上海市高二上学期期末考试数学试卷含答案
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若（），则______．22311n n n C C C --=+*n ∈N n =【答案】5【分析】结合组合数的性质即可求解.【详解】由，所以，111m m m n n n C C C ---=+23n n C C =又因为，所以，所以，即，m n m n n C C -=22n n n C C -=23n -=5n =故答案为：5.2．总体是由编号为的30个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法01,02,,29,30 是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为__________.7816157208026315021643199714019832049234493682003623486969387181【答案】19【分析】根据随机数表选取编号的方法求解即可.【详解】随机数表第1行的第5列和第6列数字为15，则选取的5个个体依次为：15，，故选出来的第5个个体的编号为19.08,02,16,19故答案为:19.3．已知所在平面外一点，且两两垂直，则点在平面内的射影应为ABC :P ,,PA PB PC P ABC 的___________心.ABC :【答案】垂【分析】设点在平面内的射影为，由已知可证明，，根据线面垂直的P ABC 1P 1PP BC ⊥PA BC ⊥判定以及性质可得.同理可得，，即可得出答案. 1BC AP ⊥1AC BP ⊥1AB CP ⊥【详解】设点在平面内的射影为，则平面. P ABC 1P 1PP ⊥ABC 又平面，所以.BC ⊂ABC 1PP BC ⊥因为，，，平面，平面， PA PB ⊥PA PC ⊥PB PC P ⋂=PB ⊂PBC PC ⊂PBC 所以平面.又平面，所以.PA ⊥PBC BC ⊂PBC PA BC ⊥因为，平面，平面，所以平面. 1PA PP P =I PA ⊂1PAP 1PP ⊂1PAP BC ⊥1PAP 又平面，所以. 1AP ⊂1PAP 1BC AP⊥同理可证，，，所以是的垂心. 1AC BP ⊥1AB CP ⊥1PABC :所以，点在平面内的射影应为的垂心. P ABC ABC :故答案为：垂.4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取50名组成志愿团，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性___________. 【答案】502023【分析】应用随机抽样定义,每各个体被抽到的概率相等求解即可.【详解】先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，每各个体被抽到的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层随机抽样的方法抽取50名，则每名学生入选的可能性为 502023故答案为:5020235．在的二项展开式中，项的系数是___________.92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭3x 【答案】672-【分析】由二项式的通项公式即可求解.【详解】二项式的通项为，92x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭9992192((C 2C )r r r r rr r T x x x --+-==-令，得，923r -=3r =所以项的系数是.3x 339(2)C 672-=-故答案为：.672-6．已知圆锥的侧面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是_________. 2π【答案】1【分析】设出圆锥底面半径和母线长，利用侧面展开后，扇形弧长公式和面积公式进行求解.【详解】设圆锥的底面半径为r ，圆锥的母线长为l ，则，解得：，又21π2π2l =2l =2ππ2πr l ==，解得：. 1r =故答案为：17．如图所示：在直三棱柱中，，，则平面与平面ABC 111ABC A B C -AB BC ⊥1AB BC BB ==11A B C 所成的二面角的大小为_____.【答案】4π【分析】通过题意易得直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半，直接得出答案． 【详解】根据题意，易得直三棱柱1即为正方体的一半，111ABC A B C -所求即为平面与平面所成的二面角，即为，∴11A B C 111A B C 11C B C ∠又△为等腰直角三角形，，11B C C 114C B C π∴∠=故答案为.4π【点睛】本题考查二面角的求法，发现“直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1即为正方体的一半”是解决本题的关键，属于中档题．8．有一道路网如图所示，通过这一路网从A 点出发不经过C 、D 点到达B 点的最短路径有___________种.【答案】24【分析】根据已知，要想避开C 、D 点，需分步考虑.得到每一步的方法种类，用分步计数原理乘起来即可得出答案.【详解】如图，由已知可得，应从点，先到点，再到点，最后经点到点即可.A E F GB 第一步：由点到点，最短路径为4步，最短路径方法种类为；A E 1343C C 4⋅=第二步：由点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为；E F 1232C C 3⋅=第三步：由点经点到点，最短路径为3步，最短路径方法种类为. F G B 111121C C C 2⋅⋅=根据分步计数原理可得，最短路径有种. 43224⨯⨯=故答案为：24.9．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以，，，，为分组作出频率分布直方图，后来茎叶图受到了污[)50,60[)60,70[)70,80[)80,90[]90,100损，可见部分信息如图，则a 的值为___________.【答案】0.02【分析】根据频率分布图可得组内有2个数据.结合茎叶图和频率分布直方图可知样本容量[]90,100，即可得出组内的数据有4个，进而求出a 的值.20n =[)80,90【详解】由频率分布直方图可得，组内数据的频率等于组内数据的频率，所以[]90,100[)50,60组内有2个数据.[]90,100设样本容量为，则，所以. n 20.0110n=⨯20n =所以组内的数据有，所以组内数据的频率等于，所以[)80,902025724----=[)80,9040.220=. 0.20.0210a ==故答案为：.0.0210．如图，四边形为梯形，，，图中阴影部分绕旋转一周所形成的ABCD //AD BC 90ABC ∠=︒AB 几何体的体积为_________【答案】． 683π【分析】由题意知：旋转所得几何体为一个圆台，从上面挖去一个半球；利用球体、圆台的体积公式求几何体体积.【详解】由题意知，所求旋转体是一个圆台，从上面挖去一个半球；圆台的上底面面积，14S π=下底面面积，216S π=∴圆台的体积为，()114163283V πππ=⨯⨯=又半球的体积为， 3214162233V ππ=⨯⨯⨯=故旋转体的体积为． 1216682833V V πππ-=-=故答案为：． 683π11．斐波那契数列是由13世纪意大利斐波那契提出的，它的通项公式为：，若，则数列通项公式为*,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦1212C C C nn n n n n S a a a =+++ {}n S ___________.*,N n nn ⎤⎥-∈⎥⎦【分析】根据已知数列的通项公式,结合二项式定理,计算可得.n S 【详解】因为, *,N n nn a n ⎤⎥=-∈⎥⎦又因为22121212C C CC C Cnn n n n nn nnn n nS a a a=+++⎤⎤⎤⎥⎥--+-⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦212122C C C C Cnnn n n n n⎤⎤⎤⎤⎤⎥⎥⎥=+⎥⎥-⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎦⎦⎦⎦121222C C C C C Cn nn nn n n n n n⎤⎤⎥⎥=++++⎥⎥+⎦+⎦0202 012012C+C C C C+C Cnnn n n n n n n⎤⎥=+++++⎥⎦11n n⎤⎤=++⎥⎥⎥⎥⎦⎦n n⎤⎥=-⎥⎦故答案为:n n⎤⎥⎥⎦-12．在棱长为的正方体中，分别为线段和平面上的动点，点11111ABCD A B C D-,F P1AC1111DCBA G为线段的中点，则周长的最小值为___________.1B C PGF:【答案】##43113【分析】若取得最小值，则在线段上，将平面绕旋转到与共面的情况，PF P11A C11AAC1AC1ABC可知过作于点，结合三角形三边关系可知的最小值为，可知所求三G11GP A C'⊥P'PF FG+P G'角形周长最小值为；利用二倍角公式可求得，在可求得，由此可得2P G'11sin AC B∠1Rt GP C':P G'结果.【详解】若取得最小值，则平面，又在平面上的投影为，PF PF ⊥1111D C B A 1AC 1111D C B A 11A C 在线段上，P ∴11A C 将平面绕旋转到与共面的情况，如图所示，11AAC 1AC 1ABC过作于点，交于点，G 11GP A C '⊥P '1AC F '（当且仅当重合，重合时取等号）， PF FG PG P G '∴+≥≥,F F ',P P '，， 1AB = 1BC =1AC =1GC =在中，∴1Rt ABC :1sin AC B ∠=1cos AC B ∠=11111sin sin 22sin cos A C B AC B AC B AC B ∴∠=∠=∠∠=则在中，， 1Rt GP C ':1112sin 3P G GC A C B '=∠==的周长.PGF ∴:423PG PF FG P G '++≥=故答案为：. 43【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中到定点和到动点的距离和的最值问题的求解，解题关键是能够通过旋转平面将立体几何中距离之和的问题，转化为平面几何中的距离之和的问题，进而结合三角形三边关系确定最值取得的情况.二、单选题13．设M ，N 为两个随机事件，如果M ，N 为互斥事件，那么（ ） A ．是必然事件 B ．是必然事件 M N ⋃M N ⋃C ．与一定为互斥事件 D ．与一定不为互斥事件M N M N 【答案】A【分析】根据对立事件和互斥事件的定义，再借助维恩图即可求解. 【详解】因为M ，N 为互斥事件，则有以下两种情况，如图所示（第一种情况）（第二种情况）无论哪种情况，均是必然事件．故A 正确．如果是第一种情况，不是必然事件，故M N ⋃M N ⋃B 不正确，如果是第一种情况，与不一定为互斥事件，故C 不正确，如果是第二种情况，M N M 与一定为互斥事件，故D 不正确. N 故选：A.14．已知平面两两垂直，直线满足：，则直线不可能满足αβγ、、a b c 、、,,a b c αβγ⊆⊆⊆a b c 、、以下哪种关系 A ．两两垂直 B ．两两平行C ．两两相交D ．两两异面【答案】B【分析】通过假设，可得平行于的交线，由此可得与交线相交或异面，由此不可能//a b ,a b ,αβc 存在，可得正确结果.////a b c 【详解】设，且与均不重合l αβ= l ,a b假设：，由可得：， ////a b c //a b //a β//b α又，可知， l αβ= //a l //b l 又，可得：////a b c //c l 因为两两互相垂直，可知与相交，即与相交或异面 ,,αβγl γl c 若与或重合，同理可得与相交或异面 l a b l c 可知假设错误，由此可知三条直线不能两两平行 本题正确选项：B 【点睛】本题考查空间中的直线、平面之间的位置关系，关键在于能够通过线面关系得到第三条直线与前两条线之间的位置关系，从而得到正确结果.15．某种疾病可分为两种类型：第一类占70%，可由药物治疗，其每一次疗程的成功率为70%，A 且每一次疗程的成功与否相互独立；其余为第二类，药物治疗方式完全无效.在不知道患者所患A 此疾病的类型，且用药物第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率最接近下列哪一A 个选项（ ） A ．0.25 B ．0.3 C ．0.35 D ．0.4【答案】B【分析】分别写出两次疗程概率,再应用独立事件概率是概率的积, 计算即可. 【详解】用药物A 第一次疗程失败的概率为0.70.3+0.3=0.51⨯用药物A 第一次疗程失败第二次疗程成功的概率为 0.70.30.7=0.3×0.49⨯⨯所以药物A 第一次疗程失败的情况下，进行第二次疗程成功的概率为，0.30.49490.30.290.5151⨯=⨯≈ 故选:B .16．已知随机变量，，，，记，其中，()2,B n p ξ:*n ∈N 2n ≥01p <<()()f t P t ξ==t ∈N 2t n ≤，现有如下命题：①；②若，则，下列判断正确的是011(2)(21)2nnt t f t f t ==<<-∑∑6np =()()12f t f ≤（ ）A ．①和②均为真命题B ．①和②均为假命题C ．①为真命题，②为假命题D ．①为假命题，②为真命题【答案】D【分析】根据已知得出.取，根据二项式定理求出奇数项和偶数项()()22C 1n tt t n f t p p -=⋅⋅-12p =和，即可判断命题①真假；先利用分布列的表达式得出，判断()()()()()()1211111f t n p t f t t p ++-+=++-()f t的增减性.讨论是否为整数，得出最大项.最后根据已知，即可判断命题②真假. ()21n p +【详解】由已知可得，.()()()22C 1n tt t n f t P t p p ξ-===⋅⋅-对于命题①，当时，. 12p =()()2222111C 1C 222tn tnt t n n f t P t ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅-=⋅ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭因为， ()()0221321222222C C C C C C n n n n n n n n -+++++++L L ()2012212222222C C C C C 112nn nn n n n n n -=+++++=+=L ()()221321222222CC C C C C n n nn n n n n -+++-+++L L ，所以()()()()()()0122122012212222221C 1C 1C 1C 1C 110n n nn nn n n n n --=-⨯+-⨯+-⨯++-⨯+-⨯=-=L . 022132121222222C C C C C C 2n n n n n n n n n--+++=+++=L L 所以，所以，所以()222222221111(2)2222C C Cn nnnnn t nnf t -=+⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭++⋅⋅∑ 101(21)(2)2n nt t f t f t ==-==∑∑①为假命题；对于命题②，若.()~2,B n p ξ()()()()21112221C 1C 1n t t t n n tt t n f t p p f t p p --++-+⋅⋅⋅⋅-=-()()()211n t p t p -=+-()()()()()()2111111n p t t p t p +-+++-=+-.()()()()211111n p t t p +-+=++-当时，，随着的增加而增加；当时，()121t n p +<+()()1f t f t +>()f t t ()121t n p +>+，随着的增加而减小.()()1f t f t +<()f t t 当为整数时，或时，有最大值；当不为整数()21n p +()21t n p =+()211t n p =+-()f t ()21n p +时，为的整数部分时，有最大值.因为，，所以当t ()21n p +()f t ()2112n p p +=+01p <<12t =时，最大，所以有，所以②为真命题. ()f t ()()12f t f ≤故选：D.三、解答题17．如图，在直三棱柱中，，，，交于点111ABC A B C -2AB AC ==14AA =AB AC ⊥1BE AB ⊥1AA E ，D 为的中点.1CC(1)求证：平面；BE ⊥1AB C (2)求直线与平面所成角的大小. 1B D 1AB C 【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）先证明，从而可得平面，进而可得，再由线面垂直1AA AC ⊥AC ⊥11AA B B AC BE ⊥的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用向量法求解即可 1AB C 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱， 111ABC A B C -所以平面， 1AA ⊥ABC 又平面， AC ⊂ABC 所以.1AA AC ⊥因为，，，平面，平面， AC AB ⊥1AA AC ⊥1AB AA A ⋂=AB ⊂11AA B B 1AA ⊂11AA B B 所以平面. AC ⊥11AA B B 因为平面， BE ⊂11AA B B 所以.AC BE ⊥因为，，，平面，平面， 1BE AB ⊥AC BE ⊥1AC AB A ⋂=AC ⊂1AB C 1AB ⊂1AB C 所以平面.BE ⊥1AB C （2）由（1）知，，两两垂直，如图建立空间直角坐标系. AB AC 1AA A xyz -则，，，，，()0,0,0A ()12,0,4B ()0,2,0C ()2,0,0B ()0,2,2D 设，，，，()0,0,E a ()12,0,4AB = ()2,0,BE a =-()0,2,0AC =因为，所以，即，则， 1AB BE ⊥440a -=1a =()2,0,1BE =- 由（1）平面的一个法向量为.1AB C ()2,0,1BE =-又()12,2,2B D =--设直线与平面所成角的大小为，则1B D 1AB C π20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭11πsin cos 2BE B DBE B D θθ⋅⎛⎫=-== ⎪⎝⎭因此，直线与平面所成角的大小为. 1B D 1ABC18．兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm 的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸3cm 成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm ，求至少经过多少2100cm ⨯次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）【答案】至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求7【分析】拉伸之后面条数列为等比数列，可得拉伸后面条的数量；由圆柱的体积公式，结合等体积法即可求得拉伸后面条的截面半径，进而得解.