冀教版八年级上册数学知识点总结
1 第十二章分式 1.分式与整式不同的是：分式的分母中含有字母，整式的分母中不含字母 对于任意一个分式，分母不能为零，分式有意义 对于任意一个分式，分母为零，分式无意义 4.分式的值为零含两层意思：分母不等于零；分子等于零。 5.平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积 6.完全平方公式 a²+2ab+b² = （a+b）² a²-2ab+b²=﹙a-b﹚² 两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方 7.常见的恒等变形 如x-y=-(y-x)，(x-y)2=(y-x)2， (x-y)3= -(y-x)3. 8.约分：把一个分式中相同的因式约去的过程叫做约分 9.最简分式：如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式 10.通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分 11.通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变. 12分式的基本性质：分式的分子和分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式值不变。 通分的关键:确定几个分式的最简公分母。通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。求最简公分母时，首先要因式分解，将所有的表达式都化成积的形式，然后，再定最简公分母. 解分式方程的一般步骤：(1)去分母，方程两边同乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程；(2)解整式方程；(3)验根：可把整式方程的根分别代入最简公分母，如果使最简公分母为0，那么这个根叫分式方程的增根，必须舍去；如果使最简公分母不为0，那么这个根是原分式方程的根；(4)写出方程的解． 15、用分式方程解应用题常见的等量关系 一.工程问题 1．工作效率×工作时间＝工作总量 工作总量÷工作效率＝工作时间 工作总量÷ 工作时间＝工作效率 设工作总量为“1”的公式： 1÷单独完成的工作时间=工作效率； 1÷工作效率=单独完成的工作时间。 2．完成某项任务的各工作量的和＝总工作量＝1 二．营销问题 1．商品总利润＝商品总售价一商品总成本价 = 商品单件利润×销售量 2.商品单件利润＝商品单件售价一商品单件成本价 3．商品利润率＝商品总利润 /商品总成本价 ×100% =商品单件利润 /商品单件成本价 ×100% 4．商品销售额＝商品单价×商品销售量 5、折扣＝实际售价÷原售价×100%(折扣＜1) 三．行程问题 1．路程＝速度×时间，速度＝路程/ 时间 2．在航行问题中，其中数量关系是（同样适用于航空） ： 顺水速度＝静水速度＋水流速度 逆水速度＝静水速度－水流速度 增长率问题 原来量×（1增长率）=现在量 第十三章全等三角形 1、能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 2、全等三角形的性质: (1)全等三角形的对应角相等,对应边相等. (2)全等三角形中的对应线段相等.即对应的角平分线，对应的中线，对应的高线相等。 (3)全等三角形的周长相等,面积也相等. 2
3.全等三角形的判定: (1)三边对应相等的两个三角形全等;SSS (2)两边及夹角对应相等的两个三角形全等;SAS (3)两角及夹边对应相等的两个三角形全等;ASA (4)两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等;AAS 口诀：证全等三条件，三个条件要有边。边边边都是边，两边一角是夹角，两角一边是角边角或者角角边。 ◆斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.HL(本判定方法仅适用于直角三角形) 4、一个三角形经过平移、旋转、翻折（轴对称）后，得到和它全等的三角形 第十四章实数 1、平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根（或二次方跟）。 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；互为相反数相加为0；零的平方根是零；负数没有平方根。
正数a的平方根记做“a”。
2、算术平方根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。
aa2 ；注意a的双重非负性：即0;0aa
3、立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a 的立方根（或a 的三次方根）。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。
注意：33aa，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 4、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数
5、无理数 （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数， （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； 6、绝对值，相反数，倒数 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离，|a|≥0。零的绝对值是它本身，若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0。正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。实数的绝对值，相反数，倒数的求法和有理数的求法一样
7、236.25732.13414.12 8、等差数列求和公式：2(项数末项）首项 3
9. 符号规律 +-+-+-... (-1)n+1 ; -+-+-+... (-1)n 10. 111)1(1;211211nnnn
第十五章 二次根式 1、形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为
负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件， 2.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
3. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 4.二次根式（）的双重非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 5.非负之和为0类型
若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 6.（） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
7. 8.ab=a·b（a≥0，b≥0）； bbaa（b≥0，a>0）． 9.最简二次根式的定义：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
10. nnn1 11. 分母有理化是数学上的专有名词，指的是通过适当的变形化去分母中根号的运算。 12. 本身的有理化因式是aa ))(baba的有理化因式是（ 第十六章轴对称和中心对称 一、轴对称与轴对称图形： 4
1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，两个图形中的对应点叫做对称点，对应线段叫做对称线段。
2.轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 注意：对称轴是直线而不是线段 3.轴对称的性质： (1)关于某条直线对称的两个图形是全等形; (2)如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线; (3)两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上; (4)如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 4.线段垂直平分线： (1)定义：垂直平分一条线段的直线是这条线的垂直平分线。 (2)性质：①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等; ②到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
注意：根据线段垂直平分线的这一特性可以推出：三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等。 5.角的平分线： (1)定义：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线. (2)性质：①在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等. ②到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.
