求结构自振频率例题

一、钢梁的自振频率

给出一个钢梁，长度为L，重量为m，该梁算出其在它自由振动时的自振频率。

解答：自振频率的计算公式为：f = 1/2π√(K/m)，其中K为杆的刚度。

由于重心的位置和梁的形状与尺寸可以改变K，所以在计算之前需要了解这两个参数的值才能准确的求出杆的自振频率。

对于这个钢梁来说，自振频率的计算公式可以写为：

f = 1/2π√(K/m)

= 1/2π√(KL/m)

= 1/2π√(EI/mL)

其中E为钢梁的弹性模量，I为该杆断面的惯性矩。

二、水中的自振频率

给出一个柱状物体，其底面积为S，在这里，计算出其在水中自由振动时的自振频率。

解答：水中物体的自振频率可以用下面的公式求出：f = (π/2)*√(ρg/S),

其中ρ为水的密度，g为重力加速度。

因此，对这个柱状物体来说，自振频率的计算公式可以写为： f = (π/2)*√(ρg/S)

= (π/2)*√(ρg/S)

三、质点的自振频率

给出一个质点，质量为m，悬空在真空中，该质点算出其在自由振动时的自振频率。

解答：对于质点而言，由于其没有刚度影响，因此它的自振频率可以用下面的公式求出：f = 1/2π√(m/K)，其中K为质点的动力学刚度。

结构动力学计算题

无阻尼自由振动计算题(单位：kg、N = kg・m/s2、Pa = N/m2、) 无阻尼自由振动运动方程：u(t) = u(0) cos w n t +丝^sinw湛； w n 刚度k = F/* (kN/m)；自振圆频率3〃= £ = (rad/s)；无阻尼体系简谐荷载反应：其中频率比P = 0/w n； 17(0) P o /? 1 P o 1 u0)=状0)cos w n t + - sin啪 + 9t 稳态反应等效静位移四=Po/k = P0/mw n2；稳态反应振幅I/。= u st R d = y—K I1-P I 阻尼c = 2mw n^ (kN * s/m)；阻尼比(=—=—— = 有阻尼圆频率 c cr 2mw n 2nn ut+n W D = w n y/l-^2；有阻尼自振周期T D=L/房寻有阻尼体系动力方法系数R d= — = u st 1/J[1一供]2 + [2〈仞2；拉格朗日方程计算题 lagrange方程：，(茶J 一 *" += Q)；其中Q)为非有势力对应于广义坐标0/的广义力平面运动刚体的动能T = |mv c2+|/c w2,随质心平移的动能和绕质心转动的动能之和。细直杆绕质心的转动惯量：J c—,对喘部：J z=■ ^mZ2；圆盘对其质心的转 JL£O 动惯量：]0— ^mr2o 振型叠加法计算题(第一类型) 频率方程:\[K] - a)2[M]| = 0得自振频率s由特征方程:([K] - 口2[的)｛勿=0；设｛飕)=1,得到｛破)和｛泌。

已知条件 1:切}i = [o.644，、{必2 = {-0.601，、切}3={-2.57＞、[M]= (0.3 1 1.5 2. 可得振型质量:M n = 同理可知M 2 = 2.456, M3 = 23.109。 1.5 ) 加已知条件 2： m (0)} = { 2.5 }m,位 (0)} = {2.25 m/s 4.50) -0.676 2.47 可知 Mi = {0}7[M]{0h = (1 0.644 0.3) 1 ・ 1.5 . 2. 。:44"。2, 0.3 J 13.75J 可得振兴坐标表示的初始条件: (1 0.644 0.3) 小、{^}i[M]u(0) Qi(0)= 1 ・ 1.5 . 2. 1.25 2.5 3.75 5.915 =3.2825 1.802 02(°)= ri (1.25) (1 -0.601 -0.676) 1.5 2.5 ■ 2. ( 3.75) -6.07375 2.456 何片网成。) 03(0)= ri (1.25) (1 -2.570 2.470) 1.5 2.5 2. ( 3.75)__ 10.1375 M 3 =0.43868 ri (1.5) (1 0.644 0.3) 1.5 2.25 2 J U.50) Mi =3.5369 6.3735 1.802 1.25 Mi 1.802 2.456 M 2 =-2.473 23.109 23.109 1.802 ・小、何片网讥。) 91(0)=

