北师大版九年级数学上册第一章《证明(二)》单元检测题(含答案详解)
第一章证明（二）检测题
（本试卷满分：120分，时间：120分钟）
一、选择题（每小题3分，共30分）
1.下列命题：①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等；
③等腰三角形的最小边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等；⑤等腰三角形都是锐角三角形.其中正确的有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.如图所示，△ABC 是等腰三角形，点D 是底边BC 上异于BC 中点的一个点，∠ADE ＝∠DAC ，DE =A C.运用这个图（不添加辅助线）可以说明下列哪一个命题是假命题？（）
A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B.有一组对边平行的四边形是梯形
C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形
D.对角线相等的四边形是矩形
3.如图，在△AB C 中，，点D 在AC 边上，且，则∠A 的度数为（）
A.30°
B.36°
C.45°
D.70°
4.下列命题,其中真命题有（）
①4的平方根是2；
②有两边和一角相等的两个三角形全等；
③连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形.
A.0个
B.3个
C.2个
D.1个
5.已知等边三角形的高为23，则它的边长为（）A.4 B.3 C.2 D.5
6.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最短边cm ，则最长边AB 的长是（）
A.5cm
B.6cm
C.5cm
D.8cm
7.等腰三角形的底边长为a ，顶角是底角的4倍，则腰上的高是（）
A.23a
B.33
a
C.63
a D.21a 8.下列说法中，正确的是（）A.两边及一对角对应相等的两个三角形全等B.有一边对应相等的两个等腰三角形全等C.两边及其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D.两边及其中一边上的高对应相等的两个三角形全等
9.已知一个直角三角形的周长是26，斜边上的中线长为2，则这
个三角形的面积为（）
A.5
B.2
C.
45 D.110.如图，在△ABC 中，AB 的垂直平分线交AC 于点D ，交AB 于点E ，
如果
cm ，cm ，那么△的周长是（）
A.6cm
B.7cm
C.8cm
D.9cm
二、填空题（每小题3分，共24分）
11.如图所示，在等腰△ABC 中，AB =AC ,∠BAC =50°,
∠BAC 的平分线与AB 的中垂线交于点O ，
点C沿EF折叠后与点O重合，则∠OEC的度数是.
12.若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，
则此三角形是______三角形.
13.在△ABC和△ADC中，下列论断：①；②；③，把其中两个论断作为
条件，另一个论断作为结论，写出一个真命题：____________.
14.如图，在△ABC中，，AM平分∠，cm，则点M到AB的距离
是_________.
15.如图，在等边△ABC中，F是AB的中点，EF⊥AC于E，若△ABC的边长为10，则
_________，_________.
16.一个等腰三角形的两边长分别为5或6，则这个等腰三角形的周长是．
17.如图，已知的垂直平分线交于点，则.
18.一副三角板叠在一起如图所示放置,最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上,BC与DE交于
点M,如果∠ADF=100°,那么∠BMD为度.
三、解答题（共66分）
19.（8分）如图，在△ABC中，，是上任意一点（M与
A不重合），MD⊥BC，且交∠的平分线于点D，求证：.
20.（8分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念.
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图（1），若PA＝PB，则点P为△ABC的准外心.应用：如图（2），
CD为等边三角形ABC的高.准外心P在高CD上，且PD＝AB，求∠APB
的度数.
探究：已知△ABC为直角三角形，斜边BC＝5，AB＝3，准外心P在AC边上，试探究PA
的长.。
新北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》章末练习题含答案解析 (19)
第二章《一元二次方程》章末练习题-6一、选择题1.在《代数学》中记载了求方程x2+8x=33正数解的几何方法：如图①，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+ 16=49，则该方程的正数解为7−4=3．小明尝试用此方法解关于x的方程x2+10x+c=0时，构造出如图②所示正方形．已知图②中阴影部分的面积和为39，则该方程的正数解为( )A．2√3B．2C．3D．4√52.下列多项式在实数范围内能分解因式的是( )A．x2+5B．2x2−4x−1C．x2−2xy+3y2D．x2−xy+y23.如图，在等边三角形ABC中，点D在射线BA上，以CD为一边，向右上方作等边三角形EDC．若BC，CD的长为方程x2−15x+7m=0的两根，当m取符合题意的最大整数时，不同位置的点D共有( )A．1个B．2个C．3个D．4个4.要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排15场比赛，设有x队参加比赛，根据题意，可列方程为( )A．12x(x−1)=15B．12x(x+1)=15C．x(x+1)=15D．x(x−1)=155.已知m，n是方程x2−2x−1=0的两根，则(m2−2m+1)(n2−2n−3)的值等于( )A．0B．−4C．4D．26.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子．已知盒子的容积为300cm3，则原铁皮的边长为( )A．10cm B．13cm C．14cm D．16cm7.已知一元二次方程的两个根分别是x1=2和x2=−3，则这个一元二次方程可以是( )A．x2−6x+8=0B．x2+2x−3=0C．x2−x−6=0D．x2+x−6=08.用配方法解一元二次方程x2+2x−1=0，配方后得到的方程是( )A．(x−1)2=2B．(x+1)2=2C．(x+2)2=2D．(x−2)2=29.如图，在一块长为20m，宽为12m的矩形ABCD空地内修建四条宽度相等，且与矩形各边垂直的道路．四条道路围成的中间部分恰好是一个正方形，且边长是道路宽的4倍，道路占地总面积为40m2．设道路宽为x m，则以下方程正确的是( )A．32x+4x2=40B．32x+8x2=40C．64x−4x2=40D．64x−8x2=4010.下列方程中，有实数根的是( )A．√x−1=−x B．(x+2)2−1=0C．x2+1=0D．√x−4+√x−3=0二、填空题11.百货大厦某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售岀2件．商场要平均每天销售这种童装盈利1200元，则每件童装应降价多少元？若设每件童装应降价x元，则可列方程（方程不需化简）．12.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根x1，x2，且满足数轴上x1，x2所表示的点到2所表示的点的距离相等，则称这样的方程为“关于2的等距方程”．以下“关于2的等距方程”的说法，正确的为．（填空序号）①方程x2−4x=0是关于2的等距方程；②当5m=−n时，关于x的方程(x+1)(mx+n)=0一定是关于2的等距方程；③若方程ax2+bx+c=0是关于2的等距方程，则必有b=−4a(a≠0)；=0是关于2的等距方程．④当两根满足x1=3x2时，关于x的方程px2−x+3413.对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下，a∗b=a(a+b)，如：3∗2=3×(3+2)=15．若x∗4=12，则x的值是．14.定义新运算“⋇”如下：当a≥b时，a⋇b=ab+b；当a<b时，a⋇b=ab−a．若(2x−1)⋇(x+2)=0，则x=．15.某商品原价为180元，连续两次提价后售价为300元，且每次提价的百分率相等，设每次提价的百分率为x，依题意可列方程．16.不解方程，判断方程x2+2√2x+2=0的根的情况．17.某工程队在靠墙处，用100米的铁栅栏围一个占地面积为1200平方米的仓库，铁栅栏只围三边，则仓库的长和宽分别是．三、解答题18.在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？19.如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，AC=60cm，∠A=60∘，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是t秒(0<t≤15)，过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．(1) 当t为何值，DF=DA？(2) 当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．(3) 是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．(4) 请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的19，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由．20.请阅读下列材料：已知方程x2+x−3=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y=2x．所以x=y2．把x=y2代入已知方程，得(y2)2+y2−3=0，化简，得y2+2y−12=0．故所求方程为y2+2y−12=0．这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．问题：已知方程x2+x−1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程的根的3倍．21.“脱贫攻坚战”打响以来，全国贫困人口减少了8000多万人．某市为了扎实落实脱贫攻坚中“两不愁，三保障”的住房保障工作，2017年投入5亿元资金，之后投入资金逐年增长，2019年投入7.2亿元资金用于保障性住房建设．(1) 求该市这两年投入资金的年平均增长率．(2) 2020年该市计划保持相同的年平均増长率投入资金用于保障性住房建设，如果每户能得到保障房补助款3万元，则2020年该市能够帮助多少户建设保障性住房？22.选择适当的方法解下列方程．(1) (2x−1)2−4=0．(2) 32x2−x−2=0．23.解方程：x2−x=3−x2．24.关于x的一元二次方程m4x2−(m−3)x+(m−1)=0有两个实数根．(1) 求m的取值范围；(2) 若m为正整数，求此方程的根．25.在信息技术飞速发展的今天，智能手机的使用呈现出低龄化的趋势，中小学生使用智能手机成为十分普遍的现象，但智能手机给生活带来便利的同时，也对中小学生的身心发展带来一些不利影响，比如手机屏幕对视力的伤害、关注各种“垃圾新闻”对时间的浪费、沉迷手机游戏缺少运动、人际交往等等，这些现象引起了家长、学校、社会的广泛关注．对此，成都某中学学生会发出了“中小学生使用非智能手机”的倡议，鼓励同学们全面发展，追逐梦想，把更多时间用在将来能够成就自我的地方．据统计，今年9月该中学使用非智能手机的同学有128人，倡议发出后，11月使用非智能手机的同学上升到了200人．(1) 若从9月到11月使用非智能手机的同学平均增长率相同，那么按此增长率增长到12月份该校使用非智能手机的同学将有多少人？(2) 某于机制造商发现当下市场上售卖的非智能手机大多品质不佳、外观设计陈旧，难以满足市场的需要，所以该厂决定投入12万元全部用于生产A型、B型两款精美的“学生专用手机”投入市场，一部A型手机生产成本为400元，售价为600元；一部B型手机生产成本为600元，售价为930元，该厂计划生产B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，求生产这批手机并全部售卖后可获得的最大利润．答案一、选择题 1. 【答案】C【解析】题图②中大正方的面积为 39+(52)2×4=39+25=64， ∴ 该方程的正数解为 √64−52×2=3．【知识点】几何问题2. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】C【知识点】一元二次方程根的判别式4. 【答案】A【知识点】循环赛5. 【答案】B【解析】 ∵m ，n 是方程 x 2−2x −1=0 的两根， ∴m 2−2m −1=0，n 2−2n −1=0， ∴m 2−2m =1，n 2−2n =1，∴原式=(1+1)×(1−3)=2×(−2)=−4． 【知识点】一元二次方程的根6. 【答案】D【解析】设原铁皮的边长为 x cm ， 则盒子的底面边长为 (x −6)cm ， 由题意得 3(x −6)2=300， 解得 x =16（负值舍去）． 【知识点】几何问题7. 【答案】D【知识点】因式分解法8. 【答案】B【知识点】配方法9. 【答案】B【知识点】几何问题10. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式二、填空题11. 【答案】(40−x)(20+2x)=1200【解析】设每件童装应降价x元，依题意可列方程为(40−x)(20+2x)=1200．【知识点】销售问题12. 【答案】①④【解析】① ∵x2−4x=0，∴x(x−4)=0，∴x1=0，x2=4，则∣x2−2∣∣=∣x1−2∣∣，①正确．②当m≠0，n≠0时，(x+1)(mx+n)=0，则x1=−1，x2=−nm，∵5m=−n，∴x2=5，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，此时，(x+1)(mx+n)=0是关于2的等距方程；当m=n=0时，原方程不是一元二次方程，故②错误．③由题意知方程ax2+bx+c=0(a≠0)必有两个实数根，由根与系数的关系得x1+x2=−ba，∵方程是关于2的等距方程，∴∣x1−2∣∣=∣x2−2∣∣，则x1−2=x2−2或x1−2=2−x2，∴x1=x2或x1+x2=4．当x1=x2时，x1=x2=−b2a，不能判断a与b之间的关系；当x1+x2=4时，即−ba=4，∴b=−4a．