1.1.1 集合及其表示方法2020年新人教B版高中数学必修1
答案
2．做一做 (1)下列所给的对象能组成集合的是( ) A．“金砖国家”成员国 B．接近 1 的数 C．著名的科学家 D．漂亮的鲜花 (2)用适当的符号(∈，∉)填空． 0________∅，0________{0},0________N， －2________N*，1________Z， 2________Q，
(a，＋∞)，(－∞，b]，(－∞，b) ．
可以看出，区间实质上是一类特殊数集(即由数轴某一段上所有点对应的 实数组成的集合)的符号表示；
例如，大于 1 且小于 10 的所有自然数组成的集合就不能用区间(1,10)表 示.
【新知拓展】 1．元素和集合关系的判断 (1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集 合中是否出现即可．此时应先明确集合是由哪些元素构成的． (2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，只要判断该元素是否满足集 合中元素所具有的特征即可．此时应先明确已知集合的元素具有什么特征， 即该集合中元素要满足哪些条件．
知识点二 元素与集合的关系
(1)“属于”：如果 a 是集合 A 的元素，就记作 □01 a∈A ，读作“a 属
于 A”．
(2)“不属于”：如果 a 不是集合 A 的元素，就记作 □02 a∉A ，读作“a
不属于 素的集合称为□01 空集 (empty set)，记作□02 ∅ .
3．使用列举法表示集合时需注意的几点 (1)元素之间用“，”隔开； (2)元素不重复，满足元素的互异性； (3)元素无顺序，满足元素的无序性； (4)对于含较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列 举法，但是必须把元素间的规律表述清楚后才能用省略号．
课堂自测 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)某校高一年级 16 岁以下的学生能构成集合．( ) (2)已知 A 是一个确定的集合，a 是任一元素，要么 a∈A，要么 a∉A，二 者必居其一且只居其一．( ) (3)对于数集 A＝{1,2，x2}，若 x∈A，则 x＝0.( ) (4)对于区间[2a，a＋1]，必有 a<0.( ) (5)集合{y|y＝x2，x∈R}与{s|s＝t2，t∈R}的元素完全相同．( )
STAR
1.1.1 集合及其表示方法
STAR
课程标准：1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.2. 针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.3. 在具体情境中，了解空集的含义.4.能正确使用区间表示一些数集．
教学重点：1.集合概念的正确理解.2.元素的三性(确定性、互异性、无序 性).3.元素与集合关系的判定.4.集合常用的两种表示方法(列举法、描述法).5. 区间的概念．
教学难点：1.对元素的确定性的理解.2.描述法表示集合.
核心概念掌握
【情境导学】(教师独具内容) 一位渔民非常喜欢数学，但他怎么也想不明白集合的意义．于是他请教 一位数学家：“先生，您能告诉我，集合是什么吗？” 由于集合是不定义的概念，数学家很难向那位渔民讲清楚．直到有一天， 数学家来到渔民的船上，看到渔民撒下渔网，然后轻轻一拉，许多鱼虾在网 中跳动．数学家非常激动，高兴地对渔民说：“这就是集合！” 你能理解这位数学家的话吗？
法)．
(1)列举法：把集合中的元素 □05 一一列举
出来(相邻元素之间用逗号
分隔)，并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．
(2)描述法：如果属于集合 A 的任意一个元素 x 都具有性质 p(x)，而不属于集
□ 合 A 的元素都不具有这个性质，则性质 p(x)称为集合 A 的一个 06 特征性质 ．此
3 π________R.
(3)不等式 2x－1≥3 的解集可以用区间表示为________．
答案 (1)A (2)∉ ∈ ∈ ∉ ∉ ∉ ∈ (3)[2，＋∞)
答案
核心素养形成
题型一 集合概念的理解 例 1 下列所给的对象能构成集合的是________． ①所有的正三角形； ②高一数学必修第一册课本上的所有难题； ③比较接近 1 的正数全体； ④某校高一年级的全体女生； ⑤平面直角坐标系内到原点的距离等于 1 的点的集合； ⑥参加 2019 年世乒赛的年轻运动员； ⑦a，b，a，c.
时，集合 A 可以用它的特征性质 p(x)表示为{x|p(x)}．这种表示集合的方法，称为 特征性质描述法，简称为描述法．
知识点八 区间
实数集 R 可以用区间表示为 □01 (－∞，＋∞) ，“∞”读作“无穷
大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”．我们可以
把满足 x≥a，x>a，x≤b，x<b 的实数 x 的集合分别表示为 □02 [a，＋∞)，
2．集合的三个特性 (1)描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的 “点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明． (2)整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义， 因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的总体． (3)广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可 以是人或物，甚至一个集合也可以是某集合的一个元素．
知识点四 集合中元素的三个特性 (1)确定性； (2)互异性； (3)无序性．
知识点五 集合的分类 (1)有限集； (2)无限集． 知识点六 几个常用数集的固定字母表示
知识点七 集合的表示方法
集合常见的表示方法有：□01 自然语言 、□02 列举法 、□03 描述法 、 □04 “区间” (以及后面将要学习的维恩图法和数轴表示法等直观表示方
【知识导学】 知识点一 集合与元素的定义 (1)集合：把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说由这些对象 组成一个集合(有时简称为集)． (2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素． (3)表示：通常用英文大写字母 A，B，C，…表示集合，用英文小写字母 a，b，c，…表示集合中的元素．
高中数学 第一章1.1 集合与集合的表示方法讲解与例题 新人教B版必修1
