人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》单元测试题含答案
人教版初中数学九年级下册第28章《锐角三角函数》单元测试题含答案一、精心选一选1. 如图，一根电线杆的接线柱部分AB在阳光下的投影CD的长为1米，太阳光线与地面的夹角∠ACD=60°，则AB的长为（）A. 米B. 米C. 米D. 米2. 若∠α的余角是30°，则cosα的值是（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A. B. C. D.4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=，BC=2，则sin∠ACD 的值为（）A. B. C. D.5. 设x为锐角，若sinx=3K﹣9，则K的取值范围是（）A. K＜3B.C.D.6. 已知tanα=，则锐角α的取值范围是（）A. 60°＜α＜90°B. 45°＜α＜60°C. 30°＜α＜45°D. 0°＜α＜30°7. 如图，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别为45°和30°，已知CD=100米，点C在BD上，则山高AB=（）A. 100米B. 米C. 米D. 米8 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A. 5B. 5C. 5D. 109. 如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30°和60°，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，建筑物A、B间的距离为（）A. 150米B. 180米C. 200米D. 220米10 如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A. 7海里B. 14海里C. 7海里D. 14海里二、细心填一填11. △ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=．.12. 若有意义，则锐角α的取值范围是．13. 已知等腰三角形两边长分别为5和8，则底角的正切值为．14. 长为4m的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了m．15. 如图，太阳光线与地面成60°角，一颗倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的树影长为8 m，则大树的长为m．16. 数学组活动，老师带领学生去测塔高，如图，从B点测得塔顶A的仰角为60°，测得塔基D的仰角为45°，已知塔基高出测量仪20m（即DC=20m），则塔身AD的高为米17. 如图，大楼高30m，远处有一塔BC，某人在楼底A处测得塔顶的仰角为60°，爬到楼顶D测得塔顶的仰角为30°．则塔高BC为m．18. 如图所示，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行分钟可使渔船到达离灯塔距离最近的位置．19. 如图，建筑物甲、乙的楼高均为20米，在某一时刻太阳光线与水平线的夹角为30°，如果两楼间隔为18米，则楼甲的影子落在楼乙上的高度AB=米（结果保留根号））．20. 在一次综合实践活动中，同学们要测量某公园的人工湖两侧A、B两个凉亭之间的距离（如图）现测得AC=30m，BC=70m，∠CAB=120°，则A、B两个凉亭之间的距离为m三、耐心做一做21. 为了缓解某市区内一些主要路段交通拥挤的现状，交警队在一些主要路口设立了交通路况显示牌（如图）．已知立杆AB高度是3m，从侧面D点测得显示牌顶端C点和底端B 点的仰角分别是600和450．求路况显示牌BC的高度．22. 如图，一幢楼房前有一棵竹子，楼底到竹子的距离CB为2米，阵风吹过，竹子的顶端恰好到达楼顶，此时测得竹子与水平地面的夹角为75°，求这棵竹子比楼房高出多少米？（精确到0.1米）（参考数据：sin75°=0.996，cos75°=0.259，tan75°=3.732）23. 如图，在A岛周围25海里水域有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60°方向，轮船继续前行20海里到达B处发现A岛在北偏东45°方向，该船若不改变航向继续前进，有无触礁的危险？（参考数据：≈1.732）24. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋大楼顶部B的俯角为30°，看这栋大楼底部C的俯角为60°．热气球A的高度为240米，求这栋大楼的高度．25. 有一水库大坝的横截面是梯形ABCD，AD∥BC，EF为水库的水面，点E在DC上，某课题小组在老师的带领下想测量水的深度，他们测得背水坡AB的长为12米，迎水坡上DE的长为2米，∠BAD=135°，∠ADC=120°，求水深．（精确到0.1米，=1.41，=1.73）26. 如图，一架飞机由A向B沿水平直线方向飞行，在航线AB的正下方有两个山头C、D．飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°．飞机飞行了6千米到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，而山头D恰好在飞机的正下方．求山头C、D之间的距离．27. 为了维护海洋权益，新组建的国家海洋局加强了海洋巡逻力度．如图，一艘海监船位于灯塔P南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P北偏东30°方向上的B处．(1)在这段时间内，海监船与灯塔P最近距离是多少?(结果用根号表示)(2)在这段时间内，海监船航行了多少海里?(参考数据:2≈1.4.14，3≈1.732，6≈2.449．结果精确到0.1海里)28. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．(1)求sin ∠DBC 的值；(2)若BC 长度为4cm ，求梯形ABCD 的面积．参考答案：一、1. B ；2. A ；3. D ；4. C ；5. B ；6. C ；7. D ；8. A ；9. C ；10. A ；二、11.55；12. 60°≤α＜90°；13. 34或2315；14. 2（）；15. 83；16. 20(31-)；17. 45；18. 15；19.（20﹣6）；20. 50；三、21. 解：在Rt △ABD,中，AB ＝3m ，∠ADB ＝45°，所以AD =AB =3m ．在Rt △ACD 中，AD ＝3m ，∠ADC ＝60°所以3603333AC ADtanADC tan ==⨯=⨯=． 所以路况显示牌BC 的高度为()333－m ． 22. 解：在直角△ABC 中， ∵∠ABC =75°，BC =2，∴AB =0227.722cos750.259==(米)AC =BCtan 75°=2×3.732=7.464（米）， ∴AB ﹣AC =7.722﹣7.464≈0.3， 即竹子比楼房高出0.3米．23. 解：根据题意，有∠AOC =30°，∠ABC =45°，∠ACB =90°，所以BC =AC ， 在Rt △AOC 中，由tan 30°=， 得到，解得AC =≈27.32（海里），因为27.32＞25，所以轮船不会触礁． 24. 解：作AD ⊥CB 于D 点．则∠CDA=90°，∠CAD=60°，∠BAD=30°，CD=240米．在Rt△ACD中，tan∠CAD=，∴AD===80．在Rt△ABD中，tan∠BAD=，∴BD=AD•tan30°=80×=80．∴BC=CD﹣BD=240﹣80=160．答：这栋大楼的高为160米．25. 解：分别作AM⊥BC于M，DG⊥BC于G．过E作EH⊥DG于H，则四边形AMGD 为矩形．∵AD∥BC，∠BAD=135°，∠ADC=120°．∴∠B=45°，∠DCG=60°，∠GDC=30°．在Rt△ABM中，AM=AB•sinB=12×=6，∴DG=6．在Rt△DHE中，DH=DE•cos∠EDH=2×=，∴HG=DG﹣DH=6﹣≈6×1.41﹣1.73≈6.7．答：水深约为6.7米．26. 解：∵飞机在A处时，测得山头C、D在飞机的前方，俯角分别为60°和30°，到B处时，往后测得山头C的俯角为30°，∴∠BAC=60°，∠ABC=30°，∠BAD=30°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=180°﹣30°﹣60°=90°，即△ABC为直角三角形，∵AB=6千米，∴BC=AB•cos30°=6×=3千米．Rt△ABD中，BD=AB•tan30°=6×=2千米，作CE⊥BD于E点，∵AB⊥BD，∠ABC=30°，∴∠CBE=60°，则BE=BC•cos60°=，DE=BD﹣BE=，CE=BC•sin60°=，∴CD===千米．答：山头C、D之间的距离千米．27. 解：(1) 在Rt△P AC中，∵∠APC＝45°，P A＝100，∴PC＝P A·cos∠APC＝100×122＝2．∴在这段时间内，海监船与灯塔P最近距离PC＝2海里．(2) 在Rt △P AC 中， ∵∠APC ＝45°， ∴AC ＝PC ＝502． 在Rt △PBC 中， ∵∠BPC ＝60°， PC ＝502， ∴BC ＝PC ·tan ∠BPC ＝502×3＝506∴AC+ BC=502+506≈70.7+122.5≈193.2 (海里)． 答：在这段时间内，海监船航行了193.2海里． 28. 解：(1)∵AD =AB ，∴∠ADB =∠ABD ． ∵AD ∥CB ，∴∠DBC =∠ADB =∠ABD ．∵在梯形ABCD 中，AB =CD ，∴∠ABD +∠DBC =∠C =2∠DBC ． ∵BD ⊥CD ，∴3∠DBC =90°，∴∠DBC =30°．∴sin ∠DBC =． (2)过D 作DF ⊥BC 于F ，在Rt △CDB 中，BD =BC ×cos ∠DBC =4×32=2（cm ），AD =CD = BC ×sin ∠DBC =4×12=2（cm ）, 在Rt △BDF 中，DF =BD ×sin ∠DBC =1232⨯=（cm ）， ∴S 梯=()12AD BC DF +⋅=（2+4）•=3（cm 2）．。
【新】人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元检测及答案
人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A．12BCD2.已知α为锐角，sin（α﹣20°），则α=（）A．20°B．40°C．60°D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）ABC．12D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则cosA的值为（）AB．23C．34D7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）ABCD8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）AA．3米B．C．D．9.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.求值：sin60°﹣tan30°=．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，3AB=10，则∠A=度．C BA13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是．O BA14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S△ABC=．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sin α=45，求tan α．18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．CBA19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．CAB 于点D ，根据三角函数的定义在Rt △ACD 中，在Rt △CDB 中，即可求出CD ，AD ，BD ，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为米．求新传送带AC 的长度．D22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C 处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】sin60°．故选C．2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°），∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．4.【答案】A、∵sinB=bc，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=ac，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=ba，∴a=btan B，故选项错误；D、∵tanB=ba，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选A．6.【答案】如图，A∵tanA=13，∴设BC=x，则AC=3x，∴，∴．故选D．7.【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5，∴sinB=CDBC．故选：B．D8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．∴BO DOAB CD=．∴AB=BO CDDO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=BO DO．∵CD=6．∴AB=BO DO×故选B．A9.【答案】坡角α，则tanα=1α=30°．故选A．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=6051（m）．故选B．二、填空题11.【答案】原式．12.【答案】∵∠C=90°，AB=10，∴cosA=ACAB，∴∠A=30°，故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos∠AOB=32．故答案为：32．B 14.【答案】在Rt △ABC 中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，．∴S △ABC =12AC •15. 【答案】由题意得：AD=6m ，在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m∴CE=CD +DE=CD + 1.6，所以树的高度为（ 1.6）m ．16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sin α=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tan α=43． a18.【解答】sinA=BC AB =12． 19.【解答】作CD ⊥AB 于点D ， CD在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC •在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴AB=AD +BD=2+20. 【解答】作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F ．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º. 根据题意，得BE=24mm ，DF=48mm ．在Rt △ABE 中，sin α=BE AB ，∴AB=o BE sin36=240.60=40mm 在Rt △ADF 中，cos ∠ADF==DF AD ，∴AD=o DF cos36=48600.80=mm ． ∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ．21.【解答】如图，在Rt △ABD 中，AD=ABsin45°=4． 在Rt △ACD 中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC 的长度约为8米；22. 【解答】过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．在Rt △ABG 中，i=tan ∠，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，BF=AG +15． 在Rt △BFC 中，∵∠CBF=30°，∴CF ：，∴CF=5+ 在Rt △ADE 中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF +FE ﹣DE=5+5﹣15=（5）m ．答：宣传牌CD 高约（5）米．23. 【解答】（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．在Rt △PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米． 在Rt △PAD 中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴PA=6千米．∴AB=BD +AD=3+；（2）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12 3 千米． 在△ABC 中，∠C=180°﹣∠BAC ﹣∠ABC=45°．在Rt △BCF 中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴PC=AF +CF ﹣故小船沿途考察的时间为：（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME，则x22x255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=MEAE．∴AE=oMEcos22，即A、E之间的距离约为48m。
【初三数学】滁州市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元综合练习题(含答案解析)