故ax2+bx+c=0(a≠0)是关于2的等距方程时，b不一定等于−4a，故③错误．④当方程px2−x+34=0的两根满足x1=3x2时，∵x1x2=34p ，x1+x2=1p，∴x1x2=34×1p=34(x1+x2)，∴3x22=34(3x2+x2)=3x2，∴x 22−x 2=0，∴x 2=1 或 x 2=0（舍去）， ∴x 1=3x 2=3， ∴∣x 1−2∣∣=∣x 2−2∣∣， 即 px 2−x +34=0 是关于 2 的等距方程，故④正确．故正确的为①④．【知识点】一元二次方程根与系数的关系、因式分解法13. 【答案】 −6 或 2【解析】根据题意，得 x (x +4)=12，即 x 2+4x −12=0， ∴(x +6)⋅(x −2)=0， ∴x +6=0 或 x −2=0， 解得 x =−6 或 x =2． 【知识点】因式分解法14. 【答案】 −1 或 12【解析】①当 2x −1≥x +2，即 x ≥3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)+(x +2)， 由题意得 (2x −1)(x +2)+(x +2)=0， 解得 x =0 或 x =−2， ∵x ≥3，∴x =0 或 x =−2 均舍去；②当 2x −1<x +2，即 x <3 时，(2x −1)⋇(x +2)=(2x −1)(x +2)−(2x −1)， 由题意得 (2x −1)(x +2)−(2x −1)=0， 解得 x =−1 或 x =12，均符合题意．【知识点】因式分解法15. 【答案】 180(1+x%)2=300【知识点】平均增长率16. 【答案】有两个相等实根【解析】判断根的情况需看 Δ 的正负性． Δ>0，有两个不相等实根； Δ=0 时，有两个相等实根； Δ<0 时，无实根．此题 Δ=(2√2)2−4×2=0， ∴ 有两个相等实根．【知识点】一元二次方程根的判别式17. 【答案】60米和20米或40米和30米【知识点】几何问题三、解答题18. 【答案】设有x家公司出席了这次交易会，x(x−1)=78,解得：x1=13,x2=−12(舍去).答：有13家公司出席了这次交易会．根据题意，得12【知识点】循环赛19. 【答案】(1) ∵∠A=60∘，∠B=90∘，∴∠C=30∘，在△DFC中，∠DFC=90∘，∠C=30∘，DC=4t，∴DF=2t∵AC=60，∴AD=60−4t，∵DF=DA，∴2t=60−4t，t=10，∴当t为10秒时，DF=DA．(2) 当△ADE为直角三角形时，有两种情况：①当∠AED=90∘时，则DE∥BC，∴∠ADE=∠C=30∘，∴AD=2AE，∴60−4t=2×2t，t=7.5；②当∠ADE=90∘时，∠AED=30∘，∴AE=2AD，∴2t=2(60−4t)，t=12．综上，当t=7.5秒或12秒时，△ADE为直角三角形．(3) 如图1，连接AF，∵FG是AC的中垂线，∴AF=CF，∴∠C=∠FAC=30∘，∴∠BAF=30∘，∴AF=2BF=2CF，∴BC=3BF，Rt△ABC中，AC=60，∴AB=30，BC=30√3，∴CF=20√3，Rt△CDF中，∠C=30∘，∴DF=20，CD=40，∴4t=40，t=10．(4) 如图2，由（3）知：BC=30√3，Rt△CDF中，CD=4t，∠C=30∘，∴DF=2t，CF=2√3t，由题意，S△DEF=12DF⋅BF=12⋅2t⋅(30√3−2√3t)=−2√3t2+30√3t，当S△DEF=19S△ABC时，−2√3t2+30√3t=12×30×30√3×19，解得t=15±5√52，∵0<t≤15，∴△DEF的面积是△ABC面积的19时，t为15±5√52秒．【知识点】直角三角形的判定、30度所对的直角边等于斜边的一半、几何问题、垂直平分线的性质20. 【答案】设所求方程的根为y，则y=3x，所以x=y3．把x=y3代入已知方程，得(y 3)2+y3−1=0，化简，得y2+3y−9=0，故所求方程为y2+3y−9=0．【知识点】一元二次方程的根21. 【答案】(1) 设年平均增长率为x，5(1+x)2=7.2.解得x1=−2.2(舍去),x2=0.2.∴x=0.2=20%．答：年平均增长率为20%．(2) 7.2×(1+20%)=8.64（亿元）=86400（万元），86400÷3=28800（户）．答：2020年能帮助28800户建设保障性住房．【知识点】平均增长率22. 【答案】(1) (2x−1)2−4=0. (2x−1)2=4.2x−1=±2.x1=32,x2=−12.(2) 32x 2−x −2=0.a =32,b =−1,c =−2.b 2−4ac =(−1)2−4×32×(−2)=13.x =1±√132×32.x 1=1+√133,x 2=1−√133.【知识点】公式法、直接开平方法23. 【答案】方法一：整理，得2x 2−x −3=0,∵a =2,b =−1,c =−3,∴Δ=(−1)2−4×2×(−3)=25>0,x =−b±√b 2−4ac 2a =1±√254=1±54,解得x 1=32,x 2=−1.【解析】方法二：原方程化为 2x 2−x −3=0，∴(2x −3)(x +1)=0，∴x 1=32 或 x 2=−1．【知识点】公式法、因式分解法24. 【答案】(1) ∵Δ=[−(m −3)]2−4×m 4(m −1)=−5m +9，依题意，得 {m ≠0,Δ=−5m +9≥0,解得 m ≤95 且 m ≠0．(2) ∵m 为正整数，∴m =1．∴ 原方程为 14x 2+2x =0，解得 x 1=0，x 2=−8．【知识点】因式分解法、一元二次方程根的判别式25. 【答案】(1) 设从 9 月到 11 月使用非智能手机的同学平均增长率为 x ，依题意得：128(1+x )2=200.解得，x 1=0.25=25%,x 2=−2.25(舍去).∴ 按此增长率增长，到 12 月份该校使用非智能手机的同学 =200(1+25%)=250（人）．答：到 12 月份该校使用非智能手机的同学有 250 人．(2) 设生产 A 型手机 x 只，则 B 型手机 y 只，依题意得：400x +600y =12000，∴y=200−23x，∵x，y均为整数，∴x为3的倍数，又∵B型手机的数量不少于A型手机数量的2倍，但不超过A型手机数量的2.3倍，即：2x≤y≤2.3x，∴2x≤200−23x≤2.3x，解得：75≥x≥673789，∴x=75,72,69．设总利润为W．W=(600−400)x+(930−600)y=200x+330y∴W=200x+330(200−23x)=−20x+66000．∵W随x增大而减小，∴当x=69时，最大利润W=64620．答：生产这批手机A型69台，B型152台，全部售卖后可获得的最大利润为64620元．【知识点】分段计费(D)、平均增长率。
《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练 北师大版九年级数学上册
2021-2022学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》期中复习解答题专题训练（附答案）1．如图，在正方形ABCD中，AB＝，E为正方形ABCD内一点，DE＝AB，∠EDC＝α（0°＜α＜90°），连结CE，AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，交CE的延长线于点G，连结AG．（1）当α＝20°时，则∠AEC＝；（2）判断△AEG的形状，并说明理由；（3）当GF＝1时，求CE的长．2．如图，AD是▱ABDE的对角线，∠ADE＝90°，延长ED至点C，使DC＝ED，连接AC 交BD于点O，连接BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接OE，若AD＝4，AB＝2，求OE的长．3．已知，如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC交AD于点F，AE⊥BF于点O，交BC于点E，连接EF．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若AE＝6，BF＝8，CE＝5，求四边形ABCD的面积．4．如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）过点A作AG⊥BC，垂足为点G，若AC＝6，BD＝8，请直接写出AG的长．5．四边形ABCD为矩形，E是AB延长线上的一点．（1）若AC＝EC，如图1，求证：四边形BECD为平行四边形；（2）若AB＝AD，点F是AB上的点，AF＝BE，EG⊥AC于点G，如图2，求证：△EGF ≌△AGD．6．如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，AE∥BD，BE∥AC，OE⊥CD．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，若AE＝，BC＝2，求DE的长．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E是AD上一点，连接EO并延长交BC 于点F，连接AF、CE，EF平分∠AEC．（1）求证：四边形AFCE是菱形．（2）若∠DAC＝60°，EF＝4，求四边形AFCE的面积．8．如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ ＝DP，连接AP，BQ，PQ．（1）求证：AP＝BQ；（2）若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．9．已知：如图．矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB、CD的延长线分别相交于点E、F．（1）求证：△BOE≌DOF；（2）当EF与AC满足什么关系时，以A、E、C、F为顶点的四边形是菱形？并给出证明．10．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝2AB，AD是BC边上的中线，过A点作AE∥BC，过点D作DE∥AB与AC、AE交于点O、E，连结EC．（1）求证：四边形ADCE为菱形；（2）设OD＝a，求菱形ADCE的周长．11．如图，△ABC中，AB＝AC，D、F分别为BC、AC的中点，连接DF并延长到点E，使DF＝FE，连接AE、AD、CE．（1）求证：四边形AECD是矩形．（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AECD是正方形，并说明理由．12．如图，点A，F，C，D在同一条直线上，点B，E分别在直线AD两侧，且AB＝DE，∠A＝∠D，AC＝DF．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC＝90°，EF＝3，AB＝4，当CD为何值时，四边形BCEF是菱形．13．如图，四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC，BD交于点O，BD＝2AB，AE∥BD，OE∥AB．求证：四边形ABOE是菱形．14．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．②CE+CG的值为．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC上一点，以AB、BD为邻边作▱ABDE，连接AD、EC，AC和DE相交于点O．（1）求证：OD＝OC；（2）若BD＝CD，求证：四边形ADCE是矩形．16．如图，在平行四边形ABCD中，两条对角线相交于O，EF经过O且垂直于AC，分别与边AD、BC交于点F、E．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）若AD＝3，CD＝，且∠D＝45°，求菱形AECF的周长．17．如图，在△ABC中，点D是BC边的中点，点F，E分别是AD及其延长线上的点，CF ∥BE，连接BF，CE．（1）求证：四边形BECF是平行四边形．（2）若△ABC满足什么条件时，四边形BECF为菱形，并说明理由．18．如图，Rt△CEF中，∠C＝90°，∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，过点A分别作直线CE，CF的垂线，B，D为垂足．（1）求证：四边形ABCD是正方形．（2）已知AB的长为6，求（BE+6）（DF+6）的值．（3）借助于上面问题的解题思路，解决下列问题：若三角形PQR中，∠QPR＝45°，一条高是PH，长度为6，QH＝2，求HR长度．19．（1）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且满足BE＝CF，连接AE、BF交于点H．请直接写出线段AE与BF的数量关系和位置关系．（2）如图2，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，连接BF，过点E作EG⊥BF于点H，交AD于点G，试判断线段BF与GE的数量关系，并证明你的结论．20．如图，M为正方形ABCD的对角线BD上一点，过M作BD的垂线交AD于E，连接BE，取BE中点O．（1）如图①，连接AO，MO，试证明∠AOM＝90°；（2）如图②，连接AM，AO，并延长AO交对角线BD于点N，∠MAN＝45°，试探究线段DM，MN，NB之间的数量关系并证明．参考答案1．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，AB＝AD，∵∠CDE＝20°，∴∠ADE＝70°，∵DE＝AB，∴DA＝DE，∴∠DAE＝∠DEA＝×（180°﹣70°）＝55°，故答案为：55°；（2）结论：△AEG是等腰直角三角形．理由：∵AD＝DE，DF⊥AE，∴DG是AE的垂直平分线，∴AG＝GE，∴∠GAE＝∠GEA，∵DE＝DC＝AD，∴∠DAE＝∠DEA，∠DEC＝∠DCE，∵∠DAE+∠DEA+∠DEC+∠DCE+∠ADC＝360°，∴∠DEA+∠DEC＝135°，∴∠GEA＝45°，∴∠GAE＝∠GEA＝45°，∴∠AGE＝90°，∴△AEG为等腰直角三角形．（3）如图，连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴AC＝AB＝，∵△AEG为等腰直角三角形，GF⊥AE，∴GF＝AF＝EF＝1，∴AG＝GE＝，∵AC2＝AG2+GC2，∴10＝2+（EC+）2，∴EC＝（负根已经舍弃）．2．