人教A高中数学必修二2.3.4 平面与平面垂直的性质[王丽]【市一等奖】优质课

(1)证明：∵ AB是⊙O的直径， P C是圆周上不同于A，B的任 意一点 ∴∠ACB=90°∴BC⊥AC C 又∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC, A BC平面ABC O ∴BC⊥平面PAC (2)又∵ BC 平面PBC ，∴平面PBC⊥平面PAC
B
练习3.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC， 求证：BC⊥平面PAB.
面面垂直
性质定理 判定定理
线面垂直
1、平面与平面垂直的性质定理：两个平面 垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另 一个平面垂直。 2、证明线面垂直的两种方法： 线线垂直→线面垂直；面面垂直→线面垂直 3、线线、线面、面面之间的关系的转化是解 决空间图形问题的重要思想方法。
[思考题目] 4．如图所示，在平行四边形 ABCD 中，已知 AD＝2AB＝2a， BD＝ 3a，AC∩BD＝ E， 将其沿对角线 BD 折成直二面角．
b
a
即可。而题中条件有 又 a , b a , ,因此，
a //ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 必有b .
即直线a与平面平行
规律方法：
面面垂直的性质是作平面的垂线的重要的
方法，因此，在有面面垂直的条件下，若
需要平面的垂线，要首先考虑面面垂直的 性质。
Ⅲ.知识应用
练习1：判断正误。
求证：(1)AB⊥平面 BCD； (2)平面 ACD⊥平面 ABD.
证明：(1)在△ABD 中，AB＝a， AD＝2a，BD＝ 3a， ∴AB2＋BD2＝AD2， ∴∠ABD＝90° ，∴AB⊥BD. 又∵平面 ABD⊥平面 BCD， 平面 ABD∩平面 BCD＝BD，AB⊂平面 ABD， ∴AB⊥平面 BCD.
证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E， ∵平面PAB⊥平面PBC， 平面PAB∩平面PBC=PB， ∴AE⊥平面PBC.
P
∵BC 平面PBC,∴AE⊥BC
∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC,
A
C
∴PA⊥BC.
故BC⊥平面PAB
B
解题反思
1、面面垂直的性质定理给我们提供了一 种证明线面垂直的方法 2、本题充分地体现了面面垂直与 线面 垂直之间的相互转化关系。
面面垂直
线面垂直
线面、面面之间的关系的转化是解决空间图 形问题的重要思想方法。
应用举例
例2：已知平面 , ， , 直线a满足a , a ，判断直线a与平面的位置关系。 解：在内作垂直于与 分析：
交线的直线b 要证a // , 只需在平
b 面内作一直线b // a a a // b
人教A版2003课标版
2.3.4平面与平面垂直的性质定理
主讲教师: 王丽 工作单位:巨鹿中学
巨鹿中学 王丽
1、平面与平面垂直的定义
两个平面相交，如果它们所成的二面角是 直二面角，就说这两个平面互相垂直。
2、平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂 线，则这两个平面垂直。
符号表示：
该命题正确吗？
已知： ， CD，AB , AB CD 求证：AB 证明： 在内过点B作BE CD 分析：要证明直线垂 直于平面，须证明直 则ABE是二面角
线垂直于平面内两条 - CD 的平面角 相交直线，而题中条 件已有一条，故可过 该直线作辅助线 . AB BE
已知平面α⊥平面β,α∩β＝l下列命题
(1)平面α内的任意一条直线必垂直于平面β （ ×）
(2)垂直于交线l的直线必垂直于平面β （ ×）
(3)过平面α内任意一点作交线的垂线，则此 垂线必垂直于平面β（× ）
练习2：如图，AB是⊙O的直径，C是圆周上不 同于A，B的任意一点，平面PAC⊥平面ABC， (1)判断BC与平面PAC的位置关系，并证明。 (2)判断平面PBC与平面PAC的位置关系。


b
b b
新知探究一：黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，
你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?
新知探究二：平面与平面垂直的性质
如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
平面AC 平面D1C 平面AC 平面D1C DC
D1D 平面D1C
A1
(2)∵折叠前四边形 ABCD 是平行四边形，且 AB⊥BD， ∴CD⊥BD.∵ AB⊥平面 BCD，∴AB⊥CD. 又∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面 ABD. 又∵CD⊂平面 ACD，∴平面 ACD⊥平面 ABD.
D A B D1 B1 C1
D1D CD
D1D 平面AC
C
平面与平面垂直的性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂 文字语言 直于交线的直线与另一个平面垂直.
图形语言

D

C
B
A
符号语言
， AB , AB CD CD，
AB
平面与平面垂直的性质定理
E
B

D
A
C
AB CD
CD , BE , BE CD B AB
平面与平面垂直的性质定理
CD， AB , AB CD ，
AB
简记： 线面垂直 面面垂直
性质定理 判定定理

D A

C
B
定理的作用：证明线面垂直。