最新北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形第2课时PPT课件
北师大八年级下三角形的证明第2讲：直角三角形
直角三角形
1、掌握直角三角形有关定理和性质；
2、能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题；能利用勾股定理的逆定理，由三边之长判断一个三角形是否是直角三角形；
3、能够熟练地掌握直角三角形的全等判定方法（HL）及其应用。
定理：直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
1、若等腰三角形的顶角为120°,腰长为2cm,则它的底边长为cm。
2、如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是高,∠A=30°,则BD与AB的关系是。
3、如图,在△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,DE是斜边AC的垂直平分线,分别交AB、AC于点D、E,若BC=32,则DE=。
4、如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA．若PC=10，则PD=。
5、如图所示，四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，AD＝，CD＝3，BC＝5，求∠ADC的度数.
23
定理：直角三角形两个锐角互余。
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。
定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。
1、在一个直角三角形中，已知一个锐角比另一个锐角的4倍多15°，则这两个锐角分别为。
2、△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a、b、c,下列说法中错误的()
A. 如果∠C−∠B=∠A,则△ABC是直角三角形,且∠C=90
B. 如果222bac,则△ABC是直角三角形,且∠C=90∘
C. 如果2bacac,则△ABC是直角三角形,且∠C=90∘
D. 如果∠A:∠B:∠C=3:2:5,则△ABC是直角三角形,且∠C=90∘
3、如图,在四边形ABCD中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90∘，则∠A+∠C=度。
4、有下面的判断：①△ABC中，222cba，则△ABC不是直角三角形；②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则222cba；③若△ABC中，222cba，则△ABC是直角三角形；④若△ABC是直角三角形，则2cbaba；以上判断正确的有。（填序号）
(2021年整理)新北师大版八年级下册《三角形的证明》
新北师大版八年级下册《三角形的证明》
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新北师大版八年级下册《三角形的证明》
第 2 页 共 26 页 三角形的证明
【知识点一：全等三角形的判定与性质】
1．判定和性质
一般三角形 直角三角形
判定 边角边（SAS)、角边角（ASA）
角角边（AAS)、边边边（SSS） 具备一般三角形的判定方法
斜边和一条直角边对应相等（HL）
性质 对应边相等，对应角相等
对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等
2．证题的思路:
）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AASASAASAAASSASAASSSSHLSAS
【典型例题】
1．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( )
A．SSS B．ASA
C．AAS D．角平分线上的点到角两边距离相等
数学北师大版八年级下册直角三角形全等的“HL”的判定定理
第一章 三角形的证明
2．直角三角形全等的“HL”的判定定理
希望学校 吕淑霞
一、学情分析
学生在学习直角三角形全等判定定理“HL”之前，已经掌握了一般三角形全等的判定方法，在本章的前一阶段的学习过程中接触到了证明三角形全等的推论，在本节课要掌握这个定理的证明以及利用这个定理解决相关问题还是一个较高的要求。
二、教学任务分析
本节课是三角形全等的最后一部分内容，也是很重要的一部分内容，凸显直角三角形的特殊性质。在探索证明直角三角形全等判定定理“HL”的同时，进一步巩固命题的相关知识也是本节课的任务之一。因此本节课的教学目标定位为：
1．知识目标：
①能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
②利用“HL’’定理解决实际问题
2．能力目标：
①进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习提问；第二环节：引入新课；第三环节：做一做；第四环节：议一议；第五环节：课时小结；第六环节：课后作业。
1：复习提问
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形。想一想，怎么画？同学们相互交流。
3、有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论。
我们曾从折纸的过程中得到启示，作了等腰三角形底边上的中线或顶角的角平分线，运用公理，证明三角形全等，从而得出“等边对等角”。那么我们能否通过作等腰三角形底边的高来证明“等边对等角”．
要求学生完成，一位学生的过程如下： 已知：在△ABC中， AB=AC．
求证：∠B=∠C．
证明：过A作AD⊥BC，垂足为C，
∴∠ADB=∠ADC=90°
又∵AB=AC，AD=AD，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）
在实际的教学过程中，有学生对上述证明方法产生了质疑。质疑点在于“在证明△ABD≌△ACD时，用了“两边及其中一边的对角对相等的两个三角形全等”．而我们在前面学习全等的时候知道，两个三角形，如果有两边及其一边的对角相等，这两个三角形是不一定全等的．可以画图说明．(如图所示在ABD和△ABC中，AB=AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABD与△ABC不全等)” ．
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
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八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
年级：
姓名： 八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
2 第2课时 直角三角形全等的判定
【知识与技能】
能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性
【过程与方法】
进一步经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感
【情感态度】
进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力
【教学重点】
能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理
【教学难点】
进一步理解证明的必要性.