注意：根据角平分线的性质，三角形的三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 二、中心对称与中心对称图形：
1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。
2.中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。 3.中心对称的性质： (1)关于中心对称的两个图形是全等形; (2)在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分; (3)成中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。 第十七章特殊三角形 等腰三角形 1. 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形。 2. 等腰三角形的性质： （1）等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角） （2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。 3. 等腰三角形的判定：
冀教版数学八年级上册精品课件12.1 分式
④
3x 2k
⑤ z2
x
⑥ 1 ab 2 ac ⑦ x
23
2
【解析】判断一个代数式是否是分式，看分母中是否含有字
母，若分母含有字母是分式；若分母不含有字母则不是分
2 2x
3x
式． 3x, 5x y , 2k
z2
,x
中分母含有字母是分式， x
2
和
1 2
ab
2 3
ac
1
是整式，2
不是分式，因为π不是字母，而是常数．
b）b2）（a
b
0）
这一过程由左到右是怎样变形的?根据的是什么?(小组讨论 回答) 我们把以上两式由右到左的变形过程叫分式的约分. (1)中的3b与(2)中的(a+b)分别是分子与分母的公因式. 利用分式的基本性质,把分式中分子与分母的公因式约去, 叫做分式的约分.
3ac
2a2 a b 是最简分式.这种说法对吗?为什么?
x 2, x 3 ,5x2, x 3 , ab , 1 , 2
5
3x 2 x y 4 x
思考：1.含有分母的式子就是分式吗？ 2.分式和整式相除有什么关系？
解:
x 2, x 3 ,5x2, 1
5
4
都是整式;
因为
x 3 , ab , 2 3x 2 x y x
的分母中都含有字母,所以它们都是分式.
12.1 分式（第2课时）
问题思考
下面的等式中右式是怎样从左式得到的?这种变换的理论
根据是什么?
(1)
6a2b3 8a3b2
3b ; 4a
(2) x2 xy x . x2 y2 x y
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冀教版八年级数学上册目录第十三章一元一次不等式和一元一次不等式组13.1不等式13.2不等式的基本性质13.3一元一次不等式13.4一元一次不等式组第十四章分式14.1分式14.2分式的乘除14.3分式的加减第十五章轴对称15.1生活中的对称轴15.2简单的轴对称图形15.3轴对称的性质15.4利用轴对称设计图案15.5等腰三角形第十六章勾股定理16.1勾股定理16.2由边的数量关系识别直角三角形16.3勾股定理的应用第十七章实数17.1平方根17.2立方根17.3实数17.4用计算器开平(立)方17.5实数的运算第十八章平面直角坐标系18.1确定平面上物体的位置18.2平面直角坐标系18.3图形与坐标18.4二元一次方程(组)的解和点的坐标第十九章随机事件与概率19.1确定事件和随机事件19.2可能性大小19.3频率与概率的关系实数(1)一个整数有__________个平方根，它们互为__________，负数没有平方根，一个正数有__________个__________的立方根，一个负数有__________个__________的立方根.0的平方根、立方根都是__________.(2)实数与数轴上的点__________.aa2(3))=__________(a≥0)=__________(a≥0，b≥0)).bb(4)二次根式加减运算的步骤是：先把每个二次根式化成__________，并把能合并的二次根式进行合并.平面直角坐标系(1)平面直角坐标系内，点和它的坐标(有序实数对)之间的关系是__________.平面直角坐标系内一点P(a，b)，当a>0，b>0时，P在第__________象限;当a<0，b>0时，P在第__________象限;当a__________，b__________时，P在第三象限;当a__________，b__________时，P在第四象限;当a=0时，P在__________上;当__________时，P在x轴上，反之亦然.(2)二元一次方程有无数个解，每一个解都是一个实数对，对应着坐标系中的一个点，这些点构成了一条__________，二元一次方程组的解就是每个方程对应的直线的__________的坐标.随机事件与概率(1)我们用一个数P(A)表示随机事件A发生的可能性__________，称P(A)为事件A发生的概率，一般地，如果一个实验有n个等可能的结果，而事件A包含其中k个结果，我们定义P(A)=__________=__________.(2)对任何一个事件A，它的概率P(A)满足__________，必然事件的概率是__________，不可能事件的概率是__________.(3)有的事件可以通过合理的计算来求它的概率，有些事件需要通过实验，由__________估计它们的概率;当实验次数足够多时，事件A的频率稳定到它的__________，所以我们常用频率估计事件发生的__________，实验次数越多，越有可能得到较准确的估计值.。
八年级数学上册 13.2 全等图形课件 (新版)冀教版
4. 如图，已知△ABC≌△AED， 请指出图中对应边和对应角.
