人教版九年级上数学第21章一元二次方程单元过关测试卷
人教版九年级上数学第21章一元二次方程单元过关测试卷
1．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2＝0的常数项是0，则m的值（ ）
A．1 B．1或2 C．2 D．±1
2．已知2是关于x的方程x2﹣（5+m）x+5m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好
是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（ ）
A．9 B．12 C．9或12 D．6或12或15
3．已知α、β是方程x2﹣2x﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ）
A．﹣1 B．2 C．22 D．30
4．若a+c＝b，那么方程ax2+bx+c＝0（a≠0）必有一根是（ ）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．0
5．用配方法解方程x2﹣x﹣1＝0时，应将其变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x+）2＝
C．（x﹣）2＝0 D．（x﹣）2＝
6．若2x2+1与4x2﹣2x﹣5的值互为相反数，则x的值是（ ）
A．﹣1或 B．1或﹣ C．1或﹣ D．1或
7．已知方程x2+3x﹣4＝0的解是x1＝1，x2＝﹣4，则方程（2x+3）2+3（2x+3）﹣4＝0
的解是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝﹣3.5 B．x1＝1，x2＝﹣3.5
C．x1＝1，x2＝3.5 D．x1＝﹣1，x2＝3.5
8．某汽车生产商新推出一款新型电动低能耗汽车，由于该型号汽车经济适用性强，销量快
速增长，1月份该型号汽车的销量为2000辆，3月份该型号汽车的销量达4500辆．设
该型号汽车销量的月平均增长率为x，则根据题意可列方程为（ ）
A．2000（1+x）2＝4500 B．2000（1+2x）＝4500
C．2000（1﹣x）2＝4500 D．2000x2＝4500
9．某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价
处理，为占有市场份额，即在确保盈利的前提下，尽量增加销售量，且经市场调查：每
降价1元，每星期可多卖出20件．现在要使利润为6120元，每件商品应降价（ ）
元．
A．3 B．2.5 C．2 D．5
10．从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一条长方形，余下的面积48cm2，则原来的正方形
铁皮的面积是（ ）
A．9cm2 B．68cm2 C．8cm2 D．64cm2
11．把方程3x（x﹣1）＝2（x+2）+8化成一般形式为 ，它的一次项系数为 ，
常数项为 ．
12．若（x2+y2+3）2﹣6（x2+y2+3）+8＝0，则x2+y2﹣5＝ ．
13．方程x4﹣x2﹣6＝0，设y＝x2，则原方程变形为 ，原方程的根为 ．
14．用换元法解方程2x2+＝5（2x+3）．若设 ＝y．则原方程可化为关于
y
的整式方程为 ．
15．解下列方程：
（1）2x2﹣x＝1
（2）（x+3）2﹣8（x+3）+16＝0
（3）x﹣2x2＝（x﹣3）（x+4）
（4）x2﹣2x﹣2＝0；
（5）（x﹣1）（x﹣3）＝8．
16．若m是一元二次方程方程x|a|﹣1﹣x﹣2＝0的一个实数根．
（1）求a的值；
（2）不解方程，求代数式（m2﹣m）•（m﹣+1）的值．
17．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1＝0．
（1）当a＝﹣11时，解这个方程；
（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；
（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]＝9，求a的值．
18．某电冰箱厂每个月的产量都比上个月增长的百分数相同．已知该厂今年4月份的电冰
箱产量为5万台，6月份比5月份多生产了1.2万台．
（1）求该厂今年产量的月平均增长率为多少？
（2）预计7月份的产量为多少万台？
19．某文具店去年8月底购进了一批文具1160件，预计在9月份进行试销．购进价格为
每件10元．若售价为12元/件，则可全部售出．若每涨价0.1元．销售量就减少2件．
（1）求该文具店在9月份销售量不低于1100件，则售价应不高于多少元？
（2）由于销量好，10月份该文具进价比8月底的进价每件增加20%，该店主增加了进
货量，并加强了宣传力度，结果10月份的销售量比9月份在（1）的条件下的最低销售
量增加了m%，但售价比9月份在（1）的条件下的最高售价减少m%．结果10月份
利润达到3388元，求m的值（m＞10）．
20．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要
将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形
边长多大？
21．某商场销售一批进价为10元的新商品，为寻求合适的销售价格，他们进行了4天的试
销，试销情况如下表：
第1天 第2天 第3天 第4天
日销售单价x（元） 20 30 40 50
日销售量y（个） 300 200 150 120
（1）根据试销情况，请你猜测并求出y与x之间的函数关系式；
（2）若该商场计划每天销售这种商品的利润要达到3600元，问该商品销售单价应定为
多少元？
人教版数学九年级上册第21章 一元二次方程 单元检测(含答案)
九年级上册第21章单元检测一．选择题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6B．﹣2＝0C．x2+y2＝4D．6x+1＝02．已知一元二次方程的两根分别是3和﹣2，则这个方程可以是（）A．（x+3）（x﹣2）＝0B．x2+x+6＝0C．（x﹣3）（x+2）＝0D．x2﹣3x+2＝03．已知一元二次方程x2﹣6x+c＝0有一个根为2，则另一根及c的值分别为（）A．2，8B．3，4C．4，3D．4，84．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m≥B．m≤C．m≥3D．m≤35．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，26．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或47．定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，都有a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例4*3＝（4+3）（4﹣3）﹣1＝7﹣1＝6．若x*k＝x （k为实数）是关于x的方程，则它的根的情况为（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根8．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（）A．（x﹣2）2＝B．2（x﹣2）2＝C．（x﹣1）2＝D．（2x﹣1）2＝1 9．下列用配方法解方程x2﹣x﹣2＝0的四个步骤中，出现错误的是（）A．①B．②C．③D．④10．若整数a既使得关于x的分式方程﹣2＝有非负数解，又使得关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，则符合条件的所有a的个数为（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．一元二次方程4x（x﹣2）＝x﹣2的解为．12．用配方法解一元二次方程x2+6x+1＝0时，配方后方程可化为：．13．某种服装原价为200元，现连续两次降价，每次降价的百分率相同．已知降价后的价格不能低于进价110元，且第一次降价后的价格比第二次降价后的价格高32元，则每次降价的百分率是．14．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0的一个根是x＝2，则另外一个根为．15．关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，则m的取值范围是．三．解答题16．解一元二次方程（1）（2x﹣3）2＝4；（2）x2﹣6x﹣5＝0．17．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．18．张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率；（2）按照这个平均增长率，预计今年五月份的盈利能达到多少元？19．已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+5（k﹣）＝0．求证：（1）无论k取何值，该方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是该方程的两个根，求△ABC的周长．20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．参考答案一．选择题1．解：3x2﹣5x＝6符合一元二次方程的定义，故选项A正确；﹣2＝0不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；x2+y2＝4是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；6x+1＝0是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．故选：A．2．解：∵3+（﹣2）＝1，3×（﹣2）＝﹣6，∴以3和﹣2为根的一元二次方程可为x2﹣x﹣6＝0．故选：C．3．解：设方程的另一个根为t，根据题意得t+2＝6，2t＝c，解得t＝4，c＝8．故选：D．4．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴△＝12﹣4m≥0，∴m≤3．故选：D．5．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．6．解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．7．解：∵x*k＝x（k为实数）是关于x的方程，∴（x+k）（x﹣k）﹣1＝x，整理得x2﹣x﹣k2﹣1＝0，∵△＝（﹣1）2﹣4（﹣k2﹣1）＝4k2+5＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选：C．8．解：∵2x2﹣4x+1＝0，∴2x2﹣4x＝﹣1，x2﹣2x＝﹣，x2﹣2x+1＝1﹣，∴（x﹣1）2＝．9．解：解方程x2﹣x﹣2＝0，去分母得：x2﹣2x﹣4＝0，即x2﹣2x＝4，配方得：x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，开方得：x﹣1＝±，解得：x＝1±，则四个步骤中出现错误的是④．故选：D．10．解：解﹣2＝得，x＝﹣，∵分式方程﹣2＝有非负数解，∴﹣≥0且x﹣1＝﹣﹣1≠0∴a≤﹣1且a≠﹣4，∵关于x的方程x2﹣x+a+6＝0无解，∴△＝1﹣4（a+6）＜0，解得，a＞﹣5，综上，﹣5＜x≤﹣1且a≠﹣4，∵a为整数，∴a＝﹣5或﹣3或﹣2或﹣1，故选：D．11．解：4x（x﹣2）＝x﹣24x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0（x﹣2）（4x﹣1）＝0x﹣2＝0或4x﹣1＝0解得x1＝2，x2＝．故答案为：x1＝2，x2＝．12．解：∵x2+6x+1＝0，∴x2+6x＝﹣1，∴x2+6x+9＝﹣1+9，∴（x+3）2＝8，故答案为：（x+3）2＝8．13．解：设每次降价的百分率为x，依题意，得：200（1﹣x）﹣200（1﹣x）2＝32，整理，得：25x2﹣25x+4＝0，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝0.8＝80%．当x＝20%时，200（1﹣x）2＝128＞110，符合题意；当x＝80%时，200（1﹣x）2＝8＜110，不符合题意，舍去．故答案为：20%．14．解：设方程的另一个根为t，根据题意得2t＝﹣2，解得t＝﹣1．即方程的另一个根为﹣1．故答案为﹣1．15．解：∵关于x的方程（m+1）x2+3x﹣1＝0有两个实数根，∴△＝9+4（m+1）≥0，且m+1≠0，解得：m≥﹣且m≠﹣1．故答案为：m≥﹣且m≠﹣1．三．解答题16．解：（1）开方得：2x﹣3＝2或2x﹣3＝﹣2，解得：x1＝2.5，x2＝0.5；（2）方程整理得：x2﹣6x＝5，配方得：x2﹣6x+9＝14，即（x﹣3）2＝14，开方得：x﹣3＝±，解得：x1＝3+，x2＝3﹣．17．解：（1）根据题意得△＝（2k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤；（2）不存在．∵x1+x2＝﹣（2k﹣1），x1x2＝k2，而x1+x2和x1x2互为相反数，∴﹣（2k﹣1）+k2＝0，解得k1＝k2＝1，∵k≤，∴不存在实数k，使得x1+x2和x1x2互为相反数．18．解：（1）设每月盈利平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2＝7200．解得：x1＝20%，x2＝﹣220%（不符合题意，舍去），答：每月盈利的平均增长率为20%；（2）7200（1+20%）＝8640（元），答：按照这个平均增长率，预计今年五月份这家商店的盈利将达到8640元．19．解：（1）证明：，∵4（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）∵△ABC是等腰三角形，∴b＝c或b、c中有一个为4，①当b＝c时，△＝4（k﹣2）2＝0，则k＝2，方程化为，解得，而，∴、、4能够成三角形；△ABC的周长为；②当b＝a＝4或c＝a＝4时，把x＝4代入方程，得，解得，方程化为，解得，x2＝4，∵4、4、能够成三角形，∴△ABC的周长为．综上所述，△ABC的周长为9或．20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，x＝3或x＝﹣2，∵2≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；②x＝＝，∵＝+1，∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，∴x＝m或x＝﹣1，∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，∴m＝0或﹣2；（3）解方程得x＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴﹣＝1，∴b2＝a2+4a，∵t＝12a﹣b2，∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，∵a＞0，∴a＝4时，t的最大值为16．。