（1）证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AB∥DE，AB＝ED，∵DC＝ED，∴DC＝AB，DC∥AB，∴四边形ABCD是平行四边形，∵DE⊥AD，∴∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形；（2）解：过O作OF⊥CD于F，∵四边形ABCD是矩形，AD＝4，AB＝2∴DE＝CD＝AB＝2，AD＝BC＝4，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴OD＝OC，∵OF⊥CD，∴DF＝CF＝CD＝＝1，∴OF＝BC＝＝2，EF＝DE+DF＝2+1＝3，∴OE＝＝＝．3．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BC，∴∠EBF＝∠AFB，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∵BO⊥AE，∴∠AOB＝∠EOB＝90°，∵BO＝BO，∴△BOA≌△BOE（ASA），∴AB＝BE，∴BE＝AF，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形，∵AB＝AF．∴四边形ABEF是菱形．（2）解：作FG⊥BC于G，∵四边形ABEF是菱形，AE＝6，BF＝8，∴AE⊥BF，OE＝AE＝3，OB＝BF＝4，∴BE＝＝5，∵S菱形ABEF＝•AE•BF＝BE•FG，∴GF＝，∴S平行四边形ABCD＝BC•FG＝（BE+CE）•FG＝（5+5）×＝48．4．（1）证明：∵AE∥BF，∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，∵AC、BD分别是∠BAD、∠ABC的平分线，∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，∴AB＝BC，AB＝AD，∴AD＝BC，∵AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形；（2）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝3，BO＝BD＝4，∴AB＝＝＝5，∴BC＝AB＝5，∴BC•AG＝AC•BD，即5AG＝×6×8，∴AG＝．5．证明：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，∠ABC＝90°，∴CB⊥AE，又∵AC＝EC，∴AB＝BE，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD为平行四边形；（2）∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠GAE＝45°，∵EG⊥AC，∴∠E＝∠GAE＝45°，∴GE＝GA，又∵AF＝BE，∴AF+BF＝BE+BF，即AB＝EF，∴EF＝AD，在△EGF和△AGD中，，∴△EGF≌△AGD（SAS）．6．解：（1）设AB，OE交于F，∵AE∥BD，BE∥AC，∴四边形AEBO是平行四边形，∴AF＝BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，OD＝OB．∵OE⊥CD，∴OE⊥AB．∴AB⊥BC，∴四边形ABCD是矩形；（2）连接DE，过E作EH⊥DA交DA的延长线于H，∵四边形AEBO是平行四边形，∴AE＝OB，∵OD＝OB∴BD＝2AE＝2，∵AD＝BC＝2，∴AB＝＝＝2，∴AF＝AB＝，∵∠AFE＝∠F AH＝∠AHE＝90°，∴四边形AHEF是矩形，∴EH＝AF＝，AH＝EF＝OF＝AD＝1，∴DE＝＝＝．7．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠AEF＝∠CFE，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（AAS），∵AO＝CO，∴四边形AFCE是平行四边形；∵EF平分∠AEC，∴∠AEF＝∠CEF，∴∠CFE＝∠CEF，∴CE＝CF，∴四边形AFCE是菱形；（2）解：由（1）得：四边形AFCE是菱形，∴AC⊥EF，EO＝FO＝EF＝2，∴∠AOE＝90°，∵∠DAC＝60°，∴∠AEO＝30°，∴OA＝EO＝2，∴AC＝2OA＝4，∴四边形AFCE的面积＝AC×EF＝×4×4＝8．8．证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，∵CQ∥DB，∴∠BCQ＝∠DBC，∴∠ADB＝∠BCQ∵DP＝CQ，∴△ADP≌△BCQ（SAS），∴AP＝BQ；（2）∵CQ∥DB，且CQ＝DP，∴四边形CQPD是平行四边形，∴CD＝PQ，CD∥PQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∴AB＝PQ，AB∥PQ，∴四边形ABQP是平行四边形，∵△ADP≌△BCQ，∴∠APD＝∠BQC，∵∠APD+∠APB＝180°，∠ABP+∠BQC＝180°，∴∠ABP＝∠APB，∴AB＝AP，∴四边形ABQP是菱形．9．证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴OB＝OD，∵AE∥CF，∴∠E＝∠F，∠OBE＝∠ODF，在△BOE与△DOF中，，∴△BOE≌△DOF（AAS）；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OE＝OF，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形．10．（1）证明：∵AE∥BC，AB∥DE，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD，又∵AD为Rt△ABC斜边上的中线，∴BD＝CD，∴AE＝DC，∴四边形ADCE为平行四边形，又∵DE∥AB，∠BAC＝90°，∴DO⊥OC，∴四边形ADCE为菱形，（2）设OD＝a，∴DE⊥AC，AO＝，在Rt△AOD中，由勾股定理得：＝，∴菱形ADCE的周长为4a．11．证明：（1）∵D、F分别为BC、AC的中点，使DF＝FE，∴CF＝F A，∴四边形AECD是平行四边形，∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴平行四边形AECD是矩形；（2）当∠BAC＝90°时，理由：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD＝BD＝CD，∵由（1）得四边形AECD是矩形，∴矩形AECD是正方形．12．解：（1）在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BC＝EF，∠ACB＝∠DFE，∴BC∥EF，∴四边形BCEF是平行四边形；（2）当时，四边形BCEF是菱形．理由如下：连接BE，交CF与点H，∵AC＝DF，∴AC﹣FC＝DF﹣FC，即AF＝CD，若四边形BCEF是菱形时，∴BE⊥CF，，EF＝BC＝3．在Rt△ABC中，AB＝4，BC＝3，∴．∵，即．在Rt△BCH中，，BC＝3，∴．∴，∴，∴当时，四边形BCEF是菱形．13．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OB＝OD＝BD，∵BD＝2AB，∴AB＝OB，∵AE∥BD，OE∥AB，∴四边形ABOE是平行四边形，∵AB＝OB，∴四边形ABOE是菱形．14．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，∴∠MEN＝90°，∵点E是正方形ABCD对角线上的点，∴EM＝EN，∵∠DEF＝90°，∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，∵∠DNE＝∠FME＝90°，在△DEN和△FEM中，，∴△DEN≌△FEM（ASA），∴EF＝DE，∵四边形DEFG是矩形，∴矩形DEFG是正方形；（2）①CE⊥CG，理由如下：∵正方形DEFG和正方形ABCD，∴DE＝DG，AD＝DC，∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，∴∠CDG＝∠ADE，在△ADE和△CDG中，，∴△ADE≌△CDG（SAS），∴∠CDA＝∠DCG，∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，∴CE⊥CG；②由①知，△ADE≌△CDG，∴AE＝CG，∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，故答案为：2．15．证明：（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴AB∥DE，AB＝DE（平行四边形的对边平行且相等）；∴∠B＝∠EDC（两直线平行，同位角相等）；又∵AB＝AC（已知），∴AC＝DE（等量代换），∠B＝∠ACB（等边对等角），∴∠EDC＝∠ACD（等量代换）；∵在△ADC和△ECD中，，∴△ADC≌△ECD（SAS），∴∠ACD＝∠EDC（全等三角形对应角相等），∴OA＝OC（等角对等边）；（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），∴BD∥AE，BD＝AE（平行四边形的对边平行且相等），∴AE∥CD；又∵BD＝CD，∴AE＝CD（等量代换），∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），∴∠ADC＝90°，∴▱ADCE是矩形．16．（1）证明：∵EF是对角线AC的垂直平分线，∴AF＝CF，AE＝CE，OA＝OC，∴∠EAC＝∠ECA，∠F AC＝∠FCA，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAC＝∠FCA，∴∠F AO＝∠ECO，在△AOF和△COE中，，∴△AOF≌△COE（ASA），∴AF＝CE，∵AF＝CF，AE＝CE，∴AE＝EC＝CF＝AF，∴四边形AECF为菱形；（2）解：过C作CH⊥AD于H，则∠CHD＝∠CHF＝90°，∵∠D＝45°，∴△CDH是等腰直角三角形，∴CH＝DH＝CD＝1，∵AD＝3，∴AH＝2，∵四边形AECF是菱形，∴AF＝CF，设AF＝CF＝x，则FH＝2﹣x，在Rt△CHF中，由勾股定理得：CF2＝FH2+CH2，即x2＝（2﹣x）2+12，解得：x＝，∴AF＝CF＝，∴菱形AECF的周长＝×4＝5．17．（1）证明：在△ABC中，D是BC边的中点，∴BD＝CD，∵CF∥BE，∴∠CFD＝∠BED，在△CFD和△BED中，，∴△CFD≌△BED（AAS），∴CF＝BE，∴四边形BFCE是平行四边形；（2）满足条件AB＝AC时四边形BECF为菱形．理由：若AB＝AC时，△ABC为等腰三角形，∵AD为中线，∴AD⊥BC，即FE⊥BC，由（1）知，△CFD≌△BED，∴BD＝CD，ED＝FD，∴平行四边形BECF为菱形．18．（1）证明：作AG⊥EF于G，如图1，则∠AGE＝∠AGF＝90°，∵AB⊥CE，AD⊥CF，∴∠B＝∠D＝90°＝∠C，∴四边形ABCD是矩形，∵∠CEF，∠CFE外角平分线交于点A，∴AB＝AG，AD＝AG，∴AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝6，在Rt△ABE和Rt△AGE中，，∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），∴BE＝BG，同理：Rt△ADF≌Rt△AGF（HL），∴DF＝GF，∴BE+DF＝GE+GF＝EF，设BE＝x，DF＝y，则CE＝BC﹣BE＝6﹣x，CF＝CD﹣DF＝6﹣y，EF＝x+y，在Rt△CEF中，由勾股定理得：（6﹣x）2+（6﹣y）2＝（x+y）2，整理得：xy+6（x+y）＝36，∴（BE+6）（DF+6）＝（x+6）（y+6）＝xy+6（x+y）+36＝36+36＝72；（3）解：如图2所示：把△PQH沿PQ翻折得△PQD，把△PRH沿PR翻折得△PRM，延长DQ、MR交于点G，由（1）（2）得：四边形PMGD是正方形，MR+DQ＝QR，MR＝HR，DQ＝HQ＝2，∴MG＝DG＝MP＝PH＝6，∴GQ＝4，设MR＝HR＝a，则GR＝6﹣a，QR＝a+2，在Rt△GQR中，由勾股定理得：（6﹣a）2+42＝（2+a）2，解得：a＝3，即HR＝3．当△PQR是钝角三角形时，过P作PT⊥PR交RQ延长线于T，如图3所示：则∠TPQ＝90°﹣45°＝45°，由①得：TH＝3，∴PT＝＝＝3，设HR＝x，PR＝y，则TR＝x+3，∵△PTR的面积＝（x+3）×6＝×3y，∴y＝6+2x，∴5y2＝（6+2x）2①，在Rt△PRH中，由勾股定理得：y2＝62+x2②，由①②得：（x﹣12）2＝0，∴x＝12，即HR＝12；综上所述，HR为3或12，19．解：（1）AE＝BF且AE⊥BF，理由是：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABE＝∠C＝90°，AB＝BC，在△ABE和△BCF中，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF，∵∠ABE＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∴∠CBF+∠AEB＝90°，∴∠BHE＝180°﹣90°＝90°，∴AE⊥BF．（2）BF＝GE，证明：过点A作AM∥GE交BC于M，∵EG⊥BF，∴AM⊥BF，∴∠BAM+∠ABF＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BCD＝90°，∴∠CBF+∠ABF＝90°，∴∠BAM＝∠CBF，在△ABM和△BCF中，∴△ABM≌△BCF（ASA），∴AM＝BF，∵AM∥GE且AD∥BC，∴AM＝GE，∴BF＝GE．20．证明：如图1，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠BAD＝90°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°；∵ME⊥BD，∴∠BME＝90°；∵点O是BE中点，∴AO＝BE＝BO，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝2∠OBA；同理，∠MOE＝2∠OBM，∴∠AOM＝∠AOE+∠MOE＝2（∠OBA+∠OBM）＝2∠ABD＝90°．（2）DM2+NB2＝MN2，理由如下：如图2，作EF∥BD，交AN于点F，连接MO、MF、ME，∵∠OEF＝∠OBN，OE＝OB，∠EOF＝∠BON，∴△EOF≌△BON（ASA），∴FE＝NB，OF＝ON，∵OM⊥FN，∴MF＝MN；∵∠DME＝90°，∠MDE＝45°，∴∠MED＝45°，∴∠MDE＝∠MED，∴EM＝DM；∵∠MEF＝∠DME＝90°，∴EM2+FE2＝MF2，∴DM2+NB2＝MN2．。