A
D
C
B
E
边 AB= AE 边 AC= AD 边 BC= ED
角 ∠A= ∠A 角 ∠B= ∠E 角 ∠ACB= ∠ADE
归纳 有公共角的，公共角一定是对应角.
二 全等三角形的性质
想一想 （1）两条能够完全重合的线段有什么关系？ （2）两个能够完全重合的角有什么关系？ （3）两个全等三角形的对应边之间有什么关系，对应角之间 又有什么关系？
Hale Waihona Puke 归纳 有公共边的，公共边一定是对应边.
变式：
D E
B
如图：平移后△ABC≌△ EFD,若AB
＝6，AE＝2. F你能说出AF的长吗？说说你的理由.
A
解：∵△ _A_B_C__≌△_E_F_D__ ，
∴AB＝_E_F__＝_6_ ，
C
∴ AB－_A__E__ ＝EF－_A_E__.
∴ AF=BE=_6_-2_=__4.
对应边.∠A和∠D，∠B和∠DEF，∠ACB和∠F分别是对应角；
（2）在△ABC中，
∵∠A+∠B+∠A=180°（三角形内角和定理），
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-78°-35°=67°.
∵△ABC≌△DEF，∴∠F=∠ACB=67°.EF=BC=18.
A
D
B
E
C
F
当堂练习
1.如图所示，已知△ABC≌△BAD，点A，C的对应点
每当春节来临，家家户户都把房舍打扫得干干净净，在客厅、 卧室、窗台和门板等处贴上年画。你知道这些相同的年画是 怎么制作的吗？
讲授新课
一 认识全等图形及全等三角形
冀教版八年级上册数学第十二章12.1.1 分式及其基本性质课件 (共27张PPT)
的分子，B叫做分式的分母.
(1)分式与分数的相同点是：形式相同，都有分 子和分母；不同点是：分式的分母含有字母． (2)分式与整式的不同点是：整式的分母不含有
字母；分式的分母含有字母．
例1 指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式. x3 x 3 ab 1 2 2 x 2, ,5x , , , , . 5 3x 2 x y 4 x
由于x＋3是分式的分母，因此x＋3≠0.
所以x≠－3.
总 结
求分式有意义时字母的取值范围，一般是根据分 母不等于0构造不等式，求使分式的分母不等于零的 字母的取值范围，与分子的取值无关．
1 在什么情况下，下列各分式无意义？
2 x 3 ab , , . x 3x 2 x y
2 x 2 使分式 无意义的x满足的条件是( x2
x2 1 【中考· 温州】若分式 的值为0，则x的 x3
值是( A．－3 ) B．－2 C．0 D．2 x 1 2 当分式 的值为0时，x的值是( ) x2 A．0 B．1 C．－1 D．－2
知识点
3
分式的基本性质
分数的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的数， 其值不变.如
2 2 2 10 10 10 , . 3 3 2 100 100 10
B．1
C．－1
D．±1
导引：分式的值为0的条件是：分子为0，分母不为0，
由此条件解出x即可．由x2－1＝0，得x＝±1.
当x＝1时，x－1＝0， 故x＝1不合题意；
当x＝－1时，x－1＝－2≠0，
所以x＝－1时分式的值为0.