九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( )A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝ ．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为 ． 19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝ ．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝0.8，b＝0.4，解这个直角三角形．解：21．(本小题满分9分)△ABC中，(3·tanA－3)2＋|2cosB－3|＝0.(1) 判断△ABC的形状；(2) 若AB＝10，求BC，AC的长．解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC与一棵树DE，在地面观测点A处测得屋顶C与树梢D的仰角分别是45°与60°，∠CAD＝60°，在屋顶C处测得∠DCA＝90°.若房屋的高BC＝6 m．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷人教版数学九年级下册第二十八章锐角三角函数单元提优卷一、选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A的正弦值( D ) A．扩大为原来的5倍B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变2.小明在某次投篮中刚好把球打到篮板的点D 处后进球.已知小明与篮框底的距离BC=5米，眼睛与地面的距离AB=1.7米，视线AD 与水平线AE 的夹角为a ，如图所示.若tana=310，则点D 到地面的距离CD 是( C )A.2.7米B.3.0米C.3.2米D.3.4米3.如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60 cm 长的绑绳EF ，tan α＝，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD 是( B )A ． 144 cmB ． 180 cmC ． 240 cmD ． 360 cm4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，AC ＝，则∠A 的度数是( A )A ． 30°B ． 45°C ． 60°D ． 70°5.如图，有两个全等的正方形ABCD 和BEFC ，则tan(∠BAF ＋∠AFB)=( A )A.1B.56 C. 23D. 6.把Rt △ABC 各边的长度都扩大3倍得到Rt △A ′B ′C ′，那么锐角∠A 、∠A ′的余弦值的关系是( B )A ．cosA ＝cosA ′B ．cosA ＝3cosA ′C ．3cosA ＝cosA ′D ．不能确定7.如图，小岛在港口P 的北偏西60°方向，距港口56海里的A 处，货船从港口P 出发，沿北偏东45°方向匀速驶离港口，4小时后货船在小岛的正东方向，则货船的航行速度是( A )海里/时 /时 海里/时 海里/时8.如图，在△ABC 中，AB =2，BC =4，∠ABC =30°，以点B 为圆心，AB 长为半径画弧，交BC 于点D ，则图中阴影部分的面积是（ A ） A.B.C.D.9.如图，△ABD 和△BDC 都是直角三角形，且∠ABD=∠BDC=90°，∠BAD=30°，∠DBC=45°，则tan ∠DAC 的值为( C )A.B. C. D. 310.如图，一河坝的横断面为等腰梯形ABCD ，坝顶宽10米，坝高12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( D )A ．26米B ．28米 C.30米 D ．46米11.如图，△ABC 内接于⊙0，AD 为⊙0的直径，交BC 于点E ，若DE=2，0E=3，则tan ∠ACB ·tan ∠ABC=( C )A.2B.3C.4D.5二、填空题12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ∶BC ＝1∶2，则sinB ＝________． [答案] 3413.如图，在半径为3的⊙0中，直径AB 与弦CD 相交于点E ，连接AC ，BD ，若AC=2，则tanD=____.[答案]14.已知对任意锐角α，β均有cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β，则cos75°＝________．【答案】6－2415.如图，在△ABC 中，AB=AC=10，点D 是边上一动点(不与B ，C 重合)，∠ADE=∠B=a ，DE 交AC 于点E ，且cosa=45，则线段CE 的最大值为____.【答案】6.416.一个人由山脚爬到山顶，须先爬倾斜角为30度的山坡300米到达D ，再爬倾斜角为60度的山坡200米，这座山的高度为______________(结果保留根号)【答案】(150＋100)米17.如图所示，小明在家里楼顶上的点A处，测量建在与小明家楼房同一水平线上相邻的电梯楼的高，在点A处看电梯楼顶部点B处的仰角为60°，在点A处看这栋电梯楼底部点C 处的俯角为45°，两栋楼之间的距离为20 m，则电梯楼的高BC为____________米(精确到0.1)．(参考数据：≈1.414≈1.732)【答案】54.618.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为_____米．【答案】5三、解答题19.在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，求cos A的值．【答案】解在△ABC中，∵∠C＝90°，∴∠A＋∠B＝90°，∴cos A＝sin B＝.20.被誉为“中原第一高楼”的郑州会展宾馆(俗称“玉米楼”)坐落在风景如画的如意湖畔，是来郑州观光的游客留影的最佳景点.学完了三角函数知识后，刘明和王华决定用自己学到的知识测量“玉米楼”的高度.如图，刘明在点C处测得楼顶B的仰角为45°，王华在高台上的D处测得楼顶的仰角为40°.若高台DE的高为5米，点D到点C的水平距离EC为47.4米，A，C，E三点共线，求“玉米楼”AB的高度.(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，结果保留整数)【解析】如图，过点D 作DM ⊥AB 于点M ，交BC 于点F ，过点C 作CG ⊥DM 于点G ，设BM=x 米，由题意，得DG=47.4米，CG=5米，∠BFM=45°，∠BDM=40°，则FM=BM=x 米，GF=CG=5米，∴DF=DG ＋GF=52.4米，∴DM=BM tan BDM ∠=x tan 40︒≈x0.84(米)，∵DM －FM=DF ，∴x0.84－x=52.4，解得x≈275.1，∴AB=BM ＋AM=BM ＋DE ≈280米. 答：“玉米楼”AB 的高约为280米.21.计算：sin 45°＋cos 230°＋2sin 60°. 【答案】解 原式＝×＋2＋2×＝＋＋＝1＋. 22.如图，AB 是⊙O 的直径，延长AB 至P ，使BP=OB ，BD 垂直于弦BC ，垂足为点B ，点D 在PC 上，设∠PCB=α，∠P0C=β，求证tan α·tan β=13【解析】如图，连接AC ，则∠A=12∠POC=2β. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB=90°，∴tan 2β=BCAC.∵BD ⊥BC ，tan α=BD BC ，BD ∥AC ，∴△PBD ∽△PAC ，∴BD AC =PBPA.∵PB=OB=OA ，∴PB PA =13.∴BD AC =13.∴tan α·tan 2β=BD BC ·BC AC =BDAC人教版九年级数学下册 第二十八章锐角三角函数检测卷一、选择题(每小题3分，共30分)1.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝8，BC ＝5，那么下列式子中正确的是( A )A.sin A ＝58B.cos A ＝58C.tan A ＝58 D.以上都不对 2.若cos A ＝32，则∠A 的大小是( A ) A.30° B.45° C.60° D.90°3.已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝37，BC ＝4，则AB 的长度为( D ) A.43 B.74 C.8103 D.2834.如图，在△ABC 中，AC ⊥BC ，∠ABC ＝30°，点D 是CB 延长线上的一点，且BD ＝BA ，则tan ∠DAC 的值为( A )A.2＋ 3B.2 3C.3＋ 3D.3 35.△ABC 在网格中的位置如图所示(每个小正方形边长为1)，AD ⊥BC 于D ，下列四个选项中，错误的是( C )A.sin α＝cos αB.tan C ＝2C.sin β＝cos βD.tan α＝16.如图，一艘海轮位于灯塔P 的北偏东55°方向，距离灯塔为2 海里的点A处.如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是( C )A.2 海里B.2sin55°海里C.2cos55°海里D.2tan55°海里7.Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，那么c 等于( B )A.a cos A＋b sin BB.a sin A＋b sin BC.asin A＋bsin B D.acos A＋bsin B8.一座楼梯的示意图如图所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要( D )A.4sinθ米2 B.4cosθ米2 C.(4＋tanθ4)米2 D.(4＋4tanθ)米29.如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD 垂直.当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心时照明效果最佳.此时，路灯的灯柱BC高度应该设计为( D )A.(11－22)米B.(113－22)米C.(11－23)米D.(113－4)米10.如图，小明爬山，在山脚下B处看山顶A的仰角为30°，小明在坡度为i＝512的山坡BD上去走1300米到达D处，此时小明看山顶A的仰角为60°，则山高AC为( B )A.600－250 3B.6003－250C.350＋350 3D.500 3二、填空题(每小题4分，共24分)11.计算：2sin60°12.如图，▱ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAC＝30°，AE＝3，则AC的长等于13.传送带和地面所成斜坡的坡度为1∶0.75，它把物体从地面送到离地面高8米的地方，物体在传送带上所经过的路程为10米.14.如图所示，小芳在中心广场放风筝，已知风筝拉线长100米(假设拉线是直的)，且拉线与水平地面的夹角为60°，若小芳的身高忽略不计，则风筝离水平(结果保留根号).15.如图，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos∠E＝12 .16.△ABC 中，AB ＝12，AC ＝39，∠B ＝30°，则△ABC 的面积是三、解答题(共66分)17.(6分)计算：2cos 245°－(tan60°－2)2－(sin60°－1)0＋(12)－2 解：原式＝2×(22)2－|3－2|－1＋4＝1－(2－3)－1＋4＝3＋2.18.(6分)如图，△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足是D ，若BC ＝14，AD ＝12，tan ∠BAD ＝34，求sin C 的值.解：∵在直角△ABD 中，tan ∠BAD ＝BD AD ＝34，∴BD ＝AD ·tan ∠BAD ＝12×34＝9，∴CD ＝BC －BD ＝14－9＝5，∴AC ＝AD 2＋CD 2＝122＋52＝13，∴sin C ＝AD AC ＝1213.19.(6分)如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米，求大厅两层之间的距离BC 的长.(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60)解：过B作地平面的垂线段BC，垂足为C.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴BC＝AB·sin∠BAC＝12×0.515≈6.2(米).即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米.20.(8分)如图是某小区的一个健身器材，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离(精确到0.1 m).(参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)解：作AE⊥CD于E，BF⊥AE于F，则四边形EFBC是矩形，∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°，在Rt△AFB中，∵AB＝2.7，∴AF＝2.7×cos70°≈2.7×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1 m，答：端点A到地面CD的距离是1.1 m.21.(8分)王浩同学用木板制作一个带有卡槽的三角形手机架，如图所示.已知AC＝20 cm，BC＝18 cm，∠ACB＝50°，王浩的手机长度为17 cm，宽为8 cm，王浩同学能否将手机放入卡槽AB内？请说明你的理由.(提示：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2)解：王浩同学能将手机放入卡槽AB内.理由：作AD⊥BC于点D，∵∠C＝50°，AC＝20 cm，∴AD＝AC·sin50°＝20×0.8＝16 cm，CD＝AC·cos50°＝20×0.6＝12 cm，∵BC＝18 cm，∴DB＝BC－CD＝18－12＝6 cm，∴AB＝AD2＋BD2＝162＋62＝292，∵17＝289＜292，∴王浩同学能将手机放入卡槽AB内.22.(10分)如图，某数学兴趣小组要测量一栋五层居民楼CD的高度.该楼底层为车库，高2.5米；上面五层居住，每层高度相等.测角仪支架离地1.5米，在A处测得五楼顶部点D的仰角为60°，在B处测得四楼顶部点E的仰角为30°，AB＝14米.求居民楼的高度(精确到0.1米，参考数据：3≈1.73)人教新版九年级下学期单元测试卷：《锐角三角函数》一．选择题1．如图，延长RT△ABC斜边AB到点D，使BD＝AB，连接CD，若tan∠BCD＝，则tan A ＝（）A．B．1C．D．2．若0°＜∠A＜45°，那么sin A﹣cos A的值（）A．大于0B．小于0C．等于0D．不能确定3．α为锐角，若sinα+cosα＝，则sinα﹣cosα的值为（）A．B．±C．D．04．关于三角函数有如下公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβcos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβtan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1利用上述公式计算下列三角函数①s in105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个5．已知sinα＝，求α，若用计算器计算且结果为“30”，最后按键（）A．AC10N B．SHIET C．MODE D．SHIFT6．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝2，A（0，a），B（b，0），点C在第二象限，BC与y轴交于点D（0，c），若y轴平分∠BAC，则点C的坐标不能表示为（）A．（b+2a，2b）B．（﹣b﹣2c，2b）C．（﹣b﹣c，﹣2a﹣2c）D．（a﹣c，﹣2a﹣2c）7．如图1是一种雪球夹，通过一个固定夹体和一个活动夹体的配合巧妙完成夹雪、投雪的操作，不需人手直接接触雪，使用方便，深受小朋友的喜爱．图2是其简化结构图，当雪球夹闭合时，测得∠AOB＝60°，OA＝OB＝14cm，则此款雪球夹从O到直径AB的距离为（）A．14cm B．14cm C．7cm D．7cm8．如图，一辆小车沿坡度为的斜坡向上行驶13米，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．6.5米D．12米9．如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平底面A处安置侧倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为30°，向前走20米到达E处，测得点D的仰角为60°已知侧倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为（结果精确到0.1米）（）A．30米B．18.9米C．32.6米D．30.6米10．如图，禁止捕鱼期间，某海上稽查队在某海域巡逻，上午某一时刻在A处接到指挥部通知，在他们东北方向距离12海里的B处有一艘捕鱼船，正在沿南偏东75°方向以每小时10海里的速度航行，稽查队员立即乘坐巡逻船以每小时14海里的速度沿北偏东某一方向出发，在C处成功拦截捕鱼船，则巡逻船从出发到成功拦截捕鱼船所用的时间是（）A．1小时B．2小时C．3小时D．4小时二．填空题11．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝37°，则BC的长为（注：tan ∠B＝0.75，sin∠B＝0.6，c os∠B＝0.8）12．用不等号“＞”或“＜”连接：sin50°cos50°．13．若tanα＝1（0°＜α＜90°），则sinα＝．14．已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan B＝，则cos A＝．15．在△ABC中，若|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，则∠C的度数是．16．请从下列两个小题中任选一个作答，若多选，则按第一题计分．A：一个正多边形的一个外角为36°，则这个多边形的对角线有条．B：在△ABC中AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，则∠A的度数约为．（用科学计算器计算，结果精确到0.1°．）17．如图，点A（t，2）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，sinα＝，则t＝18．如图，小明想测量学校教学楼的高度，教学楼AB的后面有一建筑物CD，他测得当光线与地面成22°的夹角时，教学楼在建筑物的墙上留下高2米高的影子CE；而当光线与地面成45°的夹角时，教学楼顶A在地面上的影子F与墙角C有13米的距离（点B，F，C在同一条直线上），则AE之间的长为米．（结果精确到lm，参考数据：sin22°≈0.375，cos22°≈0.9375，tan22°≈0.4）三．解答题19．如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．20．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝．求cos A，sin B，tan B的值．22．计算：3tan30°+cos245°﹣2sin60°．23．