北师大版九年级数学上册单元测试卷：第二章 《一元二次方程》(含答案)
单元测试卷：第二章《一元二次方程》时间：100分钟满分：100分班级：_______ 姓名：________得分:_______一．选择题（每题3分，共30分）1．将一元二次方程x2﹣8x﹣5＝0化成（x+a）2＝b（a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（）A．﹣4，21 B．﹣4，11 C．4，21 D．﹣8，692．若关于x的方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数解，则k的取值范围是（）A．k≥5 B．k≥5且k≠1 C．k≤5且k≠1 D．k≤53．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（）A．+x＝3 B．x2+2x﹣3＝0C．4x+3＝x D．x2+x+1＝x2﹣2x4．已知m、n是一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个实数根，则＝（）A．3 B．﹣3 C．D．﹣5．国家统计局统计数据显示，我国快递业务收入逐年增加．2017年至2019年我国快递业务收入由5000亿元增加到7500亿元．设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．5000（1+2x）＝7500B．5000×2（1+x）＝7500C．5000（1+x）2＝7500D．5000+5000（1+x）+5000（1+x）2＝75006．若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2020的值为（）A．2020 B．﹣2020 C．2019 D．﹣20197．小刚在解关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）时，只抄对了a＝1，b＝3，解出其中一个根是x＝﹣1．他核对时发现所抄的c比原方程的c值小2．则原方程的根的情况是（）A．不存在实数根B．有两个不相等的实数根C．有一个根是x＝﹣1 D．有两个相等的实数根8．若x 1x 2＝2，+＝，则以x 1，x 2为根的一元二次方程是（ ）A ．x 2+3x ﹣2＝0B ．x 2﹣3x +2＝0C ．x 2+3x +2＝0D ．x 2﹣3x ﹣2＝0 9．若关于x 的一元二次方程x 2+2x +c ＝0有实数根，则c 的取值可能为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110．设a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，则（a ﹣1）（b ﹣1）的值为（ ）A ．﹣2018B ．2018C ．2020D ．2022二．填空题（每题4分，共20分）11．已知一元二次方程x 2+2x +m ＝0的一个根是﹣1，则m 的值为 ．12．若关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，则一次函数y ＝mx +m 的图象不经过第 象限．13．已知x 为实数，且满足（2x 2+3）2+2（2x 2+3）﹣15＝0，则2x 2+3的值为 ． 14．2019女排世界杯于9月14月至29日在日本举行，赛制为单循环比赛（即每两个队之间比赛一场），一共比赛66场，中国女排以全胜成绩卫冕世界杯冠军，为国庆70周年献上大礼，则中国队在本届世界杯比赛中连胜 场．15．已知一元二次方程x 2+2x ﹣8＝0的两根为x 1、x 2，则+2x 1x 2+＝ ．三．解答题（每题10分，共50分）16．解下列方程．（1）x 2+2x ﹣35＝0（2）4x （2x ﹣1）＝1﹣2x17．某公司设计了一款工艺品，每件的成本是40元，为了合理定价，投放市场进行试销：据市场调查，销售单价是50元时，每天的销售量是100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．（1）若销售单价为每件60元，求每天的销售利润；（2）要使每天销售这种工艺品盈利1350元，那么每件工艺品售价应为多少元？18．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m）围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）．（1）若要建的矩形养鸡场面积为90m2，求鸡场的长（AB）和宽（BC）；（2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，请直接回答：这一想法能实现吗？19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）求证：无论k取何值，此方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝3，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求k值多少？20．某商店以每件40元的价格进了一批热销商品，出售价格经过两个月的调整，从每件50元上涨到每件72元，此时每月可售出188件商品．（1）求该商品平均每月的价格增长率；（2）因某些原因，商家需尽快将这批商品售出，决定降价出售．经过市场调查发现：售价每下降一元，每个月多卖出一件，设实际售价为x元，则x为多少元时商品每月的利润可达到4000元．参考答案一．选择题1．解：∵x2﹣8x﹣5＝0，∴x2﹣8x＝5，则x2﹣8x+16＝5+16，即（x﹣4）2＝21，∴a＝﹣4，b＝21，故选：A．2．解：①当该方程是关于x的一元一次方程时，k﹣1＝0即k＝1，此时x＝﹣，符合题意；②当该方程是关于x的一元二次方程时，k﹣1≠0即k≠1，此时△＝16﹣4（k﹣1）≥0．解得k≤5；综上所述，k的取值范围是k≤5．故选：D．3．解：A、因为方程是分式方程，不是整式方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；B、是一元二次方程，故本选项符合题意；C、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；D、因为方程是一元一次方程，所以方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．4．解：根据题意得m+n＝3，mn＝﹣1，所以＝．故选：B．5．解：设我国2017年至2019年快递业务收入的年平均增长率为x，由题意得：5000（1+x）2＝7500，故选：C．6．解：∵a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣a﹣1＝0，∴a 2﹣1＝a ，﹣a 2+a ＝﹣1，∴﹣a 3+2a +2020＝﹣a （a 2﹣1）+a +2020＝﹣a 2+a +2020＝2019．故选：C ．7．解：∵小刚在解关于x 的方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0）时，只抄对了a ＝1，b ＝3，解出其中一个根是x ＝﹣1，∴（﹣1）2﹣3+c ＝0，解得：c ＝2，故原方程中c ＝4，则b 2﹣4ac ＝9﹣4×1×4＝﹣7＜0，则原方程的根的情况是不存在实数根．故选：A ．8．解：∵+＝，∴x 1+x 2＝x 1x 2，∵x 1x 2＝2，∴x 1+x 2＝3，∴以x 1，x 2为根的一元二次方程是x 2﹣3x +2＝0．故选：B ．9．解：根据题意得△＝22﹣4c ≥0，解得c ≤1．故选：D ．10．解：∵a 、b 是方程x 2+x ﹣2020＝0的两个实数根，∴a +b ＝﹣1，ab ＝﹣2020，则原式＝ab ﹣a ﹣b +1＝ab ﹣（a +b ）+1＝﹣2020+1+1＝﹣2018．故选：A ．二．填空题（共5小题）11．解：把x ＝﹣1代入方程得1﹣2+m ＝0，解得m ＝1，故答案为1．12．解：∵关于x 的一元二次方程mx 2﹣2x ﹣1＝0无实数根，∴m ≠0且△＝（﹣2）2﹣4m （﹣1）＜0，∴一次函数y＝mx+m的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．故答案为一．13．解：设2x2+3＝t，且t≥3，∴原方程化为：t2+2t﹣15＝0，∴t＝3或t＝﹣5（舍去），∴2x2+3＝3，故答案为：314．解：设中国队在本届世界杯比赛中连胜x场，则共有（x+1）支队伍参加比赛，依题意，得：x（x+1）＝66，整理，得：x2+x﹣132＝0，解得：x1＝11，x2＝﹣12（不合题意，舍去）．故答案为：11．15．解：∵一元二次方程x2+2x﹣8＝0的两根为x1、x2，∴x1+x2＝﹣2，x1•x2＝﹣8，∴+2x1x 2 +＝2x1x 2 +＝2×（﹣8）+＝﹣16+＝﹣，故答案为：﹣．三．解答题（共5小题）16．解：（1）x2+2x﹣35＝0，（x+7）（x﹣5）＝0，x+7＝0或x﹣5＝0，12（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，（2x﹣1）（4x+1）＝0，（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，，17．解：（1）（60﹣40）×[100﹣（60﹣50）×2]＝1600（元）．答：每天的销售利润为1600元．（2）设每件工艺品售价为x元，则每天的销售量是[100﹣2（x﹣50）]件，依题意，得：（x﹣40）[100﹣2（x﹣50）]＝1350，整理，得：x2﹣140x+4675＝0，解得：x1＝55，x2＝85（不合题意，舍去）．答：每件工艺品售价应为55元．18．解：（1）设BC＝xm，则AB＝（33﹣3x）m，依题意，得：x（33﹣3x）＝90，解得：x1＝6，x2＝5．当x＝6时，33﹣3x＝15，符合题意，当x＝5时，33﹣3x＝18，18＞18，不合题意，舍去．答：鸡场的长（AB）为15m，宽（BC）为6m．（2）不能，理由如下：设BC＝ym，则AB＝（33﹣3y）m，依题意，得：y（33﹣3y）＝100，整理，得：3y2﹣33y+100＝0．∵△＝（﹣33）2﹣4×3×100＝﹣111＜0，∴该方程无解，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场．19．（1）证明：∵△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程总有实数根；（2）x＝∴x1＝2k﹣1，x2＝2，∵a、b、c为等腰三角形的三边，∴2k﹣1＝2或2k﹣1＝3，∴k＝或2．20．解：（1）设该商品平均每月的价格增长率为m，依题意，得：50（1+m）2＝72，解得：m1＝0.2＝20%，m2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商品平均每月的价格增长率为20%．（2）依题意，得：（x﹣40）[188+（72﹣x）]＝4000，整理，得：x2﹣300x+14400＝0，解得：x1＝60，x2＝240．∵商家需尽快将这批商品售出，∴x＝60．答：x为60元时商品每天的利润可达到4000元．。
2013-2014学年北师大版九年级数学(上册)《第三章 证明(三)检测题(1)》单元检测题(含答案详解)
第三章 证明（三）检测题【本试卷满分100分，测试时间90分钟】一、 选择题（每小题3分，共30分）1.如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 O ，若BD 、AC的和为18 cm ，CD ︰DA=2︰3，△AOB 的周长为13 cm ，那么BC 的长是（ ）A.6 cmB.9 cmC.3 cmD.12 cm2. 一个等腰梯形的两底之差为12，高为6，则等腰梯形的锐角为（ ） A.30° B. 45° C. 60° D. 75°3.下列判定正确的是（ ） A.对角线互相垂直的四边形是菱形 B.两角相等的四边形是等腰梯形C.四边相等且有一个角是直角的四边形是正方形D.两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形 4.如图，梯形中，∥，∠∠90°，分别是的中点，若cm ，cm ，那么（ ）cm.A.4B.5C.6.5D.95.直角梯形的两个直角顶点到对腰中点的距离（ ） A.相等 B.不相等 C.可能相等也可能不相等 D.无法比较6.正方形具备而菱形不具备的性质是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等D.每条对角线平分一组对角7.从菱形的钝角顶点，向对角的两条边作垂线，垂足恰好是该边的中点，则菱形的内角中钝角的度数是（ ）A.150°B. 135°C. 120°D. 100°8.顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（ ） ①平行四边形; ②菱形; ③等腰梯形; ④对角线互相垂直的四边形. A.①③B.②③C.③④D.②④9.在平行四边形、菱形、矩形、正方形中，能够找到一个点，使该点到各顶点距离相等的图形是（ ）A.平行四边形和菱形B.菱形和矩形C.矩形和正方形D.菱形和正方形10.矩形的边长为10 cm 和15 cm ，其中一个内角的角平分线分长边为两部分，这两部分的长分别为（ ） A.6 cm 和9 cmB. 5 cm 和10 cmDC. 4 cm 和11 cmD. 7 cm 和8 cm二、 填空题（每小题3分，共24分）11.已知菱形的周长为40 cm ，一条对角线长为16 cm ，则这个菱形的面积是 .12.如图，EF 过平行四边形ABCD 的对角线的交点O ，交AD 于点E ，交BC 于点F ，已知AB = 4，BC = 5，OE = 1.5，那么四边形EFCD 的周长是 .13.已知：如图，平行四边形ABCD 中，AB = 12，AB 边上的高为3，BC 边上的高为6，则平行四边形ABCD 的周长为 .14.在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，若∠，则∠OAB= .15.已知菱形一个内角为120°，且平分这个内角的一条对角线长为8 cm ，则这个菱形的周长为 .16.如图，把两个大小完全相同的矩形拼成“L”型图案，则∠________ ，∠________.17.边长为的正方形，在一个角剪掉一个边长为的正方形，则所剩余图形的周长为 .18.顺次连接四边形各边中点，所得的图形是 .顺次连接对角线_______ 的四边形的各边中点所得的图形是矩形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是菱形.顺次连接对角线 的四边形的各边中点所得的四边形是正方形. 三、 解答题（共46分） 19.（7分）如图，在四边形中，，⊥，⊥，垂足为，，求证：四边形是平行四边形.20.