高一数学 第一章 集合与常用逻辑用语 新人教A版
第一章 集合与常用逻辑用语1.1 集合的概念与运算 一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A 的任意一个元素都是集合B 的元素（若A a ∉则B a ∈），则称集合A 为集合B 的子集，记为A ⊆B 或B ⊇A ；如果A ⊆B ，并且A ≠B ，这时集合A 称为集合B 的真子集，记为A B 或B A.4.集合的相等：如果集合A 、B 同时满足A ⊆B 、B ⊇A ，则A=B.5.补集：设A ⊆S ，由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集，记为 A C s .6.全集：如果集合S 包含所要研究的各个集合，这时S 可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A 且属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的交集，记作A ⋂B.8.并集：一般地，由所有属于集合A 或者属于B 的元素构成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ⋃B.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作Φ.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N ，正整数集记作N +或N *，整数集记作Z ，有理数集记作Q ，实数集记作R .二、疑难知识1.符号⊆，，⊇，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“⊆”包括“”和“=”两种情况，同样“⊇”包括“”和“=”两种情况.符号∈，∉表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B =Φ易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn 图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用. 9.含有n 个元素的集合的所有子集个数为：n 2，所有真子集个数为：n 2-1三、经典例题[例1] 已知集合M={y |y =x 2＋1,x∈R },N={y|y =x ＋1,x∈R }，则M∩N=（ ）A ．（0，1），（1，2）B ．{（0，1），（1，2）}C ．{y|y=1,或y=2}D ．{y|y≥1}错解：求M∩N 及解方程组⎩⎨⎧+=+=112x y x y 得⎩⎨⎧==10y x 或 ⎩⎨⎧==21y x ∴选B 错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M 、N 的元素是数而不是实数对(x,y )，因此M 、N 是数集而不是点集,M 、N 分别表示函数y =x 2＋1(x∈R)，y =x ＋1(x∈R)的值域，求M∩N 即求两函数值域的交集．正解：M={y |y =x 2＋1,x∈R}={y |y ≥1}， N={y|y=x ＋1,x∈R }={y|y∈R}．∴M∩N={y |y ≥1}∩{y|(y∈R)}={y |y ≥1}, ∴应选D ．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x |y =x 2＋1}、{y |y =x2＋1,x ∈R}、{(x ,y )|y =x 2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x |x 2－3x ＋2=0},B={x |ax －2=0}且A∪B=A，求实数a 组成的集合C ．错解：由x 2－3x ＋2=0得x =1或2．当x =1时，a =2， 当x =2时，a=1．错因：上述解答只注意了B 为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A .当a =0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴B A 又A={x |x 2－3x ＋2=0}={1，2}∴B=或{}{}21或 ∴C={0，1，2}[例3]已知m ∈A,n ∈B, 且集合A={}Z a a x x ∈=,2|，B={}Z a a x x ∈+=,12|，又C={}Z a a x x ∈+=,14|，则有： （ ）A ．m +n ∈A B. m +n ∈B C.m +n ∈C D. m +n 不属于A ，B ，C 中任意一个错解：∵m ∈A ，∴m =2a ,a Z ∈,同理n =2a +1,a ∈Z, ∴m +n =4a +1,故选C错因是上述解法缩小了m +n 的取值范围.正解：∵m ∈A, ∴设m =2a 1,a 1∈Z, 又∵n B ∈,∴n =2a 2+1,a 2∈ Z ,∴m +n =2(a 1+a 2)+1,而a 1+a 2∈ Z , ∴m +n ∈B, 故选B.[例4］ 已知集合A={x|x 2－3x －10≤0}，集合B={x|p ＋1≤x≤2p－1}．若BA ，求实数p 的取值范围．错解：由x 2－3x －10≤0得－2≤x≤5．欲使B A ，只须3351212≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-+≤-p p p∴ p 的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设． 正解：①当B≠时，即p ＋1≤2p－1p≥2.由B A 得：－2≤p＋1且2p －1≤5.由－3≤p≤3.∴ 2≤p≤3②当B=时，即p ＋1>2p －1p ＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，A B 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a ＋b,a ＋2b}，B={a,ac,ac 2}．若A=B ，求c 的值．分析：要解决c 的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a ＋b=ac 且a ＋2b=ac 2，消去b 得：a ＋ac 2－2ac=0，a=0时，集合B 中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c 2－2c ＋1=0，即c=1，但c=1时，B 中的三元素又相同，此时无解．（2）若a ＋b=ac 2且a ＋2b=ac ，消去b 得：2ac 2－ac －a=0，∵a≠0，∴2c 2－c －1=0，即(c －1)(2c ＋1)=0，又c≠1，故c=－21．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A 是实数集，满足若a∈A，则a -11∈A ，1≠a 且1∉A.⑴若2∈A，则A 中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A 能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－a1∈A.⑷求证：集合A 中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ⇒ －1∈A ⇒ 21∈A ⇒ 2∈A ∴ A 中至少还有两个元素：－1和21⑵如果A 为单元素集合，则a ＝a-11即12+-a a ＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A 不可能是单元素集⑶a∈A ⇒ a -11∈A ⇒ a --1111∈A ⇒111---a a ∈A ，即1－a 1∈A ⑷由⑶知a∈A 时，a-11∈A， 1－a 1∈A .现在证明a,1－a 1, a -11三数互不相等.①若a=a -11,即a2-a+1=0 ，方程无解，∴a ≠a-11②若a=1－a 1，即a 2-a+1=0，方程无解∴a ≠1－a1 ③若1－a 1 =a -11，即a2-a+1=0，方程无解∴1－a 1≠a -11.综上所述，集合A 中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨.四、典型习题1．集合A={x|x 2－3x －10≤0，x ∈Z}，B={x|2x 2－x －6＞0， x ∈ Z}，则A ∩B 的非空真子集的个数为（ ）A ．16B ．14C ．15D ．322．数集{1，2，x 2－3}中的x 不能取的数值的集合是（ ）A ．{2，-2 }B ．{－2，－5 }C ．{±2，±5 }D ．{5，－5}3. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={y|y=x 2＋1,x∈R}，则P∩Q 等于（ ）A ．PB ．QC ．D ．不知道4. 若P={y|y=x 2,x∈R}，Q={(x ，y)|y=x 2,x∈R}，则必有（ ）A ．P∩Q=B ．P QC ．P=QD ．PQ 5．若集合M ＝｛11|<xx ｝，N ＝{x |2x ≤x }，则M N ＝ （ ） A ．}11|{<<-x x B ．}10|{<<x xC ．}01|{<<-x xD ．∅6.已知集合A={x|x 2＋(m ＋2)x ＋1=0,x∈R }，若A∩R ＋=，则实数m 的取值范围是_________．7.设a R ∈，函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B φ=<<≠，求实数a 的取值范围。
8.已知集合A={}012|2=++b ax x x 和B={}0|2=+-b ax x x 满足 I C A ∩B={}2，A ∩I C B={}4，I=R ，求实数a,b 的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、 “非”分别用符号“∧”“∨”“⌝”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p 或q ；p 且q ；非p5．四种命题的构成：原命题：若p 则q ； 逆命题：若q 则p ；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p 则q”“若q 则p ” .7．反证法：欲证“若p 则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p 则非q”为假，即“若p 则q”为真 .8．充分条件与必要条件 ：①p q ：p 是q 的充分条件；q 是p 的必要条件；②p q ：p 是q 的充要条件 .9．常用的全称量词：“对所有的”、“ 对任意一个”“ 对一切”“ 对每一个”“任给”等；并用符号“∀” 表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、 “有的”、“对某个”； 并用符号“∃”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的.（4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明p 的充要条件是q ；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定： 关键词是 都是（全是） >（<） 至少有一个 至多有一个 任意 存在 否定 不是 不都是（全是） ≤（≥） 一个也没有 至少有两个 存在任意 全称命题p:)(,x p M x ∈∀,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∃；特称命题p:)(,x p M x ∈∃,它的否定p ⌝:)(,x p M x ⌝∈∀；即全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明.三、例题[例1] 把命题“全等三角形一定相似”写成“若p 则q ”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题.错解：原命题可改写成：若两个三角形全等，则它们一定相似.逆命题：若两个三角形相似，则它们全等.否命题：若两个三角形不一定全等，则它们不一定相似.逆否命题：若两个三角形不一定相似，则它们不一定全等.错因：对“一定”的否定把握不准，“一定”的否定 “一定不”，在逻辑知识中求否定相当于求补集，而“不一定”含有“一定”的意思.对这些内容的学习要多与日常生活中的例子作比较，注意结合集合知识.因而否命题与逆否命题错了.正解：否命题：若两个三角形不全等，则它们不相似.逆否命题：若两个三角形不相似，则它们不全等.[例2] 将下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出否命题.a>o 时，函数y=ax+b 的值随x 值的增加而增加.错解：原命题改为：若a>o 时，x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.错因：如果从字面上分析最简单的方法是将a>o 看作条件，将“随着”看作结论，而x 的值增加，y 的值也增加看作研究的对象，那么原命题改为若a>o 时，则函数y=ax+b 的值随着x 的值增加而增加，其否命题为若a ≤o 时，则函数y=ax+b 的值不随x 值的增加而增加.