抗震习题集

结构地震反应分析与抗震验算计算题 3、1 单自由度体系,结构自振周期T=0、5S,质点重量G=200kN,位于设防烈度为8 度得Ⅱ类场地上,该地区得设计基本地震加速度为0.30g,设计地震分组为第一组,试计算结构在多遇地霞作用时得水平地震作用。 3、2 结构同题3.1,位于设防烈度为8度得Ⅳ类场地上,该地区得设计基本地震加速度为0、20g,设计地设分组为第二组,试计算结构在多遇地震作用时得水平地震作用。 3、3 钢筋混凝土框架结构如图所示,横梁刚度为无穷大,混凝土强度等级均为C25,一层柱截面450mm×450mm,二、三层柱截面均为400mm×400mm,试用能量法计算结构得自振周期T1。 3、4 题3.2得框架结构位于设防烈度为8度得Ⅱ类场地上,该地区得设计基本地震加速度为0、20g,设计地震分组为第二组,试用底部剪力法计算结构在多遇地震作用时得水平地震作用。 3、5 三层框架结构如图所示,横梁刚度为无穷大,位于设防烈度为8度得Ⅱ类场地上,该地区得设计基本地震加速为0、30g, 设计地震分组为第一组。结构各层得层间侧移刚度分别为k1=7、5×105kN／m,k2=9、1×105kN／m,k3=8、5×105 kN／m,各质点得质量分别为m1=2×106kg, m2=2×106kg, m3=1、5×105kg,结构得自震频率分别为ω1＝9、62rad/s, ω2=26、88 rad/s, ω3=39、70 rad/s, 各振型分别为: 要求: ①用振型分解反应谱法计算结构在多遇地震作用时各层得层间地震剪力; ②用底部剪力法计算结构在多遇地震作用时各层得层间地震剪力。

刚度法求自振频率例题

刚度法求自振频率例题《刚度法求自振频率例题》在工程领域中，刚度法是常用于计算结构系统自振频率和模态形式的方法之一。它的核心思想是利用结构的刚度特性来推导出结构的固有频率。本文将通过一个实际的例题来介绍刚度法的应用过程。假设我们有一个弹簧和一个质点组成的简单体系，如图所示。弹簧的刚度为k，质点的质量为m。《图1：弹簧和质点简单体系示意图》首先，我们需要建立质点的运动方程。根据牛顿第二定律，运动方程可以表示为： m * a = -k * x 其中，a为质点的加速度，x为质点的位移。根据简谐运动的特点，我们可以设质点的位移解为x = X * cos(ωt)，其中X为最大位移，ω为角频率，t为时间。将位移解带入运动方程中，可以得到： -m * ω^2 * X * cos(ωt) = -k * X * cos(ωt) 化简上述方程，可以得到： k/m = ω^2 由上式可以看出，质点的自振频率ω只取决于弹簧的刚度k和质量m，而与质点的最大位移X 和时间t无关。接下来，我们需要计算质点的自振频率。根据刚度法的计算步骤，我们可以先计算出刚度k，再通过质量m计算出自振频率ω。假设给定的刚度k为100 N/m，质量m为1 kg，我们可以使用刚度法计算质点的自振频率。首先，根据给定的刚度和质量，我们可以得到k/m = 100 N/m / 1 kg = 100 N/(m·kg)。接下来，我们将k/m代入ω = √(k/m)的公式中，即： ω = √(100 N/(m·kg)) 通过计算，可以得到ω ≈ 10 rad/s。

所以，质点的自振频率为10 rad/s。这意味着在不受外力作用的情况下，质点会以10 rad/s的频率振动，振幅大小由最大位移X来决定。通过这个例题，我们可以看出刚度法是一种简单且有效的方法，用于计算结构系统的自振频率。利用刚度法，工程师可以对结构系统的振动特性有初步的了解，并为结构设计和优化提供参考。在实际工程项目中，刚度法也得到了广泛的应用和验证。总之，《刚度法求自振频率例题》通过一个具体的例题，向读者介绍了刚度法的基本原理和应用过程。希望读者通过本文的阅读，对刚度法有更深入的理解，从而在工程实践中能够灵活运用。

结构动力学例题复习题

第十六章结构动力学【例16-1】不计杆件分布质量和轴向变形，确定图16-6 所示刚架的动力自由度。图16-6 【解】各刚架的自由度确定如图中所示。这里要注意以下两点： 1．在确定刚架的自由度时，引用受弯直杆上任意两点之间的距离保持不变的假定。根据这个假定并加入最少数量的链杆以限制刚架上所有质量的位置，则刚架的自由度数目即等于所加链杆数目。 2．集中质量的质点数并不一定等于体系的自由度数，而根据自由度的定义及问题的具体情形确定。