1.1 集合与集合的表示方法1．集合的概念(1)集合与元素的含义一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合(或集)，常用英语大写字母A，B，C，…来表示．构成集合的每个对象叫做这个集合的元素(或成员)，常用英语小写字母a，b，c，…来表示．示例：小于5的自然数组成的集合，可以记为集合B，它的元素是0,1,2,3,4.点技巧一组对象能否构成集合的判断技巧判断一组对象能否构成集合的关键是看是否有明确的判断标准，给定的对象是“确定无疑”的还是“模棱两可”的，如果是“确定无疑”的，就可构成集合；如果是“模棱两可”的，就不能构成集合．(2)元素与集合的关系元素与集合有属于(∈)和不属于(∉)两种关系．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a∉A，读作“a不属于A”．对于元素与集合的关系要从以下三个方面理解：①a∈A与a∉A取决于a是不是集合A的元素，对任何a与A，在a∈A与a∉A这两种情况中必有一种且只有一种成立；②集合的元素具有两方面的意义，即凡是符合条件的对象都是该集合的元素，只要是该集合的元素就符合条件；③“∈”与“∉”的开口方向是朝向集合的．谈重点对符号“∈”或“∉”的理解符号∈和∉只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，左右两边不能互换；a∈A或a∉A取决于a是否是集合A的元素，这两种情况有且只有一种成立．(3)空集不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.如：方程x2＋1＝0的实数解构成的集合，显然方程x2＋1＝0无实数解，故方程x2＋1＝0的实数解构成的集合为∅.元素的性质理解确定性给定的集合，它的元素必须是确定．．的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性．互异性一个给定集合中的元素是互不相同．．．．的，也就是说，集合中的元素是不能重复出现．．．．的．我们把这个性质称为集合元素的互异性．无序性集合中的元素是没有顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.【例1－1】下列每组对象能否构成一个集合？(1)所有很大的实数；(2)不超过20的非负数的全体；(3)方程x2－9＝0在实数范围内的所有解；(4)直角坐标平面内第一象限的点．分析：判断所给对象能否构成集合，只需看满足条件的对象是不是“确定”的，若是，则能构成集合，否则不能构成集合．解：(1)“所有很大的实数”无明确的标准，对于某个实数是否“很大”无法客观地判断，因此(1)中的对象不能构成集合．(2)任给一个实数x，可以明确地判断它是不是“不超过20的非负数”，故“不超过20的非负数的全体”能构成集合．(3)中满足条件的解能构成集合．(4)任给一个点，可以明确地判断它是不是第一象限的点，所以满足条件的点能构成一个集合．【例1－2】用符号∈或∉填空：(1)设集合A是正整数构成的集合，则0______A，2______A，(－1)0______A；(2)设集合B是小于11的所有实数构成的集合，则23______B，12+______B；(3)设集合C是满足x＝n2＋1(其中n为正整数)的实数x构成的集合，则3______C，5______C；(4)设集合D是满足方程y＝x2的有序实数对(x，y)构成的集合，则－1______D，(－1,1)______D.解析：(1)∵0不是正整数，∴0∉A.∵2是无理数，∴2∉A.∵(－1)0＝1是正整数，∴(－1)0∈A.(2)∵23=12>11，∴23∉B.∵(1＋2)2＝3＋22＜11，∴12<11+.∴1＋2∈B.(3)∵n是正整数，∴n2＋1≠3.∴3∉C.∵n＝2时，n2＋1＝5，∴5∈C.(4)由于集合D中的元素是有序实数对(x，y)，而－1是实数，不是有序实数对，∴－1∉D.∵(－1)2＝1，∴(－1,1)∈D.答案：(1)∉∉∈(2)∉∈(3)∉∈(4)∉∈【例1－3】由a，－a，|a|，2a构成的集合中，最多含有几个元素？分析：首先对a进行分类讨论，然后根据集合中元素的性质，判断集合中元素的个数．解：当a＝0时，四个数都为0，即该集合只含有一个元素．当a≠0时，含有两个元素a，－a.所以此集合最多含有两个元素．2．集合的分类集合可以根据它含有的元素个数的多少分为两类：有限集和无限集．(1)有限集：含有有限个元素的集合．如由方程3x＋1＝0的解的全体组成的集合，由2,4,6,8组成的集合，它们的元素个数是可数的，因此这两个集合是有限集．(2)无限集：含有无限个元素的集合．如“到平面上两个定点的距离相等的所有点”“所有的三角形”，组成上述集合的元素是不可数的，因此它们是无限集．一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作∅.【例2】下列各组对象能否构成集合，若能构成集合，则指出它们是有限集还是无限集：(1)中国的所有人口；(2)广东省2013年的所有应届高中毕业生；(3)数轴上到原点的距离小于1的所有点；(4)方程x2＝0的解的全体．解：(1)中国的所有人口能构成一个集合，它是有限集．(2)广东省2013年的所有应届高中毕业生能构成一个集合，它是有限集．(3)数轴上到原点的距离小于1的所有点能构成一个集合，它是无限集．(4)方程x2＝0的解是x＝0，它能构成一个集合，它是有限集．3数集含义记号自然数集非负整数．．．．全体构成的集合N正整数集自然数集内排除0的集合N＋或N*整数集整数．．全体构成的集合Z有理数集有理数．．．全体构成的集合Q实数集实数．．全体构成的集合R辨误区通常情况下，N，N＋，Z，Q，R不再表示其他的集合，否则会引起“混乱”的局面；虽然正整数集有两种字母表示：N＋或N*，但是本书中主要用N＋表示正整数集．【例3】用符号∈或∉填空：(1)3____N；3____Z；3____N＋；3____Q；3____R.(2)3.1____N；3.1____Z；3.1____N＋；3.1____Q；3.1____R.解析：观察空白处横线的两边，可看出本题是判断数与常用数集之间的关系，依据这些字母所表示集合的意义来判断．(1)3是自然数，也是整数，也是正整数，也是有理数，也是实数，所以有：3∈N；3∈Z；3∈N＋；3∈Q；3∈R.(2)3.1不是自然数，也不是整数，也不是正整数，是有理数，也是实数，所以有：3.1∉N；3.1∉Z；3.1∉N＋；3.1∈Q；3.1∈R.答案：(1)∈∈∈∈∈(2)∉∉∉∈∈4．集合的表示方法(1)列举法把集合中的所有元素都列举．．．．．．．出来，写在花括号．．．“{}”内表示这个集合，这种表示集合的方法叫做列举法．一般形式{a1，a2，a3，…，a n}示例中国古代四大发明组成的集合，用列举法表示为{火药，造纸术，活字印刷术，指南针}1．当集合的元素较少时，可以采用列举法表示；2．元素间用“，”分隔开；3．元素不能重复，不考虑顺序；4．集合元素个数较多或无限时(无限集)，一般不采用列举法，但如果构成集合的元素有明显的规律时，可以采用列举法，但必须把元素间的规律表示清楚后才能用省略号．【例4－1】用列举法表示下列集合：(1)小于7的所有正偶数组成的集合；(2)方程x2＝x的解集．分析：(1)中要明确小于7的所有正偶数都有哪些；(2)中要明确方程x2＝x的实数根是哪些．解：(1)设小于7的所有正偶数组成的集合为A，因为小于7的所有正偶数是2,4,6，所以A＝{2,4,6}．(2)设方程x2＝x的解集为B，解方程x2＝x，得x＝0，或x＝1，则B＝{0,1}．【例4－2】一元二次方程ax2＋5x＋c＝0的解集用列举法表示为11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则a＝________，c＝________.