【详解】经过次对折拉伸之后面条的数量成等比数列， n 因而可知经过次对折拉伸之后面条的长度为， n 12100n -⨯设拉伸次后面条的截面半径为，由面团体积为可得 n r 31000cm ，121002π1000n r -⨯⨯⨯=又因为直径， 122d r =≤即得,,是单调递增的 2121012π4n r -=≤⨯5102πn -≤52n y -=且当时,,当时, , 6n =102π>7n =104π≤所以至少经过次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求719．一个随机变量的概率分布为：，其中A ，B ，C 为锐角三角形ABC 的三个ζ()12cos2sin x x A B C ⎛⎫⎪+⎝⎭内角.(1)求A 的值；(2)若，求数学期望的取值范围. 12cos sin x B x C ==，E ζ【答案】(1)π6(2)34⎫⎪⎪⎭【分析】(1)根据概率分布的概率性质计算即可;(2)把转化为三角函数,根据角的范围确定三角函数的值域可解. E ζ【详解】（1）由已知可知: cos2sin 1A A +=,,212sin sin 1A A -+=()sin 12sin 0A A -=又因为为锐角, ,所以,即得. A sin 0A >1sin 2A =π6A =（2）因为 12cos sin xB xC ==，所以cos cos2sin sin 11cos sin 22E B A C A B C ζ=+=+ 11πcos sin 226B B ⎛⎫=++⎪⎝⎭111cos sin cos 22213sin cos 22B B B B B ⎛⎫=++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭1sin cos 2π3B B B =⨯+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭又因为是锐角三角形,且,所以ABC :π6A =ππ32B <<, 2ππ5π336B <+<π1sin 32B ⎛⎛⎫+∈ ⎪ ⎝⎭⎝π334B ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭34E ζ⎫∈⎪⎪⎭20．《瀑布》（图1）是最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻，画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形n n n n A B C D ，的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点1,2,3n =,n n P Q ，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，，，如（图3）.埃11,P Q 2222A B C D m E m F 1,2,3,4m =舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与11122A PE P E -22131A P E P F -(1)求异面直线与成角余弦值； 12P A 12Q B (2)求平面与平面的夹角正弦值； 111P A E 122A E P (3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）. 【答案】(1)；13；(3)表面积为，体积为. 2【分析】（1）以点为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，建立空间直角O 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z 坐标系.写出点的坐标，求出，，根据向量即可结果；()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r（2）根据坐标，求出平面与平面的法向量，根据向量法可以求出法向量夹角的余弦111P A E 122A E P 值，进而得出结果；（3）由已知可得，四边形为菱形.根据向量法求出四棱锥的体积以及表面积即1122PE P E 11122A PE P E -可得出结果.【详解】（1）解：由题意可知，两两垂直，且.以点为坐标原221,,OP OQ OP 2211OP OQ OP ===O 点，分别以的方向为轴的正方向，如图5，建立空间直角坐标系. 221,,OP OQ OP u u u r u u u u r u u u r,,x y z则由题意可得，，，，，，，()0,0,0O ()21,0,0P ()20,1,0Q ()10,0,1P ()21,1,0B ()11,0,1A ()21,1,0A -，.()10,0,1Q -又分别是的中点，所以，. 12,E E 1212,P A PB 1111,,222E ⎛⎫- ⎪⎝⎭2111,,222E ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()121,1,1P A =--u u u r ()121,1,1Q B =u u u u r 则，12121cos ,3P A Q B <=-u u u r u u u u ru u u r u u u u r 所以异面直线与成角余弦值为. 12P A 12Q B 13（2）解：由（1）可得，，，，.()111,0,0P A =u u u r11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ()210,0,1P A =u u u r 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 设是平面的一个法向量，()1111,,n x y z =111P A E 则， 1111110n P A n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即， 111101110222x x y z =⎧⎪⎨--=⎪⎩令，可得是平面的一个法向量. 11y =()10,1,1n =-111P A E 设是平面的一个法向量，()2222,,n x y z =122A E P 则， 22122200n P A n P E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即，取，可得是平面的一个法向量. 222201110222z x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩21x =()21,1,0n = 122A E P 则，1212121cos ,2n n n n n n ⋅<>===u r u u ru r u u r u r u u r所以平面与平面. 111P A E 122A E P =（3）解：由（1）（2）可得，，，，()121,0,1PP =-u u u r()120,1,0E E =u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r ，，. 22111,,222P E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 所以，2211P E PE =-u u u u r u u u r 所以∥且，所以四边形为平行四边形. 22P E 11PE 2211=P E PE 1122PE P E 又，()()12121,0,10,1,00PP E E ⋅=-⋅=u u u r u u u u r所以，即， 1212PP E E ⊥u u u r u u u u r1212PP E E ⊥所以四边形为菱形.1122PE P E ，， 121E E =u u u u r 所以. 112212112P E P E S PP E =⨯⨯u u u r u u u 设是平面的一个法向量，则，()3333,,n x y z = 1122PE P E 31231100n PP n PE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，取， 3333301110222x z x y z -=⎧⎪⎨--=⎪⎩31x =则是平面的一个法向量.()31,0,1n =u r1122PE P E 又，所以点到平面的距离()111,0,0A P =-u u u r 1A 1122PE P Ed 所以四棱锥的体积. 11122A PE P E -11221111336P E P E V S d =⨯⨯==因为，，. ()111,0,0A P =-u u u r12111,,222PE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u u r 11111,,222PE ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭u u u r 所以在方向上的投影为 11A P u u u r 12PE u u u u r 111212AP PE PE ⋅==u u u r u u u u r u u u u r 所以点到直线的距离. 1A 12PE 1h 同理可得点到直线的距离1A 11PE 2h =所以四棱锥的侧面积11122A PE P E -1121114422S PE h =⨯⨯⨯==u u u u r 所以埃舍尔体的表面积为，体积为.112S =1122V =21．随着网络的快速发展，电子商务成为新的经济增长点，市场竞争也日趋激烈，除了产品品质外，客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力，衡量一位客服工作能力的重要指标—询单转化率，是指咨询该客服的顾客中成交人数占比，可以看作一位顾客咨诲该客服后成交的概率，已知某网店共有10位客服，按询单率分为，两个等级（见表），且视，等级客服的询单转A B A B 化率分别为对应区间的中点值.等级A B询单转化率70%%[90，） 50%%[70，）人数6 4(1)求该网店询单转化率的平均值；(2)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训，求这4人的询单转化率的中位数不低于的概70%率；(3)已知该网店日均咨询顾客约为1万人，为保证服务质量，每位客服日接待顾客的数量不超过1300人.在网店的前期经营中，进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待，为了提升店铺成交量，网店实施改革，经系统调整，进店咨询的每位顾客被任一位A 等级客服接待的概率为a ，被任一位B 等级客服接待的概率为b ，若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300人，则a 应该控制在什么范围？ 【答案】(1)； 72%(2)； 3742(3). 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由已知分别求出、等级客服的询单转化率，根据平均数公式求出即可； A B （2）设A 等级客服的人数为，则的可能取值为，对应的询单转化率中位数分别为X X 0,1,2,3,4，进而利用超几何分布求出对应的概率，求出答案；60%,60%,70%,80%,80%（3）根据二项分布的期望公式计算出改革前的日均成交人数为7200，然后表示出改革后的日均成交人数，结合每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，列出不等式组，即可求出120006000a +a 的取值范围.【详解】（1）解：由已知可得，等级客服的询单转化率为，等级客服的询单转化率为A 80%B 60%，所以该网店询单转化率的平均值为.80%660%472%10⨯+⨯=（2）解：由（1）知：、等级客服的询单转化率分别为. A B 80%,60%设抽取4位客服中，等级客服的人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3,4. A 由题意可得，服从超几何分布.X 当时，4人转化率为，中位数为； X 0=60%,60%,60%,60%60%当时，4人转化率为，中位数为； 1X =60%,60%,60%,80%60%当时，4人转化率为，中位数为； 2X =60%,60%,80%,80%70%当时，4人转化率为，中位数为； 3X =60%,80%,80%,80%80%当时，4人转化率为，中位数为. 4X =80%,80%,80%,80%80%所以，当时，这4人的询单转化率的中位数不低于.2X ≥70%因为，服从超几何分布，所以的分布列为，. X X ()464410C C C k k P X k -⋅==0,1,2,3,4k =所以. ()()()2101P X P X P X ≥=-=-=04136464441010C C C C 371C C 42⋅⋅=--=（3）解：设改革前后等级客服的接待顾客人数分别为. A ,Y Z 则改革前，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 163105P ==所以，则.310000,5Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭()31000060005E Y =⨯=因为，等级客服的询单转化率分别为，A B 80%,60%所以改革前日均成交人数为； ()600080%10000600060%7200⨯+-⨯=改革后，每位进店咨询顾客被等级客服接待的概率为， A 26P a =所以，则，()10000,6Z B a ~()10000660000E Z a a =⨯=故改革后日均成交人数为. ()6000080%100006000060%120006000a a a ⨯+-⨯=+由得：，①1200060007200300a +≥+18a ≥因为每位顾客被一位等级客服接待的概率为，又，所以每位顾客被一位等级客服A a 641a b +=B 接待的概率为. 164ab -=又每位客服日接待顾客的数量不超过1300人，所以， 100001300161000013004a a≤⎧⎪⎨-⋅≤⎪⎩解得：，②13100225a a ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩由①②得：，所以应该控制在. 1138100a ≤≤a 113,8100⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
上海市重点高中高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．若圆柱的高、底面半径均为1，则其表面积为___________． 【答案】4π【分析】根据圆柱表面积公式求解即可.【详解】根据题意得到圆柱的高，底面半径， 1h =1r =则表面积. ()24S r r h ππ=+=故答案为：4π2．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别为人、80100人、人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受12015情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________. 【答案】6【分析】根据分层抽样的性质即可求解. 【详解】应该从青年员工中抽取的人数为人.120156********⨯=++故答案为：63．袋中装有形状与质地相同的个球，其中黑色球个，记为，白色球个，记为，4212B B 、212W W 、从袋中任意取个球，请写出该随机试验一个不等可能的样本空间：_____. 2Ω=【答案】（答案不唯一）121121{},,B B BW B W 【分析】先写出袋中任取个球，共有的情况，再写出一个不等可能的样本空间即可. 2【详解】从袋中任取个球，2共有如下情况.121112212212,,,,,B B BW BW B W B W WW 其中一个不等可能的样本空间为，121121Ω},,{B B BW B W =此样本空间中两个黑球的情况有1个，一黑一白的情况有2个，是不等可能的样本空间. 故答案为：.(答案不唯一)121121Ω},,{B B BW B W =4．已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则母线与底面所成角的大小为_____. 1cm 22cm π【答案】3π【解析】由圆锥的底面半径为和侧面积,求出圆锥的母线长,即可求得答案. 1cm 22cm π【详解】设底面半径为,母线长为,底面中心为, r SA l O 如图:12S rl l πππ==⋅⋅=圆锥侧面积解得:2l =在中, SOA Rt ∆1cos 2OA SAO SA ∠==∴3SAO π∠=故母线与底面所成角的大小为:.3π故答案为:.3π【点睛】本题主要考查了求母线和底面夹角,解题关键是掌握圆锥的特征,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题.5．某公司决定利用随机数表对今年新招聘的名员工进行抽样调查他们对目前工作的满意程800度，先将这名员工进行编号，最后一位编号为，从中抽取名进行调查，下图提供随机数80080080表的第行到第行：4632 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42 84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04 32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 43 77 89 23 45若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则抽到的第名员工的编号是_____. 5636【答案】328【分析】根据随机数表的抽法及所给数表依次抽取即可.【详解】前名员工的编号是：，其中超过和与前面重复的去掉不算， 6253,313457,736,007,328,800故抽到的第名员工的编号是. 6328故答案为：3286．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出名学生参加数学赛，他们取得的成绩（满分分）8100的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是，乙班学生成绩的中位数是，则的值8683x y +为________.【答案】10【分析】根据茎叶图可计算平均数和中位数即可求解.【详解】甲班平均分()18678798285868094968x =⨯++++++++解得，乙班中位数是第个数和第个数的平均数， 8x =45即，解得，所以. 8084832y ++=2y =10x y +=故答案为：107．圆台的轴截面上、下底边长分别为和，母线长为，则圆台的体积是______. 462【分析】由题可得圆台上下底面的半径分别为和，结合母线长可得圆台的高，后由圆台体积公23式可得答案.【详解】由题可得圆台上底面半径，下底面半径.又母线l 长为， 2r =3R =2则圆台的高h ===故圆台的体积.()()222211223333V h r rR R =⋅++=+⨯+=ππ8．某创业公司共有名职工，为了了解该公司职工的年龄构成情况，随机采访了位代表，得到369的数据分别为.