此题错解在注意力集中在“增加”两个字上，将x 值的增加当做条件，又不把a>o 看作前提，就变成两个条件的命题，但写否命题时又没按两个条件的规则写，所以就错了.正解：原命题改为： a>o 时，若x 的值增加，则函数y=ax+b 的值也随着增加.否命题为： a>o 时，若x 的值不增加，则函数y=ax+b 的值也不增加.原命题也可改为：当x 的值增加时，若a>o ，，则函数y=ax+b 的值也随着增加. 否命题为： 当x 增加时，若a ≤o ，则函数y=ax+b 的值不增加.[例3] 已知h>0，设命题甲为：两个实数a 、b 满足h b a 2<-，命题乙为：两个实数a 、b 满足h a <-|1且h b <-|1，那么A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件错解：h b a 2<-⇔h h h b a +=<---2)1()1(⇔h a <-|1|,h b <-|1|故本题应选C.错因：（1）对充分、必要、充要条件的概念分不清，无从判断，凭猜测产生错误；（2）不能运用绝对值不等式性质作正确推理而产生错误.正解：因为,11⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 所以,11⎩⎨⎧<-<-<-<-h b h h a h 两式相减得h b a h 22<-<- 故h b a 2<-即由命题甲成立推出命题乙成立，所以甲是乙的必要条件.由于⎪⎩⎪⎨⎧<-<-hb h a 22 同理也可得h b a 2<-因此，命题甲成立不能确定命题乙一定成立，所以甲不是乙的充分条件，故应选B.[例4] 已知命题甲：a+b ≠4, 命题乙:a 1≠且b 3≠，则命题甲是命题乙的 .错解：由逆否命题与原命题同真同假知，若a=1且b=3则a+b=4成立，所以命题甲是命题乙的充分不必要条件.错因 ：对命题的否定不正确.a 1≠且b 3≠的否定是a=1或b=3.正解：当a+b ≠4时,可选取a=1,b=5，故此时a 1≠且b 3≠不成立( a=1).同样，a 1≠,且b 3≠时，可选取a=2,b=2,a+b=4，故此时a+b=4.因此，甲是乙的既不充分也不必要条件.注：a 1≠且b 3≠为真时，必须a 1≠,b 3≠同时成立.四、习题1．方程0122=++x mx 至少有一个负根，则（ ）A.10<<m 或0<mB.10<<mC.1<mD.1≤m2．“0232>+-x x ”是“1<x 或4>x ”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．三个数,,a b c 不全为0的充要条件是（ ） A.,,a b c 都不是0.B.,,a b c 中至多一个是0.C.,,a b c 中只有一个是0.D.,,a b c 中至少一个不是0. 4．由命题p :6是12的约数，q :6是24的约数，构成的“p 或q ”形式的命题是：_ ___，“p 且q ”形式的命题是__ _，“非p ”形式的命题是__ _.5．若,a b R ∈，试从A.0ab =B.0a b +=C.220a b += D.0ab > E.0a b +> F.220a b +> 中，选出适合下列条件者，用代号填空：（1）使,a b 都为0的充分条件是 ；（2）使,a b 都不为0的充分条件是 ；（3）使,a b 中至少有一个为0的充要条件是 ；（4）使,a b 中至少有一个不为0的充要条件是 ．6．分别指出由下列各组命题构成的逻辑关联词“或”、“且”、“非”的真假．（1）p : 梯形有一组对边平行；q ：梯形有一组对边相等．（2）p : 1是方程0342=+-x x 的解；q ：3是方程0342=+-x x 的解．7．命题：已知a 、b 为实数，若x 2＋ax ＋b ≤0 有非空解集，则a 2－ 4b ≥0.写出该命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假． 练习设集合︒=≤=40sin },4|{m x x A ，则下列关系中正确的是（ ）A ．A m ⊂B ．A m ⊄C ．A m ∈}{D ．A m ⊆}{设集合{}4,3,2,1=A ，{}5,4,3=B ，全集B A U ⋃=，则集合()B A C U ⋂中的元素个数为（ ）A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个若集合P={0，1，2}，Q=10(,)|,,20x y x y x y P x y ⎧-+>⎫⎧∈⎨⎨⎬--<⎩⎩⎭,则Q 中元素的个数是（ ）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 9已知集合{}1,0,1,2,A =-，集合{}0,2,4,6B =，则集合A B =（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,4C ．{}0,2D ． {}-1,0,1,2,4,6设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合=A {2，3，4，5}，=B {2，4，6，8}，则集合A C U B 等于（ ）（A ）{3，5}（B ）{1，2，3，4，5，7}（C ）{6，8} （D ）{1，2，4，6，7，8} 已知全集}6,5,4,3,2,1{=U ，集合}5,3,1{=A ，}6,5,4{=B ，则结合)(C U B A =（ ）A ．}6,4,2{B ．}2{C ．}5{D ．}6,5,4,3,1{ 已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,5}M =，{4,5}N =，则[)(N Mu ⋃等于（ ）A ．{1,3,5}B ．{2,4,6}C ．{1,5}D ．{1,6} 已知集合)01|{>+=x x A ，)2|||{≤=x x B .则=B A已知集合S ={x | 205+<-x x }，P ={ x | 1a +<x 215a <+ }，（Ⅰ）求集合S ；（Ⅱ）若S P ⊆，求实数a 的取值范围.下列命题 ：①2x x x ∀∈,≥R ；②2x x x ∃∈,≥R ； ③43≥；④“21x ≠”的充要条件是“1x ≠,或1x ≠-”. 中,其中正确命题的个数是 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3已知命题p ：x ∀∈R ，||0x ≥，那么命题p ⌝为（ ）（A ）x ∃∈R ，||0x ≤ （B ）x ∀∈R ，||0x ≤（C ）x ∃∈R ，||0x < （D ）x ∀∈R ，||0x <已知命题 :p x ∀∈R ，2x ≥，那么命题p ⌝为（ ）A ．2x x ∀∈≤R ，B ．2x x ∃∈<R ，C ．2x x ∀∈≤-R ，D ．2x x ∃∈<-R ，已知命题p ：0x ∃∈R ，200220x x ++≤，那么下列结论正确的是( )（A ）0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++>（B ）:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++>（C ）0:p x ⌝∃∈R ，200220x x ++≥（D ）:p x ⌝∀∈R ，2220x x ++≥“2a =”是“直线20ax y +=与1x y +=平行”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件“b a <<0”是“ba )41()41(>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不是充分条件也不是必要条件“2m =-”是“直线(1)20m x y ++-=与直线(22)10mx m y +++=相互垂直”的（） （A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件。
高中数学第一章_集合与常用逻辑用语
第一章⎪⎪⎪集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：集合 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 符号NN *或N ＋ZQR2．集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言 记法基本关系子集集合A 的元素都是集合B 的元素x ∈A ⇒x ∈B A ⊆B 或B ⊇A真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不属于AA ⊆B ，且存在x 0∈B ，x 0∉A A B 或B A相等 集合A ，B 的元素完全相同 A ⊆B ，B ⊆A A ＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集任意的x ，x ∉∅，∅⊆A∅3．集合的基本运算表示 运算 文字语言符号语言 图形语言 记法交集属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，且x ∈B }A ∩B并集属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∪B补集全集U 中不属于集合A 的元{x |x ∈U ，且x ∉A }∁U A素组成的集合4．集合问题中的几个基本结论 (1)集合A 是其本身的子集，即A ⊆A ；(2)子集关系的传递性，即A ⊆B ，B ⊆C ⇒A ⊆C ；(3)A ∪A ＝A ∩A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∩∅＝∅，∁U U ＝∅，∁U ∅＝U . (4)A ∩B ＝A ⇒A ⊆B ，A ∪B ＝B ⇒A ⊆B . [小题体验]1．已知集合A ＝{1,2}，B ＝{x |0＜x ＜5，x ∈N }，则满足A ⊆C ⊆B 的集合C 的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D2．已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,4,5}，则集合A ∪B 中元素的个数为________． 答案：53．(2018·江苏高考)已知集合A ＝{0,1,2,8}，B ＝{－1,1,6,8}，那么A ∩B ＝________. 解析：A ∩B ＝{0,1,2,8}∩{－1,1,6,8}＝{1,8}． 答案：{1,8}1．认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解集合问题的两个先决条件． 2．解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包含关系． 3．易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身． 4．运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．5．在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误．[小题纠偏]1．(2019·浙江名校联考)已知∁R M ＝{x |ln|x |＞1}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝1x ，x ＞0，则M ∪N ＝( ) A ．(0，e] B ．[－e ，＋∞) C ．(－∞，－e]∪(0，＋∞)D ．[－e ，e]解析：选B 由ln|x |＞1得|x |＞e ，∴M ＝[－e ，e]．N ＝(0，＋∞)，∴M ∪N ＝[－e ，＋∞)．故选B. 2．若集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，且B ⊆A ，则由m 的可能取值组成的集合为________．解析：当m ＋1＞2m －1，即m ＜2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；若B ≠∅，且满足B ⊆A ，如图所示，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≥2，m ≥－3，m ≤3，所以2≤m ≤3.故m ＜2或2≤m ≤3，即所求集合为{m |m ≤3}．答案：{m |m ≤3}3．已知集合A ＝{0, x ＋1，x 2－5x }，若－4∈A ，则实数x 的值为________． 解析：∵－4∈A ，∴x ＋1＝－4或x 2－5x ＝－4. ∴x ＝－5或x ＝1或x ＝4.若x ＝1，则A ＝{0, 2，－4}，满足条件； 若x ＝4，则A ＝{0, 5，－4}，满足条件； 若x ＝－5，则A ＝{0，－4,50}，满足条件． 所以x ＝1或x ＝4或－5. 答案：1或4或－5考点一 集合的基本概念(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．