解析：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是11,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，那么11,23是方程的根，则115=,2311=,23aca⎧+-⎪⎪⎨⎪⨯⎪⎩解得=6, = 1. ac-⎧⎨-⎩答案：－6 －1(1)先确定该集合中元素的一般符号；(2)写清楚元素的特征性质；(3)不能出现未被说明的字母；(4)多个特征性质之间的关系正确使用“且”“或”；(5)元素的特征性质尽量用数学符号表示；(6)在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分．如：{直角三角形}等．【例4－3】用描述法表示下列集合：(1)所有的偶数构成的集合；(2)不等式2x－4＞0的解集．解：(1)偶数是能被2整除的数，即2的倍数，所以所有偶数构成的集合用描述法表示为{x|x＝2n，n∈Z}．(2)设不等式2x－4＞0的解集为A，x为集合A中元素的代表符号，其满足的特征性质是2x－4＞0，则A＝{x|2x－4＞0}；解不等式2x－4＞0，得x＞2，则也可以表示为A＝{x|x ＞2}．【例4－4】分别用列举法和描述法表示下列集合：(1)方程x2－x－2＝0的解集；(2)大于－1且小于7的所有整数组成的集合．解：(1)方程x2－x－2＝0的根可以用x表示，它满足的条件是x2－x－2＝0，因此，用描述法表示为{x∈R|x2－x－2＝0}；方程x2－x－2＝0的根是－1,2，因此，用列举法表示为{－1,2}．(2)大于－1且小于7的整数可以用x表示，它满足的条件是x∈Z且－1＜x＜7.因此，用描述法表示为{x∈Z|－1＜x＜7}；大于－1且小于7的整数有0,1,2,3,4,5,6，因此，用列举法表示为{0,1,2,3,4,5,6}．5．集合中元素的性质及应用(1)集合元素的确定性是指给定一个集合，集合中的元素就确定了，即给定一个集合，任一对象要么在这个集合中，要么不在这个集合中，二者必居其一．一组对象的全体能否构成一个集合，需看这组对象是否具有确定无疑的具体特征(或标准)．(2)集合元素的互异性是指集合中的元素互不相同，也就是说集合中的元素是不能重复出现的，相同的元素在一个集合中只能算作一个元素．特别是集合中含有字母参数时，求出参数后一定要检验它是否满足元素的互异性．例如：方程x 2＝0的两个根x 1＝x 2＝0，而方程x 2＝0的根构成的集合可表示为{0}，而不能表示为{0,0}．示例：若a ，b ，c 为集合S 中的三个元素，并且它们也是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D【例5－1】下列说法正确的是( )A ．数学成绩较好的同学可以构成一个集合B ．所有绝对值接近于零的数构成一个集合C ．集合{1,2,3}与集合{3,2,1}表示同一个集合D ．1,0.5，12，23，46组成一个含有5个元素的集合 解析：“成绩较好”标准不明确，不符合元素的确定性，即A 不正确；“绝对值接近于零的数”标准不明确，不能构成集合，即B 不正确；集合{1,2,3}与{3,2,1}元素相同，即表示同一个集合；1,0.5，12，23，46组成一个含有3个元素的集合，且为121,,23⎧⎫⎨⎬⎩⎭，即D 不正确．答案：C【例5－2】数集{2，x ，x 2－x }中的元素x 应满足的条件是__________．解析：由元素的互异性可知，x ≠2，且x 2－x ≠2，x 2－x ≠x ，即222,2,,x x x x x x ≠⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩解得x ≠2，且x ≠－1，且x ≠0.答案：x ≠2，且x ≠－1，且x ≠06．元素与集合的关系及应用元素与集合的关系仅有两种：属于和不属于．对于常见的数集符号应熟练掌握，∅是不含任何元素的集合，这些集合是今后学习集合的工具，必须牢记．用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系．例如，集合A＝{1,9,12}，则0∉A，9∈A.用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？……，其次要清楚元素的特征性质是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．描述法表示的集合形式为：{x|x∈P(x)}，其中P(x)为该集合元素的特征性质．例如，集合B＝{x|x＝3n－1，n∈Z}，则该集合元素的一般符号是x，其特征性质是x ＝3n－1，n∈Z，即集合B中的元素是整数，并且这个整数等于3的整数倍减去1，因此判断某个元素与集合B的关系时，只需判断所给的元素是否等于3的整数倍减去1即可．【例6－1】已知集合A＝{x|x＝2m＋n，m，n∈Z}，若x1∈A，x2∈A，试判断x1x2与集合A的关系．分析：由于x1，x2是集合A中的元素，根据集合A中的元素特征分别设出x1，x2，整理x1x2后判断是否满足集合A中元素的特征：2的整数倍与一个整数的和的形式．解：∵x1∈A，x2∈A，∴设x1＝2m1＋n1，m1，n1∈Z，x2＝2m2＋n2，m2，n2∈Z，∴x1x2＝(2m1＋n1)(2m2＋n2)＝2m1m2＋2m1n2＋2m2n1＋n1n2＝2(m1n2＋m2n1)＋(2m1m2＋n1n2)．∵m1，n1∈Z，m2，n2∈Z，∴(m1n2＋m2n1)∈Z，(2m1m2＋n1n2)∈Z.∴x1x2∈A.【例6－2】若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，求实数a的值．分析：由于－3∈A，故应分a－3＝－3,2a－1＝－3，a2－4＝－3三种情况讨论，求出a值后，应验证是否满足集合中元素的互异性．解：若a－3＝－3，则a＝0，此时A＝{－3，－1，－4}，满足题意；若2a－1＝－3，则a＝－1，此时A＝{－4，－3，－3}，不满足元素的互异性；若a2－4＝－3，即a＝±1.当a＝1时A＝{－2,1，－3}满足题意，当a＝－1时，不合题意．综上可知：a＝0或a＝1.7．集合的表示方法及应用(1)用列举法表示集合时，只需把它的元素一一列举出来即可，不必考虑元素间的顺序．要注意，并不是所有集合都可以采用列举法表示．(2)用列举法表示集合时，要注意将自然语言与集合语言描述的集合中的元素一一确定出来，又要善于把列举法表示的集合用自然语言表述出来．如方程x2＝1组成的集合是{－1,1}，而该集合可描述为x2＝1的解集，或平方为1的数等．(3)使用描述法时，需注意以下几点：①写清楚该集合的代表元素(字母或用字母表示的元素符号)；②说明该集合中元素的特征性质；③所有描述的内容都要写在集合符号内；④用于描述的语句要求简明准确；⑤当用文字语言来描述集合中元素的特征性质时，分隔号及前面的部分常常省去，如“所有四边形组成的集合”记为{x|x是四边形}．在不致混淆的情况下，可以省去“|”及其左边的部分，直接写成{四边形}．“所有四边形构成的集合”不能写成{所有四边形}，因为花括号本身就有全部的意思，故用文字描述集合时，应去掉含有“整体”“全部”等意义的词．【例7－1】用适当的方法表示下列对象构成的集合：(1)绝对值不大于2的所有整数；(2)方程组=1,=1x yx y+⎧⎨--⎩的解；(3)函数1=yx图象上的所有点．