（7分）如图，在△中，∠，⊥于，平分∠，交于，交于，⊥于，求证：四边形是菱形.21.（7分）如图，已知正方形，过作∥，∠30，交于点，求证：22.（8分）辨析纠错 已知：如图，△中，是∠的平分线，∥，∥.求证：四边形是菱形.对于这道题，小明是这样证明的：证明：∵平分∠，∴ ∠1＝∠2（角平分线的定义）.∵∥，∴ ∠2＝∠3（两直线平行，内错角相等）.∴∠1＝∠3（等量代换）. ∴（等角对等边）.同理可证， ∴ 四边形是菱形（菱形定义）. 老师说小明的证明过程有错误，你能看出来吗？（1）请你帮小明指出他的错误是什么？（先在解答过程中划出来，再说明他错误的原因） （2）请你帮小明做出正确的解答.23．（8分）如图，在平行四边形中，，E 为中点，求∠的度数.24.（9分）如图，在△中，∠0°，BC 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于E ，F 在DE 上，且．⑴求证：四边形是平行四边形；⑵当∠B 满足什么条件时，四边形ACEF 是菱形?并说明理由．A B C D E F 1 2 3第三章证明（三）检测题参考答案一、选择题1.A 解析：因为cm ，所以cm. 因为△的周长为13 cm，所以cm.又因为，所以cm.2.B 解析：如图，梯形ABCD中，高则所以∠，故选B.3.C4.A 解析：如图，作EG∥AB，EH∥DC ，因为∠∠，所以∠.因为四边形和四边形都是平行四边形，所以.又因为cm ，cm ，所以cm ，，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得cm.5.A 解析：如图，直角梯形中，是的中点，设是的中点，连接，则E是梯形的中位线，所以∥，即⊥.又，所以是的中垂线，所以.6.C7.C 解析：如图，菱形中⊥连接，因为，所以是的中垂线，所以.所以三角形是等边三角形，所以∠，从而∠.第2题答图第4题答图BACEF第5题答图第7题答图8.D 9.C 10.B二、填空题11.解析：如图，菱形ABCD的周长为40 cm ，cm，则cm ，cm，又OA⊥OB，所以cm.所以菱形的面积为.12.12 解析：由平行四边形可得，∠∠OCB.又∠∠，所以△≌△，所以，，所以四边形的周长.13.36 解析：由平行四边形的面积公式，得，即，解得，所以平行四边形的周长为.14.40°15.32 cm 解析:由菱形有一个内角为120°，可知菱形有一个内角是60°，由题意可知菱形的边长为8 cm ，从而周长为（cm）.16.90°，45°解析:通过证明△FGA≌△ABC可得.17.18.平行四边形，互相垂直，相等，互相垂直且相等三、简答题19. 证明：因为DE⊥AC，BF⊥AC ，所以∠∠.因为，所以.又因为，所以△ADE≌△CBF，所以∠∠，所以AD∥BC.又因为，所以四边形ABCD是平行四边形.20. 证明：∵平分∠，∴.∵，∴∥.∴∠∠.又∠∠，∴∠∠，得，∴.又∥，得四边形是平行四边形.C又，∴四边形是菱形.21. 证明：连结交于点，作于，∵∠，∴∵⊥，⊥，∴G ∥又∥，∴四边形D是平行四边形，∴.又，∴，∴∠.又∠∠∠，∴∠∠E，∴22. 解：⑴小明错用了菱形的定义.⑵改正：∵∥，∥，∴四边形是平行四边形.∵平分∠，∴∠1＝∠2.又∵∠3＝∠2，∴∠1＝∠3.∴，∴平行四边形是菱形.23. 解法1：∵为中点，∴21BC.∵，∴∴∠∠，∠∠.∵四边形是平行四边形，∴.又，∴，∴∴. 解法2：如图，设F为AD的中点，连接EF.因为，所以又因为∥，所以四边形是菱形.所以∠∠同理，∠∠所以∠∠24.（1）证明：由题意知，∴∥，∴ .∵ ，∴.又∵ ，∴ △≌△，∴， ∴ 四边形ACEF 是平行四边形 ． （2）解：当∠时，四边形是菱形 ．理由如下：∵ AB 21.∵ 垂直平分，∴又∵，∴ 四边形是菱形．。
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
北师大版九年级数学(上册)期中复习测试题(1)(含答案详解)
期中检测题（本试卷满分120分，时间：120分钟）一、选择题（每小题3分，共30分）1.已知等腰三角形的顶角是n °，那么它的一腰上的高与底边的夹角等于（ ）A.290 n -B.90°－2 nC.2n D.90°－n °2.如图，已知AB ⊥CD ，△ABD 、△BCE 都是等腰三角形，如果CD =8，BE =3，那么AC 的长为（ ） A.8B.5C.3D.343.如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 两点分别在AC 、BC 上，BD 是∠ABC 的平分线，DE //AB ，若BE =5 cm ，CE =3 cm ，则△CDE 的周长是（ ）A.15 cmB.13 cmC.11 cmD.9 cm 4.一元二次方程，用配方法解该方程，配方后的方程为（ ）A. B.C.D.5.已知一等腰三角形的底和腰是方程的两根，则这个三角形的周长为（ ）A.8B.10C.8或10D.不能确定 6.定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）A.a ＝cB.a ＝bC.b ＝cD.a ＝b ＝c7.以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（ ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个8.如图，点E 是平行四边形ABCD 的边AD 的中点，CE 与BA 的延长线交于点F .若∠FCD ＝∠D ，则下列结论不成立的是（ ）A.AD=CFB.BF=CFC.AF=CDD.DE=EF 9.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ）A.当AB=BC 时，它是菱形B.当AC ⊥BD 时，它是菱形C.当∠ABC=90°时，它是矩形D.当AC=BD 时，它是正方形10. 如图所示，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，延长BC 至F ，使CF=CE ，连接DF ，BE 与DF 相交于点G ，则下面结论错误的是（ ） A. BE=DF B. BG ⊥DF C.∠F +∠CEB=90° D.∠FDC +∠ABG=90°二、填空题（每小题3分，共24分）11.三角形的三条中位线围成的三角形的周长为10 cm ，则原三角形的周长是_______cm. 12.已知直角三角形两直角边长分别是5 cm 、12 cm ，其斜边上的高是_______. 13．已知方程没有实数根，则的最小整数值是_____.14．已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2221x x += . 15.已知方程23(1)532m x mx m +-+=的两根互为相反数，则m 的值为_________. 16.已知（x 2＋y 2）（x 2－1＋y 2）－12=0，则x 2＋y 2的值是_________｡17.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD=CD ，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，若∠1=35°， 则∠D =_____.18.已知菱形的两条对角线长分别为6和8，则此菱形的周长为______，面积为______.三、解答题（共66分）19.（8分）已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAD =21∠BAC ，过点D 作DE ⊥AB ，DE 恰好是∠ADB 的平分线，求证：CD =21DB .20.（8分）如果关于的一元二次方程有实数根，求的取值范围.21.（8分）如图，E 、F 是平行四边形ABCD 的对角线AC 上的点，CE=AF ，请你猜想：线段BE 与线段DF 有怎样的关系？并对你的猜想加以证明.22.（8分）(2013·山东菏泽中考)已知m 是方程x 2-x -2=0的一个实数根，求代数式的值.23.（8分）已知关于x 的方程041222=+-n mx x ，其中n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长，求证这个方程有两个不相等的实数根.24.（8分）如图，在四边形ABCD 中，DB 平分∠ADC ，∠ABC =120°，∠C =60°，∠BDC =30 ；延长CD 到点E ，连接AE ，使得∠E =12∠C . （1）求证:四边形ABDE 是平行四边形； （2）若DC =12，求AD 的长.25.（8分）如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥DC ，AB =BC ，且AE ⊥BC . ⑴ 求证：AD =AE ；⑵ 若AD =8，D C =4，求AB 的长.26.（10分）随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展，汽车已越来越多的进入普通家庭，成为居民消费新的增长点.据某市交通部门统计，2008年底全市汽车拥有量为15万辆，而截止到2010年底，全市的汽车拥有量已达21.6万辆.（1）求2008年底至2010年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护环境，缓解汽车拥堵状况，从2011年起，该市交通部门拟控制汽车总量，要求到2012年底全市汽车拥有量不超过23.196万辆；另据统计，该市从2011年起每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%.假定在这种情况下每年新增汽车数量相同，请你计算出该市每年新增汽车数量最多不能超过多少万辆.期中检测题参考答案1.C 解析：如图，当△ABC 为锐角三角形时，已知∠A = n °，则∠C =2180n -.所以∠DBC =2218090n n =--.当△ABC 为钝角三角形时，同理可得.2.D 解析：因为CB=BE=3，所以 BD=BA=8-3=5，所以AC=34925=+.3.B 解析：因为AB=AC ，所以∠ABC =∠C .因为DE //AB ，所以∠DEC =∠ABC =∠C ，所以DE =DC . 因为BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD =∠DBE .又由DE //AB ，得∠ABD =∠BDE ，所以∠DBE =∠BDE ， 所以BE=DE=DC =5 cm ，所以△CDE 的周长为DE +DC +EC =5 cm+5 cm +3 cm=13 cm ，故选B. 4.B 解析：移项得，配方得，即，故选B.5.B 解析：解方程得，.由题意可得等腰三角形三边长分别为2，4，4，所以三角形周长为10，故选B. 6. A 解析：由方程满足，知方程有一个根是.又方程有两个相等的实数根，所以由根与系数的关系知，所以b ＝－2a ，a ＝c ，故选A.7.B 解析：分别以任意两点的连线为对角线都可以画出平行四边形，因此可以画出三个平行四边形.8.B 解析：由AB ∥CD ， ∠FCD ＝∠D ，得∠FCD ＝∠D =∠F ＝∠FAD ，所以AE=EF ，EC=ED. 又AE=ED ，所以△FAE ≌△CDE ，所以AF=CD ，AE=EF=EC=ED ，所以AD=CF.故A 、C 、D 都正确，只有B 不正确. 9.D 解析：根据菱形、矩形、正方形的定义进行判断.10.C 解析：由题意可知△FDC ≌△EBC ，从而∠FDC ＝∠EBC ， ∠F ＝∠CEB ， BE=DF ，∵∠CEB +∠EBC =90︒，∴∠F +∠GBF =90︒，∴ BG ⊥DF. ∵∠ABG +∠EBC =90︒，∴∠ABG + ∠FDC =90︒，∴ 只有选项C 是错误的.11.20 解析：由三角形中位线的性质，三角形的中位线等于三角形第三条边长的一半，所以该三角形的周长应为2×10＝20（cm ）. 12.1360 cm 解析：可知该直角三角形的斜边长为13 cm ，由三角形的面积公式可得斜边上的高为136013125=⨯ （cm ） .13. 2 解析：当时，方程为一元一次方程，有一个根；当时，方程为一元二次方程，此时由根的判别式可知当方程没有实数根时的取值范围为，所以的最小整数值是2.14.425 解析：由根与系数的关系可知2321-=+x x ，122x x =- ，所以4254492)(212212221=+=-+=+x x x x x x . 15.0 解析：由根与系数的关系可知0)1(35=+m m，解得0=m .16.4 解析：将x 2+y 2看作一个整体m ，得012)1(=--m m ，整理得0122=--m m ，解得4=m 或3-=m ，由于m 是大于零的数，所以3-=m 舍去.17.110° 解析：因为EF 为△ABC 的中位线，所以∠1=∠CAB =35°，而AB ∥CD ，所以∠CAB=∠DCA =35°.又AD=CD ，△ADC 为等腰三角形，所以由三角形内角和定理 知∠D =180°-35°×2=110°.18.20，24 解析：根据菱形的对角线互相垂直平分可得. 19.证明：因为AD 是∠BAC 的平分线，所以∠CAD =∠DAB .又因为DE ⊥AB ， DE 是∠ADB 的平分线，所以△ADE ≌△BDE ， 所以AD=DB ，∠DAB =∠B .所以∠CAD =∠DAB =∠B =30°， 所以CD =21AD =21DB . 20．解：由于方程是一元二次方程，所以，解得.由于方程有实数根，因此，解得.因此的取值范围是且.21．解：猜想：BE ∥DF 且BE=DF .证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ CB=AD ，CB ∥AD . ∴ ∠BCE=∠DAF .在△BCE 和△DAF 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,AF CE DAF BCE AD CB∴ △BCE ≌△DAF ，∴ BE=DF ，∠BEC=∠DFA ，∴ BE ∥DF ，即BE=DF 且BE ∥DF .22. 分析：利用方程根的定义，把根代入方程，然后用整体代入法求代数式的值.解法1：∵ m 是方程x 2-x -2=0的一个根， ∴ m 2-m -2=0.∴ m 2-m =2,m 2-2=m . ∴ 原式=(m 2-m )+1）=2×（+1）=2×2=4.解法2：解方程x 2-x -2=0得其根为:x =-1或x =2,故m =-1或m =2, 当m =-1时，(m 2-m )+1）=4;当m =2时，(m 2-m )+1）=4.故代数式(m 2-m ) 21m m-+⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为4.23.证明：因为n m ,分别是一个等腰三角形的腰和底的长， 根据三角形的三边关系，有n m >2，即224n m >. 对于方程041222=+-n mx x ， 其根的判别式04414)2(2222>-=⨯--n m n m ，所以方程有两个不相等的实数根.24.（1）证明：∵ ∠ABC =120°，∠C =60°， ∴ ∠ABC +∠C =180°， ∴ AB ∥DC ，即AB ∥ED . 又∵ ∠C =60°，∠E =12∠C ，∠BDC =30°， ∴ ∠E =∠BDC =30°，∴ AE ∥BD . ∴ 四边形ABDE 是平行四边形.（2）解：由（1）得AB ∥DC ，AB ≠DC ， ∴ 四边形ABCD 是梯形.∵ DB 平分∠ADC ，∠BDC =30°， ∴ ∠ADC =∠C =60°.∴ 四边形ABCD 是等腰梯形， ∴ BC =AD .∵ 在△BCD 中，∠C =60°，∠BDC =30°， ∴ ∠DBC =90°.又已知DC =12，∴ AD =BC =12DC =6. 25.（1）证明：如图，连接AC ， ∵ AB ∥CD ，∴ ∠ACD =∠BAC. ∵ AB =BC ，∴ ∠ACB =∠BAC ，∴ ∠ACD =∠ACB . ∵ AD ⊥DC ，AE ⊥BC ， ∴ ∠D =∠AEC =90° . 又∵ AC=AC ，∴ △ADC ≌△AEC ，∴ AD=AE . （2）解:由（1）知：AD=AE ，DC=EC .设AB ＝x ， 则BE =x －4，AE =8.在Rt △ABE 中，∠AEB =90°， 由勾股定理得：222AB BE AE =+ ，即2228(4)x x +-=，解得：x =10.∴ AB =10. 26.解：（1）设该市汽车拥有量的年平均增长率为x ，根据题意，得6.21)1(152=+x ，解得%202.01==x ，2.22-=x （不合题意，舍去）.（2）设全市每年新增汽车数量为y 万辆，则2011年底全市的汽车拥有量为（21.6×90%+y ）万辆，2012年底全市的汽车拥有量为万辆.根据题意得：（21.6×90%+y ）×90%+y ≤23.196，解得y ≤3. 答:该市每年新增汽车数量最多不能超过3万辆.。
