人教版九年级上册上期数学全册导学案
《21.1一元二次方程》导学案 NO：01 班级_______姓名_______小组_______评价_______ 一、学习目标 1、认识一元二次方程及根的概念； 2、掌握一元二次方程的一般形式，并会将任何一个一元二次方程化成一般形式。
二、自主学习 １、一元二次方程的概念 （1）阅读教材引例，在练习本上自己按题意列出方程并整理，写出最后的方程 是 ；说一说这个方程是 元 次方程。 (2)用类似的方法研究问题1、问题2，经整理后的两个方程分别 是 ； ；它们都是 元 次方程。 (3)归纳总结：含有 个未知数，且未知数的最高次数为 的整式方程叫做一 元二次方程。说一说一元二次方程有哪些特点？（与同学认真交流）
2、一元二次方程的一般形式 阅读教材：一元二次方程的一般形式 （抄写三遍）。说一说哪 一项是二次项？系数是多少？有什么要求？哪一项是一次项？一次项系数是多 少？哪一项是常数项？（与同学认真交流课堂展示）
3、一元二次方程的根 阅读教材，说一说什么叫一元二次方程的根？它有什么特点？（与同学认真交流。）
自学检测：1、若关于的方程是一元二次方程，则 _， x023)1(xxm
nm
=______； n 2、方程写成一般式是 ；二次项是 ____； 1)12)(3(xxx 一次项系数是 。 三、合作探究 1、下列方程中，是一元二次方程的有 ①2x=－2 ② ③2y2－3y+1=0 ④x－3y=4⑤ ⑥5x2=x
32x11x
x
2、根不为x ＝-2的方程是（ ）
A、 B、5x+10＝0 C、 D、 022xx0232xx083x
3、如果ax2－x－12＝0是x 的一元二次方程，则a的取值范围是 如果（m－3）是x 的一元二次方程，则m的取值是_________ 011xxm
4、将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和 常数项。 （1）2x2-x-4＝2x （2）3x（x-1）＝-5x-7 （3）（x-2）（4x-1）＝x-3
5、如果x2-k＝0的一个根是x＝－7，则常数k为多少？此方程还有的根是多少? 四、达标检测 1、一元二次方程（1－3x）（2x+1）＝x2－4的一般形式是 ，它的二次项系数是
______，一次项系数是 ，常数项是 _. 2、下列方程是一元二次方程的是（ ）
A、x4-x3＝2 B、（2x2-1）2＝0 C、 D、（x+1）2＝
0223412xx
x
1
3、已知是方程的一个根，求的 3x06
2
axx361216822aaaa
值。
4、 5、
五、拓展提高：对于x的方程.（1）当k为何值时，它是092)2(22xkxxk
k
x的一元一次方程？（2）当k为何值时，它是x的一元二次方程？并求出它的解。 《21.2.1（1）直接开平方解一元二次方程》导学案NO：02 班级_______姓名________小组_______评价_______ 一、学习目标 1、理解“直接开平方解一元二次方程”的方法，并会用此种方法解一些形式较为 简单的一元二次方程。 2、体会“降次”的这种数学化归思想。
二、自主学习 1、阅读教材问题1：在练习本上自己列出方程。 2、把列出的方程化简整理后写出来，是吗？说一说这个方程有什么特点？如何解252x
这个方程呢？最后你算出的盒子的棱长是多少？（与同学认真交流并课堂展示） 3、阅读教材“思考”：请你仿例解方程 3)2(2x
4、归纳总结：如果一个方程能化成P（P是常数，且P≥0）的形式，则方程的根就是2x ；如果方程化成了P (、、P均为常数，且P≥0)的形式，则x2)(nmxmn
，进而得方程的根为；这种解一元二次方程的方法就叫做直_____mxnm
nPx
接开平法。（小声读三遍） 5、说一说可以用直接开平法来解的一元二次方程有什么特点？（与同学交流体会）
自学检测：解方程（1） （2） 290y2596
2
xx
三、合作探究 1.解方程 ① 10-2=0 ② 2x44322xx
2.解方程 ① ② 8)1(2x01)32(2x 3.解方程 ① ② 12125102yy2412xx
4.把面积900的正方形纸片分成100个边长相同的小正方形，求每个小正方形 2cm
的边长。
5、一个三角形有两边长分别为3和4，第三边的长是方程的解， 4962xx
①求这个三角形的周长。②你能判定这个三角形的形状吗？为什么？
四、达标检测 1、判断下列式子是否正确，正确的划“√”错误的划“×”。 （1）方程两边开平方，得到原方程的根为。（ ） 24x2x
（2）是方程的根，所以的根是。（ ） 3x29x29x3x
（3）方程的根是。（ ） 210x1x
2、解方程：（1） （2） 230x
2
12(2)90x
3、 4、
五、拓展提高 已知二次三项式是一个完全平方式，则a＝ 。 2224xaxa 《21.2.1（2）用配方法解一元二次方程》导学案 NO：03 班级_______姓名_______小组_______评价_______ 一、学习目标 1.理解掌握什么是配方法； 2.能正确运用配方法解一元二次方程。
二、自主学习 1、阅读教材6页第二个“探究”中方程的解答过程,自己在练习本上快速列出并整理方程：________________，观察这个方程有什么特点？如何解这个方程？（与同学交流）
2、阅读教材7页第二段，归纳总结配方法：把一元二次方程变成左20(0)axbxca
端是一个含未知数的 ，而右端是 ，即的形2()(0)xkhh
式，从而可用 来求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法。（小声读三遍） 说一说“配方法”的关键在那里？如何“配方”？
自学检测：解方程① ② 0242xx0132yy
三、合作探究 1、用配方法解方程2x2+6=7x,首先将方程化为2x_____=-6.再将方程两边除以2，得x-22x=____，方程两边同时加上___，方程化为_________，即________，开平方得方程的解2
7
是____________ 2、方程用配方法化成（（的形式是___________，方程0262xxbax
2
))0b
的根是________________ 3、 22)4(____8xxx22____)(____12xxx
4、用配方法解方程 ① ② ③ 0462xx3522xx015822xx ④ ⑤ ⑥ 033232xx0272xx7424622yyyy
5、关于的一元二次方程是一元二次方程吗？为什么？ x022)178(
22
mxxmm
四、达标检测 1、填空 （1） （2） 225__(__)xxx22__(____)xbxx
2、解下列方程 （1） （2） 22480yy2
3230xx
3、 4、 五、拓展提高：用配方法解方程 2
0()xpxqpq、为常数 《21.2（3）用公式法解一元二次方程》导学案 NO：04 班级_______姓名_______小组_______评价_______ 一、学习目标 1.理解掌握如何用公式法解一元二次方程； 2.理解掌握一元二次方程根的判别式，并会判别一元二次方程根的情况。
二、自主学习
1．求根公式的推导：阅读教材后，自己尝试用配方法解一元二次方程，20(0)axbxca
说一说该方程的根有哪些情况？为什么？（与同学交流）
2、总结归纳 由上可知，一元二次方程根的情况是由 确定，用“△”20(0)axbxca
表示，我们把它叫做一元二次方程根的判别式。 20(0)axbxca
①当△＞0时，方程有_________________，其中 20(0)axbxca
。 12
______________________________xx，
②当△＝0时,方程有____________________，其中20(0)axbxca
。 ____________21xx③当△＜0时，方程___________________。 20(0)axbxca
当△≥0时，方程的实数根可写成 的形式，这)0(02acbxax个式子叫做一元二次方程的求根公式。这种解一元二次方程的方法，就叫做公式法。（小声读五遍并黑板展示） 3、 阅读教材例2,说一说用公式法解一元二次方程的步骤是怎样的？口头展示 自学检测：解方程
① ② ③ 0432xx02322xx01692xx
三 、合作探究 1、不解方程，判断方程的根的情况是_________ 04322xx
A.相同两实根 B. 相异两实根 C. 只有一个实根 D. 没有实根
[初中数学]九年级数学上册全一册导学案(45份) 人教版41
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25.2.1 用列举法求概率预习案一、预习目标及范围：1.知道什么时候采用“直接列举法”和“列表法” .2.会正确“列表”表示出所有可能出现的结果.3.知道如何利用“列表法”求随机事件的概率. 预习范围：P99-100 二、预习要点1、设A 是某一随机事件，则P （A ）的值是（ ）A 、0＜P （A ）＜1；B 、0≤P （A ）≤1；C 、P （A ）=1；D 、P （A ）=02、事件发生的可能性越大，它的概率越接近 ；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近 。
3、思考：一个人随意翻书三次，三次都翻到了偶数页，我们能否说翻到偶数页的可能性就大吗？4、在例1、2中，列表表示掷两枚硬币产生的所有可能结果。