【例16-2】试用柔度法建立图16-7a 所示单自由度体系，受均布动荷载)t (q 作用的运动方程。【解】本题特点是，动荷载不是作用在质量上的集中荷载。对于非质量处的集中动荷载的情况，在建立运动方程时，一般采用柔度法较为方便。设图a 质量任一时刻沿自由度方向的位移为y （向下为正）。把惯性力I 、阻尼力R 及动荷载)(t P ，均看作是一个静荷载，则在其作用下体系在质量处的位移y ，由叠加原理（见图b 、c 、d 及e ），则 )(R I y P D I P +δ+∆=∆+∆+∆= 式中，)t (q EI 38454 P =∆，EI 483 =δ。将它们代入上式，并注意到y m I -=，y c R -=，得 )(48)(38453 4y c y m EI t q EI y --+= 图16-7 经整理后可得 )(t P ky y c y m E =++ 式中，3EI 481k =δ= ，)(8 5)(t q k t P P E =∆= )(t P E 称为等效动荷载或等效干扰力。其含义为：)(t P E 直接作用于质量上所产生的位移和实际动荷载引起的位移相等。图a 的相当体系如图f 所示。【例16-3】图16-8a 为刚性外伸梁，C 处为弹性支座,其刚度系数为k ，梁端点A 、D 处分别有m 和 3 m 质量，端点D 处装有阻尼器c ，同时梁BD 段受有均布动荷载)t (q 作用，试建立刚性梁的运动方程。【解】因为梁是刚性的，这个体系仅有一个自由度，故它的动力响应可由一个运动方程来表达，方程可以用直接平衡法来建立。这个单自由度体系可能产生的位移形式如图b 所示，可以用铰B 的运动)t (α作为基本

结构力学课后习题答案 (2)

习题及参考答案【习题2】【习题3】【习题4】【习题5】【习题6】【习题8】【习题9】【习题10】【习题11】【习题12】【习题13】【习题14】【参考答案】习题2 2-1～2-14试对图示体系进行几何组成分析，如果是具有多余联系的几何不变体系，则应指出多余联系的数目。题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图

题2-12图题2-13图题2-14图习题3 3-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。题3-1图 3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。题3-2图习题4 4-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。题4-1图 4-2 作图示刚架的M 图。 (b) (a) 20kN 40kN 20kN/m 40kN (b) 5kN/m 40kN (a)(c) (b)(a)//

题4-2图 4-3 作图示三铰刚架的M 图。题4-3图 4-4 作图示刚架的M 图。题4-4图 4-5 已知结构的M 图，试绘出荷载。 P (e) (d) (a) (b) (c) /4kN (b) (a) (a) (b) (a)

题4-5图 4-6 检查下列刚架的M 图，并予以改正。题4-6图习题5 5-1 图示抛物线三铰拱轴线方程，试求D 截面的内力。题5-1图 5-2 带拉杆拱，拱轴线方程，求截面K 的弯矩。题5-2图题5-3图 5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。习题 6 6-1 判定图示桁架中的零杆。 (e)(g)(h) P (d) (c)(a)(b) (f)x x l l f y )(42-= x x l l f y )(42-= C

在线测试题试题库及解答(第十章)结构动力学

在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题 1、结构的主振型与什么有关？ A、质量和刚度 B、荷载 C、初始位移 D、初始速度标准答案A 2、结构的自振频率与什么有关？ A、质量和刚度 B、荷载 C、初始位移 D、初始速度标准答案A 3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？ A、均布荷载作用 B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直 C、荷载不作用在质点上 D、惯性力与运动方向共线标准答案D 4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度 A、等于其集中质量数 B、小于其集中质量数 C、大于其集中质量数 D、以上都有可能标准答案D 5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度 A、等于其集中质量数 B、小于其集中质量数 C、大于其集中质量数 D、以上都有可能标准答案D

6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是 A、弹性恢复力 B、重力 C、阻尼力 D、惯性力标准答案D 7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是 A、ω越大β也越大 B、θ/ω越大β也越大 C、θ越大β也越大 D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案D 8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是 A、自由振动的振幅衰减速度加快 B、自振周期减小 C、动力系数减小 D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案B 9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是 A、弹性恢复力 B、惯性力 C、惯性力与弹性力的合力 D、没有力标准答案D 10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是 A、弹性恢复力 B、惯性力与弹性力的合力 C、惯性力 D、阻尼力标准答案D 11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是

结构动力学大作业

一、课程大作业任务资料某两层钢筋混凝土框架（图1），集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值为121150kN,1150kN G G ==（图2），层高 4.2H m =，柱截面尺寸为350350b h mm mm ⨯=⨯，梁刚度EI =∞，砼强度为25C ，混凝土强度等级422.8010/c E N mm =⨯，地震设防烈度为7度，地震加速度为0.10g ，场地类别为o I ，第二组。请采用振型叠加法求解该结构的地震内力，并绘制内力图。二、计算步骤 1、确定截面参数柱子截面惯性矩：33 340.350.35 1.251101212 bh I m -⨯===⨯；每层钢架侧移刚度：463 1233 2424 2.801010 1.251104.2c E I k k H -⨯⨯⨯⨯⨯=== 71.13410/N m =⨯ 楼层质量：12117347G m m kg g == =