人教新版 九年级(上)数学 第21章 一元二次方程 单元测试卷 (解析版)
第21章一元二次方程单元测试一、选择题（共10小题）.1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝02．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1 3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0 4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.25．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥16．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为．13．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为．三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①，②，③，④．（2）猜想：第n个方程为，其解为．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x+2y＝0B．x2﹣4y＝0C．x2+3x＝0D．x+1＝0解：A．x+2y＝0含有两个未知数，不合题意；B．x2﹣4y＝0含有两个未知数，不合题意；C．x2+3x＝0是一元二次方程，符合题意；D．x+1＝0中未知数的最高次数不是2次，不合题意；故选：C．2．（3分）一元二次方程（x﹣1）2＝0的解是（）A．x1＝0，x2＝1B．x1＝1，x2＝﹣1C．x1＝x2＝1D．x1＝x2＝﹣1解：∵（x﹣1）2＝0，∴x﹣1＝0，x＝1，即x1＝x2＝1，故选：C．3．（3分）下列方程中，两根分别为2和3的方程是（）A．x2﹣x﹣6＝0B．x2﹣6x+5＝0C．x2+x﹣6＝0D．x2﹣5x+6＝0解：∵方程的两根分别为2和3，∴2+3＝5，2×3＝6，∴方程为x2﹣5x+6＝0．故选：D．4．（3分）某公司年前缴税20万元，今年缴税24.2万元．若该公司这两年的年均增长率相同，设这个增长率为x，则列方程（）A．20（1+x）3＝24.2B．20（1﹣x）2＝24.2C．20+20（1+x）2＝24.2D．20（1+x）2＝24.2解：设这个增长率为x，由题意得，20（1+x）2＝24.2．故选：D．5．（3分）关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，则k的范围是（）A．k＜1B．k＞1C．k≤1D．k≥1解：∵关于x的一元二次方程9x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实根，∴△＝（﹣6）2﹣4×9k＞0，解得k＜1．故选：A．6．（3分）已知方程x2+bx+a＝0有一个根是1，则代数式a+b的值是（）A．1B．﹣1C．0D．以上答案都不是解：∵方程x2+bx+a＝0有一个根是1，∴1+b+a＝0，∴a+b＝﹣1．故选：B．7．（3分）对于一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），下列说法：①若a+c＝0，方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有ac+b+1＝0成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，则一定有b2﹣4ac＝（2am+b）2成立．其中正确的只有（）A．①②B．②③C．③④D．①④解：①因为a+c＝0，a≠0，所以①a、c异号，所以△＝b2﹣4ac＞0，所以方程有两个实数根；②若方程ax2+bx+c＝0有两个不等的实数根，则△＝b2﹣4ac＞0，所以方程cx2+bx+a＝0也一定有两个不等的实数根；若c＝0，则方程cx2+bx+a＝0为一次，没有两个不等实数根；③若c是方程ax2+bx+c＝0的一个根，当c＝0时，ac+b+1＝0不一定成立；④若m是方程ax2+bx+c＝0的一个根，所以有am2+bm+c＝0，即am2＝﹣（bm+c），而（2am+b）2＝4a2m2+4abm+b2＝4a[﹣（bm+c）]+4abm+b2＝﹣4abm﹣4ac+4abm+b2＝b2﹣4ac．所以①④成立．故选：D．8．（3分）解方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是（）A．直接开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法解：方程（5x﹣1）2＝（2x+3）2的最适当方法应是直接开平方法．故选：A．9．（3分）以4、9为两边长的三角形的第三边长是方程x2﹣14x+40＝0的根，则这个三角形的周长为（）A．17或23B．17C．23D．以上都不对解：x2﹣14x+40＝0，（x﹣4）（x﹣10）＝0，x﹣4＝0或x﹣10＝0，所以x1＝4，x2＝10，因为4+4＜9，不符合三角形三边的关系，所以三角形的第三边长是10，所以三角形的周长＝4+9+10＝23．故选：C．10．（3分）已知（x+y）（x+y+2）﹣8＝0，则x+y的值是（）A．﹣4或2B．﹣2或4C．2或﹣3D．3或﹣2解：设x+y＝a，原方程可化为a（a+2）﹣8＝0即：a2+2a﹣8＝0解得a1＝2，a2＝﹣4∴x+y＝2或﹣4故选：A．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则m＝﹣1．解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1＝0是关于x的一元二次方程，∴|m|＝1，m﹣1≠0，解得：m＝﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）将方程x2﹣2x+1＝4﹣3x化为一般形式为x2+x﹣3＝0．解：方程整理得：x2+x﹣3＝0，故答案为：x2+x﹣3＝013．（3分）已知一元二次方程2x2﹣3x＝1，则b2﹣4ac＝17．解：由原方程，得2x2﹣3x﹣1＝0，∴二次项系数a＝2，一次项系数b＝﹣3，常数项c＝﹣1，∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×（﹣1）＝9+8＝17；故答案是：17．14．（3分）一元二次方程x2+px﹣2＝0的一个根为2，则p的值﹣1．解：把x＝2代入方程x2+px﹣2＝0得4+2p﹣2＝0，解得p＝﹣1．故答案为：﹣1．15．（3分）若x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，且x1+x2＝1﹣x1x2，则m 的值为1．解：∵x1，x2是方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0的两个根，∴x1+x2＝2m，x1x2＝m2﹣m﹣1．∵x1+x2＝1﹣x1x2，即2m＝1﹣（m2﹣m﹣1），∴m1＝﹣2，m2＝1．∵方程x2﹣2mx+m2﹣m﹣1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣2m）2﹣4（m2﹣m﹣1）＝4m+4≥0，解得：m≥﹣1，∴m＝1．故答案为：1．16．（3分）在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+2）*5＝0的解为x＝3或x＝﹣7．解：据题意得，∵（x+2）*5＝（x+2）2﹣52∴x2+4x﹣21＝0，∴（x﹣3）（x+7）＝0，∴x＝3或x＝﹣7．故答案为：x＝3或x＝﹣7三．解答题（共9小题，满分72分）17．（16分）用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1＝，x2＝﹣；（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x﹣＝0，移项，得x2﹣2x＝，配方，得x2﹣2x+1＝，即（x﹣1）2＝，解得：x﹣1＝±，即x1＝1+，x2＝1﹣；（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x＝，解得：x1＝，x2＝；（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1＝，x2＝1．18．（6分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0（1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一个根．解：（1）∵△＝a2﹣4×1×（a﹣2）＝a2﹣4a+8＝（a﹣2）2+4＞0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）将x＝1代入方程，得：1+a+a﹣2＝0，解得a＝，将a＝代入方程，整理可得：2x2+x﹣3＝0，即（x﹣1）（2x+3）＝0，解得x＝1或x＝﹣，∴该方程的另一个根﹣．19．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2＝0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当x12﹣x22＝0时，求m的值．解：（1）由题意有△＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得，∴实数m的取值范围是；（2）由两根关系，得根x1+x2＝﹣（2m﹣1），x1•x2＝m2，由x12﹣x22＝0得（x1+x2）（x1﹣x2）＝0，若x1+x2＝0，即﹣（2m﹣1）＝0，解得，∵＞，∴不合题意，舍去，若x1﹣x2＝0，即x1＝x2∴△＝0，由（1）知，故当x12﹣x22＝0时，．20．（6分）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售，销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？解：由题意得出：200（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+（4﹣6）[（600﹣200）﹣（200+50x）]＝1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）＝1250，整理得：x2﹣2x+1＝0，解得：x1＝x2＝1，∴10﹣1＝9．答：第二周的销售价格为9元．21．（7分）某学校机房有100台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染．（1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？（2）若病毒得不到有效控制，多少轮感染后机房内所有电脑都被感染？解：（1）设每轮感染中平均每一台电脑会感染x台电脑，依题意得：1+x+（1+x）x＝16，整理得（1+x）2＝16，则x+1＝4或x+1＝﹣4，解得x1＝3，x2＝﹣5（舍去）．答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑；（2）∵n轮后，有（1+x）n台电脑被感染，故（1+3）n＝4n，∵n＝3时，43＝64，n＝4时，44＝256．答：4轮感染后机房内所有电脑都被感染．22．（7分）一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔301支以上（包括301支）可以按批发价付款；购买300支以下（包括300支）只能按零售价付款，现有小王购买铅笔，如果给初三年级学生每人买1支，只能按零售价付款，需用（m2﹣1）元，（m为正整数，且m2﹣1＞100）如果多买60支，则可按批发价付款，同样需用（m2﹣1）元．（1）设初三年级共有x名学生，则x的取值范围是多少？铅笔的零售价每支多少元？批发价每支应为多少元？（用含x、m的代数式表示）（2）若按批发价每购15支比按零售价每购15支少一元，试求初三年级共有多少学生？并确定m的值．解：（1）由题意可得，，解得，241≤x≤300，即x的取值范围是：241≤x≤300（x为正整数）；铅笔的零售价每支应为：元；铅笔的批发价每支应为：元；（2）由题意可得，15×﹣15×＝1，化简，得x2+60x﹣900（m2﹣1）＝0，解得，x1＝30（m﹣1），x2＝﹣30（m+1）（舍去），∴241≤30（m﹣1）≤300，解得，≤m≤11，∴m＝10或m＝11，当m＝10时，m2﹣1＝99＜100，故m＝10不合题意，舍去，当m＝11时，m2﹣1＝120＞100，符合题意，∴m＝11，∴x＝30（m﹣1）＝300，经检验x＝300是原分式方程的解，答：初三年级共有300名学生，m的值是11．23．（7分）如图所示，△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm．（1）点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P、Q分别从A，B同时出发，线段PQ能否将△ABC 分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．（2）若P点沿射线AB方向从A点出发以1cm/s的速度移动，点Q沿射线CB方向从C 点出发以2cm/s的速度移动，P、Q同时出发，问几秒后，△PBQ的面积为1cm2？