P （A)= , P （B)= , P （C)= .5、探究：列表法有什么优越性？三、预习检测1.一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图所示的座位上，B 、C 、D 三人随机坐到其他三个座位上。
求A 与B 不相邻而坐的概率为 .2.掷一枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分标有1点，2点，3点，4点，5点，6点），“6点”朝上的概率是多少？探究案一、合作探究活动内容1：探究1：用直接列举法求概率同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：(1)两枚两面一样；(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；①②“掷两枚硬币”所有结果如下：解：（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是∵P(学生赢）=P(老师赢）.∴这个游戏是公平的.上述这种列举法我们称为直接列举法，即把事件可能出现的结果一一列出.注意: 直接列举法比较适合用于最多涉及两个试验因素或分两步进行的试验，且事件总结果的种数比较少的等可能性事件.想一想“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？探究2：列表法求概率问题1 利用直接列举法可以比较快地求出简单事件发生的概率，对于列举复杂事件的发生情况还有什么更好的方法呢？明确：问题2 怎样列表格？列表法中表格构造特点:说明：如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=活动2：探究归纳列表法求概率应注意的问题确保试验中每种结果出现的可能性大小相等.列表法求概率的基本步骤第一步：第二步：第三步：活动内容2：典例精析例1 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同；（2）两个骰子点数的和是9；（3）至少有一个骰子的点数为2.分析当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.（1）满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P（A）= ；（2）满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则P（B）= ；（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P（C）= .我们发现：与前面掷硬币问题一样，“同时掷两个质地相同的骰子”与“把一个骰子掷两次”，所得到的结果没有变化. 所以，当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析.二、随堂检测1.小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明赢的概率是（）A. 49B.13C.12D.192.某次考试中，每道单项选择题一般有4个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是（）A. 14B.12C.18D.1163.如果有两组牌，它们的牌面数字分别是1，2，3,那么从每组牌中各摸出一张牌.（1）摸出两张牌的数字之和为4的概念为多少？（2）摸出为两张牌的数字相等的概率为多少？参考答案预习检测：1. 1 32. 解：任意掷一枚均匀的小立方体，所有可能出现的结果有６种：“１点”朝上，“２点”朝上，“３点”朝上，“４点”朝上，“５点”朝上，“６点”朝上，每一种结果出现的概率都相等。
优品课件之九年级数学上册全册导学案(人教版含答案)
九年级数学上册全册导学案（人教版含答案）第二十一章一元二次方程 21．1 一元二次方程 1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题． 2．掌握一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念． 3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常数项．一、自学指导．(10分钟) 问题1：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－2x)cm__．列方程__(100－2x)•(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．① 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．设应邀请x个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛1场，所以全部比赛共x（x－1）2__场．列方程__x（x－1）2＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．② 探究： (1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1个__． (2)它们最高次数分别是几次？__2次__．归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程． 1．一元二次方程的定义等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式： ax2＋bx ＋c＝0(a≠0)．这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数a≠0是一个重要条件，不能漏掉．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？ (1)x3－2x2＋5＝0；(2)x2＝1； (3)5x2－2x－14＝x2－2x＋35；(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)； (5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0. 解：(2)(3)(4)．点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程仍然是整式方程． 2．将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得3x2－8x－10＝0.其中二次项系数是3，一次项系数是－8，常数项是－10. 点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．求证：关于x的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论m取何值，该方程都是一元二次方程．证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，∵(m－4)2≥0，∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0. ∴无论m取何值，该方程都是一元二次方程．点拨精讲：要证明无论m取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m2－8m＋17≠0即可． 2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根？－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4. 解：将上面的这些数代入后，只有－2和－3满足等式，所以x＝－2或x＝－3是一元二次方程2x2＋10x＋12＝0的两根．点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 1．判断下列方程是否为一元二次方程． (1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0； (5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x. 解：(1)是；(2)不是；(3)是； (4)不是；(5)不是；(6)是． 2．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，∴4a＋8－5＝0，解得a＝－34. 3．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x. 解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调a≠0. 3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．2 解一元二次方程 21．2.1 配方法(1) 1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程． 2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次――转化的数学思想．