（1）验证下列两组数值的关系：2sin30°•cos30°与sin60°；2sin22.5°•cos22.5°与sin45°．（2）用一句话概括上面的关系．（3）试一试：你自己任选一个锐角，用计算器验证上述结论是否成立．（4）如果结论成立，试用α表示一个锐角，写出这个关系式．24．如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为．求：（1）y的值；（2）角α的正弦值．25．某建筑物的金属支架如图所示，根据要求AB长为4m，C为AB的中点，点B到D的距离比立柱CD的长小0.5m，∠BCD＝60°，求立柱CD长．26．如图，一段河坝的断面为梯形ABCD，试根据图中数据，求出坡角α和坝底宽AD（结果果保留根号）．参考答案一．选择题1．【解答】解：过B作BE∥AC交CD于E．∵AC⊥BC，∴BE⊥BC，∠CBE＝90°．∴BE∥AC．∵AB＝BD，∴AC＝2BE．又∵tan∠BCD＝，设BE＝x，则AC＝2x，∴tan A＝＝＝，故选：A．2．【解答】解：∵cos A＝sin（90°﹣A），余弦函数随角增大而减小，∴当0°＜∠A＜45°时，sin A＜cos A，即sin A﹣cos A＜0．故选：B．3．【解答】解：∵sinα+cosα＝，∴（sinα+cosα）2＝2，即sin2α+cos2α+2sinαcosα＝2．又∵sin2α+cos2α＝1，∴2sinαcosα＝1．∴（sinα﹣cosα）2＝sin2α+cos2α﹣2sinαcosα＝1﹣2sinαcosα＝1﹣1＝0．∴sinα﹣cosα＝0．故选：D．4．【解答】解：①sin105°＝sin（45°+60°）＝sin60°cos45°+cos60°sin45°＝×+×＝，故此选项正确；②tan105°＝tan（60°+45°）＝＝＝＝﹣2﹣，故此选项正确；③sin15°＝sin（60°﹣45°）＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°＝×﹣×＝，故此选项正确；④cos90°＝cos（45°+45°）＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°＝×﹣×＝0，故此选项正确；故正确的有4个．故选：D．5．【解答】解：“SHIET”表示使用该键上方的对应的功能．故选：D．6．【解答】解：作CH⊥x轴于H，AC交OH于F．∵tan∠BAC＝＝2，∵∠CBH+∠ABH＝90°，∠ABH+∠OAB＝90°，∴∠CBH＝∠BAO，∵∠CHB＝∠AOB＝90°，∴△CBH∽△BAO，∴＝＝＝2，∴BH＝﹣2a，CH＝2b，∴C（b+2a，2b），由题意可证△CHF∽△BOD，∴＝，∴＝，∴FH＝2c，∴C（﹣b﹣2c，2b），∵2c+2b＝﹣2a，∴2b＝﹣2a﹣2c，b＝﹣a﹣c，∴C（a﹣c，﹣2a﹣2c），故选：C．7．【解答】解：作OG⊥AB于点G，∵OA＝OB＝14厘米，∠AOB＝60°，∴∠AOG＝∠BOG＝30°，AG＝BG，∴OG＝OA•cos30°＝7厘米，故选：D．8．【解答】解：作BC⊥AC．在Rt△ABC中，∵AB＝13m，BC：AC＝5：12，∴可以假设：BC＝5k，AC＝12k，∵AB2＝BC2+AC2，∴132＝（5k）2+（12k）2，∴k＝1，∴BC＝5m，故选：A．9．【解答】解：过B作BF⊥CD，作FG⊥BD，∵∠BDF＝∠FDC＝30°，∴EF＝FH，∵∠BGF＝90°，∴EF＝FH＝10，∴DF＝20，∴DC＝DH+HC＝10+1.6≈18.9．故选：B．10．【解答】解：设巡逻船从出发到成功拦截所用时间为x小时；如图所示，由题意得：∠ABC＝45°+75°＝120°，AB＝12，BC＝10x，AC＝14x，过点A作AD⊥CB的延长线于点D，在Rt△ABD中，AB＝12，∠ABD＝45°+（90°﹣75°）＝60°，∴BD＝AB•cos60°＝AB＝6，AD＝AB•sin60°＝6，∴CD＝10x+6．在Rt△ACD中，由勾股定理得：，解得：（不合题意舍去）．答：巡逻船从出发到成功拦截所用时间为2小时．故选：B．二．填空题（共8小题）11．【解答】解：∵∠C＝90°，∴tan B＝，∴BC＝＝＝4．故答案为4．12．【解答】解：∵cos50°＝sin40°，sin50°＞sin40°，∴sin50°＞cos50°．故答案为＞．13．【解答】解：∵tanα＝1（0°＜α＜90°），∴∠α＝45°，则sinα＝，故答案为．14．【解答】解：如图，由tan B＝，得AC＝4k，BC＝3k，由勾股定理，得AB＝5k，cos A＝＝＝，故答案为：．15．【解答】解：∵在△ABC中，|sin A﹣|+（cos B﹣）2＝0，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴∠C＝180°﹣30°﹣60°＝90°．故答案为：90°．16．【解答】解：A、由一个正多边形的一个外角为36°，得360÷36＝10，则这个多边形的对角线有＝35，B、由AB＝AC，若AB＝3，BC＝4，得cos A＝≈0.667，A＝42.5故答案为：35，42.5°．17．【解答】解：过A作AB⊥x轴于B．∴sinα＝，∵sinα＝，∴＝，∵A（t，2），∴AB＝2，∴OA＝，∴t＝，故答案为：．18．【解答】解：过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为xm，在Rt△ABF中，∠AFB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴BC＝BF+FC＝（x+13）m，在Rt△AEM中，AM＝AB﹣BM＝AB﹣CE＝（x﹣2）m，又tan∠AEM＝，∠AEM＝22°，∴＝0.4，解得x≈12，则ME＝BC＝BF+13≈12+13＝25（m）．在Rt△AEM中，cos∠AEM＝，∴AE＝≈≈27（m），故AE的长约为27m．故答案为：27．三．解答题（共8小题）19．【解答】解：设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝2x，CD＝4x，∴EC＝＝5x，EM＝＝x，CM＝＝2x，∴EM2+CM2＝CE2，∴△CEM是直角三角形，∴sin∠ECM＝＝．20．【解答】解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．则tanα＝，sinα＝，∵b＜c，∴＞，∴tanα＞sinα．21．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设AB＝13x，BC＝12x，由勾股定理得：AC＝＝＝5x，∴cos A＝＝，sin B＝cos A＝，tan B＝＝．22．【解答】解：3tan30°+cos245°﹣2sin60°＝＝＝．23．【解答】解：（1）∵2sin30°•cos30°＝2××＝，sin60°＝．2sin22.5°•cos22.5≈2×0.38×0.92≈0.7，sin45°＝≈0.7，∴2sin30°•cos30°＝sin60°，2sin22.5°•cos22.5＝sin45°；（2）由（1）可知，一个角正弦与余弦积的2倍，等于该角2倍的正弦值；（3）2sin15°•cos15°≈2×0.26×0.97≈，sin30°＝；故结论成立；（4）2sinα•cosα＝sin2α．24．【解答】解：（1）作PC⊥x轴于C．∵t anα＝，OC＝6，∴PC＝8，即y＝8．（2）∵OP＝＝10．则sinα＝＝＝．25．【解答】解：连接BD，作OB⊥CD于点O，∵在直角三角形BCO中，∠BCD＝60°，AB长为4m，C为AB的中点，∴OC＝m，OB＝OC＝m，在直角三角形BOD中，设CD为x，OD＝DC﹣OC＝x﹣1，BD＝CD﹣0.5＝x﹣0.5，OB＝，可得：，解得：x＝3.75，答：CD的长为3.75m．26．【解答】解：过B作BF⊥AD于F．在Rt △ABF 中，AB ＝5，BF ＝CE ＝4．∴AF ＝3．在Rt △CDE 中，tan α＝＝i ＝． ∴∠α＝30°且DE ＝＝4，∴AD ＝AF +FE +ED ＝3+4.5+4＝7.5+4．答：坡角α等于30°，坝底宽AD 为7.5+4．人教版九年级下学期第28章锐角三角函数 单元过关测试卷 含参考答案一、选择题（每小题3分，共18分）1、在Rt △ABC 中，∠C ＝90º，b=53c ，则sinB 的值是（ ） A 、53 B 、54 C 、43 D 、34 2、在△ABC中，若1sin 02A B -=，则△ABC 是（ ） A 、等腰三角形 B 、等腰直角三角形 C 、直角三角形 D 、等边三角形3、如图，在菱形ABCD 中，DE ⊥AB ，cosA=53，BE=2，则tan ∠DBE 的值是（ ） A 、21 B 、2 C 、25 D 、554、如图，长4m 的楼梯AB 的倾斜角∠ABD 为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD 为45°，则调整后的楼梯AC 的长为（ ）A ．32 m B．62 m C ．（32﹣2）m D ．（62﹣2）m5、一人乘雪橇沿坡度为i=１:3的斜坡滑下，滑下距离Ｓ（米）与时间t （秒）之间的关（第3题） （第4题） （第6题） E D C B A D B C A B D C E A系为Ｓ＝2210t t +,若滑动时间为4秒，则他下降的垂直高度为（ ）A 、72米B 、36米C 、336米D 、318米6、某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立 于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13米至坡顶B 处， 然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么 大树CD 的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（ ）A ．8.1米B ．17.2米C ．19.7米D ．25.5米二、填空题（每小题3分，共21分）7、在△ABC 中，∠C ＝90°，若sinB ＝31，则sinA 的值为 8、如图，P 是∠α 的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α=9、升国旗时，某同学站在离旗杆24m 处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角恰为30°，若两眼距离地面1.2m ，则旗杆高度约为 . （取3=1.732，结果精确到0.1m ）10、如图，线段AB 、DC 分别表示甲、乙两座楼房的高，AB ⊥BC ， DC ⊥BC ，两建筑物间距离BC=30米，若甲建筑物高AB=28米，在点A 测得D 点的仰角α=45°，则乙建筑物高DC= 米.11、如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1：3，堤高BC=5m ，则坡面AB 的长度是 米．12、某人想沿着梯子爬上高4米的房顶，梯子的倾斜角（梯子与地面的夹角）不能大于60°，否则就有危险，那么梯子的长至少为13、四边形的对角线的长分别为，可以证明当时（如图1），四边形的面积，那么当所夹的锐角为θ时（如图2），四边形的面积 ．（用含的式子表示） 三、解答题（共61分）14、计算：（8分）（145sin 60)︒-︒（2）3sin60°﹣2cos30°﹣tan60°•tan45°．（第10题） （第11题） （第13题） Ｄ 图1 Ｃ 图215、（8分）如图，防洪大堤的横断面是梯形，背水坡AB的坡比i （指坡面的铅直高度与水平宽度的比）．且AB=20 m ．身高为1.7 m 的小明站在大堤A 点，测得高压电线杆端点D 的仰角为30°．已知地面CB 宽30 m ，求高压电线杆CD 的高度（结果保留0.1m，1.732）.16、（8分）如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB=AD ，BD 平分∠ABC ，若CD=3，BD=62，sin ∠DBC=33，求对角线AC 的长．17、（8分）某兴趣小组借助无人飞机航拍校园．如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8秒，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75°，B处的仰角为30°．已知无人飞机的飞行速度为4米/秒，求这架无人飞机的飞行高度．（结果保留根号）18、（8分）如图，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由45º降为30º，已知原滑滑板AB的长为5米，点D、B、C 在同一水平地面上．（1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到0.01）（2）若滑滑板的正前方能有3米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有6米长的空地，像这样改造是否可行？说明理由 (≈1.411.73≈2.45， )AB19、（10分）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化。
人教版九年级下册数学 第28章 锐角三角函数 单元测试卷(有答案)
2020-2021学年人教新版九年级下册数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大5倍，则锐角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定2．用计算器求sin28°，cos27°，tan26°的值，它们的大小关系是（）A．tan26°＜cos27°＜sin28°B．tan26°＜sin28°＜cos27°C．sin28°＜tan26°＜cos27°D．cos27°＜sin28°＜tan26°3．已知锐角α满足cosα＝，则tanα是（）A．B．C．2D．24．在直角三角形中不能求解的是（）A．已知一直角边和一锐角B．已知斜边和一锐角C．已知两边D．已知两角5．如图，为测一河两岸相对两电线杆A、B间的距离，在距A点15米处的C点（AC⊥BA）测得∠C＝50°，则A、B间的距离应为（）A．15sin50°米B．15cos50°米C．15tan50°米D．米6．如图，在高为2m，坡比为1：的楼梯上铺地毯，地毯的长度应为（）A．4m B．6m C．m D．m 7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，则sin B的值为（）A．B．C．D．28．△ABC中，tan A＝1，cos B＝，则△ABC为（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．不能确定9．在△ABC中，∠C＝90°，a＝5，c＝13，用计算器求∠A约等于（）A．14°38′B．65°22′C．67°23′D．22°37′10．如图，在某海岛的观察所A测得船只B的俯角是30°．若观察所的标高（当水位为0m 时的高度）是53m，当时的水位是+3m，则观察所A和船只B的水平距离BC是（）A．50m B．50m C．5m D．53m二．填空题11．比较大小：sin87°tan47°．12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝，BC＝1，则tan B＝．13．在△ABC中，∠B＝74°37′，∠A＝60°23′，则∠C＝，sin A+cos B+tan C ≈．14．计算：tan45°+sin260°＝．15．已知：∠α是锐角，且sinα•cosα＝，则sinα+cosα＝．16．一船向西航行，上午9时30分在小岛A的南偏东30°，距小岛A60海里的B处，上午11时，船到达小岛A的正南方向，则该船的航行速度为．17．如图，小明想测量南塔的高度．她在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进20m至B处，测得仰角为60°，那么塔高约为m．（小明身高忽略不计，≈1.732）18．如图，已知l1∥l2，l1与l2之间的距离为，∠α＝60°，则AB＝．19．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A＝，若此时△ABC的周长为48，那么△ABC的面积．20．如图，△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AB的垂直平分线MN交AC于D，且CD：DA ＝3：5，则sin A＝．三．解答题21．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5cm，BC＝2cm．求∠A，∠B的正弦、余弦和正切的值．22．如图，梯子AB的长为2.8m．当α＝60°时，求梯子顶端离地面的高度AD和两梯脚之间的距离BC．当α＝45°时呢？23．已知∠A为锐角，且cos A＝，求sin A、tan A．24．观察下列等式：①sin30°＝，cos60°＝；②sin45°＝，cos45°＝；③sin60°＝，cos30°＝．（1）根据上述规律，计算sin2α+sin2（90°﹣α）＝．（2）计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°．25．如图，广场上空有一个气球A，地面上点B，C，D在一条直线上，BC＝20m，在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为45°，∠ACD为56°，求气球A离地面的高度AD（精确到0.1m）．26．在直角坐标系中，点P（x，6）在第一象限，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值是．求x的值，及角α的正弦和余弦值．27．用“＜”符号连接下列各三角函数cos15°、cos30°、cos45°、cos60°、cos75°．参考答案与试题解析一．选择题1．解：因为三角函数值与对应边的比值有关，所以各边的长度都扩大5倍后，锐有A的各三角函数值没有变化，故选：A．2．解：∵tan26°≈0.488，cos27°≈0.891，sin28°≈0.469．故sin28°＜tan26°＜cos27°．故选：C．3．解：∵cosα＝＝，∴可设b＝x，则c＝3x，∵a2+b2＝c2，∴a＝2x，∴tanα＝＝＝2．故选：D．4．解：A、已知一直角边和一锐角能够求解；B、已知斜边和一锐角能够求解；C、已知两边能求解；D、已知两角不能求解．故选：D．5．解：因为AC＝15米，∠C＝50°，在直角△ABC中tan50°＝，所以AB＝15•tan50°米．故选：C．6．解：如图，根据题意得：AC＝2m，i＝AC：BC＝1：，∴BC＝AC＝2m，∴地毯的长度应为：AC+BC＝2+2（m）．故选：D．7．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A+∠B＝90°，则sin B＝cos A＝．故选：A．8．解：由tan A＝1，cos B＝，得A＝45°，B＝30°，由三角形内角和定理，得C＝180°﹣A﹣B＝105°，故选：B．9．解：sin A＝＝≈0.385，A＝sin﹣10.385＝22.64°＝22°37′，故选：D．10．解：由题意得，AC＝50米，∠ABC＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AC cot∠ABC＝50（米）．