求结构自振频率例题
混凝土结构自振频率的计算与研究
混凝土结构自振频率的计算与研究混凝土结构自振频率的计算与研究引言：混凝土结构的自振频率是设计师和工程师在建筑和桥梁设计中必须考虑的一个重要参数。
自振频率是指结构在受到外部激励或者施加给结构的力后，产生共振的频率。
准确计算混凝土结构的自振频率对于确保结构的稳定性和安全性非常关键。
本文将深入探讨混凝土结构自振频率的计算方法，并提供一些研究结果和实例。
一、自振频率的定义与重要性1.1 自振频率的定义自振频率是指结构在没有外部激励的情况下，由其自身的初始扰动引起的共振频率。
它是结构固有振动的频率，可以通过结构的特征参数来计算和评估。
1.2 自振频率的重要性自振频率对结构的设计和分析有着重要的影响。
自振频率是结构设计中抗震设计的基础。
在发生地震等外部激励时，结构的共振可能会导致结构破坏，因此必须使结构的自振频率远离外部激励的频率，以确保结构的安全性。
自振频率还与结构的舒适性和稳定性密切相关。
桥梁、高楼等结构如果自振频率与风力或者行人步伐的频率相近，就会发生共振现象，导致结构的振动加剧，影响结构和人员的安全。
二、混凝土结构自振频率的计算方法2.1 基础理论：振动方程混凝土结构自振频率的计算，首先需要了解振动的基本理论。
振动方程是描述结构振动的基础方程，在计算中被广泛使用。
振动方程可以通过结构的质量、刚度和阻尼等参数来建立。
2.2 基于有限元方法的计算有限元方法是计算混凝土结构自振频率的常用方法之一。
该方法将结构离散化为有限个单元，通过求解每个单元上的振动方程，得到结构的振动特性。
有限元方法准确而灵活，适用于各种复杂的结构形式和加载条件。
2.3 其他计算方法除了有限元方法，还有一些其他的计算方法可以用于混凝土结构的自振频率计算。
模态分析法、频率响应法等。
每种方法都有其适用的领域和局限性，可以根据具体情况选择合适的方法。
三、混凝土结构自振频率的影响因素3.1 结构的几何形状结构的几何形状对自振频率的计算有着重要的影响。
结构动力学之多自由度体系的振动问题
2.760 3.342 1
0.163
0.924
2.76
柔度法
利用刚度法的方程间接导出柔度法方程：
由刚度法振幅方程：
令λ=1/ω2 得频率方程：
( [K]－ω2 [M] ){Y}={0}
前乘[K]－1=[δ]后得： ( [I ]－ω2 [δ] [M] ){Y}={0} ( [δ] [M] － λ [I ] ){Y}={0} ┃ [δ] [M] － λ [I ] ┃=0
刚度法
2）如果初始条件是任意的，则任其自然 后， 系统所发生的振动就不是按主振型的简谐自由 振动，而是复杂的周期振动，这时可以用各阶 主振动的线性组合来描述它，也就是说其通解 表为各个特解之和，即
y j sin( j t v j )
j 1 n
所以系统的任意振动可以表示为各个主振动 的叠加。
Yij为正时表示质1 1.293 5Y11 6.70Y21 3 0 量mi的运动方向与单 3Y 1.707 0
21
Y
(1)
0.163 0.569 1
0.569
5Y13 5.027Y23 3 0 (1) Y 3Y21 10.027 0 3.342 1.227
1 1 4 0 , m m 2 9
展开得: 解之:
3 15 2 42 30 0
ξ1=11.601，ξ2=2.246，ξ3=1.151
1 m
三个频率为：
1 0.2936
1 1 3 0.9319 m m 3）求主振型： （令Y3i=1）将λ1代入振型方程： （[δ] [M ]－λ1[I]）{Y}＝0的前两式：
抗震例题
振型见图 3.14 b) (c) （ 验证主振型的正交性： 质量矩阵 刚度矩阵
X m X2
T 1
0.488 1
T
60 0 1.71 0 1 0 50
地震特征周期分组的特征周期值（s）
场地类别
max 0.16
查表确定 Tg
第一组 第二组 第三组
Ⅰ 0.25 0.30 0.35
Ⅱ 0.35 0.40 0.45
Ⅲ 0.45 0.55 0.65
Ⅳ 0.65 0.75 0.90
Tg 0.3