难点：通过根据平方根的意义解形如x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．一、自学指导．(10分钟) 问题1：一桶某种油漆可刷的面积为1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？设正方体的棱长为x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的面积列出方程：__10×6x2＝1500__，由此可得__x2＝25__，根据平方根的意义，得x＝__±5__，即x1＝__5__，x2＝__－5__．可以验证__5__和－5都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm. 探究：对照问题1解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5及方程x2＋6x＋9＝4? 方程(2x－1)2＝5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为__2x－1＝±5__，即将方程变为__2x－1＝5和__2x－1＝－5__两个一元一次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5的两个解为x1＝__1＋52，x2＝__1－52__．在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问题就容易解决了．方程x2＋6x＋9＝4的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为x1＝ __－1__，x2＝__－5__. 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程能化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得x＝±p或mx＋n＝±p. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟) 解下列方程： (1)2y2＝8；(2)2(x－8)2＝50； (3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0. 解：(1)2y2＝8，(2)2(x－8)2＝50，y2＝4，(x－8)2＝25，y＝±2，x－8＝±5，∴y1＝2，y2＝－2；x－8＝5或x－8＝－5，∴x1＝13，x2＝3； (3)(2x－1)2＋4＝0，(4)4x2－4x＋1＝0，(2x－1)2＝－4<0，(2x－1)2＝0，∴原方程无解；2x－1＝0，∴x1＝x2＝12. 点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用直接开平方法解下列方程： (1)(3x＋1)2＝7; (2)y2＋2y＋1＝24；(3)9n2－24n＋16＝11. 解：(1)－1±73；(2)－1±26；(3)4±113. 点拨精讲：运用开平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根． 2．已知关于x的方程x2＋(a2＋1)x－3＝0的一个根是1，求a的值．解：±1. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟) 用直接开平方法解下列方程： (1)3(x－1)2－6＝0 ; (2)x2－4x＋4＝5； (3)9x2＋6x＋1＝4; (4)36x2－1＝0； (5)4x2＝81; (6)(x＋5)2＝25； (7)x2＋2x＋1＝4. 解：(1)x1＝1＋2，x2＝1－2；(2)x1＝2＋5，x2＝2－5；(3)x1＝－1，x2＝13；(4)x1＝16，x2＝－16；(5)x1＝92，x2＝－92；(6)x1＝0，x2＝－10；(7)x1＝1，x2＝－3. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用直接开平方法解一元二次方程． 2．理解“降次”思想． 3．理解x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)中，为什么p≥0? 学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.1 配方法(2) 1．会用配方法解数字系数的一元二次方程． 2．掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程．重点：掌握配方法解一元二次方程．难点：把一元二次方程转化为形如(x－a)2＝b的过程． (2分钟) 1．填空： (1)x2－8x＋__16__＝(x－__4__)2； (2)9x2＋12x＋__4__＝(3x＋__2__)2； (3)x2＋px＋__(p2)2__＝(x＋__p2__)2. 2．若4x2－mx＋9是一个完全平方式，那么m的值是__±12__．一、自学指导．(10分钟) 问题1：要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为x m，则长为__(x＋6)__m，根据矩形面积为16 m2，得到方程__x(x＋6)＝16__，整理得到__x2＋6x－16＝0__．探究：怎样解方程x2＋6x－16＝0? 对比这个方程与前面讨论过的方程x2＋6x＋9＝4，可以发现方程x2＋6x＋9＝4的左边是含有x的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程x2＋6x－16＝0不具有上述形式，直接降次有困难，能设法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？解：移项，得x2＋6x＝16，两边都加上__9__即__(62)2__，使左边配成x2＋bx＋(b2)2的形式，得__x2__＋6__x__＋9＝16＋__9__，左边写成平方形式，得 __(x＋3)2＝25__，开平方，得 __x＋3＝±5__，(降次) 即 __x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，解一次方程，得x1＝__2__，x2＝__－8__．归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把一元二次方程转化为两个一元一次方程．问题2：解下列方程： (1)3x2－1＝5；(2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9. 解：(1)x＝±2；(2)x1＝－12，x2＝52；(3)x1＝－72，x2＝－12. 归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0； (2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 1．填空： (1)x2＋6x＋__9__＝(x＋__3__)2；(2)x2－x＋__14__＝(x－__12__)2； (3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2. 2．解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0; (2)2x2＋6x＋2＝0；(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0. 解：(1)移项，得x2＋6x＝－5，配方得x2＋6x＋32＝－5＋32，(x＋3)2＝4，由此可得x＋3＝±2，即x1＝－1，x2＝－5. (2)移项，得2x2＋6x＝－2，二次项系数化为1，得x2＋3x＝－1，配方得x2＋3x＋(32)2＝(x＋32)2＝54，由此可得x＋32＝±52，即x1＝52－32， x2＝－52－32. (3)去括号，整理得x2＋4x－1＝0，移项得x2＋4x＝1，配方得(x＋2)2＝5，x＋2＝±5，即x1＝5－2，x2＝－5－2. 点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方式．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8 m，CB＝6 m，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 m/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半？解：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．根据题意可列方程： 12(8－x)(6－x)＝12×12×8×6，即x2－14x＋24＝0， (x－7)2＝25， x－7＝±5，∴x1＝12，x2＝2， x1＝12，x2＝2都是原方程的根，但x1＝12不合题意，舍去．答：2秒后△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半．点拨精讲：设x秒后△PCQ的面积为Rt△ABC 面积的一半，△PCQ也是直角三角形．