下列命题正确的有( ) ①很小的实数可以构成集合；②(易错题)集合{}y |y ＝x 2－1与集合{(x ，y )|y ＝x 2－1}是同一个集合； ③1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，0.5这些数组成的集合有5个元素； ④集合{(x ，y )|xy ≤0，x ，y ∈R }是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A 由题意得，①不满足集合的确定性，故错误；②两个集合，一个是数集，一个是点集，故错误；③中⎪⎪⎪⎪－12＝0.5，出现了重复，不满足集合的互异性，故错误；④不仅仅表示的是第二、四象限的点，还可表示原点，故错误．综上，没有正确命题，故选A.2．已知a ＞0，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，4，b a ＝{a －b,0，a 2}，则a 2＋b 2的值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B 由已知得a ≠0，则ba ＝0，所以b ＝0，于是a 2＝4，即a ＝2或a ＝－2，因为a ＞0，所以a ＝2，故a 2＋b 2＝22＋02＝4.3．若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．(易错题)(2019·江西重点中学协作体联考)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4} ，M ＝{x |x ＝ab ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中的元素个数为________．解析：结合题意列表计算M 中所有可能的值如下：观察可得：M ＝{2,3,4,6,8,9,12}，据此可知M 中的元素个数为7. 答案：7[谨记通法]与集合中的元素有关问题的求解策略(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性． 考点二 集合间的基本关系(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M 且2x ∉M }的子集有( ) A ．8个 B ．4个 C ．3个D ．2个解析：选B 由题意，得P ＝{3,4}，所以集合P 的子集有22＝4个． 2．已知集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}，B ＝{x |ax ＝1}，若B ⊆A ，则a ＝( ) A ．－12或1B ．2或－1C ．－2或1或0D ．－12或1或0解析：选D 集合A ＝{x |x 2＋x －2＝0}＝{－2,1}．当x ＝－2时，－2a ＝1，解得a ＝－12；当x ＝1时，a ＝1；又因为B 是空集时也符合题意，这时a ＝0，故选D.[由题悟法]集合间基本关系的两种判定方法和一个关键[即时应用]1．集合{a ，b ，c ，d ，e }的真子集的个数为( ) A ．32 B ．31 C ．30D ．29解析：选B 因为集合有5个元素，所以其子集的个数为25＝32个，其真子集的个数为25－1＝31个． 2．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时， ∵A ＝{x |－1＜x ＜3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]考点三 集合的基本运算(题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]集合运算多与解简单的不等式、函数的定义域、值域相联系，考查对集合的理解及不等式的有关知识；有些集合题为抽象集合题或新定义型集合题，考查学生的灵活处理问题的能力．常见的命题角度有： (1)集合的运算；(2)利用集合运算求参数； (3)新定义集合问题．[题点全练]角度一：集合的运算1．(2018·北京高考)已知集合A ＝{x ||x |＜2}，B ＝{－2,0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．{－2,0,1,2}D ．{－1,0,1,2}解析：选A ∵A ＝{x ||x |＜2}＝{x |－2＜x ＜2}，B＝{－2,0,1,2}，∴A∩B＝{0,1}．故选A.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2＞0}，则∁R A＝()A．{x|－1＜x＜2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x＜－1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}解析：选B∵x2－x－2＞0，∴(x－2)(x＋1)＞0，∴x＞2或x＜－1，即A＝{x|x＞2或x＜－1}．则∁R A＝{x|－1≤x≤2}．故选B.角度二：利用集合运算求参数3．(2019·浙江联盟校联考)已知集合P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，若P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，则实数a的值为()A．1 B．2C．12D．32解析：选B因为P＝{x|－1＜x＜1}，Q＝{x|0＜x＜a}，所以当a≤1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜1}，不符合题意；当a＞1时，P∪Q＝{x|－1＜x＜a}，结合P∪Q＝{x|－1＜x＜2}，可得a＝2.角度三：新定义集合问题4．如果集合A，B，同时满足A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，就称有序集对(A，B)为“好集对”．这里有序集对(A，B)是指当A≠B时，(A，B)和(B，A)是不同的集对，那么“好集对”一共有()个()A．5个B．6个C．7个D．8个解析：选B因为A∪B＝{1,2,3,4}，A∩B＝{1}，A≠{1}，B≠{1}，所以当A＝{1,2}时，B＝{1,3,4}；当A＝{1,3}时，B＝{1,2,4}；当A＝{1,4}时，B＝{1,2,3}；当A＝{1,2,3}时，B＝{1,4}；当A＝{1,2,4}时，B＝{1,3}；当A＝{1,3,4}时，B＝{1,2}．所以满足条件的“好集对”一共有6个，故选B.[通法在握]解集合运算问题4个技巧[演练冲关]1．(2019·浙江十校联盟适考)已知集合A＝{x|1＜x＜4}，B＝{x∈Z|x2－6x＜0}，则(∁R A)∩B＝() A．{1,4} B．{4,5}C．{1,4,5} D．{2,3}解析：选C法一：由x2－6x＜0可得0＜x＜6，所以B＝{1,2,3,4,5}，又∁R A＝{x|x≤1或x≥4}，所以(∁R A)∩B＝{1,4,5}．法二：因为求的是(∁R A)∩B，故排除D，又1,5∈∁R A,1，5∈B，故选C.2．(2019·长沙模拟)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{x|x2－3x＋a＝0，a∈A}，若A∩B≠∅，则a的值为() A．1 B．2C．3 D．1或2解析：选B当a＝1时，x2－3x＋1＝0，无整数解，则A∩B＝∅；当a＝2时，B＝{1,2}，A∩B＝{1,2}≠∅；当a＝3时，B＝∅，A∩B＝∅.因此实数a＝2.3．(2019·杭州高三四校联考)设集合A＝{x|(x－3)(x－a)＝0，a∈R}，B＝{x|(x－1)(x－4)＝0}，则A∪B 的子集个数最多为()A．2 B．4C．8 D．16解析：选D由题意可知，要使A∪B的子集个数最多，则需A∪B中的元素个数最多，此时a≠1，a≠3，且a≠4，即集合A＝{3，a}，B＝{1,4}，A∪B＝{1,3,4，a}，故A∪B的子集最多有24＝16个．4．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合A B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝3x，x＞0}，则A B为()A．{x|0＜x＜2} B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2} D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：选D因为A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝{x|1＜x≤2}，所以A B ＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}，故选D.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·浙江考前热身联考)已知集合M＝{x|y＝2x－x2}，N＝{x|－1＜x＜1}，则M∪N＝() A．[0,1)B．(－1,2)C．(－1,2] D．(－∞，0]∪(1，＋∞)解析：选C法一：易知M＝{x|0≤x≤2}，又N＝{x|－1＜x＜1}，所以M∪N＝(－1,2]．故选C.法二：取x＝2，则2∈M，所以2∈M∪N，排除A、B；取x＝3，则3∉M,3∉N，所以3∉M∪N，排除D，故选C.2．(2019·浙江三地联考)已知集合P＝{x|||x＜2}，Q＝{x|－1≤x≤3}，则P∩Q＝()A．[－1,2) B．(－2,2)C．(－2,3] D．[－1,3]解析：选A由|x|＜2，可得－2＜x＜2，所以P＝{x|－2＜x＜2}，所以P∩Q＝[－1,2)．3．(2018·嘉兴期末测试)已知集合P＝{x|x＜1}，Q＝{x|x＞0}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．∁R P⊆Q解析：选D由已知可得∁R P＝[1，＋∞)，所以∁R P⊆Q.故选D.4．(2018·浙江吴越联盟第二次联考)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N，则P的子集有________个．解析：集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{2,4,6}，P＝M∩N＝{2,4}，则P的子集有∅，{2}，{4}，{2,4}，共4个.答案：45．已知集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：因为集合A＝{x|x≥3}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，所以B⊆A，如图所示，所以m≥3.答案：[3，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·杭州七校联考)已知集合A＝{x|x2＞1}，B＝{x|(x2－1)(x2－4)＝0}，则集合A∩B中的元素个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B A＝{x|x＜－1或x＞1}，B＝{－2，－1,1,2}，A∩B＝{－2,2}，故选B.2．(2019·浙江六校联考)已知集合U＝{x|y＝3x}，A＝{x|y＝log9x}，B＝{y|y＝－2x}则A∩(∁U B)＝()A．∅B．RC．{x|x＞0} D．{0}解析：选C由题意得，U＝R，A＝{x|x＞0}，因为y＝－2x＜0，所以B＝{y|y＜0}，所以∁U B＝{x|x≥0}，故A∩(∁U B)＝{x|x＞0}．故选C.3．(2019·永康模拟)设集合M＝{x|x2－2x－3≥0}，N＝{x|－3＜x＜3}，则()A．M⊆N B．N⊆MC．M∪N＝R D．M∩N＝∅解析：选C由x2－2x－3≥0，解得x≥3或x≤－1，所以M＝{x|x≤－1或x≥3}，所以M∪N＝R.4．(2019·宁波六校联考)已知集合A＝{x|x2－3x＜0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是()A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选B∵A∩B有4个子集，∴A∩B中有2个不同的元素，∴a∈A，∴a2－3a＜0，解得0＜a ＜3且a≠1，即实数a的取值范围是(0,1)∪(1,3)，故选B.5．(2018·镇海中学期中)若集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ，N ＝{x |x ＜1}，则M ∪N ＝( ) A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(－∞，2)D ．(0，＋∞)解析：选C 集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪y ＝lg2－xx ＝{x |0＜x ＜2}，N ＝{x |x ＜1}．M ∪N ＝{x |x ＜2}＝(－∞，2)．故选C.6．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x ＜1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x ＜1，x ∈Z }＝{－1,0}． 