解：（1）设经过x秒，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分由题意知：AP＝x，BQ＝2x，则BP＝6﹣x，∴（6﹣x）•2x＝××6×8，∴x2﹣6x+12＝0，∵b2﹣4ac＜0，此方程无解，∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分；（2）设t秒后，△PBQ的面积为1①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时此时0＜t≤4由题意知：（6﹣t）（8﹣2t）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+（不合题意，应舍去），t2＝5﹣，②当点P在线段AB上，点Q在线段CB的延长线上时此时4＜t≤6，由题意知：（6﹣t）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+25＝0，解得：t1＝t2＝5，③当点P在线段AB的延长线上，点Q在线段CB的延长线上时此时t＞6，由题意知：（t﹣6）（2t﹣8）＝1，整理得：t2﹣10t+23＝0，解得：t1＝5+，t2＝5﹣，（不合题意，应舍去），综上所述，经过5﹣秒、5秒或5+秒后，△PBQ的面积为1．24．（8分）已知，下列n（n为正整数）个关于x的一元二次方程：①x2﹣1＝0，②x2+x﹣2＝0，③x2+2x﹣3＝0，④x2+3x﹣4＝0，…，⑪，…（1）上述一元二次方程的解为①x1＝1，x2＝﹣1，②x1＝1，x2＝﹣2，③x1＝1，x2＝﹣3，④x1＝1，x2＝﹣4．（2）猜想：第n个方程为x2+（n﹣1）x﹣n＝0，其解为x1＝1，x2＝﹣n．（3）请你指出这n个方程的根有什么共同的特点（写出一条即可）．解：（1）①（x+1）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣1．②（x+2）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣2．③（x+3）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣3．④（x+4）（x﹣1）＝0，∴x1＝1，x2＝﹣4．（2）由（1）找出规律，可写出第n个方程为：x2+（n﹣1）x﹣n＝0，（x﹣1）（x+n）＝0，解得x1＝1，x n＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．故答案是：（1）①x1＝1，x2＝﹣1．②x1＝1，x2＝﹣2．③x1＝1，x2＝﹣3．④x1＝1，x2＝﹣4．（2）x2+（n﹣1）x﹣n＝0；x1＝1，x2＝﹣n．（3）这n个方程都有一个根是1；另一个根是n的相反数；a+b+c＝0；b2﹣4ac＝（n+1）2；都有两个不相等的实数根；两个根异号．25．（9分）先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题：例题：求代数式y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8＝y2+4y+4+4＝（y+2）2+4∵（y+2）2≥0∴（y+2）2+4≥4∴y2+4y+8的最小值是4．（1）求代数式m2+m+4的最小值；（2）求代数式4﹣x2+2x的最大值；（3）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m）的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20m的栅栏围成．如图，设AB＝x（m），请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？解：（1）m2+m+4＝（m+）2+，∵（m+）2≥0，∴（m+）2+≥，则m2+m+4的最小值是；（2）4﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+5，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+5≤5，则4﹣x2+2x的最大值为5；（3）由题意，得花园的面积是x（20﹣2x）＝﹣2x2+20x，∵﹣2x2+20x＝﹣2（x﹣5）2+50∵﹣2（x﹣5）2≤0，∴﹣2（x﹣5）2+50≤50，∴﹣2x2+20x的最大值是50，此时x＝5，则当x＝5m时，花园的面积最大，最大面积是50m2．。
人教版数学九年级上册 第21章 一元二次方程 单元检测(含答案)
九年级上册第21章单元检测一．选择题1．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣5m+6＝0于有一个根是0，那么m的值为（）A．2B．3C．3或2D．﹣22．若关于x的方程（m+3）x+（3m﹣5）x+5＝0是一元二次方程，那么m的值为（）A．±3B．3C．﹣3D．都不对3．用配方法解一元二次方程2x2﹣3x﹣1＝0，配方正确的是（）A ．B ．C ．D ．4．若x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，设p＝（ax1﹣2）2，q＝ac+5，则p与q 的大小关系为（）A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定5．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，则m的取值范围是（）A．m ≥B．m ≤C．m≥3D．m≤36．方程9x2＝8x+2化为一般式后的二次项、一次项、常数项分别是（）A．9x2，8x，2B．﹣9x2，﹣8x，﹣2C．9x2，﹣8x，﹣2D．9x2，﹣8x，27．关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，则a的值为（）A．﹣3B．0C．1D．﹣3 或0第1页（共14页）8．如果关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，且关于x 的分式方程＝a有整数解，则符合条件的整数a的和为（）A．1B．2C．6D．79．关于x的方程（x+a）2＝b能直接开平方求解的条件是（）A．a≥0，b≥0B．a≥0，b≤0C．a为任意数或b＜0D．a为任意数且b≥010．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P 在直线l：y＝﹣x +上，点Q （a，b）在直线l下方，则PQ的最小值为（）A ．B ．C ．D ．二．填空题11．一元二次方程x2﹣x﹣6＝0的根是．12．把二次三项式x2﹣6x+8化成（x+p）2+q的形式应为．13．某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，商场计划要赚600元，则可列方程为．14．若等腰三角形底边长为8，腰长是方程x2﹣9x+20＝0的一个根，则这个三角形的周长．第2页（共14页）15．已知关于x 的方程有实数根，则c的取值范围是．三．解答题16．用你喜欢的方法解方程．（1）x2﹣6＝0；（2）3x2+8x﹣3＝0；（3）x（x﹣4）+x﹣4＝0；（4）2x2﹣3x＝x2﹣6x﹣5．17．已知k为实数，关于x的方程为x2+kx﹣4k﹣16＝0．（1）试判断这个方程根的情况．（2）是否存在实数k，使这个方程两个根为连续偶数？若存在，求出k及方程的根；若不存在，请说明理由．18．某网店专售一款新型钢笔，其成本为20元/支，销售中发现，该商品每天的销售量y与销售单价x（元/支）之间存在如下关系：y＝﹣10x+400，自武汉爆发了“新型冠状病毒”疫情该网店店主决定从每天获得的利润中抽出200元捐赠给武汉，同时又让顾客得到实惠，当第3页（共14页）销售单价定位多少元时，捐款后每天剩余利润为550元？19．有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽是x米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形场地建成草坪．（1）已知a＝26，b＝15，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出每条道路的宽x 为多少米？（2）已知a：b＝2：1，x＝2，并且四块草坪的面积和为312平方米，请求出原来矩形场地的长和宽各为多少米？（3）已知a＝28，b＝14，要在场地上修筑宽为2米的纵横小路，其中m条水平方向的小路，n条竖直方向的小路（m，n为常数），使草坪地的总面积为120平方米，则m ＝，n＝（直接写出答案）．第4页（共14页）20．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”．（1）通过计算，判断下列方程是否是“邻根方程”；①x2﹣x﹣6＝0；②2x2﹣2x+1＝0．（2）已知关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，求m的值；（3）若关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，令t＝12a﹣b2，试求t的最大值．第5页（共14页）参考答案一．选择题1．解：把x＝0代入方程（m﹣3）x2+6x+m2﹣5m+6＝0，得m2﹣5m+6＝0，解得：m＝2或3，∵m﹣3≠0，∴m＝2，故选：A．2．解：因为方程（m+3）x+（3m﹣5）x+5＝0是一元二次方程，所以，解得m＝3．故选：B．3．解：2x2﹣3x﹣1＝0，2x2﹣3x＝1，x2﹣x ＝，x2﹣x +＝+，（x ﹣）2＝，第6页（共14页）4．解：∵x1是方程ax2﹣4x﹣c＝0（a≠0）的一个根，∴ax12﹣4x1＝c，则p﹣q＝（ax1﹣2）2﹣（ac+5）＝a2x12﹣4ax1+1﹣ac﹣5＝a（ax12﹣4x1）﹣ac﹣5＝ac﹣ac﹣5＝﹣5，∴p﹣q＜0，∴p＜q．故选：A．5．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个实数根，∴△＝12﹣4m≥0，∴m≤3．故选：D．6．解：方程整理得：9x2﹣8x﹣2＝0，则二次项、一次项、常数项分别为9x2，﹣8x，﹣2．故选：C．7．解：∵关于x的一元二次方程x2+（a2﹣3a）x+a＝0的两个实数根互为倒数，∴x1•x2＝a＝1．第7页（共14页）8．解：∵关于x的方程（a﹣3）x2+4x﹣1＝0有两个实数根，∴a﹣3≠0且△＝42﹣4×（a﹣3）×（﹣1）≥0，解得a≥﹣1且a≠3；把分式方程＝a去分母得x﹣（a﹣2）＝a（x﹣3），整理得（a﹣1）x＝2a+2，∵分式方程有整数解，∴a﹣1≠0，∴x ＝＝2+，此时整数a为2、0、3、﹣1、5、﹣3，而x﹣3≠0，∴a≠5，∵a≥﹣1且a≠3；∴符合条件的整数a为﹣1，0，2，它们的和为1．故选：A．9．解：（x+a）2＝b，整理得：x2+2ax+a2﹣b＝0，△＝（2a）2﹣4（a2﹣b）＝4b≥0，∴关于x的方程（x+a）2＝b能直接开平方求解的条件是b≥0，故选：D．10．解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，第8页（共14页）∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，∵点Q （a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，∵点Q （a，b）在直线y＝﹣x +的下方，∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，∵OE ＝，OF ＝，∴EF ＝，∴PQ 的最小值为．故选：A．二．填空题（共5小题）11．解：∵x2﹣x﹣6＝0，∴（x+2）（x﹣3）＝0，则x+2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，第9页（共14页）故答案为：x1＝﹣2，x2＝3．12．解：x2﹣6x+8＝（x2﹣6x+9）﹣1＝（x﹣3）2﹣1．故答案为：（x﹣3）2﹣1．13．解：∵若以每件x元出售，可卖出（100﹣x）件，∴商场计划要赚600元，可列方程为：（x﹣30）（100﹣x）＝600．故答案为：（x﹣30）（100﹣x）＝600．14．解：∵x2﹣9x+20＝0，∴（x﹣4）（x﹣5）＝0，∴x﹣4＝0，x﹣5＝0，∴x1＝4，x2＝5，当三边是4，4，8时，∵4+4＝8，∴此时不符合三角形三边关系定理，舍去；当三边是5，5，8时，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是5+5+8＝18；故答案为：18．15．解：∵关于x 的方程有实数根，∴△≥0，即（﹣）2﹣4×2c≥0，解得c ≤，第10页（共14页）故答案为：c ≤．三．解答题（共5小题）16．解：（1）∵x2﹣6＝0，∴x ＝±．即x1＝，x2＝﹣；（2）∵3x2+8x﹣3＝0，∴（3x﹣1）（x+3）＝0，∴3x﹣1＝0，x+3＝0，即x1＝，x2＝﹣3；（3）∵x（x﹣4）+x﹣4＝0；∴（x﹣4）（x+1）＝0，∴x﹣4＝0，x+1＝0，即x1＝4，x2＝﹣1；（4）2x2﹣3x＝x2﹣6x﹣5．∴x2+3x+5＝0，△＝b2﹣4ac＝9﹣20＜0，∴原方程没有实数根．17．解：（1）∵△＝k2+4（4k+16）＝k2+16k+64而无论k为何实数，总有（k+8）2≥0，第11页（共14页）∴原方程总有两个实数根；（2）存在实数k，使方程两个根为连续偶数．由（1），原方程的根为，解得x1＝4，x2＝﹣k﹣4，当﹣k﹣4＝6，得k＝﹣10；当﹣k﹣4＝2，得k＝﹣6，∴存在实数﹣10，﹣6，使原方程两个根为连续偶数．18．解：由题意可得（x﹣20）（﹣10x+400）﹣200＝550解得x1＝25，x2＝35因为要让顾客得到实惠，所以x＝25答：当销售单价定为25元时，捐款后每天剩余利润为550元．19．解：（1）四块矩形场地可合成长为（26﹣x）米，宽为（15﹣x）米的矩形．依题意，得：（26﹣x）（15﹣x）＝312，整理，得：x2﹣41x+78＝0，解得：x1＝2，x2＝39（不合题意，舍去）．答：每条道路的宽x为2米．（2）四块矩形场地可合成长为（2b﹣2）米，宽为（b﹣2）米的矩形．依题意，得：（2b﹣2）（b﹣2）＝312，整理，得：b2﹣3b﹣154＝0，解得：b1＝14，b2＝﹣11（不合题意，舍去），∴a＝2b＝28．第12页（共14页）答：原来矩形场地的长为28米，宽为14米．（3）草坪可合成相邻两边分别为（28﹣2n）米、（14﹣2m）米的矩形，依题意，得：（28﹣2n）（14﹣2m）＝120，即（14﹣n）（7﹣m）＝30．∵30＝2×3×5，∴当7﹣m＝2时，m＝5，n＝﹣1，不合题意，舍去；当7﹣m＝3时，m＝4，n＝4；当7﹣m＝5时，m＝2，n＝8；当7﹣m＝6时，m＝1，n＝9．故答案为：4或2或1；4或8或9．20．解：（1）①解方程得：（x﹣3）（x+2）＝0，x＝3或x＝﹣2，∵2≠﹣3+1，∴x2﹣x﹣6＝0不是“邻根方程”；②x ＝＝，∵＝+1，∴2x2﹣2x+1＝0是“邻根方程”；（2）解方程得：（x﹣m）（x+1）＝0，∴x＝m或x＝﹣1，∵方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0（m是常数）是“邻根方程”，第13页（共14页）∴m＝﹣1+1或m＝﹣1﹣1，∴m＝0或﹣2；（3）解方程得x ＝，∵关于x的方程ax2+bx+1＝0（a、b是常数，a＞0）是“邻根方程”，∴﹣＝1，∴b2＝a2+4a，∵t＝12a﹣b2，∴t＝8a﹣a2＝﹣（a﹣4）2+16，∵a＞0，∴a＝4时，t的最大值为16．第14页（共14页）。