根据已知条件列出等式．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．用配方法解下列关于x的方程： (1)2x2－4x－8＝0；(2)x2－4x＋2＝0； (3)x2－12x－1＝0 ; (4)2x2＋2＝5.解：(1)x1＝1＋5，x2＝1－5； (2)x1＝2＋2，x2＝2－2； (3)x1＝14＋174，x2＝14－174； (4)x1＝62，x2＝－62. 2．如果x2－4x＋y2＋6y＋z＋2＋13＝0，求(xy)z的值．解：由已知方程得x2－4x＋4＋y2＋6y＋9＋z＋2＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＋z＋2＝0，∴x＝2，y＝－3，z＝－2. ∴(xy)z＝[2×(－3)]－2＝136. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用配方法解一元二次方程的步骤． 2．用配方法解一元二次方程的注意事项．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.2 公式法 1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念． 2. 会熟练应用公式法解一元二次方程．重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式的推导． (2分钟) 用配方法解方程： (1)x2＋3x＋2＝0；(2)2x2－3x＋5＝0. 解：(1)x1＝－2，x2＝－1；(2)无解．一、自学指导．(8分钟) 问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？问题：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b－b2－4ac2a. 分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去．探究：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝－b±b2－4ac2a就得到方程的根，当b2－4ac＜0时，方程没有实数根． (2)x＝－b±b2－4ac2a叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法． (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有__2个实数根，也可能有__1__个实根或者__没有__实根． (5)一般地，式子b2－4ac 叫做方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，通常用希腊字母Δ表示，即Δ＝b2－4ac. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？ (1)2x2－3x＝0；(2)3x2－23x＋1＝0；(3)4x2＋x＋1＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝32；有两个不相等的实数根；(2)x1＝x2＝33；有两个相等的实数根；(3)无实数根．点拨精讲：Δ＞0时，有两个不相等的实数根；Δ＝0时，有两个相等的实数根；Δ＜0时，没有实数根．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．方程x2－4x＋4＝0的根的情况是( B ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 2．当m为何值时，方程(m＋1)x2－(2m－3)x＋m＋1＝0， (1)有两个不相等的实数根？ (2)有两个相等的实数根？ (3)没有实数根？解：(1)m＜14；(2)m＝14；(3)m ＞14. 3. 已知x2＋2x＝m－1没有实数根，求证：x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根. 证明：∵x2＋2x－m＋1＝0没有实数根，∴4－4(1－m)＜0，∴m＜0. 对于方程x2＋mx＝1－2m，即x2＋mx＋2m－1＝0，Δ＝m2－8m＋4，∵m＜0，∴Δ＞0，∴x2＋mx＝1－2m必有两个不相等的实数根．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．利用判别式判定下列方程的根的情况： (1)2x2－3x－32＝0; (2)16x2－24x＋9＝0； (3)x2－42x＋9＝0 ; (4)3x2＋10x＝2x2＋8x. 解：(1)有两个不相等的实数根；(2)有两个相等的实数根；(3)无实数根；(4)有两个不相等的实数根． 2．用公式法解下列方程：(1)x2＋x－12＝0 ; (2)x2－2x－14＝0； (3)x2＋4x＋8＝2x＋11;(4)x(x－4)＝2－8x； (5)x2＋2x＝0 ; (6)x2＋25x＋10＝0. 解：(1)x1＝3，x2＝－4；(2)x1＝2＋32，x2＝2－32；(3)x1＝1，x2＝－3；(4)x1＝－2＋6，x2＝－2－6；(5)x1＝0，x2＝－2;(6)无实数根．点拨精讲：(1)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由一元二次方程的系数a，b，c确定的； (2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b2－4ac≥0的前提下，把a，b，c的值代入x＝－b±b2－4ac2a(b2－4ac≥0)中，可求得方程的两个根； (3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1.求根公式的推导过程． 2.用公式法解一元二次方程的一般步骤：先确定a，b，c的值，再算出b2－4ac的值、最后代入求根公式求解． 3.用判别式判定一元二次方程根的情况．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．2.3 因式分解法 1. 会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程． 2. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．重点：用因式分解法解一元二次方程．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想． (2分钟) 将下列各题因式分解： (1)am ＋bm＋cm＝(__a＋b＋c__)m； (2)a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__；(3)a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．一、自学指导．(8分钟) 问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10 m/s的速度竖直上抛，那么经过x s物体离地的高度(单位：m)为10x－4.9x2.你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到0.01s) 设物体经过x s落回地面，这时它离地面的高度为0，即10x－4.9x2＝0，① 思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？分析：方程①的右边为0，左边可以因式分解得： x(10－4.9x)＝0，于是得x＝0或10－4.9x＝0，② ∴x1＝__0__，x2≈2.04．上述解中，x2≈2.04表示物体约在2.04 s时落回地面，而x1＝0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0 s时物体被抛出，此刻物体的高度是0 m. 点拨精讲： (1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0，然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法． (2)如果a•b＝0，那么a＝0或b＝0，这是因式分解法的根据．如：如果(x＋1)(x－1)＝0，那么__x＋1＝0或__x－1＝0__，即__x＝－1__或__x＝1．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 1．说出下列方程的根： (1)x(x－8)＝0；(2)(3x＋1)(2x－5)＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝8；(2)x1＝－13，x2＝52. 2．用因式分解法解下列方程： (1)x2－4x＝0; (2)4x2－49＝0； (3)5x2－20x＋20＝0. 解：(1)x1＝0，x2＝4; (2)x1＝72，x2＝－72； (3)x1＝x2＝2. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)5x2－4x＝0；(2)3x(2x＋1)＝4x＋2； (3)(x ＋5)2＝3x＋15. 