答案：{－1,0}7．(2018·嘉兴二模)已知集合A ＝{x |－1≤x ≤2}，B ＝{x |x 2－4x ≤0}，则A ∪B ＝________，A ∩(∁R B )＝________.解析：因为B ＝{x |x 2－4x ≤0}＝{x |0≤x ≤4}，所以A ∪B ＝{x |－1≤x ≤4}；因为∁R B ＝{x |x ＜0或x ＞4}，所以A ∩(∁R B )＝{x |－1≤x ＜0}．答案：{x |－1≤x ≤4} {x |－1≤x ＜0}8．设集合A ＝{(x ，y )|y ≥|x －2|，x ≥0}，B ＝{(x ，y )|y ≤－x ＋b }，A ∩B ≠∅. (1)b 的取值范围是________；(2)若(x ，y )∈A ∩B ，且x ＋2y 的最大值为9，则b 的值是________． 解析：由图可知，当y ＝－x 往右移动到阴影区域时，才满足条件，所以b ≥2；要使z ＝x ＋2y 取得最大值，则过点(0，b )，有0＋2b ＝9⇒b ＝92.答案：(1)[2，＋∞) (2)929．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]10．已知集合A ＝{x |(x ＋2m )(x －m ＋4)＜0}，其中m ∈R ，集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0. (1)若B ⊆A ，求实数m 的取值范围； (2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪1－x x ＋2＞0＝{x |－2＜x ＜1}．当A ＝∅时，m ＝43，不符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＞43，－2m ≤－2，m －4≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞43，m ≥1，m ≥5，所以m ≥5.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为B ⊆A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，－2m ≥1，m －4≤－2，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜43，m ≤－12，m ≤2，所以m ≤－12.综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[5，＋∞)． (2)由(1)知，B ＝{x |－2＜x ＜1}． 当A ＝∅时，m ＝43，符合题意．当A ≠∅时，m ≠43.①当－2m ＜m －4，即m ＞43时，A ＝{x |－2m ＜x ＜m －4}，又因为A ∩B ＝∅，所以－2m ≥1或者m －4≤－2， 即m ≤－12或者m ≤2，所以43＜m ≤2.②当－2m ＞m －4，即m ＜43时，A ＝{x |m －4＜x ＜－2m }，又因为A ∩B ＝∅，所以m －4≥1或者－2m ≤－2， 即m ≥5或者m ≥1，所以1≤m ＜43.综上所述，实数m 的取值范围为[1,2]． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．对于复数a ，b ，c ，d ，若集合S ＝{a ，b ，c ，d }具有性质“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”，则当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b 2＝1，c 2＝b 时，b ＋c ＋d 等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．i解析：选B ∵S ＝{a ，b ，c ，d }，由集合中元素的互异性可知当a ＝1时，b ＝－1，c 2＝－1，∴c ＝±i ，由“对任意x ，y ∈S ，必有xy ∈S ”知±i ∈S ，∴c ＝i ，d ＝－i 或c ＝－i ，d ＝i ，∴b ＋c ＋d ＝(－1)＋0＝－1.2．对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )，设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≥－94，x ∈R ，B ＝{x |x ＜0，x ∈R }，则A ⊕B ＝( )A.⎝⎛⎭⎫－94，0B.⎣⎡⎭⎫－94，0 C.⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞) D.⎝⎛⎦⎤－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：选C 依题意得A －B ＝{x |x ≥0，x ∈R }，B －A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＜－94，x ∈R ，故A ⊕B ＝⎝⎛⎭⎫－∞，－94∪[0，＋∞)．故选C.3．已知函数f (x )＝x －3－17－x的定义域为集合A ，且B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}，C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}．(1)求：A 和(∁R A )∩B ；(2)若A ∪C ＝R ，求实数a 的取值范围． 解：(1)要使函数f (x )＝x －3－17－x， 应满足x －3≥0，且7－x ＞0，解得3≤x ＜7， 则A ＝{x |3≤x ＜7}， 得到∁R A ＝{x |x ＜3或x ≥7}，而B ＝{x ∈Z |2＜x ＜10}＝{3,4,5,6,7,8,9}， 所以(∁R A )∩B ＝{7,8,9}．(2)C ＝{x ∈R |x ＜a 或x ＞a ＋1}，要使A ∪C ＝R ， 则有a ≥3，且a ＋1＜7，解得3≤a ＜6. 故实数a 的取值范围为[3,6)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题概念 使用语言、符号或者式子表达的，可以判断真假的陈述句特点 (1)能判断真假；(2)陈述句分类真命题、假命题2．四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系：(2)四种命题中真假性的等价关系：原命题等价于逆否命题，原命题的否命题等价于逆命题．在四种形式的命题中真命题的个数只能是0,2,4.3．充要条件若p ⇒q ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件p 成立的对象的集合为A ，q 成立的对象的集合为B p 是q 的充分不必要条件 p ⇒q 且q ⇒/p A 是B 的真子集 集合与充要条件p 是q 的必要不充分条件p ⇒/ q 且q ⇒pB 是A 的真子集p 是q 的充要条件 p ⇔q A ＝B p 是q 的既不充分也不必要条件 p ⇒/ q 且q ⇒/pA ，B 互不包含[小题体验]1．下列命题是真命题的是( )A ．若log 2a ＞0，则函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)在其定义域上是减函数B ．命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题C ．“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与mx －6y ＋5＝0垂直”的充要条件D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题 答案：B2．(2019·温州高考适应性测试)已知α，β∈R ，则“α＞β”是“cos α＞cos β ”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D α＞β ⇒/ cos α＞cos β，如α＝π3，β＝π6，π3＞π6，而cos π3＜cos π6；cos α＞cos β ⇒/ α＞β，如α＝π6，β＝π3，cos π6＞cos π3，而π6＜π3.故选D.3．设a ，b 是向量，则命题“若a ＝－b ，则|a |＝| b |”的逆否命题为：________. 答案：若|a |≠|b |，则a ≠－b1．易混淆否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．易忽视A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且B ⇒/A )与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且A ⇒/B )两者的不同．[小题纠偏]1．(2019·杭州模拟)“x＜0”是“ln(x＋1)＜0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案：B2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A，∠B都是锐角”的否命题为：________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A，∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角”．答案：在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A，∠B不都是锐角考点一四种命题及其相互关系(基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．命题“若a2＞b2，则a＞b”的否命题是()A．若a2＞b2，则a≤b B．若a2≤b2，则a≤bC．若a≤b，则a2＞b2D．若a≤b，则a2≤b2解析：选B根据命题的四种形式可知，命题“若p，则q”的否命题是“若綈p，则綈q”．该题中，p为a2＞b2，q为a＞b，故綈p为a2≤b2，綈q为a≤b.所以原命题的否命题为：若a2≤b2，则a≤b.2．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为()A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题解析：选C根据逆否命题的定义可以排除A，D，因为x2－3x－4＝0，所以x＝4或－1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．3．给出以下四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；②(易错题)“全等三角形的面积相等”的否命题；③“若q≤－1，则x2＋x＋q＝0有实根”的逆否命题；④若ab是正整数，则a，b都是正整数．其中真命题是________．(写出所有真命题的序号)解析：①命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，显然①为真命题；②不全等的三角形的面积也可能相等，故②为假命题；③原命题正确，所以它的逆否命题也正确，故③为真命题；④若ab是正整数，但a，b不一定都是正整数，例如a＝－1，b＝－3，故④为假命题．答案：①③[谨记通法]1．写一个命题的其他三种命题时的2个注意点(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．2．命题真假的2种判断方法(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．考点二充分必要条件的判定(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]1．(2019·杭州高三四校联考)“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A若x2＋ax＋14＞0(x∈R)，则a2－1＜0，即－1＜a＜1，所以“a＞－1”是“x2＋ax＋14＞0(x∈R)”的必要不充分条件．故选A.2．(2019·杭州高三质检)设数列{a n}的通项公式为a n＝kn＋2(n∈N*)，则“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A法一：因为a n＝kn＋2(n∈N*)，所以当k＞2时，a n＋1－a n＝k＞2，则数列{a n}为单调递增数列．若数列{a n}为单调递增数列，则a n＋1－a n＝k＞0即可，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.法二：根据一次函数y＝kx＋b的单调性知，“数列{a n}为单调递增数列”的充要条件是“k＞0”，所以“k＞2”是“数列{a n}为单调递增数列”的充分不必要条件，故选A.[由题悟法]充要条件的3种判断方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断；(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．