故选：B．二．填空题11．解：∵sin87°＜1，tan47°＞tan45°＝1，∴sin87°＜tan47°，故答案为：＜．12．解：∵∠C＝90°，AB＝，BC＝1，∴AC＝＝2，∴tan B＝＝2，故答案为：2．13．解；∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣135°＝45°．sin A+cos B+tan C≈0.86935+0.26527+1≈2.1346．故答案为：45°；2.1346．14．解：tan45°+sin260°＝1+（）2＝1．故答案为：1．15．解：∵（sinα+cosα）2＝sin2α+2sinα•cosα+cos2α＝1+2sinα•cosα，∴当sinα•cosα＝时，原式＝1+＝，则sinα+cosα＝±＝±，∵∠α是锐角，sinα，cosα都为正数，∴sinα+cosα＝．故答案为：．16．解：如图在Rt△ABC中，∠BAC＝90°﹣60°＝30°，AB＝60海里，故BC＝30海里，11时﹣9时30分＝1.5小时，船航行的速度为30÷1.5＝20海里/时．故答案为：20海里/时．17．解：∵∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，∴BD＝AB＝20m．∴DC＝BD•sin60°＝20×≈17.32（m）．故答案为：17.32．18．解：如图，过点B作BC⊥l2于点C，则BC＝，在Rt△ABC中，∠BAC＝α＝60°，BC＝，所以AB＝＝＝2．故答案是：2．19．解：设c＝5k，a＝3k．由勾股定理得：b＝＝＝4k．∴tan A＝＝．∵△ABC的周长为48，∴5k+3k+4k＝48．解得：k＝4．∴3k＝3×4＝12，4k＝4×4＝16．∴△ABC的面积＝＝96．故答案为：；96．20．解：如图，连BD，设CD＝3x，则DA＝5x，又∵MN垂直平分AB，∴DB＝DA＝5x，在Rt△BCD中，BC＝4，∵BD2＝CD2+BC2，∴（5x）2＝（3x）2+42，∴x＝1，∴AC＝AD+DC＝5x+3x＝8x＝8，在Rt△ABC中，AB＝＝＝4．sin A＝．故答案为：三．解答题21．解：由勾股定理得：AB＝＝＝7（cm）．∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝，sin B＝＝，cos B＝＝，tan B＝＝＝．22．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BC＝2BD，∠ABD＝∠ACD．当α＝60°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝60°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝1.4m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝2.8m；当α＝45°时，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AB＝2.8m，∠ABD＝45°，∴BD＝AB•cos∠ABD＝m，AD＝AB•sin∠ABD＝m，∴BC＝2BD＝m．23．解：∵sin2A+cos2A＝1，即sin2A+（）2＝1，∴sin2A＝，∴sin A＝或﹣（舍去），∴sin A＝，∵tan A＝，∴tan A＝＝．24．解：（1）∵根据已知的式子可以得到sin（90°﹣α）＝cosα，∴sin2α+sin2（90°﹣α）＝1；（2）sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°＝（sin21°+sin289）+（sin22°+sin288°）+…+sin245°＝1+1+…1+＝44+＝．25．解：根据题意，得∠ADB＝90°，∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴AD＝BD，∴CD＝BD﹣BC＝AD﹣20，在Rt△ADC中，∠ACD＝56°，∴tan56°＝，即1.48≈，解得AD≈61.7（m）．答：气球A离地面的高度AD约为61.7m．26．解：如图所示，过点P作PQ⊥x轴于点Q，由P（x，6）且P在第一象限知OQ＝x，PQ＝6，∵tan∠POQ＝tanα＝，∴＝，即＝，解得x＝9，则OP＝＝＝3，∴sinα＝＝＝，cosα＝＝＝．27．解：∵75°＞60°＞30°＞15°，∴cos75°＜cos60°＜cos30°＜cos15°．。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元检测及答案【新改】
人教版数学九年级下学期第28章《锐角三角函数》单元测试卷（满分120分，限时120分钟）一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.sin60°的值等于（）A．12BCD2.已知α为锐角，sin（α﹣20°），则α=（）A．20°B．40°C．60°D．80°3.在正方形网格中，∠α的位置如图所示，则tanα的值是（）ABC．12D．24.在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，下列各式成立的是（）A．b=a•sinB B．a=b•cosB C．a=b•tanB D．b=a•tanB5.在Rt△ABC中，各边都扩大5倍，则角A的三角函数值（）A．不变B．扩大5倍C．缩小5倍D．不能确定6.在△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则cosA的值为（）AB．23C．34D7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）ABCD8.如图，山顶一铁塔AB在阳光下的投影CD的长为6米，此时太阳光与地面的夹角∠ACD=60°，则铁塔AB的高为（）AA．3米B．C．D．9.坡度等于1：3的斜坡的坡角等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°10.济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，3≈1.7，结果精确到1m，则该楼的高度CD为（）A．47m B．51m C．53m D．54m二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）11.求值：sin60°﹣tan30°=．12.如图，在直角三角形ABC中，∠C=90°，3AB=10，则∠A=度．C BA13.如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则cos∠AOB的值是．O BA14.△ABC中，∠C=90°，斜边上的中线CD=6，sinA=13，则S△ABC=．15.如图，身高1.6m的小丽用一个两锐角分别为30°和60°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m，那么这棵树高为（其中小丽眼睛距离地面高度近似为身高）．16.在我们生活中通常用两种方法来确定物体的位置．如小岛A 在码头O 的南偏东60°方向的14千米处，若以码头O 为坐标原点，正东方向为x 轴的正方向，正北方向为y 轴的正方向，1千米为单位长度建立平面直角坐标系，则小岛A 也可表示成_________________．三、解答题(共8题，共72分)17.（本题8分）已知α为一锐角，sin α=45，求tan α．18.（本题8分）如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，求sinA 的值．CBA19.（本题8分）如图，已知AC=4，求AB 和BC 的长．CAB 于点D ，根据三角函数的定义在Rt △ACD 中，在Rt △CDB 中，即可求出CD ，AD ，BD ，从而求解．20.（本题8分）如图所示，把一张长方形卡片ABCD 放在每格宽度为12mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α=36°，求长方形卡片的周长．（精确到1mm ）（参考数据：sin36°≈0.60，cos36°≈0.80，tan36°≈0.75）21.（本题8分）如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为米．求新传送带AC 的长度．D22.（本题10分）某校一栋教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌底部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度i=1AB=10米，AE=15米，求这块宣传牌CD的高度．23.（本题10分）如图，在一笔直的海岸线上有A，B两个观测站，A观测站在B观测站的正东方向，有一艘小船在点P处，从A处测得小船在北偏西60°方向，从B处测得小船在北偏东45°的方向，点P到点B的距离是（注：结果有根号的保留根号）（1）求A，B两观测站之间的距离；（2）小船从点P处沿射线AP/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C 处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．24.（本题12分）如图，某办公楼AB的后面有一建筑物CD，当光线与地面的夹角是22°时，办公楼在建筑物的墙上留下高2米的影子CE，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A在地面上的影子F与墙角C有25米的距离（B，F，C在一条直线上）．（1）求办公楼AB的高度；（2）若要在A，E之间挂一些彩旗，请你求出A，E之间的距离．（参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25）第28章《锐角三角函数》单元测试卷解析一、选择题1. 【答案】sin60°．故选C．2.【答案】∵α为锐角，sin（α﹣20°），∴α﹣20°=60°，∴α=80°，故选D．3.【答案】由图可得，tanα=2÷1=2．故选D．4.【答案】A、∵sinB=bc，∴b=c•sinB，故选项错误；B、∵cosB=ac，∴a=c•cosB，故选项错误；C、∵tanB=ba，∴a=btan B，故选项错误；D、∵tanB=ba，∴b=a•tanB，故选项正确．故选D．5.【答案】∵各边都扩大5倍，∴新三角形与原三角形的对应边的比为5：1，∴两三角形相似，∴∠A的三角函数值不变，故选A．6.【答案】如图，A∵tanA=13，∴设BC=x，则AC=3x，∴，∴．故选D．7.【答案】延长BA过点C作CD⊥BA延长线于点D，∵∠CAB=120°，∴∠DAC=60°，∴∠ACD=30°，∵AB=4，AC=2，∴AD=1，BD=5，∴sinB=CDBC．故选：B．D8.【答案】设直线AB与CD的交点为点O．∴BO DOAB CD=．∴AB=BO CDDO⨯．∵∠ACD=60°．∴∠BDO=60°．在Rt△BDO中，tan60°=BO DO．∵CD=6．∴AB=BO DO×故选B．A9.【答案】坡角α，则tanα=1α=30°．故选A．10.【答案】根据题意得：∠A=30°，∠DBC=60°，DC⊥AC，∴∠ADB=∠DBC﹣∠A=30°，∴∠ADB=∠A=30°，∴BD=AB=60m，∴CD=BD•sin60°=6051（m）．故选B．二、填空题11.【答案】原式．12.【答案】∵∠C=90°，AB=10，∴cosA=ACAB，∴∠A=30°，故答案为：30°．13.【答案】由图可得cos∠AOB=32．故答案为：32．B 14.【答案】在Rt △ABC 中，∵斜边上的中线CD=6，∴AB=12．∵sinA=13，∴BC=4，．∴S △ABC =12AC •15. 【答案】由题意得：AD=6m ，在Rt △ACD 中，∴AB=1.6m∴CE=CD +DE=CD + 1.6，所以树的高度为（ 1.6）m ．16.【答案】过点A 作AC ⊥x 轴于C ．°﹣60°=30°，OA=14千米，则AC=12OA=7千米，因而小岛A 所在位置的坐标是（7）． 故答案为：（7）．三、解答题17.【解答】由sin α=45，设a=4x ，c=5x ，则b=3x ，故tan α=43． a18.【解答】sinA=BC AB =12． 19.【解答】作CD ⊥AB 于点D ， CD在Rt △ACD 中，∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°，CD=12AC=2，AD=AC •在Rt △CDB 中，∵∠DCB=∠ACB ﹣∠ACD=45°，∴BD=CD=2，∴AB=AD +BD=2+20. 【解答】作BE ⊥l 于点E ，DF ⊥l 于点F ．∵α+∠DAF=180 º-∠BAD=180 º-90 º=90 º, ∠ADF+∠DAF=90 º, ∴∠ADF=36 º. 根据题意，得BE=24mm ，DF=48mm ．在Rt △ABE 中，sin α=BE AB ，∴AB=o BE sin36=240.60=40mm 在Rt △ADF 中，cos ∠ADF==DF AD ，∴AD=o DF cos36=48600.80=mm ． ∴矩形ABCD 的周长=2（40+60）=200mm ．21.【解答】如图，在Rt △ABD 中，AD=ABsin45°=4． 在Rt △ACD 中，∵∠ACD=30°，∴AC=2AD=8．即新传送带AC 的长度约为8米；22. 【解答】过B 作BF ⊥AE ，交EA 的延长线于F ，作BG ⊥DE 于G ．在Rt △ABG 中，i=tan ∠，∴∠BAG=30°，∴BG=12AB=5，BF=AG +15． 在Rt △BFC 中，∵∠CBF=30°，∴CF ：，∴CF=5+ 在Rt △ADE 中，∠DAE=45°，AE=15，∴DE=AE=15，∴CD=CF +FE ﹣DE=5+5﹣15=（5）m ．答：宣传牌CD 高约（5）米．23. 【解答】（1）如图，过点P 作PD ⊥AB 于点D ．在Rt △PBD 中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°，∴BD=PD=3千米． 在Rt △PAD 中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°，∴PA=6千米．∴AB=BD +AD=3+；（2）如图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ．根据题意得：∠ABC=105°，在Rt △ABF 中，∠AFB=90°，∠BAF=30°，∴BF=12 3 千米． 在△ABC 中，∠C=180°﹣∠BAC ﹣∠ABC=45°．在Rt △BCF 中，∠BFC=90°，∠C=45°，∴PC=AF +CF ﹣故小船沿途考察的时间为：（小时）．24.【解答】（1）如图，过点E作EM⊥AB，垂足为M．设AB为x．Rt△ABF中，∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+25，在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=AB﹣BM=AB﹣CE=x﹣2，tan22°=AMME，则x22x255-=+，解得：x=20．即教学楼的高20m．（2）由（1）可得ME=BC=x+25=20+25=45．在Rt△AME中，cos22°=MEAE．∴AE=oMEcos22，即A、E之间的距离约为48m。
人教版初中数学九年级下册第28章锐角三角函数单元检测卷含答案
人教版九下第28章锐角三角函数单元检测卷满分120分，考试时间120分钟。
一、精心选一选（本题满分30分，共有10道小题，每小题3分）1．△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，则sinA 的值等于 （ ）A 、21B 、33C 、23D 、32．在Rt △ABC 中，若各边的长度都扩大2倍，那么锐角A 的各锐角三角函数（ ） A 、都扩大2倍 B 、没有变化 C 、缩小2倍 D 、不能确定3.直角三角形ABC 中，斜边AB 是直角边BC 的4倍，则cosA 是 （ ）A.41B.415C.15154D.15154.△ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝32，则tanB 等于 （ ） A.53B.35C.552D.255.已知：是锐角，sin α=21，则等于 （ ）A 、30°B 、45°C 、60°D 、90° 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，那么等于（ ）A 、1B 、231+ C 、221+ D 、417．计算2sin30º+4cos 230º-tan 245º等于 （ ） A 、4 B 、23 C 、3 D 、28．为锐角，且关于的方程x 2-4xsin α+1=0有两个相等的实数根，则为（ ）A 、60度B 、45度C 、35度D 、30度9.两灯塔A 和B 与海岸上观测站C 的距离相等，若A 在C 的北偏东40°，B 在C 的南偏东60°，则A 在B 的 （ ） A 、北偏东10° B 、南偏东20° C 、南偏西20° D 、北偏西10°。
10.在中，若∣sinA-22∣+(23-cosB)2=0，∠A,∠B ，都是锐角，则∠C 的度数是 （ ）A 、75ºB 、90ºC 、105ºD 、120º二．细心的填一填（本题有10个小题, 每小题3分, 共30分）11．△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝31，c ＝32，则b ＝________，∠A ＝________。
人教版九年级数学下册第28章：锐角三角函数全章测试含答案(20200714090018)
A. 2
B.
3
3
C.
2
1
D. 1
6
10． P 为⊙ O外一点， PA、 PB分别切⊙ O于 A、B 点，若∠ APB＝ 2，⊙ O的半径为 R，则 AB的长为 ( )
A． Rsin tan
二、填空题
B． R tan sin
C． 2Rsin tan
D． 2R tan sin
11. 计算： sin 60 cos30 1
.
2
12. △ ABC 中， ∠C
90 ，若 tan A
1 ，则 sin A
______
2
13. 已知山坡的坡度 i =1： 3 ，则坡角为 ________．
14. 在△ ABC中，∠ C＝ 90°，∠ ABC＝60°，若 D是 AC边中点，则 tan ∠ DBC的值为 ______．
15. 在 Rt△ ABC中，∠ C＝ 90°， a＝ 10，若△ ABC的面积为 50 3 ，则∠ A＝ ______度． 3
底边 时 sad A =
BC . 容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的
.
A
腰 AB
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（ 1） sad 60 的值为（
1
） A.
2
B. 1 C.
3
D. 2
2
（ 2）对于 0 A 180 ，∠ A 的正对值 sad A 的取值范围是
.