解：(1)x1＝0，x2＝45； (2)x1＝23，x2＝－12；(3)x1＝－5，x2＝－2. 点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式． 2．用因式分解法解下列方程： (1)4x2－144＝0； (2)(2x－1)2＝(3－x)2； (3)5x2－2x－14＝x2－2x＋34； (4)3x2－12x＝－12. 解：(1)x1＝6，x2＝－6； (2)x1＝43，x2＝－2； (3)x1＝12，x2＝－12； (4)x1＝x2＝2. 点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟) 1．用因式分解法解下列方程： (1)x2＋x＝0; (2)x2－23x＝0；(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0； (5)(x－4)2＝(5－2x)2. 解：(1)x1＝0，x2＝－1； (2)x1＝0，x2＝23； (3)x1＝x2＝1； (4)x1＝112，x2＝－112； (5)x1＝3，x2＝1. 点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤： (1)将方程右边化为__0__； (2)将方程左边分解成两个一次式的__乘积__； (3)令每个因式分别为__0__，得到两个一元一次方程； (4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解． 2．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．解：设小圆形场地的半径为x m. 则可列方程2πx2＝π(x＋5)2. 解得x1＝5＋52，x2＝5－52(舍去)．答：小圆形场地的半径为(5＋52) m. 学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 1．用因式分解法解方程的根据由ab＝0得 a ＝0或b＝0，即“二次降为一次”． 2．正确的因式分解是解题的关键．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．2.4 一元二次方程的根与系数的关系 1. 理解并掌握根与系数的关系：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca. 2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题．重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用．一、自学指导．(10分钟) 自学1：完成下表：方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10 问题：你发现什么规律？①用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项．②x2＋px＋q＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律. 答：x1＋x2＝－p，x1x2＝q. 自学2：完成下表：方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 2x2－3x－2＝0 2 －12 32 －1 3x2－4x＋1＝0 13 1 43 13问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律：①用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比．②ax2＋bx＋c＝0的两根x1，x2用式子表示你发现的规律．答：x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca. 自学3：利用求根公式推导根与系数的关系．(韦达定理) ax2＋bx＋c＝0的两根x1＝__－b＋b2－4ac2a__，x2＝__－b－b2－4ac2a__． x1＋x2＝－ba，x1x2＝ca. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－3x－1＝0 ；(2)2x2＋3x－5＝0； (3)13x2－2x＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－1； (2)x1＋x2＝－32，x1x2＝－52； (3)x1＋x2＝6，x1x2＝0. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积． (1)x2－6x－15＝0; (2)3x2＋7x－9＝0； (3)5x－1＝4x2. 解：(1)x1＋x2＝6，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝－73，x1x2＝－3； (3)x1＋x2＝54，x1x2＝14. 点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a，b，c. 2．已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3，求另一根及k的值．解：另一根为32，k＝3. 点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x＝－3代入方程先求k，再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答． 3．已知α，β是方程x2－3x－5＝0的两根，不解方程，求下列代数式的值． (1)1α＋1β；(2)α2＋β2；(3)α－β. 解：(1)－35；(2)19；(3)29或－29. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟) 1．不解方程，求下列方程的两根和与两根积： (1)x2－3x＝15; (2)5x2－1＝4x2； (3)x2－3x＋2＝10; (4)4x2－144＝0. 解：(1)x1＋x2＝3，x1x2＝－15； (2)x1＋x2＝0，x1x2＝－1； (3)x1＋x2＝3，x1x2＝－8； (4)x1＋x2＝0，x1x2＝－36. 2．两根均为负数的一元二次方程是( C ) A．7x2－12x＋5＝0 B．6x2－13x－5＝0 C．4x2＋21x＋5＝0 D．x2＋15x－8＝0 点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟) 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的另一根和方程中的待定系数的值． 1．先化成一般形式，再确定a，b，c. 2．当且仅当b2－4ac≥0时，才能应用根与系数的关系． 3．要注意比的符号：x1＋x2＝－ba(比前面有负号)，x1x2＝ca(比前面没有负号)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．3 实际问题与一元二次方程(1) 1．会根据具体问题(按一定传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：列一元二次方程解决实际问题．难点：找出实际问题中的等量关系．一、自学指导．(12分钟) 问题1：有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？分析：①设每轮传染中平均一个人传染了x个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了__x__人，第一轮后共有__(x＋1)__人患了流感；②第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了__x__人，第二轮后共有__(x＋1)(x＋1)__人患了流感．则列方程： __(x＋1)2＝121__，解得__x＝10或x＝－12(舍)__，即平均一个人传染了__10__个人．再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题2：一个两位数，它的两个数字之和为6，把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是1008，求原来的两位数．分析：设原来的两位数的个位数字为__x__，则十位数字为__(6－x)__，则原两位数为__10(6－x)＋x，新两位数为__10x＋(6－x)__．依题意可列方程：[10(6－x)＋x][10x＋(6－x)]＝1008__，解得 x1＝__2__，x2＝__4__，∴原来的两位数为24或42. 二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟) 某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550张相片，如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A．