人教版九年级上册数学第21章一元二次方程单元测试(Word精编版,含解析答案)
2 九年级（上）数学单元测试卷（一元二次方程）一、选择（每题 3 分，共 30 分）．1.下列方程中，一元二次方程是（）A.x2 + 1 = 4xB.ax2+ bx − 3 = 0C.(x − 1)(x + 2) = 1D.3x2−2xy − 5y2 = 02.关于x 的一元二次方程x2− mx + (m − 2)＝0 的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.无法确定3.三角形中，到三个顶点距离相等的点是（）A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点4.已知三角形两边长分别为2 和9，第三边的长为二次方程x2− 14x + 48 = 0 的根，则这个三角形的周长为（）A.11B.17C.17 或19D.19 A.4B.4 5 − 4C.− 4 5 + 4D.4 5 − 4 或− 4 5 + 49.一个小组有若干人，新年互送贺年卡一张，已知全组共送了90 张，则该组共有（）A.20 人B.15 人C.10 人D.9 人10.某服装原价200 元，连续两次涨价，每次都涨a%后的价格为242 元，则a 是（）A.20B.15C.10D.5二、填空（每题 3 分，共 30 分）．11.一元二次方程(1 + 3x)(x − 3) = 2x2 + 1 化为一般形式为．12.已知方程x2− 3x + k = 0 有两个相等的实数根，则k = ．13.如果2x2 + 1 与4x2− 2x − 5 互为相反数，则x 的值为．14.直角三角形的两直角边是3:4，而斜边的长是15cm，那么这个三角形的面积是．15. 已知方程3ax2− bx − 1 = 0 和ax2 + 2bx − 5 = 0 有共同的根− 1，则a = ，b = ．5. 已知x1、x2是方程x2 = 2x + 1 的两个根，则1 + 1 的值为（）x216.方程(m − 1)x m2 −1 − mx + 5 = 0 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是．A.−12B.2 1C.2D.− 2 17.关于x 的一元二次方程x2 + nx + m = 0 的两根中有一个等于0，则m = ．18. 设a，b，c 都是实数，且满足a2− 4a + 4 + a2 + b + c + |c + 8| = 0，ax2 + bx + c = 0，则代数式x2 + x + 1 的6.下列关于x 的方程有实数根的是( )A.x2− x + 1 = 0B.x2 + x + 1 = 0C.(x − 1)(x + 2) = 0D.(x − 1)2 + 1 = 07.使分式x2−5x−6的值等于零的x 是（）x+1A.6B.− 1 或6C.− 1D.− 68.如图，在△ABC 中，AB = AC = 8，∠A = 36∘，BD 平分∠ABC 交AC 于点D，则AD = ( )值为．19.若一个一元二次方程的两个根分别是Rt △ABC 的两条直角边长，且S△ABC = 3，请写出一个符合题意的一元二次方程．三．解答题：（共 60 分）20.用适当的方法解答下列个方程．（1）x2− 5x + 1 = 0（2）3x2− x = 3(3)(x + 3)2= (1 − 2x)21 x（4）3x2− 2x = x + 3．21.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：a ⊕b = a2− b2，求方程(4 ⊕3) ⊕x = 24 的解．22.关于x 的一元二次方程mx2−(m − 4)x − m2 = 0 的一个根是1，求m 及另一个根．23.已知a，b，c 是△ABC 的三边，且a2 + b2 + c2−12a − 16b− 20c + 200 = 0，试判断△ABC 的形状．24.已知CD 是Rt △ABC 斜边上的高，且CD = 3cm．AD，BD 是方程x2− 6x + 4 = 0 的两根，求△ABC 的面积．25.如图，在宽为20m，长为32m 的矩形地上，修筑同样宽的三条道路，把耕地分成大小不等的六块，要使耕地面积为570m2，求道路的宽为多少米？一、选择（每题 3 分，共 30 分）．1.【答案】C【考点】一元二次方程的定义【解析】参考答案与试题解析【解析】易得方程的两根，那么根据三角形的三边关系，得到合题意的边，进而求得三角形周长即可．【解答】解：解方程x2− 14x + 48 = 0 得第三边的边长为6 或8，依据三角形三边关系，不难判定边长2，6，9 不能构成三角形，2，8，9 能构成三角形，∴三角形的周长= 2 + 8 + 9 = 19．故选D．5.【答案】D【考点】根据一元二次方程的定义：未知数的最高次数是2；二次项系数不为0；是整式方程；含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．【解答】解：A、是分式方程，故A 错误；B、a = 0 时，是一元一次方程，故B 错误；C、是一元二次方程，故意C 错误；D、是二元二次方程，故D 错误；故选：C．2. 根与系数的关系【解析】先把方程化为一般式得x2−2x − 1 = 0，根据根与系数的关系得到x1 + x2=− 2，x1⋅x2=− 1，再把原式通分得x1+x2，然后利用整体思想进行计算．x1x2【解答】解：方程化为一般式得x2−2x − 1 = 0，根据题意得x1 + x2=− 2，x1⋅x2=− 1，∴原式= x1+x2 = 2 =− 2．【答案】A【考点】根的存在性及根的个数判断【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2− 4ac 的值的符号就可以了．【解答】△＝b2− 4ac＝m2−4(m − 2)＝m2− 4m + 8＝(m − 2)2 + 4 > 0，故选D．6.【答案】C【考点】根的判别式【解析】x1x2 −1所以方程有两个不相等的实数根．3.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】运用到三角形的某边两端距离相等的点在该边的垂直平分线上的特点，可以判断到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．【解答】解：根据到线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可以判断：三角形中，到三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．故选D．4.【答案】D【考点】解一元二次方程-因式分解法三角形三边关系分别计算A、B 中的判别式的值；根据判别式的意义进行判断；利用因式分解法对C 进行判断；根据非负数的性质对D 进行判断．【解答】解：A，Δ = ( − 1)2−4 × 1 × 1 =− 3 < 0，方程没有实数根，所以A 选项错误；B，Δ = 12−4 × 1 × 1 =− 3 < 0，方程没有实数根，所以B 选项错误；C，x − 1 = 0 或x + 2 = 0，则x1 = 1，x2=− 2，所以C 选项正确；D，(x − 1)2=− 1，方程左边为非负数，方程右边为0，所以方程没有实数根，所以D 选项错误．故选C．7.【答案】A【考点】解一元二次方程-因式分解法分式值为零的条件【解析】分式的值为0 的条件是：(1)分子= 0；(2)分母≠ 0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：∵x2−5x−6 = 0x+1∴x2−5x − 6 = 0即(x − 6)(x + 1) = 0∴x = 6 或− 1又x + 1 ≠ 0∴x = 6故选A．8.【答案】B【考点】黄金分割一元二次方程的应用【解析】先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算出图中各角的度数，易得AD = BD = BC，再证明△ABC ∽△BCD，根据相似的性质得AC:BC = BC:CD，则AC:AD = AD:CD，然后根据黄金分割点的定义计算．【解答】解：∵AB = AC = 8，∴∠ABC = ∠C=1 (180∘−∠A) = 1 (180∘− 36∘) = 72∘，2 2∵BD 平分∠ABC，∴∠ABD = ∠CBD = 1 ∠ABC = 36∘，2解：设该组共有x 人，由题意得，x(x − 1) = 90，解得：x1=10，x2=−9（舍去）．即该组共有10 人．故选C．10.【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】原价为200 元，连续两次涨价a%后，现价为242 元，根据增长率的求解方法，列方程求a．【解答】解：由题意可得：200(1 + a%)2 = 242，解得：a1=10，a2=−210（不合题意舍去），答：a 的值为10．故选：C．二、填空（每题 3 分，共 30 分）．11.【答案】x2−8x − 4 = 0【考点】一元二次方程的一般形式【解析】∴AD =5−1AC =5−1× 8 = 4( 5 − 1) = 4 5−4．2 2故选B．9.【答案】C【考点】一元二次方程的应用【解析】设该组共有x 人，则每个人要送其他(x − 1)个人贺年卡，由此可列方程．【解答】根据题意可知△= 0，推出9 − 4k = 0，通过解方程即可推出k 的值．【解答】∵x2− 3x + k = 0 有两个相等的实数根，∴△=0，∴9 − 4k = 0，∴k =9．413.【答案】∴∠A = ∠ABD，把方程展开，移项、合并同类项后再根据一元二次方程的一般形式进行排列各项即可．∴AD = BD，【解答】∵∠BDC = ∠A + ∠ABD = 72∘，解：(1 + 3x)(x − 3) = 2x2 + 1，∴∠BDC = ∠C，可化为：x − 3 + 3x2− 9x = 2x2 + 1，∴BD = BC，化为一元二次方程的一般形式为x2− 8x − 4 = 0．∴AD = BD = BC，12.∴∠A = ∠CBD，∠C = ∠C，【答案】∴△ABC ∽△BCD，9∴AC:BC = BC:CD，4∴AC:AD = AD:CD，【考点】∴点 D 为AC 的黄金分割点，根的判别式【解析】3 1 2 1 或− 23【考点】解一元二次方程-因式分解法 【解析】根据条件把题转化为求一元二次方程的解的问题，然后用因式分解法求解比较简单，先移项，再提取公因式， 可得方程因式分解的形式，即可求解． 【解答】解：∵ 2x 2 + 1 与 4x 2 − 2x − 5 互为相反数， ∴ 2x 2 + 1 + 4x 2 − 2x − 5 = 0， ∴ 6x 2 − 2x − 4 = 0， 即 3x 2 − x − 2 = 0， ∴ (x − 1)(3x + 2) = 0， 解得x = 1，x =− 2．14.【答案】 54cm 2 【考点】勾股定理【解析】根据直角三角形的两直角边是 3:4，设出两直角边的长分别是 3x 、4x ，再根据勾股定理列方程求解即可． 【解答】解：设两直角边分别是 3x 、4x ， 根据勾股定理得：(3x)2 + (4x)2 = 225， 解得：x =± 3（负值舍去）， 则 3x = 9，4x = 12．故这个三角形的面积是1× 9 × 12 = 54cm 2．2 故答案为：54cm 2． 15.【答案】 1,− 2 【考点】一元二次方程的解 【解析】把共同的根代入方程 3ax 2 − bx − 1 = 0 和 ax 2 + 2bx − 5 = 0 中，解二元一次方程组，求出 a 和 b 的值． 【解答】3a + b − 1 = 0根据一元二次方程的定义可得m 2 − 1 = 2，且 m − 1 ≠ 0，再解即可． 【解答】解：由题意得：m 2 − 1 = 2，且 m − 1 ≠ 0， 解得：m =± 3， 故答案为：m =± 3． 17. 【答案】 0【考点】一元二次方程的解【解析】由根与系数的关系可得x 1 + x 2 =− n ，x 1x 2 = m ，再根据两根中只有一个等于 0，由此即可求解． 【解答】解：∵ 关于 x 的一元二次方程x 2 + nx + m = 0 的两根中只有一个等于 0， ∴ x 1 + x 2 =− n ≠ 0，x 1x 2 = m = 0， ∴ m = 0，n ≠ 0． 故答案为：0． 18.【答案】6 ± 5【考点】 配方法的应用非负数的性质：绝对值非负数的性质：偶次方 非负数的性质：算术平方根 【解析】运用配方法把原式变形，根据非负数的性质求出 a 、b 、c 的值，代入方程解方程求出 x 的值，把 x 的值代入代数式计算即可．【解答】解：原式可化为(a − 2)2 + a 2 + b + c + |c + 8| = 0， 则 a − 2 = 0，a 2 + b + c = 0，c + 8 = 0， 解得，a = 2，c =− 8，b = 4， 则 2x 2 + 4x − 8 = 0， x =− 1 ± 5，则 x 2 + x + 1 = 6 ± 5． 故答案为：6 ± 5． 19.【答案】x 2 − 5x + 6 = 0（答案不唯一）解：把 x =− 1，代入得16. 