例：单层单跨框架。屋盖刚度为无穷大，质量集中于屋 盖处。已知设防烈度为8度，设计地震分组为二组，Ⅰ类 场地；屋盖处的重力荷载代表值G=700kN，框架柱线刚 度 ic EI c / h 2.6 104 kN m ,阻尼比为0.05。试求该结构多 遇地震时的水平地震作用。
砂
淤泥质粘土 砂 淤泥质粘土 细砂 砾混粗砂
170 130 240 200 310 520
vse d 0 / t
d0 20 n 146.3577m/s d i 9.5 / 170 10.5 / 130 v 土的 i 1 si 岩土名称和性状
类型 坚硬土 或岩石 中硬土 稳定岩石，密实的碎石土 中密、稍密的碎石土，密实、中密的砾、粗、中 砂， f ak 200 的粘性土和粉土，坚硬黄土
例：试用振型分解反应谱法计算图示框架多遇地震时的层间剪力。 抗震设防烈度为8度，Ⅱ类场地，设计地震分组为第二组。 解： （1）求体系的自振周期和振型 m 180t
第3章动力计算习题
则振型向量为：
1 1 3.33 6.17 1 2 1.001 1.405 1 3 0.176 0.45
振型图如下：
1
第一主振型
3.33 6.17
第二主振型
1 1.001 0.716 1
A m B
m C k2 (a)
k1
k1
243 EI k2 4l 3
k1
l/ 3
2 l /3
k2 m (b)
F=1
(a)
k1 k2 267EI m 4m l3
A
B 2 l /9
M图
(c)
例7：已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动 力弯矩图Md，并求柱顶最大位移 ymax。
第三主振型为： φ3={ 4.0 -3.0 1 }T 或φ3={ 1 -0.75 0.25 }T
（4）刚架的振型图
4 8
1
4
8
1
4
8
0.25
3
7 0.6665
0.6665
3 7
0.75
3 7
2
6 0.3332
0.6665
2 6
2
6
1
1
y 5 x
1
y
5
1
5
x
振型的动态显示
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例6： 求图a所示结构的自振频率，EI=常数, 弹簧的刚 度系数 k=6EI／l3。
2 0 45 15 2 3 15 1 0 1 1 0
令 180 3 则： K M 98 10 方程的实根为：
1 0.3335 2 1.6665 3 4.0 , ,
迈达斯自振频率计算
迈达斯自振频率计算是一种针对结构动力学的计算方法，主要用于分析和计算结构在自振频率下的动力特性。
这种方法在建筑、桥梁、机械等工程领域中有广泛应用，对于结构的安全性、稳定性以及抗震性能的要求有重要意义。
在迈达斯自振频率计算中，首先要建立结构的数学模型。
这个模型应基于结构的实际几何形状和材料性能，通常包括有限元模型或梁元模型。
然后，根据结构的固有特性，如质量、刚度、阻尼等，可以计算出结构在自振频率下的动力响应。
这个过程可以通过以下公式表示：wn=(npi)^41022SQRT(EI/mL^4)，其中wn代表结构的自振频率，pi为圆周率，n为某个正整数，EI为梁的弯曲刚度，m为线密度，L为梁的长度。
对于非线性单元，必须在分析前定义荷载组合进行分析，然后在结果里面查看。
以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议咨询专业人士。
结构力学(下册)11-15
以下三节讨论结构自振频率的近似算法。
先介绍能量法，然后介绍迭代法和子空间迭代法。
1.能聋法求第一频率—瑞利法能量法主要用于求多自由度体系或无限自由度体系自振频率的近似值。
瑞利法用于求第一频率。
瑞利一里兹法是其推广形式，可用于求最初几个频率。
瑞利法的出发点是能量守恒原理:一个无阻尼的弹性体系自由振动时，它在任一时刻的总能量(应变能与动能之和)应当保持不变。
以梁的自由振动为例，其位移可表示为’）（）（），（αω+=t sin x t x y Y式中Y(x)是位移幅度，ω是自振频率。
对t 微分，可得出速度表示式如下:y （x ，t ）=）（）（a t cos x +ωωY由以上两式可知，当位移为零时，速度为最大值。