解：(1)由于|x|≤2且x∈Z，所以x值为：－2，－1,0,1,2.所以绝对值不大于2的所有整数组成的集合为{－2，－1,0,1,2}．另外，用描述法可表示为{x∈Z||x|≤2}．(2)解方程组=1,=1,x yx y+⎧⎨--⎩得=0,=1.xy⎧⎨⎩所以用列举法表示方程组=1,=1x yx y+⎧⎨--⎩的解集为{(0,1)}．(3)函数1=yx图象上的点可以用有序实数对(x，y)表示，其满足的条件是1=yx，所以用描述法表示为1 (,)=x y yx⎧⎫⎨⎬⎩⎭.【例7－2】设集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A，B和C的关系．分析：判断a＋b与集合A，B，C的关系，就是看a＋b能否写成集合A，B，C中元素x 所具有的形式．解：因为A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，所以集合A由偶数构成，集合B由奇数构成，即a是偶数，b是奇数．设a＝2m，b＝2n＋1(m∈Z，n∈Z)，则a＋b＝2(m＋n)＋1是奇数，所以a＋b∉A，a＋b∈B.又C＝{x|x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1，故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋b∉C.8．方程、不等式等知识与集合交汇问题的处理集合语言是表述数学问题的重要语言，以集合为载体的方程、不等式等问题是本节的常见问题之一，解决此类问题应注意：(1)首先是准确理解集合中的元素，明确元素的特征性质，如果不理解集合中的元素，那么就会出现思维受阻的现象，感到无从下手．例如，集合A＝{x|ax－1＜0}的元素是关于x 的不等式ax －1＜0的解，当a ＝0时，这个不等式化为－1＜0，此时不等式的解集为实数集R ，当a ≠0时，这个不等式是关于x 的一元一次不等式．如果忽视a ＝0，那么就会导致出现错解．(2)解题时还应注意方程、不等式等知识以及转化、分类讨论思想的综合应用．【例8】已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }．(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值并把这个元素写出来．分析：集合A 中的元素是方程ax 2－3x ＋2＝0(a ∈R )的根，故可考虑转化为方程根的个数问题．当a ≠0时，可利用一元二次方程根的判别式建立关于a 的不等式来求解．解：(1)若A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无解，且a ≠0，所以有Δ＝9－8a ＜0，即98a >. (2)若A 中只有一个元素，有两种情况： 当a ＝0时，方程为－3x ＋2＝0，即2=3x . 当a ≠0时，方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根，所以有Δ＝9－8a ＝0，即9=8a ，可解得4=3x . 所以有当a ＝0或9=8a 时，A 中只有一个元素为23或43. 9．关于集合的信息题(1)这类问题主要以集合的表示方法或集合与元素的关系为背景，常常是给出新的定义，依据新背景或新定义，借助于集合的含义与表示和元素与集合的关系来解决问题．(2)解决这类问题时，要紧扣所给的新背景或新定义．其所用到的集合知识往往是比较基础的，主要是集合的含义和表示方法、集合的性质、元素与集合的关系等．例如，新定义：如果集合A 满足：对任意x ，y ∈A ，总有x ＋y ∈A ，那么就称集合A 对加法是封闭的．怎样理解“封闭的”呢？用文字语言叙述“封闭的”是指：如果一个集合中的任意两个元素的和仍然属于这个集合，那么这个集合对加法是封闭的．这样我们可以通过文字语言来叙述新定义，达到了理解新定义的目的，由此看来，符号语言和文字语言的相互转化是理解新定义的有效途径和方法．再例如：若x ∈A ，则1x∈A ，就称集合A 是具有伙伴关系的集合，则{0}，{2,4}，{1,3}均不是具有伙伴关系的集合，集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，1，2具有伙伴关系． 【例9－1】定义集合运算A e B ＝{z |z ＝xy (x ＋y )，x ∈A ，y ∈B }，设集合A ＝{0,1}，B ＝{2,3}，则集合A e B 的所有元素之和为( )A ．0B ．6C ．12D ．18解析：根据A e B 的定义，当x ＝0时，z ＝0.当x ＝1，且y ＝2时，z ＝6；当x ＝1且y ＝3时，z ＝12.所以0＋6＋12＝18.答案：D【例9－2】设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域．有下列命题： ①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若M ＝{x |x ∈Q 或=2x ，则M 为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是__________．(把你认为正确的命题的序号都填上) 解析：①中，当a ＝b ≠0时，则a －b ＝0∈P ，=1a b ∈P ，所以①正确； ②中，当a ＝1，b ＝2时，1=2a b ∉Z ，所以②不正确； ③中，当a ＝1，=2b 222∉M ，所以③不正确； ④中，a ＋a ＝2a ∈P,2a ＋a ＝3a ∈P ，…，na ∈P (n ∈N ＋)，所以④正确． 答案：①④。
数学：1.1《集合与集合的表示方法课件(新人教b必修1)
五、数集的介绍和集合与元素的关系表示 1、常见数集的表示 N：自然数集（含0）即非负整数集
N+或N*：正整数集（不含0)
Z:
整数集
Q：
有理数集
R：
实数集
2、集合与元素的关系（属于∈或不属于∈）
若一个元素m在集合A中，则说m∈A, 读作“元素m属于集合A” 否则，称为mA,读作“元素m不属于集合A。 例如：1 ∈ N，-5∈Z, Q
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}
或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
讨论：以上每题中的两个集合之间是什么关系？
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等
例2、若以方程x2-5x+6=0和方程x2-x2=0的解作为元素构成集合A，请用最 简形式写出集合A
答：A={3，2，-1} 例3、求不等式x-3>2的解集。
例3、求方程x2+1=0的所有实数解的集合。 解：方程x2+1=0没有实数解，所以
{x|x2+1=0，x∈R}=。 练习：P.7.第3题。
思考：直线y=x上的点集如何表示？ 解：A={(x,y) | y=x }
八、课堂小结：
1、集合的概念：一定范围内某些特定 的、不同的对象的全体构成一个集合； 2、集合的表示:列举法和描述法；
集合与集合的表示方法
一、请回忆
我们常常做这样的题目：
1、将下列数字填入相应的集合： 自然数集合
1.1, 3 , 5,0, , 2, 3.14, 7.