【答案】 m =± 3 【考点】一元二次方程的定义 【解析】a − 2b − 5 = 0 ，解得 a = 1，b =− 2．【考点】根与系数的关系 【解析】根据S △ABC = 3，得出两根之积，进而根据根与系数的关系写出一个符合要求的一元二次方程即可． 【解答】解：∵ 一个一元二次方程的两个根分别是 Rt △ABC 的两条直角边长，且S △ABC = 3， ∴ 一元二次方程的两个根的乘积为：3 × 2 = 6，3∴ 此方程可以为：x 2 − 5x + 6 = 0， 故答案为：x 2 − 5x + 6 = 0（答案不唯一）． 三．解答题：（共 60 分） 20.【答案】（2）原方程可化为 3x 2 − x − 3 = 0， ∵ a = 3，b =− 1，c =− 3，∴ b 2 − 4ac = ( − 1)2 − 4 × 3 × ( − 3) = 1 + 36 = 37 > 0， ∴ x = 1± 37，2×3解：（1）∵ a = 1，b =− 5，c = 1，则 x = 1+ 37，x=1− 37； ∴ b 2 − 4ac = ( − 5)2 − 4 × 1 × 1 = 25 − 4 = 21 > 0， 162 6∴ x = 5± 21， 2(3)(x + 3)2 − (1 − 2x)2 = 0，(x + 3 + 1 − 2x)(x + 3 − 1 + 2x) = 0， 则x 1 =5+ 21，x 2=5− 21； 2即 4 − x = 0，或 3x + 2 = 0， 2（2）原方程可化为 3x 2 − x − 3 = 0，解得x 1 = 4，x 2 =− ； ∵ a = 3，b =− 1，c =− 3，∴ b 2 − 4ac = ( − 1)2 − 4 × 3 × ( − 3) = 1 + 36 = 37 > 0， 1± 37 （4）原方程可化为 3x 2 − 3x − 3 = 0，即x 2 − x − 1 = 0， ∵ a = 1，b =− 1，c =− 1，∴ b 2 − 4ac = ( − 1)2 − 4 × 1 × ( − 1) = 1 + 4 = 5 > 0，∴ x =，2×3∴ x = 1± 5，则 1+ 37， 2 1− 37；x 1 = 6 x 2 = 6 则 x = 1+ 5，x= 1− 5． (3)(x + 3)2 − (1 − 2x)2 = 0，(x + 3 + 1 − 2x)(x + 3 − 1 + 2x) = 0， 即 4 − x = 0，或 3x + 2 = 0， 21 22 221.【答案】解：∵ a ⊕b = a 2 − b 2， 解得x 1 = 4，x 2 =− ；22 2 23 （4）原方程可化为 3x 2 − 3x − 3 = 0，即x 2 − x − 1 = 0， ∵ a = 1，b =− 1，c =− 1，∴ b 2 − 4ac = ( − 1)2 − 4 × 1 × ( − 1) = 1 + 4 = 5 > 0， ∴ x = 1± 5，∴ (4 ⊕3) ⊕x = (4 ∴ 72 − x 2 = 24 ∴ x 2 = 25． ∴ x =± 5． 【考点】− 3 ) ⊕x = 7 ⊕x = 7 − x则x 1 2=1+ 5，x 2= 1− 5．2解一元二次方程-直接开平方法 【解析】此题是新定义题型，应该严格按照题中给出的计算法则进行运算，其中有小括号的要先算小括号． 【考点】解一元二次方程-因式分解法解一元二次方程-公式法【解析】（1） 利用公式法解方程；（2） 先将方程化为 3x 2− x − 3 = 0，再利用公式法求解；（3）先变形得到(x + 3)2 − (1 − 2x)2 = 0，再利用因式分解得到(x + 3 + 1 − 2x)(x + 3 − 1 + 2x) = 0，则原方程化为4 − x = 0，或 3x + 2 = 0，然后解一次方程即可；（4）先将方程化为 3x 2 − 3x − 3 = 0，即x 2 − x − 1 = 0，再利用公式法求解． 【解答】 解：（1）∵ a = 1，b =− 5，c = 1，∴ b 2 − 4ac = ( − 5)2 − 4 × 1 × 1 = 25 − 4 = 21 > 0， ∴ x = 5± 21，2【解答】解：∵ a ⊕b = a 2 − b 2，∴ (4 ⊕3) ⊕x = (42 − 32) ⊕x = 7 ⊕x = 72 − x 2∴ 72 − x 2 = 24 ∴ x 2 = 25． ∴ x =± 5． 22.【答案】解：∵ 关于 x 的一元二次方程 mx 2 − (m − 4)x − m 2 = 0 的一个根是 1， ∴ m − (m − 4) − m 2 = 0， 解得：m =± 2，∴ 方程变为x 2 − 3x + 2 = 0 或x 2 + x − 2 = 0， 解得：x = 1，x = 2 或 x = 1，x =− 2， ∴ 方程的另一根为± 2，则x 1 =5+ 21，x 2= 5− 21；2∴ m 的值为± 2，另一根为± 2． 【考点】2 2 2一元二次方程的解【解析】∴AD + BD = 6，1 1首先将方程的根代入方程得到有关m 的方程，从而求得m 的值，然后得到方程，求解即可得到方程的另一根．【解答】∴S△ABC =25.【答案】(AD + BD) ⋅CD =2× 6 × 3 = 9．2解：∵关于x 的一元二次方程mx2− (m − 4)x − m2 = 0 的一个根是1，∴m − (m − 4) − m2 = 0，解得：m =± 2，∴方程变为x2− 3x + 2 = 0 或x2 + x − 2 = 0，解得：x = 1，x = 2 或x = 1，x =− 2，∴方程的另一根为± 2，∴m 的值为± 2，另一根为± 2．23.【答案】解：∵a2 + b2 + c2−12a − 16b − 20c + 200 =0，道路的宽为1 米．【考点】一元二次方程的应用【解析】把修筑的三条道路分别平移到矩形的最左边和最上边，则剩余的耕地也是一个矩形，设道路的宽为x 米，根据矩形面积公式列方程，然后求出解．【解答】解：设道路的宽为x 米，依题意得(32 − 2x)(20 − x) = 570，∴(a − 6)2+ (b − 8)2+ (c − 10)2 = 0，∴(a − 6) = 0，(b − 8) = 0，(c − 10) = 0，∴ a = 6，b = 8，c = 10，∵62 + 82 = 102，∴a2 + b2 = c2，∴△ABC 是直角三角形．【考点】因式分解的应用【解析】通过对式子分组分解因式，整理得到a、b、c 的值，根据勾股定理的逆定理判定三角形的形状．【解答】解：∵a2 + b2 + c2−12a − 16b − 20c + 200 =0，∴(a − 6)2+ (b − 8)2+ (c − 10)2 = 0，∴(a − 6) = 0，(b − 8) = 0，(c − 10) = 0，∴ a = 6，b = 8，c = 10，∵62 + 82 = 102，∴a2 + b2 = c2，∴△ABC 是直角三角形．24.【答案】解：∵AD、BD 是方程x2− 6x + 4 = 0 的两根，∴AD + BD = 6，∴S△ABC = 1 (AD + BD) ⋅CD = 1 × 6 × 3 = 9．2 2【考点】解得x1= 1 x2=35（不符合题意舍去）．根与系数的关系三角形的面积【解析】根据根与系数的关系得到AD + BD = 6，然后又三角形的面积公式即可得到结论．【解答】解：∵AD、BD 是方程x2− 6x + 4 = 0 的两根，。
2021年九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元测试卷及答案
2021年九年级上册数学第二十一章一元二次方程单元测试卷学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1.若关于x 的方程||1(1)320a a x x +--+=是一元二次方程，则( )A.1a ≠±B.1a =C.1a =-D.1a =±2.已知关于x 的一元二次方程250x x m +-=的一个根是2，则另一个根是( ) A.-7B.7C.3D.-33.关于x 的一元二次方程2430x x -+=的解为( ) A.11x =-，23x =B.11x =，23x =-C.11x =，23x =D.11x =-，23x =-4.已知α，β是一元二次方程220x x +-=的两个实数根，则αβαβ+-的值是( )A.3B.1C.-1D.-35.一元二次方程22x x =的根为( ) A.0x = B.2x =C.0x =或2x =D.0x =或2x =-6.如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为5702m .若设道路的宽为x m ，则下面所列方程正确的是( ) A.2322202570x x x +⨯-= B.322203220570x x +⨯=⨯- C.(322)(20)3220570x x --=⨯-D.(322)(20)570x x --=7.某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的100元降到了81元.设平均每次降价的百分率为x ，则下列方程中正确的是( ) A.()2100181x +=B.()2811100x +=C.()2100181x -=D.()2811100x -=8.2018年全国青少年足球超级联赛第一阶段比赛拟采用主客场制，即每两个队都得在各自的主场比赛一次，组委会安排了三个月时间共110场比赛，参赛的队有( ) A.8个B.11个C.12个D.20个9.关于x 的一元二次方程22(21)0x m x m m ----=的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.根的情况由字母m 的取值确定10.若关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，则k 的取值范围是( )A.1k ≥B.1k >C.1k <D.1k ≤二、填空题11.已知关于x 的一元二次方程22520mx x m m ++-=有一个根为0，则m =____.12.若关于x 的方程210x mx -+=没有实数根，则m 的取值范围是___________. 13.当x =___________时，代数式22x x --与21x -的值互为相反数.14.关于x 的一元二次方程220x bx ++=有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的实数b 的值：b =_____________. 15.一元二次方程212x x -=的根的判别式的值是____________. 16.在实数范围内定义一种运算符号“*”，其规则为22a b a b *=-，根据这个规则，方程(1)30x +*=的解为___________.17.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，若主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出小分支的个数为x ，则依题意可列方程为_____________. 18.古算趣题：“笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭.有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨人依言试一试，不多不少刚抵足.借问竿长多少数，谁人算出我佩服.”若设竿长为x 尺，则可列方程为___________. 三、计算题19.解下列一元二次方程：（1）2430x x -+-= (配方法） （2）2420x x --=；（3）2380x x x -+=； （4）()3122x x x -=-四、解答题20.已知关于x 的一元二次方程2(3)220x k x k -+++=. （1）求证：方程总有两个实数根.（2）若方程有一个根小于0，求k 的取值范围.21.已知关于x 的方程220x x m -+=有两个不相等的实数根1x ，2x . （1）求实数m 的取值范围； （2）若122x x -=，求实数m 的值.22.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，则每天可多售出2个.已知每个玩具的固定成本为360元，问：这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？23.读诗词解题（通过列方程，算出周瑜去世时的年龄）： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年（30岁的代称）督东吴，早逝英年两位数. 十位恰小个位三，个位平方与寿符（相等）. 哪位学子算得快，多少年华属周瑜？参考答案1.答案：C解析：由题意可知12a +=，且10a -≠，1a ∴=-.故选C. 2.答案：A解析：设另一个根为x ，则25x +=-，解得7x =-.故选A. 3.答案：C 解析： 4.答案：B解析：α，β是方程220x x +-=的两个实数根，1αβ∴+=-，2αβ=-，1(2)1αβαβ∴+-=---=，故选B.5.答案：C 解析：6.答案：D 解析：7.答案：C 解析：8.答案：B解析：设共有x 个队，由题意得(1)110x x -=，解得111x =，210x =-（不合题意，舍去），故选B. 9.答案：A解析：()222Δ(21)481m m m m =----=+，20m ≥，0∴∆>，∴方程有两个不相等的实数根.故选A. 10.答案：D 解析：关于x 的一元二次方程222(1)10x k x k +-+-=有实数根，()222Δ44(1)41880b ac k k k ∴=-=---=-+≥，解得1k ≤.故选D.11.答案：2 解析：关于x 的一元二次方程22520mx x m m ++-=有一个根为0，220m m ∴-=且0m ≠，解得2m =.12.答案：04m ≤<解析：根据题意得2Δ(40=-<，解得4m <，而0m ≥，所以m 的取值范围为04m ≤<.13.解析：代数式22x x --与21x -的值互为相反数，22210x x x ∴--+-=，230x x ∴+-=，24141(3)130b ac -=-⨯⨯-=>，x ∴=，1x ∴=，2x 14.答案：3（答案不唯一，满足28b >即可，即b >b <- 解析：22Δ4128b b =-⨯⨯=-.一元二次方程220x bx ++=有两个不相等的实数根，280b ∴->，b ∴>或b <-故满足条件的实数b的值只需大于-可. 15.答案：3解析：原方程可变形为2102x x --=，21Δ(1)4132⎛⎫=--⨯⨯-= ⎪⎝⎭. 