（ 3）已知 sin
B处，测得海中灯塔 P在北偏东 30°方向上， 则灯塔 P 到环海路的距离 PC＝
米（用根号表示） ．
20. 在数学活动课上， 小敏， 小颖分别画了△ ABC ?和△ DEF ，数据如图 7 ，如果把小敏画的三角形面积
【初三数学】宁波市九年级数学下(人教版)第二十八章 《锐角三角函数》单元检测试卷(含答案)
九年级下册（人教版）数学单元检测卷：第28章锐角三角函数一、填空题：1、2cos60°=2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝23，则BC的长为3、如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】4、如图所示的网格是正方形网格，∠BAC∠DAE．（填“＞”，“=”或“＜”）5、如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为110m，那么该建筑物的高度BC约为m（结果保留整数，≈1.73）．6、（2018•无锡）已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，则△ABC的面积等于．7、如图，在一笔直的海岸线l上有相距2km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是km．8、如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道（点A、B在同一水平面上）．为了测量A、B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C 处观察B地的俯角为α，则A、B两地之间的距离为。
9、（2018•香坊区）如图，在△ABC中，AB=AC，tan∠ACB=2，D在△ABC内部，且AD=CD，∠ADC=90°，连接BD，若△BCD的面积为10，则AD的长为．10、如图，旗杆及升旗台的剖面和教学楼的剖面在同一平面上，旗杆与地面垂直，在教学楼底部E点处测得旗杆顶端的仰角∠AED=58°，升旗台底部到教学楼底部的距离DE=7米，升旗台坡面CD的坡度i=1：0.75，坡长CD=2米，若旗杆底部到坡面CD的水平距离BC=1米，则旗杆AB的高度约为（）（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.6）二、选择题：11、（2018•柳州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，则sinB==（）A．B．C．D．12、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝，则sin A＝（）A．B．C．D．13、如图，旗杆高AB=8m，某一时刻，旗杆影子长BC=16m，则tanC=( )．A．1 B．3 C．0.5 D．414、如果∠A是锐角，且sin A＝，那么∠A的度数是（）A．90°B．60°C．45°D．30°15、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，则sinA等于（）A．B．C．D．16、如图，某海监船以20海里/小时的速度在某海域执行巡航任务，当海监船由西向东航行至A 处时，测得岛屿P 恰好在其正北方向，继续向东航行1小时到达B 处，测得岛屿P 在其北偏西30°方向，保持航向不变又航行2小时到达C 处，此时海监船与岛屿P 之间的距离（即PC 的长）为（ ）A ．40海里B ．60海里C ．20海里D ．40海里17、在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若将各边长度都扩大为原来的5倍，则∠A 的正弦值( ) A ．扩大为原来的5倍 B ．缩小为原来的15C ．扩大为原来的10倍D ．不变18、如图，要测量小河两岸相对的两点P ，A 的距离，可以在小河边取PA 的垂线PB 上的一点C ，测得PC=100米，∠PCA=35°，则小河宽PA 等于（ ）A ．100sin35°米B ．100sin55°米C ．100tan35°米D ．100tan55°米19、如图，在边长为1的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 、CD 相交于点O ，则tan ∠AOD=( )．A ．2B ．6C ．2.5D ．420、如图，将一个小球从斜坡的点O 处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x ﹣x 2刻画，斜坡可以用一次函数y=x 刻画，下列结论错误的是（ ）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：221、如图，两根竹竿AB和AD斜靠在墙CE上，量得∠ABC=α，∠ADC=β，则竹竿AB与AD 的长度之比为（）A．B．C．D．22、（2018•贵阳）如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan ∠BAC的值为（）A．B．1 C．D．三、解答题：23、（2018•上海）如图，已知△ABC中，AB=BC=5，tan∠ABC=．（1）求边AC的长；（2）设边BC的垂直平分线与边AB的交点为D，求的值．24、如图，热气球的探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角为30°，看这栋楼底部C的俯角为60°，热气球A与楼的水平距离为120米，这栋楼的高度BC为多少？25、一艘在南北航线上的测量船，于A点处测得海岛B在点A的南偏东30°方向，继续向南航行30海里到达C点时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向，那么海岛B离此航线的最近距离是多大？（结果保留小数点后两位）（参考数据：≈1.732，≈1.414）26、如图，AB是一垂直于水平面的建筑物，某同学从建筑物底端B出发，先沿水平方向向右行走20米到达点C，再经过一段坡度（或坡比）为i=1：0.75、坡长为10米的斜坡CD到达点D，然后再沿水平方向向右行走40米到达点E（A，B，C，D，E均在同一平面内）．在E处测得建筑物顶端A的仰角为24°，则建筑物AB的高度约为多大？（参考数据：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°=0.45）27、（2018•烟台）汽车超速行驶是交通安全的重大隐患，为了有效降低交通事故的发生，许多道路在事故易发路段设置了区间测速如图，学校附近有一条笔直的公路l，其间设有区间测速，所有车辆限速40千米/小时数学实践活动小组设计了如下活动：在l上确定A，B 两点，并在AB路段进行区间测速．在l外取一点P，作PC⊥l，垂足为点C．测得PC=30米，∠APC=71°，∠BPC=35°．上午9时测得一汽车从点A到点B用时6秒，请你用所学的数学知识说明该车是否超速．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.90）一、选择题：1、A2、D3、C4、D5、A6、D7、D8、C9、A10、A11、B12、B二、填空题：13、114、415、6.216、＞17、30018、15或1019、√320、米21、5√222、13.1米三、解答题：23、（1）作A作AE⊥BC，在Rt△ABE中，tan∠ABC==，AB=5，∴AE=3，BE=4，∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1，在Rt△AEC中，根据勾股定理得：AC==；（2）∵DF垂直平分BC，∴BD=CD，BF=CF=，∵tan∠DBF==，∴DF=，在Rt△BFD中，根据勾股定理得：BD==，∴AD=5﹣=，则=．24、过点A作AD⊥BC于点D，则∠BAD=30°，∠CAD=60°，AD=120m，在Rt△ABD中，BD=AD•tan30°=120×=40（m），在Rt△ACD中，CD=AD•tan60°=120×=120（m），∴BC=BD+CD=160（m）25、如图所示，由题意知，∠BAC=30°、∠ACB=15°，作BD⊥AC于点D，以点B为顶点、BC为边，在△ABC内部作∠CBE=∠ACB=15°，则∠BED=30°，BE=CE，设BD=x，则AB=BE=CE=2x，AD=DE=x，∴AC=AD+DE+CE=2x+2x，∵AC=30，∴2x+2x=30，解得：x=≈5.49，26、作BM⊥ED交ED的延长线于M，CN⊥DM于N．在Rt△CDN中，∵==，设CN=4k，DN=3k，∴CD=10，∴（3k）2+（4k）2=100，∴k=2， ∴CN=8，DN=6， ∵四边形BMNC 是矩形，∴BM=CN=8，BC=MN=20，EM=MN +DN +DE=66， 在Rt △AEM 中，tan24°=，∴0.45=，∴AB=21.7（米），27、在Rt △APC 中，AC=PCtan ∠APC=30tan71°≈30×2.90=87， 在Rt △BPC 中，BC=PCtan ∠BPC=30tan35°≈30×0.70=21， 则AB=AC ﹣BC=87﹣21=66， ∴该汽车的实际速度为=11m/s ，又∵40k人教版九年级数学下册第二十八章 锐角三角函数 单元测试题（含答案）一、选择题(本大题共7小题，每小题4分，共28分)1．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝1，tan A ＝12，则下列判断正确的是( )A ．∠A ＝30°B ．AC ＝12C ．AB ＝2D ．AC ＝22．在△ABC 中，∠A ，∠C 都是锐角，且sin A ＝32，tan C ＝3，则△ABC 的形状是( )图1A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．不能确定3．如图2，直线y ＝34x ＋3与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，则cos ∠BAO 的值是( )图2A.45B.35C.43D.544．如图3，一河坝的横断面为梯形ABCD ，AD ∥BC ，AB ＝CD ，坝顶BC 宽10米，坝高BE 为12米，斜坡AB 的坡度i ＝1∶1.5，则坝底AD 的长度为( )图3A ．26米B ．28米C ．30米D ．46米5．如图4，某时刻海上点P 处有一客轮，测得灯塔A 位于客轮P 的北偏东30°方向，且相距20海里．客轮以60海里/时的速度沿北偏西60°方向航行23小时到达B 处，那么tan∠ABP 的值为( )图4A.12B ．2 C.55D.2 556．如图5，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A ＝30°，以点A 为圆心，BC 长为半径画弧交AB 于点D ，分别以点A ，D 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧在AB 的下方交于点E ，连接AE ，DE ，则∠EAD 的余弦值是( )图5A.312B.36C.33D.327．聊城流传着一首家喻户晓的民谣：“东昌府，有三宝，铁塔、古楼、玉皇皋．”被人们誉为三宝之一的铁塔是本市现存最古老的建筑．如图6，测绘师在离铁塔10米的点C 处测得塔顶A 的仰角为α，他又在离铁塔25米的点D 处测得塔顶A 的仰角为β.若tan αtan β＝1，点D ，C ，B 在同一条直线上，则测绘师测得铁塔的高度约为(参考数据：10≈3.162)( )图6A ．15.81米B ．16.81米C ．30.62米D ．31.62米二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分) 8．计算：cos30°＋3sin30°＝________. 9．若α为锐角，且tan(α＋20°)＝33，则α＝_____________. 10．如图7所示的网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是________．图711．如图8，一山坡的坡度为i ＝1∶3，小辰从山脚A 出发，沿山坡向上走了200米到达点B ，则小辰上升了________米．图812．如图9，菱形ABCD 的周长为20 cm ，且tan ∠ABD ＝43，则菱形ABCD 的面积为________cm 2.图913．如图10所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝45°，AC 的垂直平分线与AB ，AC 分别交于点D ，E ，连接CD .如果AD ＝1，那么tan ∠BCD ＝________.图1014．如图11所示，直线MN与⊙O相切于点M，ME＝EF且EF∥MN，则cos E＝________.图11三、解答题(本大题共4小题，共44分)15．(8分)计算：|－3|＋3tan30°－12－(2020－π)0.16．(10分)如图12，在▱ABCD中，AE平分∠DAB，已知CE＝6，BE＝8，DE＝10.(1)求证：∠BEC＝90°；(2)求cos∠DAE的值．图1217．(12分)如图13，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8 m.(1)求点D到CA的距离；(2)求旗杆AB的高．图1318．(14分)如图14，皋兰山某处有一座信号塔AB，山坡BC的坡度为1∶3，现为了测量塔高AB，测量人员选择山坡C处为一测量点，测得∠DCA＝45°，然后他沿着山坡向上行走100 m到达点E处，再测得∠FEA＝60°.(1)求山坡BC的坡角∠BCD的度数；(2)求塔顶A到CD的铅直高度AD(结果保留整数，参考数据：3≈1.73，2≈1.41)．图14答案1．D2．C3．A4．D5．A6．B7．A[8．[答案] 39．[答案] 10°10．[答案] 1 211．[答案] 100 12．[答案] 24 13．[答案] 2－114．[答案] 1 215．解：原式＝3＋3×33－2 3－1＝3－2 3.16．解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DC∥AB，∴∠DEA＝∠EAB.∵AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝10，∴BC＝10.∵62＋82＝102，即CE2＋BE2＝BC2，∴∠BEC＝90°.(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC＝CE＋DE＝16.∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠BEC＝90°，∴AE ＝AB 2＋BE 2＝162＋82＝8 5， ∴cos ∠DAE ＝cos ∠EAB ＝AB AE ＝168 5＝2 55.17．解：(1)如图，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，则DE ＝CD ·sin45°＝8×22＝4 2(m)．答：点D 到CA 的距离为4 2九年级数学人教版《锐角三角函数》单元测试题（Word 版有答案）一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分，11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值( )A ．扩大2倍B ．缩小12 C ．不变 D ．无法确定2．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝5，BC ＝3，则∠A 的余弦值是( )A.35B.34C.43D.453．已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝α，BC ＝2，那么AB 的长等于( )A.2sin α B ．2sin α C.2cos αD ．2cos α 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝45，AC ＝6 cm ，则BC 的长度为( )A ．6 cmB ．7 cmC ．8 cmD ．9 cm 5．在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，tanA ＝512，则cosA ＝( )A.125 B.1213 C.513 D.5126．三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则最小角的正切值是( ) A ．1 B.22 C.33D. 3 7．(－sin60°，cos60°)关于y 轴对称的点的坐标是( )A ．(32，12) B ．(－32，12) C ．(－32，－12) D ．(－12，－32) 8．如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，C 都在格点上，则∠ABC 的正切值是( )A ．2 B.255 C.55 D.129．如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D.若AC ＝62，∠C ＝45°，tan ∠ABC ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 310．如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，则下列结论不正确的是( )A ．sinB ＝AD AB B ．sinB ＝ACBCC ．sinB ＝AD AC D ．sinB ＝CDAC11．将宽为2 cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是( )A.23 3 cm B.433 cm C. 5 cm D ．2 cm12．某数学兴趣小组同学进行测量大树CD 高度的综合实践活动，如图，在点A 处测得直立于地面的大树顶端C 的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB 行走13 m 至坡顶B 处，再沿水平方向行走6 m 至大树脚底点D 处，斜面AB 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，那么大树CD 的高度约为(参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)( )A ．8.1 mB ．17.2 mC ．19.7 mD ．25.5 m13．如图，在矩形ABCD 中，点E 是CD 的中点，点F 是BC 上一点，且FC ＝2BF ，连接AE ，EF.若AB ＝2，AD ＝3，则cos ∠AEF 的值是( )A. 3B.32 C.22 D.1214．如图，以坐标原点O 为圆心，半径为1的弧交坐标轴于A ，B 两点，P 是AB ︵上一点(不与A ，B 重合)，连接OP ，设∠POB ＝α，则点P 的坐标是( )A ．(sin α，sin α)B ．(cos α，cos α)C ．(sin α，cos α)D ．(cos α，sin α)15．如图，已知点C 与某建筑物底端B 相距306米(点C 与点B 在同一水平面上)，某同学从点C 出发，沿同一剖面的斜坡CD 行走195米至坡顶D 处，斜坡CD 的坡度(或坡比)i ＝1∶2.4，在D 处测得该建筑物顶端A 的俯视角为20°，则建筑物AB 的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )A ．29.1米B ．31.9米C ．45.9米D ．95.9米16．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝22，CD ＝2，点P 在四边形ABCD 的边上，若点P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题(本大题有3个小题，共12分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空3分．把答案写在题中横线上)17．计算：cos 245°＋3tan60°＋cos30°＋2sin30°－2tan45°＝ ．18．张丽不慎将一道数学题沾上了污渍，变为“如图，在△ABC 中，∠B ＝60°，AB ＝63，tanC ＝，求BC 的长度”．张丽翻看答案后，得知BC ＝6＋33，则部分为 ．19．如图，把n 个边长为1的正方形拼接成一排，求得tan ∠BA 1C ＝1，tan ∠BA 2C ＝13，tan∠BA 3C ＝17，计算tan ∠BA 4C ＝113，…，按此规律，写出tan ∠BA n C ＝ ．(用含n 的代数式表示)三、解答题(本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20．(本小题满分8分)Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝0.8，b ＝0.4，解这个直角三角形．解： 21．(本小题满分9分)△ABC 中，(3·tanA －3)2＋|2cosB －3|＝0.(1) 判断△ABC 的形状；(2) 若AB ＝10，求BC ，AC 的长． 解：22．(本小题满分9分)如图，在水平地面上有一幢房屋BC 与一棵树DE ，在地面观测点A 处测得屋顶C 与树梢D 的仰角分别是45°与60°，∠CAD ＝60°，在屋顶C 处测得∠DCA ＝90°.若房屋的高BC ＝6 m ．求树高DE.解：23．(本小题满分9分)如图，某船由西向东航行，在点A 处测得小岛O 在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B ，这时测得小岛人教版数学九年级下册第二十八章《锐角三角函数》测试卷一、选择题(每小题3分，共30分)1. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝2，BC ＝3，那么下列各式中，正确的是( ) A. sin B ＝23 B. cos B ＝23 C. tan B ＝23D. tan B ＝322. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，如果a 2＋b 2=c 2，那么下列结论正确的是( )A. b cos B =cB. c sin A =aC. a tan A =bD. tan B =bc3. 