若用样本估计总体.则公司中年龄在内的人数占36,36,37,37,40,43,43,44,44(),x s x s -+总人数的百分比是__________. （其中是平均数，为标准差，结果精确到） x s 1%【答案】56%【分析】先求得平均数和方程，根据题意求得正确答案. 【详解】因为，363637374043434444409x ++++++++==，即，2161699099161610099s ++++++++==103s =， 110130,33x s x s -=+=所以年龄在内的人数为， 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5所以年龄在内的人数占公司总人数的百分比约为. 110130,33⎛⎫⎪⎝⎭5100%56%9⨯≈故答案为：56%9．如图，在棱长为的正方体中，为底面内（包括边界）的动点，满31111ABCD A B C D -P ABCD足：直线与直线所成角的大小为，则线段扫过的面积为__________. 1D P 1CC π6DP【答案】3π4【分析】根据题意确定与直线所成角的大小为，从而得到，即可求解. 1D P 1DD π6DP =【详解】由题意得，要使直线与直线所成角的大小为， 11//DD CC 1D P 1CC π6只需与直线所成角的大小为， 1D P 1DDπ6所以绕以夹角旋转为锥体的一部分，如图所示： 1D P 1DD π6，所以1π6tan DP DD=DP =点的轨迹是以 PD 所以在上扫过的面积为. DP ABCD 213ππ44⨯⨯=故答案为:. 3π410．从正方体的八个顶点中随机选取3个点，这3个点可以构成直角三角形的概率为___________ 【答案】67【分析】求出基本事件的总数，考虑表面和对角面求出可以构成三角形的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.【详解】从正方体的八个顶点中随机选取3个点，共有，38876C 56321⨯⨯==⨯⨯正方体有个面和个对角面都是正方形或矩形，每个图形中都有个直角三角形， 6634C 所以有个直角三角形， 3412C 48⨯=所以所求的概率为， 486567=故答案为：. 6711．现对某批电子元件的寿命进行测试，因此使用随机数法从该批次电子元件中抽取200个进行加速寿命试验，测得的寿命（单位：h ）结果如下表所示： 寿命（h ） 100 120 140 160 180 200 220 240 个数 1032443424261218试估计这批电子元件的第60百分位数____________ 60P =【答案】170【分析】根据条件及百分位数的含义即得. 【详解】∵，1032443460200100+++=故这批电子元件的第60百分位数160. 160180601702P +==故答案为：170.12．甲、乙两位同学参加元旦抽奖活动，老师在不透明箱子内放入形状与质地相同的个球，其20中有个红球，个白球，每人每次只能抽取一个球.规定：①抽取后放回；②甲同学只能抽取一1010次，乙同学可以抽取两次；③红球抽取个数较多的同学可以获得奖品.则乙同学获得奖品概率是________. 【答案】##0.512【分析】列出乙同学红球抽取个数较多的所有情况，计算出概率之和.【详解】甲乙抽取一次抽到红球或者白球的概率都是，每次摸球相互独立，乙同学要获得奖品的12话，需要比甲同学抽取的红球多，可能的情况有：①甲红乙两红，概率为；111222⨯⨯②甲白乙先红后白，概率为；111222⨯⨯③甲白乙先白后红，概率为；111222⨯⨯④甲白乙两红，概率为，111222⨯⨯所以乙获胜的概率是.111142222⨯⨯⨯=故答案为：12二、单选题13．现要完成下列项抽样调查：2①从盒饼干中抽取盒进行食品卫生检查；4②某中学共有名教职工，其中一般教师名，行政人员名，后勤人员名，为了了解教3602805525职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为的样本，较为合理的抽样方法是（ ） 72A ．①简单随机抽样，②分层抽样 B ．①简单随机抽样，②简单随机抽样 C ．①分层抽样，②分层抽样 D ．①分层抽样，②简单随机抽样 【答案】A【分析】根据简单随机抽样和分层抽样的特征判断抽样方法. 【详解】①总体中的个体数较少，宜用简单随机抽样； ②总体是由差异明显的几部分组成，宜用分层抽样． 故选：A.14．接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有不会感染这种病毒，若有人接种了这种疫苗，则最多人被感染的概率为80%41（ ） A ．B ．C ．D ．5126252566251136251625【答案】A【分析】最多人被感染即4人没有人感染和4人中恰好有1人被感染，利用独立重复试验的概率1和互斥事件的概率求解.【详解】由题得最多人被感染的概率为. 1041344414256256512(()()555625625C C ++==故选：A【点睛】方法点睛：求概率常用的方法：先定性（确定所求的概率是六种概率（古典概型的概率、几何概型的概率、互斥事件的概率、独立事件的概率、独立重复试验的概率、条件概率）的哪一种），再定量.15．如图，已知正方体，M ，N 分别是，的中点，则（ ）1111ABCD A B C D -1A D 1D BA ．直线与直线垂直，直线平面 1A D 1DB //MN ABCD B ．直线与直线平行，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD BC ．直线与直线相交，直线平面 1AD 1D B //MN ABCD D ．直线与直线异面，直线平面 1A D 1D B //MN 11BDD B 【答案】A【分析】连接，由三角形中位线定理可得，再由线面平行的判定定理可得∥平面1AD ∥MN AB MN ，由线面垂直的判定定理可证得平面，从而得.ABCD 1A D ⊥1ABD 11A D D B ⊥【详解】连接，在正方形中，由M 为的中点，可知，且M 为1AD 11ADD A 1A D 11AD A D M = 1A D 的中点，.11AD A D ⊥又∵N 为D ，B 的中点，∴. ∥MN AB ∵平面，平面， AB ⊂ABCD MN ⊄ABCD ∴∥平面.MN ABCD ∵平面，平面， AB ⊥11ADD A 1A D ⊂11ADD A ∴，1AB A D ⊥∵，平面，1AB AD A = 1,AB AD ⊂1ABD∴平面， 1A D ⊥1ABD ∵平面， 1D B ⊂1ABD ∴，故A 正确. 11A D D B ⊥故选：A16．如图两正方形，所在的平面垂直，将沿着直线旋转一周，则直线与ABCD CDFE EFC ∆FC EC 所成角的取值范围是（ ）ACA ．B ．C ．D ．5,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【分析】可证得，故，，当沿着直线旋转一周，AF AC CF ==3ACF π∠=4ECF π∠=EFC ∆FC ，且，结合线线角的取值范围即得解.CEA ECF FCA ∠≤∠+∠CEF ACF ECF ∠≥∠-∠【详解】如下图所示，连接，因为正方形和，则，，又因为面AF ABCD CDFE AD CD ⊥FD CD ⊥AD DC DF ==面，面面，ABCD ⊥CDFE ABCD ⋂CDFE CD =则面， AD ⊥CDFE 因此.AD DF ⊥因此，，， 222AF AD DF =+222AC AD DC =+222CF CD DF =+则， AF AC CF ==因此 3ACF π∠=因为，4ECF π∠=则当沿着直线旋转一周， EFC ∆FC 712CEA ECF FCA π∠≤∠+∠=，12CEF ACF ECF π∠≥∠-∠=当为锐角或直角时，直线和所成角的等于 CEF ∠EC AC CEF ∠当为钝角时，直线和所成的角等于的补角CEF ∠EC AC CEF ∠因此直线和所成的角的取值范围是EC AC ,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：C .【点睛】本题考查了空间中直线与直线的夹角，考查了学生空间想象，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题17．如图，圆锥的底面直径与母线长均为4，PO 是圆锥的高，点C 是底面直径AB 所对弧的中点，点D 是母线PA 的中点.(1)求该圆锥的体积；(2)求直线CD 与平面PAB 所成角的大小.【答案】(2)4π【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.（2）作出直线CD与平面PAB所成角，解直角三角形求得角的大小.【详解】（1）依题意可知圆锥的底面半径，高2 r=OP==所以圆锥的体积为.2123π⨯⨯⨯=（2）连接，由于是的中点，所以，OD D PA122OD PA==由于是弧的中点，所以，C AB OC AB⊥根据圆锥的几何性质可知，,OC OP AB OP O⊥⋂=所以平面，所以是直线CD与平面PAB所成角的平面角.OC⊥PAB ODC∠在中，，所以.Rt ODC,22COD OD OCπ∠===4ODCπ∠=即直线CD与平面PAB所成角的大小为.4π18．某学校对任课教师的年龄状况和接受教育程度（学历）做调研，其部分结果（人数分布）如表：学历35岁以下35～50岁50岁以上本科80 30 20研究生x 20 y（1）用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的教师中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人的学历为研究生的概率；（2）若按年龄状况用分层抽样的方法抽取N 个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N 个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为，求x 、y 的值.【答案】（1）（2）x ＝40，y ＝5 710【详解】试题分析：（1）由题意得：抽到35岁至50岁本科生3人，研究生2人，由此利用列举法能求出从中任取2人，至少有l 人的学历为研究生的概率.（2）由题意得：，由此能求出10539N =N ，从而能求出x ，y 的值试题解析：（1）用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m ，∴，解得m ＝3.∴抽取了学历为研究生的2人，学历为本科的3人， 分别记作S 1、S 2；B 1、B 2、B 3.从中任取2人的所有基本事件共10个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3），（S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2），（B 1，B 2）， （B 2，B 3），（B 1，B 3）.其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：（S 1，B 1），（S 1，B 2），（S 1，B 3）， （S 2，B 1），（S 2，B 2），（S 2，B 3），（S 1，S 2）.∴从中任取2人，至少有1人的教育程度为研究生的概率为（2）依题意得：，解得N ＝78.∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20.∴ ,解得x ＝40，y ＝5.∴x ＝40，y ＝5.【解析】古典概型及其概率计算公式19．在长方体中，，，，为棱的中点.1111ABCD A B C D -2AB =2BC =14CC =M 1CC（1）求证：平面；BM ⊥11A B M （2）求异面直线和所成的角的大小. BM 1B A【答案】（1）证明见详解；（2）【分析】（1）由题中长度关系，可以证明,即，由平面22211BB BM B M =+1BM B M ⊥11A B ⊥11BCC B ，可以证明，即得证；11A B BM ⊥（2）取为中点，有，异面直线和所成的角的大小即为，利用余'M 1DD '//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠弦定理可得解【详解】（1）由题意，，，，为棱的中点. 2AB =2BC =14CC =M 1CC故114BM B M BB =====即：222111BB BM B M BM B M =+∴⊥又长方体，故平面 1111ABCD A B C D -11A B ⊥11BCC B 平面，BM ⊂11BCC B 11A B BM ∴⊥又1111A B B M B = 平面BM ∴⊥11A B M （2）取为中点，连接，故 'M 1DD 'MM '////MM CD AB 且'MM CD AB ==故四边形为平行四边形'ABMM 故，即异面直线和所成的角的大小即为'//AM BM BM 1B A 1'B AM ∠连接，11B D11''B A AM B M======2221111''cos'2'AB AM B MB AMAB AM+-∠==⋅1'B AM∴∠=因此异面直线和所成的角的大小为BM1B A【点睛】本题考查了线面垂直的证明和异面直线的夹角的求解，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题20．如图所示为M、N两点间的电路，在时间T内不同元件发生故障的事件是互相独立的，它们发生故障的概率如下表所示：元件1K2K1L2L3L概率0.6 0.5 0.4 0.5 0.7(1)求在时间T内，与同时发生故障的概率；1K2K(2)求在时间T内，由于或发生故障而使得电路不通的概率；1K2K(3)求在时间T 内，由于任意元件发生故障而使得电路不通的概率． 【答案】(1)0.3； (2)0.8； (3)0.94【分析】（1）利用独立事件概率公式即求；（2）利用互斥事件概率公式及独立事件概率公式即求；（3）设表示发生故障，由题可得，即得. i B (1,2,3)i L i =()()()32122P P P B P B P B =+【详解】（1）设表示发生故障， i A (1,2)i K i =则，()()120.6,0.5P A P A ==单位时间T 内，与同时发生故障的概率：1K 2K ．()()1120.60.50.3P P A P A ==⨯=（2）在时间T 内．由于或发生故障而影响电路的概率：1K 2K ． ()()()()()()2121212P P A P A P A P A P A P A =++0.60.50.40.50.60.50.8=⨯+⨯+⨯=（3）设表示发生故障，则i B (1,2,3)i L i =，()()()1230.4,0.5,0.7P B P B P B ===在时间T 内，任一元件发生故障而影响电路的概率：()()()32122P P P B P B P B =+0.80.40.50.7=+⨯⨯．0.94=21．前些年有些地方由于受到提高的影响，部分企业只重视经济效益而没有树立环保意识，GDP 把大量的污染物排放到空中与地下，严重影响了人们的正常生活，为此政府进行强制整治，对不合格企业进行关闭、整顿，另一方面进行大量的绿化来净化和吸附污染物.通过几年的整治，环境明显得到好转，针对政府这一行为，老百姓大大点赞.（1）某机构随机访问50名居民，这50名居民对政府的评分如下表：分数[70,75)[75,80)[80,85)[85,90)[90,95)[95,100]频数 2 3 11 14 11 9请在答题卡上作出居民对政府的评分频率分布直方图：（2）当地环保部门随机抽测了2018年11月的空气质量指数，其数据如下表： 空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200天数2 18 8 2用空气质量指数的平均值作为该月空气质量指数级别，求出该月空气质量指数级别为第几级？（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率）（相关知识参见附表）（3）空气受到污染，呼吸系统等疾病患者最易感染，根据历史经验，凡遇到空气轻度污染，小李每天会服用有关药品，花费50元，遇到中度污染每天服药的费用达到100元.环境整治前的2015年11月份小李因受到空气污染患呼吸系统等疾病花费了5000元，试估计2018年11月份（参考（2）中表格数据）小李比以前少花了多少钱的医药费？ 附：空气质量指数（）AQI 0-50 50-100 100-150 150-200 200-300300 空气质量指数级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ Ⅵ 空气质量指数优良轻度污染中度污染重度污染严重污染【答案】（1）见解析（2）指数为第Ⅱ级，属于良（3）相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费【分析】（1）由题可计算出频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，然后画图．（2）由题计算得该月空气质量指数平均值为，）指数为第Ⅱ级，属于良91.667100<（3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天，则可计算该月的药费，从而得到答案． 【详解】解：（1）由评分表可知，相应区间频率/组距的值分别为0.008，0.012，0.044，0.056，0.044，0.036，其频率分布直方图如图所示：（2）由题得，该月空气质量指数平均值为 .22518758125217591.66710030⨯+⨯+⨯+⨯≈<对照表格可知，该月空气质量指数为第Ⅱ级，属于良. （3）2018年11月份轻度污染有8天，中度污染有2天， 所以小李花费的药费为元. 8502100600⨯+⨯=又元，50006004400-=所以相比2015年11月份，小李少花费了4400元的医药费. 【点睛】本题由图表计算即可，属于简单题．。
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题(含解析)
过 F2 的直线与双曲线的右支交于 A 、 B 两点，
由切线长定理可得 AM AN ， F1M F1G ， F2G F2N ，
所以， AF2 F1F2 AF1 AN F2N F1G F2G AM F1M
F2N F2G 2 F2G 2c 2a ，则 F2G c a ，所以点 G 的横坐标为 c c a a .
n
a1
1 2
2a1 d
d
0，
与已知 Sn 0 恒成立，矛盾， 所以，假设不成立，所以 d 0 .
所以an 是严格增数列，故②正确； 对于③，设数列an 公比为 q ，则由已知可得 a1 0 ， q 1.
所以
S2023
a2023
a1
1 q2023 1 q
a1q2022
a12q2022
【详解】对于①，设 an 公差为d ，则 an1 an d ，
an1
2 2 2 则
an1 an
d
2an
个常数，所以 2an 为等比数列，故①正确；
是 对于②，设d 0，显然有a1 0.
则当 n 2a1 1时，有 n 1 2a1 ，
d
d
有
Sn
na1
nn 1ห้องสมุดไป่ตู้
2
d
n
a1
n 1d 2
0 3
0
即可得出答案.
【详解】将直线方程 2x my 3m 0 化为 2x m y 3 0 .
x 0
x 0
解
y
3
0
，可得
y
3
，
所以，当 m 变动时，所有直线都通过定点 0, 3 .
故答案为： 0, 3 .
2. 已知直线 l1 ： x 2y 3 0 ， l2 ： x ay 1 0 ，若 l1 l2 ，则实数 a 的值为______.