[即时应用]1．设a ＞0，b ＞0，则“a 2＋b 2≥1”是“a ＋b ≥ab ＋1”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 因为a ＞0，b ＞0，所以a ＋b ＞0，ab ＋1＞0，故不等式a ＋b ≥ab ＋1成立的充要条件是(ab ＋1)2≤(a ＋b )2，即a 2＋b 2≥a 2b 2＋1.显然，若a 2＋b 2≥a 2b 2＋1，则必有a 2＋b 2≥1，反之则不成立，所以a 2＋b 2≥1是a 2＋b 2≥a 2b 2＋1成立的必要不充分条件，即a 2＋b 2≥1是a ＋b ≥ab ＋1成立的必要不充分条件．2．(2019·浙江期初联考)若a ，b ∈R ，使|a |＋|b |＞4成立的一个充分不必要条件是( ) A ．|a ＋b |≥4 B ．|a |≥4 C ．|a |≥2且|b |≥2D ．b ＜－4解析：选D 对选项A ，若a ＝b ＝2，则|a |＋|b |＝2＋2≥4，不能推出|a |＋|b |＞4；对选项B ，若a ＝4≥4，b ＝0，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项C ，若a ＝2≥2，b ＝2≥2，此时不能推出|a |＋|b |＞4；对选项D ，由b ＜－4可得|a |＋|b |＞4，但由|a |＋|b |＞4得不到b ＜－4.故选D.3．(2019·宁波模拟)已知四边形ABCD 为梯形，AB ∥CD ，l 为空间一直线，则“l 垂直于两腰AD ，BC ”是“l 垂直于两底AB ，DC ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 因为四边形ABCD 是梯形，且AB ∥CD ，所以腰AD ，BC 是交线，由直线与平面垂直的判定定理可知，当l 垂直于两腰AD ，BC 时，l 垂直于ABCD 所在平面，所以l 垂直于两底AB ，CD ，所以是充分条件；当l 垂直于两底AB ，CD ，由于AB ∥CD ，所以l 不一定垂直于ABCD 所在平面，所以l 不一定垂直于两腰AD ，BC ，所以不是必要条件．所以是充分不必要条件．考点三 充分必要条件的应用(重点保分型考点——师生共研)[典例引领]若不等式x －m ＋1x －2m＜0成立的一个充分不必要条件是13＜x ＜12，则实数m 的取值范围是______________．解析：令A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x －m ＋1x －2m ＜0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪13＜x ＜12. 因为不等式x －m ＋1x －2m ＜0成立的充分不必要条件是13＜x ＜12，所以B ⊆A .①当m －1＜2m ，即m ＞－1时，A ＝{x |m －1＜x ＜2m }．由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≤13，2m ≥12，m ＞－1，解得14≤m ≤43；②当m －1＝2m ，即m ＝－1时，A ＝∅，不满足B ⊆A ； ③当m －1＞2m ，即m ＜－1时，A ＝{x |2m ＜x ＜m －1}． 由B ⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤13，m －1≥12，m ＜－1，此时m 无解．综上，m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤14，43. 答案：⎣⎡⎦⎤14，43[由题悟法]根据充要条件求参数的值或取值范围的关键点(1)先合理转化条件，常通过有关性质、定理、图象将恒成立问题和有解问题转化为最值问题等，得到关于参数的方程或不等式(组)，再通过解方程或不等式(组)求出参数的值或取值范围．(2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．[即时应用]1．(2019·杭州名校大联考)已知条件p ：|x ＋1|＞2，条件q ：x ＞a ，且綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－3，＋∞)D ．(－∞，－3]解析：选A 由|x ＋1|＞2，可得x ＞1或x ＜－3，所以綈p ：－3≤x ≤1；又綈q ：x ≤a .因为綈p 是綈q 的充分不必要条件，所以a ≥1.2．已知“命题p ：(x －m )2＞3(x －m )”是“命题q ：x 2＋3x －4＜0”成立的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________________．解析：命题p ：x ＞m ＋3或x ＜m ， 命题q ：－4＜x ＜1.因为p 是q 成立的必要不充分条件， 所以m ＋3≤－4或m ≥1， 故m ≤－7或m ≥1.答案：(－∞，－7]∪[1，＋∞)一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B 若(2x －1)x ＝0，则x ＝12或x ＝0，即不一定是x ＝0；若x ＝0，则一定能推出(2x －1)x ＝0.故“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．2．设a ，b ∈R ，则“a 3＞b 3且ab ＜0”是“1a ＞1b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a 3＞b 3，知a ＞b ，由ab ＜0，知a ＞0＞b ，所以此时有1a ＞1b ，故充分性成立；当1a ＞1b 时，若a ，b 同号，则a ＜b ，若a ，b 异号，则a ＞b ，所以必要性不成立．故选A. 3．设φ∈R ，则“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 若φ＝0，则f (x )＝cos x 为偶函数；若f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数，则φ＝k π(k ∈Z )．故“φ＝0”是“f (x )＝cos(x ＋φ)(x ∈R )为偶函数”的充分不必要条件．4．命题p ：“若x 2＜1，则x ＜1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：选B q ：若x ＜1，则x 2＜1. ∵p ：x 2＜1，则－1＜x ＜1.∴p 真，当x ＜1时，x 2＜1不一定成立，∴q 假，故选B.5．若x ＞5是x ＞a 的充分条件，则实数a 的取值范围为( ) A ．(5，＋∞) B ．[5，＋∞) C ．(－∞，5)D ．(－∞，5] 解析：选D 由x ＞5是x ＞a 的充分条件知，{x |x ＞5}⊆{x |x ＞a }，∴a ≤5，故选D. 二保高考，全练题型做到高考达标1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( ) A ．“若一个数是负数，则它的平方不是正数” B ．“若一个数的平方是正数，则它是负数” C ．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数” D ．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．命题“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是( )A ．a ≥4B ．a ≤4C ．a ≥3D ．a ≤3解析：选C 即由“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”可推出选项，但由选项推不出“对任意实数x ∈[1,2]，关于x 的不等式x 2－a ≤0恒成立”．因为x ∈[1,2]，所以x 2∈[1,4]，x 2－a ≤0恒成立，即x 2≤a ，因此a ≥4；反之亦然．故选C.3．有下列命题：①“若x ＋y ＞0，则x ＞0且y ＞0”的否命题； ②“矩形的对角线相等”的否命题；③“若m ≥1，则mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集是R ”的逆命题； ④“若a ＋7是无理数，则a 是无理数”的逆否命题． 其中正确的是( ) A ．①②③ B ．②③④ C ．①③④D ．①④解析：选C ①的逆命题为“若x ＞0且y ＞0，则x ＋y ＞0”为真，故否命题为真； ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”，为假命题； ③的逆命题为，若mx 2－2(m ＋1)x ＋m ＋3＞0的解集为R ，则m ≥1. ∵当m ＝0时，解集不是R ，∴应有⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，Δ＜0， 即m ＞1.∴③是真命题；④原命题为真，逆否命题也为真．4．(2019·浙江名校联考信息卷)已知直线l 的斜率为k ，倾斜角为θ，则“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当0＜θ≤π4时，0＜k ≤1；反之，当k ≤1时，0≤θ≤π4或π2＜θ＜π.故“0＜θ≤π4”是“k ≤1”的充分不必要条件，故选A.5．命题“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是( ) A ．a ≥4 B ．a ＞4 C ．a ≥1D ．a ＞1解析：选B 要使“对任意x ∈[1,2)，x 2－a ≤0”为真命题，只需要a ≥4，∴a ＞4是命题为真的充分不必要条件．6．命题“若a ＞b ，则ac 2＞bc 2(a ，b ∈R )”，否命题的真假性为________．解析：命题的否命题为“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”． 若c ＝0，结论成立．若c ≠0，不等式ac 2≤bc 2也成立． 故否命题为真命题． 答案：真 7．下列命题：①“a ＞b ”是“a 2＞b 2”的必要条件；②“|a |＞|b |”是“a 2＞b 2”的充要条件；③“a ＞b ”是“a ＋c ＞b ＋c ”的充要条件．其中是真命题的是________(填序号)．解析：①a ＞b ⇒/ a 2＞b 2，且a 2＞b 2⇒/ a ＞b ，故①不正确； ②a 2＞b 2⇔|a |＞|b |，故②正确；③a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c ，且a ＋c ＞b ＋c ⇒a ＞b ，故③正确． 答案：②③8．已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的________条件．解析：因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，所以若sin α＋sin β＜13，则有sin(α＋β)＜13，故充分性成立；当α＝β＝π2时，有sin(α＋β)＝sin π＝0＜13，而sin α＋sin β＝1＋1＝2，不满足sin α＋sin β＜13，故必要性不成立．所以“sin α＋sin β＜13”是“sin(α＋β)＜13”的充分不必要条件．答案：充分不必要 9．已知p ：实数m 满足m 2＋12a 2＜7am (a ＞0)，q ：方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆．若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是________．解析：由a ＞0，m 2－7am ＋12a 2＜0，得3a ＜m ＜4a ，即p ：3a ＜m ＜4a ，a ＞0.由方程x 2m －1＋y 22－m＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，可得2－m ＞m －1＞0，解得1＜m ＜32，即q ：1＜m ＜32.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＞1，4a ≤32或⎩⎪⎨⎪⎧3a ≥1，4a ＜32，解得13≤a ≤38，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，38. 答案：⎣⎡⎦⎤13，3810．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2， ∴716≤y ≤2， ∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716， 解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．已知p ：x ≥k ，q ：3x ＋1＜1，如果p 是q 的充分不必要条件，则实数k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(2，＋∞) C ．[1，＋∞)D ．(－∞，－1]解析：选B 由3x ＋1＜1得，3x ＋1－1＝2－x x ＋1＜0，即(x －2)(x ＋1)＞0，解得x ＜－1或x ＞2，由p 是q的充分不必要条件知，k ＞2，故选B.2．