得：解得故答案为：【点睛】本题考查了二元一次方程组一元一次不等式熟练掌解析：3m <【分析】先将方程组中的两个方程相加化简可得2x y m +=-+，再代入1x y +>-可得一个关于m 的一元一次不等式，然后解不等式即可得．【详解】23224x y m x y +=-+⎧⎨+=⎩， 两个方程相加得：3336x y m +=-+，即2x y m +=-+，由题意得：21m -+>-，解得3m <，故答案为：3m <．【点睛】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式，熟练掌握二元一次方程组的特殊解法是解题关键．15．关于x 的不等式组0321x a x -≥⎧⎨->⎩有3个整数解，则a 的取值范围是________．【分析】先解出不等式组根据它有3个整数解求出a 的取值范围【详解】解：解不等式组得∵它有3个整数解∴解是-2-10∴故答案是：【点睛】本题考查函参不等式组求参数问题解题的关键是掌握解不等式组的方法解析：32a -<≤-【分析】先解出不等式组，根据它有3个整数解求出a 的取值范围．【详解】解：解不等式组得1a x ≤<，∵它有3个整数解，∴解是-2，-1，0，∴32a -<≤-．故答案是：32a -<≤-．【点睛】本题考查函参不等式组求参数问题，解题的关键是掌握解不等式组的方法．16．己知不等式组1x x a ≤⎧⎨≤⎩的解集是1x ≤，则a 的取值范围是______．a≥1【分析】已知不等式组的解集为再根据不等式组解集的口诀：同大取大得到a 的范围【详解】解：∵一元一次不等式组的解集为∴a≥1故答案为：a≥1【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法将不等式组解解析：a≥1【分析】已知不等式组的解集为1x ≤，再根据不等式组解集的口诀：同大取大，得到a 的范围．【详解】解：∵一元一次不等式组1x x a ≤⎧⎨≤⎩的解集为1x ≤， ∴a≥1，故答案为：a≥1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组解集的求法，将不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）逆用，已知不等式解集反过来求a 的范围．17．点()1,2P x x -+不可能在第__________象限．四【分析】去掉坐标轴上点的情况可分x ＜﹣2﹣2＜x ＜1与x ＞1三种情况逐一判断x －1与x+2的正负进而可得答案【详解】解：当x ＜﹣2时x －1＜0x+2＜0此时点P 在第三象限；当﹣2＜x ＜1时x －1＜解析：四【分析】去掉坐标轴上点的情况，可分x ＜﹣2、﹣2＜x ＜1与x ＞1三种情况，逐一判断x －1与x+2的正负，进而可得答案．【详解】解：当x ＜﹣2时，x －1＜0，x+2＜0，此时点P 在第三象限；当﹣2＜x ＜1时，x －1＜0，x+2＞0，此时点P 在第二象限；当x ＞1时，x －1＞0，x+2＞0，此时点P 在第一象限；综上，点P 不可能在第四象限．故答案为：四．【点睛】本题考查了平面直角坐标系的基本知识和一元一次不等式的内容，属于基本题型，正确分类、掌握解答的方法是解题关键．18．若关于x 的不等式组2()102153x m x 的解集为76x -<<-，则m 的值是______．【分析】先解不等式组得出其解集为结合可得关于的方程解之可得答案【详解】解：由①得：由②得：不等式的解集为：∵关于的不等式组的解集为【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数熟悉相关性质是解 解析：152【分析】 先解不等式组得出其解集为1262mx ，结合76x -<<-可得关于m 的方程，解之可得答案．【详解】解：2()102153x m x ①②由①得：2210x m +->，221x m >-+， 12x m >-+由②得：212x <-，6x <-， ∴不等式的解集为：162m x -+<<- ∵关于x 的不等式组的解集为76x -<<-，172m ∴-+=- 152m ∴= 【点睛】本题考查的是利用一元一次不等式组的解集求参数，熟悉相关性质是解题的关键．19．若不等式a x c x c b +>⎧⎨≥-⎩的解为x≥-b+c ，则a ，b 的大小关系一定满足：a___b ．【分析】根据不等式组的同大取大得到-b+c≥c -a 即可得到a 与b 的大小关系【详解】解不等式组解不等式①得x>c-a 解不等式②得x≥-b+c ∵不等式组的解集为x≥-b+c ∴-b+c≥c -a ∴ab 故答案 解析：≥【分析】根据不等式组的同大取大得到-b+c≥c -a ，即可得到a 与b 的大小关系. 【详解】 解不等式组a x c x c b +>⎧⎨≥-⎩①②，解不等式①得x>c-a ， 解不等式②得x≥-b+c ， ∵不等式组的解集为x≥-b+c ， ∴-b+c≥c -a ， ∴a ≥b ， 故答案为：≥. 【点睛】此题考查解不等式组，不等式组的解集的情况：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了，掌握不等式组解集的确定方法是解题的关键.20．现用甲、乙两种运输车将46吨救灾物资运往灾区，甲种车每辆载重5吨，乙种车每辆载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少需要安排 ________辆.6【解析】设甲种运输车共运输x 吨则乙种运输车共运输（46-x ）吨根据题意得≤10解不等式得：则故甲种运输车辆至少需要6辆故答案：6解析：6 【解析】设甲种运输车共运输x 吨，则乙种运输车共运输（46-x ）吨.根据题意，得x 4654x -+≤10.解不等式得：45(46)200,30x x x +-≤≥，则65x≥ ，故甲种运输车辆至少需要6辆. 故答案：6.三、解答题21．为发展校园足球运动，某城区四校决定联合购买一批足球运动装备．市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球服和足球，已知每套队服比每个足球多50元，两套队服与三个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是:若购买队服超过80套，则购买足球打八折． （1）求每套队服和每个足球的价格是多少元；（2）若城区四校联合购买100套队服和()10a a >个足球，请用含a 的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花费用；（3）在（2）的条件下，计算a 为何值时，两家商场所花费用相同；（4）在（3）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到甲、乙哪家商场购买比较合算？(直接写出方案）解析：（1）150元；100元；（2）甲商场()10014000a + ，乙商场()8015000a +元；（3）50a =；（4）当50a =时，两家花费一样；当1050a <<时，到甲处购买更合算；当50a 时，到乙处购买更合算 【分析】（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元，根据“两套队服与三个足球的费用相等”得出等量关系，列出一元一次方程，求解即可； （2）根据甲商场和乙商场的方案列出式子即可； （3）令100140008015000,a a ++＝解方程即可； （4）列出不等式分别求解即可． 【详解】解：（1）设每个足球的定价是x 元，则每套队服是()50x +元． 根据题意得()2503x x +=解得100,50150x x +＝＝． 答：每套队服150元，每个足球100元．（2）到甲商场购买所花的费用为：()1001001501001001400010a a ⎛⎫⨯+-=+ ⎪⎝⎭元； 到乙商场购买所花的费用为：()100150+100808015000a a ⨯⨯%=+元； （3）由100140008015000,a a ++＝ 得：50a =，所以：当50a =时，两家花费一样。
初中不等式知识点总结
初中不等式知识点总结初中不等式知识点总结通常不等式中的数是实数，不等式既可以表达一个命题，也可以表示一个问题。
以下是小编收集的不等式知识点总结，欢迎查看！初中不等式知识点总结1一、不等式的概念1、不等式用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2、不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
二、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
三、一元一次不等式1、一元一次不等式的概念一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。
2、一元一次不等式的解法一般步骤：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）将 x 项的系数化为 1。
四、一元一次不等式组1、一元一次不等式组的概念几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。
几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。
求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。
当任何数x 都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。
2、一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集。
（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
第九章不等式与不等式组一、目标与要求1.感受生活中存在着大量的不等关系，了解不等式和一元一次不等式的意义，通过解决简单的实际问题，使学生自发地寻找不等式的解，会把不等式的解集正确地表示到数轴上;2.经历由具体实例建立不等模型的过程，经历探究不等式解与解集的不同意义的过程，渗透数形结合思想;3.通过对不等式、不等式解与解集的探究，引导学生在独立思考的基础上积极参与对数学问题的讨论，培养他们的合作交流意识;让学生充分体会到生活中处处有数学，并能将它们应用到生活的各个领域。