2、求结构自振频率和振型由图3（a ）和（b ）可求出结构的刚度系数如下： 711127122127222 2.26810/1.13410/1.13410/k k k N m k k k N m k k N m =+=⨯==-=-⨯==⨯ 由频率特征方程得： 7 727711734702.26810 1.13410001173471.13410 1.13410ω⎡⎤⨯-⨯⎡⎤-=⎢⎥⎢⎥-⨯⨯⎣⎦ ⎣⎦ 于是，2 2236.912(/)253.000(/)ω=rad s rad s 即126.076/,15.906/ω==rad s w rad s 故1212 221.034,0.395T s T s w w ππ==== 第一主振型：()()1112211111 2Y k k m Y ω=-- 771.134100.6182 1.1341036.9121173471 -⨯=-=⨯⨯-⨯ 第二主振型：()()21122211212 Y k k m Y ω=-- 771.13410 1.6182 1.13410253.0001173471 -⨯=-=-⨯⨯-⨯ 主振型矩阵：(1)(2)11(1)(2)2 20.618 1.61811Y Y Y Y Y -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ [][]20ω-=K M

结构动力计算习题

160 结构动力计算习题一．选择题 8-1 体系的动力自由度是指（）。 A ．体系中独立的质点位移个数 B ．体系中结点的个数 C ．体系中质点的个数 D ．体系中独立的结点位移的个数 8-2 下列说法中错误的是（）。 A ．质点是一个具有质量的几何点； B ．大小、方向作用点随时间变化的荷载均为动荷载； C ．阻尼是耗散能量的作用； D ．加在质点上的惯性力，对质点来说并不存在 8-3 图示体系EI =常数，不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（）。题8-3图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-4图示体系不计杆件分布质量，动力自由度相同的为（）。 (b ) (c ) 题8-4图 A ．（a ）、（b ）、（c ） B ．（a ）、（b ） C ．（b ）、（c ） D ．（a ）、（c ） 8-5 若要提高单自由度体系的自振频率，需要（）。 A ．增大体系的刚度 B ．增大体系的质量 C ．增大体系的初速度 D ．增大体系的初位移 8-6 不计阻尼影响时，下面说法中错误的是（）。 A ．自振周期与初位移、初速度无关； B ．自由振动中，当质点位移最大时，质点速度为零； C ．自由振动中，质点位移与惯性力同时达到最大值； D ．自由振动的振幅与质量、刚度无关 8-7 若结构的自振周期为T ，当受动荷载)(P t F =t F θsin 0作用时，其自振周期T （）。 A ．将延长 B ．将缩短 C ．不变 D ．与荷载频率 θ的大小有关 8-8 若图（a ）、（b ）和（c ）所示体系的自振周期分别为a T 、b T 和c T ，则它们的关系为（）。 (a) (b) (c) 题8-8图 A ．a T >b T >c T B ．a T >c T >b T C ．a T

抗震与设计计算题目解析

高层建筑结构抗震与设计（练习题1） 1.某单跨单层厂房如图1所示，集中于屋盖的重力荷载代表值为G= 2800kN，柱抗侧移刚度系数k1=k2=2.0 xi04kN/m,结构阻尼比Z=0.03 , n类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.15g。分别求厂房在多遇地震和罕遇地震时水平地震作用。 G G 2.图2为两层房屋计算简图，楼层集中质量分别为m1=120t,m2=80t,楼板刚度无穷大，楼层剪切刚度系数分别为k1= 5 xi04kN/m , k2= 3 xi04kN/m。求体系自振频率和振型, 并验算振型的正交性。 m2 k2 k1 图2两层房屋计算简图 3.钢筋混凝土3层框架计算简图如图3所示。分别按能量法和顶点位移法计算结构的基本自振周期（取填充墙影响折减系数为0.6 ）。

3 图3 3层框架计算简图 4. 钢筋混凝土 3层框架经质量集中后计算简图如图 4所示。各层高均为5米，各楼层集中质量代表值分别为：G1=G2=750kN ，G3=500kN ;经分析得结构振动频率和振型如图 4所示。结构阻尼比Z= 0.05 , I 类建筑场地，设计地震分组为第一组，设计基本地震加速度为0.10g 。试按振型分解反应谱法确定结构在多遇地震时的地震作用效应，绘出层间地震剪力图。图4计算简图 5. 已知条件和要求同上题，试按底部剪力法计算。 1、表1为某建筑场地的钻孔资料，试确定该场地的类别。 m 3 180 10 kg m 2 270 103 kg k 3 9800kN / m m 1 270 103 kg n/" / / 才 k 2 195000kN/m k 1 245000kN / m • G3 -1.." 10.22rad /s 3 38.37rad / s [ ./x'J.. 2 27.94rad /s