4
有理数集合
2、不等式的解集（解的集合）
3、圆的定义：平面内到定点的距离等于定长 的点的集合
请关注我们的生活，会发现：
1.高一（6）班的全体学生 2.中国的直辖市 3. 2，4，6，8，10，12，14 4.我国古代的四大发明 5.2004年雅典奥运会的比赛项目
2020学年高中数学1.1.1集合的概念5教案新人教B版必修1
1.1.1 集合的概念教学目标：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及其记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念教学过程：1．引入（1）章头导言（2）集合论与集合论的创始者康托尔（有关介绍可引用附录中的内容）2．讲授新课阅读教材，并思考下列问题：（1）有那些概念？（2）有那些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类?（一）有关概念:1、集合的概念（1）对象：我们可以感觉到的客观存在以及我们思想中的事物或抽象符号，都可以称作对象.（2）集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.（3）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、...2、元素与集合的关系（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A,记作a€ A（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A,记作a A要注意的方向，不能把a€ A颠倒过来写.3 、集合中元素的特性（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4、集合分类根据集合所含元素个属不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集①（ 2 ）含有有限个元素的集合叫做有限集（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集注：应区分，{ } ，{0} ，0等符号的含义5、常用数集及其表示方法(1)非负整数集(自然数集) ：全体非负整数的集合. 记作N(2)正整数集：非负整数集内排除0的集.记作N*或N+(3)整数集：全体整数的集合. 记作Z(4)有理数集：全体有理数的集合. 记作Q(5)实数集：全体实数的集合. 记作R注：( 1)自然数集包括数0.(2)非负整数集内排除0的集•记作N或N+, Q Z、R等其它数集内排除0的集，也这样表示，例如，整数集内排除0 的集，表示成Z*课堂练习：教材第5页练习A、B小结：本节课我们了解集合论的发展，学习了集合的概念及有关性质课后作业：第十页习题1-1B 第3 题附录：集合论的诞生韩雪涛集合论是德国著名数学家康托尔于19 世纪末创立的• 十七世纪数学中出现了一门新的分支：微积分• 在之后的一二百年中这一崭新学科获得了飞速发展并结出了丰硕成果• 其推进速度之快使人来不及检查和巩固它的理论基础•十九世纪初，许多迫切问题得到解决后，出现了一场重建数学基础的运动• 正是在这场运动中，康托尔开始探讨了前人从未碰过的实数点集，这是集合论研究的开端•到1874年康托尔开始一般地提出“集合”的概念•他对集合所下的定义是：把若干确定的有区别的(不论是具体的或抽象的)事物合并起来，看作一个整体，就称为一个集合，其中各事物称为该集合的元素•人们把康托尔于1873年12月7日给戴德金的信中最早提出集合论思想的那一天定为集合论诞生日•康托尔的不朽功绩前苏联数学家柯尔莫戈洛夫评价康托尔的工作时说：“康托尔的不朽功绩在于他向无穷的冒险迈进” • 因而只有当我们了解了康托尔在对无穷的研究中究竟做出了些什么结论后才会真正明白他工作的价值之所在和众多反对之声之由来•数学与无穷有着不解之缘，但在研究无穷的道路上却布满了陷阱• 因为这一原因，在数学发展的历程中，数学家们始终以一种怀疑的眼光看待无穷，并尽可能回避这一概念• 但试图把握无限的康托尔却勇敢地踏上了这条充满陷阱的不归路• 他把无穷集这一词汇引入数学，从而进入了一片未开垦的处女地，开辟出一个奇妙无比的新世界• 对无穷集的研究使他打开了“无限”这一数学上的潘多拉盒子• 下面就让我们来看一下盒子打开后他释放出的是什么•“我们把全体自然数组成的集合简称作自然数集，用字母N来表示• ”学过集合那一章后，同学们应该对这句话不会感到陌生• 但同学们在接受这句话时根本无法想到当年康托尔如此做时是在进行一项更新无穷观念的工作• 在此以前数学家们只是把无限看作永远在延伸着的，一种变化着成长着的东西来解释• 无限永远处在构造中，永远完成不了，是潜在的，而不是实在•这种关于无穷的观念在数学上被称为潜无限•十八世纪数学王子高斯就持这种观点•用他的话说，就是“……我反对将无穷量作为一个实体，这在数学中是从来不允许的•所谓无穷，只是一种说话的方式……”而当康托尔把全体自然数看作一个集合时，他是把无限的整体作为了一个构造完成了的东西，这样他就肯定了作为完成整体的无穷，这种观念在数学上称为实无限思想•由于潜无限思想在微积分的基础重建中已经获得了全面胜利，康托尔的实无限思想在当时遭到一些数学家的批评与攻击是无足为怪的•然而康托尔并未就此止步，他以完全前所未有的方式，继续正面探讨无穷•他在实无限观念基础上进一步得出一系列结论，创立了令人振奋的、意义十分深远的理论•这一理论使人们真正进入了一个难以捉摸的奇特的无限世界•最能显示出他独创性的是他对无穷集元素个数问题的研究•他提出用一一对应准则来比较无穷集元素的个数•他把元素间能建立一一对应的集合称为个数相同，用他自己的概念是等势•由于一个无穷集可以与它的真子集建立一一对应一一例如同学们很容易发现自然数集与正偶数集之间存在着一一对应关系一一也就是说无穷集可以与它的真子集等势，即具有相同的个数.这与传统观念"全体大于部分”相矛盾.而康托尔认为这恰恰是无穷集的特征.在此意义上，自然数集与正偶数集具有了相同的个数，他将其称为可数集.又可容易地证明有理数集与自然数集等势，因而有理数集也是可数集.后来当他又证明了代数数［注］集合也是可数集时，一个很自然的想法是无穷集是清一色的，都是可数集.但出乎意料的是，他在1873年证明了实数集的势大于自然数集.这不但意味着无理数远远多于有理数，而且显然庞大的代数数与超越数相比而言也只成了沧海一粟，如同有人描述的那样：“点缀在平面上的代数数犹如夜空中的繁星；而沉沉的夜空则由超越数构成.”而当他得出这一结论时，人们所能找到的超越数尚仅有一两个而已.这是何等令人震惊的结果！然而，事情并未终结.魔盒一经打开就无法再合上，盒中所释放出的也不再限于可数集这一个无穷数的怪物.从上述结论中康托尔意识到无穷集之间存在着差别，有着不同的数量级，可分为不同的层次.他所要做的下一步工作是证明在所有的无穷集之间还存在着无穷多个层次.他取得了成功，并且根据无穷性有无穷种的学说，对各种不同的无穷大建立了一个完整的序列，他称为“超限数”.他用希伯莱字母表中第一个字母“阿列夫”来表示超限数的精灵，最终他建立了关于无限的所谓阿列夫谱系&比K3怡…它可以无限延长下去.就这样他创造了一种新的超限数理论，描绘出一幅无限王国的完整图景可以想见这种至今让我们还感到有些异想天开的结论在当时会如何震动数学家们的心灵了. 毫不夸张地讲，康托尔的关于无穷的这些理论，引起了反对派的不绝于耳的喧嚣.他们大叫大喊地反对他的理论.有人嘲笑集合论是一种“疾病”，有人嘲讽超限数是“雾中之雾”，称“康托尔走进了超限数的地狱”.作为对传统观念的一次大革新，由于他开创了一片全新的领域，提出又回答了前人不曾想到的问题，他的理论受到激烈地批驳是正常的.当回头看这段历史时，或许我们可以把对他的反对看作是对他真正具有独创性成果的一种褒扬吧.公理化集合论的建立集合论提出伊始，曾遭到许多数学家的激烈反对，康托尔本人一度成为这一激烈论争的牺牲品. 在猛烈的攻击下与过度的用脑思考中，他得了精神分裂症，几次陷于精神崩溃. 然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认. 到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了. 他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦. 在1900 年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了•今天，我们可以说绝对的严格已经达到了. ”然而这种自得的情绪并没能持续多久. 不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界.这就是1902年罗素得出的罗素悖论.罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R.现在问R是否属于R?如果R属于R,则R满足R的定义，因此R 不应属于自身，即R不属于R;另一方面，如果R不属于R,贝U R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R.这样，不论何种情况都存在着矛盾•这一仅涉及集合与属于两个最基本概念的悖论如此简单明了以致根本留不下为集合论漏洞辩解的余地. 绝对严密的数学陷入了自相矛盾之中.这就是数学史上的第三次数学危机.危机产生后，众多数学家投入到解决危机的工作中去.1908 年，策梅罗提出公理化集合论，后经改进形成无矛盾的集合论公理系统，简称ZF 公理系统. 原本直观的集合概念被建立在严格的公理基础之上，从而避免了悖论的出现. 这就是集合论发展的第二个阶段：公理化集合论. 与此相对应，在1908 年以前由康托尔创立的集合论被称为朴素集合论. 公理化集合论是对朴素集合论的严格处理. 它保留了朴素集合论的有价值的成果并消除了其可能存在的悖论，因而较圆满地解决了第三次数学危机.公理化集合论的建立，标志着著名数学家希耳伯特所表述的一种激情的胜利，他大声疾呼：没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中赶出去. 从康托尔提出集合论至今，时间已经过去了一百多年，在这一段时间里，数学又发生了极其巨大的变化，包括对上述经典集合论作出进一步发展的模糊集合论的出现等等. 而这一切都是与康托尔的开拓性工作分不开的. 因而当现在回头去看康托尔的贡献时，我们仍然可以引用当时著名数学家对他的集合论的评价作为我们的总结.它是对无限最深刻的洞察，它是数学天才的最优秀作品，是人类纯智力活动的最高成就之一. 超限算术是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一.这个成就可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作.康托尔的无穷集合论是过去两千五百年中对数学的最令人不安的独创性贡献之一.注：整系数一元n 次方程的根，叫代数数. 如一切有理数是代数数. 大量无理数也是代数数. 如根号 2. 因为它是方程x2-2=0 的根. 实数中不是代数数的数称为超越数. 相比之下，超越数很难得到•第一个超越数是刘维尔于1844年给出的.关于n是超越数的证明在康托尔的研究后十年才问世.。
人教B版高中数学必修一《第一章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念》_24
课题：§1.1 集合教材分析：集合概念及其基本理论，称为集合论，是近、现代数学的一个重要的基础，一方面，许多重要的数学分支，都建立在集合理论的基础上。
另一方面，集合论及其所反映的数学思想，在越来越广泛的领域种得到应用。
课型：新授课教学目标：（1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的理解集合“属于”关系；（2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；教学重点：集合的基本概念与表示方法；教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合；教学过程：一、引入课题军训前学校通知：8月15日8点，高一年段在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合（宣布课题），即是一些研究对象的总体。
阅读课本P2-P3内容二、新课教学（一）集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
2.一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
3.思考1：课本的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。
4.关于集合的元素的特征（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样5.元素与集合的关系；（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a A（或a A）（举例）6.常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N正整数集，记作N*或N+；整数集，记作Z有理数集，记作Q实数集，记作R（二）集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
2020-2021高中数人教 B必修第一册一课一练：1.1.1集合及其表示方法 Word含解析
新20版练B1数学人B 版1.1.1集合及其表示方法第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合1.1.1 集合及其表示方法考点1元素与集合的概念1.(2019·江西临川一中高一期中)下列所给对象不能组成集合的是( )。
A.一个平面内的所有点B.所有小于零的实数C.某校高一(1)班的高个子学生D.某一天到某商场买过货物的顾客★答案★：C 解析：A.“一个平面内的所有点”的标准确定,能组成集合;B.“所有小于零的实数”的标准确定,能组成集合;C.“某校高一(1)班的高个子学生”的标准不确定,因而不能组成集合;D.“某一天到某商场买过货物的顾客”的标准确定,能组成集合。
2.(2019·北京通州区高一期中)把“notebooks ”中的字母组成一个集合,则该集合中的元素个数是( )。
A.5B.6C.7D.8★答案★：C3.已知集合S ={a ,b ,c }中的三个元素是△ABC 的三边长,那么△ABC 一定不是( )。
A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰三角形★答案★：D4.(2019·丹东东港二中检测)已知集合A ={2,-1},集合B ={m 2-m ,-1},且A =B ,则实数m 等于( )。
A.2B.-1C.2或-1D.4★答案★：C5.由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有( )。
A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素★答案★：A解析： ∵√x 2=|x |,-√x 33=-x ,|x |=±x ,∴由实数x ,-x ,|x |,√x 2,-√x 33所组成的集合中最多含有2个元素。
故选A 。
【易错点拨】集合中的元素必须是互异的,求解出集合中的参数,必须代入集合中一一检验元素的互异性。
考点2元素与集合的关系6.(2019·山东德州高一(上)期中)已知方程x 2-16=0的解是集合A 中的元素,则下列关系不正确的是( )。
人教B版高中数学必修一《第一章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念》_6
1.1.1 集合的概念学习目标（1）通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的关系（2）理解集合的特性（3）掌握常用数集及其专用符号(4)能用集合的语言表示一些简单的集合学习重点：集合概念的形成学习难点：理解集合的元素的性质1、元素与集合的概念：各种各样的事物或一些抽象的符号，都可以看作对象。
一般地，把一些________________________ 看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的，集合中的每个对象叫做这个集合的___ 2、集合与元素的表示方法：（1）集合通常用大写的英文字母表示，如A、B、C、P、Q……（2）元素通常用小写的英文字母表示，如a、b、c、p、q……3、元素与集合的关系：（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a___ A，记作a___A。
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a____ A，记作a____ A。
4、空集：一般地，我们把_______________的集合叫做空集，记作________。
注意： 与{0}、0的区别与联系。
5、集合中元素的特性（1）确定性: ______________________________（2）互异性: ______________________________（3）无序性：______________________________6、集合的分类集合可以根据它含有的元素的个数分为两类：有限集：______________________________。