这时体系的应变能为零，动能达到其最大值T max ，而体系的总能量全部为动能，其值为T max =212ω[]2l 0-x x m ）（）（Y ⎰dx 当速度为零时，位移为最大值。
这时体系的动能为零，应变能达到其最大值U max ，而体系的总能量全部为应变能，其值为dx ]x "[212lmax⎰=）（Y EI U 这里计算应变能时，只考虑了弯曲变形能。
根据能量守恒原理，可知 T max = max U 由此求得频率如下：[]==⎰dx x m 212l 0max2）（—Y U ω[]dx x m dx ]x "[2l 02l0）（）（—Y Y EI ⎰⎰ （11-155a ）如果梁上还有集中质量）、、（ (21)i m i =，则上式应改为[]∑⎰⎰+=i2ii2l 02l2m dx x m dx ]x "[Y Y Y EI ）（）（—ω（11-155b ）式中i Y 是集中质量i m 处的位移幅度。
式(11-155a 、b)就是瑞利法求自振频率的公式。
如果其中所设的位移形状函数Y(x)正好与第一主振型相似，则可求得第一频率的精确值。
如果正好与第二主振壁相似，则可求得第二频率的精确值。
第十五章结构动力学复习题
第十五章结构动力学复习题15-1. 用柔度法写出图示结构的振动方程并求自振频率和周期(1) (2)
(3)
15-2. 用刚度法写出图示结构的振动方程并求自振频率和周期
15-3. 用柔度法写出图示结构的振动方程并求图示质点的位移幅值和最大弯矩，ωθ6.0=
15-4.图示梁跨中有重量为
20KN 的电柢，荷载幅值F=2KN ，机器转速为400r/min,EI=261006.1m KN ∙⨯,梁长L=6m. 试求梁中处的最大动位移和最大弯矩
(1) 不计阻尼
(2) 阻尼比05.0=ξ
15-5. 题15-4结构的质量受到突加荷载F （t ）=30KN 作用. 如开始体系静止，试求梁中处的最大动位移。
15-6. 某结构在自振10周期后，振幅降为原来初始位移的10%（初速为零）。
求阻尼比
15-7. 题15-4结构的质量受到图示荷栽的作用，T t =1，T 为体系自振周期。
如开始体系静止，试求梁中处的最大动位移。
15-8. 用柔度法写出图示结构的振动方程并求自振频率和振形
(1) (2)
15-9. 用刚度法写出图示结构的振动方程并求自振频率和振形
(1) ,1201t m = ,1002t m = ,201m MN i ∙= ,142m MN i ∙= 横梁刚度无限大
(2) ,2701t m = ,2702t m = ,1803t m = ,/2451m MN K = ,/1962m MN K = ,/983m MN K = 横梁刚度无限大
题15-9-1 题15-9-2。
天津大学结构力学真题(最完整版)
天津大学研究生院1994年招收硕士生入学试题考试科目：结构力学（包含结构动力学） 题号：0901 一．计算图1所示珩架指定杆的轴力()12,N N (10分)二．结构仅在ACB 部分温度升高t 度，并且在D 处作用外力偶M 。
试求图示刚架A,B 两点间水平向的相对位移。
已知：各杆的EI 为常值，α为线膨胀系数，h 为截面高度。
（20分）三．用力法分析图3所示结构，绘M 图。
计算时轴力和剪力对位移的影响略去不计。
各杆的EI 值相同。
（20分）半圆弧积分表：2211sin sin 2,cos sin 22424x x xdx x xdx x =-=+⎰⎰四．试用位移法求解图4所示刚架并绘M 图。
计算时不考虑轴力变形时对位移的影响。
（20分）杆端力公式：21,08f fABBA ql M M =-=,53,88ff AB BA ql ql Q Q ==-一．试用力矩分配法计算图5所示连续梁并绘M 图。
（10分）二．求图示结构的自振频率和主振型，并作出振型图。
已知：122,,m m EI m m ===常数，忽略阻尼影响。
（20分）天津大学研究生院1995年招收硕士生入学试题考试科目：结构力学题号：0901一．选择题：在正确答案处画“√”。
每题4分。