16.答案：12x =，24x =- 解析：(1)30x +*=，22(1)30x ∴+-=，2(1)9x ∴+=，13x +=±，12x ∴=，24x =-.17.答案：2191x x ++= 解析：18.答案：222(2)(4)x x x -+-= 解析：19.答案：（1）原式()2430xx --+=()22242230x x --+-+=()22430x --+-=()221x --=-()221x -=21x -=± 123,1x x ==（2）原式242x x +=2224222x x ++=+()226x +=2x +=1222x x =-=--（3）原式()3810x x -+=()370x x -= 0x =或370x -=1270,3x x ==（4）原式()()3121x x x -=--()()31210x x x -+-=()()1320x x -+=122,13x x =-=解析：20.答案：（1）证明：2Δ[(3)]41(22)k k =-+-⨯⨯+2221(1)0k k k =-+=-≥，∴方程总有两个实数根.（2）解：2(3)220x k x k -+++=，即(2)[(1)]0x x k --+=，12x ∴=，21x k =+.方程有一个根小于0，10k ∴+<，1k ∴<-.解析：21.答案：解：（1）由题意得2Δ(2)41440m m =--⨯⨯=->， 解得1m <，即实数m 的取值范围是1m <. （2）由根与系数的关系得122x x +=， 联立方程组121222x x x x +=⎧⎨-=⎩，解得1220x x =⎧⎨=⎩， 由根与系数的关系得200m =⨯=. 解析：22.答案：解：设这种玩具的销售单价为x 元时，厂家每天可获利润20000元， 由题意得(360)[1602(480)]20000x x -+-=， 化简得，29202116000x x -+=.解得12460x x ==.∴这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元.解析：23.答案：设周瑜去世时的年龄的个位数字为x ，则十位数字为3x -. 由题意得210(3)x x x -+=. 解得15x =，26x =.当5x =时，周瑜的年龄为25岁，不到而立之年，不合题意，舍去； 当6x =时，周瑜的年龄为36岁，符合题意. 答：周瑜去世时的年龄为36岁.解析：。
人教版数学九年级上册 第二十一章 一元二次方程单元测试(含答案)
人教版数学九年级上册一元二次方程一、选择题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）A．x―2y=1B．x2+3=2xC．x2―2y+4=0D．x2―2x+1=0 2．关于x的一元二次方程(m―3)x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（ ）A．0B．±3C．3D．-33．用配方法解一元二次方程x2―2x=9，配方后可变形为（ ）A．(x―1)2=10B．(x+1)2=10C．(x―1)2=―8D．(x+1)2=―84．定义运算：m☆n=n2―mn―1，例如：5☆3=32―5×3―1=―7，则方程2☆x=6的根的情况为（ ）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．只有一个实数根5．一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程x2―16x+55=0的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ）A．11B．27C．5或11D．21或276．春意复苏，郑州绿化工程正在如火如荼地进行着，某工程队计划将一块长64m，宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求小路的宽，设小路的宽为x m，则可列方程（ ）A．(64―2x)(40―x)=64×40×80%B．(40―2x)(64―x)=64×40×80%C．64x+2×40x―2x2=64×40×80%D．64x+2×40x=64×40×(1―80%)7．已知方程a x2+bx+c=0(a≠0)，当b2―4ac=0时，方程的解为（ ）A．x=±b2a B．x=±baC．x=―b2aD．x=b2a8．已知关于x的方程x2―kx―6=0的一个根为x=3，则实数k的值为() A．1B．﹣1C．2D．﹣29．如图，在正方形ABCD中，E是边AD中点，F是边AB上一动点，G是EF延长线上一点，且GF＝EF．若AD＝4，则EG2+CG2的最小值为（ ）A．52B．60C．68D．7610．定义[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.4]=1，[―1.2]=―2，[―3]=―3，则方程2[x]=x2的解为（ ）A．0或2B．0或2C．2或2D．0或2或2二、填空题11．设x1，x2是关于x的方程x2－2x＋k＝0的两个根，且x1＝x2，则k的值为 ．12．设a、b是方程x2+x―2018=0的两个实数根，则a2+2a+b的值是 ．13．当关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有实数根，且其中一个根为另一个根的2倍时，称之为“倍根方程”. 如果关于x的一元二次方程x2+(m-2)x-2m=0是“倍根方程”，那么m的值为 .14．若某商品经过两次连续降价后，由400元下调至256元，则这种商品平均每次降价的百分率是 ．15．如图，在等边三角形ABC中，D是AC的中点，P是边AB上的一个动点，过点P作PE⊥AB，交BC于点E，连接DP，DE.若AB＝8，△PDE是等腰三角形，则BP的长是 .16．已知：m2-2m-1＝0，n2+2n-1＝0且mn≠1，则mn+n+1的值为 ．n三、解答题17．解方程：x2+2x―4=018．已知关于x的方程：x2―4x―k=0有两个不相等的实数根，（1）求实数k的取值范围、（2）已如方程的一个根为5，求方程的另一个根．19．记S n=n a1+n(n―1)d（如n=1，则S1=a1；n=2，则S2=2a1+d），其中n为正自然数，a1，d 2为实数．（1）用a1和d分别表示S3，S4；（2）若S3S4+12=0，求d2的取值范围．20．阅读材料：各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3―2x2―3x=0，通过因式分解可以把它转化为x(x2―2x―3)=0，解方程x=0和x2―2x―3=0，可得方程x3―2x2―3x =0的解．问题：（1）方程x3―2x2―3x=0的解是x1=0，x2=______，x3=______．（2）求方程x3=6x2+16x的解．拓展：（3）用“转化”思想求方程―2x+15=x的解．21．子曰：“吾十有五而志于学，三十而立，四十而不惑，五十而知天命，六十而耳顺，七十而从心所欲，不逾矩．”—《论语·第十二章·为政篇》列方程解决下面问题：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符哪位学子算得快，多少年华属周瑜？22．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE=2，这时我们把关于x的形如a x2+2cx+b=0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．请解决下列问题：（1）写出一个“勾系一元二次方程”；（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”a x2+2cx+b=0必有实数根；（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”a x2+2cx+b=0的一个根，且四边形ACDE的周长是62，求△ABC面积．23．在2023年1月初新冠肺炎疫情大爆发期间，某中学响应政府有“停课不停学”的号召，充分利用网络资源进行网上学习，九年级1班的全体同学在自主完成学习任务的同时，彼此关怀，全班每两个同学都通过一次电话，互相勉励，共同提高，如果该班共有48名同学，若每两名同学之间仅通过一次电话，那么全班同学共通过多少次电话呢？我们可以用下面的方式来解决问题．用点A1、A2、A3…A48分表示第1名同学、第2名同学、第3名同学…第48名同学，把该班级人数x 与通电话次数y之间的关系用如图模型表示：（1）填写上图中第四个图中y的值为 ，第五个图中y的值为 ．（2）通过探索发现，通电话次数y与该班级人数x之间的关系式为 ，当x=48时，对应的y= ．（3）若九年级1班全体女生相互之间共通话190次，问：该班共有多少名女生？答案解析部分1．【答案】D2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】A5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】C8．【答案】A9．【答案】B10．【答案】D11．【答案】112．【答案】201713．【答案】-1或-414．【答案】20%15．【答案】12﹣4 6或33﹣3或416．【答案】317．【答案】x1=―1+5,x2=―1―518．【答案】（1）k>―4（2）-119．【答案】（1）S3=3a1+3d；S4=4a1+6d（2）d2≥1620．【答案】（1）―1，3；（2）x1=0，x2=―2，x3=8；（3）x=3 21．【答案】周瑜的年龄是36岁．22．【答案】（1）解：当a＝3，b＝4，c＝5时勾系一元二次方程为3x2+52x+4＝0；（2）证明：根据题意，得Δ＝（2c）2﹣4ab＝2c2﹣4ab∵a2+b2＝c2∴2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0即△≥0∴勾系一元二次方程a x2+2cx+b=0必有实数根；（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣2c+b＝0，即a+b＝2c ∵2a+2b+2c＝62，即2（a+b）+2c＝62∴32c＝62∴c＝2∴a2+b2＝c2＝4，a+b＝22∵（a+b）2＝a2+b2+2ab∴ab＝2∴S△ABC＝12ab＝1．23．【答案】（1）10；15（2）y=x(x―1)2；1128（3）依题意，得：x(x―1)2=190，化简，得：x2―x―380=0，解得：x1=20，x2=―19（不合题意，舍去）．答：该班共有20名女生．。
初中数学 人教版 九年级上册 第21章 一元二次方程 单元考试测试卷(含解析答案)
初中数学 人教版 九年级上册 第21章 一元二次方程 单元考试测试卷（含解析答案）1 / 6第21章 一元二次方程 单元测试卷一、单选题（共10题；共30分）1.下列方程是关于 的一元二次方程的是 A.B.C.D.2.将一元二次方程x 2-6x+5=0配方后，原方程变形为（ ）A. （x-3）2=5 B. （x-6）2=5 C. （x-6）2=4 D. （x-3）2=4 3.已知点A （m 2-2，5m+4）在第一象限角平分线上，则m 的值是（ ）A. 6B. -1C. 2或3D. -1或64.若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣k+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx ﹣k 的大致图象是（ ）A.B.C.D.5.如果关于 的方程 有两个实数根，则 满足的条件是（ ）A.B.C.且D.且6.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ） A. 9人 B. 10人 C. 11人 D. 12人7.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x 2﹣3x ＝4（x ﹣3）的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是（ ）A. 3B. 4C. 6D. 2.58.若一元二次方程x 2﹣x ﹣2＝0的两根为x 1 ， x 2 ， 则（1+x 1）+x 2（1﹣x 1）的值是（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. ﹣29.王叔叔从市场上买了一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm 2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）A. （80﹣x ）（70﹣x ）=3000B. 80×70﹣4x 2=3000C. （80﹣2x ）（70﹣2x ）=3000D. 80×70﹣4x 2﹣（70+80）x=300010.如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？（ ）A. B. C. 2﹣ D. 4﹣2二、填空题（共6题；共18分）11.方程 转化为一元二次方程的一般形式是________．12.一元二次方程的根是________.13.关于x 的一元二次方程（m ﹣3）x 2+x+（m 2﹣9）＝0的一个根是0，则m 的值是________． 14.若一元二次方程x 2+2kx+k 2-2k+1=0的两个根分别为x 1 ， x 2 ， 满足x 12+x 22=4，则k 的值=________。
人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试卷(含答案)