一.情景导入，初步认知
1.判断两个三角形全等的方法有哪几种？
2.已知一条边和斜边，求作一个直角三角形.想一想，怎么画？同学们相互交流.
3.有两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？如果其中一个角是直角呢？请证明你的结论.
【教学说明】教师顺水推舟，询问能否证明：“斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等”，从而引入新课.
二.思考探究，获取新知
探究：“HL”定理.
已知：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，BC=B′C′．求证：Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC中，AC2=AB2一BC2(勾股定理)． 八年级数学下册 第一章 三角形的证明 2 直角三角形第2课时 直角三角形全等的判定教案北师大版
3 又∵在Rt△ A' B' C'中，A' C' 2=A'B'2一B'C'2 (勾股定理)．
∴AB=A'B'，BC=B'C'，AC=A'C'．
∴Rt△ABC≌Rt△A'B'C' (SSS)．
【归纳结论】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．（这一定理可以简单地用“斜边、直角边”或“HL”表示．)
初中数学_三角形证明的复习教学设计学情分析教材分析课后反思
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北师大版初中数学八下第一章
《三角形的证明复习课》教学设计
2 北师大版初中数学八年级下册第一章
三角形的证明复习课第一课时
一、学生学情分析
学生在本章学习并证明完成了全部8条基本事实，并学习了三类特殊的三角形------等腰三角形，等边三角形，直角三角形。通过对这三类三角形性质和判定的探索与证明积累了一定的探索经验，并继续深入学习证明的方法和格式；多数学生已经了解证明的必要性，具备了证明命题是否成立的探索经验的基础.同时已经具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.再将文字语言与图形语言，符号语言转换方面也有了很大提升。
八年级学生已有合情推理，慢慢的侧重于演绎推理，在经历了对八条基本事实时的探究，证明过程中，积累了更多的活动经验。在学习了本章后，无论是对证明的必要性的体会，对证明严谨性以及证明思路的多样性上都有了长足的进步。具备自己整理知识，进行知识梳理，逐渐将学习内容纳入知识体系的能力。
二、教学任务分析
教科书要求教学活动中应注重让学生体会到证明是原有探索活动的自然延续和必要发展，引导学生从问题出发，根据观察、试验的结果，发现证明的思路.经过一个阶段的学习，有必要对有关知识进行回顾与思考，引导学生回顾总结本章学习的主要内容及其蕴含的数学思想，并思考这些内容获得的过程，帮助学生逐步构建知识体系，养成回顾与反思的学习习惯。 3 本节课的教学目标是：
1．知识目标：在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.
2．能力目标：进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，结合实例体会反证法的含义；提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.
3．情感价值观要求
通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.
最新北师大版八年级下册数学全册教案(新教材)
最新北师大版八年级下册数学全册教案(新教材)
1 新版北师大版八年级下册数学全册教案教学设计
第一章 三角形的证明
课 题 §1.1 等腰三角形 （1）
教学目标 1.能证明等腰三角形性质定理和判定定理；
2.了解分析的思考方法，掌握用综合法证明格式；
3．感受证明必要性，感受合情推理和演绎推理都是认识事物途径.
教学重点 等腰三角形的性质定理和判定定理.
教学难点 等腰三角形的性质定理和判定定理.
教 学 过 程 复 备
一.【预习指导】
1.用＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿的过程，叫做证明.
经过＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿称为定理.