在整数集Z 中，被4除所得余数为k 的所有整数组成一个“类”，记为[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，则下列结论正确的为________(填序号)．①2 018∈[2]；②－1∈[3]；③Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]；④命题“整数a ，b 满足a ∈[1]，b ∈[2]，则a ＋b ∈[3]”的原命题与逆命题都正确；⑤“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”．解析：由“类”的定义[k ]＝{4n ＋k |n ∈Z }，k ＝0,1,2,3，可知，只要整数m ＝4n ＋k ，n ∈Z ，k ＝0,1,2,3，则m ∈[k ]，对于①中，2 018＝4×504＋2，所以2 018∈[2]，所以符合题意；对于②中，－1＝4×(－1)＋3，所以符合题意；对于③中，所有的整数按被4除所得的余数分为四类，即余数分别为0,1,2,3的整数，即四“类”[0]，[1]，[2]，[3]，所以Z ＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，所以符合题意；对于④中，原命题成立，但逆命题不成立，因为若a ＋b ∈[3]，不妨设a ＝0，b ＝3，则此时a ∉[1]且b ∉[2]，所以逆命题不成立，所以不符合题意；对于⑤中，因为“整数a ，b 属于同一类”，不妨设a ＝4m ＋k ，b ＝4n ＋k ，m ，n ∈Z ，且k ＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋0，所以a －b ∈[0]；反之，不妨设a ＝4m ＋k 1，b ＝4n ＋k 2，m ，n ∈Z ，k 1＝0,1,2,3，k 2＝0,1,2,3，则a －b ＝4(m －n )＋(k 1－k 2)，若a －b ∈[0]，则k 1－k 2＝0，即k 1＝k 2，所以整数a ，b 属于同一类，故“整数a ，b 属于同一类”的充要条件是“a －b ∈[0]”，所以符合题意．答案：①②③⑤3．已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x －2x －(3a ＋1)＜0，B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B .(1)当a ＝12时，若p 真q 假，求x 的取值范围； (2)若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，A ＝{x |2＜x ＜37}，B ＝{x |12＜x ＜146}，因为p 真q 假． 所以(∁U B )∩A ＝{x |2＜x ≤12}， 所以x 的取值范围为(2,12]．(2)若q 是p 的必要条件，即p ⇒q ，可知A ⊆B . 因为a 2＋2＞a ，所以B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋2}． 当3a ＋1＞2，即a ＞13时，A ＝{x |2＜x ＜3a ＋1}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a 2＋2≥3a ＋1，解得13＜a ≤3－52；当3a ＋1＝2，即a ＝13时，A ＝∅，不符合题意；当3a ＋1＜2，即a ＜13时，A ＝{x |3a ＋1＜x ＜2}，应满足条件⎩⎪⎨⎪⎧a ≤3a ＋1，a 2＋2≥2解得－12≤a ＜13；综上所述，实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦⎥⎤13，3－52.命题点一 集合及其运算1．(2018·浙江高考)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}，则∁U A ＝( ) A ．∅ B ．{1,3} C ．{2,4,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：选C ∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,3}， ∴∁U A ＝{2,4,5}．2．(2018·天津高考)设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |0＜x ≤1} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |1≤x ＜2}D ．{x |0＜x ＜2}解析：选B ∵全集为R ，B ＝{x |x ≥1}， ∴∁R B ＝{x |x ＜1}． ∵集合A ＝{x |0＜x ＜2}， ∴A ∩(∁R B )＝{x |0＜x ＜1}．3．(2017·浙江高考)已知集合P ＝{x |－1＜x ＜1}，Q ＝{x |0＜x ＜2}，那么P ∪Q ＝( ) A ．(－1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0)D ．(1,2)解析：选A 根据集合的并集的定义，得P ∪Q ＝(－1,2)．4．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}解析：选C ∵A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1}，B ＝{0,1,2}，∴A ∩B ＝{1,2}．5．(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( ) A ．9 B ．8 C ．5D ．4解析：选A 将满足x 2＋y 2≤3的整数x ，y 全部列举出来，即(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，共有9个．故选A.6．(2017·江苏高考)已知集合A ＝{1,2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________． 解析：因为a 2＋3≥3，所以由A ∩B ＝{1}得a ＝1，即实数a 的值为1. 答案：1命题点二 充要条件1．(2016·浙江高考)已知函数f (x )＝x 2＋bx ，则“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A∵f (x )＝x 2＋bx ＝⎝⎛⎭⎫x ＋b 22－b 24，当x ＝－b 2时，f (x )min ＝－b 24，又f (f (x ))＝(f (x ))2＋bf (x )＝⎝⎛⎭⎫f (x )＋b 22－b 24，当f (x )＝－b 2时，f (f (x ))min ＝－b 24，当－b 2≥－b 24时，f (f (x ))可以取到最小值－b 24，即b 2－2b ≥0，解得b ≤0或b ≥2，故“b ＜0”是“f (f (x ))的最小值与f (x )的最小值相等”的充分不必要条件．选A.2．(2017·浙江高考)已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d ＞0”是“S 4＋S 6＞2S 5”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 因为{a n }为等差数列，所以S 4＋S 6＝4a 1＋6d ＋6a 1＋15d ＝10a 1＋21d,2S 5＝10a 1＋20d ，S 4＋S 6－2S 5＝d ，所以d ＞0⇔S 4＋S 6＞2S 5.3．(2015·浙江高考)设a ，b 是实数，则“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D 特值法：当a ＝10，b ＝－1时，a ＋b ＞0，ab ＜0，故a ＋b ＞0⇒/ ab ＞0； 当a ＝－2，b ＝－1时，ab ＞0，但a ＋b ＜0， 所以ab ＞0⇒/ a ＋b ＞0.故“a ＋b ＞0”是“ab ＞0”的既不充分也不必要条件．4．(2018·天津高考)设x ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由⎪⎪⎪⎪x －12＜12，得0＜x ＜1， 则0＜x 3＜1，即“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”⇒“x 3＜1”； 由x 3＜1，得x ＜1，当x ≤0时，⎪⎪⎪⎪x －12≥12， 即“x 3＜1”⇒ / “⎪⎪⎪⎪x －12＜12”． 所以“⎪⎪⎪⎪x －12＜12”是“x 3＜1”的充分而不必要条件． 5．(2017·天津高考)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 法一：由⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12，得0＜θ＜π6， 故sin θ＜12.由sin θ＜12，得－7π6＋2k π＜θ＜π6＋2k π，k ∈Z ，推不出“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”． 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 法二：⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12⇒0＜θ＜π6⇒sin θ＜12，而当sin θ＜12时，取θ＝－π6，⎪⎪⎪⎪－π6－π12＝π4＞π12. 故“⎪⎪⎪⎪θ－π12＜π12”是“sin θ＜12”的充分而不必要条件． 6．(2018·北京高考)设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由|a －3b |＝|3a ＋b |，得(a －3b )2＝(3a ＋b )2， 即a 2＋9b 2－6a ·b ＝9a 2＋b 2＋6a ·b . 又a ，b 均为单位向量，所以a 2＝b 2＝1，所以a ·b ＝0，能推出a ⊥b .由a ⊥b ，得|a －3b |＝10，|3a ＋b |＝10， 能推出|a －3b |＝|3a ＋b |，所以“|a －3b |＝|3a ＋b |”是“a ⊥b ”的充分必要条件． 命题点三 四种命题及其关系1．(2015·山东高考)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是( ) A ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0 B ．若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ≤0 C ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ＞0 D ．若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0解析：选D 根据逆否命题的定义，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是“若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0”．2．(2018·北京高考)能说明“若a ＞b ，则1a ＜1b ”为假命题的一组a ，b 的值依次为________． 解析：只要保证a 为正b 为负即可满足要求． 当a ＞0＞b 时，1a ＞0＞1b .答案：1，－1(答案不唯一)3．(2017·北京高考)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题的一组整数a ，b ，c 的值依次为________．解析：因为“设a ，b ，c 是任意实数．若a ＞b ＞c ，则a ＋b ＞c ”是假命题， 则它的否定“设存在实数a ，b ，c .若a ＞b ＞c ，则a ＋b ≤c ”是真命题． 由于a ＞b ＞c ，所以a ＋b ＞2c ，又a ＋b ≤c ，所以c ＜0. 因此a ，b ，c 依次可取整数－1，－2，－3，满足a ＋b ≤c . 答案：－1，－2，－3(答案不唯一)。
2021学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.4充分条件与必要条件课件新人教A版必修第一册
13．(13分)是否存在实数p，使“4x＋p<0”是“x>2，或x<－
1”的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；若不存在，请说
明理由．
解：存在．由4x＋p<0得x<－p4，如图在
数轴上画出不等式x>2或x<－1，由数轴
可得，当－
p 4
≤－1时，即p≥4时，由x<
－
p 4
≤－1⇒x<－1⇒x>2或x<－1.故当p≥4时，“4x＋p<0”是
一、选择题(每小题5分，共35分)
1．设x∈R，则“x>1”是“|x|>1”的( A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：由题意可知x>1⇒|x|>1，但|x|>1⇒/ x>1.故选A.