上海市高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______． 【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形，边长等于2 ABC ∴圆锥的高，2AO ==底面半径.1212r =⨯=∴这个圆锥的表面积：.221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=故答案为．3π【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知数列是等差数列，，，则这个数列的公差_________. {}n a 920a =209a =d =【答案】1-【分析】根据等差数列通项公式直接计算.【详解】由等差数列得，91201820199a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩解得，1281a d =⎧⎨=-⎩故答案为：.1-3．设，则方程的解集为______.()2xf x =()ln 4f x '=【答案】##{|1}x x ={1}【分析】解方程即得解.2ln 2ln 4x =【详解】解：由题得. 2ln 2ln 4,2ln 22ln 2,22,1x x x x =∴=∴=∴=所以方程的解集为. {|1}x x =故答案为：{|1}x x =4．的展开式中的系数为_______．252()x x+4x 【答案】40【分析】根据二项定理展开通项，求得的值，进而求得系数． 10352r r rC x -r 【详解】根据二项定理展开式的通项式得 2510355()()22r r r r r rC x C xx--=所以 ，解得1034r -=2r =所以系数225240C ⨯=故答案为：40【点睛】本题考查了二项式定理的简单应用，属于基础题．5．我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除，某单位老年、中年、青年员工分别有80人、100人、120人，现采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为________人． 【答案】12【分析】根据分层抽样的抽样原理即可求解．【详解】采用分层随机抽样的方法，从该单位上述员工中抽取30人调查专项附加扣除的享受情况，则应该从青年员工中抽取的人数为．120301280100120⨯=++故答案为：12．6．从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天均安排742人，且人员不重复，则一共有___________种安排方式（结果用数值表示）. 1【答案】420【分析】分别确定第一天、第二天、第三天值班的人，结合分步乘法计数原理可求得结果. 【详解】从个人中选人负责元旦三天假期的值班工作，其中第一天安排人，第二天和第三天742均安排人，且人员不重复，1由分步乘法计数原理可知，不同的安排方法种数为.211754C C C 2154420=⨯⨯=故答案为：.4207．已知随机事件和相互独立，若，（表示事件的对立事件），则A B ()0.36P AB =()0.6P A =A A __________()P B =【答案】0.9【分析】求出的值，再利用独立事件的概率乘法公式可求得的值. ()P A ()P B 【详解】由对立事件的概率公式可得， ()()10.6P A P A =-=由独立事件的概率乘法公式可得，因此，. ()()()P AB P A P B =()()()0.9P AB P B P A ==故答案为：.0.98．已知数列的前项和为，满足对任意的，均有，则______. {}n a n n S *N n ∈1n n S a +=-6a =【答案】 164-【分析】根据递推公式得到，所以数列是以为首项，以为公比的等比数112n n a a -={}n a 112a =-12列，利用等比数列的通项即可求解.【详解】因为对任意的，均有，则有， *N n ∈1n n S a +=-1n n S a =--当时，，所以；1n =1111a S a ==--112a =-当时，，也即， 2n ≥1111n n n n n a S S a a --=-=--++112n n a a -=因为，所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，112a =-{}n a 112a =-12所以，则，1111((22n n n a a -=⋅=-6164a =-故答案为：. 164-9．由0、1、2、3、4、5六个数字组成无重复数字且数字2、3相邻的四位数共______个（结果用数字表示）． 【答案】60【分析】分两种情况：四位数有0和没有0时，然后求出数字2,3相邻的即可.【详解】四位数没有0时，数字2,3相邻看作一个数字，2,3需要排列，所以有种，23233236C A A =四位数有0时，求出数字2,3相邻，看作一个数，2,3排列，0只能在后两位置选一个，所以有种，故满足题意的共有60个；2211222324A A C C =故答案为：60.10．如图所示，玩具计数算盘的三档上各有7个算珠，现将每档算珠分为左右两部分，左侧的每个算珠表示数2，右侧的每个算珠表示数1（允许一侧无珠），记上、中、下三档的数字和分别为，a ，. 例如，图中上档的数字和. 若，，成等差数列，则不同的分珠计数法有____种.b c 9a =a b c【答案】32【分析】先确定每档可取的整数，再根据公差分类讨论，最后根据分类计数原理得结果. 【详解】每档可取7到14中的每个整数， 若公差为0，共有8种； 若公差为±1，则共有12种； 若公差为±2，则共有8种； 若公差为±3，则共有4种；所以，不同分珠方法有：8＋12＋8＋4＝32种， 故答案为32【点睛】本题考查分类计数原理，考查基本分析求解能力，属难题.11．已知矩形的周长为6，则将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为ABCD AB ______． 【答案】4π【分析】根据已知条件及圆柱的体积公式，再利用导数法求解最值即可. 【详解】设，则，()03BC x x =<<3AB x =-所以将周长为6的矩形绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积为 ABCD AB .则，()()()()223π3π3,03V x x x x x x =-=-<<()()2π63V x x x '=-令，即，解得（舍）或.()0V x '=()2π630x x-=0x =2x =当时，； 02x <<()0V x '>当时，.23x <<()0V x '<所以在上单调递增，在上单调递减； ()V x ()0,2()2,3所以当，即，时，取得最大值为2x =2BC =1AB =()V x()()()23max 2π3224πV x V ==⨯-=所以将其绕所在直线旋转一周所得圆柱的体积最大值为. AB 4π故答案为：.4π12．已知，则723456701234567(21)x a a x a x a x a x a x a x a x -=+++++++______________.1234567234567a a a a a a a ++++++=【答案】10206【分析】对已知关系式两边同时求导，可得，再根据的展开式的各项126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++614(21)x +系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等求解即可. 614(21)x -【详解】对已知关系式两边同时求导，可得，126234534567614(21)234567x a a x a x a x a x a x a x -=++++++因为的展开式的各项系数和与的展开式的各项系数和的绝对值相等， 614(21)x +614(21)x -所以. ()612345672345671421110206a a a a a a a ++++++=⨯+=故答案为：10206.二、单选题13．某工厂对一批产品进行了抽样检测.右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100),[100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是.A ．90B ．75C ．60D ．45【答案】A【详解】样本中产品净重小于100克的频率为(0.050＋0.100)×2＝0.3，频数为36， ∴样本总数为.∵样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的频率为(0.100＋0.150＋0.125)×2＝0.75， ∴样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数为120×0.75＝90. 【解析】频率分布直方图.14．函数可导，“函数在点处的导数值为0”是“函数在点()y f x =()y f x =()00,x y ()y f x =()00,x y 处取极值”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件【答案】B【分析】举特例说明导数值为0，但不是极值点，即可得到结果. 【详解】导数值为0的点不一定是函数的极值点.对于函数，，虽然，但是由于无论还是，恒有，()3f x x =()23f x x '=()00f '=0x >0x <()0f x ¢>即函数是增函数，所以0不是函数的极值点.()3f x x =()3f x x =一般地，函数在一点处的导数值为0是函数在该点处取极值的必要条件，而非充()y f x =()y f x =分条件. 故选：B.15．的展开式为多项式，其展开式经过合并同类项后的项数一共有（ ） 11(2)x y z ++A ．72项 B ．75项 C ．78项 D ．81项【答案】C【分析】由多项式展开式中的项为，即，将问题转化为将2个隔板a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥和11个小球分成三组，应用组合数求项数即可.【详解】由题设，多项式展开式各项形式为且，a b c kx y z 11a b c ++=(,,0)a b c ≥故问题等价于将2个隔板和11个小球分成三组，即. 213C 78=故选：C16．为评估某种治疗肺炎药物的疗效，有关部门对该药物在人体血管中的药物浓度进行测量．设该药物在人体血管中药物浓度与时间的关系为．甲、乙两人服用该药物后，血管中药物浓c t ()c f t =度随时间变化的关系如下图所示．t给出下列四个结论：① 在时刻，甲、乙两人血管中的药物浓度相同； 1t ② 在时刻，甲、乙血管中药物浓度的瞬时变化率相同；2t ③ 在这个时间段内，甲、乙两人血管中药物浓度的平均变化率相同； 23[,]t t ④ 在两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率相同. 1223[,],[,]t t t t 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③④ C ．②③ D ．①③【答案】D【分析】理解瞬时变化率和平均变化率的概念，结合导数的几何意义可知，瞬时变化率是在此点处切线的斜率，平均变化率是，再结合图象，逐一判断选项即可．()()f t t f t t+-A A 【详解】解：对于①，在时刻，两图象相交，说明甲、乙两人血管中的药物浓度相同，即①正1t 确；对于②，在时刻，两图象的切线斜率不相等，即两人的不相等，说明甲、乙两人血管中药2t 2()f t '物浓度的瞬时变化率不相同，即②错误；对于③，由平均变化率公式知，甲、乙两人在，内，血管中药物浓度的平均变化率均为2[t 3]t ，即③正确； 3232()()f t f t t t --对于④，在，和，两个时间段内，甲血管中药物浓度的平均变化率分别为和1[t 2]t 2[t 3]t 2121()()f t f t t t --，显然不相同，即④错误． 3232()()f t f t t t --故正确的只有①③； 故选：D ．三、解答题17．2022年，第二十二届世界杯足球赛在卡塔尔举行，某国家队26名球员的年龄分布茎叶图如图所示：(1)该国家队25岁的球员共有几位？求该国家队球员年龄的第75百分位数；(2)从这26名球员中随机选取11名球员参加某项活动，求这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率．【答案】(1)3位；第75百分位数是30 (2) 911920【分析】（1）根据茎叶图和百分位数公式，即可计算结果； （2）根据对立事件和组合数公式求概率.【详解】（1）由茎叶图可知，25岁的球员共有3位球员；因为，所以第75百分位数是第20位，由茎叶图可知，年龄从小到大排列，第20位2675%19.5⨯=球员的年龄是30；（2）11名球员没有年龄不小于30的概率, 11191126C 9C 920P ==所以这11名球员中至少有一位年龄不小于30岁的概率. 99111920920P =-=18．在直三棱柱中，，，，D 是AB 的中点．111ABC A B C -3AC =4BC =15AAAB ==(1)求三棱锥的体积； 1D BCB -(2)求证：∥平面；1AC 1CDB (3)求三棱柱的外接球的表面积． 111ABC A B C -【答案】(1)5；(2)详见解析； (3). 50π【分析】（1）由题可得，然后结合条件利用棱锥体积公式即得； AC BC ⊥（2）设与相交于点，可得，根据线面平行的判定定理，即得；1B C 1BC E 1//AC DE （3）由题可得三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球，然后利用111ABC A B C -1,,CC CA CB 长方体的性质即得.【详解】（1）因为，，， 3AC =4BC =15AA AB ==所以，即，又D 是AB 的中点，222AC BC AB +=AC BC ⊥所以；111111134522325D BCB B DBC ABC B V V V ---===⨯⨯⨯⨯⨯=（2）设与相交于点，连接，1B C 1BC E ED在中，为的中点，为的中点， 1C AB △D AB E 1C B 所以，1//AC DE 因为平面，平面， 1AC ⊄1CDB DE ⊂1CDB 所以平面；1//AC 1CDB （3）由题可知在直三棱柱中，两两垂直，111ABC A B C -1,,CC CA CB 所以直三棱柱的外接球即为以为棱的长方体的外接球， 111ABC A B C -1,,CC CA CB 设直三棱柱的外接球的半径为，则， 111ABC A B C -R ()2222234550R =++=即，2450R =所以三棱柱的外接球的表面积为. 111ABC A B C -24π50πR =19．已知数列满足，.{}n a 11a =134(2)n n a a n -=+≥(1)求证：数列是等比数列； {}2n a +(2)求数列的通项公式；{}n a (3)写出的具体展开式，并求其值.5211i i a -=∑【答案】(1)证明见解析；(2)；32nn a =-(3).1138388-【分析】（1）利用构造法，得到，可证明是等比数列； 123(2)n n a a -+=+{}2n a +（2）根据等比数列的通项公式，求出，进而可求的通项公式；23nn a +={}n a （3）直接写出的具体展开式，根据，利用等比数列的前项和公式，直接计算可5211i i a -=∑n a n 5211i i a -=∑得答案.【详解】（1），等式两边同时加上2， 134(2)n n a a n -=+≥得，又， 123(2)n n a a -+=+11a = 123a +=则为首项是3，公比的等比数列{}2n a +3q =（2）由（1）得，为首项是3，公比的等比数列， {}2n a +3q =，故.23n n a ∴+=32n n a =-（3）521135791i i a a a a a a -==++++∑35793333325=++++-⨯53(19)1019-=--1153383(91)10888=⨯--=-20．已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5，求： (1)甲，乙，丙各投篮一次，三人都命中的概率； (2)甲，乙，丙各投篮一次，恰有两人命中的概率； (3)甲，乙，丙各投篮一次，至少有一人命中的概率． 【答案】(1)0.21； (2)0.44； (3)0.94.【分析】（1）根据概率乘法得三人都命中概率为；0.60.70.50.21⨯⨯=（2）分甲命中，乙，丙未命中，乙命中，甲，丙未命中，丙命中，乙，丙未命中，三种情况讨论，结合概率乘法和加法公式即可得到答案；（3）采取正难则反的原则，求出其对立事件即三人全未命中的概率，再根据对立事件的概率公式求解即可.【详解】（1）设事件：甲投篮命中;A 事件：乙投篮命中;B 事件：丙投篮命中.C 甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率.()()()()0.60.70.50.21P ABC P A P B P C ==⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,三人都命中的概率为0.21.（2）设事件:恰有两人命中.D 所以()(P D P ABC ABC ABC =++(()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++0.40.70.50.60.30.50.60.70.50.44=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=所以甲,乙,丙各投篮一次,恰有两人命中的概率为0.44.（3）设事件:至少有一人命中.E 所以()1(10.40.30.510.060.94P E P ABC =-=-⨯⨯=-=所以甲,乙,丙各投篮一次,至少有一人命中的概率为0.94.21．已知， 21()ln (1)()2f x x a x ax a =-++∈R (1)当时，求函数在点处的切线方程；0a =()y f x =(1,(1))f (2)当时，求函数的单调区间；(0,1]a ∈()y f x =(3)当时，方程在区间内有唯一实数解，求实数的取值范围．0a =()(2)f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦m 【答案】(1)10y +=(2)答案见解析(3) 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求切线方程；（2）求导，分类讨论求单调区间；（3）根据题意整理可得在区间内有唯一实数解，构建，利用导数求ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦()ln x g x x =的单调性，数形结合分析运算.()g x 【详解】（1）当时，则，可得， 0a =()ln f x x x =-()11f x x '=-故，()()11,10f f '=-=即切点坐标为，切线斜率，()1,1-0k =故函数在点处的切线方程为．()y f x =()()1,1f 10y +=（2）由题意可知：函数定义域为，且， ()0,∞+()()()()1111ax x f x a ax x x -+'-=-+=注意到，令，解得或， (0,1]a ∈()0f x '=11x a =≥1x =①当，即时，与在上的变化情况如下 11a >01a <<()f x ()f x '()0,∞+ x()0,1 1 11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1a 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ()f x '+ 0 -0+ ()f x 单调递增 极大值 ()1f 单调递减 极小值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； ()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭②当时，在定义域内恒成立， 1a =()2(1)0x f x x-'=≥所以函数的单调递增区间为；()y f x =()0,∞+综上所述：当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为01a <<()y f x =()0,11,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭11,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭；当时，函数的单调递增区间为．1a =()0,∞+（3）当时，则，0a =()ln f x x x =-因为方程在区间内有唯一实数解，()()2f x m x =-21,e ⎡⎤⎣⎦即，整理得， ()ln 2x x m x -=-ln 1x m x-=原题意等价于在区间内有唯一实数解， ln 1x m x-=21,e ⎡⎤⎣⎦设，则， ()ln x g x x =()221ln 1ln x x x x g x x x ⋅--=='注意到，21,e x ⎡⎤∈⎣⎦当时，；当时，；[]1,e x ∈()0g x '>(2e,e x ⎤∈⎦()0g x '<故在上单调递增，在上单调递减， ()g x []1,e (2e,e ⎤⎦且， ()()()221210,e ,e e e g g g ===则在上的图像如图所示， ()ln x g xx=21,e ⎡⎤⎣⎦若在区间内的唯一实数解，则或， ln 1x m x -=21,e ⎡⎤⎣⎦11e m -=2210,e m ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭解得或， 11e m =+221,1e m ⎡⎫∈+⎪⎢⎣⎭故实数的取值范围． m 21211,1e e ⎧⎫⎡⎫++⎨⎬⎪⎢⎩⎭⎣⎭U 【点睛】方法定睛：对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；（2）求导数，得单调区间和极值点；（3）画出函数草图，数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x 轴的交点情况进而求解．。