用柔度法求自振频率的特征方程

用柔度法求自振频率的特征方程柔度法是求解自振频率的一种常用方法，它基于结构刚度与质量之间的关系，通过求解特征方程可以得到自振频率的值。本文将详细介绍柔度法的原理和步骤，并通过实例说明如何应用该方法。首先，我们来看一下柔度法的基本原理。在结构力学中，固体结构可以近似看作是由一连串的弹性单元组成的，每个单元由质量与刚度构成。根据牛顿第二定律，我们可以得到以下方程： \[m\ddot{u}+ku=0\] 其中，\(m\)是质量矩阵，\(\ddot{u}\)是加速度向量，\(k\)是结构刚度矩阵，\(u\)是位移向量。为了简化计算，我们可以假设质量矩阵\(m\)为单位矩阵，即只考虑结构的刚度情况。此时方程可以简化为： \[ku=0\] 根据振动理论，位移\(u\)的解可以表示为如下形式： \[u(t)=Ae^{jwt}\] 其中，\(A\)是振幅，\(j\)是虚数单位，\(w\)是频率。将上式带入方程，我们可以得到： \[kAe^{jwt}=0\]

由于自振频率是导致结构振动的频率，因此结构的位移方程必须为非零解。我们可以得到如下特征方程： \[kA=0\] 该特征方程表明，自振频率所对应的振幅必须为零。为了满足该条件，我们需要求解特征方程\(kA=0\)的解。接下来，我们将介绍柔度法的具体步骤。步骤一：建立刚度矩阵首先，需要根据结构的几何形状和材料特性，建立结构的刚度矩阵。刚度矩阵是一个对称矩阵，它描述了结构在受到力作用时的刚度响应。步骤二：求解特征方程利用柔度法，我们需要求解特征方程\(kA=0\)的解。这可以通过将刚度矩阵\(k\)进行特征值分解来实现。特征值分解可以将刚度矩阵分解为特征值和对应特征向量的乘积形式。步骤三：计算自振频率通过求解特征方程，我们可以得到特征值。这些特征值代表了结构的自振频率的平方。取特征值的平方根即可得到自振频率的值。步骤四：求解振型自振频率只是结构振动的频率，而振型则描述了结构在特定频率下的振动模式。通过特征向量可以得到结构的振型。

典型例题分析(动力学)

典型例题分析（动力学）一、自由度 1.判断自由度的数量。二、单自由度体系的自振频率 1. 试列出图1a结构的振动方程，并求出自振频率。EI＝常数。图1a 图1b M1 图1c M2分析：

（1）质点m 的水平位移y 为由惯性力和动荷载共同作用引起：()()t F y m y p 1211δδ+-= 。（2）挠度系数： EI l l l l l l l EI 2452 3 22 221232222113 11= ⨯ ⨯ ⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=δ EI l l l l EI 8221222 113 12=⨯⨯⨯ ⨯= δ （3）自振频率：11 1δωm = 2. 图2a 简单桁架，在跨中的结点上有集中质量m 。若不考虑桁架自重，并假定各杆的EA 相同，试求自振频率。图2a 图2b 分析：（1）由于结构对称，质量分布对称，所以质点m 无水平位移，只有竖向位移，此桁架为单自由度体系。（2）挠度系数：()2 11 2 11+ = =∑EA l l F EA N δ （3）自振频率：11 1δωm = 3. 计算图3a 结构的自振频率，设各杆的质量不计。图3a 图3b 分析：（1）A 、B 两点的竖向位移相同，()B B A A X X 111δδ=∆=-=∆。（2）挠度系数：()1 3 1 1 3 116482EI l EI l A = =δ，()2 3 2 2 3 216482EI l EI l B = = δ （3）自振频率：A m δω1=