北师大版九年级上册数学《一元二次方程》测试卷(含答案)
九年级上册数学《一元二次方程》测试卷姓名：__________班级：__________考号：__________一、选择题（本大题共10小题）.1.已知2是关于x 的方程23202x a -=的一个根，则21a -的值是（ ）A.3B.4C.5D.6【答案解析】C2.关于x 的方程22(1)260a x ax ++-=是一元二次方程，则a 的取值范围是（ ）A.1a ≠±B.0a ≠C.a 为任何实数D.不存在【答案解析】C;21a +恒大于03.小明要在一幅长90厘米、宽40厘米的水彩画得外围镶上一条宽度相等的金色彩条，要求使水彩画的面积是整幅画面积的54%，设金色彩条的宽为x 厘米，根据题意列方程为（ ）A.(90)(40)54%9040x x ++⨯=⨯B.(902)(402)54%9040x x ++⨯=⨯C.(90)(402)54%9040x x ++⨯=⨯D.(902)(40)54%9040x x ++⨯=⨯【答案解析】B4.若方程20ax bx c ++=(0)a ≠的一个根是另一个根的3倍，则a 、b 、c 的关系是（）A.2316b ac =B.2316b ac =-C.2163b ac =D.2163b ac =-【答案解析】A;不妨设方程20ax bx c ++=的两个根为1x 、2x ，且123x x =∴1224x x x +=，则24bx a=- ∴24b x a =-，将24bx a=-代入方程20ax bx c ++=整理，即可得A 【解析】韦达定理5.已知a ，b ，c 为正数，若二次方程20ax bx c ++=有两个实数根，那么方程22220a x b x c ++=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的正实数根B ．有两个异号的实数根C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根【答案解析】C;22220a x b x c ++=的422224(2)(2)b a c b ac b ac ∆=-=+-，∵二次方程20ax bx c ++=有两个实数根， ∴240b ac ->，∴220b ac ->， ∴422224(2)(2)0b a c b ac b ac ∆=-=+->∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正．故有两个负根．故选C ．6.对于方程2()ax b c +=下列叙述正确的是（ ）A.不论c 为何值，方程均有实数根B.方程根是c bx a -=C.当0c ≥时，方程可化为：ax b +=ax b +=当0c =时，b x a=【答案解析】C7.如果关于x 的一元二次方程2690kx x -+=有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．1k <B ．0k ≠C ．10k k <≠且D ．1k >【答案解析】C ；由题可得363600k k ∆=->⎧⎨≠⎩，所以 10k k <≠且8.不解方程，判别一元二次方程2261x x -=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．没有实数根C ．有两个相等的实数根D ．无法确定【答案解析】A ；由方程可得3680∆=+>，所以方程有两个不相等的实数根．9.关于x 的一元二次方程22(1)10a x x a -++-=的一个根是0，则a 的值为（ ）A.1B.1-C.1或1-D.12【答案解析】B10.已知a ，b ，c 是不全为0的3个实数，那么关于x 的一元二次方程2222()()0x a b c x a b c ++++++= 的根的情况（ ）．A ．有2个负根B ．有2个正根C ．有2个异号的实根D ．无实根【答案解析】D ；方程 2222()()0x a b c x a b c ++++++=的判别式为： 2222()4()a b c a b c ∆=++-++222333222a b c ab bc ca =---+++222222222(2)(2)(2)a ab b b bc c c bc a a b c =-+-+-+-+-+---- 222222[()()()]a b b c c a a b c =--+-+-+++∵a ，b ，c 不全为0，∴0∆<．∴原方程无实数根．故选D ．二、填空题（本大题共5小题）.11.以3-和2为根，二次项系数为1的一元二次方程为____________【答案解析】(3)(2)0x x +-=，（最好让学生整理出一般形式260x x +-=）12.已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，则a 的取值范围是 ．【答案解析】3a ≠；整理方程得：2(3)10a x ax --+=，当3a ≠时，原方程是一元二次方程．13.方程2610kx x -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是【答案解析】9k <且0k ≠14.关于x 的方程2210x bx +-=的一个根为2-，则另一个根是 ，______b =【答案解析】设另一个根是2x ，根据题意得，22(2)2(2)1x b x +-=-⎧⎨⋅-=-⎩，解得212x =，34b =15.已知关于x 的方程()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根，且a 、b 为实数，则32a b +=________．【答案解析】-1;∵()()2212102x a b x b b -+--+=有两个相等的实数根． ∴0∆=，即()()222210a b b b ++-+= ∴()()22210a b b ++-=，∴0a b +=，10b -= ∴1b =，1a =-，因此321a b +=-．三、解答题（本大题共8小题）.16.把下列方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数以及常数项⑴2(21)(32)2x x x -+=+⑵2)(3)x x x =+【答案解析】⑴化简后为2540x x +-=，因此二次项系数为5；一次项系数为1；常数项为4-⑵化简后为22610x x ++=，二次项系数为2；一次项系数为6；常数项为117.不解方程224)0x x +--，求两根之和与两根之积【答案解析】令此方程的两个实数根为1x 、2x由韦达定理得12x x +=，12x x ⋅==【解析】韦达定理成立的前提条件是0∆≥18.不解方程，判断下列方程的根的情况：⑴22340x x +-=；⑵20ax bx +=（0a ≠）【答案解析】⑴22340x x +-=∵2342(4)410∆=-⨯⨯-=> ∴方程有两个不相等的实数根． ⑵∵0a ≠∴方程是一元二次方程，此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程，将常数项视为零∵22()40b a b ∆=--⋅⋅=∵无论b 取任何数，2b 均为非负数 ∴0∆≥，故方程有两个实数根19.已知关于x 的方程210x mx m -+-=有两个不相等的实根1x 、2x ，且1211m x x +=，求m 的值【答案解析】由韦达定理得12121x x m x x m +=⎧⎨⋅=-⎩，∵1211m x x += ∴ 1212x x m x x +=⋅，即1mm m =-，解得0m =或2m =∵0∆>，∴0m = 【解析】易忽略0∆>的条件20.解关于x 的方程：2222(1)(1)(1)a x x a x a x -+--=-【答案解析】原方程可整理为2222()(21)()0a a x a x a a ---++= ①⑴当20a a -=时，则1a =或0a =；若1a =，则方程①可整理为20x -+=，解得2x = 若0a =，则方程①可整理为0x = ⑵当20a a -≠时，0a ≠且1a ≠时[(1)][(1)]0a x a ax a ---+=，解得1a x a =-或1a x a+= 【解析】化为一般式：()()()2222210a a x a x a a ---++=，然后讨论二次项系数是否为021.解无理方程（换元法）22330x x +-=【答案解析】a =，则22239x x a ++=，∴22239x x a +=-则原方程变形为29530a a --+=，整理得2560a a --=解得11a =-，26a =0a =≥ ∴6a =6=，整理得223270x x +-=，解得13x =，292x =- 经检验13x =，292x =-均为原方程的解 ∴原方程的解为13x =，292x =-22.求作一个一元二次方程，使它的两根分别是25230x x +-=各根的负倒数【答案解析】设方程25230x x +-=的两根为1x 、2x ，则1225x x +=-，1235x x ⋅=-设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y 、2y 则111y x =-，221y x =- ∴12121212112()()3x x p y y x x x x +=-+=---==⋅； 1212121115()()3q y y x x x x =⋅=-⋅-==- ∴所求的方程为225033y y +-=，即23250y y +-=【解析】求作新方程时，均可以设所求方程为20y py q ++=的简单形式，再根据12()p y y =+，12q y y =⋅23.已知方程240x x m ++=的两个根的平方和是10，求m 的值。
北师大版九年级数学上册 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章2.5 一元二次方程的根与系数的关系同步练习题一、选择题1．已知x1，x2是一元二次方程x2＋2x－k－1＝0的两根，且x1x2＝－3，则k的值为(B) A．1 B．2 C．3 D．42．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则1x1＋1x2的值为(B)A．1 B．-2 C．3 D．-43．已知关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个实数根分别为x1，x2.若b＋2c＝0，则1x1＋1x2＋x1x2x1＋x2的值为（D）．A．52B．-32C．32D．-524．若一元二次方程x2－3x－2＝0的两根分别是m，n，则m3－3m2＋2n＝（A）A．6 B．5 C．3 D．45．对于任意实数a，b，定义：a◆b＝a2＋ab＋b2.若方程(x◆2)－5＝0的两根记为m，n，则m2＋n2＝（D）．A．3 B．4 C．5 D．66.已知关于x的方程ax2＋bx＋1＝0的两根为x1＝1，x2＝2，则方程a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1＝0的两根之和为（A）．A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题7．已知关于x的一元二次方程x2－2kx－8＝0的一个根是2，则此方程的另一个根是－4．8．已知关于x的方程x2＋mx－2n＝0的两根之和为－2，两根之积为1，则m＋n的值为32．9．写一个以5，－2为根的一元二次方程(化为一般形式)x2－3x－10＝0．10．已知m，n是一元二次方程x2－2x－3＝0的两根，则m＋n＋mn＝－1．11．若x1＋x2＝3，x21＋x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是x2－3x＋2＝0．12．已知实数m ，n 满足条件m 2－7m ＋2＝0，n 2－7n ＋2＝0，则n m ＋m n 的值是452或2．13．已知a ，b 是方程x 2＋2x －5＝0的两个实数根，则a 2b ＋ab 2的值为10．14．已知关于x 的方程kx 2－3x ＋1＝0有两个实数根，分别为x 1和x 2.当x 1＋x 2＋x 1x 2＝4时，k ＝1．15．若方程2x 2＋4x －3＝0的两根为x 1，x 2，则1x 21＋1x 22＝289．三、解答题16．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2－3x －1＝0的两根，不解方程求下列各式的值： (1)x 21＋x 22；解：x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2 ＝32－2×(－1) ＝11.(2)1x 1＋1x 2. 解：1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝3－1＝－3.17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2.