上海名校高二上学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．与的等差中项是____________________． 327【答案】15【分析】利用等差中项的定义即得解. 【详解】3与27的等差中项为：． 327152+=故答案为：15．2．已知等差数列满足，则公差__________; {}n a 371,5a a ==d =【答案】1【分析】根据等差数列基本量的计算即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得 73441d a a d ==⇒=-故答案为：13．在等比数列中，若，则__________; {}n a 131,9a a ==5a =【答案】81【分析】由等比中项即可求解.【详解】由等比中项可得， 3315522181a a a a a a =⇒==故答案为：814．计算:__________;114ii +∞=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑【答案】13【分析】根据无穷等比数列的求和公式直接求出答案即可.【详解】因为，所以是首项为，公比为的等比数列， 1114414n n+⎛⎫⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭14n ⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭1414所以.1111414314ii +∞=⎛⎫== ⎪⎝⎭-∑故答案为：.135．有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须排在一起的排法共有________种.（用具体数字回答） 【答案】720【分析】根据相邻问题捆绑法即可由分步乘法计数原理求解.【详解】第一步：利用捆绑法把3名老师看做一个整体与学生全排列，则有,55A 120=第二步：解绑，3位老师之间的顺序为，33A 6=由乘法计数原理可得，5353A A 1206720=⨯=故答案为：7206．已知直线的一个方向向量为，平面的一个法向量，若，则实数l (1,2,1)d =-α(,4,2)n x =- //l α_______．x =【答案】10【分析】根据直线与平面平行，得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，进而利用空间向量数量积为0列出方程，求出的值.x 【详解】因为，所以直线的方向向量与平面的法向量垂直，//l αl α即，解得：.(,4,2)(1,2,1)820n d x x ⋅=-⋅-=--=10x =故答案为：107．若的二项展开式中的常数项为，则实数a =___________.62a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭160-【答案】1-【分析】由二项式可得其展开式通项为，结合已知常数项求参数a 即可.662162rr r r r T a C x --+=⋅【详解】由题设，二项式展开式通项为， 6662166(2)(2rrr r r r r r aT C x a C x x---+==⋅∴当，常数项为，可得.3r =333362160160a C a ⋅==-1a =-故答案为：.1-8．已知若三向量共面，则实数______．(1,1,3),(1,4,2),(1,5,),a b c x =-=--= ,,a b cx =【答案】5【分析】利用空间向量共面定理即可求解.【详解】因为三向量共面，所以，,,a b ca b c λμ=+ 即(1,1,3)(1,4,2)(1,5,),x λμ-=--+所以，解得，145123x λμλμλμ-+=⎧⎪+=-⎨⎪-+=⎩23135x λμ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩故答案为:5.9．用数学归纳法证明: 的第二步中，当时等(31)(1)(2)()2n n n n n n +++++++=*()n N ∈1n k =+式左边与时的等式左边的差等于___. n k =【答案】3k+2【详解】试题分析：当时，等式的左边为，当时，等式的n k =(1)(2)()k k k k ++++++ 1n k =+左边为，所以当时等式左边与时的等式左(2)(3)(1)(11)k k k k k k +++++++++++1n k =+n k =边的差等于. (1)(11)(1)32k k k k k k ++++++-+=+【解析】数学归纳法.10．对于数列满足:，记满足条件的所有数列中，{}n a {}()11121,,,,N,1n n n a a a a a a n n +=-∈∈≥ {}n a 的最大值为，最小值为，则__________;10a a b a b -=【答案】502【分析】先根据求，，观察规律可得，进而可得答案. 1a 2a 34,a a ,a b 【详解】因为，所以，即， 11a ={}211a a a -∈211a a -=所以；22a =，所以或，即或； {}3212,a a a a -∈321a a -=322a a -=33a =34a =，所以或或或，{}43123,,a a a a a -∈431a a -=432a a -=433a a -=434a a -=即或或或或；44a =45a =46a =47a =48a =以此类推，可得的最小值为，的最大值， 10a 10b =10a 92512a ==所以. 51210502a b -=-=故答案为：50211．某种平面分形图如下图所示，一级分形图是一个边长为1的等边三角形（图（1））;二级分形图是将一级分形图的每条线段三等分，并以中间的那一条线段为一底边向形外作等边三角形，然后去掉底边（图（2））;将二级分形图的每条线段三等边，重复上述的作图方法，得到三级分形图（图（3））;;重复上述作图方法，依次得到四级、五级、级分形图.则级分形图的周长为L n 、n__________;【答案】1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【分析】根据题意，先分析边长之间的变化规律，再分析边数的变化规律即可求出第个图形的周n 长，从而可求出周长.【详解】由题意可知，第1个图形的边长为1，第2个图形的边长为第1个图形边长的，第3个13图形的边长又是第2个图形边长的，……，13所以各个图形的边长构成首项为1，公比为的等比数列，13所以第个图形的边长为，n 1113n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭由图可知，各个图形的边数,构成首项为3，公比为4的等比数列，所以第个图形的边数为，n 134n n b -=⨯所以第个图形的周长为，n 1433n n n a b -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭故答案为：1433n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭12．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于{}()1,2,3,,N,2P n n n =∈≥ P A B B A 中最大的数，则不同的和共有__________个组合. A B 【答案】1221n n n --+【分析】先分析集合A ,分别有多少种选择方法，根据分步计数原理相乘，再对、求和即可求B l k 得结果.【详解】设A 中最大的数为，中最大的数为，依题意有.k B l 1k l n ≤<≤记，，.因为中最小的数大于A 中最{}1,2,,1M k =- {}1,2,,1S k k l =++- {}1,2,,N l l n =++ B 大的数，所以A 中其它元素只能取自集合，有种选择方{}1,2,,1M k =- 0111111C C C 2k k k k k -----+++=法；中其它元素只能取自集合，有种选择方法；B {}1,2,,N l l n =++ 01C C C 2n l n ln l n l n l -----+++= 内的数既不属于A 也不属于.根据分步计数原理，集合A ，的选择方法有{}1,2,,1S k k l =++- B B 种. 因为，所以满足题目条件的所有集合A ，的选择方法种数为122k n l --⋅1k l n ≤<≤B ()1122k n l k l n--≤<≤⋅∑()111122n nk n lk l k ---==+=⋅∑∑()11121212k n k n k ---=-=-∑()111221n k n kk ---==-∑()111122n n k k ---==-∑. 1112(1)212n n n ---=---11(1)221n n n --=--+1221n n n -=-+【点睛】本题求解的关键是：把集合分成三部分，利用分步计数原理求出集合A ,B 的选择方法，利用等比数列的求和公式求和，综合了集合子集，数列求和，计数原理三模块的知识.二、单选题13．若成等比数列，则下列三个数列：（1）;（2）;（3）a b c d ,,,2222,,,a b c d ,,ab bc cd ，必成等比数列的个数为（ ） ,,a b b c c d ---A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】根据成等比数列，设其公比为( )，利用等比数列的定义即可结合所给式子a b c d ,,,q 1q ≠进行判断.【详解】成等比数列，设公比为 ，则均不为0，且， a b c d ,,,q a b c d ,,,b c dq a b c===，故成等比数列，且公比为， 2222222b c d q a b c ===2222,,,a b c d 2q 因此成等比数列，且公比为， 22,,bc c cd d q q ab a bc b====,,ab bc cd 2q ，当时，成等比数列，且公比为，()()()()21,11,1a b a q b c b q aq q c d aq q -=--=-=--=-1q ≠q 但当时，不是等比数列， 1q =故选：C14．设等差数列的前项和为，若，则（ ） {}n a n n S 19290,0a a a a +>+<A ．且 B ．且 90S >100S >90S <100S >C ．且 D ．且90S >100S <90S <100S <【答案】C【分析】根据题意，利用等差数列求和公式和等差中项性质可判断，的正负.9S 10S 【详解】因为，所以， 190a a +>()1999=02a a S +>因为，所以，290a a +<()()11029101010022a a a a S ++==<故选：C.15．设是空间中给定的5个不同的点，则使成立的12345,,,,A A A A A 123450MA MA MA MA MA ++++=点的个数为（ ） M A ．0 B ．1C ．5D ．10【答案】B【详解】【解析】向量的加法及其几何意义．分析：根据所给的四个固定的点，和以这四个点为终点的向量的和是一个零向量，根据向量加法法则，知这样的点是一个唯一确定的点．解：根据所给的四个向量的和是一个零向量， 123450MA MA MA MA MA ++++=当A 1，A 2，A 3，A 4，A 5是平面上给定的5个不同点确定以后， 在平面上有且只有一个点满足使得四个向量的和等于零向量， 故选B ．16．设各项均为正整数的无穷等差数列，满足，且存在正整数，使,成等{}n a 3382022a =k 1a 338k a a ,比数列，则公差的所有可能取值的个数为（ ） d A ．1 B ．3 C ．4 D ．5【答案】C【分析】利用等差数列的通项表示出的关系式，结合,成等比数列，分类讨论可得答1,a d 1a 338k a a ,案.【详解】根据题意可知，，化简可得， 33813372022a a d =+=16337a d +=因为各项均为正整数，则， {}n a N d ∈故是337的倍数，且，1a 16337a ≤⨯因为，成等比数列，所以，1a 338k a a ,222223381202232337k a a a ===⨯⨯则 ， 又因为， 222132337k a a ⨯⨯=1(1)=+-k a a k d分为以下情况讨论：① 若，则，可得，1337a =16d +=5d =，解得，合乎题意；3375(1)36337k a k =+-=⨯2360k =②若，则，可得，12337a =⨯26d +=4d =，解得，合乎题意；23374(1)18337k k a =⨯+-=⨯1349k =③ 若，则，可得，13337a =⨯36d +=3d =，解得，合乎题意；33373(1)12337k k a =⨯+-=⨯1012k =④若，则，可得， 14337a =⨯46d +=2d =，解得，不合乎题意； 43372(1)9337k a k =⨯+-=⨯16872k =⑤若，则，可得，15337a =⨯56d +=1d =此时不是整数，不合题意；222323375337k a ⨯⨯=⨯⑥若，则，可得，此时是常数列，且每一项均为，合乎题意； 16337a =⨯66d +=0d ={}n a 2022综上所述，公差的所有可能取值的个数为. d 4故选：C.三、解答题17．已知数列是公差大于零的等差数列，且，求数列的通项公式以{}n a d 34346,8a a a a +=-⋅={}n a 及前项和.n n S 【答案】，210n a n =-29n S n n =-【分析】通过联立方程组解得和的值，求出首项和公差，通过等差数列的通项公式和前3a 4a 1a d n 项和公式，求出数列的通项公式以及前项和{}n a n n S 【详解】依题意，，解得或，公差大于零，343468a a a a +=-⎧⎨⋅=⎩3424a a =-⎧⎨=-⎩3442a a =-⎧⎨=-⎩ d ∴43a a >（舍去），，，， 3424a a =-⎧⎨=-⎩∴3442a a =-⎧⎨=-⎩∴432d a a =-=1324228a a d ∴=-=--⨯=-， ∴1(1)8(1)2210n a a n d n n =+-=-+-⨯=-， ∴21()(8210)922n n n a a n n S n n +-+-===-数列的通项公式； ∴{}n a 210n a n =-数列的前项和.∴{}n a n 29n S n n =-18．如图，正方体的棱长为2，分别是的中点，请运用空间向量方法1111ABCD A B C D -,E F 111,AA A B （建系如图）.求解下列问题:(1)求异面直线与所成角的大小; EF 1BC (2)求到平面的距离. E 1BC D 【答案】(1) 60︒【分析】（1）根据题意得到各点的坐标，从而得到与，再利用空间向量夹角的余弦表示即EF 1BC可得解；（2）先求得与平面的一个法向量，再利用点到平面距离的向量解法即可得解.DE1BC D 【详解】（1）根据题意，得，，，，，，()0,0,0D ()2,0,0A ()0,2,0C ()2,2,0B ()10,0,2D ()10,2,2C ，，()2,0,1E ()2,1,2F.则，， ()0,1,1EF = ()12,0,2BC =- 设异面直线与所成的角为，则，EF 1BC α090α︒<≤︒所以，则，1111cos cos ,2EF BC EF BC EF BC α⋅====60α=︒所以异面直线与所成的角为.EF 1BC 60︒（2）由（1）得，，，()2,0,1DE = ()2,2,0DB =()12,0,2BC =- 设是平面的一个法向量，则，即，(),,n x y z = 1BC D 100n DB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩220220x y x z +=⎧⎨-+=⎩取，则，故，1x =1,1y z =-=()1,1,1n =-所以点E 到平面的距离为1BC D DE n n ⋅==19．已知数列是首项等于且公比不为1的等比数列，是它的前项和. {}n a 116n S n (1)若公比为2，求满足的最小正整数; 15128n S >n (2)若，设，求数列的前项和的最小值. 325416S S =-()log 1n a n b a a =>{}n b n n T 【答案】(1) 2(2) 210log a -【分析】（1）根据首项和公比，写出的公式，再解不等式即可； n S 15128n S >（2）根据，代入首项即可求得公比，进而求得的通项公式，根据等差数列的定义325416S S =-{}n b 可证明为等差数列，进而求得，化简后根据二次函数性质求最小值即可.{}n b n T【详解】（1）因为等比数列首项为，公比为， {}n a 11621q =≠所以，，()()14112111621121615128nnnn a qq S ->--===---*N n ∈即，，因为， 4212832n ->*N n ∈321121281162332281282=<<=所以只需即可，解得，， 42122n -≥2n ≥*N n ∈故满足的最小正整数； 15128n S >2n =（2）因为等比数列首项为，设公比为，代入中有： {}n a 1161q ≠325416S S =-，解得（舍）或， ()()2115141161616q q q ++=⨯+-1q =2q =所以，故， 1512216n n n a --=⨯=()5log log 25log 2n n a n a a b a n -=-==因为， ()()14log 25log 2log 2n n a a a b b n n +=---=-所以是等差数列，且， {}n b 14log 2a b =-所以()()()4log 25lo 2g 229log 2a a n a n n T n n --==+-， ()22log 2lo 9819222g 42a a n n n ⎡⎤⎛⎫=-=--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为，所以，且有，1a >log 20a >*N n ∈所以当或时，取得最小值，最小值为. 4n =5n =n T 4510log 2a T T ==-20．已知数列满足.{}n a ()1*1111,N ,2,R 9n n n a a t a n n t --⎛⎫==⋅+∈≥∈ ⎪⎝⎭(1)若，求数列的通项公式; 1t ={}n a (2)若，求证:数列为等差数列，并求的通项公式; 19t ={}9nn a {}n a (3)对于（2）中的数列，设，则数列是否有最大项，如有，请求出是第几项，若{}n a 8nn n b a =⋅{}n b 没有，请说明理由. 【答案】(1) 118998n n a --⨯=(2)19n n n a -=(3)有, 第8项和第9项【分析】（1）将代入，再用累加法即可求得的通项公式；1t ={}n a （2）将代入，令，根据等差数列的定义即可证明，再根据的通项公式，即可求19t =9n n n c a ={}n c 得的通项公式；{}n a （3）先求出的通项公式，若有最大项，只需该项大于等于其前一项以及后一项，建立不{}n b {}n b 等式解出即可.【详解】（1）因为，所以， 1t =()1*11N ,29n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭当时，，，，， 2n ≥1119n n n a a --⎛⎫-= ⎪⎝⎭21219n n n a a ---⎛⎫-= ⎪⎝⎭L 12119a a ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上述式子累加，可得 1211111999n n n a a --⎛⎫⎛+⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪ ⎪⎝+⎝⎭⎝+⎭⎭， 119811111191899n n --⎛⎫- ⎪-=⨯=-⎝⎭因为，所以， 11a =118998n n a --⨯=当时，，符合通项公式， 1n =10118998a =-=⨯故； 118998n n a --⨯=（2）因为，所以， 19t =()1*11N ,2199n n n a a n n --⎛⎫=+∈≥ ⎪⎝⎭两边同时乘以，可得，9n ()1*1999N ,2n n n n a a n n --=+∈≥令，上式即为，9n n n c a =()*19N ,2n n c c n n -=+∈≥即，因为，()*19N ,2n n c c n n --=∈≥1199c a ==故，即为以9为首项，9为公差的等差数列，{}n c {}9n n a 所以，即，解得；9n c n =99n n a n =19n n na -=（3）由（2）知，所以， 19n n na -=189nn n n b -=假设数列最大项为，则有， {}n b m b 11m m m mb b b b +-≤⎧⎨≤⎩即，解得， ()()111211889918899m mm m m m m m m m m m +----⎧+≤⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩89m ≤≤所以数列有最大项，最大项为第8项和第9项.{}n b 【点睛】思路点睛：该题考查数列的综合应用，属于中难题，关于求数列最大项和最小项的思路有：（1）将数列视为函数，当时所对应的一列函数值，根据的类型作出相对应的函()f x *N x ∈()f x 数图象，或利用求函数最值的方法，求出的最值，进而求得数列的最值项；()f x （2）通过通项公式研究数列的单调性，利用，确定最大项，利用n a 11n n n n a a a a -+≤⎧⎨≤⎩()2n ≥确定最小项. ()11,2n n nn a a n a a -+≤⎧≥⎨≤⎩21．