第21章 一元二次方程 单元测试卷一、填空题1、关于x 的一元二次方程（m ﹣2）x 2+3x+m 2﹣4=0有一个解是0，则m= ． 2、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+k=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ．3、已知圆锥底面圆的半径为6cm ，它的侧面积为60πcm 2，则这个圆锥的高是 ．4、已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x 2﹣2ax+a 2+a ﹣2=0的两实根，那么m+n 的最大值是 ． 5、若α、β是一元二次方程x 2+2x ﹣6=0的两根，则α2+β2= ． 6、一元二次方程x 2+mx+2m=0（m ≠0）的两个实根分别为x 1，x 2，则 = ．二、选择题7、下列选项中一元二次方程的是（ ）A ．x=2y ﹣3B ．2（x+1）=3C ．2x 2+x ﹣4D ．5x 2+3x ﹣4=08、一元二次方程x 2﹣2x=0的根是（ ）A ．x 1=0，x 2=﹣2B ．x 1=1，x 2=2C ．x 1=1，x 2=﹣2D ．x 1=0，x 2=29、将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300cm 3，则原铁皮的边长为（ ）A ．10cmB ．13cmC ．14cmD ．16cm10、某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（ ）A ．8%B ．18%C ．20%D ．25%11、如图，在长为33米宽为20米的矩形空地上修建同样宽的道路（阴影部分），余下的部分为草坪，要使草坪的面积为510平方米，则道路的宽为（ ）A ．1米B ．2米C ．3米D ．4米12、已知直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则此直角三角形的斜边长为( ).A. B.3 C. D.1313、要组织一次篮球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，计划安排15场比赛，设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．0.5 xx+1）=15B ．0.5 x （x ﹣1）=15C ．x （x+1）=15D ．x （x ﹣1）=1514、由一元二次方程x 2+px+q=0的两个根为p 、q ，则p 、q 等于 （ ）A.0B.1C.1或-2D.0或1 15、方程的两根分别为，，且，则的取值范围是 ( )A.3m 1＜＜B.1m 0＜＜C.3m 0＜＜D.3m 2＜＜四、简答题16、试求实数（≠1），使得方程的两根都是正整数.17、已知关于的一元二次方程有两个实数根和．（1）求实数的取值范围；（2）当时，求的值．18、如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=cm，点P从点A出发以1cm/s的速度移动到点B；点P出发几秒后，点P、A的距离是点P、C距离的倍？19、某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内（含10部），每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．（1）若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；（2）如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）20、某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现每盆花的盈利与每盆花中花苗的株数有如下关系：每盆植入花苗4株时，平均单株盈利5元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株花苗，平均单株盈利就会减少0.5元．要使每盆花的盈利为24元，且尽可能地减少成本，则每盆花应种植花苗多少株？21、一个足球被从地面向上踢出，它距地面高度可以用二次函数刻画，其中表示足球被踢出后经过的时间．（1）解方程，并说明其根的实际意义；（2）求经过多长时间，足球到达它的最高点？最高点的高度是多少？22、随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加.据统计，某小区2014年底拥有家庭轿车64辆，2016年底家庭轿车的拥有量达到100辆.（1）若该小区2014年底到2016年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2017年底家庭轿车将达到多少辆？（2）为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位.据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，求该小区最多可建室内车位多少个？23、某商店销售一种销售成本为40元/千克的水产品，若按50元/千克销售，一个月可售出500千克，销售价每涨价1元，月销售量就减少10千克.(1) 写出月销售利润y(单位：元) 与售价x(单位：元/千克) 之间的函数解析式.(2)当售价定为多少时会获得最大利润？求出最大利润.(3) 商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24、如图，中间用相同的白色正方形瓷砖，四周用相同的黑色长方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题．（1）问：在第6个图中，黑色瓷砖有__________块，白色瓷砖有__________块；（2）某商铺要装修，准备使用边长为1米的正方形白色瓷砖和长为1米、宽为0.5米的长方形黑色瓷砖来铺地面．且该商铺按照此图案方式进行装修，瓷砖无须切割，恰好能完成铺设．已知白色瓷砖每块100元，黑色瓷砖每块50元，贴瓷砖的费用每平方米15元．经测算总费用为15180元．请问两种瓷砖各需要买多少块？参考答案一、填空题1、﹣2 ．【解答】解：把x=0代入一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m2﹣4=0，得m2﹣4=0，即m=±2．又m﹣2≠0，m≠2，取m=﹣2．故答案为：m=﹣2．2、k＜3 ．【解答】解：∴a=1，b=﹣2，c=k，方程有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=12﹣4k＞0，∴k＜3．故填：k＜3．3、8 cm【解答】解：设圆锥的母线长为l，根据题意得l•2π•6=60π，解得l=10，所以圆锥的高==8（cm）．故答案为8．4、4 ．【解答】解：根据题意得△=4a2﹣4（a2+a﹣2）≥0，解得a≤2，因为m+n=2a，所以m+n≤4，所以m+n的最大值为4．故答案为45、16 ．【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，∴α+β=﹣2，αβ=﹣6，∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（﹣2）2﹣2×（﹣6）=4+12=16，故答案为：16．6、﹣．【解答】解：∵一元二次方程x2+mx+2m=0（m≠0）的两个实根分别为x1，x2，∴x1+x2=﹣m，x1•x2=2m，∴==﹣．二、选择题7、D【解答】解：A、是二元一次方程，故此选项错误；B、是一元一次方程，故此选项错误；C、不是方程，故此选项错误；D、符合一元二次方程的定义，故此选项正确；故选：D．8、D【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D9、D【解答】解：正方形铁皮的边长应是x厘米，则没有盖的长方体盒子的长、宽为（x﹣3×2）厘米，高为3厘米，根据题意列方程得，（x﹣3×2）（x﹣3×2）×3=300，解得x1=16，x2=﹣4（不合题意，舍去）；答：正方形铁皮的边长应是16厘米．故选：D．10、C【解答】解：设每次降价的百分率为x，由题意，得200（1﹣x）2=128，解得：x1=0.2，x2=1.8（不符合题意，舍去）．答：每次降价的百分率为20%．故选C11、C【解答】解：设道路的宽为x，根据题意得20x+33x﹣x2=20×33﹣510整理得x2﹣53x+150=0解得x=50（舍去）或x=3所以道路宽为3米．故选C．12、C13、B【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：x（x﹣1）=15．故选B．14、C15、A四、简答题16、解：因式分解得：,所以或.因为,所以，，因为两根都是正整数，所以，.17、解：（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根，∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1≥0，∴m≤；（2）当x12-x22=0时，即（x1+x2）（x1-x2）=0，∴x1-x2=0或x1-x2=0当x1+x2=0，依据一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-（2m-1）∴-（2m-1）=0，∴m=又∵由（1）一元二次方程x2+（2m-1）x+m2=0有两个实数根时的取值范围是m≤，∴m=不成立，故m无解；当时x1-x2=0，x1=x2，方程有两个相等的实数根，∴△=（2m-1）2-4×1×m2=-4m+1=0，∴m=综上所述，当x1-x2=0时，m=。
【5套打包】北京市初三九年级数学上(人教版)第21章《一元二次方程》单元综合练习卷(含答案)
人教版九年级数学上第21章一元二次方程单元培优试题（含答案）一．选择题1.一元二次方程(x －5)2＝x －5的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝6C ．x ＝0D ．x 1＝5，x 2＝62.已知3是关于x 的方程x 2-2a+1=0的一个解,则2a 的值是( ) (A)11 (B)12 (C)13 (D)143．若关于x 的一元二次方程（x+1）（x ﹣3）=m 有两个不相等的实数根，则m 的最小整数值为（ ）A ．﹣4B ．﹣3C ．﹣2D ．34.用配方法解方程0142=++x x ，配方后的方程是（ ）A ． ()322=+xB ． ()322=-xC. ()522=-xD ． ()522=+x5.若|x 2-4x+4|与互为相反数,则x+y 的值为( ) (A)3 (B)4 (C)6 (D)96．已知关于x 的方程kx 2+（2k+1）x+（k ﹣1）=0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥﹣B ．k ＞﹣C ．k ≥﹣且k ≠0D ．k ＜﹣7.将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为3 cm 的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为300 cm 3，则原铁皮的边长为( ) A ．10 cm B ．13 cmC ．14 cmD ．16 cm8.下面是某同学在一次测验中解答的填空题:①若x 2=a 2,则x=a;②方程2x(x-1)-x+1=0的解是x=1; ③已知三角形两边分别为2和9,第三边长是方程x 2-14x+48=0的根,则这个三角形的周长是17或19.其中答案完全正确的题目个数是( ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3二．填空题9．某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率 ．10.把方程3x(x －1)＝(x ＋2)(x －2)＋9化成ax 2＋bx ＋c ＝0的形式为________________．11设m,n 分别为一元二次方程x 2+2x-2 020=0的两个实数根,则m 2+3m+n= . 12．已知实数s ，t 满足s+t 2=1，则代数式﹣s 2+t 2+5s ﹣1的最大值等于 ．13.六一儿童节当天，某班同学每人向本班其他每个同学送一份小礼品，全班共互送306份小礼品，则该班有______名同学．14.如果(a 2+b 2+1)(a 2+b 2-1)=63,那么a 2+b 2的值为 . 三．解答题15．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元．（1）连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同，求每次下降的百分率； （2）这种水果进价为每千克40元，若在销售等各个过程中每千克损耗或开支2.5元，经一次降价销售后商场不亏本，求一次下降的百分率的最大值． 16.已知a 是方程0120132=+-x x 的一个根，求代数式12013201222++-a a a 的值.17. 阅读下面的例题:解方程:x 2-|x|-2=0.18. 某商店经销一种成本为每千克40元的水产品,据市场分析,若按每千克50元销售一个月能售出500千克;销售单价每涨1元,月销售量就减少10千克,商店想在月成本不超过1万元的情况下,使得月销售利润达到8 000元,销售单价应定为多少?答案一．选择题 1. D 2. C. 3． B ． 4. D 5. A. 6． A ． 7. D 8. A.二．填空题 9． 20%．10. 2x 2－3x －5＝0 11 2 018 12． 3． 13. 18 14. 8三．解答题 15． 解：（1）设每次下降的百分率为a ，根据题意，得： 50（1﹣a ）2=32，解得：a=1.8（不合题意，舍去）或a=0.2． 答：每次下降的百分率为20%；（2）设一次下降的百分率为b ，根据题意，得： 50（1﹣b ）﹣2.5≥40， 解得 b ≤0.15．答：一次下降的百分率的最大值为15%．16. ∵a 是方程x 2-2013x+1=0的一个根，∴a 2-2013a+1=0， ∴a 2=2013a-1，∴原式=2013a-1-2012a+1120132013+-a=a+ a 1-1= a a 12+-1=aa 112013+--1=2013-1=2012． 17.解:(1)当x ≥0时,原方程化为x 2-x-2=0,解得x 1=2,x 2=-1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x 2+x-2=0,解得x 1=1(不合题意,舍去),x 2=-2, 所以原方程的根是x 1=2,x 2=-2.请参照例题人教版九年级数学上册第21章一元二次方程单元检测题（有答案）(8)一、精心选一选！（每题3分，共30分）1．关于x 的一元二次方程(m +1)21m x++4x +2＝0的解为（ ）A.x 1＝1，x 2＝－1B. x 1＝x 2＝－1C. x 1＝x 2＝1D.无解2．用配方法解方程x 2－4x +2＝0，下列配方正确的是（ ）A.