(1)若a 为正整数，求a 的值；(2)若x 1，x 2满足x 21＋x 22－x 1x 2＝16，求a 的值．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(a －1)x ＋a 2－a －2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－2(a －1)]2－4(a 2－a －2)＞0.解得a ＜3. ∵a 为正整数， ∴a ＝1或2.(2)∵x 21＋x 22－x 1x 2＝16， ∴(x 1＋x 2)2－3x 1x 2＝16.∵x 1＋x 2＝2(a －1)，x 1x 2＝a 2－a －2， ∴[2(a －1)]2－3(a 2－a －2)＝16. 解得a 1＝－1，a 2＝6. 又由(1)知a ＜3， ∴a ＝－1.18．已知x 1，x 2是一元二次方程4kx 2－4kx ＋k ＋1＝0的两个实数根，求使x 1x 2＋x 2x 1－2的值为整数的实数k 的整数值．解：根据题意，得Δ＝(－4k)2－4×4k(k＋1)≥0，且k≠0，解得k ＜0. ∵x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝k ＋14k ，∴x 1x 2＋x 2x 1－2＝（x 1＋x 2）2－2x 1x 2x 1x 2－2 ＝（x 1＋x 2）2x 1x 2－4＝1k ＋14k－4 ＝－4k ＋1.∵k 为整数，且－4k ＋1为整数，∴k ＋1＝±1，±2，±4. 又∵k＜0，∴k ＝－5，－3，－2.19．已知关于x 的方程3x 2＋2x －m ＝0没有实数解，求实数m 的取值范围． 解：∵3x 2＋2x －m ＝0没有实数解， ∴Δ＝4－4×3×(－m)＜0，解得m ＜－13.故实数m 的取值范围是m ＜－13.20．已知实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0，求m n ＋n m 的值．解：若m≠n，∵实数m ，n 满足3m 2＋6m －5＝0，3n 2＋6n －5＝0， ∴m ，n 是方程3x 2＋6x －5＝0的两根． ∴m ＋n ＝－2，mn ＝－53.∴m n ＋n m ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn （－2）2－2×（－53）－53＝－225. 若m ＝n ，则m n ＋nm ＝1＋1＝2.综上可知，m n ＋n m 的值为－225或2.21．已知关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m －1＝0. (1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)若方程的两根都是正数，求m 的取值范围；(3)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，且1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，求m 的值． 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝(－2)2－4(m －1)＝－4m ＋8＞0.∴m＜2. ∴当m ＜2时，方程有两个不相等的实数根．(2)设x 1，x 2是这个方程的两个实数根，则x 1＞0，x 2＞0，∴x 1x 2＝m －1＞0.∴m＞1. ∵方程的两根都是正数，∴Δ≥0.∴m ≤2.∴m 的取值范围是1＜m≤2. (3)由题意可得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝m －1. ∵1＋x 1x 2＝x 21＋x 22，∴1＋x 1x 2＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2， 即1＋m －1＝22－2(m －1)．解得m ＝2.22．已知k 为非负实数，关于x 的方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0和kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0. (1)求证：前一个方程必有两个非负实数根；(2)当k 取何值时，上述两个方程有一个相同的实数根？ 解：(1)证明：x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0，Δ＝[－(k ＋1)]2－4k ＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0的根为x ＝（k ＋1）±（k －1）22.∴x 1＝k ，x 2＝1. ∵k 为非负实数，∴方程x 2－(k ＋1)x ＋k ＝0必有两个非负实数根． (2)方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0中，∵k ≥0，当k≠0时，Δ＝(k ＋2)2－4k 2＝(k ＋2＋2k)(k ＋2－2k)＝(3k ＋2)(2－k)． ∵k ＞0，∴3k ＋2＞0.∴要使(3k ＋2)(2－k)≥0，需满足2－k≥0， 即k≤2，且k≠0.当k ＝0时，x ＝0.∴k ≤2时，方程有实数根．当相同的根是k 时，把x ＝k 代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k 3－(k ＋2)k ＋k ＝0， 解得k ＝0或k ＝1＋52或k ＝1－52.∵k 为非负实数，∴k ＝0或1＋52.满足k≤2. 当相同的根是1时，把x ＝1代入方程kx 2－(k ＋2)x ＋k ＝0，得k －(k ＋2)＋k ＝0，解得k ＝2.满足k≤2.∴当k ＝2或0或1＋52时，上述两个方程有一个相同的实数根．。
北师大版九年级数学上册--第二单元 2.3拓展练习1(含答案)
《一元二次方程的解法-公式法》拓展练习11.在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园.要求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小颖和小明的设计方案（空白部分是花园）：（1）你认为小颖的结果对吗?请简要说明理由.（2）请你帮助求出图中x的值（结果精确到0.1，π取3，21414．）.（3）请你在已给出的矩形中画出与小颖和小明不同的设计方案的草图，并在图中标注必要的数据.2.从社会效益和经济效益出发，某地制定了三年规划，投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业.根据规划，第一年度投入资金800万元，第二年度比第一年度减少13，第三年度比第二年度减少12.第一年度当地旅游业收入估计为400万元，要使三年内的投入资金与旅游业总收入持平，则旅游业收入的年平均增长率应是多少?（以下数据供选用：1414≈．3606≈．，计算结果精确到百分位）3．如果关于x的一元二次方程mx2－2（m+2）x+m+5＝0没有实数根，试判断关于x 的方程（m－5）x2－2（m+1）x+m=0的根的情况．4．已知x1、x2是关于x的方程（x－2）（x—m）=（p－2）（p－m）的两个实根．（1）求x1、x2的值；（2）若x1、x2是某直角三角形的两直角边的长，问当实数m、P满足什么条件时，此直角三角形的面积最大?并求出其最大值．参考答案：1．解：（1）设小路的宽为xm ，（12-2x ）（16-2x ）=12×12×16，整理，得x 2-14x +24=0．解得x 1=2，x 2=12（舍去）．∴小路的宽为2m ，所以小颖的结果不对．（2）阴影部分的面积实际上是一个整圆的面积．∴πx 2=12×12×16．∴x =42≈5.7（m ），即x 的值约为5.7．（3）如图．2．解：设三年内旅游业收入的年平均增长率为x ，根据题意，得方程400+400（1+x ）+400（1+x ）2=800+800×111180011.332⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭化简，得x 2+3x -1=0． 解得1231331322x x -+--==，（不合题意，应舍去）． 133 3.60630.30330%.22x --==≈≈ 答：三年内旅游业收入的年平均增长率应约为30％3．()2mx 2m 2x m 50-+++=没有实数根，则△1＜0． ，∴m ＞4．当m ≠5时，．∵m ＞4，∴△2＞0，方程()()2m 5x 2m 1x m 0--++=有两个不相等的实根；当m =5时，方程为12x +5=0，方程有一个实根．4．提示：（1）原方程可化为()()22x m 2x 2m p m 2p 2m -++=-++． ∴()()12x p x p m 20.x p x m p 2-+--=∴==-+，．（2）221211122(2)()()22228m m S x x p m p p ++==-+=--+， 所以，当22m p +=且m ＞－2时，以x 1、x 2为两直角边长的直角三角形的面积最大，最大面积为2(2)8m +（或212p ）．。
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2(附答案详解)
北师大版2020九年级数学上册1.2矩形的性质与判定自主学习能力达标测试题2（附答案详解）1．下列说法中，错误的是（ ）A ．一组邻边相等的平行四边形是菱形B ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形C ．四条边相等的四边形是菱形D ．对角线相等且互相平分的四边形是菱形2．如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD 中，AB 4=，BC 8=，将上面的矩形纸片折叠，使点C 与点A 重合，折痕为EF ，点D 的对应点为G ，连接DG ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．43B ．6C ．185 D ．3653．如图所示，矩形ABCD 的对角线交于O ，AE ⊥BD 于E ，∠1：∠2=2：1， 则∠1的度数为（ ）．A ．22．5°B ．45°C ．30°D ．60°4．如图，E 为矩形ABCD 的边AB 上一点，将矩形沿CE 折叠，使点B 恰好落在ED 上的点F 处，若BE=1，BC=3，则CD 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．35．一张矩形纸片 ABCD ，已知 AB ＝3，AD ＝2，小明按如图步骤折叠纸片，则线段 DG 长为（）6．如图，△ABC中，∠ABC＝∠BAC，D是AB的中点，EC∥AB，DE∥BC，AC与DE交于点O．下列结论中，不一定成立的是（）A．AC＝DE B．AB＝AC C．AD＝EC D．OA＝OE 7．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（）A．AB∥DC B．AC=BD C．AC⊥BD D．OA=OC8．如果□ABCD的对角线相交于点O，那么在下列条件中，能判断□ABCD为矩形的是( ) A．∠OAB＝∠OBA B．∠OAB＝∠OBCC．∠OAB＝∠OCD D．∠OAB＝∠OADAG DB 9．如图，已知在ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，BD是对角线，//交CB延长线于G．若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形10．在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，则下列结论不正确的是（）A．斜边长为10cm B．周长为25cmC．面积为24cm2D．斜边上的中线长为5cm11．若直角三角形斜边上的高和中线分别是5cm和6cm，则斜边长为__________，面积为__________．12．平行四边形也是轴对称图形其对称轴也是对角线．（）13．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，P，Q分别是直线BC，AB上的两个动点，AE=2，△AEQ沿EQ翻折形成△FEQ，连接PF，PD，则PF+PD的最小值是____．14．如图，把一个长方形纸条ABCD 沿AF 折叠，点B 落在点E 处．已知∠ADB ＝24°，AE ∥BD ，则∠AFE 的度数是__________15．如图，矩形ABCD 中，E 在AD 上，且EF EC ⊥，EF EC =，2DE =，矩形的周长为16，则AE 的长是______ ．16．在ABC ∆中，∠C=090，AC=12，BC=5，则AB 边上的中线CD =_______．17．在Rt ABC △中，90C ∠=︒，斜边长为4，CD 为AB 边上中线，则222AC BC CD ++=__________．18．如图平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，且OA OB =，65OAD ∠=．则ODC ∠=________．19．如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOB=60°，AB=2，则矩形的对角线AC 的长是_____．20．如图，在矩形ABCD 中，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接CE ．若BC ＝7，AE ＝4，则CE ＝_____．21．如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，E 是AC 的中点，连结BD ，DE ，BE ，EF⊥BD 于点F. 求证：DF ＝FB ．22．如图，Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CO 是中线，延长CO 到D ，使DO=CO ，连接AD 、BD ．（1）画出图形，判断四边形ACBD 的形状，并说明理由．（2）过点O 作EO ⊥AB ，交BD 于点E ，若AB=5，AC=4，求线段BE 的长．23．为了庆祝建校八十周年，某校各班都在开展丰富多彩的庆祝活动，八年级(3)班开展了手工制作竞赛，每个同学都在规定时间内完成一件手工作品．陈莉同学制作手工作品的第一、二个步骤是：①先裁下了一张长BC ＝20 cm ，宽AB ＝16 cm 的长方形纸片ABCD ；②将纸片沿着直线AE 折叠，使点D 恰好落在BC 边上的F 处……请你根据①②步骤解答下列问题．(1)找出图中的∠FEC 的余角；(2)计算EC 的长．24．如图，在等腰梯形ABCD 中，//AD BC ，AB CD =，点P 为BC 边上一动点，PE AB ⊥，PF CD ⊥，问PE PF +的值是否为一定值？若为一定值，求出这个定值；若不为定值，求出这个值的取值范围．