设数列的前项和为.若，则称是“紧密数列”. {}n a n n S ()112N,12n na n n a +≤≤∈≥{}n a (1)已知数列是“紧密数列”，其前5项依次为，求的取值范围; {}n a 39811,,,,2416x x (2)若数列的前项和为，判断是否是“紧密数列”，并说明理由; {}n a n ()2134n S n n =+{}n a (3)设数列是公比为的等比数列.若数列与都是“紧密数列”，求的取值范围.{}n a q {}n a {}n S q 【答案】(1) 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦(2)数列为“紧密”数列；理由见详解.{}n a (3) 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【分析】（1）根据题意，得到，且，求解，即可得出结果； 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩（2）根据，求出，计算的范围，即可得出结论； ()2*13(N )4n S n n n =+∈1122n a n =+1n n a a +（3）先讨论，易得满足题意；再讨论，得到，，根据为“紧1q =1q ≠11n n a a q -=()111nn a q S q -=-{}na 密”数列，得到或，分别根据这两种情况，计算的范围，即可得出结果. 112q ≤<12q <≤1n n S S +【详解】（1）若数列为“紧密”数列，{}n a 则，且， 0x ≠142291812216x x⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩解得：， 819322≤≤x 即的取值范围为. x 819,322⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）数列为“紧密”数列；理由如下：{}n a 数列的前项和， {}n a ()2*13(N )4n S n n n =+∈当时，； 1n =()1111314a S ==⨯+=当时，， 2n ≥()()2211111313(1)4422n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+-+--=+⎣⎦又，即满足， 111122a +==11a =1122n a n =+因此， 1122n a n =+*(N )n ∈所以对任意，， *n ∈N ()111121*********n n n a n a n n n ++++===++++所以， 1111221n n a a n +<=+<+因此数列为“紧密”数列；{}n a （3）因为数列是公比为的等比数列，前项和为，{}n a q n n T 当时，有，，1q =1n a a =1n S na =所以，，满足题意； 11122n na a +≤=≤1111122n n S n S n n ++≤==+≤当时，，，1q ≠11n n a a q -=()111n n a q S q -=-因为为“紧密”数列，{}n a所以， 1122n n a a q +≤=≤即或， 112q ≤<12q <≤当时， 112q ≤<， 1111111n nn n nn S q q S q q ++--=>=--， ()()121111112111n n n nn n n n n n q q S q q q S q q q+++---=<==+<---所以，满足为“紧密”数列； 1111221n n nn S q S q ++-≤=≤-{}n S 当时，，不满足为“紧密”数列； 12q <≤2211121S q q S q-==+>-{}n S 综上，实数的取值范围是. q 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
上海市高二上学期数学期末考试试卷含答案
第一学期高二数学期末考试试卷注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．4、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC.若所有的棱长都是2，则异面直线AC1与BC所成的角的正弦值为5、如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AA1，C1D1的中点，过D，M，N三点的平面与直线A1B1交于点P，则线段PB1的长为________．6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________． 10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x 的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是弧AB 上的一点，D ，E 分别是VB ，VC 的中点，求异面直线DE 与AC 所成的角的大小为________．16、（本题8分）如图，在三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，P A ＝AB ，D 为PB 的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A ．BC ⊥平面P ABB ．AD ⊥PCC ．AD ⊥平面PBCD ．PB ⊥平面ADC17、（本题10分）从2名男生（记为1A,2A）和2名女生（记为1B,2B）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间 ;（2）设事件M为“选到1名男生和1名女生”,求事件M发生的概率;（3）若2名男生1A,2A所处年级分别为高一、高二,2名女生1B,2B所处年级分别为高一、高二,设事件N为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N发生的概率.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a的值：(2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）19、（本题12分）如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．（1）求证：B1E⊥AD1；（2）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB1E与平面A1B1E夹角的大小为30°，求AB的长．参考答案注意事项：1．考试时间：90分钟试卷满分：100分；2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题；3．测试范围：必修三《第10章空间直线与平面》、《第11章简单几何体》、《第12 章概率初步》、第13章《统计》+选择性必修一《第3 章空间向量及其应用》、《第1章平面直角坐标系中的直线》、第2章《圆锥曲线》 2.1 圆；二、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分）1、某医院对某学校高三年级的600名学生进行身体健康调查，采用男女分层抽样法抽取一个容量为50的样本，己知女生比男生少抽了10人，则该年级的女生人数是_________．【答案】240【详解】抽取比例为50160012=，设该年级的女生人数是x，则男生人数为600x-，因为女生比男生少抽了10人，所以11(600)101212x x=--，解得240x=，故答案为：240.2、如图所示，下列空间图形中，①图(1)是圆柱；②图(2)是圆锥；③图(3)是圆台．上述说法正确的个数为________．【答案】0；【解析】图(1)不是圆柱，因为从其轴截面可以看出，该空间图形不是由矩形绕其一边所在直线旋转一周得到的；图(2)不是圆锥，因为该空间图形不是由直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周得到的；图(3)不是圆台，因为该空间图形的上、下底面所在的平面不平行，不是由平行于圆锥底面的平面截得的．3、三条两两相交的直线最多可确定的平面的个数为________．【答案】3【解析】在空间中，两两相交的三条直线最多可以确定3个平面，如图所示：PA ，PB ，PC 相交于一点P ，且PA ，PB ，PC 不共面，则PA ，PB 确定一个平面PAB ，PB ，PC 确定一个平面PBC ，PA ，PC 确定一个平面PAC .4、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1⊥平面ABC .若所有的棱长都是2，则异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为【答案】144； 【解析】如图，连接AB 1，∵BC ∥B 1C 1，∴∠AC 1B 1就是异面直线AC 1与BC 所成的角．在△AC 1B 1中，AC 1＝AB 1＝22，B 1C 1＝2，∴cos ∠AC 1B 1＝122＝24.∴sin ∠AC 1B 1＝144. ∴异面直线AC 1与BC 所成的角的正弦值为144. 5、如图，在棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点，过D ，M ，N 三点的平面与直线A 1B 1交于点P ，则线段PB 1的长为________．【答案】34a 【解析】延长DM 交D 1A 1的延长线于点G ，连接GN 交A 1B 1于点P .由M ，N 分别为AA 1，C 1D 1的中点知，P 在A 1B 1的14(靠近A 1)处，故线段PB 1的长为34a .6、如图所示的正方体的棱长为4，E ，F 分别为A 1D 1，AA 1的中点，则过C 1，E ，F 的截面的周长为________．【答案】45＋62；【解析】 由EF ∥平面BCC 1B 1可知，平面BCC 1B 1与平面EFC 1的交线为BC 1，平面EFC 1与平面ABB 1A 1的交线为BF ，所以截面周长为EF ＋FB ＋BC 1＋C 1E ＝45＋6 2.7、若三条直线OA ，OB ，OC 两两垂直，则直线OA 垂直于________．(填序号)①平面OAB ；②平面OAC ；③平面OBC ；④平面ABC .【答案】③；【解析】由线面垂直的判定定理知OA 垂直于平面OBC ；8、经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是__________．【答案】x －y ＝0或x ＋y －2＝0【解析】若直线在x 轴上的截距为0，可设直线方程为y ＝kx ，将A (1,1)代入，得k ＝1，∴直线方程为y ＝x .若直线在x 轴上的截距不为0，可设直线方程为x ＋y ＝a ，将A (1,1)代入，得a ＝2，∴直线方程为x ＋y ＝2.9、已知点P 是直线x ＋y ＋6＝0上的动点，P A ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 为切点，C 为圆心，则当四边形P ACB 的面积最小时，点P 的坐标为________．【答案】(－3，－3)【解析】如图所示，四边形PACB 的面积S ＝2S △PAC ＝|PA |·|AC |＝|PA |＝|PC |2－1，要使S 最小，需|PC |最小，当CP 与直线x ＋y ＋6＝0垂直时，|PC |取得最小值，此时直线PC 的方程为y －1＝x －1，即x －y ＝0，与方程x ＋y ＋6＝0联立得P (－3，－3)．10、已知一组数据12,,,n x x x 的平均数6x =，方差221s =，去掉一个数据之后，剩余数据的平均数没有变，方差变为24，则这组数据的个数n =__________.【答案】8【详解】因为去掉一个数据之后，数据的平均数没有变，所以去掉的数据为6，去掉6后方差变为24，故得到()24121-=n n ，解得：8n =故答案为：8；二、选择题（本大题共有4题，满分16分；其中每题4分）11、下列命题中，正确的是( )A ．圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台C ．圆台的所有平行于底面的截面都是圆D ．棱柱的一条侧棱就是棱柱的高【答案】A【解析】用一个平行于底面的平面截棱锥，底面与截面之间的部分组成的空间图形叫棱台，B 错误．圆台的所有平行于底面的截面都是圆面，C 错误．立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱，当把这摞书推倾斜时，它的侧棱就不是棱柱的高，D 错误．12、如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，过MN 作一平面交底面三角形ABC 的边BC ，AC 于点E ，F ，则( )A ．MF ∥NEB ．四边形MNEF 为梯形C ．四边形MNEF 为平行四边形D ．A 1B 1∥NE【答案】B【解析】∵在▱AA 1B 1B 中，AM ＝2MA 1，BN ＝2NB 1，∴AM ∥BN ，且AM ＝BN ，∴四边形ABNM 是平行四边形，∴MN ∥AB .又MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ⊂平面MNEF ，平面MNEF ∩平面ABC ＝EF ，∴MN ∥EF ，∴EF ∥AB ，显然在△ABC 中，EF ≠AB ，∴EF ≠MN ，∴四边形MNEF 为梯形．故选B. 13、若随机事件A ，B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．53,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．54,43⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【详解】随机事件A 、B 互斥，A 、B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-， ∴0()10()1()()1P A P B P A P B <<⎧⎪<<⎨⎪+⎩，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-⎩，解得5443a <，即54,43a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦． 故选：D ．14、设实数x ，y 满足(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是( ) A ．12 B ．33 C ．32D ． 3【答案】D【解析】令yx＝k，则y＝kx，∴kx－y＝0，问题转化为直线kx－y＝0与圆有关系，则|2k－0|1＋k2≤3，∴k2≤3，∴－3≤k≤3，故yx的最大值为3，故选D．三、解答题（本大题共有5题，满分50分）15、（本题8分）如图，AB是圆O的直径，点C是弧AB上的一点，D，E分别是VB，VC的中点，求异面直线DE与AC所成的角的大小为________．【答案】90°【解析】∵在△VBC中，E，D分别为VC，VB的中点，∴DE∥BC，∴异面直线DE与AC所成的角即为BC与AC所成的角，即为∠ACB＝90°.16、（本题8分）如图，在三棱锥P－ABC中，P A⊥平面ABC，AB⊥BC，P A＝AB，D为PB的中点，则下列结论正确的序号是；并说明理由；A．BC⊥平面P ABB．AD⊥PCC．AD⊥平面PBCD．PB⊥平面ADC【答案】ABC【解析】∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，故A正确；由BC⊥平面PAB，得BC⊥AD，又PA＝AB，D是PB的中点，∴AD⊥PB，又PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，∴AD⊥平面PBC，故C正确；∴AD ⊥PC ，故B 正确． 17、（本题10分）从2名男生（记为1A ,2A ）和2名女生（记为1B ,2B ）这4人中一次性选取2名学生参加象棋比赛（每人被选到的可能性相同）.（1）请写出该试验的样本空间Ω;（2）设事件M 为“选到1名男生和1名女生”,求事件M 发生的概率;（3）若2名男生1A ,2A 所处年级分别为高一、高二,2名女生1B ,2B 所处年级分别为高一、高二,设事件N 为“选出的2人来自不同年级且至少有1名女生”,求事件N 发生的概率.【答案】(1){}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ；(2)23；(3)12【详解】（1）解:由题知,样本空间Ω为{}121112212212(,),(,),(,),(,),(,),(,)A A A B A B A B A B B B ;（2）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件M 得结果数有4个；故()4263M P ==; （3）由(1)知,所有的可能结果数为6个,其中满足事件N 得结果数有3个；故()3162N P ==.18、（本题12分）冬奥会的全称是冬季奥林匹克运动会，是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在中国北京和张家口举行．为了弘扬奥林匹克精神，增强学生的冬奥会知识，某市某中学校从全校随机抽取50名学生参加冬奥会知识竞赛，并根据这50名学生的竞赛成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]．(1)求频率分布直方图中a 的值： (2)求这50名学生竞赛成绩的众数和中位数．（结果保留一位小数）【答案】(1)0.006a =；(2)众数75；中位数76.4(1)由(0.0040.0180.02220.028)101a +++⨯+⨯=,得0.006a =(2)50名学生竞赛成绩的众数为7080752+= 设中位数为m ,则0.040.060.22(70)0.0280.5m +++-⨯=，解得76.4m ≈ 所以这50名学生竞赛成绩的中位数为76.419、（本题12分）如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，E 为CD 的中点．（1）求证：B 1E ⊥AD 1；（2）在棱AA 1上是否存在一点P ，使得DP ∥平面B 1AE ？若存在，求AP 的长；若不存在，说明理由；（3）若平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，求AB 的长．【解析】（1）证明 以A 为原点，AB →，AD →，AA 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB ＝a ，则A (0,0,0)，D (0,1,0)，D 1(0,1,1)，E ⎝⎛⎭⎫a 2，1，0，B 1(a,0,1)． 故AD 1→＝(0,1,1)，B 1E —→＝⎝⎛⎭⎫－a 2，1，－1，AB 1→＝(a,0,1)，AE →＝⎝⎛⎭⎫a 2，1，0.∵AD 1→·B 1E —→＝－a 2·0＋1×1＋(－1)×1＝0， ∴B 1E ⊥AD 1.（2）解 假设在棱AA 1上存在一点P (0,0，z 0)(0≤z 0≤1)，使得DP ∥平面B 1AE ，此时DP →＝(0，－1，z 0)．设平面B 1AE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．则n ⊥AB 1→，n ⊥AE →，得⎩⎪⎨⎪⎧ ax ＋z ＝0，ax 2＋y ＝0. 取x ＝1，得平面B 1AE 的一个法向量n ＝⎝⎛⎭⎫1，－a 2，－a . 要使DP ∥平面B 1AE ，只要n ⊥DP →，即n ·DP →＝0，a 2－az 0＝0， 解得z 0＝12. 又DP ⊄平面B 1AE ，∴存在点P ，使得DP ∥平面B 1AE ，此时AP ＝12. （3）连接A 1D ，B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1为长方体及AA 1＝AD ＝1，得AD 1⊥A 1D . ∵B 1C ∥A 1D ，∴AD 1⊥B 1C ，又由(1)知B 1E ⊥AD 1，且B 1C ∩B 1E ＝B 1，B 1C ，B 1E ⊂平面DCB 1A 1， ∴AD 1⊥平面DCB 1A 1，∴AD 1→是平面DCB 1A 1即平面A 1B 1E 的一个法向量，且AD 1→＝(0,1,1)．设AD 1→与n 所成的角为θ，则cos θ＝n ·AD 1→|n |·|AD 1→|＝－a 2－a 2×1＋a 24＋a 2. ∵平面AB 1E 与平面A 1B 1E 夹角的大小为30°，∴|cos θ|＝cos 30°，即3a22×1＋5a 24＝32. 解得a ＝2，即AB 的长为2.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.过点，且垂直于OA的直线方程为_______________。
2.直线l的一个法向量（），则直线l倾角的取值范围是_______。
3.已知直线：与：平行，则k的值是____________。
4.直线l的一个方向向量，则l与的夹角大小为__________。
（用反三角函数表示）5.已知圆C与直线及都相切，圆心在直线上，则圆C的方程为________________________。
6.等轴双曲线C与椭圆有公共的焦点，则双曲线C的方程为____________。
7.有一抛物线形拱桥，中午12点时，拱顶离水面2米，桥下的水面宽4米；下午2点，水位下降了1米，桥下的水面宽_________米。
8.直线：绕原点逆时针旋转的直线，则与的交点坐标为_______。