x(x＋1)＝2550 B．x(x－1)＝2550 C．2x(x＋1)＝2550 D．x(x－1)＝2550×2 分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x－1)张相片，全班共送出x(x－1)张相片，可列方程为x(x－1)＝2550. 故选B. 一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 1．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有1＋x＋x2＝91，即x2＋x－90＝0，解得x1＝9，x2＝－10(舍去)，故每个支干长出9个小分支．点拨精讲：本例与传染问题的区别． 2．一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4，设个位数字为x，则列方程为：__x2＋(x＋4)2＝10(x＋4)＋x－4__．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(7分钟) 1．两个正数的差是2，它们的平方和是52，则这两个数是( C ) A．2和4 B．6和8 C．4和6 D．8和10 2．教材P21第2题、第3题学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1)“审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2)“设”：即设__未知数__，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3)“列”：即根据题中__等量__关系列方程；(4)“解”：即求出所列方程的__根__；(5)“检验”：即验证根是否符合题意；(6)“答”：即回答题目中要解决的问题． 2. 对于数字问题应注意数字的位置．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)21．3 实际问题与一元二次方程(2) 1. 会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解． 2．能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理． 3．进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键．重点：如何解决增长率与降低率问题．难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1±x)n＝b，其中a是原有量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b 为增长(或降低)后的量．一、自学指导．(10分钟) 自学：两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元，生产1吨乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1吨甲种药品的成本是3000元，生产1吨乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大？(精确到0.01) 绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为(5000－3000)÷2＝1000(元)，乙种药品成本的年平均下降额为(6000－3600)÷2＝1200(元)，显然，乙种药品成本的年平均下降额较大．相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题．分析：①设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种药品成本为__5000(1－x)__元，两年后甲种药品成本为__5000(1－x)2__元．依题意，得__5000(1－x)2＝3000__．解得__x1≈0.23，x2≈1.77__．根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为__0.23__．②设乙种药品成本的年平均下降率为y.则，列方程：__6000(1－y)2＝3600__．解得__y1≈0.23，y2≈1.77(舍)__．答：两种药品成本的年平均下降率__相同__．点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价格．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟) 某商店10月份的营业额为5000元，12月份上升到7200元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则 11月份的营业额为__5000(1＋x)__元， 12月份的营业额为__5000(1＋x)(1＋x)__元，即__5000(1＋x)2__元．由此就可列方程：__5000(1＋x)2＝7200__．点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数的比．增长率＝增长数∶基准数设基准数为a，增长率为x，则一月(或一年)后产量为a(1＋x)；二月(或二年)后产量为a(1＋x)2； n月(或n年)后产量为a(1＋x)n；如果已知n月(n年)后产量为M，则有下面等式：M＝a(1＋x)n. 解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟) 某人将2000元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000元用于购物，剩下的1000元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320元，求这种存款方式的年利率．(利息税20%) 分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存2000元取1000元，剩下的本金和利息是1000＋2000x•80%；第二次存，本金就变为1000＋2000x•80%，其他依此类推．解：设这种存款方式的年利率为x，则1000＋2000x•80%＋(1000＋2000x•80%)x•80%＝1320，整理，得1280x2＋800x＋1600x＝320，即8x2＋15x－2＝0，解得x1＝－2(不符，舍去)，x2＝0.125＝12.5%. 答：所求的年利率是12.5%. 二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(6分钟) 青山村种的水稻2011年平均每公顷产7200 kg，2013年平均每公顷产8460 kg，求水稻每公顷产量的年平均增长率．解：设年平均增长率为x，则有7200(1＋x)2＝8460，解得x1＝0.08，x2＝－2.08(舍)．即年平均增长率为8%. 答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%. 点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟) 1. 列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际意义． 2. 若平均增长(降低)率为x，增长(或降低)前的基数是a，增长(或降低)n 次后的量是b，则有：a(1±x)n＝b(常见n＝2)．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟) 21．3 实际问题与一元二次方程。
[初中数学]九年级数学上册全一册导学案(45份) 人教版29
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24.1.3 弧、弦、圆心角预习案一、预习目标及范围：1.理解圆心角的概念，掌握圆的中心对称性和旋转不变性.2.探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题.（重点）3.理解圆心角、弧、弦之间关系定理中的“在同圆或等圆”条件的意义.（难点） 预习范围：P51-52 二、预习要点1.举例说明什么是圆心角？2.教材Ｐ82探究中，通过旋转∠AOB ，试写出你发现的哪些等量关系？为什么？3.在圆心角的性质中定理中，为什么要说“同圆或等圆”？能不能去掉？4.由探究得到的定理及结论是什么？在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ，所对的弦 。