2．已知x∈R，则x<－1是{x|x>12或x<－1}的( A )
解析：命题“∀x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题，可化 为∀x∈{x|1≤x≤2}，a≥x2恒成立，即只需a≥(x2)max＝4，即“∀ x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的充要条件为a≥4，而要找 的一个充分不必要条件即为集合{a|a≥4}的真子集，由选择项可知 C符合题意．
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：x>0，y>0⇒x＋y>0；x＋y>0 ⇒/ x>0且y>0，所以“x>0 且y>0”是“x＋y>0”的充分不必要条件，选A.
4．命题“对所有的x∈{x|1≤x≤2}，x2－a≤0”为真命题的
一个充分不必要条件是( C )
【课件】第一单元集合与常用逻辑用语知识点复习课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第1章 集合与常用逻辑用语
N*
N
Z
Q
R
什么是集合？什么是元素？
“对象”
集合中的“对象”所指的范围非常广泛，现实生活中
我看到的、听到的、想到的、触摸到的事物和抽象的符号
等等，都可以看做对象。比如数、点、图形、多项式、方
程、函数、人等等、
“总体”
集合是一个整体，已暗含“所有”“全部”“全体”
互异性
一个给定的集合当中的元素是互不相同的，即集合中的元素不会重复
出现
无序性
集合中的元素排列没有顺序之分，只要某两个集合当中的元素相同，
那么它们就是相等的集合。｛1，2，3｝和｛3，2，1｝是同样的集合
集合和元素怎么表示？它们之间有什么关系？
一般来说：
用大写拉丁字母A、B、C…等表示集合
用小写拉丁字母, , …等表示元素
元素与集合的关系：
如果是是集合A的元素，那么就说属于集合A，记作∈A；
如果是不是集合A的元素，那么就说不属于集合A，记作∉A；
比如，3∈自然数集；4∉奇数集
常用的数集比如自然数集怎么表示？
【自然数集】全体自然数组成的集合，包括0，1，2…等，记作N，也叫非负整数集
【正整数集】全体正整数组成的集合，记作N*或N+；
y 2 ≥ 0”
【3】全称量词命题中一般含有全称量词，但是有些全称量词命题中的全称
量词是省略的，理解时需要把它补充出来，例如“平行四边形的对角
线互相平分”应理解为“所有的平行四边形对角线都互相平分”
全称量词命题怎么判断真假？
要判断全称量词命题“∀x ∈ M, p x ”是真命题，需要对集合中每一个
高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.5 全称量词与存在量词课时作业(含解析)新人教A版必修第一
1.5 全称量词与存在量词一、选择题1．下列语句不是存在量词命题的是( )A．有的无理数的平方是有理数B．有的无理数的平方不是有理数C．对于任意x∈Z,2x是偶数D．存在x∈R,2x＋1是奇数解析：A、B、D中含有存在量词是存在量词命题，C中含有全称量词是全称量词命题．答案：C2．判断下列命题是存在量词命题的个数( )①每一个一次函数都是增函数；②至少有一个自然数小于1；③存在一个实数x，使得x2＋2x＋2＝0；④圆内接四边形，其对角互补．A．1个B．2个C．3个 D．4个解析：①④是全称量词命题，②③是存在量词命题．答案：B3．命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为( )A．∀x∈[1,2]，x2－3x＋2>0B．∀x∉[1,2]，x2－3x＋2>0C．∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0D．∃x∉[1,2]，x2－3x＋2>0解析：由全称量词命题的否定为存在量词命题知，命题“∀x∈[1,2]，x2－3x＋2≤0”的否定为“∃x∈[1,2]，x2－3x＋2>0”，故选C.答案：C4．已知命题p：∃x0>0，x0＋a－1＝0，若p为假命题，则实数a的取值X围是( ) A．(－∞，1) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：因为p为假命题，所以綈p为真命题，所以∀x>0，x＋a－1≠0，即x≠1－a，所以1－a≤0，即a≥1，选D.答案：D二、填空题5．下列命题，是全称量词命题的是____________；是存在量词命题的是____________．①正方形的四条边相等；②有些等腰三角形是正三角形；③正数的平方根不等于0；④至少有一个正整数是偶数．解析：①③是全称量词命题，②④是存在量词命题．答案：①③②④6．给出下列四个命题：①有理数是实数；②有些平行四边形不是菱形；③对任意x∈R，x2－2x>0；④有一个素数含有三个正因数．以上命题的否定为真命题的序号是________．解析：写出命题的否定，易知③④的否定为真命题，或者根据命题①、②是真命题，③、④为假命题，再根据命题与它的否定一真一假，可得③④的否定为真命题．答案：③④7．命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是________．解析：全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题的否定为“∃x∈R，|x|＋x2<0”．答案：∃x∈R，|x|＋x2<0三、解答题8．用量词符号表述下列命题：(1)任意一个实数乘以－1都等于它的相反数；(2)对任意实数x，都有x3>x2；(3)有些整数既能被2整除，又能被3整除；(4)某个四边形不是平行四边形．解析：(1)∀x∈R，x·(－1)＝－x.(2)∀x∈R，x3>x2.(3)∃x0∈Z，x0既能被2整除，又能被3整除．(4)∃x0∈{x|x是四边形}，x0不是平行四边形．9．判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题：(1)凸多边形的外角和等于360°；(2)有的梯形对角线相等；(3)对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1；(4)有一个函数，图象是直线；(5)若一个四边形是菱形，则这个四边形的对角线互相垂直．解析：(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°”，故为全称量词命题．(2)含有存在量词“有的”，故是存在量词命题．(3)含有全称量词“任意”，故是全称量词命题．(4)含有存在量词“有一个”，故为存在量词命题．(5)若一个四边形是菱形，也就是所有的菱形，故为全称量词命题．[尖子生题库]10．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：(1)∀α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；(2)∃x，y∈Z,3x－4y＝20；(3)在实数X围内，有些一元二次方程无解；(4)正数的绝对值是它本身．解析：(1)由于α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命题为假命题，否定为：∃α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β；(2)真命题，否定为：∀x，y∈Z,3x－4y≠20；(3)真命题，否定为：在实数X围内，所有的一元二次方程都有解；(4)是全称量词命题，省略了量词“所有”，命题为真命题．否定为：有的正数的绝对值不是它本身．。
2019_2020学年新教材高中数学第一章集合与常用逻辑用语1.2集合间的基本关系新人教A版必修第一册
1．2 集合间的基本关系1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是( )A．4 B．3C．2 D．1[解析] 对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案] B2．集合A＝{x|－1≤x<2，x∈N}的真子集的个数为( )A．4 B．7C．8 D．16[解析] A＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案] A3．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，则实数x等于( ) A．4 B．－2C．4或－2 D．2[解析] ∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.[答案] C4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．[解析] 集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案] 65．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.(1)求实数m的取值范围；(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．[解] (1)当m－1>2m＋1，即m<－2时，B＝∅，符合题意．当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴(如图)，得⎩⎪⎨⎪⎧ m －1≥－1，2m ＋1≤6，解得0≤m ≤52. 综上所述，实数m 的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪ m <－2或0≤m ≤52.(2)当x ∈N 时，A ＝{0,1,2,3,4,5,6}， ∴集合A 的子集的个数为27＝128.。
第1章 集合与常用逻辑用语(知识清单)高一数学上学期期中期末考试满分全攻略(人教A版2019)
第1章集合与常用逻辑用语知识清单1.集合的概念及其表示⑴.集合中元素的三个特征：①．确定性：给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了． ②．互异性：一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.③．无序性：即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。
⑵.元素与集合的关系有且只有两种：属于（用符号“∈”表示）和不属于（用符号“∉”表示）． ⑶.集合常用的表示方法有三种：列举法、Venn 图、描述法． (4).常见的数集及其表示符号 名称自然数集 (非负整数集)正整数集整数集有理数集实数集表示符号N*N 或+NZ Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言V enn 图子集集合A 中所有元素都在集合B 中(即若x ∈A ，则x ∈B )A ⊆B(或B ⊇A )真子集集合A 是集合B 的子集，且集合B 中至少有一个元素不在集合A 中A B(或BA )集合相等集合A ，B 中元素完全相同或集合A ，B 互为子集A ＝B【名师提醒】子集与真子集的区别与联系：一个集合的真子集一定是其子集，而其子集不一定是其真子集.2. 集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为 全集 ，全集通常用字母 U 表示；集合的并集 集合的交集 集合的补集图形符号 A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }【名师提醒】1．若有限集A 中有n 个元素,则集合A 的子集个数为2n,真子集的个数为2n－1，非空真子集n2-2个.2．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUAB A B U ⇔=∅⇔= .3．奇数集：{}{}{}21,21,4 1.x x n n x x n n x x n n =+∈==-∈==±∈Z Z Z .4. 德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()UUU A B A B ； ②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B ．【名师点睛】1.判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性.2. 集合中的元素具有三个特性，求解与集合有关的字母参数值(范围)时，需借助集合中元素的互异性来检验所求参数是否符合要求．3．解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨论的意识．4.利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．5.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解. 6.求集合交集的方法为： （1）定义法， （2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示． 知识点一 充分条件与必要条件(1)一般地，“若p ，则q ”为真命题，是指由p 通过推理可以得出q ，这时，我们就说，由p 可以推出q ，记作p ⇒q ，并且说，p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．(2)几点说明若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条p⇏q且q⇏p件知识点二充要条件(1)如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．(2)如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．知识点三全称量词和存在量词(1)全称量词有：所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．(2)含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为：∀x∈M，p(x)．(3)含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p(x0)成立”用符号简记为：∃x0∈M，p(x0)．知识点四含有一个量词的命题的否定一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：(1)全称量词命题p：∀x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∃x∈M，﹁p(x)；(2)存在量词命题p：∃x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∀x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)【知识拓展】1．充分必要条件判断精髓：小集合推出大集合，小集合是大集合的充分不必要条件，大集合是小集合的必要不充分条件；若两个集合范围一样，就是充要条件的关系；2.若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．①若A B，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；③若A B，则p是q的必要不充分条件；④若A＝B，则p是q的充要条件；⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．。
第一章-1.2-集合间的基本关系高中数学必修第一册人教A版
集合A中，故 ⫋ .