无限集：______________________________。
7、常用数集及表示符号自然数集：________________________, 记作_______。
正整数集：________________________，记作_______。
整数集：__________________________，记作_______。
有理数集：________________________, 记作________。
人教B版高中数学必修一《第一章 集合 1.1 集合与集合的表示方法 1.1.1 集合的概念》_14
1.1.1集合的概念【三维目标】1.通过实例了解集合及空集的概念，体会元素与集合的“属于”关系，树立用集合语言表示数学内容的意识.2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性，掌握常用数集及其专用符号，并能够用其解决有关问题，提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的应用意识.【教学目标】1.理解集合的概念，知道常用数集的概念及其计法；2.掌握集合中元素的三个特性；3.会用符号表示元素与集合之间的关系；4.理解常用数集符号表示的意义.【教学重点】集合的基本概念【教学难点】理解空集的概念【教学过程】一、引入新课问题1：军训前接到通知：8月23号早上8点，高一新生到操场集合，试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？集合是我们常用的一个词语，问题中某些特定对象的总体（是高一新生），而不是个别的对象，我们将学习一个新的概念，也即是集合.问题2：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗？引导学生回忆、举例，教师给予评价，教师问题：那么，集合的含义是什么呢？这就是我们这一节课要学习的内容.二、新课探究阅读上面问题1和教材，思考下列问题：（1）有哪些概念？（2）有哪些符号？（3）集合中元素的特性是什么？（4）如何给集合分类？1.集合的概念集合：把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合.元素:集合中每个对象叫做这个集合的元素.集合常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……元素通常用小写字母的拉丁字母表示，如a、b、c、…….2.元素和集合的关系学生活动：如果用A表示高一(1)班全体学生组成的集合，用a表示高一(1)班的一位同学，b是高一(2)班的一位同学，那么a，b与集合A分别有什么关系?(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A, 读作a属于A.(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a ∈A 读作“a不属于A”注意: “∈” 的方向，不能把a ∈A的颠倒过来写.3.集合中元素的特性问题：（1）某班所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？（2）1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的集合有5个元素；这种说法正确吗？（3）高一（1）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？由此说明什么？同学们进行分组讨论，代表发言得出以下结论：（1）确定性：给定一个集合，任何对象是不是这个集合的元素是确定的了.（2）互异性：集合中的元素一定是不同的.（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.4.集合分类根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类：（1）把不含任何元素的集合叫做空集.（2）含有有限个元素的集合叫做有限集.（3）含有无穷个元素的集合叫做无限集.5.常用数集及其表示方法思考与讨论：(1)你能否确定，你所在班级中，高个子同学构成的集合？并说明理由.(2)你能否确定，你所在班级中，最高的3位同学构成的集合？三、当堂检测1.下列语句是否能确定一个集合？（1）你所在的班级中，体重超过70kg的学生的全体；（2）大于5的自然数的全体；（3）某校高一（1）班性格开朗的女生全体；（4）质数的全体；（5）英语字母的全体；（6）小于99，且个位与十位上的数字之和是9的所有自然数.2.下列各组对象不能组成集合的是（）A.大于6的所有整数B. 高中数学的所有难题.C.被3除余2的所有整数.D. 函数y=2x图像上所有的点活动：学生先思考、讨论集合元素的性质，教师指导学生解此类选择题要逐项判断，判断一组对象能否构成集合，关键是看它是否满足集合元素的确定性.点评;本题主要考查集合的含义和元素的性质四、当堂小结1.本节课学习了集合的概念；2.集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性.3.元素与集合间的关系.4.数集及其符号表示.五、作业布置必做题：课时练对应习题选做题：课时练中变式训练六、板书1.1.1集合的概念一、集合的概念四、例题二、集合中元素的特性五、小结三、集合的分类六、作业。
2020-2021学年高中数学人教B版必修第一册：1.1.1 第1课时 集合的概念
解析：①能组成集合．其中的元素需满足三条边相等．②不能组成 集合．因为“难题”的标准是模糊的，不确定的，故不能组成集合．③ 不能组成集合．因为“比较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故 不能组成集合．④能组成集合．其中的元素是“该校高一年级16岁以下 的学生”．
2．下列元素与集合的关系判断正确的是__①__④___(填序号)． ①0∈N；②π∈Q；③ 2∈Q；④－1∈Z；⑤ 2∉R.
定 方 向
基础上，用符号语言刻 3．注意“互异性”在集合表示及问题解
画集合．
决中的应用．
3．在具体情景中，了 4．要注意运用抽象的集合语言表达和交
解空集的含义．
流问题，提升数学抽象核心素养.
·
第1课时 集合的概念
必备知识·探新知 关键能力·攻重难 课堂检测·固双基 素养作业·提技能
必备知识·探新知
2．元素与集合的关系
关系 a是集合A的元素 a不是集合A的元素
记法 _a_∈__A___ __a_∉_A___
读法 a属于集合A a不属于集合A
思考2：元素与集合之间有第三种关系吗？
提示：对于一个元素a与一个集合A而言，只有“a∈A”与“a∉A”这 两种关系．
3．空集
定义 表示方法
不含任何元素的集合称为空集 记作___∅__
解析：∵2∈A，∴2＝a－1或2＝2a. 若2＝a－1，则a＝3.此时集合A中含有两个元素2,6，符合题意； 若2＝2a，则a＝1，此时集合A中含有两个元素0,2，符合题意． 综上所述，实数a的值为3或1.
关键能力·攻重难
类型 一
典例剖析
集合的相关概念
典例 1 判断下列各组对象能否构成一个集合： (1)2019年10月召开的本校秋季运动会所有的男队员； (2)方程x2－1＝0的所有实根； (3) 2的近似值的全体； (4)大于 0 的所有整数． 思路探究：根据集合元素的确定性来判断．
《集合及其表示方法》示范课教学设计(2)【人教B版必修第一册】