人教版七年级下册数学不等式与不等式组知识点
不等式与不等式组知识点归纳上大附中 何小龙一、不等式的概念1．不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。
2．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3．不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。
4．解不等式：求不等式的解集的过程，叫做解不等式。
5．用数轴表示不等式的解集。
二、不等式的基本性质1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2．不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3．不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。
例:1．已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰是1，2，3，则a 的取值范围是 。
2．已知关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≥->-1250x a x 无解，则a 的取值范围是 。
3．不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+0221042x x 的整数解为 。
4．如果关于x 的不等式（a-1）x<a+5和2x<4的解集相同，则a 的值为 。
5．已知关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<++>+01234a x x x 的解集为2<x ，那么a 的取值范围是 。
6．当x 时，代数式52+x 的值不大于零7.若x <１，则22+-x ０（用“>”“=”或“”号填空）8.不等式x 27->１，的正整数解是9. 不等式x ->10-a 的解集为错误!未找到引用源。
<３，则a10.若a >b >c ，则不等式组⎪⎩⎪⎨⎧c x b x ax 的解集是 11.若不等式组⎩⎨⎧--3212 b x a x 的解集是－１<x <１，则错误!未找到引用源。
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不等式和不等式组
第一节 不等式
（1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．
（2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，
也可不含未知数．
1）不等式的基本性质
①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即：
若a＞b，那么a±m＞b±m；
②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即：
若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或am＞bm；
③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：
若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或am＜bm；
（2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边
都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变．
不等式的解集
（1）不等式的解的定义：
使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．
（2）不等式的解集：
能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．
（3）解不等式的定义：
求不等式的解集的过程叫做解不等式．
（4）不等式的解和解集的区别和联系
不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个
解都在它的解集的范围内．
用数轴表示不等式的解集
用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：
一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为
实心点，不含于解集即为空心点；
二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．
第二节 一元一次不等式
一元一次不等式
（1）一元一次不等式的定义：
含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．
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（2）概念解析
一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，
而一元一次方程是用等号连接．
另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，
即一元一次不等是属于不等式．
解一元一次不等式
根据不等式的性质解一元一次不等式
基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系
数为1．
以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向．
注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式．
一元一次不等式的整数解
解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再
根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题．
由实际问题抽象出一元一次不等式
用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最
多”等等，正确选择不等号．
因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系．
一元一次不等式的应用
（1） 由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案．
（2） 列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立
不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵．
（3） 列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤：
（4） ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数．
（5） ②根据题中的不等关系列出不等式．
（6） ③解不等式，求出解集．
（7） ④写出符合题意的解
第三节 一元一次不等式组
（1） 一元一次不等式组的定义：
（2） 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．
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（3） 概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但
与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两
个及以上的任意几个
解一元一次不等式组
（1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集．
（2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组．
（3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公
共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集．
方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分．
解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．
一元一次不等式组的整数解
（1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）．
解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要
的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解．
（2）已知解集（整数解）求字母的取值．
一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制
的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案．
由实际问题抽象出一元一次不等式组
由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列
出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地
方有利于自己解决此类题目．
一元一次不等式组的应用
对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解．
一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤：
（1）分析题意，找出不等关系；
（2）设未知数，列出不等式组；
（3）解不等式组；
（4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答．