总 结
分式的值为零必须同时满足两个条件：分子为零
且分母不为零，两者缺一不可．
1．在分式中，当分母的值不为0时，分式有意义； 当分母的值为0时，分式无意义．
冀教版八年级上册数学第12章 分式和分式方程 全章热门考点整合专训
＝－m2＋mn2n. ∵|m＋1|＋(n－3)2＝0. ∴m＋1＝0，n－3＝0. ∴m＝－1，n＝3. ∴原式＝－m2＋m2nn＝－2×－（1－＋12）×3×3＝56.
9．(2018·广西贺州)解分式方程：x2－4 1＋1＝xx－＋11.
解：去分母，得 4＋x2－1＝x2－2x＋1. 解得 x＝－1. 经检验，x＝－1 是增根，故原分式方程无解．
6．不改变下列分式的值，将分式的分子和分母中的各项的系数 化为整数：
(1)1415xx＋－2312yy；
解：原式＝1125xx－＋3400yy.
0.1x＋0.3y (2)0.5x－0.02y. 解：原式＝52x5＋x－15yy.
7．先化简，再求值：1y－1x÷x2－22xxyy＋y2－y－1 x，其中 x＝3，
13．(2018·四川南充)已知1x－1y＝3，则式子2xx＋－3xxyy－－y2y的值为
(D )
【A点．拨－】72∵1x－B1y．＝－3，121∴y－xyCx．＝923.
D．34
∴x－y＝－3xy.
则原ห้องสมุดไป่ตู้＝2（（xx－－yy））－＋x3yxy＝－－63xxyy＋－3xxyy＝－－34xxyy＝34.
4．若关于 x 的方程xx－－45－3＝x－a 5有增根，则增根为( B ) A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3
5．已知方程1＋2 x－1－k x＝x2－6 1有增根 x＝1，求 k 的值． 解：方程两边同乘 x2－1， 得 2(x－1)＋k(x＋1)＝6. 整理得(2＋k)x＋k－8＝0. ∵原分式方程有增根 x＝1， ∴2＋k＋k－8＝0， 解得 k＝3.
(2)若计划用不超过 7 000 元的资金再次购进 A，B 两种粽子共 2 600 个，已知 A，B 两种粽子的进价不变．求 A 种粽子最多 能购进多少个．
2022年八年级数学上册第十三章全等三角形13.3全等三角形的判定3教案新版冀教版
13.3全等三角形的判定（3）教学目标【知识与能力】1.掌握“角边角”及“角角边”的内容.2.能初步应用“角边角”及“角角边”判定两个三角形全等.【过程与方法】使学生经历探索三角形全等的过程,体验用操作、归纳得出数学结论的过程.【情感态度价值观】通过探究三角形全等的活动,培养学生敢于面对困难、克服困难的能力.教学重难点【教学重点】“角边角”及“角角边”的内容.【教学难点】分析问题,寻找判定两个三角形全等的条件.课前准备多媒体课件教学过程一、新课导入：导入一:教师讲解:前面,我们已经知道,当两个三角形的两条边及其夹角分别对应相等时,两个三角形一定全等,而当两个三角形的两条边及其中一边的对角分别对应相等时,两个三角形不一定全等.这节课,我们将讨论以下情况:如图所示,一种情况是已知两个角及这两角的夹边;另一种情况是已知两个角及其中一角的对边.[设计意图]让学生明确本节课要研究的主要内容,并明确三角形中边与角的位置关系,理解“两角夹一边”和“两角一对边”的含义.导入二:1.复习旧知:(1)三角形中已知三个元素,包括哪几种情况?(三个角、三个边、两边一角、两角一边)(2)到目前为止,可以作为判定两三角形全等的方法有几种?各是什么?2.师:在三角形中,已知三个元素的四种情况中,我们研究了两种,我们接着探究已知两角一边是否可以判定两三角形全等.导入三:【课件1】如图所示,小明不小心把一块三角形的玻璃打碎成四块,现在要去玻璃店配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是什么?你能帮小明出出主意吗?要想最省事,就要带块数最少且要满足它能够确定该三角形的形状和大小,这就是本节课要学到的判定三角形全等的知识.学完本节,你就会知道为什么应该带第2块去.[设计意图]激趣设疑,让学生产生学习的兴趣,积极地投入到本节课的学习之中.二、新知构建：活动一:“角边角”基本事实和“角角边”定理的探究思路一做一做:【课件2】三角形的两个内角分别是60°和80°,它们的夹边为4cm,你能画一个三角形同时满足这些条件吗?将你画的三角形剪下来.同伴比较,观察它们是不是全等,你能得出什么结论?【学生活动】自己动手操作,然后与同伴交流,得出结论.【教师活动】检查指导,帮助有困难的同学.