(x －2)2＝2B. (x +2)2＝2C. (x －2)2＝－2D. (x －2)2＝6 3．一元二次方程3x 2－x ＝0的解是（ ） A ．x ＝0 B ．x 1＝0，x 2＝13 C ．x 1＝0，x 2＝3 D ．x ＝134．已知关于x 的一元二次方程x 2－m ＝2x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是( ) A ． m ＞－1 B ． m ＜－2 C ．m ≥0 D ．m ＜05． 一元二次方程x 2+x +2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正根 B ．有两个不相等的负根 C ．没有实数根 D ．有两个相等的实数根 6．已知关于x 的一元二次方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（ ）A. 43>mB. 43≥m C. 43>m 且2≠m D. 且2≠m 7．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） Ａ.240x += Ｂ.24410x x -+= Ｃ.230x x ++= Ｄ.2210x x +-= 8．关于x 的一元二次方程x 2﹣（k ﹣1）x ﹣k +2＝0有两个实数根x 1，x 2，若（x 1﹣x 2+2）（x 1﹣x 2﹣2）+2x 1x 2＝﹣3，则k 的值（ ） A ．0或2 B ．﹣2或2 C ．﹣2 D ．2 9．今年“十一”黄金周我市各旅游景点共接待游客约334万人，旅游总收入约9亿元．已知我市前年“五一”黄金周旅游总收入约6.25亿元，那么这两年同期旅游总收入的年平均增长率约为（ ） Ａ．12% Ｂ．16% Ｃ．20% Ｄ．25%10．国家实施”精准扶贫“政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口9万人，通过社会各界的努力，2018年底贫困人口减少至1万人．设2016年底至2018年底该地区贫困人口的年平均下降率为x ，根据题意列方程得（ ）A ．9（1﹣2x ）＝1B ．9（1﹣x ）2＝1C ．9（1+2x ）＝1D ．9（1+x ）2＝1 二、耐心填一填！（每题3分，共30分） 11． 方程x 2+2x=0的解为 .12．若0x =是方程22(2)3280m x x m m -+++-=的解，则m ＝＿＿＿＿＿＿.13．已知2是一元二次方程240x x c -+=的一个根，则方程的另一个根是 ．43≥m14． 关于x 的一元二次方程20x bx c ++=的两个实数根分别为1和2，则b = ，c = ．15．已知a ，b 是方程x 2+x ﹣3＝0的两个实数根，则a 2﹣b +2019的值是（ ）16． 已知x 是一元二次方程2310x x +-=的实数根，那么代数式2352362x x x x x -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭的值为 ． 17． 阅读材料：设一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，则两根与方程系数之间有如下关系：12b x x a +=-， acx x =21·．根据该材料填空： 已知1x ，2x 是方程2630x x ++=的两实数根，则2112x x x x +的值为______． 18． 请写出一个值k ＝________，使一元二次方程x 2－7x ＋k ＝0有两个不相等的非0实数根．19． 将4个数a b c d ，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成a bc d，定义a bc dad bc =-，上述记号就叫做2阶行列式．若1111x x x x +--+ 6=，则x = ． 20．如图，在一块长12m ，宽8m 的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条平行），剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m 2，设道路的宽为xm ，则根据题意，可列方程为 ．三、细心做一做！（每题8分，共40分）21．解方程：（1）2220x x +-=； （2）x 2＋3＝3(x ＋1)．22． 设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等。
人教版九年级数学上册第21章《一元二次方程》单元测试卷 含答案
第21章《一元二次方程》单元测试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列是一元二次方程的是（）A．2x+1＝0B．x2+2x+3＝0C．y2+x＝1D．2．方程x2＝4x化成一般形式后，它的一次项系数是（）A．﹣1，﹣4B．4C．0D．13．若m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，则1+2m﹣m2的值为（）A．0B．1C．﹣1D．24．用直接开平方解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A．x2+9＝0B．﹣2x2＝0C．x2﹣3＝0D．（x﹣2）2＝0 5．若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥06．用配方法将方程x2﹣4x﹣1＝0变形为（x﹣2）2＝m，则m的值是（）A．4B．5C．6D．77．以x＝为根的一元二次方程可能是（）A．x2+bx+c＝0B．x2+bx﹣c＝0C．x2﹣bx+c＝0D．x2﹣bx﹣c＝0 8．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程x2﹣6x+8＝0的两根，则该等腰三角形的底边长为（）A．2B．4C．8D．2或49．有种传染病蔓延极快，据统计，在某城市人群密集区，每人一天能传染若干人，现有一人患有此病，开始两天共有225人患上此病，平均每天一人传染了多少人？（）A．14B．15C．16D．2510．若实数x、y满足（x2+y2+2）（x2+y2﹣2）＝0，则x2+y2的值为（）A．1B．2C．2或﹣1D．2或﹣2二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．如果（m+2）x|m|+x﹣2＝0是关于x的一元二次方程，那么m的值为．12．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是．13．将一元二次方程4x2＝﹣2x+7化为一般形式，其各项系数的和为．14．元旦期间，九年（1）班数学研究小组的同学互送新年贺卡，如果研究小组有x名学生，共送出132张贺卡，那么可列出方程为．15．已知m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，则式子3m2+6m﹣mn的值为．16．如图，要在一块长20米、宽15米的矩形地面上，修建了三条宽度相等的道路（其中两条路与宽平行，一条路与长平行）．若要使剩余部分的面积为208平方米，则道路的宽为米．17．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则的值为．三．解答题（共6小题，满分42分）18．（9分）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x+2＝0；（2）x2﹣1＝2（x+1）；（3）（x+8）（x+1）＝﹣12．19．（5分）用配方法证明m2﹣8m+23的值恒为正．20．（5分）某学校计划利用一片空地建一个花圃，花圃为矩形，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米，另三面用总长28米的篱笆材料围成，且计划建造花圃的面积为80平方米．那么这个花圃的长和宽分别应为多少米？21．（7分）已知关于x的一元二次方程x2+kx+2k﹣4＝0（1）求证不论k取何值，这个方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根是正数，求k的取值范围．22．（8分）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为元．（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代数式进行表示）（3）请列出方程，求出x的值．23．（8分）阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．例：用换元法分解因式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+2）﹣12．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+2）﹣12＝y2+3y﹣10＝（y+5）（y﹣2）＝（x2﹣4x+5）（x2﹣4x﹣2）（1）请你用换元法对多项式（x2﹣3x+2）（x2﹣3x﹣5）﹣8进行因式分解；（2）凭你的数感，大胆尝试解方程：（x2﹣2x+1）（x2﹣2x﹣3）＝0．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．解：A、2x+1＝0，未知数的最高次数是1，不是一元二次方程；B、x2+2x+3＝0，是一元二次方程；C、y2+x＝1，含有两个未知数，不是一元二次方程；D、＝1，不是整式方程，所以不是一元二次方程；故选：B．2．解：∵方程x2＝4x化成一般形式是﹣x2+4x＝0，∴一次项系数为4，故选：B．3．解：∵m是方程x2﹣2x﹣1＝0的根，∴m2﹣2m﹣1＝0，∴﹣m2+2m＝﹣1，∴1+2m﹣m2＝1﹣1＝0．故选：A．4．解：（A）x2＝﹣9，故选项A无解；（B）﹣2x2＝0，即x2＝0，故选项B有解；（C）x2＝3，故选项C有解；（D）（x﹣2）2＝0，故选项D有解；故选：A．5．解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．6．解：x2﹣4x﹣1＝0，移项得：x2﹣4x＝1，配方得：x2﹣4x+4＝5，即（x﹣2）2＝5，所以m＝5．故选：B．7．解：由题意可知：二次项系数为1，一次项系数为﹣b，常数项为c，故选：C．8．解：x2﹣6x+8＝0（x﹣4）（x﹣2）＝0解得：x＝4或x＝2，当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系定理，此时不能组成三角形；当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系定理，此时能组成三角形，此时三角形的底边长为2，故选：A．9．解：设平均每天一人传染了x人，根据题意得：1+x+x（1+x）＝225，（1+x）2＝225，解得：x1＝14，x2＝﹣16（舍去）．答：平均每天一人传染了14人．故选：A．10．解：设t＝x2+y2，则t≥0，原方程变形为（t+2）（t﹣2）＝0，解得：t＝2或t＝﹣2（舍去）．故选：B．二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）11．解：由题意得：|m|＝2且m+2≠0，解得m＝±2，m≠﹣2，∴m＝2，故答案为：2．12．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3，故答案为：x1＝2，x2＝3．13．解：方程整理得：4x2+2x﹣7＝0，各项系数分别为4，2，﹣7，之和为4+2+（﹣7）＝﹣1，故答案为：﹣114．解：设研究小组有x名学生，可列出方程为：x（x﹣1）＝132．故答案为：x（x﹣1）＝132．15．解：∵m是方程x2+2x﹣1＝0的根，∴m2+2m﹣1＝0，∴m2+2m＝1，∴3m2+6m﹣mn＝2（m2+2m）﹣mn＝2×1﹣mn＝2﹣mn，∵m，n是方程x2+2x﹣1＝0的两个实数根，∴mn＝﹣1，∴3m2+6m﹣mn＝2﹣2×（﹣1）＝4．故答案为4．16．解：设道路的宽为x米，由题意有（20﹣2x）（15﹣x）＝208，解得x1＝23（舍去），x2＝2．答：道路的宽为2米．故答案为：2．17．解：解（x﹣1）（mx﹣n）＝0得x1＝1，x2＝，∵（x﹣1）（mx﹣n）＝0是倍根方程，∴1×2＝或1＝×2，∴的值为4或1．故答案为：4或1．三．解答题（共6小题，满分42分）18．解：（1）∵x2﹣5x+2＝0，∴a＝1，b＝﹣5，c＝2，∴△＝25﹣8＝17，∴x＝；（2）∵x2﹣1＝2（x+1），∴（x+1）（x﹣1）﹣2（x+1）＝0，∴（x+1）（x﹣1﹣2）＝0，∴x＝﹣1或x＝3；（3）∵（x+8）（x+1）＝﹣12，∴x2+9x+20＝0，∴（x+5）（x+4）＝0，∴x＝﹣5或x＝﹣4；19．证明：m2﹣8m+23＝m2﹣8m+16﹣16+23＝（m﹣4）2+7，∴（m﹣4）2+7＞0，即m2﹣8m+23的值恒为正．20．解：设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为（28﹣2x）米，依题意，得：x（28﹣2x）＝80，整理，得：x1＝4，x2＝10．当x＝4时，28﹣2x＝20＞12，不符合题意，舍去；当x＝10时，28﹣2x＝8，符合题意．答：这个花圃的长为10米，宽为8米．21．（1）证明：依题意，得△＝k2﹣4（2k﹣4）＝（k﹣4）2，∵（k﹣4）2≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：由求根公式，得x1＝﹣2，x2＝﹣k+2，∵方程有一个根是正数，∴﹣k+2＞0，∴k＜2．故k的取值范围是k＜2．22．解：（1）20×45＝900，故答案为：900；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，解得：x1＝10，x2＝30．因尽快减少库存，故x＝30．答：每件衬衫应降价30元．23．解：（1）设x2﹣3x＝y，原式＝（y+2）（y﹣5）﹣8＝y2﹣3y﹣18＝（x2﹣3x﹣6）（x2﹣3x+3）；（2）设t＝x2﹣2x．则（t+1）（t﹣3）＝0．解得t＝﹣1或t＝3．当t＝﹣1时，x2﹣2x＝﹣1，即（x﹣1）2＝0．解得x1＝x2＝1．当t＝3时，x2﹣2x＝3，即（x﹣3）（x+1）＝0．解得x3＝3，x4＝﹣1．综上所述，原方程的解为x1＝x2＝1，x3＝3，x4＝﹣1．。