三、单自由度体系的动力特性 1. 简支梁，跨度a ，抗弯刚度EI ，抗弯截面模量W z 。跨中放置重量为G 转速n 的电动机．离心力竖直分量()t F t F p p θsin =。若不计梁重，试求动力系数、最大动位移及最大动应力。分析：（1）动力系数：2 11⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛-= ωθμ EI Ga g n st st 4830 3 = ∆∆= = ωπθ （2）最大动位移：EI a F y y y y p st st st st d 483 1111 max max = =∆+=∆+=δδμ （3）最大动应力： ()a G F M M M M M W M p G st G d z += +=+== μμσ4 1max max max max 四、两个自由度体系的特性（自振频率、主振型、位移－振型分解法） 1. 求1a 体系的自振频率和主振型，作振型图并求质点的位移。已知m l ＝2m 2＝m ，EI ＝常数，质点 m 1上作用突加荷载()⎩⎨ ⎧<>=0 0t t F t F p p 。图 1a 分析：（1）频率方程： 01 1 2 2221 212122 111=- - ω δδδω δm m m m 。（2）挠度系数：EI EI EI 127213422211211=- === δδδδ （3）解方程求自振频率：m EI m EI 65 .159.011==ωω （4）求主振型： ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=- - =⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=- - =6.411 44.011 2 2 11121222 212 1 11121212 11ωδδω δδm m Y Y m m Y Y （5）振型分解：⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎭⎬⎫⎩⎨ ⎧212122122111 216.444.011 ηηηηy y y y y y

抗震结构设计经典计算题及答案

1、某两层钢筋混凝土框架，集中于楼盖和屋盖处的重力荷载代表值相等kN 120021==G G ，每层层高皆为4.0m ，各层的层间刚度相同m /kN 863021=∑=∑D D ；Ⅱ类场地，设防烈度为7度，设计基本地震加速度为0.10g ，设计分组为第二组，结构的阻尼比为05.0=ζ。（1）求结构的自振频率和振型，并验证其主振型的正交性（2）试用振型分解反应谱法计算框架的楼层地震剪力解1）：（1）计算刚度矩阵 m kN k k k /17260286302111=⨯=+= m kN k k k /863022112-=-== m kN k k /8630222== （2）求自振频率 ])(4)()[(21211222112121122211122212122,1k k k k m m k m k m k m k m m m --++= ω ])8630(863017260[(1201204)172601208630120()172601208630120[(120 1202122--⨯⨯⨯-⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯= 28.188/47.27= s rad /24.51=ω s rad /72.132=ω （3）求主振型当s rad /24.51=ω 1 618.186301726024.5120212112111112=--⨯=-=k k m X X ω 当s rad /72.132=ω 1 618.086301726072.13120212112212122-=--⨯=-=k k m X X ω （4）验证主振型的正交性质量矩阵的正交性

0618.0000.112000120618.1000.1}]{[}{21=⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎭ ⎬⎫⎩⎨⎧=T T X m X 刚度矩阵的正交性 0618.0000.186308630863017260618.1000.1}]{[}{21=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡--⎭⎬⎫⎩⎨⎧=T T X k X 解2）：由表3.2查得：Ⅱ类场地，第二组，T g =0.40s 由表3.3查得：7度多遇地震08.0max =α 第一自振周期g g T T T T 5s,200.1211 1<<==ωπ 第二自振周期g g T T T T 5s,458.02122<<==ωπ （1）相应于第一振型自振周期1T 的地震影响系数： 030.008.0200.140.09.0max 9.01 1=⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ααT T g 第一振型参与系数 724.0618.11200000.11200618.11200000.112002 22121111=⨯+⨯⨯+⨯==∑∑==i i i n i i i m m φ φ γ 于是：kN 06.261200000.1724.0030.01111111=⨯⨯⨯==G F φγα kN 17.421200618.1724.0030.02121112=⨯⨯⨯==G F φγα 第一振型的层间剪力： kN 17.421212==F V kN 23.68121111=+=F F V （2）相应于第二振型自振周期2T 的地震影响系数：

悬臂梁自振频率分析

悬臂梁自振频率分析专业：防灾减灾及防护工程学号：S201003087 姓名：岳松林 1 b 图中：cm l 8.401=，cm l 9.152=，cm l 61.13=，cm l 74.74=，cm l 56.65=， cm b 00.61=，cm b 752.12=， cm b 628.23= 整个悬臂梁的厚度均为cm h 616.0=。图1 一、解析解第一步，梁的基本情况梁的运动偏微分方程 ()()()() ()2222 22 ,,,v x t v x t EI x m x p x t x x t ⎡⎤∂∂∂+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ （1）这里不考虑梁的轴向剪力和粘滞阻尼力，求它的自由振动频率，因而其运动偏微分方程为： ()()()() 222 2 22 ,,0v x t v x t EI x m x x x t ⎡⎤∂∂∂+=⎢⎥∂∂∂⎣⎦ （2）由梁的几何物理参数参数（梁高h ，材料密度已知）我们可以得到： ()()()312212a a Eh EI x L x a L -⎡⎤=-+⎢ ⎥⎣⎦ （3） () ()122()a a a x L x a L -= -+ （4）梁的边界条件：固定端：()()0000 φφ'=⎧⎪⎨=⎪⎩ （5）自由端有刚性质量：