在△ABC 中，∠C =90°，tan A =23，则sin A 等于( )A. B. C. D. 4. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，则tan ∠ABC 的值为( )A.35 B. 34 C. D. 1第4题 第5题5. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A ＝30°，则sin E 的值为( )A.12B. 2C.D.6. 在锐角△ABC 中，若︱sin A －12︱＋(3－tan B )2=0，则∠C 的度数为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 120° 7. 如图所示，在四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3，则tan C 等于( )A.34 B. 43 C. 35 D. 45第7题 第8题8. 如图，AB 是☉O 的直径，C 是☉O 上的点，过点C 作☉O 的切线交AB 的延长线于点E ，若∠A =30°，则sin E 的值为( )A.12B. 2C.D.9. 等腰三角形一腰上的高与腰长之比是1：2，则等腰三角形顶角的度数为( ) A. 30° B. 50° C. 60°或120° D. 30°或150°10. 如图，热气球的探测器显示，从热气球A 处看一栋楼顶部B 处的仰角为30°，看这栋楼底部C 处的俯角为60°，热气球A 处与楼的水平距离为120 m ，则这栋楼的高度为( )mm C. 300 mm二、填空题(每小题3分，共24分)11. 在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，BC ＝5，则tan B ＝ ．12. 已知，如图，在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，斜边BC 上的高AD =8 cm ，cos B =45，则AC = cm.第12题第13题13. 如图，正方形ABCD的边长为4，点M在边DC上，M，N两点关于对角线AC所在的直线对称，若D M＝1，则tan∠ADN＝.14. 在寻找马航MH370航班过程中，某搜寻飞机在空中A处发现海面上一块疑似漂浮目标B，此时从飞机上看目标B的俯角为α，已知飞行高度AC=1500米，tan α，则飞机距疑似目标B的水平距离BC为米.第14题第15题15. 如图所示，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C重合，连接A′B，则tan∠A′BC′的值为．16. 如图所示，已知正方形ABCD的边长为2，如果将线段BD绕着点B旋转后，点D 落在CB的延长线上的D′处，那么tan∠BAD′等于________．17. 一次函数的图象经过点(tan 45°，tan 60°)和(－cos 60°，－6tan 30°)，则此一次函数的解析式为．18. 一般地，当α，β为任意角时，sin (α＋β)与sin (α－β)的值可以用下面的公式求得：sin (α＋β)=sin α·cos β＋cos α·sin β；sin (α－β)=sin α·cos β－cos α·sin β.例如sin 90°=sin (60°＋30°)=sin 60°·cos 30°＋cos 60°·sin 30°＋12×12=1. 类似地，可以求得sin 15°的值是.三、解答题(共66分)19. (8分)计算：(1)2(2cos 45°－sin 60°)＋24 4；(2)sin 60°·cos 60°－tan 30°·tan 60°＋sin245°＋cos245°.20. (8分)数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°的三角板的斜边与含30°的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板直角顶点重合拼放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC=2，求AF的长. 请你运用所学的数学知识解决这个问题.21. (8分)如图，已知Y ABCD ，点E 是BC 边上的一点，将边AD 延长至点F ，使∠AFC ＝∠DEC .(1)求证：四边形DECF 是平行四边形；(2)若AB ＝13，DF ＝14，tan A ＝125，求CF 的长．22. (10分)如图，已知等腰△ABC 中，AB =BC ，AE ⊥BC 于E ，EF ⊥AB 于F ，若CE =2，cos ∠AEF =45，求BE 的长.23. (10分)如图，拦水坝的横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽BC为6 m，坝高为3.2 m，为了提高水坝的拦水能力需要将水坝加高2 m，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的1∶2变成1人教版九年级数学第二十八章锐角三角函数章末检测（含答案）一、选择题1.如图,已知△ABC的三个顶点均在格点上,则cos A的值为( )A. B. C. D.答案D如图,过B点作BD⊥AC,设每个小正方形的边长为1,由勾股定理得,AB==,AC==3,由AC·BD=×2×3得,BD=,∴AD=-=2,cos A===,故选D.2.计算sin245°+cos30°·tan60°,其结果是( )A.2B.1C.D.答案 A 原式=+×=+=2.故选A.3.在Rt△ABC中,∠C=90°,sin A=,则tan A的值为( )A. B. C. D.答案B由题意设BC=5k(k≠0),则AB=13k,根据勾股定理可以得到AC=-=12k,∴tan A===.故选B.4.在Rt△ABC中,已知∠C=90°,∠A=40°,BC=3,则AC=( )A.3sin40°B.3sin50°C.3tan40°D.3tan50°答案 D 如图,在Rt△ABC中,∵∠C=90°,∠A=40°,∴∠B=50°,∵tan B=,∴AC=BCtan B=3tan50°,故选D.5.如图，∠α的顶点为O，一边在x轴的正半轴上，另一边上有一点P（3，4），则sinα＝（）A．43B．34C．45D．35【答案】C 【详解】OA上有一点P（3，4），则P到x轴距离为4，|OP|=5，则sin a45 ．故选C．6.如图,轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行,在B处观测灯塔A 位于南偏东50°方向上.轮船航行40分钟到达C处,在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上,则C处与灯塔A的距离是( )A.20海里B.40海里C.海里D.海里答案D如图,由题意可知∠EBC=20°,∠EBA=50°,∴∠ABC=∠EBA-∠EBC=30°,∵BE∥CF,∴∠FCB=∠EBC=20°,又∠ACF=10°,∴∠ACB=∠FCB+∠ACF=30°,∴∠ABC=∠BCA=30°,因此△ABC是等腰三角形,过点A作AD⊥BC于点D,在△ACD中,∠ACD=30°,CD=BC=×60×=20(海里),∴AC===(海里),故选D.7.如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作☉O交AC于D,作直径DE,连接BE,BD,若sin∠ACB=,BC=6,则BE=( )A.6B.C.D.8答案B∵Rt△ABC中,∠ABC=90°,sin∠ACB=,∴设AC=5x,AB=4x(x>0),∴BC=-=3x,∵BC=6,∴x=2,∴AB=8.∵AB为☉O的直径,∠ABC=90°,∴CB是圆的切线,∴∠CBD=∠BED,∵DE为直径,∴DE=AB=8,∠DBE=90°,∴∠BDE=∠C.∴sin∠BDE=.∴在Rt△BDE 中,BE=sin∠BDE·DE=×8=.故选B.8.如图,某水渠的横断面是等腰梯形,已知其斜坡AD的坡度为1∶1.2,斜坡BC的坡度为1∶0.8,现测得放水前的水面宽EF为3.8米,当水闸放水后,水渠内水面宽GH为6米.则放水后水面上升的高度是( )A.1.2米B.1.1米C.0.8米D.2.2米答案 B 如图,过点E作EM⊥GH于点M,过点F作FN⊥GH于点N,可得四边形EFNM为矩形,则MN=EF,设ME=FN=x,在Rt△GME中,∵斜坡AD的坡度为1∶1.2,∴ME∶GM=1∶1.2,∴GM=1.2x,在Rt△NHF中,∵斜坡BC的坡度为1∶0.8,∴NF∶NH=1∶0.8,∴NH=0.8x,则GH=1.2x+0.8x+3.8=6,解得x=1.1.所以放水后水面上升的高度是1.1米.故选B.9.某住宅小区的物业管理部门为解决住户停车困难问题,将一条道路开辟为停车场,停车位置如图所示,已知矩形ABCD是供一辆机动车停放的车位,其中AB=5.4m,BC=2.2 m,∠DCF=40°.则停车位所占道路的宽度EF为(结果精确到0.1m,参考数据:sin 40°≈0.64,cos40°≈0.77,tan40°≈0.84)( )A.8.6米B.5.2米C.4.8米D.5.6米答案B由题意知∠DFC=90°,∠DEA=90°,∠DCF=40°,又∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=5.4,BC=AD=2.2,∠ADC=90°,∵∠DCF+∠CDF=90°,∠ADE+∠CDF=90°,∴∠DCF =∠ADE=40°,在Rt△DCF中,sin∠DCF=,∴DF=CDsin∠DCF=5.4×sin 40°≈5.4×0.64=3.456,在Rt△DAE中,cos∠ADE=,∴DE=ADcos∠ADE=2.2×cos 40°≈2.2×0.77=1.694,EF=DE+DF=3.456+1.694≈5.2,∴停车位所占道路的宽度EF约为5.2米.故选B.10.如图,△ABC中,∠A=90°,∠ABC=30°.将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1,B1为BC的中点,连接BA1,则tan∠A1BC的值为( )A. B.C. D.答案B如图,过点A1作A1D⊥B1C1于点D,设AC=a,∵△ABC 中,∠A=90°,∠ABC=30°,∴BC=2AC=2a,∴AB=-=a,∵B1为BC的中点,∴BB1=a,∵将△ABC沿直线BC平移得到△A1B1C1,∴∠B1A1C1=∠A=90°,∠A1B1C1=∠ABC=30°,A1B1=AB=a,∴A1D=A1B1=a,B1D=A1B1·c os30°=a,∴BD=a,∴tan∠A1BC==.故选B.二、填空题11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,则sin B= .答案解析∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=7,∴sin B==.12.等腰三角形腰长为2cm,底边长为2cm,则顶角为,面积为cm2.答案120°;解析如图,作AD⊥BC于D,∴BD=DC=cm,∴AD=-=1cm,∴sin B==,∴∠B=30°,∴顶角为180°-30°-30°=120°,三角形的面积S=×2×1=(cm2).13.如图,已知点A(5,0),直线y=x+b(b>0)与y轴交于点B,连接AB,∠α=75°,则b= .答案5解析如图,设直线y=x+b(b>0)与x轴交于点C,由题意得,点B的坐标是(0,b),∠BCA=45°,∵∠α=75°,∴∠BAC=75°-45°=30°,∴=tan30°=,解得b=5.14.已知在△ABC中,AB=AC=8,∠BAC=30°.将△ABC绕点A旋转,使点B落在原△ABC的点C 处,此时点C落在点D处.延长线段AD,交原△ABC的边BC的延长线于点E,那么线段DE的长等于.答案4-4解析如图,作BF⊥AE交AE于点F,在Rt△ABF中,∠BAF=60°,AB=8,可得AF=4,BF=4,所以DF=AD-AF=8-4=4.易证△BFE是等腰直角三角形,所以EF=BF=4,所以DE=EF-DF=4-4.15.在△ABC中，∠ACB＝90°，若tanA＝12，则cosA＝__________.【详解】解：∵tanA=12，∴设b=x，则a=2x，根据222+=a b c得.∴cosA=b c ==16.如图，已知ABC ∆中，90C ∠=︒，1tan 2A =，D 是AC 上一点，CBD A ∠=∠，则sin ABD ∠= ______.【答案】35如图，作DE AB ⊥于点E ，由已知得1ta tan n 2BC CD DE CBD AC BC A A E ∠=====. 设CD a =，则2BC a =，4AC a =，3AD AC CD a =-=，在Rt BCD ∆中，BD =.在Rt ADE ∆中，设DE x =，则2AE x =，由222AE DE AD +=，即()22229x x a +=，解得x =，即DE =. 故在Rt BDE ∆中，可求得3sin 5DE ABD BD ∠==. 17.如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为AB 边上的中线，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，如果AC ＝2，BC ＝4，那么cot ∠CAE ＝_____．【答案】2【详解】∵∠CAE+∠ACD=90°，∠BCE+∠ACD=90°，∴∠CAE=。
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试【含答案】
人教版九年级数学下册第28章《锐角三角函数》单元测试一．选择题（共10小题，满分30分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝（ ）A．B．C．D．2．在边长相等的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上（ ）A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，那么tan B的值是（ ）A．B．C．D．4．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（ ）A．30°B．60°C．45°D．37.5°5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，则tan A的值是（ ）A．B．C．D．6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin B＝（ ）A．B．2C．D．7．若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是（ ）A．B．C．D．8．如图，AD是△ABC的高，AB＝4，tan∠CAD＝，则BC的长为（ ）A． +1B．2+2C．2+1D． +49．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA＝，当∠OPA最大时，S△OPA等于（ ）A．B．C．D．110．如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，∠C＝42°，AB＝60（ ）A．60sin50°B．C．60cos50°D．60tan50°二．填空题（共10小题，满分30分）11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝ ．12．用科学计算器计算： tan16°15′≈ （结果精确到0.01）13．在△ABC中，若，∠A，∠B都是锐角 三角形．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，那么AB的长为 ．15．比较大小：sin80° tan50°（填“＞”或“＜”）．16．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝ ．17．在△ABC中，若|sin A﹣|+（﹣cos B）2＝0，则∠C的度数是 ．18．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，AC＝6，则tan A的值为 ．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，连接CD，过点B作CD的垂线，tan A＝，则cos∠DBE的值为 ．20．如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：（坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比），水平宽度AC＝m 米．三．解答题（共7小题，满分6021．已知cos45°＝，求cos21°+cos22°+…+cos289°的值．22．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．求sin A，cos A和tan A．23．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90˚，BC＝6，求AC的长和sin A的值．24．计算：cos60°﹣2sin245°+tan230°﹣sin30°．25．计算：（1）；（2）sin245°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°．26．2022年8月21日，重庆市北碚区缙云山突发山火，山火无情，各地消防迅速出动，冲锋在前，然后沿着坡比为5：12的斜坡前进104米到达B处平台，继续前进到达C，沿斜坡CD前行800米到达着火点D．（1）求着火点D距离山脚的垂直高度；（2）已知消防员在平地的平均速度为4m/s，求消防员通过平台BC的时间．（保留一位小数）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈，≈1.732）27．如图，已知∠ABC和射线BD P（点P与点B不重合），且点P到BA、BC的距离为PE、PF．（1）若∠EBP＝40°，∠FBP＝20°，PB＝m；（2）若∠EBP＝α，∠FBP＝β，α，β都是锐角，并给出证明．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：如图，∵∠C＝90°，∴设AC＝5k，AB＝13k，根据勾股定理得，BC＝＝，所以，sin A＝＝＝．故选：D．2．解：设点C到AB的距离为h，由勾股定理可知：AC＝＝2＝，由于S△ABC＝32﹣×6×2﹣×7×3＝9﹣8﹣3＝4．∴AB•h＝4，∴h＝，∴sin∠BAC＝＝，∴cos∠BAC＝，故选：A．3．解：∵∠C＝90°，∴tan B＝＝＝．故选：D．4．解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝8，∴cosβ＝，∴∠β＝60°．故选：B．5．解：∵∠C＝90°，AB＝5，∴AC＝＝＝4，∴tan A＝＝，故选：D．6．解：∵∠C＝90°，tan A＝2，∴BC＝2AC，∴，∴，故C正确．故选：C．7．解：若用我们数学课本上采用的科学计算器计算sin42°16′，按键顺序正确的是．故选：C．8．解：∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，cos∠BAD＝，∴cos60°＝，sin60°＝，∴AD＝4cos60°＝7×＝5＝4，在Rt△ADC中，tan∠CAD＝，∴＝，解得CD＝1，∴BC＝BD+CD＝2+1．故选：C．9．解：如图所示：∵OA、OP是定值，∴PA⊥OA时，∠OPA最大，在直角三角形OPA中，OA＝，∴PA＝＝，∴S△OPA＝OA•AP＝××＝．故选：B．10．解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：∵∠BAC＝88°，∠C＝42°，∴∠B＝180°﹣88°﹣42°＝50°，在Rt△ABD中，AD＝AB×sin60×sin50°，∴点A到BC的距离为60sin50°，故A正确．故选：A．二．填空题（共10小题，满分30分）11．解：由sin A＝知，可设a＝6x，b＝3x．∴tan A＝．故答案为：．12．解： tan16°15′≈0.71，故答案为：4.71．13．解：∵，∴sin A＝，cos B＝，∴∠A＝60°，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．14．解：∵cos A＝＝，AC＝7，∴AB＝＝8，故答案为：8．15．解：∵tan50°＞tan45°，tan45°＝1，∴tan50°＞1，又sin80°＜2，∴sin80°＜tan50°；故答案为：＜．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴sin B＝cos A＝．故答案为：．17．解：∵|sin A﹣|+（2＝2，∴sin A﹣＝4，，即sin A＝，cos B＝，∴∠A＝30°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°．故答案为：105°．18．解：在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝6，∴BC＝＝＝8，∴tan A＝＝＝，故答案为：．19．解：过点C作CF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC中，AC＝3a＝，∴BC＝4a，AB＝5a，∵D是AB的中点，∴CD＝AB＝a，∵△ABC的面积＝AB•CF＝，∴AB•CF＝AC•CB，∴5aCF＝3a×4a，∴CF＝a，∴cos∠DCF＝＝，∵BE⊥CD，∴∠E＝90°，∴∠EDB+∠EBD＝90°，∵∠FCD+∠CDF＝90°，∠CDF＝∠BDE，∴∠EBD＝∠DCF，∴cos∠DBE＝cos∠DCF＝，故答案为：．20．解：∵河坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，AC＝m，∴＝，∴BC＝AC＝＝3（m），在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB＝＝，故答案为：6．三．解答题（共7小题，满分60分）21．解：原式＝（cos21°+cos289°）+（cos22°+cos588°）+…+（cos244°+cos246°）+cos445＝（sin21°+cos51°）+（sin22°+cos22°）+…+（sin844°+cos244°）+cos245＝44+（）2＝44．22．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5．∴AB＝＝＝13，∴sin A＝＝，cos A＝＝，tan A＝＝．23．解：∵△ABC中，tan A＝，∴＝，∴AC＝8，∴AB＝＝＝10，∴sin A＝＝24．解：原式＝﹣4×（）6+×（）2﹣＝﹣2×+×﹣＝﹣2+﹣＝﹣．25．解：（1）＝﹣4﹣7+1＝﹣4；（2）sin645°+cos245°+tan30°tan60°﹣cos30°＝＝＝．26．（1）如图所示，过点B，C，D分别作水平线的垂线，F，G，延长BC交AG于点H，BHGE是矩形，依题意，，AB＝104米，CD＝800米，在Rt△ABE中，，设BE＝8k米，∴AB＝13k，∵AB＝104米，∴k＝8，∴BE＝5×2＝40（米），AE＝12×8＝96（米），在Rt△DCH中，CD＝800米，∴DG＝DH+HG＝DH+BE＝480+40＝520（米），即着火点D距离山脚的垂直高度为520米；（2）依题意，∠DAG＝30°，∴米，∵Rt△DCH中，CH＝cos37°×CD＝≈0.8×800＝640（米），又AE＝96米，∴（米），∵消防员在平地的平均速度为4m/s，∴消防员通过平台BC的时间为（秒）．27．解：（1）在Rt△BPE中，sin∠EBP＝在Rt△BPF中，sin∠FBP＝又sin40°＞sin20°∴PE＞PF；（2）根据（1）得sin∠EBP＝＝sinα＝sinβ又∵α＞β∴sinα＞sinβ∴PE＞PF．。