25．矩形ABCD 中，DE 平分∠ADC 交BC 边于点E ，P 为DE 上的一点（PE ＜PD ），PM ⊥PD ，PM 交AD 边于点M ．（1）若点F是边CD上一点，满足PF⊥PN，且点N位于AD边上，如图1所示．求证：①PN=PF；②DF+DN=2DP；（2）如图2所示，当点F在CD边的延长线上时，仍然满足PF⊥PN，此时点N位于DA边的延长线上，如图2所示；试问DF，DN，DP有怎样的数量关系，并加以证明．26．在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交CD边于点E．点F在BC边上，且FE⊥AE．（1）如图1，①∠BEC=_________°；②在图1已有的三角形中，找到一对全等的三角形，并证明你的结论；（2）如图2，FH∥CD交AD于点H，交BE于点M．NH∥BE，NB∥HE，连接NE．若AB=4，AH=2，求NE的长．27．如图，在△ABC中，O是AC上一动点（不与点A、C重合），过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）OE与OF相等吗？证明你的结论；（2）试确定点O的位置，使四边形AECF是矩形，并加以证明．28．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，已知O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OD=OC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请直接给出你的结论，不必证明．参考答案1．D【解析】【分析】根据菱形的判定方法：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”）进行分析即可．【详解】A、一组邻边相等的平行四边形是菱形，说法正确；B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，说法正确；C、四条边相等的四边形是菱形，说法正确；D、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故此选项错误．故选D．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，关键是掌握菱形的判定定理．2．C【解析】【分析】由于AF=CF，则在Rt△ABF中由勾股定理求得AF的值，证得△ABF≌△AGE，有AE=AF，即ED=AD-AE，再由直角三角形的面积公式求得Rt△AGE中边AE上的高的值，即可计算阴影部分的面积．【详解】由题意知，AF=FC，AB=CD=AG=4，BC=AD=8，在Rt△ABF中，由勾股定理知AB2+BF2=AF2，即42+（8-AF）2=AF2，解得AF=5，∵∠BAF+∠FAE=∠FAE+∠EAG=90°，∴∠BAF=∠EAG，∵∠B=∠AGE=90°，AB=AG，∴△BAF≌△GAE，∴AE=AF=5，ED=GE=3，∵S△GAE=12AG•GE=12AE•AE边上的高，∴AE边上的高=125，∴S△GED=12ED•AE边上的高=12×3×125=185，故选C．【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等，熟练掌握相关知识是解题的关键.3．B【解析】∵四边形ABCD为矩形，AE⊥BD，∴∠2+∠ABD=∠ADB+∠ABD =∠EAD+∠ADB=90°，∴∠ADB=∠2，∠1+∠OAD+∠ADB=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AO=OD，∴∠OAD=∠ADB=∠2，∴∠1+2∠2=90°，∵∠1：∠2=2：1，∴2∠2=∠1，∴2∠1=90°，∴∠1=45°，故选B.4．B【解析】【分析】先根据翻折变换的性质得出EF=BE=1,BC=CF=AD=3,可证得△AED≌△FDC 进而求得CD 的长.【详解】解:由题意得：E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，可得BE=EF=1,CF=BC=3,∠EFC=∠B=90oABCD为矩形，可得∠AED=∠CDF,在△AED与△FDC中有: AD=CF,∠A=∠DFC=90o,∠AED=∠CDF∴△AED≌△FDC,∴ED=CD,设CD 的长为x ，在Rt△EAD 中，有222ED AE AD =+,即:222(1)3x x =-+,解得;x=5，故答案为B.【点睛】本题主要考查矩形的性质和翻折变换后的性质，灵活证三角形全等是解题的关键.5．A【解析】解：∵AB =3，AD =2，∴DA ′=2，CA ′=1，∴DC ′=1．∵∠D =45°，∴DG ．故选A ．6．B【解析】A.连接AE ，CD ，则四边形ADCE 是平行四边形，因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CD⊥AB，所以四边形ADCE 是矩形，所以AC=DE ，则A 成立；B.因为∠ABC ＝∠BAC ，D 是AB 的中点，所以CA=CB ，不能得到AB=AC ，则B 不一定成立；C.因为四边形ADCE 是矩形，所以AD=CE ，OA=OE ，则C ，D 成立，故选B.7．C【解析】矩形的性质有①矩形的两组对边分别平行且相等；②矩形的四个角都是直角；③矩形的两条对角线互相平分且相等．所以选项A ，B ，D 正确，C 错误.故选C.8．D【解析】【分析】①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．【详解】对于选项A ，∵∠OAB=∠OBA，∴OA=OB，∴AC=BD.根据此条件，不能判断四边形ABCD是菱形，故A不符合题意.对于选项B，由∠OAB=∠OBC，不能判断四边形ABCD的邻边相等，故B不符合题意. 对于选项C，由∠OAB=∠OCD，可得AB∥CD，根据已知也可得此条件，故不符合题意. 对于选项D.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠OAB=∠ACD.∵∠OAB=∠OAD，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD是菱形.故选D.【点睛】本题考查的是平行四边形，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键.9．B【解析】【分析】如图：先由菱形的性质得出AE=BE=DE，通过AD∥BC，AG∥BD，可证明四边形ADBG 是平行四边形，再通过角之间的关系求出∠2+∠3=90°即∠ADB=90°，所以判定四边形AGBD是矩形．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∵AG∥BD，∴四边形AGBD是平行四边形．∵四边形BEDF是菱形，∴DE=BE．∵AE=BE，∴AE=BE=DE．∴∠1=∠2，∠3=∠4．∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°，∴2∠2+2∠3=180°．∴∠2+∠3=90°．即∠ADB=90°．∴四边形AGBD是矩形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的基本性质和矩形的判定．有一个角是直角的平行四边形是矩形.熟练掌握矩形的判定定理是解题关键.10．B【解析】试题解析：∵在一个直角三角形中，已知两直角边分别为6cm，8cm，∴直角三角形的面积=12×6×8=24cm2，故选项C不符合题意；∴斜边226810cm，=+=故选项A不符合题意；∴斜边上的中线长为5cm，故选项D不符合题意；∵三边长分别为6cm，8cm，10cm，∴三角形的周长=24cm，故选项B符合题意，故选B．点睛：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 11．12cm230cm【解析】∵直角三角形斜边中线是6cm，高是5cm，∴斜边是12cm，面积是：2112530cm 2⨯⨯=． 12．× 【解析】平行四边形不是但是特殊的平行四边形，如矩形、菱形、正方形等是轴对称图形，但一般的平行四边形不是轴对称图形，所以原语句是错误的.13．8【解析】【分析】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，由DP=PD′，推出PD+PF=PD′+PF ，又EF=EA=2是定值，即可推出当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=ED′﹣EF ．【详解】如图作点D 关于BC 的对称点D′，连接PD′，ED′，在Rt △EDD′中，∵DE=6，DD′=8，∴ED′=2268+=10，∵DP=PD′，∴PD+PF=PD′+PF ，∵EF=EA=2是定值，∴当E 、F 、P 、D′共线时，PF+PD′定值最小，最小值=10﹣2=8，∴PF+PD 的最小值为8，故答案为8．【点睛】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称，根据两点之间线段最短解决最短问题.14．33°【解析】【分析】设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ，由平行线的性质可知：∠BGF=∠E=90°，∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，由2∠AFE+∠DBC=90°，即可得出结论．【详解】解：设BD 交EF 于G ．由折叠的性质可知，∠E=∠ABF=90°∠AFB=∠AFE ．∵AE ∥BD ，∴∠BGF=∠E=90°．∵AD ∥BC ，∴∠DBC=∠ADB=24°．在Rt △BGF 中，2∠AFE+∠DBC=90°，∴2∠AFE=90°－24°=66°，∴∠AFE=33°．故答案为33°．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质以及平行线的性质和直角三角形的两锐角互余．解题的关键是得到△BGF 为直角三角形．15．3【解析】【分析】设CD x =，根据矩形的性质得出AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，求出AFE DEC ∠=∠，证AFE DCE ≅，推出AE DC x ==，求出2AD BC x ==+，得出方程()2216x x ++=，求出即可.【详解】设CD x =，四边形ABCD 是矩形，∴AB CD =，AD BC =，90A D ∠=∠=︒，EF EC ⊥，∴90FEC ∠=︒，∴90AFE AEF ∠+∠=︒，90AEF DEC ∠+∠=︒，∴AFE DEC ∠=∠，在AFE △和DCE 中，AFE DEC A D EF EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴AFE DCE ≅()AAS ，∴AE DC x ==，2DE =，∴2AD BC x ==+，矩形ABCD 的周长为16，∴()2216x x ++=，3x =，即3AE =.故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内角和定理，矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是推出AE CD =.16．6.5【解析】【分析】先求斜边，再根据斜边上中线等于斜边一半可得.【详解】由勾股定理可得：13=,所以AB 上的中线长：13÷2=6.5故答案为：6.5【点睛】本题考核知识点：直角三角形斜边上的中线. 解题关键点：熟记性质即可.17．20 【解析】由∠C=90°，CD为斜边AB中线，则CD=12AB=2，由勾股定理，得AC2+BC2=AB2，则AC2+BC2+CD2=AB2+CD2=42+22=20.故答案为20.点睛：本题考查勾股定理及直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质.18．25°【解析】【分析】由平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA OB=，易证得四边形ABCD是矩形，继而可求得答案.【详解】四边形ABCD是平行四边形，∴OA OC=，OB OD=，OA OB=，∴OA OB OC OD===，∴四边形ABCD是矩形，∴90ADC∠=︒，65ODA OAD∠=∠=︒，∴25ODC ADC ODA∠=∠-∠=︒.故答案为：25︒.【点睛】此题考查了矩形的判定与性质，此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.19．4【解析】【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，22AC AO BD BO AC BD∴===，，，AO OB ∴=，60AOB ∠=︒，AOB ∴是等边三角形，2AB AO ∴==，即24AC AO ==，故答案为4．20．5【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，AB=CD ，∠D=90°.∴∠AEB=∠CBE.∵BE 平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，∴∠ABE=∠AEB，∴AE=AB.∴CD=AE=4，DE=AD-AE=BC-AE=7-4=3.在Rt △CDE 中，根据勾股定理得5==.故答案为5.21．见解析【解析】【分析】根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得DE ＝12AC ，BE ＝12AC ，即可得DE=BE.再由等腰三角形三线合一的性质即可证得结论.【详解】∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，E 是AC 的中点，∴DE ＝12AC ，BE ＝12AC. ∴DE ＝BE.又∵EF ⊥BD ，∴DF ＝FB.【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半及等腰三角形三线合一的性质，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半证得DE=BE 是解决问题的关键.22．（1）结论：四边形ACBD 是矩形．理由见解析；（2）258. 【解析】 分析：（1）先证明四边形ACBD 是平行四边形，再证明是矩形．（2）利用BOE BDA ∽得BE BO AB BD=， 即可解决问题． 详解：(1)结论：四边形ACBD 是矩形,理由：∵OB =OA ，OC =OD ，∴四边形ACBD 是平行四边形，∵90ACB ∠=，∴四边形ACBD 是矩形。