()()()(3)2 1 (2)2(1) 1 ()EI L L m EI L L j φωφφωφ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ （6）其中12 3111133m abh j m b ab h ρ ρ=⎧⎪⎨==⎪⎩ （7）第二步，梁的求解问题转化为偏微分方程的求解 ()()()()()()22231212222 22 ,,012a a v x t a a v x t Eh L x a L x a h x L x L t ρ⎡⎤-∂-∂⎡⎤⎡⎤ ∂-++-+⋅=⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥⎣⎦⎣ ⎦⎣⎦（8）令() ()122()a a a x L x a L -=-+（9） 3 12a const Eh ρ = = （10）将公式（9）（10）代入（8） ()()()()()()()4322'"4322 ,,,,()20v x t v x t v x t v x t a x a x a x aa x x x x t ∂∂∂∂+++=∂∂∂∂ （11）该方程目前不能解。应采用能量法，即Rayleigh 法一、理论准备基本概念是最大动能等于最大势能。求解多自由度体系比较方便。 ()()0,sin v x t x Z t ϕω= 2201()2L v V EI x dx x ∂=∂⎰ 22 201()()2L v T m x dx t ∂=∂⎰ 222max 020222max 001()()21 ()()2 L L V Z EI x dx x T Z m x dx ϕωϕ∂=∂=⎰⎰ max max V T =

结构力学试题

结构力学试题题号 -一一二二二 -三四五六七八九十总分分数 1 •对于单自由度体系有如下关系 k 二 -1 对于多自由度体系也同样成立。（） 2. 仅在恢复力作用下的振动称为自由振动。（） 3. 对于杆系结构，用有限元方法得到的单元刚度矩阵与矩阵位移法得到的是一致的。（） 4. 在无限自由度体系的弹性稳定分析中，用静力法和能量法（瑞利 -里兹法）得到的临界荷载是相同的。（） 5. 只要两个杆件的截面面积相同、所用材料相同，它们的极限弯矩就是相同的。（）单项选择题（本大题分3小题，每小题4分，共12分） 1. 对图示结构，若要使其自振频率增大，可以（ A. 增大F p ； C.增大m ； B. 增大El ; D.增大I 。 2. 图示刚架杆单元的坐标转换矩阵 T 6 6中的第一行元素为（）。 0.866 0.5 0 0 0 01 ； 0.866 0.5 0 0 0 0】； 0.5 0.866 0 0 0 0】； 3. 三结点三角形单元的形函数满足的条件为（）。 A. B. C. D. 0.5 - 0.866 0 0 0 01。

A. N1 (X1,yJ =1, N1 (X2,y2)=0,N1 (X a,y3) = 0; B. N1 (X1, y i) -0, N1 (X2, y2) -1, N1 (X3, y3 ) = 1 ； C. N1 (X1,y1) =0,叫(X2,y2 )= 0,N1 (X3, y? )= 0 ； D. N1 (X1,yJ =1, N1 (X2,y2)= 1,N(X3』3)=1。(注:x"为i 点坐标)

建筑结构抗震计算题及例题答案

《建筑结构抗震》（清华大学出版社）计算题及例题解答 1.某两层房屋计算简图如图1所示。已知楼层集中质量为 1 100t m=， 2 50t m=，每层层高均为h，楼板平面内刚度无限大，沿某抗震主轴方向的层间剪切刚度为 1 20000kN m k=，2 10000kN m k=。求该结构体系在该抗震主轴方向的自振周期、振型和振型参与系数。图1 动力模型计算简图【解】 1 m100t =， 2 m50t =，m / kN 20000 k 1 =，m / kN 10000 k 2 = （1）自振圆频率 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + ⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - ± + + = ω）（ 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2,1m k2 m k k2 m k m k m k m k m k k 2 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤⎢ ⎢ ⎣ ⎡⨯ + + ⨯ + ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛ - ± + + =）（ 50 10000 2 100 10000 20000 2 100 10000 50 10000 100 20000 50 10000 100 10000 20000 2 12 ）（300 200 300 2 1 ± + = = 100 400 ⎧ ⎨ ⎩ s/ rad 10 1 = ω ∴，s/ rad 20 2 = ω ∴ （2）自振周期 628 .0 10 14 .3 2 2 T 1 1 = ⨯ = ω π =