1．图示平面体系的几何组成性质是：A.几何不变且无多余联系的B.几何不变且有多余联系的C.几何可变的D.瞬变的2．图示结构A截面的剪力为：A. –PB. PC. P/2D. –P/23.图示珩架内力为零的杆为：A.3根B.6根C.8根D.7根3． 图示结构的超静定次数为：A ． 6次B ． 4次C ． 5次D ． 7次4． 图示梁当EI ＝常数时，B 端的转角是： A. 35/48ql EI (顺时针) B. 35/48ql EI (逆时针) C. 37/48ql EI (逆时针) D. 39/48ql EI (逆时针)二．计算题1．已知图示结构的M图，做Q.N图。
《结构力学》结构动力学(2)
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。
第12章 结构的动力计算 习题
习 题12-1 是非判断(1) 引起单自由度体系自由振动的初速度值越大,则体系的自振频率越大。
( )(2) 如果单自由度体系的阻尼增大，将会使体系的自振周期变短。
( )(3) 在土木工程结构中，阻尼对自振周期的影响很小。
( )(4) 由于各个质点之间存在几何约束，质点体系的动力自由度数总是小于其质点个数。
( ) (5) 多自由度体系的自振频率与引起自由振动的初始条件无关。
( )(6) n 个自由度体系有n 个自振周期，其中第一周期是最长的。
( )(7) 如果考虑阻尼，多自由度体系在简谐荷载作用下的质点振幅就不能用列幅值方程的方法求解。
( )12-2 填空(1) 单自由度体系运动方程为2P 2()/y y y F t m ξωω++=，其中未考虑重力，这是因为 。
(2) 单自由度体系自由振动的振幅取决于： 。
(3) 若要改变单自由度体系的自振周期，应从改变体系的或着手。
(4) 若由式(12-23)求得的动力系数β为负值。
则表示 。
(5) 习题12-2(5)图所示体系发生共振时，干扰力与 平衡。
(6) 求习题12-2(6)图所示质点系的自振频率时(EI =常数)，其质量矩阵[M ]= 。
第12章 结构的动力计算m(7) 习题12-2(7)图所示体系不考虑阻尼，EI =常数。
已知θ =0.6ω(ω为自振频率)，其动力系数β = 。
(8) 已知习题12-2(8)图所示体系的第一主振型为(1)12Y ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎣⎦，利用主振型的正交性可求得第二主振型(2)Y ⎡⎤=⎣⎦。
(9) 习题12-2(9)图所示对称体系的第一主振型(1)Y ⎡⎤=⎣⎦，第二主振型(2)Y ⎡⎤=⎣⎦ 。
12-3 确定习题12-3图所示质点体系的动力自由度。
除注明者外各受弯杆EI =常数，各链杆EA =常数。
12-4 不考虑阻尼，列出习题12-4图所示体系的运动方程。
No.12-185 12-5 求习题12-5图所示单自由度体系的自振频率。
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求结构自振频率例题
求结构自振频率例题
一、钢梁的自振频率
给出一个钢梁，长度为L，重量为m，该梁算出其在它自由振动时的自振频率。
解答：自振频率的计算公式为：f = 1/2π√(K/m)，其中K为杆的刚度。
由于重心的位置和梁的形状与尺寸可以改变K，所以在计算之前需要了解这两个参数的值才能准确的求出杆的自振频率。
对于这个钢梁来说，自振频率的计算公式可以写为：
f = 1/2π√(K/m)
= 1/2π√(KL/m)
= 1/2π√(EI/mL)
其中E为钢梁的弹性模量，I为该杆断面的惯性矩。
二、水中的自振频率
给出一个柱状物体，其底面积为S，在这里，计算出其在水中自由振动时的自振频率。
解答：水中物体的自振频率可以用下面的公式求出：f = (π/2)*√(ρg/S),
其中ρ为水的密度，g为重力加速度。
因此，对这个柱状物体来说，自振频率的计算公式可以写为： f = (π/2)*√(ρg/S)
= (π/2)*√(ρg/S)
三、质点的自振频率
给出一个质点，质量为m，悬空在真空中，该质点算出其在自由振动时的自振频率。
解答：对于质点而言，由于其没有刚度影响，因此它的自振频率可以用下面的公式求出：f = 1/2π√(m/K)，其中K为质点的动力学刚度。