2.证明与图形有关的命题，一般步骤有哪些？
3. 我们初中数学中，选用了哪些真命题作为基本事实：
4.什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定义）
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
5.我们曾经利用等腰三角形的对称性，发现了等腰三角形哪些性质？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ .
6.这些性质都是真命题吗？你能否用从基本事实出发，对它们进行证明？
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
二.【效果检测】
1.证明： 等腰三角形的两个底角相等.
点拨：要证明两个角相等，可构造一对全等三角形.图中的∠B、∠C,AB、AC要分别是这两个三角形的角与边.如果用 “SAS”证明，如何作辅助线？
讨论：还有不同的证明方法吗？
2. “等边对等角”用符号语言如何表示？
三.【布置任务】师生互动探究
思考与探索
问题1.证明：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高
互相重合.
点拨：上面的证明你作的辅助性是等腰三角形的什么线？接着刚才的证明，你一定能发现“三线合一”的真相。请按证明题的三个步骤，进行证明.
思考：“三线合一”用符号语言如何表示？
北师大版八年级下册数学《1.2第1课时直角三角形的性质与判定》说课稿
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》说课稿
一. 教材分析
北师大版八年级下册数学《1.2 第1课时 直角三角形的性质与判定》这一课时，主要让学生了解直角三角形的性质与判定。在学习了勾股定理和三角函数的基础上，本节课让学生通过观察、实验、推理等方法，探索并证明直角三角形的性质，从而加深对勾股定理的理解和应用。
二. 学情分析
八年级的学生已经掌握了基本的代数知识和几何知识，对于观察、实验、推理等方法有一定的了解和运用能力。但是，对于证明直角三角形的性质和判定，还需要老师在课堂上进行引导和讲解。
三. 说教学目标
1. 知识与技能：让学生掌握直角三角形的性质和判定方法。
2. 过程与方法：培养学生通过观察、实验、推理等方法探索数学问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。
四. 说教学重难点
1. 教学重点：直角三角形的性质和判定方法。
2. 教学难点：证明直角三角形的性质和判定。
五.说教学方法与手段
1. 教学方法：采用问题驱动法、实验探究法、小组合作法等。
2. 教学手段：多媒体课件、黑板、几何模型等。
六. 说教学过程
1. 导入新课：通过一个实际问题，引发学生对直角三角形性质的思考。
2. 自主学习：让学生通过观察、实验、推理等方法，探索直角三角形的性质。
3. 合作交流：学生分组讨论，分享探索成果，互相提问，解决问题。
4. 讲解与演示：老师对学生的探索成果进行点评，讲解直角三角形的性质和判定方法，并进行现场演示。 5. 练习巩固：让学生进行一些有关直角三角形性质和判定的练习题，巩固所学知识。
6. 课堂小结：让学生总结本节课所学内容，老师进行补充。
七. 说板书设计
板书设计如下：
直角三角形的性质与判定
a. 直角三角形的两个锐角互余
b. 直角三角形的斜边最长
c. 直角三角形的两条直角边互相垂直
资中县八中八年级数学下册第一章三角形的证明2直角三角形第2课时直角三角形全等的判定教案新版北师大版6
1 第2课时 直角三角形全等的判定
1．掌握并利用 “HL”定理解决实际问题．
2．能用尺规完成已知一条直角边和斜边作直角三角形．
3．进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力，培养学生思维的灵活性与开放性．
重点
直角三角形“HL”判定定理的理解及运用．
难点
证明“HL”定理的思路的探究和分析．
一、复习导入
1．前面我们学习了判断两个三角形全等的方法，你还记得有哪几种吗？
2．通过以上方法我们可以看出判断两个三角形全等，已知条件中至少有一条边对应相等．如果在两个三角形中已知两边对应相等时，附加一个什么条件可以说这两个三角形全等？
3．如果附加的条件是其中一边的对角对应相等，那么这两个三角形还全等吗？你能画图举例说明吗？
师：如果其中一边所对的角是直角，那么这两个三角形全等吗？让我们带着这个问题来继续学习直角三角形．
二、探究新知
1．猜想
师：如果在两个直角三角形中，已知斜边和一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等吗？
处理方式：引导学生思考讨论，教师点拨．学生意见会不统一，有的认为全等，有的认为不一定全等．
2．探究
课件出示教材第18页“做一做”．
已知一条直角边和斜边，求作一个直角三角形．
已知：如图，线段a，c(a
求作：Rt△ABC，使∠C＝∠α，BC＝a，AB＝c.