春九年级数学下册《第28章 锐角三角函数》单元测试卷(含解析)(新版)新人教版-(新版)新人教版初中
《第28章锐角三角函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6cm，那么BC等于（）A．8cm B． cm C． cm D． cm2．已知＜cos A＜sin80°，则锐角A的取值X围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．5．在△ABC中，∠C＝90°，，则∠B为（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．﹣B．C．﹣7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC等于（）A．B．1C．2D．38．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．D．12米10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．40二．填空题（共5小题）11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．12．有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sin a＞cos a；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是（注：把所有正确命题的序号都填上）．13．若0°＜α＜90°，，则sinα＝．14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．15．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于度．三．解答题（共6小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F 为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值X围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．18．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．20．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要X贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．21．2013年9月23日强台风“天兔”登录某某，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）2019年人教版九下数学《第28章锐角三角函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝6cm，那么BC等于（）A．8cm B． cm C． cm D． cm【分析】首先利用锐角三角函数的定义求出斜边的长度，再运用勾股定理即可求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝＝，AC＝6cm，∴AB＝10cm，∴BC＝＝8cm．故选：A．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的余弦为邻边比斜边，同时考查了勾股定理．2．已知＜cos A＜sin80°，则锐角A的取值X围是（）A．60°＜A＜80°B．30°＜A＜80°C．10°＜A＜60°D．10°＜A＜30°【分析】首先明确cos30°＝，sin80°＝cos10°，再根据余弦函数随角增大而减小，进行分析．【解答】解：∵cos30°＝，sin80°＝cos10°，余弦函数随角增大而减小，∴10°＜A＜30°．故选：D．【点评】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键；还要知道正余弦之间的转换方法：一个锐角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sin A＝，则cos A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．【解答】解：∵sin2A+cos2A＝1，即（）2+cos2A＝1，∴cos2A＝，∴cos A＝或﹣（舍去），∴cos A＝．故选：D．【点评】此题主要考查了同角的三角函数，关键是掌握同一锐角的正弦与余弦之间的关系：对任一锐角α，都有sin2α+cos2α＝1．4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，则tan A的值为（）A．B．C．D．【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得∠A的余弦，根据同角三角函数的关系，可得∠A的正弦，∠A的正切．【解答】解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，sin B＝，得cos A＝sin B＝．由sin2A+cos2A＝1，得sin A＝＝，tan A＝＝＝．故选：D．【点评】本题考查了互余两角三角函数的关系，利用一个角的余弦等于它余角的正弦得出∠A的余弦是解题关键．5．在△ABC中，∠C＝90°，，则∠B为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】根据60°角的正弦值等于解答．【解答】解：∵sin60°＝，∴∠B＝60°．故选：C．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°的三角函数值是解题的关键．6．计算sin20°﹣cos20°的值是（保留四位有效数字）（）A．﹣B．C．﹣【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数．【解答】解：按MODE，出现：DEG，按sin20﹣cos20，＝后，显示：﹣0.597 7．故选：C．【点评】本题考查了熟练应用计算器的能力．7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AC＝，则BC等于（）A．B．1C．2D．3【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求出BC的长．【解答】解：如图：∵cos A＝，∴＝，又∵AC＝，∴BC＝＝1．故选：B．【点评】本题主要考查了解直角三角形，画出图形并利用勾股定理和三角函数是解题的关键．8．如图，为了测量河岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝a，∠ABC＝α，那么AB等于（）A．a•sinαB．a•cosαC．a•tanαD．【分析】根据已知角的正切值表示即可．【解答】解：∵AC＝a，∠ABC＝α，在直角△ABC中tanα＝，∴AB＝．故选：D．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确记忆三角函数的定义是解决本题的关键．9．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是（）A．5米B．6米C．D．12米【分析】在Rt△ABC中，先求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．【解答】解：如图AC＝13，作CB⊥AB，∵cosα＝＝，∴AB＝12，∴BC＝＝＝5，∴小车上升的高度是5m．故选：A．【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．10．如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为20m，DE的长为10m，则树AB的高度是（）m．A．20B．30C．30D．40【分析】先根据CD＝20米，DE＝10m得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBE＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．【解答】解：在Rt△CDE中，∵CD＝20m，DE＝10m，∴sin∠DCE＝＝，∴∠DCE＝30°．∵∠ACB＝60°，DF∥AE，∴∠BGF＝60°∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°．∵∠BDF＝30°，∴∠DBF＝60°，∴∠DBC＝30°，∴BC＝＝＝20m，∴AB＝BC•sin60°＝20×＝30m．故选：B．方法二：可以证明△DGC≌△BGF，所以BF＝DC＝20，所以AB＝20+10＝30，故选：B．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解答此题的关键．二．填空题（共5小题）11．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则tan A的值为．【分析】首先构造以A为锐角的直角三角形，然后利用正切的定义即可求解．【解答】解：连接CD．则CD＝，AD＝，则tan A＝＝＝．故答案是：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边，构造直角三角形是本题的关键．12．有四个命题：①若45°＜a＜90°，则sin a＞cos a；②已知两边及其中一边的对角能作出唯一一个三角形；③已知x1，x2是关于x的方程2x2+px+p+1＝0的两根，则x1+x2+x1x2的值是负数；④某细菌每半小时分裂一次（每个分裂为两个），则经过2小时它由1个分裂为16个．其中正确命题的序号是①④（注：把所有正确命题的序号都填上）．【分析】一个锐角的正弦值随着角的增大而增大，余弦值随着角的增大而减小；判定三角形求全等的方法：SSS、SAS、ASA、AAS；一元二次方程的根与系数的关系：两根之和等于一次项系数的相反数除以二次项系数，两根之积等于常数项除以二次项系数；半小时每个分裂成2个，则2小时由1个分裂为24个．【解答】解：①因为sin45°＝cos45°＝，再结合锐角三角函数的变化规律，故此选项正确；②不一定能够判定两个三角形全等，故此选项错误；③根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，x1x2＝．∴x1+x2+x1x2＝，是正数．故此选项错误；④根据题意，得2小时它由1个分裂24个，即16个，故此选项正确．故正确的有①④．【点评】此题涉及的知识的综合性较强．综合考查了锐角三角函数的知识、全等三角形的判定方法、一元二次方程根与系数的关系等知识．13．若0°＜α＜90°，，则sinα＝．【分析】画出直角三角形，根据tan B＝＝设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理求出AB＝k，代入sinα＝sin B＝求出即可．【解答】解：如图在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠B＝α，tan B＝＝，设AC＝k，BC＝2k，由勾股定理得：AB＝k，则sinα＝sin B＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了勾股定理，解直角三角形的应用，主要考查学生的计算能力．14．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，则tan B＝．【分析】设BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理求出AC＝3x，代入tan B＝求出即可．【解答】解：∵sin A＝＝，∴设BC＝4x，AB＝5x，由勾股定理得：AC＝＝3x，∴tan B＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，注意：在Rt△ACB中，∠C＝90°，则sin A ＝，cos A＝，tan A＝．15．已知α为锐角，且sin（α﹣10°）＝，则α等于70 度．【分析】根据sin60°＝解答．【解答】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）＝，sin60°＝，∴α﹣10°＝60°，∴α＝70°．【点评】此题比较简单，只要熟记特特殊角的三角函数值即可．三．解答题（共6小题）16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点D为AC中点，点E为边AB上一动点，点F 为射线BC上一动点，且∠FDE＝90°．（1）当DF∥AB时，连接EF，求∠DEF的余切值；（2）当点F在线段BC上时，设AE＝x，BF＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值X围；（3）连接CE，若△CDE为等腰三角形，求BF的长．【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的中位线定理求出DF、DE的长，由锐角三角函数的定义即可求出∠DEF的余切值；（2）过点E作EH⊥AC于点H，由平行线的性质及等腰三角形的性质可求出HE、HD的表达式，再由相似三角形的判定定理求出△HDE∽△CFD，根据相似三角形的性质可写出y关于x的函数关系式；（3）先分析出△DCE为等腰三角形时的两种情况，再根据题意画出图形，当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G，可求出AE的长度，由AE的长可判断出F的位置，进而可求出BF的长；当ED＝EC时，先判断出点F的位置，再根据相似三角形的性质及判定定理即可解答．【解答】解：（1）∵AC＝BC＝6，∠ACB＝90°，∴，∵DF∥AB，，∴，（1分）∴，（1分）在Rt△DEF中，；（2分）（2）过点E作EH⊥AC于点H，设AE＝x，∵BC⊥AC，∴EH∥BC，∴∠AEH＝∠B，∵∠B＝∠A，∴∠AEH＝∠A，，（1分）∴，又可证△HDE∽△CFD，∴，（1分）∴，∴；（2分）（3）∵，CD＝3，∴CE＞CD，∴若△DCE为等腰三角形，只有DC＝DE或ED＝EC两种可能．（1分）当DC＝DE时，点F在边BC上，过点D作DG⊥AE于点G（如图①）可得：，即点E在AB中点，∴此时F与C重合，∴BF＝6；（2分）当ED＝EC时，点F在BC的延长线上，过点E作EM⊥CD于点M，（如图②）可证：∵EM⊥CD，∴△DME是直角三角形，∵DE⊥DF，∴∠EDM+∠FDC＝90°，∵∠FDC+∠F＝90°，∴∠F＝∠EDM．∴△DFC∽△DEM，∴，∴，∴CF＝1，∴BF＝7，（2分）综上所述，BF为6或7．【点评】本题是一道综合题，涉及到锐角三角函数的定义、直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，涉及面较广，难度较大．17．下列关系式是否成立（0＜α＜90°），请说明理由．（1）sinα+cosα≤1；（2）sin2α＝2sinα．【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证．【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝α．则sinα+cosα＝+＝＞1，故sinα+cosα≤1不成立；（2）该等式不成立，理由如下：假设α＝30°，则sin2α＝sin60°＝，2sinα＝2sin30°＝2×＝1，∵≠1，∴sin2α≠2sinα，即sin2α＝2sinα不成立．【点评】本题考查了同角三角函数的关系．解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值．18．计算：tan260°﹣2sin30°﹣cos45°．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式＝（）2﹣2×﹣×＝3﹣1﹣1＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．19．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，sin A＝，BC＝8，D是AB中点，过点B作直线CD的垂线，垂足为点E．（1）求线段CD的长；（2）求cos∠ABE的值．【分析】（1）在△ABC中根据正弦的定义得到sin A＝＝，则可计算出AB＝10，然后根据直角三角形斜边上的中线性质即可得到CD＝AB＝5；（2）在Rt△ABC中先利用勾股定理计算出AC＝6，在根据三角形面积公式得到S△BDC＝S△ADC，则S＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，于是可计算出BE＝，然后在Rt△BDE中利用余弦的定△BDC义求解．【解答】解：（1）在△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴sin A＝＝，而BC＝8，∴AB＝10，∵D是AB中点，∴CD＝AB＝5；（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，BC＝8，∴AC＝＝6，∵D是AB中点，∴BD＝5，S△BDC＝S△ADC，∴S△BDC＝S△ABC，即CD•BE＝•AC•BC，∴BE＝＝，在Rt△BDE中，cos∠DBE＝＝＝，即cos∠ABE的值为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．也考查了直角三角形斜边上的中线性质和三角形面积公式．20．随着人们经济收入的不断提高，汽车已越来越多地进入到各个家庭．某大型超市为缓解停车难问题，建筑设计师提供了楼顶停车场的设计示意图．按规定，停车场坡道口上坡要X贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入．如图，地面所在的直线ME与楼顶所在的直线AC是平行的，CD的厚度为m，求出汽车通过坡道口的限高DF的长（结果精确到m，sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．【分析】首先根据AC∥ME，可得∠CAB＝∠AE28°，再根据三角函数计算出BC的长，进而得到BD的长，进而求出DF即可．【解答】解：∵AC∥ME，∴∠CAB＝∠AEM，在Rt△ABC中，∠CAB＝28°，AC＝9m，∴BC＝AC tan28°≈9×0.53＝4.77（m），∴BD＝BC﹣CD﹣0.5＝4.27（m），在Rt△BDF中，∠BDF+∠FBD＝90°，在Rt△ABC中，∠CAB+∠FBC＝90°，∴∠BDF＝∠CAB＝28°，∴DF＝BD cos28°≈×≈3.8（m），答：坡道口的限高DF的长是m．【点评】此题考查了三角函数的基本概念，主要是正弦、正切概念及运算，关键把实际问题转化为数学问题加以计算．利用三角函数首先要确定直角三角形．21．2013年9月23日强台风“天兔”登录某某，伴随着就是狂风暴雨．梧桐山山坡上有一棵与水平面垂直的大树，台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面（如图所示）．已知山坡的坡角∠AEF＝23°，量得树干的倾斜角为∠BAC＝38°，大树被折断部分和坡面所成的角∠ADC＝60°，AD＝3m．（1）求∠DAC的度数；（2）求这棵大树折断前的高度．（结果保留根号）【分析】（1）延长BA交EF于点G，利用三角形外角性质即可求出所求角的度数；（2）过A作CD的垂线，垂足为H，在直角三角形ADH中，求出∠DAH＝30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出DH与AH的长，确定出三角形ACH为等腰直角三角形，求出CH，AH 的长，由AC+CH+HD求出大树高即可．【解答】解：（1）延长BA交EF于一点G，如图所示，则∠DAC＝180°﹣∠BAC﹣∠GAE＝180°﹣38°﹣（90°﹣23°）＝75°；（2）过点A作CD的垂线，设垂足为H，在Rt△ADH中，∠ADC＝60°，∠AHD＝90°，∴∠DAH＝30°，∵AD＝3，∴DH＝，AH＝，在Rt△ACH中，∠CAH＝∠CAD﹣∠DAH＝75°﹣30°＝45°，∴∠C＝45°，∴CH＝AH＝，AC＝，则树高++（米）．【点评】此题属于解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，涉及的知识有：勾股定理，含30度直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，以及外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．。