活动结果展示:以小组为单位将所得三角形放在一起,发现完全重合,这说明这些三角形全等.提炼结论:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简记为“角边角”或“ASA”).师:我们刚才作的三角形是一个特殊三角形,随意画一个三角形ABC,能不能作一个ΔA'B'C',使∠A=∠A',∠B=∠B',AB=A'B'呢?生:能.学生口述画法,教师进行多媒体课件演示,使学生加深对“ASA”的理解.生:(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数,再用直尺量出AB边的长;(2)画线段A'B',使A'B'=AB;(3)分别以A',B'为顶点,A'B'为一边在同侧作∠DA'B',∠EB'A',使∠DA'B'=∠CAB,∠EB'A'=∠CBA;(4)射线A'D与B'E交于一点,记为C',即可得到ΔA'B'C'.将ΔA'B'C'与ΔABC放到一起,发现两三角形全等.教师出示图形:于是我们发现规律:两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA ”). 这又是一个判定两个三角形全等的方法.[知识拓展] “ASA ”中的“S ”必须是两个“A ”所夹的边.书写格式:在ΔABC 和ΔA'B'C'中,{∠A =∠A ',AB =A 'B ',∠B =∠B ',所以ΔABC ≌ΔA'B'C'.出示探究问题:【课件3】 如图所示,在ΔABC 和ΔDEF 中,∠A =∠D ,∠B =∠E ,BC =EF ,ΔABC 与ΔDEF 全等吗?能利用角边角条件证明你的结论吗?〔解析〕 如果能证明∠C =∠F ,就可以利用“角边角”证明ΔABC 和ΔDEF 全等,由三角形内角和定理可以证明∠C =∠F.证明:∵∠A +∠B +∠C =∠D +∠E +∠F =180°,∠A =∠D ,∠B =∠E ,∴∠A +∠B =∠D +∠E∴∠C =∠F.在ΔABC 和ΔDEF 中,{∠B =∠E ,BC =EF ,∠C =∠F ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).于是得规律:两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS ”).[知识拓展] “角角边”(AAS)可以看成是“角边角”(ASA)的推论.由“角边角”及“角角边”可知两角及一边对应相等的两个三角形全等,无论这一边是“对边”还是“夹边”,只要对应相等即可.思路二一、体验已知两角及夹边的三角形的唯一性1.利用刻度尺、量角器、小刀等工具制作符合如下条件的三角形:(1)ΔABC ,其中∠A =35°,∠B =65°,AB =5cm;(2)ΔDEF ,其中∠D =70°,∠E =50°,∠E 的对边DF =4cm .注意:(2)题学生可能感觉难度较大,教师可提示学生先求出∠F=60°,再利用(1)的作法进行作图.2.如果“两角及一边”条件中的边是两角所夹的边,那么你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和夹边对应相等的两个三角形全等,简写成“ASA”或“角边角”.3.如果“两角及一边”条件中的边是其中一角的对边,以你所画的ΔDEF为例,你画的三角形与同伴画的一定完全重合吗?试试看.结论:有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简写成“角角边”或“AAS”.二、证明“ASA”定理教师出示已知条件:如图所示,在ΔABC和ΔA'B'C'中,已知AB=A'B',∠A=∠A',∠B=∠B'.求证ΔABC≌ΔA'B'C'.教师给出证明方法:由于AB=A'B',我们移动其中的ΔABC,使点A与点A'、点B与点B'重合,且使点C与点C'分别位于线段AB,A'B'的同侧,因为∠A=∠A',因此可以使∠A与∠A'的边AC 与A'C'重叠在一起;同样因为∠B=∠B',可以使∠B与∠B'的边BC与B'C'重叠在一起,由于两条直线相交只有一个交点,因此点C与点C'重合,这就说明这两个三角形全等,由此可得判定三角形全等的又一种简便方法:如果两个三角形的两个角和它们的夹边对应相等,那么这两个三角形全等,简记为“ASA”(或角边角).三、证明“AAS”定理教师出示应用“ASA”证明三角形全等的问题:【课件4】如图所示,已知∠ABC=∠DCB,∠A=∠D,求证ΔABC≌ΔDCB.