9.已知方程表示圆，则___________。
10.已知过抛物线C：（）焦点F的直线l和y轴正半轴交于点A，并且l与C在第一象限内的交点M 恰好为A、F的中点，则直线的斜率_____________。
11.已知、是椭圆C：（）的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且。
若的面积为9，则_________。
12.已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为切点，那么的最小值为_____________。
二、选择题1.已知圆：，圆与圆关于直线对称，则圆的方程为 ( )A．B．C．D．2.若直线与曲线有公共点，则b的取值范围是 ( )A．B．C．D．3.给出下列3个命题：①在平面内，若动点M到、两点的距离之和等于2，则动点M的轨迹是椭圆；②在平面内，给出点、，若动点P满足，则动点P的轨迹是双曲线；③在平面内，若动点Q到点和到直线的距离相等，则动点Q的轨迹是抛物线。
其中正确的命题有( )A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知直线l：y=k(x+2)（k>0）与抛物线C：相交于A、B两点，F为C的焦点，若，则( )A．B．C．D．三、解答题1.已知直线l：与x轴交于点A；以O为圆心，过A的圆记为圆O。
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷
上海市上海交通大学附属中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________二、单选题13．已知双曲线G：224-=，直线l过()x y0,2．“直线l平行于双曲线G的渐近线”是“直线l与双曲线G恰有一个公共点”的（）．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分又非必要条件14．空间中，设P 是直线l外一点，a 是一个平面，则以下列命题中，错误的是（ ）．A ．过点P 有且仅有一条直线平行于l B ．过点P 有且仅有一条直线垂直于lC ．过点P 有且仅有一条直线垂直于aD ．过点P 有且仅有一个平面垂直于l15．已知00(,)P x y 是圆222:(0)C x y r r +=>内异于圆心的一点，则直线200x x y y r +=与圆C 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不能确定16．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AA AD =，():,0AB AD l l =>，E 是棱11A B 的中点，点P 是线段1D E 上的动点，给出以下两个命题：①无论l 取何值，都存在点P ，使得PC BD ^；②无论l 取何值，都不存在点P ，使得直线1AC ^平面PBC ．则（ ）．A ．①成立，②成立B ．①成立，②不成立C ．①不成立，②成立D ．①不成立，②不成立三、解答题17．在空间直角坐标系中，设()0,2,3A 、()2,1,6B -、()1,1,5C -、()3,3,4D ．(1)设()2,0,8a =--r，b AB AD =+r uuu r uuu r ，求b r 的坐标，并判断a r 、b r 是否平行；(2)求AB uuu r 、AC uuu r 的夹角q ，以及AB uuu r 、AC uuu r 为相邻两边的三角形面积S ．18．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 为BC 的中点，N 为AB 的中点，P 为1BB 中点．(1)求证：1BD ^平面MNP ；(2)求异面直线1B D 与1C M 所成角的余弦值．19．在如图所示的圆锥中，P 是顶点，O 是底面的圆心，A 、B 是圆周上两点，且【点睛】关键点睛：本题第三问，x 0MQ NQ k +=，联立直线l ¢与双曲线G 21．(1)xOy 平面截曲面C 所得交线是平面见解析。
上海高二上学期期末数学试题(解析版) (2)
一、填空题1．甲校有3600名学生,乙校有5400名学生,丙校有1800名学生.为统计三校学生某方面的情况,计划采用分层抽样法,抽取一个样本容量为90人的样本,则应在甲校抽取的学生数是___________. 【答案】30【分析】根据分层抽样时样本容量与总体容量成正比,可以求出甲校抽取的学生数.【详解】因为甲校有3600名学生，乙校有5400名学生，丙校有1800名学生,计划采用分层抽样法. 所以,因此抽取一个样本容量为90人的样本,甲校抽取的学生数是3600:5400:18002:3:1=.29030231⨯=++故答案为30【点睛】本题考查了分层抽样定义,考查了数学运算能力,属于基础题.2．现有高一学生9人，高二学生12人，高三学生7人，自发组织参加数学课外活动小组，从中推选两名来自不同年级的学生做一次活动的主持人，则不同的选法有__种. 【答案】255【分析】可以从所有学生中抽取2人，减去从每个年级中各抽取2人的组合数，从而得出结果.【详解】所有的选法共有种，228C 378=这2名学生属于同一个年级的选法有种，2229127C C C 123++=故此2名学生不属于同一个年级的选出方法有种. 378123255-=故答案为：255.3．若，则__. *111135(21)110(N )1223(1)n n n n ⎡⎤++++-=+++∈⎢⋅⋅⋅+⎣⎦ n =【答案】10【分析】利用等差数列的求和公式和裂项相消即可求出答案. 【详解】由题意得， (121)1110(121n n n +-=-+即， 21101nn n =+所以， (1)110n n +=所以. 10n =故答案为：10.4．如图所示，绕直角边所在直线旋转一周形成一个圆锥，已知在空间直角坐标系Rt AOB △AO 中，点和点均在圆锥的母线上，则圆锥的体积为__________．O xyz -()2,0,0()0,2,1-【答案】163π【分析】根据坐标确定圆锥的高与底面半径，再根据圆锥体积公式得结果.【详解】由题意得圆锥的高为,底面半径为2,, ||OA 1||22||OA OA -∴=所以圆锥体积为 211624.33ππ⨯⨯=故答案为：163π【点睛】本题考查圆锥体积公式，考查基本分析求解能力，属基础题.5．已知直线的方向向量为，点在上，则点到的距离为l ()1,0,1=a ()1,2,1A -l ()3,1,1P l ___________. 【答案】1【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． APl 【详解】，(2,1,2)AP =-cos ,a AP a AP a AP ⋅<>===所以， 1sin ,3a AP <>== 点到的距离为．()3,1,1P l 1sin ,313d AP a AP =<>=⨯= 故答案为：1．6．图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2是一个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”，莱洛三角形是以正三角形的三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，如图3.若曲侧面三棱柱的高为5，底面任意两顶点之间的距离为20，则其侧面积为__.【答案】100π【分析】由曲侧面三棱柱的定义，其侧面为矩形，即可根据几何关系求侧面积. 【详解】由题意得为等边三角形，且边长为20，如图所示， ABC A 所以弧的长度为， AC 202033l ππ=⋅=曲侧面三棱柱的三个侧面展开后，均是长为，宽为5的矩形， 203π所以曲侧面三棱柱的侧面积为. 20351003ππ⨯⨯=故答案为：100π7．两人下棋，每局两人获胜的可能性一样.某一天两人要进行一场三局两胜的比赛，最终胜利,A B 者赢得100元奖金.第一局比赛胜，后因为有其他要事而中止比赛，则将100元奖金公平分给A 两人，则应该得到的奖金数为__元.,A B A 【答案】75【分析】赢得这场比赛的情况为第二局胜；第二局输，第三局胜，求出赢得这场比赛的A A A A A 概率，即可求出应该得到的奖金数.A 【详解】赢得这场比赛的情况为第二局胜；第二局输，第三局胜， A A A A 故赢得这场比赛的概率， A 11132224P =+⨯=所以应该得到的奖金数为元. A 3100754⨯=故答案为：75.8．复印纸幅面规格只采用系列和系列，其中系列的幅面规格为：①所有规格A B A 0128,,,,A A A A的纸张的幅宽（以表示）和长度（以表示）的比例关系都为；②将纸张沿长度x y :x y =0A方向对开成两等分，便成为规格；纸张沿长度方向对开成两等分，便成为规格；；如此1A 1A 2A ⋯对开至规格．现有纸各一张．若纸的幅宽为，则这9张纸的面积之和等于8A 0128,,,,A A A A 4A 2dm __． 2dm【分析】根据题意先逐一得出纸张的长和宽，进而求得的面积，再由01234,,,,A A A A A 0A 纸张的面积是以为首项，公比为的等比数列，再根据等比数列的求和公式即0128,,,,A A A A12可求得这9张纸的面积之和． 【详解】依题意可得，的长、宽分别为是，；的长、宽分别为，；4A 2dm3A 4dm 的长、宽分别为，；的长、宽分别为，；2A4dm 1A 8dm 的长、宽分别为，，A 8dm 所以纸的面积为；0A 28=则纸张的面积是以为公比的等比数列，0128,,,,A A A A12则这9张纸的面积和为．92112112⎛⎫- ⎪⎝⎭=-．9．已知球的半径为是球面上的两点，且是球面上任意一点，则O 1,,A B AB =P PA PB ⋅的取值范围是__________． 【答案】13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】以球心为坐标原点建立空间直角坐标系，设点的坐标，用来表示，进而求,,A B P PA PB ⋅出答案.【详解】由题意，可得1,OA OB AB ===则，又由，所以， 1cos 2AOB ∠==-[0,]AOB π∠∈23AOB π∠=以球心为坐标原点，以为轴正方向，平面的垂线为z 轴建立空间坐标系， O OA x OAB 则，设，1(1,0,0),(2A B -(,,)P x y z则，1(1,,),(,)2PA x y z PB x y z =---=---所以，2222111(1)()()()222PA PB x x y y z x y z x ⋅=---+--+=++-- 因为在球面上，则，所以， (,,)P x y z 2221x y z ++=221x y +≤所以，11()22PA PB x ⋅=-+设，当与圆相切时，取得最值.m x =0x m -=221x y +=m，解得，12m =所以，所以22m -≤≤1113()[,]2222PA PB x ⋅=-∈- 故答案为：.13[,]22-【点睛】本题主要考查了空间向量的应用，向量的数量积的运算，以及直线与圆的位置关系的综合应用，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，利用向量的数量积的运算公式，结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.10．如图，现将一张正方形纸片进行如下操作：第一步，将纸片以为顶点，任意向上翻折，折痕D 与交于点，然后复原，记；第二步，将纸片以为顶点向下翻折，使与BC 1E 11CDE α∠=D AD 1E D 重合，得到折痕，然后复原，记；第三步，将纸片以为顶点向上翻折，使与2E D 22ADE α∠=D CD 重合，得到折痕，然后复原，记；按此折法从第二步起重复以上步骤，得2E D 3E D 33CDE α∠=L 到，则__. 12,,,,n ααα lim n n α→∞=【答案】6π【分析】先分析出递推式，再求出的通项，最后算出极限即可. {}n α【详解】由第二步得；由第三步得，211()22παα=-321()22παα=-依此类推，所以，11()(2)22n n n παα-=-≥11()626n n ππαα--=--①若，则，此时；16πα=6n πα=lim 6n n πα→∞=②若，则数列是以为首项，为公比的等比数列，16πα≠{}6n πα-16πα-12-所以，即. 111()(662n n ππαα--=--111()626n n ππαα-=--+所以. 111lim lim[()()]6266n n n n πππαα-→∞→∞=--+=综上，.lim 6n n πα→∞=故答案为：6π11．取棱长为a 的正方体的一个顶点，过从此顶点出发的三条棱的中点作截面，依次进行下去，对正方体的所有顶点都如此操作，所得的各截面与正方体各面共同围成一个多面体，如图所示．则此多面体：①有12个顶点；②有24条棱；③有12个面； ④表面积为3a 2；⑤体积为．356a 以上结论正确的是________________．（填上所有正确的序号）【答案】①②⑤【分析】根据题意结合图形可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三角形面，计算或者数数可得到顶点、棱和面的个数，再利用割补法求出多面体的表面积和体积即可.【详解】由图可知，原来的六个面还在，只是变成了六个小正方形，再添加了八个三角形面，总计有6+8=14个面，则③错误；每个正方形有4条边，每个三角形3条边，而每条边对应两个面，所以共有条()14638242⨯+⨯=棱，则②正确；每个顶点对应4条棱，每条棱对应两个顶点，所以顶点数是棱数的一半，即12个，则①正确；，所以小正方形的总面积为，三角形的总面积为221632a a ⨯=，即多面体的表面积为，则④错误； 22118sin 6022a ⨯⨯⨯︒=(23a 多面体的体积为原正方体的体积减去8个三棱锥的体积，8个三棱锥的体积为3311183226a a⎡⎤⎛⎫⨯⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，于是多面体的体积为，则⑤正确.3331566a a a -=故答案为：①②⑤12．设数列的前项和为，，()，(，).{}n a n n S 11a =2a a =1a >211n n n n a a a a d +++-=-+0d >*n ∈N 且､均为等差数列，则_________. {}2n a {}21n a -2n S =【答案】2(1)n S n a =+【解析】根据已知条件知数列是首项为，公差为的等差数列，可求出{}1n n a a +-1a -d ，再根据已知条件转化求出等差数列､的通项公式，再利用分组11(1)n n a a a n d +-=-+-{}2n a {}21n a -求和即可得解.【详解】2111a a a a -=-=-Q 又，即211n n n n a a a a d +++-=-+211n n n n a a a a d +++---=数列是首项为，公差为的等差数列，①，∴{}1n n a a +-1a -d 11(1)n n a a a n d +∴-=-+-又分别构成等差数列，根据①式可得 {}{}221,n n a a -②， 221[1(22)](2)n n a a a n d n --=±-+-≥③， 212[1(21)](1)n n a a a n d n +-=±-+-≥④，2221[12](1)n n a a a nd n ++-=±-+≥由②+③，得， 2121[1(21)][1(22)](1)n n a a a n d a n d n +--=±-+-±-+-≥又是等差数列，所以必为常数，{}21n a -2121n n a a +--所以， 2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=-+---+-=≥或， 2121[1(21)][1(22)](2)n n a a a n d a n d d n +--=--+-+-+-=-≥由①得，即，321a a a d -=-+32(1)a a a d -=±-+，，又，2a a =Q 3(1)a a d a ∴=±-++11a =，即或(舍去)， 311(1)a a a a d ∴-=-±-+31a a d -=-312(1)a a a d -=-+，2121n n a a d +-∴-=-是首项为1，公差为的等差数列，， {}21n a -∴d -211(1)n a n d -∴=--同理，由③+④得，， 222[12][1(21)](1)n n a a a nd a n d n +-=±-+±-+-≥所以或，222n n a a d +-=222n n a a d +-=-，，，321a a a d -=-+-Q 43(12)a a a d -=±-+421(12)a a a d a d ∴-=-+-±-+即或(舍去)，42a a d -=42223a a a d -=-+-，222n n a a d +∴-=是首项为a ，公差为的等差数列，，{}2n a ∴d 2(1)n a a n d ∴=+-从而，21221221()k k k k a a a a a k N *-+++=+=+∈所以. 2122(1)(1)(1)n n S a a a a a n a =+++=++++=+ 故答案为：2(1)n S n a =+【点睛】方法点睛：本题考查递推关系求等差数列求通项公式，分组求数列和，求数列的和常用的方法有： （1）分组求和法；（2）倒序相加法；（3）（数列为等差数列）：裂项11n n n b a a +={}n a 相消法；（4）等差等比数列：错位相减法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于难⨯题.二、单选题13．若为两条异面直线外的任意一点，则（ ） P l m ，A ．过点有且仅有一条直线与都平行 P l m ，B ．过点有且仅有一条直线与都垂直 P l m ，C ．过点有且仅有一条直线与都相交 P l m ，D ．过点有且仅有一条直线与都异面 P l m ，【答案】B【详解】解：因为若点是两条异面直线外的任意一点，则过点有且仅有一条直线与P l m ，P l m ，都垂直，选B14．已知数列满足，那么（ ）． {}n a 413n n n n a a a a ++++=+A ．是等差数列 B ．是等差数列 {}n a {}21n a -C ．是等差数列D ．是等差数列 {}2n a {}3n a【答案】D【分析】通过可知，进而可得，从而数*413(N )n n n n a a a a n ++++=+∈413n n n n a a a a +++-=-633n n n n a a a a +++-=-列是等差数列．3{}n a 【详解】由得，413n n n n a a a a ++++=+413n n n n a a a a +++-=-，，5241n n n n a a a a ++++∴-=-6352n n n n a a a a ++++-=-故 ， 633n n n n a a a a +++-=-即有 ()()()3323131n n n n a a a a +++-=-故数列是等差数列， 3{}n a 故选：D15．空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为O xyz -()000,,P x y z (),,m A B C =，经过点且一个方向向量为的()()()0000A x x B y y C z z -+-+-=()000,,P x y z ()(),,0n μυωμυω=≠直线的方程为，阅读上面的材料并解决下面问题：现给出平面的方程为l 0x x y y z z μυω---==α，经过的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为3570x y z -+-=()0,0,0l 321x y z==-l a （ ）A B C D 【答案】B【解析】根据题设给出的材料可得平面的法向量和直线的方向向量，利用公式可求直线与平面l a 所成角的正弦值.【详解】因为平面的方程为，故其法向量为， α3570x y z -+-=()3,5,1n =-因为直线的方程为，故其方向向量为，l 321x y z==-()3,2,1m =-故直线与平面，l a =故选：B.【点睛】关键点点睛：此题为材料题，需从给定的材料中提炼出平面的法向量和直线的方向向量的求法，这是解决此题的关键.16．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差2π(多面体的面的内角叫像多面体的面角，角度用弧度制)，多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是3π，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为.给出下列三个结论：233πππ-⨯=4π①正方体各顶点的曲率为；2π②任意三棱锥的总曲率均为；4π③将棱长为3的正方体正中心去掉一个棱长为1的正方体所形成的几何体的总曲率为. 8π其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③C ．②③D ．①②③【答案】D【分析】根据几何体顶点的曲率和几何体总曲率的定义求解. 【详解】①因为正方体的每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正方体在各顶点的曲率为2π，故正确；2322πππ-⨯=②如图所示： ，A 点的曲率为： ， 2BAC DAC BAD π-∠-∠-∠B 点的曲率为：， 2ABC ABD CBD π-∠-∠-∠C 点的曲率为：， 2ACB ACD BCD π-∠-∠-∠D 点的曲率为：，2ADC ADB BDC π-∠-∠-∠则三棱锥的总曲率均为，()()8ABC ACB BAC DAB ABD BDA π-∠+∠+∠-∠+∠+∠，故正确；()()4ADC ACD DAC BCD BDC CBD π-∠+∠-∠-∠+∠+=③此几何体有16个顶点，每个顶点的曲率为，所以该几何体的总曲率为2322πππ-⨯=1682ππ⨯=，故正确.