画图过程展示：
(1)作∠MCN＝∠α＝90°；
(2)在射线CM截取CB＝a；
(3)以点B为圆心，线段c的长为半径作弧，交射线CN于点A；
(4)连接AB，得到Rt△ABC. 2
思考：通过刚才的画图，你有什么发现？
3．总结
师：你们所画的三角形都有哪些已知的相等量？你能得出什么结论？
板书：斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等．
4．证明
师：你能证明这个命题是真命题吗？
处理方式：学生先在小组内交流，然后独立写出已知、求证，并证明．完成后教师用多媒体展示学生的证明过程，并及时地评价，同时规范解题过程．
新北师大版八年级下册数学第一章三角形的证明 章节全部知识框架
全等三角形
性质
等腰三角形
等边三角形 判定 对应边相等
对应角相等
一般三角形全等的判定定理： SSS SAS ASA AAS
两直角三角形全等的判定定理： HL定理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 SSS：三边对应相等的两个三角形全等。
SAS：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。
ASA：两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
AAS：两角及一组内角的对边对应相等的两个三角形全等。 可利用全等三角形的这一性质
证明线段或角相等。
性质
判定 ①轴对称图形，顶角平分线（底边上的中线，底边上的高线）是对称轴。
②两边相等（相等的边称为腰）→等边对等角。
③两角相等（相等的两个角称为底角）→等角对等边。
④“三线合一”：等腰三角形顶角平分线，底边上的中线，底边上的高线互相重合。
⑤等腰三角形两底角平分线相等，两腰上的高线相等，两腰上的中线相等。（对称性全等）
①根据定义：有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②根据推论：有两内角相等的三角形是等腰三角形。 前提条件：在同一个三角形中，等角对等边，等边对等角。可用于证明线段或角相等（等腰三角形）
③“三线合一”的逆定理：三角形中只要高线.中线.角平分线任意有二线重合,这个三角形是等腰三角形.
A、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合B、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合
C、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。（不能直接使用结论证性质
判定 ①轴对称图形，内角平分线（各边中线，各边高线）都是对称轴。
②三边都相等，三内角都相等且为60度。
③“三线合一”且三角形三条中线高线角平分线交于一点O,
这点到三顶点的距离相等（OA=OB=OC），到三边的距离相等（OD=OE=OF）。
①有三边相等的三角形是等边三角形 ②有三内角相等的三角形是等边三角形。
③有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形。
北师大版数学八年级下册：第一章《三角形的证明》含详细答案
北师大版 八年级下册数学 第一章 三角形的证明
一．选择题（共12小题）
1．（2014•遂宁）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（ ）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 5
2．（2014•台湾）如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L与M相交于P点．若∠A=60°，∠ACP=24°，则∠ABP的度数为何？（ ）
A． 24 B． 30 C． 32 D． 36
3．（2014•安顺）已知等腰三角形的两边长分別为a、b，且a、b满足+（2a+3b﹣13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）
A． 7或8 B． 6或1O C． 6或7 D． 7或10
4．（2014•宁波）如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是（ ）
A． 2.5 B． C． D． 2
5．（2014•甘井子区一模）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=4cm，△ABD的周长为14cm，则△ABC的周长为（ ）
A． 18cm B． 22cm C． 24cm D． 26cm
6．（2014•本溪一模）如图，在△ABC，∠C=90°，∠B=15°，AB的中垂线DE交BC于D，E为垂足，若BD=10cm，则AC等于（ ）
A． 10cm B． 8cm C． 5cm D． 2.5cm
7．（2013•西宁）如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A． 2 B． C． D．
8．（2013•滨城区二模）如图，△ABC中，∠B=40°，AC的垂直平分线交AC于D，交BC于E，且∠EAB：∠CAE=3：1，则∠C等于（ ）