教师要求学生应用“ASA”定理证明本题,学生思考后教师提问,并根据学生的回答加以引导后由教师板书.证明结束后教师提出问题:如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等,那么这两个三角形是否一定全等?教师要求学生思考这个问题,并提醒学生利用三角形内角和为180°这一公理来考虑问题,一般学生都会得出正确结论,教师再加以总结:因为三角形的内角和为180°,所以有两个角对应相等,那么第三个角必对应相等,于是问题就由“角角边”转化为“角边角”,这样便可证得这两个三角形全等.教师要求学生自己证明“AAS”定理:如果两个三角形的两角及其中一个角的对边对应相等,那么这两个三角形全等.简记为“AAS ”(或角角边).学生证明后,教师边讲解边板书.教师提问:我们已经讨论了两个三角形有两边一角以及两角一边分别对应相等,这两个三角形能否全等的情况.我们很容易发现,如果两个三角形有三个角分别对应相等,那么这两个三角形未必全等,如图所示,这两个三角形三个角分别相等,它们并不全等,只是形状相同. 活动二:例题讲解【课件5】已知:如图所示,AD =BE ,∠A =∠FDE ,BC ∥EF.求证:ΔABC ≌ΔDEF.[师生共析] 根据AD =BE ,得到AB =DE ;由两直线平行,得到同位角相等,然后利用“ASA ”即可得到ΔABC ≌ΔDEF.证明:∵AD =BE (已知),∴AB =DE (等式的性质).∵BC ∥EF (已知),∴∠ABC =∠E (两直线平行,同位角相等).在ΔABC 和ΔDEF 中,∵{∠A =∠FDE ,AB =DE ,∠ABC =∠E ,∴ΔABC ≌ΔDEF (ASA).师:到目前为止,在三角形中已知三个条件探索两个三角形全等的问题已全部结束,请同学们把两个三角形全等的判定方法作一个小结.【学生活动】 自我回忆总结,然后小组讨论交流、补充.三、课堂小结：知识点一:“角边角”判定三角形全等两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“角边角”或“ASA ”.这是我们学习的第三个判定三角形全等的方法,这里的两角和夹边,是指同一个三角形的边和角,边是两个角的夹边.知识点二:“角角边”判定三角形全等两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等(简写成“角角边”或“AAS ”).该判定是通过“ASA ”推导得出的,今后可以直接用“AAS ”来判定两个三角形全等,它是“ASA ”的一个推论.。
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用公式表示为: A A M A A M , . B BM B B M (其中M是不等于0的整式)
例1 下列等式的右边是怎样从左边得到的？
a ac (1) 2b 2bc c 0
(2)
解: 由(1)知 c 0
a a c ac 2b 2b c 2bc
以一个不等于0的整式，分式的值不变.
二、分式的求值
例：当a=1，2时，分别求分式
a 1 解： 当a=1时， 2a a 1 当a=2时， 2a
11 2 1
2 1 2 2
a 1 2 a 的值.
= =
=1 =
3 4
做一做 当p=12，q=-8时，请分别用直接代入求值和化
p2 pq 简后代入求值两种方法求分式 2 2 的值， p 2 pq q
随堂练习
x3 3或-3 1.若分式 2 无意义，则x=______. x 9 x 3 2.若分式 2 有意义，则x应取何值？ x 9 任意实数 2 x 9 3 3.若分式 =0，则x=_______.
x3
-3 4.若分式 | x | 3 =0，则x=_______. x3
分式
思考：
①分子分母都是整式
A B
分式的概念 ②分母中含有字母
③分母不能为零
例1 下列各有理式中，哪些是整式？哪些是 分式？
x 1 2 xy 2x y (1) (2) (3) (4) 2 x x y 3 x 2x y 整式： 2 为什么⑵和⑷不 3 是分式？判断的 2 xy 1 分式： 关键是什么？ x y x
三个条件 1.分式无意义的条件 分母等于零
2.分式有意义的条件 分母不等于零
3.分式的值等于零的条件
13.4 三角形的尺规作图 课件 2021——2022学年冀教版八年级数学上册
总结
由三角形全等判定可以知道，每一种判定两个三角形全等的条件 （_S_S_S__，_S_A__S_，_A_S__A_，_A__A__），都只能作出唯一的三角形.