第一章集合与常用逻辑用语1.1.1集合及其表示方法第2课时1.掌握用列举法和描述法表示集合；2.能够用区间表示集合．3.在理解集合表示方法的过程中，列举法的理解，以及区间可以用数轴形象地表示，提高学生分析问题和解决问题的能力，提升学生的直观想象素养；对描述法的理解，提升学生的数学抽象素养．对给出的集合进行化简运算后用区间表示，提升学生的数学运算素养．教学重点：集合的表示、区间．教学难点：对集合的特征性质的理解及运用特征性质描述法来表示集合．【新课导入】前面提到的集合都是用自然语言描述的，但在数学中，我们经常要使用符号来表示集合．设计意图：承上启下，自然过渡到本节课的内容．【探究新知】知识点1列举法问题1：（1）由两个元素0，1组成的集合如何用符号语言表示？（2）24的所有正因数1，2，3，4，6，8，12，24组成的集合如何用符号语言表示？（3）中国古典长篇小说四大名著组成的集合如何用符号语言表示？师生活动：阅读教科书第5页，给出列举法的定义：把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号要隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法．根据列举法的定义，学生回答，教师分析指导．本图片为微课截图，本视频资源主要讲解列举法的定义，加深学生对于知识的理解和掌握．若需使用，请插入微课【知识点解析】列举法的定义.预设的答案：（1）{0，1}；（2）{1，2，3，4，6，8，12，24}；（3）{《红楼梦》，《三国演义》，《水浒传》，《西游记》｝.设计意图：从学生熟悉的具体实例出发，说明可用列举法表示一类集合.追问1：用列举法表示集合时，要考虑元素的顺序吗？（一般不考虑元素的顺序）追问2：如何用列举法表示：“不大于100的自然数组成的集合”？（{0，1，2，3，...，100}）教师点评：{1，2}与{2，1}表示同一个集合．但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不致于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为{0，1，2，3，...，100}.追问3：是不是只有有限集才可以用列举法表示呢？（不是）教师点评：无限集有时也可用列举法表示.例如，自然数集N可表示为{0，1，2，3，...，n，...} . 追问4：{a}与a相同吗？（不同）教师点评：{a}是只含一个元素的集合，这一个元素是a，要将{a}与它的元素a加以区别，事实上，a∈{a}.知识点2 描述法问题2：以下集合用列举法表示方便吗？如果不万便，你觉得可以怎样表示？ （1）满足x >3的所有数组成的集合A ； （2）所有有理数组成的集合Q .本图片为微课截图，本微课资源主要讲解描述法的概念及用描述法表示集合的方法，加深学生对于知识的理解和掌握．．若需使用，请插入微课【知识点解析】认识描述法.师生活动：与学生一起探讨：显然，用列举法表示上述集合并不方便，但因为集合A 中的元素x 都具有性质“x 是大于3的数”，而不属于集合A 的元素都不具有这个性质，因此可以把集合A 表示为{x |x 是大于3的数}或{x |x >3），即A ={x |x 是大于3的数}或A ={x |x >3}.类似地，Q 中的每一个元素都具有性质“是两个整数的商”，而不属于Q 的元素都不具有这个性质，因此可以把Q 表示为Q ={x |x 是两个整数的商}或{|,,,0}mQ x x n Z m Z n n==∈∈≠. 教师总结：上述表示集合的方法中，大括号内竖线的左边是元素的形式，竖线的右边是只有这个集合中的元素才满足的性质.一般地，如果属于集合A 的任意一个元素x 都具有性质p （x ），而不属于集合A 的元素都不具有这个性质，则性质p （x ）称为集合A 的一个特征性质.此时，集合A 可以用它的特征性质p （x ）表示为{x |p （x ）}.这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.设计意图：以问题为切入口，通过解决问题来引入新知，有助于培养学生的学习兴趣，提高分析问题解决问题的能力．追问1：集合{ x> 3} 与{x|x>3}是相同的集合吗？（不是）教师点评：根据集合的表示方法，集合{ x> 3} 与{x|x>3} 是有区别的：前者表示的是由不等式x> 3组成的集合，其只包含一个元素，它是有限集；后者是满足不等式x> 3的所有数组成的集合，包含无穷多个元素，它是无限集．【做一做】试用描述法表示下列集合：（1）所有平行四边形组成的集合（{x|x是一组对边平行且相等的四边形}）（2）所有能被3整除的整数组成的集合（{x|x=3n，n∈Z}）（3）所有被3除余1的自然数组成的集合（{x|x=3n+1，n∈N}）【想一想】集合{x∈N|x=3n+1，n∈Z）是不是表示“所有被3除余1的自然数组成的集合”？教师点评：集合{x|p（x）}中所有在另一个集合I中的元素组成的集合，可以表示为{x∈I|p（x）}. 知识点3区间及其表示阅读教科书第7、8页：区间及其表示师生活动：学生阅读后总结用区间表示集合：如果a<b，则集合{x|a≤x≤b}可简写为[a，b]，并称为闭区间；集合{x|a<x<b}可简写为（a，b），并称为开区间；集合{x|a≤x<b}可简写为[a，b），集合{x|a<x≤b}可简写为（a，b]，并都称为半开半闭区间.【想一想】我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，那么区间可以用数轴形象地表示吗？师生活动：学生探讨，教师总结：区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.区间可以用数轴形象地表示.例如，区间[-2，1）可用下图表示，注意图中一2处的点是实心点，而1处的点是空心点.在用数轴表示区间时，实心点代表取得到，空心点代表取不到．【做一做】如果用“+∞”表示“正无穷大”，用“－∞”表示“负无穷大”，则：实数集R可表示为区间__________；集合{x|x≥a}可表示为区间__________；集合{x|x>a}可表示为区间__________；集合{ x |x≤a}可表示为区间__________；集合{x |x<a}可表示为区间__________；将区间[7，+∞）用数轴表示为__________．预设的答案：（－∞，+∞）[a，+∞）（a，+∞）（－∞，a] （－∞，a）【巩固练习】例1用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集.（1）方程x（x一1）=0的所有解组成的集合A；（2）平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.(3)由直线y=-x+4上的横坐标和纵坐标都是自然数的点组成的集合.(4)不等式3x+4≥x的解集.师生活动：学生完成，教师点评，并思考选用哪种表示方法合适．预设的答案:(1)因为0和1是方程x（x-1）=0的解，而且这个方程只有两个解，所以A={0，1）.(2)因为集合B的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此B={（x，y）|x>0，y>0}.(3)用描述法表示该集合为M={(x，y)|y=-x+4，x∈N，y∈N}，或用列举法表示该集合为{(0，4)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，0)}.有限集.(4)由3x+4≥x得2x≥-4，所以x≥-2，所以不等式3x+4≥x的解集是[-2，+∞).无限集.设计意图：锻炼学生分析问题、解决问题的能力．在这里可以引导学生总结和归纳集合的两种不同的表示方法的优缺点。
高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.1.1 集合及其表示方法练习(2)新人教B版必修第一册-新
1.1.1集合及其表示方法1、下列每组对象能否构成一个集合：(1)我们班的所有高个子同学；(2)不超过20的非负数；(3)直角坐标平面内第一象限的一些点； (4)3的近似值的全体.(1)【答案】不能【解析】“高个子”没有明确的标准，因此不能构成集合.(2)【答案】能【解析】任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”，两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合；(3)【答案】不能【解析】“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合(4)【答案】不能【解析】“3的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以“3的近似值”不能构成集合.2、所给下列关系正确的个数是()①－12∈R ；②2∉Q ；③0∈N *；④|－3|∉N *. A.1 B.2 C.3 D.4①【答案】正确【解析】－12是符合实数定义。
②【答案】正确【解析】2不能写成两个整数的商，不符合有理数定义，正确③【答案】错误【解析】0是自然数，但不属于正自然数，错误。
④【答案】错误【解析】|－3|值是3，属于正自然数，所以④错误3、已知集合A＝{a＋1，a2－1}，若0∈A，则实数a的值为________.【答案】1【解析】∵0∈A，∴0＝a＋1或0＝a2－1.当0＝a＋1时，a＝－1，此时a2－1＝0，A中元素重复，不符合题意.当a2－1＝0时，a＝±1.a＝－1(舍)，∴a＝1.此时，A＝{2,0}，符合题意4、用列举法表示下列集合：(1)小于10的所有自然数组成的集合；(2)方程x2＝x的所有实数根组成的集合；(3)由1～20以内的所有质数组成的集合.(1) 【答案】A＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}【解析】根据自然数的定义可以容易写出来，此为概念题。