故选：D三、解答题17．如图，在直三棱柱中，.111ABC A B C -BA BC ⊥(1)若，求证：平面；1BA BB =1AB ⊥1A BC (2)若，是棱上的一动点.试确定点的位置，使点到平面的距离12BA BC BB ===M BC M M 11A B C. 【答案】(1)证明见解析(2)当点为棱的中点时，使点到平面 M BC M 11A B C【分析】（1）先证明和，再根据直线与平面垂直的判定定理可证平面1BC AB ⊥11AB A B ⊥1AB ⊥；1A BC （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：设，利用点B 1,,BA BB BC ,,x y z (0,0,)M t (02)t ≤≤面距的向量公式列式可求出结果.【详解】（1）在直三棱柱中，平面，所以，，111ABC A B C -1BB ⊥ABC 1BB BC ⊥1BB BA ⊥又因为，，所以平面，所以，BA BC ⊥1BA BB B ⋂=BC ⊥11BAA B 1BC AB ⊥因为，，所以四边形为正方形，所以，1BB BA ⊥1BA BB =11BAA B 11AB A B ⊥因为，所以平面.1A B BC B =I 1AB ⊥1A BC （2）由（1）知，两两垂直，1,,BA BB BC 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系：B 1,,BA BB BC ,,x yz因为，则，，，，12BA BC BB ===(0,0,0)B 1(2,2,0)A 1(0,2,0)B (0,0,2)C 设，(0,0,)M t (02)t ≤≤则，，，(0,0,2)MC t =- 11(2,0,0)A B =- 1(0,2,2)B C =- 设平面的一个法向量为，11A B C (,,)n x y z = 则，则， 11120220n A B x n B C y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 0x y z =⎧⎨=⎩取，则，，1y =1z =(0,1,1)n = 所以点到平面的距离等于M 11A B C ||||MC n n ⋅==又已知点到平面M 11A B C =解得，（舍），1t =3t =所以点为棱的中点时，使点到平面M BC M 11A B C 18．现有31行67列表格一个，每个小格都只填1个数，从左上角开始，第一行依次为；1,2,,67 第二行依次为；依次把表格填满.现将此表格的数按另一方式填写，从左上角开始，68,79,,134 L 第一列从上到下依次为；第二列从上到下依次为；依次把表格填满.若1,2,,31 32,33,,62 L 分别表示第一次和第二次填法中第行第列的数.,(131,167)ij ij a b i j ≤≤≤≤i j (1)求的表达式（用表示）；ij a ,i j(2)若两次填写中，在同一小格里两次填写的数相同的个数为，求的值.N N 【答案】(1)67(1)ij a i j =-+(2)7【分析】（1）第行的第一个数为，第行的第个数为，得到答案. i ()6711i -+i j ()671i j -+（2）计算，根据得到，验证得到答案.31(1)ij b j i =-+ij ij a b =1156i j -=【详解】（1）第一种填法中：第行的第一个数为，i ()6711i -+第行的第个数为，i j ()()67111671i j i j -++-=-+即67(1)ij a i j =-+（2）第二种填法中：第列的第一个数为，j ()3111j -+第列的第个数为，j i ()()31111311j i j i -++-=-+故31(1)ij b j i =-+当时，在同一小格里两次填的数相同，整理得.67(1)31(1)i j j i -+=-+1156i j -=当，时，；1i =1j =1ij a =当，时，；6i =12j =347ij a =当，时，；11=i 23j =693ij a =当，时，；16i =34j =1039ij a =当，时，；21i =45j =1385ij a =当，时，；26i =56j =1731ij a =当，时，，31i =67j =2077ij a =故.7N =19．已知数列和的通项公式分别为，（），将集合{}n a {}n b 36n a n =+27n b n =+*n ∈N 中的元素从小到大依次排列，构成数列. **{|,}{|,}n n x x a n N x x b n N =∈⋃=∈123,,,,, n c c c c ⑴ 求；1234,,,c c c c⑵ 求证：在数列中、但不在数列中的项恰为；{}n c {}n b 242,,,,n a a a ⑶ 求数列的通项公式.{}n c 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）12349,11,12,13====c c c c .【详解】（1）；12349,11,12,13====c c c c （2）① 任意，设，*n ∈N 213(21)66327n k a n n b k -=-+=+==+则，即;32k n =-2132n n a b --=② 假设（矛盾），∴ 26627n k a n b k =+==+⇔*132k n N =-∈{}2n n a b ∉∴ 在数列中、但不在数列中的项恰为.{}n c {}n b 242,,,,n a a a （3），32212(32)763k k b k k a --=-+=+=，，,3165k b k -=+266k a k =+367k b k =+∵,63656667k k k k +<+<+<+∴当时，依次有，……,1k =111222334,,,b a c b c a c b c =====∴.20.构造一个棱长为1的正方体，如图1：则四面体的正四面体，且有11ACB D . 11111111111133B ACB A AB DC B CD D ACD ACB D V V V V V V ----=----==四面体正方体正方体(1)类似此解法，如图2，求此四面体的体积；(2)对棱分别相等的四面体中，，，.求证：这个四面体的四个面ABCD AB CD =AC BD =AD BC =都是锐角三角形；(3)有4条长为2的线段和2条长为的线段，用这6条线段作为棱且长度为的线段不相邻，构m m 成一个三棱锥，问为何值时，构成三棱锥体积最大，最大值为多少？m 【答案】(1)2(2)证明见解析(3)m =【分析】（1）类比已知条件中的解法，构造一个长方体，求出长方体的棱长，在由长方体的体积减去四个三棱锥体积即可得到答案；（2）在四面体ABCD 中，由已知可得四面体ABCD 的四个面为全等三角形，设长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，证明△ABC 为锐角三角形，即可证明这个四面体的四个面都是锐角三角形；（3）当2条长为m 的线段不在同一个三角形中，写出三棱锥体积的表达式，利用基本不等式求最值.【详解】（1）设四面体所在长方体的棱长分别为， ABCD ,,a b c 则，解得，22222251310a b a c b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩222419a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以四面体的体积. 11142323V abc abc abc =-⋅⨯==（2）在四面体中，ABCD 因为，，，AB CD =AC BD =AD BC =所以四面体的四个面为全等三角形，ABCD 即只需证明一个面为锐角三角形即可.设长方体的长、宽、高分别为、、，a b c 则，，，222AB a b =+222BC b c =+222AC a c =+所以，，，222AB BC AC +>222AB AC BC +>222AC BC AC +>所以为锐角三角形，则这个四面体的四个面都是锐角三角形；ABC A （3）当2条长为的线段不在同一个三角形中，m如图，不妨设，，取的中点，AD BC m ==2BD CD AC ===BC E 连接、，AE DE 则，，而，所以平面，AE BC ⊥DE BC ⊥AE DE E = BC ⊥AED 则三棱锥的体积， 13ADE V S BC =⋅A 在中，， AED △AE DE ==AD m=，12AEDS m ==A 所以16V ==⋅因为，所以2222223464442(4)()442327m m mm m m ++-⋅⋅-≤=V ≤当且仅当，即22442m m =-m =故. m21．已知是无穷数列.给出两个性质：①对于中任意两项，在中都存在一{}n a {}n a ,()i j a a i j >{}n a 项，使得；②对于中任意项，在中都存在两项，使得m a 2i j m a a a -={}n a (3)n a n …{}n a ,()k l a a k l >.2n k l a a a =-（1）若，判断数列是否满足性质①，说明理由；2(1,2,)n n a n == {}n a （2）若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(1,2,)n a n n == {}n a （3）若是递增数列，，且同时满足性质①和性质②，证明：为等差数列. {}n a 10a ={}n a .【答案】（1）不满足性质①，理由见解析； （2）满足性质①和性质②，理由见解析； （3）证明见解析.【分析】（1）由，根据题意，得到，由为偶数，为奇数，即可得出2n n a =1221m j p -+=-2m j -121p +-结论；（2）由，验证性质①②，即可求解；(1,2,)n a n n == （3）由是递增数列且，得到当时，，根据题意，得出，{}n a 10a =2,n n N +≥∈0n a >2n l k a a a +=结合数学归纳，即可求解.【详解】（1）由，性质①是任意，存在，2n n a =,()i j a a i j >2i j m a a a -=令，则要满足，i j p =+n a 1222(0)m i j j p ++=->可得，可得，122(21)m j p +=-1221m j p -+=-其中为偶数，为奇数，所以不成立，2m j -121p +-如：当时，，不存在这样的.4,3i j ==5322224m =-=m （2）当时，，所以，(1,2,)n a n n == 22,i j a a i j i j -=->20i j ->所以存在使得数列满足性质①；2m i j =-{}n a 对性质②，取，，1k n =-2,3l n n =-≥则成立，所以满足性质②.1222(1)(2)n n n a a a n n n --=-=---=综上可得，数列同时满足性质①②.{}n a （3）由是递增数列，，所以，当时，，{}n a 10a =2,n n N +≥∈0n a >因为满足性质①和性质②，所以，即，2n k l a a a =-2n l k a a a +=当时，，3n =32l k a a a +=已知，所以，>k l 3l k <<又由，所以，即数列前三项成等差数列.,k l N +∈1,2l k =={}n a 假设前项成等差数列，即，{}n a (3)s s ≥1(1),1,2,,n a a n d n s =+-= 则当时，若，1n s =+112s s s a a a +-≠-由性质①知，必存在，使得成立，(1)m a m s >+112s s m s a a a a -+-=>因为，111122[(1)][(2)]s s a a a s d a s d a sd --=+--+-=+所以必有成立，111(1)s s a s d a a a sd ++-=<=+又由性质②知，，1112(21)s k a a a a k d +=-=+-则与矛盾，21(1,)k l s s --∈-21k l N +--∈所以成立，112s s s a a a +-=-所以数列的前项也成等差数列，{}n a 1s +所以数列为等差数列.{}n a 【点睛】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.。
上海高二高中数学期末考试带答案解析
上海高二高中数学期末考试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、填空题1.如果复数（其中为虚数单位），那么（即的虚部）为__________。
2.在二项式的展开式中，含的项的系数是（用数字作答）.3.顶点在原点，以轴为对称轴且经过点的抛物线的标准方程为___________．4.双曲线的一个焦点是，则的值是__________．5.已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同。
则双曲线的方程为。
6.某年级共有210名同学参加数学期中考试，随机抽取10名同学成绩如下：则总体标准差的点估计值为（结果精确到0.01）.7.某展室有9个展台，现有3件不同的展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；8.把4个不同的球任意投入4个不同的盒子内（每盒装球数不限），则无空盒的概率为________.9.若且，则的最大值是_______.10.如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑。
已知镜口圆的直径为12米,镜深2米，若把盛水和食物的容器近似地看作点，则每根铁筋的长度为________米.11.△ABC的三个顶点A、B、C到平面的距离分别为2 c m、3 cm、4 cm，且A,B,C在平面的同侧，则△ABC的重心到平面的距离为___________。
12.过点且与双曲线只有一个公共点的直线有条。
13.△ABC的三边长分别是3,4,5,P为△ABC所在平面外一点,它到三边的距离都是2,则P到的距离为_________.14.如图，平面⊥平面，∩=，DA，BC，且DA⊥于A，BC⊥于B，AD=4，BC=8，AB=6，在平面内不在上的动点P，记PD与平面所成角为，PC与平面所成角为，若，则△PAB的面积的最大值是。
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上海市高二第一学期期末考试
数学
时间90分钟，满分100分，(2023年1月)
一、选择题:共20题，1－10题每题3分，11－20题每题4分，总计70分。
1、过点P(－5，7)，倾斜角为135°的直线方程为( )
A.120x y -+=
B.20x y +-=
C.120x y +-=
D.20x y -+=
2、已知曲线经过点P(1，2)，根据该点坐标可以确定标准方程的曲线是( )
A.椭圆
B.双曲线
C.抛物线
D.以上都不可能
3、已知直线1l ：()310a x y -+-=和2l ：()41030ax a y +-+=，则“2a =”是“直线1l 与直线2l 垂直”的( )
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分也非必要条件
4、已知方程2220x y x my m +-++=表示圆，则实数m 的取值范围是( )
A.(2，+∞)
B.(－∞，2)
C.[2，+∞)
D.()(),22,-∞+∞
5、若双曲线C ：221824
x y -=的一条渐近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为( ) A.1 B.2 C.4 D.6
6、如图所示，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=1，AD=2，AA 1=3，P 是线段A 1C 1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP 异面的是( )
A.DD 1
B.B 1C
C.D 1C
D.AC 7、已知圆锥的侧面展开图为一个半径为18，圆心角为120°的扇形，则该圆锥的体积为( )
2 2π 2π 2
8、方程22
2143x y λλ
+=--表示焦距为25λ的值为( ) A.1 B.－4或1 C.－2或－4或 D.－2或1
19、已知抛物线C ：2
12y x =，点A(1x ，1y )，B(2x ，2y )是经过抛物线C 焦点F 的直线与抛物线的焦点点，且125x x +=，则这样的直线( )
A.有且仅有一条
B.有且仅有两条
C.有无穷多条
D.不存在 10、已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是长方体，AA 1=2，AB=BC=1，E 为BC 的中点，则异面直线A 1E 与D 1A 所成角的正切值为( )
A.2
B.2147
C.172
D.177
11、当点A 在椭圆2
214
x y +=上运动时，连接点A 与定点B(2022，0)，则AB 的中点P 的轨迹方程为( ) A.()
2220221164x y -+= B.()2220221164
x y ++= C.()22101114x y -+= D.()22101141x y -+=
12、已知圆的方程为2212160x y x y +--=，该圆过点(3，4)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边
形ABCD 的面积为( ) 3 3 3 313、已知直线l 经过抛物线2
32x y =的焦点为F ，交抛物线于M ，N 两点，若在y 轴负半轴上存在一点T(0，t)，使得∠MTN 为钝角，则t 的取值范围为( )
A.(－8，0)
B.(－∞，－8)
C.(－4，0)
D.(－∞，－4)
14、已知直线l ：2x ty =+和双曲线C ：228y x -=，若l 与C 的上支交于不同的两点，则t 的取值范围是
( )
A.,22⎛
⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ B.2⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.0,2⎛ ⎝⎭ D.12⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
15、已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过1F 的直线与椭圆交于M 、N 两点，若2MNF ∆的周长为16，离心率12
e =，则△2MNF 面积的最大值为( )
A.12
16、已知双曲线Γ：22
12425
x y -=，点P 为曲线Γ在第三象限一个动点，以下两个命题，则( ) ①点P 到双曲线两条渐近线的距离为1d ，2d ，则12d d ⋅为定值。
②已知A 、B 是双曲线上关于原点对称的两个点，若PA 、PB 的斜率存在且分别为1k ，2k ，则12k k ⋅为定值。
A.①真②真
B.①假②真
C.①真②假
D.①假②假
17、已知点P 是椭圆221459y x +=上一点，点1F 、2F 是椭圆上、下焦点，12F PF ∆有一个内角为23
π，则12F PF ∆的面积为( )
或 9
4 或9
4 18、设1F 、2F 椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点，椭圆上存在点M ，12MF F α∠=，21MF F β∠=，使得离心率sin sin e βα
=，则e 取值范围为( )
A.(0，1)
B.()1
C.)1,1
D.)
1 19、已知曲线C 1：2
21x y m
+=与曲线C 2：22y x =+，且曲线C 1和C 2恰有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )
A.(1，+∞)
B.1,0(0,1)4⎡⎫-⎪⎢⎣⎭
C.1,0(1,)4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
D.()1,1,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦
20、在平面上，定点1F 、2F 之间的距离122F F c =，曲线C 是到定点1F 、2F 距离之积等于2(0)c c >的点
的轨迹.以点1F 、2F 所在直线为x 轴，线段12F F 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系。
已知点P(0x ，0y )是曲线C 上一点，下列说法中正确的有( )
①曲线C 是中心对称图形；②曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是,22c c ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
； ③曲线C 上有两个点到点1F 、2F 距离相等；④曲线C 上的点到原点距离的最大值为2c
A.①②
B.①②④
C.①②③④
D.①③
二、解答题(共2题，21题10分，22题20分，总计30分)
21、如图，已知四面体ABCD 中，AB ⊥面BCD ，BC ⊥CD.
(1)(4分)求证:AC ⊥CD ；
(2)(6分)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，若此“鳖臑”中，AB=BC=CD=1，有一根彩带经过面ABC 与面ACD ，且彩带的两个端点分别固定在点B 和点D 处，求彩带的最小长度。
C22、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b
+=>>过点P(3，1)，椭圆C 离心率为6e =1F ，2F ，上下顶点为1B ，2B 。
(1)(4分)求椭圆C 的方程；
(2)(8分)点Q 是椭圆C 上的一个动点，求12F QB ∆面积的最大值；
(3)(8分)若M ，N 为椭圆C 上相异两点(均不同于点P)，PM ，PN 的斜率分别是1k ，2k ，若121k k ⋅=-.求证直线MN 必过定点，并求出定点坐标。