2
1
4
方法2 （特征法） 集合A中的元素为 = + =
4
1
2
= + =
+2
4
2+1
(
4
∈ Z),集合B中的元素为
∈ ,而2 + 1 ∈ 为奇数, + 2 ∈ 为整数,故 ⫋ .
例12 ［多选题］已知集合 = {1，2，3}， = {| ⊆ },则下列结论正确的是
例3-5 (2024·福建省福州超德中学段考)若集合 = {−1，1}， = {| = 2}，且
⊆ ，则实数的值是 ( D
A.−2
B.2
)
C.2或−2
D.2或−2或0
【解析】当 = ⌀ 时（【明易错】在遇到 ⊆ 的情况时，一定要讨论B是否为⌀ ，
为⌀ 的情况易被忽视）， = 0，符合题意，
33 + 73 + 08，153，370}，
所以真子集个数为23 − 1 = 7．
例15 (2024·福建省厦门十中段考)已知集合 = {1,3,5}，则集合的所有非空子集的
36
元素之和为____.
【解析】集合的非空子集分别是：{1},{3},{5},{1,3},{1,5},{3,5},{1,3,5}.
当 = {−1}时， = −2,
当 = {1}时， = 2.
知识点4 有限集合的子集、真子集的个数
例4-6 (2024·广东省惠州市期中)若集合满足 ⫋ {1，2}，则满足题意的的个数为
( B
A.2
)
B.3
C.4
【解析】集合满足 ⫋ {1，2}，集合{1，2}的元素个数为2，
高中数学知识点总结(第一章 集合与常用逻辑用语)
第一章 集合与常用逻辑用语第一节 集 合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中． (2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (4)五个特定的集合及其关系图：N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ⊆B (或B ⊇A )．(2)真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作A B 或B A .A B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ≠B .既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A .(3)集合相等：如果A ⊆B ，并且B ⊆A ，则A ＝B .两集合相等：A ＝B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧A ⊆B ，A ⊇B .A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作∅.∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅},0∈{0}，∅⊆{0}．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．(2)并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}．(3)补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁U A，即∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}．求集合A的补集的前提是“A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集U中取出集合A的全部元素，剩下的元素构成的集合即为∁U A.二、常用结论(1)子集的性质：A⊆A，∅⊆A，A∩B⊆A，A∩B⊆B.(2)交集的性质：A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.(3)并集的性质：A∪B＝B∪A，A∪B⊇A，A∪B⊇B，A∪A＝A，A∪∅＝∅∪A＝A.(4)补集的性质：A∪∁U A＝U，A∩∁U A＝∅，∁U(∁U A)＝A，∁A A＝∅，∁A∅＝A.(5)含有n个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－1个真子集，2n－1个非空子集．(6)等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.第二节命题及其关系、充分条件与必要条件一、基础知识1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可.2．四种命题及其相互关系3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件；①A是B的充分不必要条件是指：A⇒B且B A；②A的充分不必要条件是B是指：B⇒A且A B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．(2)如果q⇒p，则p是q的必要条件；(3)如果既有p⇒q，又有q⇒p，记作p⇔q，则p是q的充要条件．充要关系与集合的子集之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，①若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．②若A B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件．③若A＝B，则p是q的充要条件．二、常用结论1．四种命题中的等价关系原命题等价于逆否命题，否命题等价于逆命题，所以在命题不易证明时，往往找等价命题进行证明．2．等价转化法判断充分条件、必要条件p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件．其他情况以此类推．第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词一、基础知识1．简单的逻辑联结词(1)命题中的“且”“或”“非”❶叫做逻辑联结词．①用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p且q”，记作p∧q；②用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，得到复合命题“p或q”，记作p∨q；③对命题p的结论进行否定，得到复合命题“非p”，记作非p.❷❶“且”的数学含义是几个条件同时满足，“且”在集合中的解释为“交集”；“或”的数学含义是至少满足一个条件，“或”在集合中的解释为“并集”；“非”的含义是否定，“非p”只否定p的结论，“非”在集合中的解释为“补集”.❷“命题的否定”与“否命题”的区别(1)命题的否定只是否定命题的结论，而否命题既否定其条件，也否定其结论．(2)命题的否定与原命题的真假总是相对立的，即一真一假，而否命题与原命题的真假无必然联系．(2)命题真值表：命题真假的判断口诀p∨q→见真即真，p∧q→见假即假，p与非p→真假相反.2．全称量词与存在量词3.全称命题与特称命题4．全称命题与特称命题的否定二、常用结论含逻辑联结词命题真假的等价关系(1)p∨q真⇔p，q至少一个真⇔(非p)∧(非q)假．(2)p∨q假⇔p，q均假⇔(非p)∧(非q)真．(3)p∧q真⇔p，q均真⇔(非p)∨(非q)假．(4)p∧q假⇔p，q至少一个假⇔(非p)∨(非q)真．。
【人教A版】高中数学必修第一册第一章集合与常用逻辑用语第一节《集合的概念》教学设计
【人教A版】高中数学必修一第一章：《集合的概率》教学设计本节课位于北师大版普通高中课程标准实验教科书 (必修)（Ⅰ）第一章第一节。
集合是高中数学的基础，集合作为一种数学语言贯穿于整个高中数学，所以学好这一章节内容是十分关键的。
集合又是高中数学课程的起始章，内容具有一定的抽象性，研究的方法也与初中不同，所以设计好这一章节内容的教学，对学生能否入门高中数学起着关键性的作用。
所以我设计这节课时主要是通过创设情景，让学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会，使学生在实际使用中逐渐熟悉自然语言、集合语言各自的特点，并掌握集合语言。
因此我采取了如下的教学设计思路。
一、内容分析【三维目标】知识与技能：①通过实例了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系的意义，体会用集合语言表达数学内容的简洁性、准确性，学会用集合语言表示有关的数学对象；②初步了解有限集、无限集、空集的意义；③掌握常用数集及集合表示的符号，能用集合语言描述一些具体的数学问题，感受集合语言的作用。
过程与方法：①通过学习集合的含义，从中体会集合中蕴涵的分类思想；②通过对集合表示法的学习，认识到列举法与描述法不同的适用范围。
情感、态度与价值观：通过集合的教学，激发学生的学习兴趣，培养学生良好的学习习惯，体会数学学习的意义。
【重点难点】重点：集合的含义与表示；难点：运用集合的两种常用表示法，正确表示一些简单的集合。
二、学情分析90后的高一新生接受新事物的能力比较强，已经具有一定的分析问题与解决问题的能力。
高一新生虽然经历了初中的启发式学习，但学生的依赖性还较强，自学能力与抽象思维能力还较弱。
所以在本节课的教学过程中，将在自主探究与合作交流方面做进一步的加强与引导。
三、教法学法多媒体辅助教学——主要是利用多媒体展示图片来增加学生的学习兴趣和对集合知识的直观理解。
为突破本节课的重难点，在教法上充分体现教师的引导作用；在学法上突出学生的“自主探究与合作交流”。
【新教材课件】2021学年高中数学人教A版必修第一册：本章总结第一章 集合与常用逻辑用语
专题二 集合间的关系 集合与集合间的关系是包含(真包含)和相等关系，判断两集 合之间的关系，可从元素特征入手，并注意代表元素；应用两集 合关系时注意对细节的把握，不要忽略掉特殊情况，如已知 A⊆ B 的情况下，不要忽略 A＝∅的情况．
专题四 充分条件与必要条件 充要条件是数学中较为重要的一个概念，在高考中经常有所 考查，以数学的其他知识为载体，考查充分条件、必要条件、充 要条件的判断或寻求充要条件的成立性．
[例 4] (1)若 a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的
(A )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
(3)已知含量词的命题的真假求参数的取值范围，实质上是 对命题意义的考查．解决此类问题，一定要辨清参数，合理选取 主元，确定解题思路，利用函数、方程、不等式等知识求解参数 的取值范围．解题过程中要注意相关条件的限制．
[例 5] 设 A、B 为两个集合，下列四个命题： ①A B⇔对任意 x∈A，有 x∉B；
[变式训练 3] (1)已知集合 P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈ R|x≤－2 或 x≥2}，则 P∪(∁RQ)＝( B )
A．{x|2≤x≤3} B．{x|－2<x≤3} C．{x|1≤x<2} D．{x|x≤－2 或 x≥1} (2)设 A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如 图中阴影部分表示的集合为( A )
A．4 B．2 C．0 D．0 或 4 (2)已知集合 A＝{0,1,2}，则集合 B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素 的个数是( C ) A．1 B．3 C．5 D．9