S
例题讲解
例2 如图，已知线段a，b，c， 求作：△ABC，使AB＝a，AC＝b，且BC边上中线AD＝c．
作法：（1）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于 点C，D；（2）画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交 O'A'于点C'；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧与第二步中所画的 弧交于点D′；（4）过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'＝∠AOB．
问题导入
刚才回顾的用圆规和直尺作一个角等于已知角的作图中，即 ∠A'O'B'＝ ∠AOB，为什么？ 证明：在△OCD和△O'C'D'中，
作法：
b
A
c
B
第一步：作线段AB等于c；
b a
A
c
B
第二步：以点A为圆心，以b
为半径画弧长；
A
c
B
第三步：以点B为圆心，以a
为半径画弧，两弧交于点C；
第四步：连接AC，BC， △ABC即为所求.
操作：你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它 们全等吗？为什么？
SSS:三边对应相等的两个 三角形全等.
温馨提示：在作较复杂的三角形时，先画草图，从中找出一个较容易 作出的三角形，然后以它为基础作所求作的三角形.
作法：
冀教版初中数学八年级上册教学课件 第十三章 全等三角形 全等图形
3.如图所示的四个图形中，全等的图形是( D )
①
②
③
④
A.①和② B.①和③ C.②和③ D.③和④
解析:③和④可以完全重合,因此全等的图形是③
和④.
4.如图所示，若△ ABE≌ △ ACF，且AB=5，
AE=3，则EC的长为 ( A ) A
A. 2
B. 3
F
E
C. 5
D. 2.5
B
C
解析:
∵△ABE≌△ACF,AB=5,∴AC=AB=5,∵AE=3,∴ EC=AC-AE=5-3=2.
新课标 冀
数学
8年级/上
八年级数学·上 新课标 [冀教]
第十三章 全等三角形
学习新知
检测反馈
观察思考 如图所示，每组的两个图形有什么特点？
（1）
（2）
学习新知 观察下面两组图形，它们是不是全等图形？ 并指出它们的相同点与不同点.
（1）
（2）
观察下面的全等图形，找出图形的对应边、 对应点和对应角.
对应角是∠A和∠A′，∠B和∠A′B′C′，∠C和
∠C′。 △ABC与△A′B′C′全等记作△ABC≌△A′B′C′.
全等三角形的对应边有什么关系？对应 角有什么关系？
A
A
B
B
C
C
D
D
有公共边的，公共边是对应边。
C
E
A
B
A
F
O
D
C
D
B
有公共角的，公共角是对应角.有对顶角的，
对顶角是对应角.
在两个全等的三角形中：一对最长的边是对 应边，一对最短的边是对应边。一对最大的 角是对应角，一对最小的角是对应角。
冀教版初中数学八年级上册 第十二章 分式复习 教学案
分式复习一、知识梳理分式和分式方程1、分式（1）用A ，B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成A B 的形式，如果B 中含有字母，式子A B 就叫做分式。
对分式的概念要注意以下两点：①分母中应含有字母；②分母的值不能为零，若为零，则该分式就没有意义。
下列各式中，24,2),(31,23,2,312---+-x x b a y x m x π，分式有 。
当 时，分式11+x 有意义． 当x 时，分式31-+x x 有意义；当x 时，分式32-x x 无意义； （2）分式的值为0的条件：分式A B 中，A=0且B ≠0 已知分式11+-x x 的值是零，那么x 的值是（ ） A ．-1B ．0C ．1D ． 1± 当x 时，分式24+2x x -的值为零（3）分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
用式子表示是,A A M A A M B B M B B M⨯÷==⨯÷（其中M 是不等于零的整式）。
这一性质是确定分式的符号以及进行通分和约分的基础。
下列各式与x y x y-+相等的是（ ） （A ）()5()5x y x y -+++（B ）22x y x y -+（C ）222()()x y x y x y -≠-（D ）2222x y x y -+ 约分（1） 21+2441x x x ++， （2） 2222363x y x xy y -++，（4）最简分式:分子、分母没有公因式的分式叫最简分式。
、在分式443y x +，a b 424+，1142--x x ，222b ab ab a --中，最简分式有 。
2、分式的运算（1）乘除法:a c ac b d bd •=a c a d adb d bc bc ÷=•=化简：x －1x ÷(x －1x). （2）加减法：①同分母分式的加减“分母相同不改变，去把分子相加减； 因式分解不出错，便于约分化最简”②异分母分式的加减“分母不同先通分，再把分子相加减；因式分解仍要做，以便约分化最简”（1） 212293m m --- （2）2222222x y x xy y x y x y-++⋅+- （3）222412()2144x x x x x x x ---⋅-+-+3、 分式方程 解分式方程的基本思想就是将分式方程转化为整式方程。