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等．在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的 相等，•所对的 也相等．三、预习检测1. 如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦．（1）如果AB=CD ，那么___________，_________________． （2）如果弧AB=弧CD ，那么____________，______________． （3）如果∠AOB=∠COD ，那么_____________，____________．（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？ 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧CD=弧DE ， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．·AOBC DE探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作探究1; 圆心角的定义1.圆心角：顶点在圆心的角,叫圆心角，如∠AOB .2.圆心角∠AOB 所对的弧为弧AB.3.圆心角∠AOB所对的弦为AB.任意给圆心角，对应出现三个量：圆心角、弧、弦判一判：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.探究2: 圆心角、弧、弦之间的关系在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？，明确：由圆的旋转不变性，我们发现：在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB CD弦AB=弦CD探究3：如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？明确：通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB=∠COD，那么，弧AB=弧CD，弦AB=弦CD.活动2：探究归纳归纳：弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．探究4：想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？答案：不可以，如图弧、弦与圆心角关系定理的推论：在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等．活动内容2：典例精析例如图，在⊙O中，弧AB=弧AC ,∠ACB=60°,求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC.证明; ∵弧AB=弧CD，∴ AB=AC．△ABC是等腰三角形又∠ACB=60°，∴△ABC是等边三角形 , AB=BC=CA.∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC注意：本题告诉我们，弧、圆心角、弦灵活转化是解题的关键.二、随堂检测1．如果两个圆心角相等，那么（）A．这两个圆心角所对的弦相等B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等D ．以上说法都不对2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 .3.在同圆中，圆心角∠AOB =2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）A. 2ABCD B. AB CD C. AB CD D. 不能确定4.如图，已知AB 、CD 为⊙O 的两条弦，AD BC =,求证:AB ＝CD.5.如图，在⊙O 中，2∠AOB =∠COD ，那么CD=2AB 成立吗？CD=2AB 也成立吗？请说明理由；如不是，那它们之间的关系又是什么？参考答案预习检测：1. (1)弧AB=弧CD ; AOB COD ∠=∠;(2)AB=CD; AOB COD ∠=∠ (3)弧AB=弧CD ; AB=CD; (4)答：相 等; 因为AB=CD ，所以∠AOB=∠COD.又因为AO=CO ，BO=DO ，所以△AOB≌ △COD. 又因为OE 、OF 分别是AB 与CD 边上的高，所以弧OE=弧OF.2. 解：∵弧BC=弧CD=弧DE ，∴ ∠ BOC = ∠COD= ∠ DOE =35°. ∵弧BC=弧CD=弧DE ，180335AOE ∴∠=-⨯75=随堂检测 1.D 2. 60 ° 3.A 4.....AO BO CO DO AD BC AOD BOC AOD BOD BOC BOD AOB COD AB CD =∴∠=∠∴∠∠∠∠∠=∠∴证明：连接,,,，+=+ 即， =5. 答：CD=2AB 成立，CD=2AB 不成立.不是，取 的中点E,连接OE.那么∠AOB=∠COE=∠DOE,所以 AB =CE =DE .CD =2AB ，弦AB=CE=DE,在△CDE 中，CE+DE>CD,即CD<2AB.。
2023教与学课时导学案数学九年级全一册人教版
2023教与学课时导学案数学九年级全一册人教版课时导学案目录：一、导学目标二、课前预习三、课堂学习四、课后巩固五、思考题六、拓展题七、学习反思一、导学目标本节课主要学习目标如下：1.复习数与代数、方程式的知识，强化数学思维能力；2.认识、比较和使用一次函数、二次函数的性质和解析式；3.通过实际问题，学习运用函数解决实际问题的方法；4.培养学生的数学建模能力。
二、课前预习在课前，同学们需要完成以下预习任务：1.复习数与代数、方程式的知识；2.预习一次函数和二次函数的性质和解析式；3.了解并运用函数解决实际问题的方法；4.查阅相关资料，了解数学建模的基本概念。
三、课堂学习1.导入新知识老师可以借助课件、案例、实际问题等方式，向学生引入一次函数和二次函数的概念，让学生了解函数的基本性质和解析式。
2.讲解理论知识通过教材内容，系统地讲解一次函数和二次函数的性质、图像以及解析式的求法。
3.示范演练老师可以选择一些示范题，让学生积极参与，学习如何应用一次函数和二次函数的知识进行解题。
4.小组合作在小组合作中，同学们可以根据给定的实际问题，共同运用一次函数和二次函数的知识，解决实际问题。
同时，要求学生充分讨论，提出各自的解决思路和方法，并展示给全班。
5.课堂练习通过一些课本习题或试卷示例，让同学们巩固所学知识，检验自己的理解和掌握程度。
四、课后巩固1.完成课后作业同学们需要认真完成课后作业，并及时批改检查。
2.总结归纳每节课结束后，同学们应该进行总结和归纳，梳理自己所学的知识点和方法，做到心中有数，便于巩固和复习。
五、思考题以下是本节课的思考题，请同学们积极思考并回答：1.一次函数和二次函数之间有哪些不同之处？请分别列举并加以比较。
2.函数的图像有哪些特点？它们与函数的解析式有何关系？六、拓展题以下是本节课的拓展题，请同学们尝试解答：1.已知一次函数y=kx+b的图像经过点(2,3)，求k与b的值。
2.已知二次函数y=ax²+bx+c的图像与x轴交于点(-1,0)和(2,0)，且顶点坐标为(1,2)，求a、b和c的值。
[初三数学]人教版九年级数学上册全册导学案
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第22章 二次根式导学案22.1 二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。
三、学习过程（一）复习引入：（1）已知x 2 = a ，那么a 是x 的______; x 是a 的________, 记为______, a 一定是_______数。
（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =__________；正数a 的算术平方根为_______，0的算术平方根为_______；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。
（二）提出问题1、式子a 表示什么意义?2、什么叫做二次根式？3、式子)0(0≥≥a a 的意义是什么？4、)0()(2≥=a a a 的意义是什么？5、如何确定一个二次根式有无意义？（三）自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 2、计算 ：(1) 2)4( (2) 2)3(4（3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , )0()(2≥=a a a的意义是 。
3、当a 为正数时指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。
所以，在二次根式中，字母a 必须满足 ,才有意义。
（三）合作探究 1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习 ： x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1）若有意义，则a 的值为___________．（2）若在实数范围内有意义，则x 为（ ）。
A.正数B.负数C.非负数D.非正数（四）展示反馈 (学生归纳总结)1．非负数a 的算术平方根a (a ≥0)叫做二次根式.二次根式的概念有两个要点：一是从形式上看，应含有二次根号；二是被开方数的取值范围有限制：被开方数a 必须是非负数。
人教版九年级数学上册全册导学案(20200718092844)