314.020 14.322T 22=⨯=ωπ= （3）振型第一主振型：210000101001000020000k m k k X X 2 22 11211112=⨯-+=ω-+= 第二主振型：110000 201001000020000k m k k X X 2 22 21212122=⨯-+=ω-+= （4）振型参与系数 3 2 25011002501100X m X m X m X m X m X m 2 2212221111221112 1i 21j i 2 1i 1i i 1=⨯+⨯⨯+⨯=++= = γ∑∑== 31 15011001501100X m X m X m X m X m X m 2 2222 222112222112 1i 22i i 2 1 i 2i i 2=-⨯+⨯-⨯+⨯=++= = γ∑∑==）（）（ 2. 某三层钢筋混凝土框架，如图2和图3所示。已知：设防烈度为8度，设计基本地震加速度为0.20g ，设计地震分组为第一组，建造于1Ⅰ类场地，结构阻尼比0.05ξ=。各楼层层高均为4m ，各层重力荷载代表值分别为12800kN G G ==,3520kN G =。各层抗侧刚度分别121400kN m k =， 219200kN m k =，317600kN m k =，结构沿某抗震主轴方向的自振圆频率分别为 18.92rad s ω=、224.74rad s ω=、338.71rad s ω=，相应的振型分别为 {}10.4450.9201.000X =⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、{}20.6540.5891.000X -=-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭、{}3 1.6541.2891.000X =-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 。试用振型分解反应谱法确定多遇地震作用下在该抗震主轴方向的框架层间地震剪力和层间位移角，并绘出层间地震剪力分布图。

结构力学课后习题答案

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题2-12图题2-13图题2-14图习题3 3-1 试作图示多跨静定梁的M 及Q 图。 (b) (a) 20kN 10kN 40kN 20kN/m 40kN 题3-1图 3-2 试不计算反力而绘出梁的M 图。 (b) 5kN/m 40kN (a) 题3-2图习题4 4-1 作图示刚架的M 、Q 、N 图。 (c) (b)(a)/20kN /m 2kN /m 题4-1图 4-2 作图示刚架的M 图。

P (e) (d) (a) (b) (c) 20k N /m 4kN 题4-2图 4-3 作图示三铰刚架的M 图。 (b) (a) 题4-3图 4-4 作图示刚架的M 图。 (a) 题4-4图 4-5 已知结构的M 图，试绘出荷载。 (b) (a)

题4-5图 4-6 检查下列刚架的M 图，并予以改正。 (e)(g)(h) P (d) (c)(a)(b) (f) 题4-6图习题5 5-1 图示抛物线三铰拱轴线方程x x l l f y )(42-= ，试求D 截面的内力。题5-1图 5-2 带拉杆拱，拱轴线方程x x l l f y )(42-=，求截面K 的弯矩。 C 题5-2图题5-3图 5-3 试求图示带拉杆的半圆三铰拱截面K 的内力。习题 6 6-1 判定图示桁架中的零杆。

结构力学练习题及答案

一．是非题（将判断结果填入括弧：以O 表示正确，X 表示错误）（本大题分4小题，共 11分） 1 . (本小题 3分) 图示结构中DE 杆的轴力F NDE =F P /3。（）. 2 . (本小题 4分) 用力法解超静定结构时，只能采用多余约束力作为基本未知量。（） 3 . (本小题 2分) 力矩分配中的传递系数等于传递弯矩与分配弯矩之比，它与外因无关。（） 4 . (本小题 2分) 用位移法解超静定结构时，基本结构超静定次数一定比原结构高。（）二．选择题（将选中答案的字母填入括弧内）（本大题分5小题，共21分） 1 （本小题6分）图示结构EI=常数，截面A 右侧的弯矩为：（） A ．2/M ； B ．M ； C ．0； D. )2/(EI M 。 2. （本小题4分）图示桁架下弦承载，下面画出的杆件内力影响线，此杆件是：（）Ａ.ch; B.ci; C.dj; D.cj. F p /2 M 2a 2a a a a a A F p /2 F p /2 F p /2 F p F p a a a a F P E D

3. (本小题 4分) 图a 结构的最后弯矩图为： A. 图b; B. 图c; C. 图d; D.都不对。（） ( a) (b) (c) (d) 4. (本小题 4分) 用图乘法求位移的必要条件之一是： A.单位荷载下的弯矩图为一直线； B.结构可分为等截面直杆段； C.所有杆件EI 为常数且相同； D.结构必须是静定的。 ( ) 5. （本小题3分）图示梁A 点的竖向位移为（向下为正）：( ) Ａ．F P l 3 /(24EI); B. F P l 3 /(!6EI); C. 5F P l 3 /(96EI); D. 5F P l 3 /(48EI). 三（本大题 5分）对图示体系进行几何组成分析。 A l /2 l /2 EI 2EI F P a d c e b f g h i k l F P =1 1 j l l M /4 3M /4 M /4 3M /4 3M /4 M /4 M /8 M /2 EI EI M