人教版初3数学9年级下册 第28章(锐角三角函数)测试卷(含答案)
《第二十八章锐角三角函数》测试卷一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．542．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．355.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB ．BD CBC ．CB ABD ．CD CB6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D18ABCD 中，E ，F分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD ，有以下结论：①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC=34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .第1题第5题第6题第8题第7题第13题11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=- A ，则知∠A= .12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C 的值为 .13．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB 的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC 边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．三、解答题（共8题，共66分）19．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2）30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB的值．第16题第18题21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sinB ，点D 为边 BC 的中点．(1) 求 BC 的长；(2) 求 ∠BAD 的正切值．22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD 度数；（2）当AC=5时，求AD 的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）24．（8分）如图，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD 的高度，他们先在A 处测得古塔顶端点D 的仰角为45°，再沿着BA 的方向后退20m 至C 处，测得古塔顶端点D 的仰角为30°.求该古塔BD 的高度（ 3≈1.732 ，结果保留一位小数）.25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦DE交AB于点F，⊙O的切线BC与AD的延长线交于点C，连接AE．（1）试判断∠AED与∠C的数量关系，并说明理由；（2）若AD=3，∠C=60°，点E是半圆AB的中点，求线段AE的长．26．（10分）海中有一小岛P，在以P为圆心、半径为nmile的圆形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处时测得小岛P位于北偏东60 方向上，且A，P之间的距离为32nmile．若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？请通过计算加以说明．如果有危险，轮船自A处开始沿南偏东多少度的方向航行，能安全通过这一海域？答案与解析一、选择题（每小题3分，共8题，共24分）1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则sinB 的值是( )A ．32B ．53C ．43D ．54【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解： ∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，∴54sin ==AB AC B .故答案为：D .【分析】根据正弦函数的定义sinB=斜边的对边A ∠即可直接得出答案.2．若α是锐角，sinα=cos38°，则α 等于（ ） A ．52°B ．62°C ．38°D ．42°【答案】A【考点】互余两角三角函数的关系；【解答】解：∵sinα=cos38°， ∴α=90°﹣38°=52°．故选A ．【分析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．3．在△ABC 中，∠C=90°，如果AB=2，BC=1，那么∠A 的度数为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】A【考点】解直角三角形；【解答】解：∵∠C=90°，AB=2，BC=1∴21sin ==AB BC A ∴∠A=30°.故选A .【分析】先根据正弦的定义可得∠A 的正弦值，再根据特殊角的锐角三角函数值即可得到结果.4.在Rt △ABC 中，∠C=90°，若53sin =A ，则B tan =（ ）A ．43B ．34C ．53D ．35【答案】A【考点】锐角三角形函数的定义；【解答】解：如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3sin 5A =第1题3sin 5BC A AB ∴==，设3BC k =，则AB 5k =，由勾股定理可得k BC AB AC 422=-=，44tan 33AC k B BC k ∴===．故选A ．【分析】依题意，作出图形，设BC=3k ，则AB=5k 进而求AC ，根据正切的定义求得tanB 即可．5.如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，45A ∠≠︒，则下列比值中不等于sinA 的是（ ）A ．CD ACB．BDCB C ．CB ABD ．CD CB【答案】D【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：在Rt ABC ∆中，sin CBA AB= ,在Rt ACD ∆中，sin CDA AC=,90A B ∠+∠=︒ ,90B BCD ∠+∠=︒ ,A BCD ∴∠=∠ ,在Rt BCD ∆中，sin sin BDBCD A BC∠==,故选：D ．【分析】利用锐角三角函数定义判断即可．6．某铁路路基的横断面是一个等腰梯形（如图），若腰的坡比为2：3，路基顶宽3米，高4米，则路基的下底宽为（ ）A ．7米B ．9米C ．12米D ．15米【答案】D【考点】解直角三角形的应用---坡度坡角问题；【解答】解：第5题第6题∵腰的坡度为i=2：3，路基高是4米，∴BE=6米，又∵EF=AD=3米，∴BC=6+3+6=15米．故选D ．【分析】梯形上底的两个顶点向下底引垂线，得到两个直角三角形和一个矩形．利用相应的性质求解即可．7．如图，用一块直径为4的圆桌布平铺在对角线长为4的正方形桌面上，若四周下垂的最大长度相等，则桌布下垂的最大长度x 为（ ）A1B．2C．1D1【答案】B【考点】正方形的性质，垂径定理的应用，特殊角的三角函数值；【解答】如图，正方形ABCD 是圆内接正方形，4BD =，点O 是圆心，也是正方形的对角线的交点，作OF BC ⊥，垂足为F ，∵直径4BD =，∴2OB =，又∵△BOC 是等腰直角三角形，由垂径定理知点F 是BC 的中点，∴△BOF 是等腰直角三角形，∴sin 45OF OB ==°，∴2x EF OE OF ==-=故选：B ．【分析】作出图形，把实际问题转化成数学问题，求出弦心距，再用半径减弦心距即可．8．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，BF 与CE 相交于点H ，直线EN 交CB 的延长线于点N ，作CM ⊥EN 于点M ，交BF 于点G ，且CM=CD，有以下结论：第7题①BF ⊥CE ；②ED=EM ；③tan ∠ENC= 34；④CHF DEHF S S ∆=4四边形，其中正确结论的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【考点】全等三角形的判定与性质，正方形的性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形；【解答】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴BC=CD=AD ，∠BCF=∠CDE=90°，∵DE= 12 AD ，CF= 12 CD ，∴DE=CF ，∴△CDE ≌△BCF ，∴∠CBF=∠ECD ，∵∠ECD+∠ECB=90°，∴∠CBF+∠BCE=90°，∴∠BHC=90°，∴BF ⊥CE ，故①正确，∵CM=CD ，∠CME=∠D=90°，CE=CE ，∴Rt △CEM ≌Rt △CED ，∴EM=DE ，故②正确，∴∠CED=∠CEM=∠ECN ，∴NE=NC ，设NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，在Rt △CNM 中，（x ﹣a ）2+（2a ）2 =x 2，解得x =52 a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确，易知△CHF ∽△CDE ，∴51)(2==∆∆CE CF S S CDE CHF ，∴CHF DEHF S S ∆=4四边形，故④正确，故答案为：D ．【分析】可证△CDE ≌△BCF ，得出对应角相等可得①正确；易得Rt △CEM ≌Rt △CED ，进而得出②正确；设出参数NE=CN=x ，EM=DE=AE=a ，则CM=CD=2a ，tan ∠ENC=34232==a a MN CM ，故③正确；易知△CHF ∽△CDE,由面积比等于相似比的平方可得结论正确.二、填空题（每小题3分，共8题，共24分）第8题9.已知，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则cosB 的值为 .【答案】54；【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义；【解答】∵在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，∴,86102222=-=-=AC AB BC ∴54108cos ===AB BC B .故答案为：54．10．已知α、β均为锐角，且满足0)1(tan 21sin 2=-+-βα，则α+β= .【答案】75°；【考点】特殊角的三角函数值；非负数的性质：算术平方根；绝对值的非负性；【解答】∵0)1(tan 21sin 2=-+-βα，∴sinα=12，tanβ=1，∴α=30°，β=45°，则α+β=30°+45°=75°．故答案为：75°．【分析】根据非负数的性质求出sinα、tan β的值，然后根据特殊角的三角函数值求出两个角的度数．11.已知∠A 是锐角，若33)15tan(=-A ，则知∠A= .【答案】45°；【考点】特殊角的三角函数值；【解答】∵3330tan =，∴∠A －15°=30°，∴∠A=45°.故答案为：45°．【分析】根据特殊角的三角函数值得出3330tan =，求出∠A －15°=30°，从而求出∠A 的度数.12．在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则tan C的值为 .【答案】25；【考点】锐角三角函数的定义；【解答】解：过A 作AD ⊥BC 于D ，设AD ＝5a ，CD ＝2a ，∴2525tan ===a a CD AD C ，故答案为：25【分析】过A 作AD ⊥BC 于D ，由锐角三角函数tanC=ADCD 和网格图的特征可求解.14．半径为2cm 的⊙O 中，弦长为的弦所对的圆心角度数为．【考点】垂径定理，锐角三角函数；【解答】解：如图，作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，∴AD ＝12AB （cm ），∵ cos A ＝AD OA =∴∠A ＝30︒，∴∠AOD ＝60°，∴∠AOB ＝2∠AOD ＝120°，故答案为：120°．【分析】作OD ⊥AB ，由垂径定理知，点D 是AB 的中点，在直角三角形中，利用cos ADA OA=，根据比值求得 A ∠的度数，从而知道AOD ∠ 的度数，即可进一步求得最后答案．14．ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，则tan B = ．【答案】125【考点】勾股定理，等腰三角形的性质，三角函数的应用；【解答】解：如图，等腰ABC ∆中，13AB AC ==，10BC =，过A 作AD BC ⊥于D ，则5BD =，在Rt ABD ∆中，13AB =，5BD =，则，125132222=-=-=BD AB AD ，故12tan 5AD B BD ==．故答案为125．【分析】根据题意画出图形，由等腰三角形的性质求出BD 的长，根据勾股定理求出AD 的长，再根据锐角三角函数的定义即可求出tan B 的值．15．在△ABC 中，∠B =45°，∠C =75°，AC =6，则AB 的长是 ．【答案】333+；【考点】直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质；【解答】解：作CD ⊥AB 于D ，如图所示：则∠BDC =∠ADC =90°，∵∠B =45°，∴△BCD 是等腰直角三角形，∴BD =CD ，∠BCD =45°，∵∠ACB =75°，∴∠ACD =∠ACB －∠BCD =30°，∴AD =12AC =12×6=3，CD =22AD AC- ∴BD =CD ∴AB =BD +AD ；【分析】作CD ⊥AB 于D ，则△BCD 是等腰直角三角形，得BD =CD，∠BCD =45°，求出∠ACD =30°，由直角三角形的性质得AD =12AC =3，BD =CD 16．如图，为了测量电线杆AB 的高度，小明将测量仪放在与电线杆的水平距离为9m 的D 处．若测角仪CD 的高度为1.5m ，在C 处测得电线杆顶端A 的仰角为36°，则电线杆AB的高度约为 m ．（精确到0.1m ）．（参考数据sin36°≈0.59．cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；【解答】解：如图，在Rt △ACE 中，∴AE=CE•tan36°=BD•tan36°=9×tan36°≈6.57米，第16题∴AB=AE+EB=AE+CD=6.57+1.5≈8.1（米）．故答案为：8.1．【分析】根据CE 和tan36°可以求得AE 的长度，根据AB=AE+EB 即可求得AB 的长度，即可解题．17．平放在地面上的三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示，量得∠A为54°，∠B 为36°，边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 的长为0.6m ，则铁板BC边被掩埋部分CD 的长是 m .（结果精确到0.1m.参考数据：sin54°≈0.81，cos54°≈0.59，tan54°≈1.38）.【答案】1.1；【考点】解直角三角形的应用；【解答】解：∵ ∠A =54° ， ∠B =36°∴ ∠C =180°−54°−36°=90°∴在直角 △ABC 中，sinA ＝ BC AB ，则BC ＝AB•sinA ＝2.1sin54°≈2.1×0.81＝1.701，则CD ＝BC ﹣BD ＝1.701﹣0.6＝1.101≈1.1（m ），故答案为：1.1.【分析】首先根据三角形的内角和定理算出∠C 的度数，进而利用正弦三角函数的定义进行求值即可.18.如图，折叠矩形ABCD 的一边AD,使点D 落在BC 边的点F 处，已知BF=6cm ，且tan ∠BAF=43，则折痕AE 的长是 ．【考点】矩形的性质，翻折变换，解直角三角形；【解答】解：由折叠得：AF=AD,EF=DE,∵四边形ABCD 为矩形，AF=AD=BC,DC=AB,∠B=∠C=∠D=90°，第17题∵43tan ==∠AB BF BAF ,∵BF=6，∴AB=8，由勾股定理得AF=10cm ,∴AD=BC=10cm ，∴CF=BC －BF=10－6=4cm ,设EF=DE=xcm ,∴CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm,在Rt △EFC 中，由勾股定理得：222)8(4x x -+=，解得：x =5，∴DE=5cm,在Rt △ADE 中，由勾股定理得：AE 555102222=+=+=DE AD AE cm.【分析】由折叠的性质得AF=AD,EF=DE,由矩形的性质得AF=AD=BC,∠B=∠C=∠D=90°，再根据锐角三角函数的定义得出AB=8，由勾股定理得AF=10cm ，则AD=BC=10cm,CF=BC －BF=10－6=4cm ，设EF=DE=xcm ,则CE=DC －DE=AB －DE=（8－x ）cm ，然后在Rt △EFC 中，由勾股定理列出方程，解答即可.三、解答题（共8题，共66分）20．计算(每小题4分，共8分)（1）45tan 30cos 60tan 30sin 22-+-； （2） 30sin 430cos 3445tan 260tan 2+--【答案】（1）23-；（2）0.【考点】特殊角的三角函数值；【解答】解：（1）原式=231233112332122-=-+-=-+-⨯（2）原式=02332233221423341232=+--=⨯+⨯-⨯-【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入，进而化简计算得出答案.20．（8分）在直角三角形ABC 中，已知∠C=90°，AB=15，AC=9，分别求出sinA 和tanB 的值．【答案】解：如图，∵∠C=90°，AB=15，AC=9，∴BC=AB 2−AC 2=12，∴sinA=BC AB =45，tanB=AC BC =43．【考点】锐角三角函数的定义；【分析】利用勾股定理得出BC 的长，再利用锐角三角函数关系得出答案．21．（8分）如图，在 △ABC 中，∠C=90°，AB=10，53sin =B ，点D 为边 B C 的中点．(1) 求 BC 的长； (2) 求 ∠BAD 的正切值．【解答】解：（1）∵,10,53sin ==AB B ∴,5310=AC ∴AC=6，∴在Rt △ABC 中，86102222=-=-=AC AB BC .(2)如图，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,∵∠C=∠BED=90°，∠B=∠B,∴△BED ∽△BCA,∴CA ED BA BD BC BE ==,∴61048ED BE ==，解得：512,516==ED BE ,∴AE=AB=BE=10－516=534，∴176tan ==∠AE DE BAD .【考点】解直角三角形；【分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义求出AC 的长，然后根据勾股定理求出BC 的长即可.（2）过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E,在证明△BED ∽△BCA ，利用相似三角形的性质可求出BE 和ED,最后利用锐角三角函数的定义求出tan ∠BA D 的值.22．（8分）在锐角△ABC 中，AD 与CE 分别是边BC 与AB 的高，AB ＝12，BC ＝16，S △ABC ＝48， 求：（1）∠B 的度数； （2）tanC 的值.【答案】解：（1）∵S △ABC ＝ 12BC•AD ＝48,BC ＝16, ∴AD ＝6,在Rt △ABD 中,AB ＝12,∴BD ＝36,sinB ＝612 ＝ 12,∴∠B ＝30°（2）∵BC ＝16,BD ＝36 ,∴CD ＝16﹣36 ,在Rt △ACD 中,∵CD ＝16﹣36 ,AD ＝6,∴tanC ＝ 616−63 ＝ 24+9337 .【考点】三角形的面积，锐角三角函数的定义；【分析】（1）根据S △ABC ＝48以及BC ＝6,可求出AD 的长度,然后由勾股定理可求出BD 的长度,然后根据锐角三角函数的定义即可求出角B 的度数,（2）由于BC ＝16,BD ＝36, 从而可知CD 的长度,在Rt △ACD 中,根据AD 与CD 的长度比即可求出tanc 的值.23.（8分）如图，已知∠MON=25°，矩形ABCD 的边BC 在OM 上，对角线AC ⊥ON ．（1）求∠ACD度数；（2）当AC=5时，求AD的长．（参考数据：sin25°=0.42；cos25°=0.91；tan25°=0.47，结果精确到0.1）【答案】（1）解：延长AC交ON于点E，如图，∵AC⊥ON，∴∠OEC=90°，在Rt△OEC中，∵∠O=25°，∴∠OCE=65°，∴∠ACB=∠OCE=65°，∴∠ACD=90°﹣∠ACB=25°（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，AD=BC，，在Rt△ABC中，∵cos∠ACB= BCAC∴BC=AC•cos65°=5×0.42=2.1，∴AD=BC=2.1【考点】解直角三角形；【分析】（1）在矩形ABCD中可知∠DCB=90°，要求∠ACD度数，只需求出∠ACB的度数，延长AC交ON于点E，在Rt△OEC∠O=25°，AC⊥ON，可求出∠OCE=65°，再利用对顶角相等可求∠ACD度数。