第22章二次根式导学案22.1二次根式(1)—、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。
2、掌握二次根式有意义的条件。
3、掌握二次根式的基本性质：Va > 0(a > 0)和(石)=a(an0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质. 难点：综合运用性质> 0(a > 0)和(耐 =a(a >0)。
三.学习过程(一)复习引入^(1)已知X?二"那么4是X的________ ；X是4的________ ,记为________a 一定是 _______ 数。
(2)4的算术平方根为2,用式子表示为扬二________________ ；正数a的算术平方根为_________ , 0的算术平方根为__________ ;式子Va > 0(a > 0)的意义是___________________ o(二)提出问题1、式子偏表示什么意义？2、什么叫做二次根式？3、式子Va > 0(a > 0)的意义是什么？4、(Va)2 = a(a > 0)的意义是什么?5、如何确定一个二次根式有无意义？(三)自主学习自学课本第2页例前的内容，完成下面的问题：1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？",-辰,V4, 口, T(a-0),如2、计算：(1)(V4)2(2)(巧尸⑶（Vo5）（4）qy根据计算结果，你能得出结论：伍$=_____________ 其中a>0,（Va）3 = a（a n 0）的意义是_____________ 。
3、当a为正数时侖指及的____________________ ,而0的算术平方根是—,负数__________ ,只有非负数A才有算术平方根。
所以，在二次根式需中,字母a必须满足____________ ,需才有意义。
（三）合作探究1、学生自学课本第2页例题后，模仿例题的解答过程合作完成练习:x取何值时，下列各二次根式有意义？①竝一42、（1）若万-有意义，则a的值为________________________ ・（2）若仁在实数范围内有意义，则x为（）oA.正数B.负数C.非负数D.非正数!1!）展示反馈（学生归纳总结）1.非负数。
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22.3.3实际问题与二次函数预习案一、预习目标及范围：1.会用二次函数知识解决实物中的抛物线形问题.2.建立恰当的直角坐标系将实际问题转化为数学问题 预习范围：P51 二、 预习要点1. 如何建立直角坐标系，怎么建立才能解题简便？举例说明一下。
2. 对于拱形的和运动抛物型的应该如何建立直角坐标系？三、预习检测1.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h (m)可用公式h =-4.9t 2+19.6t 来表示，其中t (s)表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.2.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y (米）关于水平距离x (米）的函数解析式为2113822y x x =-++，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为 米.探究案 一、合作探究 活动内容1： 活动1：小组合作探究3：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?探究4：如果要使运动员坐着船从圣火的拱形底座下穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?活动2：探究归纳解决抛物线型实际问题的一般步骤（1）（2）（3）（4）（5）活动内容2：典例精析在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米，他能把球投中吗？二、随堂检测1、如图所示，抛物线顶点坐标是P（1，3），则函数y随自变量x的增大而减小的x 的取值范围是（）A、x＞3B、x＜3C、x＞1D、x＜12、某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，如图，大门地面宽AB ＝4米，顶部C 离地面的高度为4.4米，现在一辆装满货物的汽车欲通过大门，货物顶部离地面的高度为2.8米，装货宽度为2.4米，请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？3.公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA ，O 点恰在水面中心，OA =1.25米，由柱子顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下.为使水流较为漂亮，要求设计成水流在离OA 距离为1米处达到距水面最大高度2.25米.如果不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？参考答案预习检测： 1.4；2.2 随堂检测 1.C ；2.解：如图，以AB 所在的直线为X 轴，以AB 的垂直平分线为Y 轴，建立平面直角坐标系∵AB=4 ∴A(-2，0) B(2，0) ∵OC=4.4 ∴C(0，4.4)设抛物线所表示的二次函数为y=ax²+4.4 ∵抛物线过A(-2,0)∴4a+4.4=0 ∴a=-1.1∴抛物线所表示的二次函数为 y=1.1x²+4.4 当x=1.2时，y=-1.1×1.2²+4.4=2.816＞2.8 ∴汽车能顺利经过大门3.解：如图建立坐标系，设抛物线顶点为B，水流落水与x轴交于C点.由题意可知A（ 0，1.25）、B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）.设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),点A坐标代入，得a= － 1；∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25.当y= 0时，x１= － 0.5（舍去），x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.。
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22.1.3二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质（1）预习案一、预习目标及范围：1.会画二次函数y=ax2+k的图象.2.掌握二次函数y=ax2+k的性质并会应用.3.比较函数y=ax2与y=ax2+k的联系.二、预习要点1.上下平移规律：平方项，常数项上下 .2.把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.三、预习检测1.说出下列二次函数的开口方向、对称轴及顶点坐标(1) y=2(x+3)2(2) y=-3(x-1)2(3) y=5(x+2)2(4) y=-(x-6)2(5) y=7(x-8)22.抛物线y=-3(x+2)2开口向，对称轴为，顶点坐标为________.3.抛物线y=3x2+0.5可以看成由抛物线向平移个单位得到的.4.写出一个开口向上，对称轴为x=-2，并且与y轴交于点（0，8）的抛物线解析式____________.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作情景问题：二次函数y=ax2的图象是什么形状呢？什么确定y=ax2的性质？通常怎样画一个函数的图象？在同一直角坐标系中，画出二函数y=2x2+1与y=2x2-1的图象．解：先列表：(1)抛物线y=2x2+1,y=2x2-1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？(2) 抛物线y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2有什么关系？可以发现，把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线；把抛物线y=2x2向平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x2-1.归纳：二次函数y=ax2+k的图象可以由y=ax2的图象平移得到：当k > 0 时,向上平移k个单位长度得到.当k < 0 时,向下平移-k个单位长度得到.活动2：探究归纳上下平移规律：平方项不变，常数项上加下减.活动内容2：典例精析例题:：把抛物线y = 2x2向上平移5个单位，会得到哪条抛物线？向下平移2个单位呢？归纳：1.画抛物线y=ax2+k的图象有几步？第一种方法：平移法，两步即第一步画y=ax2的图象，再向上（或向下）平移︱k︱单位.第二种方法：描点法，三步即列表、描点和连线.2.抛物线y=ax2+k中的a决定什么？怎样决定的？k决定什么？它的对称轴是什么？顶点坐标怎样表示？a决定开口方向和大小；k决定顶点的纵坐标.二、随堂检测1、抛物线y=2x2向下平移4个单位，就得到抛物线。